Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1701Soru →

Terimleri birer gerçel sayı olan bir aritmetik dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 ve onuncu terimi a10=41a_{10} = 41 olarak veriliyor. Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 230

Cevap

Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 230'dur.
Verilen aritmetik dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 ve onuncu terimi a10=41a_{10} = 41 olduğuna göre, ilk 10 terim toplamı S10=102(a1+a10)=5×(5+41)=230S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5 \times (5 + 41) = 230 olarak bulunur. Bu nedenle 230 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı (SnS_n) formülünü belirleme
Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
İlk ve son terimi bilinen bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamını hesaplamak için bu formül kullanılır.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazarak S10S_{10} değerini hesaplama
S10=102(a1+a10)=5(5+41)=5×46=230S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 41) = 5 \times 46 = 230
n=10n=10, a1=5a_1=5 ve a10=41a_{10}=41 değerleri formüle yerleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1702Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n olmak üzere,

S15−S10=235S_{15} - S_{10} = 235
a8=27a_8 = 27

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 170

Cevap

170
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S15−S10=5a1+60d=235S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 denklemi ve dizinin 8. terimi olan a8=a1+7d=27a_8 = a_1 + 7d = 27 denklemi ortak çözüldüğünde dizinin ortak farkı d=4d = 4 ve ilk terimi a1=−1a_1 = -1 olarak bulunur. Bu değerler ilk 10 terim toplamı formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 170 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim toplamı formülü olan Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ifadesini kullanarak S15S_{15} ve S10S_{10} toplamlarını a1a_1 ve ortak fark dd cinsinden yazalım.
S15=15a1+105dS_{15} = 15a_1 + 105d ve S10=10a1+45dS_{10} = 10a_1 + 45d elde edilir.
S15−S10S_{15} - S_{10} farkını elde etmek ve bu farkı verilen sayısal değere eşitlemek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
S15−S10S_{15} - S_{10} ifadesini hesaplayalım ve verilen a8a_8 terimini a1a_1 ve dd cinsinden yazarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kuralım.
S15−S10=5a1+60d=235  ⟹  a1+12d=47S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 \implies a_1 + 12d = 47 ve a8=a1+7d=27a_8 = a_1 + 7d = 27 denklemleri elde edilir.
Dizinin birinci terimi (a1a_1) ve ortak farkını (dd) bulmak için iki bağımsız denklem elde etmemiz gerekir.
3
Elde edilen a1+12d=47a_1 + 12d = 47 ve a1+7d=27a_1 + 7d = 27 denklemlerini taraf tarafa çıkararak dd ve a1a_1 değerlerini hesaplayalım.
5d=20  ⟹  d=45d = 20 \implies d = 4 ve a1=−1a_1 = -1 bulunur.
Ortak fark ve ilk terim bilindiğinde dizinin herhangi bir terimi veya terimler toplamı hesaplanabilir.
4
Hesaplanan a1=−1a_1 = -1 ve d=4d = 4 değerlerini kullanarak ilk 10 terim toplamı olan S10S_{10} değerini hesaplayalım.
S10=102(2a1+9d)=5(2(−1)+9(4))=5(−2+36)=170S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 5(2(-1) + 9(4)) = 5(-2 + 36) = 170 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen ilk 10 terim toplamına ulaşmak için SnS_n formülünde n=10n=10 yazılarak sonuca gidilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terimin toplamı Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülü ile hesaplanır ve ardışık terimler toplamı arasındaki fark Sn−Sn−1=anS_n - S_{n-1} = a_n ilişkisiyle ifade edilir.
Soru 1703Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a1+a11=16a_1 + a_{11} = 16

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu aritmetik dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: an=2n−4a_n = 2n - 4

Cevap

Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan dizi
Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan seçenek doğrudur. Aritmetik dizilerin indis özelliğine göre, birinci terim ile on birinci terimin toplamı, altıncı terimin iki katına eşittir (a1+a11=2a6a_1 + a_{11} = 2a_6). Bize verilen toplam 16 olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi 8 olmalıdır (a6=8a_6 = 8). Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan dizide nn yerine 6 yazıldığında a6=2(6)−4=8a_6 = 2(6) - 4 = 8 değeri elde edilir ve koşul sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizide indis özellikleri kullanılarak ortanca terim belirlenir.
a1+a11=2a6  ⟹  16=2a6  ⟹  a6=8a_1 + a_{11} = 2a_6 \implies 16 = 2a_6 \implies a_6 = 8 bulunur.
Bir aritmetik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Burada 1+11=6+61 + 11 = 6 + 6 olduğundan a1+a11=2a6a_1 + a_{11} = 2a_6 eşitliği geçerlidir.
2
Seçeneklerde verilen genel terim formüllerinde n=6n = 6 yazılarak hangisinin a6=8a_6 = 8 değerini verdiği kontrol edilir.
a6=2(6)−4=8a_6 = 2(6) - 4 = 8 eşitliğini sağlayan genel terim an=2n−4a_n = 2n - 4 olarak bulunur.
Soruda verilen koşulu sağlayan dizinin 6. terimi 8 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide indis özellikleri ve genel terim ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1704Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡x+cos⁡x=15\sin x + \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin de��eri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 247\frac{24}{7}

Cevap

yirmi dört bölü yedi
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında 1+sin⁡(2x)=1251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} elde edilir. Buradan sin⁡(2x)=−2425\sin(2x) = -\frac{24}{25} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x2x açısı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25} olur. Buradan tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=247\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{24}{7} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
E��itliğin her iki tarafının karesini alma
1+sin⁡(2x)=125  ⟹  sin⁡(2x)=−24251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}
İki kat açının sinüs değerine ulaşmak için yarım açı formülünü kullanmak amacıyla kare alma işlemi yapılır.
2
İki kat açının aralığını belirleme
2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) (3. bölge)
xx açısının tanım aralığından yararlanılarak 2x2x açısının koordinat düzlemindeki bölgesi saptanır.
3
İki kat açının kosinüs değerini bulma
cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25}
3. bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan, sin⁡2(2x)+cos⁡2(2x)=1\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 özdeşliğinden yararlanılarak negatif değer seçilir.
4
İki kat açının tanjant değerini hesaplama
tan⁡(2x)=247\tan(2x) = \frac{24}{7}
Tanjant fonksiyonunun sinüsün kosinüse oranı olduğu tanımı kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 1705Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde a2=5a_2 = 5 ve a5=17a_5 = 17 olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Dizinin 10. teriminin değeri 37'dir.
Dizinin terimleri arasındaki sabit artış miktarı (ortak fark) r=4r = 4 olarak hesaplanır. 10. terimi bulmak için 5. terime 5 kez ortak fark eklenerek 37 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen terimler arasındaki farkı kullanarak dizinin ortak farkını (rr) belirleme
r=4r = 4
Aritmetik dizilerde herhangi iki terim arasındaki ilişki ak=ap+(k−p)ra_k = a_p + (k-p)r formülüyle ifade edilir. Burada a5=a2+3ra_5 = a_2 + 3r yazılarak ortak fark bulunur.
2
Bulunan ortak fark yardımıyla 10. terimi (a10a_{10}) hesaplama
a10=37a_{10} = 37
Dizinin 10. terimi, 5. terime ortak farkın 5 katı eklenerek (a10=a5+5ra_{10} = a_5 + 5r) hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki fark sabittir ve herhangi iki terim arasındaki fark, ortak farkın indis farkı katına eşittir.
Soru 1706Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları, her xx gerçel sayısı için
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
eşitliklerini sağlamaktadır.
f(x)+(x−1)⋅g(x)=x3+2x2−x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2

olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Çift fonksiyonlarda her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve tek fonksiyonlarda her xx için g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitlikleri sağlanır. Verilen ana denklemde sırasıyla x=2x = 2 ve x=−2x = -2 yazıldığında elde edilen f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12 ve f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0 denklemleri ortak çözülürse f(2)=18f(2) = 18 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde x=2x = 2 yazarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) terimlerini içeren birinci bağıntıyı bulmak.
f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12
x=2x = 2 değeri için e��itliğin sağ tarafı 23+2(22)−2−2=8+8−4=122^3 + 2(2^2) - 2 - 2 = 8 + 8 - 4 = 12 değerine eşit olur.
2
Denklemde x=−2x = -2 yazarak f(−2)f(-2) ve g(−2)g(-2) terimlerini içeren ikinci bağıntıyı bulmak.
f(−2)−3g(−2)=0f(-2) - 3g(-2) = 0
x=−2x = -2 değeri için eşitliğin sağ tarafı (−2)3+2(−2)2−(−2)−2=−8+8+2−2=0(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0 değerine eşit olur.
3
Süreçteki tek ve çift fonksiyon tanımlarını kullanarak ikinci bağıntıyı f(2)f(2) ve g(2)g(2) cinsinden ifade etmek.
f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olduğundan f(−2)=f(2)f(-2) = f(2)'dir. g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olduğundan g(−2)=−g(2)g(-2) = -g(2)'dir. Bu simetri özellikleri denklemde yerine yazıldığında f(2)−3(−g(2))=0  ⟹  f(2)+3g(2)=0f(2) - 3(-g(2)) = 0 \implies f(2) + 3g(2) = 0 elde edilir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözerek f(2)f(2) değerini hesaplamak.
f(2)=18f(2) = 18
f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0 denkleminden f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12 denklemi taraf tarafa çıkarıldığında 2g(2)=−12  ⟹  g(2)=−62g(2) = -12 \implies g(2) = -6 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında f(2)−6=12  ⟹  f(2)=18f(2) - 6 = 12 \implies f(2) = 18 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel tanımları olan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özelliklerinin denklem sistemlerine uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, verilen fonksiyon denkleminde f(x)f(x) ve g(x)g(x) polinom fonksiyonlar olarak elde edilebilir. Bunun için denklemde xx yerine −x-x yazılır ve f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x) özellikleri kullanılarak iki bilinmeyenli fonksiyon denklem sistemi çözülür. Buradan genel kuralları f(x)=x4+x2−2f(x) = x^4 + x^2 - 2 ve g(x)=−x3+xg(x) = -x^3 + x olarak bulunur. Sonrasında f(2)=24+22−2=18f(2) = 2^4 + 2^2 - 2 = 18 hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1707Soru →
f(x)=log⁡12−x(x2−5x−14x−4)f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 5x - 14}{x - 4}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 32'dir.
Logaritma tanımı gereğince, taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (12−x>012-x>0 ve 12−x≠1  ⟹  x<1212-x \neq 1 \implies x < 12 ve x≠11x \neq 11). Logaritması alınan ifade de pozitif olmalıdır (x2−5x−14x−4>0\frac{x^2-5x-14}{x-4} > 0). Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi işaret tablosundan (−2,4)∪(7,∞)(-2, 4) \cup (7, \infty) olarak bulunur. Bu iki koşul kümesinin kesişimi (−2,4)∪(7,12)∖{11}(-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\} aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar −1,0,1,2,3,8,9,10-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10 olup toplamları 3232'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın pozitiflik ve 1'den farklı olma koşullarını inceleme.
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Bir logaritma fonksiyonunda taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Logaritması alınan ifadenin köklerini bulma.
Payın kökleri x=−2x = -2 ve x=7x = 7, paydanın kökü x=4x = 4
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktalar belirlenmelidir.
3
Rasyonel ifadenin işaret tablosunu oluşturma ve pozitif bölgeleri belirleme.
x∈(−2,4)∪(7,∞)x \in (-2, 4) \cup (7, \infty)
Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için pozitif olması gerekir.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirleme.
x∈(−2,4)∪(7,12)∖{11}x \in (-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}
Hem tabanın hem de logaritması alınan ifadenin aynı anda tanımlı olması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleme ve toplama.
Tam sayılar: −1,0,1,2,3,8,9,10-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10 ve toplamları: 3232
Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar rasyonel eşitsizliklerin işaret incelemesiyle birleştirilerek en geniş tanım kümesi bulunur.
Soru 1708Soru →
log⁡2(x−2)+log⁡2(x+2)=log⁡2(3x+6)\log_2(x - 2) + \log_2(x + 2) = \log_2(3x + 6)

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamı 5'tir.
Denklem, logaritmanın çarpım kuralı kullanılarak düzenlendiğinde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri 5 ve -2 olarak bulunur. Ancak logaritma tanım kümesi gereği x > 2 olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek kök 5 olduğundan çözüm kümesinin elemanları toplamı 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleyin.
x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2, x+2>0  ⟹  x>−2x + 2 > 0 \implies x > -2 ve 3x+6>0  ⟹  x>−23x + 6 > 0 \implies x > -2 şartlarının kesişiminden ortak tanım kümesi x>2x > 2 olarak elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının ve içinin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmanın toplama özelliğini uygulayarak sol tarafı tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡2((x−2)(x+2))=log⁡2(3x+6)\log_2((x - 2)(x + 2)) = \log_2(3x + 6)
log⁡2(x2−4)=log⁡2(3x+6)\log_2(x^2 - 4) = \log_2(3x + 6)
log⁡a(u)+log⁡a(v)=log⁡a(u⋅v)\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v) kuralı uygulanarak denklem sadeleştirilir.
3
Logaritma tabanları eşit olduğu için ifadelerin içlerini birbirine eşitleyerek oluşan ikinci dereceden denklemi çözün.
x2−4=3x+6x^2 - 4 = 3x + 6
x2−3x−10=0x^2 - 3x - 10 = 0
(x−5)(x+2)=0(x - 5)(x + 2) = 0
Buradan x=5x = 5 veya x=−2x = -2 elde edilir.
log⁡a(f(x))=log⁡a(g(x))  ⟹  f(x)=g(x)\log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) \implies f(x) = g(x) kuralı gereği içler eşitlenir ve çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan köklerin birinci adımda elde edilen ortak tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin ve çözüm kümesini yazın.
x=5x = 5 değeri x>2x > 2 şartını sağladığı için çözüm kümesine dahil edilir. x=−2x = -2 değeri ise x>2x > 2 şartını sağlamadığı için (logaritmanın içini sıfır yaptığı için) çözüm kümesine alınamaz. Çözüm kümesi {5}\{5\} olup elemanlar toplamı 55 olur.
Cebirsel olarak bulunan köklerin başlangıçtaki logaritmik ifadeleri tanımlı kılması zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü

Alternatif Yöntem

Denklemin sağ tarafında yer alan 3x+63x+6 ifadesi 3(x+2)3(x+2) şeklinde yazılabilir. Buradan çarpımın logaritması kuralı ile log⁡2(3x+6)=log⁡23+log⁡2(x+2)\log_2(3x+6) = \log_2 3 + \log_2(x+2) elde edilir. Eşitliğin her iki tarafındaki log⁡2(x+2)\log_2(x+2) terimleri sadeleştirilerek doğrudan log⁡2(x−2)=log⁡23\log_2(x-2) = \log_2 3 denklemine ve buradan da x−2=3  ⟹  x=5x - 2 = 3 \implies x = 5 sonucuna ulaşılarak tanım kümesini ihlal etmeyen kök doğrudan bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1709Soru →
log⁡2(x2−x)=log⁡4(9x2)\log_2(x^2 - x) = \log_4(9x^2)

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların çarpımı -8'dir.
Denklemin çözümü sonucunda elde edilen gerçel kökler olan -2 ve 4 değerlerinin çarpımı -8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanlarını eşitlemek
log⁡4(9x2)=log⁡2(3∣x∣)\log_4(9x^2) = \log_2(3|x|)
Denklemin her iki tarafındaki ifadelerin tabanlarını aynı yaparak argümanları karşılaştırabilmek.
2
Tanım kümesini belirlemek
x<0x < 0 veya x>1x > 1 (x≠0x \neq 0)
Logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bulunacak köklerin bu aralıkta olduğunu doğrulamak.
3
Denklemi mutlak değerli olarak düzenlemek
x2−x=3∣x∣x^2 - x = 3|x|
Tabanları eşit olan logaritmaların argümanlarını eşitlemek.
4
x>1x > 1 için denklemi çözmek
x=4x = 4
Mutlak değer dışına xx pozitif olarak çıkacağı için denklemi çözmek ve tanım kümesine uygun kökü seçmek.
5
x<0x < 0 için denklemi çözmek
x=−2x = -2
Mutlak değer dışına xx negatif olarak çıkacağı için denklemi çözmek ve tanım kümesine uygun kökü seçmek.
6
Köklerin çarpımını bulmak
4⋅(−2)=−84 \cdot (-2) = -8
Soruda bizden istenen kökler çarpımını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümü ve logaritma tanım kümesi kontrolü.
Soru 1710Soru →
log⁡13(x−2)+1log⁡2(x2−7x+12)−1≤0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 1}{\log_2(x^2 - 7x + 12) - 1} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı tam sayının toplamı 21'dir.
Doğru olan seçenekteki 21 cevabı, eşitsizliğin en geniş tanım kümesi ve paydanın sıfır olamayacağı koşulları dikkate alınarak bulunan en geniş çözüm kümesindeki en küçük üç tam sayının (6, 7 ve 8) toplamıdır. Payın kökü olan 5 değeri aynı zamanda paydayı da sıfır yaptığından tanımsızlık yaratır ve çözüm kümesine dahil edilemez.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için gerekli olan tanım kümelerini belirleyin.
Paydaki log⁡13(x−2)\log_{\frac{1}{3}}(x-2) için x−2>0⇒x>2x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır. Paydadaki log⁡2(x2−7x+12)\log_2(x^2-7x+12) için x2−7x+12>0⇒(x−3)(x−4)>0⇒x<3x^2-7x+12 > 0 \Rightarrow (x-3)(x-4) > 0 \Rightarrow x < 3 veya x>4x > 4 olmalıdır. Bu iki kümenin kesişiminden ifadenin tanımlı olduğu en geniş küme x∈(2,3)∪(4,∞)x \in (2, 3) \cup (4, \infty) olarak bulunur.
Logaritmik ifadelerin gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için logaritmanın içinin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Paydanın sıfır olamayacağı koşulunu inceleyin.
log⁡2(x2−7x+12)−1≠0⇒log⁡2(x2−7x+12)≠1⇒x2−7x+12≠2⇒x2−7x+10≠0⇒(x−2)(x−5)≠0\log_2(x^2 - 7x + 12) - 1 \neq 0 \Rightarrow \log_2(x^2 - 7x + 12) \neq 1 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 \neq 2 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x-5) \neq 0 olur. Buradan x≠2x \neq 2 ve x≠5x \neq 5 elde edilir.
Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olduğunda ifade tanımsız olur, bu nedenle paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Pay ve paydanın işaretlerini belirlemek için köklerini bulun ve işaret tablosu oluşturun.
Payın kökü: log⁡13(x−2)+1=0⇒log⁡13(x−2)=−1⇒x−2=3⇒x=5\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 1 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}}(x-2) = -1 \Rightarrow x-2 = 3 \Rightarrow x = 5 bulunur. Paydanın kökleri: x=2x = 2 ve x=5x = 5 idi. Tanım kümesi sınırları x=2x = 2, x=3x = 3, x=4x = 4 ve kök olan x=5x = 5 noktalarına göre işaret tablosu yapılır. Pay x∈(2,5)x \in (2, 5) için pozitif, x>5x > 5 için negatiftir. Payda ise x∈(2,3)∪(4,5)x \in (2, 3) \cup (4, 5) için negatif, x>5x > 5 için pozitiftir. Bu durumda rasyonel ifadenin işareti x∈(2,3)∪(4,5)∪(5,∞)x \in (2, 3) \cup (4, 5) \cup (5, \infty) aralıklarının tamamında negatif (< 0) olur.
Eşitsizliğin yönünü belirlemek ve çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ortak işaret tablosu incelenmelidir.
4
Eşitsizliği sağlayan tam sayıları listeleyin ve en küçük üçünün toplamını hesaplayın.
Çözüm kümesi (2,3)∪(4,5)∪(5,∞)(2, 3) \cup (4, 5) \cup (5, \infty) aralıklarından oluşur. (2,3)(2, 3) ve (4,5)(4, 5) aralıklarında hiçbir tam sayı yoktur. (5,∞)(5, \infty) aralığındaki tam sayılar ise 6,7,8,9,…6, 7, 8, 9, \dots şeklindedir. Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı tam sayı 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı 6+7+8=216 + 7 + 8 = 21 olarak bulunur.
Elde edilen en geniş çözüm kümesindeki tam sayılar tespit edilerek soruda istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1711Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)+sin⁡x=08\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x = 0{}8
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin ondalık değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.28

Cevap

İfadenin ondalık değeri 0,28'dir.
Karekök içerisindeki tam kare ifade mutlak değer kullanılarak dışarı çıkarılır. Verilen tanım kümesinde kosinüs değeri sinüs değerinden büyük olduğu için ifade aynen çıkar ve sadeleşerek kosinüs değerini verir. Kosinüs yarım açı formülü uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
1−sin⁡(2x)1 - \sin(2x) ifadesini tam kare şeklinde yazalım.
1−sin⁡(2x)=cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)21 - \sin(2x) = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\cos x - \sin x)^2 elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemini yapabilmek için ifadenin tam kare formunu belirlemeliyiz.
2
Karekök içerisindeki ifadeyi dışarı çıkaralım ve verilen eşitliği sadeleştirelim.
x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan, (cos⁡x−sin⁡x)2=∣cos⁡x−sin⁡x∣=cos⁡x−sin⁡x\sqrt{(\cos x - \sin x)^2} = |\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x olur. Buradan, (cos⁡x−sin⁡x)+sin⁡x=cos⁡x=08(\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x = 0{}8 bulunur.
Verilen açı aralığına göre trigonometrik değerlerin büyüklük sıralamasını belirleyerek mutlak değer dışına doğru çıkarmak gerekir.
3
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülünden, cos⁡(2x)=2(08)2−1=2(064)−1=128−1=028\cos(2x) = 2(0{}8)^2 - 1 = 2(0{}64) - 1 = 1{}28 - 1 = 0{}28 bulunur.
Bulunan cos⁡x\cos x değerini yarım açı formülünde yerine yazarak istenen cos⁡(2x)\cos(2x) değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Kosinüs Yarım Açı Formülü ve Mutlak Değerli Trigonometrik İfadeler
Soru 1712Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xb=cot⁡x−csc⁡xc=tan⁡x−sec⁡x\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \cot x - \csc x \\ c &= \tan x - \sec x \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b < a < c

Cevap

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.
Doğru sıralama b < a < c şeklindedir. İkinci bölgede kosinüs negatif ve sinüs pozitif olduğundan, a = cos x - sin x farkı negatiftir. c = tan x - sec x ifadesi sadeleştirildiğinde (sin x - 1) / cos x elde edilir; pay ve payda negatif olduğundan c pozitiftir. b = cot x - csc x ifadesi ise (cos x - 1) / sin x olup negatiftir ve a ile kıyaslandığında a'dan daha küçük olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci bölgedeki açıların trigonometrik fonksiyonlarının işaretlerini belirleme.
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığında sinüs pozitif (sin⁡x>0\sin x > 0), kosinüs negatif (cos⁡x<0\cos x < 0), tanjant negatif (tan⁡x<0\tan x < 0), kotanjant negatif (cot⁡x<0\cot x < 0), sekant negatif (sec⁡x<0\sec x < 0) ve kosekant pozitiftir (csc⁡x>0\csc x > 0).
İfadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını doğru analiz edebilmek için açı bölgesine göre işaret tayini yapılması gerekir.
2
a, b ve c ifadelerinin işaretlerini ve sadeleşmiş biçimlerini inceleme.
a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x ifadesinde; cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan, negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarılmaktadır. Bu yüzden a<0a < 0 olur.

b=cot⁡x−csc⁡x=cos⁡xsin⁡x−1sin⁡x=cos⁡x−1sin⁡xb = \cot x - \csc x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x - 1}{\sin x} ifadesinde; cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan cos⁡x−1<0\cos x - 1 < 0'dır. Payda olan sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan, pay negatif ve payda pozitif olup b<0b < 0 olur.

c=tan⁡x−sec⁡x=sin⁡xcos⁡x−1cos⁡x=sin⁡x−1cos⁡xc = \tan x - \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x} ifadesinde; sin⁡x<1\sin x < 1 olduğundan sin⁡x−1<0\sin x - 1 < 0'dır. Payda olan cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, negatifin negatife bölümünden c>0c > 0 olur.
İfadelerin pozitiflik-negatiflik durumlarını belirleyerek genel bir sıralama çerçevesi çizmek.
3
Negatif olan a ve b değerlerini karşılaştırarak sıralamayı tamamlama.
c>0c > 0 olduğundan en büyük değer c'dir. Negatif olan a ve b değerlerini kıyaslamak için farklarına bakarız:
a−b=(cos⁡x−sin⁡x)−cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡xcos⁡x−sin⁡2x−cos⁡x+1sin⁡xa - b = (\cos x - \sin x) - \frac{\cos x - 1}{\sin x} = \frac{\sin x \cos x - \sin^2 x - \cos x + 1}{\sin x}
Pay kısmını düzenlersek:
sin⁡xcos⁡x+(1−sin⁡2x)−cos⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−cos⁡x=cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x−1)\sin x \cos x + (1 - \sin^2 x) - \cos x = \sin x \cos x + \cos^2 x - \cos x = \cos x (\sin x + \cos x - 1)
İkinci bölgede cos⁡x<0\cos x < 0'dır. Ayrıca sin⁡x<1\sin x < 1 olduğundan sin⁡x−1<0\sin x - 1 < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan bunların toplamı olan sin⁡x+cos⁡x−1<0\sin x + \cos x - 1 < 0 olur. İki negatif ifadenin çarpımı pozitif olduğundan pay kısmı pozitiftir. Payda olan sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan a−b>0a - b > 0 yani a>ba > b elde edilir.
Buna göre doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Her iki ifadenin de negatif olduğu durumda hangisinin sıfıra daha yakın (daha büyük) olduğunu kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve özdeşlikler yardımıyla değer sıralaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1713Soru →
x+y=3π4x + y = \frac{3\pi}{4}

olmak üzere,

tan⁡x−cot⁡y=52\tan x - \cot y = \frac{5}{2}

olduğuna göre, tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

İşlemler sonucunda tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının değeri 1.51.5 (veya 32\frac{3}{2}) olarak bulunur.
Soruda verilen x+y=3π4x + y = \frac{3\pi}{4} bağıntısı kullanılarak yy yerine 3π4−x\frac{3\pi}{4} - x yazılır. Ardından cot⁡y=1tan⁡(3π4−x)\cot y = \frac{1}{\tan(\frac{3\pi}{4} - x)} ilişkisinden ve tanjant fark formülünden yararlanılarak cot⁡y\cot y ifadesi tan⁡x\tan x cinsinden tan⁡x−1tan⁡x+1\frac{\tan x - 1}{\tan x + 1} olarak elde edilir. Bu ifade verilen tan⁡x−cot⁡y=52\tan x - \cot y = \frac{5}{2} denklemine yazıldığında oluşan ikinci dereceden denklem çözülerek tan⁡x\tan x değerleri (33 ve −12-\frac{1}{2}) bulunur. Her iki değer için de tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımı hesaplandığında sonuç değişmeyip 1.51.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen toplam ilişkisini kullanarak yy açısını xx cinsinden yazmak ve trigonometrik dönüşüm yapmak.
cot⁡y=cot⁡(3π4−x)=1tan⁡(3π4−x)\cot y = \cot\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right)}
yy açısını xx türünden ifade ederek denklemdeki bilinmeyen sayısını teke düşürmek.
2
Tanjant fark formülü yardımıyla tan⁡(3π4−x)\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) ifadesini açmak ve sadeleştirmek.
tan⁡(3π4−x)=tan⁡x+1tan⁡x−1  ⟹  cot⁡y=tan⁡x−1tan⁡x+1\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} \implies \cot y = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}
Tanjant fark formülünü uygulayıp tan⁡3π4=−1\tan\frac{3\pi}{4} = -1 değerini yerine yazarak cot⁡y\cot y ifadesini tan⁡x\tan x cinsinden bulmak.
3
tan⁡x=u\tan x = u değişken değiştirmesi yaparak denklemi çözmek.
2u2−5u−3=0  ⟹  u=32u^2 - 5u - 3 = 0 \implies u = 3 veya u=−12u = -\frac{1}{2}
Rasyonel denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürüp tan⁡x\tan x değerlerini bulmak.
4
Bulunan tan⁡x\tan x değerleri için cot⁡y\cot y değerlerini hesaplamak ve çarpımlarını bulmak.
tan⁡x⋅cot⁡y=1.5\tan x \cdot \cot y = 1.5
Soruda istenen tan⁡x⋅cot⁡y\tan x \cdot \cot y çarpımının sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} ve kotanjant ile tanjant arasındaki cot⁡A=1tan⁡A\cot A = \frac{1}{\tan A} ilişkisi.
Soru 1714Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde a1=4a_1 = 4 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)⋅2n−1a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + (n+1)(n+2) \cdot 2^{n-1}

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin beşinci terimi olan a5a_5 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 510

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan a5a_5 değeri 510'dur.
Verilen bağıntı (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) ile bölündüğünde an+1(n+1)(n+2)−ann(n+1)=2n−1\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = 2^{n-1} teleskopik yapısı elde edilir. bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü ile b5=b1+15=17b_5 = b_1 + 15 = 17 bulunur. Buradan a5=30⋅b5=510a_5 = 30 \cdot b_5 = 510 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen indirgemeli bağıntının her iki tarafı (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) ifadesine bölünerek sadeleştirilir.
an+1(n+1)(n+2)=ann(n+1)+2n−1\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \frac{a_n}{n(n+1)} + 2^{n-1}
Bağıntıyı teleskopik (ardışık sadeleşen) bir toplamsal forma dönüştürmek amacıyla paydaları düzenlemek için.
2
bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü tanımlanır ve başlangıç terimi b1b_1 hesaplanır.
bn+1=bn+2n−1b_{n+1} = b_n + 2^{n-1} ve b1=a11⋅2=42=2b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2 elde edilir.
Diziyi toplamsal indirgeme modeliyle ifade edip çözümü basitleştirmek için.
3
bn+1−bn=2n−1b_{n+1} - b_n = 2^{n-1} bağıntısında n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerleri yazılarak taraf tarafa toplanır.
b5−b1=20+21+22+23=1+2+4+8=15b_5 - b_1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 ve buradan b5=2+15=17b_5 = 2 + 15 = 17 bulunur.
Teleskopik toplam yöntemiyle b5b_5 değerini doğrudan bulmak için.
4
b5=a55⋅6b_5 = \frac{a_5}{5 \cdot 6} eşitliğinden faydalanılarak a5a_5 çekilir.
a5=30⋅b5=30⋅17=510a_5 = 30 \cdot b_5 = 30 \cdot 17 = 510 elde edilir.
Dönüşüm tanımını kullanarak orijinal dizinin terimini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpanla bölme yoluyla teleskopik toplamsal form elde etme.
Soru 1715Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) dizisi, her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an1+4nana_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 4n a_n}
indirgeme bağıntısını sağlamaktadır.

a1=15a_1 = \frac{1}{5} olduğuna göre, 1a11\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İfadenin değeri 15'tir.
Verilen rasyonel indirgeme bağıntısında bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} dönüşümü yapıldığında ardışık terimler arasındaki fark bn+1−bn=4nb_{n+1} - b_n = 4n olarak elde edilir. Bu farkların n=1n=1'den 1010'a kadar olan toplamı teleskopik sadeleştirme ile b11−b1=220b_{11} - b_1 = 220 sonucunu verir. b1=5b_1 = 5 değeri yerine yazıldığında b11=225b_{11} = 225 bulunur. Buradan 1a11=b11=225=15\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = \sqrt{b_{11}} = \sqrt{225} = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizideki indirgeme bağıntısını do��rusal hale getirmek için çarpmaya göre ters dönüşüm yapılması
bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} tanımıyla bn+1=bn+4nb_{n+1} = b_n + 4n elde edilir.
Paydada ana_n terimi bulunan rasyonel bağıntıları daha kolay çözebilmek için bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} dönüşümü yapılarak doğrusal bir fark denklemi elde edilir.
2
Ardışık terimlerin farklarının n=1n=1'den n=10n=10'a kadar taraf tarafa toplanması
b11−b1=220b_{11} - b_1 = 220 elde edilir.
Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemiyle ara terimlerin birbirini götürmesini sağlamak ve b11b_{11} ile b1b_1 arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.
3
İlk terim yardımıyla b11b_{11} değerinin hesaplanması
b11=225b_{11} = 225 elde edilir.
a1=15a_1 = \frac{1}{5} olarak verildiğinden b1=5b_1 = 5 olur ve bu değer toplama eklenerek b11b_{11} bulunur.
4
İstenen kareköklü ifadenin değerinin bulunması
1a11=15\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = 15 elde edilir.
b11=1a11b_{11} = \frac{1}{a_{11}} olduğu bilindiğinden, bulduğumuz değerin karekökü alınır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (çarpmaya göre tersini alma) ve ardışık terim farklarının teleskopik toplamı yöntemi.
Soru 1716Soru →
1'den farklı aa, bb ve cc pozitif gerçel sayılar�� için
3log⁡ab+2log⁡bc=83\log_a b + 2\log_b c = 8
log⁡ba+log⁡cb=32\log_b a + \log_c b = \frac{3}{2}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡ac\log_a c ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11827\frac{118}{27}

Cevap

11827\frac{118}{27}
Verilen denklem sisteminde logaritmaların taban değiştirme özellikleri kullanılarak değişken dönüştürme yapıldığında, log⁡ac\log_a c ifadesinin alabileceği değerler 22 ve 6427\frac{64}{27} olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 11827\frac{118}{27}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma ifadeleri için değişken dönüşümü tanımlama.
log⁡ab=x\log_a b = x ve log⁡bc=y\log_b c = y olsun. Bu durumda taban değiştirme kuralı gereğince log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} olur.
Denklem sistemini bilinmeyenleri xx ve yy olan cebirsel bir sisteme dönüştürmek için.
2
Verilen eşitlikleri yeni değişkenler cinsinden yazma.
3x+2y=83x + 2y = 8 ve 1x+1y=32\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} denklem sistemi elde edilir.
Çözüm adımlarına geçebilmek için cebirsel ifadeleri düzenlemek.
3
Elde edilen denklem sistemini çözme.
2y=8−3x  ⟹  y=4−32x2y = 8 - 3x \implies y = 4 - \frac{3}{2}x ifadesini ikinci denklemde yerine koyup düzenlediğimizde 9x2−26x+16=09x^2 - 26x + 16 = 0 denklemi elde edilir.
Tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde etmek için yerine koyma metodunu uygulamak.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulma ve yy değerlerini hesaplama.
(x−2)(9x−8)=0(x - 2)(9x - 8) = 0 denkleminin kökleri x1=2x_1 = 2 ve x2=89x_2 = \frac{8}{9}'dur. Buradan sırasıyla y1=1y_1 = 1 ve y2=83y_2 = \frac{8}{3} bulunur.
Her iki durum için log⁡ab\log_a b ve log⁡bc\log_b c değerlerini ayrı ayrı belirlemek.
5
log⁡ac\log_a c ifadesinin değerlerini hesaplama ve toplama.
Taban değiştirme zincir kuralına göre log⁡ac=log⁡ab⋅log⁡bc=x⋅y\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = x \cdot y olur. Birinci durumdan 2⋅1=22 \cdot 1 = 2, ikinci durumdan 89⋅83=6427\frac{8}{9} \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{27} bulunur. Bu değerlerin toplamı 2+6427=118272 + \frac{64}{27} = \frac{118}{27} yapar.
İstenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve zincir kuralı uygulamaları.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1717Soru →

İlk terimi 33 ve ortak çarpanı 22 olan bir geometrik dizinin ilk 55 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 93

Cevap

İlk 5 terimin toplamı 93'tür.
İlk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak çarpanı r=2r = 2 olan geometrik dizinin ilk 55 teriminin toplamı S5=a1⋅r5−1r−1S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5 - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında S5=3⋅25−12−1=3⋅31=93S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü yazalım.
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
Bu form��l, ilk terimi a1a_1 ve ortak çarpanı rr olan bir geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamını verir.
2
Soruda verilen ilk terim (a1=3a_1 = 3), ortak çarpan (r=2r = 2) ve terim sayısı (n=5n = 5) değerlerini formülde yerine yazalım.
S5=3⋅25−12−1S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1}
İlk 5 terimin toplamını bulmak için ilgili parametreleri formüle yerleştirmeliyiz.
3
Üslü ifadenin değerini hesaplayıp sadeleştirme işlemlerini yapalım.
S5=3⋅32−11=3⋅31=93S_5 = 3 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 3 \cdot 31 = 93
25=322^5 = 32 değerini yerine yazarak gerekli çarpma ve bölme işlemlerini tamamlarız.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Soru 1718Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olmak üzere,
c2=a2+b2−3abc^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab
sin⁡(A)⋅sin⁡(B)=38\sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{3}{8}
ve R=4R = 4 birimdir.

Buna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

ABC üçgeninin alanı 6 birimkaredir.
Verilen bağıntılardan Kosinüs Teoremi yardımıyla CC açısı 30∘30^\circ olarak bulunur. Sinüs Teoremi kullanılarak a⋅b=4R2sin⁡(A)sin⁡(B)a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B) eşitliği elde edilir ve buradan a⋅b=24a \cdot b = 24 hesaplanır. Üçgenin alanı ise 12absin⁡(C)\frac{1}{2}ab\sin(C) formülüyle 6 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs Teoremi yardımıyla C açısının ölçüsünü bulma.
C=30∘C = 30^\circ
c2=a2+b2−2abcos⁡(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) formülü ile verilen c2=a2+b2−3abc^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab bağıntısını karşılaştırarak cos⁡(C)=32\cos(C) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde ederiz.
2
Sinüs Teoremi yardımıyla a⋅ba \cdot b çarpımını bulma.
a⋅b=24a \cdot b = 24
a=2Rsin⁡(A)a = 2R\sin(A) ve b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) eşitliklerini taraf tarafa çarparak a⋅b=4R2sin⁡(A)sin⁡(B)a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B) bağıntısını kurar ve verilen RR ile çarpım değerlerini yerine yazarız.
3
Üçgenin alanını hesaplama.
Alan = 6
Sinüslü alan formülü olan Alan(ABC)=12absin⁡(C)\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2}ab\sin(C) bağıntısında elde edilen değerleri yerine koyarak alanı hesaplarız.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin birlikte kullanılarak üçgenin alanının hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1719Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x2−2x)≥log⁡12(x+4)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 66'dır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur.
Doğru çözüm adımları uygulandığında, logaritmanın tanım kümesi olan (−4,0)∪(2,∞)(-4, 0) \cup (2, \infty) ile yön değiştirilerek çözülen [−1,4][-1, 4] aralığının kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] olur. Bu kümedeki tam sayılar {−1,3,4}\{-1, 3, 4\} olup toplamları gerçekten 66'dır. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanıml�� olması için gerekli koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.
x2−2x>0  ⟹  x(x−2)>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x(x-2) > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2
x+4>0  ⟹  x>−4x + 4 > 0 \implies x > -4
Ortak tanım kümesi: D=(−4,0)∪(2,∞)D = (-4, 0) \cup (2, \infty) olur.
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif gerçel sayılar olması gerekir.
2
Logaritma tabanı incelenerek cebirsel eşitsizlik çözülür.
Taban 12\frac{1}{2} (0<12<10 < \frac{1}{2} < 1) olduğundan azalanlık özelliği gereği eşitsizlik yön değiştirir:
x2−2x≤x+4  ⟹  x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  −1≤x≤4x^2 - 2x \leq x + 4 \implies x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies -1 \leq x \leq 4
Basit eşitsizliklerde taban 1'den küçük pozitif bir sayı olduğunda logaritma içi ifadeler karşılaştırılırken yön değiştirilir.
3
Elde edilen çözüm kümesi ile tanım kümesi kesiştirilir.
[−1,4]∩((−4,0)∪(2,∞))=[−1,0)∪(2,4][-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda fonksiyonu tanımlı kılması şarttır.
4
Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
[−1,0)[-1, 0) aralığındaki tam sayı: −1-1
(2,4](2, 4] aralığındaki tam sayılar: 3,43, 4
Toplam: (−1)+3+4=6(-1) + 3 + 4 = 6
Sağlayan tam sayıların toplamı 66 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve logaritmanın en geniş tanım kümesi sınırlamalarının çözüme dahil edilmesi.
Soru 1720Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde her nn pozitif tam sayısı için
an+1−an=4a_{n+1} - a_n = 4
eşitliği sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4n−14n - 1

Cevap

Dizinin genel terimi olan 4n - 1 ifadesi
Dizinin tanımından ardışık terimlerin farkının ortak farkı verdiği bilinir; buradan ortak fark 4'tür. İlk terim 3 ve ortak fark 4 olduğunda, genel terim formülü uygulandığında sonuç 4n - 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin tanımından faydalanarak dizinin ortak farkını (rr) bulma.
an+1−an=ra_{n+1} - a_n = r olduğundan, dizinin ortak farkı r=4r = 4 olarak belirlenir.
Bir aritmetik dizide ardışık herhangi iki terim arasındaki fark sabit olup dizinin ortak farkına eşittir.
2
İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazma.
an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n - 1) \cdot r formülünde a1=3a_1 = 3 ve r=4r = 4 değerleri yerine yazıldığında an=3+(n−1)⋅4a_n = 3 + (n - 1) \cdot 4 elde edilir.
Aritmetik dizinin genel terimi, ilk terim ve ortak farka bağlı standart formül ile ifade edilir.
3
Elde edilen cebirsel ifadeyi sadeleştirerek genel terimi bulma.
an=3+4n−4⇒an=4n−1a_n = 3 + 4n - 4 \Rightarrow a_n = 4n - 1 elde edilir.
Parantez dağıtılarak benzer terimler toplandığında genel terimin n'e bağlı doğrusal yapısı ortaya çıkar.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki ilişkiden ortak farkın bulunması ve genel terim formülünün doğrusal fonksiyon yapısıyla ilişkilendirilmesi.
ÖncekiSayfa 86 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin