Tüm alıştırma soruları

Soru 2661Soru →

Etkin gerilimi sabit ve frekansı değiştirilebilen bir alternatif akım kaynağına seri bağlı direnç, ideal bobin ve sığaçtan oluşan RLC devresinde; direncin uçlarındaki etkin gerilim $V_R$ , bobinin uçlarındaki etkin gerilim $V_L$ ve sığacın uçlarındaki etkin gerilim $V_C$ 'dir. Kaynağın frekansı bir miktar artırıldığında $V_R$ geriliminin değişmediği gözlendiğine göre, başlangıçta devrenin toplam etkin gerilimi $V = V_R + (V_L - V_C)$ cebirsel bağıntısı ile hesaplanır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Toplam gerilim, bileşenlerin uçlarındaki gerilimlerin cebirsel toplamı ile değil, aralarındaki faz farkından dolayı vektörel (fazör) toplamı olan

V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}

formülü ile hesaplanır. Bu nedenle ifade yanlıştır.

Alternatif akım devrelerinde seri bağlı bileşenlerin uçlarındaki etkin gerilimler doğrudan toplanamaz. Direnç gerilimi ile reaktif bileşenlerin gerilimleri arasında faz farkı bulunduğundan, toplam gerilim vektörel (fazör) toplam ile bulunur. Bu durum

V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}

bağıntısı ile ifade edilir ve öncüldeki cebirsel ifade bu kuralı ihlal ettiği için yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Direnç gerilimindeki değişimi analiz etmek

V_R = I_{\text{etkin}} \cdot R

ifadesinde

R

sabit olduğundan, frekans değiştiğinde

V_R

'nin değişmemesi devreden geçen etkin akımın (

I_{\text{etkin}}

) de��işmediğini gösterir.

Direnç uçlarındaki gerilimin akımla doğru orantılı olmasından yararlanarak akımın sabit kaldığını belirlemek.

2

Empedansın durumunu belirlemek

Kaynağın etkin gerilimi

V

sabit iken etkin akım da değişmediği için, Ohm yasası gereği devrenin toplam empedansı (

Z

) değişmemiştir.

I_{\text{etkin}} = V / Z

bağıntısına göre akım ve gerilim sabit ise empedansın da sabit kalması gerektiğini görmek.

3

Reaktansların frekansla değişimini incelemek

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

empedans formülünde

R

sabit olduğundan, frekans artışına rağmen

Z

'nin sabit kalması başlangıçtaki

|X_L - X_C|

farkının son durumdaki

|X_L' - X_C'|

farkına eşit olduğunu gösterir. Frekans arttıkça

X_L

artıp

X_C

azaldığı için bu durum, devrenin başlangıçta rezonans frekansının altında (kapasitif) olduğunu ve frekans artışıyla rezonans frekansının üstüne (indüktif) geçtiğini kanıtlar.

Frekans değişiminin bobin ve sığacın reaktansları üzerindeki zıt etkisini ve bunun empedansa yansımasını anlamak.

4

Toplam gerilim bağıntısını yazmak

Direnç üzerindeki gerilim ile bobin ve sığaç üzerindeki net gerilim (

V_L - V_C

) arasında

90^\circ

faz farkı vardır. Bu nedenle devrenin toplam gerilimi cebirsel toplamla değil,

V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}

vektörel (fazör) toplamıyla hesaplanmalıdır.

Alternatif akım devrelerinde faz farkından dolayı skaler toplama yapılamayacağını göstererek verilen ifadenin yanlış olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Alternatif akım RLC devrelerinde gerilimlerin fazör (vektörel) toplamı

Soru 2662Soru →

Bir cismin havaya fırlatıldıktan

t

saniye sonra yerden yüksekliği metre cinsinden

h(t) = -t^2 + 10t - 9

fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, bu cismin yerden yüksekliğinin en az

12

metre olduğu süre kaç saniyedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Cismin yerden yüksekliğinin en az

12

metre olduğu süre

4

saniyedir.

Cismin yüksekliğini veren

-t^2 + 10t - 9

ifadesinin

12

metreden büyük ya da eşit olduğu zaman dilimi, ikinci dereceden

t^2 - 10t + 21 \leq 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi olan

[3, 7]

kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu

7 - 3 = 4

saniyedir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşulu belirten eşitsizliğin yazılması

-t^2 + 10t - 9 \geq 12

Cismin yüksekliğinin en az

12

metre olması istendiği için yükseklik fonksiyonu

12

'ye büyük veya eşit olmalıdır.

2

Eşitsizliğin sıfırla karşılaştırılacak biçimde düzenlenmesi

t^2 - 10t + 21 \leq 0

İkinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesini yapabilmek için ifadenin bir tarafı sıfır yapılmalıdır.

3

Köklerin bulunması ve çarpanlara ayırma

(t-3)(t-7) \leq 0 \implies t_1 = 3,\, t_2 = 7

Eşitsizlik tablosunda yer alacak sınır değerlerini bulmak amacıyla ifadenin kökleri hesaplanır.

4

İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralığının belirlenmesi

t \in [3, 7]

Başkatsayı pozitif olduğundan en sağdan '+' ile başlanır, köklerde işaret değiştirilerek '-' bölge taranır.

5

Geçen sürenin hesaplanması

7 - 3 = 4

saniye

Cismin

[3, 7]

saniye aralığında bu koşulu sağladığı görülür ve bu aralığın uzunluğu hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin sınır değerler analizi ve işaret tablosu yardımıyla çözümü.

Soru 2663Soru →

$x > -2$ olmak üzere, türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi

f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x+2} + 3x^2

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(2) = 8$ olduğuna göre, $f(1)$ değeri kaçtır?

-\frac{5}{2}

-\frac{1}{2}

0

\frac{3}{2}

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{2}$

Cevap

3/2

Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde

f'(x) = 3x^2 + x - 2

olur. Bu ifadenin integrali alındığında

f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C

elde edilir.

f(2) = 8

bilgisi kullanıldığında

8 + 2 - 4 + C = 8

denkleminden

C = 2

bulunur. Fonksiyon kuralı

f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 2

olarak kesinleşir. Bu kuralda

x = 1

yazıldığında

f(1) = 1 + \frac{1}{2} - 2 + 2 = \frac{3}{2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Türev fonksiyonundaki rasyonel ifade çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.

f'(x) = x - 2 + 3x^2

İntegrasyon işlemini kolaylaştırmak için türev ifadesi en sade biçimine getirilir.

2

Türev fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak genel fonksiyon kuralı elde edilir.

f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C

Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınmalıdır.

3

f(2) = 8

başlangıç koşulu fonksiyon kuralında yerine yazılarak integral sabiti bulunur.

C = 2

Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla integral sabiti olan C'nin tek bir değeri belirlenir.

4

Elde edilen

f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 2

fonksiyonunda

x = 1

yazılarak sonuç hesaplanır.

f(1) = \frac{3}{2}

Bizden istenen f(1) değerine ulaşmak için fonksiyonda x yerine 1 yazılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve başlangıç koşulu yardımıyla fonksiyonun kendisini elde etme.

Soru 2664Soru →

x

ve

y

,

1

'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_3(x \cdot y) = 5

\log_9\left(\frac{x}{y}\right) = 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $\log_y x$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{3}{7}

\frac{11}{9}

\frac{7}{3}

\frac{3}{2}

\frac{2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{3}$

Cevap

Logaritma fonksiyonunun çarpım, bölüm ve taban değiştirme özellikleri kullanılarak elde edilen oran yedi bölü üçtür.

Logaritmanın çarpım özelliğiyle birinci denklem log_3 x + log_3 y = 5 olarak yazılır. İkinci denklemde 9 tabanı 3^2 şeklinde yazılarak kuvvet başa 1/2 çarpanı olarak getirilir ve bölüm özelliğiyle 1/2(log_3 x - log_3 y) = 1, yani log_3 x - log_3 y = 2 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden log_3 x = 7/2 ve log_3 y = 3/2 bulunur. Taban değiştirme kuralına göre log_y x = (log_3 x) / (log_3 y) olduğundan, cevap yedi bölü üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Çarpımın logaritması özelliğini kullanarak birinci denklemi düzenleme

\log_3 x + \log_3 y = 5

\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c

özelliği gereğidir.

2

Bölümün logaritması ve taban değiştirme özelliklerini kullanarak ikinci denklemi düzenleme

\log_3 x - \log_3 y = 2

\log_9\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{2}\log_3\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{2}(\log_3 x - \log_3 y) = 1

eşitliğinden elde edilir.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme

\log_3 x = \frac{7}{2}

ve

\log_3 y = \frac{3}{2}

Denklemler taraf tarafa toplanarak

2\log_3 x = 7

elde edilir ve ardından yerine koyma yöntemi kullanılır.

4

Taban değiştirme kuralı yardımıyla istenen ifadeyi hesaplama

\log_y x = \frac{7}{3}

\log_y x = \frac{\log_3 x}{\log_3 y} = \frac{7/2}{3/2} = \frac{7}{3}

taban değiştirme kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2665Soru →

Aşağıda verilen parabol denklemleri ile bu parabollerin koordinat eksenleriyle olan kesişim özelliklerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x) parabolü x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birim olan ifadeyle, g(x) parabolü x-eksenine teğet ve y-eksenini (0, -9) noktasında kesen ifadeyle, h(x) parabolü ise eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 6 birimkare olan ifadeyle e��leşir.

f(x) fonksiyonunun kökleri -1 ve 5 olup aralarındaki uzaklık 6 birimdir. g(x) fonksiyonu tam kare ifadesi olduğundan x-eksenine teğettir ve y-eksenini -9 ordinatlı noktada keser. h(x) fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı 2 birim, yüksekliği 6 birim olup alanı 6 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 4x - 5 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

x-eksenini kestiği noktalar için y = 0 yazılırsa: x^2 - 4x - 5 = 0 => (x - 5)(x + 1) = 0 buradan x_1 = -1 ve x_2 = 5 elde edilir. Bu noktalar arasındaki uzaklık |5 - (-1)| = 6 birimdir.

Fonksiyonun x-eksenini kesti��i noktalar arasındaki uzaklığı belirlemek için.

2

g(x) = -x^2 + 6x - 9 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktalarını bulunuz.

x-eksenini kestiği noktalar için y = 0 yazılırsa: -x^2 + 6x - 9 = 0 => -(x - 3)^2 = 0 buradan çift katlı kök x = 3 elde edilir. Bu durum grafiğin x-eksenine x = 3 noktasında teğet olduğunu gösterir. y-eksenini kestiği nokta için x = 0 yazılırsa g(0) = -9 bulunur.

Fonksiyonun x-eksenine teğet olup olmadığını ve y-eksenini kestiği noktayı belirlemek için.

3

h(x) = 2x^2 - 8x + 6 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları ve bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanını bulunuz.

x-eksenini kestiği noktalar için y = 0 yazılırsa: 2x^2 - 8x + 6 = 0 => 2(x^2 - 4x + 3) = 0 => 2(x - 1)(x - 3) = 0 buradan x_1 = 1 ve x_2 = 3 elde edilir. Eksenleri kestiği noktalar (1, 0) ve (3, 0) olup aralarındaki uzaklık (üçgenin tabanı) |3 - 1| = 2 birimdir. y-eksenini kestiği nokta için x = 0 yazılırsa h(0) = 6 elde edilir, yani (0, 6) noktasıdır (üçgenin yüksekliği 6 birimdir). Üçgenin alanı = (Taban * Yükseklik) / 2 = (2 * 6) / 2 = 6 birimkare bulunur.

Eksenleri kestiği noktalarla oluşan üçgenin alanını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktalar arasındaki geometrik ilişkiler.

Soru 2666Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları ile türevlerinin bazı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
$1$	$2$	$-3$	$3$	$2$
$3$	$4$	$5$	$1$	$-2$

$h(x) = f(x^3 \cdot g(x))$

biçiminde tanımlanan $h$ fonksiyonu için $h'(1)$ değeri kaçtır?

45

55

44

30

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Bileşke ve çarpım türevi kuralları uygulandığında h'(1) değeri 55 olarak bulunur.

Bileşke fonksiyon ve çarpım türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp tablodan

g(1) = 3

,

g'(1) = 2

ve

f'(3) = 5

değerleri yerleştirildiğinde sonuç 55 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyon türevi kuralını (zincir kuralı) uygulayınız.

h'(x) = f'(x^3 \cdot g(x)) \cdot \frac{d}{dx}[x^3 \cdot g(x)]

Bir bileşke fonksiyonun türevi alın��rken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.

2

İçteki

x^3 \cdot g(x)

ifadesinin türevi için çarpım türevi kuralını uygulayınız.

\frac{d}{dx}[x^3 \cdot g(x)] = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x)

İki fonksiyonun çarpımının türevi; birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birinci şeklinde bulunur.

3

Türev fonksiyonunda

x = 1

yazarak tablodaki değerleri yerine yerleştiriniz.

h'(1) = f'(1^3 \cdot g(1)) \cdot [3(1)^2 \cdot g(1) + 1^3 \cdot g'(1)] = f'(3) \cdot [3 \cdot 3 + 2]

Tablodan

g(1) = 3

ve

g'(1) = 2

değerleri okunarak yerine yazılır.

4

Tablodan

f'(3)

değerini de alarak son işlemi tamamlayınız.

h'(1) = 5 \cdot [9 + 2] = 5 \cdot 11 = 55

Tablodan

f'(3) = 5

değeri alınarak çarpma işlemi sonuçlandırılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve çarpım türevi kurallarının birlikte uygulanması.

Soru 2667Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8

\int_{1}^{3} x \cdot f(4-x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

6

10

14

22

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 22'dir.

İkinci integralde

u = 4-x

değişken değiştirmesi yapıldığında

dx = -du

olur. Sınırlar

x=1

için

u=3

ve

x=3

için

u=1

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\int_{3}^{1} (4-u)f(u)(-du) = \int_{1}^{3} (4-u)f(u)du

şekline dönüşür. İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak bu ifade

4\int_{1}^{3} f(x)dx - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 10

olarak yazılır.

\int_{1}^{3} f(x)dx = 8

değeri yerine yazıldığında

32 - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 10

denklemin çözülmesiyle aranan integralin değeri 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İkinci integralde

u = 4-x

değişken değiştirmesi yapılır.

dx = -du

elde edilir.

İntegralin içindeki

f(4-x)

ifadesini

f(u)

cinsinden yazarak bilinen integral sınırları ve de��erleriyle ilişkilendirmek için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

cinsinden güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 4 - 1 = 3

ve üst sınır için

x = 3 \implies u = 4 - 3 = 1

olur.

Değişken değiştirme uygulandığında belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

3

Elde edilen yeni sınırlar ve

dx = -du

ifadesi integralde yerine yazılarak integral yeniden düzenlenir.

\int_{1}^{3} x \cdot f(4-x) \, dx = \int_{3}^{1} (4-u) \cdot f(u) \cdot (-du) = \int_{1}^{3} (4-u) \cdot f(u) \, du

elde edilir.

İntegral sınırlarının yer değiştirmesi durumunda integralin işaretinin tersine dönmesi (

\int_3^1 = -\int_1^3

) özelliği ile

dx = -du

ifadesindeki eksi işareti birbirini sadeleştirir.

4

Elde edilen integral, lineerlik özelliği kullanılarak iki ayrı integralin farkı şeklinde yazılır.

\int_{1}^{3} (4-u) \cdot f(u) \, du = 4 \int_{1}^{3} f(u) \, du - \int_{1}^{3} u \cdot f(u) \, du

Belirli integralin toplama ve çıkarma işlemleri üzerindeki dağılma ve sabit katsayıyı dışarı çıkarma özellikleri uygulanır.

5

İntegral değişkeninin adının değişmesi değeri etkilemediğinden

u

yerine tekrar

x

yazılır ve bilinen değerler yerine konarak istenen integral yalnız bırakılır.

4 \int_{1}^{3} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10

4 \cdot 8 - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10 \implies 32 - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 22

Belirli integralde integral değişkeninin sembolü (örneğin

u

veya

x

) integralin değerini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi, integral sınırlarının güncellenmesi ve integralin lineerlik özellikleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2668Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(1) = 2

f(3) = 6

olarak veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{\sqrt{3}} x \cdot f'(x^2) \cdot f(x^2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

2

4

8

10

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8

Verilen belirli integralde sırasıyla

u = x^2

ve

v = f(u)

dönüşümleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla

[1, 3]

ve

[2, 6]

olarak güncellenir. Bu adımlarla integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{6} v \, dv

biçimine dönüşür ve integralin değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk değişken değiştirme dönüşümünü tanımlayınız.

u = x^2

dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

elde edilir. Buradan

x \, dx = \frac{du}{2}

olur.

İntegral içindeki ifadeleri basitleştirmek ve x değişkeninden kurtulmak amacıyla bu substitution yapılır.

2

Belirli integral sınırlarını birinci değişkene göre güncelleyiniz.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 = 1

olur. Üst sınır için

x = \sqrt{3} \implies u = (\sqrt{3})^2 = 3

olur. İntegral bu aşamada

\int_{1}^{3} f'(u) \cdot f(u) \cdot \frac{du}{2}

biçimine gelir.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da o değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

3

İkinci değişken değiştirme adımını uygulayınız.

v = f(u)

dönüşümü yapılırsa, diferansiyel

dv = f'(u) \, du

olur. Sınırlar ise alt sınır için

u = 1 \implies v = f(1) = 2

ve üst sınır için

u = 3 \implies v = f(3) = 6

şeklinde güncellenir. Yeni integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{6} v \, dv

olur.

f(u) ve f'(u) çarpımını integrali alınabilir temel bir fonksiyona dönüştürmek için.

4

Belirli integrali hesaplayarak nihai sonuca ulaşınız.

\frac{1}{2} \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{2}^{6} = \frac{1}{4} (6^2 - 2^2) = \frac{1}{4} (36 - 4) = \frac{32}{4} = 8

bulunur.

İntegral alma kuralı uygulanarak belirli integralin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2669Soru →

Pozitif terimli bir

(a_n)

geometrik dizisi için

\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = 12

a_4 + a_6 = 15

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin beşinci terimi (

a_5

) kaçtır?

6

12

\frac{15}{2}

-6

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin beşinci terimi 6'dır.

Birinci eşitlik sadeleştirildiğinde dizinin altıncı terimi olan 12 elde edilir. Bu değer ikinci eşitlikte yerine yazıldığında dördüncü terim 3 olarak bulunur. Geometrik dizinin özelliği gereği, beşinci terimin karesi dördüncü terim ile altıncı terimin çarpımına eşittir. Buradan beşinci terim 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Geometrik dizinin genel terim formülü

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

kullanılarak ilk eşitlikteki terimler düzenlenir.

\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = \frac{(a_1 r^3) \cdot (a_1 r^8)}{a_1 r^6} = a_1 r^5 = a_6 = 12

elde edilir.

Birinci eşitliği daha sade bir terim cinsinden ifade etmek amacıyla sadeleştirme yapılmıştır.

2

Bulunan

a_6 = 12

değeri, ikinci eşitlik olan

a_4 + a_6 = 15

ifadesinde yerine yazılır.

a_4 + 12 = 15 \Rightarrow a_4 = 3

bulunur.

Dizinin dördüncü terimini (

a_4

) elde etmek için.

3

Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki geometrik ortalama özelliği (

a_5^2 = a_4 \cdot a_6

) kullanılır.

a_5^2 = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow a_5 = 6

(dizi pozitif terimli olduğundan

a_5 > 0

olmalıdır) bulunur.

Beşinci terimi (

a_5

) hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir (

a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}

veya ardışık terimler için

a_{n}^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}

).

Soru 2670Soru →

Hristiyanlıkta mezheplerin teolojik yaklaşımları; kullandıkları sembollerin anlamlarına, ibadet mekânlarının tasarımlarına ve ritüellerin uygulanış biçimlerine doğrudan yansımıştır. Örneğin; Kutsal Ruh'un güvercinle sembolize edilmesi veya ilk dönemlerde zulümden kaçan Hristiyanların balık (ichthys) figürünü gizli bir parola olarak kullanması Hristiyanlık tarihinin erken dönemlerine kadar uzanır. Ancak mezheplerin kurumsallaşmasıyla birlikte sembollerin ibadetteki yeri ve kullanımı da farklı yorumlanmıştır.

Bu bağlamda Hristiyan mezhepleri ve sembolleri ile ilgili aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır?

Katolik Kilisesi'nde haç tasvirlerinde genellikle Hz. İsa'nın çarmıhtaki ıstırabını yansıtan figürlü haçlar (crucifix) tercih edilirken, Protestanlıkta dirilişe vurgu yapmak amacıyla figürsüz, sade haçlar kullanılır.

Ortodoks Kilisesi'nde kullanılan haç tasviri; ana yatay çubuğun yanı sıra üzerinde İsa'nın ba�� levhasını simgeleyen üstte kısa bir çubuk ve ayak basamağını simgeleyen altta eğik bir çubuk barındıran üç yatay çubuklu yapıya sahiptir.

Erken Hristiyanlıkta yaygın olan balık (ichthys) sembolü, Yunanca 'İsa Mesih, Tanrı'nın Oğlu, Kurtarıcı' ifadesinin baş harflerinden oluşan bir şifre olması sebebiyle kutsal kabul edilmiş ve mezar taşlarında sıklıkla kullanılmıştır.

Protestanlıkta ibadethanelerde azizlerin heykel ve resimlerinin (ikonaların) teolojik birer sembol olarak saygı görmesi ve litürjik ibadette merkezi bir araç olarak kullanılması zorunlu kabul edilir.

Güvercin sembolü, İncillerde Hz. İsa'nın vaftiz edilmesi sırasında semanın açılıp Kutsal Ruh'un bir güvercin gibi onun üzerine indiğinin anlatılmasına dayanarak Hristiyan sanatında Tanrı'nın inayeti ve ruhani varlığıyla ilişkilendirilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Protestanlıkta ibadethanelerde azizlerin heykel ve resimlerinin (ikonaların) teolojik birer sembol olarak saygı görmesi ve litürjik ibadette merkezi bir araç olarak kullanılması zorunlu kabul edilir.

Cevap

Protestanlıkta kiliselerde aziz heykel ve resimlerinin (ikonaların) ibadette merkezi bir araç ve zorunluluk olarak kabul edildiğini belirten ifade yanlıştır. Protestanlık Reform süreciyle birlikte bu tarz tasvirleri ibadetten dışlamıştır.

Protestanlık, 16. yüzyıldaki Reform hareketleriyle birlikte Katolik ve Ortodoks kiliselerindeki aziz tasvirlerine, ikonalar ve heykellere yönelik aşırı saygıyı İncil dışı bularak reddetmiştir. Protestan kiliseleri heykel ve ikonalar barındırmaz, ibadette bunları bir zorunluluk veya aracı olarak kabul etmez. Dolayısıyla Protestanlıkta ikonaların ve heykellerin merkezi bir litürjik araç ve zorunluluk olduğunu savunan ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerde yer alan Katolik, Ortodoks ve Protestan mezheplerinin haç tasarımları ve kutsal resim/heykel konusundaki teolojik yaklaşımları karşılaştırılır.

Katolik Kilisesi'nin figürlü haç (krusifiks) kullandığı, Ortodoks Kilisesi'nin üç yatay çubuklu haçı kullandığı ve Protestanlığın sade haçı tercih ettiği doğrulanır.

Sembollerin mezheplere göre farklılıklarını teyit etmek için.

2

Erken Hristiyanlık dönemindeki balık (ichthys) ve güvercin sembollerinin tarihsel ve metinsel kökenleri incelenir.

Balık sembolünün Yunanca harf kısaltmasından doğduğu ve güvercinin Kutsal Ruh'u temsil ettiği doğrulanır.

Tarihsel sembollerin doğruluğunu teyit etmek için.

3

Protestanlığın Reform süreci sonrasındaki tasvir (ikona ve heykel) yasağı ve sadelik ilkesi değerlendirilir.

Protestanlıkta heykel ve ikonaların ibadette kullanılmasının zorunlu olmak bir yana, tamamen reddedildiği belirlenir. Bu doğrultuda yanlış bilgi içeren seçenek tespit edilir.

Doğru seçeneğe ulaşmak için mezhebin temel teolojik duruşunu analiz etmek.

Anahtar Kavram

Hristiyanlıkta mezheplerin kutsal tasvir, heykel ve sembollerin kullanımına yönelik teolojik yaklaşımları

Soru 2671Soru →

Dik koordinat düzleminde, $a$ bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = \frac{x+a}{x-2}

eğrisinin

x = 3

apsisli noktasındaki teğet doğrusu,

3y - x + 6 = 0

doğrusuna diktir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

13

12

15

5

-11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 13'tür.

Teğet doğrusunun eğimi türev yardımıyla bulunur. Diklik koşulundan teğet doğrusunun eğimi -3 olarak elde edilir. Buradan a = 1 bulunur ve teğet noktası (3, 4) olarak belirlenir. Bu noktadan geçen ve eğimi -3 olan doğrunun denklemi y = -3x + 13 olup, y eksenini kestiği noktanın ordinatı 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

3y - x + 6 = 0

doğrusunun eğimini bulmak.

Eğim

m_2 = \frac{1}{3}

olarak bulunur.

Doğru denklemi

y = \frac{1}{3}x - 2

şeklinde düzenlendiğinde

x

'in katsayısı doğrunun eğimini verir.

2

Teğet doğrusunun eğimini (

m_1

) diklik koşulunu kullanarak belirlemek.

Teğet doğrusunun e��imi

m_1 = -3

olarak bulunur.

Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı

-1

'dir (

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_1 \cdot \frac{1}{3} = -1

).

3

f(x)

fonksiyonunun türevini alıp

x=3

noktasındaki türev değerini teğetin eğimine eşitlemek.

f'(x) = \frac{-2-a}{(x-2)^2}

olup

x=3

için

f'(3) = -2-a = -3 \Rightarrow a = 1

bulunur.

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

4

Teğet noktasının koordinatlarını bulmak.

a = 1

için

f(3) = \frac{3+1}{3-2} = 4

olup teğet noktası

(3, 4)

'tür.

Teğet noktası fonksiyon eğrisinin üzerinde olduğundan koordinatları fonksiyon denklemini sağlar.

5

Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve

y

eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak.

Doğru denklemi

y - 4 = -3(x - 3) \Rightarrow y = -3x + 13

olur.

x=0

için

y=13

bulunur.

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü uygulanır.

y

eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için

x=0

yazılır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2672Soru →

f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - ax + a + 3}

fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde yalnızca bir noktada süreksizdir. Buna göre,

a

gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

-4

6

4

11

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4

Doğru cevap olan 4, paydanın tek bir gerçek kökünün olması için gereken

\Delta = 0

koşulundan elde edilen

a = 6

ve

a = -2

değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Süreksizlik şartını belirleme

Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, fonksiyonu tanımsız yapan yani paydasını sıfır yapan noktalardır. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması için, paydadaki ikinci dereceden ifadenin yalnızca bir gerçek kökü (çift katlı kök) olmalıdır.

Rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda sürekli olamazlar.

2

Diskriminant hesabı yapma

Paydadaki

x^2 - ax + a + 3

ifadesinin çift katlı köke sahip olması için diskriminantı sıfıra eşitlenir:

\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 3) = a^2 - 4a - 12 = 0

.

İkinci dereceden bir denklemin tek bir gerçek kökünün olması için diskriminant sıfır olmalıdır.

3

Denklemi çözme ve değerleri toplama

a^2 - 4a - 12 = 0 \implies (a - 6)(a + 2) = 0

denkleminin kökleri

a = 6

ve

a = -2

olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı

6 + (-2) = 4

olur.

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak

a

parametresinin alabileceği farklı değerleri ve bunların toplamını bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların sürekliliği ve paydanın kökleri ile ilişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2673Soru →

Dik koordinat düzleminde; birinci bölgede $y = 3x^2$ eğrisi, $y = 12$ doğrusu ve $y$ -ekseni ile sınırlandırılan bölge, orijinden geçen $y = mx$ doğrusu ile eşit alanlı iki bölgeye ayrılmaktadır.

Buna göre, $m$ değeri kaçtır?

3

6

8

9

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğrunun eğimi olan m değeri 9 olarak bulunur.

Toplam alan integral yardımıyla 16 birimkare olarak bulunur. y = mx doğrusunun bu alanı 8'er birimkarelik iki parçaya bölmesi gerekir. Üst sınır doğrusu olan y = 12 ile y-ekseni arasında kalan dik üçgenin alanı 8 birimkareye eşitlendiğinde m = 9 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sınırları verilen bölgenin kesim noktalarını belirlemek.

y = 3x^2

eğrisi ile

y = 12

doğrusu ortak çözüldüğünde

3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2

bulunur (birinci bölgede olduğumuz için

x = 2

alınır). Bölge

x \in [0, 2]

aralığındadır.

Belirli integralin sınırlarını doğru tespit etmek amacıyla kesişim noktasının apsis değerini bulmamız gerekir.

2

Sınırlandırılmış bölgenin toplam alanını belirli integral yardım��yla hesaplamak.

Alan

S = \int_0^2 (12 - 3x^2) \, dx = \left[ 12x - x^3 \right]_0^2 = (24 - 8) - 0 = 16

birimkare olarak hesaplanır.

Bölgeyi iki eşit parçaya bölebilmek için öncelikle toplam alanın büyüklüğünü bilmemiz gerekir.

3

Eşit alanlı iki bölgeye ayrılma koşulunu ve doğrunun kesim noktasını analiz etmek.

Her bir alt bölgenin alanı

16 / 2 = 8

birimkare olmalıdır.

y = mx

doğrusu

y = 12

doğrusunu

x = \frac{12}{m}

noktasında keser.

m \ge 6

durumu için bu kesişim noktası bölgenin içinde veya solunda kalır ve sol tarafta y-ekseni,

y = 12

ve

y = mx

arasında bir dik üçgen oluşur.

Geometrik olarak alan paylaşımını ifade etmek ve denklem kurmak için.

4

Oluşan dik üçgenin alanını 8 birimkareye eşitleyerek m değerini çözmek.

Dik üçgenin köşeleri

(0,0)

,

(0,12)

ve

(\frac{12}{m}, 12)

noktalarıdır. Alanı

\frac{1}{2} \times 12 \times \frac{12}{m} = \frac{72}{m}

olur. Buradan

\frac{72}{m} = 8 \Rightarrow m = 9

elde edilir.

9 \ge 6

olduğundan bu varsayım geçerlidir.

İstenen m parametresinin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanarak iki eğri arasında kalan alanı hesaplama ve analitik düzlemde geometrik alan paylaşımı uygulamaları.

Soru 2674Soru →

\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının

[-3, 5]

kapalı aralığındaki değerlerinin toplamı kaçtır?

2

6

7

9

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9

Eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğundan yön değiştirilerek

\frac{x+2}{x-1} \le 3

elde edilir. Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi

(-\infty, 1) \cup [2.5, \infty)

olur. Logaritmanın tanım kümesi olan

(-\infty, -2) \cup (1, \infty)

ile kesişim alındığında genel çözüm kümesi

S = (-\infty, -2) \cup [2.5, \infty)

olarak bulunur.

[-3, 5]

kapalı aralığında bu kümeye ait tam sayılar

-3, 3, 4, 5

olup toplamları 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tanım kümesini belirlemek.

\frac{x + 2}{x - 1} > 0

eşitsizliğinden kökler

x = -2

ve

x = 1

olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi

D = (-\infty, -2) \cup (1, \infty)

elde edilir.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için içinin daima sıfırdan büyük olması gerekir.

2

Eşitsizliği çözmek için logaritma tabanını dikkate alarak logaritmayı kaldırmak.

Taban

\frac{1}{3}

(basit kesir) olduğundan logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{x + 2}{x - 1} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \implies \frac{x + 2}{x - 1} \leq 3

Logaritma tabanı

0 < a < 1

aralığında ise fonksiyon azalandır ve eşitsizliğin yönü tersine döner.

3

Elde edilen rasyonel eşitsizliği düzenlemek ve çözmek.

\frac{x + 2}{x - 1} - 3 \leq 0 \implies \frac{x + 2 - 3(x - 1)}{x - 1} \leq 0 \implies \frac{5 - 2x}{x - 1} \leq 0

Eşitsizliğin kökleri

x = 1

(payda kökü, açık) ve

x = 2.5

(pay kökü, kapalı) olur. İşaret tablosu yapıldığında cebirsel çözüm kümesi

(-\infty, 1) \cup [2.5, \infty)

bulunur.

Rasyonel ifadeler içeren eşitsizlikler, tüm terimler tek bir tarafta toplanarak ve işaret tablosu yardımıyla çözülür.

4

Tanım kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesini kesiştirmek.

Genel çözüm kümesi:

S = ((-\infty, -2) \cup (1, \infty)) \cap ((-\infty, 1) \cup [2.5, \infty)) \implies S = (-\infty, -2) \cup [2.5, \infty)

olarak bulunur.

Eşitsizliğini sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmayı da tanımlı kılması gerekir.

5

Çözüm kümesinin

[-3, 5]

kapalı aralığındaki tam sayı elemanlarını belirleyip toplamak.

(-\infty, -2) \cup [2.5, \infty)

kümesinin

[-3, 5]

aralığındaki tam sayı elemanları

-3, 3, 4, 5

sayılarıdır. Bu sayıların toplamı:

(-3) + 3 + 4 + 5 = 9

elde edilir.

Soru kökünde istenen aralıktaki çözüm kümesi elemanlarının toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik eşitsizliklerin çözüm kümesi ve tanım kümesi analizi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2675Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_5 - S_3 = 12 \cdot a_2

S_4 = 45

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

\frac{3}{2}

3

\frac{9}{8}

\frac{45}{7}

\frac{45}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

İlk terim

3

olarak bulunur.

İlk 5 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye

a_4 + a_5

kalır. Bu terimler ve

a_2

ortak çarpan

r

ve ilk terim

a_1

cinsinden yazıldığında

r^3 + r^2 - 12 = 0

denklemi elde edilir. Pozitif terimli dizi koşulundan

r = 2

bulunur.

S_4 = a_1 \frac{2^4-1}{2-1} = 15 a_1 = 45

eşitliğinden dizinin ilk terimi

3

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

S_5 - S_3

farkını dizinin terimleri cinsinden ifade etmek.

S_5 - S_3 = a_4 + a_5

elde edilir.

S_n

ilk

n

terimin toplamı olduğundan, ilk 5 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4. ve 5. terimler kalır.

2

a_4

,

a_5

ve

a_2

terimlerini ilk terim

a_1

ve ortak çarpan

r

cinsinden yazıp denklemde yerine koymak.

a_1 \cdot r^3 + a_1 \cdot r^4 = 12 \cdot a_1 \cdot r \Rightarrow a_1 \cdot r^3 (1 + r) = 12 \cdot a_1 \cdot r

elde edilir.

Geometrik dizide her terim

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

şeklinde ifade edilir.

3

Elde edilen denklemden ortak çarpanı (

r

) çözmek.

r^2 (1 + r) = 12 \Rightarrow r = 2

bulunur.

Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılar olduğundan

a_1 > 0

ve

r > 0

olmalıdır.

r^3 + r^2 - 12 = 0

denkleminin tek pozitif gerçel kökü

r = 2

sayısıdır.

4

S_4 = 45

bilgisini ve

r = 2

değerini kullanarak geometrik dizinin ilk terimini (

a_1

) bulmak.

S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \Rightarrow 45 = a_1 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \Rightarrow 45 = 15 \cdot a_1 \Rightarrow a_1 = 3

elde edilir.

Geometrik dizide ilk

n

terim toplamı

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve ardışık terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.

Soru 2676Soru →

$k$ ve $p$ birer tam sayı olmak üzere, her $n \in \mathbb{Z}^+$ için genel terimi

a_n = \frac{k \cdot n + 24}{2n - p}

olan $(a_n)$ ifadesi bir sabit dizi belirtmektedir.

Buna göre, $p$ sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

4

10

12

16

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12

Dizinin genel teriminin sabit olması için pay ve paydanın sadeleşerek sabit bir sayı vermesi gerekir, bu da

k \cdot p = -48

eşitliğini gerektirir. Dizi tanımı gereği her

n \ge 1

pozitif tam sayısı için tanımlı olmalıdır. Paydayı sıfır yapan

p = 2n

değerleri pozitif çift tam sayılar olduğundan, 48'in pozitif çift bölenleri olan 8 değer elenir. Kalan 12 adet bölen tanımlılık şartına uyar.

Adım Adım Çözüm

1

Rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için pay ve paydadaki değişkenlerin katsayıları oranını sabit terimlerin oranına eşitleriz.

\frac{k}{2} = \frac{24}{-p} \implies k \cdot p = -48

eşitliği elde edilir.

Bir dizinin terimlerinin indis

n

'ye bağlı olmaksızın sabit kalması için pay ile paydanın sadeleşebilir ve sabit bir orana eşit olması gerekir.

2

k

ve

p

tam sayı olduğundan,

p

parametresinin alabileceği değerler 48 sayısının tam sayı bölenleri olmalıdır. 48'in tüm tam sayı bölenleri bulunur.

48'in pozitif bölenleri:

\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}

(10 adet).
48'in negatif bölenleri:

\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\}

(10 adet).
Toplamda 20 farklı tam sayı böleni vardır.

Çarpımları

-48

olan iki tam sayının çarpanları, 48 sayısının bölenleri arasından seçilmelidir.

3

Dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar (

\mathbb{Z}^+

) olduğundan, genel terimin paydası hiçbir

n \in \mathbb{Z}^+

için sıfır olmamalıdır. Bu tanımlılık koşuluna göre

p

'nin sınırları belirlenir.

2n - p \neq 0 \implies p \neq 2n

(burada

n \in \{1, 2, 3, \dots\}

).
Bu koşul,

p

parametresinin pozitif çift tam sayılar olamayacağını gösterir.

Eğer

p

bir pozitif çift tam sayı olursa (örneğin

p=2m

),

n=m

pozitif tam sayısı için payda sıfır olur ve dizinin

m

. terimi tanımsız hale gelir.

4

Bulunan 20 tam sayı böleninden pozitif çift olanlar elenerek kalanların sayısı hesaplanır.

Elenen değerler:

\{2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}

(8 adet).
Kalan değerler:

\{1, 3\}

ve tüm negatif bölenler olan

\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\}

.
Toplam uygun değer sayısı:

2 + 10 = 12

adettir.

Tanımlılık koşulunu sağlayan ve çarpımları

-48

olan tüm olası

p

tam sayı değerleri bunlardır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin katsayılar oranı ve dizilerin pozitif tam sayılarda tanımlı olma zorunluluğu (tanımsızlık durumları).

Soru 2677Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya $y = 6x - x^2$ parabolünü ve $y = x$ doğrusunu çizmiştir. Daha sonra öğrencilerden bu iki eğri tarafından tamamen sınırlandırılan kapalı bölgenin alanını hesaplamalarını istemiştir.

Buna göre, öğrencilerin bulması gereken doğru sonuç kaç birimkaredir?

\frac{275}{6}

\frac{63}{2}

\frac{125}{6}

\frac{17}{6}

\frac{100}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{125}{6}$

Cevap

Doğru yanıt

\frac{125}{6}

birimkaredir.

Doğru cevap olan

\frac{125}{6}

değeri, parabol ile doğrunun kesişim noktalarının

x = 0

ve

x = 5

olarak doğru bulunması,

[0, 5]

aralığında parabolün üstte olduğunun belirlenmesi ve

\int_{0}^{5} (5x - x^2) \, dx

integralinin doğru hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim noktalarının belirlenmesi

x^2 - 5x = 0 \implies x(x-5) = 0 \implies x = 0

ve

x = 5

Sınırlandırılan bölgenin integral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları hesaplanmalıdır.

2

Üstteki ve alttaki eğrilerin belirlenmesi

6x - x^2 \geq x

İki eğri arasındaki alanı hesaplarken

[0, 5]

aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu anlamak için bir test noktası seçilir.

x = 1

için parabolün değeri doğrunun değerinden büyük olduğundan parabol üstte yer alır.

3

Belirli integralin kurulması ve alan hesabı

A = \int_{0}^{5} ((6x - x^2) - x) \, dx = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} = \frac{125}{6}

Belirli integralin değeri, iki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanını verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2678Soru →

Bir üniversitenin kariyer günlerinde 3 farklı bilişim sunumu ( $B_1, B_2, B_3$ ) ve 4 farklı mühendislik sunumu ( $M_1, M_2, M_3, M_4$ ) arka arkaya yapılacaktır. Bu sunumların sıralamasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Herhangi iki bilişim sunumu arka arkaya yapılmayacaktır.
- $B_1$ sunumu ile $M_1$ sunumu ardışık zaman dilimlerinde (biri diğerinin hemen ardından) yapılmayacaktır.

Buna göre, bu sunumlar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

720

864

1008

1152

1440

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 864

Cevap

Bu sunumlar 864 farklı şekilde sıralanabilir.

Bilişim sunumlarının yan yana gelmediği tüm durumlardan, birinci bilişim sunumu ile birinci mühendislik sunumunun yan yana geldiği durumların çıkarılmasıyla 864 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Mühendislik sunumlarının kendi aralarındaki sıralanış sayısını hesaplama.

4! = 24

farklı sıralama.

4 farklı mühendislik sunumu (

M_1, M_2, M_3, M_4

) kendi aralarında serbestçe sıralanabilir.

2

Bilişim sunumlarının yerleştirilebileceği boşlukları belirleme ve herhangi iki bilişim sunumunun yan yana gelmediği toplam durum sayısını hesaplama.

P(5, 3) = 60

yerleşim. Toplamda

24 \times 60 = 1440

durum.

Mühendislik sunumlarının aralarında ve uçlarında toplam 5 boşluk bulunur. 3 bilişim sunumunu bu boşluklara yerleştirerek yan yana gelmelerini önleriz.

3

B_1

ile

M_1

sunumlarının ardışık (yan yana) olduğu durumları

M_1

'in konumuna göre gruplandırarak hesaplama.

M_1

başta/sonda iken 288 durum,

M_1

ortada iken 288 durum olmak üzere toplam 576 durum.

M_1

'in her konumu için ona komşu olan 2 boşluk bulunur.

B_1

bu boşluklardan birine yerleştirildikten sonra diğer 2 bilişim sunumu kalan 4 boşluğa yerleştirilir.

4

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak nihai sonucu bulma.

1440 - 576 = 864

farklı sıralama.

Bilişim sunumlarının yan yana gelmediği durumlardan, ek olarak

B_1

ve

M_1

'in yan yana geldiği durumları çıkardığımızda her iki koşul da sağlanmış olur.

Anahtar Kavram

Permütasyon

Soru 2679Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 6x + 11$ parabolünün tepe noktası $T$ 'dir. Bu parabol $a$ birim sağa ve $b$ birim yukarı ötelendiğinde tepe noktası $S$ olan $g(x)$ parabolü elde edilmektedir.

$T$ ve $S$ noktaları $y = 2x - 4$ doğrusu üzerinde yer almaktadır.

$g(x)$ parabolünün $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı $20$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

3

9

27

-6

-9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Öteleme miktarlarının toplamı 3'tür.

Parabolün tepe noktası olan T(3, 2) noktasının a birim sağa ve b birim yukarı ötelenmesiyle elde edilen S(3+a, 2+b) noktası y = 2x - 4 doğrusu üzerindedir. Doğru denklemi sağlandığında b = 2a ilişkisine ulaşılır. Yeni parabolün denklemi g(x) = (x - a - 3)^2 + 2 + 2a şeklinde yazılıp x = 0 için y-keseni 20'ye eşitlendiğinde a = 1 (a > 0) ve dolayısıyla b = 2 bulunur. Buradan a + b = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulmak için tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır veya tepe noktası formülü kullanılır.

f(x) = (x-3)^2 + 2

biçiminde yazılır. Buradan tepe noktası

T(3, 2)

olarak bulunur.

Öteleme işlemlerini gerçekleştirmek için başlangıç parabolünün tepe noktası koordinatlarına ihtiyaç duyulur.

2

T(3, 2) noktasının y = 2x - 4 doğrusu üzerinde yer aldığı kontrol edilir ve öteleme sonrası yeni tepe noktası olan S koordinatları yazılır.

2 = 2(3) - 4 \implies 2 = 2

sağlandığı görülür. Parabol

a

birim sağa ve

b

birim yukarı ötelendiğinden yeni tepe noktası

S(3+a, 2+b)

olur.

Öteleme işlemi tepe noktasının koordinatlarını doğrudan etkiler.

3

S(3+a, 2+b) noktası da y = 2x - 4 doğrusu üzerinde olduğundan koordinatlar denklemde yerine yazılarak a ve b arasındaki ilişki elde edilir.

2+b = 2(3+a) - 4 \implies 2+b = 6+2a-4 \implies b = 2a

elde edilir.

İki bilinmeyenli öteleme parametrelerini tek bir değişkene indirgemek için doğrusal ilişki kullanılır.

4

g(x) parabolünün denklemi oluşturulur. Başkatsayı öteleme ile değişmeyeceğinden yine 1'dir. y-eksenini kestiği noktanın ordinatı kullanılarak a değeri çözülür.

g(x) = (x - (3+a))^2 + (2+b) = (x - a - 3)^2 + 2 + 2a

olur.

g(0) = 20 \implies (-(a+3))^2 + 2 + 2a = 20 \implies a^2 + 8a + 11 = 20 \implies a^2 + 8a - 9 = 0 \implies (a+9)(a-1) = 0

bulunur.

a > 0

olması gerektiğinden

a = 1

'dir.

Parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatı x = 0 için fonksiyon değeridir.

5

Bulunan a değeri kullanılarak b değeri ve ardından a + b toplamı hesaplanır.

b = 2a \implies b = 2(1) = 2

bulunur. Buradan

a + b = 1 + 2 = 3

elde edilir.

İstenen öteleme miktarlarının toplamına ulaşılması amaçlanır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün ötelenmesiyle elde edilen yeni parabolün tepe noktası, orijinal parabolün tepe noktasının aynı miktarlarda ötelenmesiyle bulunur. Bir noktanın bir doğru üzerinde yer alması, noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.

Soru 2680Soru →

Yüksek yüksek tepelere ev kurmasınlar
Aşrı aşrı memlekete kız vermesinler
Anasını babasını aratmasınlar

Babamın bir atı olsa binse de gelse
Annemin yelkeni olsa açsa da gelse
Kardeşlerim yollarımı bilse de gelse

Bu dizelerle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Nazım türü bakımından gurbet, ayrılık ve sıla özlemini konu edinen bir türkü örneğidir.

Hece ölçüsünün 11'li kalıbıyla söylenmiş olup âşık edebiyatındaki koşma nazım biçimiyle aynı vezin yapısına sahiptir.

Halkın ortak belleğinin ürünü olan, söyleyeni zamanla unutulduğu için anonim bir nitelik taşımaktadır.

Birinci bentte yer alan 'kurmasınlar', 'vermesinler' ve 'aratmasınlar' kelimelerinin sonlarındaki '-masınlar / -mesinler' ekleri redif görevindedir.

İkinci bentteki dize sonlarında yer alan 'binse de gelse', 'açsa da gelse' ve 'bilse de gelse' ifadeleri yapı ve görev bakımından özdeş olduğu için redif oluşturmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hece ölçüsünün 11'li kalıbıyla söylenmiş olup âşık edebiyatındaki koşma nazım biçimiyle aynı vezin yapısına sahiptir.

Cevap

Hece ölçüsünün 11'li kalıbıyla söylenmiş olup âşık edebiyatındaki koşma nazım biçimiyle aynı vezin yapısına sahiptir.

Verilen şiir 13'lü hece ölçüsüyle yazılmıştır. Âşık edebiyatındaki koşmalar ise genellikle 11'li hece ölçüsüyle yazılır. Dolayısıyla, şiirin 11'li hece ölçüsüyle yazıldığını ve koşma ile aynı vezin yapısına sahip olduğunu belirten ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dizelerin hece sayıları sayılarak şiirin vezni belirlenir.

İlk dizenin (yük-sek yük-sek te-pe-le-re ev kur-ma-sın-lar) 13 heceden oluştuğu görülür. Şiirin diğer dizeleri de 13 hecelidir. Şiir 13'lü hece ölçüsüyle yazılmıştır.

Şiirin vezin özelliklerinin tespiti için hece sayısının bulunması gerekir.

2

Koşma nazım biçiminin vezin özellikleriyle karşılaştırılır.

Âşık edebiyatı nazım biçimi olan koşma 11'li hece ölçüsüyle söylenir. Oysa incelenen şiir 13'lü hece ölçüsüne sahiptir, yani koşma ile aynı vezin yapısına sahip değildir.

Vezin özelliklerinin özdeş olup olmadığını ortaya koymak için.

3

Şiirin diğer biçimsel ve içeriksel özellikleri (türkü olması, anonim olması, redifleri) incelenir.

Şiirin gurbet konusunu işleyen anonim bir türkü olduğu, birinci ve ikinci bentlerdeki dize sonlarında rediflerin doğru gösterildiği doğrulanır.

Diğer seçeneklerin doğruluğundan emin olmak için.

Anahtar Kavram

Türkülerin biçimsel (hece ölçüsü, bent, kavuştak) ve içeriksel (anonimlik, konu) özellikleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram