Tüm alıştırma soruları

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = (a^2 - 3a + 3)^x

fonksiyonu, tanımlı olduğu her

a

gerçel sayısı için daima artan bir üstel fonksiyondur.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.

Üstel fonksiyonun artan olması için taban değerinin

1

'den büyük olması şarttır. Verilen fonksiyonun tabanı olan

a^2 - 3a + 3

ifadesi,

1 < a < 2

aralığındaki

a

değerleri için

1

'den küçük olup

0

ile

1

arasında değerler aldığından fonksiyon bu aralıkta azalan özellik gösterir. Bu nedenle ifadenin daima artan olduğu iddiası yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Üstel fonksiyonun tanımını ve artanlık şartını belirlemek.

f(x) = b^x

fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için

b > 0

ve

b \neq 1

olmalıdır. Bu fonksiyonun artan olması için ise tabanın

b > 1

şartını sağlaması gerekir.

Üstel fonksiyonlarda taban

1

'den büyük olduğunda fonksiyon artan,

0

ile

1

arasında olduğunda ise azalan olur.

2

Verilen fonksiyonun taban ifadesini artanlık şartına göre incelemek.

a^2 - 3a + 3 > 1

eşitsizliği düzenlendiğinde

a^2 - 3a + 2 > 0

elde edilir. Bu ifade çarpanlarına ayrıldığında

(a - 1)(a - 2) > 0

olur.

Tabanın hangi

a

değerleri için

1

'den büyük (artan) olduğunu tespit etmek amacıyla eşitsizlik çözülür.

3

Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak ve ifadeyi değerlendirmek.

Tabanın

1

'den büyük olduğu aralık

a < 1

veya

a > 2

aralığıdır. Ancak

1 < a < 2

aralığındaki

a

değerleri için taban

0

ile

1

arasında kalır (örneğin

a = 1.5

için taban

0.75

olur). Bu durumda fonksiyon azalan bir üstel fonksiyondur.

Tanımlı her

a

değeri için fonksiyonun artan olmadığını göstererek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların tanım kümesi ve taban özelliklerine göre artanlık/azalanlık durumlarının belirlenmesi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 1442Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonlarından $f$ 'nin grafiği $y$ -eksenine göre, $g$ 'nin grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her

x

gerçel sayısı için

x^2 \cdot f(x) + x \cdot g(x) + f(-x) - g(-x) = x^4 + 4x^2 + 3x

eşitliği sağlandığına göre,

f(2) + g(2)

toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

f(2) + g(2)

toplamının değeri

10

'dur.

f(2) = 4

ve

g(2) = 6

olarak elde edilir, bu değerlerin toplamı

10

'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Grafik simetrilerinden fonksiyonların tek veya çift olma durumlarını belirleme

f(-x) = f(x)

ve

g(-x) = -g(x)

eşitlikleri elde edilir.

f

fonksiyonunun grafiği

y

-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur,

g

fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur.

2

Verilen denklemde

x = 2

yazarak birinci denklemi oluşturma

5f(2) + 3g(2) = 38

denklemi elde edilir.

x=2

için denklem

4f(2) + 2g(2) + f(-2) - g(-2) = 16 + 16 + 6

olur. Simetri kuralları (

f(-2)=f(2)

ve

g(-2)=-g(2)

) uygulandığında bu denklem elde edilir.

3

Verilen denklemde

x = -2

yazarak ikinci denklemi oluşturma

5f(2) + g(2) = 26

denklemi elde edilir.

x=-2

için denklem

4f(-2) - 2g(-2) + f(2) - g(2) = 16 + 16 - 6

olur. Simetri kuralları uygulandığında

4f(2) + 2g(2) + f(2) - g(2) = 26 \implies 5f(2) + g(2) = 26

elde edilir.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme

g(2) = 6

ve

f(2) = 4

bulunur.

5f(2) + 3g(2) = 38

denkleminden

5f(2) + g(2) = 26

denklemi ��ıkarılarak

2g(2) = 12 \implies g(2) = 6

bulunur. Bulunan değer yerine yazılarak

f(2) = 4

elde edilir.

5

f(2) + g(2)

toplamını hesaplama

f(2) + g(2) = 10

İstenen değer iki fonksiyonun

x=2

noktasındaki değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel özellikleri ve grafik simetrileri

Soru 1443Soru →

$x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ olmak üzere,

\sqrt{1 - \sin(2x)} + \cos x = \frac{4}{5}

olduğuna göre, $\sin(2x)$ değeri kaçtır?

\frac{24}{25}

-\frac{24}{25}

\frac{12}{25}

-\frac{9}{25}

\frac{7}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{24}{25}$

Cevap

\sin(2x) = \frac{24}{25}

Verilen

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında

\sin x > \cos x > 0

olduğu için

\sqrt{1 - \sin(2x)}

ifadesi

\sin x - \cos x

olarak dışarı çıkar. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında

-\cos x

ile

+\cos x

birbirini götürür ve

\sin x = \frac{4}{5}

elde edilir. Birinci bölgede

\sin x = \frac{4}{5}

ise

\cos x = \frac{3}{5}

olur. Buradan yarım açı formülüyle

\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Karekök içindeki ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla tam kare şeklinde yazma

1 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2

özdeşliği elde edilir.

Karekök dışına çıkarabilmek için ifadenin tam kare biçimine getirilmesi gerekir.

2

İfadeyi karekök dışına çıkarma ve açı aralığına göre işaret analizi yapma

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında

\sin x > \cos x > 0

olduğundan,

\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x

olarak çıkar.

Çift dereceli kök dışına çıkan ifadeler mutlak değerli yazılmalı ve açının bulunduğu bölgedeki büyüklük ilişkisine göre mutlak değerden çıkarılmalıdır.

3

Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak

\sin x

değerini bulma

(\sin x - \cos x) + \cos x = \frac{4}{5} \implies \sin x = \frac{4}{5}

bulunur.

Denklemin sadeleşmesi sonucunda doğrudan sinüs fonksiyonunun değeri elde edilir.

4

Kosinüs değerini hesaplama ve sinüs yarım açı formülünü uygulama

Birinci bölgede

\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}

olur. Buradan

\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

elde edilir.

İstenen

\sin(2x)

değerine ulaşmak için sinüsün iki kat açı formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin sadeleştirilmesi ve değer hesabı

Soru 1444Soru →

\arcsin\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) + \arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) + \arctan\left(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{3\pi}{4}

\frac{\pi}{4}

-\frac{5\pi}{12}

\frac{7\pi}{12}

\frac{19\pi}{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{5\pi}{12}$

Cevap

-\frac{5\pi}{12}

Doğru cevap, her bir fonksiyonun esas değer aralığındaki karşılıkları doğru hesaplandığında elde edilen değerdir. İlk terim olan arksinüs ifadesinin karşılığı üçüncü bölgedeki sinüsün negatifliği ve fonksiyonun değer aralığı gözetilerek

-\frac{\pi}{3}

olarak bulunur. İkinci terim olan arkkosinüs ifadesi için kosinüsün çift fonksiyon olması ve arkkosinüsün değer aralığının pozitif olmasından dolayı

\frac{\pi}{6}

elde edilir. Üçüncü terim olan arctanjant ifadesi ise dördüncü bölgedeki negatiflik nedeniyle

-\frac{\pi}{4}

değerini alır. Bu üç değerin toplamı

-\frac{5\pi}{12}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci terim olan

\arcsin\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)

ifadesini hesaplayınız.

-\frac{\pi}{3}

\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

olur.

\arcsin(y)

fonksiyonunun değer kümesi

\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

aralığı olduğundan,

\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}

olarak bulunur.

2

İkinci terim olan

\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)

ifadesini hesaplayınız.

\frac{\pi}{6}

\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

olur.

\arccos(y)

fonksiyonunun değer kümesi

[0, \pi]

aralığı olduğundan,

\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}

olarak bulunur.

3

Üçüncü terim olan

\arctan\left(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)

ifadesini hesaplayınız.

-\frac{\pi}{4}

\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1

olur.

\arctan(y)

fonksiyonunun değer kümesi

\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığı olduğundan,

\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}

olarak bulunur.

4

Bulunan değerleri toplayarak sonucu bulunuz.

-\frac{5\pi}{12}

-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{-4\pi + 2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Değer Kümesi Sınırları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1445Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 4x + a$ parabolü ile $y = 2x + 1$ doğrusu $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedir. $A$ ve $B$ noktalarının apsisleri arasındaki fark $4$ birim olduğuna göre, $a$ gerçek sayısı kaçtır?

10

9

6

4

-15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki farkın 4 birim olmasını sağlayan a gerçek sayısı 6'dır.

Ortak çözüm denklemi olan

x^2 - 6x + a - 1 = 0

denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsisleridir. Apsisler arasındaki fark 4 birim olduğundan kökler farkı

|x_1 - x_2| = 4

olur. İkinci dereceden denklemlerde kökler farkı ile kökler toplamı ve çarpımı arasındaki

(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2

ilişkisi kullanılarak

16 = 36 - 4(a-1)

eşitliğine ulaşılır. Buradan

a = 6

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyip ortak çözüm denklemini elde edin.

x^2 - 4x + a = 2x + 1 \implies x^2 - 6x + a - 1 = 0

Kesişim noktalarının apsisleri, bu ikinci dereceden denklemin kökleridir.

2

Elde edilen denklemin kökleri

x_1

ve

x_2

olmak üzere, kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini yazın.

x_1 + x_2 = 6

ve

x_1 \cdot x_2 = a - 1

Kökler arasındaki farkı katsayılara bağlamak için kök-katsayı ilişkilerini kullanmamız gerekir.

3

Köklerin farkının mutlak değeri

|x_1 - x_2| = 4

bilgisini kullanarak özdeşlik yardımıyla

a

değerini hesaplayın.

(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \implies 16 = 36 - 4(a - 1) \implies 16 = 40 - 4a \implies 4a = 24 \implies a = 6

İki kök arasındaki farkın karesi, kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifade edilerek bilinmeyen parametre bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun ortak çözüm denkleminin kökleri ve kök-katsayı ilişkileri

Alternatif Yöntem

Kökler farkı formülü olan

|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

doğrudan kullanılabilir.

x^2 - 6x + a - 1 = 0

denkleminde baş katsayı

1

olduğundan,

|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta} = 4 \implies \Delta = 16

olur.

\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = 36 - 4a + 4 = 40 - 4a

olduğundan,

40 - 4a = 16 \implies 4a = 24 \implies a = 6

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1446Soru →

\frac{\tan(55^\circ) - \tan(10^\circ)}{1 + \tan(55^\circ) \cdot \tan(10^\circ)}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1

-1

\sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

1

değeri doğru cevaptır.

Verilen ifade tanjant fark formülünün açılımıdır. Formül uygulandığında

\tan(55^\circ - 10^\circ) = \tan(45^\circ)

elde edilir.

45

derecelik açının tanjantı

1

olduğundan doğru cevap

1

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Tanjant fark formülünü yazalım.

\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta}

Soruda verilen ifadenin yapısı iki açının farkının tanjantı formülü ile aynıdır.

2

İfadede

\alpha = 55^\circ

ve

\beta = 10^\circ

değerlerini yerleştirelim.

\frac{\tan(55^\circ) - \tan(10^\circ)}{1 + \tan(55^\circ) \cdot \tan(10^\circ)} = \tan(55^\circ - 10^\circ)

Formülü sadeleştirilmiş biçimde yazarak işlemi kolaylaştırmak.

3

Açıların farkını alalım.

\tan(45^\circ)

55^\circ - 10^\circ = 45^\circ

olduğundan dolayı.

4

Trigonometrik değeri hesaplayalım.

1

45^\circ

açısının tanjant değeri

1

olduğu için.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 1447Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\tan x - \cot x = -4

olduğuna göre,

\sin(4x)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

0.8

Verilen denklemde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında

\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x)

ve payda kısmında

\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}

elde edilir. Buradan denklem

-2\cot(2x) = -4

halini alır ve

\cot(2x) = 2

bulunur. Çarpmaya göre tersi alınarak

\tan(2x) = 0.5

değerine ulaşılır. Son adımda

\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)}

formülü uygulandığında sonuç

0.8

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlenir.

\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = -4

İfadeyi yarım açı formülleriyle sadeleştirebilmek için temel trigonometrik fonksiyonlara dönüşt��rmek gerekir.

2

Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri yerlerine yazılır.

\cot(2x) = 2

Elde edilen kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik oran cinsinden yazıp sadeleştirmek hedeflenir.

3

Kotanjant oranından yararlanarak tanjant oranı belirlenir.

\tan(2x) = 0.5

Sonraki adımda sinüs iki kat açı formülünü tanjant cinsinden daha hızlı uygulayabilmek için bu değer hesaplanır.

4

Tanjant değeri bilinen

2x

açısının iki katı olan

4x

açısının sinüs değeri formül yardımıyla bulunur.

\sin(4x) = 0.8

İstenen

\sin(4x)

değerine doğrudan ulaşmak için yarım açı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant farkının yarım açı formülleri ile sadeleştirilmesi ve iki kat açının sinüs değerinin bulunması.

Soru 1448Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

\sqrt{1 - \sin(2x)} - \sin(x) = \frac{3}{5}

olduğuna g��re, $\sin(2x)$ değeri kaçtır?

-\frac{24}{25}

\frac{24}{25}

-\frac{12}{25}

\frac{12}{25}

-\frac{7}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{24}{25}$

Cevap

-\frac{24}{25}

İkinci bölgedeki işaret kurallarına uyularak karekök dışına çıkarma işlemi yapıldıktan sonra elde edilen

\cos x = -\frac{3}{5}

ve

\sin x = \frac{4}{5}

değerleri yarım açı formülünde yerine yazıldığında

-\frac{24}{25}

değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Karekök içindeki ifadenin tam kare açılımı şeklinde yazılması

1 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2

özdeşliği kullanılarak

\sqrt{1 - \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|

elde edilir.

Karekök dışına çıkarma işlemini doğru yapabilmek için kök içini tam kareye dönüştürürüz.

2

Açının bulunduğu bölgeye göre mutlak değer işaretinin belirlenmesi

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

aralığı ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan,

\sin x - \cos x

farkı pozitif bir değerdir. Bu nedenle

|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x

olarak dışarı çıkar.

Mutlak değer dışına çıkarma işlemi açının bulunduğu bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerine bağlıdır.

3

Denklemin çözülerek

\cos x

değerinin bulunması

Bulunan ifade denklemde yerine yazıldığında,

(\sin x - \cos x) - \sin x = \frac{3}{5} \Rightarrow -\cos x = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos x = -\frac{3}{5}

elde edilir.

Denklemdeki sinüs terimleri birbirini sadeleştirir ve kosinüsün değerine doğrudan ulaşmamızı sağlar.

4

\sin x

değerinin hesaplanması

x

açısı ikinci bölgede olduğundan

\sin x > 0

olmalıdır.

\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

bulunur.

Sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamının

1

olması kuralı kullanılarak sinüs değeri elde edilir.

5

\sin(2x)

yarım açı formülünün uygulanması

\sin(2x) = 2 \sin x \cos x

formülünde elde edilen değerler yerine konulursa,

\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}

sonucuna ulaşılır.

Yarım açı formülü yardımıyla iki kat açının sinüs değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki bir açının trigonometrik değerlerini kullanarak yarım açı formülleriyle sin(2x) değerinin bulunması

Alternatif Yöntem

\cos x = -\frac{3}{5}

ve

\sin x = \frac{4}{5}

değerleri bulunduktan sonra

\sin x - \cos x = \frac{7}{5}

olduğu görülür. Bu ifadenin her iki tarafının karesi alındığında

\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{49}{25} \Rightarrow 1 - \sin(2x) = \frac{49}{25}

olur. Buradan

\sin(2x) = 1 - \frac{49}{25} = -\frac{24}{25}

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1449Soru →

Bir $ABC$ dar açılı üçgeninde $\tan(\widehat{A})$ , $\tan(\widehat{B})$ ve $\tan(\widehat{C})$ değerleri sırasıyla ardışık pozitif tam sayılardır. Buna göre, $\cot(\widehat{C} - \widehat{A})$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ardışık pozitif tam sayı tanjant değerlerine sahip dar açılı üçgenin açıları için

\tan A = 1

,

\tan B = 2

ve

\tan C = 3

bulunur. Buradan fark formülüyle hesaplanan

\tan(C-A) = 1/2

değerinin çarpmaya göre tersi alınarak

\cot(C-A) = 2

sonucuna ulaşılır.

Üçgenin iç açılarının toplamı

180^\circ

olduğundan

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C

bağıntısı sağlanır. Bu bağıntıyı sağlayan ardışık pozitif tam sayılar

1, 2, 3

olarak belirlenir. Buradan fark formülü yardımıyla

\tan(C-A) = 1/2

hesaplanır ve çarpmaya göre tersi alınarak

\cot(C-A) = 2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin iç açılarının tanjantları arasındaki bağıntıyı kurma

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C

A+B+C = \pi

olduğundan

\tan(A+B) = -\tan C

eşitliği açıldığında bu temel özdeşlik elde edilir.

2

Ardışık pozitif tam sayı kabulüyle denklem oluşturma

3(x+1) = x(x+1)(x+2)

\tan A = x

,

\tan B = x+1

ve

\tan C = x+2

değerleri toplam ve çarpım bağıntısında yerine yazılır.

3

Denklemi çözerek tanjant değerlerini belirleme

\tan A = 1

ve

\tan C = 3

x+1

terimleri sadeleştirildiğinde

x^2+2x-3=0

elde edilir; pozitif kök

x=1

olup sırasıyla tanjant değerleri

1, 2, 3

bulunur.

4

Tanjant fark formülünü uygulama

\tan(C-A) = \frac{1}{2}

\tan(C-A) = \frac{\tan C - \tan A}{1 + \tan C \cdot \tan A} = \frac{3-1}{1+3 \cdot 1}

formülüyle fark açısının tanjantı hesaplanır.

5

Kotanjant değerine geçiş yapma

\cot(C-A) = 2

\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}

ilişkisi kullanılarak tanjant değerinin çarpmaya göre tersi alınır.

Anahtar Kavram

Üçgenin iç açılarının trigonometrik oranları arasındaki ilişkiler ve toplam-fark formülleri

Soru 1450Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 4x + 5$ parabolü ile $y = 2x + k$ doğrusu $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedir.

$[AB]$ kirişinin uzunluğu $6\sqrt{5}$ birim olduğuna göre, $k$ gerçek sayısı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatını belirleyen

k

parametresinin değeri 5 olarak bulunur.

Ortak çözüm denkleminin kökleri

x_1

ve

x_2

olmak üzere, kesişim noktaları arasındaki uzaklık

|AB| = \sqrt{1 + m^2} |x_1 - x_2|

formülüyle pratikçe bulunur. Burada eğim

m = 2

ve

|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4k}

'dir. Uzaklık

6\sqrt{5}

olarak eşitlendiğinde

k = 5

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ile doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini bulunuz.

x^2 - 6x + (5 - k) = 0

Kesişim noktalarının apsislerini belirleyen ikinci dereceden denklemi elde etmek için.

2

Ortak çözüm denkleminin kökler farkının mutlak değerini diskriminant yardımıyla ifade ediniz.

|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4k}

Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki mesafeyi

k

parametresine bağlı olarak yazmak için.

3

Kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkı apsisler farkı cinsinden yazınız.

|y_1 - y_2| = 2|x_1 - x_2|

Noktalar doğru üzerinde olduğundan, ordinatlar farkı apsisler farkı ile doğrunun eğiminin çarpımına eşittir.

4

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak

[AB]

kirişinin uzunluğunu

k

cinsinden ifade ediniz.

|AB| = \sqrt{5}|x_1 - x_2| = \sqrt{5}\sqrt{16 + 4k}

Kiriş uzunluğunu veren cebirsel ifadeyi oluşturmak için.

5

Elde edilen kiriş uzunluğu ifadesini verilen

6\sqrt{5}

değerine eşitleyerek

k

'yi bulunuz.

k = 5

Kiriş uzunluğu şartını sağlayan tek

k

gerçek sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktaları arasındaki uzaklık (kiriş uzunluğu), ortak çözüm denkleminin kökleri ve doğrunun eğimi kullanılarak hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1451Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde birinci bölgede bir $A$ noktası ve ikinci bölgede bir $B$ noktası yer almaktadır. $[OA]$ doğru parçasının $x$ -ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı $\theta$ ve $[OB]$ doğru parçasının $x$ -ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı $90^\circ + \theta$ 'dır. $\theta \in (45^\circ, 90^\circ)$ olmak üzere, $A$ ve $B$ noktalarının $y$ -eksenine olan uzaklıkları toplamı $\frac{7}{5}$ birimdir. Buna göre, $\cos\theta$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

0.6 (veya 3/5)

Birim çember üzerindeki A ve B noktalarının y-eksenine olan uzaklıkları sırasıyla |cos θ| ve |-sin θ| değerleridir. Birinci ve ikinci bölgelerde bu değerler cos θ ve sin θ olup toplamları 7/5'tir. Bu toplamın karesi alınarak sin θ - cos θ farkı 1/5 bulunur ve buradan taraf tarafa işlemle cos θ = 0.6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B noktalarının koordinatlarını birim çember üzerindeki açılarına göre belirleme.

A(\cos\theta, \sin\theta)

ve

B(-\sin\theta, \cos\theta)

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları, orijinle birleştiren doğrunun pozitif x-ekseniyle yaptığı açının kosinüsü ve sinüsüdür. B noktası için

\cos(90^\circ+\theta) = -\sin\theta

ve

\sin(90^\circ+\theta) = \cos\theta

dönüşümleri kullanılır.

2

Noktaların y-eksenine olan uzaklıklarını mutlak değer cinsinden yazma ve toplama.

d_A + d_B = \cos\theta + \sin\theta = \frac{7}{5}

Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı apsisinin mutlak değeridir. Birinci bölgede

\cos\theta > 0

ve

\theta \in (45^\circ, 90^\circ)

için ikinci bölgedeki apsis negatif (

-\sin\theta < 0

) olduğundan mutlak değeri

\sin\theta

olur.

3

Toplam ifadesinin karesini alarak çarpım terimini elde etme.

2\sin\theta\cos\theta = \frac{24}{25}

(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta

özdeşliği kullanılır.

4

Fark ifadesinin karesini yazarak fark değerini bulma.

\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{5}

(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}

olur.

\theta \in (45^\circ, 90^\circ)

aralığında

\sin\theta > \cos\theta

olduğundan fark pozitiftir.

5

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek kosinüs değerine ulaşma.

\cos\theta = \frac{3}{5} = 0.6

\sin\theta + \cos\theta = \frac{7}{5}

ve

\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{5}

denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında

2\cos\theta = \frac{6}{5}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve trigonometrik oranların indirgeme formülleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1452Soru →

$\sin(2x) = \cos(x)$ denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığında kaç farklı kökü vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemin

[0, \pi]

kapalı aralığındaki kök sayısı 3'tür.

Denklemin

[0, \pi]

aralığında

\cos(x) = 0

eşitliğini sağlayan

x = \frac{\pi}{2}

olmak üzere 1 kökü ve

\sin(x) = \frac{1}{2}

eşitliğini sağlayan

x = \frac{\pi}{6}

ile

x = \frac{5\pi}{6}

olmak üzere 2 kökü vardır. Bu köklerin hepsi birbirinden farklı olup toplam kök sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Yarım açı formülü uygulanır.

2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)

Sinüs yarım açı özdeşliği olan

\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)

eşitliği kullanılarak denklem düzenlenir.

2

İfade çarpanlarına ayrılır.

\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0

Sadeleştirme nedeniyle kök kaybetmemek için tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak paranteze alınır.

3

Çarpanlar sıfıra eşitlenerek basit denklemler kurulur.

\cos(x) = 0

veya

2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}

Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

4

[0, \pi]

aralığındaki kökler bulunur.

\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

ve

\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}

Fonksiyonların

[0, \pi]

aralığındaki değerleri incelenerek uygun açı değerleri belirlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.

Soru 1453Soru →

\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

x^2 - (\tan\theta - \cot\theta)x - 1 = 0

denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir.

x_1^2 + x_2^2 = 6

olduğuna göre,

\cos\left(\theta + \frac{\pi}{8}\right)

ifadesinin de��eri kaçtır?

-\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

-1

-\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cevap

İstenen ifadenin doğru değeri negatif kök iki bölü iki olup, ikinci bölgedeki kosinüs değerinin negatif olmasından kaynaklanır.

Köklerin kareleri toplamı özdeşliği ve kök-katsayı bağıntıları kullanılarak

(\tan\theta - \cot\theta)^2 = 4

bulunur.

\theta

açısının verilen aralığında

\tan\theta < \cot\theta

olduğundan farkları

-2

olmalıdır.

\tan\theta - \cot\theta = -2\cot(2\theta)

yarım açı özdeşliğiyle

\cot(2\theta) = 1

elde edilir.

2\theta \in (\pi, 3\pi/2)

olduğundan

2\theta = 5\pi/4

ve

\theta = 5\pi/8

bulunur. Buradan istenen ifade

\cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kök-katsayı (Vieta) bağıntılarını yazma

x_1 + x_2 = \tan\theta - \cot\theta

ve

x_1 x_2 = -1

İkinci dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için

2

Köklerin kareleri toplamı bilgisini kullanma

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \implies 6 = (\tan\theta - \cot\theta)^2 - 2(-1) \implies (\tan\theta - \cot\theta)^2 = 4

Verilen köklerin kareleri toplamı değerini denklem katsayıları cinsinden ifade etmek için

3

Açının bulunduğu bölgeye göre işaret analizi yapma

\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığında

\tan\theta < -1

ve

-1 < \cot\theta < 0

olduğundan,

\tan\theta < \cot\theta \implies \tan\theta - \cot\theta < 0

olur. Buradan

\tan\theta - \cot\theta = -2

elde edilir.

Karesi 4 olan ifadenin pozitif veya negatif değerlerinden hangisine eşit olduğunu belirlemek için

4

Yarım açı özdeşliğini kullanma

\tan\theta - \cot\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{-\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = -2\cot(2\theta)

-2\cot(2\theta) = -2 \implies \cot(2\theta) = 1

İfadeyi yarım açı formülleriyle basitleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için

5

Açının değerini bulma

\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies 2\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığındadır. Bu bölgede

\cot(2\theta) = 1

denklemini sağlayan açı

2\theta = \frac{5\pi}{4} \implies \theta = \frac{5\pi}{8}

olur.

Sınırlandırılmış tanım kümesine uygun olan kökü bulmak için

6

İstenen ifadeyi hesaplama

\cos\left(\theta + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Bulunan

\theta

açısını yerine yazarak hedef trigonometrik değeri bulmak için

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde toplam-fark ve yarım açı (iki kat açı) formüllerinin uygun bölgelerdeki işaret kurallarına dikkat edilerek uygulanması.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki

\tan\theta - \cot\theta

ifadesini doğrudan

\sin\theta

ve

\cos\theta

cinsinden yazıp payda eşitleyerek

-2\cot(2\theta)

değerine ulaşmak, doğrudan yarım açı formüllerini hatırlamakta zorlanan öğrenciler için alternatif bir çözüm yoludur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 1454Soru →

\begin{aligned} x^2 + y^2 - 2x + 4y &= 5 \\ xy - x + 2y &= 2 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan tüm $(x, y)$ gerçek sayı ikilileri için $x + y$ toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

-8

-5

-4

0

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Denklem sistemini sağlayan tüm gerçek say�� ikilileri için

x + y

toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı

-4

olur.

Doğru cevap olan

-4

değeri; ikinci denklem çarpanlarına ayrıldığında elde edilen

x = -2

ve

y = 1

doğrusal durumlarının birinci denklemde ayrı ayrı yerine yazılmasıyla elde edilen

(-2, -1)

,

(-2, -3)

,

(0, 1)

ve

(2, 1)

gerçek sayı ikililerinin koordinatları toplamının farklı değerleri olan

-3, -5, 1, 3

sayılarının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İkinci denklemi çarpanlarına ayırarak doğrusal ilişkileri bulma.

xy - x + 2y - 2 = 0 \Rightarrow x(y - 1) + 2(y - 1) = 0 \Rightarrow (x + 2)(y - 1) = 0

elde edilir. Buradan

x = -2

veya

y = 1

bulunur.

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için denklemlerden birini doğrusal çarpanlarına ayırarak değişkenler arası ilişkileri tespit etmek gerekir.

2

x = -2

durumunu birinci denklemde yerine yazarak

y

değerlerini bulma.

(-2)^2 + y^2 - 2(-2) + 4y = 5 \Rightarrow 4 + y^2 + 4 + 4y = 5 \Rightarrow y^2 + 4y + 3 = 0 \Rightarrow (y + 1)(y + 3) = 0

Buradan

y = -1

veya

y = -3

elde edilir. Çözüm ikilileri:

(-2, -1)

ve

(-2, -3)

olur. Bu ikililer için

x + y

değerleri sırasıyla

-3

ve

-5

olarak bulunur.

Elde edilen ilk doğrusal değişken ilişkisini birinci denklemde yerine yazarak bu durumu sağlayan tüm gerçek sayı çözümlerine ulaşırız.

3

y = 1

durumunu birinci denklemde yerine yazarak

x

değerlerini bulma.

x^2 + 1^2 - 2x + 4(1) = 5 \Rightarrow x^2 + 1 - 2x + 4 = 5 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0

Buradan

x = 0

veya

x = 2

elde edilir. Çözüm ikilileri:

(0, 1)

ve

(2, 1)

olur. Bu ikililer için

x + y

değerleri sırasıyla

1

ve

3

olarak bulunur.

Elde edilen ikinci doğrusal değişken ilişkisini birinci denklemde yerine yazarak bu durumu sağlayan tüm gerçek sayı çözümlerine ulaşırız.

4

Elde edilen farklı

x + y

değerlerini toplama.

Farklı

x + y

değerleri:

-3, -5, 1, 3

olarak belirlenir. Bu değerlerin toplamı:

(-3) + (-5) + 1 + 3 = -4

bulunur.

Soruda bizden istenen tüm farklı toplamların nihai toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma ve yerine koyma metodu ile çözüm kümesi bulma.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1455Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sec x \cdot \csc x}{\sec x + \csc x}

b = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - 2\sin x

c = \frac{\tan x - \sin x}{\sin x \cdot \tan x}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

b < a < c

a < b < c

c < b < a

c < a < b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < c < a$

Cevap

b < c < a

sıralaması doğrudur.

b < c < a

sıralamasını içeren seçenek doğrudur. Çünkü verilen aralıkta

b

ifadesi negatif bir değer alırken,

a

ve

c

ifadeleri

1

'den büyüktür.

a

ve

c

ifadelerinin farkı incelendiğinde

a > c

olduğu kanıtlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım aralığını incelemek ve temel işaretleri belirlemek.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı analitik düzlemde ikinci bölgededir. Bu bölgede

\sin x > 0

,

\cos x < 0

ve

\tan x < 0

olur. Ayrıca

x < \frac{3\pi}{4}

olduğundan

|\sin x| > |\cos x|

olup

\sin x + \cos x > 0

ve

\sin x + \cos x < 1

eşitsizlikleri geçerlidir.

İfadelerin işaretlerini belirlemek ve sadeleştirme adımlarında mutlak değerden çıkarma işlemlerini doğru yapabilmek için bölge analizi şarttır.

2

a

ifadesini sadeleştirmek.

a = \frac{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{1}{\sin x + \cos x}

olarak bulunur.

0 < \sin x + \cos x < 1

olduğundan

a > 1

olur.

Sekant ve kosekant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak ifadeyi basitleştirmek gerekir.

3

b

ifadesini sadeleştirmek.

b = \sqrt{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x} - 2\sin x = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - 2\sin x = |\sin x + \cos x| - 2\sin x

olur. İkinci adımda bulduğumuz üzere

\sin x + \cos x > 0

olduğundan mutlak değer dışına aynen çıkar:

b = \sin x + \cos x - 2\sin x = \cos x - \sin x

. Bu aralıkta

\cos x < 0

ve

\sin x > 0

olduğundan

b < 0

olur.

Karekök içindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazarak mutlak değer yardımıyla sadeleştirmek gerekir.

4

c

ifadesini sadeleştirmek.

c = \frac{\tan x}{\sin x \cdot \tan x} - \frac{\sin x}{\sin x \cdot \tan x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} = \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}

elde edilir.

\cos x < 0

olduğundan

1 - \cos x > 1

ve

0 < \sin x < 1

olduğundan

c > 1

olur.

Rasyonel ifadeyi paydalarına ayırıp sadeleştirerek karşılaştırılabilir bir biçime getirmek gerekir.

5

a

ve

c

değerlerini karşılaştırmak.

a - c = \frac{1}{\sin x + \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{-\cos x(1 - \sin x - \cos x)}{\sin x(\sin x + \cos x)}

elde edilir. Paydadaki tüm terimler pozitiftir. Pay kısmında ise

-\cos x > 0

ve

\sin x + \cos x < 1 \implies 1 - \sin x - \cos x > 0

olduğundan pay da pozitiftir. Dolayısıyla

a - c > 0 \implies a > c

olur. Sonuç olarak

b < 0

ve

a, c > 1

olduğundan sıralama

b < c < a

şeklindedir.

İki pozitif değer arasındaki büyüklük ilişkisini fark yöntemiyle belirlemek sıralamayı tamamlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Soru 1456Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sıfırdan farklı $f$ ve $g$ fonksiyonlarından $f$ 'nin grafiği düşey eksene göre, $g$ 'nin grafiği ise başlangıç noktasına göre simetriktir.

Her

x

gerçel sayısı için,

3f(x) - x \cdot g(-x) = 2x^2 + 5

eşitliği sağlanmaktadır.

Ayrıca,

f(2) + g(-2) = 1

olduğuna göre,

f(-2) - 3g(2)

ifadesinin değeri kaçtır?

-19

-9

-3

9

41

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-3$

Cevap

-3

Grafiği düşey eksene göre simetrik olan fonksiyonlar çift (

f(-x) = f(x)

), başlangıç noktasına göre simetrik olan fonksiyonlar ise tektir (

g(-x) = -g(x)

). Bu kurallar doğrultusunda cebirsel ifadeler düzenlendiğinde

3f(2) + 2g(2) = 13

ve

f(2) - g(2) = 1

denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde

g(2) = 2

ve

f(2) = 3

değerlerine ulaşılır.

f

çift fonksiyon olduğundan

f(-2) = f(2) = 3

olur. Buradan istenen

f(-2) - 3g(2)

ifadesinin değeri

3 - 3(2) = -3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonların simetri özelliklerini belirleme ve cebirsel olarak ifade etme.

f

fonksiyonunun grafiği düşey eksene göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, yani her

x

için

f(-x) = f(x)

olur.

g

fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur, yani her

x

için

g(-x) = -g(x)

olur.

Soruda verilen geometrik simetri tanımlarını cebirsel denklemlere dönüştürmek için.

2

Birinci denklemde

g(-x) = -g(x)

özelliğini yerine yazma ve

x = 2

değerini yerleştirme.

-x \cdot g(-x) = -x \cdot (-g(x)) = x \cdot g(x)

olur. Bu durumda denklem

3f(x) + x \cdot g(x) = 2x^2 + 5

halini alır.

x = 2

için

3f(2) + 2g(2) = 2(2^2) + 5 = 13

elde edilir.

f(2)

ve

g(2)

değerlerine bağlı birinci doğrusal denklemi kurmak için.

3

İkinci verilen eşitlikten ikinci denklemi oluşturma.

g(-2) = -g(2)

yazılırsa

f(2) + g(-2) = 1 \implies f(2) - g(2) = 1

elde edilir. Buradan

f(2) = g(2) + 1

yazılabilir.

f(2)

ve

g(2)

bilinmeyenlerini içeren ikinci bağımsız denklemi elde etmek için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.

3(g(2) + 1) + 2g(2) = 13 \implies 5g(2) + 3 = 13 \implies g(2) = 2

bulunur. Bu değer yerine yazıldığında

f(2) = 2 + 1 = 3

elde edilir.

Fonksiyonların

2

noktasındaki değerlerini kesin olarak hesaplamak için.

5

İstenen ifadeyi bulma.

f

çift fonksiyon olduğundan

f(-2) = f(2) = 3

olur. Buradan

f(-2) - 3g(2) = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3

olarak bulunur.

Çift fonksiyon simetri özelliğini kullanarak nihai cevaba ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri ile cebirsel tanımlarının (

f(-x) = f(x)

ve

g(-x) = -g(x)

) bir arada kullanılarak fonksiyonel denklem sistemlerinin çözülmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1457Soru →

\frac{(x - 1)^2 (x + 3)(x - 2)}{x - 2} \geq 0

x^2 - 2x - 3 \leq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı

3

'tür.

Eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizliğin çözüm kümeleri sırasıyla

[-3, \infty) \setminus \{2\}

ve

[-1, 3]

olarak bulunur. Bu iki kümenin kesişimi

[-1, 3] \setminus \{2\}

aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar

-1, 0, 1, 3

olup, toplamları

3

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliği analiz etme ve çözüm kümesini bulma.

x \neq 2

olmak üzere, çözüm kümesi

[-3, \infty) \setminus \{2\}

'dir.

Payda sıfır olamayacağı için

x \neq 2

olmalıdır.

x-2

terimleri sadeleştiğinde geriye kalan

(x-1)^2(x+3) \geq 0

eşitsizliğinde

x=1

çift katlı kök olup eşitsizliği sağlar, geriye kalan terimden ise

x \geq -3

elde edilir.

2

İkinci eşitsizliği analiz etme ve çözüm k��mesini bulma.

Çözüm kümesi

[-1, 3]

'tür.

x^2 - 2x - 3 \leq 0

ifadesi

(x-3)(x+1) \leq 0

olarak çarpanlarına ayrılır. Başkatsayı pozitif olduğundan köklerin iç bölgesi

[-1, 3]

çözüm kümesidir.

3

İki eşitsizliğin çözüm kümelerini kesiştirme ve tam sayı değerlerini toplama.

Tam sayıların toplamı

3

olarak bulunur.

[-3, \infty) \setminus \{2\}

ile

[-1, 3]

kümelerinin kesişim kümesi

[-1, 3] \setminus \{2\}

'dir. Bu aralıktaki tam sayılar

-1, 0, 1, 3

olup toplamları

3

'tür.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Soru 1458Soru →

$2\sin^2(x) - \sin(x) = 0$ denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı kaçtır?

4

2

3

5

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin

[0, \pi]

kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı 4'tür.

Verilen denklem

\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0

olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan

\sin(x) = 0

denklemini sağlayan kökler

[0, \pi]

kapalı aralığında

x = 0

ve

x = \pi

olarak bulunur.

2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}

denklemini sağlayan kökler ise aynı aralıkta

x = \frac{\pi}{6}

ve

x = \frac{5\pi}{6}

olarak bulunur. Bu durumda denklemin belirtilen aralıkta 4 farklı kökü vardır.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.

\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0

Çarpım durumuna getirilen ifadelerde kök bulmak için her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.

2

İlk çarpanı sıfıra eşitleyerek ilgili kökleri bulun.

\sin(x) = 0 \implies x = 0

veya

x = \pi

Sinüs fonksiyonunu sıfır yapan ve

[0, \pi]

kapalı aralığında yer alan açılar belirlenir.

3

İkinci çarpanı sıfıra eşitleyerek ilgili kökleri bulun.

2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}

veya

x = \frac{5\pi}{6}

Sinüs değeri

\frac{1}{2}

olan ve

[0, \pi]

kapalı aralığına (birinci ve ikinci bölgeye) düşen açılar belirlenir.

4

Bulunan tüm kökleri birleştirerek toplam kök sayısını belirleyin.

Kökler kümesi

\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi\}

olup eleman sayısı 4'tür.

Tüm kökler birbirinden farklı ve verilen aralıkta yer aldığı için toplam kök sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 1459Soru →

Şekildeki konveks $ABCD$ dörtgeninde;
$|AB| = 3\text{ birim}$ ,
$|BC| = 5\text{ birim}$ ,
$|CD| = 3\text{ birim}$ ,
$|DA| = 8\text{ birim}$ ve
$m(\widehat{ABC}) = 120^\circ$ dir.

Buna göre, $|BD|$ uzunluğu kaç birimdir?

3\sqrt{5}

\sqrt{73}

7

\sqrt{97}

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7

Kosinüs teoremi ardışık olarak iki kez uygulanıp

|AC| = 7

ve

\cos(\widehat{ADC}) = 1/2

elde edildikten sonra, karşılıklı açılar toplamı

180^\circ

olan bu kirişler dörtgeninde köşegenlerin çarpımı karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğundan

|BD|

uzunluğu 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde

|AC|

uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(120^\circ)

|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)

|AC|^2 = 9 + 25 + 15 = 49 \implies |AC| = 7\text{ birim}

İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen

ABC

üçgeninin üçüncü kenar uzunluğunu hesaplamak.

2

ADC

üçgeninde

\widehat{ADC}

açısının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.

|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})

7^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(\widehat{ADC})

49 = 64 + 9 - 48 \cos(\widehat{ADC})

49 = 73 - 48 \cos(\widehat{ADC}) \implies 48 \cos(\widehat{ADC}) = 24 \implies \cos(\widehat{ADC}) = \frac{1}{2}

Buradan

m(\widehat{ADC}) = 60^\circ

bulunur.

Üç kenar uzunluğu bilinen

ADC

üçgeninin tepe açısını belirlemek.

3

ABCD

dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı incelenerek kirişler dörtgeni olup olmadığı kontrol edilir.

m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ADC}) = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ

Karşılıklı açılarının toplamı

180^\circ

olduğu için

ABCD

dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.

Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı

180^\circ

olmalıdır.

4

Kirişler dörtgeninde köşegen uzunluğu bağıntısı (Ptolemy teoremi) uygulanarak

|BD|

uzunluğu hesaplanır.

|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|

7 \cdot |BD| = 3 \cdot 3 + 5 \cdot 8

7 \cdot |BD| = 9 + 40 = 49 \implies |BD| = 7\text{ birim}

(Alternatif olarak: Kirişler dörtgeninde

\cos(\widehat{DAB}) = \cos(\widehat{BAC} + \widehat{CAD}) = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{DAB}) = 60^\circ

bulunur. Ardından

ABD

üçgeninde Kosinüs Teoremi ile:

|BD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 64 - 24 = 49 \implies |BD| = 7\text{ birim}

elde edilir.)

Kirişler dörtgeni kuralları veya trigonometrik toplam formülleriyle bilinmeyen köşegen uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs teoremi yardımıyla bir üçgende kenar ve açılar arasındaki ilişkiler belirlenebilir. Karşılıklı açılarının toplamı

180^\circ

olan dörtgenler kirişler dörtgenidir ve bu dörtgenlerde köşegenler ile kenarlar arasında Ptolemy (Batlamyus) bağıntısı geçerlidir.

Soru 1460Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çember üzerindeki bir $P\left(-\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right)$ noktası verilmiştir.

Başlangıç kenarı $x$ -ekseninin pozitif yönü, bitiş kenarı ise $[OP$ yarıdoğrusu olan yönlü açının ölçüsü $\alpha$ olduğuna göre,

13 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + 12 \cdot \cot\left(\pi - \alpha\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

-10

-7

0

10

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadenin doğru değeri 10'dur.

İndirgeme kuralları uygulandığında,

\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha

ve

\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha

eşitlikleri elde edilir. Birim çemberdeki

P

noktasının koordinatları kullanılarak

\cos\alpha = -\frac{5}{13}

ve

\cot\alpha = -\frac{5}{12}

değerleri yerine yazıldığında, ifadenin değeri

13 \cdot \left(-\left(-\frac{5}{13}\right)\right) + 12 \cdot \left(-\left(-\frac{5}{12}\right)\right) = 5 + 5 = 10

olarak bulunur. Dolayısıyla doğru değer 10 seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim çember üzerindeki

P\left(-\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right)

noktası yardımıyla

\alpha

açısının trigonometrik oranlarını belirleyin.

\cos\alpha = -\frac{5}{13}

,

\sin\alpha = \frac{12}{13}

ve

\cot\alpha = -\frac{5}{12}

elde edilir.

Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüs değerini, ordinatı ise sinüs değerini verir.

2

Verilen ifadelerdeki indirgeme formüllerini uygulayın.

\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha

ve

\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha

bulunur.

Düşey eksene (3pi/2) göre yapılan indirgemelerde fonksiyon isim değiştirir ve üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu negatiftir. Yatay eksene (pi) göre yapılan indirgemelerde fonksiyon isim değiştirmez ve ikinci bölgede kotanjant fonksiyonu negatiftir.

3

Bulunan değerleri ifadede yerine yazıp toplamı hesaplayın.

13 \cdot (-\cos\alpha) + 12 \cdot (-\cot\alpha) = 13 \cdot \left(\frac{5}{13}\right) + 12 \cdot \left(\frac{5}{12}\right) = 5 + 5 = 10

bulunur.

Elde edilen trigonometrik oranlar indirgenmiş ifadede yerine yazılarak cebirsel işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar