Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1661Soru →
x2+xy−2x=0x^2 + xy - 2x = 0
y2−x2=16y^2 - x^2 = 16

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçel sayı ikililerinin oluşturduğu çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\}

Cevap

Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olan seçenektir.
Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olan seçenek doğrudur. Çünkü ilk denklemden x=0x = 0 alındığında y2=16y^2 = 16 ise y=±4y = \pm 4 elde edilerek (0,4)(0, 4) ve (0,−4)(0, -4) çözümlerine ulaşılır. x≠0x \neq 0 durumunda ise y=2−xy = 2 - x ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında x=−3x = -3 ve y=5y = 5 bulunarak (−3,5)(-3, 5) çözümü elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi ortak çarpan parantezine alarak çözümleri iki duruma ayırın.
x(x+y−2)=0x(x + y - 2) = 0 elde edilir. Buradan x=0x = 0 veya x+y−2=0x + y - 2 = 0 (yani y=2−xy = 2 - x) olur.
Çarpım durumundaki bir ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
2
Birinci durum olan x=0x = 0 değerini ikinci denklemde yerine yazın.
y2−02=16y^2 - 0^2 = 16 ise y2=16y^2 = 16 olur. Buradan y=4y = 4 veya y=−4y = -4 bulunur.
Sistemin birinci denklemini sağlayan x=0x = 0 değerinin, ikinci denklemi de sağlaması gerekir.
3
İkinci durum olan y=2−xy = 2 - x ifadesini ikinci denklemde yerine yazın ve xx değerini bulun.
(2−x)2−x2=16(2 - x)^2 - x^2 = 16 ise 4−4x+x2−x2=164 - 4x + x^2 - x^2 = 16 olur. Buradan −4x=12-4x = 12 ve x=−3x = -3 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli hale getirmek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan x=−3x = -3 değerini y=2−xy = 2 - x eşitliğinde yerine yazarak yy değerini hesaplayın.
y=2−(−3)=5y = 2 - (-3) = 5 bulunur. Buradan (−3,5)(-3, 5) çözüm ikilisi elde edilir.
Bulunan xx değerine karşılık gelen yy koordinatını belirlemek gerekir.
5
Elde edilen tüm (x,y)(x, y) sıralı ikililerini bir araya getirerek çözüm kümesini oluşturun.
Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olarak elde edilir.
Denklem sistemini sağlayan tüm gerçel çözümler kümesini ifade etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma ve yerine koyma yöntemlerinin uygulanması.
Soru 1662Soru →
f(x)=log⁡x−2(x2−10x+21)+log⁡11−x(x2−7x)f(x) = \log_{x - 2}(x^2 - 10x + 21) + \log_{11 - x}(x^2 - 7x)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 17'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi (7,10)∪(10,11)(7, 10) \cup (10, 11) aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar sadece 88 ve 99 olup, toplamları 1717'dir. Dolayısıyla doğru yanıt 1717 değerini veren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma terimi olan log⁡x−2(x2−10x+21)\log_{x - 2}(x^2 - 10x + 21) ifadesinin tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulu: x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 ve x−2≠1  ⟹  x≠3x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3 olmalıdır. İçi koşulu: x2−10x+21>0  ⟹  (x−3)(x−7)>0  ⟹  x<3x^2 - 10x + 21 > 0 \implies (x - 3)(x - 7) > 0 \implies x < 3 veya x>7x > 7 olmalıdır. Bu koşulların kesişiminden birinci terimin tanım kümesi D1=(2,3)∪(7,∞)D_1 = (2, 3) \cup (7, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, içinin ise pozitif olması gerekir.
2
İkinci logaritma terimi olan log⁡11−x(x2−7x)\log_{11 - x}(x^2 - 7x) ifadesinin tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulu: 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 ve 11−x≠1  ⟹  x≠1011 - x \neq 1 \implies x \neq 10 olmalıdır. İçi koşulu: x2−7x>0  ⟹  x(x−7)>0  ⟹  x<0x^2 - 7x > 0 \implies x(x - 7) > 0 \implies x < 0 veya x>7x > 7 olmalıdır. Bu koşulların kesişiminden ikinci terimin tanım kümesi D2=(−∞,0)∪(7,10)∪(10,11)D_2 = (-\infty, 0) \cup (7, 10) \cup (10, 11) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, içinin ise pozitif olması gerekir.
3
İki terimin toplamının tanımlı olabilmesi için ortak tanım kümesini bulmak amacıyla D1D_1 ve D2D_2 kümelerinin kesişimini almak.
D1∩D2=((2,3)∪(7,∞))∩((−∞,0)∪(7,10)∪(10,11))D_1 \cap D_2 = ((2, 3) \cup (7, \infty)) \cap ((-\infty, 0) \cup (7, 10) \cup (10, 11)) kesişiminden en geniş tanım kümesi D=(7,10)∪(10,11)D = (7, 10) \cup (10, 11) olarak elde edilir.
Bir fonksiyon toplamının tanımlı olabilmesi için her iki fonksiyonun da aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
En geniş tanım kümesine dahil olan tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.
D=(7,10)∪(10,11)D = (7, 10) \cup (10, 11) kümesindeki tam sayılar 88 ve 99 dur (1010 ve 1111 hariçtir). Bu değerlerin toplamı ise 8+9=178 + 9 = 17 olarak hesaplanır.
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamını bulmak için bu aralıklara düşen tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve birden farklı, logaritma alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Toplam şeklindeki fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, terimlerin tanım kümelerinin kesişimidir.
Soru 1663Soru →

a1=4a_1 = 4 olmak üzere, pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı (an)(a_n) dizisi için her n≥1n \geq 1 için

an+1=an+na_{n+1} = a_n + n

bağıntısı veriliyor. Buna göre, bu dizinin dördüncü terimi olan a4a_4 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dizinin dördüncü terimi 10 olarak bulunur.
Verilen an+1=an+na_{n+1} = a_n + n bağıntısında sırasıyla n=1n=1 için a2=5a_2 = 5, n=2n=2 için a3=7a_3 = 7 ve n=3n=3 için a4=10a_4 = 10 değerleri elde edilir. Dolayısıyla doğru değer 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n=1 için indirgeme bağıntısını uygulayarak ikinci terimi bulunuz.
a2=a1+1=4+1=5a_2 = a_1 + 1 = 4 + 1 = 5 olur.
Bir sonraki terime geçebilmek için başlangıç terimini ve birinci adımı kullanmamız gerekir.
2
n=2n=2 için indirgeme bağıntısını uygulayarak üçüncü terimi bulunuz.
a3=a2+2=5+2=7a_3 = a_2 + 2 = 5 + 2 = 7 olur.
Dördüncü terime ulaşmak için ardışık adımları izlemeye devam etmemiz gerekir.
3
n=3n=3 için indirgeme bağıntısını uygulayarak dördüncü terimi bulunuz.
a4=a3+3=7+3=10a_4 = a_3 + 3 = 7 + 3 = 10 olur.
Dizinin istenen dördüncü terimi a4a_4 olduğundan, n=3n=3 değeriyle son adımı tamamlarız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde verilen başlangıç koşulu kullanılarak sonraki terimler adım adım elde edilir.

Alternatif Yöntem

Bağıntıyı taraf tarafa toplayarak da çözebiliriz:

a2−a1=1a_2 - a_1 = 1
a3−a2=2a_3 - a_2 = 2
a4−a3=3a_4 - a_3 = 3

Bu eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda sol taraftaki a2a_2 ve a3a_3 terimleri birbirini götürür:

a4−a1=1+2+3a_4 - a_1 = 1 + 2 + 3
a4−4=6⇒a4=10a_4 - 4 = 6 \Rightarrow a_4 = 10 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 1664Soru →
f(x)=log⁡x−1(x2−4)+log⁡9−x(36−x2)f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{9-x}(36 - x^2)

fonksiyonunu tanımlı yapan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonu tanımlı yapan x tam sayılarının toplamı 12'dir.
Fonksiyonun birinci terimi x>2x > 2 için, ikinci terimi ise −6<x<6-6 < x < 6 için tanımlıdır. Her iki aralığın kesişimi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 3,43, 4 ve 55 olduğundan, toplamları 1212 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma terimi olan log⁡x−1(x2−4)\log_{x-1}(x^2 - 4) ifadesinin tanımlı olması için gereken şartları belirleyelim.
Taban şartı: x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve x−1≠1  ⟹  x≠2x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2.
Argüman şartı: x2−4>0  ⟹  (x−2)(x+2)>0  ⟹  x>2x^2 - 4 > 0 \implies (x - 2)(x + 2) > 0 \implies x > 2 veya x<−2x < -2.
Bu şartların kesişimi alındığında birinci terimin tanım aralığı (2,∞)(2, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci logaritma terimi olan log⁡9−x(36−x2)\log_{9-x}(36 - x^2) ifadesinin tanımlı olması için gereken şartları belirleyelim.
Taban şartı: 9−x>0  ⟹  x<99 - x > 0 \implies x < 9 ve 9−x≠1  ⟹  x≠89 - x \neq 1 \implies x \neq 8.
Argüman şartı: 36−x2>0  ⟹  (6−x)(6+x)>0  ⟹  −6<x<636 - x^2 > 0 \implies (6 - x)(6 + x) > 0 \implies -6 < x < 6.
Bu şartların kesişimi alındığında (çünkü (−6,6)(-6, 6) aralığı hem x<9x < 9 şartını sağlar hem de 88 değerini içermez) ikinci terimin tanım aralığı (−6,6)(-6, 6) olarak bulunur.
İlk adımda olduğu gibi taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Her iki terimin de aynı anda tanımlı olması için elde edilen tanım aralıklarının kesişimini alalım ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplayalım.
İki tanım kümesinin kesişimi: (2,∞)∩(−6,6)=(2,6)(2, \infty) \cap (-6, 6) = (2, 6) elde edilir.
Bu açık aralıktaki tam sayılar 3,43, 4 ve 55 sayılarıdır.
Bu sayıların toplamı: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12 bulunur.
İki fonksiyonun toplamından oluşan bir fonksiyonun tanım kümesi, toplanan her bir fonksiyonun tanım kümelerinin ara kesitidir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi bulunurken hem tabanın hem de argümanın bağımsız olarak pozitif olma şartları incelenir; ayrıca taban 1'e eşit olamaz. Toplam biçimindeki fonksiyonlarda ise her bir terimin tanım kümelerinin kesişim kümesi alınır.
Soru 1665Soru →
log⁡2(x2−x)−2log⁡x2−x2=1\log_2(x^2 - x) - 2\log_{x^2 - x} 2 = 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların çarpımı 2'dir.
Verilen denklemde log⁡2(x2−x)=t\log_2(x^2 - x) = t dönüşümü yapılarak elde edilen ikinci dereceden denklemin kökleri t=2t = 2 ve t=−1t = -1 bulunur. Buradan türetilen x2−x=4x^2 - x = 4 ve x2−x=12x^2 - x = \frac{1}{2} denklemlerinin tüm köklerinin logaritma tanım kümesini sağladığı görülür. Bu iki denklemin köklerinin çarpımları sırasıyla −4-4 ve −12-\frac{1}{2} olup, tüm köklerin çarpımı 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi koşullarının belirlenmesi
x2−x>0x^2 - x > 0 ve x2−x≠1x^2 - x \neq 1
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif, tabanın ise pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Değişken değiştirme uygulanması
t−2t=1t - \frac{2}{t} = 1
log⁡2(x2−x)=t\log_2(x^2 - x) = t dönüşümü yapıldığında taban değiştirme özelliği gereği log⁡x2−x2=1t\log_{x^2 - x} 2 = \frac{1}{t} olur.
3
t değişkenine bağlı denklemin çözülmesi
t1=2t_1 = 2 veya t2=−1t_2 = -1
t2−t−2=0  ⟹  (t−2)(t+1)=0t^2 - t - 2 = 0 \implies (t - 2)(t + 1) = 0 denkleminden kökler elde edilir.
4
x değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemlerin oluşturulması
x2−x−4=0x^2 - x - 4 = 0 ve 2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0
log⁡2(x2−x)=2  ⟹  x2−x=4\log_2(x^2 - x) = 2 \implies x^2 - x = 4 ve log⁡2(x2−x)=−1  ⟹  x2−x=12\log_2(x^2 - x) = -1 \implies x^2 - x = \frac{1}{2} eşitlikleri düzenlenir.
5
Köklerin varlığı, tanımlılık kontrolü ve kökler çarpımının bulunması
Köklerin çarpımı 2'dir.
x2−x−4=0x^2 - x - 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=17>0\Delta = 17 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Bu kökler için x2−x=4x^2 - x = 4 olduğundan tanım koşulları sağlanır. Bu denklemin kökler çarpımı x1⋅x2=−4x_1 \cdot x_2 = -4'tür. 2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=12>0\Delta = 12 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Bu kökler için x2−x=12x^2 - x = \frac{1}{2} olduğundan tanım koşulları sağlanır. Bu denklemin kökler çarpımı x3⋅x4=−12x_3 \cdot x_4 = -\frac{1}{2}'dir. Tüm köklerin çarpımı (−4)⋅(−12)=2(-4) \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme özelliği, değişken değiştirme yöntemi ve köklerin tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi.
Soru 1666Soru →
x+4(x−1)2(x−3)≥0 \frac{x+4}{(x-1)^2(x-3)} \ge 0
x2−2x−15≤0 x^2 - 2x - 15 \le 0

eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Verilen eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi (3, 5] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 4 ve 5 olup, toplamları 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturma
Kökler: payın kökü x = -4, paydanın kökleri x = 1 (çift katlı) ve x = 3'tür. Çözüm aralığı: (-\infty, -4] \cup (3, \infty)
Eşitsizlik sisteminin birinci kısmının çözüm kümesini belirlemek için pay ve paydadaki ifadelerin sıfır olduğu noktalar bulunmalı ve işaret incelenmelidir. x = 1 paydanın kökü olduğu için tanımsızlık yaratır ve çift katlı köktür.
2
İkinci eşitsizliğin köklerini bulup çözüm aralığını belirleme
Kökler: x = 5 ve x = -3'tür. Çözüm aralığı: [-3, 5]
x^2 - 2x - 15 <= 0 ifadesi (x - 5)(x + 3) <= 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler tabloya yerleştirilerek baş katsayı pozitif olduğundan +, -, + şeklinde işaretlenir ve negatif veya sıfır olan bölge seçilir.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma
Kesişim kümesi: (3, 5]
Sistemi sağlayan x değerleri, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerdir. Bu nedenle birinci ve ikinci adımlarda elde edilen aralıkların kesişimi alınır.
4
Kesişim kümesindeki tam sayıları bulup toplama
Tam sayılar: 4 ve 5. Toplam: 4 + 5 = 9
(3, 5] yarı açık aralığındaki tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu tam sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 1667Soru →

Analitik düzlemde A(2,6)A(2, 6) ve B(5,3)B(5, 3) noktaları ile xx-ekseni üzerinde yer alan bir P(x,0)P(x, 0) noktası veriliyor.

x>5x > 5 olmak üzere, APAP ve BPBP doğrularının xx-ekseniyle yaptıkları dar açılar sırasıyla α\alpha ve β\beta'dır.

tan⁡(α−β)=18\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{8}

olduğuna göre, PP noktasının apsisinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

31
Doğru cevap olan 31, analitik düzlemde doğruların eğimleri yardımıyla dar açıların tanjantlarının sırasıyla tan⁡α=6x−2\tan\alpha = \frac{6}{x-2} ve tan⁡β=3x−5\tan\beta = \frac{3}{x-5} şeklinde ifade edilmesi, ardından tanjant fark formülüyle elde edilen x2−31x+220=0x^2 - 31x + 220 = 0 denkleminin kökleri olan 11 ve 20 değerlerinin toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A(2, 6) ve B(5, 3) noktalarından x-ekseni üzerindeki P(x, 0) noktasına çizilen doğruların eğimlerini bulunuz.
mAP=6−02−x=−6x−2m_{AP} = \frac{6 - 0}{2 - x} = -\frac{6}{x - 2} ve mBP=3−05−x=−3x−5m_{BP} = \frac{3 - 0}{5 - x} = -\frac{3}{x - 5}
Bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki noktanın koordinat farkları oranı ile hesaplanır.
2
Doğruların x-ekseni ile yaptıkları dar açıların tanjant değerlerini yazınız.
tan⁡α=6x−2\tan\alpha = \frac{6}{x - 2} ve tan⁡β=3x−5\tan\beta = \frac{3}{x - 5}
x > 5 için doğruların eğimleri negatiftir. Bu doğruların x-ekseniyle yaptıkları dar açıların tanjantları, eğimlerin mutlak değerlerine eşittir.
3
Tanjant fark formülünü kullanarak denklemi kurunuz.
tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β⇒6x−2−3x−51+18(x−2)(x−5)=18\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} \Rightarrow \frac{\frac{6}{x - 2} - \frac{3}{x - 5}}{1 + \frac{18}{(x - 2)(x - 5)}} = \frac{1}{8}
Verilen tanjant fark değerini x cinsinden ifade etmek için iki açının farkının tanjant formülü kullanılır.
4
Denklemi sadeleştirip x değerlerini belirleyiniz ve toplamlarını hesaplayınız.
3x−24x2−7x+28=18⇒x2−31x+220=0⇒(x−11)(x−20)=0\frac{3x - 24}{x^2 - 7x + 28} = \frac{1}{8} \Rightarrow x^2 - 31x + 220 = 0 \Rightarrow (x - 11)(x - 20) = 0 Buradan x=11x = 11 veya x=20x = 20 elde edilir. Köklerin her ikisi de x>5x > 5 şartını sağlar. Toplamları: 11+20=3111 + 20 = 31.
Elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek x > 5 şartını sağlayan köklerin toplamı bulunur.

Anahtar Kavram

İki doğrunun arasındaki açının veya x-ekseniyle yaptıkları dar açıların farkının tanjantını bulmak için tanjant fark formülünün analitik düzlemde uygulanması.
Soru 1668Soru →
log⁡69+2log⁡26\log_{6} 9 + \frac{2}{\log_{2} 6}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritma ifadesi paya taşınmış, katsayı özelliği ile logaritma argümanının üssü olarak yazılmış ve logaritma toplama kuralı uygulanarak sonuç 2 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki logaritma ifadesine taban değiştirme kuralı uygulanır.
2log⁡26=2⋅log⁡62\frac{2}{\log_{2} 6} = 2 \cdot \log_{6} 2 elde edilir.
Toplama işlemini yapabilmek için tüm logaritma ifadelerinin tabanlarını eşitlemek gerekir.
2
Katsayı durumundaki 2 sayısı argümanın üzerine üs olarak taşınır.
2log⁡62=log⁡622=log⁡642\log_{6} 2 = \log_{6} 2^2 = \log_{6} 4 elde edilir.
Logaritma toplama özelliğini doğrudan uygulayabilmek için katsayıyı yok etmek gerekir.
3
Aynı tabana sahip logaritmaların toplama özelliği uygulanır.
log⁡69+log⁡64=log⁡6(9⋅4)=log⁡636\log_{6} 9 + \log_{6} 4 = \log_{6} (9 \cdot 4) = \log_{6} 36 elde edilir.
Toplama durumundaki iki logaritma ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
4
Elde edilen logaritma ifadesinin değeri hesaplanır.
log⁡636=log⁡662=2\log_{6} 36 = \log_{6} 6^2 = 2 bulunur.
Logaritmanın tanımı gereği taban ile argüman arasındaki kuvvet ilişkisini sadeleştirmek.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme ve toplama özellikleri
Soru 1669Soru →
θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4
olduğuna göre, cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Soruda istenen cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri 0,50,5 olarak bulunur.
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 eşitliğinden sin⁡(2θ)=1/2\sin(2\theta) = 1/2 elde edilir. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2A)=1−2sin⁡2(A)\cos(2A) = 1 - 2\sin^2(A) bağıntısında A=2θA = 2\theta alınırsa, cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(1/2)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(1/2)^2 = 0,5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 ifadesinde trigonometrik özdeşlikleri yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θ⋅cos⁡θ=4  ⟹  sin⁡θ⋅cos⁡θ=14\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = 4 \implies \sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{4}
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpım durumuna getirmek için.
2
Elde edilen çarpımı 22 ile çarparak sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅14=12\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
Açıyı iki katına çıkarıp yarım açı formülünü elde etmek için.
3
cos⁡(4θ)\cos(4\theta) ifadesini yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) cinsinden açıp değeri yerine koyun.
cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(12)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0,5
İstenen kosinüs değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yarım açı formülleri (sinüs ve kosinüs iki kat açı formülleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1670Soru →
x2+3xy+y2=11x−y=1\begin{aligned} x^2 + 3xy + y^2 &= 11 \\ x - y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Sistemi sağlayan tüm gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının değeri 5'tir.
Denklem sisteminde birinci denklem (x−y)2+5xy=11(x-y)^2 + 5xy = 11 şeklinde yazılıp x−y=1x-y=1 eşitliği yerine konduğunda xy=2xy=2 bulunur. İstenen x2+y2x^2+y^2 toplamı ise (x−y)2+2xy(x-y)^2 + 2xy ifadesine eşit olup 12+2(2)=51^2 + 2(2) = 5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemdeki ifadeyi iki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanacak şekilde düzenlemek.
x2+3xy+y2=(x−y)2+5xy=11x^2 + 3xy + y^2 = (x - y)^2 + 5xy = 11
Sistemde verilen x−yx-y ifadesini doğrudan kullanabilmek.
2
x−y=1x - y = 1 değerini yerine yazarak xyxy çarpımını hesaplamak.
1+5xy=11  ⟹  xy=21 + 5xy = 11 \implies xy = 2
Bilinmeyenlerin çarpım değerini elde etmek.
3
x2+y2x^2 + y^2 toplamını elde etmek için farkın karesi açılımını uygulamak.
x2+y2=(x−y)2+2xy=12+2(2)=5x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 1^2 + 2(2) = 5
İstenen hedef ifadeyi hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin cebirsel özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.
Soru 1671Soru →

Genel terimi

an=n2−8n+122n−15a_n = \frac{n^2 - 8n + 12}{2n - 15}

olan (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.

Buna göre, bu dizinin negatif olan terimlerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin negatif olan terimlerinin sayısı 2'dir.
Doğru cevap olan 2 sayısı, dizinin negatif olan terimlerinin sayısıdır. Genel terimi sıfırdan küçük yapan pozitif tam sayıları bulmak için eşitsizlik çözüldüğünde, n<2n < 2 veya 6<n<7,56 < n < 7,5 aralıkları elde edilir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sırasıyla n=1n = 1 ve n=7n = 7 olup, negatif olan terimler a1a_1 ve a7a_7 olmak üzere 2 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin negatif terimlerini bulmak için genel terimi sıfırdan küçük yapan eşitsizliği yazarız.
an<0  ⟹  n2−8n+122n−15<0a_n < 0 \implies \frac{n^2 - 8n + 12}{2n - 15} < 0
Dizinin negatif terimleri, terim değerinin sıfırdan küçük olduğu durumlardır.
2
Eşitsizliğin pay ve payda kısımlarını sıfıra eşitleyerek köklerini buluruz.
Pay için: n2−8n+12=0  ⟹  (n−2)(n−6)=0  ⟹  n=2n^2 - 8n + 12 = 0 \implies (n-2)(n-6) = 0 \implies n = 2 ve n=6n = 6. Payda için: 2n−15=0  ⟹  n=7,52n - 15 = 0 \implies n = 7,5.
İşaret tablosu oluşturarak ifadenin işaretini incelemek için kritik noktaları belirleriz.
3
Bulduğumuz köklerle işaret tablosu oluşturup ifadenin işaretini inceleriz.
İşaret tablosuna göre, ifadenin negatif olduğu aralıklar n<2n < 2 veya 6<n<7,56 < n < 7,5 olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin pay ve paydasının işaret değişimine göre negatif olduğu bölgeleri belirlemek gerekir.
4
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) olması şartını uygularız.
n<2n < 2 aralığından sadece n=1n = 1 pozitif tam sayısı gelir. 6<n<7,56 < n < 7,5 aralığından ise sadece n=7n = 7 pozitif tam sayısı gelir. Bu durumda negatif olan terimler a1a_1 ve a7a_7 olmak üzere 2 tanedir.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olduğundan, çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları seçeriz.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin dizi genel terimi olabilmesi ve terimlerinin incelenmesinde tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması şartı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1672Soru →
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xb=sin⁡xtan⁡xc=cos⁡xcot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \cos x \\ b &= \frac{\sin x}{\tan x} \\ c &= \frac{\cos x}{\cot x} \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

c<a<bc < a < b sıralaması doğrudur.
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x elde edilir. Dördüncü bölgede cos⁡x\cos x pozitif, sin⁡x\sin x ise negatif değer alır. Bu nedenle b>0b > 0 olup en büyük değerdir. Negatif olan a=sin⁡xcos⁡xa = \sin x \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x değerlerini karşılaştırmak için, 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 eşitsizliğinin her iki tarafı negatif bir sayı olan sin⁡x\sin x ile çarpılır. Bu işlem eşitsizliği yön değiştirerek sin⁡xcos⁡x>sin⁡x\sin x \cos x > \sin x yani a>ca > c haline getirir. Sonuç olarak doğru sıralama en küçükten büyüğe c<a<bc < a < b olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeleri temel kimlikleri kullanarak sadeleştirin.
b=sin⁡xtan⁡x=sin⁡xsin⁡xcos⁡x=cos⁡xb = \frac{\sin x}{\tan x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x ve c=cos⁡xcot⁡x=cos⁡xcos⁡xsin⁡x=sin⁡xc = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x olarak bulunur. a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x ifadesi ise aynı kalır.
İfadeleri birbiriyle kıyaslayabilmek adına en sade biçimlerine dönüştürmek gerekir.
2
Değişkenin tanımlı olduğu bölgeye göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz edin.
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) aralığı koordinat düzleminde 4. bölgeye aittir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0 (negatif) ve 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 (pozitif) olur.
İfadelerin işaret ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizi şarttır.
3
Bulunan işaret ve değer aralıklarını kullanarak değerleri sıralayın.
b=cos⁡x>0b = \cos x > 0 olduğundan en büyük değer bb olur. sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x zıt işaretli olduğundan çarpımları a=sin⁡x⋅cos⁡x<0a = \sin x \cdot \cos x < 0 olur. Negatif olan aa ve cc değerlerini kıyaslamak için 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 eşitsizliğinin her iki tarafı negatif olan sin⁡x\sin x ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir: sin⁡x⋅cos⁡x>sin⁡x⇒a>c\sin x \cdot \cos x > \sin x \Rightarrow a > c olur. Buradan c<a<bc < a < b sıralamasına ulaşılır.
Kosinüsün pozitif basit kesir olması ve sinüsün negatif olması özelliklerinden yararlanarak sıralamayı tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.
Soru 1673Soru →
Grafiği düşey eksene göre simetrik olan bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=(a−2)x3+2x2+(b+3)x+a⋅bf(x) = (a-2)x^3 + 2x^2 + (b+3)x + a \cdot b
eşitliğini sağlamaktadır.

g(x)=f(x−k)g(x) = f(x - k) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun grafiği x=3x = 3 doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, g(a+b)g(a+b) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

26
Çift fonksiyon tanımından tek dereceli terimlerin katsayıları sıfıra eşitlenerek a=2a=2 ve b=−3b=-3 bulunur. Fonksiyonun kuralı f(x)=2x2−6f(x)=2x^2-6 olur. g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3) fonksiyonunun grafiği x=3x=3 doğrusuna göre simetrik olduğundan öteleme miktarı k=3k=3'tür. g(a+b)=g(−1)=f(−4)g(a+b) = g(-1) = f(-4) değeri, f(−4)=2(−4)2−6=26f(-4)=2(-4)^2-6=26 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun grafiği düşey eksene göre simetrik olduğundan ff çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların kuralında tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2 ve b+3=0  ⟹  b=−3b + 3 = 0 \implies b = -3 elde edilir.
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğinin her xx için sağlanabilmesi için tek dereceli terimler bulunmamalıdır.
2
aa ve bb değerlerini yerine yazarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralını belirleyelim.
f(x)=2x2+2⋅(−3)=2x2−6f(x) = 2x^2 + 2 \cdot (-3) = 2x^2 - 6 olur.
Fonksiyonun tam kuralını bulup sonraki adımlarda kullanmak için.
3
g(x)=f(x−k)g(x) = f(x - k) fonksiyonunun simetri ekseninden yararlanarak kk değerini bulalım.
f(x)f(x) grafiği x=0x = 0 doğrusuna göre simetrik olduğundan, f(x−k)f(x-k) grafiği x=kx = k doğrusuna göre simetriktir. Buradan k=3k = 3 bulunur.
Grafiğin yatay olarak sağa ötelenmesi durumunda simetri ekseninin de aynı miktarda kayacağını kullanmak için.
4
g(a+b)g(a+b) ifadesinde aa ve bb değerlerini yerleştirelim.
a+b=2+(−3)=−1a+b = 2 + (-3) = -1 olduğundan, g(−1)=f(−1−3)=f(−4)g(-1) = f(-1-3) = f(-4) elde edilir.
İstenen fonksiyon değerini ff fonksiyonu cinsinden ifade etmek için.
5
f(x)f(x) kuralında x=−4x = -4 yazarak nihai sonucu hesaplayalım.
f(−4)=2(−4)2−6=32−6=26f(-4) = 2(-4)^2 - 6 = 32 - 6 = 26 bulunur.
Çift fonksiyon özelliğiyle f(−4)=f(4)=26f(-4) = f(4) = 26 değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Soru 1674Soru →
log⁡2(x2−4x+3)−log⁡x−3(x−1)=1\log_2(x^2 - 4x + 3) - \log_{x-3}(x-1) = 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7+27 + \sqrt{2}

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamı 7+27 + \sqrt{2} olur.
Denklemin doğru çözümünde x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4 tanım kümesi koşulları altında değişken değiştirme yapılarak (a−1)(a+b)=0(a-1)(a+b)=0 elde edilir. Buradan x=5x=5 ve x=2+2x=2+\sqrt{2} kökleri bulunur. Bu iki kök tanım kümesini sağladığından toplamları 7+27+\sqrt{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesini belirleriz.
x2−4x+3>0  ⟹  (x−3)(x−1)>0  ⟹  x>3x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-3)(x-1) > 0 \implies x > 3 veya x<1x < 1.
x−3>0  ⟹  x>3x-3 > 0 \implies x > 3.
x−3≠1  ⟹  x≠4x-3 \neq 1 \implies x \neq 4.
x−1>0  ⟹  x>1x-1 > 0 \implies x > 1.
Bu koşulların ortak kesişimi: x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4 aralığıdır.
Logaritma tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması zorunluluğundan dolayı denklemin geçerli tanım aralığ�� belirlenmelidir.
2
Denklemi aynı logaritma tabanına indirgeriz.
x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) olduğundan, log⁡2(x2−4x+3)=log⁡2(x−3)+log⁡2(x−1)\log_2(x^2 - 4x + 3) = \log_2(x-3) + \log_2(x-1) yazılır.
İkinci terim için taban değiştirme kuralı uygulanarak log⁡x−3(x−1)=log⁡2(x−1)log⁡2(x−3)\log_{x-3}(x-1) = \frac{\log_2(x-1)}{\log_2(x-3)} elde edilir.
Değişken değiştirmeyi kolaylaştırmak amacıyla tüm ifadeler 2 tabanına dönüştürülmüştür.
3
a=log⁡2(x−3)a = \log_2(x-3) ve b=log⁡2(x−1)b = \log_2(x-1) değişken değiştirmelerini yaparak denklemi çözülebilir bir cebirsel forma getiririz.
a+b−ba=1a + b - \frac{b}{a} = 1 elde edilir. Payda eşitlendiğinde:
a2+ab−b=a  ⟹  a2−a+b(a−1)=0  ⟹  (a−1)(a+b)=0a^2 + ab - b = a \implies a^2 - a + b(a - 1) = 0 \implies (a - 1)(a + b) = 0 denklemine ulaşılır.
Logaritmik denklemi çarpanlarına ayırarak olası kök durumlarını incelemek kolaylaştırılmıştır.
4
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kök adaylarını buluruz.
1. Durum: a−1=0  ⟹  a=1  ⟹  log⁡2(x−3)=1  ⟹  x−3=2  ⟹  x=5a - 1 = 0 \implies a = 1 \implies \log_2(x-3) = 1 \implies x - 3 = 2 \implies x = 5.
2. Durum: a+b=0  ⟹  b=−a  ⟹  log⁡2(x−1)=−log⁡2(x−3)  ⟹  log⁡2(x−1)=log⁡2(1x−3)  ⟹  (x−1)(x−3)=1  ⟹  x2−4x+2=0  ⟹  x=2±2a + b = 0 \implies b = -a \implies \log_2(x-1) = -\log_2(x-3) \implies \log_2(x-1) = \log_2\left(\frac{1}{x-3}\right) \implies (x-1)(x-3) = 1 \implies x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2} bulunur.
Her bir cebirsel çarpanın sıfır olması durumu ayrı kökler üretir.
5
Elde edilen kök adaylarını başlangıçta belirlenen tanım kümesi (x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4) ile karşılaştırırız.
x=5x = 5 değeri tanım kümesindedir.
x=2+2≈3.414x = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414 değeri tanım kümesindedir.
x=2−2≈0.586<3x = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586 < 3 olduğundan tanım kümesi dışındadır ve elenir.
Geçerli köklerin toplamı: 5+(2+2)=7+25 + (2 + \sqrt{2}) = 7 + \sqrt{2} olarak bulunur.
Bulunan tüm cebirsel köklerin logaritma kurallarına göre tanımlı birer sayı üretip üretmediği test edilerek yalancı kökler ayıklanmalıdır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemler
Soru 1675Soru →
Genel terimi
an=4n−18n+1a_n = \frac{4n - 18}{n + 1}
olan (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin kaç terimi negatiftir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin negatif olan terim sayısı 4'tür.
Dizinin genel terimini negatif yapan nn pozitif tam sayıları belirlendiğinde n<4,5n < 4,5 eşitsizliği elde edilir. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44 olduğundan dizinin tam olarak 4 tane terimi negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin negatif terimlerini bulmak için genel terimi sıfırdan küçük eşitleyin.
4n−18n+1<0\frac{4n - 18}{n + 1} < 0
Dizinin hangi terimlerinin negatif değerli olduğunu tespit etmek amacıyla an<0a_n < 0 eşitsizliğini çözmemiz gerekir.
2
Dizi tanım kümesi koşulunu kullanarak paydanın işaretini belirleyin.
Her n≥1n \ge 1 için n+1>0n + 1 > 0 olur.
Dizilerin indis kümesi pozitif tam sayılardan oluştuğu için nn daima en az 1 değerini alır ve payda her zaman pozitif kalır.
3
Eşitsizliği sadeleştirip nn için bir üst sınır bulun.
4n−18<0⇒n<4,54n - 18 < 0 \Rightarrow n < 4,5
Payda pozitif olduğundan, kesirli ifadenin negatif çıkabilmesi için pay kısmının negatif olması şarttır.
4
nn değerinin alabileceği pozitif tam sayı değerlerini listeleyin.
n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\} olup toplam 4 tanedir.
Dizi indisi nn sadece pozitif tam sayılar olabileceğinden, 4,5'ten küçük pozitif tam sayılar çözümü oluşturur.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi sınırlaması ve genel terim eşitsizlik çözümü

Alternatif Yöntem

Dizinin ilk birkaç terimi sırayla yazılıp işaretleri kontrol edilebilir: a1=4(1)−181+1=−7<0a_1 = \frac{4(1)-18}{1+1} = -7 < 0, a2=8−183=−103<0a_2 = \frac{8-18}{3} = -\frac{10}{3} < 0, a3=12−184=−1.5<0a_3 = \frac{12-18}{4} = -1.5 < 0, a4=16−185=−0.4<0a_4 = \frac{16-18}{5} = -0.4 < 0, a5=20−186=13>0a_5 = \frac{20-18}{6} = \frac{1}{3} > 0. Böylece sadece ilk 4 terimin negatif olduğu doğrudan görülür.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1676Soru →
cos⁡(3x)cos⁡(x)=2sin⁡(x)\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 2\sin(x)

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: π\pi

Cevap

Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı π\pi radyandır.
Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığında tanımlı ve geçerli olan iki kökü vardır. Bu kökler π10\frac{\pi}{10} ve 9π10\frac{9\pi}{10} değerleridir. Bu iki kökün toplamı π10+9π10=π\frac{\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} = \pi radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenlemek ve tanımsızlık şartını belirlemek.
cos⁡(3x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\cos(3x) = 2\sin(x)\cos(x) elde edilir. Burada sağ tarafta yarım açı formülü uygulanırsa denklem cos⁡(3x)=sin⁡(2x)\cos(3x) = \sin(2x) biçimine dönüşür. Ancak başlangıçtaki rasyonel ifadede payda sıfırdan farklı olmak zorunda olduğundan, cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0 yani x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) olmalıdır.
Denklemi standart trigonometrik denklem çözme formuna getirmek ve paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden elemek için.
2
Kosinüs ve sinüs ifadelerini aynı cinsten yazarak genel çözüm formüllerini oluşturmak.
cos⁡(3x)=cos⁡(π2−2x)\cos(3x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) olarak yazılır. Buradan iki farklı genel çözüm durumu ortaya çıkar:

1. Durum:
3x=(π2−2x)+2kπ  ⟹  5x=π2+2kπ  ⟹  x=π10+2kπ53x = \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \implies 5x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}

2. Durum:
3x=−(π2−2x)+2kπ  ⟹  3x=−π2+2x+2kπ  ⟹  x=−π2+2kπ3x = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
Kosinüs denklemlerinin genel çözüm kurallarını uygulayarak tüm olası kökleri içeren formüllere ulaşmak için.
3
Genel çözümlerden (0,π)(0, \pi) açık aralığına düşen kökleri bulmak ve geçerliliğini denetlemek.
1. Durum için:
- k=0  ⟹  x1=π10k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{10} (Aralıktadır ve cos⁡(x1)≠0\cos(x_1) \neq 0 şartını sağlar.)
- k=1  ⟹  x2=5π10=π2k=1 \implies x_2 = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} (Aralıktadır ancak başlangıçtaki denklemin paydasını sıfır yaptığı için geçersizdir.)
- k=2  ⟹  x3=9π10k=2 \implies x_3 = \frac{9\pi}{10} (Aralıktadır ve cos⁡(x3)≠0\cos(x_3) \neq 0 şartını sağlar.)
- Diğer kk değerleri için kökler (0,π)(0, \pi) aralığının dışındadır.

2. Durum için:
- k=1  ⟹  x=3π2k=1 \implies x = \frac{3\pi}{2} değeri (0,π)(0, \pi) aralığının dışındadır ve bu durumdan aralığa uyan geçerli bir kök elde edilmez.
Belirtilen sınırlı aralıktaki kökleri tespit etmek ve paydanın sıfır olma durumunu inceleyerek hatalı kökleri ayıklamak için.
4
Bulunan geçerli köklerin toplamını hesaplamak.
Geçerli kökler π10\frac{\pi}{10} ve 9π10\frac{9\pi}{10} olarak bulunmuştur. Toplamları:
π10+9π10=10π10=π\frac{\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} = \frac{10\pi}{10} = \pi radyandır.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemler ve Çözüm Kümelerinde Tanımsızlık Kontrolü
Soru 1677Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=arcsin⁡(2x−75)+arccot(116−x2)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x - 7}{5}\right) + \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun her iki teriminin tanımlılık şartları kesiştirildiğinde elde edilen tanım kümesi [1,4)[1, 4) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların (1, 2, 3) toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin fonksiyonunun tanımlılık şartının uygulanması
1≤x≤61 \le x \le 6
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır. −1≤2x−75≤1⇒−5≤2x−7≤5⇒2≤2x≤12⇒1≤x≤6-1 \le \frac{2x-7}{5} \le 1 \Rightarrow -5 \le 2x - 7 \le 5 \Rightarrow 2 \le 2x \le 12 \Rightarrow 1 \le x \le 6 elde edilir.
2
Köklü ve rasyonel ifadenin tanımlılık şartının uygulanması
−4<x<4-4 < x < 4
Paydadaki kareköklü ifadenin tanımlı olması ve tanımsızlık yaratmaması için kök içinin sıfırdan kesinlikle büyük olması gerekir: 16−x2>0⇒x2<16⇒−4<x<416 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 elde edilir.
3
Tanım kümelerinin kesişiminin bulunması
[1,4)[1, 4)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu nedenle elde edilen aralıkların kesişimi alınır: [1,6]∩(−4,4)=[1,4)[1, 6] \cap (-4, 4) = [1, 4).
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplanması
6
[1,4)[1, 4) yarı açık aralığındaki tam sayı değerleri 1, 2 ve 3'tür. Bu değerlerin toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 yapar.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım kümelerinin bulunması ve kesişim mantığı
Soru 1678Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir.

Bu uzunluklar arasında
a2−c2=b2+b⋅ca^2 - c^2 = b^2 + b \cdot c

bağıntısı olduğuna göre, AA açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Açının ölçüsü 120 derecedir.
Verilen bağıntı düzenlenip Kosinüs Teoremi ile karşılaştırıldığında cos⁡(A)=−1/2\cos(A) = -1/2 eşitliği elde edilir. Üçgenin iç açısı olan AA için bu değeri sağlayan tek açı 120 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı düzenleyerek a2a^2 ifadesini yalnız bırakın.
a2=b2+c2+b⋅ca^2 = b^2 + c^2 + b \cdot c
Kosinüs Teoremi formülü ile doğrudan karşılaştırma yapabilmek amac��yla a2a^2 terimi yalnız bırakılmıştır.
2
Elde edilen bağıntıyı Kosinüs Teoremi formülüyle (a2=b2+c2−2bccos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)) karşılaştırın.
b2+c2+b⋅c=b2+c2−2bccos⁡(A)  ⟹  b⋅c=−2bccos⁡(A)b^2 + c^2 + b \cdot c = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \implies b \cdot c = -2bc \cos(A)
Her iki denklem de a2a^2 değerini verdiğinden sağ taraftaki ifadeler birbirine eşitlenir.
3
b⋅cb \cdot c ifadesini sadeleştirerek cos⁡(A)\cos(A) değerini yalnız bırakın.
cos⁡(A)=−12\cos(A) = -\frac{1}{2}
Üçgenin kenar uzunlukları olan bb ve cc sıfırdan büyük olduğundan sadeleştirme yapılabilir.
4
0∘<A<180∘0^\circ < A < 180^\circ aralığında kosinüs değeri −12-\frac{1}{2} olan açıyı bulun.
m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ
Kosinüsü negatif olan bir üçgen açısı geniş açıdır ve cos⁡(120∘)=−cos⁡(60∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -1/2 bağıntısı gereği AA açısı 120 derecedir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi: Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamından bu kenarların uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasıyla bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1679Soru →
Orijine göre simetrik bir grafiğe sahip olan ff fonksiyonu ile ordinat eksenine göre simetrik bir grafiğe sahip olan gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+g(−x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(-x) = x^3 - 3x^2 - x + 5
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, (f∘g)(1)(f \circ g)(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Verilen fonksiyonların simetri özellikleri gereği f(x)+g(x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 5 olur. Polinomun tek dereceli terimleri tek fonksiyon olan f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x ifadesini, çift dereceli ve sabit terimleri ise çift fonksiyon olan g(x)=−3x2+5g(x) = -3x^2 + 5 ifadesini verir. Buradan g(1)=2g(1) = 2 ve (f∘g)(1)=f(2)=6(f \circ g)(1) = f(2) = 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların simetri özelliklerini belirlemek.
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) ve g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)
ff fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur. gg fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur.
2
Verilen denklemde çift fonksiyon özelliğini kullanmak.
f(x)+g(x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 5
gg çift fonksiyon olduğundan g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) eşitliği denklemde yerine yazılır.
3
Tek ve çift dereceli terimleri ayrıştırarak fonksiyonların kurallarını bulmak.
f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x ve g(x)=−3x2+5g(x) = -3x^2 + 5
E��itliğin sol tarafındaki f(x)f(x) tek, g(x)g(x) çift fonksiyondur. Bir polinom fonksiyonunun tek kısmı tek dereceli terimlerin toplamına, çift kısmı ise çift dereceli terimlerin ve sabit sayının toplamına e��ittir.
4
g(1)g(1) değerini hesaplamak.
g(1)=−3(1)2+5=2g(1) = -3(1)^2 + 5 = 2
(f∘g)(1)=f(g(1))(f \circ g)(1) = f(g(1)) bileşke ifadesini bulmak için öncelikle en içteki fonksiyon hesaplanır.
5
f(g(1))f(g(1)) yani f(2)f(2) değerini hesaplamak.
f(2)=23−2=6f(2) = 2^3 - 2 = 6
g(1)=2g(1) = 2 olduğundan bileşke fonksiyonun değeri f(2)f(2) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların simetri kuralları ve cebirsel olarak ayrıştırılması

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme yöntemi: Eşitlikte x=1x=1 ve x=−1x=-1 yazılarak sırasıyla f(1)+g(1)=2f(1)+g(1)=2 ve −f(1)+g(1)=2-f(1)+g(1)=2 denklemleri kurulur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde g(1)=2g(1)=2 bulunur. Benzer şekilde x=2x=2 ve x=−2x=-2 değerleri yazılarak f(2)+g(2)=−1f(2)+g(2)=-1 ve −f(2)+g(2)=−13-f(2)+g(2)=-13 elde edilir. Bu denklemler taraf tarafa çıkarıldığında 2f(2)=12  ⟹  f(2)=62f(2)=12 \implies f(2)=6 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1680Soru →

Bir ABCDABCD paralelkenarında ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AD∣=6 birim|AD| = 6\text{ birim} ve m(BAD^)=120∘m(\widehat{BAD}) = 120^\circ dir.
[AB][AB] kenarı üzerinde ∣AE∣=3 birim|AE| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası, [AD][AD] kenarı üzerinde ise ∣AF∣=5 birim|AF| = 5\text{ birim} olacak şekilde bir FF noktası belirleniyor.

Buna göre, EE ve FF noktaları arasındaki uzaklık (∣EF∣|EF|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

E ve F noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
E ve F noktaları arasındaki uzaklık Kosinüs Teoremi kullanılarak 7 birim olarak bulunur. Geniş açının kosinüsü olan cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değerinin işareti doğru uygulandığında ∣EF∣2=32+52−2(3)(5)(−1/2)=49|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-1/2) = 49 eşitliğinden doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AEFAEF üçgenindeki tepe açısının belirlenmesi
m(EAF^)=120∘m(\widehat{EAF}) = 120^\circ
EE ve FF noktaları sırasıyla [AB][AB] ve [AD][AD] kenarları üzerinde olduğundan EAF^\widehat{EAF} açısı, paralelkenarın BAD^\widehat{BAD} açısı ile aynıdır.
2
Kosinüs Teoremi formülünün yazılması ve değerlerin yerine konulması
∣EF∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(120∘)|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
3
Hesaplamanın tamamlanarak ∣EF∣|EF| değerinin bulunması
∣EF∣=7|EF| = 7
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} değeri yerine yazılarak ∣EF∣2=49|EF|^2 = 49 elde edilir ve karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla iki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende üçüncü kenar uzunluğunun hesaplanması.
ÖncekiSayfa 84 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin