Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2641Soru →
aa bir pozitif tam sayı olmak üzere,
x2−ax+a+3≤0x^2 - ax + a + 3 \leq 0
eşitsizliğini sağlayan en az bir xx gerçel sayısı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunabilmesi için ifadenin diskriminantının sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir. Buradan elde edilen a2−4a−12≥0a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinin pozitif tam sayılardaki en küçük çözümü 6 olarak bulunur.
Verilen ikinci dereceden eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunması için ifadenin diskriminantı sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Δ=a2−4a−12≥0\Delta = a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinden aa değerleri (−∞,−2]∪[6,∞)(-\infty, -2] \cup [6, \infty) aralığında bulunur. Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan en küçük aa değeri 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin çözüm kümesinin boş küme olmaması için gereken diskriminant koşulunu belirleme
Δ≥0\Delta \geq 0 olmalıdır.
Başkatsayısı pozitif olan bir parabolün negatif veya s��fır değerini alabilmesi, xx eksenini kesmesi ya da teğet olması ile mümkündür.
2
Diskriminantı aa değişkeni cinsinden hesaplama
Δ=a2−4a−12\Delta = a^2 - 4a - 12
ax2+bx+cax^2 + bx + c yapısında Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır.
3
Diskriminant eşitsizliğini çözerek aa için uygun aralıkları bulma
a≤−2a \leq -2 veya a≥6a \geq 6
(a−6)(a+2)≥0(a - 6)(a + 2) \geq 0 eşitsizliğinin işaret tablosu oluşturulur.
4
Pozitif tam sayı şartını sağlayan en küçük aa değerini bulma
6
a≥6a \geq 6 aralığındaki en küçük pozitif tam sayı 6'dır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesinin varlığı için diskriminant analizi
Soru 2642Soru →

Alternatif akım devrelerinde devrenin rezonans durumuna gelmesi için devredeki indüktif reaktans (XLX_L) ile kapasitif reaktans (XCX_C) değerlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Alternatif akım devrelerinde rezonans durumunun oluşması için indüktif reaktansın (XLX_L) kapasitif reaktansa (XCX_C) eşit olması ifadesi doğrudur.
Alternatif akım devrelerinde rezonans, indüktif reaktans (XLX_L) ile kapasitif reaktansın (XCX_C) büyüklük olarak birbirine eşit olması durumunda gerçekleşir. Bu durumda devre sadece omik direnç (RR) gösterir ve empedans en küçük değerini alır.

Adım Adım Çözüm

1
Rezonans tanımını analiz edin.
Alternatif akım devrelerinde rezonans, devrenin empedansının (toplam direncinin) minimuma indiği ve akımın maksimum olduğu özel durumdur.
Bu durum devredeki bobin ve kondansatörün birbirinin etkisini yok etmesiyle gerçekleşir.
2
Reaktansların ilişkisini formül üzerinden inceleyin.
Empedans formülü Z=R2+(XL−XC)2Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} şeklindedir. Burada ZZ değerinin en küçük (minimum) olabilmesi için (XL−XC)2(X_L - X_C)^2 ifadesinin sıfır olması gerekir.
Karesel bir ifade en az sıfır olabileceğinden, minimum empedans için XL−XC=0X_L - X_C = 0 yani XL=XCX_L = X_C olmalıdır.

Anahtar Kavram

Alternatif akım devrelerinde rezonans şartı ve empedans ilişkisi.
Tahmini Süre:45s
Soru 2643Soru →
log⁡3x−4log⁡x3=3\log_3 x - 4\log_x 3 = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 27'dir.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Değişken değiştirme yöntemiyle bu denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür ve çözülür. Elde edilen x=81x = 81 ve x=1/3x = 1/3 değerlerinin her ikisi de logaritma tanım kümesini sağladığından denklemin kökleridir. Bu köklerin çarpımı ise 27 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡x3\log_x 3 ifadesini log⁡3x\log_3 x cinsinden yazın.
log⁡x3=1log⁡3x\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}
Bilinmeyenleri aynı tabanda birleştirerek çözülebilir tek bir değişkenli denklem elde etmek.
2
log⁡3x=u\log_3 x = u değişken değiştirmesini uygulayarak denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürün.
u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0
Rasyonel ifade içeren denklemi standart ikinci dereceden denklem formuna getirmek.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak uu değerlerini bulun.
u=4u = 4 veya u=−1u = -1
Dönüşüm değişkeninin alabileceği kök değerlerini belirlemek.
4
Bulunan uu değerlerini log⁡3x=u\log_3 x = u eşitliğinde yerine yazarak xx değerlerini çözün.
x=34=81x = 3^4 = 81 ve x=3−1=13x = 3^{-1} = \frac{1}{3}
Orijinal bilinmeyen olan xx değerlerini elde etmek.
5
Köklerin tanımlılık şartlarını kontrol edin ve çarpımlarını hesaplayın.
81⋅13=2781 \cdot \frac{1}{3} = 27
Bulunan köklerin logaritma tanım kümesine (taban pozitif ve 1'den farklı olmalı) uygunluğunu doğrulayıp istenen çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritmik denklemlerin ikinci dereceden denklem dönüşümüyle çözülmesi.
Soru 2644Soru →

Direnci RR olan bir ampul, öz-indüksiyon katsayısı LL olan ideal bir bobin ve sığası CC olan ideal bir sığaç, etkin gerilimi sabit olan bir alternatif akım kaynağına seri bağlanarak bir R−L−CR-L-C devresi oluşturuluyor. Devre başlangıçta rezonans halindedir.

Buna göre, alternatif akım kaynağının frekansı artırılırsa;

I. Kaynağın etkin gerilimi, ampulün, bobinin ve sığacın etkin gerilimlerinin aritmetik toplamına (VR+VL+VCV_R + V_L + V_C) eşit olur.
II. Devrenin empedansı artar.
III. Devrenin güç çarpanı (cos⁡θ\cos\theta) azalır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

Devrenin empedansı artar ve güç çarpanı azalır ifadelerini içeren II ve III seçeneği doğrudur.
Rezonans halindeki devrede empedans minimum seviyededir. Frekans artırıldığında rezonans durumu bozulur, indüktif reaktans artarken kapasitif reaktans azalır ve böylece empedans artar. Güç çarpanı cos⁡θ=R/Z\cos\theta = R/Z olduğundan, empedansın artması güç çarpanını azaltır. Bu nedenle empedansın artacağı ve güç çarpanının azalacağı yönündeki ifadeler doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki rezonans durumunu ve reaktansları analiz etme
Devre başlangıçta rezonansta olduğundan bobinin indüktif reaktansı (XL=2πfLX_L = 2\pi f L) ile sığacın kapasitif reaktansı (XC=12πfCX_C = \frac{1}{2\pi f C}) birbirine eşittir (XL=XCX_L = X_C). Bu durumda devrenin empedansı en küçük değerindedir ve sadece dirence eşittir (Z=RZ = R).
Rezonans halindeki R-L-C devresinin temel özelliklerini belirlemek için.
2
Frekans artışının reaktanslar ve empedans üzerindeki etkisini inceleme
Alternatif akım kaynağının frekansı (ff) artırıldığında, bobinin reaktansı (XLX_L) artar, sığacın reaktansı (XCX_C) ise azalır. Bu durumda XL>XCX_L > X_C olur. Devrenin yeni empedansı Z=R2+(XL−XC)2Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} formülüne göre başlangıçtaki minimum değerinden (RR) daha büyük olacaktır. Dolayısıyla devrenin empedansı artar (II. öncül doğrudur).
Frekans değişiminin empedansa etkisini tespit etmek için.
3
Güç çarpanındaki değişimi hesaplama
Güç çarpanı cos⁡θ=RZ\cos\theta = \frac{R}{Z} formülüyle tanımlanır. Direnç (RR) sabit kalırken devrenin empedansı (ZZ) arttığı için cos⁡θ\cos\theta oranı küçülür. Yani devrenin güç çarpanı azalır (III. öncül doğrudur).
Empedanstaki artışın güç çarpanına etkisini belirlemek için.
4
Kaynak geriliminin bileşen gerilimleriyle ilişkisini değerlendirme
Alternatif akım devrelerinde direnç, bobin ve sığacın uçları arasındaki gerilimlerin yönleri (fazları) farklıdır. Kaynağın etkin gerilimi, bu elemanların etkin gerilimlerinin aritmetik toplamı olan VR+VL+VCV_R + V_L + V_C değerine eşit olamaz. Gerilimlerin vektörel (fazör) toplamı yapılmalıdır: V=VR2+(VL−VC)2V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}. Dolayısıyla birinci öncül yanlıştır.
Gerilimlerin skaler olarak toplanamayacağı gerçeğini göstermek için.

Anahtar Kavram

Alternatif akım devrelerinde rezonans durumu, reaktansların frekansa bağlılığı, empedans, güç çarpanı ve gerilimlerin fazör (vektörel) toplamı.
Soru 2645Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri
an=log⁡2(2n2+xn+y)−log⁡2(n2+3n+2)a_n = \log_2(2n^2 + xn + y) - \log_2(n^2 + 3n + 2)
bn=zb_n = z
olarak tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.
Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşit dizilerin tanımını kullanarak a_n ve b_n dizileri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Her n pozitif tam sayısı için a_n = b_n = z olmalıdır. Bu durum a_n dizisinin de sabit bir dizi olduğunu gösterir.
Eşit dizilerin tüm karşılıklı terimleri birbirine eşittir ve b_n dizisi sabit bir z değerine sahiptir.
2
Logaritmanın çıkarma özelliğini uygulayarak a_n ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
a_n = log_2((2n^2 + xn + y) / (n^2 + 3n + 2)) elde edilir.
Logaritma tabanları aynı olduğundan log_a(M) - log_a(N) = log_a(M/N) kuralı uygulanabilir.
3
Logaritmanın içerisindeki rasyonel ifadenin sabit olması koşulunu uygulamak ve katsayıları oranlamak.
2/1 = x/3 = y/2 oranından x = 6 ve y = 4 değerleri elde edilir. Rasyonel ifadenin sabit değeri C = 2 olur.
Dereceleri aynı olan iki polinomun bölümünün sabit bir fonksiyon belirtmesi için katsayılarının orantılı olması gerekir.
4
Bulunan sabit değeri logaritma içine yerleştirerek dizinin sabit terimini (z) bulmak.
z = log_2(2) = 1 elde edilir.
a_n dizisinin sabit değeri b_n dizisinin sabit terimi olan z'ye eşittir.
5
Bilinmeyen değerleri toplayarak nihai sonucu elde etmek.
x + y + z = 6 + 4 + 1 = 11 bulunur.
Soruda bizden x, y ve z değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sabit ve Eşit Dizilerde katsayılar oranı ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2646Soru →
log⁡13(2x−1x+3)≥0\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2x - 1}{x + 3}\right) \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 10'dur.
Doğru yanıt 10'dur. Logaritma tabanı basit kesir olduğu için logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirerek rasyonel eşitsizliğe dönüşür. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi ile logaritmanın tanım kümesinin kesişiminden elde edilen yarım açık aralıktaki tam sayıların (1, 2, 3, 4) toplamı 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek için logaritmanın içinin sıfırdan büyük olması koşulu uygulanır.
2x−1x+3>0\frac{2x - 1}{x + 3} > 0 eşitsizliğinin kökleri x=12x = \frac{1}{2} ve x=−3x = -3 olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi x∈(−∞,−3)∪(12,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (\frac{1}{2}, \infty) olarak elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Eşitsizliğin çözümü için logaritma tabanı göz önüne alınarak logaritma kaldırılır. Taban 13\frac{1}{3} (0 ile 1 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir.
2x−1x+3≤(13)0  ⟹  2x−1x+3≤1\frac{2x - 1}{x + 3} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^0 \implies \frac{2x - 1}{x + 3} \leq 1 eşitsizliği elde edilir.
Logaritmanın tabanı basit kesir olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır; bu yüzden logaritma kaldırılırken eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizlik çözülür.
2x−1x+3−1≤0  ⟹  x−4x+3≤0\frac{2x - 1}{x + 3} - 1 \leq 0 \implies \frac{x - 4}{x + 3} \leq 0 eşitsizliğinin kökleri x=4x = 4 ve x=−3x = -3 olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında çözüm kümesi (−3,4](-3, 4] olarak elde edilir.
Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılır ve köklerin işaret tablosu oluşturulur.
4
Tanım kümesi ile eşitsizliğin çözüm kümesinin kesişimi alınarak en geniş çözüm kümesi bulunur.
((−3,4])∩((−∞,−3)∪(12,∞))=(12,4]((-3, 4]) \cap ((-\infty, -3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)) = (\frac{1}{2}, 4] aralığı en geniş çözüm kümesidir.
Bulunan çözümlerin logaritma fonksiyonunu tanımsız yapmaması için tanım kümesi ile kesişiminin alınması zorunludur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.
(12,4](\frac{1}{2}, 4] aralığındaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44'tür. Bu tam sayıların toplamı ise 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10 olarak bulunur.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Logaritma tabanının basit kesir olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve logaritmanın tanım kümesi sınırlandırılmasının eşitsizlik çözümüyle kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2647Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8−S6=4⋅(S4−S2)S_8 - S_6 = 4 \cdot (S_4 - S_2)

ve bu dizinin ilk iki teriminin toplamı 33 olduğuna göre, ilk 66 teriminin toplamı olan S6S_6 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2121

Cevap

İlk 6 terim toplamı olan 21
Dizinin terimlerinin toplamı formülü kullanılarak S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 eşitlikleri yazılır. Buradan ortak çarpan r=2r = \sqrt{2} olarak bulunur. a1+a2=a1(1+r)=3a_1 + a_2 = a_1(1+r) = 3 eşitliğinden a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) elde edilir. Son olarak S6=a1r6−1r−1S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} formülünde değerler yerine yazıldığında toplam 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
S8−S6S_8 - S_6 ve S4−S2S_4 - S_2 farklarını dizinin terimleri cinsinden yazınız.
S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 ifadeleri elde edilir.
İlk nn terim toplamının tanımı gereği, ardışık toplamlar arasındaki fark o aralıktaki terimlerin toplamını verir.
2
Elde edilen terimleri ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulunuz.
a1r6(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^6(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) eşitliğinden r4=4r^4 = 4 ve pozitif terimli olduğu için r=2r = \sqrt{2} elde edilir.
Dizinin tüm terimleri pozitif olduğundan a1(1+r)≠0a_1(1+r) \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir.
3
a1+a2=3a_1 + a_2 = 3 bilgisini kullanarak a1a_1 değerini bulunuz.
a1(1+2)=3  ⟹  a1=3(2−1)a_1(1+\sqrt{2}) = 3 \implies a_1 = 3(\sqrt{2}-1) bulunur.
İlk terimi bulmak, ilk 6 terim toplamını hesaplamak için gereklidir.
4
Geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamını (S6S_6) hesaplayınız.
S6=a1r6−1r−1=3(2−1)(2)6−12−1=3⋅(8−1)=21S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} = 3(\sqrt{2}-1) \frac{(\sqrt{2})^6 - 1}{\sqrt{2}-1} = 3 \cdot (8 - 1) = 21 bulunur.
r=2r = \sqrt{2} ve a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) değerleri geometrik dizi ilk nn terim toplam formülünde yerine koyulur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı (SnS_n) formülü ve terimler arası geçişlerin uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2648Soru →

Yer çekimi ve sürtünmelerin ihmal edildiği yalıtkan bir ortamda, sabit potansiyel farkına sahip bir üretece bağlı olan iletken paralel levhalar arasındaki uzaklık yarıya indirilirse, bir levhadan serbest bırakılan yüklü bir parçacığın karşı levhaya ulaştığı andaki hızı değişmez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Parçacığın karşı levhaya ulaştığı andaki hızı değişmez.
Üretece bağlı levhalar arasındaki potansiyel fark sabit kalır. Yüklü parçacığın karşı levhaya çarpma hızı yalnızca yapılan elektriksel işe bağlıdır ve bu iş W=qVW = qV olup levhalar arasındaki uzaklıktan bağımsızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Potansiyel farkın durumunun belirlenmesi
VV sabit kalır.
Paralel levhalar üretece bağlı kaldığı sürece, levhalar arasındaki potansiyel fark üretecin gerilimine (VV) eşit olur ve değişmez.
2
Elektriksel iş ve kinetik enerji ilişkisinin kurulması
W=qV=ΔEk=12mv2W = qV = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2
Bir levhadan serbest bırakılan yüklü parçacık karşı levhaya ulaşana kadar elektrik alan yönünde (veya tersi) tüm levha boyunca hareket eder ve yapılan iş elektriksel potansiyel fark ile yükün çarpımına eşittir.
3
Hızın levhalar arası uzaklığa bağlılığının analiz edilmesi
v=2qVmv = \sqrt{\frac{2qV}{m}} formülünde dd parametresi yer almaz.
Yapılan iş doğrudan qq ve VV değerlerine bağlı olup, levhalar arası uzaklık dd'den bağımsızdır. Dolayısıyla uzaklığın yarıya indirilmesi karşı levhaya ulaşma hızını değiştirmez.

Anahtar Kavram

Paralel levhalar arasında yapılan elektriksel işin levhalar arası uzaklıktan bağımsız olması
Soru 2649Soru →

Rezonans durumunda olan seri bir R−L−CR-L-C alternatif akım devresinde, devrenin toplam empedansı minimum değerine ulaşırken devreden geçen etkin akım maksimum değere ulaşır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Rezonans durumunda seri R-L-C devresinin empedansı minimum, etkin akımı ise maksimum olur.
Seri R-L-C devresinde rezonans durumunda indüktif ve kapasitif reaktanslar eşitlenir, bu da empedansı sadece saf dirence (RR) eşit kılarak minimum yapar ve akımı maksimuma ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Rezonans şartını belirleme
Seri bir R-L-C devresinin rezonansa girmesi için indüktif reaktans ile kapasitif reaktans eşit olmalıdır: XL=XCX_L = X_C.
Rezonans frekansında bobin ve kondansatörün akıma karşı gösterdiği reaktif dirençler birbirini dengeler.
2
Empedansın değerini hesaplama
Empedans formülü Z=R2+(XL−XC)2Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} olduğuna göre, XL=XCX_L = X_C için Z=RZ = R olur.
Bu durum empedansın alabileceği en küçük (minimum) değerdir.
3
Etkin akımın durumunu analiz etme
Etkin akım Ietkin=VetkinZI_{etkin} = \frac{V_{etkin}}{Z} formülü ile bulunur. ZZ minimum olduğunda, IetkinI_{etkin} maksimum olur.
Etkin gerilim sabitken akım ile empedans ters orantılıdır.

Anahtar Kavram

Alternatif akım devrelerinde rezonans durumu, empedans ve etkin akım ilişkisi.
Soru 2650Soru →
Her biri 11'den büyük olan aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(b)−6log⁡b(a)=1\log_a(b) - 6\log_b(a) = 1
log⁡b(c2)−log⁡c(b)=3\log_b(c^2) - \log_{\sqrt{c}}(b) = 3
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
log⁡a(c)+log⁡c(a6b2)\log_{\sqrt{a}}(c) + \log_c(a^6 b^2)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Verilen logaritmik denklemler çözüldüğünde değişkenler arasında b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkileri bulunur. Bu ilişkiler istenen ifadede yerine koyulduğunda sonuç 14 olarak elde edilir.
Verilen denklemler logaritmanın taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak çözüldüğünde b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkileri elde edilir. Bu ilişkiler sorulan ifadede yerine yazıldığında taban ve argümanların kuvvetleri oranlanarak ifadenin sayısal değeri 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡a(b)=u\log_a(b) = u dönüşümü yapmak.
u−6u=1  ⟹  u2−u−6=0  ⟹  (u−3)(u+2)=0u - \frac{6}{u} = 1 \implies u^2 - u - 6 = 0 \implies (u-3)(u+2) = 0. a,b>1a, b > 1 olduğundan log⁡a(b)>0\log_a(b) > 0 olmalıdır. Buradan u=3u = 3, yani log⁡a(b)=3  ⟹  b=a3\log_a(b) = 3 \implies b = a^3 elde edilir.
bb ile aa arasındaki üssü ilişkiyi bularak değişken sayısını azaltmak.
2
İkinci denklemde logaritma özelliklerini uygulayarak log⁡b(c)=v\log_b(c) = v dönüşümü yapmak.
2log⁡b(c)−2log⁡c(b)=3  ⟹  2v−2v=3  ⟹  2v2−3v−2=0  ⟹  (2v+1)(v−2)=02\log_b(c) - 2\log_c(b) = 3 \implies 2v - \frac{2}{v} = 3 \implies 2v^2 - 3v - 2 = 0 \implies (2v+1)(v-2) = 0. b,c>1b, c > 1 olduğundan log⁡b(c)>0\log_b(c) > 0 olmalıdır. Buradan v=2v = 2, yani log⁡b(c)=2  ⟹  c=b2\log_b(c) = 2 \implies c = b^2 elde edilir. b=a3b = a^3 yazıldığında c=a6c = a^6 olur.
cc ile bb (ve dolayısıyla aa) arasındaki ilişkiyi kurmak.
3
Elde edilen b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkilerini istenen ifadede yerine yazıp hesaplamak.
log⁡a(c)+log⁡c(a6b2)=log⁡a1/2(a6)+log⁡a6(a6⋅(a3)2)=61/2+log⁡a6(a12)=12+126=12+2=14\log_{\sqrt{a}}(c) + \log_c(a^6 b^2) = \log_{a^{1/2}}(a^6) + \log_{a^6}(a^6 \cdot (a^3)^2) = \frac{6}{1/2} + \log_{a^6}(a^{12}) = 12 + \frac{12}{6} = 12 + 2 = 14 bulunur.
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun log⁡x(y)=1log⁡y(x)\log_x(y) = \frac{1}{\log_y(x)} özelliği, log⁡xn(ym)=mnlog⁡x(y)\log_{x^n}(y^m) = \frac{m}{n}\log_x(y) kuralı ve taban/argüman sınırlamalarına göre logaritmanın işaretinin belirlenmesi.
Soru 2651Soru →

Kütle çekim kuvveti ile sürtünmelerin ihmal edildiği yalıtkan bir ortamda; yüklenerek üreteçten ayrılmış paralel iletken levhalar arasındaki uzaklık artırıldıktan sonra, pozitif yüklü levhanın önünden serbest bırakılan artı yüklü bir parçacığın karşı levhaya ulaştığı andaki kinetik enerjisi ilk duruma göre artar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Parçacığın karşı levhaya ulaştığı andaki kinetik enerjisinin artacağı ifadesi doğrudur.
Levhalar üreteçten ayrıldığında yük miktarı sabit kalır, bu yüzden elektrik alan değişmez. Levhalar arasındaki mesafe artırıldığında potansiyel fark (V=E⋅dV = E \cdot d) artar. Yapılan elektriksel iş W=q⋅VW = q \cdot V olduğundan, artan potansiyel fark yapılan işi ve dolayısıyla parçacığın karşı levhaya ulaştığı andaki kinetik enerjisini artırır.

Adım Adım Çözüm

1
Üreteçten ayrılan paralel levhaların yük durumunun belirlenmesi.
Levhalar üreteçten ayrıldığı için yük (QQ) korunur ve sabit kalır.
Sistem dışarıdan izole olduğu için levhalardaki yük miktarı değişemez.
2
Uzaklık artışının elektrik alan üzerindeki etkisinin analiz edilmesi.
Elektrik alanın büyüklüğü E=Qε0AE = \frac{Q}{\varepsilon_0 A} şeklindedir. QQ ve levha alanı AA sabit olduğundan, uzaklığın (dd) artması elektrik alanı değiştirmez.
Düzgün elektrik alan levhalar arasındaki mesafeden bağımsızdır.
3
Yapılan elektriksel işin ve kinetik enerjinin hesaplanması.
Yapılan iş W=F⋅d′=q⋅E⋅d′W = F \cdot d' = q \cdot E \cdot d' şeklindedir. d′>dd' > d olduğu için yapılan elektriksel iş artar.
Elektriksel kuvvet sabit kalırken hareket doğrultusundaki yol arttığı için elektriksel iş ve dolayısıyla kazanılan kinetik enerji artar.

Anahtar Kavram

Üreteçten ayrılmış paralel levhalarda yükün sabitliği, elektrik alanın uzaklığa bağlı olmaması ve elektriksel iş-enerji ilişkisi.
Soru 2652Soru →
log⁡0,25(x2−x−2)≥−1\log_{0,25}(x^2 - x - 2) \geq -1 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 1'dir.
Logaritma tanım kümesinden gelen x<−1x < -1 veya x>2x > 2 koşulu ile tabanın basit kesir olması sebebiyle eşitsizlik yön değiştirilerek elde edilen −2≤x≤3-2 \leq x \leq 3 aralığının kesişimi [−2,−1)∪(2,3][-2, -1) \cup (2, 3] olur. Bu aralıktaki tam sayılar −2-2 ve 33 olup, toplamları 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x2−x−2>0  ⟹  (x−2)(x+1)>0  ⟹  x∈(−∞,−1)∪(2,∞)x^2 - x - 2 > 0 \implies (x - 2)(x + 1) > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliğin çözülmesi
x2−x−2≤(0,25)−1  ⟹  x2−x−2≤4  ⟹  x2−x−6≤0x^2 - x - 2 \leq (0,25)^{-1} \implies x^2 - x - 2 \leq 4 \implies x^2 - x - 6 \leq 0
Logaritmanın tabanı olan 0,25 değeri 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Eşitsizlik sisteminin ortak çözümünün bulunması
x∈[−2,−1)∪(2,3]x \in [-2, -1) \cup (2, 3]
x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] olup, bu küme ile tanım kümesinin kesişimi alınmalıdır.
4
Koşulu sağlayan tam sayıların toplanması
Tam sayılar: −2-2 ve 33. Toplamları: −2+3=1-2 + 3 = 1.
Elde edilen en geniş çözüm kümesindeki tam sayı değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler ve Tanım Kümesi Kısıtları
Soru 2653Soru →

Sığası CC olan özdeş KK ve LL sığaçları (kondansatörleri), uçları arasındaki potansiyel farkı VV olan bir üretece paralel bağlanmıştır. Bu durumda KK sığacında depolanan elektriksel potansiyel enerji E0E_0'dır.

Sistem bu konumdayken, üreteç devreden çıkarılmadan KK sığacının levhaları arasına dielektrik katsayısı κ=2\kappa = 2 olan yalıtkan bir malzeme, levhalar arasını tamamen dolduracak şekilde yerleştiriliyor. Daha sonra üreteç devreden sökülerek sığaçlar baş başa bırakılıyor. Son aşamada ise KK sığacının levhaları arasındaki yalıtkan malzeme tamamen çıkarılıyor.

Buna göre;

I. Son durumda LL sığacının uçları arasındaki potansiyel farkı 1,5V1,5V olur.
II. Son durumda KK sığacında depolanan elektriksel potansiyel enerji 2,25E02,25 E_0 olur.
III. Yalıtkan malzeme çıkarılırken elektriksel kuvvetlere karşı iş yapılmıştır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

L sığacının uçları arasındaki potansiyel farkının 1,5V olacağını, K sığacında depolanan enerjinin 2,25 E_0 olacağını ve yalıtkan malzeme çıkarılırken elektriksel kuvvetlere karşı iş yapılacağını belirten seçenek doğrudur.
Önermelerin üçü de doğrudur. Son durumda L sığacının potansiyel farkı 1,5V, K sığacının enerjisi 2,25 E_0 olur ve dielektrik malzeme çıkarılırken elektriksel kuvvetlere karşı iş yapılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumda K sığacının sığasını, yükünü ve depoladığı enerjiyi belirleme.
CK=CC_K = C, CL=CC_L = C ve sığaçlar paralel bağlı olduğundan VK=VL=VV_K = V_L = V olur. K sığacının yük�� QK=CVQ_K = CV, L sığacının yükü QL=CVQ_L = CV olur. K sığacında depolanan enerji E0=12CV2E_0 = \frac{1}{2}CV^2 olarak tanımlanır.
Sistemin başlangıçtaki elektriksel parametrelerini belirlemek için.
2
K sığacının içerisine dielektrik malzeme yerleştirildiğinde, üreteç bağlıyken yük ve sığa değişimlerini hesaplama.
CK′=2CC_K' = 2C olur. Üreteç bağlı kaldığı için potansiyel farkları sabit kal��r (VK′=VL′=VV_K' = V_L' = V). Bu durumda K sığacının yeni yükü QK′=2CVQ_K' = 2CV, L sığacının yükü ise değişmeyerek QL′=CVQ_L' = CV olur. Sistemin toplam yükü Qtoplam=2CV+CV=3CVQ_{toplam} = 2CV + CV = 3CV değerine ulaşır.
Üreteç sökülmeden önce sığaçlarda biriken toplam yükü belirlemek için.
3
Üreteç söküldükten sonra dielektrik malzeme çıkarıldığında sığaçların yeni ortak potansiyelini bulma.
Üreteç söküldüğü için sistem dışarıya karşı yalıtılmıştır ve toplam yük 3CV3CV olarak korunur. Dielektrik çıkarıldığında K sığacının sığası tekrar CK′′=CC_K'' = C olur. Paralel bağlı sistemin eşdeğer sığası Ces\c=CK′′+CL=C+C=2CC_{eş} = C_K'' + C_L = C + C = 2C olur. Yeni ortak potansiyel Vortak=QtoplamCes\c=3CV2C=1,5VV_{ortak} = \frac{Q_{toplam}}{C_{eş}} = \frac{3CV}{2C} = 1,5V olarak bulunur. L sığacının potansiyel farkı 1,5V1,5V olur (I. önerme doğrudur).
Yükün korunumu ve paralel bağlı sığaçların ortak potansiyel farkı kuralını uygulamak için.
4
Son durumda K sığacında depolanan elektriksel potansiyel enerjiyi hesaplama.
Son durumda K sığacının sığası CC ve potansiyeli 1,5V1,5V olduğundan depolanan enerji UK′′=12C(1,5V)2=1,125CV2U_K'' = \frac{1}{2} C (1,5V)^2 = 1,125 CV^2 olur. Başlangıçtaki E0=12CV2E_0 = \frac{1}{2}CV^2 değeri cinsinden yazılırsa UK′′=2,25E0U_K'' = 2,25 E_0 olur (II. önerme doğrudur).
Enerjinin potansiyel farkı ve sığaya bağlı formülünü uygulamak için.
5
Dielektrik malzeme çıkarılırken yapılan işin yönünü belirleme.
Üreteç söküldükten hemen sonraki toplam enerji Uilk=12(2C)V2+12CV2=1,5CV2=3E0U_{ilk} = \frac{1}{2}(2C)V^2 + \frac{1}{2}CV^2 = 1,5 CV^2 = 3E_0 idi. Malzeme çıkarıldıktan sonraki toplam enerji Uson=12C(1,5V)2+12C(1,5V)2=2,25CV2=4,5E0U_{son} = \frac{1}{2}C(1,5V)^2 + \frac{1}{2}C(1,5V)^2 = 2,25 CV^2 = 4,5E_0 olur. Enerji artışı (ΔU=1,5E0>0\Delta U = 1,5E_0 > 0) dış kuvvetin yaptığı işe eşittir. Enerji arttığı için elektriksel kuvvetlere karşı iş yapılmıştır (III. önerme doğrudur).
İş-enerji teoremini kullanarak elektriksel kuvvetlere karşı iş yapılıp yapılmadığını analiz etmek için.

Anahtar Kavram

Sığaçların Paralel Bağlanması ve Enerjisi
Soru 2654Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a + 1
g(x)=−x2+(4a−2)x−4a2+5a+3g(x) = -x^2 + (4a-2)x - 4a^2 + 5a + 3
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 olarak verilmektedir.
Buna göre, T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5\sqrt{5}

Cevap

Tepe noktaları arasındaki en küçük uzaklık 5\sqrt{5} birimdir.
Tepe noktalarının koordinatları doğru olarak T1(a,−a+1)T_1(a, -a+1) ve T2(2a−1,a+4)T_2(2a-1, a+4) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle d2=(a−1)2+(2a+3)2=5a2+10a+10d^2 = (a-1)^2 + (2a+3)^2 = 5a^2 + 10a + 10 fonksiyonu elde edilir. Baş katsayısı pozitif olan bu ikinci dereceden fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında, yani a=−1a = -1 apsisinde alır. Bu değer yerine yazıldığında d2=5d^2 = 5 olur. Buradan minimum uzaklık 5\sqrt{5} birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatlarını hesaplayınız.
T1(a,−a+1)T_1(a, -a+1) koordinatları bulunur.
f(x)=x2−2ax+a2−a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a + 1 parabolünde tepe noktasının apsisi r1=−−2a2=ar_1 = -\frac{-2a}{2} = a ve ordinatı k1=f(a)=a2−2a2+a2−a+1=−a+1k_1 = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - a + 1 = -a+1 olur.
2
g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatlarını hesaplayınız.
T2(2a−1,a+4)T_2(2a-1, a+4) koordinatları bulunur.
g(x)=−x2+(4a−2)x−4a2+5a+3g(x) = -x^2 + (4a-2)x - 4a^2 + 5a + 3 parabolünde tepe noktasının apsisi r2=−4a−22(−1)=2a−1r_2 = -\frac{4a-2}{2(-1)} = 2a-1 ve ordinatı k2=g(2a−1)=−(2a−1)2+(4a−2)(2a−1)−4a2+5a+3=a+4k_2 = g(2a-1) = -(2a-1)^2 + (4a-2)(2a-1) - 4a^2 + 5a + 3 = a+4 olur.
3
T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın karesini (d2d^2) bulunuz.
d2=5a2+10a+10d^2 = 5a^2 + 10a + 10 ifadesi elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden d2=(r2−r1)2+(k2−k1)2=(2a−1−a)2+(a+4−(−a+1))2=(a−1)2+(2a+3)2d^2 = (r_2 - r_1)^2 + (k_2 - k_1)^2 = (2a - 1 - a)^2 + (a + 4 - (-a + 1))^2 = (a-1)^2 + (2a+3)^2 olur.
4
d2d^2 ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktasını bularak en küçük değerini bulunuz.
d2d^2 ifadesinin en küçük değeri 55 olarak bulunur.
5a2+10a+105a^2 + 10a + 10 ifadesinin simetri ekseni a=−102⋅5=−1a = -\frac{10}{2 \cdot 5} = -1 olup, bu değer yerine yazıldığında en küçük değer 5(−1)2+10(−1)+10=55(-1)^2 + 10(-1) + 10 = 5 olur.
5
Karekök alarak T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki minimum uzaklığı hesaplayınız.
En küçük uzaklık 5\sqrt{5} birimdir.
Uzaklığın karesinin en küçük değeri 55 olduğundan, uzaklığın en küçük değeri 5\sqrt{5} olur.

Anahtar Kavram

Parabollerin tepe noktalarının genel koordinatlarının bulunması, iki nokta arasındaki uzaklığın parametrik olarak ifade edilmesi ve bu uzaklığın minimum değerinin ikinci dereceden fonksiyonların tepe noktası özellikleri kullanılarak bulunması.
Soru 2655Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6=21⋅S2S_6 = 21 \cdot S_2

ve bu dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 olduğuna göre, dizinin ilk 55 teriminin toplamı (S5S_5) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 155

Cevap

Dizinin ilk 5 teriminin toplamı 155'tir.
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S6/S2S_6 / S_2 oranı sadeleştirilmiş, elde edilen r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0 denkleminden dizinin pozitif terimli olması şartıyla ortak çarpan r=2r = 2 olarak bulunmuştur. Daha sonra a1=5a_1 = 5 ve r=2r = 2 değerleri S5S_5 formülünde yerine yazılarak doğru sonuç olan 155 elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
S6S_6 ve S2S_2 toplamlarını geometrik dizi toplam formülüyle oranlama
S6S2=r4+r2+1\frac{S_6}{S_2} = r^4 + r^2 + 1
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1} formülünü uygulayarak ortak terimleri sadeleştirmek.
2
Verilen oranı kullanarak r2r^2 cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde etme
r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0
S6S2=21\frac{S_6}{S_2} = 21 eşitliğini denklemde yerine koymak.
3
Denklemi çözerek ortak çarpan rr'yi bulma
r=2r = 2
(r2−4)(r2+5)=0(r^2-4)(r^2+5)=0 çarpanlara ayırmasından r2=4r^2=4 ve pozitif terimli dizi şartından r=2r=2 elde edilir.
4
İlk terim a1=5a_1=5 ve r=2r=2 değerleriyle S5S_5 toplamını hesaplama
S5=155S_5 = 155
S5=a1⋅r5−1r−1S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5-1}{r-1} formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve sadeleştirme yöntemleri
Soru 2656Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC olarak adlandırılıyor. AA noktası xx-ekseninin negatif kısmında, BB noktası ise xx-ekseninin pozitif kısmında yer almaktadır. AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla 22 birim ve 66 birimdir. Parabolün yy-eksenini kestiği CC noktasının koordinatları toplamı −12-12 olduğuna göre, parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı -16'dır.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar A(-2, 0) ve B(6, 0), y-eksenini kestiği nokta C(0, -12) olarak belirlendikten sonra denklem f(x) = (x+2)(x-6) olarak elde edilir. Bu denklemin tepe noktasının apsisi r = 2 olup, fonksiyonda yerine yazıldığında ordinat değeri k = -16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B noktalarının koordinatlarını belirleme
A(−2,0)A(-2, 0) ve B(6,0)B(6, 0)
AA noktası negatif, BB noktası pozitif xx-ekseninde yer almakta ve orijine uzaklıkları sırasıyla 22 ve 66 birim olarak verilmiştir.
2
C noktasının koordinatlarını belirleme
C(0,−12)C(0, -12)
CC noktası yy-ekseni üzerinde olduğundan apsisi sıfırdır. Koordinatları toplamı −12-12 olduğuna göre ordinatı −12-12 olmalıdır.
3
Parabolün genel denklemini yazma ve başkatsayıyı bulma
f(x)=x2−4x−12f(x) = x^2 - 4x - 12
Eksenleri kestiği noktalar bilinen parabolün genel denklemi f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) şeklindedir. x1=−2x_1 = -2 ve x2=6x_2 = 6 değerleri için f(x)=a(x+2)(x−6)f(x) = a(x+2)(x-6) elde edilir. C(0,−12)C(0, -12) noktasından geçtiği için f(0)=a(2)(−6)=−12⇒a=1f(0) = a(2)(-6) = -12 ⇒ a = 1 olur.
4
Tepe noktasının koordinatlarını hesaplama
Tepe noktasının ordinatı k=−16k = -16
Parabolün tepe noktasının apsisi köklerin ortalama değeridir: r=−2+62=2r = \frac{-2 + 6}{2} = 2. Ordinatı ise k=f(r)=f(2)=22−4(2)−12=−16k = f(r) = f(2) = 2^2 - 4(2) - 12 = -16 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün eksenleri kestiği noktalardan yararlanılarak denkleminin yazılması ve tepe noktasının bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2657Soru →
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere, (an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=x⋅n−122n−ya_n = \frac{x \cdot n - 12}{2n - y}
biçiminde tanımlanıyor.

(an)(a_n) dizisi bir sabit dizi olduğuna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -24

Cevap

Farklı değerlerin toplamı -24'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, dizinin sabit dizi olma şartı olan katsayılar oranının eşitliği (x⋅y=24x \cdot y = 24) ile dizinin tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olması şartının (paydayı sıfır yapan n=y/2n = y/2 değerinin pozitif tam sayı olmaması, yani yy'nin pozitif çift tam sayı olmaması) birlikte uygulanmasıyla elde edilen farklı x+yx+y değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi koşulunu uygulamak için pay ve paydadaki dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranlanır.
x2=−12−y⇒x⋅y=24\frac{x}{2} = \frac{-12}{-y} \Rightarrow x \cdot y = 24 elde edilir.
Dizinin genel teriminin sadeleşerek nn'den bağımsız bir sabit değer alabilmesi için.
2
Dizinin tüm pozitif tam sayılarda (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) tanımlı olabilmesi için paydayı sıfır yapan nn değerinin pozitif bir tam sayı olmaması gerektiği belirlenir.
2n−y=0⇒n=y22n - y = 0 \Rightarrow n = \frac{y}{2} olur. Buradan yy sayısının pozitif bir çift tam sayı olamayacağ�� sonucuna varılır.
Tanım kümesinde tanımsız eleman kalmaması ve ifadenin bir dizi belirtebilmesi için.
3
x.y = 24 denklemini sağlayan tam sayı bölen çiftlerinden yy'nin pozitif çift tam sayı olmadığı durumlar listelenir ve her durum için x+yx+y değerleri hesaplanır.
yy değerleri: 1,3,−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−241, 3, -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24 olabilir. Bu değerlere karşılık gelen x+yx+y toplamları sırasıyla: 25,11,−25,−14,−11,−10,−10,−11,−14,−2525, 11, -25, -14, -11, -10, -10, -11, -14, -25 olarak bulunur.
Koşulları sağlayan tüm olası tam sayı çiftlerini tek tek değerlendirmek için.
4
Elde edilen farklı x+yx+y değerleri kümesi yazılır ve elemanları toplanır.
Farklı x+yx+y değerleri kümesi {25,11,−25,−14,−11,−10}\{25, 11, -25, -14, -11, -10\} olup, bu elemanların toplamı 25+11+(−25)+(−14)+(−11)+(−10)=−2425 + 11 + (-25) + (-14) + (-11) + (-10) = -24 elde edilir.
Soru kökünde istenen farklı toplam değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve tanım kümesi koşulu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2658Soru →
1'den farklı pozitif xx ve yy gerçel sayıları için,
log⁡2x+log⁡y4=3\log_2 x + \log_y 4 = 3
log⁡x2+log⁡4y=32\log_x 2 + \log_4 y = \frac{3}{2}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı 12'dir.
Verilen denklem sisteminde taban değiştirme kuralları uygulandığında a=log⁡2xa = \log_2 x ve b=log⁡2yb = \log_2 y için a=ba = b eşitliği ve a2−3a+2=0a^2 - 3a + 2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 11 ve 22 olup, buna karşılık gelen xx ve yy değerlerinden x+yx+y toplamı 44 veya 88 değerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 1212'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadeleri taban değiştirme özelliğini kullanarak aynı tabana getirmek.
log⁡y4=log⁡24log⁡2y=2log⁡2y\log_y 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 y} = \frac{2}{\log_2 y} , log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} ve log⁡4y=log⁡2ylog⁡24=log⁡2y2\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2} ifadeleri elde edilir.
Sistemdeki tüm logaritmaları 2 tabanında yazarak ortak değişkenler elde etmek amaçlanır.
2
log⁡2x=a\log_2 x = a ve log⁡2y=b\log_2 y = b değişken değiştirmelerini yaparak denklemleri düzenlemek.
Birinci denklem: a+2b=3  ⟹  ab+2=3ba + \frac{2}{b} = 3 \implies ab + 2 = 3b
İkinci denklem: 1a+b2=32  ⟹  2+ab2a=32  ⟹  ab+2=3a\frac{1}{a} + \frac{b}{2} = \frac{3}{2} \implies \frac{2+ab}{2a} = \frac{3}{2} \implies ab + 2 = 3a
denklemleri elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemiyle logaritmik denklem sistemi cebirsel bir denklem sistemine dönüştürülür.
3
Elde edilen cebirsel denklem sistemini çözmek.
ab+2ab + 2 ifadeleri eşit olduğundan, 3a=3b  ⟹  a=b3a = 3b \implies a = b olur. Bu eşitlik birinci denklemde yerine yazılırsa: a2−3a+2=0  ⟹  (a−1)(a−2)=0a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a-1)(a-2) = 0 denklemi bulunur. Buradan a=1a = 1 veya a=2a = 2 elde edilir. a=ba = b olduğundan, (a,b)(a,b) ikilisi (1,1)(1,1) veya (2,2)(2,2) olabilir.
Denklemlerin ortak çözümü yapılarak aa ve bb değişkenlerinin alabileceği değerler belirlenir.
4
Değişken değiştirmeyi geri alarak xx ve yy değerlerini bulup x+yx+y toplamlarını hesaplamak.
Birinci durum: a=1,b=1  ⟹  log⁡2x=1  ⟹  x=2a = 1, b = 1 \implies \log_2 x = 1 \implies x = 2 ve log⁡2y=1  ⟹  y=2\log_2 y = 1 \implies y = 2 olur. Buradan x+y=2+2=4x+y = 2+2=4 bulunur.
İkinci durum: a=2,b=2  ⟹  log⁡2x=2  ⟹  x=4a = 2, b = 2 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 4 ve log⁡2y=2  ⟹  y=4\log_2 y = 2 \implies y = 4 olur. Buradan x+y=4+4=8x+y = 4+4=8 bulunur.
x+yx+y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı: 4+8=124 + 8 = 12 olur.
Bulunan değişken değerleri başlangıçtaki logaritma tanımlarında yerine yazılarak aranan toplamın alabileceği değerler hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 2659Soru →

Dünya yüzeyine dik olarak yerleştirilmiş, kendi içinde türdeş ve dairesel halka şeklindeki çok büyük boyutlu bir yapının kütle merkezi halkanın geometrik merkezinde bulunurken, ağırlık merkezi bu geometrik merkezin düşey doğrultuda daha aşağısında yer alır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Çok büyük boyutlu dairesel halkanın kütle merkezi geometrik merkezinde yer alırken, yükseklikle azalan yer çekimi ivmesi nedeniyle ağırlık merkezi geometrik merkezin düşey doğrultuda aşağısındad��r.
Türdeş halkada kütle dağılımı simetrik olduğundan kütle merkezi merkezdedir; ancak yükseklikle azalan yer çekimi ivmesi alt kısımdaki ağırlık etkisini artırarak ağırlık merkezini aşağı çeker.

Adım Adım Çözüm

1
Halkanın türdeşlik ve simetri durumuna göre kütle merkezinin konumunu belirleyin.
Halka kendi içinde türdeş ve geometrik olarak tam bir daire şeklinde olduğundan, kütle dağılımı merkez etrafında simetriktir. Bu nedenle kütle merkezi halkanın geometrik merkezi olan OO noktasıdır.
Türdeş ve geometrik simetriye sahip homojen cisimlerin kütle merkezleri, cismin geometrik merkezleriyle çakışır.
2
Yer çekimi ivmesinin yükseklikle olan ilişkisini ve halka üzerindeki ağırlık dağılımını analiz edin.
Dünya yüzeyinden yukarıya doğru çıkıldıkça yer çekimi ivmesi (gg) azalır. Dolayısıyla halka üzerindeki alt noktalarda yer çekimi ivmesi, üst noktalardakine göre daha büyüktür. Bu durum halkanın alt yarısının ağırlığının, üst yarısının ağırlığından daha fazla olmasına yol açar.
Bir cismin ağırlığı, kütlesi ile o noktadaki yer çekimi ivmesinin çarpımına eşittir (G=m⋅gG = m \cdot g).
3
Kütle merkezi ile ağırlık merkezi arasındaki konumsal ilişkiyi çıkarın.
Ağırlık dağılımı alt kısımda daha yoğun olduğu için, toplam ağırlık kuvvetinin uygulama noktası olan ağırlık merkezi, kütle merkezinin (geometrik merkezin) düşey doğrultuda altında yer alır.
Ağırlık merkezi, cismi oluşturan tüm parçacıkların ağırlıklarının tork dengesi noktasıdır ve ağırlığı büyük olan alt kısma daha yakındır.

Anahtar Kavram

Kütle merkezi kütle dağılımına bağlı bir geometrik özellik iken, ağırlık merkezi yer çekimi ivmesinin dağılımına da bağlıdır.
Soru 2660Soru →

Etkin gerilimi VV olan bir alternatif akım kaynağına seri bağlı, direnci RR olan bir lamba ile ideal bir sığaçtan oluşan devre çalışmaktadır. Bu durumda lambanın uçları aras��ndaki etkin gerilim VLV_L, sığacın uçları arasındaki etkin gerilim ise VCV_C olarak ölçülüyor.

Buna göre, kaynağın etkin gerilimi sabit tutularak frekansı artırılırsa;
I. V=VL+VCV = V_L + V_C eşitliği geçerlidir.
II. Lambanın uçları arasındaki etkin gerilim (VLV_L) artar.
III. Sığacın uçları arasındaki etkin gerilim (VCV_C) azalır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur.
Alternatif akım devrelerinde, seri bağlı direnç (lamba) ve sığacın uçları arasındaki gerilimler arasında 90∘90^\circ faz farkı vardır. Bu nedenle kaynağın etkin gerilimi, gerilimlerin skaler toplamına değil, vektörel (fazör) toplamına eşittir (V2=VL2+VC2V^2 = V_L^2 + V_C^2). Kaynağın frekansı (ff) artırıldığında, sığacın kapasitif reaktansı (XC=12πfCX_C = \frac{1}{2\pi f C}) azalır. Bu durum devrenin toplam empedansını (Z=R2+XC2Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}) düşürür. Kaynağın etkin gerilimi sabit olduğundan, devreden geçen etkin akım (I=VZI = \frac{V}{Z}) artar. Lambanın uçları arasındaki etkin gerilim (VL=I⋅RV_L = I \cdot R) akım arttığı için artar. Kaynağın toplam gerilimi sabit olduğuna göre, V2=VL2+VC2V^2 = V_L^2 + V_C^2 bağıntısı gereği, VLV_L arttığında VCV_C azalmalıdır. Dolayısıyla II ve III numaralı öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Frekans artışının sığacın kapasitif reaktansına (XCX_C) olan etkisini belirlemek.
XC=12πfCX_C = \frac{1}{2\pi f C} formülüne göre frekans (ff) arttığında XCX_C azalır.
Sığacın alternatif akıma karşı gösterdiği direnç frekansla ters orantılıdır.
2
Reaktans değişiminin devrenin toplam empedansına (ZZ) ve etkin akımına (II) etkisini hesaplamak.
Z=R2+XC2Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} formülünden XCX_C azaldığı için ZZ azalır. Etkin gerilim sabit olduğundan I=VZI = \frac{V}{Z} bağıntısına göre akım artar.
Devrenin toplam direnci (empedans) azaldığında, sabit gerilim altında devreden geçen akım artar.
3
Akım değişimini kullanarak elemanların üzerindeki etkin gerilimlerin (VLV_L ve VCV_C) nasıl değişeceğini bulmak.
VL=I⋅RV_L = I \cdot R bağıntısına göre akım arttığı için lamba gerilimi (VLV_L) artar. Gerilimlerin fazör toplamı (V2=VL2+VC2V^2 = V_L^2 + V_C^2) sabit olduğundan, VLV_L arttığında VCV_C azalmalıdır. Ayrıca gerilimlerin skaler toplamı olan V=VL+VCV = V_L + V_C ifadesi yanlış olup vektörel toplam geçerlidir.
Direnç üzerindeki gerilim akımla doğru orantılıdır; devrenin toplam gerilimi ise faz farkı nedeniyle Pisagor bağıntısı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Alternatif akım devrelerinde empedans, faz farkı ve frekansın reaktansa etkisi
ÖncekiSayfa 133 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin