Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 481Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−12f(x) dx=10\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 10
olduğuna göre,
∫01(6x⋅f(x2−1)+6f(2x)) dx\int_{0}^{1} \left( 6x \cdot f(x^2 - 1) + 6f(2x) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İntegralin değeri 30'dur.
Verilen integral iki parçaya ayrılıp u=x2−1u = x^2 - 1 ve v=2xv = 2x değişken değiştirmeleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] olur. Bu iki integralin toplamı, belirli integralin aralık birleştirme kuralına göre [−1,2][-1, 2] aralığındaki integralin 3 katına eşit olur. Dolayısıyla doğru yanıt 3⋅10=303 \cdot 10 = 30 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazalım.
∫016x⋅f(x2−1) dx+∫016f(2x) dx\int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx + \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx
Her iki terim i��in farklı değişken değiştirme yöntemleri uygulanacaktır.
2
Birinci integral olan I1=∫016x⋅f(x2−1) dxI_1 = \int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx için u=x2−1u = x^2 - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
I1=3∫−10f(u) duI_1 = 3 \int_{-1}^{0} f(u) \, du
u=x2−1u = x^2 - 1 ise du=2x dxdu = 2x \, dx olur. Buradan 6x dx=3 du6x \, dx = 3 \, du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için u=−1u = -1 ve x=1x = 1 için u=0u = 0 olarak güncellenir.
3
İkinci integral olan I2=∫016f(2x) dxI_2 = \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx için v=2xv = 2x değişken değiştirmesini uygulayalım.
I2=3∫02f(v) dvI_2 = 3 \int_{0}^{2} f(v) \, dv
v=2xv = 2x ise dv=2 dxdv = 2 \, dx olur. Buradan 6 dx=3 dv6 \, dx = 3 \, dv elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için v=0v = 0 ve x=1x = 1 için v=2v = 2 olarak güncellenir.
4
Elde edilen I1I_1 ve I2I_2 integrallerini toplayarak ortak katsayı parantezine alalım ve integral aralıklarını birleştirelim.
I1+I2=3(∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx)=3∫−12f(x) dx=3⋅10=30I_1 + I_2 = 3 \left( \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right) = 3 \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 3 \cdot 10 = 30
Belirli integralin sınırları [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] birbirini tamamladığı için aralık bölme özelliği gereğince ∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx=∫−12f(x) dx\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve integral aralıklarının parçalanması/birleştirilmesi özellikleri
Soru 482Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+3f(x) = x^2 - ax + 3
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=x3−3x2+4x−2g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2
eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusuna diktir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a = 5 gerçel sayısıdır.
Parabolün ve eğrinin ilgili noktalardaki türevleri teğet doğrularının eğimlerini verir. Bu doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerin çarpımı -1'e eşitlenerek a = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−ax+3f(x) = x^2 - ax + 3 parabolünün x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla ifade etmek.
f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a olduğundan x=2x = 2 noktasındaki teğetin eğimi m1=f′(2)=4−am_1 = f'(2) = 4 - a olarak bulunur.
Bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)=x3−3x2+4x−2g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2 eğrisinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.
g′(x)=3x2−6x+4g'(x) = 3x^2 - 6x + 4 olduğundan x=1x = 1 noktasındaki teğetin eğimi m2=g′(1)=3(1)2−6(1)+4=1m_2 = g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 1 olarak bulunur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi, g(x)g(x) fonksiyonunun bu noktadaki türevidir.
3
Teğet doğrularının birbirine dik olması şartını kullanarak aa değerini hesaplamak.
m1⋅m2=−1  ⟹  (4−a)⋅1=−1  ⟹  4−a=−1  ⟹  a=5m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (4 - a) \cdot 1 = -1 \implies 4 - a = -1 \implies a = 5 elde edilir.
Dik kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğimleri ilişkisi
Soru 483Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinin elemanlarından rastgele seçilen iki farklı sayının toplamının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

Seçilen iki farklı sayının toplamının çift sayı olma olasılığı 0.4'tür.
Kümedeki 6 elemandan seçilen iki sayının toplamının çift sayı olması için iki sayının da tek ya da iki sayının da çift olması gerekir. Tüm durumların sayısı 15, istenen durumların sayısı ise 6'dır. Olasılık bu iki değerin birbirine oranı olan 0.4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası seçim durumlarının sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplama.
Tüm durumların sayısı 15'tir.
6 elemanlı bir kümeden sırasız bir şekilde seçilen 2 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak.
2
Toplamı çift sayı yapan eleman çiftlerinin sayısını hesaplama.
İstenen durumların sayısı 6'dır.
İki sayının toplamının çift olması için sayıların ya ikisinin de tek (3 tek sayıdan 2'sinin seçimi) ya da ikisinin de çift (3 çift sayıdan 2'sinin seçimi) olması gerekliliği.
3
İstenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlayarak olasılık değerine ulaşma.
Olasılık değeri 0.4'tür.
Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesi gerekmektedir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 484Soru →

Yatay ve sürtünmeli bir yüzeyde durmakta olan 4 kg4\text{ kg} kütleli bir cisme yatay doğrultuda 18 N18\text{ N} büyüklüğünde bir kuvvet uygulanmaktadır. Cisim ile yüzey arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0250{}25 olduğuna göre, cismin ivmesinin büyüklüğü kaç m/s2\text{m/s}^2 olur? (Yer çekimi ivmesini g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Cismin ivmesinin büyüklüğü 2 m/s22\text{ m/s}^2 olarak bulunur.
Cisme etki eden kinetik sürtünme kuvveti 10 N10\text{ N} olup hareket yönüne terstir. Net kuvvet 18−10=8 N18 - 10 = 8\text{ N} ve cismin kütlesi 4 kg4\text{ kg} olduğundan ivme 2 m/s22\text{ m/s}^2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kinetik sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü hesaplamak.
fs=10 Nf_s = 10\text{ N}
Sürtünmeli yüzeyde hareket eden cisimlerin ivmesini bulmak için öncelikle harekete ters yöndeki sürtünme kuvvetinin bulunması gerekir.
2
Cisme etki eden net yatay kuvveti bulmak.
Fnet=8 NF_{\text{net}} = 8\text{ N}
İvme, cisme etki eden net kuvvet doğrultusunda ve bu kuvvetle doğru orantılıdır.
3
Newton'ın ikinci yasasını kullanarak ivmeyi hesaplamak.
a=2 m/s2a = 2\text{ m/s}^2
Fnet=m⋅aF_{\text{net}} = m \cdot a bağıntısına göre ivme, net kuvvetin kütleye oranıdır.

Anahtar Kavram

Newton'ın İkinci Hareket Yasası ve Sürtünme Kuvveti
Soru 485Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫35(f(x)−2x) dx=−8\int_{3}^{5} (f(x) - 2x) \, dx = -8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 4 olarak bulunur.
İkinci denklem belirli integralin lineerlik özelliği ile parçalandığında elde edilen ∫352x dx\int_{3}^{5} 2x \, dx integralinin değeri 1616 olur. Buradan ∫35f(x) dx=8\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8 olarak bulunur. İlk denklemde verilen [1,5][1, 5] aralığı belirli integralin aralık bölme özelliğiyle [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olarak ikiye ayrıldığında, ∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx bağıntısı elde edilir. Sayısal değerler yerine konduğunda 12=∫13f(x) dx+812 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 eşitliğinden aranan integralin değeri 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integral ifadesini belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak parçalamak
∫35f(x) dx−∫352x dx=−8\int_{3}^{5} f(x) \, dx - \int_{3}^{5} 2x \, dx = -8
İntegrali sadeleştirip ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx terimini yalnız bırakabilmek için belirli integralin çıkarma özelliğini uyguladık.
2
∫352x dx\int_{3}^{5} 2x \, dx integralini hesaplamak
∫352x dx=[x2]35=25−9=16\int_{3}^{5} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{3}^{5} = 25 - 9 = 16
2x2x fonksiyonunun integralinin x2x^2 olduğunu bilerek sınır değerlerini yerine koyduk.
3
∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx değerini bulmak
∫35f(x) dx=8\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8
∫35f(x) dx−16=−8\int_{3}^{5} f(x) \, dx - 16 = -8 eşitliğinden bilinmeyen integral değerini çektik.
4
Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini uygulamak
∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx
[1,5][1, 5] aralığını 33 noktasına göre iki alt aralığa bölerek integral değerleri arasındaki ilişkiyi kurduk.
5
Verilen ve bulunan değerleri denklemde yerine koyup sonuca ulaşmak
12=∫13f(x) dx+8  ⟹  ∫13f(x) dx=412 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4
Bilinen değerleri yerine yazarak bizden istenen aralıktaki integral değerini hesapladık.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralin Lineerlik ve Aralık Bölme Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 486Soru →
Türevlenebilir gg fonksiyonu ve x≠0x \neq 0 olmak üzere, ff fonksiyonu
f(x)=x⋅g(x)−g(x)xf(x) = x \cdot g(x) - \frac{g(x)}{x}
kuralıyla verilmiştir.

g(2)=4g(2) = 4 ve g′(2)=6g'(2) = 6 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Çarpım ve bölüm türev kuralları uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında doğru yanıt 14 olarak bulunur.
Çarpım ve bölüm türevi kuralları sırasıyla uygulanıp türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında ve verilen g(2)=4g(2) = 4, g′(2)=6g'(2) = 6 değerleri yerleştirildiğinde f′(2)f'(2) değeri 1414 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x⋅g(x)−g(x)xf(x) = x \cdot g(x) - \frac{g(x)}{x} fonksiyonunun türevini alalım.
f′(x)=[g(x)+x⋅g′(x)]−g′(x)⋅x−g(x)x2f'(x) = [g(x) + x \cdot g'(x)] - \frac{g'(x) \cdot x - g(x)}{x^2}
İlk terimde çarpım kuralı, ikinci terimde ise bölüm kuralı uygulanmıştır.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazalım.
f′(2)=[g(2)+2⋅g′(2)]−2⋅g′(2)−g(2)4f'(2) = [g(2) + 2 \cdot g'(2)] - \frac{2 \cdot g'(2) - g(2)}{4}
f′(2)f'(2) değerini hesaplamak için xx yerine 22 yazılır.
3
g(2)=4g(2) = 4 ve g′(2)=6g'(2) = 6 değerlerini yerleştirip işlemi tamamlayalım.
f′(2)=[4+2(6)]−2(6)−44=16−2=14f'(2) = [4 + 2(6)] - \frac{2(6) - 4}{4} = 16 - 2 = 14
Verilen sayısal değerler yerine konulur ve temel aritmetik işlemler yapılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kuralları
Soru 487Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=3y2−3y−6x = 3y^2 - 3y - 6 ve x=6+3y−3y2x = 6 + 3y - 3y^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 27 birimkaredir.
Kesişim noktaları y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olarak bulunduktan sonra, [−1,2][-1, 2] aralığında sağda olan x=6+3y−3y2x = 6 + 3y - 3y^2 eğrisinden solda olan x=3y2−3y−6x = 3y^2 - 3y - 6 eğrisi çıkarılarak elde edilen 12+6y−6y212 + 6y - 6y^2 ifadesinin bu aralıktaki belirli integrali hesaplandığında alan 27 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalar��nın y koordinatlarını bulmak için denklemler eşitlenir.
y=−1y = -1 ve y=2y = 2
İntegral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları hesaplanmalıdır.
2
Sınırlar arasında hangi eğrinin sağda olduğunu belirlemek için aralıktan bir değer seçilerek kontrol edilir.
x=6+3y−3y2x = 6 + 3y - 3y^2 parabolü sağdadır.
Alan hesabında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.
3
Alan hesabı için belirli integral kurulur.
Alan=∫−12(12+6y−6y2) dy\text{Alan} = \int_{-1}^{2} (12 + 6y - 6y^2) \, dy
İki eğri arasında kalan alan, sağdaki eğrinin denkleminden soldakinin çıkarılmasıyla elde edilen ifadenin integralidir.
4
İntegral alınır ve sınırlar yerine konarak alan hesaplanır.
Alan = 27
Belirli integral kuralları uygulanarak alanın sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını y eksenine göre integral alarak hesaplama.
Soru 488Soru →

Analitik düzlemde, koordinatları x,y∈{1,2,3,4,5,6}x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olan 36 nokta arasından rastgele seçilen iki farklı noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin bir tam sayı olma olasılığı, en sade haliyle ab\frac{a}{b} kesri olarak ifade edilmektedir. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 473

Cevap

Seçilen iki noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin bir tam sayı olma olasılığı en sade halde 158315\frac{158}{315} olup, pay ve paydanın toplamı 473'tür.
Seçilen iki noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin tam sayı olması için y-koordinatları farkının, sıfırdan farklı olan x-koordinatları farkına tam bölünmesi gerekir. Bu durumlar her x farkı (d) için tek tek incelendiğinde 316 uygun durum bulunur. Toplam durum sayısı olan 630'a bölündüğünde en sade olasılık kesri 158/315 elde edilir. Buradan pay ve paydanın toplamı 473 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası nokta çiftlerinin sayısını hesaplama
Tüm olas�� durumların sayısı 630'dur.
36 nokta arasından 2 farklı nokta kombinasyon yöntemiyle seçilir.
2
Eğimi tam sayı yapan y-koordinatı farklarını analiz etme
x-koordinatları farkı d iken, y-koordinatları farkı d'nin katı olmalıdır.
Eğim formülü m = (y2 - y1)/(x2 - x1) olduğundan eğimin tam sayı olması bu farkların birbirini bölmesini gerektirir.
3
Her d değeri için uygun y çiftlerini bulup toplama
Toplam uygun durum sayısı 316'dır.
d = 1, 2, 3, 4, 5 durumları için olası y farklarını tek tek inceleyip topladık.
4
En sade olasılık değerinden a + b toplamını bulma
a + b = 473
Olasılık 316/630 = 158/315 olup en sade kesirdir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 489Soru →

Bir torbada 11'den 1010'a kadar numaralandırılmış 1010 kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının asal sayı olduğu bilindiğine göre, bu sayının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Çekilen kartın üzerindeki sayının asal sayı olduğu bilindiğinde, bu sayının tek sayı olma olasılığı 0,75'tir.
Çekilen kartın asal sayı olduğu bilindiği için yeni örnek uzayımız 44 elemanlı {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} kümesidir. Bu kümedeki tek sayılar {3,5,7}\{3, 5, 7\} olmak üzere 33 tanedir. Dolayısıyla olasılık 34=0,75\frac{3}{4} = 0,75 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul kümesini (yeni örnek uzayı) belirleme
Asal sayılar kümesi: A={2,3,5,7}A = \{2, 3, 5, 7\} ve eleman sayısı s(A)=4s(A) = 4
Çekilen kartın asal sayı olduğu bilindiği için olası tüm durumlar sadece asal sayılardan oluşabilir.
2
İstenen olayın elemanlarını belirleme
Hem asal hem de tek olan sayılar kümesi: B={3,5,7}B = \{3, 5, 7\} ve eleman sayısı s(B)=3s(B) = 3
Koşul kümesi içinden tek sayı olan elemanlar seçilmelidir.
3
Koşullu olasılığ�� hesaplama
P(Tek∣Asal)=s(B)s(A)=34=0,75P(\text{Tek} | \text{Asal}) = \frac{s(B)}{s(A)} = \frac{3}{4} = 0,75
İstenen durum sayısının koşul durum sayısına bölünmesiyle koşullu olasılık elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 490Soru →
aa bir gerçel sayı ve nn bir pozitif çift tam sayı olmak üzere,
(x2−ax)n\left(x^2 - \frac{a}{x}\right)^n
ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı 11 ve sabit terim 240240'tır.

Buna göre, bu açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -160

Cevap

Açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 olur.
Katsayılar toplamı bağıntısı kullanılarak a=2a = 2 değeri saptanır. Ardından sabit terimin 240240 olması koşulundan n=6n = 6 ve r=4r = 4 değerlerine ulaşılır. Son adımda x3x^3 lü terimi veren r=3r = 3 değeri genel terim formülünde yerine yazılarak aranan katsayı −160-160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı formülünü uygulamak ve aa değerini belirlemek.
a=2a = 2 (çünkü a=0a = 0 durumunda sabit terim sıfır olurdu).
Katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılarak (1−a)n=1(1-a)^n = 1 eşitliği elde edilir. nn çift olduğundan 1−a=±11-a = \pm 1 denklemi çözülür.
2
Genel terim formülünü yazarak değişkenin kuvvetini düzenlemek.
Genel terim: (nr)(−2)rx2n−3r\binom{n}{r} (-2)^r x^{2n - 3r} olarak bulunur.
Binom açılımının genel terim formülü uygulanarak üslü ifadeler sadeleştirilir.
3
Sabit terim bilgisini kullanarak nn ve rr değerlerini bulmak.
n=6n = 6 ve r=4r = 4 olarak elde edilir.
Sabit terim için 2n−3r=02n - 3r = 0 olmalıdır. nn çift olduğundan 66'nın katı olması gerektiği tespit edilir ve deneme yoluyla n=6n=6 için sabit terimin 240240 olduğu doğrulanır.
4
x3x^3 lü terimin katsayısını hesaplamak.
Katsayı −160-160 olarak hesaplanır.
2n−3r=32n - 3r = 3 eşitliğinde n=6n=6 yazıldığında r=3r=3 bulunur. Genel terimde r=3r=3 konularak katsayı değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Katsayılar Toplamı, Sabit Terim ve Belirli bir Terimin Katsayısını Bulma
Soru 491Soru →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2
olduğuna göre,
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İstenen integral işleminin sonucu 10'dur.
Verilen fonksiyonel denklemden fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır. Bu periyot özelliği kullanılarak sınırları daha büyük olan integral terimleri [0,4][0, 4] periyot aralığı cinsinden parçalanır ve ortak [1,2][1, 2] aralığı sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun periyodiklik özelliğinin belirlenmesi
f(x)=f(x+4)f(x) = f(x+4) eşitliği elde edilerek fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır.
İntegral sınırlarını kaydırabilmek ve periyot özelliğini kullanabilmek için.
2
Periyot aralığındaki integral değerinin hesaplanması
[0,4][0, 4] aralığındaki integral değeri 12 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki yanının [0,2][0, 2] aralığında entegre edilmesi ve değişken değiştirme uygulanması ile tam bir periyottaki integral değerine ulaşmak amacıyla.
3
İstenen integral ifadesinin parçalanması
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx=12+∫02f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 12 + \int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesi elde edilir.
Sınırları [0,4][0, 4] periyot uzunluğuna göre sadeleştirmek için.
4
Fark integralinin ortak aralıklar kullanılarak basitleştirilmesi
∫02f(x) dx−∫13f(x) dx=∫01f(x) dx−∫23f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{2}^{3} f(x) \, dx olduğu görülür.
[1,2][1, 2] aralığındaki ortak integral değerlerinin sadeleşmesini sağlamak için.
5
Kayıp aralıktaki integral değerinin bulunması
∫23f(x) dx=4\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4 olarak hesaplanır.
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6 eşitliği [0,1][0, 1] aralığında entegre edilip verilen ∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 değeri kullanılarak.
6
Nihai sonucun elde edilmesi
İşlemin sonucu 12+(2−4)=1012 + (2 - 4) = 10 olarak bulunur.
Bulunan tüm değerlerin sadeleştirilmiş ana ifadede yerine konulması amacıyla.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınır kaydırma, periyodik fonksiyonların integrali ve değişken değiştirme özellikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 492Soru →

Bir okulun basketbol takımında 5 oyun kurucu ve 6 pivot olmak üzere toplam 11 oyuncu bulunmaktadır. Bu oyuncular arasından 4 kişilik bir antrenman kadrosu seçilecektir.

Seçilecek bu kadroda en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot bulunması gerektiğine göre, bu kadro kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250

Cevap

Antrenman kadrosu 250 farklı şekilde oluşturulabilir.
Seçilecek 4 kişilik kadroda en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot bulunması koşulu, (1 oyun kurucu, 3 pivot) veya (2 oyun kurucu, 2 pivot) durumlarının gerçekleşmesini gerektirir. Bu durumların kombinasyon sayıları hesaplanıp toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara uygun olası oyuncu da��ılımlarını belirlemek.
(1 oyun kurucu, 3 pivot) veya (2 oyun kurucu, 2 pivot)
Toplam 4 oyuncu seçileceği, en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot gerektiği için bu iki durum dışında koşulları sağlayan başka bir dağılım yoktur.
2
1 oyun kurucu ve 3 pivot seçimi için kombinasyon hesabını yapmak.
100 farklı seçim
5 oyun kurucu arasından 1 kişi ve 6 pivot arasından 3 kişi seçilmesi gerektiğinden C(5, 1) * C(6, 3) = 5 * 20 = 100 hesaplanır.
3
2 oyun kurucu ve 2 pivot seçimi için kombinasyon hesabını yapmak.
150 farklı seçim
5 oyun kurucu arasından 2 kişi ve 6 pivot arasından 2 kişi seçilmesi gerektiğinden C(5, 2) * C(6, 2) = 10 * 15 = 150 hesaplanır.
4
Elde edilen seçim sayılarını toplamak.
250
Belirlenen iki durum ayrık olaylar olduğu için toplam seçim sayısı bu durumların ayrı ayrı kombinasyon değerlerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) problemleri ve koşullu seçimler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 493Soru →

Kütlesi 2 kg2\text{ kg} olan bir cisim, düşey doğrultuda yukarı doğru 30 N30\text{ N} büyükl��ğündeki sabit bir kuvvetle çekilmektedir. Yerçekimi ivmesi g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 olduğuna göre, cismin ivmesi kaç m/s2\text{m/s}^2 büyüklüğündedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Cismin ivmesi 5 m/s25\text{ m/s}^2 büyüklüğündedir.
Düşey doğrultuda yukarı doğru uygulanan 30 N30\text{ N} büyüklüğündeki kuvvete karşılık, cismin aşağı doğru 20 N20\text{ N} büyüklüğünde yerçekimi kuvveti (ağırlığı) bulunur. Net kuvvet zıt yönlü bu iki kuvvetin farkı olan 10 N10\text{ N} büyüklüğündedir. Fnet=m⋅aF_{net} = m \cdot a bağıntısından cismin ivmesi 5 m/s25\text{ m/s}^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Cismin ağırlığını hesaplamak
Cismin ağırlığı G=20 NG = 20\text{ N} olarak bulunur.
Düşey doğrultudaki hareketlerde yerçekimi kuvveti (ağırlık) net kuvvete etki eder.
2
Net kuvveti hesaplamak
Net kuvvet Fnet=10 NF_{net} = 10\text{ N} olarak bulunur.
Yukarı yönlü çekme kuvveti ile aşağı yönlü ağırlık zıt yönlü olduğu için çıkartılır.
3
Cismin ivmesini hesaplamak
Cismin ivmesi a=5 m/s2a = 5\text{ m/s}^2 olarak bulunur.
Newton'ın ikinci hareket yasasına göre ivme, net kuvvetin kütleye oranıdır (a=Fnetma = \frac{F_{net}}{m}).

Anahtar Kavram

Newton'ın İkinci Hareket Yasası ve Düşey Doğrultuda Net Kuvvet Analizi
Soru 494Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun x=3x = 3 apsisli noktasındaki normal doğrusu, g(x)=x3−2x2+ax+bg(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasında teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a + b toplamının değeri 5'tir.
f(x)f(x)'in x=3x=3 noktasındaki teğet eğimi 22 olduğundan normal doğrusunun eğimi −12-\frac{1}{2}'dir. A(3,3)A(3,3) noktasından geçen bu normal doğrusunun denklemi y=−12x+92y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olarak elde edilir. Bu doğru g(x)g(x)'e x=1x=1 noktasında teğet olduğu için türev değeri teğet eğimine eşit olmalıdır: g′(1)=a−1=−12  ⟹  a=12g'(1) = a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2}. Teğet noktası doğrunun üzerinde yer aldığından (1,4)(1, 4) noktasıdır. Bu nokta g(x)g(x) üzerinde de bulunduğundan g(1)=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies a+b-1 = 4 \implies a+b = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimini ve buna bağlı olarak normal doğrusunun eğimini hesaplayınız.
f′(x)=2x−4  ⟹  f′(3)=2f'(x) = 2x - 4 \implies f'(3) = 2 olur. Normal doğrusunun eğimi mn=−12m_n = -\frac{1}{2} olarak elde edilir.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
2
Parabol üzerindeki normal noktasını belirleyip normal doğrusunun denklemini kurunuz.
f(3)=3f(3) = 3 olduğundan normal doğrusu (3,3)(3, 3) noktasından geçer. Denklemi y−3=−12(x−3)  ⟹  y=−12x+92y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 3) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olur.
Bir doğrunun denklemini yazmak için eğimi ve geçtiği bir nokta kullanılır.
3
Normal doğrusunun g(x)g(x) eğrisine x=1x = 1 noktasında teğet olması bilgisini kullanarak aa parametresini bulunuz.
g′(x)=3x2−4x+a  ⟹  g′(1)=a−1g'(x) = 3x^2 - 4x + a \implies g'(1) = a - 1 olur. Eğim −12-\frac{1}{2} olduğundan a−1=−12  ⟹  a=12a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2} bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının koordinatlarını g(x)g(x) fonksiyonunda yerine yazarak a+ba + b değerini hesaplayınız.
x=1x = 1 için teğet doğrusunun ordinatı y=−12(1)+92=4y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{9}{2} = 4 olur. g(1)=4  ⟹  13−2(1)2+a+b=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies 1^3 - 2(1)^2 + a + b = 4 \implies a + b - 1 = 4 \implies a + b = 5 elde edilir.
Teğet noktası hem teğet doğrusunun hem de fonksiyon eğrisinin üzerinde yer alır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumunda teğet ve normal doğrularının eğimleri ile denklemlerinin oluşturulması ve ortak teğet ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 495Soru →
[1,7][1, 7] kapalı aralığında sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10
ve
∫25f(2x−3) dx=8\int_{2}^{5} f(2x - 3) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫47(f(x)+2) dx\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Belirli integralin özellikleri kullanılarak elde edilen sonuç 12'dir.
Verilen ikinci integralde değişken değiştirme yapılarak sınırların güncellenmesiyle [1,7][1, 7] aralığındaki integral değeri 16 olarak bulunur. Ardından aralık bölme özelliği kullanılarak [4,7][4, 7] aralığındaki integral değeri 6 olarak elde edilir. Son olarak doğrusal parçalama ile bu değere sabit olan 2 sayısının aynı aralıktaki integrali (yani 6) eklenerek doğru cevap 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanarak sınırlar ve ifade düzenlenir.
∫17f(x) dx=16\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 16
u=2x−3u = 2x - 3 dönüşümüyle sınırları ve diferansiyel ifadesini (dx=du2dx = \frac{du}{2}) güncellemek için.
2
Belirli integralin sınırları bölme özelliği uygulanarak bilinmeyen aralıktaki integral değeri hesaplanır.
∫47f(x) dx=6\int_{4}^{7} f(x) \, dx = 6
[1,7][1, 7] aralığındaki integrali [1,4][1, 4] ve [4,7][4, 7] aralıklarına bölerek bilinen değerlerden yararlanmak için.
3
İstenen integral ifadesi doğrusal olarak parçalanarak hesaplanır.
∫47(f(x)+2) dx=12\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx = 12
Toplama halindeki integral ifadesini fonksiyonun integrali ile sabit terimin integralinin toplamı şeklinde yazıp hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme, aralık bölme ve doğrusallık özellikleri
Soru 496Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x2−4x−2,x<2ax+b,2≤x≤5x2−3x−10x−5,x>5f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x < 2 \\ ax + b, & 2 \le x \le 5 \\ \frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}, & x > 5 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

f fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarda limitlerinin ve fonksiyon değerlerinin eşit olması gerekir. Buradan elde edilen denklem sisteminin çözümünden a = 1 ve b = 2 bulunur. Dolayısıyla a * b çarpımının değeri 2'dir.
Fonksiyonun x = 2 noktasındaki sol limiti 4 ve x = 5 noktasındaki sağ limiti 7'dir. Süreklilik tanımı gereği, bu noktalardaki fonksiyon değerleri de sırasıyla bu limit değerlerine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen 2a + b = 4 ve 5a + b = 7 denklemleri çözüldüğünde a = 1 ve b = 2 bulunur. Çarpımları ise 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 2 kritik noktasındaki süreklilik şartını incelemek için sol limit ile fonksiyon değerini eşitleyin.
2a + b = 4 denklemi elde edilir.
x = 2 noktasında fonksiyonun sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x < 2 için f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) ifadesi x - 2 sadeleştirmesi ile x + 2 olur ve sol limit 4 olarak bulunur.
2
x = 5 kritik noktasındaki süreklilik şartını incelemek için sağ limit ile fonksiyon değerini eşitleyin.
5a + b = 7 denklemi elde edilir.
x = 5 noktasında fonksiyonun sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x > 5 için f(x) = (x^2 - 3x - 10)/(x - 5) ifadesi x - 5 sadeleştirmesi ile x + 2 olur ve sağ limit 7 olarak bulunur.
3
Elde edilen 2a + b = 4 ve 5a + b = 7 denklem sistemini çözerek a ve b değerlerini bulun.
a = 1 ve b = 2 olarak bulunur. Buradan a * b = 2 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa çıkararak a'yı, ardından yerine yazarak b'yi bulup çarpım değerini hesaplarız.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarında tanımlı olması, bu noktalarda limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Ayrıca rasyonel ifadelerde tanımsızlık oluşturan sadeleşebilir çarpanlar limit hesabında dikkate alınmalıdır.
Soru 497Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, üç basamaklı abcabc doğal sayıları yazılacaktır.

Buna göre, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin de��erinin tek sayı olduğu kaç farklı abcabc doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 132

Cevap

Koşulları sağlayan abcabc doğal sayılarının toplam sayısı 132'dir.
Toplam sonucunun tek sayı olması için toplanan terimlerden birinin çift, diğerinin tek olması gerekir. Bu bağlamda, cc tek iken a⋅ba \cdot b çarpımının çift olduğu durumlar (96 adet) ile cc çift iken a⋅ba \cdot b çarpımının tek olduğu durumlar (36 adet) ayrı ayrı hesaplanarak toplanır ve 132 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
cc sayısının tek, a⋅ba \cdot b çarpımının çift olduğu birinci durumu hesaplamak.
cc için 4 seçenek ve a⋅ba \cdot b çarpımının çift olması için 24 seçenek bulunarak bu durumdan 4×24=964 \times 24 = 96 farklı sayı elde edilir.
Toplama işleminin sonucunun tek sayı çıkması için toplanan iki ifadeden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
cc sayısının çift, a⋅ba \cdot b çarpımının tek olduğu ikinci durumu hesaplamak.
cc için 3 seçenek ve hem aa hem de bb sayısının tek olması için 12 seçenek bulunarak bu durumdan 3×12=363 \times 12 = 36 farklı sayı elde edilir.
a⋅ba \cdot b çarpımının tek sayı çıkması ancak ve ancak her iki çarpanın da tek sayı olmasıyla mümkündür.
3
Elde edilen durum sayılarını toplamak.
Toplamda 96+36=13296 + 36 = 132 farklı sayı yazılabilir.
Belirlenen iki durum birbirini dışlayan (ayrık) olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma kurallarının ayrık durum analizleri ile birlikte basamaklı sayı oluşturma problemlerine uygulanması.
Soru 498Soru →

Analitik düzlemde A(0,0)A(0,0) noktasında bulunan bir hareketli, yalnızca 1 birim sağa veya 1 birim yukarı doğru hareket ederek en kısa yoldan B(4,4)B(4,4) noktasına ulaşmak istemektedir. Bu hareketli, yolculuğu boyunca üst üste en fazla iki kez aynı yönde adım atabilmektedir (yani güzergâhında yan yana 3 tane sağa veya 3 tane yukarı adımı bulunmamaktadır). Buna göre, bu hareketlinin AA noktasından BB noktasına gidebileceği kaç farklı yol vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

İstenen koşullara uygun yolların toplam sayısı 34'tür.
Doğru cevap, kısıtlamasız tüm yolların sayısından (70), en az 3 ardışık sağa adımı veya en az 3 ardışık yukarı adımı içeren istenmeyen yolların sayısının (36) kapsama-dışlama ilkesiyle çıkarılması sonucu 34 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam atılması gereken sağa (S) ve yukarı (Y) adım sayılarını belirleyip tüm olası yolların sayısını hesaplamak.
Toplam 8 adım (4 sağa, 4 yukarı) atılmalıdır. Kısıtlamasız yolların sayısı: 8!4!⋅4!=70\frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70 olur.
Referans alınacak kısıtlamasız durum sayısını tekrarlı permütasyonla bulmak için.
2
Koşulları sağlamayan (istenmeyen) durumları tanımlamak ve küme sembollerini belirlemek.
En az bir tane 'SSS' içeren yolların kümesi AA, en az bir tane 'YYY' içeren yolların kümesi BB olsun. İstenen durum sayısı: 70−∣A∪B∣=70−(∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣)70 - |A \cup B| = 70 - (|A| + |B| - |A \cap B|) formül��yle modellenir.
Kural ihlallerini kapsama-dışlama ilkesiyle matematiksel olarak ifade etmek için.
3
Yalnızca S adımlarının kuralı ihlal ettiği durumların sayısı olan ∣A∣|A| değerini hesaplamak.
1) Tek blok 'SSSS' için 5!1!⋅4!=5\frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5 durum; 2) İki ayrı blok 'SSS' ve 'S' için (52)⋅2!=20\binom{5}{2} \cdot 2! = 20 durum vardır. Toplamda ∣A∣=25|A| = 25 olur. Simetriden dolayı ∣B∣=25|B| = 25 elde edilir.
Harfleri gruplandırarak istenmeyen durumların her birinin ayrı ayrı eleman sayılarını bulmak için.
4
Hem S hem de Y adımlarının kuralı ihlal ettiği ortak durumların sayısı olan ∣A∩B∣|A \cap B| kesişim kümesini hesaplamak.
Farklı blok tiplerinin alternatif dizilimleri analiz edilerek: 2 (Durum 1)+2 (Durum 2)+2 (Durum 3)+8 (Durum 4)=142 \text{ (Durum 1)} + 2 \text{ (Durum 2)} + 2 \text{ (Durum 3)} + 8 \text{ (Durum 4)} = 14 durum bulunur.
Kapsama-dışlama formülünde iki kez çıkarılan durumları geri eklemek amacıyla kesişim kümesini bulmak için.
5
Kapsama-dışlama formülünü uygulayarak nihai doğru cevaba ulaşmak.
∣A∪B∣=25+25−14=36|A \cup B| = 25 + 25 - 14 = 36 ve İstenen Yol Sayısı = 70−36=3470 - 36 = 34 olarak bulunur.
Tüm durumlardan istenmeyen durumların birleşimini çıkartıp sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Kapsama-Dışlama İlkesi
Soru 499Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin %60\%60'ı İngilizce, %50\%50'si Almanca ve %30\%30'u ise her iki dili de konuşabilmektedir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce konuşabildiği bilindiğine g��re, bu öğrencinin Almanca da konuşabiliyor olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

İngilizce konuşabildiği bilinen bir öğrencinin Almanca da konuşabiliyor olma olasılığı 0,5'tir.
İngilizce konuşabildiği bilinen bir öğrencinin Almanca da konuşabilmesi olasılığı, her iki dili de konuşanların oranının İngilizce konuşanların oranına bölünmesiyle bulunur. Buradan 0306=05\frac{0{}3}{0{}6} = 0{}5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıftaki öğrencilerin dil bilme oranlarını olasılık değerleri cinsinden yazalım.
İngilizce konuşanlar için P(I˙)=06P(\dot{I}) = 0{}6 ve her iki dili de konuşanlar için P(A∩I˙)=03P(A \cap \dot{I}) = 0{}3 elde edilir.
Soruda verilen yüzde oranlarını olasılık değerlerine dönüştürerek koşullu olasılık formülünü uygulamak için zemin hazırlarız.
2
Koşullu olasılık formülünü kullanarak istenen olasılığı hesaplayalım.
P(A∣I˙)=P(A∩I˙)P(I˙)=0306=05P(A | \dot{I}) = \frac{P(A \cap \dot{I})}{P(\dot{I})} = \frac{0{}3}{0{}6} = 0{}5 bulunur.
Öğrencinin İngilizce bildiği kesin olduğundan, örnek uzayımız İngilizce bilenler kümesiyle sınırlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Alternatif Yöntem

Kişi sayısı üzerinden de gidilebilir. Sınıf mevcudu 100 kişi kabul edilirse; İngilizce konuşan 60 kişi, Almanca konuşan 50 kişi ve her iki dili de konuşan 30 kişi olur. Seçilen öğrencinin İngilizce konuştuğu bilindiğine göre yeni örnek uzayımız İngilizce konuşan 60 kişidir. Bu 60 kişiden 30'u Almanca da bildiğinden, istenen olasılık 3060=12=05\frac{30}{60} = \frac{1}{2} = 0{}5 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 500Soru →

A torbasında 33 mavi ve 22 kırmızı bilye, B torbasında ise 22 mavi ve 44 kırmızı bilye bulunmaktadır. Önce A torbasından rastgele seçilen iki bilye B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından rastgele seçilen iki bilye A torbasına atılıyor. Son durumda A torbasındaki mavi bilye sayısının başlangıçtaki mavi bilye sayısı ile aynı olduğu bilindiğine göre, A torbasından B torbasına atılan bilyelerin farklı renklerde olma olasılığı en sade haliyle ab\frac{a}{b} (aa ve bb pozitif tam sayılar) olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

Son durumda A torbasında başlangıçtaki kadar mavi bilye kalması koşulu altında, ilk adımda farklı renkte bilyelerin aktarılmış olma olasılığı en sade şekliyle 30/41 olup, pay ve paydanın toplamı 71'dir.
Son durumda A'da 3 mavi bilye bulunması koşulu, tüm olası durumların (2 mavi aktarılması, 1 mavi 1 kırmızı aktarılması veya 2 kırmızı aktarılması durumları) uygun geri dönüş olasılıklarıyla çarpılıp toplanmasıyla elde edilen 123/280 olasılığına sahip bir koşuldur. Bu koşul altında ilk aktarımda farklı renk bilyelerin (1 mavi, 1 kırmızı) seçilmiş olma olasılığı, bu duruma ait ortak olasılığın (90/280) toplam koşul olasılığına (123/280) bölünmesiyle 30/41 olarak bulunur. En sade haliyle yazılan bu kesrin pay ve paydanın toplamı 30 + 41 = 71 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A torbasından B torbasına bilye aktarımı için olası durumları ve bu durumların olasılıklarını hesaplama
2 mavi bilye aktarma olasılığı 3/10; 1 mavi, 1 kırmızı bilye aktarma olasılığı 6/10; 2 kırmızı bilye aktarma olasılığı 1/10 olarak bulunur.
İlk aktarımda A torbasından seçilebilecek bilye kombinasyonlarının olasılıklarını belirlemek için kombinasyon kullanılır.
2
Her bir aktarım durumu için, son durumda A'daki mavi bilye sayısının 3 olmasını sağlayacak geri aktarım olasılıklarını ve bu durumların ortak olasılıklarını hesaplama
2 mavi aktarıldığında A'da tekrar 3 mavi kalma ortak olasılığı 18/280; farklı renk aktarıldığında 90/280; 2 kırmızı aktarıldığında ise 15/280 olarak hesaplanır.
Koşulun gerçekleşmesini sağlayan tüm olası yolların ortak olasılıklarını elde etmek gerekir.
3
Koşulun (son durumda A'da 3 mavi bilye bulunması) gerçekleşme olasılığını bulma
P(A'da 3 Mavi) = 18/280 + 90/280 + 15/280 = 123/280.
Koşullu olasılık formülündeki payda değerini (koşulun gerçekleşme olasılığını) bulmak için tüm ortak olasılıklar toplanır.
4
Koşullu olasılık formülüyle farklı renkte bilye aktarılmış olma olasılığını bulma
Olasılık = (90/280) / (123/280) = 30/41 olarak bulunur.
Verilen koşul altında istenen durumun olasılığını bulmak için Bayes teoremi / daraltılmış örnek uzay mantığı uygulanır.
5
Elde edilen en sade kesrin pay ve paydanın toplamını hesaplama
30 + 41 = 71.
Soruda istenen a + b toplamını bulmak için sadeleştirilmiş kesrin pay ve payda değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

İki yönlü bilye aktarımı içeren ve örnek uzayın daraltılmasını gerektiren koşullu olasılık hesabı
ÖncekiSayfa 25 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin