Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1021Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=(3−m)x+5f(x) = (3 - m)x + 5

fonksiyonu azalan bir fonksiyondur.

Buna göre, mm parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (3,∞)(3, \infty)

Cevap

m parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı (3,∞)(3, \infty) açık aralığıdır.
Birinci dereceden f(x)=ax+bf(x) = ax + b biçimindeki bir fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde azalan olması için eğiminin negatif, yani a<0a < 0 olması gerekir. Verilen f(x)=(3−m)x+5f(x) = (3 - m)x + 5 fonksiyonunda xx'in katsayısı 3−m3 - m olduğuna göre 3−m<03 - m < 0 eşitsizliği sağlanmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde m>3m > 3 bulunur. Bu durum, mm parametresinin (3,∞)(3, \infty) açık aralığında değerler alması gerektiğini gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun azalanlık şartını belirlemek.
Birinci dereceden f(x)=ax+bf(x) = ax + b fonksiyonunun azalan olması için eğiminin negatif (a<0a < 0) olması gerekir.
Doğrusal fonksiyonlarda fonksiyon değerlerinin sürekli azalması için eğimin negatif olması zorunludur.
2
xx'in katsayısı olan 3−m3 - m ifadesini sıfırdan küçük yapan eşitsizliği kurmak.
3−m<03 - m < 0 eşitsizliği elde edilir.
f(x)=(3−m)x+5f(x) = (3 - m)x + 5 fonksiyonunda eğim 3−m3 - m değeridir.
3
Eşitsizliği çözerek mm parametresinin aralığını bulmak.
m>3m > 3 bulunur. Bu aralık (3,∞)(3, \infty) şeklinde gösterilir.
Eşitsizliğin her iki tarafına mm eklenerek 3<m3 < m elde edilir, bu da m>3m > 3 demektir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden fonksiyonların eğimlerine göre artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1022Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ve g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonları her xx gerçel sayısı için sırasıyla f(x)>0f(x) > 0 ve g(x)<0g(x) < 0 eşitsizliklerini sağlamaktadır.

ff fonksiyonu daima artan ve gg fonksiyonu daima azalan olduğuna göre,

I. u(x)=f(x)⋅g(x)u(x) = f(x) \cdot g(x)
II. v(x)=1g(x)−f(x)v(x) = \frac{1}{g(x) - f(x)}
III. w(x)=(g∘f)(x)+g(x)w(x) = (g \circ f)(x) + g(x)

fonksiyonlarından hangileri R\mathbb{R} üzerinde daima azalan bir fonksiyondur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadelerinde verilen fonksiyonlar daima azalandır.
I ve III ifadelerinde verilen fonksiyonlar daima azalandır. Çarpım fonksiyonunda çarpanların işaretleri ve monotonluk yönleri çarpımın azalan olmasını sağlarken, bileşke ve toplam fonksiyonunda iki azalan fonksiyonun toplamı her zaman azalanlık özelliğini korur.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncüldeki u(x)=f(x)⋅g(x)u(x) = f(x) \cdot g(x) fonksiyonunun monotonluğunu incelemek için tanım kümesinden x1<x2x_1 < x_2 elemanlarını seçelim.
ff fonksiyonu pozitif değerli ve daima artan olduğundan 0<f(x1)<f(x2)0 < f(x_1) < f(x_2) olur. gg fonksiyonu negatif değerli ve daima azalan olduğundan g(x1)>g(x2)g(x_1) > g(x_2) yani −g(x2)>−g(x1)>0-g(x_2) > -g(x_1) > 0 olur. Pozitif terimli eşitsizliklerin taraf tarafa çarpımından f(x1)⋅[−g(x1)]<f(x2)⋅[−g(x2)]⇒f(x1)g(x1)>f(x2)g(x2)f(x_1) \cdot [-g(x_1)] < f(x_2) \cdot [-g(x_2)] \Rightarrow f(x_1)g(x_1) > f(x_2)g(x_2) elde edilir.
Eşitsizlik u(x1)>u(x2)u(x_1) > u(x_2) haline geldiği için uu fonksiyonu daima azalandır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
2
II. öncüldeki v(x)=1g(x)−f(x)v(x) = \frac{1}{g(x) - f(x)} fonksiyonunun paydasındaki ifadenin ve tüm ifadenin monotonluğunu inceleyelim.
g(x)g(x) daima azalan ve −f(x)-f(x) daima azalan olduğundan, bunların toplamı olan y(x)=g(x)−f(x)y(x) = g(x) - f(x) daima azalandır. Ayrıca g(x)<0g(x) < 0 ve f(x)>0f(x) > 0 olduğundan y(x)<0y(x) < 0 (negatif değerli) olur. Negatif değerli ve azalan bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi olan v(x)=1y(x)v(x) = \frac{1}{y(x)} fonksiyonu için x1<x2x_1 < x_2 alındığında 0>y(x1)>y(x2)⇒1y(x1)<1y(x2)0 > y(x_1) > y(x_2) \Rightarrow \frac{1}{y(x_1)} < \frac{1}{y(x_2)} elde edilir.
v(x1)<v(x2)v(x_1) < v(x_2) olduğundan vv fonksiyonu daima artandır, azalan değildir. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
3
III. öncüldeki w(x)=(g∘f)(x)+g(x)w(x) = (g \circ f)(x) + g(x) fonksiyonunu oluşturan bileşenlerin monotonluğunu inceleyelim.
ff artan ve gg azalan olduğundan, bileşke fonksiyon (g∘f)(x)(g \circ f)(x) daima azalandır. g(x)g(x) fonksiyonu da daima azalan olarak verilmiştir. İki azalan fonksiyonun toplamı olan w(x)=(g∘f)(x)+g(x)w(x) = (g \circ f)(x) + g(x) da daima azalan bir fonksiyon olur.
İki azalan fonksiyonun toplamı her zaman azalan olduğundan ww fonksiyonu daima azalandır. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların tanımı, fonksiyon bileşkesinin monotonluğu ve işaret durumlarına göre fonksiyon işlemlerinin monotonluk üzerindeki etkileri.
Soru 1023Soru →
f:[a,∞)→Rf: [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2−10x+24f(x) = x^2 - 10x + 24
fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta artandır.
Buna göre, aa gerçek sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a gerçek sayısının alabileceği en küçük değer 5'tir.
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi 5'tir ve kolları yukarı doğru olan bu parabol 5'ten büyük veya eşit xx değerleri için artandır. Tanımlanan [a,∞)[a, \infty) aralığında fonksiyonun artan kalması için aa değeri 5'ten küçük olamaz, bu nedenle en küçük değeri 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama
r=5r = 5
İkinci dereceden bir fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanl��ktan artanlığa geçtiği sınır noktası tepe noktasıdır.
2
Artan olduğu en geniş aralığı belirleme
[5,∞)[5, \infty) aralığı
x2x^2 teriminin katsayısı pozitif olduğundan parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktasından itibaren artan olur.
3
Verilen tanım kümesi ile artanlık aralığını karşılaştırma
a≥5a \ge 5 ve en küçük a=5a = 5
[a,∞)[a, \infty) kümesinin tamamen artanlık aralığı olan [5,∞)[5, \infty) içinde kalması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) artan olduğu en geniş aralık, başkatsayısı pozitif ise [r,∞)[r, \infty) aralığıdır.
Soru 1024Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her x∈Rx \in \mathbb{R} için pozitif değerli olan ff fonksiyonu azalandır.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her x∈Rx \in \mathbb{R} için negatif değerli olan gg fonksiyonu artandır.

Buna göre,

I. (f⋅g)(x)(f \cdot g)(x)
II. (f∘g)(x)(f \circ g)(x)
III. (g−f)(x)(g - f)(x)

ifadelerinden hangileri gerçel sayılar kümesi üzerinde her zaman artandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen koşullarda, x1<x2x_1 < x_2 iken f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 olur. Çarpım fonksiyonunun farkı (f⋅g)(x2)−(f⋅g)(x1)=f(x2)[g(x2)−g(x1)]+g(x1)[f(x2)−f(x1)](f \cdot g)(x_2) - (f \cdot g)(x_1) = f(x_2)[g(x_2) - g(x_1)] + g(x_1)[f(x_2) - f(x_1)] şeklinde yazıldığında her iki terim de pozitif olacağından sonuç pozitif çıkar ve fonksiyon artandır. Benzer şekilde, gg fonksiyonu artan, −f-f fonksiyonu da artan olduğundan toplamları olan g−fg - f fonksiyonu da her zaman artandır. Dolayısıyla I ve III ifadeleri her zaman artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon özelliklerini matematiksel eşitsizliklerle tanımlamak.
x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 (çünkü ff pozitif değerli ve azalan) ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 (çünkü gg negatif değerli ve artan) eşitsizlikleri elde edilir.
Fonksiyonların artanlık, azalanlık ve işaret özelliklerini analiz edebilmek için temel tanımları kurmak gerekir.
2
Birinci öncüldeki (f⋅g)(x)(f \cdot g)(x) ifadesinin artanlığını incelemek.
(f⋅g)(x2)−(f⋅g)(x1)=f(x2)g(x2)−f(x1)g(x1)(f \cdot g)(x_2) - (f \cdot g)(x_1) = f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_1) farkın�� f(x2)[g(x2)−g(x1)]+g(x1)[f(x2)−f(x1)]f(x_2)[g(x_2) - g(x_1)] + g(x_1)[f(x_2) - f(x_1)] şeklinde yazalım. Burada f(x2)>0f(x_2) > 0 ve g(x2)−g(x1)>0g(x_2) - g(x_1) > 0 olduğundan birinci terim pozitiftir. g(x1)<0g(x_1) < 0 ve f(x2)−f(x1)<0f(x_2) - f(x_1) < 0 olduğundan ikinci terim de iki negatif sayının çarpımı olarak pozitiftir. İki pozitif ifadenin toplamı pozitif olacağından (f⋅g)(x2)>(f⋅g)(x1)(f \cdot g)(x_2) > (f \cdot g)(x_1) elde edilir. Dolayısıyla ��arpım fonksiyonu her zaman artandır.
Çarpım fonksiyonunun artan olup olmadığını artanlık tanımını kullanarak cebirsel olarak kanıtlamak amacıyla bu adım uygulanır.
3
İkinci öncüldeki bileşke fonksiyon (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ifadesinin artanlığını incelemek.
x1<x2x_1 < x_2 iken gg artan olduğu için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) olur. ff fonksiyonu azalan olduğundan, bu eşitsizliğin her iki tarafına ff uygulandığında eşitsizlik yön de��iştirir: f(g(x1))>f(g(x2))f(g(x_1)) > f(g(x_2)). Bu durum, bileşke fonksiyonun azalan olduğunu gösterir. Dolayısıyla bu öncül her zaman artan değildir.
Bileşke fonksiyonların artanlık/azalanlık özelliklerini belirlerken içteki ve dıştaki fonksiyonların yön değiştirme durumlarını incelemek gerekir.
4
Üçüncü öncüldeki (g−f)(x)(g - f)(x) fark fonksiyonunun artanlığını incelemek.
x1<x2x_1 < x_2 için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) dir. Ayrıca f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) olduğundan, her iki tarafı −1-1 ile çarpt��ğımızda −f(x1)<−f(x2)-f(x_1) < -f(x_2) elde edilir. Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak g(x1)−f(x1)<g(x2)−f(x2)g(x_1) - f(x_1) < g(x_2) - f(x_2) elde edilir. Bu da (g−f)(x)(g - f)(x) fonksiyonunun her zaman artan olduğunu gösterir.
İki fonksiyonun farkının büyüme eğilimini belirlemek için her birinin değişim yönünü toplanabilir eşitsizlikler haline getirmek gerekir.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların cebirsel özellikleri, bileşke ve aritmetik işlemler altındaki davranışları.
Soru 1025Soru →

f:[−1,4]→Rf: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5

fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dört
Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, tanım kümesi içerisindeki tepe noktasının ordinatıdır. f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 fonksiyonunun tepe noktası apsisi r=1r = 1 olup bu değer [−1,4][-1, 4] aralığındadır. Bu noktadaki fonksiyon değeri f(1)=4f(1) = 4 olduğundan en küçük değer dörttür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 parabolünün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplayalım.
r=−b2a=−−22⋅1=1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 bulunur.
Bir parabolün en büyük veya en küçük değeri, eğer tanım kümesi içinde yer alıyorsa, tepe noktasında oluşur.
2
Bulunan tepe noktası apsisi olan r=1r = 1 değerinin tanım kümesi olan [−1,4][-1, 4] aralığında olup olmadığını kontrol edelim.
1∈[−1,4]1 \in [-1, 4] olduğu için fonksiyon bu noktada en küçük değerini alabilir.
Tepe noktası tanım aralığının dışındaysa, en küçük değer aralığın uç noktalarında aranmalıdır.
3
Tepe noktasının ordinatını (k=f(r)k = f(r)) ve aralığın uç noktalarındaki değerleri (f(−1)f(-1) ve f(4)f(4)) hesaplayıp karşılaştıralım.
f(1)=12−2(1)+5=4f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 4, f(−1)=(−1)2−2(−1)+5=8f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 5 = 8, f(4)=42−2(4)+5=13f(4) = 4^2 - 2(4) + 5 = 13 bulunur.
Bu değerler arasından en küçük olanı fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir. Dolayısıyla en küçük değer 44 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktası ve aralığın uç noktaları kontrol edilir.
Soru 1026Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun bu aralıkta alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı 10'dur.
Fonksiyonun bu aralıktaki en küçük değeri tepe noktasında 3, en büyük değeri ise uç noktalarda 7'dir. Toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
r=2r = 2 ve k=f(2)=3k = f(2) = 3 bulunur.
Parabolün en küçük/en büyük değer adaylarından biri tepe noktasıdır.
2
Tepe noktasının apsisinin tanımlı aralıkta olup olmadığını inceleyelim.
2∈[0,4]2 \in [0, 4] olduğundan fonksiyonun en küçük değeri f(2)=3f(2) = 3 olur.
Tepe noktası [0,4][0, 4] aralığının içinde yer alır.
3
Aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım.
f(0)=7f(0) = 7 ve f(4)=7f(4) = 7 bulunur. Bu değerler fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeridir.
Sınırlı aralıktaki sürekli fonksiyonların maksimum/minimum değerleri uç noktalarda veya tepe noktasında bulunabilir.
4
En büyük ve en küçük değerleri toplayalım.
7+3=107 + 3 = 10 bulunur.
Soru kökünde bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktası ve aralık uç noktaları incelenir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1027Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu artan, gg fonksiyonu ise azalan bir fonksiyondur.

Her xx gerçel sayısı için
f(x2−3x−10)<f(2x+4)f(x^2 - 3x - 10) < f(2x + 4)
ve
g(x2−a)<g(12)g(x^2 - a) < g(12)
eşitsizlikleri veriliyor.

Bu iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi (3,7)(3, 7) açık aralığı olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Aranan gerçel sayı değeri -3 olarak bulunur.
Artan fonksiyonlarda eşitsizlik yön korurken, azalan fonksiyonlarda eşitsizlik yön değiştirir. Elde edilen iki eşitsizlik sisteminin en geniş ortak çözüm aralığı incelendiğinde, sol taraftaki negatif aralığın boş küme kalması için sınır şartı sağlanmalı, sağ taraftaki pozitif aralığın alt sınırı ise 3 olmalıdır. Bu analizler sonucunda a+12=9a + 12 = 9 denklemi kurularak a=−3a = -3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Artan fonksiyon tanımını kullanarak birinci eşitsizliği sadeleştirmek
x2−3x−10<2x+4  ⟹  x2−5x−14<0  ⟹  x∈(−2,7)x^2 - 3x - 10 < 2x + 4 \implies x^2 - 5x - 14 < 0 \implies x \in (-2, 7)
Artan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirmez.
2
Azalan fonksiyon tanımını kullanarak ikinci eşitsizliği sadeleştirmek
x2−a>12  ⟹  x2>a+12x^2 - a > 12 \implies x^2 > a + 12. C=a+12>0C = a + 12 > 0 için çözüm kümesi I2=(−∞,−C)∪(C,∞)I_2 = (-\infty, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, \infty)
Azalan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirir.
3
İki çözüm kümesinin kesişimini analiz etmek
Kesişim kümesi: ((−2,−C)∪(C,7))((-2, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, 7))
En geniş ortak çözüm kümesinin (3,7)(3, 7) aralığına eşit olması şartını incelemek için kesişim alt aralıkları belirlenir.
4
Kesişim kümesini (3,7)(3, 7) aralığına eşitleyerek sınır değerlerini bulmak
C=9C = 9 değeri C≥4C \ge 4 şartını sağlar.
Sol taraftaki aralığın boş küme olması için −C≤−2  ⟹  C≥4-\sqrt{C} \le -2 \implies C \ge 4 olmalı, sağ taraftaki aralığın başlangıç sınırının 3 olması için ise C=3  ⟹  C=9\sqrt{C} = 3 \implies C = 9 olmalıdır.
5
Bilinmeyen aa parametresini hesaplamak
a+12=9  ⟹  a=−3a + 12 = 9 \implies a = -3
Tanımladığımız CC değişkeninin değerini yerine yazarak aa parametresine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Artan ve Azalan Fonksiyonların Tanımı ve Eşitsizlik Çözümleriyle İlişkisi
Soru 1028Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2−2(k−2)x+5f(x) = x^2 - 2(k - 2)x + 5
fonksiyonu [3,∞)[3, \infty) aralığında artandır.
g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
g(x)=(k−7)x2+4x−3g(x) = (k - 7)x^2 + 4x - 3
fonksiyonu (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artandır.

Buna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

k gerçek sayısı 5'tir.
Verilen f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının sırasıyla [3,∞)[3, \infty) ve (−∞,1](-\infty, 1] aralıklarında artan olabilmesi için parabollerin tepe noktaları ve yönleri analiz edilmelidir. f(x)f(x)'in baş katsayısı pozitif olduğundan tepe noktasının sağında artandır; bu durum k−2≤3  ⟹  k≤5k-2 \le 3 \implies k \le 5 olmasını gerektirir. g(x)g(x)'in sol yarıda artan olabilmesi için kollarının aşağı doğru olması gerekir, bu da k<7k < 7 demektir. Bu durumda g(x)g(x) tepe noktasının solunda artan olup, rg≥1  ⟹  27−k≥1  ⟹  k≥5r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1 \implies k \ge 5 elde edilir. Her iki koşulu da sağlayan yegane değer k=5k = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun artanlık aralığından kk için bir sınır bulunması.
k≤5k \le 5
f(x)=x2−2(k−2)x+5f(x) = x^2 - 2(k-2)x + 5 parabolünün baş katsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı doğrudur. Parabolün tepe noktası rf=k−2r_f = k-2 olup, [rf,∞)[r_f, \infty) aralığında artandır. [3,∞)[3, \infty) aralığında artan olması için [3,∞)⊆[k−2,∞)[3, \infty) \subseteq [k-2, \infty) olmalıdır, bu da k−2≤3  ⟹  k≤5k-2 \le 3 \implies k \le 5 koşulunu getirir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun yönünün (kollarının yönünün) belirlenmesi.
k<7k < 7
g(x)g(x) parabolünün (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olması istenmektedir. Eğer parabolün kolları yukarı doğru olsaydı (k>7k > 7), artan olduğu aralık [rg,∞)[r_g, \infty) şeklinde sağdan sınırsız olurdu ve (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olamazdı. Bu yüzden kollar aşağı doğru olmalıdır, yani k−7<0  ⟹  k<7k - 7 < 0 \implies k < 7 olmalıdır.
3
g(x)g(x) fonksiyonunun tepe noktasından kk için alt sınır bulunması.
k≥5k \ge 5
Kolları aşağı doğru olan g(x)=(k−7)x2+4x−3g(x) = (k-7)x^2 + 4x - 3 parabolü tepe noktası rg=−42(k−7)=27−kr_g = -\frac{4}{2(k-7)} = \frac{2}{7-k} olmak üzere (−∞,rg](-\infty, r_g] aralığında artandır. (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olması için (−∞,1]⊆(−∞,rg](-\infty, 1] \subseteq (-\infty, r_g] olmalıdır, bu da rg≥1  ⟹  27−k≥1r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1 eşitsizliğini verir. k<7k < 7 olduğundan 7−k>07-k > 0 olup, eşitsizliği 2≥7−k  ⟹  k≥52 \ge 7-k \implies k \ge 5 olarak çözebiliriz.
4
Elde edilen eşitsizliklerin kesiştirilmesi.
k=5k = 5
f(x)f(x)'in artanlık koşulundan k≤5k \le 5, g(x)g(x)'in artanlık koşulundan ise 5≤k<75 \le k < 7 elde edilmiştir. Bu iki koşulu aynı anda sağlayan tek gerçek sayı değeri k=5k = 5'tir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) artan ve azalan oldukları aralıklar, tepe noktasının apsisi (r=−b/2ar = -b/2a) ve baş katsayının işareti kullanılarak belirlenir.
Soru 1029Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,

* ff fonksiyonu pozitif değerli ve azalandır.
* gg fonksiyonu negatif değerli ve artandır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)

Cevap

Çarpım fonksiyonu olan f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)
Çarpım fonksiyonu incelendiğinde, x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 özellikleri kullanılarak yapılan eşitsizlik işlemlerinde (f⋅g)(x1)<(f⋅g)(x2)(f \cdot g)(x_1) < (f \cdot g)(x_2) sonucuna kesin olarak ulaşılır. Bu durum, çarpım fonksiyonunun daima artan olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlardan yola çıkarak x1<x2x_1 < x_2 için fonksiyonların değer aralıklarını ve yönlerini belirleme.
f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 eşitsizlikleri elde edilir.
ff fonksiyonunun pozitif değerli ve azalan, gg fonksiyonunun ise negatif değerli ve artan olarak tanımlanması.
2
f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) eşitsizliğinde her iki tarafı negatif değerli olan g(x1)g(x_1) ile çarpma.
f(x1)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x1)f(x_1) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_1) eşitsizliği elde edilir.
Negatif bir sayı ile çarpılan eşitsizliğin y��n değiştirmesi.
3
g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) eşitsizliğinde her iki tarafı pozitif değerli olan f(x2)f(x_2) ile çarpma.
f(x2)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x2)f(x_2) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_2) eşitsizliği elde edilir.
Pozitif bir sayı ile çarpılan eşitsizliğin yönünü koruması.
4
Elde edilen iki eşitsizliği geçişme özelliği yardımıyla birleştirme.
f(x1)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x2)f(x_1) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_2) yani (f⋅g)(x1)<(f⋅g)(x2)(f \cdot g)(x_1) < (f \cdot g)(x_2) eşitsizliği elde edilir.
Her iki eşitsizlikte de ortak olan f(x2)⋅g(x1)f(x_2) \cdot g(x_1) terimi üzerinden geçişme özelliğinin uygulanması.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların artanlık ve azalanlık tanımlarının eşitsizlik özellikleri kullanılarak analiz edilmesi
Soru 1030Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için her x1,x2∈Rx_1, x_2 \in \mathbb{R} ve x1≠x2x_1 \neq x_2 olmak üzere,
f(x1)−f(x2)x1−x2<0\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0
eşitsizliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,3](-\infty, 3]

Cevap

g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
Verilen değişim oranı bağıntısı, ff fonksiyonunun gerçel sayılarda daima azalan olduğunu gösterir. g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8) bileşke fonksiyonunun artan olabilmesi için, azalan bir fonksiyonun içine yazılan u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 ifadesinin azalan olması gerekir. Başkatsayısı pozitif olan u(x)u(x) parabolünün tepe noktası x=3x = 3 olup, bu parabol (−∞,3](-\infty, 3] aralığında azalandır. Dolayısıyla g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun monotonluk (artan/azalan) durumunu belirleme.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde daima azalandır.
Her x1≠x2x_1 \neq x_2 için f(x1)−f(x2)x1−x2<0\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0 oranı verilmiştir. Bu oran fonksiyonun ortalama değişim hızı formülüdür. Değişim oranının daima negatif olması, fonksiyonun tanım kümesinde daima azalan olduğunu gösterir.
2
Bileşke fonksiyon yapısındaki g(x) fonksiyonunun artanlık koşulunu analiz etme.
g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) fonksiyonunun artan olması için u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 ifadesinin azalan olması gerekir.
ff azalan bir fonksiyon olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Yani u(x1)>u(x2)  ⟹  f(u(x1))<f(u(x2))u(x_1) > u(x_2) \implies f(u(x_1)) < f(u(x_2)) olur. g(x)g(x) fonksiyonunun artan olması (x1<x2  ⟹  g(x1)<g(x2)x_1 < x_2 \implies g(x_1) < g(x_2)) için, içteki u(x)u(x) fonksiyonunun azalan (x1<x2  ⟹  u(x1)>u(x2)x_1 < x_2 \implies u(x_1) > u(x_2)) olması gerekmektedir.
3
u(x) = x^2 - 6x + 8 parabolünün azalan olduğu en geniş aralığı bulma.
u(x)u(x) fonksiyonu (−∞,3](-\infty, 3] aralığında azalandır.
u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 parabolünün başkatsayısı 1>01 > 0 olduğu için kolları yukarı doğrudur. Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62⋅1=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 olarak bulunur. Kolları yukarı doğru olan bir parabol tepe noktasına kadar azalandır. Bu nedenle azalan olduğu en geni�� aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
4
Elde edilen sonuçları birleştirerek g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı yazma.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
u(x)u(x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık, g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığa eşittir.

Anahtar Kavram

Değişim oranı yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi, bileşke fonksiyonların monotonluk analizi ve ikinci dereceden fonksiyonların (parabol) artan/azalan olduğu aralıkların bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1031Soru →
xx bir dar açı olmak üzere,
cos⁡(3π2+x)+sin⁡(π−x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sin(\pi - x)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2sin⁡x2\sin x

Cevap

İfadenin en sade hali 2sin⁡x2\sin x olarak bulunur.
Trigonometrik indirgeme kurallarına göre cos⁡(3π2+x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) ifadesi 4. bölgede kosinüsün işareti pozitif olduğu ve düşey eksen kullanıldığı için sin⁡x\sin x değerine eşittir. sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesi ise 2. bölgede sinüsün işareti pozitif olduğu ve yatay eksen kullanıldığı için sin⁡x\sin x değerine eşittir. Bu iki ifadenin toplamı sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan cos⁡(3π2+x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(3π2+x)=sin⁡x\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x
3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgededir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti (+) pozitiftir. Düşey eksen (3π2\frac{3\pi}{2}) kullanıldığı için fonksiyonun ismi kosinüsten sinüse dönüşür.
2
İkinci terim olan sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x
π−x\pi - x açısı 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti (+) pozitiftir. Yatay eksen (π\pi) kullanıldığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Bulunan değerleri toplayarak ifadenin sonucunu elde edelim.
sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x
Her iki terimin indirgenmiş halleri toplandığında ifadenin en sade haline ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesinde bölge işareti tespiti ve kullanılan eksene göre isim değiştirme kuralları.
Tahmini Süre:45s
Soru 1032Soru →
f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,4][1, 4] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Ortalama değişim hızı 77 olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülü f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} şeklindedir. [1,4][1, 4] aralığı için f(4)=24f(4) = 24 ve f(1)=3f(1) = 3 değerleri formülde yerine yazıldığında 24−34−1=213=7\frac{24 - 3}{4 - 1} = \frac{21}{3} = 7 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Sınır noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(1)=3f(1) = 3 ve f(4)=24f(4) = 24
Ortalama değişim hızı formülünde kullanılacak f(a)f(a) ve f(b)f(b) değerlerini bulmak için
2
Ortalama değişim hızı formülünü uygulama
f(4)−f(1)4−1=24−33=7\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{24 - 3}{3} = 7
Belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızını bulmak için

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun verilen bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkının aralık genişliğine oranıdır.
Soru 1033Soru →

Bir biyoloji laboratuvarında incelenen bakteri popülasyonunun tt. saatteki sayısının (bin adet olarak) zamana göre değişimi P(t)=a⋅bt+cP(t) = a \cdot b^t + c fonksiyonu ile modellenmektedir (burada aa, bb ve cc birer gerçek sayı olup b>1b > 1 ve a>0a > 0'dır).

Bu modelde bakteri popülasyonunun;
- İlk 2 saatteki ([0,2][0, 2] zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte 66 bin bakteri,
- 2. saat ile 4. saat arasındaki ([2,4][2, 4] zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte 2424 bin bakteridir.

Buna göre, bu bakteri popülasyonunun [1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte kaç bin bakteridir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Bakteri popülasyonunun [1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte 12 bin bakteridir.
Verilen iki farklı zaman aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözülerek modelin katsayıları olan a=4a = 4 ve b=2b = 2 değerlerine ulaşılır. Sonrasında istenen [1,3][1, 3] aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında sonucun 1212 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
[0,2][0, 2] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.
a(b2−1)=12a(b^2 - 1) = 12 elde edilir.
Ortalama değişim hızı formülü P(b)−P(a)b−a\frac{P(b) - P(a)}{b - a} şeklindedir. [0,2][0, 2] aralığı için P(2)−P(0)2−0=6\frac{P(2) - P(0)}{2 - 0} = 6 eşitliği kullanılır.
2
[2,4][2, 4] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.
a⋅b2(b2−1)=48a \cdot b^2(b^2 - 1) = 48 elde edilir.
[2,4][2, 4] aralığı için ortalama değişim hızı P(4)−P(2)4−2=24\frac{P(4) - P(2)}{4 - 2} = 24 olarak verilmiştir.
3
Elde edilen iki denklem birbirine oranlanarak bb taban değeri çözülür.
b2=4b^2 = 4 ve b>1b > 1 koşuluyla b=2b = 2 bulunur.
Her iki denklemde ortak olan a(b2−1)a(b^2 - 1) terimlerini sadeleştirmek için bölme işlemi yapılır.
4
b=2b = 2 değeri ilk denklemde yerine yazılarak aa katsayısı bulunur.
a=4a = 4 bulunur.
a(22−1)=12⇒3a=12⇒a=4a(2^2 - 1) = 12 \Rightarrow 3a = 12 \Rightarrow a = 4 elde edilir.
5
[1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı formülü kurularak hesaplama tamamlanır.
Ortalama değişim hızı 1212 olarak hesaplanır.
P(3)−P(1)3−1=4(23−2)2=12\frac{P(3) - P(1)}{3 - 1} = \frac{4(2^3 - 2)}{2} = 12 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralıktaki değişim miktarının bağımsız değişkendeki değişime oranıdır.
Soru 1034Soru →
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonunun [2,5][2, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 77'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Ortalama değişim hızı formülü uygulandığında pay kısmında f(5)−f(2)=21f(5) - f(2) = 21, payda kısmında 5−2=35 - 2 = 3 elde edilir. Bu değerlerin oranı olan 21/3=721 / 3 = 7 sayısı ifadedeki değerle birebir uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
[2,5][2, 5] aralığının sınır değerleri olan x=2x = 2 ve x=5x = 5 değerleri için fonksiyonun aldığı değerler hesaplanır.
f(2)=22+1=5f(2) = 2^2 + 1 = 5 ve f(5)=52+1=26f(5) = 5^2 + 1 = 26 bulunur.
Ortalama değişim hızı formülünün pay kısmındaki terimleri elde etmek amacıyla.
2
f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} ortalama değişim hızı formülü verilen aralık için uygulanır.
f(5)−f(2)5−2=26−55−2=213=7\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{26 - 5}{5 - 2} = \frac{21}{3} = 7 olarak bulunur.
Fonksiyonun belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızını tespit etmek amacıyla.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı, bu aralığın uç noktalarından geçen kesen doğrusunun eğimine eşittir ve f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} bağıntısıyla hesaplanır.
Soru 1035Soru →

Yüklemler mantığında niceleyiciler ve sembolleştirme kuralları çerçevesinde; E={a,b}E = \{a, b\} evreninde tanımlı G(x)G(x): "xx gariptir." ve D(x)D(x): "xx dahidir." yüklemleri verilmiştir. Buna göre, "Hiçbir garip dahi değildir." önermesinin sembolik karşılığı olan ∼∃x(G(x)∧D(x))\sim \exists x (G(x) \land D(x)) ifadesi ile "Her dahi garip olmayan biridir." önermesinin sembolik karşılığı olan ∀x(D(x)→∼G(x))\forall x (D(x) \rightarrow \sim G(x)) ifadesinin birbirine mantıksal olarak denk olduğu ve bu denkliğin EE evrenindeki açılımının [(∼G(a)∨∼D(a))∧(∼G(b)∨∼D(b))][(\sim G(a) \lor \sim D(a)) \land (\sim G(b) \lor \sim D(b))] şeklinde yapılması gerektiği yönündeki iddia doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İleri sürülen iddia tamamen doğrudur.
Verilen iddiadaki her iki önerme de mantıksal çözümlemeler yapıldığında aynı sembolik açılıma ulaşır. 'Hiçbir garip dahi değildir' ifadesi ile 'Her dahi garip olmayan biridir' ifadesi eşdeğerdir ve E={a,b}E = \{a, b\} evrenindeki açılımları tam olarak iddia edilen biçimdedir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk önermenin sembolleştirilmesi ve eşdeğerinin bulunması
"Hiçbir garip dahi değildir." önermesi ∼∃x(G(x)∧D(x))\sim \exists x (G(x) \land D(x)) biçiminde sembolleştirilir. Niceleyici değilleme kuralı uygulanarak bu ifade ∀x∼(G(x)∧D(x))\forall x \sim (G(x) \land D(x)) şekline getirilir.
Tikel niceleyicinin değillemesi, niceleyicinin tümele dönüştürülüp içteki ifadenin değillenmesi esasına dayanır.
2
De Morgan kuralının uygulanması
∀x∼(G(x)∧D(x))\forall x \sim (G(x) \land D(x)) ifadesinde içteki değilleme dağıtıldığında ∀x(∼G(x)∨∼D(x))\forall x (\sim G(x) \lor \sim D(x)) ifadesi elde edilir.
Tümel evetleme ekleminin değili, bileşenlerin değillerinin tikel evetlemesidir.
3
İkinci önermenin sembolleştirilmesi ve eşdeğerinin bulunması
"Her dahi garip olmayan biridir." önermesi ∀x(D(x)→∼G(x))\forall x (D(x) \rightarrow \sim G(x)) olarak sembolleştirilir. Koşul ekleminin eşdeğerlik kuralı (p→q≡∼p∨qp \rightarrow q \equiv \sim p \lor q) uygulanarak bu ifade ∀x(∼D(x)∨∼G(x))\forall x (\sim D(x) \lor \sim G(x)) haline getirilir.
Her iki sembolik ifadenin iç mantıksal yapılarının birbirine denk olup olmadığını görmek için aynı eklemlere indirgenmesi gerekir.
4
İfadelerin karşılaştırılması ve evren açılımının yapılması
∼G(x)∨∼D(x)\sim G(x) \lor \sim D(x) ile ∼D(x)∨∼G(x)\sim D(x) \lor \sim G(x) ifadeleri değişme özelliği gereği denktir. Dolayısıyla ∀x(∼G(x)∨∼D(x))\forall x (\sim G(x) \lor \sim D(x)) ifadesinin E={a,b}E = \{a, b\} evrenindeki açılımı [(∼G(a)∨∼D(a))∧(∼G(b)∨∼D(b))][(\sim G(a) \lor \sim D(a)) \land (\sim G(b) \lor \sim D(b))] olarak bulunur.
Tümel niceleyicili önermelerin sonlu bir evrendeki açılımı, evrendeki her bir eleman için yazılan özelleme önermelerinin tümel evetleme bağı ile bağlanmasıyla gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Yüklemler mantığında niceleyicilerin değillenmesi, koşul ekleminin tikel evetlemeye dönüştürülmesi ve tümel niceleyicili önermelerin sonlu evrendeki açılımı.
Soru 1036Soru →
Azalan bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu yardımıyla
g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8)
fonksiyonu tanımlanıyor.

gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,a](-\infty, a] olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür. Azalan bir fonksiyon altında bileşke fonksiyonun artan olabilmesi için içteki fonksiyonun azalan olması gerekir. Buna göre x^2 - 6x + 8 parabolü tepe noktası olan x = 3'ün solunda, yani (-∞, 3] aralığında azalandır. Bu nedenle g fonksiyonu bu aralıkta artan olur ve a = 3 bulunur.
g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için içteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir (çünkü f azalandır). u(x) parabolünün tepe noktası apsisi 3 olduğundan, bu parabolün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır. Buradan a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun artanlık koşulunu analiz etmek.
g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir.
f fonksiyonu azalan olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Bu yüzden, x arttıkça g(x) değerlerinin artması için girdisi olan u(x) değerlerinin azalması gerekir.
2
İçteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığı bulmak.
u(x) parabolünün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır.
Kolları yukarı doğru olan bir parabolün azalan olduğu bölge, tepe noktasının sol tarafıdır. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3 olduğundan, azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olur.
3
a değerini tespit etmek.
a = 3 bulunur.
g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olarak elde edilir. Soruda bu aralık (-∞, a] olarak verildiğinden a = 3'tür.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonlarda Artanlık ve Azalanlık
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1037Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2(k+1)x+k2+2k−3f(x) = x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k - 3
parabolünün eksenleri kestiği farklı noktalar AA, BB ve CC olarak adlandırılıyor.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenine CC noktasında teğet olduğuna göre, kk sayısının alabileceği farklı gerçel değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Çemberin teğetlik ve kiriş özellikleri kullanılarak elde edilen denklemin gerçel köklerinin çarpımı olan -4 sayısı doğru cevaptır.
Çemberin teğetlik ve kiriş özellikleri doğrultusunda merkezinin M(k+1,k2+2k−3)M(k+1, k^2+2k-3) ve yarıçapının R=∣k+1∣R = |k+1| olduğu tespit edilir. Merkezin A(k−1,0)A(k-1, 0) noktasına uzaklığından elde edilen k2+2k−4=0k^2+2k-4 = 0 denkleminin kökler çarpımı −4-4 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleyelim.
f(x)=x2−2(k+1)x+k2+2k−3=0f(x) = x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k - 3 = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Kökler x1,2=(k+1)±2x_{1,2} = (k+1) \pm 2 şeklinde bulunur. Böylece xx-eksenini kesim noktaları A(k−1,0)A(k-1, 0) ve B(k+3,0)B(k+3, 0) olur. yy-eksenini kesim noktası ise C(0,k2+2k−3)C(0, k^2+2k-3)'tür.
Çemberin geçeceği noktaların koordinatlarını elde etmek için parabolün eksenleri kestiği noktalar hesaplanır.
2
Çemberin merkezini ve yarıçapını belirleyelim.
Çember yy-eksenine C(0,yC)C(0, y_C) noktasında teğet olduğundan merkezinin yy-koordinatı yC=k2+2k−3y_C = k^2+2k-3 olur. Çember AA ve BB noktalarından geçtiği için merkezinin xx-koordinatı simetri ekseni üzerinde olmalıdır: x0=(k−1)+(k+3)2=k+1x_0 = \frac{(k-1)+(k+3)}{2} = k+1. Dolayısıyla merkez M(k+1,k2+2k−3)M(k+1, k^2+2k-3) ve yarıçap R=∣k+1∣R = |k+1| olur.
Teğetlik ve kiriş özelliklerini kullanarak çemberin geometrik denklemini kurmak için bu koordinatlar belirlenir.
3
Merkezin çember üzerindeki AA noktasına olan uzaklığını yarıçapa eşitleyelim.
((k+1)−(k−1))2+(k2+2k−3−0)2=R2  ⟹  4+(k2+2k−3)2=(k+1)2((k+1) - (k-1))^2 + (k^2+2k-3 - 0)^2 = R^2 \implies 4 + (k^2+2k-3)^2 = (k+1)^2 denklemi elde edilir.
Çemberin üzerindeki bir noktanın merkeze olan uzaklığı yarıçapa eşit olduğundan bu bağıntı yazılır.
4
Değişken değiştirme yöntemiyle denklemi çözelim.
t=k2+2k−3t = k^2+2k-3 dersek (k+1)2=k2+2k+1=t+4(k+1)^2 = k^2+2k+1 = t+4 olur. Buradan 4+t2=t+4  ⟹  t2−t=0  ⟹  t(t−1)=04 + t^2 = t + 4 \implies t^2 - t = 0 \implies t(t-1) = 0 bulunur. Buradan t=0t = 0 veya t=1t = 1 elde edilir.
İkinci dereceden denklemi basitleştirerek çözmek için değişken değiştirme uygulanır.
5
Noktaların farklı olması koşulunu inceleyerek kk değerlerini bulalım.
t=0  ⟹  k2+2k−3=0t = 0 \implies k^2+2k-3 = 0 durumunda C(0,0)C(0,0) olur, bu durumda parabol orijinden geçer ve kesim noktaları çakışır. Noktaların farklı olması gerektiğinden bu durum elenir. t=1  ⟹  k2+2k−3=1  ⟹  k2+2k−4=0t = 1 \implies k^2+2k-3 = 1 \implies k^2+2k-4 = 0 denklemi kalır. Bu denklemin diskriminantı Δ=20>0\Delta = 20 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Kökler çarpımı ise Vieta formülünden −41=−4\frac{-4}{1} = -4 olarak bulunur.
Soruda verilen koşullara uyan geçerli kk değerlerinin çarpımını bulmak için bu analiz tamamlanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar, simetri ekseni, çemberin analitik incelenmesi ve teğetlik özellikleri.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1038Soru →

Analitik düzlemde f(x)=(x−3)2−4f(x) = (x - 3)^2 - 4 fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatları toplamı 11'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek amacıyla sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir. x=0x=0 için y eksenini kesim noktası (0,5)(0, 5) olarak belirlenir. y=0y=0 için x eksenini kesim noktaları (1,0)(1, 0) ve (5,0)(5, 0) olarak hesaplanır. Bu üç noktanın tüm koordinatları toplandığında 11 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y eksenini kestiği noktayı bulunuz.
(0,5)(0, 5)
Parabolün y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x=0x = 0 yazılır: f(0)=(0−3)2−4=9−4=5f(0) = (0-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 elde edilir.
2
Parabolün x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
(1,0)(1, 0) ve (5,0)(5, 0)
Parabolün x eksenini kestiği noktaları bulmak için y=0y = 0 yazılıp denklem çözülür: (x−3)2−4=0⇒(x−3)2=4⇒x−3=2(x-3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 4 \Rightarrow x-3 = 2 veya x−3=−2x-3 = -2 olup buradan x1=5x_1 = 5 ve x2=1x_2 = 1 bulunur.
3
Bulunan tüm noktaların koordinatlarını toplayınız.
11
Eksenleri kesim noktaları (5,0)(5, 0), (1,0)(1, 0) ve (0,5)(0, 5) olduğuna göre, koordinatların toplam��: 5+0+1+0+0+5=115 + 0 + 1 + 0 + 0 + 5 = 11 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarının bulunması
Soru 1039Soru →

Grafiği y=x2−4x−12y = x^2 - 4x - 12 denklemiyle verilen parabolün, xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Parabolün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 8 birimdir.
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaların apsisleri, x2−4x−12=0x^2 - 4x - 12 = 0 denkleminin kökleri olan 66 ve −2-2 sayılarıdır. Analitik düzlemde bu noktalar arasındaki mesafe ∣6−(−2)∣=8|6 - (-2)| = 8 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için y=0y = 0 denklemi kurulur.
x2−4x−12=0x^2 - 4x - 12 = 0 denklemi elde edilir.
Bir grafiğin xx-eksenini kestiği noktalarda ordinat (yy) değeri sıfırdır.
2
x2−4x−12=0x^2 - 4x - 12 = 0 ifadesi çarpanlarına ayrılır ve kökler belirlenir.
(x−6)(x+2)=0(x - 6)(x + 2) = 0 eşitliğinden kökler x1=6x_1 = 6 ve x2=−2x_2 = -2 olarak bulunur.
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan kök değerleridir.
3
Elde edilen apsis değerleri arasındaki mutlak fark hesaplanır.
∣6−(−2)∣=8|6 - (-2)| = 8 birim bulunur.
Koordinat düzleminde xx-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların apsislerinin farkının mutlak değeridir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden bir ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri arasındaki uzaklık Δ∣a∣\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle doğrudan hesaplanabilir. Δ=b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅(−12)=16+48=64\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 olur. Buradan uzaklık 64∣1∣=8\frac{\sqrt{64}}{|1|} = 8 birim olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1040Soru →
f(x)=∣x2−2x−3∣−2xf(x) = |x^2 - 2x - 3| - 2x

kuralıyla verilen ff fonksiyonunun [−4,4][-4, 4] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri 29, en küçük değeri ise -6 olup bu değerlerin toplamı 23'tür.
Fonksiyonun [−4,4][-4, 4] aralığındaki davranışı incelendiğinde, mutlak değerin tanımından ötürü fonksiyon parçalı bir yapıya bürünür. Bu aralıktaki yerel ekstremum noktaları ve sınır noktaları kontrol edildiğinde, fonksiyonun alabileceği en büyük değerin x=−4x = -4 için 2929, alabileceği en küçük değerin ise x=3x = 3 için −6-6 olduğu görülür. Bu iki değer toplandığında 2323 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli ifadenin kritik noktalarını (köklerini) bulma
x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0  ⟹  x=−1x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=3x = 3
Mutlak değerin dışına çıkış durumunu belirlemek amacıyla fonksiyonun kritik noktalarını tespit etmek gerekir.
2
Fonksiyonu tanımlı olduğu aralıklara göre parçalı fonksiyon biçiminde yazma
x≤−1x \le -1 veya x≥3x \ge 3 için f(x)=x2−4x−3f(x) = x^2 - 4x - 3; −1<x<3-1 < x < 3 için f(x)=−x2+3f(x) = -x^2 + 3
Farklı aralıklarda fonksiyonun farklı kurallarla davrandığını görerek analiz etmek gerekir.
3
Birinci parçanın (x≤−1x \le -1 veya x≥3x \ge 3) aralık uçlarındaki ve tepe noktasındaki değerlerini inceleme
f(−4)=29f(-4) = 29, f(−1)=2f(-1) = 2, f(3)=−6f(3) = -6, f(4)=−3f(4) = -3. Tepe noktası x=2x = 2 bu aralıklara ait değildir.
Sınır noktalarındaki değerleri hesaplayarak olası ekstremum adaylarını belirlemek gerekir.
4
İkinci parçanın (−1<x<3-1 < x < 3) tepe noktasını ve değerini inceleme
x=0x = 0 tepe noktası bu aralıktadır ve bu noktada en büyük yerel değer f(0)=3f(0) = 3 olur.
Aralık içinde kalan parabol tepe noktasının fonksiyon değerini hesaplayarak diğer aday ekstremum değerini bulmak gerekir.
5
Tüm aday değerler arasından mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri belirleyip toplama
En büyük değer 2929, en küçük değer −6-6 olup toplamları 29+(−6)=2329 + (-6) = 23 bulunur.
Belirlenen tüm aday değerleri kıyaslayarak en büyük ve en küçük değerlerin toplamını elde etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin belirlenmesi
ÖncekiSayfa 52 / 437Sonraki