Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1041Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu daima artan, gg fonksiyonu ise daima azalandır.
f(3)=g(3)f(3) = g(3)
olduğuna göre,
I. f(4)>g(4)f(4) > g(4)
II. f(x)−g(x)f(x) - g(x) fonksiyonu daima artandır.
III. f(x)+g(x)f(x) + g(x) fonksiyonu daima artandır.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri kesinlikle doğrudur.
Doğru seçenekte yer alan birinci öncül, artan ve azalan fonksiyonların tanımları gereği f(4)>f(3)=g(3)>g(4)f(4) > f(3) = g(3) > g(4) sıralamasıyla kesin olarak doğrulanır. İkinci öncül ise, herhangi x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) ve −g(x1)<−g(x2)-g(x_1) < -g(x_2) eşitsizliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla f(x)−g(x)f(x) - g(x) fark fonksiyonunun daima artan olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların artanlık ve azalanlık tanımlarını kullanarak birinci öncülü analiz edin.
ff fonksiyonu daima artan olduğundan, 4>34 > 3 için f(4)>f(3)f(4) > f(3) elde edilir. gg fonksiyonu daima azalan olduğundan, 4>34 > 3 için g(4)<g(3)g(4) < g(3) elde edilir.
Artan fonksiyonlarda tanım kümesindeki elemanlar büyüdükçe görüntüleri de büyür; azalan fonksiyonlarda ise elemanlar büyüdükçe görüntüleri küçülür.
2
Verilen eşitliği kullanarak elde edilen eşitsizlikleri birleştirin.
f(3)=g(3)f(3) = g(3) olduğundan, f(4)>f(3)=g(3)>g(4)  ⟹  f(4)>g(4)f(4) > f(3) = g(3) > g(4) \implies f(4) > g(4) elde edilir. Dolayısıyla birinci öncül kesinlikle doğrudur.
Her iki fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki değerlerinin eşit olması, bu noktadan sonraki değerlerin kıyaslanmasını sağlar.
3
İki fonksiyonun farkı olan h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) fonksiyonunun artanlığını tanım kullanarak inceleyin.
Herhangi x1<x2x_1 < x_2 gerçel sayıları için; ff artan olduğundan f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) olur. gg azalan olduğundan g(x1)>g(x2)  ⟹  −g(x1)<−g(x2)g(x_1) > g(x_2) \implies -g(x_1) < -g(x_2) olur. Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplandığında f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)  ⟹  h(x1)<h(x2)f(x_1) - g(x_1) < f(x_2) - g(x_2) \implies h(x_1) < h(x_2) elde edilir.
Eşitsizliklerin yönü aynı olduğundan taraf tarafa toplanabilirler ve bu durum h(x)h(x) fonksiyonunun daima artan olduğunu kanıtlar. Dolayısıyla ikinci öncül kesinlikle doğrudur.
4
İki fonksiyonun toplamı olan f(x)+g(x)f(x) + g(x) fonksiyonunun artanlığını bir karşıt örnekle inceleyin.
f(x)=2xf(x) = 2x (daima artan) ve g(x)=−3xg(x) = -3x (daima azalan) olsun. Bu durumda f(x)+g(x)=−xf(x) + g(x) = -x olur. Ancak −x-x fonksiyonu daima azalandır, artan değildir.
Bulunan karşıt örnek, artan ve azalan iki fonksiyonun toplamının daima artan olmak zorunda olmadığını gösterir. Dolayısıyla üçüncü öncül kesinlikle doğru değildir.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların tanımı ile eşitsizlik ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1042Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu daima artandır.
g(x)=f(x3−3x2−9x+12)g(x) = f(x^3 - 3x^2 - 9x + 12)
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [a,b][a, b] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen a+ba + b toplamı 22 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=f′(x3−3x2−9x+12)⋅(3x2−6x−9)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9) ifadesinde ff daima artan olduğundan ilk çarpan daima pozitiftir. Dolayısıyla g′(x)≤0g'(x) \le 0 olması için ikinci çarpanın 3x2−6x−9≤03x^2 - 6x - 9 \le 0 olması gerekir. Bu eşitsizlik [−1,3][-1, 3] aralığındaki gerçel sayılar için sağlandığından en geniş azalanlık aralığı [−1,3][-1, 3] olur. Buradan a=−1a = -1, b=3b = 3 bulunur ve toplamları 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak
g′(x)=f′(x3−3x2−9x+12)⋅(3x2−6x−9)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9)
Fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
Dış fonksiyonun türevinin işaretini belirlemek
f′(u)>0f'(u) > 0 (her uu gerçel sayısı için)
ff fonksiyonu daima artan olarak tanımlandığı için türevi daima pozitiftir.
3
İçteki fonksiyonun türevinin işaret tablosunu oluşturmak
3x2−6x−9≤0  ⟹  x∈[−1,3]3x^2 - 6x - 9 \le 0 \implies x \in [-1, 3]
g′(x)≤0g'(x) \le 0 olmasını sağlayan aralığı bulmak için bu eşitsizliği çözeriz.
4
aa ve bb değerlerini bulup toplamı hesaplamak
a=−1a = -1, b=3  ⟹  a+b=2b = 3 \implies a + b = 2
[−1,3][-1, 3] aralığının uç noktaları aa ve bb olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevinin sıfırdan küçük veya eşit olması ve bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı uygulaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1043Soru →

Dik koordinat düzleminde, kolları yukarı doğru olan ve yy-eksenini negatif kısımda kesen bir f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,c)C(0, c) olarak adlandırılıyor. Bu parabolün tepe noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenini CC noktası dışında D(0,1)D(0, 1) noktasında kesmektedir.

Bu çemberin yarıçapı 55 birim ve parabolün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 88 birim olduğuna göre, parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -13

Cevap

Parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı -13'tür.
Koordinat düzleminde çemberin geometrik özellikleri kullanılarak merkez koordinatları M(3,−3)M(3, -3) ve parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−1,0)A(-1, 0), B(7,0)B(7, 0), C(0,−7)C(0, -7) olarak belirlenir. Bu noktaları sağlayan başkatsayısı pozitif parabol denklemi f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 olarak kurulur. Tepe noktası T(3,−16)T(3, -16) olup, koordinatları toplamı −13-13 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin merkezinin ordinatını (yMy_M) belirleme.
yM=−3y_M = -3 ve c=−7c = -7
C(0,c)C(0, c) ve D(0,1)D(0, 1) noktaları çember üzerinde ve yy-eksenindedir. Bu iki noktanın orta noktası çemberin merkezinin ordinatını verir: yM=c+12y_M = \frac{c+1}{2}. ABAB kirişinin uzunluğu 88 birim olduğundan yarı uzunluğu 44 birimdir. Yarıçapı 55 birim olan çemberde merkezden xx-eksenine (kirişe) olan dik uzaklık Pisagor teoreminden yM2+42=52  ⟹  yM2=9  ⟹  yM=±3y_M^2 + 4^2 = 5^2 \implies y_M^2 = 9 \implies y_M = \pm 3 olur. Parabol yy-eksenini negatif kısımda kestiği için c<0c < 0 olmalıdır. yM=3  ⟹  c=5>0y_M = 3 \implies c = 5 > 0 (geçersiz) ve yM=−3  ⟹  c=−7<0y_M = -3 \implies c = -7 < 0 (geçerli) elde edilir.
2
Çemberin merkezinin apsisini (xMx_M) belirleme.
xM=3x_M = 3
Çemberin denklemi (x−xM)2+(y+3)2=25(x - x_M)^2 + (y + 3)^2 = 25 şeklindedir. D(0,1)D(0, 1) noktası çember üzerinde olduğundan (0−xM)2+(1+3)2=25  ⟹  xM2+16=25  ⟹  xM2=9  ⟹  xM=±3(0 - x_M)^2 + (1 + 3)^2 = 25 \implies x_M^2 + 16 = 25 \implies x_M^2 = 9 \implies x_M = \pm 3 bulunur. Parabolün tepe noktası dördüncü bölgede olduğundan simetri ekseninin apsisi r=xM>0r = x_M > 0 olmalıdır. Dolayısıyla xM=3x_M = 3 seçilir.
3
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları bulma.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=7x_2 = 7
Çemberin merkezi M(3,−3)M(3, -3) ve xx-eksenindeki kirişinin yarı uzunluğu 44 birim olduğundan, kesişim noktaları 3−4=−13 - 4 = -1 ve 3+4=73 + 4 = 7 olarak elde edilir.
4
Parabol denklemini kurma ve tepe noktasını bulma.
f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 ve T(3,−16)T(3, -16)
Kökleri −1-1 ve 77 olan parabol f(x)=a(x+1)(x−7)f(x) = a(x + 1)(x - 7) şeklindedir. f(0)=c=−7  ⟹  a(1)(−7)=−7  ⟹  a=1f(0) = c = -7 \implies a(1)(-7) = -7 \implies a = 1 bulunur. Buradan parabol f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 olarak elde edilir. Tepe noktası T(r,k)T(r, k) için r=3r = 3 ve k=f(3)=32−6(3)−7=−16k = f(3) = 3^2 - 6(3) - 7 = -16 olur.
5
Tepe noktasının koordinatları toplamını hesaplama.
3+(−16)=−133 + (-16) = -13
Soruda istenen tepe noktasının koordinatları toplamını elde etmek için apsis ve ordinat toplanır.

Anahtar Kavram

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Soru 1044Soru →

Aşağıdaki Tanzimat Dönemi Türk edebiyatına ait roman ve hikaye türündeki eserleri, yayımlanma (ilk baskı) tarihlerine göre kronolojik olarak eskiden yeniye doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eserlerin kronolojik olarak yayımlanma sırası: Letaif-i Rivayat (1870) - Felatun Bey ile Râkım Efendi (1875) - Sergüzeşt (1888) - Karabibik (1890) şeklindedir.
Verilen eserlerin yayımlanma yılları sırasıyla Letaif-i Rivayat (1870), Felatun Bey ile Râkım Efendi (1875), Sergüzeşt (1888) ve Karabibik (1890) şeklindedir. Dolayısıyla doğru sıralama Letaif-i Rivayat, Felatun Bey ile Râkım Efendi, Sergüzeşt ve Karabibik olarak gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Letaif-i Rivayat eserinin yayımlanma tarihini belirleyiniz.
Letaif-i Rivayat, Ahmet Mithat Efendi tarafından yazılmış olup 1870 yılında yayımlanmıştır.
Eserlerin en eskisini tespit ederek sıralamayı başlatmak gerekir.
2
Felatun Bey ile Râkım Efendi romanının yayımlanma tarihini belirleyiniz.
Felatun Bey ile Râkım Efendi, Ahmet Mithat Efendi'nin 1875 yılında yayımlanmış olan romanıdır.
İlk hikaye kitabından sonra yayımlanan bu roman sıralamada ikinci sırada yer alır.
3
Tanzimat II. Dönem eserleri olan Sergüzeşt ve Karabibik romanlarının tarihlerini karşılaştırarak sıralamayı tamamlayınız.
Samipaşazade Sezai'nin Sergüzeşt romanı 1888 yılında, Nabizade Nazım'ın Karabibik romanı ise 1890 yılında yayımlanmıştır.
Sergüzeşt (1888), Karabibik (1890) romanından daha önce yayımlandığı için sıralamada Karabibik'in önünde yer almalıdır.

Anahtar Kavram

Tanzimat Dönemi roman ve hikaye türünün kronolojik gelişim aşamaları ve önemli eserlerinin yayımlanma tarihleri.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1045Soru →

Sol sütunda verilen parabol denklemlerini, sağ sütunda verilen ve bu parabollerin eksenleri kestiği noktalarla ilişkili olan geometrik özelliklerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 parabolü
g(x)=−x2+6x−8g(x) = -x^2 + 6x - 8 parabolü
h(x)=12x2−3x+4h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 parabolü

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x)f(x) parabolü eksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin merkez koordinatları (2,−2)(2, -2) olan ifadeyle, g(x)g(x) parabolü tepe noktası, orijin ve yy eksenini kestiği noktanın oluşturduğu üçgenin alanı 1212 birimkare olan ifadeyle, h(x)h(x) parabolü ise eksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin merkez koordinatları (3,3)(3, 3) olan ifadeyle eşleşir.
Sol sütundaki fonksiyonların eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktaları analitik yöntemlerle doğru bir şekilde belirlenip, sağ sütundaki çember merkez koordinatları ve üçgen alan bağıntılarıyla eşleştirildiğinde tam uyum sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve bu noktalardan geçen çemberin merkezini hesaplama.
Eksenleri kestiği noktalar A(−1,0)A(-1, 0), B(5,0)B(5, 0) ve C(0,−5)C(0, -5)'tir. Bu noktalardan geçen çemberin denklemi x2+y2−4x+4y−5=0x^2 + y^2 - 4x + 4y - 5 = 0 olup merkez koordinatları M(2,−2)M(2, -2)'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için y=0y=0 ve x=0x=0 değerleri verilir. Üç noktadan geçen çemberin genel denklemi x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 kullanılarak katsayılar bulunur ve merkez koordinatları (−D2,−E2)(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) formülüyle elde edilir.
2
g(x)=−x2+6x−8g(x) = -x^2 + 6x - 8 parabolünün tepe noktasını, yy eksenini kestiği noktayı belirleme ve oluşan üçgenin alanını hesaplama.
yy eksenini kestiği nokta F(0,−8)F(0, -8) ve tepe noktası T(3,1)T(3, 1)'dir. O(0,0)O(0,0), T(3,1)T(3,1) ve F(0,−8)F(0,-8) noktalarından oluşan üçgenin alanı 1212 birimkaredir.
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=3r = -\frac{b}{2a} = 3 ve ordinatı k=g(3)=1k = g(3) = 1 olarak bulunur. Üçgenin tabanı yy ekseni üzerinde [0,−8][0, -8] aralığında olup 88 birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise tepe noktasının apsisi olan 33 birimdir. Buradan alan 12⋅8⋅3=12\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 birimkare çıkar.
3
h(x)=12x2−3x+4h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve bu noktalardan geçen çemberin merkezini hesaplama.
Eksenleri kestiği noktalar K(2,0)K(2, 0), L(4,0)L(4, 0) ve M(0,4)M(0, 4)'tür. Bu noktalardan geçen çemberin denklemi x2+y2−6x−6y+8=0x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8 = 0 olup merkez koordinatları M′(3,3)M'(3, 3)'tür.
Parabol denkleminde y=0y=0 yazılarak xx eksenini kestiği noktalar, x=0x=0 yazılarak yy eksenini kestiği nokta bulunur. Bu üç noktadan geçen çemberin denklemi çözülerek merkez koordinatları belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve analitik geometri uygulamaları

Alternatif Yöntem

Çemberlerin merkez koordinatlarını bulmak için çemberin genel denklemini yazmak yerine, eksenleri kestiği noktalar olan A,B,CA, B, C noktalarının orta dikmelerinin kesişim noktası bulunarak da çemberin merkezine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1046Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)=min⁡(x2−4x+6, x+2)f(x) = \min(x^2 - 4x + 6, \ x + 2)
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [0,5][0, 5] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Fonksiyonun alabileceği en büyük değer ile en küçük de��erin toplamı 9'dur.
Kesişim noktaları belirlendikten sonra [0,5][0, 5] aralığında fonksiyonun en küçük değerinin 22 (hem x=0x = 0 hem de x=2x = 2 için) ve en büyük değerinin 77 (x=5x = 5 için) olduğu tespit edilir. Bu iki değerin toplamı 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiklerin kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki ifadeyi birbirine eşitleyin.
x2−4x+6=x+2  ⟹  (x−1)(x−4)=0x^2 - 4x + 6 = x + 2 \implies (x - 1)(x - 4) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=1x = 1 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Fonksiyonun hangi aralıklarda hangi kuralı takip edeceğini belirlemek için kesişim noktaları kritik sınırlardır.
2
Aralıkları parçalara ayırarak fonksiyonun kurallarını belirleyin.
[0,1][0, 1] aralığında f(x)=x+2f(x) = x + 2, [1,4][1, 4] aralığında f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6, [4,5][4, 5] aralığında f(x)=x+2f(x) = x + 2 olur.
Minimum fonksiyonunun tanımı gereği, her aralıkta görüntüsü daha küçük olan fonksiyon kuralı seçilir.
3
Her alt aralıkta en büyük ve en küçük değerleri inceleyin.
[0,1][0, 1] aralığında değerler 22 ile 33 arasındadır. [1,4][1, 4] aralığında tepe noktasında en küçük değer 22 olur. [4,5][4, 5] aralığında değerler 66 ile 77 arasındadır.
Alt aralıklardaki yerel ekstremumları ve sınır değerlerini belirlemek genel maksimum ve minimumu bulmayı sağlar.
4
Genel maksimum ve minimum değerleri belirleyip toplayın.
En büyük değer 77, en küçük değer 22 olup toplamları 7+2=97 + 2 = 9 bulunur.
Tüm alt aralıklardaki en büyük ve en küçük değerlerin karşılaştırılmasıyla mutlak ekstremum değerlerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlanan veya iki fonksiyonun minimumu/maksimumu şeklinde verilen fonksiyonların, sınır noktaları ve kritik noktaları (kesişim noktaları ve parabol tepe noktası) incelenerek en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1047Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5
fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 15 birimkaredir.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(-1, 0), B(5, 0) ve C(0, -5) noktalarıdır. Taban uzunluğu 6 birim ve bu tabana ait yükseklik 5 birim olan üçgenin alanı 15 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y-eksenini kestiği noktayı bulmak amacıyla fonksiyonda x yerine 0 yazılır.
f(0) = 0^2 - 4(0) - 5 = -5 olduğundan y-eksenini kestiği nokta C(0, -5) olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenini kestiği noktada apsis değeri sıfırdır.
2
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları bulmak amacıyla f(x) = 0 denklemi çözülür.
x^2 - 4x - 5 = 0 denklemi (x - 5)(x + 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x = 5 ve x = -1 bulunur. Noktalar A(-1, 0) ve B(5, 0) olarak elde edilir.
Bir fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalarda ordinat değeri sıfırdır.
3
Elde edilen A(-1, 0), B(5, 0) ve C(0, -5) noktalarını köşe kabul eden üçgenin alanı hesaplanır.
Üçgenin tabanı x-ekseni üzerinde olup uzunluğu |AB| = 5 - (-1) = 6 birimdir. Yüksekliği ise y-ekseni üzerinde olup uzunluğu |OC| = |-5| = 5 birimdir. Buradan alan = (6 * 5) / 2 = 15 birimkare bulunur.
Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması ve bu noktalarla geometrik şekillerin alanlarının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Üçgenin köşe koordinatları bilindiğinde, analitik geometrideki koordinatları bilinen üçgenin alan formülü (determinant yöntemi) kullanılarak da alan doğrudan hesaplanabilir: Alan = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| formülünde noktalar yerine yazıldığında Alan = 0.5 * |-1(0 - (-5)) + 5(-5 - 0) + 0(0 - 0)| = 0.5 * |-5 - 25| = 15 birimkare elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1048Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 33 olarak verilmiştir.

gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
g(x)=f(2x−1)+x2g(x) = f(2x - 1) + x^2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

g fonksiyonunun belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızı 10'dur.
Doğru cevap olan 10 değeri, ortalama değişim hızı tanımından yola çıkılarak bulunur. ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki hızı 3 olduğundan f(5)−f(1)=12f(5) - f(1) = 12 elde edilir. gg fonksiyonunun sınır değerleri farkı g(3)−g(1)=f(5)−f(1)+8=20g(3) - g(1) = f(5) - f(1) + 8 = 20 olur. Bu fark aralık boyu olan 2'ye bölündüğünde ortalama değişim hızı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı formülü yaz��lır ve verilen değer yerine konur.
f(5)−f(1)5−1=3  ⟹  f(5)−f(1)=12\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = 3 \implies f(5) - f(1) = 12
gg fonksiyonunun değişimini hesaplarken kullanılacak olan f(5)−f(1)f(5) - f(1) farkını bulmak için.
2
gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı form��lü yazılır.
Ortalama Deg˘is¸im Hızı=g(3)−g(1)3−1\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1}
İstenen aralıktaki ortalama değişim hızı tanımını uygulamak için.
3
g(3)g(3) ve g(1)g(1) değerleri tanımlanan fonksiyonda yerlerine yazılarak ff cinsinden elde edilir.
g(3)=f(2⋅3−1)+32=f(5)+9g(3) = f(2 \cdot 3 - 1) + 3^2 = f(5) + 9
g(1)=f(2⋅1−1)+12=f(1)+1g(1) = f(2 \cdot 1 - 1) + 1^2 = f(1) + 1
gg fonksiyonunun sınır değerlerini belirlemek için.
4
g(3)−g(1)g(3) - g(1) farkı hesaplanır ve f(5)−f(1)=12f(5) - f(1) = 12 eşitliği yerine yazıl��r.
g(3)−g(1)=(f(5)+9)−(f(1)+1)=f(5)−f(1)+8=12+8=20g(3) - g(1) = (f(5) + 9) - (f(1) + 1) = f(5) - f(1) + 8 = 12 + 8 = 20
gg fonksiyonunun bu aralıktaki toplam değişim miktarını belirlemek için.
5
Toplam değişim miktarı, aralık genişliği olan 3−1=23 - 1 = 2 değerine bölünerek ortalama değişim hızı hesaplanır.
Ortalama Deg˘is¸im Hızı=202=10\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{20}{2} = 10
Nihai ortalama değişim hızını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Özel bir doğrusal fonksiyon seçilerek modelleme yapılabilir. f(x)f(x) fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı 33 olduğundan f(x)=3xf(x) = 3x alınabilir. Bu durumda g(x)=3(2x−1)+x2=x2+6x−3g(x) = 3(2x - 1) + x^2 = x^2 + 6x - 3 olur. g(x)g(x)'in [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı ise g(3)−g(1)3−1=(9+18−3)−(1+6−3)2=24−42=10\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \frac{(9 + 18 - 3) - (1 + 6 - 3)}{2} = \frac{24 - 4}{2} = 10 olarak hızlıca hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1049Soru →

Sol sütunda verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda verilen ve bu parabollerin eksenleri kestiği noktalarla ilgili olan özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−9f(x) = x^2 - 9
g(x)=(x+2)2g(x) = (x + 2)^2
h(x)=x2−x−6h(x) = x^2 - x - 6

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki parabol denklemleri sırasıyla sağ sütundaki uygun kesim noktası özellikleri ile eşleştirilmiştir.
Verilen fonksiyonlarda sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri konularak eksenleri kestiği noktalar tespit edilmiş ve eşleştirmeler doğru yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün eksen kesim noktalarını hesaplama
f(x)=x2−9f(x) = x^2 - 9 parabolü için yy-keseni (0,−9)(0, -9) ve xx-kesenleri (−3,0)(-3, 0) ile (3,0)(3, 0)'dır.
x=0x = 0 verilerek yy-eksenini kestiği nokta, y=0y = 0 verilerek xx-eksenini kestiği noktalar bulunur.
2
İkinci parabolün eksen kesim noktalarını hesaplama
g(x)=(x+2)2g(x) = (x + 2)^2 parabolü için yy-keseni (0,4)(0, 4) ve teğet noktası (−2,0)(-2, 0)'dır.
Tam kare ifadelerin diskriminantı sıfır olduğundan xx-eksenine teğettirler.
3
Üçüncü parabolün eksen kesim noktalarını hesaplama
h(x)=(x−3)(x+2)h(x) = (x - 3)(x + 2) parabolü için xx-kesenleri (−2,0)(-2, 0) ve (3,0)(3, 0)'dır.
İkinci dereceden ifadenin kökleri çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunarak eksen kesişim koordinatları belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik olarak bulunması ve yorumlanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1050Soru →
Dik koordinat düzleminde, bb ve cc gerçek sayılar ve c>0c > 0 olmak üzere,
f(x)=−12x2+bx+cf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c
fonksiyonunun grafiği olan parabol xx-eksenini farklı AA ve BB noktalarında, yy-eksenini ise CC noktasında kesmektedir.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenini CC noktasından farklı bir DD noktasında daha kesmektedir.

CC ve DD noktaları arasındaki uzaklık 99 birim ve köşe noktaları AA, BB ve DD olan üçgenin alanı 1212 birimkare olduğuna göre, b2b^2 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Doğru yanıt 22'dir.
Çemberde kuvvet özelliği gereği, dik koordinat sisteminde eksenleri kesen çemberin kesim noktalarının koordinatları arasında x1x2=y1y2x_1 x_2 = y_1 y_2 bağıntısı vardır. Buradan ikinci kesim noktası D(0,−2)D(0, -2) bulunur. Uzaklık bağıntısından c=7c = 7 ve alan bağıntısından kökler farkı ∣x1−x2∣=12|x_1 - x_2| = 12 elde edilerek ikinci dereceden denklemin diskriminant bağıntısı çözüldüğünde b2=22b^2 = 22 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve kök ilişkilerini yazmak.
C(0,c)C(0, c) noktası yy-eksenini kestiği noktadır. A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0) ise xx-eksenini kestiği noktalardır. Bu noktalar −12x2+bx+c=0  ⟹  x2−2bx−2c=0-\frac{1}{2}x^2 + bx + c = 0 \implies x^2 - 2bx - 2c = 0 denkleminin kökleridir. Buradan kökler çarpımı x1x2=−2cx_1 x_2 = -2c olur.
Parabolün eksenleri kestiği noktaların çember denklemiyle olan ilişkisini kurabilmek için.
2
Çemberin eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik bağıntıyı (kuvvet teoremini) uygulamak.
A,B,CA, B, C noktalarından geçen çemberin yy-eksenini kestiği diğer nokta D(0,d)D(0, d) olsun. Çemberin eksenleri kestiği noktalar için x1x2=c⋅dx_1 x_2 = c \cdot d eşitliği geçerlidir. Buradan −2c=c⋅d-2c = c \cdot d ve c>0c > 0 olduğu için d=−2d = -2 elde edilir. DD noktası (0,−2)(0, -2) olarak bulunur.
Çemberin yy-eksenini kestiği ikinci noktanın koordinatını bulmak için.
3
CC ve DD noktaları arasındaki uzaklığı kullanarak cc parametresini hesaplamak.
C(0,c)C(0, c) ve D(0,−2)D(0, -2) noktaları arasındaki uzaklık ∣c−(−2)∣=c+2|c - (-2)| = c + 2 birimdir. c+2=9  ⟹  c=7c + 2 = 9 \implies c = 7 olarak bulunur.
Parabolün sabit terimi olan cc değerini netleştirmek için.
4
Üçgenin alan bilgisini kullanarak kökler arasındaki mesafeyi bulmak.
ABDABD üçgeninin tabanı xx-ekseni üzerindeki ABAB doğru parçası olup uzunluğu ∣x1−x2∣|x_1 - x_2| birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise D(0,−2)D(0, -2) noktasının xx-eksenine uzaklığı olan 22 birimdir. Alan(ABD)=12⋅∣x1−x2∣⋅2=12  ⟹  ∣x1−x2∣=12\text{Alan}(ABD) = \frac{1}{2} \cdot |x_1 - x_2| \cdot 2 = 12 \implies |x_1 - x_2| = 12 olur.
xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı bulmak için.
5
Kökler farkı formülünü kullanarak b2b^2 değerini çekmek.
c=7c = 7 için denklemimiz x2−2bx−14=0x^2 - 2bx - 14 = 0 olur. Kökler farkı ∣x1−x2∣=Δ∣a∣=(−2b)2−4(1)(−14)=4b2+56=2b2+14|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{(-2b)^2 - 4(1)(-14)} = \sqrt{4b^2 + 56} = 2\sqrt{b^2 + 14} şeklindedir. 2b2+14=12  ⟹  b2+14=6  ⟹  b2+14=36  ⟹  b2=222\sqrt{b^2 + 14} = 12 \implies \sqrt{b^2 + 14} = 6 \implies b^2 + 14 = 36 \implies b^2 = 22 elde edilir.
Kökler farkı ile denklem katsayıları arasındaki ilişkiyi kurarak bilinmeyen b2b^2 değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile ikinci dereceden denklemlerin kök-katsayı ilişkilerinin ve çemberde kuvvet özelliğinin bir arada kullanılması.
Soru 1051Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=(x−2)2−9f(x) = (x-2)^2 - 9 fonksiyonunun grafiği olan parabolün yy-eksenini kestiği nokta AA, xx-eksenini kestiği pozitif apsisli nokta ise BB'dir.

Buna göre, AA ve BB noktalarının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Koordinatlar toplamı 0 olan seçenek doğrudur.
Parabolün y-eksenini kestiği nokta x = 0 için A(0, -5) olarak hesaplanır. x-eksenini kestiği noktalar ise fonksiyon sıfıra eşitlenerek x = 5 ve x = -1 bulunur; pozitif apsisli olanı istendiği için B(5, 0) noktası alınır. Bu iki noktanın koordinatları toplamı 0 + (-5) + 5 + 0 = 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kestiği A noktasını bulmak için fonksiyonda x yerine 0 yazılır.
f(0) = (0-2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5 elde edilir. Buradan A(0, -5) noktası bulunur.
Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği noktada apsis her zaman sıfırdır.
2
x-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
(x-2)^2 - 9 = 0 ise (x-2)^2 = 9 elde edilir.
Bir fonksiyonun x-eksenini kestiği noktalarda ordinat sıf��ra eşittir.
3
Elde edilen karesel denklem çözülerek x değerleri bulunur.
x-2 = 3 veya x-2 = -3 eşitliklerinden x = 5 ve x = -1 bulunur.
Karesi 9 olan sayılar 3 ve -3'tür.
4
Pozitif apsisli olan nokta seçilerek B noktası belirlenir.
Pozitif kök 5 olduğundan B(5, 0) noktası elde edilir.
Soruda B noktasının pozitif apsisli olduğu belirtilmiştir.
5
A ve B noktalarının tüm koordinatları toplanır.
0 + (-5) + 5 + 0 = 0 bulunur.
İki noktanın koordinat değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için x = 0 (y-eksenini kestiği nokta) ve y = 0 (x-eksenini kestiği noktalar) eşitlikleri kullanılır.

Alternatif Yöntem

Parabolün denklemi açıldığında f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 biçiminde yazılabilir. Bu durumda sabit terim olan −5-5, parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatını doğrudan verir: A(0,−5)A(0, -5). x-eksenini kestiği noktaları bulmak için ise x2−4x−5=0⇒(x−5)(x+1)=0x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0 çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler kolayca 55 ve −1-1 olarak tespit edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1052Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x2−6x+5,x<4−x2+10x−17,x≥4f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 5, & x < 4 \\ -x^2 + 10x - 17, & x \ge 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [1,7][1, 7] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı 4'tür.
Fonksiyonun [1,4)[1, 4) aralığındaki parçası kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir ve en küçük değerini tepe noktası olan x=3x=3'te alır; bu değer −4-4'tür. [4,7][4, 7] aralığındaki parçası ise kolları aşağı doğru olan bir parabol belirtir ve en büyük değerini tepe noktası olan x=5x=5'te alır; bu değer 88'dir. Fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı 8+(−4)=48 + (-4) = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci parçasını tanımlı olduğu aralıkta incelemek.
x<4x < 4 için f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 kuralı geçerlidir. Bu bir paraboldür ve tepe noktasının apsisi r=−−62(1)=3r = -\frac{-6}{2(1)} = 3 olarak bulunur. 3∈[1,4)3 \in [1, 4) olduğundan, fonksiyon bu aralıktaki en küçük değerini tepe noktasında alır. Bu değer f(3)=32−6(3)+5=−4f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = -4'tür. Aralığın sınır değerleri ise f(1)=0f(1) = 0 ve x→4−x \to 4^- için f(x)→−3f(x) \to -3'tür.
Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri tepe noktalarında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
2
Fonksiyonun ikinci parçasını tanımlı olduğu aralıkta incelemek.
x≥4x \ge 4 için f(x)=−x2+10x−17f(x) = -x^2 + 10x - 17 kuralı geçerlidir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r=−102(−1)=5r = -\frac{10}{2(-1)} = 5 olarak bulunur. 5∈[4,7]5 \in [4, 7] olduğundan, kollar aşağı doğru olduğu için fonksiyon bu aralıktaki en büyük değerini tepe noktasında alır. Bu değer f(5)=−(5)2+10(5)−17=8f(5) = -(5)^2 + 10(5) - 17 = 8'dir. Aralığın sınır değerleri ise f(4)=7f(4) = 7 ve f(7)=−(7)2+10(7)−17=4f(7) = -(7)^2 + 10(7) - 17 = 4'tür.
Tepe noktası incelenen aralığın içinde yer aldığı için bu noktadaki ordinat değeri yerel ve mutlak maksimum adayıdır.
3
Tüm aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri belirleyip toplamı hesaplamak.
Fonksiyonun [1,7][1, 7] aralığındaki en küçük değeri −4-4 (x = 3 noktasında) ve en büyük değeri 88 (x = 5 noktasında) olarak belirlenir. Bu değerlerin toplamı 8+(−4)=48 + (-4) = 4 olur.
İki parçadan elde edilen tüm olası ekstremum değerler karşılaştırılarak mutlak maksimum ve mutlak minimum değerler bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların belirli bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için her parçanın tepe noktası ve sınır değerleri ayrı ayrı incelenmelidir.

Alternatif Yöntem

Koordinat düzleminde [1,7][1, 7] aralığında fonksiyonun grafiği taslak olarak çizilebilir. x∈[1,4)x \in [1, 4) için tepe noktası (3,−4)(3, -4) olan ve (1,0)(1, 0) ile (4,−3)(4, -3) noktalarından geçen parabol çizilir. x∈[4,7]x \in [4, 7] için ise tepe noktası (5,8)(5, 8) olan ve (4,7)(4, 7) ile (7,4)(7, 4) noktalarından geçen aşağı yönlü parabol çizilir. Grafik üzerinde en çukur noktanın y=−4y = -4 seviyesinde, en tümsek noktanın ise y=8y = 8 seviyesinde olduğu doğrudan görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1053Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 44'tür.

g(x)=x2⋅f(2x−1)g(x) = x^2 \cdot f(2x - 1)

olmak üzere, f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

g fonksiyonunun [1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 80'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, ortalama değişim hızı formülünün g(x) bileşke ve çarpım fonksiyonuna doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir. Öncelikle f(5) değeri 18 olarak bulunur, ardından g(3) = 162 ve g(1) = 2 değerleri hesaplanarak (162 - 2) / (3 - 1) = 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun verilen aralıktaki ortalama değişim hızı tanımı kullanılarak f(5) değeri bulunur.
f(5)=18f(5) = 18
ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı f(5)−f(1)5−1=4\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = 4 olarak verilmiştir. f(1)=2f(1) = 2 değeri yerine yazıldığında, f(5)−24=4  ⟹  f(5)−2=16  ⟹  f(5)=18\frac{f(5) - 2}{4} = 4 \implies f(5) - 2 = 16 \implies f(5) = 18 bulunur.
2
g fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki uç noktalarındaki değerleri hesaplanır.
g(1)=2g(1) = 2 ve g(3)=162g(3) = 162
g(x)=x2⋅f(2x−1)g(x) = x^2 \cdot f(2x - 1) kuralında uç değerler yerine yazılır:
g(1)=12⋅f(2⋅1−1)=1⋅f(1)=1⋅2=2g(1) = 1^2 \cdot f(2 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot f(1) = 1 \cdot 2 = 2
g(3)=32⋅f(2⋅3−1)=9⋅f(5)=9⋅18=162g(3) = 3^2 \cdot f(2 \cdot 3 - 1) = 9 \cdot f(5) = 9 \cdot 18 = 162 elde edilir.
3
g fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı formülü uygulanır.
8080
gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı g(3)−g(1)3−1\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} formülü ile hesaplanır. Bulunan değerler yerine yazıldığında: 162−22=1602=80\frac{162 - 2}{2} = \frac{160}{2} = 80 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun verilen bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkının, bağımsız değişkenin farkına oranına eşittir.
Soru 1054Soru →

Bir hareketlinin zamana (tt) bağlı konumunu gösteren s(t)s(t) fonksiyonu için;

- [1,4][1, 4] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı v1v_1,
- [4,9][4, 9] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı v2v_2,
- [1,9][1, 9] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı v3v_3

olarak tanımlanmıştır.

Bu değerler arasında

3v1+5v2−4v3=123v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12

bağıntısı olduğuna göre, v3v_3 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Ortalama değişim hızları arasındaki ilişkiden elde edilen 3v1+5v2=8v33v_1 + 5v_2 = 8v_3 denklemi, soruda verilen 3v1+5v2−4v3=123v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12 eşitliğinde yerine yazıldığında v3=3v_3 = 3 olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülü uygulandığında s(4)−s(1)=3v1s(4) - s(1) = 3v_1, s(9)−s(4)=5v2s(9) - s(4) = 5v_2 ve s(9)−s(1)=8v3s(9) - s(1) = 8v_3 eşitlikleri bulunur. Değişimlerin toplamı özelliğinden dolayı 3v1+5v2=8v33v_1 + 5v_2 = 8v_3 yazılır. Verilen denklemde bu ifade yerine konulduğunda 8v3−4v3=128v_3 - 4v_3 = 12 denkleminden v3=3v_3 = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
v1v_1, v2v_2 ve v3v_3 değerlerini ortalama değişim hızı tanımına göre s(t)s(t) cinsinden ifade edin.
v1=s(4)−s(1)3v_1 = \frac{s(4) - s(1)}{3}, v2=s(9)−s(4)5v_2 = \frac{s(9) - s(4)}{5} ve v3=s(9)−s(1)8v_3 = \frac{s(9) - s(1)}{8} elde edilir.
Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a} formülüyle hesaplanır.
2
Elde edilen ifadeleri düzenleyerek aralarındaki cebirsel ilişkiyi belirleyin.
s(4)−s(1)=3v1s(4) - s(1) = 3v_1, s(9)−s(4)=5v2s(9) - s(4) = 5v_2 ve s(9)−s(1)=8v3s(9) - s(1) = 8v_3 olur. [1,9][1, 9] aralığındaki toplam değişim, [1,4][1, 4] ve [4,9][4, 9] aralıklarındaki değişimlerin toplamına eşit olduğundan (s(4)−s(1))+(s(9)−s(4))=s(9)−s(1)(s(4) - s(1)) + (s(9) - s(4)) = s(9) - s(1) yazılır. Buradan 3v1+5v2=8v33v_1 + 5v_2 = 8v_3 eşitliğine ulaşılır.
Farklı alt aralıklardaki net değişim miktarlarının toplamı, birleşik aralıktaki toplam değişime eşittir.
3
3v1+5v2=8v33v_1 + 5v_2 = 8v_3 ilişkisini soruda verilen denklemde yerine yazarak bilinmeyen v3v_3 değerini çözün.
3v1+5v2−4v3=12  ⟹  8v3−4v3=12  ⟹  4v3=12  ⟹  v3=33v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12 \implies 8v_3 - 4v_3 = 12 \implies 4v_3 = 12 \implies v_3 = 3 bulunur.
Tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edip sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, fonksiyonun o aralıktaki değişim miktarının aralık uzunluğuna oranıdır.
Soru 1055Soru →
f(x)=2x2−mx+nf(x) = 2x^2 - mx + n
parabolü koordinat eksenlerini A(0,−12)A(0, -12) ve B(2,0)B(2, 0) noktalarında kesmektedir.

Buna göre, bu parabolün xx-eksenini kestiği diğer noktanın apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Parabolün x-eksenini kestiği diğer noktanın apsisi -3'tür.
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatları fonksiyonda yerine yazıldığında denklemi sağlar. A(0, -12) noktası n = -12 değerini verir. B(2, 0) noktası ise f(2) = 8 - 2m - 12 = 0 eşitliğinden m = -2 değerini verir. Parabol denklemi f(x) = 2x^2 + 2x - 12 olur. Bu fonksiyonu sıfır yapan x değerleri x = 2 ve x = -3 olduğundan, diğer noktanın apsisi -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kestiği noktayı denklemde yerine yazarak n katsayısını bulma
n = -12
Parabolün y-eksenini kestiği A(0, -12) noktası fonksiyonu sağlamalıdır. f(0) = -12 eşitliğinden n = -12 elde edilir.
2
x-eksenini kestiği bilinen noktayı denklemde yerine yazarak m katsayısını bulma
m = -2
Parabolün x-eksenini kestiği B(2, 0) noktası fonksiyonu sağlamalıdır. f(2) = 2(2)^2 - m(2) - 12 = 0 denkleminden m = -2 bulunur.
3
Katsayıları yerine yazıp elde edilen denklemin diğer kökünü bulma
x = -3
f(x) = 2x^2 + 2x - 12 = 2(x^2 + x - 6) = 2(x + 3)(x - 2) = 0 denkleminin kökleri x = 2 ve x = -3'tür. Bize sorulan diğer noktanın apsisi -3'tür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulmak için x = 0 (y-kesim noktası) ve y = 0 (x-kesim noktaları) değerleri kullanılır.
Soru 1056Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda verilen ve bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili olan geometrik ve analitik özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5
g(x)=x2−2x−8g(x) = x^2 - 2x - 8
h(x)=−x2+x+6h(x) = -x^2 + x + 6

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki birinci parabol, eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı 11/3 olan özellik ile; ikinci parabol, eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıkları toplamı 14 birim olan özellik ile; üçüncü parabol ise eksenleri kestiği noktalardan geçen doğrulardan eğimi pozitif olanın eğiminin 3 olduğu özellik ile eşleşmektedir.
Verilen parabollerin eksenleri kestiği noktalar tek tek bulunup analitik geometri kuralları uygulandığında; birinci parabolün eksen kesim noktalarından oluşan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı 11/3, ikinci parabolün eksen kesim noktalarının orijine uzaklıkları toplamı 14 birim, üçüncü parabolün ise eksen kesim noktalarından geçen doğruların pozitif olanının eğimi 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün (f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5) eksenleri kestiği noktaları ve bu noktaların oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulalım.
x=0⇒y=5x = 0 \Rightarrow y = 5 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,5)(0, 5)'tir. y=0⇒x2−6x+5=0⇒(x−1)(x−5)=0y = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-5) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (1,0)(1, 0) ve (5,0)(5, 0) olarak bulunur. Köşeleri A(1,0)A(1, 0), B(5,0)B(5, 0) ve C(0,5)C(0, 5) olan üçgenin ağırlık merkezi G(1+5+03,0+0+53)=G(2,53)G\left(\frac{1+5+0}{3}, \frac{0+0+5}{3}\right) = G\left(2, \frac{5}{3}\right) olur. Koordinatlar toplamı ise 2+53=1132 + \frac{5}{3} = \frac{11}{3}'tür.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir. Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
2
İkinci parabolün (g(x)=x2−2x−8g(x) = x^2 - 2x - 8) eksenleri kestiği noktaları ve bu noktaların orijine olan uzaklıklarının toplamını hesaplayalım.
x=0⇒y=−8x = 0 \Rightarrow y = -8 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,−8)(0, -8)'dir. y=0⇒x2−2x−8=0⇒(x−4)(x+2)=0y = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (4,0)(4, 0) ve (−2,0)(-2, 0) olarak bulunur. Bu noktaların orijine olan uzaklıkları sırasıyla ∣−8∣=8|-8| = 8 birim, ∣4∣=4|4| = 4 birim ve ∣−2∣=2|-2| = 2 birimdir. Toplam uzaklık ise 8+4+2=148 + 4 + 2 = 14 birimdir.
Eksenler üzerindeki noktaların orijine olan uzaklığı, sıfır dışındaki koordinatın mutlak değerine eşittir.
3
Üçüncü parabolün (h(x)=−x2+x+6h(x) = -x^2 + x + 6) eksenleri kestiği noktaları bulalım ve bu noktalardan geçen doğruların eğimlerini inceleyelim.
x=0⇒y=6x = 0 \Rightarrow y = 6 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,6)(0, 6)'dır. y=0⇒−x2+x+6=0⇒x2−x−6=0⇒(x−3)(x+2)=0y = 0 \Rightarrow -x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (3,0)(3, 0) ve (−2,0)(-2, 0) olarak bulunur. Bu noktaların ikişerli birleştirilmesiyle elde edilen doğruların eğimleri: xx-ekseninin eğimi 00, (−2,0)(-2,0) ve (0,6)(0,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi 6−00−(−2)=3\frac{6-0}{0-(-2)} = 3, (3,0)(3,0) ve (0,6)(0,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise 6−00−3=−2\frac{6-0}{0-3} = -2 olur. Pozitif eğimli olan doğrunun eğimi 33 olarak belirlenir.
İki noktası bilinen doğrunun eğimi ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik/geometrik özelliklerinin incelenmesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1057Soru →
aa bir gerçek sayı olmak üzere,
f(x)=−x2+6x+af(x) = -x^2 + 6x + a
fonksiyonunun [0,4][0, 4] kapalı aralığındaki en büyük değeri 1414 olduğuna göre, bu fonksiyonun aynı aralıktaki en küçük değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Fonksiyonun [0,4][0, 4] kapal�� aralığındaki en küçük değeri 5'tir.
Tepe noktası x=3x=3 aralığın içindedir ve parabol kolları aşağı doğru olduğu için en büyük değer buradadır. Buradan a=5a=5 bulunur. Uç noktalardan tepe noktasına en uzak olanı x=0x=0 olup en küçük değer f(0)=5f(0)=5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının koordinatlarını bulma
r=3r = 3
Parabolün maksimum ya da minimum değerleri tepe noktasında veya aralık uçlarında gerçekleşebilir. Tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü ile hesaplanır.
2
Bilinmeyen aa katsayısını hesaplama
a=5a = 5 ve f(x)=−x2+6x+5f(x) = -x^2 + 6x + 5
r=3r = 3 apsisi [0,4][0, 4] aralığına dahildir. Kolları aşağı doğru olan bu parabolün en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır. f(3)=14f(3) = 14 eşitliği çözülerek aa bulunur.
3
Uç noktaları test etme
f(0)=5f(0) = 5 ve f(4)=13f(4) = 13
Tepe noktası en büyük değeri verdiğinden, en küçük değer aralığın uç noktalarından birinde yer alır. Uç noktaların görüntüleri hesaplanarak karşılaştır��lır.

Anahtar Kavram

Parabolün belirli bir aralıktaki ekstremum değerleri bulunurken tepe noktası ve uç noktalar kontrol edilir.
Soru 1058Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçek sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a
g(x)=−x2+(8a+2)x−16a2−5a−3g(x) = -x^2 + (8a+2)x - 16a^2 - 5a - 3
parabolleri veriliyor.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2 olduğuna göre, aa parametresi değiştikçe T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Tepe noktaları arasındaki en küçük uzaklık 2 birimdir.
Tepe noktalarının koordinatları doğru bir şekilde T1(a,−a)T_1(a, -a) ve T2(4a+1,3a−2)T_2(4a+1, 3a-2) olarak bulunduktan sonra, iki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla elde edilen 25a2−10a+525a^2 - 10a + 5 ifadesinin en küçük değeri a=1/5a = 1/5 için 4 olur. Bu değerin karekökü alındığında en küçük uzaklık 2 birim olarak bulunur. Bu nedenle 2 birim olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) parabol��nün tepe noktası olan T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatlarını bulalım.
T1(a,−a)T_1(a, -a)
Tepe noktasının apsisi r1=−−2a2=ar_1 = -\frac{-2a}{2} = a ve ordinatı k1=f(a)=a2−2a2+a2−a=−ak_1 = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - a = -a olarak elde edilir.
2
g(x)g(x) parabolünün tepe noktası olan T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatlarını bulalım.
T2(4a+1,3a−2)T_2(4a+1, 3a-2)
Tepe noktasının apsisi r2=−8a+22(−1)=4a+1r_2 = -\frac{8a+2}{2(-1)} = 4a+1 ve ordinatı g(4a+1)=−(4a+1)2+2(4a+1)2−16a2−5a−3=3a−2g(4a+1) = -(4a+1)^2 + 2(4a+1)^2 - 16a^2 - 5a - 3 = 3a-2 olarak elde edilir.
3
T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığı veren d(a)d(a) fonksiyonunu oluşturalım.
d(a)=(3a+1)2+(4a−2)2d(a) = \sqrt{(3a+1)^2 + (4a-2)^2}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} kullanılarak koordinat farkları yerine yazılır.
4
Kökün içerisindeki tam kare ifadeleri açarak düzenleyelim.
d(a)2=25a2−10a+5d(a)^2 = 25a^2 - 10a + 5
(3a+1)2=9a2+6a+1(3a+1)^2 = 9a^2+6a+1 ve (4a−2)2=16a2−16a+4(4a-2)^2 = 16a^2-16a+4 ifadeleri toplanarak sadeleştirilir.
5
İkinci dereceden bu ifadenin en küçük değerini bulup karekökünü alalım.
En küçük uzaklık 2 birimdir.
25a2−10a+525a^2 - 10a + 5 parabolünün en küçük değeri tepe noktasında, yani a=15a = \frac{1}{5} için gerçekleşir. Bu değer 1−2+5=41 - 2 + 5 = 4 olup, karekökü alındığında minimum uzaklık 4=2\sqrt{4} = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Soru 1059Soru →

Analitik düzlemde f(x)=x2−6x+10f(x) = x^2 - 6x + 10 parabolü verilmiştir. Bu parabolün tepe noktası 22 birim sola ve 33 birim yukarı ötelendiğinde elde edilen yeni parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (1,4)(1, 4)

Cevap

Yeni parabolün tepe noktasının koordinatları (1,4)(1, 4) noktasıdır.
Verilen parabolün tepe noktası T(3,1)T(3, 1) olarak hesaplanır. Bu noktanın sola 22 birim ötelenmesiyle apsisi 3−2=13 - 2 = 1, yukarı 33 birim ötelenmesiyle ordinatı 1+3=41 + 3 = 4 olur. Bu durumda yeni tepe noktası (1,4)(1, 4) koordinatlarına sahip olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
f(x)=x2−6x+10f(x) = x^2 - 6x + 10 parabolünün tepe noktası T(r,k)=(3,1)T(r, k) = (3, 1) olarak bulunur.
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62⋅1=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 formülü ile, ordinatı ise bu değerin fonksiyonda yerine yazılmasıyla k=f(3)=32−6⋅3+10=1k = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 1 olarak elde edilir.
2
Tepe noktasına yatay ötelemeyi uygulamak.
22 birim sola öteleme sonucunda yeni apsis değeri 3−2=13 - 2 = 1 olur.
Analitik düzlemde bir noktanın sola ötelenmesi, apsis değerinin öteleme miktarı kadar azaltılması anlamına gelir.
3
Tepe noktasına dikey ötelemeyi uygulamak.
33 birim yukarı öteleme sonucunda yeni ordinat değeri 1+3=41 + 3 = 4 olur.
Analitik düzlemde bir noktanın yukarı ötelenmesi, ordinat değerinin öteleme miktarı kadar artırılması anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması ve analitik düzlemde öteleme dönüşümleri.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1060Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2∣x∣−3f(x) = x^2 - 2|x| - 3
fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [−2,3][-2, 3] kapalı aralığındaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı −4-4 olur.
En büyük değer ile en küçük değerin toplamını −4-4 olarak veren seçenek doğrudur. Çünkü [−2,3][-2, 3] kapalı aralığında fonksiyonun alabileceği en küçük değer x=1x = 1 ve x=−1x = -1 noktalarında −4-4, en büyük değer ise x=3x = 3 noktasında 00 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı −4-4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer tanımına göre fonksiyonu parçalı biçimde yazalım.
f(x)={x2−2x−3,x≥0x2+2x−3,x<0f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x - 3, & x \geq 0 \\ x^2 + 2x - 3, & x < 0 \end{cases}
Değişkenin işaretine göre mutlak değer dışına nasıl çıkacağını belirlemek için.
2
Her iki parçanın [−2,3][-2, 3] aralığı içindeki tepe noktalarını ve bu noktalardaki değerleri bulalım.
x≥0x \geq 0 için parabolün tepe noktası r=−(−2)2(1)=1r = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1 olup bu değer aralıktadır. En küçük değer f(1)=12−2(1)−3=−4f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4 olur.

x<0x < 0 için parabolün tepe noktası r=−22(1)=−1r = \frac{-2}{2(1)} = -1 olup bu değer de aralıktadır. En küçük değer f(−1)=(−1)2+2(−1)−3=−4f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 olur.
Kollar yukarı doğru olan parabollerin en küçük değerlerini tepe noktalarında almasından dolayı minimum değer adaylarını belirlemek amacıyla.
3
Sınır noktalarındaki (x=−2x = -2 ve x=3x = 3) ve parçaların birleştiği noktadaki (x=0x = 0) fonksiyon değerlerini hesaplayalım.
f(−2)=(−2)2−2∣−2∣−3=4−4−3=−3f(-2) = (-2)^2 - 2|-2| - 3 = 4 - 4 - 3 = -3
f(0)=02−2∣0∣−3=−3f(0) = 0^2 - 2|0| - 3 = -3
f(3)=32−2∣3∣−3=9−6−3=0f(3) = 3^2 - 2|3| - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
Sınır değerlerinde veya kritik noktalarda fonksiyonun alabileceği en büyük ve en küçük değerleri kontrol etmek için.
4
Elde edilen tüm değerleri karşılaştırarak en büyük ve en küçük değerleri belirleyip toplayalım.
En küçük değer: −4-4 (x=1x = 1 ve x=−1x = -1 noktalarında)
En büyük değer: 00 (x=3x = 3 noktasında)
Toplam: 0+(−4)=−40 + (-4) = -4
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki maksimum ve minimum değerlerini bulmak için aralık içindeki tepe noktaları (varsa) ile aralığın uç noktalarındaki değerler hesaplanıp karşılaştırılır.
ÖncekiSayfa 53 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin