Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1681Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡x1+cos⁡x+1+cos⁡x1−cos⁡x\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} + \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2csc⁡x-2\csc x

Cevap

−2csc⁡x-2\csc x ifadesini içeren seçenek doğrudur.
Verilen ifadeyi rasyonel hale getirmek için eşleniklerle çarptığımızda paydada sin⁡2x\sin^2 x elde ederiz. Bu ifade kök dışına ∣sin⁡x∣|\sin x| olarak çıkar. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için sin⁡x\sin x negatif değer alır ve mutlak değerden −sin⁡x-\sin x olarak kurtulur. Pay kısmındaki mutlak değerli ifadeler ise pozitif olduklarından aynen çıkarlar. Toplama işlemi yapıldığında cos⁡x\cos x terimleri birbirini götürür ve pay kısmında 22 kalır. Paydada −sin⁡x-\sin x olduğu için sonuç −2csc⁡x-2\csc x olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Köklü ifadelerin paydalarını rasyonel yapmak için pay ve paydayı eşlenikleriyle genişletelim.
(1−cos⁡x)2(1+cos⁡x)(1−cos⁡x)+(1+cos⁡x)2(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=(1−cos⁡x)21−cos⁡2x+(1+cos⁡x)21−cos⁡2x\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}}
Paydaları ortak bir paydaya (yani sin⁡2x\sin^2 x ifadesine) dönü��türerek tek paydada yazabilmek için.
2
1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x özdeşliğini kullanalım ve ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.
(1−cos⁡x)2sin⁡2x+(1+cos⁡x)2sin⁡2x=∣1−cos⁡x∣∣sin⁡x∣+∣1+cos⁡x∣∣sin⁡x∣\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{\sin^2 x}} = \frac{|1 - \cos x|}{|\sin x|} + \frac{|1 + \cos x|}{|\sin x|}
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadelerin mutlak değerli olarak yazılması gerektiği kuralını uygulamak için.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına (3. bölge) göre mutlak değerlerin işaretlerini belirleyelim.
3. bölgede cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>01 - \cos x > 0 ve 1+cos⁡x>01 + \cos x > 0 olur. Dolayısıyla ∣1−cos⁡x∣=1−cos⁡x|1 - \cos x| = 1 - \cos x ve ∣1+cos⁡x∣=1+cos⁡x|1 + \cos x| = 1 + \cos x olarak çıkar. Yine 3. bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 olduğundan ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olarak çıkar.
Mutlak değerli ifadeleri aralığın işaret özelliklerine göre mutlak değer dışına çıkarmak için.
4
Belirlediğimiz işaretlerle ifadeleri yerlerine yazıp toplayalım.
1−cos⁡x−sin⁡x+1+cos⁡x−sin⁡x=1−cos⁡x+1+cos⁡x−sin⁡x=2−sin⁡x=−2csc⁡x\frac{1 - \cos x}{-\sin x} + \frac{1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{2}{-\sin x} = -2\csc x
İfadeyi en sade biçime getirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler, bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve köklü ifadelerin mutlak değer ile dışarı çıkarılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1682Soru →

(an)(a_n) dizisinin genel terimi

an=n2−(k+3)n+4ka_n = \sqrt{n^2 - (k+3)n + 4k}

olarak veriliyor.

Bu ifadenin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için kk gerçel sayısının alabileceği tüm değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [3, 5]

Cevap

Sınır noktalarını da kapsayan üç ile beş kapalı aralığıdır.
Dizi tanımı gereği genel terim her pozitif tam sayı nn için tanımlı olmalıdır. Kareköklü bir genel terimin her pozitif tam sayı için gerçel sayı belirtmesi ise kök içinin negatif olmamasını gerektirir. n2−(k+3)n+4k≥0n^2 - (k+3)n + 4k \geq 0 ifadesi (n−4)(n−k)≥0(n-4)(n-k) \geq 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, kökler 44 ve kk olur. İşaret tablosuna göre bu ifadenin negatif olduğu tek yer bu iki kök arasıdır. Pozitif tam sayılarda tanımsızlık olmaması için bu kökler arasına hiçbir pozitif tam sayı girmemelidir. kk sayısı en küçük 33 (3 ile 4 arasında tam sayı yoktur), en büyük 55 (4 ile 5 arasında tam sayı yoktur) olabilir. Dolayısıyla kk değerlerinin kümesi üç ile beş kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımından yola çıkarak karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık şartını belirleyin.
n2−(k+3)n+4k≥0n^2 - (k+3)n + 4k \geq 0 eşitsizliği her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için sağlanmalıdır.
Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisinde tanımlı ve gerçel sayı olması, yani karekökün içinin negatif olmaması gerekir.
2
Karekök içerisindeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.
(n−4)(n−k)≥0(n-4)(n-k) \geq 0 eşitsizliği elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulmak ve işaret incelemesini kolaylaştırmak için çarpanlara ayırma yapılır.
3
Eşitsizliğin pozitif tam sayılarda her zaman sağlanma koşulunu köklerin konumuna göre analiz edin.
İfadenin kökleri 44 ve kk sayılarıdır. Çarpımın negatif olduğu bölge bu iki kökün arasıdır. Dolayısıyla bu iki kök arasındaki açık aralıkta hiçbir pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) bulunmamalıdır.
Eğer kökler arasında bir pozitif tam sayı kalırsa, o terim için genel terimin içi negatif olur ve dizi tanımsızlaşır.
4
Kökler arasındaki aralıkta pozitif tam sayı bulunmaması için sınır durumlarını inceleyin.
Eğer k<3k < 3 olursa 33 pozitif tam sayısı kk ile 44 arasında kalır. Eğer k>5k > 5 olursa 55 pozitif tam sayısı 44 ile kk arasında kalır. Bu durumda 3≤k≤53 \leq k \leq 5 olmalıdır.
Sınır değerleri olan 3 ve 5 değerleri kök aralığının sınırında olduğu için aralığın içine tam sayı düşmesini engeller. Bu değerler test edildiğinde de eşitsizliği her pozitif tam sayı için sıfır veya sıfırdan büyük yaptığı görülür.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi kısıtı ve genel terimin pozitif tam sayılarda tanımlı olma şartı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1683Soru →
Her nn adedi pozitif tam sayı olmak üzere, ana_n dizisinin genel terimi
an=arctan⁡(1n2+n+1)a_n = \arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)
olarak tanımlanıyor.
Buna göre,
tan⁡(a1+a2+a3+a4)\tan\left(a_1 + a_2 + a_3 + a_4\right)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23\frac{2}{3}

Cevap

İfadenin doğru değeri 23\frac{2}{3} olarak bulunur.
Genel terim arctan⁡(n+1)−arctan⁡(n)\arctan(n+1) - \arctan(n) şeklinde açıldıktan sonra teleskopik toplam yöntemiyle aradaki terimler birbirini götürür ve geriye arctan⁡(5)−arctan⁡(1)\arctan(5) - \arctan(1) kalır. Bu ifadenin tanjantı alınırken tanjant fark formülü uygulandığında doğru cevap 23\frac{2}{3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimin toplam-fark formülüne uyarlanması
an=arctan⁡((n+1)−n1+n(n+1))a_n = \arctan\left(\frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)}\right)
Ters tanjant fark formülü olan arctan⁡x−arctan⁡y=arctan⁡(x−y1+xy)\arctan x - \arctan y = \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) özdeşliğini kullanabilmek için rasyonel ifade uygun biçimde yazılır.
2
Genel terimin fark biçiminde yazılması
an=arctan⁡(n+1)−arctan⁡(n)a_n = \arctan(n+1) - \arctan(n)
Ters tanjant fark özdeşliği uygulanarak genel terim ardışık iki terimin farkı cinsinden ifade edilir.
3
Terimlerin toplanması (Teleskopik toplam)
a1+a2+a3+a4=arctan⁡(5)−arctan⁡(1)a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \arctan(5) - \arctan(1)
n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerleri yazılıp taraf tarafa toplandığında aradaki terimler birbirini sadeleştirir.
4
Tanjant fark formülünün uygulanması
tan⁡(arctan⁡(5)−arctan⁡(1))=5−11+5⋅1=46=23\tan(\arctan(5) - \arctan(1)) = \frac{5 - 1}{1 + 5 \cdot 1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} formülünde tan⁡(arctan⁡(5))=5\tan(\arctan(5)) = 5 ve tan⁡(arctan⁡(1))=1\tan(\arctan(1)) = 1 değerleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadelerde tanjant fark formülünün teleskopik toplam yardımıyla uygulanması
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1684Soru →

(an)(a_n) bir aritmetik dizi olmak üzere,

a5+a15=32a_5 + a_{15} = 32

olduğuna göre, bu dizinin a10a_{10} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Dizinin onuncu terimi 16 değerine eşittir.
Aritmetik dizilerde ap+aq=as+ata_p + a_q = a_s + a_t eşitliği p+q=s+tp + q = s + t durumu için her zaman geçerlidir. Sorumuzda 5+15=10+105 + 15 = 10 + 10 olduğundan, a5+a15=a10+a10=2⋅a10a_5 + a_{15} = a_{10} + a_{10} = 2 \cdot a_{10} yazılabilir. Bize a5+a15=32a_5 + a_{15} = 32 olarak verildiği için, 2⋅a10=322 \cdot a_{10} = 32 eşitliğinden a10=16a_{10} = 16 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizideki terimlerin indisleri arasındaki ilişkiyi belirleme
5+15=10+10=205 + 15 = 10 + 10 = 20 bağıntısı elde edilir.
Bir aritmetik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
2
İndis özelliğini kullanarak terimler arasında denklem kurma
a5+a15=2⋅a10a_5 + a_{15} = 2 \cdot a_{10} denklemi kurulur.
İndislerin toplamı eşit olduğundan, a5a_5 ve a15a_{15} terimlerinin toplamı, a10a_{10} teriminin 2 katına eşittir.
3
Verilen toplam değerini denklemde yerine yazarak bilinmeyen terimi hesaplama
32=2⋅a10⇒a10=1632 = 2 \cdot a_{10} \Rightarrow a_{10} = 16 bulunur.
a5+a15a_5 + a_{15} toplamı 3232 olarak verildiği için denklem çözülerek a10a_{10} elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide herhangi bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki (indisleri toplamı o terimin indisinin iki katı olan) terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir.
Soru 1685Soru →

Sanat felsefesinde (estetikte) nesnelerin alımlayıcı tarafından algılanması ve değerlendirilmesi sürecinde farklı estetik değer kategorileri kullanılır. Buna göre, sol sütunda verilen açıklama ve örnek durumlar ile sağ sütunda yer alan estetik değer kategorilerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Fırtınada dalgalanan coşkun bir denizin ya da göğe uzanan sarp dağların azameti karşısında insanın kendi fiziksel sınırlılığını hissetmesine rağmen, aklıyla bu sınırsızlığı kavrayabilmesinden kaynaklanan, hayranlıkla karışık korku ve saygı hissi.
Bir sanat eserinin sunduğu biçimsel düzeni ve uyumu, hiçbir pratik yarar, ahlaki gaye veya duyusal doyum amacı gütmeksizin, yalnızca kendi varlığı için seyretmekten doğan çıkarsız ve zihinsel memnuniyet.
Bir çiçeğin kokusundan veya sıcak bir kış çorbasından alınan duyusal lezzetin, alımlayıcının doğrudan bedensel gereksinimlerine ya da hazza yönelik faydacı bir doyum vermesi durumu.
Bireyin, aşamayacağı toplumsal normlar ya da kozmik bir yazgı karşısında ahlaki bir kararlılıkla mücadele ederken uğradığı mutlak yıkımın, izleyicide uyandırdığı sarsıcı acıma ve ruhsal arınma duygusu.

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İlk ifade Yüce kavramıyla, ikinci ifade Güzel kavramıyla, üçüncü ifade Hoş kavramıyla ve dördüncü ifade Trajik kavramıyla eşleşmektedir.
Sol sütundaki durumlar, estetik değerlerin temel tanımlarıyla örtüşmektedir: Doğadaki sınırsızlık ve hayranlık hissi Yüce ile; çıkarsız zihinsel haz Güzel ile; bedensel ve duyusal tatmin Hoş ile; soylu mücadele ve yıkım ise Trajik ile doğru bir şekilde eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ifadedeki sınırsızlık, büyüklük, doğanın azameti ve ürperti ile hayranlık karışımı duyguyu analiz et.
Bu özelliklerin estetik literatürde (özellikle Kant estetiğinde) 'Yüce' (sublime) kavramına karşılık geldiğini tespit et.
Yüce, insanın kavrayış sınırlarını aşan büyüklükteki doğa olayları karşısında hissedilen estetik duyguyu betimler.
2
İkinci ifadedeki çıkarsızlık (yarar gütmeme) ve saf zihinsel hoşnutluk vurgusunu incele.
Pratik faydadan uzak, salt biçimsel düzenin seyredilmesinden alınan bu hazzın 'Güzel' kavramına ait olduğunu belirle.
Güzellik yargısı pratik bir çıkar veya duyusal tatmin beklentisi içermeyen, nesnesine yönelik çıkarsız bir yönelimdir.
3
Üçüncü ifadedeki bedensel lezzet, fayda ve doğrudan duyusal tatmin unsurlarını değerlendir.
Bu duyusal tatminin estetik bir yargıdan ziyade 'Hoş' kavramına karşılık geldiğini saptap.
Hoş kavramı nesnenin biçimiyle değil, alımlayıcıda yarattığı duyusal doyum ve fiziksel yararla ilgilidir.
4
Dördüncü ifadedeki aşılmaz engeller, ahlaki mücadele, kaçınılmaz yıkım ve ruhsal arınma (katarsis) öğelerini analiz et.
Bu durumun doğrudan 'Trajik' kavramıyla eşleştiğini gör.
Trajik kavramı, soylu bir kahramanın kaçınılmaz ve acıklı bir sonla karşılaşmasını ve izleyicide acıma/korku yoluyla arınma yaratmasını ifade eder.

Anahtar Kavram

Estetik Değer Kategorileri ve Aralarındaki Farklar
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1686Soru →
log⁡12(x−2)+2log⁡2(9−x)−2≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 2}{\log_2(9 - x) - 2} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 28'dir.
Eşitsizliğin çözümü için logaritma tanım kuralları gereği 2<x<92 < x < 9 olmalıdır. Payın kökü x=6x = 6 ve paydanın kökü x=5x = 5'tir. İşaret tablosu yapıldığında 2<x<52 < x < 5 ve 6≤x<96 \leq x < 9 aralıklarında eşitsizlik sağlanır. Bu aralıklardaki tam sayılar 3,4,6,7,83, 4, 6, 7, 8 olup toplamları 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
2<x<92 < x < 9
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için logaritması alınan ifadelerin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Pay kısmının kökünü ve işaretini bulmak
Kök x=6x = 6, x<6x < 6 için pozitif, x>6x > 6 için negatif
Payı sıfır yapan değeri bulup, taban 00 ile 11 arasında olduğu için azalanlık özelliğine göre işaretini belirleriz.
3
Payda kısmının kökünü ve işaretini bulmak
Kök x=5x = 5, x<5x < 5 için pozitif, x>5x > 5 için negatif
Paydayı sıfır yapan değeri bulup, taban 11'den büyük olduğu için artanlık/azalanlık durumuna göre işaretini belirleriz.
4
İşaret tablosunu oluşturmak ve çözüm kümesini yazmak
Çözüm Kümesi = (2,5)∪[6,9)(2, 5) \cup [6, 9)
Pay ve paydanın işaretlerinin bölümünün pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri tanım kümesi sınırları içinde belirleriz.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplamak
3+4+6+7+8=283 + 4 + 6 + 7 + 8 = 28
Eşitsizliği sağlayan tüm tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesi sınırlarının çözüm kümesine etkisi.
Soru 1687Soru →

f(x)=(a−1)x2−4x+a+2f(x) = (a-1)x^2 - 4x + a + 2 ifadesi veriliyor. Her xx gerçel sayısı için f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin sağlanması amacıyla aa parametresinin alabileceği en geniş değerler kümesi (−∞,−3)∪(2,∞)(-\infty, -3) \cup (2, \infty) olarak verilmiştir. Bu bilgiye göre, verilen bu küme ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen küme ifadesi yanlıştır. Doğru çöz��m kümesi (−∞,−3)(-\infty, -3) olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin tüm gerçel sayılarda negatif değer alması için başkatsayısının negatif ve diskriminantının negatif olması şarttır. Verilen ifadede başkatsayının negatif olma şartı (a<1a < 1) göz ardı edilerek sadece Δ<0\Delta < 0 koşuluna göre çözüm yapılmış ve hatalı bir küme elde edilmiştir. Doğru küme (−∞,−3)(-\infty, -3) olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima negatif olması koşullarını belirleyin.
Başkatsayı negatif (a−1<0a - 1 < 0) ve diskriminant negatif (Δ<0\Delta < 0) olmalıdır.
Grafiğin tamamen x-ekseninin altında kalması için kolların aşağı doğru olması ve ekseni kesmemesi gerekir.
2
Başkatsayı koşulunu çözün.
a−1<0  ⟹  a<1a - 1 < 0 \implies a < 1 bulunur.
Kolların aşağı yönlü olması için başkatsayı negatif olmalıdır.
3
Diskriminant koşulunu hesaplayın.
Δ=(−4)2−4(a−1)(a+2)<0  ⟹  16−4(a2+a−2)<0  ⟹  a2+a−6>0\Delta = (-4)^2 - 4(a-1)(a+2) < 0 \implies 16 - 4(a^2 + a - 2) < 0 \implies a^2 + a - 6 > 0 elde edilir. Eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında (a+3)(a−2)>0(a+3)(a-2) > 0 olur. Buradan a<−3a < -3 veya a>2a > 2 bulunur.
İfadenin gerçel kökünün olmaması için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır.
4
Bulunan iki koşulun kesişimini alın.
a<1a < 1 ile (a<−3a < -3 veya a>2a > 2) kümesinin kesişimi (−∞,−3)(-\infty, -3) aralığıdır.
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiğinden ortak çözüm kümesi aranır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima negatif olma koşulu ve başkatsayı incelemesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1688Soru →

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisidir.

an=1log⁡2(n2+4n+k)−3a_n = \frac{1}{\log_2(n^2 + 4n + k) - 3}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

k tam sayısının alabileceği en küçük değer -3'tür.
Dizi terimlerinin tanımlı olabilmesi için logaritmanın içi her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için pozitif olmalı ve payda sıfırdan farklı olmalıdır. Parabolün artanlığı analiz edilerek logaritmanın içi için k≥−4k \ge -4 koşulu bulunur. Ancak k=−4k = -4 değeri n=2n = 2 için paydayı sıfır yaptığından elenir ve en küçük uygun değerin −3-3 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanımlı olması için gerekli koşulları belirleme
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2+4n+k>0n^2 + 4n + k > 0 ve n2+4n+k≠8n^2 + 4n + k \neq 8 olmalıdır.
Gerçel sayı dizisinin her terimi tanımlı olmalıdır. Bu yüzden logaritmanın içi pozitif olmalı ve payda sıfırdan farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın içi için tanımlılık sınırını bulma
k≥−4k \ge -4
n2+4n+kn^2 + 4n + k ifadesi n≥1n \ge 1 için artan olduğundan en küçük değerini n=1n = 1 noktasında alır. f(1)>0  ⟹  k>−5f(1) > 0 \implies k > -5 elde edilir.
3
Paydayı sıfır yapan durumları kontrol etme
k=−4k = -4 değeri için n=2n = 2 terimi paydayı sıfır yapar, bu yüzden k≥−3k \ge -3 olmalıdır.
n2+4n+k=8n^2 + 4n + k = 8 denkleminin pozitif tam sayılarda kökü bulunmamalıdır.
4
Koşulları sağlayan en küçük tam sayıyı belirleme
En küçük kk değeri −3-3 olarak bulunur.
k=−3k = -3 değeri hem logaritmanın içinin pozitif olmasını sağlar hem de paydayı sıfır yapmaz.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin genel terim belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesindeki her nn değeri için tanımlı bir gerçel sayıya karşılık gelmesi gerekir.
Soru 1689Soru →

(an)(a_n) dizisi, genel terimi

an=k⋅n+123n+4a_n = \frac{k \cdot n + 12}{3n + 4}

olan bir sabit dizidir.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Sabit dizinin genel terimindeki pay ve payda kısımlarında bulunan terimlerin katsayıları oranlanarak kk değeri 9 olarak bulunur.
Genel terimi rasyonel fonksiyon şeklinde olan bir dizinin sabit dizi belirtebilmesi için pay ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayılarının oranı birbirine eşit olmalıdır. Tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan paydanın kökü olan −43-\frac{4}{3} değeri tanım kümesinde yer almaz ve dizi her nn pozitif tam sayısı için tanımlıdır. Bu doğrultuda paydaki nn'nin katsayısı olan kk'nin paydadaki nn'nin katsayısı olan 33'e oranı, paydaki sabit terim 1212'nin paydadaki sabit terim 44'e oranına eşit olmalıdır. Buradan k3=124⇒k3=3⇒k=9\frac{k}{3} = \frac{12}{4} \Rightarrow \frac{k}{3} = 3 \Rightarrow k = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki nn terimlerinin katsayıları oranı ile sabit terimlerin oranını birbirine eşitlemek.
k3=124\frac{k}{3} = \frac{12}{4}
Bir rasyonel ifadenin nn değişkeninin her pozitif tam sayı değeri için aynı sabit değere eşit olabilmesi için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayılarının orantılı olması gerekir.
2
Elde edilen rasyonel denklemi çözmek.
k=9k = 9
124=3\frac{12}{4} = 3 olduğundan k3=3\frac{k}{3} = 3 eşitliği elde edilir ve buradan k=9k = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Rasyonel İfadeli Sabit Dizilerde Katsayılar Oranı
Soru 1690Soru →
f(x)=log⁡x−3(64−x2x−3)f(x) = \log_{x-3}\left(\frac{64-x^2}{x-3}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 18'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için üç temel koşul uygulanır: Taban pozitif olmalıdır (x−3>0⇒x>3x-3 > 0 \Rightarrow x > 3), taban 1 olmamalıdır (x−3≠1⇒x≠4x-3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4) ve logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır (64−x2x−3>0\frac{64-x^2}{x-3} > 0). x>3x > 3 olduğu için payda pozitif olup, ifadenin pozitif olması için payın da pozitif olması gerekir (64−x2>0⇒−8<x<864-x^2 > 0 \Rightarrow -8 < x < 8). Bu koşulların ortak kesişimi (3,8)∖{4}(3, 8) \setminus \{4\} kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar 5, 6 ve 7 olduğundan, toplamları 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının tanım koşullarını belirleme
x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4
Logaritmanın tabanı daima pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır. Dolayısıyla x−3>0⇒x>3x-3 > 0 \Rightarrow x > 3 ve x−3≠1⇒x≠4x-3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4 olmalıdır.
2
Logaritması alınan rasyonel ifadenin pozitif olma koşulunu belirleme
64−x2x−3>0\frac{64-x^2}{x-3} > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifade daima pozitif olmalıdır.
3
Eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturma ve koşulları sadeleştirme
64−x2>0⇒−8<x<864-x^2 > 0 \Rightarrow -8 < x < 8 (çünkü x>3x > 3 olduğundan payda daima pozitiftir)
1. adımda taban koşulundan x>3x > 3 olduğunu bulmuştuk. Bu durumda paydadaki x−3x-3 ifadesi daima pozitif olur. Dolayısıyla rasyonel ifadenin pozitif olması için pay kısmının da pozitif olması gerekir, yani 64−x2>064-x^2 > 0 olmalıdır. Buradan (8−x)(8+x)>0⇒−8<x<8(8-x)(8+x) > 0 \Rightarrow -8 < x < 8 elde edilir.
4
Bulunan tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini belirleme
x∈(3,8)∖{4}x \in (3, 8) \setminus \{4\}
x>3x > 3, x≠4x \neq 4 ve −8<x<8-8 < x < 8 koşullarının ortak çözüm kümesi (3,8)∖{4}(3, 8) \setminus \{4\} aralığıdır.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulma ve toplama
5, 6, 7 sayılarının toplamı olan 18
(3,8)∖{4}(3, 8) \setminus \{4\} kümesindeki tam sayılar 5, 6 ve 7'dir. Bu sayıların toplamı 5+6+7=185 + 6 + 7 = 18 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir.
Soru 1691Soru →
İlk terimi a1=2a_1 = 2 olan bir (an)(a_n) dizisinin ardışık terimleri arasındaki ilişki, n≥1n \geq 1 olmak üzere
an+1=n+2n⋅ana_{n+1} = \frac{n+2}{n} \cdot a_n
bağıntısıyla verilmektedir.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 440

Cevap

Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 440'tır.
Verilen bağıntı an+1an=n+2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{n} olarak düzenlenip n=1n=1'den n=9n=9'a kadar çarpıldığında a10=10⋅112a1a_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} a_1 elde edilir. Buradan genel terim ak=k(k+1)a_k = k(k+1) olarak bulunur. Terimlerin toplamı olan 2+6+12+⋯+1102 + 6 + 12 + \dots + 110 ifadesi toplandığında 440 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleme
an+1an=n+2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{n}
Teleskopik çarpım yöntemini uygulayabilmek için terimleri oran biçiminde yazarız.
2
Taraf tarafa çarpma işlemi
aka1=k(k+1)2\frac{a_k}{a_1} = \frac{k(k+1)}{2}
n=1,2,3,…,k−1n = 1, 2, 3, \dots, k-1 değerleri için eşitlikler yazılıp taraf tarafa çarpıldığında sol tarafta sadeleşmeler olur. Sağ tarafta ise 3/1⋅4/2⋅5/3…3/1 \cdot 4/2 \cdot 5/3 \dots çarpımından ardışık sadeleşmelerle pay kısmında k(k+1)k(k+1), payda kısmında ise 1⋅21 \cdot 2 kalır.
3
Genel terimi bulma
ak=k(k+1)=k2+ka_k = k(k+1) = k^2 + k
a1=2a_1 = 2 başlangıç değeri yerine yazıldığında ak=2⋅k(k+1)2=k(k+1)a_k = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) elde edilir.
4
Toplamı hesaplama
S10=385+55=440S_{10} = 385 + 55 = 440
İlk 10 terimin toplamı ∑k=110(k2+k)=∑k=110k2+∑k=110k\sum_{k=1}^{10} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=1}^{10} k formülleriyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi ve serilerin toplam formüllerinin uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1692Soru →
x2−8x+16≤0x^2 - 8x + 16 \le 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi AA,
x2−8x+16>0x^2 - 8x + 16 > 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi BB dir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A={4}A = \{4\}

Cevap

A kümesinin tek elemanlı ve {4} şeklinde olması doğrudur.
x2−8x+16=(x−4)2x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 ifadesi her gerçel sayı değeri için sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan tek gerçel sayı değeri x=4x = 4 olduğundan A kümesinin {4} elemanından oluşması doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizliklerdeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.
x2−8x+16=(x−4)2x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 ifadesi elde edilir.
İfadenin köklerini ve işaret tablosunu oluşturmak için çarpanlara ayrılmış hali gereklidir.
2
İfadenin kökünü bulun ve çift katlılık durumunu inceleyin.
(x−4)2=0  ⟹  x=4(x-4)^2 = 0 \implies x = 4 çift katlı köktür.
Çift katlı köklerde işaret tablosunda sağdan sola geçerken işaretin değişmeyeceğini belirlemek için bu tespit önemlidir.
3
İşaret tablosunu oluşturun ve A kümesini belirleyin.
(x−4)2(x-4)^2 ifadesi x=4x=4 hariç her yerde pozitif (++), x=4x=4 için sıfırdır. Bu durumda (x−4)2≤0(x-4)^2 \le 0 eşitsizliğini sadece x=4x=4 sağlar. Buradan A={4}A = \{4\} bulunur.
Eşitsizliğin yönü küçük veya eşit (≤\le) olduğundan, ifadenin sıfıra eşit veya negatif olduğu bölge aranır.
4
B kümesini belirleyin ve seçenekleri değerlendirin.
(x−4)2>0(x-4)^2 > 0 eşitsizliği x=4x=4 dışındaki tüm gerçel sayılar için sağlanır, yani B=R∖{4}B = \mathbb{R} \setminus \{4\} olur. Bu durumda A kümesinin {4} olduğu seçeneğin doğru olduğu görülür.
Kümelerin elemanlarını karşılaştırarak doğru seçeneğe ulaşmak hedeflenir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden tam kare ifadelerin işaret incelemesi ve çift katlı köklerin çözüm kümesine etkisi.
Soru 1693Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
log⁡12(x−3)+3log⁡2(15−x)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 3}{\log_2(15 - x) - 3} \geq 0
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı 65'tir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi, pay ve paydanın tanım kümeleri olan x>3x > 3 ve x<15x < 15 aralığında incelenmelidir. Paydanın kökü x=7x = 7 (açık aralık olmalıdır) ve payın kökü x=11x = 11 (dahil edilmelidir) kullanılarak işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif olan bölgeler (3,7)(3, 7) ve [11,15)[11, 15) aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı 65 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım Kümesinin Belirlenmesi
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritma içleri pozitif olmalıdır:
x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3
15−x>0  ⟹  x<1515 - x > 0 \implies x < 15
Ayrıca payda sıfır olamaz:
log⁡2(15−x)−3≠0  ⟹  15−x≠8  ⟹  x≠7\log_2(15 - x) - 3 \neq 0 \implies 15 - x \neq 8 \implies x \neq 7
Buradan genel tanım kümesi: D=(3,7)∪(7,15)D = (3, 7) \cup (7, 15) olarak elde edilir.
Logaritmik eşitsizliklerin çözüm kümesi, fonksiyonların en geniş tanım kümesiyle kesiştirilmelidir.
2
Payın Kökünün ve İşaretinin Bulunması
Payın kökü:
log⁡12(x−3)+3=0  ⟹  log⁡12(x−3)=−3  ⟹  x−3=(12)−3=8  ⟹  x=11\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 3 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) = -3 \implies x - 3 = (\frac{1}{2})^{-3} = 8 \implies x = 11
Taban 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan, x>11x > 11 için pay negatif, x<11x < 11 için pay pozitif değerler alır.
Payın işaret değişim noktalarını belirlemek için kök bulunur ve taban basit kesir olduğu için azalanlık özelliği dikkate alınır.
3
Paydanın Kökünün ve İşaretinin Bulunması
Paydanın kökü:
log⁡2(15−x)−3=0  ⟹  log⁡2(15−x)=3  ⟹  15−x=8  ⟹  x=7\log_2(15 - x) - 3 = 0 \implies \log_2(15 - x) = 3 \implies 15 - x = 8 \implies x = 7
Taban 2>12 > 1 ve logaritma içi azalan (15−x15-x) olduğundan, x>7x > 7 için payda negatif, x<7x < 7 için payda pozitif değerler alır.
Paydanın işaret değişim noktalarını belirlemek için kök bulunur ve 15−x15-x ifadesinin azalanlığı dikkate alınır.
4
İşaret Tablosunun Yapılması ve Çözüm Kümesinin Bulunması
Kritik noktalar olan 3,7,11,153, 7, 11, 15 değerlerine göre işaret tablosu oluşturulur:
- 3<x<73 < x < 7 aralığında: Pay (+)(+), Payda (+)  ⟹  (+) \implies Oran (+)(+)
- 7<x<117 < x < 11 aralığında: Pay (+)(+), Payda (−)  ⟹  (-) \implies Oran (−)(-)
- 11≤x<1511 \leq x < 15 aralığında: Pay (−)(-), Payda (−)  ⟹  (-) \implies Oran (+)(+)
Eşitsizlikte sıfıra eşitlik ve büyüklük istendiği için çözüm kümesi: S=(3,7)∪[11,15)S = (3, 7) \cup [11, 15) olarak bulunur.
Pay ve paydanın işaretlerinin bölümleri incelenerek eşitsizliği sağlayan aralıklar belirlenir.
5
Tam Sayı Değerlerinin Toplanması
(3,7)(3, 7) aralığındaki tam sayılar: 4,5,64, 5, 6
[11,15)[11, 15) aralığındaki tam sayılar: 11,12,13,1411, 12, 13, 14
Tüm bu tam sayıların toplamı:
4+5+6+11+12+13+14=654 + 5 + 6 + 11 + 12 + 13 + 14 = 65 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tabanın 1'den büyük veya 0-1 arasında (basit kesir) olması durumuna göre eşitsizlik yönünün incelenmesi, payda köklerinin hariç tutulması ve tanım kümesi sınırlamalarının eşitsizlik tablosuna entegre edilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1694Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen aralıkta bb ifadesi iki negatif sayının toplamı olup en küçük değeri alır (b≤−2b \le -2). cc ifadesi biri pozitif diğeri negatif iki sayının çarpımı olup negatif bir değerdir fakat −0.5-0.5 ile 00 arasındadır. aa ifadesinde ise sinüs mutlak değerce kosinüsten büyük olduğu için toplam pozitiftir (a>0a > 0). Bu nedenle en küçük değer bb, ardından cc ve en büyük değer aa olup doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu aralığa göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı 2. bölgenin ilk yarısına (90∘<x<135∘90^\circ < x < 135^\circ) karşılık gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 olur.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini ve birbirlerine kıyasla mutlak değer büyüklüklerini belirlemek sıralamanın ilk adımıdır.
2
Verilen ifadelerin değer aralıklarını analiz etme
a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x ifadesinde sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olduğundan toplam pozitif olur (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan toplam negatiftir; ayrıca ∣tan⁡x∣+∣cot⁡x∣≥2|\tan x| + |\cot x| \ge 2 olduğundan b≤−2b \le -2 elde edilir. c=sin⁡x⋅cos⁡x=12sin⁡(2x)c = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) ifadesinde 2x∈(π,3π2)2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) olduğundan üçüncü bölgedeki sinüs değerine bağlı olarak −0.5<c<0-0.5 < c < 0 bulunur.
Her bir ifadenin sayı doğrusundaki yerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler ve eşitsizlikler kullanılır.
3
Değerleri karşılaştırarak nihai sıralamaya ulaşma
b≤−2<c<0<ab \le -2 < c < 0 < a aralıkları birleştirildiğinde küçükten büyüğe sıralama b<c<ab < c < a olur.
Elde edilen değer aralıkları kesişmediği için kesin bir sıralama yapılmasına olanak tanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin İşaretleri ve Bölgeye Göre Sıralanması

Alternatif Yöntem

Verilen aralıktan özel bir değer seçilerek (örneğin x=120∘x = 120^\circ) değerler doğrudan hesaplanabilir: a=3−12≈0.366a = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.366, b=−3−13≈−2.31b = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -2.31, c=−34≈−0.433c = -\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.433 bulunur ve buradan b<c<ab < c < a sıralaması kolaylıkla görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1695Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için
cos⁡(x−45∘)−sin⁡(x−45∘)cos⁡(x−45∘)+sin⁡(x−45∘)\frac{\cos(x - 45^\circ) - \sin(x - 45^\circ)}{\cos(x - 45^\circ) + \sin(x - 45^\circ)}
ifadesinin en sade eşiti nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x); cot(x); \cot x; cot x; cotx

Cevap

İfadenin en sade eşiti cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Toplam ve fark formülleri yardımıyla pay kısmındaki ifade 2cos⁡(x)\sqrt{2}\cos(x) ve payda kısmındaki ifade 2sin⁡(x)\sqrt{2}\sin(x) şeklinde sadeleşir. Bu iki değer birbirine oranlandığında cos⁡(x)sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b ve sinüsün fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ifadelerini kullanarak pay ve paydadaki terimleri açalım.
cos⁡(x−45∘)=cos⁡xcos⁡45∘+sin⁡xsin⁡45∘\cos(x - 45^\circ) = \cos x \cos 45^\circ + \sin x \sin 45^\circ ve sin⁡(x−45∘)=sin⁡xcos⁡45∘−cos⁡xsin⁡45∘\sin(x - 45^\circ) = \sin x \cos 45^\circ - \cos x \sin 45^\circ elde edilir.
Toplam ve fark formüllerini uygulamak için.
2
cos⁡45∘=sin⁡45∘=22\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} değerlerini yerlerine yazarak ifadeleri düzenleyelim.
cos⁡(x−45∘)=22(cos⁡x+sin⁡x)\cos(x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) ve sin⁡(x−45∘)=22(sin⁡x−cos⁡x)\sin(x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) olur.
45∘45^\circ açısının bilinen trigonometrik değerlerini kullanmak için.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri ana kesirde yerlerine koyup sadeleştirelim.
Pay: 22[(cos⁡x+sin⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)]=2cos⁡x\frac{\sqrt{2}}{2} [(\cos x + \sin x) - (\sin x - \cos x)] = \sqrt{2}\cos x
Payda: 22[(cos⁡x+sin⁡x)+(sin⁡x−cos⁡x)]=2sin⁡x\frac{\sqrt{2}}{2} [(\cos x + \sin x) + (\sin x - \cos x)] = \sqrt{2}\sin x bulunur.
Kesirli ifadenin pay ve paydasını ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmek için.
4
Bulduğumuz pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime ulaşalım.
2cos⁡x2sin⁡x=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x\frac{\sqrt{2}\cos x}{\sqrt{2}\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x elde edilir.
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs fark formüllerini kullanarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

İfadeyi daha hızlı çözmek için x−45∘=θx - 45^\circ = \theta dönüşümü yapılabilir. Bu durumda kesir cos⁡θ−sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ\frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta} halini alır. Pay ve payda cos⁡θ\cos\theta ile bölünürse, 1−tan⁡θ1+tan⁡θ\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} elde edilir. tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 olduğundan bu ifade tan⁡45∘−tan⁡θ1+tan⁡45∘tan⁡θ=tan⁡(45∘−θ)\frac{\tan 45^\circ - \tan\theta}{1 + \tan 45^\circ \tan\theta} = \tan(45^\circ - \theta) fark formülüne eşittir. θ=x−45∘\theta = x - 45^\circ yerine yazıldığında tan⁡(45∘−(x−45∘))=tan⁡(90∘−x)=cot⁡x\tan(45^\circ - (x - 45^\circ)) = \tan(90^\circ - x) = \cot x elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1696Soru →

Bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=2n2+nS_n = 2n^2 + n formülü ile veriliyor. Buna göre, bu dizinin 5.5. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Dizinin 5. terimi 19'dur.
Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı S_n verildiğinde, n. terim a_n = S_n - S_{n-1} formülüyle hesaplanır. Bu bağıntıdan yararlanılarak S_5 ve S_4 değerleri hesaplanmış ve farkları alınarak 5. terim 19 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde n. terim ile ilk n terim toplamı arasındaki a_n = S_n - S_{n-1} bağıntısını kullanarak a_5'i S_5 ve S_4 cinsinden ifade etmek.
a_5 = S_5 - S_4
Dizinin ilk 5 teriminin toplamından ilk 4 teriminin toplamı çıkarıldığında sadece 5. terim kalır.
2
S_n = 2n^2 + n formülünde n yerine 5 yazarak S_5 değerini hesaplamak.
S_5 = 2(5)^2 + 5 = 55
İlk 5 terimin toplamını elde etmek için.
3
S_n = 2n^2 + n formülünde n yerine 4 yazarak S_4 değerini hesaplamak.
S_4 = 2(4)^2 + 4 = 36
İlk 4 terimin toplamını elde etmek için.
4
Hesaplanan S_5 ve S_4 değerlerini a_5 = S_5 - S_4 eşitliğinde yerine yazmak.
a_5 = 55 - 36 = 19
5. terimin sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı S_n ile n. terim a_n arasındaki ilişki: a_n = S_n - S_{n-1}
Soru 1697Soru →
1'den büyük xx, yy ve zz gerçel sayıları için
log⁡xy+log⁡zy=132\log_x y + \log_z y = \frac{13}{2}
log⁡yz+log⁡xz=12\log_y z + \log_x z = \frac{1}{2}
olduğuna göre,
log⁡zx+log⁡yx\log_z x + \log_y x
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen denklem sistemine göre, istenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminde değişken değiştirme yöntemi uygulanmış, taban değiştirme kuralları yardımıyla tüm bilinmeyenler tek bir değişken cinsinden ifade edilerek çözülmüştür. Elde edilen değerlerin toplamı 4 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümünün tanımlanması
log⁡xy=a\log_x y = a, log⁡yz=b\log_y z = b ve log⁡zx=c\log_z x = c olsun. Buradan a⋅b⋅c=1a \cdot b \cdot c = 1 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı gereğince farklı tabanlardaki logaritmaların çarpımı sadeleşerek 1 değerini verir.
2
İfadelerin çarpmaya göre terslerinin bulunması
log⁡zy=1b\log_z y = \frac{1}{b}, log⁡xz=1c\log_x z = \frac{1}{c} ve log⁡yx=1a\log_y x = \frac{1}{a} olarak yazılır.
Bir logaritmik ifadede taban ile argüman yer değiştirdiğinde ifadenin çarpmaya göre tersi alınır.
3
Denklem sisteminin değişkenler cinsinden ifade edilmesi
a+1b=132a + \frac{1}{b} = \frac{13}{2} ve b+1c=12b + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} denklemleri elde edilir. İstenen ifade ise c+1ac + \frac{1}{a} toplamıdır.
Verilen denklemlerdeki logaritmik ifadelerin yerine tanımladığımız değişkenler yazılmıştır.
4
Değişkenlerin birbirleri cinsinden yazılması
c=21−2bc = \frac{2}{1-2b} ve a=1−2b2ba = \frac{1-2b}{2b} bağıntıları elde edilir.
İkinci denklemden cc çekilerek a⋅b⋅c=1a \cdot b \cdot c = 1 eşitliğinde yerine yazılmış ve aa elde edilmiştir.
5
Bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması
b=15b = \frac{1}{5}, a=32a = \frac{3}{2} ve c=103c = \frac{10}{3} bulunur.
Bulunan aa bağıntısı birinci denklemde yerine yazılarak bb çözülmüş, ardından bu değerle aa ve cc hesaplanmıştır.
6
İtenen ifadenin hesaplanması
c+1a=103+23=4c + \frac{1}{a} = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = 4 bulunur.
Hesaplanan aa ve cc değerleri istenen toplam formülünde yerine yerleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 1698Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları a,b,ca, b, c birimdir. Bu üçgende,
b2=a2+c2+acb^2 = a^2 + c^2 + ac
bağıntısı geçerlidir.

b=33 birimb = 3\sqrt{3}\text{ birim} ve sin⁡(A^)=12\sin(\widehat{A}) = \frac{1}{2} olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 3 birimdir.
Kosinüs Teoremi'nden elde edilen m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ açısı kullanılarak Sinüs Teoremi formülü uygulandığında çevrel çemberin yarıçapı doğru bir şekilde 3 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs Teoremi kullanılarak BB açısının ölçüsü belirlenir.
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ
Bir üçgende b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\widehat{B}) bağıntısı vardır. Soruda verilen b2=a2+c2+acb^2 = a^2 + c^2 + ac bağıntısı ile karşılaştırıldığında −2cos⁡(B^)=1  ⟹  cos⁡(B^)=−12-2\cos(\widehat{B}) = 1 \implies \cos(\widehat{B}) = -\frac{1}{2} elde edilir. Buradan geniş açı olan BB açısı 120∘120^\circ olarak bulunur.
2
Sinüs Teoremi'nin çevrel çember yarıçapı ile ilişkili formülü yazılır.
bsin⁡(B^)=2R\frac{b}{\sin(\widehat{B})} = 2R
Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgenin herhangi bir kenar uzunluğunun karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R2R) eşittir.
3
Bilinen değerler formülde yerine yazılarak yarıçap (RR) hesaplanır.
R=3R = 3
b=33b = 3\sqrt{3} ve sin⁡(120∘)=32\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri yerine yazıldığında: 3332=2R  ⟹  6=2R  ⟹  R=3\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ile çevrel çemberin yarıçapı (RR) ve kenar uzunlukları arasındaki ilişki: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.
Soru 1699Soru →
mm bir tam sayı olmak üzere,
f(x)=(x−2)(x−m)x−5≤0f(x) = \frac{(x-2)(x-m)}{x-5} \le 0
eşitsizliğini sağlayan xx doğal sayılarının sayısı 55 tir.
Buna göre, mm tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

m tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 13'tür.
Doğru cevap olan 13 değeri, m tam sayısının alabileceği dört farklı değerin (7,3,2,17, 3, 2, 1) toplamıdır. Bu değerler, eşitsizliğin pay ve payda kökleri belirlenip, m'nin kritik sınırlar olan 2 ve 5'e göre büyüklük durumları ayrı ayrı incelendiğinde elde edilen aralıklardaki doğal sayı çözümlerinin sayılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin köklerini belirleme
Payın sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen kökler x=2x = 2 ve x=mx = m'dir. Paydanın sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen kök ise x=5x = 5'tir. Payda kökü olan 55, paydayı tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez (x≠5x \ne 5).
Eşitsizlik tablosunun oluşturulabilmesi için pay ve paydanın kökleri ile tanımsızlık sınırları belirlenmelidir.
2
m>5m > 5 durumunu inceleme
Köklerin büyüklük sıralaması 2<5<m2 < 5 < m şeklindedir. İşaret tablosu en sağdan pozitif (+) işaret ile başlanarak oluşturulduğunda çözüm aralığı (−∞,2]∪(5,m](-\infty, 2] \cup (5, m] olarak bulunur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,20, 1, 2 (3 tane) ile 6,7,…,m6, 7, \dots, m değerleridir. Toplam 5 doğal sayı çözümü olabilmesi için (5,m](5, m] aralığından tam olarak 2 tane (66 ve 77) çözüm gelmelidir. Buradan m=7m = 7 bulunur.
m'nin 5'ten büyük olduğu durumda eşitsizliği sağlayan doğal sayıların adet analizi yapılır.
3
m=5m = 5 durumunu inceleme
Eşitsizlik f(x)=(x−2)(x−5)x−5≤0f(x) = \frac{(x-2)(x-5)}{x-5} \le 0 şeklini alır. x≠5x \ne 5 olmak üzere, ifade x−2≤0x - 2 \le 0 olur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,20, 1, 2 olup 3 adettir. Eşitsizliği sağlayan 5 doğal sayı bulunması koşulu sağlanmaz.
Pay ve paydada aynı kökün bulunması durumunda sadeleşen ifadenin çözüm kümesine etkisi kontrol edilir.
4
2<m<52 < m < 5 durumunu inceleme
m bir tam sayı olduğundan bu aralıkta m=3m = 3 veya m=4m = 4 olabilir. Köklerin sıralaması 2<m<52 < m < 5 şeklindedir. İşaret tablosuna göre çözüm aralığı (−∞,2]∪[m,5)(-\infty, 2] \cup [m, 5) olarak belirlenir. (−∞,2](-\infty, 2] aralığından 0,1,20, 1, 2 (3 tane) doğal sayı çözümü gelir. Toplam 5 çözüm olması için [m,5)[m, 5) aralığından 2 tane doğal sayı gelmelidir. m=3m = 3 için bu aralık [3,5)[3, 5) olup {3,4}\{3, 4\} çözümlerini sağlar. m=4m = 4 için aralık [4,5)[4, 5) olup tek çözüm (44) sağlar. Dolayısıyla m=3m = 3 elde edilir.
m'nin 2 ile 5 arasındaki tam sayı değerleri için doğal sayı çözüm sayısı test edilir.
5
m=2m = 2 durumunu inceleme
Eşitsizlik (x−2)2x−5≤0\frac{(x-2)^2}{x-5} \le 0 hâlini alır. x=2x = 2 pay kısmında çift katlı köktür. İşaret tablosunda x=2x = 2 noktasında işaret değişmez. Eşitsizliği sağlayan aralık (−∞,5)(-\infty, 5) olarak bulunur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup tam 5 adettir. Dolayısıyla m=2m = 2 bir çözümdür.
Çift katlı kök durumunun işaret tablosuna ve çözüm kümesine olan etkisi incelenir.
6
m<2m < 2 durumunu inceleme
Köklerin sıralaması m<2<5m < 2 < 5 şeklindedir. İşaret tablosuna göre çözüm aralığı (−∞,m]∪[2,5)(-\infty, m] \cup [2, 5) olarak belirlenir. [2,5)[2, 5) aralığındaki doğal sayı çözümleri 2,3,42, 3, 4 (3 tane) değerleridir. Toplam 5 doğal sayı çözümü olması için (−∞,m](-\infty, m] aralığından tam olarak 2 tane (00 ve 11) doğal sayı gelmelidir. Bu durumun sağlanması için m=1m = 1 olmalıdır.
m'nin 2'den küçük olduğu durumda çözüm kümesindeki doğal sayıların adet kontrolü yapılır.
7
Alınabilecek değerlerin toplamını hesaplama
m tam sayısının alabileceği farklı değerler 7,3,2,17, 3, 2, 1 olarak belirlenmiştir. Bu değerlerin toplamı 7+3+2+1=137 + 3 + 2 + 1 = 13 bulunur.
Soruda istenen m tam sayılarının toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden ve rasyonel eşitsizliklerde köklerin sıralamasına göre işaret tablosu oluşturulması, çift katlı köklerin ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilme kurallarının uygulanması.
Soru 1700Soru →
cos⁡(2x)−1sin⁡(x)=tan⁡(x)\frac{\cos(2x) - 1}{\sin(x)} = \tan(x) denkleminin (0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2π2\pi

Cevap

2π2\pi
Denklemin sadeleştirilmesi ve tanım kümesi kısıtlamalarının (paydaları sıfır yapan değerlerin elenmesi) uygulanmasıyla gerçel köklerin iki adet olduğu ve bunların 120 ve 240 derecelere karşılık gelen kökler olduğu bulunur. Bu köklerin toplamı olan değer doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi kısıtlamalarını belirlemek.
sin⁡(x)≠0⇒x≠π\sin(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi ve cos⁡(x)≠0⇒x≠π2\cos(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} (Verilen (0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) aralığı için).
Orijinal denklemdeki paydaların sıfır olmaması gerekir.
2
cos⁡(2x)−1\cos(2x) - 1 ifadesine yarım açı formülü uygulamak.
cos⁡(2x)−1=(1−2sin⁡2(x))−1=−2sin⁡2(x)\cos(2x) - 1 = (1 - 2\sin^2(x)) - 1 = -2\sin^2(x)
İfadeyi sadeleştirmek ve tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmek.
3
Yarım açı sonucunu denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
−2sin⁡2(x)sin⁡(x)=tan⁡(x)⇒−2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{-2\sin^2(x)}{\sin(x)} = \tan(x) \Rightarrow -2\sin(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} (sin⁡(x)≠0\sin(x) \neq 0 olduğu için).
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek.
4
Elde edilen denklemi çözerek temel trigonometrik denkleme ulaşmak.
−2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)⇒sin⁡(x)(2cos⁡(x)+1)=0-2\sin(x)\cos(x) = \sin(x) \Rightarrow \sin(x)(2\cos(x) + 1) = 0. sin⁡(x)≠0\sin(x) \neq 0 olduğundan cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Denklemin tüm terimlerini bir tarafa toplayıp çarpanlarına ayırmak.
5
cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} denkleminin verilen aralıktaki köklerini bulup toplamak.
x1=2π3x_1 = \frac{2\pi}{3} ve x2=4π3x_2 = \frac{4\pi}{3}. Toplam: 2π3+4π3=2π\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi.
(0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) aralığında kosinüsü −1/2-1/2 olan açıları belirlemek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde yarım açı formülleri, sadeleştirme kuralları ve tanım kümesi kısıtlamalarının uygulanması.
ÖncekiSayfa 85 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin