Tüm alıştırma soruları

Soru 2821Soru →

x^{\log_2 x - 1} = 64

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

\frac{1}{64}

\frac{1}{2}

2

8

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların çarpımı 2'dir.

Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alınır. Logaritmanın özelliği gereği üs başa çarpan olarak geçer:

(\log_2 x - 1) \cdot \log_2 x = 6

.

\log_2 x = u

değişken değiştirmesi yapıldığında elde edilen

u^2 - u - 6 = 0

denkleminin kökleri

u_1 = 3

ve

u_2 = -2

olarak bulunur. Buradan

x_1 = 2^3 = 8

ve

x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4}

değerleri elde edilir. Bu iki kökün çarpımı

2

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki tarafın 2 tabanında logaritmasını alma

\log_2(x^{\log_2 x - 1}) = \log_2 64

Üstel ifadeyi doğrusal hale getirip logaritma özelliklerini uygulayabilmek için.

2

Logaritma özelliklerini kullanarak üssü başa çarpım olarak atma ve sağ tarafı sadeleştirme

(\log_2 x - 1) \cdot \log_2 x = 6

\log_b(m^p) = p \cdot \log_b m

özelliği ve

\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6

eşitliği kullanılmıştır.

3

Değişken değiştirme ve ikinci dereceden denklem elde etme

\log_2 x = u

dönüşümü ile

u^2 - u - 6 = 0

denklemi elde edilir.

Denklemi çözülebilir ikinci dereceden bir formata getirmek için.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulma

(u - 3)(u + 2) = 0 \implies u_1 = 3

ve

u_2 = -2

-6

sayısının çarpanları olan

-3

ve

2

'nin toplamı

-1

'i (orta terimin katsayısını) verdiğinden çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

5

Değişken değiştirmeyi geri alarak

x

değerlerini ve bunların çarpımını bulma

\log_2 x = 3 \implies x_1 = 2^3 = 8

ve

\log_2 x = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4}

. Çarpımları:

8 \cdot \frac{1}{4} = 2

olur.

Orijinal bilinmeyen olan

x

değerlerini elde etmek ve soruda istenen çarpım değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

x = 2^u

yazarak denklem doğrudan

(2^u)^{u-1} = 2^6 \implies 2^{u^2-u} = 2^6

şeklinde üstel formda çözülebilir. Buradan tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir ve

u^2-u=6

denklemi elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2822Soru →

Düşey kesiti verilen yolun sadece $KL$ bölümü sürtünmeli olup bu bölümün kinetik sürtünme katsayısı $\mu = 0,4$ ’tür. $K$ noktasında durmakta olan $8\text{ kg}$ kütleli cisme, yatay doğrultuda $50\text{ N}$ büyüklüğünde sabit bir $F$ kuvveti $L$ noktasına kadar uygulanıyor.

$KL$ yolunun uzunluğu $4\text{ m}$ olduğuna göre, $L$ noktasından sonra sürtünmesiz olan yolda hareketine devam eden cisim, yay sabiti $k = 1600\text{ N/m}$ olan yayı en fazla kaç $\text{cm}$ sıkıştırabilir?
(Yolun $L$ noktasından sonraki kısmı yataydır ve yay yeterince uzundur. $g = 10\text{ m/s}^2$ )

15

25

30

40

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Yayın maksimum sıkışma miktarı 30 cm'dir.

Cismin K noktasından L noktasına kadar hareketinde yapılan net iş, cismin L noktasındaki kinetik enerjisine eşittir. Net iş hesaplanırken dış kuvvetin yaptığı işten sürtünme kuvvetinin yaptığı iş çıkarılır. Bulunan 72 J'lük kinetik enerji, sürtünmesiz ortamda yayı sıkıştırmak için kullanılır ve enerji korunumu yasasına göre yayın maksimum sıkışma anındaki potansiyel enerjisine eşitlenir. Buradan yayın sıkışma miktarı 0,3 metre yani 30 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü hesaplamak.

f_s = 32\text{ N}

Sürtünmeli yüzeyde cismin hareketine zıt yönde etki eden sürtünme kuvveti

f_s = \mu \cdot m \cdot g = 0,4 \cdot 8 \cdot 10 = 32\text{ N}

formülüyle hesaplanır.

2

Net kuvvetin yaptığı işi (L noktasındaki kinetik enerjiyi) hesaplamak.

W_{net} = 72\text{ J}

Cisme etki eden net kuvvet

F_{net} = F - f_s = 50 - 32 = 18\text{ N}

'dir. Yapılan net iş ise

W_{net} = F_{net} \cdot d = 18 \cdot 4 = 72\text{ J}

olur.

3

Enerji korunumunu kullanarak yayın maksimum sıkışma miktarını bulmak.

x = 30\text{ cm}

L noktasındaki kinetik enerji yayın maksimum sıkışma anındaki potansiyel enerjisine dönüşür:

E_{kL} = \frac{1}{2} k x^2 \Rightarrow 72 = \frac{1}{2} \cdot 1600 \cdot x^2 \Rightarrow 72 = 800 x^2 \Rightarrow x^2 = 0,09\text{ m}^2 \Rightarrow x = 0,3\text{ m} = 30\text{ cm}

.

Anahtar Kavram

İş-Enerji Teoremi ve Esneklik Potansiyel Enerjisi Korunumu

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2823Soru →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamının, sonraki üç teriminin toplamına oranı $\frac{1}{27}$ 'dir.

Dizinin ikinci terimi $a_2 = 6$ olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı ( $S_4$ ) kaçtır?

26

40

54

80

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80

İlk üç terimin toplamı

S_3

ile sonraki üç terimin toplamı olan

r^3 \cdot S_3

oranlandığında ortak çarpan

r = 3

olarak elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi

a_1 = \frac{a_2}{r} = \frac{6}{3} = 2

bulunur. Bulunan bu değerler geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünde (

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

) yerine yazıldığında ilk 4 terimin toplamı 80 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk üç terimin toplamı ile sonraki üç terimin toplamı arasındaki oranı yazarak ortak çarpanı (

r

) bulma.

İlk üç terimin toplamı

S_3 = a_1 + a_2 + a_3

şeklindedir. Sonraki üç terimin toplamı ise

a_4 + a_5 + a_6 = a_1 r^3 + a_2 r^3 + a_3 r^3 = r^3(a_1 + a_2 + a_3) = r^3 \cdot S_3

olur. Bu iki toplamın oranı

\frac{S_3}{r^3 \cdot S_3} = \frac{1}{r^3} = \frac{1}{27}

olarak verildiğinden

r^3 = 27

ve buradan ortak çarpan

r = 3

bulunur.

Geometrik dizinin terimlerinin artış oranını (ortak çarpanı) belirlemek için.

2

Dizinin verilen ikinci teriminden (

a_2 = 6

) yararlanarak ilk terimi (

a_1

) bulma.

Geometrik dizilerde genel terim ilişkisi gereği

a_2 = a_1 \cdot r

yazılır. Buradan

6 = a_1 \cdot 3 \Rightarrow a_1 = 2

bulunur.

Dizinin toplam formülünü uygulayabilmek için dizinin başlangıç terimini elde etmek gerekir.

3

İlk

n

terim toplamı formülünü uygulayarak ilk 4 terimin toplamını (

S_4

) hesaplama.

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplamı

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

formülü ile hesaplanır.

n = 4

için

S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 80

elde edilir.

Soruda bizden istenen ilk 4 terimin toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin ortak çarpan parantezine alınması ve ilk n terim toplam formülü

Soru 2824Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan $5\text{ kg}$ kütleli bir cisim, iç patlama sonucu iki parçaya ayrılıyor. Parçalardan kütlesi $2\text{ kg}$ olanı, patlamadan hemen sonra $+x$ yönünde $6\text{ m/s}$ hızla harekete geçiyor.

Buna göre, diğer parçanın patlamadan hemen sonraki hızı aşağıdakilerden hangisidir?

-x

yönünde

4\text{ m/s}

+x

yönünde

4\text{ m/s}

-x

yönünde

6\text{ m/s}

+x

yönünde

6\text{ m/s}

-x

yönünde

9\text{ m/s}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-x$ yönünde $4\text{ m/s}$

Cevap

-x

yönünde

4\text{ m/s}

Sistemin patlamadan önceki çizgisel momentumu sıfır olduğu için momentumun korunumu gereği patlamadan sonraki toplam çizgisel momentum da sıfır olmalıdır. İlk parçanın momentumu

+12\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olduğuna göre, toplamın sıfır olması için ikinci parçanın momentumu

-12\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olmalıdır. İkinci parçanın kütlesi

3\text{ kg}

olduğundan, hızı

-x

yönünde

4\text{ m/s}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk momentumu belirleme

P_{\text{ilk}} = 0

Cisim patlamadan önce durduğu için başlangıçtaki çizgisel momentumu sıfırdır.

2

Parçaların kütlelerini bulma

m_2 = 3\text{ kg}

Toplam kütle

5\text{ kg}

olduğuna göre,

2\text{ kg}

kütleli parçanın dışındaki diğer parçanın kütlesi

5 - 2 = 3\text{ kg}

olur.

3

Momentumun korunumunu uygulama

v_2 = -4\text{ m/s}

Sürtünmesiz yatay düzlemde dış kuvvet olmadığından momentum korunur:

P_{\text{ilk}} = P_{\text{son}} \Rightarrow 0 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \Rightarrow 0 = 2 \cdot (+6) + 3 \cdot v_2 \Rightarrow v_2 = -4\text{ m/s}

. Buradan hızın yönü

-x

, büyüklüğü

4\text{ m/s}

bulunur.

Anahtar Kavram

İç patlamalarda çizgisel momentumun korunumu

Alternatif Yöntem

Momentum korunumunu doğrudan kütle ve hızların ters orantılı olması ilişkisinden bulabiliriz. Momentum büyüklükleri eşit olacağından

m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2

yazılır. Buradan

2 \cdot 6 = 3 \cdot v_2 \Rightarrow v_2 = 4\text{ m/s}

elde edilir. Zıt yönlü hareket etmeleri gerektiğinden hız

-x

yönünde

4\text{ m/s}

olur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2825Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi birinci bölgede $y = 12 - x^2$ parabolü üzerinde olan bir dikdörtgen tasarlanıyor. Bu dikdörtgenin alanı en büyük değerini aldığında, parabol üzerindeki köşesinin koordinatları olan $(x, y)$ ikilisi nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (2, 8); (2,8); 2,8; 2, 8

Cevap

Dikdörtgenin alanını maksimum yapan parabol üzerindeki köşenin koordinatları (2, 8) ikilisidir.

Alanı en büyük yapan x değeri, alan fonksiyonunun türevinin sıfır olduğu yerdir. Bu değer x = 2'dir ve parabole yerleştirildiğinde y = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenin alan fonksiyonunu oluşturun.

A(x) = x \cdot (12 - x^2) = 12x - x^3

Birinci bölgedeki köşenin koordinatları

(x, y)

ve

y = 12 - x^2

olduğundan dikdörtgenin kenar uzunlukları

x

ve

12 - x^2

birimdir. Alan bu iki değerin çarpımıdır.

2

Alan fonksiyonunun birinci t��revini alıp sıfıra eşitleyin.

A'(x) = 12 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 4

Bir fonksiyonun yerel maksimum değerini bulmak için türevinin sıfır olduğu kritik noktalar incelenmelidir.

3

Kritik noktayı ve buna karşılık gelen y değerini belirleyin.

x = 2

için

y = 12 - 2^2 = 8

Dikdörtgen birinci bölgede olduğundan

x > 0

olmalıdır, bu yüzden

x = 2

kökü seçilir. Parabol denkleminde yerine yazılarak

y

koordinatı bulunur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2826Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

g(x) = f(x^2 - 3x)

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(x)$ fonksiyonunun grafiğine $x = -2$ apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi $y = 4x - 3$ olduğuna göre, $g(x)$ fonksiyonunun grafiğine $x = 1$ apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

-8

-4

-3

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-4$

Cevap

g(x) fonksiyonunun grafiğine x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi -4'tür.

g(x) = f(x^2 - 3x)

fonksiyonunun

x = 1

noktasındaki teğet eğimi

g'(1)

değeridir. Zincir kuralına göre

g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)

yazılır.

x = 1

için

g'(1) = f'(-2) \cdot (-1)

elde edilir.

f(x)

fonksiyonuna

x = -2

noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi

y = 4x - 3

olarak verildiğinden, bu doğrunun eğimi olan

4

,

f'(-2)

değerine eşittir. Buradan

g'(1) = 4 \cdot (-1) = -4

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = f(x^2 - 3x)

eşitliğinin her iki tarafının

x

'e göre türevini alalım.

g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)

elde edilir.

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: Dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılır.

2

Teğet doğrusunun eğimini bulmak istediğimiz

x = 1

değerini türev fonksiyonunda yerine yazalım.

g'(1) = f'(1^2 - 3 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1 - 3) = f'(-2) \cdot (-1)

bulunur.

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

3

f(x)

fonksiyonuna

x = -2

apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi yardımıyla

f'(-2)

değerini belirleyelim.

y = 4x - 3

doğrusunun eğimi

4

olduğundan,

f'(-2) = 4

olur.

Teğet doğrusunun eğimi, doğrunun

y = mx + n

biçimindeki denkleminde

x

'in katsayısı olan

m

değeridir.

4

Bulduğumuz

f'(-2)

değerini Adım 2'de elde ettiğimiz eşitlikte yerine yazarak

g'(1)

değerini hesaplayalım.

g'(1) = 4 \cdot (-1) = -4

bulunur.

Elde edilen teğet eğimi ve iç türev değerleri çarpılarak nihai eğim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir. Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralı

[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x)

şeklinde uygulanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2827Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan $m = 2\text{ kg}$ kütleli bir kutuya, yatay doğrultuda $F_1 = 8\text{ N}$ ve düşey doğrultuda aşağıya doğru $F_2 = 6\text{ N}$ büyüklüğünde iki sabit kuvvet şekildeki gibi uygulanmaktadır. Kutu, bu kuvvetlerin etkisinde yatay düzlem üzerinde $5\text{ m}$ yer değiştirmektedir.

Buna göre, bu süreçle ilgili;

I. Net kuvvetin kutu üzerinde yapt��ğı iş $50\text{ J}$ 'dür.
II. Kutunun kinetik enerjisindeki artış $40\text{ J}$ 'dür.
III. Kutunun yatay doğrultudaki çizgisel momentumu korunmuştur.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II

Kutunun hareket doğrultusu yatay düzlem üzerindedir. Düşey doğrultudaki kuvvetler (yer çekimi, yüzey tepkisi ve aşağı yönlü dış kuvvet) harekete dik olduğu için iş yapmazlar. Dolayısıyla net işi sadece yatay doğrultudaki

8\text{ N}

'luk kuvvet yapar.

5\text{ m}

yer değiştirme sonucunda yapılan net iş

W_{\text{net}} = 8 \times 5 = 40\text{ J}

olur. İş-enerji teoremine göre yapılan net iş kinetik enerjideki değişime eşit olduğundan kutunun kinetik enerjisi

40\text{ J}

artar. Yatayda net dış kuvvet sıfırdan farklı olduğu için yatay doğrultudaki çizgisel momentum korunmaz. Bu nedenle yalnızca ikinci yargı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Kutuya etki eden kuvvetlerin hareket doğrultusundaki bileşenlerini belirleme.

Kutunun hareket doğrultusu yataydır. Yatay doğrultudaki kuvvet

F_1 = 8\text{ N}

'dur. Düşey doğrultudaki

F_2 = 6\text{ N}

kuvveti, yer çekimi kuvveti (

mg

) ve yüzeyin tepki kuvveti (

N

) hareket doğrultusuna diktir.

Bir kuvvetin iş yapabilmesi için hareket doğrultusunda bir bileşeninin olması gerekir. Harekete dik olan kuvvetler fiziksel anlamda iş yapmaz.

2

Net kuvvetin kutu üzerinde yaptığı net işi hesaplama.

W_{\text{net}} = F_1 \cdot x = 8\text{ N} \times 5\text{ m} = 40\text{ J}

Düşey doğrultudaki kuvvetlerin işi sıfır olduğundan, net iş sadece yatay kuvvetin yaptığı işe eşittir.

3

Kutunun kinetik enerjisindeki değişimi bulma.

\Delta E_k = W_{\text{net}} = 40\text{ J}

İş-enerji teoremine göre, bir cisim üzerinde yapılan net iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir.

4

Çizgisel momentumun korunup korunmadığını inceleme.

Kutunun yatay doğrultudaki çizgisel momentumu korunmaz.

Yatay doğrultuda kutuya etki eden net bir dış kuvvet (

F_1 = 8\text{ N}

) vardır. Dış net kuvvet sıfırdan farklı olduğu için momentum zamanla değişir.

Anahtar Kavram

İş-enerji teoremi ve net işin kinetik enerji değişimine eşit olması; hareket doğrultusuna dik kuvvetlerin iş yapmaması; net dış kuvvet varlığında çizgisel momentumun korunmaması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2828Soru →

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_6 - S_4 = 9 \cdot (S_4 - S_2)

ve $S_3 = 26$ olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan $S_4$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S_4 değeri 80'dir.

Verilen terim toplamı farkları oranlandığında ortak çarpan

r = 3

olarak elde edilir.

S_3 = 26

bilgisi kullanılarak ilk terim

a_1 = 2

bulunur. Buradan

S_4 = S_3 + a_4 = 26 + 54 = 80

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade etme

S_6 - S_4 = a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1 + r)

ve

S_4 - S_2 = a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1 + r)

İlk n terim toplamı farkı, aradaki terimlerin toplamına eşittir.

2

Verilen denklemde ifadeleri yerine yazarak ortak çarpanı (r) bulma

r^2 = 9

ve pozitif terimli olduğu için

r = 3

a_1 r^4(1 + r) = 9 \cdot a_1 r^2(1 + r)

eşitliğinde pozitif terimlilikten ötürü

a_1(1 + r) \neq 0

olduğundan sadeleştirme yapılarak

r^2 = 9

bulunur.

3

S_3 toplamını kullanarak ilk terimi (a_1) bulma

a_1 = 2

S_3 = a_1(1 + r + r^2) = a_1(1 + 3 + 9) = 13 a_1 = 26

eşitliği çözülür.

4

İlk 4 terim toplamını (S_4) hesaplama

S_4 = 80

S_4 = S_3 + a_4 = 26 + a_1 r^3 = 26 + 2 \cdot 3^3 = 26 + 54 = 80

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı ve terimler arası ortak çarpan ilişkisi

Soru 2829Soru →

Sürtünmelerin önemsiz olduğu yatay düzlemdeki $3\text{ kg}$ kütleli $X$ cismi, esnemeyen hafif bir ip ve makara yardımıyla $2\text{ kg}$ kütleli $Y$ cismine bağlanmıştır. Sistem durgun halden serbest bırakılıyor.

Buna göre, $Y$ cismi $2\text{ m}$ aşağı indiğinde mekanik enerjisindeki değişim aşağıdakilerden hangisi olur? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

24 J azalır

Değişmez

40 J azalır

16 J artar

16 J azalır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24 J azalır

Cevap

Mekanik enerjideki değişim 24 J azalma yönündedir.

Doğru seçenekte belirtildiği gibi,

Y

cisminin mekanik enerjisindeki değişim, kinetik enerji artışı ile potansiyel enerji azalışının toplamına eşittir. Yapılan hesaplamalar sonucunda bu değişim

-24\text{ J}

olarak bulunur, yani mekanik enerji

24\text{ J}

azalır.

Adım Adım Çözüm

1

Sistemin ivmesini hesaplayın.

a = \frac{m_Y \cdot g}{m_X + m_Y} = \frac{2 \cdot 10}{3 + 2} = 4\text{ m/s}^2

Net dış kuvvet olan yerçekimi kuvvetinin toplam kütleye oranı sistemin ivmesini verir.

2

Y

cisminin

2\text{ m}

aşağı indiğindeki hızını bulun.

v^2 = 2 \cdot a \cdot h = 2 \cdot 4 \cdot 2 = 16 \implies v = 4\text{ m/s}

Sabit ivmeli hareket formülü kullanılarak cismin ulaştığı son hız hesaplanır.

3

Y

cisminin kinetik ve potansiyel enerji değişimlerini hesaplayıp mekanik enerji değişimini bulun.

\Delta K_Y = \frac{1}{2} m_Y v^2 = 16\text{ J}

,

\Delta U_Y = -m_Y g h = -40\text{ J}

.

\Delta E_Y = \Delta K_Y + \Delta U_Y = 16 - 40 = -24\text{ J}

.

Mekanik enerji değişimi, kinetik ve potansiyel enerjilerdeki değişimlerin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir sistemdeki bireysel cisimlerin mekanik enerjisinin değişimi, üzerlerinde yapılan net korunumsuz işe (ip gerilmesinin işine) eşittir.

Soru 2830Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 2x + k

parabolü koordinat eksenlerini

A

,

B

ve

C

noktalarında kesmektedir.

Köşeleri bu noktalar olan $ABC$ üçgeninin alanı $4\sqrt{5}$ birimkare olduğuna göre, $k$ gerçek sayısı kaçtır?

-5

-3

-4

-2

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4

Parabolün eksenleri kestiği noktalar

A(1-\sqrt{5}, 0)

,

B(1+\sqrt{5}, 0)

ve

C(0, -4)

olup, bu noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı

\frac{2\sqrt{5} \cdot 4}{2} = 4\sqrt{5}

birimkaredir. Bu durumu sağlayan tek gerçek sayı değeri -4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün y-eksenini kestiği noktanın koordinatlarını bulma

C(0, k)

noktası elde edilir. Bu noktanın x-eksenine olan uzaklığı yani üçgenin yüksekliği

|k|

birimdir.

Parabolün y-eksenini kestiği noktada x değeri sıfırdır.

2

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı

k

cinsinden hesaplama

|AB| = 2\sqrt{1-k}

birim elde edilir.

x^2 - 2x + k = 0

denkleminin kökleri arasındaki uzaklık formülü

|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

bağıntısı ile hesaplanır. Burada

\Delta = (-2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k

ve

a = 1

olduğundan uzaklık

\sqrt{4-4k} = 2\sqrt{1-k}

olur.

3

Alan formülünü kurma ve

k

değerini çözme

k = -4

bulunur.

Alan formülü

\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \cdot |y_C|}{2}

şeklindedir. Değerleri yerine koyarsak:

\frac{2\sqrt{1-k} \cdot |k|}{2} = 4\sqrt{5} \implies |k|\sqrt{1-k} = 4\sqrt{5}

olur. Parabolün x-eksenini iki farklı noktada kesebilmesi için

\Delta = 4-4k > 0 \implies k < 1

olmalıdır. Seçenekler ve alanın büyüklüğü göz önüne alındığında

k < 0

olmalıdır, bu durumda

|k| = -k

yazılır.

-k\sqrt{1-k} = 4\sqrt{5}

denkleminin her iki tarafının karesi alınarak

k^2(1-k) = 80 \implies k^3 - k^2 + 80 = 0

elde edilir. Bu denklemin negatif tam sayı kökü

k = -4

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların geometrik yorumu

Soru 2831Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x)$ doğrusal fonksiyonu için $(a_n)$ aritmetik dizisi, her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n = f(n)$ şeklinde tanımlanıyor.

f

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızı

3

ve

a_6 + a_{10} = 56

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi olan

a_1

kaçtır?

4

7

11

35

49

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Dizinin ilk terimi 7'dir.

Dizinin ilk terimi 7'dir. Çünkü doğrusal fonksiyonun eğimi (ortalama değişim hızı olan 3) dizinin ortak farkı

r

'ye eşittir. Buradan

a_6 + a_{10} = 2a_8 = 56 \implies a_8 = 28

olur.

a_1 = a_8 - 7r = 28 - 7(3) = 7

olarak doğru bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusal fonksiyonun ortalama değişim hızından dizinin ortak farkını belirleme.

Dizinin ortak farkı

r = 3

olarak bulunur.

Gerçel sayılarda tanımlı bir doğrusal fonksiyonun herhangi bir aralıktaki ortalama de��işim hızı, o fonksiyonun eğimine eşittir.

a_n = f(n)

olarak tanımlandığından, bu doğrusal fonksiyonun eğimi aynı zamanda

(a_n)

aritmetik dizisinin ardışık terimleri arasındaki farkı, yani ortak farkını (

r

) verir.

2

Verilen terimler toplamını kullanarak dizinin 8. terimini (

a_8

) bulma.

a_8 = 28

olarak bulunur.

Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir veya simetrik terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katıdır.

a_6 + a_{10} = 2a_8

olduğundan,

2a_8 = 56 \implies a_8 = 28

elde edilir.

3

Ortak fark ve 8. terim yardımıyla ilk terimi (

a_1

) hesaplama.

a_1 = 7

olarak bulunur.

Bir aritmetik dizide herhangi bir terim

a_n = a_k + (n-k)r

formülüyle yazılabilir. Buna göre

a_8 = a_1 + 7r

eşitliğinde bilinenler yerine yazılırsa:

28 = a_1 + 7 \cdot 3 \implies 28 = a_1 + 21 \implies a_1 = 7

bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde genel terimin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve indis özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2832Soru →

Dik koordinat düzleminde, köşeleri $A(0, 3)$ , $B(0, 0)$ , $C(4, 0)$ ve $D(4, 3)$ noktaları olan bir dikd��rtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin sınırları üzerinde veya iç bölgesinde bulunan ve her iki koordinatı da tam sayı olan tüm noktalardan rastgele biri seçiliyor.

Buna göre, seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla $3$ birim olma olasılığı kaçtır?

\dfrac{2}{5}

\dfrac{9}{20}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{11}{20}

\dfrac{3}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \dfrac{11}{20}

Cevap

Seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 3 birim olma olasılığı 11/20'dir.

Seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 3 birim olma koşulu, x² + y² ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan 11 noktanın bulunması ve toplam nokta sayısının 20 olması nedeniyle 11/20 olasılık değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek uzayı belirleme

Dikdörtgenin sınırları ve içindeki tam sayı koordinatlı noktaların kümesi S = {(x, y) | x ∈ {0,1,2,3,4} ve y ∈ {0,1,2,3}} şeklindedir. Toplam nokta sayısı s(S) = 5 × 4 = 20'dir.

Olasılık hesabında tüm olası durumların sayısını bulmak için örnek uzayın eleman sayısını belirlememiz gerekir.

2

Koşulu matematiksel olarak ifade etme

Bir (x, y) noktasının orijine (0,0) olan uzaklığı d = √(x² + y²) formülüyle hesaplanır. d ≤ 3 koşulu, x² + y² ≤ 9 eşitsizliğine denktir.

İstenen olaya ait noktaları tespit edebilmek için uzaklık sınırını bir eşitsizlik olarak yazarız.

3

Koşulu sağlayan noktaları belirleme

x değerlerine göre eşitsizliği sağlayan y tam sayılarını bulalım:
- x = 0 için: y² ≤ 9 ⇒ y ∈ {0, 1, 2, 3} (4 nokta)
- x = 1 için: 1 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 8 ⇒ y ∈ {0, 1, 2} (3 nokta)
- x = 2 için: 4 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 5 ⇒ y ∈ {0, 1, 2} (3 nokta)
- x = 3 için: 9 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 0 ⇒ y = 0 (1 nokta)
- x = 4 için: 16 + y² ≤ 9 sağlanamaz (0 nokta)
Toplamda istenen koşulu sağlayan 11 nokta vardır.

İstenen olayın eleman sayısını bulmak için tüm olası x değerleri için eşitsizliği sağlayan y değerlerini tek tek inceleriz.

4

Olasılığı hesaplama

Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durumların Sayısı) = 11 / 20

Basit olayların olasılığı formülünü uygulayarak sonucu buluruz.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Koordinat Düzleminde Nokta Sayma

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2833Soru →

Sürtünmesiz yatay bir zemin üzerinde üst üste konulmuş $m_1 = 2\text{ kg}$ ve $m_2 = 3\text{ kg}$ kütleli iki blok şekildeki gibi durmaktadır. Bloklar arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,4$ 'tür. Alttaki $m_2$ kütleli bloğa yatay doğrultuda $\vec{F}$ kuvveti uygulanıyor. Buna göre, üstteki $m_1$ kütleli bloğun alttaki bloğun üzerinde kaymadan birlikte hareket edebilmeleri için uygulanabilecek yatay $\vec{F}$ kuvvetinin büyüklüğü en fazla kaç $\text{N}$ olmalıdır? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Blokların birlikte kaymadan hareket edebilmeleri için uygulanabilecek maksimum yatay kuvvet 20 N olmalıdır.

Üstteki bloğun kaymadan hareket edebilmesi için gereken ivme, aralarındaki statik sürtünme kuvvetiyle sağlanır. Maksimum statik sürtünme kuvveti

f_{s,\max} = 8\text{ N}

olduğundan, üstteki bloğun ivmesi en fazla

a_{\max} = 4\text{ m/s}^2

olabilir. Blokların birlikte ivmelenmesi için uygulanabilecek en büyük yatay kuvvet ise

F_{\max} = (m_1 + m_2) \cdot a_{\max} = (2 + 3) \cdot 4 = 20\text{ N}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üstteki blok ile alttaki blok arasındaki maksimum statik sürtünme kuvvetini hesaplamak.

f_{s,\max} = 8\text{ N}

Üstteki bloğa yatay doğrultuda etki eden tek kuvvet iki blok arasındaki sürtünme kuvvetidir. Bu kuvvetin sınırı sistemin ivme limitini belirler.

2

Üstteki bloğun kaymadan sahip olabileceği maksimum ivmeyi bulmak.

a_{\max} = 4\text{ m/s}^2

Üstteki bloğun ivmesi, üzerine etki eden maksimum sürtünme kuvvetinin kütlesine bölünmesiyle (

a_{\max} = f_{s,\max} / m_1

) elde edilir.

3

Sistemin toplam kütlesi ve maksimum ortak ivme değerini kullanarak uygulanabilecek en büyük dış kuvveti hesaplamak.

F_{\max} = 20\text{ N}

Her iki bloğun birlikte ivmelenmesini sağlayan dış kuvvet, toplam kütle ile maksimum ivmenin çarpımına eşittir (

F_{\max} = (m_1 + m_2) a_{\max}

).

Anahtar Kavram

Statik sürtünme kuvvetinin sınır değeri ve Newton'ın ikinci hareket yasasının sisteme uygulanması.

Soru 2834Soru →

4^{\log_2(\log_3 x)} + (\log_3 x)^{\log_2 4} = 32

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Denklemi sa��layan tek

x

gerçel sayısı 81'dir.

Verilen denklemde logaritma ve üslü sayı özellikleri kullanılarak

4^{\log_2(\log_3 x)}

terimi

(\log_3 x)^2

olarak yazılabilir. Aynı şekilde,

\log_2 4 = 2

olduğundan

(\log_3 x)^{\log_2 4}

terimi de

(\log_3 x)^2

değerine eşittir. Bu iki terimin toplamı

2(\log_3 x)^2 = 32

denklemini verir. Buradan

(\log_3 x)^2 = 16

elde edilir. Logaritmanın tanım kümesi gereği

\log_3 x > 0

olması gerektiğinden

\log_3 x = 4

olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan tek gerçel sayı ise

x = 3^4 = 81

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesini belirlemek

x > 1

ve

\log_3 x > 0

olmalıdır.

\log_2(u)

ifadesinin tanımlı olabilmesi için logaritmanın argümanı olan

u

değerinin pozitif olması gerekir. Burada

u = \log_3 x

olduğundan,

\log_3 x > 0

olmalıdır.

2

İlk terimi sadeleştirmek

(\log_3 x)^2

4 = 2^2

yazılarak üslü sayı kuralları ve

a^{\log_a b} = b

özelliği kullanılır. Böylece

4^{\log_2(\log_3 x)} = (2^{\log_2(\log_3 x)})^2 = (\log_3 x)^2

elde edilir.

3

İkinci terimi sadeleştirmek

(\log_3 x)^2

\log_2 4 = 2

olduğundan, terim doğrudan

(\log_3 x)^{\log_2 4} = (\log_3 x)^2

şeklinde yazılır.

4

Denklemi çözmek

(\log_3 x)^2 = 16

Sadeleştirilmiş terimler denklemde toplanır:

(\log_3 x)^2 + (\log_3 x)^2 = 32 \implies 2(\log_3 x)^2 = 32 \implies (\log_3 x)^2 = 16

bulunur.

5

Tanım kümesi kontrolü ile

x

değerini bulmak

x = 81

(\log_3 x)^2 = 16

ise

\log_3 x = 4

veya

\log_3 x = -4

olur. Ancak birinci adımda belirlenen

\log_3 x > 0

koşulundan dolayı

\log_3 x = 4

olmalıdır. Buradan

x = 3^4 = 81

bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun

a^{\log_a b} = b

özelliğini uygulama, üslü logaritmik denklemleri çözme ve logaritmanın tanımlı olma şartlarını sağlayan değerleri belirleme.

Soru 2835Soru →

Bir torbada $3$ kırmızı ve $4$ beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen top kırmızı ise torbaya geri atılmayıp torbaya $1$ beyaz top ekleniyor; eğer çekilen top beyaz ise torbaya geri atılıp torbaya $1$ kırmızı top ekleniyor. Ardından torbadan rastgele ikinci bir top çekiliyor.

Buna göre, ikinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

\frac{2}{7}

\frac{2}{3}

\frac{7}{10}

\frac{3}{10}

\frac{8}{11}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{10}$

Cevap

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı

\frac{7}{10}

olarak bulunur.

İkinci topun kırmızı geldiği bilindiği için bu durum yeni örnek uzayımız olur. İlk topun beyaz ve ikincinin kırmızı geldiği durumun olasılığı (ondört bölü kırk dokuz), ikinci topun kırmızı geldiği toplam olasılığa (yirmi bölü kırk dokuz) oranlandığında yedi bölü on sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk çekimde kırmızı top gelmesi durumunu ve sonrasındaki torba yapısını analiz etme

İlk çekilen topun kırmızı olma olasılığı

P(K_1) = \frac{3}{7}

'dir. Kırmızı top geri atılmayıp yerine

1

beyaz top eklendiğinden torbada

2

kırmızı ve

5

beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2 | K_1) = \frac{2}{7}

olur. İki olayın ortak olasılığı

P(K_1 \cap K_2) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{49}

'dur.

Bağımlı olayların zincirleme olasılıklarını belirlemek için ilk aşamayı hesaplamamız gerekir.

2

İlk çekimde beyaz top gelmesi durumunu ve sonrasındaki torba yapısını analiz etme

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı

P(B_1) = \frac{4}{7}

'dir. Beyaz top geri atılıp torbaya

1

kırmızı top eklendiğinden torbada

4

kırmızı ve

4

beyaz top olur. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2 | B_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

olur. İki olayın ortak olasılığı

P(B_1 \cap K_2) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{14}{49}

'dur.

İkinci aşamada beyaz topun çekilmesi durumundaki bağımlı olasılık yollarını belirlemek için.

3

İkinci topun kırmızı gelme toplam olasılığını hesaplama

P(K_2) = P(K_1 \cap K_2) + P(B_1 \cap K_2) = \frac{6}{49} + \frac{14}{49} = \frac{20}{49}

'dur.

Koşullu olasılık formülünün paydasını (örnek uzayı daraltan koşulu) bulmak amacıyla toplam olasılık teoremini uygularız.

4

Koşullu olasılık formülünü uygulayarak nihai sonucu bulma

P(B_1 | K_2) = \frac{P(B_1 \cap K_2)}{P(K_2)} = \frac{\frac{14}{49}}{\frac{20}{49}} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}

'dur.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ilk çekilen topun beyaz olma olasılığını hesaplamak için koşullu olasılık tanımını kullanırız.

Anahtar Kavram

Bağımlı olayların olasılıkları hesaplanırken bir sonraki aşamadaki örnek uzay ve eleman sayıları ilk aşamadaki sonuca göre değişir. Koşullu olasılık sorularında ise toplam olasılık hesaplanarak örnek uzay daraltılır.

Soru 2836Soru →

Doğrusal bir yolda ayn�� yönde hareket eden $K$ ve $L$ araçlarından arkada bulunan $K$ aracı $25\text{ m/s}$ sabit hızla, önde bulunan $L$ aracı ise $5\text{ m/s}$ sabit hızla yol almaktadır. Aralarındaki mesafe $65\text{ m}$ olduğu anda; $L$ aracı $2\text{ m/s}^2$ büyüklüğündeki sabit ivmeyle hızlanmaya, $K$ aracı ise aynı anda fren yaparak $2\text{ m/s}^2$ büyüklüğündeki sabit ivmeyle yavaşlamaya başlamaktadır. Buna göre, araçların bundan sonraki hareketi sürecinde birbirlerine en yakın oldukları anda aralarındaki mesafe kaç metredir?

15

25

35

45

55

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Araçların birbirlerine en yakın oldukları andaki aralarındaki mesafe

15\text{ m}

'dir.

Araçların birbirine en yakın olduğu an hızlarının eşitlendiği andır.

v_K = v_L

eşitliğinden bu sürenin

t = 5\text{ s}

olduğu bulunur. Bu sürede yavaşlayan K aracı

100\text{ m}

, hızlanan L aracı ise

50\text{ m}

yer değiştirir. Başlangıçta aralarında

65\text{ m}

mesafe bulunduğundan, son durumda aralarındaki minimum mesafe

65 + 50 - 100 = 15\text{ m}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Araçların birbirine en yakın olduğu anı belirlemek için hızlarının eşitlendiği süreyi bulma.

K aracının hızı

v_K(t) = 25 - 2t

, L aracının hızı

v_L(t) = 5 + 2t

şeklindedir. Hızların eşitlendiği an

25 - 2t = 5 + 2t \implies 4t = 20 \implies t = 5\text{ s}

olarak bulunur.

İki hareketlinin birbirine en yakın olduğu an, arkadaki aracın hızının öndeki aracın hızına eşitlendiği andır. Bu andan önce arkadaki araç daha hızlı olduğundan aradaki mesafe azalır; bu andan sonra ise öndeki araç daha hızlı olacağından aradaki mesafe artar.

2

K aracının

5\text{ s}

süresince yaptığı yer değiştirmeyi hesaplama.

\Delta x_K = v_{0K} \cdot t - \frac{1}{2} a_K t^2 = 25 \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 = 125 - 25 = 100\text{ m}

.

Sabit ivmeyle yavaşlayan K aracının aldığı yolu bulmak için bir boyutta sabit ivmeli hareket yer değiştirme formülü uygulanır.

3

L aracının

5\text{ s}

süresince yaptığı yer değiştirmeyi hesaplama.

\Delta x_L = v_{0L} \cdot t + \frac{1}{2} a_L t^2 = 5 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 = 25 + 25 = 50\text{ m}

.

Sabit ivmeyle hızlanan L aracının aldığı yolu bulmak için bir boyutta sabit ivmeli hareket yer değiştirme formülü uygulanır.

4

Araçlar arasındaki son mesafeyi hesaplama.

x_K(0) = 0

ve

x_L(0) = 65\text{ m}

kabul edilirse;

t = 5\text{ s}

anında

x_K(5) = 100\text{ m}

ve

x_L(5) = 65 + 50 = 115\text{ m}

olur. Aralarındaki mesafe

d_{min} = 115 - 100 = 15\text{ m}

olarak bulunur.

Başlangıçtaki konumlara yapılan yer değiştirmeler eklenerek araçların son konumları bulunur ve aralarındaki fark hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir boyutta sabit ivmeli harekette bağıl hareket ve en yakın mesafe analizi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2837Soru →

Bir hastaya enjekte edilen bir ilacın vücutta kalan miktarı miligram (mg) cinsinden, enjeksiyondan itibaren geçen süre $t$ saat olmak üzere,

M(t) = M_0 \cdot (0,8)^t

fonksiyonu ile modellenmektedir. Burada $M_0$ , ilacın başlangıçtaki miktarıdır.

Hastaya enjekte edilen ilacın vücuttaki miktarının, başlangıçtaki miktarının %32'sine düştüğü tespit edilmiştir.

Buna göre, enjeksiyondan itibaren yaklaşık kaç saat geçmiştir? (Bu hesaplamada $\log_{10} 2 \approx 0,3$ alınız.)

3

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Geçen süre yaklaşık 5 saattir.

İlacın vücutta kalan miktarı başlangıçtaki miktarın %32'sine eşitlendiğinde

(0,8)^t = 0,32

denklemi elde edilir. Bu denklemin her iki tarafının 10 tabanında logaritması alındığında

\log(0,8) \approx -0,1

ve

\log(0,32) \approx -0,5

değerleri bulunur. Buradan

t \cdot (-0,1) \approx -0,5

eşitliği çözüldüğünde enjeksiyondan itibaren geçen süre yaklaşık 5 saat olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlacın kalan miktarının başlangıçtaki miktarın %32'si olmasına yönelik matematiksel denklem kurulur.

M_0 \cdot (0,8)^t = 0,32 \cdot M_0 \implies (0,8)^t = 0,32

Vücutta kalan ilacın oranını model denklemine eşitleyerek bilinmeyen süre parametresini yalnız bırakmaya başlamak.

2

Eşitliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritması alınır ve üs kuralı uygulanır.

\log(0,8^t) = \log(0,32) \implies t \cdot \log(0,8) = \log(0,32)

Bilinmeyen üssel ifadeyi doğrusal bir çarpana dönüştürmek amacıyla logaritmanın

\log(a^b) = b \cdot \log(a)

özelliğini kullanmak.

3

Ondalık sayılar rasyonel sayılara çevrilerek logaritmanın bölme ve üs kuralları yardımıyla açılır.

\log(0,8) = \log\left(\frac{8}{10}\right) = \log 8 - \log 10 = 3\log 2 - 1

ve

\log(0,32) = \log\left(\frac{32}{100}\right) = \log 32 - \log 100 = 5\log 2 - 2

\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b

ve

\log(a^n) = n\log a

kurallarını uygulayarak terimleri verilen

\log 2

cinsinden ifade etmek.

4

Soruda verilen

\log 2 \approx 0,3

değeri yerlerine yazılarak yaklaşık sayısal değerler hesaplanır.

\log(0,8) \approx 3(0,3) - 1 = 0,9 - 1 = -0,1

ve

\log(0,32) \approx 5(0,3) - 2 = 1,5 - 2 = -0,5

Logaritmik ifadelerin yaklaşık ondalık karşılıklarını bularak bölme işlemine hazır hale getirmek.

5

Bulunan yaklaşık değerler ana denklemde yerine yazılarak süre hesaplanır.

t \cdot (-0,1) \approx -0,5 \implies t \approx 5

Bilinmeyen süre değişkenini elde etmek için basit doğrusal denklemi çözmek.

Anahtar Kavram

Üstel modellerin çözümünde logaritma özelliklerinin ve logaritmik yaklaşık değerlerin kullanımı

Soru 2838Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = x^2$ parabolü üzerindeki bir $P(x, y)$ noktasının $A\left(0, \frac{17}{4}\right)$ noktasına olan uzaklığı en az kaç birimdir?

2

4

\frac{15}{4}

\frac{\sqrt{15}}{2}

\frac{17}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

En kısa uzaklık 2 birimdir.

Parabol üzerindeki genel bir noktanın A noktasına uzaklık fonksiyonunun karesi olan

d^2 = x^4 - \frac{15}{2}x^2 + \frac{289}{16}

ifadesinin türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde en yakın noktanın apsisinin karesi

x^2 = \frac{15}{4}

bulunur. Bu değer uzaklık bağıntısında yerine yazıldığında uzaklığın karesinin minimum değeri 4, uzaklığın kendisi ise 2 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol üzerindeki genel bir P noktasının koordinatlarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.

y = x^2

olduğu için parabol üzerindeki herhangi bir nokta

P(x, x^2)

şeklinde yazılır.

İki nokta arasındaki uzaklık form��lünü tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürmek için.

2

P(x, x^2)

ile

A\left(0, \frac{17}{4}\right)

noktaları arasındaki uzaklığın karesini (

d^2

) veren fonksiyonu oluşturun.

d^2 = (x - 0)^2 + \left(x^2 - \frac{17}{4}\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{17}{2}x^2 + \frac{289}{16} = x^4 - \frac{15}{2}x^2 + \frac{289}{16}

Uzaklığı minimize etmek için önce uzaklığın karesini veren fonksiyonu türevlenebilir hale getirmek gerekir.

3

x^2 = y

dönüşümü uygulayarak fonksiyonu basitleştirin ve türevini alarak kritik noktayı bulun.

g(y) = y^2 - \frac{15}{2}y + \frac{289}{16}

(

y \ge 0

) elde edilir. Türevi:

g'(y) = 2y - \frac{15}{2}

. Türevi sıfıra eşitlediğimizde

y = \frac{15}{4}

bulunur.

Türevi sıfır yapan nokta, fonksiyonun yerel minimum noktasını verir.

4

Bulunan

y = \frac{15}{4}

değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük

d^2

değerini ve ardından karekökünü alarak en kısa uzaklığı bulun.

d^2 = g\left(\frac{15}{4}\right) = \left(\frac{15}{4}\right)^2 - \frac{15}{2}\left(\frac{15}{4}\right) + \frac{289}{16} = \frac{225 - 450 + 289}{16} = \frac{64}{16} = 4

. Buradan

d = \sqrt{4} = 2

bulunur.

Uzaklığın karesinin minimum değeri 4 olduğuna göre, en kısa uzaklığın kendisi 2 birimdir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bir noktanın bir eğriye olan en kısa uzaklığını hesaplama

Soru 2839Soru →

Bir müziksever, çalma listesindeki birbirinden farklı $3$ klasik müzik ve $3$ rock müzik parçasını sırayla dinleyecektir. Bu kişinin rock müzik parçalarını art arda (yan yana) dinlemek istemediği bilindiğine göre, bu $6$ müzik parçası kaç farklı şekilde sıralanabilir?

24

72

144

576

720

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $144$

Cevap

144

Klasik müzik parçaları

3! = 6

farklı şekilde sıralanabilir. Rock müzik parçalarının yan yana gelmemesi için bu parçalar, klasik müzik parçalarının soluna, sağına veya aralarına gelen

4

boşluktan seçilecek

3

boşluğa yerleştirilmelidir. Boşluk seçimi

C(4,3) = 4

farklı şekilde yapılır. Yerleştirilen rock parçaları da kendi arasında

3! = 6

farklı şekilde sıralanabileceğinden, toplam sıralama sayısı

3! \times C(4,3) \times 3! = 6 \times 4 \times 6 = 144

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Klasik müzik parçalarının kendi aralarındaki sıralanma sayısını hesaplama

3! = 6

3

farklı klasik müzik parçası yan yana

3!

farklı şekilde sıralanabilir.

2

Rock müzik parçalarının yerleştirilebileceği boşluk sayısını belirleme ve yer seçimi yapma

C(4,3) = 4

Rock müzik parçalarının yan yana gelmemesi için klasik müzik parçalarının oluşturduğu

4

boşluktan (

\_ \text{K} \_ \text{K} \_ \text{K} \_

)

3

tanesi seçilmelidir.

3

Rock müzik parçalarının kendi aralarındaki sıralanma sayısını hesaplama ve toplam sıralama sayısını bulma

3! = 6

ve toplam durum:

6 \times 4 \times 6 = 144

Seçilen boşluklara yerleştirilen

3

farklı rock müzik parçası kendi arasında

3!

farklı şekilde sıralanır. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre tüm bu durumlar çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve nesnelerin yan yana gelmeme durumlarının hesaplanması.

Soru 2840Soru →

Dik koordinat d��zleminde, $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ eğrisine üzerindeki $x = 1$ apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, bu eğriyi $x = 1$ dışındaki iki farklı noktada daha kesmektedir. Buna göre, bu kesim noktalarının apsislerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktaların apsisleri çarpımı -2'dir.

Eğrinin x = 1 noktasındaki normal doğrusunun denklemi y = x + 1 olarak bulunur. Bu doğru ile eğrinin ortak çözümü yapıldığında kesim noktalarının apsisleri 1, -1 ve 2 olarak elde edilir. x = 1 dışındaki noktaların apsisleri çarpımı (-1) * 2 = -2 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet noktasının ordinatını hesaplama

P(1, 2)

Teğet noktasının eğri üzerinde olduğunu bildiğimiz için x = 1 değerini fonksiyonda yerine yazarız.

2

Fonksiyonun türevini alma

f'(x) = 3x^2 - 4x

Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla türev fonksiyonuna ihtiyaç duyarız.

3

x = 1 noktasındaki teğet eğimini bulma

m_t = -1

x = 1 noktasındaki türev değeri teğet doğrusunun eğimini verir.

4

Normal doğrusunun eğimini bulma

m_n = 1

Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.

5

Normal doğrusunun denklemini yazma

y = x + 1

Eğimi 1 olan ve P(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini oluştururuz.

6

Normal doğrusu ile eğrinin kesim noktalarını belirleme

x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0

Doğru ve eğrinin ortak noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.

7

Denklemin köklerini bulma

x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 2

Elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kesim noktalarının apsislerini elde ederiz.

8

Diğer noktaların apsisleri çarpımını hesaplama

-2

x = 1 noktası dışındaki kesim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 değerlerini çarparız.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerinin negatif tersidir. Normal doğrusunun eğri ile ortak çözümü yapılarak kesim noktaları bulunur.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap