Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 141Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin terimleri arasında, a1=2a_1 = 2 başlangıç koşulu ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n+1n⋅an+n+1a_{n+1} = \frac{n+1}{n} \cdot a_n + n + 1
indirgeme bağıntısı bulunmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri 156'dır.
Verilen bağıntıda her iki tarafı n+1n+1 ifadesine böldüğümüzde an+1n+1=ann+1\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1 elde ederiz. Buradan bn=annb_n = \frac{a_n}{n} dönüşümü yapıldığında bn+1=bn+1b_{n+1} = b_n + 1 aritmetik dizisi oluşur. b1=2b_1 = 2 olduğuna göre genel terim bn=n+1b_n = n+1 olur. Buradan an=n(n+1)a_n = n(n+1) genel terimine ulaşılır ve a12=12⋅13=156a_{12} = 12 \cdot 13 = 156 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntının her iki tarafını n+1n+1 ile bölmek.
an+1n+1=ann+1\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1
Dizideki indisli terimlerin katsayılarını eşitleyerek ortak bir form oluşturmak.
2
bn=annb_n = \frac{a_n}{n} değişken değiştirmesi yapmak.
bn+1=bn+1b_{n+1} = b_n + 1
İndirgemeli diziyi kolayca çözülebilen birinci dereceden bir aritmetik dizi biçimine dönüştürmek.
3
Yeni bnb_n dizisinin ilk terimi b1b_1 değerini hesaplamak.
b1=a11=2b_1 = \frac{a_1}{1} = 2
Aritmetik dizinin genel terimini yazabilmek için başlangıç değerini belirlemek.
4
bnb_n aritmetik dizisinin genel terimini elde etmek.
bn=n+1b_n = n + 1
İlk terimi 2 ve ortak farkı 1 olan dizinin kuralını oluşturmak.
5
ana_n dizisinin genel terimini yalnız bırakarak bulmak.
an=n(n+1)a_n = n(n + 1)
bn=annb_n = \frac{a_n}{n} tanımından yararlanarak asıl dizinin kuralına geri dönmek.
6
Genel terimde n=12n = 12 yazarak sonucu bulmak.
a12=12⋅13=156a_{12} = 12 \cdot 13 = 156
İstenen 12. terimin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun değişken değiştirme (oranlama) yöntemiyle genel terim elde etme.
Soru 142Soru →
cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \frac{1}{2} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denkleminin belirtilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki gerçel kökleri genel çözümlerden elde edilen π6\frac{\pi}{6} ve 5π6\frac{5\pi}{6} değerleridir. Bu aralıkta başka gerçel kök bulunmadığından toplam kök sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs denkleminin genel çözüm formülünü uygulama
2x=π3+2kπ2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi veya 2x=−π3+2kπ2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin genel çözümü θ=α+2kπ\theta = \alpha + 2k\pi veya θ=−α+2kπ\theta = -\alpha + 2k\pi bağıntıları ile belirlenir.
2
xx değişkenini yalnız bırakmak için bölme yapma
x=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pi veya x=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
Eşitliklerin her iki tarafını xx'in katsayısı olan 2 ile bölerek köklerin genel formülüne ulaşırız.
3
[0,π][0, \pi] aralığına uygun kökleri belirleme
x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6} ve x2=5π6x_2 = \frac{5\pi}{6}
x=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pi formülünde k=0k=0 için x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6} aralığa dahildir. x=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi formülünde k=1k=1 için x2=5π6x_2 = \frac{5\pi}{6} aralığa dahildir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması
Tahmini Süre:50s
Soru 143Soru →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,

sin⁡2a−sin⁡2b=15\sin^2 a - \sin^2 b = \frac{1}{5}
cos⁡2a−sin⁡2b=310\cos^2 a - \sin^2 b = \frac{3}{10}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

30⋅(tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b)30 \cdot \left( \frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} \right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İfadenin doğru değeri 20'dir.
Verilen özdeşlikler kullanılarak sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)=sin⁡2a−sin⁡2b=1/5\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b = 1/5 ve cos⁡(a+b)cos⁡(a−b)=cos⁡2a−sin⁡2b=3/10\cos(a+b)\cos(a-b) = \cos^2 a - \sin^2 b = 3/10 bulunur. Bu iki değer oranlandığında tan⁡(a+b)tan⁡(a−b)=tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=2/3\tan(a+b)\tan(a-b) = \frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = 2/3 elde edilir. Bu oranın 30 katı 20'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifade olan tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} kısmını sinüs ve kosinüs bileşenlerine ayıralım.
tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2bcos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = \frac{\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b}{\cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b} elde edilir.
Tanjant fonksiyonu tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımı kullanılarak ortak paydada yazılmıştır.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri iki kare farkı ve toplam-fark formülleri yardımıyla çarpanlarına ayıralım.
Pay: sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2b=(sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b)(sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b)=sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = (\sin a \cos b - \cos a \sin b)(\sin a \cos b + \cos a \sin b) = \sin(a-b)\sin(a+b). Payda: cos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b=(cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b)(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)\cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = (\cos a \cos b - \sin a \sin b)(\cos a \cos b + \sin a \sin b) = \cos(a-b)\cos(a+b).
Sinüs ve kosinüs toplam ve fark formülleri sırasıyla sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b ve cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b şeklindedir.
3
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)\sin(a-b)\sin(a+b) ve cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)\cos(a-b)\cos(a+b) ifadelerini verilen sin⁡2a−sin⁡2b\sin^2 a - \sin^2 b ve cos⁡2a−sin⁡2b\cos^2 a - \sin^2 b değerleriyle ilişkilendirelim.
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)=sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2b=sin⁡2a(1−sin⁡2b)−(1−sin⁡2a)sin⁡2b=sin⁡2a−sin⁡2b=15\sin(a-b)\sin(a+b) = \sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = \sin^2 a(1-\sin^2 b) - (1-\sin^2 a)\sin^2 b = \sin^2 a - \sin^2 b = \frac{1}{5}
cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)=cos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b=cos⁡2a(1−sin⁡2b)−(1−cos⁡2a)sin⁡2b=cos⁡2a−sin⁡2b=310\cos(a-b)\cos(a+b) = \cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = \cos^2 a(1-\sin^2 b) - (1-\cos^2 a)\sin^2 b = \cos^2 a - \sin^2 b = \frac{3}{10}
Özdeşliklerin sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 kullanılarak sadeleştirilmesiyle verilen denklem sistemine doğrudan ulaşılır.
4
Elde ettiğimiz değerleri oranlayarak istenen çarpımı hesaplayalım.
tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)=1/53/10=23\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = \frac{\sin(a-b)\sin(a+b)}{\cos(a-b)\cos(a+b)} = \frac{1/5}{3/10} = \frac{2}{3}
30⋅23=2030 \cdot \frac{2}{3} = 20
İstenen ifadenin değeri, elde ettiğimiz oranın 30 katıdır.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri kullanılarak tan⁡(a+b)tan⁡(a−b)\tan(a+b)\tan(a-b) çarpımının sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)\sin(a+b)\sin(a-b) ve cos⁡(a+b)cos⁡(a−b)\cos(a+b)\cos(a-b) oranına eşit olduğunun gösterilmesi ve bu ifadelerin sin⁡2a−sin⁡2b\sin^2 a - \sin^2 b ile cos⁡2a−sin⁡2b\cos^2 a - \sin^2 b biçiminde sadeleştirilmesi.
Soru 144Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)+tan⁡(π4−x)=56\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} + \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{5}{6}
olduğuna göre, 25⋅cos⁡(4x)25 \cdot \cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

25⋅cos⁡(4x)25 \cdot \cos(4x) ifadesinin değeri 77'dir.
Verilen trigonometrik eşitlik sadeleştirildiğinde tan⁡x\tan x değerinin 1/31/3 olduğu bulunur (1/21/2 kökü tanım aralığının dışındadır). tan⁡x=1/3\tan x = 1/3 değeri kullanılarak yarım açı formülleriyle cos⁡(2x)=4/5\cos(2x) = 4/5 ve cos⁡(4x)=7/25\cos(4x) = 7/25 elde edilir. Bu değer 2525 ile çarpıldığında 77 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} ifadesini sadeleştirmek için yarım açı formüllerini uygulayalım.
Pay: 1−(1−2sin⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x\cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)
Payda: 1+(2cos⁡2x−1)+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)1 + (2\cos^2 x - 1) + 2\sin x\cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)
Oranlandığında ifade tan⁡x\tan x olur.
İfadeyi daha basit bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek.
2
tan⁡(π4−x)\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) ifadesini toplam-fark formülü kullanarak açalım.
tan⁡(π4−x)=tan⁡(π/4)−tan⁡x1+tan⁡(π/4)tan⁡x=1−tan⁡x1+tan⁡x\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan x}{1 + \tan(\pi/4)\tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}
Tüm terimleri aynı trigonometrik değişken türünden yazmak.
3
tan⁡x=t\tan x = t dönüşümü yaparak denklemi rasyonel formda kuralım ve çözelim.
t+1−t1+t=56  ⟹  t2+1t+1=56  ⟹  6t2−5t+1=0t + \frac{1-t}{1+t} = \frac{5}{6} \implies \frac{t^2+1}{t+1} = \frac{5}{6} \implies 6t^2 - 5t + 1 = 0
Denklemin kökleri (2t−1)(3t−1)=0(2t-1)(3t-1)=0 eşitliğinden t=12t = \frac{1}{2} ve t=13t = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Değişken değiştirme yöntemiyle kök değerlerini elde etmek.
4
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) tanım aralığına uygun kökü seçelim.
tan⁡(π/8)=2−1≈0.414\tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1 \approx 0.414 olduğundan, t=12=0.5t = \frac{1}{2} = 0.5 aralık dışındadır. t=13≈0.333t = \frac{1}{3} \approx 0.333 aralığa uygundur. Buradan tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} seçilir.
Belirtilen dar açı aralık sınırını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
5
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} yardımıyla cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−1/91+1/9=8/10=45\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \frac{8/10} = \frac{4}{5}
Yarım açı formülü yardımıyla iki kat açının kosinüsüne geçiş yapmak.
6
cos⁡(4x)\cos(4x) değerini hesaplayıp istenen ifadeyi bulalım.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1=2(45)2−1=3225−1=725\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25} olur. Buradan 25⋅cos⁡(4x)=25⋅725=725 \cdot \cos(4x) = 25 \cdot \frac{7}{25} = 7 bulunur.
Kosinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayarak nihai sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde yarım açı ve toplam-fark formüllerinin birlikte kullanımı ile tanım kümesi sınırlamalarına göre kök eleme analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 145Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)⋅tan⁡(x)1−cos⁡(2x)=1.2\frac{\sin(4x) \cdot \tan(x)}{1 - \cos(2x)} = 1.2
olduğuna göre, tan⁡2(x)\tan^2(x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.25

Cevap

Doğru cevap 0.25'tir.
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde 2cos⁡(2x)=1.22\cos(2x) = 1.2 elde edilir. Buradan cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunur. cos⁡(2x)=1−tan⁡2(x)1+tan⁡2(x)\cos(2x) = \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} formülü uygulandığında tan⁡2(x)=0.25\tan^2(x) = 0.25 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Payda yer alan sin⁡(4x)\sin(4x) ve tan⁡(x)\tan(x) ifadelerine yarım açı ve trigonometrik özdeşlikler uygulanır.
sin⁡(4x)tan⁡(x)=4sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)⋅sin⁡(x)cos⁡(x)=4sin⁡2(x)cos⁡(2x)\sin(4x)\tan(x) = 4\sin(x)\cos(x)\cos(2x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 4\sin^2(x)\cos(2x)
Pay kısmını sade bir çarpım durumuna getirmek için yarım açı formüllerinden yararlanılır.
2
Paydada yer alan 1−cos⁡(2x)1 - \cos(2x) terimine cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) yarım açı formülü uygulanır.
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)
Pay kısmındaki sin⁡2(x)\sin^2(x) terimiyle sadeleşebilecek bir ifade elde etmek.
3
Elde edilen sadeleşmiş terimler birbirine oranlanarak verilen sayısal değere eşitlenir.
4sin⁡2(x)cos⁡(2x)2sin⁡2(x)=2cos⁡(2x)=1.2  ⟹  cos⁡(2x)=0.6\frac{4\sin^2(x)\cos(2x)}{2\sin^2(x)} = 2\cos(2x) = 1.2 \implies \cos(2x) = 0.6
Bilinmeyen açının yarım açı değerine ulaşmak.
4
cos⁡(2x)\cos(2x) ile tan⁡2(x)\tan^2(x) arasındaki ilişkiden faydalanılarak tan⁡2(x)\tan^2(x) değeri çekilir.
0.6=1−tan⁡2(x)1+tan⁡2(x)  ⟹  0.6+0.6tan⁡2(x)=1−tan⁡2(x)  ⟹  1.6tan⁡2(x)=0.4  ⟹  tan⁡2(x)=0.250.6 = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)} \implies 0.6 + 0.6\tan^2(x) = 1 - \tan^2(x) \implies 1.6\tan^2(x) = 0.4 \implies \tan^2(x) = 0.25
İstenen trigonometrik oranı elde etmek.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunduktan sonra dik üçgen çizilerek 2x2x açısı yerleştirilebilir. Buradan tan⁡(2x)=4/3\tan(2x) = 4/3 bulunur. Daha sonra tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan⁡2(x)\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} yarım açı formülü kullanılarak da tan⁡(x)\tan(x) ve oradan tan⁡2(x)=0.25\tan^2(x) = 0.25 değerine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 146Soru →
kk pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=3sin⁡2(2kx)−1f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1
g(x)=5cos⁡(k9x)+4g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4
fonksiyonlarının esas periyotları birbirine eşittir.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k'nin alabileceği pozitif gerçel sayı değeri 6'dır.
Çift dereceli olan birinci fonksiyonun periyodu Tf=kπ2T_f = \frac{k\pi}{2}, tek dereceli olan ikinci fonksiyonun periyodu ise Tg=18πkT_g = \frac{18\pi}{k} olarak elde edilir. Periyotların eşitliği kπ2=18πk  ⟹  k2=36\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k} \implies k^2 = 36 bağıntısını verir. Pozitif kk gerçel sayısı buradan 66 olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=3sin⁡2(2kx)−1f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1 fonksiyonunun esas periyodunu (TfT_f) hesaplama.
Tf=kπ2T_f = \frac{k\pi}{2}
Sinüs fonksiyonunun derecesi çift (22) olduğundan, periyot T=π∣b∣T = \frac{\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır. Burada b=2kb = \frac{2}{k} ve k>0k > 0 olduğu için Tf=π2k=kπ2T_f = \frac{\pi}{\frac{2}{k}} = \frac{k\pi}{2} olur.
2
g(x)=5cos⁡(k9x)+4g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4 fonksiyonunun esas periyodunu (TgT_g) hesaplama.
Tg=18πkT_g = \frac{18\pi}{k}
Kosinüs fonksiyonunun derecesi tek (11) olduğundan, periyot T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır. Burada b=k9b = \frac{k}{9} ve k>0k > 0 olduğu için Tg=2πk9=18πkT_g = \frac{2\pi}{\frac{k}{9}} = \frac{18\pi}{k} olur.
3
Esas periyotların eşitliği koşulundan kk değerini bulma.
k=6k = 6
Tf=TgT_f = T_g eşitliğinden kπ2=18πk\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k} denklemi elde edilir. Her iki taraf sadeleştirildiğinde k2=18k  ⟹  k2=36\frac{k}{2} = \frac{18}{k} \implies k^2 = 36 olur. k>0k > 0 koşulunu sağlayan değer k=6k = 6 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda sin⁡n(ax+b)\sin^n(ax+b) ve cos⁡n(ax+b)\cos^n(ax+b) ifadelerinin esas periyotları belirlenirken, kuvvetin tek veya çift olmasına bakılır. Derece çift (nn çift) ise periyot T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|}, derece tek (nn tek) ise periyot T=2π∣a∣T = \frac{2\pi}{|a|} formülüyle hesaplanır.
Soru 147Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣AC∣=6 birim|AC| = 6\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. Bu üçgende AA açısının iç açıortay doğrusu BCBC kenarını DD noktasında kesmektedir. Buna göre, ADAD açıortay doğrusunun uzunluğu (∣AD∣|AD|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Açıortay doğrusunun uzunluğu 2 birimdir.
İç açıortay teoremi ile taban bölme oranları belirlendikten sonra, büyük üçgende 120∘120^\circ kullanılarak Kosinüs teoremiyle kenar uzunlukları tam olarak bulunur. Ardından ABDABD ve ADCADC üçgenlerinde 60∘60^\circ açıları kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla ortak uzunluk olan 2 birim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini kullanarak tabandaki parçaların oranını bulunuz.
∣BD∣=k|BD| = k ve ∣DC∣=2k|DC| = 2k (∣BC∣=3k|BC| = 3k)
İç açıortay doğrusu, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.
2
ABCABC üçgeninde AA açısına göre Kosinüs teoremi uygulayarak kk değerini hesaplayınız.
9k2=9+36−36⋅cos⁡(120∘)  ⟹  9k2=63  ⟹  k=79k^2 = 9 + 36 - 36 \cdot \cos(120^\circ) \implies 9k^2 = 63 \implies k = \sqrt{7}
BCBC kenar uzunluğunu ve buna bağlı olarak tabandaki parçaların gerçek uzunluklarını bulmak için Kosinüs teoremi gereklidir.
3
ABDABD üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak ∣AD∣=x|AD| = x için bir denklem elde ediniz.
x2−3x+2=0  ⟹  x=1x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x = 1 veya x=2x = 2
ADAD açıortayı açıyı 60∘−60∘60^\circ - 60^\circ olarak ikiye böler, bu durum ABDABD üçgeninde Kosinüs teoremi yazmayı sağlar.
4
ADCADC üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak elde edilen xx değerlerini doğrulayınız.
x2−6x+8=0  ⟹  x=2x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x = 2 veya x=4x = 4. Ortak kök x=2x = 2 olarak bulunur.
Farklı iki üçgende de geçerli olan tek bir fiziksel uzunluk değeri bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoremi İlişkisi
Soru 148Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=55\sin x = \frac{\sqrt{5}}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

Doğru cevap 0.6'dır.
Verilen sin⁡x\sin x değerinin karesi alınarak sin⁡2x=0.2\sin^2 x = 0.2 bulunur. cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x yarım açı formülünde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç 0.6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sin⁡x\sin x değerini kullanarak sin⁡2x\sin^2 x ifadesini hesaplayın.
sin⁡2x=(55)2=525=0.2\sin^2 x = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{5}{25} = 0.2
Kosinüsün yarım açı formülünde sin⁡2x\sin^2 x terimi yer almaktadır.
2
Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x eşitliğini uygulayın.
cos⁡(2x)=1−2(0.2)=1−0.4=0.6\cos(2x) = 1 - 2(0.2) = 1 - 0.4 = 0.6
cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değerini doğrudan sin⁡x\sin x cinsinden bulmak için bu yarım açı formülü tercih edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Yarım Açı Formülü
Soru 149Soru →

Dik koordinat düzleminde, eksenleri A(0,8)A(0, 8) ve B(6,0)B(6, 0) noktalarında kesen ABAB doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan dik üçgensel bölgenin içerisine; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi ABAB doğru parçası üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen yerleştiriliyor. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En büyük dikdörtgen alanı 12 birimkaredir.
Doğru cevap 12'dir. Dikdörtgenin kenarlarından biri xx ekseni üzerinde xx birim, diğeri yy ekseni üzerinde yy birim uzunluğunda olup köşesi ABAB doğrusu üzerinde olduğundan y=8−43xy = 8 - \frac{4}{3}x ilişkisi mevcuttur. Alan fonksiyonu olan A(x)=−43x2+8xA(x) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x parabolünün tepe noktası x=3x = 3 olup en büyük alan değeri 12 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Do��ru denklemini oluşturmak ve y değişkenini x cinsinden ifade etmek.
Eksenleri kestiği noktalar A(0,8)A(0, 8) ve B(6,0)B(6, 0) olan doğrunun denklemi x6+y8=1\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1 olup, buradan y=8−43xy = 8 - \frac{4}{3}x elde edilir.
Dikdörtgenin bir köşesi bu doğru üzerinde bulunduğundan, kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Dikdörtgenin alanını tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazmak.
A(x)=x⋅y=x(8−43x)=−43x2+8xA(x) = x \cdot y = x \left(8 - \frac{4}{3}x\right) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x
Alanı en büyük yapacak değeri bulmak amacıyla ikinci dereceden bir parabol fonksiyonu elde edilir.
3
Elde edilen parabol fonksiyonunun tepe noktasını bulup maksimum alanı hesaplamak.
Tepe noktasının apsisi r=−82⋅(−43)=3r = -\frac{8}{2 \cdot (-\frac{4}{3})} = 3 ve bu değer için maksimum alan A(3)=12A(3) = 12 birimkaredir.
Baş katsayısı negatif olan ikinci dereceden fonksiyonlar en büyük değerini tepe noktasında (rr apsisinde) alır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasında en büyük veya en küçük değerini alması.
Soru 150Soru →

Birim çember üzerinde, pozitif yönlü bir θ\theta açısının bitim kenarının çemberi kestiği nokta A(a,b)A(a, b)'dir. θ\theta açısı analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olmak üzere, a−b=1.4a - b = 1.4 ve a>∣b∣a > |b| olduğuna göre, bb değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.6

Cevap

İstenen ordinat değeri olan b sayısı -0.6 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının kareleri a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 bağıntısını sağlar. Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 eşitliğinden yararlanarak elde edilen b2+1.4b+0.48=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 denkleminin kökleri -0.6 ve -0.8 değerleridir. a>∣b∣a > |b| koşulu yalnızca b=−0.6b = -0.6 ve a=0.8a = 0.8 için sağlandığından doğru cevap -0.6 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember tanımını ve verilen denklemi kullanarak bir denklem sistemi oluşturma.
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 ve a−b=1.4a - b = 1.4 denklem sistemi elde edilir.
Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlamak zorundadır.
2
aa değişkenini bb cinsinden yazıp birinci denklemde yerine koyarak bb değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi çözme.
b2+1.4b+0.48=0  ⟹  (b+0.6)(b+0.8)=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 \implies (b + 0.6)(b + 0.8) = 0 denkleminden b=−0.6b = -0.6 veya b=−0.8b = -0.8 bulunur.
Sistemdeki ortak çözümü sağlayan olası ordinat değerlerini bulmak için.
3
Dördüncü bölge koşulu ile a>∣b∣a > |b| eşitsizliğini kontrol ederek doğru bb değerini seçme.
b=−0.6b = -0.6 için a=0.8a = 0.8 olur ve 0.8>0.60.8 > 0.6 şartı sağlanır. Diğer kök bu şartı sağlamaz.
Soruda verilen bölge ve büyüklük sınırlandırmalarını sağlayan tek bir doğru çözümün tespiti için.

Anahtar Kavram

Birim çember tanımı ve trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri ile büyüklük ilişkileri.

Alternatif Yöntem

Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 denkleminin her iki tarafının karesi alınarak (a−b)2=a2−2ab+b2=1.96(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1.96 yazılabilir. a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 olduğu bilindiğinden 1−2ab=1.96  ⟹  2ab=−0.96  ⟹  ab=−0.481 - 2ab = 1.96 \implies 2ab = -0.96 \implies ab = -0.48 elde edilir. Toplamları a+(−b)=1.4a + (-b) = 1.4 ve çarpımları a(−b)=0.48a(-b) = 0.48 olan iki sayı 0.80.8 ve 0.60.6'dır. a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğundan aa ve −b-b pozitif sayılardır. a>∣b∣  ⟹  a>−ba > |b| \implies a > -b olduğu için a=0.8a = 0.8 ve −b=0.6  ⟹  b=−0.6-b = 0.6 \implies b = -0.6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 151Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−2x−2y = x^2 - 2x - 2 parabolü ile y=2x+my = 2x + m doğrusunun kesişim noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Koordinat sisteminin başlangıç noktası O(0,0)O(0, 0) olmak üzere, OA⊥OBOA \perp OB olduğuna göre, mm gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak çözüm denkleminin kökleri ve diklik şartı kullanılarak elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde m gerçek sayısının alabileceği pozitif değer 2 olarak bulunur.
Ortak çözüm denkleminden elde edilen apsisler ve ordinatlar arasındaki diklik şartı (x1x2+y1y2=0x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0) uygulandığında m2+3m−10=0m^2 + 3m - 10 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü olan 2 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenerek ortak çözüm denklemi oluşturulur.
x2−4x−(m+2)=0x^2 - 4x - (m+2) = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsislerini veren denklemi bulmak için ortak çözüm yapılır.
2
Ortak çözüm denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımı Vieta formülleriyle ifade edilir.
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=−m−2x_1 x_2 = -m - 2
Noktaların apsisleri arasındaki cebirsel ilişkileri doğrudan bulabilmek amacıyla kökler toplamı ve çarpımı kullanılır.
3
Kesişim noktalarının ordinatları (y1y_1 ve y2y_2), noktalar doğrunun üzerinde olduğu için doğru denkleminde yerine yazılarak apsisler cinsinden ifade edilir.
y1=2x1+my_1 = 2x_1 + m ve y2=2x2+my_2 = 2x_2 + m
Koordinatlar arasında tek bir değişken türünden ilişki kurabilmek için ordinat değerleri doğrunun denklemine yerleştirilir.
4
OA⊥OBOA \perp OB diklik şartı koordinatlar cinsinden x1x2+y1y2=0x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 olarak kurulur.
x1x2+(2x1+m)(2x2+m)=0  ⟹  5x1x2+2m(x1+x2)+m2=0x_1 x_2 + (2x_1 + m)(2x_2 + m) = 0 \implies 5x_1 x_2 + 2m(x_1 + x_2) + m^2 = 0 denklemi elde edilir.
İki vektörün dik olması, analitik düzlemde bu vektörlerin bileşenlerinin iç çarpımının sıfır olması şartına bağlıdır.
5
Kökler toplamı ve çarpımı değerleri diklik denkleminde yerine yazılır ve oluşan mm'ye bağlı denklem çözülür.
m2+3m−10=0  ⟹  (m+5)(m−2)=0  ⟹  m=2m^2 + 3m - 10 = 0 \implies (m+5)(m-2) = 0 \implies m = 2 veya m=−5m = -5
m parametresinin alabileceği değerleri bulmak için denklem m cinsinden tek değişkene indirgenir.
6
Bulunan mm değerlerinin parabol ve doğrunun kesişmesini sağlayıp sağlamadığı diskriminant kontrolüyle test edilir ve pozitif olan kök seçilir.
Δ=4m+24>0\Delta = 4m + 24 > 0 eşitsizliğinden m>−6m > -6 olmalıdır. Hem 2 hem de -5 bu şartı sağlar. Pozitif değer istendiğinden m=2m = 2 seçilir.
Kesişim noktalarının reel koordinatlara sahip olabilmesi için ortak çözümün diskriminantı pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun ortak çözüm denkleminin kökleri ile kesişim noktalarının analitik diklik şartı arasındaki ilişki.
Soru 152Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, BCBC kenarının uzunluğu 12 cm12\text{ cm} ve AA açısının sinüs değeri sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 olarak verilmiştir. Buna göre, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 15 cm'dir.
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende 2R=asin⁡(A^)2R = \frac{a}{\sin(\widehat{A})} bağıntısı geçerlidir. Verilen a=12a = 12 ve sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 değerleri formülde yerine yazıldığında 2R=1204=302R = \frac{12}{0{}4} = 30 bulunur. Buradan yarıçap R=15 cmR = 15\text{ cm} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi bağıntısını yazıp verilen değerleri yerine yerleştirmek.
2R=asin⁡(A^)2R = \frac{a}{\sin(\widehat{A})} formülünde a=12a = 12 ve sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 yazılır.
Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunluğu ile o kenarın karşısındaki açının sinüs değeri arasındaki oranı çevrel çemberin çapına eşitler.
2
Çap değerini (2R) hesaplamak.
2R=1204=302R = \frac{12}{0{}4} = 30 elde edilir.
Kenar uzunluğu sinüs değerine bölünerek çap bulunur.
3
Çapı ikiye bölerek yarıçapı bulmak.
R=15R = 15 bulunur.
Soruda bizden çemberin çapı değil, yarıçapı (RR) istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi yardımıyla çevrel çemberin yarıçapının bulunması.
Soru 153Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere A(1,0)A(1,0) noktasında teğet olan x=1x = 1 doğrusu çizilmiştir. Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir PP noktası için [OP][OP] yarıçap doğrusunun pozitif xx-ekseni ile yaptığı yönlü açının ölçüsü θ\theta'dır.

PP noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, x=1x = 1 doğrusunu K(1,−2)K(1, -2) noktasında kesmektedir.

Buna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Birim çember üzerindeki noktanın ordinatı -0.8 değerine eşittir.
Teğet doğrusunun denklemi kurulup verilen kesişim noktası yerine yazıldıktan sonra elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, noktanın üçüncü bölgede yer alması nedeniyle ordinat değeri negatif olan -0.8 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini yazma
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 doğrusu elde edilir.
Birim çember üzerindeki herhangi bir (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 şeklindedir.
2
K(1, -2) noktasını doğru denkleminde yerine yazma
cos⁡θ−2sin⁡θ=1\cos\theta - 2\sin\theta = 1 bağıntısı elde edilir.
Teğet doğrusu K(1,−2)K(1, -2) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
3
Trigonometrik özdeşliği kullanarak tek bilinmeyenli denklem elde etme
5sin⁡2θ+4sin⁡θ=05\sin^2\theta + 4\sin\theta = 0 denklemi elde edilir.
cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 özdeşliğinde cos⁡θ=1+2sin⁡θ\cos\theta = 1 + 2\sin\theta yazılarak ortak çözüm yapılır.
4
Bölge şartına göre ordinat değerini belirleme
sin⁡θ=−0.8\sin\theta = -0.8 olarak bulunur.
Denklemin kökleri 0 ve -0.8'dir. Nokta üçüncü bölgede yer aldığından koordinatları negatif olmalıdır, bu yüzden sıfır değeri elenir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları ve teğet doğrusunun analitik denklemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 154Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çembere ikinci bölgedeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini A(−1.25,0)A(-1.25, 0) noktasında kesmektedir. Buna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

P noktasının ordinatı 0.6 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemi yardımıyla PP noktasının apsis değeri cos⁡θ=−0.8\cos\theta = -0.8 olarak bulunur. PP noktası ikinci bölgede olduğundan ordinat değeri olan sin⁡θ\sin\theta pozitif olmalıdır. Buradan sin⁡θ=1−(−0.8)2=0.6\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini birim çember üzerindeki nokta cinsinden ifade etmek.
Teğet doğrusu x⋅cos⁡θ+y⋅sin⁡θ=1x \cdot \cos\theta + y \cdot \sin\theta = 1 olarak kurulur.
Birim çember üzerindeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çizilen teğetin denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği A noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazmak.
−1.25⋅cos⁡θ=1  ⟹  cos⁡θ=−0.8-1.25 \cdot \cos\theta = 1 \implies \cos\theta = -0.8 elde edilir.
Verilen A noktasının doğru üzerinde olması şartını kullanarak cos⁡θ\cos\theta değerini bulmak için.
3
Trigonometrik özdeşlik ve bölge işareti yard��mıyla sinüs değerini hesaplamak.
sin⁡θ=0.6\sin\theta = 0.6 bulunur.
İkinci bölgede yer alan P noktasının ordinatı (sin⁡θ\sin\theta) pozitif olduğundan sin⁡θ=1−(−0.8)2=0.6\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6 hesabını yapmak için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin özellikleri ve trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri.

Alternatif Yöntem

OPA dik üçgeni oluşturulur. Burada OP=1OP = 1 birim (yarıçap) ve OA=1.25OA = 1.25 birimdir. Pisagor teoreminden teğet uzunluğu AP=0.75AP = 0.75 birim bulunur. Öklid bağıntısı veya alan formülünden PP noktasının x-eksenine olan uzaklığı (yüksekliği) h=1⋅0.751.25=0.6h = \frac{1 \cdot 0.75}{1.25} = 0.6 birim olarak hesaplanır. İkinci bölgede ordinat pozitif olduğundan cevap 0.6'dır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 155Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−4x+3)⋅(2−x)x2−5x−6≥0 \frac{(x^2 - 4x + 3) \cdot (2 - x)}{x^2 - 5x - 6} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı -1'dir.
Eşitsizlik tablosu incelendiğinde eşitsizliği sağlayan çözüm kümesinin (−∞,−1)∪[1,2]∪[3,6)(-\infty, -1) \cup [1, 2] \cup [3, 6) olduğu görülür. Bu kümedeki en büyük negatif tam sayı −2-2 (−1-1 tanımsızlık nedeniyle hariç tutulmuştur) ve en küçük pozitif tam sayı 11'dir. İkisinin toplamı −2+1=−1-2 + 1 = -1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Payın çarpanları:
x2−4x+3=(x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1 ve x=3x = 3
2−x=0  ⟹  x=22 - x = 0 \implies x = 2
Payın kökleri: 1, 2 ve 3'tür.

Paydanın çarpanları:
x2−5x−6=(x−6)(x+1)=0  ⟹  x=−1x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=6x = 6
Paydanın kökleri: -1 ve 6'dır.
İşaret tablosu oluşturmak amacıyla tüm sınır değerleri (kökleri) tespit etmek için bu adım uygulanır.
2
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturun ve aralıkların işaretlerini belirleyin.
Köklerin sıralaması: −1<1<2<3<6-1 < 1 < 2 < 3 < 6
Baş katsayıların işareti:
- x2−4x+3x^2 - 4x + 3 için ++
- 2−x2 - x için −-
- x2−5x−6x^2 - 5x - 6 için ++
Toplam işaret: (+)⋅(−)+=−\frac{(+) \cdot (-)}{+} = -

Bu nedenle tablonun en sağından (6'nın sağından) eksi (−-) işareti ile başlanır ve her kökten geçildiğinde işaret değiştirilir:
- x>6x > 6 için −-
- 3<x<63 < x < 6 için ++
- 2<x<32 < x < 3 için −-
- 1<x<21 < x < 2 için ++
- −1<x<1-1 < x < 1 için −-
- x<−1x < -1 için ++

Paydanın kökleri olan −1-1 ve 66 ifadeyi tanımsız yaptığından çözüm kümesine dahil edilmez. Eşitsizlik ≥0\ge 0 şeklinde olduğundan payın kökleri (1,2,31, 2, 3) dahil edilir. Çözüm kümesi: (−∞,−1)∪[1,2]∪[3,6)(-\infty, -1) \cup [1, 2] \cup [3, 6)
Eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu bölgeleri (pozitif bölgeleri) tespit etmek için.
3
Çözüm kümesindeki en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayıyı belirleyip toplayın.
Çözüm kümesindeki negatif sayılar (−∞,−1)(-\infty, -1) aralığındadır. Bu aralıktaki en büyük negatif tam sayı −2-2'dir (−1-1 paydayı sıfır yaptığı için dahil edilemez).

Çözüm kümesindeki pozitif sayılar [1,2]∪[3,6)[1, 2] \cup [3, 6) aralıklarındadır. Bu aralıklardaki en küçük pozitif tam sayı 11'dir.

İki değerin toplamı: (−2)+1=−1(-2) + 1 = -1 bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözümünde pay ve paydadaki ifadelerin tüm kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur. Paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine dahil edilmez.
Soru 156Soru →
Bir xx dar açısı için 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Kosinüs yarım açı form��lleri kullanılarak tan⁡x\tan x değeri 0.50.5 (veya 12\frac{1}{2}) olarak hesaplanır.
Verilen cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} eşitliğinde cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 yarım açı formülü uygulandığında cos⁡2x=45\cos^2 x = \frac{4}{5} bulunur. Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡x=25\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}} ve buradan sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} elde edilir. Tanjant tanımı gereği tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=12=0.5\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{2} = 0.5 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün yarım açı formülünü yazma
cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1
2x2x açısının trigonometrik oranından yararlanarak xx açısına geçiş yapabilmek.
2
Elde edilen denklemden cos⁡x\cos x değerini çekme
cos⁡x=25\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}
0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında kosinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir.
3
sin⁡x\sin x değerini bulup tan⁡x\tan x oranını hesaplama
sin⁡x=15  ⟹  tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=0.5\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} \implies \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 0.5
İstenen tan⁡x\tan x değerini elde etmek için temel trigonometrik özdeşlikleri uygulamak.

Anahtar Kavram

Kosinüsün yarım açı formülü yardımıyla bir açının iki katının değerinden açının kendisine ait trigonometrik oranların hesaplanması.
Soru 157Soru →
Pozitif bir kk gerçel sayısı için f(x)=5cot⁡(kx+π3)f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right) fonksiyonunun esas periyodu π4\frac{\pi}{4} radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen fonksiyonun esas periyodu 4'tür.
Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle bulunur. Burada xx'in katsayısı a=ka=k olup, k>0k > 0 olduğu için periyot πk\frac{\pi}{k} olur. Soruda periyot π4\frac{\pi}{4} olarak verildiğinden πk=π4\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden k=4k = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kotanjant fonksiyonunun esas periyot formülünü yazma
g(x)=c⋅cot⁡(ax+b)g(x) = c \cdot \cot(ax + b) biçimindeki fonksiyonların esas periyodu T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle hesaplanır.
Kotanjant fonksiyonunun grafiği her π\pi radyanda bir kendini tekrar ettiği için esas periyodu bulurken tanım kümesindeki yatay daralma/genişleme katsayısı olan aa değerine bölme yapılır.
2
Periyot denklemini kurarak k değerini hesaplama
f(x)=5cot⁡(kx+π3)f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right) fonksiyonunda xx'in katsayısı kk olduğundan periyot T=π∣k∣T = \frac{\pi}{|k|} olur. k>0k > 0 olarak verildiğinden ∣k∣=k|k| = k alınır. Buradan πk=π4  ⟹  k=4\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} \implies k = 4 elde edilir.
Fonksiyonun esas periyodunun π4\frac{\pi}{4} olduğu soruda verildiği için bu iki değer birbirine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarında xx'in katsayısı olan aa değeri için esas periyot T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle elde edilir.
Soru 158Soru →

Dik koordinat düzleminde, [−6,12][-6, 12] kapalı aralığında tanımlı, grafiği doğrusal parçalardan oluşan ve xx-ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanı 3636 birimkare olan bir ff fonksiyonu verilmiştir.

aa ve bb pozitif gerçek sayılar olmak üzere,
g(x)=a⋅f(b⋅x)g(x) = a \cdot f(b \cdot x)
fonksiyonunun tanım kümesi [−2,4][-2, 4] ve xx-ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanı 9696 birimkaredir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

a + b toplamının değeri 11'dir.
g(x) = a * f(b * x) dönüşümünde, tanım kümesi [-6/b, 12/b] = [-2, 4] eşitliğinden b = 3 bulunur. Alan ise dikey esneme ve yatay sıkışma sonucu a/b oranında değişir. 36 * (a/3) = 96 eşitliğinden a = 8 bulunur. Toplamları 8 + 3 = 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi dönüşümünü analiz ederek b katsayısını belirleme
b = 3
f(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-6, 12] iken g(x) = a * f(b * x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 4] olarak verilmiştir. Tanım kümesinin sınırları b kat daraldığı için b = 3 olmalıdır.
2
Alan değişimini analiz ederek a katsayısını belirleme
a = 8
Yatay olarak b = 3 oranında sıkışan grafiğin alanı 1/3 katına iner. Dikey olarak a oranında esnetilen grafiğin alanı a katına çıkar. Toplam alan (a/3) katına çıkacağından 96 = (a/3) * 36 eşitliğinden a = 8 elde edilir.
3
Bulunan katsayıların toplamını hesaplama
11
a = 8 ve b = 3 değerlerinin toplamı sorulduğu için 8 + 3 = 11 bulunur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay esnetme/sıkıştırma dönüşümü f(b*x) tanım kümesini 1/b oranında değiştirirken, dikey esnetme/sıkıştırma a*f(x) görüntü kümesini a katına çıkarır. Bu iki dönüşümün alanı etkileme oranı a/b olur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 159Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x−cos⁡x=15\sin x - \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.96

Cevap

İfadenin karesi alınarak temel trigonometrik özdeşlikler uygulandığında sin⁡(2x)\sin(2x) değeri 0,960,96 (yani 2425\frac{24}{25}) olarak elde edilir.
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında elde edilen sin⁡2x+cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x ifadesi 1'e eşittir. Karesel açılımdaki −2sin⁡xcos⁡x-2\sin x\cos x terimi ise −sin⁡(2x)-\sin(2x) yarım açı formülüne karşılık gelir. Buradan 1−sin⁡(2x)=1/251 - \sin(2x) = 1/25 denklemi çözülerek sin⁡(2x)=24/25=0,96\sin(2x) = 24/25 = 0,96 sonucuna doğrudan ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini almak
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=125\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}
İfadedeki terimlerin çarpımını ve kareler toplamını ortaya çıkararak bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek için.
2
Trigonometrik özdeşlikleri uygulamak
1−sin⁡(2x)=1251 - \sin(2x) = \frac{1}{25}
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 temel özdeşliği ile yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) eşitliklerini yerine koymak için.
3
sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakmak
sin⁡(2x)=1−125=2425=0,96\sin(2x) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} = 0,96
Soruda istenen yarım açı değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sinüs fonksiyonunun yarım açı formülü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x) ve temel trigonometrik özdeşliklerin (sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1) kullanımı.
Soru 160Soru →
(x−2)2(x2−2x−8)x2−36≤0\frac{(x - 2)^2 (x^2 - 2x - 8)}{x^2 - 36} \leq 0
x2−3x−10x−5≥0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5} \geq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Sistemin ortak çözüm kümesindeki tam sayılar -2, 2 ve 4'tür. Bunların toplamı 4 yapar. x = 2 çift katlı kökü birinci eşitsizliği sağladığı ve ikinci eşitsizliğin tanım kümesinde olduğu için çözüme dahil edilirken; x = 5 değeri payda kökü olduğu için hariç tutulur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadelerin kökleri belirlenir.
Payın kökleri x = 2 (çift katlı), x = 4 ve x = -2; paydanın kökleri x = 6 ve x = -6 (payda kökleri çözüm kümesine dahil edilmez).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturmak için kritik noktaları belirlemek gerekir.
2
Birinci eşitsizlik için işaret tablosu yapılarak çözüm kümesi bulunur.
Çözüm kümesi S1 = (-6, -2] U {2} U [4, 6) olarak elde edilir.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıkları ve değerleri belirlemek amaçlanır. Çift katlı kök olan x = 2 değeri ifadeyi sıfır yaptığı için çözüm kümesine tek nokta olarak eklenmelidir.
3
İkinci eşitsizlik çarpanlarına ayrılır ve sadeleştirilir.
x != 5 kısıtı altında x + 2 >= 0 eşitsizliği elde edilir ve S2 = [-2, 5) U (5, sonsuz) bulunur.
Ortak çarpanları sadeleştirirken paydanın sıfır olamayacağı (x != 5) kuralı unutulmamalıdır.
4
S1 ve S2 çözüm kümelerinin kesişim kümesi oluşturulur.
Kesişim kümesi S = {-2, 2} U [4, 5) U (5, 6) olur.
Eşitsizlik sisteminin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerin kümesidir.
5
Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Tam sayılar: -2, 2 ve 4. Toplam: (-2) + 2 + 4 = 4.
Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamını bulmak hedeflenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
ÖncekiSayfa 8 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin