Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2701Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayı olmak üzere,
S8S4=9781\frac{S_8}{S_4} = \frac{97}{81}
ve
S4=65S_4 = 65
olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 12 olarak bulunur.
Dizinin terimlerinin pozitif olmasından yola çıkılarak ilk nn terim toplamı oranından ortak çarpan r=23r = \frac{2}{3} olarak bulunur. Ardından S4=65S_4 = 65 eşitliği kullanılarak dizinin ilk terimi a1=27a_1 = 27 olarak elde edilir. Bu iki değer geometrik dizi terim formülünde yerine yazıldığında üçüncü terim 12 değerini alır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r} bağıntısını kullanarak S8S_8 ve S4S_4 oranını ortak çarpan rr cinsinden ifade ediniz.
S8S4=a1⋅1−r81−ra1⋅1−r41−r=1−r81−r4=1+r4\frac{S_8}{S_4} = \frac{a_1 \cdot \frac{1-r^8}{1-r}}{a_1 \cdot \frac{1-r^4}{1-r}} = \frac{1-r^8}{1-r^4} = 1 + r^4 elde edilir.
Bu oranlama işlemi sayesinde dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak çarpan paydası (1−r1-r) sadeleşerek doğrudan ortak çarpanı veren bağıntıya ulaşmamızı sağlar.
2
Elde edilen 1+r41 + r^4 ifadesini soruda verilen orana eşitleyerek ortak çarpan rr değerini bulunuz.
1+r4=9781  ⟹  r4=16811 + r^4 = \frac{97}{81} \implies r^4 = \frac{16}{81} olur. Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır. Buradan r=16814=23r = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3} elde edilir.
Dizinin genel terimini ve diğer terimlerini bulabilmek için ortak çarpanın belirlenmesi şarttır.
3
Bulunan r=23r = \frac{2}{3} değerini S4S_4 toplam formülünde yerine yazarak dizinin ilk terimini (a1a_1) hesaplayınız.
S4=a1⋅1−(2/3)41−2/3=a1⋅1−168113=a1⋅6581⋅3=a1⋅6527S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - (2/3)^4}{1 - 2/3} = a_1 \cdot \frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}} = a_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = a_1 \cdot \frac{65}{27} elde edilir. S4=65S_4 = 65 olduğu bilindiğine göre, a1⋅6527=65  ⟹  a1=27a_1 \cdot \frac{65}{27} = 65 \implies a_1 = 27 bulunur.
Dizinin herhangi bir spesifik terimine ulaşabilmek için dizinin başlangıç terimi (a1a_1) hesaplanmalıdır.
4
İlk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) değerlerini geometrik dizinin genel terim formülünde yerine koyarak üçüncü terimi (a3a_3) hesaplayınız.
a3=a1⋅r2=27⋅(23)2=27⋅49=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 27 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12 elde edilir.
Soruda istenen üçüncü terim değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2702Soru →

Bir sinema salonunda izleyicilere sunulan bilet ve menü seçenekleri aşağıdaki gibidir:
- 33 farklı film türü (Aksiyon, Komedi, Dram)
- 44 farkl�� mısır boyutu (Küçük, Orta, Büyük, Mega)
- 33 farklı içecek türü (Gazoz, Meyve Suyu, Su)

Sinema yönetimi, izleyiciler için iki farklı kampanya paketi hazırlamıştır:
- 1. Paket: 11 film bileti ve 11 mısır
- 2. Paket: 11 mısır ve 11 içecek

Bir izleyici bu iki paketten yalnızca birini satın alacaktır. Ancak yönetmelik gereği, "Mega" boy mısır alan bir izleyici içecek olarak "Su" tercih edememektedir.

Buna göre, bir izleyici kampanya paketlerinden birini kaç farklı şekilde seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Doğru yanıt 23 seçeneğidir.
Doğru yanıt olan 23 seçeneği, 1. Paket için geçerli olan 12 farklı durum ile 2. Paket için kısıtlama düştükten sonra kalan 11 farklı durumun toplama yoluyla sayılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
1. Paket için seçenek sayısını hesaplama.
12 farklı seçenek.
1. Paket bir film bileti ve bir mısır içermektedir. 33 film ve 44 mısır çeşidi olduğundan, çarpma yoluyla sayma prensibine göre 3×4=123 \times 4 = 12 farklı durum oluşur.
2
2. Paket için seçenek sayısını hesaplama ve kısıtlamayı uygulama.
11 farklı seçenek.
2. Paket bir mısır ve bir içecek içermektedir. Kısıtlama olmasaydı 44 mısır ve 33 içecek ile 4×3=124 \times 3 = 12 farklı durum oluşurdu. Ancak 'Mega' boy mısır ile 'Su' seçeneğinin birlikte alınamayacağı belirtilmiştir. Bu yasaklı 11 durum çıkarıldığında 12−1=1112 - 1 = 11 geçerli durum kalır.
3
Toplam seçenek sayısını bulma.
23 farklı seçenek.
İzleyici bu iki paketten yalnızca birini seçeceği için (seçimler birbiriyle ayrık durumlardır), toplama yoluyla sayma prensibine göre iki paketin seçenek sayıları toplanır: 12+11=2312 + 11 = 23.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Soru 2703Soru →

Bir tur şirketi, düzenleyeceği bir müze gezisi için kişi başı katılım ücretini 100 TL olarak belirlemiştir. Bu geziye en fazla 200 kişi katılabilecektir. Şirket, geziye 80 kişiden fazla katılım olması durumunda, 80'in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcıların bilet ücretinde 0,5 TL indirim uygulayacaktır.

Buna göre, tur şirketinin bu geziden elde edeceği toplam gelirin en fazla olması için geziye kaç kişi katılmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Toplam gelirin en fazla olması i��in geziye 140 kişi katılmalıdır.
Toplam geliri en yüksek yapan katılımcı sayısını bulmak için öncelikle katılımcı sayısı xx cinsinden gelir fonksiyonu yazılır. 80 kişinin üzerindeki her bir kişi için kişi başı ücret 0,50,5 TL azaldığından, kişi başı bilet fiyatı 100−0,5(x−80)=140−0,5x100 - 0,5(x - 80) = 140 - 0,5x olur. Toplam gelir ise R(x)=x(140−0,5x)=140x−0,5x2R(x) = x(140 - 0,5x) = 140x - 0,5x^2 şeklindedir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınır: R′(x)=140−xR'(x) = 140 - x. Türevin sıfır olduğu x=140x = 140 değeri, geliri maksimum yapan katılımcı sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Katılımcı sayısına bağlı olarak kişi başı bilet ücretini veren fonksiyonu yazalım.
Geziye katılan kişi sayısı xx olsun (x>80x > 80). 80'in üzerindeki kişi sayısı x−80x - 80 olur. Bu durumda kişi başı bilet ücreti 100−0,5(x−80)=140−0,5x100 - 0,5(x - 80) = 140 - 0,5x TL olur.
Toplam geliri hesaplayabilmek için öncelikle birim fiyatın katılımcı sayısına bağlı ifadesini bulmamız gerekir.
2
Toplam gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) oluşturalım.
R(x)=x⋅(140−0,5x)=140x−0,5x2R(x) = x \cdot (140 - 0,5x) = 140x - 0,5x^2 elde edilir.
Toplam gelir, katılımcı sayısı ile kişi başı bilet ücretinin çarpımına eşittir.
3
Gelir fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulalım.
R′(x)=140−xR'(x) = 140 - x olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 140−x=0  ⟹  x=140140 - x = 0 \implies x = 140 bulunur.
Bir fonksiyonun yerel maksimum değerini bulmak için birinci türevinin kökünü incelemeliyiz.
4
Bulunan değerin sınır koşullarını ve maksimumluk durumunu kontrol edelim.
R′′(x)=−1<0R''(x) = -1 < 0 olduğundan x=140x = 140 noktası bir yerel maksimum noktasıdır ve 80<140≤20080 < 140 \le 200 aralığındadır.
Kritik noktanın gerçekten maksimum noktası olduğunu ve tanımlı aralıkta yer aldığını doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde, optimize edilmek istenen büyüklük tek bir değişkene bağlı fonksiyon olarak yazılır ve bu fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktalar (kritik noktalar) incelenerek en büyük veya en küçük değer belirlenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2704Soru →
log⁡13(x−2x−4)≥−1\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x - 2}{x - 4}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 6'dır.
Eşitsizliğin doğru çözümü için öncelikle x−2x−4>0\frac{x-2}{x-4} > 0 tanım aralığı belirlenir, bu da bize (−∞,2)∪(4,∞)(-\infty, 2) \cup (4, \infty) aralığını verir. Ardından taban basit kesir olduğundan yön değiştirilerek x−2x−4≤3\frac{x-2}{x-4} \leq 3 eşitsizliği çözülür ve cebirsel aralık (−∞,4)∪[5,∞)(-\infty, 4) \cup [5, \infty) bulunur. İki kümenin kesişiminden elde edilen gerçek çözüm kümesi (−∞,2)∪[5,∞)(-\infty, 2) \cup [5, \infty) olur. Bu kümedeki en küçük pozitif tam sayılar 1 ve 5 olduğundan, toplamları 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek
x−2x−4>0\frac{x - 2}{x - 4} > 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin kökleri x=2x = 2 ve x=4x = 4 olup, işaret tablosu yapıldığında tanım kümesi T=(−∞,2)∪(4,∞)T = (-\infty, 2) \cup (4, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliği logaritma kurallarına göre çözmek
Taban 13\frac{1}{3} (basit kesir) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x−2x−4≤(13)−1  ⟹  x−2x−4≤3\frac{x - 2}{x - 4} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \implies \frac{x - 2}{x - 4} \leq 3 olur.
Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak
x−2x−4−3≤0  ⟹  −2x+10x−4≤0  ⟹  2x−10x−4≥0\frac{x - 2}{x - 4} - 3 \leq 0 \implies \frac{-2x + 10}{x - 4} \leq 0 \implies \frac{2x - 10}{x - 4} \geq 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=5x = 5 ve x=4x = 4'tür. Paydanın kökü (x=4x=4) hariç, payın kökü (x=5x=5) dahil edilerek cebirsel çözüm kümesi C1=(−∞,4)∪[5,∞)C_1 = (-\infty, 4) \cup [5, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel eşitsizliklerin çözümü için tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılır ve köklerin işaret tablosu incelenir.
4
Tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesinin kesişimini almak
C=T∩C1=((−∞,2)∪(4,∞))∩((−∞,4)∪[5,∞))=(−∞,2)∪[5,∞)C = T \cap C_1 = \big( (-\infty, 2) \cup (4, \infty) \big) \cap \big( (-\infty, 4) \cup [5, \infty) \big) = (-\infty, 2) \cup [5, \infty) elde edilir.
Bulunan çözümlerin geçerli olabilmesi için logaritmanın tanımlı olduğu aralıkta yer alması gerekir.
5
En küçük iki pozitif tam sayıyı belirlemek ve toplamak
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 1,5,6,7,…1, 5, 6, 7, \dots şeklindedir. En küçük iki tanesi 1 ve 5 olup, toplamları 1+5=61 + 5 = 6 olur.
Kümeye ait en küçük iki pozitif tam sayı belirlenerek soru kökündeki toplam işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın durumuna göre eşitsizlik yönünün belirlenmesi ve tanım kümesi sınırlamalarının çözüm kümesine dahil edilmesi.
Soru 2705Soru →
log⁡615=a\log_6 15 = a
log⁡610=b\log_6 10 = b

olduğuna göre, log⁡125\log_{12} 5 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \frac{a + b - 1}{b - a + 3}

Cevap

\frac{a + b - 1}{b - a + 3}
Logaritma ifadeleri açılıp taraf tarafa toplanarak ve çıkarılarak log⁡65\log_6 5 ve log⁡62\log_6 2 değerleri elde edilir. Ardından log⁡125\log_{12} 5 ifadesine 6 tabanında taban değiştirme uygulanıp bu değerler yerine konulduğunda a+b−1b−a+3\frac{a + b - 1}{b - a + 3} ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak açın.
a=log⁡63+log⁡65a = \log_6 3 + \log_6 5 ve b=log⁡62+log⁡65b = \log_6 2 + \log_6 5
Toplamsal ilişkileri kurabilmek için sayıları asal çarpanlarına ayırarak logaritmalarını ayırmak.
2
log⁡63\log_6 3 ifadesini log⁡62\log_6 2 cinsinden yazın.
log⁡63=1−log⁡62\log_6 3 = 1 - \log_6 2 olduğundan a=1−log⁡62+log⁡65a = 1 - \log_6 2 + \log_6 5
log⁡62+log⁡63=log⁡66=1\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1 temel özelliğini kullanarak bilinmeyen sayısını azaltmak.
3
Elde edilen iki denklemden log⁡65\log_6 5 ve log⁡62\log_6 2 ifadelerini çekin.
log⁡65=a+b−12\log_6 5 = \frac{a + b - 1}{2} ve log⁡62=b−a+12\log_6 2 = \frac{b - a + 1}{2}
İstenen log⁡125\log_{12} 5 ifadesinin bileşenlerini aa ve bb cinsinden ifade etmek.
4
log⁡125\log_{12} 5 ifadesine 6 tabanında taban değiştirme kuralı uygulayıp değerleri yerine yazın.
log⁡125=log⁡65log⁡612=log⁡651+log⁡62=a+b−1b−a+3\log_{12} 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 12} = \frac{\log_6 5}{1 + \log_6 2} = \frac{a + b - 1}{b - a + 3}
Taban değiştirme özelliğini kullanarak aranan ifadeyi bilinen tabana indirgemek ve sadeleştirmek.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 2706Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için

∫12f(2x−1) dx=5\int_{1}^{2} f(2x-1) \, dx = 5
∫13x⋅f(x2) dx=8\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 8

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫39f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen integralin değeri 6'dır.
Soruda verilen iki integralde sırasıyla u=2x−1u = 2x-1 ve v=x2v = x^2 dönüşümleri yapıldığında ff fonksiyonunun [1,3][1, 3] ve [1,9][1, 9] aralıklarındaki belirli integral değerleri sırasıyla 10 ve 16 olarak elde edilir. Ardından, belirli integralin aralık bölme özelliği yardımıyla ∫39f(x) dx=∫19f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{1}^{9} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx bağıntısı kurulur. Bu bağıntıdan 16−10=616 - 10 = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde u=2x−1u = 2x-1 değişken değiştirmesi uygulamak.
∫13f(x) dx=10\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10
u=2x−1u = 2x-1 dönüşümüyle sınırlar xx değişkeninden uu değişkenine taşınarak ff fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki integral değeri hesaplanır.
2
İkinci integralde v=x2v = x^2 değişken değiştirmesi uygulamak.
∫19f(x) dx=16\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 16
v=x2v = x^2 dönüşümüyle x dxx\,dx ifadesi dv2\frac{dv}{2} şeklinde yazılır ve sınırlar [1,9][1, 9] aralığına güncellenerek bu aralıktaki integral değeri bulunur.
3
Belirli integralin aralık bölme özelliğini uygulamak.
∫39f(x) dx=6\int_{3}^{9} f(x) \, dx = 6
[1,9][1, 9] aralığındaki integral, [1,3][1, 3] ve [3,9][3, 9] alt aralıklarının toplamı olarak yazılabilir. Bu özellik sayesinde bilinen değerler yerine koyularak bilinmeyen integral hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integralin aralık bölme özelliği.
Soru 2707Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, bir xx pozitif gerçel sayısı için
log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3x⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2x=log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x = \log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Doğru cevap 30'dur.
Verilen denklemde her iki taraf logaritmik çarpımlara bölündüğünde elde edilen rasyonel ifadeler, taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡x5+log⁡x2+log⁡x3=1\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1 biçimine dönüşür. Logaritma toplama özelliğinden log⁡x30=1\log_x 30 = 1 olur ve buradan x=30x = 30 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafını terimlerin çarpımı olan log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x ifadesine bölün.
1log⁡5x+1log⁡2x+1log⁡3x=1\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1
Logaritmik ifadeleri sadeleştirmek ve ortak tabana dönüştürülebilecek rasyonel terimler elde etmek için.
2
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a taban değiştirme kuralını uygulayarak her terimi xx tabanında yeniden yazın.
log⁡x5+log⁡x2+log⁡x3=1\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1
Tüm logaritma terimlerini aynı tabanda (yani xx tabanında) bir araya getirerek işlem kolaylığı sağlamak için.
3
Aynı tabandaki logaritma toplamlarını tek bir logaritma altında çarpım kuralı (log⁡am+log⁡an+log⁡ak=log⁡a(m⋅n⋅k)\log_a m + \log_a n + \log_a k = \log_a(m \cdot n \cdot k)) ile birleştirin.
log⁡x(5⋅2⋅3)=1  ⟹  log⁡x30=1\log_x(5 \cdot 2 \cdot 3) = 1 \implies \log_x 30 = 1
Denklemi tek bir logaritmik ifadeye indirgeyerek çözüme ulaşmak için.
4
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üstel biçimde yazın ve xx değerini bulun.
x1=30  ⟹  x=30x^1 = 30 \implies x = 30
Logaritma fonksiyonunu ortadan kaldırıp bilinmeyen olan xx gerçel sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Taban Değiştirme ve Logaritma Toplama Özelliği
Soru 2708Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4 parabolünün y=2x−5y = 2x - 5 doğrusuna en yakın noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabolün doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı 6'dır.
Parabolün doğruya en yakın noktası, o doğruya paralel olan teğetin değme noktasıdır. Doğrunun eğimi 22 olduğundan teğetin eğimi de 22'dir. Parabolün türevi f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 eğime eşitlendiğinde değme noktasının apsisi x=2x = 2 bulunur. Parabolde yerine yazıldığında ordinatı y=4y = 4 elde edilir. Bu noktanın koordinatları toplamı ise 2+4=62 + 4 = 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eğimini belirleme
m=2m = 2
y=2x−5y = 2x - 5 doğrusunun eğimi xx'in katsayısı olan 22 sayısıdır. En yakın noktadaki teğet bu doğruya paralel olmalıdır.
2
Fonksiyonun türevini alma ve eğime eşitleme
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 ve x=2x = 2
Parabol üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim 22 olacağından 2x−2=22x - 2 = 2 denkleminden teğet noktasının apsisi x=2x = 2 olarak bulunur.
3
Teğet noktasının ordinatını bulma
y=4y = 4
Bulunan x=2x = 2 apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak teğet noktas��nın ordinatı f(2)=22−2(2)+4=4f(2) = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 olarak elde edilir.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
66
En yakın nokta (2,4)(2, 4) olarak belirlenmiş olup koordinatlar toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olur.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin bir doğruya en yakın noktasında çizilen teğet doğrusu, verilen doğruya paraleldir.
Soru 2709Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−11f(3x+1) dx=8\int_{-1}^{1} f(3x + 1) \, dx = 8
∫12f(5−3x) dx=2\int_{1}^{2} f(5 - 3x) \, dx = 2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen toplamın değeri 18'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için verilen integral ifadelerinde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. İlk integralde u=3x+1u = 3x + 1 dönüşümü yapılarak sınırlar [−2,4][-2, 4] aralığına güncellenir ve ∫−24f(x) dx=24\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 24 bulunur. İkinci integralde v=5−3xv = 5 - 3x dönüşümü yapılarak sınırlar [−1,2][-1, 2] aralığına güncellenir ve ∫−12f(x) dx=6\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 6 bulunur. Son olarak, belirli integralin aralık toplama özelliği kullanılarak [−2,4][-2, 4] aralığındaki integral [−2,−1][-2, -1], [−1,2][-1, 2] ve [2,4][2, 4] alt aralıklarına ayrıştırılır. Değerler yerine yazıldığında aranan toplamın 18 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral ifadesinde değişken değiştirme yöntemini uygulayarak sınırları güncelleyin.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} olur.
Sınırlar:
x=−1  ⟹  u=3(−1)+1=−2x = -1 \implies u = 3(-1) + 1 = -2
x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4
Bu durumda integral:
∫−24f(u)du3=8  ⟹  ∫−24f(u) du=24\int_{-2}^{4} f(u) \frac{du}{3} = 8 \implies \int_{-2}^{4} f(u) \, du = 24 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) türünden yazabilmek ve [−2,4][-2, 4] aralığındaki toplam integral değerini elde etmek için.
2
İkinci integral ifadesinde değişken değiştirme yöntemini uygulayarak sınırları güncelleyin.
v=5−3x  ⟹  dv=−3 dx  ⟹  dx=−dv3v = 5 - 3x \implies dv = -3 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{3} olur.
Sınırlar:
x=1  ⟹  v=5−3(1)=2x = 1 \implies v = 5 - 3(1) = 2
x=2  ⟹  v=5−3(2)=−1x = 2 \implies v = 5 - 3(2) = -1
Bu durumda integral:
∫2−1f(v)(−dv3)=2  ⟹  13∫−12f(v) dv=2  ⟹  ∫−12f(v) dv=6\int_{2}^{-1} f(v) \left(-\frac{dv}{3}\right) = 2 \implies \frac{1}{3} \int_{-1}^{2} f(v) \, dv = 2 \implies \int_{-1}^{2} f(v) \, dv = 6 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) türünden yazabilmek ve [−1,2][-1, 2] aralığındaki integral değerini bulmak için.
3
Belirli integralin aralık toplama özelliğini kullanarak aranan integral toplamını hesaplayın.
Belirli integralin sınır özellikleri gereği:
∫−24f(x) dx=∫−2−1f(x) dx+∫−12f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx
yazılabilir. Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
24=(∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx)+624 = \left( \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx \right) + 6
Buradan,
∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx=24−6=18\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 24 - 6 = 18 bulunur.
Bulunan [−2,4][-2, 4] ve [−1,2][-1, 2] aralıklarındaki integral değerleri yardımıyla istenen parçalı integral toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi ve Belirli İntegralin Aralık Parçalama Özelliği
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2710Soru →

Analitik düzlemde, köşeleri A(0,3)A(0, 3), B(0,0)B(0, 0) ve C(4,0)C(4, 0) noktaları olan ABCABC üçgensel bölgesinin sınırları üzerinde veya iç bölgesinde bulunan ve koordinatları tam sayı olan noktalardan rastgele iki farklı nokta seçiliyor.

Buna göre, seçilen bu iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 22 birim olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2955\frac{29}{55}

Cevap

Seçilen iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 2 birim olma olasılığı 29/55'tir.
Üçgensel bölgedeki 11 tam sayı koordinatlı noktadan seçilen 55 farklı ikiliden, aralarındaki mesafe 1, karekök 2 veya 2 birim olan 29 çift bulunmaktadır. Bu nedenle aranan olasılık 29/55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgensel bölgedeki tam sayı koordinatlı noktaların belirlenmesi
x≥0x \ge 0, y≥0y \ge 0 ve 3x+4y≤123x + 4y \le 12 koşullarını sağlayan tam sayı ikilileri belirlenir: (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0),(4,0)(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (3,0), (4,0) olmak üzere toplam 11 nokta vardır.
Olasılık hesabının yapılacağı örnek uzayı oluşturacak elemanların doğru tespit edilmesi gerekir.
2
Toplam olası durum sayısının hesaplanması
11 noktadan rastgele 2 farklı noktanın seçilme sayısı kombinasyon ile bulunur: s(E)=(112)=11×102=55s(E) = \binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55.
Seçim işleminde sıranın önemi olmadığından kombinasyon hesabı kullanılır.
3
İstenen durumların (uzaklığı en fazla 2 birim olan noktaların) sayılması
İki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 2 birim olması için aralarındaki yatay mesafe dxdx ve dikey mesafe dydy olmak üzere dx2+dy2≤4dx^2 + dy^2 \le 4 olmalıdır. Bu durumları mesafelerine göre sınıflandırabiliriz:
- Uzaklığı 1 birim olanlar (yatay veya dikey komşu): 7 yatay + 6 dikey = 13 çift.
- Uzaklığı 2\sqrt{2} birim olanlar (çapraz komşu): 9 çift.
- Uzaklığı 2 birim olanlar (yatay veya dikeyde 2 birim uzaklıkta): 4 yatay + 3 dikey = 7 çift.
Toplam elverişli durum sayısı: 13+9+7=2913 + 9 + 7 = 29 çift.
Koşulu sağlayan durumların sayısı gruplandırılarak eksiksiz ve hatasız biçimde sayılır.
4
Olasılık değerinin bulunması
Olasılık = I˙stenen Durum SayısıTu¨m Durumların Sayısı=2955\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{29}{55}.
Olasılık tanımı gereği elverişli durumların sayısı tüm durumların sayısına bölünür.

Anahtar Kavram

Örnek uzay elemanlarının kombinasyon ile bulunması ve basit olayların olasılığı formülünün uygulanması.
Soru 2711Soru →
lim⁡x→πcos⁡(3π2−x)−sin⁡(2x)sin⁡2x+sin⁡x\lim_{x \to \pi} \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - \sin(2x)}{\sin^2x + \sin x}

limitinin değeri aşa��ıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Doğru seçenekte belirtilen 1 değeri; pay kısmındaki cos(3pi/2 - x) ifadesinin -sin(x) şeklinde indirgenmesi, sin(2x) ifadesinin yarım açı formülüyle açılması, paydadaki sin(x) parantezine alma işlemi ve ardından belirsizlik yaratan sin(x) terimlerinin sadeleştirilip x yerine pi yazılmasıyla elde edilen kesin sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek için indirgeme formülünü ve yarım açı formülünü uygulayınız.
cos⁡(3π2−x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x ifadeleri elde edilir. Pay ifadesi: −sin⁡x−2sin⁡xcos⁡x=−sin⁡x(1+2cos⁡x)-\sin x - 2\sin x \cos x = -\sin x(1 + 2\cos x) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Belirsizliği gidermek amacıyla pay ve paydadaki ortak çarpanları belirlemek için ifadeler çarpanlarına ayrılmalıdır.
2
Payda kısmını ortak çarpan parantezine alınız.
sin⁡2x+sin⁡x=sin⁡x(sin⁡x+1)\sin^2x + \sin x = \sin x(\sin x + 1) elde edilir.
Paydadaki sin⁡x\sin x çarpanını ortaya çıkararak pay kısmındaki sin⁡x\sin x ile sadele��mesini sağlamak amacıyla ortak paranteze alınır.
3
Elde edilen çarpanları limit ifadesinde yerine yazarak x→πx \to \pi için sıfıra yaklaşan ortak çarpanları sadeleştiriniz.
lim⁡x→π−sin⁡x(1+2cos⁡x)sin⁡x(sin⁡x+1)=lim⁡x→π−(1+2cos⁡x)sin⁡x+1\lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x(1 + 2\cos x)}{\sin x(\sin x + 1)} = \lim_{x \to \pi} \frac{-(1 + 2\cos x)}{\sin x + 1} elde edilir.
0/00/0 belirsizliğine neden olan sin⁡x\sin x terimleri sadeleştirilerek belirsizlik durumu ortadan kaldırılır.
4
Kalan ifadede x=πx = \pi değerini yerine yazarak limit değerini bulunuz.
−(1+2cos⁡π)sin⁡π+1=−(1+2(−1))0+1=−(−1)1=1\frac{-(1 + 2\cos \pi)}{\sin \pi + 1} = \frac{-(1 + 2(-1))}{0 + 1} = \frac{-(-1)}{1} = 1 bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri, kalan sürekli fonksiyon parçasında doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik İfadelerde Belirsizlik Giderme ve Limit Özellikleri
Soru 2712Soru →
x=log⁡23x = \log_2 3
y=log⁡35y = \log_3 5
olduğuna göre, log⁡30120\log_{30} 120 ifadesinin xx ve yy türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}

Cevap

\frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}
Logaritma taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡30120\log_{30} 120 ifadesi 3 tabanında yazıldığında log⁡3120log⁡330\frac{\log_3 120}{\log_3 30} elde edilir. Pay ve paydadaki ifadeler asal çarpanlarına ayrılıp log⁡32=1x\log_3 2 = \frac{1}{x} ve log⁡35=y\log_3 5 = y değerleri yerlerine yazıldığında rasyonel ifadelerin düzenlenmesiyle x+xy+3x+xy+1\frac{x + xy + 3}{x + xy + 1} ifadesi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerinin tabanlarını incelemek ve ortak tabana göre taban değiştirme uygulamak.
Verilen ifadelerde ortak sayı 3 olduğundan log⁡30120\log_{30} 120 ifadesi 3 tabanına göre yazılır: log⁡30120=log⁡3120log⁡330\log_{30} 120 = \frac{\log_3 120}{\log_3 30}
Soruda verilen xx ve yy değerleri 2 ve 3, 3 ve 5 tabanlarındadır. Ortak taban olan 3 tabanına geçi�� yapmak çözümü kolaylaştırır.
2
Pay ve paydadaki sayıları asal çarpanlarına ayırarak logaritmanın çarpım özelliğini uygulamak.
Pay: log⁡3120=log⁡3(23⋅3⋅5)=3log⁡32+log⁡33+log⁡35=3log⁡32+1+log⁡35\log_3 120 = \log_3(2^3 \cdot 3 \cdot 5) = 3\log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 = 3\log_3 2 + 1 + \log_3 5 ve Payda: log⁡330=log⁡3(2⋅3⋅5)=log⁡32+log⁡33+log⁡35=log⁡32+1+log⁡35\log_3 30 = \log_3(2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 = \log_3 2 + 1 + \log_3 5
Logaritma içindeki çarpım durumundaki ifadeleri toplam biçiminde yazarak bilinen değişkenleri yerleştirebilmek.
3
Verilen x=log⁡23x = \log_2 3 ve y=log⁡35y = \log_3 5 değerlerini yerlerine yazmak.
log⁡32=1log⁡23=1x\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{x} yazılır. Buradan Pay: 3(1x)+1+y=3x+1+y=x+xy+3x3\left(\frac{1}{x}\right) + 1 + y = \frac{3}{x} + 1 + y = \frac{x + xy + 3}{x} ve Payda: 1x+1+y=x+xy+1x\frac{1}{x} + 1 + y = \frac{x + xy + 1}{x} elde edilir.
Taban ile logaritması alınan sayının yer değiştirmesi durumunda logaritma değerinin çarpmaya göre tersi alınır.
4
Elde edilen pay ve payda rasyonel ifadelerini oranlamak.
log⁡30120=x+xy+3xx+xy+1x=x+xy+3x+xy+1\log_{30} 120 = \frac{\frac{x + xy + 3}{x}}{\frac{x + xy + 1}{x}} = \frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}
Ortak payda olan xx değerleri sadeleşir ve nihai rasyonel ifadeye ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 2713Soru →

Özdeş 3 mavi ve özdeş 3 kırmızı oyuncak, 3 çocuk arasında paylaştırılacaktır.

Buna göre, her çocuğun en az bir oyuncak alması koşuluyla bu paylaştırma işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Her çocuğun en az bir oyuncak alması koşuluyla paylaştırma işlemi 55 farklı şekilde yapılabilir.
Tüm durumlar mavi oyuncakların çocuklara dağılımındaki sayı gruplarına göre analiz edilmiştir. Mavi oyuncaklar çocuklara (1,1,1), (2,1,0) veya (3,0,0) grupları şeklinde dağıtılabilir. Her bir grupta boşta kalan çocuklara kırmızı oyuncaklardan en az birer tane verilmesi garanti edilerek yapılan hesaplamaların toplamı 55 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Mavi oyuncakların 3 çocuğa dağıtılma durumlarının sayısını tekrarlı permütasyon (ayraç yöntemi) ile bulma
10 farklı durum
3 özdeş mavi oyuncak ve çocukları ayırmak için kullanılan 2 özdeş ayraç toplam 5 eleman oluşturur. Bu elemanların dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
2
Kırmızı oyuncakların 3 çocuğa dağıtılma durumlarının sayısını tekrarlı permütasyon ile bulma
10 farklı durum
Mavi oyuncaklarla aynı mantıkla, 3 özdeş kırmızı oyuncak ve 2 özdeş ayraç için dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
3
Hiçbir çocuğun oyuncaksız kalmaması koşulunu mavi oyuncakların dağılım durumlarına göre inceleme
3 farklı senaryonun toplamı: 10 + 36 + 9 = 55 durum
Mavi oyuncakların dağılımı (1, 1, 1), (2, 1, 0) veya (3, 0, 0) şeklinde olabilir. (1, 1, 1) dağılımında (1 yolla gerçekleşir) her çocukta zaten oyuncak olduğundan kırmızı oyuncaklar kısıtlamasız dağıtılır (1×10=101 \times 10 = 10 durum). (2, 1, 0) dağılımında (6 yolla gerçekleşir) mavi alamayan 1 çocuğa garanti 1 kırmızı oyuncak verilir, kalan 2 kırmızı oyuncak 3 çocuğa dağıtılır (6×(2+3−13−1)=366 \times \binom{2+3-1}{3-1} = 36 durum). (3, 0, 0) dağılımında (3 yolla gerçekleşir) mavi alamayan 2 çocuğa garanti 1'er kırmızı oyuncak verilir, kalan 1 kırmızı oyuncak 3 çocuğa dağıtılır (3×(1+3−13−1)=93 \times \binom{1+3-1}{3-1} = 9 durum).
4
Tüm senaryolardan elde edilen durum sayılarını toplama
55
Ayrık durumların toplamı bize genel kural gereği istenen tüm durumları verir.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin dağıtımında ayraç yöntemi kullanılarak tekrarlı permütasyon formülünün uygulanması ve koşullu durumların incelenmesi.
Soru 2714Soru →

Yatay düzlemde yere göre batı yönünde 3v3v büyüklüğünde sabit hızla hareket eden XX aracındaki gözlemci, YY aracını kuzey yönünde 4v4v büyüklüğünde sabit hızla hareket ediyormuş gibi görmektedir.

Buna göre, yere göre kuzey yönünde 8v8v büyüklüğünde sabit hızla hareket eden ZZ aracındaki gözlemci, YY aracının hızının büyüklüğünü kaç vv olarak görür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Hız büyüklüğü 5v olan seçenek doğrudur.
Gözlemcinin bir cismi hangi hızla gördüğü bağıl hız formülü ile bulunur: v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen−v⃗go¨zlemci\vec{v}_{\text{bağıl}} = \vec{v}_{\text{gözlenen}} - \vec{v}_{\text{gözlemci}}. Soruda verilen bilgilere göre, XX aracındaki gözlemcinin hızı v⃗X=−3vi^\vec{v}_X = -3v\hat{i} (batı) ve YY'yi görme hızı v⃗Y∣X=4vj^\vec{v}_{Y|X} = 4v\hat{j} (kuzey) olarak tanımlanırsa, YY aracının yere göre hızı v⃗Y=v⃗Y∣X+v⃗X=−3vi^+4vj^\vec{v}_Y = \vec{v}_{Y|X} + \vec{v}_X = -3v\hat{i} + 4v\hat{j} olur. ZZ aracının yere göre hızı ise v⃗Z=8vj^\vec{v}_Z = 8v\hat{j} (kuzey) olduğundan, ZZ'deki gözlemcinin YY aracını görme hızı v⃗Y∣Z=v⃗Y−v⃗Z=(−3vi^+4vj^)−8vj^=−3vi^−4vj^\vec{v}_{Y|Z} = \vec{v}_Y - \vec{v}_Z = (-3v\hat{i} + 4v\hat{j}) - 8v\hat{j} = -3v\hat{i} - 4v\hat{j} olarak hesaplanır. Bu hız vektörünün büyüklüğü ise Pisagor teoreminden (−3v)2+(−4v)2=5v\sqrt{(-3v)^2 + (-4v)^2} = 5v olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Araçların hız vektörlerini kartezyen koordinat sisteminde tanımlamak.
XX aracının hızı: v⃗X=−3vi^\vec{v}_X = -3v\hat{i}. XX'deki gözlemcinin YY'yi görme hızı (bağıl hız): v⃗Y∣X=4vj^\vec{v}_{Y|X} = 4v\hat{j}. ZZ aracının hızı: v⃗Z=8vj^\vec{v}_Z = 8v\hat{j}.
Bağıl hareket sorularında vektörel işlemleri hatasız yapabilmek için hızları bileşenlerine ayırmak kolaylık sağlar.
2
YY aracının yere göre hızını bulmak için v⃗Y∣X=v⃗Y−v⃗X\vec{v}_{Y|X} = \vec{v}_Y - \vec{v}_X bağıntısını kullanmak.
v⃗Y=v⃗Y∣X+v⃗X=4vj^+(−3vi^)=−3vi^+4vj^\vec{v}_Y = \vec{v}_{Y|X} + \vec{v}_X = 4v\hat{j} + (-3v\hat{i}) = -3v\hat{i} + 4v\hat{j}.
Gözlenen cismin yere göre hızını bulmak için bağıl hız vektörü ile gözlemcinin hız vektörü toplanmalıdır.
3
ZZ aracındaki gözlemcinin YY aracını görme hızını (v⃗Y∣Z\vec{v}_{Y|Z}) bulmak.
v⃗Y∣Z=v⃗Y−v⃗Z=(−3vi^+4vj^)−8vj^=−3vi^−4vj^\vec{v}_{Y|Z} = \vec{v}_Y - \vec{v}_Z = (-3v\hat{i} + 4v\hat{j}) - 8v\hat{j} = -3v\hat{i} - 4v\hat{j}.
ZZ gözlemcisine göre bağıl hızı bulmak için YY'nin hızından ZZ'nin hızı vektörel olarak çıkarılmalıdır.
4
Elde edilen bağıl hız vektörünün büyüklüğünü hesaplamak.
∣v⃗Y∣Z∣=(−3v)2+(−4v)2=5v|\vec{v}_{Y|Z}| = \sqrt{(-3v)^2 + (-4v)^2} = 5v.
Vektörün büyüklüğü bileşenlerinin karelerinin toplamının karekökü (Pisagor teoremi) ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki boyutta bağıl hareket ve vektörel çıkarma işlemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2715Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için terimleri tanımlı olan (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizilerinin genel terimleri
an=n2+an−12n−ba_n = \frac{n^2 + an - 12}{n - b}
bn=n+cb_n = n + c
olarak verilmiştir.

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere, (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri eşit diziler (an=bna_n = b_n) olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -56

Cevap

-56 olan seçenek doğrudur.
Dizilerin eşitliği kuralına göre paydanın sıfır olamayacağı ve n≥1n \ge 1 pozitif tam sayı değerleri için tanımlı kalması gerektiği şartı altında bc=12bc = 12 eşitliğini sağlayan bb negatif tam sayılarının tüm durumları incelenmiş ve toplam −56-56 olarak doğru bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin eşitliği tanımını kullanarak genel terimleri eşitleyin.
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2+an−12n−b=n+c\frac{n^2 + an - 12}{n - b} = n + c eşitliği sağlanmalıdır.
Eşit dizilerin her bir terimi birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitlikte içler dışlar çarpımı yaparak polinom eşitliği elde edin.
n2+an−12=(n−b)(n+c)=n2+(c−b)n−bcn^2 + an - 12 = (n - b)(n + c) = n^2 + (c - b)n - bc elde edilir. Katsayıların eşitliğinden a=c−ba = c - b ve bc=12bc = 12 bulunur.
İki polinomun eşit olabilmesi için aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
3
Dizinin tanım kümesi şartını uygulayın.
ana_n dizisinin her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olmas�� gerektiğinden payda sıfır olamaz. Yani n−b≠0  ⟹  b∉Z+n - b \neq 0 \implies b \notin \mathbb{Z}^+ olmalıdır. bb tam sayı olduğundan bb negatif tam sayı olmalıdır (b<0b < 0).
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır ve bu kümede genel terim tanımsız olamaz.
4
bc=12bc = 12 eşitliğini sağlayan negatif tam sayı çiftlerini bulun ve a+b+ca + b + c değerlerini hesaplayın.
Negatif çarpan çiftleri şunlardır:
- b=−1,c=−12  ⟹  a=−12−(−1)=−11  ⟹  a+b+c=−24b = -1, c = -12 \implies a = -12 - (-1) = -11 \implies a+b+c = -24
- b=−2,c=−6  ⟹  a=−6−(−2)=−4  ⟹  a+b+c=−12b = -2, c = -6 \implies a = -6 - (-2) = -4 \implies a+b+c = -12
- b=−3,c=−4  ⟹  a=−4−(−3)=−1  ⟹  a+b+c=−8b = -3, c = -4 \implies a = -4 - (-3) = -1 \implies a+b+c = -8
- b=−4,c=−3  ⟹  a=−3−(−4)=1  ⟹  a+b+c=−6b = -4, c = -3 \implies a = -3 - (-4) = 1 \implies a+b+c = -6
- b=−6,c=−2  ⟹  a=−2−(−6)=4  ⟹  a+b+c=−4b = -6, c = -2 \implies a = -2 - (-6) = 4 \implies a+b+c = -4
- b=−12,c=−1  ⟹  a=−1−(−12)=11  ⟹  a+b+c=−2b = -12, c = -1 \implies a = -1 - (-12) = 11 \implies a+b+c = -2
bb negatif tam sayısı için bc=12bc=12 eşitliğini sağlayan tüm durumları belirlemek gerekir.
5
Elde edilen farklı a+b+ca + b + c değerlerini toplayın.
(−24)+(−12)+(−8)+(−6)+(−4)+(−2)=−56(-24) + (-12) + (-8) + (-6) + (-4) + (-2) = -56 bulunur.
Soruda istenen tüm farklı durumların toplamını bulmaktır.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşitliği için genel terimlerinin tanım kümesi olan pozitif tam sayılarda eşit ve tanımlı olması gerekir.
Soru 2716Soru →
11'den farklı aa ve bb pozitif gerçel sayıları için,
log⁡ab−6log⁡ba=1\log_a b - 6\log_b a = 1
olduğu biliniyor.
Buna göre,
log⁡a(a⋅b)+log⁡b(a⋅b)\log_{\sqrt{a}} (a \cdot b) + \log_{\sqrt{b}} (a \cdot b)
ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 293\frac{29}{3}

Cevap

İfadenin alabileceği değerlerin toplamı yirmi dokuz bölü üçtür.
Verilen denklemde değişken değiştirme yapılıp ikinci dereceden denklem çözüldüğünde elde edilen kökler 3 ve -2'dir. İstenen ifade sadeleştirilip bu kökler yerine yazıldığında elde edilen 32/3 ve -1 değerlerinin toplamı olan 29/3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yapılması
log⁡ab=t  ⟹  log⁡ba=1t\log_a b = t \implies \log_b a = \frac{1}{t}
Verilen denklemde tabanları aynı hale getirmek ve çözülebilir bir yapı oluşturmak amacıyla değişken değiştirme yöntemi kullanılır.
2
İkinci dereceden denklemin kurulması ve çözülmesi
t−6t=1  ⟹  t2−t−6=0  ⟹  (t−3)(t+2)=0  ⟹  t=3 veya t=−2t - \frac{6}{t} = 1 \implies t^2 - t - 6 = 0 \implies (t - 3)(t + 2) = 0 \implies t = 3 \text{ veya } t = -2
Değişken değiştirme sonrası elde edilen rasyonel denklem düzenlenerek ikinci dereceden bir denklem elde edilir ve çarpanlarına ayrılarak kökler bulunur.
3
İstenen ifadenin t cinsinden düzenlenmesi
log⁡a(a⋅b)=2(log⁡aa+log⁡ab)=2(1+t)\log_{\sqrt{a}} (a \cdot b) = 2(\log_a a + \log_a b) = 2(1 + t)
log⁡b(a⋅b)=2(log⁡ba+log⁡bb)=2(1t+1)\log_{\sqrt{b}} (a \cdot b) = 2(\log_b a + \log_b b) = 2\left(\frac{1}{t} + 1\right)
Toplam=2t+2t+4\text{Toplam} = 2t + \frac{2}{t} + 4
Logaritmanın taban üssü ve çarpım özellikleri kullanılarak sorulan ifade ortak değişken olan tt cinsinden ifade edilir.
4
Bulunan t değerlerinin yerine yazılarak ifadenin değerlerinin hesaplanması
t=3  ⟹  2(3)+23+4=323t = 3 \implies 2(3) + \frac{2}{3} + 4 = \frac{32}{3}
t=−2  ⟹  2(−2)+2−2+4=−1t = -2 \implies 2(-2) + \frac{2}{-2} + 4 = -1
Elde edilen tt değerlerinin her biri düzenlenmiş toplam ifadesinde yerine yazılarak ifadenin alabileceği olası iki değer bulunur.
5
Alınabilecek değerlerin toplamının bulunması
323+(−1)=293\frac{32}{3} + (-1) = \frac{29}{3}
Soruda istenen değerlerin toplamı, elde edilen iki sonucun toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2717Soru →
log⁡2(x+3x−2)≤1\log_2\left(\frac{x+3}{x-2}\right) \leq 1

eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri 77'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri gerçekten 7'dir.
Eşitsizliğin tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesi kesiştirildiğinde elde edilen [7,∞)[7, \infty) aralığındaki en küçük tam sayı 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.
x+3x−2>0  ⟹  x<−3 veya x>2\frac{x+3}{x-2} > 0 \implies x < -3 \text{ veya } x > 2
Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliği üstel forma dönüştürerek çözmek.
x+3x−2≤21  ⟹  x+3x−2≤2\frac{x+3}{x-2} \leq 2^1 \implies \frac{x+3}{x-2} \leq 2
Logaritmanın tabanı 2>12 > 1 olduğundan üstel forma geçildiğinde eşitsizliğin yönü korunur.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizliği sıfıra eşitleyip işaret tablosunu oluşturmak.
x+3x−2−2≤0  ⟹  7−xx−2≤0  ⟹  x∈(−∞,2)∪[7,∞)\frac{x+3}{x-2} - 2 \leq 0 \implies \frac{7-x}{x-2} \leq 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup [7, \infty)
Rasyonel ifadelerde pay ve paydanın kökleri (x=7x=7 ve x=2x=2) bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Bulunan çözüm kümesi ile tanım kümesini kesiştirmek.
((−∞,2)∪[7,∞))∩((−∞,−3)∪(2,∞))=(−∞,−3)∪[7,∞)( (-\infty, 2) \cup [7, \infty) ) \cap ( (-\infty, -3) \cup (2, \infty) ) = (-\infty, -3) \cup [7, \infty)
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmayı tanımlı kılması gerekir.
5
Kesişim kümesindeki en küçük pozitif tam sayı değerini belirlemek.
Pozitif çözüm kümesi [7,∞)[7, \infty) olduğundan en küçük pozitif tam sayı 77'dir.
İfadeyi sağlayan pozitif tam sayılar 7,8,9,…7, 8, 9, \dots şeklindedir.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 2718Soru →

Bir kenar uzunluğu 32 cm32\text{ cm} olan kare biçimindeki bir kartonun kenar orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor. Daha sonra elde edilen bu yeni karenin de kenar orta noktaları birleştirilerek bir sonraki kare elde ediliyor ve bu işlem benzer şekilde devam ettiriliyor.

Elde edilen nn. karenin çevresi CnC_n santimetre, alanı ise AnA_n santimetrekare ile gösterilmektedir.

Buna göre, Cn≥AnC_n \geq A_n koşulunu sağlayan en küçük nn pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Koşulu sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri 7'dir.
Soruda istenen Cn≥AnC_n \geq A_n koşulu, geometrik dizinin kuralları uygulanıp genel terimler çıkarıldığında 215−n2≥211−n2^{\frac{15-n}{2}} \geq 2^{11-n} eşitsizliğine indirgenir. Bu üslü eşitsizlik çözüldüğünde n≥7n \geq 7 elde edilir ve en küçük pozitif tam sayı değeri olan 7 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel kenar uzunluğu dizisini oluşturma
sn=211−n2s_n = 2^{\frac{11-n}{2}}
Karenin orta noktalarının birleştirilmesiyle elde edilen yeni karenin kenar uzunluğu her seferinde 22\frac{\sqrt{2}}{2} oranında azalır ve bu bir geometrik dizi belirtir.
2
CnC_n çevre dizisinin genel terimini bulma
Cn=215−n2C_n = 2^{\frac{15-n}{2}}
Karenin çevresi bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.
3
AnA_n alan dizisinin genel terimini bulma
An=211−nA_n = 2^{11-n}
Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
4
Cn≥AnC_n \geq A_n eşitsizliğini çözerek en küçük nn değerini bulma
n≥7n \geq 7 olduğundan en küçük n=7n = 7
Üslü eşitsizliğin tabanı 1'den büyük olduğu için üslerin eşitsizliği doğrudan çözülür.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerin genel terimlerinin gerçek hayat ve geometri problemlerinde modellenmesi ve üslü eşitsizlikler yardımıyla çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2719Soru →
log⁡0,2(x2−2x)≥log⁡0,2(x+4)\log_{0,2}(x^2 - 2x) \geq \log_{0,2}(x + 4)

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 6'dır.
Verilen logaritmik eşitsizlikte taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmanın içi yön değiştirerek x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4 olur ve buradan [−1,4][-1, 4] aralığı elde edilir. Logaritmanın tanım kümeleri olan x2−2x>0x^2 - 2x > 0 ve x+4>0x + 4 > 0 şartları birleştirildiğinde x∈(−4,0)∪(2,∞)x \in (-4, 0) \cup (2, \infty) bulunur. Bu iki kümenin kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar −1,3-1, 3 ve 44 olup toplamları 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin logaritmasız halini yazma
x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4
Logaritma tabanı olan 0,20,2 değeri 00 ile 11 arasında olduğundan, logaritma fonksiyonu azaland��r ve eşitsizlik yön değiştirir.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çözme
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  x∈[−1,4]x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]
Eşitsizliğin sınırlarını belirleyerek değişkenin alabileceği temel aralığı bulmak için.
3
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleme
x2−2x>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2 ve x+4>0  ⟹  x>−4x + 4 > 0 \implies x > -4. Kesişimleri: x∈(−4,0)∪(2,∞)x \in (-4, 0) \cup (2, \infty)
Gerçek sayılarda logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şarttır.
4
Çözüm aralığı ile tanım kümesini kesiştirme
[−1,4]∩((−4,0)∪(2,∞))=[−1,0)∪(2,4][-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]
Hem cebirsel eşitsizliği hem de logaritmanın tanım kümesini aynı anda sağlayan ortak bölgeyi bulmak için.
5
Aralıktaki tam sayıları belirleyip toplama
Tam sayılar: −1,3,4-1, 3, 4. Toplam: −1+3+4=6-1 + 3 + 4 = 6
Soruda istenen xx tam sayılarının toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (pozitiflik şartı) çözüm kümesiyle kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2720Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a7−a5a4−a2=8\frac{a_7 - a_5}{a_4 - a_2} = 8
a1+a3=30a_1 + a_3 = 30

eşitlikleri veriliyor.

Buna g��re, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin ilk terimi 6'dır.
Ortak çarpanı r=2r = 2 olan pozitif terimli geometrik dizide a1+a3=30a_1 + a_3 = 30 eşitliği a1+a1⋅22=30⇒5a1=30⇒a1=6a_1 + a_1 \cdot 2^2 = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6 sonucunu verir. Bu nedenle ilk terim 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} ifadesini kullanarak verilen ilk eşitlikteki terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp sadeleştirelim.
a7=a1⋅r6a_7 = a_1 \cdot r^6, a5=a1⋅r4a_5 = a_1 \cdot r^4, a4=a1⋅r3a_4 = a_1 \cdot r^3 ve a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r yazılır. Buradan oran a1⋅r6−a1⋅r4a1⋅r3−a1⋅r=a1⋅r4(r2−1)a1⋅r(r2−1)=r3\frac{a_1 \cdot r^6 - a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r} = \frac{a_1 \cdot r^4 (r^2 - 1)}{a_1 \cdot r (r^2 - 1)} = r^3 olarak elde edilir.
Eşitlikteki terimleri ortak çarpan cinsinden sadeleştirerek ortak çarpan rr değerini bulmak için.
2
Bulunan r3=8r^3 = 8 eşitliğinden dizinin ortak çarpanı olan rr değerini hesaplayalım.
r3=8⇒r=2r^3 = 8 \Rightarrow r = 2 bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif bir gerçel sayıdır (r=2r = 2).
İkinci denklemde yerine yazarak ilk terimi bulabilmek için ortak çarpan değerine ihtiyacımız vardır.
3
İkinci denklemde a3a_3 terimini a1a_1 ve rr cinsinden yazıp, r=2r = 2 değerini yerine koyarak a1a_1 değerini hesaplayalım.
a1+a3=30⇒a1+a1⋅r2=30⇒a1(1+r2)=30⇒a1(1+22)=30⇒5a1=30⇒a1=6a_1 + a_3 = 30 \Rightarrow a_1 + a_1 \cdot r^2 = 30 \Rightarrow a_1(1 + r^2) = 30 \Rightarrow a_1(1 + 2^2) = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6 elde edilir.
Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki oran sabittir ve genel terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur.
ÖncekiSayfa 136 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin