Tüm alıştırma soruları

Simetri ekseni $x = 2$ doğrusu olan $f(x) = x^2 - ax + a + 3$ parabolünün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı 3'tür.

Parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsis değerine (r) eşittir. Simetri ekseni

x = 2

olarak verildiğinden

r = 2

olur.

r = -\frac{b}{2a} = \frac{a}{2} = 2

eşitliğinden

a = 4

bulunur. Fonksiyon denkleminde

a

yerine yazıldığında

f(x) = x^2 - 4x + 7

elde edilir. Tepe noktasının ordinatı

k = f(2)

olduğundan,

f(2) = 2^2 - 4(2) + 7 = 3

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün simetri ekseni formülü yardımıyla a parametresini bulmak

a = 4

Simetri ekseni

x = r = 2

doğrusudur.

r = -\frac{b}{2a}

formülü kullanılarak

r = \frac{a}{2} = 2

eşitliğinden

a = 4

elde edilir.

2

Bulunan a değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini elde etmek

f(x) = x^2 - 4x + 7

Tepe noktasının ordinatını hesaplayabilmek için öncelikle fonksiyonun kuralı tam olarak belirlenmelidir.

3

Tepe noktasının ordinatı olan

k = f(r) = f(2)

değerini hesaplamak

k = 3

Tepe noktasının apsisi fonksiyonda yerine yazıldığında elde edilen değer tepe noktasının ordinatını verir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni

x = r = -\frac{b}{2a}

doğrusudur. Tepe noktası

T(r, k)

koordinatlarına sahip olup ordinat değeri

k = f(r)

formülüyle hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 1062Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ parabolünün simetri ekseni $x = a$ doğrusu ve tepe noktasının ordinatı $b$ 'dir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

-35

-2

1

7

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru yanıt 7'dir.

Parabolün simetri ekseni olan

x = r

doğrusu

r = -\frac{b}{2a}

formülüyle hesaplanır.

f(x) = -x^2 + 6x - 5

parabolü için bu değer

r = -\frac{6}{2(-1)} = 3

'tür. Dolayısıyla

a = 3

olur. Tepe noktasının ordinatı

b = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = 4

'tür. Bu iki değer toplandığında

a + b = 3 + 4 = 7

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün simetri eksenini bulma

a = 3

y = Ax^2 + Bx + C

parabolünün simetri ekseni

x = -\frac{B}{2A}

formülüyle bulunur.

f(x) = -x^2 + 6x - 5

fonksiyonunda

A = -1

ve

B = 6

olduğundan simetri ekseni

x = -\frac{6}{2(-1)} = 3

doğrusudur. Buradan

a = 3

elde edilir.

2

Tepe noktasının ordinatını bulma

b = 4

Tepe noktasının ordinatı, simetri ekseni değerinin fonksiyondaki görüntüsüdür.

b = f(a) = f(3)

olduğuna göre,

f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4

bulunur. Buradan

b = 4

elde edilir.

3

İstenen toplamı hesaplama

a + b = 7

a = 3

ve

b = 4

değerleri toplanarak

a + b = 3 + 4 = 7

sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktası

T(r, k)

ve simetri ekseni

x = r = -\frac{b}{2a}

doğrusudur. Tepe noktasının ordinatı ise

k = f(r)

değeri ile hesaplanır.

Soru 1063Soru →

40 cm uzunluğundaki bir tel iki parçaya ayrılıyor. Bu parçalardan biriyle bir kare, diğeriyle ise bir kenar uzunluğu 4 cm olan bir dikdörtgen yapılıyor.

Buna göre, elde edilen kare ve dikdörtgenin alanları toplamının alabileceği en küçük değer kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Karenin ve dikdörtgenin alanları toplamının alabileceği en küçük değer 48 olur.

Kare ve dikdörtgenin alanları toplamını veren

T(x) = \frac{x^2}{16} - 2x + 64

fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir. Bu fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Tepe noktasının apsisi

r = 16

olup bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük alan 48 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kare için kullanılan tel parçasına

x

cm diyelim. Bu durumda karenin bir kenar uzunluğu

\frac{x}{4}

cm ve alanı

A_{\text{kare}} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}

\text{cm}^2

olur.

Karenin alanı:

\frac{x^2}{16}

Telden kare yapıldığında çevre uzunluğu telin boyuna eşit olur, alan ise kenar uzunluğunun karesidir.

2

Kalan

40-x

cm uzunluğundaki tel parçası ile bir kenarı 4 cm olan bir dikdörtgen oluşturulur. Dikdörtgenin diğer kenar uzunluğuna

b

dersek çevre uzunluğu

2(4 + b) = 40 - x \implies 8 + 2b = 40 - x \implies b = 16 - \frac{x}{2}

cm olur. Dikdörtgenin alanı ise

A_{\text{dikdörtgen}} = 4 \cdot \left(16 - \frac{x}{2}\right) = 64 - 2x

\text{cm}^2

olarak bulunur.

Dikdörtgenin alanı:

64 - 2x

Çevre formülünden bilinmeyen kenar uzunluğu ��ekilerek alan formülünde yerine yazılır.

3

Toplam alan fonksiyonunu

T(x) = A_{\text{kare}} + A_{\text{dikdörtgen}} = \frac{x^2}{16} - 2x + 64

olarak yazalım. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplayalım:

r = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{16}} = 16

bulunur.

Tepe noktası apsisi

r = 16

Kollar yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.

4

Bulduğumuz

r = 16

değerini toplam alan fonksiyonunda yerine yazarak en küçük alanı hesaplayalım:

T(16) = \frac{16^2}{16} - 2(16) + 64 = 16 - 32 + 64 = 48

\text{cm}^2

bulunur.

En küçük alan: 48

Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, tepe noktasının ordinatı olan

k = T(r)

değeridir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) kapalı veya açık bir aralıkta alabileceği en küçük (minimum) değeri bulma.

Alternatif Yöntem

Türevin limit tanımı ve türev kuralları biliniyorsa, toplam alan fonksiyonu olan

T(x) = \frac{x^2}{16} - 2x + 64

fonksiyonunun birinci türevi sıfıra eşitlenerek yerel ekstremum (minimum) noktası bulunabilir:

T'(x) = \frac{2x}{16} - 2 = 0 \implies \frac{x}{8} = 2 \implies x = 16

olur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında minimum alan

T(16) = 48

olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1064Soru →

Analitik düzlemde $f(x) = (x - 3)^2 + 4$ fonksiyonunun grafiği $x$ ekseni boyunca sola doğru $2$ birim, $y$ ekseni boyunca aşağı doğru $3$ birim ötelenerek $g(x)$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, elde edilen $g(x)$ fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

g(x) = (x - 5)^2 + 1

g(x) = (x - 1)^2 + 1

g(x) = (x - 1)^2 + 7

g(x) = (x - 5)^2 + 7

g(x) = (x - 3)^2 + 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $g(x) = (x - 1)^2 + 1$

Cevap

Elde edilen fonksiyonun kuralı

(x - 1)^2 + 1

şeklindedir.

Fonksiyonun sola

2

birim ötelenmesi için

x

değişkeni yerine

x+2

yazılır. Bu işlem sonucunda

(x-3)^2 + 4

ifadesi

(x-1)^2 + 4

haline gelir. Ardından fonksiyonun aşağı

3

birim ötelenmesi için fonksiyondan

3

çıkarılır. Böylece

(x-1)^2 + 4 - 3 = (x-1)^2 + 1

elde edilir. Bu durum doğru ötelemelerin sırasıyla yapılmasıyla ulaşılan sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay öteleme kuralını uygulayarak fonksiyonu düzenleyin.

f(x + 2) = ((x + 2) - 3)^2 + 4 = (x - 1)^2 + 4

Bir fonksiyonun grafiği

x

ekseni boyunca sola doğru

a

birim ötelenirken fonksiyonda

x

yerine

x + a

yazılır. Burada

2

birim sola öteleme yapıldığı için

x

yerine

x + 2

yazılmıştır.

2

Dikey öteleme kuralını uygulayarak nihai fonksiyonu elde edin.

g(x) = f(x + 2) - 3 = (x - 1)^2 + 4 - 3 = (x - 1)^2 + 1

Bir fonksiyonun grafiği

y

ekseni boyunca aşağı doğru

b

birim ötelenirken fonksiyondan

b

değeri çıkarılır. Burada

3

birim aşağı öteleme yapıldığı için elde edilen ifadeden

3

çıkarılmıştır.

Anahtar Kavram

Bir

f(x)

fonksiyonunun

a

birim sola ötelenmesi

f(x+a)

ile,

b

birim aşağı ötelenmesi ise

f(x)-b

ile elde edilir.

Tahmini Süre:50s

Soru 1065Soru →

Tanımlı olduğu $x$ değerleri için,

\frac{\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) - \cos(11\pi + x)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

2\sin x

-2\cos x

-2\sin x

2\cos x

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2\sin x$

Cevap

-2\sin x

İfadedeki tüm terimlerin esas ölçüleri belirlenip bölgelerine göre indirgemeleri yapıldığında pay kısmı

2\cos x

ve payda kısmı

-\cot x

olarak bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı olan

\frac{2\cos x}{-\cot x}

işlemi sadeleştirildiğinde

-2\sin x

ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right)

ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.

\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x

\frac{17\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{\pi}{2}

radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup, açı

\frac{\pi}{2}

cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.

2

\cos(11\pi + x)

ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.

\cos(11\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos x

11\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

radyandır. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olup, açı

\pi

cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.

3

Pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılarak payın sade hali elde edilir.

\cos x - (-\cos x) = 2\cos x

İlk iki adımda elde edilen indirgenmiş ifadeler pay kısmındaki yerlerine yazılarak işlem yürütülür.

4

\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)

ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.

\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cot x

\frac{7\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{3\pi}{2}

radyandır. Dördüncü bölgede tanjant negatif olup, açı

\frac{3\pi}{2}

cinsinden yazıldığı için fonksiyon kotanjanta dönüşür.

5

Pay ve payda ifadeleri oranlanarak en sade biçim elde edilir.

\frac{2\cos x}{-\cot x} = \frac{2\cos x}{-\frac{\cos x}{\sin x}} = 2\cos x \cdot \left(-\frac{\sin x}{\cos x}\right) = -2\sin x

Kotanjant fonksiyonu

\frac{\cos x}{\sin x}

şeklinde yazılıp payda ters çevrilerek pay ile çarpılır ve ortak olan kosinüs terimleri sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Soru 1066Soru →

$\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2}$ olmak üzere,

A = \frac{\sqrt{1 + \sin(\pi + 2x)}}{\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)} - \frac{\sqrt{1 - \sin(\pi + 2x)}}{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}

ifadesi tanımlanıyor.

Buna göre, $A$ ifadesinin eşiti aşa��ıdakilerden hangisidir?

-2

-1

0

1

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2$

Cevap

-2

değeri doğrudur.

Doğru cevap

-2

değeridir. İfadeler indirgendiğinde birinci kesir

\frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} = -1

ve ikinci kesir

\frac{-(\sin x + \cos x)}{-(\sin x + \cos x)} = 1

eşitliklerini sağlar. Bu iki değerin farkı alındığında sonuç

-2

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Köklü ifadelerin içindeki trigonometrik ifadeleri indirgeme ve tam kare biçiminde yazma

\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x)

olduğundan,

\sqrt{1 + \sin(\pi + 2x)} = \sqrt{1 - \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|

ve benzer şekilde

\sqrt{1 - \sin(\pi + 2x)} = \sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|

elde edilir.

Köklü ifadeleri mutlak değer dışına çıkarabilmek için tam kare özdeşliğini kullanmak gerekir.

2

Verilen bölgeye göre mutlak değerlerin işaretini belirleme

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı III. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta

\sin x < \cos x < 0

olduğundan:
1)

\sin x - \cos x < 0

olur ve

|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x

olarak çıkar.
2) Hem

\sin x

hem de

\cos x

negatif olduğundan

\sin x + \cos x < 0

olur ve

|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x)

olarak çıkar.

Mutlak değer dışına çıkarma işleminde ifadenin pozitif veya negatif olma durumu incelenmelidir.

3

Paydadaki ifadelerin indirgeme formüllerini uygulama

1)

\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x

2)

\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x

Böylece birinci payda:

\sin x - \cos x

olur.

3)

\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x

4)

\sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x

Böylece ikinci payda:

-\sin x - \cos x = -(\sin x + \cos x)

olur.

Payda kısmındaki yüksek açılı ifadeleri indirgeme formülleriyle sadeleştirmek gerekir.

4

Pay ve payda oranlarını hesaplayarak ana işlemi tamamlama

Birinci terim:

\frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} = -1

İkinci terim:

\frac{-(\sin x + \cos x)}{-(\sin x + \cos x)} = 1

Ana ifade:

A = -1 - (1) = -2

olarak bulunur.

Sadeleştirilmiş parçaları ana denklemde yerine koyup çıkarma işlemini tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi, birim çemberde işaret analizi ve mutlak değer dışına çıkarma

Soru 1067Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = |x - 2| - 3$ fonksiyonunun grafiği $a$ birim sola ve $b$ birim yukarı ötelendiğinde $g(x) = |x + 1| + 2$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, $h(x) = f(x - b) - a$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

9

16

25

36

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36

Doğru cevap 36 birimkaredir. Verilen

f(x) = |x - 2| - 3

fonksiyonunun tepe noktası

(2, -3)

olup,

g(x) = |x + 1| + 2

fonksiyonunun tepe noktası

(-1, 2)

'dir. Apsisteki değişim

3

birim sola ötelemeyi (

a = 3

), ordinattaki değişim ise

5

birim yukarı ötelemeyi (

b = 5

) gösterir. Bu değerler

h(x) = f(x - b) - a

ifadesinde yazıldığında

h(x) = |x - 7| - 6

elde edilir. Bu fonksiyonun

x

eksenini kestiği noktalar

x = 1

ve

x = 13

olup taban uzunluğu 12 birim, yüksekliği ise 6 birimdir. Buradan alan 36 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) ve g(x) fonksiyonlarının köşe noktalarını belirleyerek a ve b öteleme değerlerini bulma.

f(x) = |x - 2| - 3

fonksiyonunun köşe noktası

(2, -3)

'tür.

g(x) = |x + 1| + 2

fonksiyonunun köşe noktası

(-1, 2)

'dir. Grafiğin

3

birim sola ötelenmesiyle apsis

2

'den

-1

'e düşer (

a = 3

),

5

birim yukarı ötelenmesiyle ordinat

-3

'ten

2

'ye çıkar (

b = 5

).

Fonksiyonların dikey ve yatay öteleme miktarlarını tespit etmek için.

2

h(x) = f(x - b) - a

fonksiyonunun denklemini yazma.

a = 3

and

b = 5

değerleri yerine yazıldığında,

h(x) = f(x - 5) - 3

elde edilir. Buradan

h(x) = |(x - 5) - 2| - 3 - 3 = |x - 7| - 6

bulunur.

Alanı hesaplanacak olan yeni fonksiyonun kuralını oluşturmak için.

3

h(x)

fonksiyonunun grafiğinin

x

eksenini kestiği noktaları ve tepe noktasını bulma.

h(x) = 0 \implies |x - 7| - 6 = 0 \implies |x - 7| = 6

olur. Buradan

x_1 = 1

ve

x_2 = 13

bulunur. Fonksiyonun köşe noktası

(7, -6)

'dır.

Grafik ile eksen arasında kalan üçgensel bölgenin tabanını ve yüksekliğini belirlemek için.

4

Oluşan üçgensel bölgenin alanını hesaplama.

Üçgenin tabanı

x

ekseni üzerinde

[1, 13]

aralığında olup uzunluğu

13 - 1 = 12

birimdir. Yüksekliği ise köşe noktasının ordinatının mutlak değeri olan

|-6| = 6

birimdir. Alan

= \frac{12 \times 6}{2} = 36

birimkaredir.

İstenen sınırlı bölgenin alanını bulmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey ötelenmesi kurallarının koordinat düzleminde uygulanması ve mutlak değer fonksiyonunun geometrik yorumu.

Soru 1068Soru →

f(x) = -x^2 + 8x + 12

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

4

12

28

-36

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 28'dir.

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{8}{2(-1)} = 4

olarak bulunur. Fonksiyonun en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olduğundan

f(4) = -(4)^2 + 8(4) + 12 = -16 + 32 + 12 = 28

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplama.

r = 4

f(x) = ax^2 + bx + c

biçimindeki bir parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a}

formülüyle bulunur. Verilen fonksiyonda

a = -1

ve

b = 8

olduğundan,

r = -\frac{8}{2(-1)} = 4

elde edilir.

2

Tepe noktasının ordinatını (

k

) yani fonksiyonun alabileceği en b��yük değeri bulma.

k = 28

Parabolün baş katsayısı negatif (

a = -1 < 0

) olduğundan kolları aşağı doğrudur ve fonksiyon en büyük değerini tepe noktasında alır. Bu en büyük değer

k = f(r) = f(4)

hesaplanarak bulunur:

f(4) = -(4)^2 + 8(4) + 12 = -16 + 32 + 12 = 28

olur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün alabileceği en büyük veya en küçük değer, tepe noktasının ordinatıdır (

k = f(r)

).

Soru 1069Soru →

Dik koordinat düzleminde, $[-5, 5]$ kapalı aralığında tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafiğin yerel minimum noktası $A(-2, -3)$ ve yerel maksimum noktası $B(3, 4)$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, $g(x) = f(x + 2) - 1$ biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun yerel minimum noktası $A'$ ve yerel maksimum noktası $B'$ olduğuna göre, $A'$ ve $B'$ noktalarının koordinatları toplamı kaçtır?

-6

-4

-3

4

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4 değeri doğrudur.

Fonksiyonun grafiği yatayda sola

2

birim ve dikeyde aşağı

1

birim ötelenmiştir. Bu kurallarla

A(-2, -3)

noktası

A'(-4, -4)

noktasına,

B(3, 4)

noktası ise

B'(1, 3)

noktasına taşınır. Bu noktaların koordinatları toplamı

(-4) + (-4) + 1 + 3 = -4

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay öteleme analizini yapma

f(x + 2)

dönüşümü, fonksiyonun grafiğinin yatay eksende sola doğru

2

birim ötelenmesi anlamına gelir. Bu durumda tüm noktaların apsis (

x

) değerleri

2

azalır.

Yatay ötelemede

f(x + a)

ifadesinde

a > 0

ise grafik sola ötelenir.

2

Dikey öteleme analizini yapma

f(x) - 1

dönüşümü, fonksiyonun grafiğinin dikey eksende aşağıya doğru

1

birim ötelenmesi anlamına gelir. Bu durumda tüm noktaların ordinat (

y

) değerleri

1

azalır.

Dikey ötelemede

f(x) + b

ifadesinde

b < 0

ise grafik a��ağı ötelenir.

3

Yeni noktaların koordinatlarını hesaplama

Yerel minimum noktası

A(-2, -3) \rightarrow A'(-2 - 2, -3 - 1) = A'(-4, -4)

olur.
Yerel maksimum noktası

B(3, 4) \rightarrow B'(3 - 2, 4 - 1) = B'(1, 3)

olur.

Öteleme kurallarını başlangıç noktalarına tek tek uygularız.

4

Koordinatlar toplamını bulma

(-4) + (-4) + 1 + 3 = -4

olarak bulunur.

Soru bizden elde edilen bu yeni noktaların tüm koordinatlarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiği

f(x + a) + b

biçiminde ötelendiğinde, grafik

a > 0

için sola

a

birim,

b > 0

için yukarı

b

birim ötelenir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1070Soru →

Bir firmanın ürettiği bir ürünün adet satış fiyatı $x$ TL iken, günlük satılan ürün miktarı $120 - 2x$ adettir. Bu ürünün bir adedinin üretim maliyeti sabit ve $20$ TL'dir. Buna göre, bu ürünün satışından elde edilebilecek günlük kâr en fazla kaç TL olur?

600

720

800

1000

1800

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 800

Cevap

Maksimum günlük kâr 800 TL'dir.

Maksimum kâr, kâr fonksiyonunun tepe noktasının ordinatıdır. Kâr fonksiyonu

K(x) = -2x^2 + 160x - 2400

şeklinde yazılıp tepe noktasının apsisi

r = 40

olarak bulunduktan sonra fonksiyonda yerine yazıldığında 800 TL elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Günlük kâr fonksiyonunu oluşturma.

K(x) = (x - 20)(120 - 2x) = -2x^2 + 160x - 2400

Bir adet ürünün kârı, satış fiyatı (

x

) ile maliyet fiyatının (

20

) farkıdır. Günlük toplam kâr ise birim kâr ile satılan ürün miktarının (

120 - 2x

) çarpımıyla hesaplanır.

2

Kâr fonksiyonunu maksimum yapan satış fiyatını bulmak için tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplama.

r = -\frac{160}{2(-2)} = 40

TL

f(x) = ax^2 + bx + c

parabolünün baş katsayısı negatif (

a = -2 < 0

) olduğundan, fonksiyon en büyük değerini tepe noktasının apsisi olan

r = -\frac{b}{2a}

değerinde alır.

3

Maksimum kâr miktarını bulmak için elde edilen apsis değerini kâr fonksiyonunda yerine yazma.

K(40) = (40 - 20)(120 - 2 \cdot 40) = 20 \cdot 40 = 800

TL

Parabolün alabileceği en büyük değer, tepe noktasının ordinat değeri olan

k = f(r)

ile bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası yardımıyla en büyük ve en küçük değer (optimizasyon) problemlerinin çözülmesi.

Soru 1071Soru →

$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ olmak üzere,

\frac{\cos(\pi + x)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

1

\tan x

-1

-\tan x

-\cot x

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-1$

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali

-1

değerine eşittir.

Doğru cevap

-1

değeridir. Pay kısmındaki

\cos(\pi + x)

ifadesi 3. bölgede kosinüs negatif olduğundan

-\cos x

değerine eşittir. Payda kısmındaki

\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)

ifadesi ise 2. bölgede sinüs pozitif olduğundan ve

\frac{\pi}{2}

açısı nedeniyle isim değiştiğinden

\cos x

değerine eşittir. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise

-1

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmında yer alan

\cos(\pi + x)

ifadesinin indirgeme formülünü uygulayalım.

\cos(\pi + x) = -\cos x

\pi + x

açısı koordinat düzleminde 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif (

-

) olduğundan ve

\pi

açısına göre yapılan indirgemelerde fonksiyonun adı değişmediğinden sonuç

-\cos x

olur.

2

Payda kısmında yer alan

\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)

ifadesinin indirgeme formülünü uygulayalım.

\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x

\frac{\pi}{2} + x

açısı koordinat düzleminde 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif (

+

) olduğundan ve

\frac{\pi}{2}

açısına göre yapılan indirgemelerde fonksiyonun adı değişerek kosinüs (

\cos

) olduğundan sonuç

\cos x

olur.

3

Bulunan değerleri orijinal kesir ifadesinde yerine yazarak sadeleştirme işlemini gerçekleştirelim.

\frac{-\cos x}{\cos x} = -1

Pay ve paydadaki ortak

\cos x

terimleri sadeleştiğinde kesrin değeri

-1

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi

Soru 1072Soru →

Dik koordinat düzleminde $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir nokta $A(2, 5)$ olarak verilmiştir.

Buna göre, $g(x) = f(x + 3) - 4$ biçiminde tanımlanan $y = g(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerindeki karşılık gelen $B$ noktasının koordinatları aşağ��dakilerden hangisidir?

(-1, 1)

(5, 1)

(-1, 9)

(5, 9)

(2, 1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-1, 1)$

Cevap

(-1, 1)

noktası

Verilen

g(x) = f(x + 3) - 4

fonksiyonunda, parantez içindeki

+3

ifadesi grafiğin

x

ekseni boyunca

3

birim sola, sondaki

-4

ifadesi ise

y

ekseni boyunca

4

birim aşağı öteleneceğini belirtir.

A(2, 5)

noktasının apsisinden

3

çıkarılıp ordinatından

4

çıkarıldığında elde edilen

(-1, 1)

noktası doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay öteleme miktarını ve yönünü belirleme

f(x + 3)

dönüşümü, grafiğin

x

ekseni boyunca

3

birim sola öteleneceğini gösterir.

f(x - a)

dönüşümünde parantez içi

+3

olduğundan

a = -3

olur, bu da sola ötelemeyi ifade eder.

2

Dikey öteleme miktarını ve yönünü belirleme

Fonksiyonun sonundaki

- 4

terimi, grafiğin

y

ekseni boyunca

4

birim aşağı öteleneceğini gösterir.

f(x) + b

dönüşümünde dıştaki sabit sayı negatif olduğundan aşağı doğru öteleme yapılır.

3

Yeni koordinatları hesaplama

Yeni noktanın koordinatları

x = 2 - 3 = -1

ve

y = 5 - 4 = 1

olur. Böylece

B

noktası

B(-1, 1)

olarak elde edilir.

Başlangıçtaki

A(2, 5)

noktasına belirlenen öteleme miktarları uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların dikey ve yatay öteleme kuralları:

y = f(x - a) + b

dönüşümünde grafik

a

birim yatay (sağa/sola),

b

birim dikey (yukarı/aşağı) ötelenir.

Soru 1073Soru →

$\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ olmak üzere,

\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre,

\sin(9\pi - \theta) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) - \cot\left(\frac{11\pi}{2} - \theta\right) \cdot \tan(5\pi + \theta)

ifadesinin değeri kaçtır?

-\frac{369}{400}

-\frac{81}{400}

-\frac{13}{25}

\frac{81}{400}

\frac{369}{400}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{81}{400}$

Cevap

İndirgeme formülleri uygulandıktan sonra elde edilen

\sin^2\theta - \tan^2\theta

ifadesinin sayısal değeri

-\frac{81}{400}

olur.

Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle verilen

\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

eşitliği

\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta = \frac{3}{5}

şeklinde indirgenir. Buradan

\sin\theta = -\frac{3}{5}

elde edilir.

\theta

açısı üçüncü bölgede olduğundan

\cos\theta = -\frac{4}{5}

ve

\tan\theta = \frac{3}{4}

bulunur. İkinci adımda sorulan ifadedeki terimlerin esas ölçüleri alınarak indirgendiğinde ifade

\sin^2\theta - \tan^2\theta

şeklini alır. Bu ifadede bulunan değerler yerine yazıldığında

\frac{9}{25} - \frac{9}{16} = -\frac{81}{400}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

eşitliğindeki açıyı indirgeme formülü yard��mıyla sadeleştirmek.

\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta

olduğundan

-\sin\theta = \frac{3}{5} \implies \sin\theta = -\frac{3}{5}

bulunur.

Kosinüs çift fonksiyon olduğundan içindeki ifadenin işareti değiştirilebilir. Üçüncü bölgedeki

\frac{3\pi}{2} - \theta

açısının kosinüsü

-\sin\theta

değerine eşittir.

2

\theta

açısının üçüncü bölgede (

\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

) yer almasını dikkate alarak

\cos\theta

ve

\tan\theta

değerlerini bulmak.

\cos\theta = -\sqrt{1 - \sin^2\theta} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}

ve

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}

elde edilir.

Üçüncü bölgede kosinüs değeri negatif, tanjant değeri ise pozitiftir.

3

Sorulan ifadedeki dört ayrı trigonometrik terimi indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.

\sin(9\pi - \theta) = \sin(\pi - \theta) = \sin\theta

\cos\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta

\cot\left(\frac{11\pi}{2} - \theta\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta

\tan(5\pi + \theta) = \tan\theta

Esas ölçüler alınarak ve bölgelere göre fonksiyonların işaretleri ile isim değişimleri (düşey eksende isim değişir, yatay eksende değişmez) kontrol edilerek terimler indirgenir.

4

İndirgenen terimleri yerlerine yazıp sayısal hesaplamayı tamamlamak.

İfade

(\sin\theta) \cdot (\sin\theta) - (\tan\theta) \cdot (\tan\theta) = \sin^2\theta - \tan^2\theta

haline gelir. Değerler yerine yazıldığında:

\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{9}{16} = \frac{144 - 225}{400} = -\frac{81}{400}

elde edilir.

Elde edilen temel trigonometrik değerler sadeleştirilmiş cebirsel ifadede yerine konularak rasyonel sayılarda çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgeme formüllerinde işaret analizi ile isim değiştirme kurallarının doğru uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 1074Soru →

Analitik düzlemde, $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonunun grafiği olan parabol üzerindeki bir noktanın, $A\left(2, \frac{3}{2}\right)$ noktasına olan uzaklığı en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

Parabol üzerindeki bir noktanın belirtilen noktaya uzaklığı en az 1,5 birimdir.

Parabol üzerindeki genel bir noktanın koordinatları arasındaki bağıntı kullanılarak yazılan uzaklık fonksiyonu

g(y) = y^2 - 2y + 3,25

şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyona dönüşür. Bu fonksiyonun tepe noktası

y=1

değerindedir ve parabolün alabileceği

y \ge -1

değerleri aralığındadır. Dolayısıyla, en küçük uzaklık

y=1

için hesaplanan

1,5

birim değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol üzerindeki genel noktanın koordinatları arasındaki ilişkiyi belirlemek.

y = x^2 - 4x + 3

denklesinden

(x-2)^2 = y+1

elde edilir. Parabolün en küçük y değeri

-1

olduğundan

y \ge -1

olmalıdır.

Uzaklık formülünü tek değişkene indirgemek için iki koordinat arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.

2

Uzaklık karesi denklemini kurmak.

d^2 = (x-2)^2 + (y - 1,5)^2 = y + 1 + y^2 - 3y + 2,25 = y^2 - 2y + 3,25

x

değişkenini yok ederek uzaklık ifadesini

y

değişkenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak yazmak.

3

Elde edilen ikinci dereceden fonksiyonun en küçük değerini tepe noktası yardımıyla bulmak.

y = 1

için

d^2 = 2,25

minimum değerini alır.

y^2 - 2y + 3,25

parabolik fonksiyonunun tepe noktası

y = 1

konumundadır ve bu değer

y \ge -1

tanım kümesine dahildir.

4

Kareköklü ifadeyi hesaplayarak en kısa uzaklığı bulmak.

d = \sqrt{2,25} = 1,5

birim.

Uzaklığın karesinden uzaklığın kendisine geçiş yapmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) sınırlı bir aralıkta alabileceği en büyük veya en küçük değeri, tepe noktasının konumu ve sınır değerleri incelenerek bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 1075Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 3}

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,

f(x - 2) \cdot f(x + 1) \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayılarının toplamı

-1

olarak bulunur.

Yapılan fonksiyon dönüşümleri ve işaret tablosu analizi sonucunda, paydanın tanımsızlık noktaları hariç tutulup eşitsizliği negatif yapan tüm tam sayıların toplanmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x - 2)

ve

f(x + 1)

fonksiyonlarının kurallarını belirleyin.

f(x-2) = \frac{(x-2)^2-4}{x-2-3} = \frac{x^2-4x}{x-5} = \frac{x(x-4)}{x-5}

ve

f(x+1) = \frac{(x+1)^2-4}{x+1-3} = \frac{x^2+2x-3}{x-2} = \frac{(x+3)(x-1)}{x-2}

Eşitsizlikte yer alan fonksiyonların

x

cinsinden açık kurallarını bulmak için.

2

Eşitsizlikteki iki ifadeyi çarparak tek bir rasyonel eşitsizlik elde edin.

\frac{x(x-4)(x+3)(x-1)}{(x-5)(x-2)} \leq 0

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret incelemesini tek bir tablo üzerinde yapabilmek için.

3

Pay ve paydanın köklerini bularak işaret tablosunu oluşturun.

Pay��n kökleri:

-3, 0, 1, 4

. Paydanın kökleri:

2, 5

. Köklerin sıralaması:

-3 < 0 < 1 < 2 < 4 < 5

. İşaret tablosunda en sağ aralık

(+)

ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir:

(5, \infty) \rightarrow (+)

,

(4, 5) \rightarrow (-)

,

(2, 4] \rightarrow (+)

,

(1, 2) \rightarrow (-)

,

[0, 1] \rightarrow (+)

,

[-3, 0] \rightarrow (-)

,

(-\infty, -3] \rightarrow (+)

.

Eşitsizliği sıfırdan küçük veya eşit yapan aralıkları doğru bir şekilde tespit etmek için.

4

Çözüm kümesindeki tam sayılar�� listeleyin ve toplayın.

Çözüm kümesi

[-3, 0] \cup [1, 2) \cup [4, 5)

aralıklarından oluşur. Bu aralıklardaki tam sayılar:

-3, -2, -1, 0, 1, 4

. Bu sayıların toplam�� ise

(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 = -1

olur.

Bizden istenen sağlayan tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi, fonksiyon ötelemelerinde köklerin doğru kaydırılması ve işaret tablosu analizi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 1076Soru →

\frac{(x^2 - 4x) \cdot (x - 3)^2}{x^2 - 2x - 15} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

-3

1

4

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

E��itsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.

Çözüm kümesi doğru biçimde belirlendiğinde eşitsizliği sağlayan tam sayıların

-2, -1, 0, 3

ve

4

olduğu görülür. Bu sayıların toplamı

4

değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizlikte yer alan tüm çarpanların kökleri bulunur ve köklerin türleri belirlenir.

Payın kökleri:

x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0

ve

x = 4

(tek katlı kökler),

(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3

(çift katlı kök). Paydanın kökleri:

x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 5

ve

x = -3

(tek katlı kökler).

İşaret tablosunun sınırlarını belirlemek ve çift katlı köklerin davranışını tespit etmek amacıyla her bir çarpan sıfıra eşitlenir.

2

Bulunan kökler sayı doğrusu sırasına göre dizilerek işaret tablosu oluşturulur.

Kök sıralaması:

-3 < 0 < 3 < 4 < 5

. En sağdaki aralık olan

(5, \infty)

aralığında ifadenin işareti

+

ile başlar. İşaretler tek katlı köklerde değişirken, çift katlı kök olan

3

değerinde değişmeden korunur. Tablo:
-

(5, \infty) \rightarrow +

-

(4, 5) \rightarrow -

-

(3, 4) \rightarrow +

-

(0, 3) \rightarrow +

-

(-3, 0) \rightarrow -

-

(-\infty, -3) \rightarrow +

Değişken aralıklarına göre tüm ifadenin işaret değişimlerini incelemek için işaret tablosu yöntemi uygulanır.

3

Eşitsizliği sağlayan aralıklar belirlenerek çözüm kümesi yazılır.

Eşitsizlik

\leq 0

ko��ulunu aradığından negatif bölgeler seçilir. Eşitlik durumu nedeniyle payın kökleri (

0, 3, 4

) çözüm kümesine dahil edilirken, paydayı sıfır yapan kökler (

-3, 5

) hariç tutulur. Çözüm kümesi:

ÇK = (-3, 0] \cup \{3\} \cup [4, 5)

olarak elde edilir.

Payı sıfır yapan kökler eşitsizliği sağlar ancak paydanın kökleri ifadeyi tanımsız yaptığı için her zaman çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.

4

Çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.

Çözüm kümesindeki tam sayılar:

-2, -1, 0, 3, 4

değerleridir. Bu sayıların toplamı:

(-2) + (-1) + 0 + 3 + 4 = 4

bulunur.

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayılarının toplamına ulaşılması amaçlanmıştır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde pay ve payda köklerinin ayrı ayrı bulunması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi kuralları.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1077Soru →

f(x) = \frac{(x-2)^2 \cdot (x-1) \cdot (x-5)}{(x-2) \cdot (x-3)}

olmak üzere,

f(x) \leq 0

eşitsizliğini sa��layan

x

pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

9

10

12

13

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için öncelikle paydayı sıfır yapan değerlerin (

x = 2

ve

x = 3

) çözüm kümesinde yer alamayacağı belirlenir. Ardından pay ve paydadaki ortak

(x-2)

çarpanları sadeleştirilerek elde edilen ifade için işaret tablosu oluşturulur. Tabloda negatif olan bölgeler ve payı sıfır yapan değerler

[1, 2) \cup (3, 5]

olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar olan 1, 4 ve 5 toplandığında 10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Paydanın sıfır olma durumunun belirlenmesi

x \neq 2

ve

x \neq 3

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez.

2

Ortak çarpanların sadeleştirilmesi ve yeni eşitsizliğin yazılması

x \neq 2

olmak üzere,

\frac{(x-2)(x-1)(x-5)}{x-3} \leq 0

İşaret incelemesini kolaylaştırmak amacıyla ortak çarpanlar sadeleştirilir, ancak başlangıçtaki tanımsızlık koşulu (

x \neq 2

) saklı tutulur.

3

Yeni ifadenin köklerinin bulunması ve işaret tablosunun oluşturulması

Kökler:

x = 1

,

x = 2

,

x = 5

(payın kökleri) ve

x = 3

(paydanın kökü). İşaret tablosunda sağdan sola doğru işaretler:

(5, \infty) \rightarrow +

,

(3, 5) \rightarrow -

,

(2, 3) \rightarrow +

,

(1, 2) \rightarrow -

,

(-\infty, 1) \rightarrow +

Köklerin her biri tek katlı olduğundan, tablodaki her kökten geçildiğinde işaret değişir. Baş katsayıların çarpımı pozitif olduğundan en sağdan artı (+) işareti ile başlanır.

4

Çözüm kümesinin belirlenmesi ve pozitif tam sayıların toplanması

Çözüm Kümesi:

[1, 2) \cup (3, 5]

. Pozitif tam sayılar:

1, 4, 5

. Toplam:

1 + 4 + 5 = 10

.

İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olması istendiğinden negatif bölgeler seçilir. Eşitlik durumundan ötürü payın kökleri dahil edilirken, paydayı sıfır yapan

x = 2

ve

x = 3

değerleri kümeden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Payda Köklerinin Hariç Tutulması ve Sadeleştirmede Tanım Kümesinin Korunması

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 1078Soru →

Analitik düzlemde tepe noktası $T(2, -3)$ olan $y = f(x)$ parabolü verilmiştir.

Bu parabolün grafiği;
* $x$ ekseni boyunca sağa $3$ birim,
* $y$ ekseni boyunca yukarı $4$ birim

ötelenerek $y = g(x)$ parabolü elde ediliyor.

Buna göre, $g(x)$ parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

(5, 1)

(-1, 1)

(5, -7)

(-1, -7)

(5, -1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(5, 1)$

Cevap

Apsisi

5

ve ordinatı

1

olan

(5, 1)

noktasıdır.

Bir fonksiyon grafiği sağa ötelendiğinde her noktasının apsis değeri artar, yukarı ötelendiğinde ise ordinat değeri artar. Dolayısıyla tepe noktası

T(2, -3)

olan parabolün öteleme sonrası yeni tepe noktası

(2 + 3, -3 + 4) = (5, 1)

koordinatlarına sahip olur.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinal parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleyin.

T(2, -3)

tepe noktasıdır; apsis

x_0 = 2

ve ordinat

y_0 = -3

olur.

Öteleme işlemlerini gerçekleştirmek için başlangıç koordinatlarını bilmemiz gerekir.

2

Yatay öteleme miktarını apsise uygulayın.

Sağa

3

birim öteleme yapıldığından yeni apsis

2 + 3 = 5

olur.

Bir grafiğin sağa ötelenmesi, üzerindeki noktaların apsis değerlerinin öteleme miktarı kadar artması demektir.

3

Dikey öteleme miktarını ordinata uygulayın.

Yukarı

4

birim öteleme yapıldığından yeni ordinat

-3 + 4 = 1

olur.

Bir grafiğin yukarı ötelenmesi, üzerindeki noktaların ordinat değerlerinin öteleme miktarı kadar artması demektir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun veya parabolün grafiği yatay veya dikey ötelendiğinde, tepe noktası da aynı doğrultuda ve miktarda ötelenir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 1079Soru →

Aşağıda verilen $x$ , $y$ , $z$ ve $w$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama

w < x < y < z

şeklindedir.

Verilen ifadeler indirgendiğinde

w = -\tan(40^\circ)

,

x = -\sin(10^\circ)

,

y = \sin(20^\circ)

ve

z = \tan(40^\circ)

elde edilir. Negatif değerler kendi arasında kıyaslandığında

w < x

, pozitif değerler kendi arasında kıyaslandığında ise

y < z

olduğu görülür. Bu iki durum birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların bölgelerini belirleyip işaret tespiti yapınız.

190^\circ

III. bölgededir (sinüs negatif),

220^\circ

III. bölgededir (tanjant pozitif),

290^\circ

IV. bölgededir (kosinüs pozitif),

310^\circ

IV. bölgededir (kotanjant negatif). Bu durumda

w < 0

,

x < 0

ve

y > 0

,

z > 0

olur.

Sıralama yaparken ilk adım sayıların işaretlerini belirleyerek pozitif ve negatif gruplara ayırmaktır.

2

Açıları indirgeme formüllerini kullanarak I. bölgedeki dar açılara dönüştürünüz.

x = -\sin(10^\circ)

,

y = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)

,

z = \tan(40^\circ)

,

w = -\cot(50^\circ) = -\tan(40^\circ)

elde edilir.

Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri kıyaslayabilmek için hepsini I. bölgedeki eşdeğer ifadelerine dönüştürmek gerekir.

3

Eşdeğer ifadeleri büyüklüklerine göre karşılaştırıp nihai sıralamayı oluşturunuz.

10^\circ < 40^\circ

olduğundan

\sin(10^\circ) < \tan(40^\circ)

olur. Buradan negatif değerler için

-\tan(40^\circ) < -\sin(10^\circ)

yani

w < x

elde edilir. Pozitif değerler için ise

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ)

olduğundan

y < z

olur. Sonuç olarak

w < x < y < z

sıralaması bulunur.

Birinci bölgede açılar büyüdükçe sinüs ve tanjant fonksiyonlarının değerleri artar; ayrıca aynı açı için tanjant değeri her zaman sinüs değerinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Bölgelere Göre İndirgenmesi ve İşaret Analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1080Soru →

Bir kenarı örülü duvar olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin diğer üç kenarı 40 metre uzunluğundaki bir tel örgüyle çevrilmiştir. Bu bahçenin alanının alabileceği en büyük değer kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Bahçenin alanının alabileceği en büyük değer 200 metrekaredir.

Bahçenin alanı

A(x) = -2x^2 + 40x

parabolüyle modellenir. En büyük alan, bu parabolün tepe noktasının ordinat değeri olan

k

değeridir ve bu değer 200 metrekaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Bahçenin kenar uzunluklarını

x

değişkeni cinsinden belirlemek

Duvara dik kenarlar

x

metre, duvara paralel kenar

40 - 2x

metre olur.

Çevreyi oluşturan telin toplam uzunluğu 40 metredir ve bahçenin bir kenarı duvardır.

2

Bahçenin alanını veren ikinci dereceden fonksiyonu yazmak

A(x) = -2x^2 + 40x

Dikdörtgenin alanı, farklı iki kenar uzunluğunun çarpımı ile hesaplanır.

3

Alanı en büyük yapan

x

değerini bulmak için parabolün tepe noktasının apsisini hesaplamak

r = 10

Kolları aşağı doğru olan paraboller en büyük değerlerini tepe noktasında alır.

4

Maksimum alanı bulmak için tepe noktasının apsisini fonksiyon yerine yazıp sonucu hesaplamak

200

A(10) = 200

değeri alan fonksiyonunun alabileceği en büyük değerdir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının koordinatlarını kullanarak maksimum değerini hesaplama.

Tahmini Süre:1m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm