Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2681Soru →
11'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡3x+log⁡xy=4\log_3 x + \log_x y = 4
log⁡y3+log⁡3y=103\log_y 3 + \log_3 y = \frac{10}{3}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitlikleri sağlayan tüm farklı xx gerçel sayılarının çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 383^8

Cevap

Eşitlikleri sağlayan tüm farklı xx değerlerinin çarpımı 383^8 olarak bulunur.
Sorudaki sistem çözüldüğünde log⁡3y\log_3 y değeri için 33 ve 1/31/3 olmak üzere iki farklı durum ortaya çıkar. Her iki durum için log⁡3x\log_3 x değişkenine bağlı elde edilen ikinci dereceden denklemlerin kökler toplamı Vieta formülünden 44 olarak bulunur. Köklerin toplamı 88 olduğundan, xx değerlerinin çarpımı 383^8 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemde değişken dönüşümü yapılması
w+1w=103  ⟹  3w2−10w+3=0w + \frac{1}{w} = \frac{10}{3} \implies 3w^2 - 10w + 3 = 0 denklemi elde edilir.
log⁡3y=w\log_3 y = w dönüşümü yapıldığında log⁡y3=1w\log_y 3 = \frac{1}{w} olur.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemin çözülmesi
(3w−1)(w−3)=0  ⟹  w=3 veya w=13(3w - 1)(w - 3) = 0 \implies w = 3 \text{ veya } w = \frac{1}{3} bulunur.
log⁡3y\log_3 y ifadesinin alabileceği olası değerleri bulmak amacıyla çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
3
Birinci denklemde taban değiştirme kuralının uygulanması
log⁡xy=log⁡3ylog⁡3x=wu  ⟹  u+wu=4  ⟹  u2−4u+w=0\log_x y = \frac{\log_3 y}{\log_3 x} = \frac{w}{u} \implies u + \frac{w}{u} = 4 \implies u^2 - 4u + w = 0 denklemi elde edilir.
log⁡3x=u\log_3 x = u dönüşümü yapılarak denklem tek bir değişken cinsinden ifade edilir.
4
İki farklı ww durumu için kökler toplamının incelenmesi
w=3  ⟹  u2−4u+3=0  ⟹  u1+u2=4w = 3 \implies u^2 - 4u + 3 = 0 \implies u_1 + u_2 = 4
w=13  ⟹  3u2−12u+1=0  ⟹  u3+u4=4w = \frac{1}{3} \implies 3u^2 - 12u + 1 = 0 \implies u_3 + u_4 = 4
Toplam kökler toplamı: u1+u2+u3+u4=8u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 8 olur.
Vieta formüllerine göre x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 denkleminde kökler toplamı SS'dir. Her iki durumda da diskriminant sıfırdan büyük olduğundan tüm kökler gerçeldir.
5
xx değerlerinin çarpımının hesaplanması
x1⋅x2⋅x3⋅x4=3u1⋅3u2⋅3u3⋅3u4=3u1+u2+u3+u4=38x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 3^{u_1} \cdot 3^{u_2} \cdot 3^{u_3} \cdot 3^{u_4} = 3^{u_1 + u_2 + u_3 + u_4} = 3^8
u=log⁡3x  ⟹  x=3uu = \log_3 x \implies x = 3^u ilişkisi kullanılarak çarpım, tabanları aynı olan üslü sayıların üslerinin toplanmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritmik denklemlerin ikinci dereceden denklemlere dönüştürülerek çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2682Soru →

log⁡12(x2−3x)≥−2\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) \geq -2 eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı 33'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Logaritmik eşitsizliğin çözümü sürecinde hem tabanın basit kesir olması nedeniyle yön değiştirme kuralı hem de logaritmanın tanım kümesi kuralı doğru uygulanmış ve elde edilen tam sayıların toplamının 33 olduğu kesin olarak gösterilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için gereken tanım kümesi belirlenir.
x2−3x>0  ⟹  x(x−3)>0  ⟹  x<0x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0 veya x>3x > 3
Logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması zorunludur.
2
Logaritmik eşitsizlik çözülür. Taban 0<12<10 < \frac{1}{2} < 1 (basit kesir) olduğundan eşitsizlik yönü tersine çevrilir.
x2−3x≤(12)−2  ⟹  x2−3x≤4x^2 - 3x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x^2 - 3x \leq 4
Taban 11'den küçük olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik çarpanlarına ayrılarak çözüm kümesi bulunur.
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  x∈[−1,4]x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x-4)(x+1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]
Kökler −1-1 ve 44 olup, başkatsayı pozitif olduğundan bu iki kök arasında ifade negatif veya sıfırdır.
4
Tanım kümesi koşulu ile eşitsizlikten elde edilen aralığın kesişimi alınarak gerçek çözüm kümesi oluşturulur.
([−1,4])∩((−∞,0)∪(3,∞))  ⟹  [−1,0)∪(3,4]([-1, 4]) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) \implies [-1, 0) \cup (3, 4]
Çözüm kümesindeki tüm elemanların logaritma fonksiyonunu tanımlı kılması şarttır.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.
Tam sayılar: −1-1 ve 44. Toplam: −1+4=3-1 + 4 = 3
[−1,0)[-1, 0) aralığındaki tam sayı −1-1 ve (3,4](3, 4] aralığındaki tam sayı 44'tür. Bu değerlerin toplamı 33 olur.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (f(x)>0f(x) > 0) çözüm kümesine dahil edilmesi.
Soru 2683Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ikinci dereceden bir ff fonksiyonu için f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (2,12)(2, 12) aralığıdır.

Buna göre,
f(x2−x)<0f(x^2 - x) < 0
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 2 farklı tam sayı değeri vardır.
Doğru seçenekte belirtilen 2 değeri, 2<x2−x<122 < x^2 - x < 12 eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi olan (−3,−1)∪(2,4)(-3, -1) \cup (2, 4) aralığındaki tam sayıların sayısıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar yalnızca −2-2 ve 33 değerleridir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinden hareketle değişken tanımlaması yapılması.
f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (2,12)(2, 12) olduğundan, f(u)<0  ⟺  2<u<12f(u) < 0 \iff 2 < u < 12 elde edilir. Buradan f(x2−x)<0f(x^2 - x) < 0 eşitsizliği 2<x2−x<122 < x^2 - x < 12 eşitsizlik sistemine dönüşür.
Fonksiyonun girdisi olan x2−xx^2 - x ifadesinin değer alabileceği aralığı belirlemek için.
2
x2−x>2x^2 - x > 2 eşitsizliğinin çözülmesi.
x2−x−2>0⇒(x−2)(x+1)>0x^2 - x - 2 > 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) > 0 olur. Kökler x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olup, işaret tablosuna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−1)∪(2,∞)(-\infty, -1) \cup (2, \infty) aralığıdır.
Sistemin ilk eşitsizliğini sağlayan xx değerlerini bulmak için.
3
x2−x<12x^2 - x < 12 eşitsizliğinin çözülmesi.
x2−x−12<0⇒(x−4)(x+3)<0x^2 - x - 12 < 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 3) < 0 olur. Kökler x=−3x = -3 ve x=4x = 4 olup, işaret tablosuna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−3,4)(-3, 4) aralığıdır.
Sistemin ikinci eşitsizliğini sağlayan xx değerlerini bulmak için.
4
Bulunan iki çözüm kümesinin kesiştirilmesi ve ortak tam sayıların belirlenmesi.
İki çözüm kümesinin kesişimi ((−∞,−1)∪(2,∞))∩(−3,4)=(−3,−1)∪(2,4)\left( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \right) \cap (-3, 4) = (-3, -1) \cup (2, 4) olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar sadece −2-2 ve 33 değerleridir. Dolayısıyla 2 farklı değer vardır.
Eşitsizlik sistemini aynı anda sağlayan ortak xx tam sayılarını bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu yardımıyla çözülmesi ve bileşke fonksiyon içeren eşitsizliklerin analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2684Soru →

Ortak çarpanı 11’den farklı olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Her n≥1n \ge 1 için
Sn+2−4Sn+1+3Sn=0S_{n+2} - 4S_{n+1} + 3S_n = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin üçüncü terimi a3=36a_3 = 36 olduğuna göre, dizinin ilk 44 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri 160'tır.
Verilen yinelemeli bağıntıda geometrik dizinin ilk nn terim toplam formülü yerine yazıldığında, ortak çarpan rr değerini belirleyen r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. r≠1r \neq 1 olduğu için r=3r = 3 bulunur. Ardından a3=36a_3 = 36 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır. Son adımda S4S_4 formülüyle dizinin ilk 44 teriminin toplamı 160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplam formülünü tanımlama
Sn=C(rn−1)S_n = C(r^n - 1) (burada C=a1r−1C = \frac{a_1}{r-1})
Verilen denklemde terim toplamlarını ortak çarpan cinsinden ifade etmek için
2
Formülü verilen yinelemeli bağıntıda yerine yazarak sadeleştirme yapma
C⋅rn(r2−4r+3)=0C \cdot r^n (r^2 - 4r + 3) = 0
Ortak çarpan rr değerini belirleyecek olan denklemi elde etmek için
3
Elde edilen denklemi çözerek ortak çarpanı bulma
r=3r = 3
r≠1r \neq 1 ve r≠0r \neq 0 koşullarını değerlendirerek doğru ortak çarpanı seçmek için
4
Verilen a3a_3 terimini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulma
a1=4a_1 = 4
Dizinin terimlerinin değerini belirlemek için
5
İlk 4 terim toplamı S4S_4'ü hesaplama
160
İstenen toplam değerine ulaşmak için

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} bağıntısı ve bu bağıntının cebirsel uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2685Soru →

Analitik düzlemde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral ifadeleri ise sağ sütunda karışık olarak verilmiştir. Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki doğru integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 ve y=8−x2y = 8 - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölge
x=y2x = y^2 parabolü ile x=y+2x = y + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y=x2y = x^2 ile y=2xy = 2x bölgesi ∫02(2x−x2) dx\int_0^2 (2x - x^2) \, dx integraliyle; y=x2y = x^2 ile y=8−x2y = 8 - x^2 bölgesi ∫−22(8−2x2) dx\int_{-2}^2 (8 - 2x^2) \, dx integraliyle; x=y2x = y^2 ile x=y+2x = y + 2 bölgesi ise ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^2 (y + 2 - y^2) \, dy integraliyle eşleşir.
Her bir bölge için sınır eğrilerinin kesişim noktaları cebirsel olarak doğru hesaplanmış ve integral sınırları olarak atanmıştır. Ardından, verilen aralıklarda hangi eğrinin üstte (veya sağda) yer aldığı tespit edilerek doğru integral ifadeleriyle eşleştirme yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesim noktalarını ve üstteki fonksiyonu belirleyin.
Kesim noktaları x=0x=0 ve x=2x=2; üstteki fonksiyon y=2xy=2x.
İntegrasyon sınırlarını ve integrandın işaretini belirlemek için eğrilerin kesişim noktaları ve birbirlerine göre konumları bulunur.
2
İkinci bölge için kesim noktalarını ve üstteki fonksiyonu belirleyin.
Kesim noktaları x=−2x=-2 ve x=2x=2; üstteki fonksiyon y=8−x2y=8-x^2.
İki parabol arasındaki bölgenin alanını hesaplarken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
Üçüncü bölge için değişkeni yy seçerek sınırları ve sağdaki fonksiyonu belirleyin.
Kesim noktaları y=−1y=-1 ve y=2y=2; sağdaki fonksiyon x=y+2x=y+2.
Eğriler yy değişkenine bağlı olarak daha kolay ifade edildiğinden entegrasyon yy eksenine göre yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral kullanılarak ifade edilmesi ve hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2686Soru →
Bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x+bf(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + b
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark 4'tür.
Fonksiyonun türevinin kökleri olan x=a−1x = a - 1 (yerel maksimum) ve x=a+1x = a + 1 (yerel minimum) noktaları fonksiyonda yerine yazıldığında, elde edilen yerel maksimum değeri a3−3a+2+ba^3 - 3a + 2 + b ve yerel minimum değeri a3−3a−2+ba^3 - 3a - 2 + b olmaktadır. Bu iki değerin farkı hesaplandığında parametreler sadeleşir ve sonuç 44 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları bulunuz.
f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=3(x2−2ax+a2−1)=3(x−a+1)(x−a−1)=0  ⟹  x1=a−1f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 3(x^2 - 2ax + a^2 - 1) = 3(x - a + 1)(x - a - 1) = 0 \implies x_1 = a - 1 ve x2=a+1x_2 = a + 1
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası adaylarıdır.
2
Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum ve minimum noktalarını belirleyiniz.
x=a−1x = a - 1 yerel maksimum noktası, x=a+1x = a + 1 yerel minimum noktasıdır.
Türevin başkatsayısı pozitif olduğundan, türevin işareti x=a−1x = a - 1 noktasında artıdan eksiye, x=a+1x = a + 1 noktasında ise eksiden artıya geçmektedir.
3
Bulunan noktaları fonksiyonda yerine yazıp yerel ekstremum değerlerini hesaplayınız ve farkını bulunuz.
f(a−1)=a3−3a+2+bf(a - 1) = a^3 - 3a + 2 + b ve f(a+1)=a3−3a−2+bf(a + 1) = a^3 - 3a - 2 + b elde edilir. Bu iki değerin farkı: f(a−1)−f(a+1)=(a3−3a+2+b)−(a3−3a−2+b)=4f(a - 1) - f(a + 1) = (a^3 - 3a + 2 + b) - (a^3 - 3a - 2 + b) = 4 bulunur.
Soruda istenen yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki farkı elde etmek için bu iki değer birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Soru 2687Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2+1) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4
Verilen iki integralde sırasıyla x2+1=ux^2 + 1 = u ve 2x−1=v2x - 1 = v değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde ∫25f(x) dx=20\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20 ve ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 elde edilir. Buradan sınır parçalama özelliğiyle ∫12f(x) dx=−8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8 bulunur. İstenen integralde x2=wx^2 = w dönüşümü yapılıp sınır güncellemesiyle elde edilen 12∫12f(w) dw\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw ifadesinde yerine yazıldığında sonuç −4-4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
∫12x⋅f(x2+1) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10 integralinde u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılırsa du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 ve x=2  ⟹  u=5x = 2 \implies u = 5 elde edilir. Böylece integral 12∫25f(u) du=10  ⟹  ∫25f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20 olarak bulunur.
Verilen ilk integrali f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali cinsinden ifade etmek.
2
İkinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6 integralinde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü yapılırsa dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  v=1x = 1 \implies v = 1 ve x=3  ⟹  v=5x = 3 \implies v = 5 elde edilir. Böylece integral 12∫15f(v) dv=6  ⟹  ∫15f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(v) \, dv = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 olarak bulunur.
İkinci integrali de f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali şeklinde yazarak ilk adımla ilişkilendirmek.
3
Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılır.
∫15f(x) dx=∫12f(x) dx+∫25f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx eşitliğinden yararlanarak; 12=∫12f(x) dx+20  ⟹  ∫12f(x) dx=−812 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 20 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8 bulunur.
İstenen integralin sınırlarına (1 ve 2) ulaşmak amacıyla elde edilen integral değerlerini birleştirmek.
4
İstenen integralde değişken değiştirme yapılarak sonuca ulaşılır.
∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx integralinde w=x2w = x^2 dönüşümü yapılırsa dw=2x dx  ⟹  x dx=dw2dw = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dw}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  w=1x = 1 \implies w = 1 ve x=2  ⟹  w=2x = \sqrt{2} \implies w = 2 elde edilir. Buradan integral 12∫12f(w) dw=12⋅(−8)=−4\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw = \frac{1}{2} \cdot (-8) = -4 olarak hesaplanır.
Elde edilen integral değerini kullanarak aranan integralin sonucunu bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin sınır parçalama özelliği.
Soru 2688Soru →
(an)(a_n) terimleri gerçel sayı olan sabit bir dizi olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=m⋅n2−(k−3)n+15n2−8n+pa_n = \frac{m \cdot n^2 - (k-3)n + 15}{n^2 - 8n + p}
biçiminde tanımlanıyor.

m,km, k ve pp birer tam sayı olduğuna göre, mm'nin alabileceği en büyük değer için k+pk + p toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olup, bu değer için k = 123 ve p = 1'dir. Buradan k + p toplamı 124 olarak bulunur.
Sabit dizi koşulu gereğince değişkenlerin katsayıları oranlanarak m, k, p arasındaki ilişkiler bulunur. Ayrıca dizinin her n pozitif tam sayısı için tanımlı olabilmesi amacıyla paydanın köklerinin pozitif tam sayı olmaması gerektiği tespit edilir. Bu koşulları sağlayan en büyük m tam sayısı 15 olarak belirlenir ve bu değer için k = 123, p = 1 bulunarak toplam 124 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki terimlerin katsayılarını oranlama.
m1=−(k−3)−8=15p=C\frac{m}{1} = \frac{-(k-3)}{-8} = \frac{15}{p} = C eşitliği elde edilir. Buradan m=Cm = C, k=8m+3k = 8m + 3 ve p=15mp = \frac{15}{m} bağıntıları bulunur.
Bir rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranının sabit bir gerçel sayıya eşit olması gerekir.
2
Tam sayı koşullarını inceleyerek m'nin alabileceği olası değerleri listeleme.
mm ve pp tam sayı olduğundan mm, 1515'in bir tam sayı böleni olmalıdır. O halde m∈{−15,−5,−3,−1,1,3,5,15}m \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\} olabilir.
p=15mp = \frac{15}{m} ifadesinde pp ve mm tam sayı olduğundan, mm değeri 1515'i tam bölmelidir.
3
Tanım kümesi koşulunu inceleyerek paydayı sıfır yapan pozitif tam sayıları belirleme.
Payda D(n)=n2−8n+pD(n) = n^2 - 8n + p ifadesidir. D(n)=0D(n) = 0 denkleminin kökleri pozitif tam sayılar ise, kökler toplamı n1+n2=8n_1 + n_2 = 8 ve kökler çarpımı n1n2=pn_1 n_2 = p olur. Bu koşulu sağlayan pozitif tam sayı kök çiftleri ve bunlara karşılık gelen pp değerleri şunlardır:
- n∈{1,7}  ⟹  p=7n \in \{1, 7\} \implies p = 7
- n∈{2,6}  ⟹  p=12n \in \{2, 6\} \implies p = 12
- n∈{3,5}  ⟹  p=15n \in \{3, 5\} \implies p = 15
- n∈{4,4}  ⟹  p=16n \in \{4, 4\} \implies p = 16
Dolayısıyla p∈{7,12,15,16}p \in \{7, 12, 15, 16\} durumlarında dizi bazı n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımsız olur.
Dizinin terimlerinin birer gerçel sayı belirtebilmesi için paydanın hiçbir pozitif tam sayı nn değeri için sıfır olmaması gerekir.
4
Bulunan olası mm değerlerini kontrol etme ve en büyük geçerli mm'yi belirleme.
mm değerlerinin en büyüğü olan m=15m = 15 için p=1p = 1 olur. 1∉{7,12,15,16}1 \notin \{7, 12, 15, 16\} olduğundan m=15m = 15 geçerlidir. (Eğer en büyük bölen olarak m=1m = 1 seçilseydi p=15p = 15 olurdu ve bu durum diziyi n=3n=3 ile n=5n=5 değerlerinde tanımsız yapardı).
mm'nin alabileceği en büyük değeri bulmak için bölenler büyükten küçüğe doğru test edilir.
5
Seçilen m=15m = 15 değeri için kk ve pp değerlerini bulup toplamı hesaplama.
m=15m = 15 için:
p=1515=1p = \frac{15}{15} = 1
k=8(15)+3=123k = 8(15) + 3 = 123
Buradan k+p=123+1=124k + p = 123 + 1 = 124 elde edilir.
Soruda istenen k+pk + p toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve rasyonel dizilerde paydanın pozitif tam sayılar kümesinde sıfırdan farklı olması (tanımlılık) koşulu.
Soru 2689Soru →
(2x2−1x)7\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki x2x^2'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 280

Cevap

Doğru cevap 280'dir.
Açılımın genel terimi yazılıp xx'in kuvveti 2'ye eşitlendiğinde r=4r=4 bulunur. Bu değer genel terimde yerine konduğunda katsayı 280 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülü kurulur.
Tr+1=(7r)(2x2)7−r(−1x)rT_{r+1} = \binom{7}{r} (2x^2)^{7-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r
İstenen terimin derecesini belirleyecek genel ifadeyi elde etmek için.
2
xx değişkenine ait üsler düzenlenerek birleştirilir.
Tr+1=(7r)27−r(−1)rx14−3rT_{r+1} = \binom{7}{r} 2^{7-r} (-1)^r x^{14-3r}
xx'in toplam derecesini netleştirerek denklem kurmayı kolaylaştırmak için.
3
x2x^2'li terimi bulmak için üs 2'ye eşitlenir ve rr değeri hesaplanır.
14−3r=2  ⟹  3r=12  ⟹  r=414 - 3r = 2 \implies 3r = 12 \implies r = 4
İstenen terimin açılımdaki yerini (indisini) belirlemek için.
4
r=4r = 4 değeri katsayı ifadesinde yerine yazılarak sonuç hesaplanır.
(74)27−4(−1)4=35⋅8⋅1=280\binom{7}{4} 2^{7-4} (-1)^4 = 35 \cdot 8 \cdot 1 = 280
x2x^2'li terimin katsayı değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı
Soru 2690Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=4f(0) = 4
f(1)=3f(1) = 3
f(2)=9f(2) = 9
f(3)=11f(3) = 11
f(4)=5f(4) = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f′(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12 olan seçenektir.
Dönüşüm u=xu = \sqrt{x} olarak yapıldığında, sınırlar 11 ve 22 olur. Diferansiyel ifadesi 2 du2 \, du olarak yerine konur ve integral 2[f(2)−f(1)]2[f(2) - f(1)] haline gelir. Verilen değerler kullanıldığında 2[9−3]=122[9 - 3] = 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapılır.
du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx elde edilir. Buradan 1x dx=2 du\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, du olur.
İntegral içindeki ifadeyi sadeleştirmek ve değişken değiştirme yöntemini uygulamak için.
2
Belirli integralin sınırları uu değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=1=1x = 1 \Rightarrow u = \sqrt{1} = 1 olur. Üst sınır için x=4⇒u=4=2x = 4 \Rightarrow u = \sqrt{4} = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre yeniden belirlenmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi hesaplanır.
∫14f′(x)x dx=∫12f′(u)⋅2 du=2∫12f′(u) du=2[f(2)−f(1)]\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} f'(u) \cdot 2 \, du = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2 [f(2) - f(1)]
Türevin integrali kendisidir, bu nedenle temel integral alma kuralı uygulanır.
4
Verilen fonksiyon değerleri yerine yazılır.
2[f(2)−f(1)]=2[9−3]=2⋅6=122 [f(2) - f(1)] = 2 [9 - 3] = 2 \cdot 6 = 12
Soruda verilen fonksiyon değerlerini kullanarak nihai sayısal sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel hesabındaki katsayılara dikkat edilmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2691Soru →
Ortak ��arpanı 11'den büyük ve tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a4⋅a10=36a_4 \cdot a_{10} = 36
a5+a9=15a_5 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin 1313. terimi olan a13a_{13} kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Dizinin 13. terimi olan a13a_{13} değeri 48'dir.
Verilen a4⋅a10=36a_4 \cdot a_{10} = 36 eşitliğinden a72=36  ⟹  a7=6a_7^2 = 36 \implies a_7 = 6 bulunur. Buradan a5⋅a9=a72=36a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36 ve a5+a9=15a_5 + a_9 = 15 denklemleri çözüldüğünde, ortak çarpanı 1'den büyük olan bu artan dizi için a5=3a_5 = 3 ve a9=12a_9 = 12 olarak bulunur. a9=a5⋅r4  ⟹  r4=4a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies r^4 = 4 olur. Dizinin 13. terimi a13=a9⋅r4=12⋅4=48a_{13} = a_9 \cdot r^4 = 12 \cdot 4 = 48 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisini kullanarak a7a_7 terimini bulun.
a7=6a_7 = 6
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir: a4⋅a10=a72=36a_4 \cdot a_{10} = a_7^2 = 36. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=6a_7 = 6 olur.
2
a5⋅a9a_5 \cdot a_9 çarpımını a7a_7 cinsinden yazın.
a5⋅a9=36a_5 \cdot a_9 = 36
5+9=7+75 + 9 = 7 + 7 olduğundan geometrik dizinin özelliğinden a5⋅a9=a72=36a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36 elde edilir.
3
Verilen toplam ve çarpım bilgilerini kullanarak a5a_5 ve a9a_9 terimlerini belirleyin.
a5=3a_5 = 3 ve a9=12a_9 = 12
Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar 3 ve 12'dir. Ortak çarpan 11'den büyük olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim olan a5=3a_5 = 3 ve büyük indisli terim olan a9=12a_9 = 12 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanının dördüncü kuvvetini (r4r^4) bulun.
r4=4r^4 = 4
a9=a5⋅r4  ⟹  12=3⋅r4  ⟹  r4=4a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies 12 = 3 \cdot r^4 \implies r^4 = 4 olarak bulunur.
5
a13a_{13} terimini ortak çarpan yardımıyla hesaplayın.
a13=48a_{13} = 48
a13=a9⋅r4a_{13} = a_9 \cdot r^4 bağıntısından a13=12⋅4=48a_{13} = 12 \cdot 4 = 48 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası ilişkiler
Soru 2692Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x parabolü, bu parabolün x=3x = 3 noktasındaki teğet doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Parabolün verilen noktadaki teğet doğrusu ile parabolün kendisi ve yy-ekseni arasında kalan bölgenin alanı 99 birimkaredir.
Parabolün x=3x = 3 noktasındaki teğetinin denklemi y=4x−9y = 4x - 9 olarak bulunur. Sınırlar x=0x = 0 (yy-ekseni) ile teğet noktası olan x=3x = 3 arasındadır. Bu aralıkta parabol her zaman teğet doğrusunun üstünde kaldığı için sınırlı bölgenin alanı, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integral yardımıyla 99 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla bulma
y=4x−9y = 4x - 9 teğet doğrusu denklemi
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x için teğet noktasının apsisi x=3x=3 olup ordinatı f(3)=3f(3) = 3 olur. Türev f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olup teğet eğimi m=f′(3)=4m = f'(3) = 4 olarak elde edilir. Buradan teğet denklemi y−3=4(x−3)  ⟹  y=4x−9y - 3 = 4(x - 3) \implies y = 4x - 9 bulunur.
2
Sınırları ve integrali alınacak fark fonksiyonunu belirleme
Sınırlar [0,3][0, 3] ve integral fonksiyonu g(x)=x2−6x+9g(x) = x^2 - 6x + 9
Teğet noktası x=3x=3 ve yy-ekseni x=0x=0 olduğundan integral sınırları [0,3][0, 3] aralığıdır. Bu aral��kta parabol doğrunun üzerinde yer aldığından alan ∫03((x2−2x)−(4x−9))dx=∫03(x−3)2dx\int_{0}^{3} ((x^2 - 2x) - (4x - 9)) dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx integrali ile hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplama
99 birimkare
∫03(x−3)2dx=[(x−3)33]03=0−(−273)=9\int_{0}^{3} (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9 elde edilir.

Anahtar Kavram

İki fonksiyon grafiği ve düşey doğrular arasında kalan kapalı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 2693Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası analitik düzlemin birinci bölgesinde olan
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur.

Parabol, xx-eksenini farklı AA ve BB noktalarında kesmektedir. Parabolün tepe noktası TT olmak üzere, köşeleri TT, AA ve BB noktaları olan TABTAB üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Parabolün yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı −1-1 olduğuna göre, f(−2)f(-2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -13

Cevap

Parabolün x = -2 noktasındaki değeri -13't��r.
Parabolün simetri ekseni x=2x=2 olduğundan tepe noktasının apsisi r=2r=2 olur. TABTAB eşkenar üçgeninin yüksekliği k=d3k = d\sqrt{3} bağıntısıyla ifade edilir. Köklerin simetri eksenine uzaklığı dd olduğundan f(2−d)=0f(2-d)=0 eşitliği k=−ad2k = -ad^2 sonucunu verir. Bu iki bağıntıdan d=−3ad = -\frac{\sqrt{3}}{a} ve k=−3ak = -\frac{3}{a} elde edilir. f(0)=−1f(0) = -1 bilgisi kullanılarak 4a−3a=−1  ⟹  4a2+a−3=04a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2+a-3=0 denklemi kurulur. Tepe noktası birinci bölgede olduğundan k>0k > 0 ve dolayısıyla a<0a < 0 olmalıdır. Bu şartı sağlayan a=−1a = -1 değeri kullanılarak parabol denklemi f(x)=−(x−2)2+3f(x) = -(x-2)^2 + 3 olarak bulunur. Burada x=−2x = -2 yazıldığında sonuç −13-13 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni kullanılarak tepe noktasının koordinatları belirlenir.
r=2r = 2 ve T(2,k)T(2, k) (k>0k > 0)
Simetri ekseni x=rx = r doğrusudur ve tepe noktası birinci bölgededir.
2
Eşkenar üçgen geometrisi ile tepe noktasının ordinatı ve köklerin simetri eksenine olan uzaklığı ilişkilendirilir.
k=d3k = d\sqrt{3}
Eşkenar üçgende yükseklik, tabanın yarısının 3\sqrt{3} katıdır.
3
Parabolün tepe noktası formundan yararlanılarak katsayılar arasındaki ilişki kurulur.
d=−3ad = -\frac{\sqrt{3}}{a} ve k=−3ak = -\frac{3}{a}
f(2−d)=0  ⟹  a⋅d2+k=0f(2-d) = 0 \implies a \cdot d^2 + k = 0 denkleminden elde edilir.
4
y-eksenini kestiği nokta kullanılarak başkatsayı aa değeri bulunur.
a=−1a = -1
f(0)=4a−3a=−1  ⟹  4a2+a−3=0  ⟹  a=−1f(0) = 4a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2 + a - 3 = 0 \implies a = -1 (kollar aşağı doğru olmalı ve tepe noktası birinci bölgede bulunmalıdır).
5
Parabol denklemi oluşturulur ve istenen değer hesaplanır.
f(−2)=−13f(-2) = -13
f(x)=−(x−2)2+3f(x) = -(x-2)^2 + 3 fonksiyonunda x=−2x = -2 yazılır.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni, tepe noktası ve köklerin simetrisi arasındaki geometrik ve cebirsel ilişkiler.
Soru 2694Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−2af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a
parabolü veriliyor. Bu parabolün tepe noktasının orijine olan uzaklığı, parabolün simetri ekseni ile y=3x−2y = 3x - 2 doğrusunun kesişim noktasının orijine olan uzaklığına eşittir.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasının orijine olan uzaklıklarının eşitlenmesiyle elde edilen denklemin tam sayı kökü olan 2'dir.
Parabolün tepe noktası T(a,−2a)T(a, -2a) ve simetri ekseni x=ax = a doğrusudur. Kesişim noktası P(a,3a−2)P(a, 3a - 2)'dir. Bu iki noktanın apsisleri aynı olduğundan, orijine olan uzaklıklarının eşit olması ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasını gerektirir. Buradan ∣−2a∣=∣3a−2∣|-2a| = |3a - 2| eşitliği kurulur. Bu denklemin çözümlerinden elde edilen tam sayı kök 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleme
f(x)=x2−2ax+a2−2af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a parabolünün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olsun. r=−−2a2=ar = -\frac{-2a}{2} = a ve k=f(a)=a2−2a2+a2−2a=−2ak = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a = -2a olduğundan T(a,−2a)T(a, -2a) elde edilir.
Tepe noktasının koordinatları (r,f(r))(r, f(r)) formülü ile bulunur.
2
Tepe noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama
∣OT∣2=a2+(−2a)2=5a2|OT|^2 = a^2 + (-2a)^2 = 5a^2
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanmıştır.
3
Simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasını bulma
Parabolün simetri ekseni x=r  ⟹  x=ax = r \implies x = a doğrusudur. Bu doğrunun y=3x−2y = 3x - 2 doğrusuyla kesişim noktası P(a,3a−2)P(a, 3a - 2) olur.
Kesişim noktasının apsisi simetri ekseni üzerinde olduğu için aa'dır; ordinatı ise doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur.
4
Kesişim noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama ve uzaklıkları eşitleme
∣OP∣2=a2+(3a−2)2|OP|^2 = a^2 + (3a-2)^2. Uzaklıkların eşitliğinden ∣OT∣2=∣OP∣2  ⟹  5a2=a2+(3a−2)2  ⟹  5a2=10a2−12a+4  ⟹  5a2−12a+4=0|OT|^2 = |OP|^2 \implies 5a^2 = a^2 + (3a-2)^2 \implies 5a^2 = 10a^2 - 12a + 4 \implies 5a^2 - 12a + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Soruda her iki noktanın da orijine olan uzaklıklarının eşit olduğu belirtilmiştir.
5
İkinci dereceden denklemi çözüp tam sayı olan kökü seçme
5a2−12a+4=0  ⟹  (5a−2)(a−2)=05a^2 - 12a + 4 = 0 \implies (5a - 2)(a - 2) = 0 olur. Buradan a=25a = \frac{2}{5} veya a=2a = 2 bulunur. Tam sayı değeri istendiği için a=2a = 2 olarak elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemin kökleri bulunmuş ve tam sayı olan kök seçilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) ve simetri ekseni x=rx = r doğrusudur. Parabol üzerindeki noktaların veya simetri ekseniyle ilişkili geometrik yapıların analitik incelenmesinde uzaklık formülü kullanılır.

Alternatif Yöntem

Tepe noktasının ve kesişim noktasının apsisleri aynı (x=ax = a) olduğundan, bu noktaların orijine olan uzaklıklarının eşit olması ancak ve ancak ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasıyla mümkündür. Yani ∣−2a∣=∣3a−2∣|-2a| = |3a - 2| denklemi kurulabilir. Buradan −2a=−(3a−2)  ⟹  a=2-2a = -(3a - 2) \implies a = 2 veya −2a=3a−2  ⟹  a=2/5-2a = 3a - 2 \implies a = 2/5 hızlıca bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2695Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, pozitif bir xx gerçel sayısı için,
2log⁡3x+3log⁡2x−1log⁡12x=1\frac{2}{\log_3 x} + \frac{3}{\log_2 x} - \frac{1}{\log_{12} x} = 1

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayısı 6'dır.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı kullanılarak tüm logaritmalar x tabanına dönüştürülür. Katsayılar kuvvet olarak yazıldıktan sonra toplama ve çıkarma kuralları uygulanarak denklem log_x(6) = 1 biçimine sadeleştirilir. Buradan x = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulama
2log⁡x3+3log⁡x2−log⁡x12=12\log_x 3 + 3\log_x 2 - \log_x 12 = 1
Logaritmik terimlerin tabanlarını eşitleyerek işlem yapabilmek için rasyonel ifadeleri taban değiştirme kuralı yardımıyla düzenleriz.
2
Logaritma katsayılarını kuvvete taşıma
log⁡x9+log⁡x8−log⁡x12=1\log_x 9 + \log_x 8 - \log_x 12 = 1
Logaritma önündeki katsayılar, logaritması alınan sayıların üzerine üs olarak yazılır.
3
Toplama ve çıkarma özelliklerini kullanarak birleştirme
log⁡x6=1\log_x 6 = 1
Aynı tabandaki logaritma ifadelerinin toplamı çarpım, farkı ise bölüm şeklinde tek bir logaritma altında birleştirilir.
4
Bilinmeyeni çözme
x=6x = 6
Logaritma tanımına göre log_x(a) = b ifadesi x^b = a anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritmanın temel özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2696Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫03f(x+2) dx=10\int_{0}^{3} f(x+2) \, dx = 10
∫29f(x) dx=24\int_{2}^{9} f(x) \, dx = 24
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f(4x+1) dx\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

I˙ntegralinindeg˘eri72olarakbulunur.İntegralinin değeri \frac{7}{2} olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer olan \frac{7}{2}, birinci integralde yapılan u = x+2 dönüşümüyle \int_{2}^{5} f(x) dx = 10 değeri bulunduktan sonra, aralık bölme özelliğiyle \int_{5}^{9} f(x) dx = 14 değerine ulaşılması ve son olarak hedeflenen integralde w = 4x+1 dönüşümü yapılarak elde edilen \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) dw ifadesinde değerin yerine yazılmasıyla doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x+2u = x+2 dönüşümü yapıldığında du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=0x = 0 için u=2u = 2 ve x=3x = 3 için u=5u = 5 elde edilir. Buradan, ∫25f(u) du=10\int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 bulunur.
Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve sınırları f(x) fonksiyonunun tanım kümesine uygun hale getirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak diğer integral parçalanır.
∫29f(x) dx=∫25f(x) dx+∫59f(x) dx\int_{2}^{9} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{9} f(x) \, dx yazılabilir. Verilen değerler yerine yazıldığında; 24=10+∫59f(x) dx  ⟹  ∫59f(x) dx=1424 = 10 + \int_{5}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{5}^{9} f(x) \, dx = 14 elde edilir.
[2,9][2, 9] aralığındaki integralin değerini ve elimizdeki [2,5][2, 5] aralığının değerini kullanarak [5,9][5, 9] aralığındaki integralin değerine ulaşmak hedeflenir.
3
İstenen integralde değişken değiştirme uygulanarak sonuca ulaşılır.
∫12f(4x+1) dx\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx integralinde w=4x+1w = 4x+1 dönüşümü yapılırsa dw=4 dx  ⟹  dx=14 dwdw = 4 \, dx \implies dx = \frac{1}{4} \, dw olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1x = 1 için w=5w = 5 ve x=2x = 2 için w=9w = 9 olur. İntegral şu hali alır: ∫59f(w)⋅14 dw=14∫59f(w) dw\int_{5}^{9} f(w) \cdot \frac{1}{4} \, dw = \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) \, dw. Bir önceki adımda bu integralin değerini 1414 bulmuştuk, dolayısıyla sonuç 14⋅14=72\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{7}{2} olur.
4x+14x+1 ifadesini tek bir değişkene indirgeyip sınırları elde ettiğimiz verilerle uyumlu hale getirerek integralin sayısal değerini hesaplamak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.
Soru 2697Soru →

Bir mikroçip üzerindeki iletim hatları yatay ve dikey yollardan oluşmaktadır. Elektrik akımı, sol alt köşedeki S(0,0)S(0,0) giriş kapısından başlayıp sadece sağa (pozitif xx yönünde) veya yukarı (pozitif yy yön��nde) hareket ederek sağ üst köşedeki E(5,4)E(5,4) çıkış kapısına ulaşacaktır. Mikroçipteki üretim hatasından dolayı C(2,2)C(2,2) ve D(3,3)D(3,3) koordinatlarındaki bağlantı noktalarından akım geçememektedir. Buna göre, akım giriş kapısından çıkış kapısına kaç farklı en kısa yoldan ulaşabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Doğru cevap 42'dir. Tüm yolların sayısından, geçilemeyen noktalardan geçen yolların sayısı çıkarılarak bulunur.
Doğru cevap 42'dir. S(0,0)S(0,0) noktasından başlayıp sadece sağa ve yukarı hareket ederek E(5,4)E(5,4) noktasına ulaşan tüm yolların sayısı 126126 olarak bulunur. Yasaklı olan C(2,2)C(2,2) noktasından geçen yolların sayısı 6060, D(3,3)D(3,3) noktasından geçen yolların sayısı da 6060 adettir. Hem C(2,2)C(2,2) hem de D(3,3)D(3,3) noktalarından sırasıyla geçen yolların sayısı 3636'dır. Küme birleşim formülü (içerme-dışarma ilkesi) gereği, engelli noktalardan en az birinden geçen toplam yol sayısı 60+60−36=8460 + 60 - 36 = 84 olur. Bu durumda geriye kalan geçerli yolların sayısı 126−84=42126 - 84 = 42 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
S(0,0)S(0,0) noktasından E(5,4)E(5,4) noktasına olan tüm en kısa yolların sayısını tekrarlı permütasyon ile hesaplayın.
(5+4)!5!×4!=9!5!×4!=126 \frac{(5+4)!}{5! \times 4!} = \frac{9!}{5! \times 4!} = 126
Herhangi bir kısıtlama olmadan gidilebilecek tüm yolların toplam sayısını belirlemek için.
2
C(2,2)C(2,2) noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplay��n.
S(0,0)→C(2,2)S(0,0) \rightarrow C(2,2) için 22 sağ, 22 yukarı ⇒4!2!×2!=6\Rightarrow \frac{4!}{2! \times 2!} = 6 yol. C(2,2)→E(5,4)C(2,2) \rightarrow E(5,4) için 33 sağ, 22 yukarı ⇒5!3!×2!=10\Rightarrow \frac{5!}{3! \times 2!} = 10 yol. Toplam: 6×10=606 \times 10 = 60 yol.
İlk arızalı noktaya uğrayan tüm geçersiz yolların sayısını belirlemek için.
3
D(3,3)D(3,3) noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplayın.
S(0,0)→D(3,3)S(0,0) \rightarrow D(3,3) için 33 sağ, 33 yukarı ⇒6!3!×3!=20\Rightarrow \frac{6!}{3! \times 3!} = 20 yol. D(3,3)→E(5,4)D(3,3) \rightarrow E(5,4) için 22 sağ, 11 yukarı ⇒3!2!×1!=3\Rightarrow \frac{3!}{2! \times 1!} = 3 yol. Toplam: 20×3=6020 \times 3 = 60 yol.
İkinci arızalı noktaya uğrayan tüm geçersiz yolların sayısını belirlemek için.
4
Hem C(2,2)C(2,2) hem de D(3,3)D(3,3) noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplayın.
S(0,0)→C(2,2)S(0,0) \rightarrow C(2,2) için 66 yol. C(2,2)→D(3,3)C(2,2) \rightarrow D(3,3) için 11 sağ, 11 yukarı ⇒2!1!×1!=2\Rightarrow \frac{2!}{1! \times 1!} = 2 yol. D(3,3)→E(5,4)D(3,3) \rightarrow E(5,4) için 33 yol. Toplam: 6×2×3=366 \times 2 \times 3 = 36 yol.
Her iki engelli noktaya da sırasıyla uğrayan ortak yolların sayısını belirlemek için. Bu yollar hem adım 2'de hem de adım 3'te iki kez sayılmıştır.
5
İçerme-Dışarma İlkesi kullanarak en az bir engelli noktadan geçen toplam yol sayısını bulun.
60+60−36=8460 + 60 - 36 = 84 yol.
Kesişim kümesindeki ortak yolların mükerrer sayılmasını engellemek amacıyla.
6
Toplam yol sayısından engelli noktalardan geçen yolların sayısını çıkararak geçerli yolların sayısını bulun.
126−84=42126 - 84 = 42 yol.
Hiçbir engelli noktaya uğramayan geçerli iletim hatlarının sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon formülü ve İçerme-Dışarma İlkesi (Kümelerde Birleşim Formülü) kullanılarak kısıtlı ızgara yollarının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Nokta toplama yöntemi (veya köşegen toplama yöntemi) kullanılarak da sonuca ulaşılabilir. S(0,0)S(0,0) noktasından başlanarak her bir kesişim noktasındaki yolların sayısı, o noktanın solundaki ve altındaki noktaların yol sayılarının toplamı olarak yazılır. Bu işlem sırasında C(2,2)C(2,2) ve D(3,3)D(3,3) noktalarının üzerindeki yol sayıları arızalı oldukları için 00 kabul edilir ve toplama işlemine bu şekilde devam edilerek E(5,4)E(5,4) noktasına ulaşıldığında 4242 değeri elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2698Soru →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={1,2,3,4,5,6}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonlar arasından rastgele seçilen bir fonksiyonun bire bir fonksiyon olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 518\frac{5}{18}

Cevap

Beş bölü on sekiz
Seçilen fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi gerekir. Bu koşulu sağlayan durum sayısı 360360, tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı ise 12961296'dır. Bu iki değer oranlandığında olasılık beş bölü on sekiz olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın eleman sayısını (tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısını) bulun.
Tüm fonksiyonların sayısı s(B)s(A)=64=1296s(B)^{s(A)} = 6^4 = 1296 olur.
A kümesindeki her bir eleman, B kümesindeki 6 farklı elemandan herhangi biriyle eşleşebilir.
2
İstenen olayın eleman sayısını (bire bir fonksiyon sayısını) hesaplayın.
Bire bir fonksiyon sayısı P(6,4)=6×5×4×3=360P(6, 4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 olur.
Bire bir fonksiyonda A kümesinin her elemanı B kümesinden farklı bir elemana gitmelidir. Birinci eleman için 6, ikinci için 5, üçüncü için 4 ve dördüncü için 3 seçenek vardır.
3
İstenen olayın olasılığını hesaplayın ve sadeleştirin.
Olasılık 3601296=518\frac{360}{1296} = \frac{5}{18} olarak bulunur.
Olasılık, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bire bir olma olasılığı, bire bir fonksiyon sayısının tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısına oranı ile hesaplanır.
Soru 2699Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a parabolü koordinat eksenlerini A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,y0)C(0, y_0) noktalarında kesmektedir.

x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olmak üzere, AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları toplamı, CC noktasının orijine olan uzaklığının 34\frac{3}{4}’üne eşittir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

-8 değeri
Parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatı aa’dır. Köklerden biri negatif, diğeri pozitif olduğu için kökler çarpımı olan aa değeri negatiftir. Buradan CC noktasının orijine uzaklığı −a-a olur. x-eksenini kesim noktalarının orijine uzaklıkları toplamı ise −x1+x2-x_1 + x_2’dir. İlgili oran kullanılarak (x2−x1)=−34a(x_2-x_1) = -\frac{3}{4}a yazılır. Kökler toplamının 2 olduğu bilgisiyle birlikte iki kare farkı ve tam kare ilişkilerinden yararlanılarak a=−8a = -8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eksenleri kesim noktalarını cebirsel olarak ifade etmek
y-eksenini kestiği nokta C(0,a)C(0, a) ve x-eksenini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0) ile B(x2,0)B(x_2, 0)’dir.
Eksenleri kestiği noktaların apsis ve ordinatlarını parabol denkleminden belirlemek amacıyla.
2
Köklerin işaretlerini ve uzaklık ilişkisini belirlemek
x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olduğundan kökler çarpımı x1x2=a<0x_1 x_2 = a < 0’dır. Bu durumda C(0,a)C(0, a) noktasının orijine uzaklığı ∣a∣=−a|a| = -a birimdir. AA ve BB noktalarının orijine uzaklıkları toplamı ise ∣x1∣+∣x2∣=−x1+x2|x_1| + |x_2| = -x_1 + x_2 birimdir.
Uzaklıkların mutlak değerce pozitif olması gerektiğini uygulayarak cebirsel ifadeyi doğru kurmak için.
3
Verilen oranı kullanarak köklerin farkını aa cinsinden yazmak
x2−x1=−34ax_2 - x_1 = -\frac{3}{4}a denklemi elde edilir.
Kökler farkı ile parabolün y-eksenini kestiği nokta arasındaki doğrusal bağıntıyı kurmak için.
4
Kökler toplamı ve çarpımı ilişkisini kullanarak ikinci dereceden denklem oluşturmak
x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 ve x1x2=ax_1 x_2 = a olduğundan, (x2−x1)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 özdeşliğinden (−34a)2=22−4a⇒916a2+4a−4=0\left(-\frac{3}{4}a\right)^2 = 2^2 - 4a \Rightarrow \frac{9}{16}a^2 + 4a - 4 = 0 elde edilir.
Köklerin farkı ile toplamı ve çarpımı arasındaki özdeşlik yardımıyla aa parametresine bağlı tek değişkenli denkleme ulaşmak için.
5
Oluşan denklemi çözerek aa değerini bulmak
9a2+64a−64=0⇒(9a−8)(a+8)=09a^2 + 64a - 64 = 0 \Rightarrow (9a - 8)(a + 8) = 0 elde edilir. Buradan a=89a = \frac{8}{9} veya a=−8a = -8 bulunur. a<0a < 0 olması gerektiğinden a=−8a = -8’dir.
Denklemin köklerinden parabolün varlık koşuluna ve köklerin işaret durumuna uygun olan negatif değeri seçmek için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis değerlerinin kök katsayı ilişkileriyle analitik olarak incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2700Soru →
Birden büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(bc)+log⁡b(ac)=7\log_a(bc) + \log_b(ac) = 7
log⁡c(ab)=2\log_c(ab) = 2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin doğru değeri 4'tür.
Verilen iki denklem x=log⁡acx = \log_a c ve y=log⁡bcy = \log_b c dönüşümleriyle ortak bir tabana indirgendiğinde x+y=3x+y = 3 ve xy=3/2xy = 3/2 bağıntıları elde edilir. İstenen log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesi xy+yx=x2+y2xy\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} olup, bu iki bağıntı yerine yazıldığında sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=log⁡acx = \log_a c ve y=log⁡bcy = \log_b c değişken dönüşümlerini tanımlayınız.
Taban değiştirme kuralına göre log⁡ca=1x\log_c a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} elde edilir.
Verilen ifadeleri daha kolay işleyebilmek amacıyla tüm logaritma terimlerini cc tabanı ile ilişkilendirmek için.
2
İkinci denklemi tanımlanan değişkenler cinsinden ifade ediniz.
log⁡c(ab)=log⁡ca+log⁡cb=1x+1y=2  ⟹  x+yxy=2  ⟹  x+y=2xy\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \implies \frac{x+y}{xy} = 2 \implies x+y = 2xy bağıntısı elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğini ve taban değiştirme sonucunu uygulamak için.
3
Birinci denklemi çarpım özelliğini kullanarak düzenleyiniz ve değişkenler cinsinden yazınız.
log⁡a(bc)+log⁡b(ac)=log⁡ab+log⁡ac+log⁡ba+log⁡bc=7\log_a(bc) + \log_b(ac) = \log_a b + \log_a c + \log_b a + \log_b c = 7 olur. log⁡ab=xy\log_a b = \frac{x}{y} ve log⁡ba=yx\log_b a = \frac{y}{x} olduğundan denklem xy+yx+x+y=7\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + x + y = 7 şekline gelir.
Denklemin terimlerini xx ve yy cinsinden ifade ederek tek bir cebirsel sistem oluşturmak için.
4
Cebirsel ifadeyi özdeşlikler yardımıyla düzenleyiniz.
x2+y2xy+(x+y)=7  ⟹  (x+y)2−2xyxy+(x+y)=7  ⟹  (x+y)2xy+(x+y)=9\frac{x^2+y^2}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2}{xy} + (x+y) = 9 elde edilir.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy özdeşliğini yerine yazarak ifadeyi x+yx+y ve xyxy cinsine dönüştürmek için.
5
xy=x+y2xy = \frac{x+y}{2} bağıntısını kullanarak x+yx+y değerini hesaplayınız.
(x+y)2x+y2+(x+y)=9  ⟹  2(x+y)+(x+y)=9  ⟹  3(x+y)=9  ⟹  x+y=3\frac{(x+y)^2}{\frac{x+y}{2}} + (x+y) = 9 \implies 2(x+y) + (x+y) = 9 \implies 3(x+y) = 9 \implies x+y = 3 bulunur. Buradan xy=32xy = \frac{3}{2} elde edilir.
xyxy terimini yok ederek denklemden doğrudan x+yx+y toplamına ulaşmak için.
6
İstenen log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesini hesaplayınız.
log⁡ab+log⁡ba=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=32−2(3/2)3/2=63/2=4\log_a b + \log_b a = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{3^2 - 2(3/2)}{3/2} = \frac{6}{3/2} = 4 bulunur.
Elde edilen x+y=3x+y = 3 ve xy=3/2xy = 3/2 değerlerini nihai ifadede yerine yazmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım özelliğinin cebirsel özdeşliklerle ortak çözümü.
ÖncekiSayfa 135 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin