Tüm alıştırma soruları

Bir depremin b��yüklüğü

M

ve bu depremde açığa çıkan sismik enerji

E

(Joule cinsinden) arasındaki ilişki aşağıdaki formülle modellenmektedir:

\log_{10} E = 4,8 + 1,5M

Aynı bölgede gerçekleşen iki depremden birincisinin büyüklüğü

M_1

, ikincisinin büyüklüğü

M_2

olmak üzere bu depremlerde açığa çıkan sismik enerjiler sırasıyla

E_1

ve

E_2

'dir.
Bu iki deprem için;
* Birinci depremde açığa çıkan enerji, ikinci depremde açığa çıkan enerjinin

10\sqrt{10}

katıdır.
* Depremlerin büyüklükleri arasında

M_1^2 - M_2^2 = 8

bağıntısı vardır.
Buna göre, daha büyük olan birinci depremin büyüklüğü (

M_1

) kaçtır?

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,5

Cevap

Daha büyük depremin büyüklüğü 4,5'tir.

İki depremde açığa çıkan enerjilerin oranı

E_1/E_2 = 10\sqrt{10} = 10^{1,5}

olarak verilir. Logaritma fonksiyonunun çıkarma özelliği kullanılarak

\log_{10}(E_1/E_2) = 1,5(M_1-M_2)

eşitliği elde edilir. Buradan

1,5 = 1,5(M_1-M_2) \implies M_1-M_2 = 1

bulunur. İki kare farkı özdeşliği (

M_1^2-M_2^2 = (M_1-M_2)(M_1+M_2)

) kullanılarak

M_1+M_2 = 8

elde edilir. İki bilinmeyenli denklem sistemi ortak çözüldüğünde daha büyük depremin büyüklüğü

M_1 = 4,5

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İki depremin enerjileri arasındaki

E_1 = 10\sqrt{10} \cdot E_2

bağıntısı kullanılarak oran bulunur.

\frac{E_1}{E_2} = 10^{1,5}

elde edilir.

Depremlerin açığa çıkardığı sismik enerjilerin oranını bulmak, logaritmik modelde büyüklüklerin farkına ulaşmayı sağlar.

2

Verilen

\log_{10} E = 4,8 + 1,5M

modelinde iki deprem için denklemler yazılıp taraf tarafa çıkarılır.

\log_{10} E_1 - \log_{10} E_2 = 1,5(M_1 - M_2) \implies \log_{10}\left(\frac{E_1}{E_2}\right) = 1,5(M_1 - M_2)

elde edilir.

Logaritma çıkarma kuralı olan

\log(a) - \log(b) = \log(a/b)

özelliğini uygulamak gerekir.

3

\frac{E_1}{E_2} = 10^{1,5}

değeri denklemde yerine yazılarak

M_1 - M_2

değeri hesaplanır.

\log_{10}(10^{1,5}) = 1,5(M_1 - M_2) \implies 1,5 = 1,5(M_1 - M_2) \implies M_1 - M_2 = 1

bulunur.

\log_{10}(10^x) = x

özelliğini kullanarak logaritmik ifadeyi sadeleştirmek gerekir.

4

M_1^2 - M_2^2 = 8

bağıntısına iki kare farkı özdeşliği uygulanır ve

M_1 - M_2 = 1

değeri yerine yazılır.

(M_1 - M_2)(M_1 + M_2) = 8 \implies 1 \cdot (M_1 + M_2) = 8 \implies M_1 + M_2 = 8

elde edilir.

Büyüklüklerin toplamını bulmak ve denklem sistemini çözmek için iki kare farkı özdeşliği kullanılır.

5

M_1 - M_2 = 1

ve

M_1 + M_2 = 8

denklemleri ortak çözülerek

M_1

değeri bulunur.

2M_1 = 9 \implies M_1 = 4,5

bulunur.

Yok etme metodu kullanılarak aranan birinci depremin büyüklüğü

M_1

hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2622Soru →

\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x - 3}{x + 2} \right) \geq 1

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

35

33

30

2

-25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayılarının toplamı 30'dur.

Doğru cevap olan 30 değerine ulaşmak için, logaritmanın argümanının pozitif olması şartından gelen

(-\infty, -2) \cup (3, \infty)

aralığ�� ile logaritmik eşitsizlikten elde edilen

(-2, 8]

aralığının kesişimi alınarak

(3, 8]

aralığı bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritmanın tanım kümesini belirlemek için logaritmanın içinin pozitif olması koşulu incelenir.

\frac{x - 3}{x + 2} > 0

eşitsizliğinin kökleri

x = -2

ve

x = 3

'tür. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi

D = (-\infty, -2) \cup (3, \infty)

olarak bulunur.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının (içinin) daima sıfırdan b��yük olması gerekir.

2

Logaritmik eşitsizlik çözülür. Logaritma tabanı

0

ile

1

arasında olduğundan eşitsizlik yön değiştirir.

\frac{x - 3}{x + 2} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^1 \implies \frac{x - 3}{x + 2} \leq \frac{1}{2}

elde edilir.

Logaritmanın tabanı basit kesir (

0 < a < 1

) olduğunda, eşitsizlik çözülürken yön değiştirir.

3

Elde edilen rasyonel eşitsizlik çöz��lür.

\frac{x - 3}{x + 2} - \frac{1}{2} \leq 0 \implies \frac{2(x - 3) - (x + 2)}{2(x + 2)} \leq 0 \implies \frac{x - 8}{2(x + 2)} \leq 0

Bu eşitsizliğin kökleri

x = -2

ve

x = 8

'dir. Tablo incelendiğinde çözüm aralığı

(-2, 8]

olarak bulunur.

Rasyonel eşitsizlikleri çözmek için tüm terimler bir tarafa toplanıp paydalar eşitlenerek işaret tablosu oluşturulur.

4

Tanım kümesi ile eşitsizlikten gelen çözüm kümesi kesiştirilir.

S = ( (-\infty, -2) \cup (3, \infty) ) \cap (-2, 8] = (3, 8]

aralığı elde edilir.

Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda fonksiyonu tanımlı kılması gerekir.

5

Elde edilen en geniş çözüm aralığındaki tam sayılar belirlenir ve toplanır.

Bu aralıktaki tam sayılar

4, 5, 6, 7, 8

'dir. Toplamları ise

4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30

olarak bulunur.

Soru kökünün bizden istediği, eşitsizliği sağlayan tüm tam sayı değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi kontrolü, tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel eşitsizliklerde işaret tablosunun doğru şekilde oluşturulması.

Soru 2623Soru →

Yer çekiminin ve sürt��nmelerin ihmal edildiği yalıtkan bir ortamda, birbirine paralel olarak yerleştirilmiş iletken $K$ , $L$ ve $M$ levhalarının potansiyelleri sırasıyla $+V$ , $0$ (toprak) ve $-8V$ olarak sabitlenmiştir. Levhalar arasındaki uzaklıklar $K-L$ arası $d$ , $L-M$ arası ise $4d$ 'dir. $K$ levhasının önünden serbest bırakılan $+q$ yüklü ve $m$ kütleli bir parçacık, $L$ levhası üzerindeki küçük bir delikten geçerek $M$ levhasına ulaşıyor. Buna göre, parçacığın bu levhalar arasındaki hareketiyle ilgili; I. $K-L$ levhaları arasındaki elektrik alanın büyüklüğü, $L-M$ levhaları arasındaki elektrik alanın büyüklüğünün yarısıdır. II. Parçacığın $L$ levhasındaki delikten geçiş kinetik enerjisi $E$ ise $M$ levhasına çarpma kinetik enerjisi $9E$ 'dir. III. Parçacığın $K$ levhasından $L$ 'ye ulaşma süresi, $L$ levhasından $M$ 'ye ulaşma süresine eşittir. yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Elektrik alan oranının 1/2 olduğunu, M levhasına çarpma kinetik enerjisinin 9E olduğunu ve her iki bölgede geçen sürelerin birbirine eşit olduğunu belirten 'I, II ve III' ifadesidir.

Tüm öncüller fiziksel olarak doğrudur. Elektrik alanların büyüklükleri oranı 1/2'dir. Yapılan iş potansiyel farkıyla doğru orantılı olduğundan L'de E, M'de ise 9E kinetik enerji kazanılır. Ortalama hızlar ve yollar oranlandığında her iki bölgede geçen sürelerin eşit olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Levhalar arasındaki düzgün elektrik alanların büyüklüklerini hesaplayınız.

E_{KL} = \frac{V}{d}

ve

E_{LM} = \frac{0 - (-8V)}{4d} = \frac{8V}{4d} = \frac{2V}{d}

'dir. Buradan

\frac{E_{KL}}{E_{LM}} = \frac{1}{2}

bulunur. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Paralel levhalar arasındaki düzgün elektrik alan

E = \frac{\Delta V}{d}

formülüyle bulunur.

2

Parçacığın L levhasından geçiş ve M levhasına çarpma kinetik enerjilerini iş-enerji teoremi ile bulunuz.

E_{k,L} = q(V_K - V_L) = q(V - 0) = qV = E

olur.

M

levhasında ise

E_{k,M} = q(V_K - V_M) = q(V - (-8V)) = 9qV = 9E

olur. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş, parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşittir (

W = q\Delta V = \Delta E_k

).

3

Parçacığın L ve M levhalarındaki hızlarını kinetik enerji cinsinden belirleyiniz.

E_{k,L} = E

ise

L

'deki hız

v_L = v

olsun.

E_{k,M} = 9E

ise

M

'deki hız

v_M = 3v

olur. Başlangıçta

K

levhasında parçacık durgundur (

v_K = 0

).

Kinetik enerji formülü

E_k = \frac{1}{2}mv^2

olduğundan, hız kinetik enerjinin kareköküyle doğru orantılıdır.

4

Her iki bölgede geçen süreleri ortalama hız kullanarak karşılaştırınız.

K-L

bölgesinde ortalama hız

v_{ort1} = \frac{0 + v}{2} = \frac{v}{2}

, yol

d

'dir. Süre

t_1 = \frac{d}{v/2} = \frac{2d}{v}

olur.

L-M

bölgesinde ortalama hız

v_{ort2} = \frac{v + 3v}{2} = 2v

, yol

4d

'dir. Süre

t_2 = \frac{4d}{2v} = \frac{2d}{v}

olur. Buradan

t_1 = t_2

bulunur. Dolayısıyla III. öncül de doğrudur.

Sabit ivmeli doğrusal harekette geçen süre, alınan yolun ortalama hıza bölünmesiyle (

t = \frac{x}{v_{ort}}

) hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Düzgün elektrik alanda yüklü parçacıkların ivmeli hareketi, yapılan iş ve enerji dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Süreleri karşılaştırmak için ortalama hız yerine doğrudan ivme ve kinematik formülleri de kullanılabilir. K-L bölgesinde ivme

a_1 = \frac{qE_1}{m} = \frac{qV}{md}

olup,

d = \frac{1}{2}a_1t_1^2

bağıntısından

t_1 = \sqrt{\frac{2d}{a_1}} = d\sqrt{\frac{2m}{qV}}

bulunur. L-M bölgesinde ivme

a_2 = \frac{qE_2}{m} = \frac{2qV}{md} = 2a_1

olur. Bu bölgede alınan yol olan

4d = v_L t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2

formülünde

v_L = a_1t_1

ve

a_2 = 2a_1

değerleri yerine yazıldığında,

4d = (a_1t_1)t_2 + a_1t_2^2

elde edilir.

d = \frac{1}{2}a_1t_1^2

eşitliğini kullanarak

t_2 = t_1

olduğu doğrulanabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2624Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir $(a_n)$ geometrik dizisi için,

a_5 - a_1 = 15

a_4 + a_2 = 10

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin altıncı terimi ( $a_6$ ) kaçtır?

8

16

24

32

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Dizinin altıncı terimi 32'dir.

Verilen denklem sisteminde terimler geometrik dizi tanımına uygun olarak ilk terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında, ortak çarpan

r = 2

ve ilk terim

a_1 = 1

olarak elde edilir. Bu bilgilerle dizinin altıncı terimi

a_6 = a_1 \cdot r^5 = 32

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin terimlerini ilk terim (

a_1

) ve ortak çarpan (

r

) cinsinden yazalım.

a_5 = a_1 \cdot r^4

,

a_4 = a_1 \cdot r^3

,

a_2 = a_1 \cdot r

ifadelerini elde ederiz.

Geometrik dizinin genel terim formülü

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

şeklindedir.

2

Verilen denklemleri ortak çarpan parantezine alarak taraf tarafa oranlayalım.

Taraf tarafa oranlama sonucunda

\frac{a_1(r^4-1)}{a_1 r(r^2+1)} = \frac{15}{10} \implies \frac{(r^2-1)(r^2+1)}{r(r^2+1)} = \frac{3}{2}

elde edilir. Buradan

\frac{r^2-1}{r} = \frac{3}{2}

olur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek

a_1

terimini yok etmek ama��lanır.

3

Elde edilen r'ye bağlı denklemi çözelim.

2r^2 - 3r - 2 = 0 \implies (2r + 1)(r - 2) = 0

olur. Terimler pozitif olduğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır, dolayısıyla

r = 2

seçilir.

Geometrik dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılardan oluştuğu belirtilmiştir.

4

İlk terim olan

a_1

değerini hesaplayalım.

a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 10 \implies 10 a_1 = 10 \implies a_1 = 1

bulunur.

a_4 + a_2 = 10

denkleminde

r = 2

yazılarak

a_1

değeri çekilir.

5

Dizinin altıncı terimi olan

a_6

değerini bulalım.

a_6 = a_1 \cdot r^5 = 1 \cdot 2^5 = 32

elde edilir.

Bulunan ilk terim ve ortak çarpan değerleri genel terim formülünde yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terim özellikleri ve terimler arasındaki cebirsel ilişkiler.

Soru 2625Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda verilen ve bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili olan özellikleri doğru bir şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x) = x^2 - 4x - 5

fonksiyonu koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatları toplamı

-1

olan parabol ile,

g(x) = -x^2 + 6x - 9

fonksiyonu

x

-eksenini kestiği tek nokta tepe noktası olan ve

y

-eksenini kestiği noktanın ordinatı

-9

olan parabol ile,

h(x) = 2x^2 + 4x + 3

fonksiyonu ise

x

-eksenini kesmeyen ve koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatları toplamı

3

olan parabol ile eşleşir.

Sol sütundaki fonksiyonların eksenleri kestiği noktalar incelendiğinde; ilk fonksiyon eksenleri

(0, -5)

,

(5, 0)

ve

(-1, 0)

noktalarında keserek koordinatlar toplamını

-1

yapar. İkinci fonksiyon

x

-eksenine

(3, 0)

tepe noktasında teğettir ve

y

-eksenini

(0, -9)

noktasında keser. Üçüncü fonksiyon ise diskriminantı negatif olduğundan

x

-eksenini kesmez ve

y

-eksenini

(0, 3)

noktasında keserek koordinatlar toplamını

3

yapar. Bu eşleştirmeler doğru ve tektir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 4x - 5

parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulalım.

y

-eksenini kestiği nokta:

x = 0

için

f(0) = -5

olup

(0, -5)

noktasıdır.

x

-eksenini kestiği noktalar:

f(x) = 0

için

x^2 - 4x - 5 = 0 \implies (x - 5)(x + 1) = 0

buradan

x = 5

ve

x = -1

bulunur. Noktalar

(5, 0)

ve

(-1, 0)

olur. Eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı:

0 + (-5) + 5 + 0 + (-1) + 0 = -1

olur. Bu durumda birinci fonksiyon birinci özellik ile eşleşir.

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve bunların toplamını hesaplamak için.

2

g(x) = -x^2 + 6x - 9

parabolünün eksenleri kestiği noktaları ve tepe noktasını inceleyelim.

y

-eksenini kestiği nokta:

x = 0

için

g(0) = -9

olup

(0, -9)

noktasıdır.

x

-eksenini kestiği noktalar:

g(x) = 0

için

-x^2 + 6x - 9 = 0 \implies -(x - 3)^2 = 0

buradan

x = 3

çift katlı kökü bulunur. Yani parabol

x

-eksenine

(3, 0)

noktasında teğettir. Bu nokta aynı zamanda parabolün tepe noktasıdır. Bu durumda ikinci fonksiyon ikinci özellik ile eşleşir.

Parabolün

x

-eksenine teğet olup olmadığını ve

y

-eksenini kestiği noktayı belirlemek için.

3

h(x) = 2x^2 + 4x + 3

parabolünün eksenleri kestiği noktaları inceleyelim.

y

-eksenini kestiği nokta:

x = 0

için

h(0) = 3

olup

(0, 3)

noktasıdır.

x

-eksenini kestiği noktalar:

h(x) = 0

için

2x^2 + 4x + 3 = 0

denkleminin diskriminantı incelenirse

\Delta = 4^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0

olur. Reel kök olmadığından parabol

x

-eksenini kesmez. Eksenleri kestiği tek nokta

(0, 3)

olup koordinatları toplamı

0 + 3 = 3

'tür. Bu durumda üçüncü fonksiyon üçüncü özellik ile eşleşir.

Parabolün

x

-eksenini kesip kesmediğini belirlemek ve koordinatlar toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması (

x = 0

için

y

-eksenini kestiği nokta,

y = 0

için

x

-eksenini kestiği noktalar) ve tepe noktasıyla ilişkisi.

Soru 2626Soru →

1'den farklı pozitif bir

x

gerçel sayısı için,

\log_3(x) \cdot \log_2(x) - \log_3(x^2) - \log_2(x^3) + 6 = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

13

17

31

35

108

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Eşitliği sağlayan

x

değerlerinin toplamı

31

'dir.

Verilen denklemde üs kuralı kullanılarak

\log_3(x^2) = 2\log_3(x)

ve

\log_2(x^3) = 3\log_2(x)

dönüşümleri yapıldığında denklem ortak çarpan parantezine alınabilecek duruma gelir. Gruplandırarak çarpanlara ayırma işlemiyle

(\log_3(x) - 3) \cdot (\log_2(x) - 2) = 0

denklemine ulaşılır. Buradan elde edilen

\log_3(x) = 3 \implies x = 27

ve

\log_2(x) = 2 \implies x = 4

değerlerinin toplamı

31

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritmanın üs özelli��ini (

\log_b(a^k) = k \cdot \log_b(a)

) uygulayarak denklemdeki üslü terimleri düzenlemek.

\log_3(x^2) = 2\log_3(x)

ve

\log_2(x^3) = 3\log_2(x)

olarak yazılır. Denklem şu hali alır:

\log_3(x) \cdot \log_2(x) - 2\log_3(x) - 3\log_2(x) + 6 = 0

Logaritma içerisindeki üsleri katsayı olarak başa alarak denklemi doğrusal logaritmik ifadeler cinsinden yazıp sadeleştirmek için.

2

Elde edilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırmak.

\log_3(x) \cdot (\log_2(x) - 2) - 3 \cdot (\log_2(x) - 2) = 0

(\log_3(x) - 3) \cdot (\log_2(x) - 2) = 0

elde edilir.

��arpım durumunda sıfıra eşit olan ifadeler yardımıyla her bir logaritmik terimin kökünü ayrı ayrı bulabilmek için.

3

Çarpanları sıfıra eşitleyip logaritma tanımını kullanarak

x

değerlerini bulmak ve toplamak.

\log_3(x) - 3 = 0 \implies \log_3(x) = 3 \implies x = 3^3 = 27

\log_2(x) - 2 = 0 \implies \log_2(x) = 2 \implies x = 2^2 = 4

Bulunan

x

değerlerinin toplamı:

27 + 4 = 31

Logaritma fonksiyonunun tersini alarak gerçel

x

değerlerine ulaşmak ve sorunun bizden istediği toplamı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda üs başa katsayı olarak atılır. Farklı tabanlardaki logaritma içeren ifadeler barındıran denklemler, ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle çarpanlarına ayrılarak çözülebilir.

Soru 2627Soru →

\log_{0,5}(x^2 - x - 2) \geq \log_{0,5}(x + 6)

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı

5

tir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur; eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir.

Logaritma tabanının 1'den küçük olması nedeniyle eşitsizlik yön değiştirir ve logaritmanın tanım kümesi gereği logaritması alınan ifadeler pozitif olmalıdır. Bu iki koşulun kesişimi alındığında tam sayı çözümlerin toplamı 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin tanım kümesi koşullarını belirleyin.

x^2 - x - 2 > 0 \implies (x - 2)(x + 1) > 0 \implies x < -1 \text{ veya } x > 2

ve

x + 6 > 0 \implies x > -6

olur. Bu iki koşulun kesişimi:

x \in (-6, -1) \cup (2, \infty)

aralığıdır.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin kesinlikle pozitif olması gerekir.

2

Taban özelliğine dikkat ederek eşitsizli��i çözün.

Taban

0,5 < 1

olduğundan eşitsizlik yön değiştirir:

x^2 - x - 2 \leq x + 6 \implies x^2 - 2x - 8 \leq 0 \implies (x-4)(x+2) \leq 0

Buradan çözüm aralığı

x \in [-2, 4]

olarak bulunur.

Logaritma tabanı

0

ile

1

arasında olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır; bu yüzden eşitsizlik karşılaştırılırken yön değiştirir.

3

Tanım kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesinin kesişimini bulun.

[-2, 4] \cap ((-6, -1) \cup (2, \infty)) = [-2, -1) \cup (2, 4]

elde edilir.

Bulunan cebirsel çözümlerin logaritma fonksiyonunu tanımsız yapmaması için her iki kümenin kesişimi alınmalıdır.

4

Çözüm kümesindeki tam sayıları belirleyin ve toplayın.

Tam sayılar:

-2, 3, 4

. Toplamları:

-2 + 3 + 4 = 5

olur.

Belirlenen çözüm kümesindeki

[-2, -1)

aralığından sadece

-2

,

(2, 4]

aralığından ise

3

ve

4

tam sayıları gelir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda yön değiştirme kuralı ve logaritma tanım kümesi sınırları

Soru 2628Soru →

Pozitif terimli ve artan bir $(a_n)$ geometrik dizisi için aşağıdaki eşitlikler verilmektedir:

a_2 + a_6 = 102

a_2 \cdot a_6 = 576

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanını ve ilk terimini bularak aşağıdaki boşlukları doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Dizinin ortak çarpanı ve ilk terimi olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2 ve ilk terimi 3 olarak bulunur.

Verilen toplam ve çarpım değerleri kullanılarak kurulan

x^2 - 102x + 576 = 0

denkleminin çözümüyle

a_2 = 6

ve

a_6 = 96

terimleri belirlenir. Bu değerler geometrik dizi formülünde yerine yazıldığında ortak çarpan 2 ve ilk terim 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen toplam ve çarpım eşitliklerini kullanarak

a_2

ve

a_6

terimlerini bulmak üzere ikinci dereceden bir denklem kuralım.

x^2 - 102x + 576 = 0

denkleminin kökleri

a_2

ve

a_6

değerlerini verir.

Toplamları

S

ve çarpımları

P

olan iki sayı

x^2 - Sx + P = 0

denkleminin kökleridir.

2

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım.

(x - 96)(x - 6) = 0 \implies x_1 = 96

ve

x_2 = 6

elde edilir. Dizi artan olduğundan

a_2 = 6

ve

a_6 = 96

olur.

Artan dizilerde indis büyüdükçe terimlerin değeri de artar, bu nedenle

a_2 < a_6

olmalıdır.

3

Geometrik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (

r

) hesaplayalım.

a_6 = a_2 \cdot r^4 \implies 96 = 6 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 \implies r = 2

bulunur.

Dizinin terimleri pozitif olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır (

r > 0

).

4

İlk terim olan

a_1

değerini bulalım.

a_2 = a_1 \cdot r \implies 6 = a_1 \cdot 2 \implies a_1 = 3

elde edilir.

Geometrik dizide her terim, bir önceki terimin ortak çarpanla çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin genel terimi

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

olup, dizinin herhangi iki terimi arasındaki ilişki

a_n = a_k \cdot r^{n-k}

formülü ile ifade edilir.

Soru 2629Soru →

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere,

x^2 - (a+1)x + a + 4 \leq 0

eşitsizliğini sağlayan yalnızca bir tane

x

ger��el sayısı olduğuna göre,

a

sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

-15

-8

2

8

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

-15

Verilen ikinci dereceden eşitsizliğin yalnızca bir gerçel sayı çözümü bulunması, bu ifadenin tam kare olmasıyla mümkündür. Dolayısıyla diskriminant sıfıra eşitlenerek

a^2 - 2a - 15 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri çarpımı

-15

olduğundan doğru cevap

-15

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin tek bir gerçel sayı çözümü olmasının koşulunu belirleme.

İkinci dereceden ifadenin diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır (

\Delta = 0

).

x^2

teriminin katsayısı pozitif (

1 > 0

) olduğundan, bu ifade kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir. Bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgenin tek bir elemandan oluşması, parabolün

x

eksenine teğet olması yani çift katlı köke sahip olması durumunda mümkündür.

2

Verilen ifadenin diskriminantını (

\Delta

) hesaplama.

\Delta = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a+4) = a^2 - 2a - 15

\Delta = b^2 - 4ac

formülünü uygulamak için

b = -(a+1)

ve

c = a+4

değerleri yerine konur.

3

Diskriminantı sıfıra eşitleyip

a

değerlerini bulma.

a^2 - 2a - 15 = 0 \Rightarrow (a-5)(a+3) = 0 \Rightarrow a = 5

veya

a = -3

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri elde ederiz.

4

Bulunan

a

değerlerinin çarpımını hesaplama.

5 \cdot (-3) = -15

Soruda bizden

a

parametresinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için baş katsayısı pozitif iken ifadenin tam kare (

\Delta = 0

) olması gerekir. Bu durumda eşitsizlik sadece teğet noktasında (çift katlı kökte) sağlanır.

Soru 2630Soru →

Azalan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{10} + a_{16} = 45

a_6 \cdot a_{14} - a_8 \cdot a_{12} = -108

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

42

45

-12

-15

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Dizinin ilk terimi 42'dir.

Verilen birinci eşitlikten indislerin aritmetik ortalaması kullanılarak onuncu terim 15 olarak hesaplanır. İkinci eşitlikte terimler onuncu terim cinsinden yazıldığında kareler farkı sadeleşmesiyle ortak farkın karesi 9 elde edilir. Dizinin azalan olması nedeniyle ortak fark -3 seçilir. Genel terim formülüyle birinci terim 42 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci denklemde indis simetrisi özelliğini kullanarak onuncu terimi bulunuz.

a_4 + a_{16} = 2a_{10}

olduğundan,

2a_{10} + a_{10} = 3a_{10} = 45 \Rightarrow a_{10} = 15

elde edilir.

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir.

2

İkinci denklemdeki terimleri onuncu terim ve ortak fark olan

r

cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.

a_6 = a_{10} - 4r

,

a_{14} = a_{10} + 4r

,

a_8 = a_{10} - 2r

ve

a_{12} = a_{10} + 2r

olarak yazılır. Buradan,

(a_{10} - 4r)(a_{10} + 4r) - (a_{10} - 2r)(a_{10} + 2r) = -108

(a_{10}^2 - 16r^2) - (a_{10}^2 - 4r^2) = -108

-12r^2 = -108 \Rightarrow r^2 = 9

bulunur.

Terimleri merkezi bir terime göre simetrik yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

3

Dizinin azalan olma koşulunu dikkate alarak ortak fark değerini belirleyiniz.

Dizi azalan olduğundan ortak fark negatif olmalıdır. Dolayısıyla

r = -3

olur.

Azalan aritmetik dizilerde ortak fark sıfırdan küçüktür.

4

Bulunan onuncu terim ve ortak fark değerlerini genel terim formülünde yerine yazarak birinci terimi hesaplayınız.

a_{10} = a_1 + 9r \Rightarrow 15 = a_1 + 9(-3) \Rightarrow 15 = a_1 - 27 \Rightarrow a_1 = 42

bulunur.

Aritmetik dizinin genel terimi

a_n = a_1 + (n-1)r

bağıntısıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı

Soru 2631Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir

(a_n)

geometrik dizisinde,

a_5 - a_1 = 30

a_4 + a_2 = 20

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Dizinin 6. terimi 64 olarak bulunur.

Verilen geometrik dizi denklemleri ortak paranteze alınıp birbirine oranlandığında ortak çarpan

r = 2

ve ilk terim

a_1 = 2

olarak elde edilir. Bu değerlerle dizinin 6. terimi

a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 32 = 64

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Geometrik dizinin terimlerini ilk terim

a_1

ve ortak çarpan

r

cinsinden yazma

a_5 = a_1 r^4

,

a_4 = a_1 r^3

ve

a_2 = a_1 r

Tüm terimleri aynı değişkenler türünden ifade ederek ortak çarpanı ve ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak amacıyla bu dönüşüm yapılır.

2

Terimleri denklemlerde yerine koyup ortak paranteze alarak oranlama

a_1(r^4 - 1) = 30

ve

a_1 r(r^2 + 1) = 20

ifadeleri oranlandığında

\frac{r^2 - 1}{r} = \frac{3}{2}

elde edilir. Buradan

2r^2 - 3r - 2 = 0

denkleminin pozitif kökü

r = 2

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek tek değişkenli bir denkleme indirgemek ve pozitif terimli dizi koşuluna uygun olan pozitif

r

değerini belirlemek için bu işlem gerçekleştirilir.

3

Ortak çarpan

r = 2

değerini kullanarak ilk terim

a_1

'i bulma

a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 20 \implies 10a_1 = 20 \implies a_1 = 2

Elde edilen ortak çarpan değerini ikinci denklemde yerine yazarak dizinin başlangıç terimini hesaplarız.

4

Geometrik dizinin genel terim formülü yardımıyla 6. terimi hesaplama

a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 2^5 = 64

Genel terim formülü olan

a_n = a_1 r^{n-1}

bağıntısında

n = 6

yazılarak istenen terimin değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terim formülü ve terimler arası cebirsel ilişkiler

Soru 2632Soru →

(a_n)

ve

(b_n)

dizileri, her

n \in \mathbb{Z}^+

için

a_n = \cos(n\pi) \cdot (2x - y) + x + 3y

b_n = \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) \cdot (x + 2) + 6

genel terimleriyle verilmektedir.

$(a_n)$ ve $(b_n)$ eşit iki dizi olduğuna göre, $x + y$ toplamının değeri kaçtır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizilerin eşitlik koşulu ve trigonometrik sadeleştirmeler kullanılarak elde edilen x = 3 ve y = 1 değerlerinin toplamı olan 4 sayısı doğru cevaptır.

Doğru cevabın 4 olmasının nedeni, her iki dizinin genel terimlerindeki

(-1)^n

katsayılarının eşitliğinden

x - y = 2

ve sabit terimlerin eşitliğinden

x + 3y = 6

denklemlerinin elde edilmesidir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

x = 3

ve

y = 1

bulunur, toplamları ise 4 yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Trigonometrik ifadeleri sadeleştirin.

\cos(n\pi) = (-1)^n

ve

\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = \cos(n\pi) = (-1)^n

eşitlikleri elde edilir.

Her iki dizideki

n

'e bağlı periyodik ifadeleri ortak bir tabanda yazmak için.

2

Dizilerin genel terimlerini

(-1)^n

türünden yeniden yazın.

a_n = (-1)^n(2x - y) + (x + 3y)

ve

b_n = (-1)^n(x + 2) + 6

olur.

Dizilerin terimlerini karşılaştırılabilir hale getirmek için.

3

Eşit dizilerin tanımını kullanarak katsayıları eşitleyin.

2x - y = x + 2 \implies x - y = 2

ve

x + 3y = 6

denklem sistemi elde edilir.

Her

n \in \mathbb{Z}^+

için

a_n = b_n

eşitliğinin sağlanması,

(-1)^n

teriminin katsayılarının ve sabit terimlerin karşılıklı eşit olmasını gerektirir.

4

Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen toplamı bulun.

y = 1

ve

x = 3

olarak bulunur. Buradan

x + y = 3 + 1 = 4

elde edilir.

Bilinmeyen

x

ve

y

parametrelerinin değerlerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşit olması için her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2633Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası

T

olan

f(x) = x^2 - 4x + a

parabolü ile tepe noktası

S

olan

g(x) = -x^2 + bx + 3

parabolü veriliyor.

Bu iki parabolün simetri eksenleri aynı doğru üzerindedir.

$T$ ve $S$ noktaları arasındaki uzaklık $6$ birim olduğuna göre, $a$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

a sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 22'dir.

Parabollerin simetri eksenleri olan

x = r_f

ve

x = r_g

doğrularının çakışık olmasından yola çıkılarak

r_f = 2

ve buradan

b = 4

bulunmuştur. Ardından tepe noktalarının ordinatları sırasıyla

a - 4

ve

7

olarak hesaplanmış, aralarındaki uzaklığın

6

birim olmasından

|a - 11| = 6

eşitliğine ulaşılmıştır. Bu eşitlikten

a

değerleri

17

ve

5

bulunmuş, toplamları ise

22

olarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 4x + a

parabolünün simetri eksenini bulunuz.

x = 2

doğrusudur.

Bir parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsisidir ve

r = -\frac{b}{2a}

formülüyle hesaplanır. Burada

r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2

olur.

2

g(x) = -x^2 + bx + 3

parabolünün simetri eksenini

f(x)

parabolünün simetri ekseni ile eşitleyerek

b

katsayısını bulunuz.

b = 4

bulunur.

Her iki parabolün simetri eksenleri aynı olduğundan,

g(x)

parabolünün simetri ekseni de

x = 2

doğrusudur. Buna göre,

r = -\frac{b}{2 \cdot (-1)} = 2 \implies b = 4

elde edilir.

3

Her iki parabolün tepe noktalarının koordinatlarını hesaplayınız.

T(2, a - 4)

ve

S(2, 7)

noktaları elde edilir.

f(2) = 2^2 - 4(2) + a = a - 4

olduğundan

f(x)

parabolünün tepe noktası

T(2, a - 4)

olur.

g(2) = -2^2 + 4(2) + 3 = 7

olduğundan

g(x)

parabolünün tepe noktası

S(2, 7)

olur.

4

Tepe noktaları arasındaki

6

birimlik uzaklık bilgisini kullanarak

a

değerlerini belirleyiniz.

a = 17

veya

a = 5

bulunur.

Apsisleri aynı olan

T(2, a - 4)

ve

S(2, 7)

noktaları arasındaki uzaklık, ordinatları farkının mutlak değeridir:

|(a - 4) - 7| = 6 \implies |a - 11| = 6

denkleminden

a - 11 = 6 \implies a = 17

ve

a - 11 = -6 \implies a = 5

bulunur.

5

a

değerlerinin toplamını bulunuz.

17 + 5 = 22

bulunur.

a

sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı

17 + 5 = 22

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseninin tepe noktasının apsisi olması (

x = r = -\frac{b}{2a}

) ve aynı apsise sahip iki nokta arasındaki uzaklığın ordinatların mutlak farkı şeklinde ifade edilmesi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2634Soru →

Şekildeki alternatif akım devresinde, alternatif gerilim kaynağının etkin gerilimi sabit tutulup frekansı artırılmaktadır. Buna göre, ideal bobinin indüktif reaktansı ( $X_L$ ) ve devrenin etkin akımı ( $I_{etkin}$ ) ilk durumuna göre nasıl değişir?

X_L

azalır,

I_{etkin}

artar

X_L

artar,

I_{etkin}

artar

X_L

artar,

I_{etkin}

azalır

X_L

değişmez,

I_{etkin}

değişmez

X_L

azalır,

I_{etkin}

azalır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_L$ artar, $I_{etkin}$ azalır

Cevap

İndüktif reaktans (

X_L

) artar, etkin akım (

I_{etkin}

) azalır.

Bobinin alternatif akım devrelerindeki direnci olan indüktif reaktans

X_L = 2\pi f L

bağıntısıyla bulunur. Kaynağın frekansı (

f

) artırıldığında indüktif reaktans da artar. Alternatif akım devreleri için Ohm Yasası yazıldığında,

V_{etkin} = I_{etkin} \cdot X_L

elde edilir. Kaynağın etkin gerilimi (

V_{etkin}

) sabit tutulduğuna göre, direnç görevi gören

X_L

arttığı için devrenin etkin akımı (

I_{etkin}

) azalır. Bu nedenle indüktif reaktansın artacağını, etkin akımın ise azalacağını ifade eden seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Bobinin alternatif akıma karşı gösterdiği direnç olan indüktif reaktans (

X_L

) formülü yazılır.

X_L = 2\pi f L

(veya

X_L = \omega L

) elde edilir.

Bobin direncinin frekansla olan ilişkisini belirlemek için.

2

Frekansın artırılmasının indüktif reaktans üzerindeki etkisi analiz edilir.

Formüldeki frekans (

f

) artırıldığında, doğru orantılı olarak indüktif reaktans (

X_L

) da artar.

Bobinin öz-indüksiyon katsayısı (

L

) sabit olduğundan, frekans artışı direnci artırır.

3

Ohm Yasası kullanılarak devrenin etkin akımındaki değişim bulunur.

V_{etkin} = I_{etkin} \cdot X_L

bağıntısında kaynağın etkin gerilimi (

V_{etkin}

) sabit tutulduğu için,

X_L

artarken etkin akım (

I_{etkin}

) azalmalıdır.

Gerilim sabitken akım ile direnç ters orantılıdır.

Anahtar Kavram

İndüktif reaktansın frekansa bağlılığı ve alternatif akım devrelerinde Ohm Yasası.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2635Soru →

Düşey kesiti şekilde verilen yatay paralel iki iletken levhadan üsttekinin potansiyeli $+60\text{ V}$ , alttakinin potansiyeli ise $-20\text{ V}$ olarak ayarlanmıştır. Levhalar arasındaki uzaklık $d = 0.2\text{ m}$ 'dir. Levhalar arasındaki bölgeye bırakılan $m = 0.4\text{ g}$ kütleli ve $q = -10\ \mu\text{C}$ yüklü noktasal bir parçacık serbest bırakılıyor.

Yer çekimi ivmesinin $g = 10\text{ m/s}^2$ olduğu ortamda, sürtünmeler önemsiz oldu��una göre parçacığa etki eden net kuvvetin büyüklüğü kaç $10^{-3}\text{ N}$ 'dur?

0

2

4

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Net kuvvetin büyüklüğü sıfırdır.

Elektriksel kuvvetin yukarı yönlü büyüklüğü

4 \times 10^{-3}\text{ N}

ve yer çekimi kuvvetinin aşağı yönlü büyüklüğü

4 \times 10^{-3}\text{ N}

'dur. Bu iki kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönlü olduğu için net kuvvet sıfır değerini alır.

Adım Adım Çözüm

1

Levhalar arasındaki potansiyel farkının hesaplanması

\Delta V = V_{ust} - V_{alt} = 60\text{ V} - (-20\text{ V}) = 80\text{ V}

Düzgün elektrik alan şiddetini bulmak için levhaların potansiyelleri farkı belirlenir.

2

Elektrik alanın büyüklüğünün ve yönünün bulunması

E = \frac{\Delta V}{d} = \frac{80\text{ V}}{0.2\text{ m}} = 400\text{ V/m}

(yukarıdan aşağıya doğru)

Elektrik alan artı yüklü (yüksek potansiyelli) levhadan eksi yüklü (alçak potansiyelli) levhaya doğrudur.

3

Elektriksel kuvvetin büyüklüğü ve yönünün hesaplanması

F_e = |q| \cdot E = (10 \times 10^{-6}\text{ C}) \times (400\text{ V/m}) = 4 \times 10^{-3}\text{ N}

(aşağıdan yukarıya do��ru)

Yükün işareti negatif olduğundan, elektriksel kuvvet elektrik alana zıt yönde etki eder.

4

Yer çekimi kuvvetinin hesaplanması

G = mg = (0.4 \times 10^{-3}\text{ kg}) \times (10\text{ m/s}^2) = 4 \times 10^{-3}\text{ N}

(aşağıya doğru)

Kütle çekim kuvveti düşey doğrultuda aşağıya doğrudur.

5

Net kuvvetin bulunması

F_{net} = F_e - G = 4 \times 10^{-3}\text{ N} - 4 \times 10^{-3}\text{ N} = 0\text{ N}

Zıt yönlü ve eşit büyüklükteki iki kuvvetin bileşkesi sıfırdır.

Anahtar Kavram

Düzgün elektrik alanda yüklü parçacıklara etki eden elektriksel kuvvet ile yer çekimi kuvvetinin dengesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2636Soru →

Yer çekimi ivmesinin sabit ve $g$ olduğu sürtünmesiz yalıtkan bir ortamda, aralarında $d$ uzaklığı bulunan yatay iletken paralel levhalar bir üretece bağlanarak yüklenmiştir. Bu levhalar arasında elektriksel kuvvet ile yer çekimi kuvvetinin etkisiyle hareketsiz dengede duran yüklü bir noktasal parçacık için, levhaları besleyen üreteç bağlantısı kesildikten sonra levhalar arasındaki uzaklık birbirine paralel kalacak şekilde $2d$ düzeyine çıkarılırsa parçacık son durumda da hareketsiz dengede kalır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Parçacık son durumda da hareketsiz dengede kalır.

Üreteç bağlantısı kesildiğinde paralel levhalardaki yük miktarı sabit kalır. İletken levhalar arasındaki elektrik alan levhaların yük yoğunluğuna bağlı olup levhalar arası uzaklıktan bağımsızdır. Bu yüzden levhalar arası uzaklık

2d

yapıldığında elektrik alan şiddeti (

E

) değişmez. Elektriksel kuvvet (

F_e = qE

) sabit kaldığından, parçacık üzerindeki net kuvvet sıfır olmaya devam eder ve parçacık dengede kalır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk durumdaki denge koşulunu yazma

qE = mg

(burada

E = \frac{V}{d}

)

Parçacık başlangıçta yatay levhalar arasında hareketsiz dengede olduğu için elektriksel kuvvet ile yer çekimi kuvveti zıt yönlü ve eşit büyüklüktedir.

2

Üreteç bağlantısı kesildikten sonraki yük durumunu analiz etme

Q = \text{sabit}

Üreteç devreden çıkarıldığında levhalardan yük akışı olamayacağından levhalardaki yük miktarı korunur.

3

Uzaklık

2d

yapıldığında elektrik alanın yeni değerini belirleme

E' = E = \frac{Q}{\varepsilon A}

Sonsuz genişlikte kabul edilen paralel levhalar arasındaki düzgün elektrik alan sadece yük yoğunluğuna bağlıdır ve levhalar arası uzaklıktan bağımsızdır.

4

Son durumdaki net kuvveti değerlendirme

F_{\text{net}} = qE' - mg = qE - mg = 0

Elektrik alan değişmediği için elektriksel kuvvet de değişmez ve yer çekimi kuvvetini tam olarak dengelemeye devam eder.

Anahtar Kavram

Paralel levhaların üreteçten ayrılması durumunda yükün korunumu ve düzgün elektrik alanın levhalar arası uzaklığa bağlı olmaması

Soru 2637Soru →

Sürtünmelerin ve basit makinelerin kendi ağırlıklarının önemsenmediği üç farklı düzenekte, özdeş $G$ ağırlıklı yükler sırasıyla aşağıdaki gibi dengelenmiştir:

- I. Düzenek: Eğik düzlem üzerindeki yük, düzleme paralel $F_1$ kuvvetiyle dengededir. Eğik düzlemin boyu $5h$ , yüksekliği $3h$ 'dir.
- II. Düzenek: Çıkrık düzeneğinde yük, çıkrık silindirine bağlı ipin ucunda olup çıkrık koluna dik uygulanan $F_2$ kuvvetiyle dengededir. Çıkrık kolunun uzunluğu $R$ , silindir yarıçapı $r$ ve $R = 3r$ 'dir.
- III. Düzenek: Desteğin arada olduğu, ağırlığı önemsiz kaldıraçta yükün desteğe olan uzaklığı $2d$ , kuvvete olan uzaklığı ise $5d$ 'dir. Yük, kaldıraca dik uygulanan $F_3$ kuvvetiyle dengededir.

Buna göre; bu düzeneklerin kuvvet kazançlarını ( $K_I$ , $K_{II}$ , $K_{III}$ ) en büyükten en küçüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

D��zeneklerin kuvvet kazançları en büyükten en küçüğe doğru sırasıyla II. Düzenek (Ç��krık), III. Düzenek (Kaldıraç) ve I. Düzenek (Eğik Düzlem) şeklindedir.

Çıkrık düzeneğinde kuvvet kazancı 3, kaldıraç düzeneğinde 2,5 ve eğik düzlem düzeneğinde yaklaşık 1,67 olduğundan kuvvet kazançlarının büyükten küçüğe doğru sıralaması II. Düzenek, III. Düzenek ve I. Düzenek şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Eğik düzlem düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplayınız.

K_I = \frac{G}{F_1}

oranı bulunur. Eğik düzlemde denge şartı

F_1 \times L = G \times h

şeklindedir. Buradan

F_1 \times 5h = G \times 3h \Rightarrow F_1 = \frac{3}{5}G

olur. Kuvvet kazancı ise

K_I = \frac{G}{F_1} = \frac{5}{3} \approx 1{}67

olarak elde edilir.

Eğik düzlem üzerindeki yükün ağırlığının düzleme paralel bileşeni ile dengeleyen kuvvet arasındaki ilişkiyi kurmak için.

2

Çıkrık düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplayınız.

K_{II} = \frac{G}{F_2}

oranı bulunur. Çıkrıkta tork dengesi yazılırsa:

F_2 \times R = G \times r

olur.

R = 3r

verildiğinden

F_2 \times 3r = G \times r \Rightarrow F_2 = \frac{G}{3}

olur. Kuvvet kazancı ise

K_{II} = \frac{G}{F_2} = 3

olarak elde edilir.

Çıkrık merkezine göre tork alarak uygulanan kuvvet ile yükün ağırlığı arasındaki oranı bulmak için.

3

Kaldıraç düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplayınız.

K_{III} = \frac{G}{F_3}

oranı bulunur. Desteğe göre tork dengesi yazılırsa:

F_3 \times 5d = G \times 2d

olur. Buradan

F_3 = \frac{2}{5}G = 0{}4G

elde edilir. Kuvvet kazancı ise

K_{III} = \frac{G}{F_3} = \frac{5}{2} = 2{}5

olarak bulunur.

Kaldıraçta destek noktasına göre tork dengesini kullanarak kuvvet kazancı bağıntısını elde etmek için.

4

Bulunan kuvvet kazancı değerlerini karşılaştırıp büyükten küçüğe sıralayınız.

K_{II} = 3

,

K_{III} = 2{}5

ve

K_I \approx 1{}67

değerleri karşılaştırıldığında sıralama

K_{II} > K_{III} > K_I

şeklinde gerçekleşir.

Düzeneklerin kuvvet kazançlarını sayısal büyüklüklerine göre sıralamak için.

Anahtar Kavram

Basit makinelerde kuvvet kazancı (

K

), yükün (

G

) sisteme uygulanan girişi kuvvetine (

F

) oranıdır (

K = \frac{G}{F}

). Sürtünmesiz sistemlerde bu oran aynı zamanda yoldan kayıp oranına karşılık gelir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2638Soru →

Sürtünmelerin ve havanın direncinin önemsenmediği bir ortamda, pozitif elektrik yüküyle yüklü, iletken $K$ ve $L$ küçük küreleri, yalıtkan ve eşit uzunluktaki iplerle tavandaki aynı noktaya asılmıştır. Sistem, sağa doğru yönelmiş düzgün ve yatay bir $\vec{E}$ elektrik alanı içerisindeyken küreler şekildeki gibi dengede kalmaktadır. Bu durumda $K$ küresinin bağlı olduğu ipin düşeyle yaptığı açı $\alpha$ , $L$ küresinin bağlı olduğu ipin düşeyle yaptığı açı ise $\beta$ olmaktadır.

$\alpha = \beta$ olduğuna göre;

I. $L$ küresinin kütlesi, $K$ küresinin kütlesinden büyüktür.
II. $K$ küresinin elektrik yükü, $L$ küresinin elektrik yükünden büyüktür.
III. Elektrik alan sıfırlanıp küreler yeniden dengeye geldiğinde iplerin düşeyle yaptığı açılar $\alpha'$ ve $\beta'$ oluyorsa $\alpha' > \beta'$ olur.

yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

L küresinin kütlesinin K küresinin kütlesinden büyük olduğunu ve elektrik alan kaldırıldığında K küresinin ipinin düşeyle yaptığı açının L küresininkinden büyük olacağını belirten I ve III yargıları kesinlikle doğrudur.

Yalnız birinci ve üçüncü ifadelerin doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur. Çünkü açıların eşitliği ve yüklerin pozitifliği, sağa doğru olan elektrik alanın K küresini içeri doğru (düşeye doğru) çeken, L küresini ise dışarı doğru iten bir net yatay kuvvete yol açtığını gösterir. Bu durum, L küresinin kütlesinin kesinlikle K küresinin kütlesinden büyük olmasını gerektirir (

m_L > m_K

). Elektrik alan kaldırıldığında ise yalnızca karşılıklı eşit elektriksel kuvvetler kalacağı için kütlesi küçük olan K küresi düşeyle daha büyük bir açı yapacaktır (

\alpha' > \beta'

).

Adım Adım Çözüm

1

Kürelerin dengede olduğu durumdaki yatay ve düşey kuvvetleri belirleyip denge denklemlerini yazın.

K

küresi için

\tan\alpha = \frac{F_c - q_K E}{m_K g}

ve

L

küresi için

\tan\beta = \frac{F_c + q_L E}{m_L g}

bağıntıları elde edilir. Burada

F_c

, iki küre arasındaki etki-tepki çifti olan elektriksel itme kuvvetidir.

Kürelerin yatay doğrultuda dengede kalabilmesi için elektriksel kuvvetlerin ve ip gerilmesinin yatay bileşenlerinin dengelenmesi gerekir.

2

Açıların eşitliği bilgisini kullanarak kürelerin kütlelerini kıyaslayın.

\alpha = \beta

olduğundan

\tan\alpha = \tan\beta

olur. Buradan

\frac{F_c - q_K E}{m_K g} = \frac{F_c + q_L E}{m_L g}

eşitliği yazılır.

q_K

ve

q_L

pozitif olduğundan

F_c + q_L E > F_c - q_K E

olur. Eşitliğin sağlanabilmesi için

m_L > m_K

olmalıdır.

Açıların eşit olması, birim kütleye dü��en net yatay elektriksel kuvvetlerin eşit olmasını gerektirir.

3

Kürelerin yük miktarları arasındaki ilişkiyi analiz edin.

Elde edilen denge denkleminde kütleler ve yükler bilinmediğinden,

q_K

ve

q_L

yüklerinin büyüklükleri hakkında kesin bir karşılaştırma yapılamaz.

Tek bir denklemde birden fazla bilinmeyen olduğundan yük miktarları bağımsız olarak değişebilir.

4

Elektrik alan sıfırlandığındaki yeni denge durumunu analiz edin.

E = 0

olduğunda yeni açılar için

\tan\alpha' = \frac{F_c'}{m_K g}

ve

\tan\beta' = \frac{F_c'}{m_L g}

yazılır.

m_L > m_K

olduğu için

\tan\alpha' > \tan\beta'

ve dolayısıyla

\alpha' > \beta'

olur.

Elektrik alan sıfırlandğında kürelere etki eden tek yatay kuvvet karşılıklı elektriksel itme kuvvetidir. Bu kuvvetler eşit büyüklükte olduğundan kütlesi küçük olan küre daha fazla sapacaktır.

Anahtar Kavram

Elektriksel kuvvet, düzgün elektrik alanda yüklü cisimlere etki eden kuvvet ve statik denge prensipleri.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2639Soru →

Alternatif akım kaynağına seri bağlı $R$ direnci, indüktansı $L$ olan ideal bobin ve sığası $C$ olan sığaçtan oluşan devrenin frekansı $f$ 'dir. Bu durumda bobinin indüktif reaktansı $X_L$ , sığacın kapasitif reaktansı ise $X_C$ 'dir. Kaynağın etkin gerilimi sabit tutulup frekansı artırıldığında devreden geçen etkin akımın arttığı gözleniyor.

Buna göre, başlangıçtaki durum için;

I. $X_C > X_L$ 'dir.
II. Devre rezonans halindedir.
III. Frekans artırıldığında sığacın kapasitif reaktansı azalmıştır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III

Doğru cevap olan 'I ve III' ifadesinin gerekçesi şudur: Alternatif akım kaynağının frekansı (

f

) artırıldığında, sığacın kapasitif reaktansı

X_C = \frac{1}{2\pi f C}

formülü uyarınca azalır. Bu durum üçüncü öncülü doğrular. Aynı zamanda, kaynağın etkin gerilimi sabitken devreden geçen etkin akımın artması, devrenin toplam direnci olan empedansın (

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

) azaldığı anlamına gelir. Empedansın azalabilmesi için

X_L

ve

X_C

değerlerinin birbirine yaklaşması gerekir. Frekansın artmasıyla

X_L

artıp

X_C

azaldığından, bu iki değerin birbirine yaklaşabilmesi ancak başlangıçta kapasitif reaktansın indüktif reaktanstan büyük olması (

X_C > X_L

) ile mümkündür; bu da birinci öncülü doğrular. Devre başlangıçta rezonansta olsaydı empedans en küçük değerinde olacağından frekans değişimi akımı azaltırdı.

Adım Adım Çözüm

1

Frekansın indüktif ve kapasitif reaktanslar üzerindeki etkisini belirleme

Frekans (

f

) artırıldığında, bobinin indüktif reaktansı

X_L = 2\pi f L

formülüne göre artar; sığacın kapasitif reaktansı ise

X_C = \frac{1}{2\pi f C}

formülüne göre azalır. Bu durum III. öncül��n doğru olduğunu gösterir.

Alternatif akım devre elemanlarının reaktanslarının frekansa bağlılığını analiz etmek.

2

Akım ve empedans ilişkisini inceleme

Etkin gerilim (

V_e

) sabitken etkin akımın (

I_e

) artması, Ohm Yasası (

I_e = \frac{V_e}{Z}

) uyarınca empedansın (

Z

) azaldığın�� gösterir. Seri RLC devresinin empedansı

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

formülü ile bulunur. Empedansın azalması için

|X_L - X_C|

farkının küçülmesi gerekmektedir.

Etkin akımdaki artışın devrenin toplam direnci olan empedans üzerindeki etkisini belirlemek.

3

Başlangıçtaki reaktans ilişkisini saptama ve rezonans durumunu değerlendirme

Frekans artarken

X_L

artıp

X_C

azaldığına göre, bu değerlerin birbirine yaklaşması ve farkın küçülmesi ancak başlangıçta kapasitif reaktansın indüktif reaktanstan büyük olması yani

X_C > X_L

olması durumunda mümkündür (I. öncül doğru). Eğer başlangıçta devre rezonansta (

X_L = X_C

) olsaydı, empedans minimum değerinde (

Z = R

) olurdu ve frekans değişimi empedansı artırarak akımı azaltırdı (II. öncül yanlış).

Empedanstaki azalışın fiziksel koşulunu belirleyerek başlangıç reaktans ilişkisini doğrulamak.

Anahtar Kavram

Alternatif akım devrelerinde frekansın reaktanslar, empedans ve etkin akım üzerindeki etkisi ile rezonans şartı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2640Soru →

Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve tabanları 1'den farklı olan

a

,

b

ve

c

sayıları arasında

\log_a(bc) = 3

\log_{ab}(c) = \frac{1}{2}

bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, $\log_b a$ ifadesinin eşiti kaçtır?

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

\frac{5}{3}

\frac{3}{5}

\frac{4}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{5}$

Cevap

3/5

Doğru yanıt olan 3/5 değeri, verilen iki bağıntının taban değiştirme kuralları yardımıyla a tabanına çevrilip birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sistemine dönüştürülmesi ve bu sistemin çözülmesiyle elde edilen değerin çarpmaya göre tersinin alınmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk eşitlik olan

\log_a(bc) = 3

ifadesini logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak düzenleyin.

\log_a b + \log_a c = 3

elde edilir.

Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda (bu durumda a tabanında) yazarak sistem oluşturmak.

2

İkinci eşitlik olan

\log_{ab}(c) = \frac{1}{2}

ifadesini a tabanında taban değiştirme kuralına göre açın.

\log_{ab}(c) = \frac{\log_a c}{\log_a(ab)} = \frac{\log_a c}{1 + \log_a b} = \frac{1}{2} \implies 1 + \log_a b = 2\log_a c

elde edilir.

Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak tabanı ab olan ifadeyi a tabanına dönüştürmek.

3

Elde edilen denklemleri

\log_a b = u

ve

\log_a c = v

değişken dönüşümüyle çözün.

u + v = 3

ve

1 + u = 2v

sisteminden

u = 3 - v

yazılıp ikinci denklemde yerine konursa;

1 + (3 - v) = 2v \implies 4 = 3v \implies v = \frac{4}{3}

ve

u = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}

olarak bulunur.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek logaritmik değerleri hesaplamak.

4

Hesaplanan

u = \log_a b = \frac{5}{3}

değerini kullanarak

\log_b a

değerini bulun.

\log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}

elde edilir.

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

taban değiştirme özelliğini uygulamak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Tahmini Süre:2m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm