Tüm alıştırma soruları

Soru 2801Soru →

\left( \frac{4}{\log_{2} 144} + \frac{2}{\log_{3} 144} \right)^{\log_{3} 27} + 5^{\log_{25} 64}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İfadenin değeri 9 olarak bulunur.

Verilen ifadenin ilk kısmı taban değiştirme özelliği kullanılarak

\log_{144} (2^4 \cdot 3^2) = \log_{144} 144 = 1

olarak bulunur.

1^{\log_3 27} = 1^3 = 1

elde edilir. İkinci kısım ise

5^{\log_{25} 64} = 5^{\log_5 8} = 8

şeklinde sadeleşir. Bu iki kısmın toplamı

1 + 8 = 9

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Taban değiştirme kuralı olan

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

özelliğini kullanarak paydadaki logaritmaları pay kısmına taşıyın.

\frac{4}{\log_2 144} = 4 \log_{144} 2

ve

\frac{2}{\log_3 144} = 2 \log_{144} 3

ifadeleri elde edilir.

Logaritmik ifadeleri aynı tabanda birleştirebilmek için taban değiştirme özelliğinden yararlanılır.

2

n \log_a b = \log_a (b^n)

özelliğini kullanarak katsayıları argümana üs olarak getirin.

4 \log_{144} 2 = \log_{144} (2^4) = \log_{144} 16

ve

2 \log_{144} 3 = \log_{144} (3^2) = \log_{144} 9

elde edilir.

Toplama işlemini yapabilmek için logaritmaların önünde katsayı bulunmaması gerekir.

3

Tabanları aynı olan logaritmaların toplamını, argümanların çarpımı şeklinde yazın:

\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)

.

\log_{144} 16 + \log_{144} 9 = \log_{144} (16 \cdot 9) = \log_{144} 144 = 1

elde edilir.

Çarpım özelliğini uygulayarak ifade tek bir sayıya indirgenir.

4

Birinci terimin üssü olan

\log_3 27

ifadesini hesaplayın ve taban değeri olan

1

ile birleştirin. Ardından ikinci terim olan

5^{\log_{25} 64}

ifadesini

a^{\log_a b} = b

özelliğini kullanarak sadeleştirin.

Birinci kısım için

\log_3 27 = 3

olup

1^3 = 1

bulunur. İkinci kısım için

5^{\log_{25} 64} = 5^{\log_{5^2} 8^2} = 5^{\log_5 8} = 8

elde edilir.

Üstel logaritmik ifadeleri sadeleştirerek sayısal değerlerini bulmak amaçlanır.

5

Elde edilen iki terimin değerlerini toplayın.

1 + 8 = 9

elde edilir.

Soruda istenen toplam ifadesinin nihai sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve temel özellikleri yardımıyla üstel ifadelerin sadeleştirilmesi

Soru 2802Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları için,

\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] = 5

\lim_{x \to 1} [f(x) \cdot g(x)] = 6

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
I. $\lim_{x \to 1} f(x)$ vardır.
II. $f(1) + g(1) = 5$ tir.
III. $\lim_{x \to 1} [f(x)^2 + g(x)^2] = 13$ tür.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III

Yalnızca üçüncü öncül kesinlikle doğrudur.

f(x)^2 + g(x)^2

ifadesi

[f(x) + g(x)]^2 - 2f(x)g(x)

özdeşliği olarak yazıldığında, limitin temel özellikleri (toplam, fark ve çarpım limitleri) gereği limit değeri

5^2 - 2 \cdot 6 = 13

olarak kesin bir şekilde bulunur. Birinci öncülde limitlerin ayrı ayrı varlığı garanti edilemez çünkü fonksiyonlar salınım yapıyor olabilir. İkinci öncülde ise fonksiyonların sürekliliği belirtilmediği için limit değerlerinin fonksiyon değerlerine eşit olması zorunlu değildir.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülü analiz etmek.

İki fonksiyonun toplamının ve çarpımının limitinin var olması, fonksiyonların ayrı ayrı limitlerinin olmasını gerektirmez. Örneğin,

f(x)

ve

g(x)

fonksiyonları

x \to 1

iken salınım yapıp limitleri olmayabilir, ancak toplamları sabit 5 ve çarpımları sabit 6 olan iki fonksiyon oluşturabilirler (örneğin biri

x \to 1

iken 2 ve 3 değerleri arasında salınım yaparken diğeri buna uygun olarak 3 ve 2 değerleri arasında salınım yapabilir). Bu nedenle I. öncül kesinlikle doğru değildir.

Toplam ve çarpım limitlerinin varlığının tekil limitlerin varlığını gerektirip gerektirmediğini belirlemek.

2

II. öncülü analiz etmek.

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmak zorunda değildir. Fonksiyonların gerçek sayılar kümesinde tanımlı olması sürekliliklerini garanti etmez. Dolayısıyla

f(1) + g(1) = 5

eşitliği kesinlikle doğru değildir.

Limit değeri ile fonksiyonun o noktadaki değeri arasındaki farkı ve süreklilik ihtiyacını incelemek.

3

III. öncülü analiz etmek.

f(x)^2 + g(x)^2

ifadesini

[f(x) + g(x)]^2 - 2f(x)g(x)

özdeşliği şeklinde yazabiliriz.

\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] = 5

ve

\lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] = 6

limitleri var olduğundan, limitin toplama, çıkarma ve çarpma özellikleri kullanılabilir. Buradan

\lim_{x \to 1} [f(x)^2 + g(x)^2] = (\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)])^2 - 2\lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] = 5^2 - 2 \cdot 6 = 25 - 12 = 13

elde edilir. Bu değer kesinlikle doğrudur.

Özdeşlik yardımıyla limit özelliklerini uygulayıp kesin değeri hesaplamak.

Anahtar Kavram

Limitin toplama, çıkarma ve çarpma özellikleri ile tekil limitlerin varlık koşulları.

Soru 2803Soru →

$[0, 4]$ kapalı aralığında sürekli olan bir $f$ fonksiyonu için

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6

\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen integralin değeri 7 olarak bulunur.

Değişken değiştirme kuralları ve integralin aralık bölme özelliği doğru uygulandığında,

[0,2]

aralığındaki belirli integral değeri 4 olarak bulunur. İstenen integralde de benzer şekilde

w=2x

değişken değiştirmesi yapıldığında integralin değeri 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk integralde değişken değiştirme uygulamak

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6

integralinde

u = 2x

dönüşümü yapıldığında

du = 2\,dx

olur. Sınırlar

x = 0 \implies u = 0

ve

x = 2 \implies u = 4

şeklinde güncellenir. Buradan

\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6

elde edilir.

2

İkinci integralde değişken değiştirme uygulamak

\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8

\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8

integralinde

v = x+1

dönüşümü yapıldığında

dv = dx

olur. Sınırlar

x = 1 \implies v = 2

ve

x = 3 \implies v = 4

şeklinde güncellenir.

3

Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini kullanmak

\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx

özelliğinden yararlanarak bilinen değerler yerine yazılır:

12 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + 8

denkleminden aranan değer bulunur.

4

İstenen integrali parçalara ayırarak hesaplamak

7

\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx = 3 \int_{0}^{1} f(2x) \, dx + \int_{0}^{1} 4x^3 \, dx

şeklinde yazılır. İlk kısım için

w = 2x

dönüşümüyle

3 \cdot \left(\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(w) \, dw\right) = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6

elde edilir. İkinci kısım ise

\left[ x^4 \right]_0^1 = 1

olur. Bu iki değer toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integrasyon sınırlarının güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.

Soru 2804Soru →

Analitik düzlemde, $y$ -eksenini $(0, -12)$ noktasında kesen $f(x) = x^2 - mx + n$ parabolünün $x$ -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık $8$ birimdir. Buna göre, $m$ sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

2

4

6

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

m sayısının alabileceği pozitif değer 4'tür.

Parabolün y-eksenini kestiği nokta (0, -12) olduğundan n = -12 olur. x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık formülü olan |x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta}/|a| ifadesi 8'e eşitlenir. Buradan \sqrt{m^2 + 48} = 8 elde edilip her iki tarafın karesi alınarak m^2 = 16 bulunur. m sayısının pozitif değeri istendiği için m = 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün y-eksenini kestiği noktayı kullanarak n değerini belirleme.

n = -12

Parabol y-eksenini (0, -12) noktasında kestiği için f(0) = -12 olmalıdır. Fonksiyonda x yerine 0 yazıldığında f(0) = n = -12 elde edilir.

2

x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık formülünü kullanarak m için bir denklem kurma.

m^2 + 48 = 64

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle bulunur. Burada a = 1, b = -m ve c = n = -12'dir. Buradan \Delta = (-m)^2 - 4(1)(-12) = m^2 + 48 olur. Uzaklık 8 birim olduğuna göre, \sqrt{m^2 + 48} = 8 yazılır. Her iki tarafın karesi alındığında m^2 + 48 = 64 elde edilir.

3

Denklemi çözerek m sayısının pozitif değerini bulma.

m = 4

m^2 + 48 = 64 denkleminden m^2 = 16 bulunur. Karesi 16 olan sayılar -4 ve 4'tür. Soruda m sayısının pozitif değeri istendiği için m = 4 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve kök-katsayı ilişkileri

Soru 2805Soru →

Gökbilimde bir yıldızın dünyadan gözlemlenen görünür parlaklığı (ışık akısı)

I

olmak üzere, bu yıldızın görünür kadir derecesi

m

şu formülle hesaplanmaktadır:

m = -2,5 \log_{10}(I) - 19

Buna göre, görünür kadir derecesi

-1

olan bir yıldızın görünür parlaklığı, görün��r kadir derecesi

4

olan bir yıldızın görünür parlaklığının kaç katıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Görünür kadir derecesi -1 olan yıldızın görünür parlaklığı, kadir derecesi 4 olan yıldızın görünür parlaklığının 100 katıdır.

Kadir derecesi -1 ve 4 olan yıldızların parlaklık denklemleri yazılıp taraf tarafa çıkarıldığında elde edilen logaritmik oran 10^2 yani 100 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kadir derecesi formüllerini her iki yıldız için ayrı ayrı yazmak

-1 = -2,5 \log_{10}(I_1) - 19

ve

4 = -2,5 \log_{10}(I_2) - 19

denklemleri elde edilir.

Her iki yıldızın parlaklık değerleri ile kadir dereceleri arasındaki bağıntıyı kurmak için.

2

Denklemleri taraf tarafa çıkararak sabit terimi yok etmek ve logaritmaları ortak paranteze almak

-5 = -2,5 \left(\log_{10}(I_1) - \log_{10}(I_2)\right)

eşitliği elde edilir.

Yıldızların parlaklıkları oranını elde edebilmek için logaritmik ifadeleri yalnız bırakmak.

3

Eşitliği sadeleştirmek ve logaritmanın fark kuralını kullanarak tek bir logaritma altında yazmak

2 = \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right)

elde edilir.

Bölümün logaritması kuralı gereğince iki parlaklığın oranını elde etmek.

4

Logaritma tanımını kullanarak üslü biçime dönüştürmek

\frac{I_1}{I_2} = 10^2 = 100

bulunur.

Kadir derecesi -1 olan yıldızın parlaklığının diğerinin kaç katı olduğunu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat modellerinde iki farklı durumun oranlanması ve logaritma özelliklerinin uygulanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2806Soru →

Gerçel sayılar kümesinin uygun alt kümelerinde tanımlı $f(x) = x^2 + 1$ ve $g(x) = \sqrt{x-1}$ fonksiyonlarının grafikleri, koordinat eksenleri ve $y = 5$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{94}{3}

\frac{112}{3}

\frac{124}{3}

\frac{140}{3}

52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{124}{3}$

Cevap

İstenen sınırlı bölgenin alanı \frac{124}{3} birimkaredir.

Grafikler dik koordinat sisteminde çizildiğinde, aranan bölgenin alanı

[0, 26] \times [0, 5]

boyutlarındaki dikdörtgenden, sol üstte kalan ve alanı

\frac{16}{3}

olan bölge ile sağ altta kalan ve alanı

\frac{250}{3}

olan bölgenin çıkarılmasıyla elde edilir. Bu fark

130 - \frac{266}{3} = \frac{124}{3}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonların kesim noktalarını belirlemek için denklemleri kurarız.

f(x) = x^2 + 1

eğrisi ile

y = 5

doğrusunun kesim noktasının apsisi:

x^2 + 1 = 5 \implies x = 2

olur (birinci bölgede çalışıldığından).

g(x) = \sqrt{x-1}

eğrisi ile

y = 5

doğrusunun kesim noktasının apsisi: \sqrt{x-1} = 5 \implies x - 1 = 25 \implies x = 26$ olur.

İntegral sınırlarını belirlemek ve bölgenin geometrik s��nırlarını anlamak için kesim noktaları gereklidir.

2

Aranan bölgenin alanını doğrudan x-eksenine göre entegre etmek yerine,

[0, 26] \times [0, 5]

dikdörtgeninin alanından istenmeyen bölgelerin alanlarını çıkarma stratejisini uygularız.

Çevreleyen dikdörtgenin alanı:

26 \times 5 = 130

birimkaredir.

Bu yöntem, çok parçalı integral işlemlerinden kaçınarak çözümü kolaylaştırır.

3

Dikdörtgenin içinde kalan ama aradığımız bölgeye dahil olmayan iki yardımcı alanın (

A_1

ve

A_2

) değerlerini hesaplarız.

Sol üstteki tamamlayıcı alan (

A_1

):

y

-ekseni,

y = 5

doğrusu ve

y = x^2 + 1

eğrisi aras��ndadır.

f^{-1}(y) = \sqrt{y-1}

kullanılarak:

A_1 = \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} \, dy = \left[ \frac{2}{3}(y-1)^{3/2} \right]_{1}^{5} = \frac{16}{3}

birimkare.
Sağ alttaki tamamlayıcı alan (

A_2

):

g(x) = \sqrt{x-1}

eğrisi,

x

-ekseni ve

x = 26

doğrusu arasındadır:

A_2 = \int_{1}^{26} \sqrt{x-1} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} \right]_{1}^{26} = \frac{250}{3}

birimkare.

İstenmeyen bu alanlar, ters fonksiyon ilişkisi ve temel belirli integral formülleriyle bulunur.

4

Dikdörtgenin toplam alanından bu iki alanı çıkartarak aradığımız alanı elde ederiz.

Alan =

130 - (A_1 + A_2) = 130 - \left( \frac{16}{3} + \frac{250}{3} \right) = 130 - \frac{266}{3} = \frac{124}{3}

birimkare.

Hedef bölgenin alanı, dikdörtgen alanı ile diğer iki bölgenin farkına eşittir.

Anahtar Kavram

Ters fonksiyon ilişkileri ve dikdörtgen tamamlama (tamamlayıcı alan) yöntemiyle belirli integral yardımıyla alan hesabı.

Alternatif Yöntem

Aranan alan, y-eksenine göre integral alınarak da hesaplanabilir.

y \in [0, 5]

aralığında sağ sınır

x = y^2 + 1

parabolü (

g^{-1}(y)

), sol sınır ise

y \in [0, 1]

için

x = 0

(y-ekseni) ve

y \in [1, 5]

için

x = \sqrt{y-1}

(

f^{-1}(y)

) eğrisidir. Buradan alan integral ifadesi olarak:

\text{Alan} = \int_{0}^{1} (y^2 + 1) \, dy + \int_{1}^{5} \left( (y^2 + 1) - \sqrt{y-1} \right) \, dy

şeklinde kurulur. Bu ifade düzenlenerek:

\text{Alan} = \int_{0}^{5} (y^2 + 1) \, dy - \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} \, dy = \frac{140}{3} - \frac{16}{3} = \frac{124}{3}

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2807Soru →

Kütlesi $0{}4\text{ kg}$ olan bir futbol topu, yatay doğrultuda $15\text{ m/s}$ süratle uçmakta iken bir oyuncunun kafasına çarpmış ve aynı doğrultuda zıt y��nde $10\text{ m/s}$ süratle geri dönmüştür. Buna göre, etkileşim sırasında oyuncunun kafasının topa uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Oyuncunun kafasının topa uyguladığı itmenin büyüklüğü

10\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

Topun momentumundaki değişim vektörel olarak hesaplandığında

\Delta P = P_{son} - P_{ilk} = -4 - 6 = -10\text{ N}\cdot\text{s}

bulunur. İtme çizgisel momentum değişimine eşit olduğundan, topa uygulanan itmenin büyüklüğü

10\text{ N}\cdot\text{s}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Topun hareket yönlerini belirleyerek ilk ve son çizgisel momentumlarını hesaplamak.

P_{ilk} = 6\text{ kg}\cdot\text{m/s}

ve

P_{son} = -4\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan hızların yönleri dikkate alınmalıdır. Geliş yönü pozitif (+) seçildiğinde geri dönüş yönü negatif (-) olur.

2

Momentum değişimini (itme) hesaplamak.

I = -10\text{ N}\cdot\text{s}

(Büyüklüğü

10\text{ N}\cdot\text{s}

)

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (

I = \Delta P = P_{son} - P_{ilk}

).

Anahtar Kavram

İtme ve çizgisel momentum değişimi arasındaki ilişki (

I = \Delta P

).

Soru 2808Soru →

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisinde $a_1 \cdot a_9 = 256$ ve $a_3 \cdot a_5 = 64$ eşitlikleri verilmektedir. Buna göre, aşağıdaki boşlukları uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Bu dizinin ortak çarpanı ve altıncı terimi (

a_6

) olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Ortak çarpan 2 ve altıncı terim 32'dir.

Verilen geometrik dizide

a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 256

eşitliğinden

a_5 = 16

bulunur.

a_3 \cdot a_5 = 64

eşitliğinden

a_3 = 4

elde edilir. Buradan ortak çarpan

r^2 = a_5 / a_3 = 4

olup pozitif terimli olduğu için

r = 2

bulunur. Son olarak altıncı terim

a_6 = a_5 \cdot r = 16 \cdot 2 = 32

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak

a_5

terimini bulma.

a_5 = 16

Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Bu nedenle

a_1 \cdot a_9 = a_5 \cdot a_5 = a_5^2

yazılabilir.

a_5^2 = 256

olduğundan ve dizi pozitif terimli verildiğinden

a_5 = 16

olur.

2

a_3 \cdot a_5 = 64

eşitliğini kullanarak

a_3

terimini bulma.

a_3 = 4

a_5 = 16

değeri eşitlikte yerine yazıldığında

a_3 \cdot 16 = 64

elde edilir, buradan

a_3 = 4

bulunur.

3

a_5 = a_3 \cdot r^2

bağınt��sını kullanarak ortak çarpanı (

r

) bulma.

r = 2

16 = 4 \cdot r^2

eşitliğinden

r^2 = 4

bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır, bu yüzden

r = 2

alınır.

4

a_6 = a_5 \cdot r

bağıntısıyla altıncı terimi bulma.

a_6 = 32

a_5 = 16

ve

r = 2

değerleri yerine yazılarak

a_6 = 16 \cdot 2 = 32

elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arası çarpım ilişkileri ve genel terim özellikleri

Soru 2809Soru →

Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, yerçekimi ivmesinin sabit ve aşağı yönlü olduğu bilinmektedir. Yerden eğik olarak fırlatılan bir cismin hareketi sırasında, hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açı $t$ anında $135^\circ$ , $3t$ anında ise $90^\circ$ olmaktadır.

Buna göre, cismin fırlatıldığı andaki hızının yatayla yaptığı açının tanjantı ( $\tan\theta_0$ ) kaçtır?

\frac{3}{2}

\frac{4}{3}

\frac{3}{4}

2

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{2}$

Cevap

Cismin fırlatıldığı andaki hızının yatayla yaptığı açının tanjantı \frac{3}{2}'dir.

Yerçekimi ivmesi düşey aşağı yönlü olduğundan, hız ile ivme arasındaki açının

135^\circ

olması hızın yatayla yukarı yönlü

45^\circ

açı yaptığına,

90^\circ

olması ise cismin tepe noktasında olup düşey hızının sıfır olduğuna işaret eder. Düşey hızın zamana göre doğrusal azalışından ilk düşey hız

v_{0y} = 3gt

,

t

anındaki düşey hız ise

2gt

bulunur.

t

anında yatayla

45^\circ

açı yapıldığı için yatay hız

v_x = 2gt

olur. Buradan ilk fırlatılma açısının tanjantı

\frac{v_{0y}}{v_x} = \frac{3}{2}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İvme ve hız vektörleri arasındaki açıların fiziksel anlamını belirlemek.

Yerçekimi ivmesi (g) düşey aşağı yönlüdür.

3t

anında hız ile ivme arasındaki açı

90^\circ

ise, cismin hızı yataydır (tepe noktasıdır) ve bu anda düşey hız sıfırdır:

v_y(3t) = 0

.

t

anında ise hız ile ivme arasındaki açı

135^\circ

ise, cisim yükselmektedir ve hız vektörü yatayla yukarı yönlü

135^\circ - 90^\circ = 45^\circ

açı yapmaktadır. Bu durumda

v_y(t) = v_x

olur.

Eğik atış hareketinde ivme vektörü her zaman yerçekimi ivmesi (g) olup düşey aşağı doğrudur. Hız vektörünün ivme ile yaptığı açılar, cismin hareket yönünü ve hız bileşenlerini belirlememizi sağlar.

2

Düşey hızın zamana bağlı denklemini yazmak ve

3t

anındaki duruma göre ilk düşey hızı belirlemek.

v_y(t') = v_{0y} - g \cdot t'

bağıntısından,

3t

anında

v_y(3t) = 0

olduğu için:

v_{0y} - 3gt = 0 \implies v_{0y} = 3gt

bulunur.

Düşey doğrultudaki hareket, yerçekimi ivmesiyle sabit ivmeli yavaşlayan harekettir. Tepe noktasında düşey hız sıfırlanır.

3

t

anındaki düşey hızı ilk düşey hız cinsinden bulmak ve yatay hızla ilişkilendirmek.

t

anındaki düşey hız:

v_y(t) = v_{0y} - gt = 3gt - gt = 2gt

olur. Birinci adımda

v_y(t) = v_x

olduğunu bulmuştuk. Buradan yatay hız bileşeni

v_x = 2gt

olarak elde edilir.

t

anında hız vektörünün yatayla

45^\circ

açı yapması, o andaki düşey hız bileşeni ile yatay hız bileşeninin büyüklükçe eşit olmasını gerektirir.

4

Fırlatılma anındaki hızın yatayla yaptığı açının tanjantını hesaplamak.

Cismin yatay hız bileşeni hareket boyunca sabittir:

v_{0x} = v_x = 2gt

. Fırlatılma açısı

\theta_0

için tanjant değeri:

\tan\theta_0 = \frac{v_{0y}}{v_{0x}} = \frac{3gt}{2gt} = \frac{3}{2}

bulunur.

Eğik atışta fırlatılma açısının tanjantı, ilk düşey hız bileşeninin yatay hız bileşenine oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Eğik atış hareketinde hız vektörünün bileşenleri, ivme vektörü ile yaptığı açılar ve zamanla değişimi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2810Soru →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde,

a_3 + a_{15} = 18

a_7 = 5

olduğuna göre, bu dizinin 12. terimi kaçtır?

13

15

17

19

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Dizinin 12. terimi 15'tir.

Verilen

a_3 + a_{15} = 18

eşitliğinde indislerin aritmetik ortalaması olan 9. terim

a_9 = 9

olarak bulunur. Daha sonra

a_7 = 5

bilgisiyle ortak fark

r = 2

olarak elde edilir. Bu bilgiler doğrultusunda 12. terim

a_{12} = a_9 + 3r = 9 + 6 = 15

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

a_3 + a_{15} = 18

eşitliğinde indis özellikleri kullanılarak

a_9

terimi bulunur.

a_3 + a_{15} = 2a_9 \implies 2a_9 = 18 \implies a_9 = 9

Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı da eşittir (

3 + 15 = 9 + 9

).

2

a_9 = 9

ve verilen

a_7 = 5

değerleri kullanılarak dizinin ortak farkı (

r

) bulunur.

a_9 = a_7 + 2r \implies 9 = 5 + 2r \implies 2r = 4 \implies r = 2

a_9

ve

a_7

terimleri arasındaki indis farkı 2'dir.

3

a_9 = 9

terimi ve

r = 2

ortak farkı kullanılarak

a_{12}

terimi hesaplanır.

a_{12} = a_9 + 3r \implies a_{12} = 9 + 3 \cdot 2 = 9 + 6 = 15

a_{12}

terimi,

a_9

teriminden 3 adım (indis farkı

12 - 9 = 3

) ileridedir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşitliği ve genel terim ilişkisi.

Soru 2811Soru →

Bir yazılım şirketi, geliştireceği yeni bir mobil uygulama için veritabanı, sunucu mimarisi ve güvenlik katmanı bileşenlerini seçecektir. Şirketin kullanabileceği bileşen sayıları aşağıda verilmiştir:

* $3$ farklı veritabanı seçeneği ( $V_1, V_2, V_3$ )
* $4$ farklı sunucu mimarisi seçeneği ( $S_1, S_2, S_3, S_4$ )
* $3$ farklı güvenlik katmanı seçeneği ( $G_1, G_2, G_3$ )

Aşağıdaki sol sütunda verilen uygulama bileşeni seçim senaryolarını, sağ sütunda verilen bu senaryolara uygun matematiksel sayma ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci senaryo

3 \times 4 \times 3 - 1 \times 4 \times 1

ifadesiyle, ikinci senaryo

3 \times 4 + 3

ifadesiyle, üçüncü senaryo ise

(3 \times 2 \times 1) + (3 \times 2 \times 3)

ifadesiyle eşleşir.

Verilen senaryoların her biri toplama ve çarpma yoluyla saymanın temel ilkelerine dayanmaktadır. Birinci senaryoda tüm durumlardan (

3 \times 4 \times 3

) kısıtlı durumlar (

1 \times 4 \times 1

) çıkarılarak doğru ifadeye ulaşılır. İkinci senaryoda iki ayrık olay 'ya da' bağlacıyla toplama kuralı gereği toplanır (

3 \times 4 + 3

). Üçüncü senaryoda ise sunucu seçimine göre iki ayrı durum incelenerek toplanır (

(3 \times 2 \times 1) + (3 \times 2 \times 3)

).

Adım Adım Çözüm

1

Birinci senaryo için tüm durumları ve kısıtlamaları belirlemek.

Herhangi bir kısıtlama olmaksızın yapılabilecek tüm seçimlerin sayısı

3 \times 4 \times 3 = 36

'dır.

V_1

ve

G_1

'in birlikte seçildiği istenmeyen durumların sayısı ise

1 \times 4 \times 1 = 4

'tür. Buradan geçerli durum sayısı

3 \times 4 \times 3 - 1 \times 4 \times 1

olarak bulunur.

Koşullu sayma problemlerinde tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak pratik bir yöntemdir.

2

İkinci senaryo için toplama ve çarpma kurallarını uygulamak.

Bir veritabanı ve bir sunucu mimarisi seçimi

3 \times 4

yolla yapılır. Sadece bir güvenlik katmanı seçimi ise

3

yolla yapılır. 'Ya da' bağlacı ayrık iki kümenin birleşimini ifade ettiğinden bu iki değer toplanır:

3 \times 4 + 3

.

Ayrık olayların gerçekleşme yollarının sayısını bulmak için toplama yoluyla sayma kuralı kullanılır.

3

Üçüncü senaryo için durumlara göre ayrı sayım yapmak.

Sunucunun

S_1

veya

S_2

olması durumunda seçim sayısı

3 \times 2 \times 1

'dir. Sunucunun

S_3

veya

S_4

olması durumunda ise seçim sayısı

3 \times 2 \times 3

'tür. Bu iki ayrık durumun toplamı

(3 \times 2 \times 1) + (3 \times 2 \times 3)

olarak ifade edilir.

Koşula bağlı olarak değişen durumlarda, her bir durumu kendi içinde çarpma yoluyla sayıp ardından toplamak gerekir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Prensipleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2812Soru →

Bir ekosistem araştırmasında, bir adadaki kuş türü sayısı $S$ ile adanın yüz ölçümü $A$ ( $\text{km}^2$ cinsinden) arasında $C$ ve $z$ pozitif sabitler olmak üzere,

\log S = \log C + z \cdot \log A

bağıntısı olduğu modellenmiştir.

Bu araştırma kapsamında incelenen adalardan:
* Yüz ölçümü $100\text{ km}^2$ olan birinci adada $50$ farklı kuş türü,
* Yüz ölçümü $10\,000\text{ km}^2$ olan ikinci adada $500$ farklı kuş türü

tespit edilmiştir.

**Buna göre, yüz ölçümü $400\text{ km}^2$ olan benzer özelliklerdeki üçüncü bir adada kaç farklı kuş türü bulunması beklenir?**

25

205

100

1000

200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Üçüncü adada bulunması beklenen kuş türü sayısı 100'dür.

Üçüncü adanın yüz ölçümü modelde yerine yazıldığında, logaritma kuralları (

a \log b = \log b^a

ve

\log x + \log y = \log(x \cdot y)

) doğru biçimde uygulandığında tür sayısı 100 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci ve ikinci adaya ait verileri model denklemine yerleştirerek iki denklem elde etmek.

Birinci ada için:

\log 50 = \log C + z \cdot \log 100 \Rightarrow \log 50 = \log C + 2z

İkinci ada için:

\log 500 = \log C + z \cdot \log 10\,000 \Rightarrow \log 500 = \log C + 4z

Modeldeki bilinmeyen

C

ve

z

sabitlerini bulabilmek için iki farklı durumun verilerini kullanırız.

2

Elde edilen denklemleri taraf tarafa çıkararak

z

sabitini hesaplamak.

(\log C + 4z) - (\log C + 2z) = \log 500 - \log 50

2z = \log\left(\frac{500}{50}\right) = \log 10 = 1 \Rightarrow z = 0,5

bulunur.

\log C

terimini yok etmek ve logaritmanın bölme özelliğini kullanarak

z

değerini çekmek için çıkarma işlemi yapılır.

3

z = 0,5

değerini denklemlerden birinde yerine yazarak

C

sabitini bulmak.

\log 50 = \log C + 2(0,5) \Rightarrow \log 50 = \log C + 1 \Rightarrow \log C = \log 50 - \log 10 = \log 5 \Rightarrow C = 5

bulunur.

Modeli tamamen belirlemek için diğer bilinmeyen sabiti de bulmamız gerekir.

4

Belirlenen

C = 5

ve

z = 0,5

değerlerini modelde yerine koyup

A = 400

için

S

değerini hesaplamak.

\log S = \log 5 + 0,5 \log 400 \Rightarrow \log S = \log 5 + \log(400^{0,5}) \Rightarrow \log S = \log 5 + \log 20 \Rightarrow \log S = \log(100) \Rightarrow S = 100

bulunur.

Üçüncü adadaki beklenen kuş türü sayısını elde etmek için güncel model kullanılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Soru 2813Soru →

Düşey bir duvar yüzeyinde bulunan $2\text{ kg}$ kütleli bir bloğa, duvara dik doğrultuda $30\text{ N}$ büyükl��ğünde yatay $\vec{F}$ kuvveti şekildeki gibi uygulanmaktadır.

Blok ile duvar arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,5$ , kinetik sürtünme katsayısı ise $\mu_k = 0,4$ olduğuna göre, blok serbest bırakıldıktan sonra ivmesinin büyüklüğü kaç $\text{m/s}^2$ olur? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

0

2,5

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bloğun ivmesinin büyüklüğü

4\text{ m/s}^2

olur.

Bloğun ağırlığı (

20\text{ N}

), maksimum statik sürtünme kuvveti olan

15\text{ N}

değerinden büyük olduğu için blok aşağı doğru kayar. Kayma hareketi sırasında bloğa etki eden kinetik sürtünme kuvveti

f_k = 0,4 \times 30 = 12\text{ N}

olur. Düşey doğrultudaki net kuvvet

20 - 12 = 8\text{ N}

olup, bloğun ivmesi

a = 8 / 2 = 4\text{ m/s}^2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bloğun ağırlığını ve duvara uygulanan normal kuvveti belirleme.

Bloğun ağırlığı

G = mg = 2 \times 10 = 20\text{ N}

(aşağı doğru). Duvarın uyguladığı normal (tepki) kuvveti

N = F = 30\text{ N}

(yatay doğrultuda).

Sürtünme kuvvetinin sınırlarını belirlemek ve hareket yönündeki kuvvetleri analiz etmek için.

2

Maksimum statik sürtünme kuvvetini hesaplama ve bloğun hareket durumunu kontrol etme.

Maksimum statik sürtünme kuvveti

f_{s,\text{max}} = \mu_s \times N = 0,5 \times 30 = 15\text{ N}

olarak bulunur. Bloğun ağırlığı (

20\text{ N}

), maksimum statik sürtünme kuvvetinden (

15\text{ N}

) büyük olduğu için blok aşağı doğru kayarak harekete başlar.

Bloğun dengede kalıp kalmayacağını veya kayıp kaymayacağını belirlemek için.

3

Hareket halindeki bloğa etki eden kinetik sürtünme kuvvetini hesaplama.

Kinetik sürtünme kuvveti

f_k = \mu_k \times N = 0,4 \times 30 = 12\text{ N}

(yukarı doğru).

Kayan cisimlere statik değil, kinetik sürtünme kuvveti etki ettiği için.

4

Düşey doğrultudaki net kuvveti ve bloğun ivmesini hesaplama.

F_{\text{net}} = G - f_k = 20 - 12 = 8\text{ N}

(aşağı doğru). Dinamiğin temel prensibine göre ivme:

a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{8}{2} = 4\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

Net kuvvet yardımıyla cismin ivmesini bulmak için.

Anahtar Kavram

Statik ve kinetik sürtünme kuvvetleri arasındaki fark ile düşey duvardaki normal kuvvetin belirlenmesi.

Soru 2814Soru →

Bir $E$ örnek uzayındaki $A$ ve $B$ olayları için

P(B \mid A) = \frac{2}{3}

P(A' \mid B') = \frac{3}{5}

P(A \cup B) = \frac{7}{8}

olduğuna göre, $P(A \mid B')$ olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

İstenen olasılık değeri 2/5 (veya 0,4) olarak bulunur.

Koşullu olasılık tanımına göre

P(A \mid B') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')}

yazılır. Gerekli adımlarla

P(B') = \frac{5}{24}

ve

P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{12}

değerleri elde edildikten sonra bu iki değerin oranı

\frac{1/12}{5/24} = \frac{2}{5}

veya

0{}4

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu olasılık tanımından faydalanarak B olayının tümleyeninin olasılığını bulmak.

P(B') = \frac{5}{24}

ve dolayısıyla

P(B) = \frac{19}{24}

P(A' \mid B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \frac{1 - P(A \cup B)}{1 - P(B)}

eşitliği kullanılarak

P(B')

elde edilir.

2

Verilen koşullu olasılık ve birleşim formüllerini kullanarak A olayının olasılığını belirlemek.

P(A) = \frac{1}{4}

ve

P(A \cap B) = \frac{1}{6}

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{3}

bağıntısı kesişimi A cinsinden yazmamızı sağlar. Birleşim formülü

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

kullanılarak tek bilinmeyenli denklem çözülür.

3

Aranan koşullu olasılık olan

P(A \mid B')

değerini hesaplamak.

P(A \mid B') = \frac{2}{5}

(veya

0{}4

)

P(A \mid B') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{P(B')}

formülü ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık tanımı, birleşim formülü ve De Morgan kurallarının küme kuramsal olarak uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2815Soru →

Durgun halden harekete başlayan bir drone, düşey doğrultuda yukarı yönde $8\text{ m/s}^2$ büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanmaktadır. Drone yerden $16\text{ m}$ yüksekliğe ulaştığı anda, üzerindeki bir paket drone'a göre serbest bırakılıyor. Drone ise aynı ivmeyle yükselmeye devam ediyor.

Hava direncinin önemsiz olduğu ortamda yer çekimi ivmesi $g = 10\text{ m/s}^2$ olduğuna göre; paket yere çarptığı anda, drone ile paket arasındaki düşey uzaklık kaç metredir?

64

80

128

144

160

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Paket yere çarptığı anda drone ile paket arasındaki düşey uzaklık 144 metredir.

Drone'ın 16 m yüksekliğe ulaşma süresi 2 saniyedir ve bu anda hızı yukarı yönde 16 m/s'dir. Drone'dan bırakılan paket, yukarı doğru 16 m/s hızla atılmış gibi hareket eder ve 4 saniyede yere düşer. Bu sırada drone 8 m/s² ivmeyle toplamda 6 saniye yükselerek 144 m yüksekliğe ulaşır. Paket yerde olduğu için aralarındaki mesafe de 144 m olur.

Adım Adım Çözüm

1

Drone'ın 16 m yüksekliğe ulaşma süresini (

t_1

) hesaplama.

t_1 = 2\text{ s}

h = \frac{1}{2} a t_1^2 \implies 16 = \frac{1}{2} (8) t_1^2 \implies t_1 = 2\text{ s}

bulunur.

2

Drone'ın bu andaki hızını (

v_1

) bulma.

v_1 = 16\text{ m/s}

v_1 = a t_1 = 8 \times 2 = 16\text{ m/s}

(yukarı yönlü).

3

Serbest bırakılan paketin hareket denklemini yazarak yere düşme süresini (

t_2

) hesaplama.

t_2 = 4\text{ s}

Paket drone'dan bırakıldığı anda drone'ın hızına sahip olur. Dolayısıyla yerden 16 m yükseklikten yukarı doğru 16 m/s ilk hızla fırlatılmış gibi hareket eder:

y(t_2) = 16 + 16 t_2 - 5 t_2^2 = 0 \implies 5 t_2^2 - 16 t_2 - 16 = 0 \implies (5 t_2 + 4)(t_2 - 4) = 0 \implies t_2 = 4\text{ s}

bulunur.

4

Drone'ın paket yere düşene kadar geçen toplam sürede (

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2

) ulaştığı yüksekliği hesaplama.

y_{\text{drone}} = 144\text{ m}

Drone toplamda

2 + 4 = 6\text{ s}

boyunca ivmelenmiştir:

y_{\text{drone}} = \frac{1}{2} a t_{\text{toplam}}^2 = \frac{1}{2} (8) (6^2) = 144\text{ m}

olur. Paket yerde (

y = 0

) olduğundan aralarındaki uzaklık da 144 metredir.

Anahtar Kavram

Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket ve Bağrel Hareket Entegrasyonu

Alternatif Yöntem

Drone'ın paket bırakıldıktan sonraki hareketi bağıl değişkenlerle de yazılabilir. Paket bırakıldıktan sonra drone'ın pakete göre ivmesi yukarı yönde

a_{\text{bağıl}} = a_{\text{drone}} - a_{\text{paket}} = 8 - (-10) = 18\text{ m/s}^2

olur. Paket bırakıldığı anda aralarındaki bağıl hız sıfırdır. Bu durumda aralarındaki uzaklık doğrudan

d = \frac{1}{2} a_{\text{bağıl}} t_2^2 = \frac{1}{2} (18) (4^2) = 144\text{ m}

bağıntısından saniyeler içinde bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2816Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_1^2 f(x) \, dx = 2

\int_2^3 f(x) \, dx = 6

\int_3^5 f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_2^3 f(2x-3) \, dx + \int_2^4 f(x-1) \, dx

toplamının değeri kaçtır?

11

14

12

16

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegrallerin doğru dönüşümlerle hesaplanıp toplanması sonucu elde edilen 12 değeri doğru cevaptır.

İlk integralde

u = 2x-3

dönüşümüyle sınırlar

1

ve

3

olur, diferansiyelden gelen

1/2

çarpanıyla integral değeri

4

bulunur. İkinci integralde

v = x-1

dönüşümüyle sınırlar

1

ve

3

olur ve integral değeri

8

bulunur. Bu iki değerin toplamı 12 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci integral olan

\int_2^3 f(2x-3) \, dx

için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = 2x-3

dönüşümü yapıldığında

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar ise

x=2

için

u=1

ve

x=3

için

u=3

olarak güncellenir. Böylece integral

\frac{1}{2} \int_1^3 f(u) \, du

şeklini alır.

Belirli integralde değişken değiştirme kuralı uygulanırken diferansiyel ve sınırların yeni değişkene göre dönüştürülmesi zorunludur.

2

Elde edilen birinci integral, verilen integral değerleri ve belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanır.

\frac{1}{2} \int_1^3 f(u) \, du = \frac{1}{2} \left( \int_1^2 f(x) \, dx + \int_2^3 f(x) \, dx \right) = \frac{1}{2} (2 + 6) = 4

bulunur.

İntegral sınırları

[1, 3]

aralığında olduğu için bu aralık verilen

[1, 2]

ve

[2, 3]

aralıklarına bölünerek hesaplanır.

3

İkinci integral olan

\int_2^4 f(x-1) \, dx

için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

v = x-1

dönüşümü yapıldığında

dv = dx

olur. Sınırlar ise

x=2

için

v=1

ve

x=4

için

v=3

olarak güncellenir. Böylece integral

\int_1^3 f(v) \, dv

şeklini alır.

Yatay öteleme özelliği gereği integral sınırları fonksiyonun tanım kümesindeki kayma miktarı kadar sola ötelenir.

4

İkinci integral hesaplanır ve bulunan iki integral değeri toplanarak sonuca ulaşılır.

I_2 = \int_1^3 f(v) \, dv = \int_1^2 f(x) \, dx + \int_2^3 f(x) \, dx = 2 + 6 = 8

bulunur. Toplam değer ise

4 + 8 = 12

olarak elde edilir.

Her iki integralin de sayısal değerleri bulunduktan sonra toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile integralin aralık bölme özelliği.

Soru 2817Soru →

Dik koordinat düzleminde, dik kenarları koordinat eksenleri üzerinde olan ve hipotenüsü $P(1, 8)$ noktasından geçen birinci bölgedeki bir dik üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?

8

12

16

18

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

Doğru cevap 16 birimkaredir. Hipotenüsü

P(1, 8)

noktasından geçen ve dik kenarları koordinat eksenleri üzerinde olan dik üçgenin alan fonksiyonu

A(a) = \frac{4a^2}{a-1}

şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde kritik nokta

a = 2

olarak bulunur. Fonksiyonda

a = 2

yazıldığında en küçük alan değeri 16 birimkare elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin eksenleri kestiği noktaları belirleyerek hipotenüs doğrusunun denklemini yazma

Dik üçgenin köşeleri

A(a, 0)

ve

B(0, b)

olsun (

a > 1, b > 0

). Bu noktalardan geçen hipotenüs doğrusunun denklemi

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

olur.

Hipotenüs doğrusunun üzerindeki noktaları ilişkilendirmek için doğru denklemi yazılmalıdır.

2

P(1, 8)

noktasını doğru denkleminde yerine yazarak

b

değişkenini

a

cinsinden ifade etme

\frac{1}{a} + \frac{8}{b} = 1 \implies \frac{8}{b} = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} \implies b = \frac{8a}{a-1}

elde edilir.

Alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı hale getirmek için değişkenler arasında bağıntı kurulur.

3

Üçgenin alan fonksiyonunu oluşturma

Alan(a) = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{8a}{a-1} = \frac{4a^2}{a-1}

bulunur.

Türev yardımıyla en k��çük değeri bulmak için alan fonksiyonu tanımlanmalıdır.

4

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulma

Alan'(a) = \frac{8a(a-1) - 4a^2 \cdot 1}{(a-1)^2} = \frac{4a^2 - 8a}{(a-1)^2} = 0 \implies 4a(a-2) = 0

olur.

a > 1

olduğu için

a = 2

bulunur.

Fonksiyonun yerel ekstremum (minimum) noktasını bulmak için türevinin kökleri incelenir.

5

Kritik noktayı alan fonksiyonunda yerine yazarak en küçük alan değerini hesaplama

Alan(2) = \frac{4(2^2)}{2-1} = 16

birimkare elde edilir.

Minimum alanın sayısal değerini bulmak için elde edilen

a = 2

değeri fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AO-GO) kullanılarak da çözülebilir:

\frac{1}{a} + \frac{8}{b} = 1 \geq 2\sqrt{\frac{8}{ab}} \implies 1 \geq \frac{32}{ab} \implies ab \geq 32

olur. Buradan üçgenin alanı

\text{Alan} = \frac{ab}{2} \geq 16

olarak doğrudan elde edilebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2818Soru →

\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

\frac{15}{8}

\frac{81}{4}

\frac{81}{8}

\frac{15}{4}

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{81}{8}$

Cevap

\frac{81}{8}

Doğru olan

\frac{81}{8}

cevabı,

u = x^2 - 1

değişken değiştirmesi yapılıp diferansiyel

x \, dx = \frac{du}{2}

olarak yazıldıktan sonra sınırlar

0

ve

3

olacak şekilde güncellenerek yapılan integral hesabı ile bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x^2 - 1

dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

ifadesi elde edilir.

İntegral içerisindeki karmaşık ifadeyi daha basit bir formda entegre edebilmek için içteki fonksiyona yeni bir değişken atanır.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0

ve üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3

bulunur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak değiştirilmesi gerekir.

3

Elde edilen yeni integral hesaplanır.

\int_{0}^{3} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{8} (3^4 - 0^4) = \frac{81}{8}

olarak hesaplanır.

İlkel fonksiyon bulunarak güncellenmiş sınırlar yerine yazılır ve belirli integralin değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel çarpanlarının doğru hesaplanması.

Soru 2819Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}

eğrisinin

x = 2

apsisli noktasındaki teğet doğrusu,

y = -3x + 5

doğrusuna paraleldir.

Bu teğet doğrusunun $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı $11$ olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Katsayıların çarpımı olan 2'dir.

Fonksiyonun türevi alındığında

f'(x) = \frac{-a-b}{(x-1)^2}

elde edilir.

x = 2

noktasındaki teğet doğrusu

y = -3x + 5

doğrusuna paralel olduğundan teğetin eğimi

-3

'tür. Buradan

f'(2) = -a - b = -3 \implies a + b = 3

bağıntısına ulaşılır. Teğet doğrusunun denklemi

y - f(2) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + f(2)

olarak yazılır. Doğrunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

11

olduğuna göre

6 + f(2) = 11 \implies f(2) = 5

olmalıdır. Fonksiyonda

x = 2

yazılarak

f(2) = 2a + b = 5

elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden

a = 2

,

b = 1

ve çarpımları

2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türev fonksiyonunu bulun.

f'(x) = \frac{a(x-1) - (ax+b)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-a - b}{(x-1)^2}

Teğet doğrusunun eğimi, teğet noktasındaki türev değerine eşit olduğundan fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.

2

x = 2

apsisli noktadaki teğetin eğimini, paralel olduğu doğrunun eğimine eşitleyin.

f'(2) = \frac{-a - b}{(2-1)^2} = -a - b = -3 \implies a + b = 3

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir ve

y = -3x + 5

doğrusunun eğimi

-3

'tür.

3

x = 2

noktasındaki teğet doğrusunun genel denklemini yazın.

y - f(2) = f'(2)(x - 2) \implies y - (2a + b) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 2a + b

Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi yazma kuralı uygulanır.

4

Teğet doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatını kullanarak ikinci bir denklem elde edin.

x = 0

için

y = 6 + 2a + b = 11 \implies 2a + b = 5

Bir doğrunun

y

eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde

x

yerine

0

yazılır.

5

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek katsayıları ve çarpımlarını bulun.

a + b = 3

ve

2a + b = 5

denklem sisteminin ortak çözümünden

a = 2

ve

b = 1

elde edilir. Buradan çarpım

a \cdot b = 2

bulunur.

Sistemdeki birinci denklem ikinci denklemden çıkarılarak

a

değeri, ardından yerine yazılarak

b

değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Alternatif Yöntem

Teğet doğrusunun denklemini eğimi

-3

ve

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

11

olduğu için doğrudan

y = -3x + 11

olarak yazabiliriz. Teğet noktasının apsisi

2

olduğundan bu noktadaki ordinat değeri

y = -3(2) + 11 = 5

olur. Dolayısıyla teğet noktası

(2, 5)

'tir. Bu nokta eğri üzerinde olduğundan

f(2) = 5

ve bu noktadaki türev değeri teğet doğrusunun eğimine eşit olduğundan

f'(2) = -3

olmalıdır. Buradan

a

ve

b

değerlerine ulaşılarak çarpımları hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2820Soru →

Aşağıda verilen parabol fonksiyonları ile bu fonksiyonların grafiklerinin koordinat eksenlerini kestiği noktalara ait özellikleri eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x) = x^2 - 4x - 5

fonksiyonunun belirttiği parabol

x

-eksenini farklı iki noktada keser ve bu noktalar arasındaki uzaklık

6

birimdir.

g(x) = -x^2 + 6x - 9

fonksiyonunun belirttiği parabol

x

-eksenine teğettir ve

y

-eksenini ordinatı

-9

olan noktada keser.

h(x) = 2x^2 + 4x + 3

fonksiyonunun belirttiği parabol

x

-eksenini kesmez ve

y

-eksenini ordinatı

3

olan noktada keser.

Verilen fonksiyonların

x=0

ve

y=0

değerleri için çözüm kümeleri bulunarak eksenleri kestiği noktalar tam olarak belirlenmiş ve eşleştirme bu özelliklere göre doğru şekilde yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 4x - 5

parabolünün eksenleri kestiği noktaları hesaplamak.

x

-eksenini kestiği noktalar için

x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -1

. Noktalar arası uzaklık:

|5 - (-1)| = 6

birimdir.

y

-eksenini kestiği nokta

(0, -5)

'tir.

Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla

y=0

ve

x=0

değerleri verilir.

2

g(x) = -x^2 + 6x - 9

parabolünün eksenleri kestiği noktaları hesaplamak.

x

-eksenini kestiği noktalar için

-x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow -(x-3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3

çift katlı kökü bulunur (teğetlik durumu).

y

-eksenini kestiği nokta

(0, -9)

'dur.

Tam kare ifadeler parabolün

x

-eksenine teğet olduğunu gösterir.

3

h(x) = 2x^2 + 4x + 3

parabolünün eksenleri kestiği noktaları hesaplamak.

x

-eksenini kestiği noktalar için

2x^2 + 4x + 3 = 0

denkleminde diskriminant

\Delta = 16 - 24 = -8 < 0

olduğundan parabol

x

-eksenini kesmez.

y

-eksenini kestiği nokta

(0, 3)

'tür.

Diskriminant sıfırdan küçük olduğunda reel kök yoktur, yani parabol

x

-eksenini kesmez.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulma ve eksenlerle olan geometrik ilişkisi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar