Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1421Soru →
f(x)=log⁡7(5x−x2)f(x) = \log_{7}(5x - x^2) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 10'dur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için içi kesinlikle pozitif olmalıdır. 5x−x2>05x - x^2 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (0,5)(0, 5) açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların (1,2,3,41, 2, 3, 4) toplamı 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi şartını uygulamak
5x−x2>05x - x^2 > 0 olmalıdır.
log⁡a(g(x))\log_a(g(x)) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için g(x)>0g(x) > 0 olmalıdır. Taban olan 7 sayısı zaten pozitif ve 1'den farklı olduğu için sadece bu koşulu incelemek yeterlidir.
2
Eşitsizliğin köklerini bulup en geniş tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi (0,5)(0, 5) açık aralığıdır.
5x−x2=0  ⟹  x(5−x)=05x - x^2 = 0 \implies x(5 - x) = 0 eşitliğinden kökler x=0x = 0 ve x=5x = 5 bulunur. x2x^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için işaret tablosuna sağdan eksi ile başlanır ve kökler arasında artı değer elde edilir. Bu nedenle pozitif bölge olan (0,5)(0, 5) aralığı seçilir.
3
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak
1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10
(0,5)(0, 5) açık aralığında bulunan tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Soru 1422Soru →

Gerçel sayılar kümesinin bir AA alt kümesinde tanımlı

f(x)=arccos⁡(x−12)−π3f(x) = \sqrt{\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) - \frac{\pi}{3}}

fonksiyonu veriliyor. Buna göre, bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi olan AA aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,2][-1, 2]

Cevap

[−1,2][-1, 2] kapalı aralığı
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için ilk olarak arccos fonksiyonunun içinin [−1,1][-1, 1] aralığında kalması gerekir, bu da bize x∈[−1,3]x \in [-1, 3] koşulunu verir. İkinci olarak karekökün içinin negatif olmaması gerekliliğinden arccos⁡(x−12)≥π3\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \ge \frac{\pi}{3} elde edilir. arccos fonksiyonunun değer aralığı [0,π][0, \pi] olduğundan bu ifade π3≤arccos⁡(x−12)≤π\frac{\pi}{3} \le \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \le \pi biçiminde yazılır. Kosinüs fonksiyonu bu aralıkta azalan olduğundan, eşitsizlik yön değiştirerek cos⁡(π)≤x−12≤cos⁡(π/3)\cos(\pi) \le \frac{x-1}{2} \le \cos(\pi/3) haline gelir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x∈[−1,2]x \in [-1, 2] elde edilir. Her iki koşulun kesişimi ise [−1,2][-1, 2] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
arccos fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek
−1≤x−12≤1  ⟹  −2≤x−1≤2  ⟹  −1≤x≤3-1 \le \frac{x-1}{2} \le 1 \implies -2 \le x-1 \le 2 \implies -1 \le x \le 3
arccos(u) ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için u ifadesinin [−1,1][-1, 1] aralığında olması gerekir.
2
Karekökün tanımlılık şartını uygulamak
arccos⁡(x−12)−π3≥0  ⟹  arccos⁡(x−12)≥π3\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) - \frac{\pi}{3} \ge 0 \implies \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \ge \frac{\pi}{3}
Gerçel sayılarda çift dereceli köklü bir ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
Eşitsizliği arccos fonksiyonunun değer aralığına göre düzenlemek
π3≤arccos⁡(x−12)≤π\frac{\pi}{3} \le \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \le \pi
arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığıd��r.
4
Kosinüs fonksiyonunun azalanlık özelliğini kullanarak x değerlerini bulmak
cos⁡(π)≤x−12≤υcos⁡(π/3)  ⟹  −1≤x−12≤12  ⟹  −2≤x−1≤1  ⟹  −1≤x≤2\cos(\pi) \le \frac{x-1}{2} \le υ\cos(\pi/3) \implies -1 \le \frac{x-1}{2} \le \frac{1}{2} \implies -2 \le x-1 \le 1 \implies -1 \le x \le 2
Kosinüs fonksiyonu [0,π][0, \pi] aralığında azalan bir fonksiyon oldu��undan, eşitsizliğe kosinüs uygulandığında eşitsizlik yön değiştirir.
5
Elde edilen iki aralığın kesişimini almak
[−1,3]∩[−1,2]=[−1,2][-1, 3] \cap [-1, 2] = [-1, 2]
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için bulunan aralıkların kesişim kümesi alınır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arccos fonksiyonunun tanım kümesinin [−1,1][-1, 1], değer kümesinin [0,π][0, \pi] olması ve bu aralıkta azalan bir karakter sergilemesi.
Soru 1423Soru →
(x2−x−6)⋅(5−x)x2−6x+9≥0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (5 - x)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp x≠3x \neq 3 koşuluyla sadeleştirildiğinde (x+2)(5−x)x−3≥0\frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 3} \geq 0 elde edilir. Bu ifadenin işaret tablosuna göre pozitif tam sayı çözümleri sadece 3<x≤53 < x \leq 5 aralığındadır. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar olan 4 ve 5'in toplamı 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırma
Paydaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesi (x−3)(x+2)(x - 3)(x + 2) ve paydadaki x2−6x+9x^2 - 6x + 9 ifadesi (x−3)2(x - 3)^2 olarak yazılır. Eşitsizlik: \frac{(x - 3)(x + 2)(5 - x)}{(x - 3)^2} \geq 0 halini alır.
İfadenin köklerini daha kolay belirlemek ve sadeleştirme yapabilmek için çarpanlara ayırma gereklidir.
2
Tanım kümesini kısıtlama ve sadeleştirme yapma
Paydanın kökü x=3x = 3 olduğundan x≠3x \neq 3 olmalıdır. Bu kısıtlama altında pay ve paydadaki (x−3)(x - 3) terimleri sadeleştirilerek eşitsizlik \frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 3} \geq 0 şekline dönüştürülür.
Payda sıfır olamayacağı için x=3x = 3 değeri çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
3
Kökleri bulma ve işaret tablosu hazırlama
Kökler küçükten büyüğe: x=−2x = -2 (payın kökü), x=3x = 3 (paydanın kökü) ve x=5x = 5 (payın kökü). En sağ aralıktaki işaret, en büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpılarak (+\cdot-/+ = -) eksi (-) olarak belirlenir. İşaret tablosu sağdan sola: x > 5 için (-), 3 < x \leq 5 için (+), -2 \leq x < 3 için (-), x < -2 için (+) şeklindedir.
Eşitsizliğin hangi aralıklarda pozitif veya negatif olduğunu belirlemek için işaret tablosu oluşturulmalıdır.
4
Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıları belirleme
Sağlanan aralıklardan pozitif olan tek bölge 3 < x \leq 5 aralığıdır. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 4 ve 5'tir. (x≤−2x \leq -2 aralığında pozitif tam sayı yoktur ve x = 3 payda kökü olduğundan dahil edilemez.)
Soru bizden sadece pozitif tam sayı çözümlerini istediği için bu kısıtlamaya uygun kökler seçilir.
5
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları toplama
4 + 5 = 9
Bulunan pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve İşaret Tablosu
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1424Soru →
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=1+sin⁡(2x)−cos⁡xa = \sqrt{1 + \sin(2x)} - \cos x
b=1−sin⁡(2x)+sin⁡xb = \sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x
c=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xc = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<c<ba < c < b

Cevap

En küçük değer aa, ortanca değer cc ve en büyük değer bb olacak şekilde a<c<ba < c < b sıralamas�� doğrudur.
Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡xa = \sin x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x elde edilir. Dördüncü bölgenin son çeyreğinde sin⁡x\sin x negatif, cos⁡x\cos x pozitif değerler alır ve kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Bu durumda aa negatif, bb ve cc pozitif olur. cc ifadesi pozitif olan kosinüs değerine negatif bir sinüs değeri eklendiği için bb değerinden küçük, negatif olan sinüs değerine pozitif bir kosinüs eklendiği için de aa değerinden büyüktür. Bu gerekçelerle en küçük değer aa, ortanca değer cc ve en büyük değer bb olur.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazalım.
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 olduğundan, 1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir.
Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerli olarak çıkarılması gerektiğini uygulamak.
2
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) aralığına göre mutlak değerin işaretini belirleyelim ve aa değerini bulalım.
Dördüncü bölgenin son çeyreğinde cos⁡x>0\cos x > 0 ve sin⁡x<0\sin x < 0 olup, bu aralıktaki açılar için cos⁡x>∣sin⁡x∣\cos x > |\sin x| şartı sağlanır. Dolayısıyla, sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 olur. Bu durumda mutlak değer içi pozitif olduğundan dışarıya aynen çıkar: a=(sin⁡x+cos⁡x)−cos⁡x=sin⁡xa = (\sin x + \cos x) - \cos x = \sin x bulunur.
Belirtilen bölgedeki trigonometrik değerlerin büyüklük ilişkisini analiz etmek.
3
bb ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare şeklinde yazarak mutlak değer işaretini belirleyelim.
1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = (\sin x - \cos x)^2 olduğundan, 1−sin⁡(2x)=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(2x)} = |\sin x - \cos x| olur. sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan sin⁡x−cos⁡x<0\sin x - \cos x < 0 olur. Mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: b=−(sin⁡x−cos⁡x)+sin⁡x=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡x=cos⁡xb = -(\sin x - \cos x) + \sin x = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x bulunur.
Negatif olan mutlak değer içinin dışarıya işaret değiştirerek çıkarılmasını sağlamak.
4
cc ifadesinin pay kısmındaki iki küp toplamını çarpanlarına ayırarak sadeleştirelim.
sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) yazılır. Paydadaki terimle sadeleştiğinde: c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x elde edilir.
Cebirsel özdeşlikler yardımıyla rasyonel trigonometrik ifadeyi en yalın haline getirmek.
5
Elde edilen a=sin⁡xa = \sin x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x değerlerini dördüncü bölge özelliklerine göre sıralayalım.
sin⁡x<0\sin x < 0 olduğundan aa negatiftir. cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan bb pozitiftir. cos⁡x>∣sin⁡x∣\cos x > |\sin x| olduğundan c=sin⁡x+cos⁡x>0c = \sin x + \cos x > 0 olup pozitiftir. sin⁡x\sin x negatif bir değer olduğundan, sin⁡x+cos⁡x<cos⁡x\sin x + \cos x < \cos x yani c<bc < b olur. Benzer şekilde cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan, sin⁡x+cos⁡x>sin⁡x\sin x + \cos x > \sin x yani c>ac > a olur. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Elde edilen sadeleşmiş trigonometrik ifadeleri bölge işaretleri ve büyüklüklerine göre nihai olarak sıralamak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirme yapılması ve dördüncü bölgedeki açıların trigonometrik değerlerinin işaret ve büyüklük analiziyle sıralanması.
Soru 1425Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde dördüncü bölgede bulunan bir PP noktasının xx-eksenine olan uzaklığı, yy-eksenine olan uzaklığının 33 katıdır.

OPOP doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü θ\theta olduğuna göre, tan⁡θ\tan\theta değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Tanjant değeri -3 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları koordinatların mutlak değerleridir. Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir. Buradan xx-eksenine uzaklık −y0-y_0, yy-eksenine uzaklık x0x_0 olur. Soruda verilen bilgiye göre −y0=3x0-y_0 = 3x_0 eşitliği kurulur. Birim çember tanımı gereği tan⁡θ=y0x0\tan\theta = \frac{y_0}{x_0} olduğundan, bu oran −3-3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dördüncü bölgedeki noktanın koordinat işaretlerini belirleme.
x0>0x_0 > 0 ve y0<0y_0 < 0
Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat ise negatiftir.
2
Noktanın eksenlere olan uzaklıklarını ifade etme.
xx-eksenine uzaklık: −y0-y_0, yy-eksenine uzaklık: x0x_0
Uzaklık her zaman pozitif veya sıfır olmalıdır, bu nedenle koordinatların mutlak değerleri alınır.
3
Verilen uzaklık ilişkisini denklem haline getirme.
−y0=3x0-y_0 = 3x_0
xx-eksenine uzaklığın, yy-eksenine uzaklığın 3 katı olduğu belirtilmiştir.
4
Trigonometrik fonksiyon tanımları ile koordinatları ilişkilendirme.
cos⁡θ=x0\cos\theta = x_0 ve sin⁡θ=y0\sin\theta = y_0
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
5
Tanjant değerini hesaplama.
tan⁡θ=−3\tan\theta = -3
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=y0x0\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y_0}{x_0} oranında y0y_0 yerine −3x0-3x_0 yazılarak sadeleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişki ve bölgelere göre işaret tayini.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1426Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
cos⁡(3x)⋅cos⁡(2x)+sin⁡(3x)⋅sin⁡(2x)sin⁡(3x)⋅cos⁡(2x)−cos⁡(3x)⋅sin⁡(2x)\frac{\cos(3x) \cdot \cos(2x) + \sin(3x) \cdot \sin(2x)}{\sin(3x) \cdot \cos(2x) - \cos(3x) \cdot \sin(2x)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x); cot(x); cot x; \cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı cos⁡(3x)cos⁡(2x)+sin⁡(3x)sin⁡(2x)\cos(3x)\cos(2x) + \sin(3x)\sin(2x) kosinüsün fark formülü açılımıdır ve cos⁡(3x−2x)=cos⁡(x)\cos(3x-2x) = \cos(x) değerine eşittir. Paydası ise sin⁡(3x)cos⁡(2x)−cos⁡(3x)sin⁡(2x)\sin(3x)\cos(2x) - \cos(3x)\sin(2x) sinüsün fark formülü açılımıdır ve sin⁡(3x−2x)=sin⁡(x)\sin(3x-2x) = \sin(x) değerine eşittir. Bu iki ifadenin birbirine oranı cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} olup kotanjant tanımı gereği cot⁡(x)\cot(x) ifadesini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeye kosinüs fark formülünü uygulayınız.
cos⁡(3x−2x)=cos⁡(x)\cos(3x - 2x) = \cos(x) elde edilir.
cos⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(A)sin⁡(B)=cos⁡(A−B)\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) toplam-fark özdeşliği kullanılır.
2
Payda kısmındaki ifadeye sinüs fark formülünü uygulayınız.
sin⁡(3x−2x)=sin⁡(x)\sin(3x - 2x) = \sin(x) elde edilir.
sin⁡(A)cos⁡(B)−cos⁡(A)sin⁡(B)=sin⁡(A−B)\sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) = \sin(A-B) toplam-fark özdeşliği kullan��lır.
3
Elde edilen pay ve payda ifadelerini birbirine oranlayarak sadeleştiriniz.
cos⁡(x)sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) elde edilir.
Kosinüs fonksiyonunun sinüs fonksiyonuna oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Toplam ve Fark Formülleri
Soru 1427Soru →
arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3)\arctan(x) + \arctan(x + 1) = \arctan(3)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı için 3x3x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 13\frac{1}{3} olup, bu değerin 33 katı 11'dir.
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınıp toplam formülü uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Bu denklemin düzenlenmesiyle oluşan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde x = 1/3 ve x = -2 değerleri bulunur. Ancak arctan fonksiyonunun değer kümesi (-\pi/2, \pi/2) olduğundan, iki negatif terimin toplamı pozitif olan \arctan(3) değerine eşit olamaz. Bu sebeple x = -2 kökü elenir ve geriye yalnızca x = 1/3 kalır. Bu değerin 3 katı ise 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının tanjantını almak
tan⁡(arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1))=tan⁡(arctan⁡(3))=3\tan(\arctan(x) + \arctan(x+1)) = \tan(\arctan(3)) = 3
Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel ifadelere dönüştürmek amacıyla eşitliğin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanır.
2
Tanjant toplam formülünü uygulamak
x+(x+1)1−x(x+1)=3\frac{x + (x+1)}{1 - x(x+1)} = 3
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} toplam formülü ve tan⁡(arctan⁡(u))=u\tan(\arctan(u)) = u özdeşliği kullanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden denkleme dönüştürmek
3x2+5x−2=03x^2 + 5x - 2 = 0
İçler dışlar çarpımı yapılarak payda sıfırdan farklı kabulüyle cebirsel ifade sadeleştirilir.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak ve kökleri bulmak
(3x−1)(x+2)=0  ⟹  x=13 veya x=−2(3x-1)(x+2) = 0 \implies x = \frac{1}{3} \text{ veya } x = -2
Denklemin sıfır noktalarını (köklerini) belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Bulunan köklerin ters tanjant fonksiyonunun tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek
x=13x = \frac{1}{3} denklemi sağlar, x=−2x = -2 denklemi sağlamaz.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer aralığı (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2) olduğundan, x=−2x = -2 için sol taraftaki her iki terim de negatif açılar üretir ve toplamları negatif olur. Ancak sağ taraftaki arctan⁡(3)\arctan(3) değeri pozitiftir. Bu nedenle x=−2x = -2 kökü elenir.
6
İstenen 3x3x değerini hesaplamak
3x=13x = 1
Bulunan geçerli x=1/3x = 1/3 kökünün 33 katı alınır.

Anahtar Kavram

Ters tanjant fonksiyonunun değer kümeleri ile tanjant toplam formülünün uygulanması
Soru 1428Soru →
θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{3}
olduğuna göre, tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Tanjant yarım açı formülü kullanılarak elde edilen değer 0,75'tir.
Verilen açının tanjant değeri yarım açı formülünde yerine yazıldığında, elde edilen rasyonel ifadenin sadeleştirilmesiyle sonuç 3/4 yani ondalık olarak 0,75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant yarım açı formülü yazılır.
tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
İki kat açının tanjant değerini tek kat açı cinsinden hesaplamak için bu formül gereklidir.
2
Verilen tanjant değeri formülde yerine konur.
tan⁡(2θ)=2⋅131−(13)2\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}
Verilen bilginin sayısal karşılığını kullanarak sonuca ulaşmak hedeflenir.
3
Rasyonel sayılarda işlemler ve sadeleştirmeler tamamlanır.
tan⁡(2θ)=2389=0,75\tan(2\theta) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = 0,75
Pay ve payda kısımlarındaki işlemler yapılarak nihai oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanjant fonksiyonunda yarım açı (iki kat açı) formülünün doğrudan uygulanması.
Soru 1429Soru →

Dik koordinat düzleminde, [−4,6][-4, 6] kapalı aralığında tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyon [−4,1][-4, 1] aralığında artan, [1,6][1, 6] aralığında azalandır.

Buna göre,
g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşa��ıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−4,1][-4, 1]

Cevap

En geniş artanlık aralığı [−4,1][-4, 1] aralığıdır.
Verilen g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3 fonksiyonunun artan olması için, bağımsız değişken xx arttıkça g(x)g(x) değerinin artması gerekir. Ancak 2−x2-x ifadesinde xx arttıkça değer küçülür. Dolayısıyla, g(x)g(x)'in artan olması için ff fonksiyonunun azalan olduğu [1,6][1, 6] aralığında işlem yapılması gerekir. Buradan 1≤2−x≤61 \le 2 - x \le 6 eşitsizliği elde edilir ve çözüldüğünde en geniş aralık [−4,1][-4, 1] olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3 fonksiyonunun artan olabilmesi için gerekli koşulu belirleme.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olması, x1<x2x_1 < x_2 için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) olmasını gerektirir. Bu da f(2−x1)−3<f(2−x2)−3  ⟹  f(2−x1)<f(2−x2)f(2 - x_1) - 3 < f(2 - x_2) - 3 \implies f(2 - x_1) < f(2 - x_2) demektir.
Artan fonksiyon tanımını uygulayarak ff fonksiyonunun davranışını analiz etmek.
2
2−x2-x ifadesinin değişim yönü ile ff fonksiyonunun artan/azalan olduğu aralıkları ilişkilendirme.
x1<x2  ⟹  2−x1>2−x2x_1 < x_2 \implies 2 - x_1 > 2 - x_2 olur. u=2−x1u = 2 - x_1 ve v=2−x2v = 2 - x_2 dersek, u>vu > v iken f(u)<f(v)f(u) < f(v) olması gerekir. Bu durum, ff fonksiyonunun azalan olduğu aralıkta gerçekleşir.
Bağıms��z değişkenin işaretinin yön değiştirmesinin ff fonksiyonunun artanlık/azalanlık karakterine etkisini belirlemek.
3
ff fonksiyonunun azalan olduğu aralığı kullanarak xx için eşitsizliği çözme.
ff fonksiyonu [1,6][1, 6] aralığında azalandır. O halde 1≤2−x≤61 \le 2 - x \le 6 olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde:
1≤2−x≤6  ⟹  −1≤−x≤4  ⟹  −4≤x≤11 \le 2 - x \le 6 \implies -1 \le -x \le 4 \implies -4 \le x \le 1 elde edilir.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun simetri ve öteleme dönüşümleri altındaki artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi
Soru 1430Soru →
A=cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘A = \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ olduğuna göre, 64⋅A64 \cdot A ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen sonuç 4'tür.
Verilen ifade sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpılıp bölündüğünde ve cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ dönüşümü yapıldığında, sinüsün yarım açı formülü ardışık olarak uygulanarak pay kısmında 116sin⁡24∘\frac{1}{16}\sin 24^\circ elde edilir. Paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleşen ifade A=116A = \frac{1}{16} değerini verir. Buradan 64⋅A=464 \cdot A = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpıp bölerek yarım açı formülü uygulanabilir hale getirmek.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ}{\sin 24^\circ}
Zincirleme yarım açı formülü uygulaması için ilk terimi oluşturmak.
2
cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ özdeşliğini kullanarak açı dizilimini iki katı olacak şekilde tamamlamak.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡192∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 192^\circ}{\sin 24^\circ}
cos⁡192∘\cos 192^\circ ve cos⁡168∘\cos 168^\circ değerlerinin her ikisi de −cos⁡12∘-\cos 12^\circ değerine eşit olduğundan zinciri bozmadan iki katı kuralını sürdürmek.
3
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x yarım açı formülünü pay kısmına sırayla uygulamak.
sin⁡24∘cos⁡24∘=12sin⁡48∘\sin 24^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{2}\sin 48^\circ
12sin⁡48∘cos⁡48∘=14sin⁡96∘\frac{1}{2}\sin 48^\circ \cos 48^\circ = \frac{1}{4}\sin 96^\circ
14sin⁡96∘cos⁡96∘=18sin⁡192∘\frac{1}{4}\sin 96^\circ \cos 96^\circ = \frac{1}{8}\sin 192^\circ
18sin⁡192∘cos⁡192∘=116sin⁡384∘\frac{1}{8}\sin 192^\circ \cos 192^\circ = \frac{1}{16}\sin 384^\circ
Pay kısmındaki kosinüs çarpımlarını tek bir sinüs terimine indirgemek.
4
sin⁡384∘\sin 384^\circ açısının esas ölçüsünü bularak paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleştirmek.
sin⁡384∘=sin⁡(360∘+24∘)=sin⁡24∘\sin 384^\circ = \sin(360^\circ + 24^\circ) = \sin 24^\circ
A=116sin⁡24∘sin⁡24∘=116A = \frac{\frac{1}{16}\sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} = \frac{1}{16}
AA değerini rasyonel bir sayıya dönüştürmek.
5
64⋅A64 \cdot A ifadesini hesaplamak.
64⋅A=64⋅116=464 \cdot A = 64 \cdot \frac{1}{16} = 4
Soruda istenen nihai çarpım değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs yarım açı formülünün (sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x) ardışık kosinüs çarpımlarında zincirleme kullanımı ve indirgeme formülleri.
Soru 1431Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ifadesinde sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değeri yerine yazıldığında elde edilen 35\frac{3}{5} değeridir.
Doğru yanıt olan 35\frac{3}{5} ifadesi, cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x formülünde sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değeri yerine yazılarak 1−2(15)=351 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün bilinen sinüs değerine bağlı yarım açı formülünü belirleyin.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Verilen sinüs değerini doğrudan kullanabilmek için bu yarım açı formülü tercih edilir.
2
sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değerini formülde yerine yazın.
cos⁡(2x)=1−2(15)2\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2
İfadenin sayısal değerini hesaplamak için yerine koyma işlemi yapılır.
3
Gerekli aritmetik işlemleri tamamlayın.
cos⁡(2x)=1−2(15)=1−25=35\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
Çıkarma işlemini yaparak sonucu bulun.

Anahtar Kavram

Kosinüsün sinüs değerine bağlı yarım açı formülünü (1−2sin⁡2x1 - 2\sin^2 x) kullanarak açı küçültme ve hesaplama yapma.
Tahmini Süre:45s
Soru 1432Soru →
arcsin⁡(x)−arccos⁡(x)=arcsin⁡(3x−2)\arcsin(x) - \arccos(x) = \arcsin(3x - 2) olduğuna göre, bu denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan gerçel sayı kökü 0.5'tir.
Denklemin çözümü sonucunda elde edilen kökler x = 1 ve x = 0.5 olup, tam sayı olmayan kök 0.5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik özdeşliğin uygulanması
\arccos(x) yerine \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) yazılması
Denklemi tek bir ters trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek amacıyla \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} özdeşliği kullanılır.
2
Denklemin düzenlenmesi
2\arcsin(x) - \frac{\pi}{2} = \arcsin(3x - 2)
Denklemi sadeleştirip her iki tarafın sinüsünü alabilmek için düzenleme yapılır.
3
Değişken dönüşümü ve sinüs fonksiyonunun uygulanması
−cos⁡(2α)=3x−2-\cos(2\alpha) = 3x - 2
\arcsin(x) = \alpha dönüşümüyle \sin(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2 elde edilir ve \sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\theta) indirgemesi uygulanır.
4
Yarım açı formülü ile cebirsel denklemin elde edilmesi
2x^2 - 3x + 1 = 0
\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) = 1 - 2x^2 yarım açı formülü yerine yazılıp denklem düzenlenir.
5
Denkleminin çözülmesi ve uygun kökün seçilmesi
x = 0.5
İkinci dereceden denklemin kökleri x = 1 ve x = 0.5'tir. Soruda tam sayı olmayan gerçel kök istendiği için x = 0.5 alınır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri ve Denklemleri
Soru 1433Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta xx gerçel sayısı için,

sin⁡(15π2+x)+cos⁡(1260∘−x)tan⁡(810∘+x)+cot⁡(7π−x)\frac{\sin\left(\frac{15\pi}{2} + x\right) + \cos(1260^\circ - x)}{\tan(810^\circ + x) + \cot(7\pi - x)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sin⁡x\sin x

Cevap

sin⁡x\sin x
Verilen ifadedeki tüm açıların esas ölçüleri bulunduğunda; 15π/215\pi/2 açısı 3π/23\pi/2 radyana, 1260∘1260^\circ açısı 180∘180^\circ ye, 810∘810^\circ açısı 90∘90^\circ ye ve 7π7\pi açısı π\pi radyana denk gelir. Bu açılara göre indirgeme yapıldığında paydaki terimler sırasıyla −cos⁡x-\cos x ve −cos⁡x-\cos x olarak sadeleşir ve toplamları −2cos⁡x-2\cos x olur. Paydadaki terimler ise sırasıyla −cot⁡x-\cot x ve −cot⁡x-\cot x olur ve toplamları −2cot⁡x-2\cot x yapar. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise sin⁡x\sin x sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadelerdeki büyük açıların esas ölçülerini radyan ve derece cinsinden belirleme
15π2=6π+3π2≡3π2(mod2π)\frac{15\pi}{2} = 6\pi + \frac{3\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2} \pmod{2\pi}
1260∘=3⋅360∘+180∘≡180∘(mod360∘)1260^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 180^\circ \equiv 180^\circ \pmod{360^\circ}
810∘=2⋅360∘+90∘≡90∘(mod360∘)810^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 90^\circ \equiv 90^\circ \pmod{360^\circ}
7π=6π+π≡π(mod2π)7\pi = 6\pi + \pi \equiv \pi \pmod{2\pi}
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların 00 ile 2π2\pi (veya 0∘0^\circ ile 360∘360^\circ) aralığındaki esas öl��ülerini bulmamız gerekir.
2
Esas ölçüleri yerlerine yazarak trigonometrik fonksiyonları bölgelerine göre indirgeme
sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x
cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\cos(180^\circ - x) = -\cos x
tan⁡(90∘+x)=−cot⁡x\tan(90^\circ + x) = -\cot x
cot⁡(π−x)=−cot⁡x\cot(\pi - x) = -\cot x
Her bir ifadenin yer aldığı bölgedeki işaretini belirlemek ve açı eksenine göre (x veya y ekseni) fonksiyon adının değişip değişmeyeceğine karar vermek gerekir.
3
Bulunan indirgenmiş değerleri ana kesir ifadesinde yerine koyarak sadeleştirme yapma
Pay: (−cos⁡x)+(−cos⁡x)=−2cos⁡x(-\cos x) + (-\cos x) = -2\cos x
Payda: (−cot⁡x)+(−cot⁡x)=−2cot⁡x(-\cot x) + (-\cot x) = -2\cot x
Kesir: −2cos⁡x−2cot⁡x=cos⁡xcot⁡x=cos⁡xcos⁡xsin⁡x=sin⁡x\frac{-2\cos x}{-2\cot x} = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x
Elde edilen indirgenmiş terimleri toplayıp oranlayarak ifadenin en sade halini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgenmesi (isim ve işaret değişimi kuralları)
Soru 1434Soru →
f(x)=log⁡x−3(8−x)f(x) = \log_{x - 3}(8 - x) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 18'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gereği, taban ifadesi sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalı, üstteki ifade (argüman) ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu kurallardan hareketle x>3x > 3, x≠4x \neq 4 ve x<8x < 8 elde edilir. Bu koşullara uyan tam sayılar 5, 6 ve 7 olup toplamları 18 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının tan��mlılık şartlarını belirlemek.
x−3>0  ⟹  x>3x-3 > 0 \implies x > 3 ve x−3≠1  ⟹  x≠4x-3 \neq 1 \implies x \neq 4 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın argümanının (içinin) tanımlılık şartını belirlemek.
8−x>0  ⟹  x<88-x > 0 \implies x < 8 olarak bulunur.
Logaritması alınan ifade her zaman sıfırdan büyük (pozitif) olmalıdır.
3
Elde edilen şartları birleştirerek en geniş tanım kümesini oluşturmak.
3<x<83 < x < 8 ve x≠4x \neq 4 aralığı elde edilir. Bu aralık (3,8)∖{4}(3, 8) \setminus \{4\} şeklinde gösterilir.
Fonksiyonun tanımlı olması için tüm şartların aynı anda sağlanması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamını hesaplamak.
Tanım kümesindeki tam sayılar 5, 6 ve 7'dir. Toplamları ise 5+6+7=185 + 6 + 7 = 18 olarak hesaplanır.
İstenen tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın ise pozitif olma koşulları birlikte uygulanır.
Soru 1435Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)1−sin⁡(2x)=3\frac{\cos(2x)}{1 - \sin(2x)} = 3

olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.28

Cevap

Doğru cevap −0.28-0.28 (veya −725-\frac{7}{25}) olmalıdır.
Verilen rasyonel trigonometrik denklem sadeleştirildiğinde tan⁡x=0.5\tan x = 0.5 eşitliği elde edilir. Bu değer yardımıyla iki kez yarım açı formülü uygulanarak sırasıyla cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 ve cos⁡(4x)=−0.28\cos(4x) = -0.28 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleriyle düzenleyin.
cos⁡(2x)=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) ve 1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(cos⁡x−sin⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2 elde edilir.
Denklemi sadeleştirmek ve sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x arasındaki ilişkiyi bulmak için bu özdeşliklerin kullanılması gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak sadeleştirin ve tan⁡x\tan x değerini bulun.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x)2=3  ⟹  cos⁡x+sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=3  ⟹  cos⁡x+sin⁡x=3cos⁡x−3sin⁡x  ⟹  4sin⁡x=2cos⁡x  ⟹  tan⁡x=12\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)^2} = 3 \implies \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = 3 \implies \cos x + \sin x = 3\cos x - 3\sin x \implies 4\sin x = 2\cos x \implies \tan x = \frac{1}{2} elde edilir.
x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2) aralığında ve denklemin sonucu pozitif olduğundan cos⁡x−sin⁡x>0\cos x - \sin x > 0 olup sadeleştirme yapılması uygundur.
3
tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} bilgisini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−1/41+1/4=35=0.6\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3}{5} = 0.6 elde edilir.
cos⁡(4x)\cos(4x) değerine geçiş yapabilmek için öncelikle cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin bulunması gerekmektedir.
4
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini kullanarak kosinüsün yarım açı formülüyle cos⁡(4x)\cos(4x) değerini hesaplayın.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1=2(0.6)2−1=0.72−1=−0.28\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(0.6)^2 - 1 = 0.72 - 1 = -0.28 bulunur.
cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 çift kat açı formülüyle nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik yarım açı formülleri ve özdeşliklerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1436Soru →
f(x)=log⁡6(12−x−x2)f(x) = \log_{6}(12 - x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

En geniş tanım kümesinde 6 farklı tam sayı değeri vardır.
Logaritma tanımı gereği 12−x−x2>012 - x - x^2 > 0 eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesinin (−4,3)(-4, 3) açık aralığı olduğu görülür. Bu aralıktaki tam sayılar −3,−2,−1,0,1,2-3, -2, -1, 0, 1, 2 olmak üzere 6 farklı değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritması alınan ifadenin pozitif olması koşulunu belirleme
12−x−x2>012 - x - x^2 > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması şarttır.
2
Eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma
(x+4)(3−x)>0  ⟹  x1=−4,x2=3(x + 4)(3 - x) > 0 \implies x_1 = -4, x_2 = 3
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulabilmek için sınır noktalarını belirleyen kökler hesaplanır.
3
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleme
−4<x<3-4 < x < 3
x2x^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için ifade kökler arasında pozitif değerler alır.
4
Belirlenen aralıktaki tam sayıları listeleme ve adetlerini bulma
6 farklı tam sayı değeri
−4-4 ile 33 açık aralığındaki tam sayılar sırasıyla −3,−2,−1,0,1,2-3, -2, -1, 0, 1, 2 olup toplamda 6 tanedir.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Soru 1437Soru →
arctan⁡(x−1)+arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3x)\arctan(x-1) + \arctan(x) + \arctan(x+1) = \arctan(3x)

eşitliğini sağlayan pozitif xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel sayı 1/2 (veya 0,5) değeridir.
Denklem düzenlenip her iki tarafın tanjantı alındığında 2x/(2−x2)=2x/(1+3x2)2x/(2-x^2) = 2x/(1+3x^2) eşitliği elde edilir. Buradan 2x=02x = 0 veya 2−x2=1+3x22-x^2 = 1+3x^2 olmalıdır. Pozitif kök arandığından x2=1/4x^2 = 1/4 eşitliğinden x=1/2x = 1/2 (veya 0,5) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri gruplandırma ve düzenleme
arctan⁡(x−1)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3x)−arctan⁡(x)\arctan(x-1) + \arctan(x+1) = \arctan(3x) - \arctan(x)
Tanjant toplam ve fark formüllerini her iki tarafa uygulayarak sade bir cebirsel denklem elde etmek hedeflenmiştir.
2
Tanjant toplam-fark formüllerini uygulama
(x−1)+(x+1)1−(x−1)(x+1)=3x−x1+3x2\frac{(x-1) + (x+1)}{1 - (x-1)(x+1)} = \frac{3x - x}{1 + 3x^2}
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınarak ters trigonometrik fonksiyonlardan cebirsel ifadelere geçiş yapılmıştır.
3
Cebirsel eşitliği sadeleştirme ve çözme
2x2−x2=2x1+3x2  ⟹  2x(1+3x2)=2x(2−x2)\frac{2x}{2-x^2} = \frac{2x}{1+3x^2} \implies 2x(1+3x^2) = 2x(2-x^2)
İçler dışlar çarpımı yapılarak denklemin tüm olası köklerini veren ortak çarpan parantezine alınabilir duruma getirilmiştir.
4
Kökleri bulma ve pozitiflik şartını kontrol etme
2x(4x2−1)=0  ⟹  x=0, x=−12, x=122x(4x^2 - 1) = 0 \implies x = 0,\ x = -\frac{1}{2},\ x = \frac{1}{2}
Bulunan kökler arasından sadece pozitif olan gerçel sayı değeri seçilmiştir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyon denklemlerinin tanjant toplam-fark formülleri yardımıyla cebirsel denklemlere dönüştürülmesi.
Soru 1438Soru →

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için ifadeler sadeleştirildiğinde a=sec⁡xa = \sec x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=cos⁡(2x)c = \cos(2x) elde edilir. Bu aralıkta sec⁡x>1\sec x > 1 olduğundan en büyük değerdir. Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede azalan olduğundan açısı daha büyük olan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi, cos⁡x\cos x ifadesinden daha küçüktür. Bu durumda sıralama c<b<ac < b < a şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ifadenin özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilmesi
a=tan⁡x⋅csc⁡2x=tan⁡x⋅∣csc⁡x∣a = \tan x \cdot \sqrt{\csc^2 x} = \tan x \cdot |\csc x| elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında csc⁡x>0\csc x > 0 olduğundan ifade aynen çıkar: a=sin⁡xcos⁡x⋅1sin⁡x=sec⁡xa = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \sec x.
Karekök içindeki ifadenin sadeleştirilmesi ve mutlak değer dışına işaret kontrolü yapılarak çıkarılması gerekir.
2
İkinci ifadenin sadeleştirilmesi
b=(cos⁡x−sin⁡x)2+sin⁡x=∣cos⁡x−sin⁡x∣+sin⁡xb = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} + \sin x = |\cos x - \sin x| + \sin x elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan ifade pozitif olarak dışarı çıkar: b=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡x=cos⁡xb = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x.
Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken terimlerin büyüklük sıralamasına göre mutlak değer içi kontrol edilmelidir.
3
Üçüncü ifadenin sadeleştirilmesi
c=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡(2x)⋅1=cos⁡(2x)c = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x) elde edilir.
İki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü kullanılarak ifade daha yalın hale getirilir.
4
Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıkta karşılaştırılması
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) için sec⁡x>1\sec x > 1, cos⁡x<1\cos x < 1 ve cos⁡(2x)<1\cos(2x) < 1 olur. Ayrıca birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan x<2x  ⟹  cos⁡(2x)<cos⁡xx < 2x \implies \cos(2x) < \cos x yazılır. Buradan c<b<ac < b < a sıralamasına ulaşılır.
Açıların bölgelerine göre fonksiyonların monotonluk (artanlık/azalanlık) özellikleri ve değer aralıkları karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1439Soru →
tan⁡a\tan a ve tan⁡b\tan b sayıları,
3x2−5x+1=03x^2 - 5x + 1 = 0
denkleminin kökleridir.
Buna göre,
sin⁡2(a+b)−5sin⁡(a+b)cos⁡(a+b)+3cos⁡2(a+b)\sin^2(a+b) - 5\sin(a+b)\cos(a+b) + 3\cos^2(a+b)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1329-\frac{13}{29}

Cevap

İfadenin değeri −1329-\frac{13}{29} olarak bulunur.
Soruda verilen ikinci dereceden denklemden kökler toplamı tan⁡a+tan⁡b=5/3\tan a + \tan b = 5/3 ve kökler çarpımı tan⁡a⋅tan⁡b=1/3\tan a \cdot \tan b = 1/3 olarak elde edilir. Buradan toplam formülü kullanılarak tan⁡(a+b)=5/2\tan(a+b) = 5/2 bulunur. İstenen ikinci dereceden homojen ifade sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=1\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b) = 1 özdeşliğine bölünerek tan⁡(a+b)\tan(a+b) cinsinden rasyonel bir fonksiyona dönüştürülür ve değer yerine yazıldığında −1329-\frac{13}{29} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkilerini belirleme.
tan⁡a+tan⁡b=53\tan a + \tan b = \frac{5}{3} ve tan⁡a⋅tan⁡b=13\tan a \cdot \tan b = \frac{1}{3}
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökler toplamı −b/a-b/a, kökler çarpımı ise c/ac/a formülü ile bulunur.
2
Toplam formülünü kullanarak tan⁡(a+b)\tan(a+b) değerini hesaplama.
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b=5/31−1/3=52\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} = \frac{5/3}{1 - 1/3} = \frac{5}{2}
İki açının toplamının tanjant formülü uygulanır.
3
İstenen ifadeyi tan⁡(a+b)\tan(a+b) cinsinden ifade etme.
sin⁡2(a+b)−5sin⁡(a+b)cos⁡(a+b)+3cos⁡2(a+b)sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=tan⁡2(a+b)−5tan⁡(a+b)+3tan⁡2(a+b)+1\frac{\sin^2(a+b) - 5\sin(a+b)\cos(a+b) + 3\cos^2(a+b)}{\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b)} = \frac{\tan^2(a+b) - 5\tan(a+b) + 3}{\tan^2(a+b) + 1}
İfadeyi sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=1\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b) = 1 ile bölüp, pay ve paydayı cos⁡2(a+b)\cos^2(a+b) ile sadeleştirerek tanjant cinsinden yazabiliriz.
4
tan⁡(a+b)=52\tan(a+b) = \frac{5}{2} değerini yerine yazarak sonucu bulma.
(5/2)2−5(5/2)+3(5/2)2+1=−1329\frac{(5/2)^2 - 5(5/2) + 3}{(5/2)^2 + 1} = -\frac{13}{29}
Elde edilen rasyonel ifadedeki değişken yerine bulduğumuz tanjant değeri yazılır ve gerekli işlemler yapılır.

Anahtar Kavram

Toplam formülleri ile kök ve katsayı ilişkilerinin bir arada kullanılması ve homojen trigonometrik ifadelerin tanjant cinsinden yazılması.
Soru 1440Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a\cos(bx) + c
fonksiyonunun grafiğinin ardışık bir maksimum noktası ile bir minimum noktasının yy koordinatları sırasıyla 55 ve −1-1'dir.

Bu iki noktanın apsisleri arasındaki fark π4\frac{\pi}{4} birim olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğru cevap 9'dur.
Verilen maksimum ve minimum ordinat değerlerinden a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklemleri kurulur; buradan a=3a = 3 ve c=2c = 2 bulunur. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay uzaklık periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b} birimdir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden b=4b = 4 elde edilir. Sonuç olarak a+b+c=3+4+2=9a + b + c = 3 + 4 + 2 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Maksimum ve minimum noktalarının y koordinatlarını kullanarak aa ve cc değerlerini bulunuz.
c=2c = 2 ve a=3a = 3 bulunur.
a>0a > 0 olduğundan, cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun maksimum değeri olan 11 için f(x)f(x) en büyük değerini (a+ca + c), minimum değeri olan −1-1 için ise en küçük değerini (−a+c-a + c) alır. a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklem sistemi çözüldüğünde bu değerler elde edilir.
2
Ardışık maksimum ve minimum noktaları arasındaki mesafenin periyodun yarısı olduğunu kullanarak bb değerini bulunuz.
b=4b = 4 elde edilir.
cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun periyodu T=2πbT = \frac{2\pi}{b}'dir. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay mesafe periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b}'ye eşittir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} olduğundan b=4b = 4 bulunur.
3
a+b+ca + b + c toplamını hesaplayınız.
3+4+2=93 + 4 + 2 = 9 bulunur.
Bulunan a=3a = 3, b=4b = 4 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların periyotları ve grafiklerindeki maksimum/minimum noktalarının apsis ve ordinat değerleriyle olan ilişkisi.
ÖncekiSayfa 72 / 437Sonraki