Tüm alıştırma soruları

Bir

(a_n)

pozitif gerçel sayı dizisinde,

a_1 = 2^{\frac{1}{8}}

ve her

n \geq 1

pozitif tam sayısı için

a_{n+1} = a_n \cdot 2^{\frac{1}{n(n+1)}}

indirgeme bağıntısı veriliyor.

Buna göre, bu dizinin 8. terimi olan $a_8$ kaçtır?

2^{\frac{7}{8}}

2

2^{\frac{7}{64}}

2^{-\frac{3}{4}}

2^{\frac{9}{8}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

Dizinin 8. terimi olan

a_8

değeri 2'dir.

Verilen bağıntının her iki tarafının 2 tabanına göre logaritması alındığında

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

şeklinde teleskopik bir toplam elde edilir.

n=1

ile

n=7

arasındaki terimler taraf tarafa toplandığında

b_8 - b_1 = \frac{7}{8}

bağıntısına ulaşılır.

b_1 = \frac{1}{8}

değeri eklendiğinde

b_8 = 1

bulunur ve bu da

a_8 = 2

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

İndirgeme bağıntısının her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.

\log_2(a_{n+1}) = \log_2\left(a_n \cdot 2^{\frac{1}{n(n+1)}}\right) \implies \log_2(a_{n+1}) = \log_2(a_n) + \frac{1}{n(n+1)}

Çarpım durumundaki indirgeme bağıntıs��nı, teleskopik olarak toplanabilecek bir biçime dönüştürmek için logaritma özellikleri kullanılır.

2

b_n = \log_2(a_n)

tanımlaması yaparak yeni dizinin bağıntısını ve başlangıç terimini belirleyin.

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)}

Başlangıç terimi için:

b_1 = \log_2(a_1) = \log_2\left(2^{\frac{1}{8}}\right) = \frac{1}{8}

İfadeyi daha sade ve doğrusal bir indirgemeli dizi halinde yazmak çözüm sürecini kolaylaştırır.

3

\frac{1}{n(n+1)}

ifadesini basit kesirlerin farkı olarak yazıp

n=1

ile

n=7

değerleri için yazarak taraf tarafa toplayın.

\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

b_2 - b_1 = 1 - \frac{1}{2}

b_3 - b_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}

\vdots

b_8 - b_7 = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}

Taraf tarafa toplandığında:

b_8 - b_1 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

Ardışık terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak

b_8

değerini doğrudan

b_1

cinsinden hesaplamak amaçlanır.

4

b_1 = \frac{1}{8}

değerini yerine yazarak

b_8

ve ardından

a_8

değerini bulun.

b_8 = b_1 + \frac{7}{8} = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = 1

b_8 = \log_2(a_8) = 1 \implies a_8 = 2^1 = 2

Tanımlanan yardımcı dizinin teriminden yararlanarak orijinal dizinin hedeflenen terimine geri dönülür.

Anahtar Kavram

Logaritma yardımıyla çözülebilen çarpımsal indirgemeli diziler ve rasyonel ifadelerde teleskopik toplam uygulaması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2602Soru →

Yer çekimi ivmesinin yalnızca yer yüzeyinden yükseldikçe azaldığı bir ortamda, yatay olarak dengelenmiş homojen bir çubuğun kütle merkezi ile ağırlık merkezi çakışık iken; bu çubuk düşey konuma getirildiğinde ağırlık merkezi kütle merkezinin altında kalır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Yatay durumda yer çekimi ivmesi çubuğun her noktasında aynı olduğundan merkezler çakışır; düşey durumda ise alt kısımlardaki yer çekimi ivmesi daha büyük olduğundan ağırlık merkezi kütle merkezinin altına kayar.

Yatay konumda çubuğun her noktası yer yüzeyinden aynı yükseklikte olduğu için üzerindeki yer çekimi ivmesi sabittir ve kütle merkezi ile ağırlık merkezi aynı noktadadır. Düşey konumda ise yer yüzeyine yakın olan alt bölümlerdeki yer çekimi ivmesi daha büyük olduğundan ağırlık merkezi kütle merkezinin altına kayar.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay konumdaki çubuğun kütle ve ağırlık merkezi ilişkisini analiz etmek.

Yatay konumda çubuğun her noktası yer yüzeyinden aynı yükseklikte olduğundan, çubuğun üzerindeki her bir kütle elemanına etki eden yer çekimi ivmesi (

g

) aynıdır. Dolayısıyla, kütle dağılımı ile ağırlık dağılımı birebir eşleşir ve kütle merkezi ile ağırlık merkezi tam orta noktada çakışır.

Yatay doğrultuda yükseklik değişmediğinden yer çekimi ivmesinde bir değişim meydana gelmez.

2

Düşey konumdaki çubuğun kütle ve ağırlık merkezi ilişkisini analiz etmek.

Düşey konumda yer yüzeyine yakın olan alt kısımlarda yer çekimi ivmesi (

g_{\text{alt}}

) daha büyüktür, üst kısımlarda ise (

g_{\text{üst}}

) daha küçüktür. Ağırlık merkezinin konumu kütle merkezinin altına kayar.

Yer çekimi ivmesinin yükseklikle azalması, düşey konumdaki cismin alt kısımlarının birim kütle başına daha fazla ağırlığa sahip olmasına neden olur.

Anahtar Kavram

Kütle merkezi cismin kütle dağılımına bağlı bir özellik olup yer çekimi alanından bağımsızdır; ağırlık merkezi ise yer çekimi ivmesinin büyüklüğüne ve yönüne bağlı olarak değişebilir.

Soru 2603Soru →

(a_n)

bir aritmetik dizi olmak üzere, her

n \ge 1

pozitif tam sayısı için

(b_n)

dizisi

b_n = a_{2n+1}

biçiminde tanımlanıyor.

a_5 + b_8 = 20

a_8 + b_5 = 26

olduğuna göre,

(b_n)

dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

90

170

80

210

160

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80

Verilen tanımlardan hareketle

(b_n)

dizisinin terimleri

(a_n)

cinsinden ifade edildiğinde

a_5 + a_{17} = 20

elde edilir. İndis özellikleri kullanılarak

a_{11} = 10

bulunur. İkinci denklemden

a_8 = 16

ve dizinin ortak farkı

r = -2

olarak bulunur.

(b_n)

dizisinin ilk 10 terim toplamı için sınır değerleri olan

b_1 = a_3 = 26

ve

b_{10} = a_{21} = -10

hesaplanır. Aritmetik dizi toplam formülünden doğru yanıt 80 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

(b_n)

dizisinin terimlerini

(a_n)

dizisi cinsinden yazarak denklemleri düzenlemek.

b_5 = a_{11}

ve

b_8 = a_{17}

bulunur. Buradan denklemler;

a_5 + a_{17} = 20

a_8 + a_{11} = 26

haline gelir.

(b_n) = a_{2n+1}

tanımı gereği

n=5

için

b_5 = a_{11}

ve

n=8

için

b_8 = a_{17}

eşitlikleri elde edilir.

2

Aritmetik dizilerde indisler toplamının eşitliği özelliğini kullanarak

a_{11}

terimini bulmak.

a_5 + a_{17} = 2a_{11} \implies 2a_{11} = 20 \implies a_{11} = 10

elde edilir.

Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir (

5 + 17 = 11 + 11 = 22

olduğundan

a_5 + a_{17} = a_{11} + a_{11}

).

3

İkinci denklemde

a_{11}

değerini yerine yazarak

a_8

terimini ve dizinin ortak farkı

r

değerini bulmak.

a_8 + 10 = 26 \implies a_8 = 16

olur.
Ortak fark

r

için:

a_{11} = a_8 + 3r \implies 10 = 16 + 3r \implies 3r = -6 \implies r = -2

bulunur.

Dizinin ardışık olmayan terimleri arasındaki ilişkiyi kurarak ortak farkı elde etmek için

a_k = a_p + (k-p)r

bağıntısı kullanılır.

4

(b_n)

dizisinin ilk terimi

b_1

ve 10. terimi

b_{10}

değerlerini hesaplamak.

b_1 = a_3 = a_{11} - 8r = 10 - 8(-2) = 26

b_{10} = a_{21} = a_{11} + 10r = 10 + 10(-2) = -10

bulunur.

(b_n)

dizisinin terimlerinin toplamını bulmak için sınır değerleri olan ilk ve son terimleri

(a_n)

dizisi üzerinden hesaplarız.

5

Aritmetik dizi toplam formülünü uygulayarak

(b_n)

dizisinin ilk 10 teriminin toplamını hesaplamak.

S'_{10} = \frac{10}{2} (b_1 + b_{10}) = 5(26 - 10) = 5 \cdot 16 = 80

elde edilir.

İlk terimi ve son terimi bilinen bir aritmetik dizinin ilk

n

terim toplamı

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark hesabı ve ilk n terim toplamı formülü

Soru 2604Soru →

Sürtünmelerin ve yerçekiminin ihmal edildiği bir ortamda, aralarındaki uzaklık $d$ olan paralel iki iletken levha, gerilimi $V$ olan bir üretece bağlanarak yükleniyor. Bu durumda artı yüklü levhanın yakınından serbest bırakılan $+q$ yüklü, $m$ kütleli bir parçacık karşı levhaya $t$ sürede $v$ hızıyla ulaşmaktadır.

Levhalar, üzerlerindeki yük miktarı korunacak şekilde üreteçten ayrıldıktan sonra levhalar arasındaki uzaklık $2d$ yapılıyor. Aynı parçacık tekrar artı yüklü levhanın yakınından serbest bırakılıyor.

Buna göre, yeni durumda;

I. Levhalar arasındaki elektrik alanın büyüklüğü değişmez.
II. Parçacığın karşı levhaya ulaşma süresi $\sqrt{2}t$ olur.
III. Parçacığın karşı levhaya çarpma hızı $\sqrt{2}v$ olur.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III

Levhalar üreteçten ayrıldıktan sonra yük miktarı korunduğu için elektrik alan şiddeti uzaklığa bağlı olmaksızın sabit kalır. Elektrik alan sabit olduğundan parçacığa etki eden kuvvet ve ivme de değişmez. Parçacığın aldığı yol iki katına çıktığında, ivmeli hareket formülleri gereği hem karşı levhaya ulaşma süresi hem de karşı levhaya çarpma hızı başlangıçtaki değerlerinin kök iki katına çıkar. Dolayısıyla her üç öncül de doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Levhaların üreteçten ayrıldıktan sonraki yük durumunu ve elektrik alanı analiz etmek.

Levhalar üreteçten ayrıldığı için üzerlerindeki net yük (

Q

) korunur. Paralel levhalar arasındaki elektrik alan formülü

E = \frac{Q}{\epsilon_0 A}

olduğundan, levhalar arasındaki uzaklığın (

d

) artırılması elektrik alan şiddetini değiştirmez. Yeni elektrik alan yine

E

olur. (I. öncül doğrudur)

Elektriksel yükün korunumu ilkesini ve paralel levhalar arasındaki düzgün elektrik alanın bağlı olduğu değişkenleri belirlemek için.

2

Parçacığın ivmesini ve karşı levhaya ulaşma süresini hesaplamak.

Parçacığa etki eden elektriksel kuvvet

F = qE

ve Newton'ın ikinci yasasına göre ivmesi

a = \frac{qE}{m}

olur. Elektrik alan (

E

) değişmediği için ivme (

a

) da değişmez. Parçac��ğın karşı levhaya ulaşma süresi

x = \frac{1}{2}at^2

formülünden

t = \sqrt{\frac{2x}{a}}

olur. İlk durumda yol

d

iken süre

t = \sqrt{\frac{2d}{a}}

'dır. İkinci durumda yol

2d

olduğuna göre yeni süre

t' = \sqrt{\frac{2(2d)}{a}} = \sqrt{2}t

olur. (II. öncül doğrudur)

Sabit ivmeli hareket denklemlerini kullanarak zaman değişimini belirlemek için.

3

Parçacığın karşı levhaya çarpma hızını hesaplamak.

Zamansız hız formülü

v^2 = 2ax

yardımıyla karşı levhaya çarpma hızı

v = \sqrt{2ax}

olarak ifade edilir. İlk durumda

v = \sqrt{2ad}

iken ikinci durumda yol

2d

olduğundan yeni hız

v' = \sqrt{2a(2d)} = \sqrt{2}v

olur. (III. öncül doğrudur)

Yapılan elektriksel işin kinetik enerjideki değişime eşit olması veya sabit ivmeli hareket bağıntılarını kullanarak son hızı bulmak için.

Anahtar Kavram

Düzgün Elektrik Alanda Yüklü Parçacıkların Hareketi ve Elektriksel İş

Soru 2605Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = -x^2 + kx + p

fonksiyonunun grafiği olan parabol koordinat eksenlerini

A(0, 3)

,

B(x_1, 0)

ve

C(x_2, 0)

noktalarında kesmektedir.

$x_1 < 0 < x_2$ ve $|OB| = 3|OC|$ olduğuna göre, $k + p$ toplamı kaçtır?

-5

-1

3

5

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.

Parabolün eksenleri kestiği noktalardan hareketle, y-eksenini kestiği nokta olan A(0, 3) değeri denklemde yerine yazıldığında p = 3 bulunur. x-eksenini kestiği noktaların orijine olan uzaklık oranlarından x_1 = -3x_2 ilişkisi kurulur. Kökler çarpımı formülünden x_1 * x_2 = -3 olduğu bilinir. Bu iki bağıntı ortak çözüldüğünde pozitif kök 1, negatif kök ise -3 olarak bulunur. Kökler toplamı k = x_1 + x_2 = -2 olduğundan, k + p = -2 + 3 = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün y-eksenini kestiği noktayı kullanarak p parametresini bulunuz.

p = 3

Parabol y-eksenini

A(0, 3)

noktasında kestiği için

f(0) = 3

olmalıdır. Denklemde

x = 0

yazıldığında

f(0) = p \implies p = 3

elde edilir.

2

Köklerin geometrik uzaklık ilişkisinden yararlanarak kökler arasındaki bağıntıyı kurunuz.

x_1 = -3x_2

B(x_1, 0)

ve

C(x_2, 0)

noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla

|OB| = -x_1

(çünkü

x_1 < 0

) ve

|OC| = x_2

(çünkü

x_2 > 0

) şeklindedir.

|OB| = 3|OC| \implies -x_1 = 3x_2 \implies x_1 = -3x_2

olur.

3

Kökler çarpımı formülünü kullanarak köklerin değerlerini hesaplayınız.

x_2 = 1

ve

x_1 = -3

İkinci dereceden denklemde kökler çarpımı

x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{-1} = -p = -3

olur.

x_1 = -3x_2

bağıntısı yerine yazılırsa:

-3x_2^2 = -3 \implies x_2^2 = 1

elde edilir.

x_2 > 0

olduğundan

x_2 = 1

ve dolayısıyla

x_1 = -3

bulunur.

4

Kökler toplamı formülünü kullanarak k değerini hesaplayınız ve ardından k+p toplamını bulunuz.

k = -2

ve

k + p = 1

Kökler toplamı

x_1 + x_2 = \frac{-k}{-1} = k

formülü ile bulunur. Buradan

k = -3 + 1 = -2

elde edilir. Sonuç olarak

k + p = -2 + 3 = 1

bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar, ikinci dereceden denklemin kökleri ile y-keseni arasındaki ilişkiyi belirler. x-eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan köklerdir ve kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler (toplam ve çarpım) bu noktaların analitik özelliklerini çözmekte kullanılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2606Soru →

Aşağıda sol sütunda koordinat eksenlerini kestikleri noktalarla ilgili bazı geometrik ve cebirsel özellikleri verilen paraboller, sağ sütunda ise bu parabollerdeki bilinmeyen parametrelerin değerleri yer almaktadır.

Buna göre, sol sütundaki ifadeler ile sağ sütundaki doğru değerleri eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci ifade

4

değeriyle, ikinci ifade

6

değeriyle, üçüncü ifade ise

5

değeriyle eşleşir.

Verilen geometrik ve cebirsel koşullar çözüldüğünde;

f(x)

parabolünün alan koşulunu sağlayan pozitif

m

değeri

4

,

g(x)

parabolünün kök ilişkisini sağlayan

n

değeri

6

, ve

h(x)

parabolünün simetrik reel kök şartını sağlayan

k

değeri

5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci parabolün eksenleri kestiği noktaları bulup alanı

24\text{ br}^2

olan üçgenin alan bağıntısını oluşturalım.

f(x) = (x-m)(x+2)

parabolü

x

-eksenini

m

ve

-2

noktalarında keser.

y

-eksenini ise

(0, -2m)

noktasında keser. Üçgenin alanı

\frac{1}{2} \cdot (m+2) \cdot 2m = 24 \implies m(m+2) = 24

olur. Buradan pozitif

m

değeri

4

bulunur.

Eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı

x

-ekseni üzerinde olup uzunluğu

|m - (-2)|

, yüksekliği ise

y

-ekseni üzerinde olup uzunluğu

|-2m|

'dir.

2

İkinci parabol için kökler toplamı ve çarpımını bulup verilen rasyonel ifadede yerine yazalım.

x_1 + x_2 = 4

ve

x_1 x_2 = \frac{n}{2}

değerleri

\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{4}{n/2} = \frac{8}{n}

olarak bulunur.

\frac{8}{n} = \frac{4}{3} \implies n = 6

elde edilir.

Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı, kökler toplamının kökler çarpımına oranına eşittir.

3

Üçüncü parabolün

x

-eksenini kestiği noktaların simetriklik ve gerçeklik şartlarını inceleyelim.

Kökler toplamı sıfır olacağından

k^2 - 4k - 5 = 0 \implies k = 5

veya

k = -1

elde edilir. Kökler çarpımı

-2k+3 < 0 \implies k > 1.5

olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek değer

k = 5

'tir.

Köklerin orijine göre simetrik olabilmesi için kökler toplamı sıfır ve kökler çarpımı negatif olmalıdır (aksi takdirde kökler reel olmaz).

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların cebirsel ve geometrik yorumu ile kök özellikleri

Soru 2607Soru →

Bir $(a_n)$ dizisinde, $a_1 = 6$ ve her $n \geq 1$ pozitif tam sayısı için

a_{n+1} - a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, $a_{41}$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dizinin 41. teriminin değeri 10'dur.

Bağıntıda paydanın eşleniğiyle genişletilmesi sonucunda

a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}

elde edilir.

n=1

'den

40

'a kadar taraf tarafa toplama yapıldığında aradaki terimler birbirini yok eder ve geriye

a_{41} - a_1 = \frac{9-1}{2} = 4

kalır.

a_1 = 6

başlangıç koşulu eklendiğinde

a_{41} = 10

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İndirgeme bağıntısının sağ tarafındaki terimi paydadan kurtarmak için eşleniği olan

(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})

ile çarpalım.

a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}

Eşlenik çarpımı yapıldığında payda

(2n+1) - (2n-1) = 2

olur ve sadeleştirme kolaylaşır.

2

n

yerine sırasıyla

1

ve

40

arasındaki tam sayı değerlerini yazalım.

n=1 \implies a_2 - a_1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}

n=2 \implies a_3 - a_2 = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}

\dots

n=40 \implies a_{41} - a_{40} = \frac{\sqrt{81} - \sqrt{79}}{2}

Teleskobik toplam yöntemiyle aradaki terimleri birbirini götürecek şekilde düzenlemek hedeflenir.

3

Elde edilen 40 adet eşitliği taraf tarafa toplayalım.

a_{41} - a_1 = \frac{\sqrt{81} - 1}{2}

Sol taraftaki

a_2, a_3, \dots, a_{40}

terimleri birbirini sadeleştirir; sağ tarafta ise ardışık köklü ifadelerden sadece ilk terimin negatif kökü ile son terimin pozitif kökü kalır.

4

Kök dışına çıkarma işlemini yapalım ve

a_1 = 6

değerini yerine koyarak

a_{41}

terimini yalnız bırakalım.

a_{41} - 6 = \frac{9 - 1}{2} = 4 \implies a_{41} = 10

a_1

değeri bilindiğinden denklem çözülerek istenen terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Teleskobik toplam yöntemi ve köklü ifadelerde eşlenik çarpımı kullanarak indirgemeli dizileri çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2608Soru →

Artan bir

(a_n)

aritmetik dizisinin ortak farkı

r

olmak üzere, bu dizinin terimleri arasında

a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 36

ve

a_{10} = r \cdot a_2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Dizinin ilk terimi 14'tür.

Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisinden

a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 9r^2

elde edilir. Bu ifade ilk denklemde yerine yazıldığında

r = 2

bulunur. İkinci denklemde

r

yerine 2 yazılıp çözüldüğünde

a_1 = 14

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

a_2

ve

a_8

terimlerini ortadaki terim olan

a_5

ve ortak fark

r

cinsinden ifade edip çarpım eşitliğinden ortak farkı hesaplamak.

r = 2

Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark

r > 0

olmalıdır.

9r^2 = 36

denkleminden

r = 2

elde edilir.

2

İkinci denklemde

r = 2

yazarak terimleri

a_1

cinsinden ifade edip denklemi çözmek.

a_1 = 14

a_{10} = 2a_2 \implies a_1 + 9r = 2(a_1 + r)

denkleminde

r = 2

yazıldığında

a_1 = 14

bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre dönüştürülmesi ve genel terim formülünün uygulanması.

Soru 2609Soru →

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(2x)}{\cos x - \sin x}

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0

\frac{\sqrt{2}}{2}

1

\sqrt{2}

-\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{2}$

Cevap

Limitin değeri

\sqrt{2}

olarak bulunur.

Limit ifadesinde

x

yerine

\frac{\pi}{4}

yazıldığında

\frac{0}{0}

belirsizliği oluşmaktadır. Bu belirsizliği gidermek adına pay kısmındaki

\cos(2x)

terimi, iki kare farkı özdeşliği yardımıyla

\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

biçiminde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak

(\cos x - \sin x)

çarpanları sadeleştirildiğinde geriye

\cos x + \sin x

kalır. Elde edilen bu sadeleşmiş ifadede

x = \frac{\pi}{4}

değeri yerine yazıldığında

\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Belirsizlik kontrolü yapılması

\frac{0}{0}

belirsizliği tespit edilmiştir.

x yerine

\frac{\pi}{4}

yazıldığında pay ve paydanın her ikisinin de sıfır olduğu görülür.

2

İfadeyi çarpanlarına ayırma

\cos(2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

özdeşliği uygulanır.

Payda ile ortak olan çarpanı sadeleştirerek belirsizliği gidermek.

3

Sadeleştirme ve limit hesaplama

Limit değeri

\sqrt{2}

bulunur.

\cos x - \sin x

ifadeleri sadeleştirildikten sonra kalan ifadede x yerine

\frac{\pi}{4}

yazılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limitlerde yarım açı ve iki kare farkı özdeşlikleri kullanılarak 0/0 belirsizliğinin giderilmesi.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 2610Soru →

$a$ ve $b$ birbirinden farklı, $1$ 'den büyük gerçel sayılardır.

3^{\log_a b} + 3^{2\log_b a} = 12

olduğuna göre,

\log_{a^2}(b^3) + \log_{\sqrt{b}}(a)

ifadesinin değeri kaçtır?

3

\frac{13}{4}

\frac{7}{2}

4

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin değeri 4'tür.

Verilen denklemde taban değiştirme özelliği kullanılarak

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

yazılır ve değişken değiştirme yardımıyla

\log_a b = 2

değeri bulunur. Bu değer hedef ifadede yerine yazılarak doğru sonuç olan

4

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Taban değiştirme kuralını uygulayarak denklemdeki terimleri aynı cins yazma.

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

yazılır. Denklem

3^{\log_a b} + 3^{\frac{2}{\log_a b}} = 12

haline gelir.

Denklemi tek bir değişken cinsinden çözebilmek için

\log_a b

ile

\log_b a

arasındaki ilişkiyi kullanırız.

2

Değişken değiştirme yöntemiyle denklemi çözme.

u = \log_a b

olsun. Denklem

3^u + 3^{\frac{2}{u}} = 12

olur. Pozitif gerçel sayılarda bu denklemi sağlayan

u

değerleri

u = 1

ve

u = 2

olarak bulunur.

3^u + 9^{1/u} = 12

denkleminin çözümü için

u > 0

aralığında inceleme yapıldığında, fonksiyonun tek bir yerel minimumu olduğu ve bu değerlerin denklemi sağladığı görülür.

3

Soruda verilen koşulu kullanarak doğru kökü belirleme.

a \neq b

olduğundan

\log_a b \neq 1

'dir. Dolayısıyla

u = 2

yani

\log_a b = 2

(

b = a^2

) alınmalıdır.

Soruda

a

ve

b

'nin birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir.

4

Bulunan değeri hedef ifadede yerine koyarak hesaplama yapma.

\log_{a^2}(b^3) + \log_{\sqrt{b}}(a) = \frac{3}{2}\log_a b + 2\log_b a

özellikleri kullanılarak

\log_a b = 2

ve

\log_b a = \frac{1}{2}

değerleri yerine yazılır ve

\frac{3}{2}(2) + 2(\frac{1}{2}) = 3 + 1 = 4

elde edilir.

Logaritmanın üs özelliklerini ve taban değiştirme kurallarını uygulayarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritma özelliklerinin denklemlere uygulanması

Soru 2611Soru →

Bir üretecin uçlarına bağlanarak yüklenen paralel levhalı bir sığaç, üretece bağlı kalmaya devam ederken levhaları arasındaki uzaklık iki katına çıkarılıyor. Buna göre, sığacın sığası ( $C$ ) ve levhalarında biriken yük ( $Q$ ) ilk durumuna göre nasıl değişir?

Sığa yarıya iner, yük yarıya iner.

Sığa iki katına çıkar, yük sabit kalır.

Sığa yarıya iner, yük sabit kalır.

Sığa iki katına çıkar, yük iki kat��na çıkar.

Sığa sabit kalır, yük yarıya iner.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sığa yarıya iner, yük yarıya iner.

Cevap

Sığa yarıya iner, yük yarıya iner.

Sığanın formülü

C = \varepsilon \frac{A}{d}

şeklindedir ve levhalar arasındaki uzaklık ile ters orantılıdır. Uzaklık iki katına çıkarıldığında sığa yarıya düşer. Sığaç üretece bağlı kalmaya devam ettiğinden potansiyel farkı sabittir.

Q = C \cdot V

bağıntısına göre potansiyel fark sabitken sığanın yarıya inmesi, biriken yükün de yarıya inmesine neden olur.

Adım Adım Çözüm

1

Sığa formülü kullanılarak levhalar arası uzaklığın sığaya etkisini hesaplamak.

Sığa

C = \varepsilon \frac{A}{d}

formülü ile belirlenir. Levhalar arasındaki uzaklık (

d

) iki katına çıkarıldığında, sığa ilk değerinin yarısına iner (

C' = \frac{C}{2}

).

Sığa, levhalar arasındaki uzaklık ile ters orantılıdır.

2

Üreteç bağlı olma durumunu değerlendirerek yükün nasıl değişeceğini bulmak.

Sığaç üretece bağlı kaldığı için levhalar aras��ndaki potansiyel fark (

V

) sabit kalır. Sığacın yükü

Q = C \cdot V

formülüyle hesaplanır.

V

sabitken

C

yarıya indiği için sığacın yükü de yarıya iner (

Q' = \frac{Q}{2}

).

Bir sığaç üretece bağlı olduğu sürece potansiyel farkı sabit kalır.

Anahtar Kavram

Paralel levhalı sığacın sığasının geometrik değişkenlere bağlılığı ve üretece bağlı sığa��larda yük-gerilim ilişkisi

Soru 2612Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = -x^2 + (m-3)x + 2m + 3

parabolünün

y

-eksenini kestiği noktanın ordinatı,

x

-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamına eşittir.

Buna göre, bu parabolün $x$ -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

3\sqrt{5}

2\sqrt{6}

\sqrt{21}

2\sqrt{5}

3\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3\sqrt{5}$

Cevap

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 3\sqrt{5} birimdir.

Parabolün y-eksenini kestiği nokta x = 0 için y = 2m + 3 olarak bulunur. Parabolün x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı ise kökler toplamı formülünden x_1 + x_2 = m - 3 olur. Bu iki değer birbirine eşitlendiğinde m = -6 olarak elde edilir. Buradan parabol denklemi f(x) = -x^2 - 9x - 9 şeklinde bulunur. x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık, f(x) = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark olup \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle hesaplanır. Diskriminant \Delta = 81 - 36 = 45 olduğundan uzaklık \sqrt{45} = 3\sqrt{5} birimdir.

Adım Adım Çözüm

1

y-eksenini kestiği noktanın ordinatını belirleyin.

y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2m + 3 olur.

Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı x = 0 yazılarak bulunur.

2

x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamını kökler toplamı formülüyle ifade edin.

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{m-3}{-1} = m-3 olur.

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar, f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

3

Ordinat değerini kökler toplamına eşitleyerek m parametresini bulun.

2m + 3 = m - 3 \implies m = -6 bulunur.

Soruda y-eksenini kestiği noktanın ordinatının, x-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamına eşit olduğu verilmiştir.

4

m değerini parabol denkleminde yerine yazın.

f(x) = -x^2 - 9x - 9 elde edilir.

Uzaklık hesabı yapabilmek için parabolün cebirsel ifadesi netleştirilmelidir.

5

x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı kökler farkı formülüyle hesaplayın.

\Delta = (-9)^2 - 4(-1)(-9) = 81 - 36 = 45 olur. Noktalar arasındaki uzaklık \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{45}}{|-1|} = 3\sqrt{5} birimdir.

İkinci dereceden denklemlerde kökler arasındaki uzaklık \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik ve cebirsel ilişkisi

Alternatif Yöntem

f(x) = 0 denklemini çarpanlarına ayırmak yerine doğrudan tam kareye tamamlama yöntemi kullanılabilir. f(x) = -(x + 9/2)^2 + 45/4 yazıldığında, y = 0 için (x + 9/2)^2 = 45/4 bulunur. Buradan x + 9/2 = \pm \frac{3\sqrt{5}}{2} elde edilir. İki kök arasındaki fark ise doğrudan 3\sqrt{5} olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2613Soru →

Tüm $x$ gerçel sayıları için $x^2 - (m-2)x + m + 1 > 0$ eşitsizliği sağlandığına göre, $m$ parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı $28$ 'dir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Tüm gerçel sayılar için eşitsizliğin sağlanması diskriminantın sıfırdan küçük olması (

\Delta < 0

) şartına bağlıdır. Bu şarttan elde edilen

m^2 - 8m < 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi

(0, 8)

açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların (

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

) toplamı

28

'dir.

Verilen ifade doğrudur çünkü

x^2 - (m-2)x + m + 1 > 0

eşitsizliğinin her

x

gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantın sıfırdan küçük olması gerekir. Buradan elde edilen

m^2 - 8m < 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi

(0, 8)

açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı gerçekten

28

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin her

x

gerçel sayısı için daima sağlanma koşulu belirlenir.

Başkatsayı

a > 0

ve diskriminant

\Delta < 0

olmalıdır.

İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif değerler alması, parabolün

x

-eksenini kesmemesi (kökünün olmaması) ve kollarının yukarı doğru olması anlamına gelir.

2

Verilen ifadenin diskriminantı (

\Delta

) hesaplanır.

\Delta = (-(m-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+1) = m^2 - 8m

Diskriminant formülü

\Delta = b^2 - 4ac

kullanılarak

m

cinsinden bir eşitsizlik elde etmek için hesaplama yapılır.

3

Diskriminantın sıfırdan küçük olması koşuluyla elde edilen eşitsizlik çözülür.

m^2 - 8m < 0 \implies m(m-8) < 0 \implies m \in (0, 8)

Eşitsizliğin kökleri

0

ve

8

olarak bulunur. Başkatsayı pozitif olduğu için işaret tablosunda sağdan (+) ile başlanır ve köklerde işaret değiştirilerek negatif bölge

(0, 8)

olarak belirlenir.

4

m

parametresinin alabileceği tam sayı değerleri bulunur ve toplanır.

Tam sayılar:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

. Toplam:

1+2+3+4+5+6+7 = 28

.

(0, 8)

açık aralığındaki tam sayı değerleri toplanarak ifadedeki değerle karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin daima sağlanması koşulu ve işaret incelemesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, parabolün tepe noktasının y-koordinatının (

k

) pozitif olması gerektiği kullanılabilir:

k = f(r) > 0

. Tepe noktasının apsisi

r = \frac{m-2}{2}

olup,

k = f\left(\frac{m-2}{2}\right) = \left(\frac{m-2}{2}\right)^2 - (m-2)\left(\frac{m-2}{2}\right) + m + 1 > 0 \implies -\frac{(m-2)^2}{4} + m + 1 > 0 \implies -(m^2 - 4m + 4) + 4m + 4 > 0 \implies -m^2 + 8m > 0 \implies m^2 - 8m < 0

eşitsizliğine ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2614Soru →

Yer çekimi ve sürtünmelerin ihmal edildiği yalıtkan bir ortamda; sabit $V$ potansiyel farkına sahip bir üretece bağlı, aralarında $d$ uzaklığı bulunan paralel iki iletken levhadan birinden serbest bırakılan $+q$ yüklü bir parçacığın karşı levhaya ulaştığı andaki kinetik enerjisi, levhalar arasındaki uzaklık yarıya ( $\frac{d}{2}$ ) indirilirse iki katına çıkar.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Levhalar sabit potansiyele bağlı olduğu sürece, parçacığın karşı levhaya ulaştığı andaki kinetik enerjisi levhalar arası uzaklığın değişmesinden etkilenmez ve sabit kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Levhalar arasındaki elektrik alanın ve yüklü parçacığa etki eden elektriksel kuvvetin ifadesini yazmak.

Elektrik alan

E = \frac{V}{d}

ve parçacığa etki eden elektriksel kuvvet

F = qE = \frac{qV}{d}

olur.

Parçacık üzerine etki eden kuvveti belirleyerek yapılan işi tanımlamak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

Parçacık bir levhadan diğerine ulaştığında yapılan elektriksel işi hesaplamak.

Yapılan iş

W = F \cdot d = \frac{qV}{d} \cdot d = qV

olarak bulunur.

İş-enerji teoremine göre yapılan iş, parçacığın kazandığı kinetik enerjiye eşittir.

3

Uzaklığın yarıya indirilmesi durumunda yapılan yeni işi analiz etmek.

Yeni uzaklık

d' = \frac{d}{2}

olduğunda yeni kuvvet

F' = \frac{qV}{d/2} = \frac{2qV}{d}

olur. Yapılan iş ise

W' = F' \cdot d' = \frac{2qV}{d} \cdot \frac{d}{2} = qV

olarak kalır.

Yapılan işin uzaklığa bağlı olmadığını ve dolayısıyla kinetik enerjinin değişmediğini doğrulamak için bu analiz yapılır.

Anahtar Kavram

Paralel levhalar arasında yapılan elektriksel iş ve kinetik enerji değişimi ilişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2615Soru →

Yer çekimi ve sürtünmelerin ihmal edildiği bir ortamda, aralarındaki uzaklık $d$ ve uzunluğu $L$ olan yatay paralel levhalar arasındaki düzgün elektrik alana, levhalara paralel $v$ hızıyla tam ortadan fırlatılan $+q$ yüklü parçacık, levhalara çarpmadan düzeneği terk ederken düşeyde $y$ kadar sapmaktadır. Buna göre; levhalar arasındaki potansiyel farkı iki katına çıkarılıp parçacığın levhalara giriş hızı da iki katına çıkarılırsa, parçacığın levhalar arasından çıkana kadar düşey doğrultudaki sapma miktarı $\frac{y}{2}$ olur.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Parçacığın yeni durumdaki d��şey sapma miktarı

\frac{y}{2}

olur ifadesi doğrudur.

Düşey sapma miktarı

y = \frac{qVL^2}{2mdv^2}

bağıntısıyla ifade edilir. Potansiyel farkın iki katına çıkarılması sapmayı iki katına (

2y

) çıkarırken, fırlatılma hızının iki katına çıkarılması paydadaki

v^2

terimi nedeniyle sapmayı dörtte birine düşürür. İki etkinin birleşik sonucu sapmanın

\frac{2y}{4} = \frac{y}{2}

olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Parçacığın levhalar arasındaki yatay hareket süresini (

t

) fırlatılma hızı (

v

) ve levha uzunluğu (

L

) cinsinden ifade ediniz.

t = \frac{L}{v}

Yatay doğrultuda parçacığa etki eden net bir kuvvet olmadığından, yatayda sabit hızlı hareket gerçekleşir.

2

Parçacığa düşey doğrultuda etki eden elektriksel kuvveti (

F

) ve bu kuvvetin kazandırdığı ivmeyi (

a

) tanımlayınız.

F = qE = \frac{qV}{d}

ve ivme

a = \frac{qV}{md}

olur.

Levhalar arasındaki düzgün elektrik alan

E = \frac{V}{d}

bağıntısıyla bulunur ve parçacık bu alanda elektriksel kuvvetin etkisiyle ivmelenir.

3

Parçacığın ilk durumdaki düşey sapma miktarını (

y

) ivme (

a

) ve süre (

t

) cinsinden formülleştiriniz.

y = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{q V L^2}{2 m d v^2}

Düşey doğrultuda parçacık ilk hızsız sabit ivmeli hareket (serbest düşme hareketi benzeri) yapmaktadır.

4

Potansiyel farkın

2V

ve hızın

2v

yapıldığı yeni durumda sapma miktarını (

y'

) hesaplayarak ilk durumla oranlayınız.

y' = \frac{q(2V)L^2}{2md(2v)^2} = \frac{2}{4} \cdot \left(\frac{q V L^2}{2 m d v^2}\right) = \frac{y}{2}

Potansiyel farkın artışı ivmeyi doğrusal artırırken, hızın artışı süreyi yarıya indirir; sürenin karesiyle orantılı olan sapma miktarı ise bu durumdan dörtte bir oranında etkilenir.

Anahtar Kavram

Düzgün elektrik alanda yüklü parçacıkların iki boyutlu ivmeli hareketi ve sapma miktarı analizi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2616Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 6x + a

fonksiyonunun grafiği olan parabol, koordinat eksenlerini üç farklı noktada kesmektedir.

Parabolün eksenleri kestiği bu üç noktadan geçen çemberin yarıçapı $5$ birim olduğuna göre, $a$ gerçel sayısı kaçtır?

-9

-7

-5

7

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

-7

Çemberin merkezi

M(3, y_0)

olarak belirlendikten sonra, çemberin yarıçapı ile kiriş özellikleri ve

C(0,a)

noktasının merkeze olan uzaklığı kullanılarak iki adet denklem elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden elde edilen

a = -7

değeri, parabolün eksenleri üç farklı noktada kesmesi şartını tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.

Parabol y-eksenini

C(0, a)

noktasında keser. x-eksenini ise

A(x_1, 0)

ve

B(x_2, 0)

noktalarında keser.

Çemberin geçtiği üç noktanın koordinatlarını parabolün katsayıları cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Çemberin merkezinin apsisini bulmak.

Çemberin merkezi

M(x_0, y_0)

olsun.

[AB]

kirişi x-ekseni üzerinde olduğundan, çemberin merkezi

[AB]

kirişinin orta dikmesi üzerindedir.

[AB]

'nin orta noktasının apsisi, parabolün tepe noktasın��n apsisiyle aynı olup

x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{-6}{2} = 3

olarak bulunur. Dolayısıyla çemberin merkezi

M(3, y_0)

noktasındadır.

Kirişin orta dikmesinin merkezden geçmesi kuralını kullanarak merkezin konumunu sadeleştirmek gerekir.

3

Kiriş uzunluğu ve Pisagor bağıntısı ile bir denklem elde etmek.

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık

|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta} = \sqrt{36 - 4a} = 2\sqrt{9-a}

birimdir.

[AB]

kirişinin yarısı

AH = \sqrt{9-a}

olur.

[AB]

'nin orta noktası

H(3,0)

ve çemberin merkezi

M(3, y_0)

olmak üzere,

AHM

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanırsa:

AH^2 + MH^2 = R^2 \implies (9-a) + y_0^2 = 25 \implies y_0^2 - a = 16

elde edilir.

Çemberin yarıçapı ile x-ekseni üzerindeki kirişin uzunluğu arasında bir ilişki kurmak amacıyla Pisagor teoremi uygulanır.

4

C(0,a)

noktasının merkeze uzaklığı ile ikinci bir denklem elde etmek.

MC^2 = R^2 \implies (3 - 0)^2 + (y_0 - a)^2 = 25 \implies (y_0 - a)^2 = 16 \implies y_0 - a = 4

veya

y_0 - a = -4

bulunur.

C(0,a)

noktası çember üzerinde olduğundan merkeze olan uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır.

5

Denklem sistemlerini çözmek ve sınır koşullarını denetlemek.

1. Durum:

y_0 = a + 4 \implies (a+4)^2 - a = 16 \implies a^2 + 7a = 0

.

a \neq 0

olmalıdır (aksi halde parabol eksenleri sadece 2 noktada keser), buradan

a = -7

bulunur.
2. Durum:

y_0 = a - 4 \implies (a-4)^2 - a = 16 \implies a^2 - 9a = 0

.

a \neq 0

olduğundan

a = 9

bulunur. Ancak

a = 9

için

f(x) = (x-3)^2

olur ve parabol x-eksenine teğet olacağından eksenleri sadece 2 farklı noktada kesebilir. Bu durum soruda verilen 'üç farklı noktada kesmektedir' koşuluna aykırıdır.

Parabolün eksenleri kestiği nokta sayısını belirleyen diskriminant ve tanım koşullarını kontrol ederek geçerli parametre değerini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile analitik düzlemde çemberin kiriş özelliklerinin ortak uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2617Soru →

Her $n \in \mathbb{Z}^+$ için $a_n > 0$ olan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir $(a_n)$ geometrik dizisinde,

a_1 + a_2 + a_3 = 7

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 21

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $\log_4(a_{11})$ ifadesinin değeri kaçtır?

4

\dfrac{11}{2}

10

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.

Doğru cevap 5 değeridir. Çarpanlara ayırma ve denklem sisteminin çözümünden dizinin ilk terimi 1, ortak çarpanı ise 2 olarak bulunur. Buradan dizinin 11. terimi

2^{10}

olur ve bunun 4 tabanındaki logaritması 5'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin terimlerini ilk terim

a_1 = a

ve ortak çarpan

r

cinsinden ifade etmek.

a(1 + r + r^2) = 7

ve

a^2(1 + r^2 + r^4) = 21

denklemleri elde edilir.

Terimleri ortak parametrelere bağlayarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.

2

1 + r^2 + r^4

ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayırmak.

1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2)

özdeşliği kullanılarak ikinci denklem

a^2(1 + r + r^2)(1 - r + r^2) = 21

şeklinde yazılır.

Birinci denklemde verilen toplam ifadesini ikinci denklem içinde bulup yerine yazabilmek.

3

Birinci denklemdeki

a(1 + r + r^2) = 7

değerini ikinci denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.

7 \cdot a(1 - r + r^2) = 21 \implies a(1 - r + r^2) = 3

denklemi elde edilir.

Denklem sistemini daha sade ve çözülebilir bir doğrusal forma getirmek.

4

Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak ve çıkararak

a

ve

r

değerlerini belirlemek.

Taraf tarafa çıkarma ile

2ar = 4 \implies ar = 2

ve toplama ile

a(1+r^2) = 5

bulunur. Buradan

r=2

ve

a_1=1

elde edilir.

Dizinin temel parametreleri olan ilk terim ve ortak çarpanı bularak diziyi tamamen tanımlamak.

5

Dizinin genel terim formülünü oluşturup

a_{11}

terimini hesaplamak.

a_n = 2^{n-1}

genel teriminden

a_{11} = 2^{10}

olarak bulunur.

Logaritması alınacak terimin değerini üslü biçimde elde etmek.

6

İstenen

\log_4(a_{11})

ifadesini hesaplamak.

\log_4(2^{10}) = \log_{2^2}(2^{10}) = 5

sonucu bulunur.

Soruda sorulan nihai değeri belirlemek.

Anahtar Kavram

Geometrik dizi terimleri arasındaki ilişkiler ve çarpanlara ayırma yöntemlerinin uygulanması

Soru 2618Soru →

1'den büyük

a

,

b

ve

c

gerçel sayıları için,

\log_a(bc) = 2

\log_b(a^2 c) = 5

olduğuna göre,

\log_c(a^4 b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin değeri 4'tür.

Verilen iki logaritmik eşitlik taban değiştirme kuralı yardımıyla

\ln

tabanına dönüştürülüp

\ln a = u

,

\ln b = v

ve

\ln c = w

değişken dönüşümleri yapıldığında, değişkenler arasında

u = 1.5v

ve

w = 2v

bağıntıları bulunur. İstenen

\log_c(a^4 b^2)

ifadesi taban değiştirme kuralı ile

\frac{4u+2v}{w}

şeklinde yazıldığında, değişkenlerin yerine konulmasıyla sonuç 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma taban değiştirme kuralını kullanarak denklemleri aynı tabanda yazmak.

\ln a = u

,

\ln b = v

ve

\ln c = w

olmak üzere;

v + w = 2u

ve

2u + w = 5v

denklemleri elde edilir.

Değişkenler arasındaki ilişkileri kolayca analiz edebilmek için logaritmik ifadeleri ortak bir tabana dönüştürüyoruz.

2

Elde edilen denklem sistemini çözerek değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek.

w = 2u - v

ifadesini ikinci denklemde yerine koyarak

u = \frac{3}{2}v

ve

w = 2v

bulunur.

İstenen ifadedeki değişken oranlarını bulmak için ortak ç��züme ihtiyaç vardır.

3

İstenen

\log_c(a^4 b^2)

ifadesini taban değiştirme kuralı ile açarak bulduğumuz değerleri yerine yazmak ve sadeleştirmek.

\log_c(a^4 b^2) = \frac{4u+2v}{w} = \frac{4(\frac{3}{2}v) + 2v}{2v} = \frac{8v}{2v} = 4

elde edilir.

İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme özelliği ve logaritma özelliklerinin denklem sistemlerinde uygulanması.

Soru 2619Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu için

f(3) = 6

dır.

\lim_{x \to 3} f(x) = 4

\lim_{x \to -1} f(x) = -2

olduğuna göre,

\lim_{x \to 1} f(x+2)

limitinin değeri kaçtır?

-2

2

4

6

Limit yoktur

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limitin değeri 4'tür.

Limit değişkeni 1'e yaklaşırken,

f(x+2)

ifadesinin iç kısmı olan

x+2

ifadesi 3'e yaklaşır. Dolayısıyla, bu limit

\lim_{u \to 3} f(u)

ifadesine eşittir. Soruda bu limit değeri 4 olarak verildiğinden, limitin doğru değeri 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Limit değişkeninin dönüşümünü belirleme

x \to 1

iken

x+2 \to 3

olur.

x

değişkeni 1'e yaklaşırken,

x+2

ifadesi

1+2 = 3

değerine yaklaşır.

2

Dönüşüm sonrası limit ifadesini yazma

\lim_{x \to 1} f(x+2) = \lim_{u \to 3} f(u)

$

Değişken değiştirme yöntemiyle limit ifadesini bilinen limit noktasına dönüştürmek gerekir.

3

Limit değerini yerine yazarak sonucu bulma

\lim_{u \to 3} f(u) = 4

Soruda fonksiyonun 3 noktasındaki limiti 4 olarak verildiğinden, limitin değeri 4 olur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun ötelenmiş halinin limitini alırken değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

x \to a

iken

f(x+b)

limitini bulmak için

u = x+b

dönüşümü yapılarak

u \to a+b

limitine bakılır.

Soru 2620Soru →

Yükü $Q$ , sığası $C$ olan paralel levhalı bir sığaç, bir üreteç yardımıyla yüklendikten sonra üreteçten ayrılıyor. Daha sonra sığacın levhaları arasındaki hava boşluğu, dielektrik katsayısı havanınkinin iki katı olan yalıtkan bir malzeme ile tamamen dolduruluyor.

Buna göre, sığacın uçları arasındaki son potansiyel farkı ilk potansiyel farkının kaç katı olur?

4

2

1

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Sığacın uçları arasındaki son potansiyel farkı, başlangıçtaki potansiyel farkının yarısı olur.

Sığaç üreteçten ayrıldıktan sonra üzerindeki net yük korunduğu için yük miktarı sabittir. Levhalar arasına dielektrik katsayısı iki kat daha büyük olan yalıtkan malzeme yerleştirildiğinde sığa iki katına çıkar. Yük ve sığa arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel formül gereği, yük sabitken sığanın iki katına çıkması uçlar arasındaki potansiyel farkının yarıya inmesini gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1

Sığacın başlangıç sığasını belirlemek

C = \epsilon_0 \frac{A}{d}

Paralel levhalı sığacın sığası levha alanı, levhalar arası uzaklık ve aradaki ortamın dielektrik katsayısına bağlıdır.

2

Dielektrik malzeme yerleştirildikten sonraki sığayı hesaplamak

C' = (2\epsilon_0) \frac{A}{d} = 2C

Levhalar arasına dielektrik katsayısı havanınkinin iki katı olan bir yalıtkan konulduğunda sığa da iki katına çıkar.

3

Yükün korunumu ilkesini uygulamak

Q' = Q

Sığaç üreteçten ayrıldığı için devrede yük akışı olamaz ve sığacın yükü sabit kalır.

4

Son potansiyel farkı ilk potansiyel farkı cinsinden yazmak

V' = \frac{Q'}{C'} = \frac{Q}{2C} = \frac{V}{2}

Q = C \cdot V

bağıntısına göre, yük sabitken sığa iki katına çıkarsa potansiyel farkı yarıya düşer.

Anahtar Kavram

Üreteçten ayrılmış bir sığacın levhaları arasına dielektrik malzeme konulduğunda, sığası artarken yükü sabit kalır ve potansiyel farkı azalır.

Tahmini Süre:1m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap