Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1841Soru →
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) olmak üzere,
sin⁡x1−sin⁡2x+cos⁡x1−cos⁡2x\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \cos^2 x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x

Cevap

tan x - cot x
Dördüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif, sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir. Karekök içindeki tam kare ifadeler dışarıya mutlak değer ile çıkarılır. Buna göre, cos⁡2x=∣cos⁡x∣=cos⁡x\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| = \cos x ve sin⁡2x=∣sin⁡x∣=−sin⁡x\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| = -\sin x olur. Bu değerler yerlerine yazıldığında ifade sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} haline gelir. Tanjant ve kotanjant tanımlarından faydalanılarak bu ifade tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x şeklinde sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içerisindeki ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düzenleme.
1−sin⁡2x=cos⁡2x1 - \sin^2 x = \cos^2 x ve 1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x özdeşlikleri kullanılarak ifade sin⁡xcos⁡2x+cos⁡xsin⁡2x\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x}} şeklinde yazılır.
Kök dışına çıkarma işlemini gerçekleştirmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.
2
Kareköklü ifadeleri mutlak değer kullanarak kök dışına çıkarma.
cos⁡2x=∣cos⁡x∣\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| ve sin⁡2x=∣sin⁡x∣\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| olduğundan ifade sin⁡x∣cos⁡x∣+cos⁡x∣sin⁡x∣\frac{\sin x}{|\cos x|} + \frac{\cos x}{|\sin x|} haline gelir.
Çift dereceli köklerin dışına çıkan ifadelerin işaretini doğru belirlemek için mutlak değer kullanılır.
3
Verilen aralığa göre mutlak değerlerin işaretini belirleyip sadeleştirme yapma.
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) aralığı 4. bölgede olduğundan bu bölgede cos⁡x>0\cos x > 0 ve sin⁡x<0\sin x < 0 olur. Dolayısıyla ∣cos⁡x∣=cos⁡x|\cos x| = \cos x ve ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olarak çıkar. İfade sin⁡xcos⁡x+cos⁡x−sin⁡x=tan⁡x−cot⁡x\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{-\sin x} = \tan x - \cot x şeklinde sadeleşir.
4. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret kuralları uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Belirleme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1842Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a1⋅a11=128a3+a9=36 \begin{aligned} a_1 \cdot a_{11} &= 128 \\ a_3 + a_9 &= 36 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Bu dizinin ortak çarpanı r>1r > 1 olduğuna göre, a5+a7a_5 + a_7 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24
Geometrik dizinin terim çarpımı özelliğinden a3⋅a9=a1⋅a11=128a_3 \cdot a_9 = a_1 \cdot a_{11} = 128 bulunur. Toplamları 36 ve çarpımları 128 olan pozitif terimler 4 ve 32'dir. Ortak çarpan r>1r > 1 olduğundan dizi artandır, bu yüzden a3=4a_3 = 4 ve a9=32a_9 = 32 olmalıdır. Buradan a9=a3⋅r6  ⟹  32=4⋅r6  ⟹  r6=8  ⟹  r2=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2 bulunur. İstenen terimler a5=a3⋅r2=8a_5 = a_3 \cdot r^2 = 8 ve a7=a3⋅r4=16a_7 = a_3 \cdot r^4 = 16 olup, bu terimlerin toplamı 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İndisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği özelliğini uygulamak.
a1⋅a11=a3⋅a9=128a_1 \cdot a_{11} = a_3 \cdot a_9 = 128
Bir geometrik dizide p+q=r+sp + q = r + s ise ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s eşitliği geçerlidir.
2
a3a_3 ve a9a_9 terimlerini bulmak için toplam ve çarpım değerlerini kullanarak ikinci dereceden denklem kurmak.
x2−36x+128=0  ⟹  (x−4)(x−32)=0  ⟹  {a3,a9}={4,32}x^2 - 36x + 128 = 0 \implies (x-4)(x-32) = 0 \implies \{a_3, a_9\} = \{4, 32\}
Çarpımları 128 ve toplamları 36 olan terimleri bulmak için kökleri bu sayılar olan denklem çözülür.
3
Ortak çarpanın r>1r > 1 olma ko��ulunu kullanarak dizinin artan olduğunu belirlemek ve r2r^2 değerini hesaplamak.
a3=4a_3 = 4, a9=32a_9 = 32 ve a9=a3⋅r6  ⟹  32=4⋅r6  ⟹  r6=8  ⟹  r2=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2
Dizi artan olduğundan a3<a9a_3 < a_9 olmalıdır ve terimler arasındaki oran ortak çarpanın kuvvetini verir.
4
İstenen a5+a7a_5 + a_7 toplamını a3a_3 ve r2r^2 cinsinden yazıp hesaplamak.
a5=a3⋅r2=4⋅2=8a_5 = a_3 \cdot r^2 = 4 \cdot 2 = 8 ve a7=a3⋅r4=4⋅4=16  ⟹  a5+a7=8+16=24a_7 = a_3 \cdot r^4 = 4 \cdot 4 = 16 \implies a_5 + a_7 = 8 + 16 = 24
Geometrik dizinin genel terim formülü kullanılarak istenen terimler bilinen terimler cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin indisleri toplamı eşit olduğunda çarpımlarının eşit olması ve terimler arası oranların ortak çarpanın kuvvetlerine bağlı olması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1843Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=∑k=1n1k(k+1)(k+2)a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
olan (an)(a_n) dizisi ile genel terimi
bn=x⋅n2+y⋅nz⋅n2+w⋅n+16b_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16}
olan (bn)(b_n) dizisi eşit iki dizidir.

Buna göre, x+y+z+wx + y + z + w toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Dizilerin eşitliğinden katsayılar oranlandığında doğru cevap 40 değeridir.
İki dizinin eşit olabilmesi için her pozitif tam sayı teriminde eşit olmaları gerekir. Genel terimi verilen birinci dizinin toplamı teleskopik toplam yardımıyla sadeleştirildiğinde payı n2+3nn^2 + 3n, paydası 4n2+12n+84n^2 + 12n + 8 olan bir kesir elde edilir. Bu diziyi genel terimi verilen ikinci diziye eşitlemek için paydadaki sabit terim olan 8 sayısı, ikinci dizinin paydasındaki sabit terim olan 16 ile eşitlenecek şekilde kesir 2 ile genişletilir. Genişletme sonucunda elde edilen katsayılar toplandığında doğru cevap olan 40 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimdeki rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılması.
1k(k+1)(k+2)=12(1k(k+1)−1(k+1)(k+2))\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) eşitliği elde edilir.
Teleskopik toplam yardımıyla dizinin genel terimini sadeleştirmek.
2
Toplam sembolünün teleskopik yöntemle açılması.
an=12[(11⋅2−12⋅3)+(12⋅3−13⋅4)+⋯+(1n(n+1)−1(n+1)(n+2))]a_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 3}\right) + \left(\frac{1}{2\cdot 3} - \frac{1}{3\cdot 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right] ifadesinden ara terimler sadeleşir.
Birbirini götüren terimleri belirleyip toplamı basitleştirmek.
3
Kalan terimlerin paydalarının eşitlenerek sadeleştirilmesi.
an=12(12−1(n+1)(n+2))=n2+3n4n2+12n+8a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} bulunur.
Dizinin genel terimini tek bir rasyonel ifade biçiminde yazmak.
4
ana_n ve bnb_n dizilerinin eşitliğinin kurulması.
n2+3n4n2+12n+8=x⋅n2+y⋅nz⋅n2+w⋅n+16\frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16} eşitliği kurulur. bnb_n dizisinin paydasındaki sabit terim 16 olduğundan, ana_n ifadesi 2 ile genişletilerek 2n2+6n8n2+24n+16\frac{2n^2 + 6n}{8n^2 + 24n + 16} elde edilir.
Dizilerin tüm pozitif tam sayılar için eşit olması gerektiğinden katsayıları eşitlemek.
5
Katsayıların karşılaştırılması ve istenen toplamın hesabı.
x=2x = 2, y=6y = 6, z=8z = 8, w=24w = 24 olarak bulunur. Toplamları ise 2+6+8+24=402 + 6 + 8 + 24 = 40 elde edilir.
Bilinmeyen katsayıların değerlerini belirleyip toplamlarını bulmak.

Anahtar Kavram

Eşit Diziler ve Teleskopik Toplamlar

Alternatif Yöntem

Alternatif bir yol olarak, dizilerin eşitliğinden faydalanarak ilk birkaç terim hesaplanabilir. a1=11⋅2⋅3=16a_1 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6} ve a2=16+12⋅3⋅4=16+124=524a_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24} bulunur. Buradan b1=x+yz+w+16=16b_1 = \frac{x+y}{z+w+16} = \frac{1}{6} ve b2=4x+2y4z+2w+16=524b_2 = \frac{4x+2y}{4z+2w+16} = \frac{5}{24} denklemleri elde edilir. Bu denklemler çözülerek katsayılar bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1844Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları

f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f∘g)′(2)(f \circ g)'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Bileşke fonksiyonun türev kuralı doğru bir şekilde uygulandığında elde edilen 27 sayısıdır.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı olan (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) ifadesinde verilen fonksiyonların değerleri yerine yazıldığında, (f∘g)′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)=f′(4)⋅g′(2)=9⋅3=27(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(4) \cdot g'(2) = 9 \cdot 3 = 27 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralını) belirlemek
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2 fonksiyonunun türevini almak ve x=2x = 2 noktasındaki değerini bulmak
g′(x)=3g'(x) = 3 ve dolayısıyla g′(2)=3g'(2) = 3 olur.
Zincir kuralında çarpım durumunda olan içteki fonksiyonun türev değerini bulmak gerekir.
3
g(2)g(2) değerini hesaplamak
g(2)=3(2)−2=4g(2) = 3(2) - 2 = 4 olur.
Dıştaki fonksiyonun türevinin hangi noktada değerlendirileceğini bulmak için içteki fonksiyonun değerine ihtiyaç vardır.
4
f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x fonksiyonunun türevini almak ve bulduğumuz g(2)=4g(2) = 4 noktasındaki değerini hesaplamak
f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 ve f′(4)=2(4)+1=9f'(4) = 2(4) + 1 = 9 olur.
Zincir kuralındaki f′(g(2))f'(g(2)) teriminin değerini belirlemek gerekir.
5
Elde edilen değerleri türev formülünde yerine koyarak bileşke fonksiyonun türevini hesaplamak
(f∘g)′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)=f′(4)⋅g′(2)=9⋅3=27(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(4) \cdot g'(2) = 9 \cdot 3 = 27 olur.
Formüldeki tüm bileşenler hesaplanmış olup son çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1845Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
cos⁡(4x)+sin⁡(3x)=cos⁡(2x)\cos(4x) + \sin(3x) = \cos(2x)
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 6'dır.
Denklemin çözümü için öncelikle kosinüs fark formülü uygulanarak ifade sin⁡(3x)(1−2sin⁡(x))=0\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan sin⁡(3x)=0\sin(3x) = 0 ve sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} denklemleri elde edilir. İlk denklemin [0,π][0, \pi] aralığında 4 farklı kökü, ikinci denklemin ise 2 farklı kökü vardır. Bu köklerin tamamı birbirinden farklı olduğundan denklemin toplam 6 farklı gerçel kökü bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin terimleri tek bir tarafa toplanır.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+sin⁡(3x)=0\cos(4x) - \cos(2x) + \sin(3x) = 0
Dönüşüm formüllerini uygulayabilmek için terimleri gruplandırmak gerekir.
2
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)\cos(4x) - \cos(2x) ifadesine dönüşüm formülü uygulanır.
−2sin⁡(3x)sin⁡(x)+sin⁡(3x)=0-2\sin(3x)\sin(x) + \sin(3x) = 0
cos⁡(A)−cos⁡(B)=−2sin⁡(A+B2)sin⁡(A−B2)\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) özdeşliği kullanılır.
3
Ortak çarpan olan sin⁡(3x)\sin(3x) parantezine alınır.
sin⁡(3x)(1−2sin⁡(x))=0\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0
Çarpanlarına ayırarak her bir çarpanın sıfır olabileceği durumlar incelenir.
4
sin⁡(3x)=0\sin(3x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulunur.
x∈{0,π3,2π3,π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\right\}
3x∈[0,3π]3x \in [0, 3\pi] olduğundan 3x=0,π,2π,3π3x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi değerlerini alabilir.
5
1−2sin⁡(x)=01 - 2\sin(x) = 0 yani sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulunur.
x∈{π6,5π6}x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}
[0,π][0, \pi] aralığında sinüsü 12\frac{1}{2} olan açılar π6\frac{\pi}{6} ve 5π6\frac{5\pi}{6}'dır.
6
Tüm farklı kökler birleştirilerek toplam kök sayısı hesaplanır.
x∈{0,π6,π3,2π3,5π6,π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\right\} olmak üzere 6 farklı kök vardır.
Bulunan tüm kökler birbirinden farklıdır ve verilen aralığın içindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri dönüşüm formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Soru 1846Soru →
f(x)={3x−k,x<22x+1,x≥2f(x) = \begin{cases} 3x - k, & x < 2 \\ 2x + 1, & x \geq 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için kk gerçek sayısı kaç olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

k gerçek sayısı 1 olmalıdır.
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. Sol limit lim⁡x→2−f(x)=3(2)−k=6−k\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - k = 6 - k ve sağ limit lim⁡x→2+f(x)=2(2)+1=5\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 1 = 5 olarak hesaplanır. Bu iki limit değeri birbirine eşitlendiğinde 6−k=56 - k = 5 denklemi elde edilir ve buradan k=1k = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki sol limitini hesaplayınız.
lim⁡x→2−f(x)=3(2)−k=6−k\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - k = 6 - k
x<2x < 2 bölgesi için tanımlı olan 3x−k3x - k kuralı kullanılır.
2
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki sağ limitini hesaplayınız.
lim⁡x→2+f(x)=2(2)+1=5\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 1 = 5
x≥2x \geq 2 bölgesi için tanımlı olan 2x+12x + 1 kuralı kullanılır.
3
Limitin var olması için elde edilen sağ ve sol limit değerlerini birbirine eşitleyerek bilinmeyeni bulunuz.
6−k=5  ⟹  k=16 - k = 5 \implies k = 1
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerin eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik (sınır) noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 1847Soru →
f(x)=(x−3)3+2f(x) = (x - 3)^3 + 2

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: R\mathbb{R}

Cevap

Tüm gerçek sayılar kümesi (R\mathbb{R})
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3(x−3)2f'(x) = 3(x - 3)^2 ifadesi, tüm gerçek sayılar için sıfırdan büyük veya eşittir (f′(x)≥0f'(x) \geq 0). Türevin sıfır olduğu tek nokta x=3x = 3 olup bu nokta izole bir noktadır. Dolayısıyla, fonksiyon tüm gerçek sayılar kümesinde artandır. Bu nedenle doğru cevap tüm gerçek sayılar kümesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3(x−3)2f'(x) = 3(x - 3)^2 elde edilir.
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu noktalar (kökler) bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.
3(x−3)2=0⇒x=33(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 çift katlı köktür. x=3x = 3 dışındaki tüm gerçek sayılar için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
(x−3)2(x - 3)^2 ifadesi bir tam kare olduğundan x≠3x \neq 3 için daima pozitiftir. Çift katlı köklerde işaret değişmez.
3
Türevin işaretine göre fonksiyonun artan olduğu en geniş aralık belirlenir.
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 koşulu tüm x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanır ve f′(x)=0f'(x) = 0 yapan x=3x = 3 noktası izole bir noktadır. Dolayısıyla fonksiyon tüm gerçek sayılarda artandır.
Türevin sıfır olduğu izole noktalar sürekli fonksiyonlarda artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işareti incelenir. Sürekli bir fonksiyon için türevi sıfır yapan izole noktalar artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.
Soru 1848Soru →

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

f(x)=g(x2−x)f(x) = g(x^2 - x)

eşitliği verilmiştir.

g′(2)=5g'(2) = 5 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Türevlenebilir iki fonksiyon arasındaki ilişki zincir kuralı ile türetilip verilen değer yerine yazıldığında aranan türev değeri 15 olarak bulunur.
Verilen f(x)=g(x2−x)f(x) = g(x^2 - x) eşitliğinde her iki tarafın türevi alındığında, zincir kuralı gereği f′(x)=g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) elde edilir. Bu eşitlikte x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=g′(2)⋅(2⋅2−1)=g′(2)⋅3f'(2) = g'(2) \cdot (2 \cdot 2 - 1) = g'(2) \cdot 3 olur. g′(2)=5g'(2) = 5 değeri yerine yazıldığında doğru yanıt 5⋅3=155 \cdot 3 = 15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının türevi alınır.
f′(x)=g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Türev eşitliğinde x=2x = 2 değeri yerine yazılır.
f′(2)=g′(2)⋅3f'(2) = g'(2) \cdot 3
x=2x = 2 değeri için x2−xx^2 - x ifadesi 2 değerini alır ve iç kısmın türevi olan 2x−12x - 1 ifadesi 3 olur.
3
Verilen g′(2)=5g'(2) = 5 değeri yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
f′(2)=15f'(2) = 15
f′(2)=5⋅3f'(2) = 5 \cdot 3 çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralının uygulanması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1849Soru →
f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,a](-\infty, a] olduğuna göre, aa sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen aa değeri 2'dir.
Verilen fonksiyonun türevi f′(x)=6x−12f'(x) = 6x - 12 olarak bulunur. Fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevi sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Buradan 6x−12≤0  ⟹  x≤26x - 12 \leq 0 \implies x \leq 2 elde edilir. Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,2](-\infty, 2] olduğundan, sınır değeri olan aa sayısı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=6x−12f'(x) = 6x - 12
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevi sıfır veya sıfırdan küçük yapan değerler için eşitsizlik kurulur.
6x−12≤06x - 12 \leq 0
Sürekli bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
3
Kurulan birinci dereceden eşitsizlik çözülür.
x≤2x \leq 2 yani (−∞,2](-\infty, 2]
Eşitsizliğin çözüm kümesi fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı verir. Bu aralık (−∞,a](-\infty, a] olarak tanımlandığı için a=2a = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.
Soru 1850Soru →
f(x)={∣x2−4∣x−2+a,x<23x+b,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + a, & x < 2 \\ 3x + b, & x \geq 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limiti olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken x<2x < 2 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olur ve sadeleştirme sonucunda sol limit −4+a-4 + a olarak bulunur. Sağ limit ise doğrudan 6+b6 + b olarak elde edilir. Bu iki limit değerinin eşitlenmesiyle −4+a=6+b  ⟹  a−b=10-4 + a = 6 + b \implies a - b = 10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limitin hesaplanması için x→2−x \to 2^- durumunda mutlak değerin içinin işaretini inceleyin.
x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan x2<4x^2 < 4 ve dolayısıyla x2−4<0x^2 - 4 < 0 olur. Bu nedenle mutlak değerli ifade ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olarak dışarı çıkar.
Kritik noktada mutlak değerli bir ifadenin limitini hesaplamak için yaklaşılan yöne göre ifadenin işareti belirlenmelidir.
2
Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için ifadeyi sadeleştirin ve sol limiti hesaplayın.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x−2)(x+2)x−2+a)=lim⁡x→2−(−(x+2)+a)=−(2+2)+a=−4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} + a \right) = \lim_{x \to 2^-} (-(x + 2) + a) = -(2 + 2) + a = -4 + a bulunur.
Pay ve paydadaki ortak (x−2)(x - 2) çarpanları sadeleştirilerek belirsizlik ortadan kaldırılır.
3
Sağ limiti hesaplayın.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(3x+b)=3(2)+b=6+b\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x + b) = 3(2) + b = 6 + b bulunur.
x→2+x \to 2^+ yaklaşımı x≥2x \ge 2 aralığına denk geldiğinden bu aralıktaki fonksiyon kuralı kullanılır.
4
Limitin var olma koşulunu uygulayarak parametreler arasındaki ilişkiyi kurun.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)  ⟹  −4+a=6+b  ⟹  a−b=10\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies -4 + a = 6 + b \implies a - b = 10 elde edilir.
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitlerinde kritik noktalar incelenirken sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı kontrol edilir. Mutlak değer içeren ifadelerde, limit değerine yaklaşılan yöne göre mutlak değerin içi pozitif veya negatif olarak belirlenir ve gerekirse sadeleştirme yapılarak belirsizlikler giderilir.
Soru 1851Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={x2+ax−12∣x−3∣,x<32x+b,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax - 12}{|x - 3|}, & x < 3 \\ 2x + b, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti vardır.
Buna göre, a−ba - b farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Farkın değeri 14'tür.
Fonksiyonun x=3x=3 noktasında limitinin olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken 0/00/0 belirsizliğinin olması gerektiğinden a=1a=1 bulunur. x<3x < 3 için ∣x−3∣=−(x−3)|x-3| = -(x-3) olarak çıkarılır ve limit −7-7 bulunur. Sağ limit 6+b6+b olduğundan, −7=6+b  ⟹  b=−13-7 = 6+b \implies b = -13 bulunur. Buradan a−b=1−(−13)=14a-b = 1 - (-13) = 14 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limitin varlık koşulunun belirlenmesi
x=3x = 3 noktasındaki limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin birbirine eşit ve birer gerçel sayı olması gerekir.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik noktalarda limitin bulunması için sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır.
2
Sol limitin hesaplanması ve belirsizliğin giderilmesi
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−x2+ax−12∣x−3∣\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 + ax - 12}{|x - 3|} ifadesinde payda sıfır olduğundan limitin gerçel sayı çıkması için pay da sıfır olmalıdır. Buradan 32+3a−12=0  ⟹  3a=3  ⟹  a=13^2 + 3a - 12 = 0 \implies 3a = 3 \implies a = 1 bulunur. Pay x2+x−12=(x−3)(x+4)x^2 + x - 12 = (x-3)(x+4) olarak çarpanlarına ayrılır. x<3x < 3 için ∣x−3∣=−(x−3)|x-3| = -(x-3) olduğundan sol limit lim⁡x→3−(x−3)(x+4)−(x−3)=lim⁡x→3−−(x+4)=−7\lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+4)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3^-} -(x+4) = -7 olur.
Sıfır bölü sıfır belirsizliğinin giderilmesi ve mutlak değerin tanım aralığına göre dışarı çıkarılması gerekmektedir.
3
Sağ limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi
Sağ limit lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(2x+b)=6+b\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x + b) = 6 + b olur. Limitlerin eşitliğinden −7=6+b  ⟹  b=−13-7 = 6 + b \implies b = -13 elde edilir.
Kritik noktadaki limit değerini belirlemek için sağ limit sol limite eşitlenir.
4
İstenen farkın hesaplanması
a−b=1−(−13)=14a - b = 1 - (-13) = 14 bulunur.
Soruda istenen a−ba-b farkı bu şekilde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik durumlarının çözülmesi.
Soru 1852Soru →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonu

f(x)={2x+a,x<31,x=3x2−bx+2,x>3f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 3 \\ 1, & x = 3 \\ x^2 - bx + 2, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→2−f(5−x)=5\lim_{x \to 2^-} f(5 - x) = 5
lim⁡x→4−f(x−1)=8\lim_{x \to 4^-} f(x - 1) = 8

eşitlikleri sağlandığına göre, a+ba + b toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limit yönleri doğru analiz edildiğinde a=2a = 2 ve b=2b = 2 bulunur, bu değerlerin toplamı ise 4'tür.
Limit yönleri doğru analiz edildiğinde; birinci limitte 5−x5 - x ifadesinin 3'e sağdan yaklaştığı görülür ve fonksiyonun x>3x > 3 kuralı kullanılarak b=2b = 2 değeri elde edilir. İkinci limitte x−1x - 1 ifadesinin 3'e soldan yaklaştığı görülür ve fonksiyonun x<3x < 3 kuralı kullanılarak a=2a = 2 değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı 2+2=42 + 2 = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci limit ifadesini analiz etme
x→2−x \to 2^- iken 5−x→3+5 - x \to 3^+ olur.
xx değişkeni 2'ye soldan yaklaşırken x<2x < 2 olur. Buradan −x>−2-x > -2 ve 5−x>35 - x > 3 elde edilir. Dolayısıyla 5−x5 - x ifadesi 3'e sağdan yaklaşır.
2
Birinci limit değerini kullanarak b parametresini bulma
b=2b = 2
lim⁡x→2−f(5−x)=lim⁡t→3+f(t)\lim_{x \to 2^-} f(5 - x) = \lim_{t \to 3^+} f(t) olur. t>3t > 3 için tanımlı olan t2−bt+2t^2 - bt + 2 kuralı kullanılır. lim⁡t→3+(t2−bt+2)=32−3b+2=11−3b\lim_{t \to 3^+} (t^2 - bt + 2) = 3^2 - 3b + 2 = 11 - 3b olur. Bu değer 5'e eşit olduğundan 11−3b=5  ⟹  3b=6  ⟹  b=211 - 3b = 5 \implies 3b = 6 \implies b = 2 bulunur.
3
İkinci limit ifadesini analiz etme
x→4−x \to 4^- iken x−1→3−x - 1 \to 3^- olur.
xx değişkeni 4'e soldan yaklaşırken x<4x < 4 olur. Buradan x−1<3x - 1 < 3 elde edilir. Dolayısıyla x−1x - 1 ifadesi 3'e soldan yaklaşır.
4
İkinci limit değerini kullanarak a parametresini bulma
a=2a = 2
lim⁡x→4−f(x−1)=lim⁡t→3−f(t)\lim_{x \to 4^-} f(x - 1) = \lim_{t \to 3^-} f(t) olur. t<3t < 3 için tanımlı olan 2t+a2t + a kuralı kullanılır. lim⁡t→3−(2t+a)=2(3)+a=6+a\lim_{t \to 3^-} (2t + a) = 2(3) + a = 6 + a olur. Bu değer 8'e eşit olduğundan 6+a=8  ⟹  a=26 + a = 8 \implies a = 2 bulunur.
5
İstenen toplam değerini hesaplama
a+b=4a + b = 4
Bulunan a=2a = 2 ve b=2b = 2 değerleri toplanır: 2+2=42 + 2 = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke ve ötelenmiş fonksiyonlarda sağdan ve soldan limit hesaplanırken yaklaşım yönünün belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1853Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin gerçek sayılardaki köklerinin kümesi {−1,3,8}\{-1, 3, 8\}'dir.
* f′f' fonksiyonunun grafiği, x=3x = 3 noktasında xx eksenine teğet olup bu noktanın civarında xx ekseninin üst tarafındadır.
* x>8x > 8 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x<−1x < -1 için f′(x)<0f'(x) < 0'dır.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4]

Cevap

(−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4] aralığıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) şeklinde elde edilir. Bu ifadenin kökleri ve katlılık durumları incelendiğinde; x=−2x = -2 ve x=4x = 4 tek katlı, x=−1x = -1 ve x=3x = 3 çift katlı, x=1x = 1 ise tek katlı (3. dereceden) kök olarak bulunur. İşaret tablosu en sağdan negatif işaretle başlanarak doldurulduğunda, türevin pozitif veya sıfır olduğu bölgelerin (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4] aralıkları olduğu görülür. Dolayısıyla en geniş artanlık aralığı bu iki aralığın birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini alma
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x)
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar�� bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu kritik noktaları (kökleri) bulma
g′(x)=0  ⟹  2(x−1)=0g'(x) = 0 \implies 2(x-1) = 0 veya f′(x2−2x)=0f'(x^2 - 2x) = 0

1) 2(x−1)=0  ⟹  x=12(x-1) = 0 \implies x = 1 (1. dereceden/tek katlı kök)

2) f′(t)=0f'(t) = 0 denkleminin kökleri t=−1t = -1 (tek katlı), t=3t = 3 (çift katlı) ve t=8t = 8 (tek katlı) olarak verilmiştir. Buradan t=x2−2xt = x^2 - 2x yazarak kökleri bulalım:

* x2−2x=−1  ⟹  (x−1)2=0  ⟹  x=1x^2 - 2x = -1 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 (çift katlı denklem kökü)
* x2−2x=3  ⟹  x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0  ⟹  x=3x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x = 3 ve x=−1x = -1
* x2−2x=8  ⟹  x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x = 8 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4 ve x=−2x = -2
İşaret tablosu oluşturmak için türevin tüm köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirlemeliyiz.
3
K��klerin toplam katlılık derecelerini belirleme
* x=−2x = -2 ve x=4x = 4 noktaları tek katlı köklerdir (toplam katları 1).
* x=−1x = -1 ve x=3x = 3 noktaları çift katlı köklerdir. Çünkü t=3t = 3, f′(t)f'(t) fonksiyonunun çift katlı kökü olduğundan, buradan gelen x=3x = 3 ve x=−1x = -1 kökleri g′(x)g'(x) için de çift katlı olur.
* x=1x = 1 noktası için: 2(x−1)2(x-1) çarpanından tek katlı kök (üs 1) gelirken, f′(x2−2x)f'(x^2 - 2x) kısmından (x−1)2(x-1)^2 çarpanından dolayı çift katlı kök (üs 2) gelmektedir. Toplamda x=1x = 1 kökünün derecesi 1+2=31 + 2 = 3 (tek katlı) olur.
Hangi noktalarda türevin işaret değiştireceğini belirlemek için köklerin tek veya çift katlı olduğunu netleştirmeliyiz.
4
Türevin işaret tablosunu oluşturma
Kökler küçükten büyüğe: −2,−1,1,3,4-2, -1, 1, 3, 4

En sağdaki bölgeyi (x>4x > 4 için) inceleyelim:
x>4  ⟹  x−1>0x > 4 \implies x-1 > 0 ve t=x2−2x>8t = x^2 - 2x > 8 olur. Soruda t>8t > 8 için f′(t)<0f'(t) < 0 verildiğinden f′(x2−2x)<0f'(x^2-2x) < 0 olur. Dolayısıyla g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)<0g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) < 0 (negatif) olur.

İşaret tablosu sağdan sola:
* (4,∞)(4, \infty) aralığında: −-
* x=4x = 4 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir: ++
* (3,4)(3, 4) aralığında: ++
* x=3x = 3 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez: ++
* (1,3)(1, 3) aralığında: ++
* x=1x = 1 tek katlı (3. derece) kökünden geçerken işaret değişir: −-
* (−1,1)(-1, 1) aralığında: −-
* x=−1x = -1 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez: −-
* (−2,−1)(-2, -1) aralığında: −-
* x=−2x = -2 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir: ++
Türevin işaret tablosunu oluşturarak fonksiyonun artan (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) ve azalan (g′(x)≤0g'(x) \leq 0) olduğu aralıkları tam olarak belirleriz.
5
Artan aralıkların birleşimini yazma
Türevin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar: (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4] (Burada x=3x = 3 noktasında türev sıfırdır ancak işaret değiştirmediği için aralık bölünmez ve [1,4][1, 4] olarak birleştirilir).

En geniş artanlık aralığı: (−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4]
Sürekli bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artandır. Uç noktalar kapalı aralık olarak dahil edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması, işaret tablosunda tek ve çift katlı köklerin analizi.
Soru 1854Soru →

Tanım kümesi A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} ve değer kümesi B={1,2,3,4,5,6,7}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olan f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre,
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3)
ve
f(3)>f(4)>f(5)f(3) > f(4) > f(5)
koşullarını aynı anda sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 371

Cevap

Koşulları sağlayan toplam 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Koşulları sağlayan fonksiyon sayısını bulmak için tepe noktası olan f(3)f(3) değeri kk olarak belirlenir. f(3)f(3) değerinin solundaki iki eleman (f(1),f(2)f(1), f(2)) ve sağındaki iki eleman (f(4),f(5)f(4), f(5)) için kk'den küçük olan elemanlar arasından bağımsız olarak ikişer eleman seçilir. Her bir k∈{3,4,5,6,7}k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} değeri için hesaplanan durumların kareleri toplanarak 371 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(3)f(3) değerinin alabileceği değer aralığını belirleme.
f(3)=kf(3) = k olmak üzere k∈{3,4,5,6,7}k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} olmalıdır.
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3) ve f(3)>f(4)>f(5)f(3) > f(4) > f(5) koşullarının sağlanabilmesi için f(3)f(3) elemanından küçük en az ikişer farklı değer seçilebilmelidir. Değer kümesi B={1,2,3,4,5,6,7}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olduğundan, f(3)f(3) en az 3, en fazla 7 olabilir.
2
Sabit bir f(3)=kf(3) = k değeri için f(1),f(2)f(1), f(2) ve f(4),f(5)f(4), f(5) değerlerinin seçim sayısını formüle etme.
Her bir f(3)=kf(3) = k durumu için toplam seçim sayısı (k−12)×(k−12)=((k−12))2\binom{k-1}{2} \times \binom{k-1}{2} = \left(\binom{k-1}{2}\right)^2 şeklindedir.
f(1)<f(2)<kf(1) < f(2) < k koşulu için {1,2,…,k−1}\{1, 2, \dots, k-1\} kümesinden 2 farklı eleman kombinasyonla seçilir. Benzer şekilde, k>f(4)>f(5)k > f(4) > f(5) koşulu için de {1,2,…,k−1}\{1, 2, \dots, k-1\} kümesinden 2 farklı eleman seçilir. Bu iki seçim birbirinden bağımsız olduğu için çarpım kuralı uygulanır.
3
Her bir kk değeri için olası durumları hesaplayıp toplama.
1+9+36+100+225=3711 + 9 + 36 + 100 + 225 = 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
k=3k=3 için (22)2=1\binom{2}{2}^2 = 1, k=4k=4 için (32)2=9\binom{3}{2}^2 = 9, k=5k=5 için (42)2=36\binom{4}{2}^2 = 36, k=6k=6 için (52)2=100\binom{5}{2}^2 = 100, k=7k=7 için (62)2=225\binom{6}{2}^2 = 225 değerleri bulunur ve bu durumlar ayrık olduğundan toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Sayma İlkeleri
Soru 1855Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f′f' fonksiyonu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her x∈(−∞,−3)∪(8,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (8, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0'dır.
* Her x∈(−3,8)∖{0}x \in (-3, 8) \setminus \{0\} için f′(x)<0f'(x) < 0'dır.
* f′(−3)=f′(0)=f′(8)=0f'(-3) = f'(0) = f'(8) = 0'dır.

g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) olmak üzere,

I. gg fonksiyonu [1,4][1, 4] aralığında azalandır.
II. g(0)>g(−1)g(0) > g(-1)'dir.
III. g(2)>g(1)g(2) > g(1)'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Doğru yanıt olan ifadeler I ve II'dir. Türev tablosu yapıldığında g′(x)g'(x)'in [−2,1][-2, 1] aralığında pozitif veya sıfır olduğu ve sadece izole noktalarda sıfırlandığı görülür. Bu yüzden g(x)g(x) bu aralıkta kesin artandır, dolayısıyla g(0)>g(−1)g(0) > g(-1) eşitsizliği sağlanır. Benzer şekilde, g′(x)g'(x)'in [1,4][1, 4] aralığında negatif veya sıfır olması fonksiyonun bu aralıkta azalan olduğunu gösterir. Bu durumda birinci öncül doğru olurken, azalanlık tanımı gereği g(2)<g(1)g(2) < g(1) olması gerektiğinden üçüncü öncül yanlış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) yardımıyla g(x)g(x) fonksiyonunun türevi bulunur.
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2-2x)
g(x)=f(h(x))g(x) = f(h(x)) ise g′(x)=h′(x)⋅f′(h(x))g'(x) = h'(x) \cdot f'(h(x)) kuralını uygulamak gerekir.
2
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin kökleri belirlenir.
2x−2=0  ⟹  x=12x-2 = 0 \implies x=1 (tek katlı kök) ve f′(x2−2x)=0  ⟹  x2−2x∈{−3,0,8}f'(x^2-2x) = 0 \implies x^2-2x \in \{-3, 0, 8\}. Bunlardan;
* x2−2x=−3  ⟹  x2−2x+3=0x^2-2x = -3 \implies x^2-2x+3=0 denkleminin diskriminantı Δ<0\Delta < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur. Her xx için x2−2x>−3x^2-2x > -3 sağlanır.
* x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0  ⟹  x=0x^2-2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x=0 ve x=2x=2 kökleri bulunur. Grafikte f′(u)f'(u) fonksiyonu u=0u=0'da işaret değiştirmediği (x-eksenine teğet olduğu) için bu kökler g′(x)g'(x) için işaret değiştirmeyen (çift katlı) köklerdir.
* x2−2x=8  ⟹  x2−2x−8=0  ⟹  x=−2x^2-2x = 8 \implies x^2-2x-8=0 \implies x=-2 ve x=4x=4 tek katlı kökleri bulunur.
İşaret tablosu yapmak için türevi sıfır yapan tüm kritik noktaların ve köklerin türünün (tek/çift katlı) bilinmesi gerekir.
3
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturulur.
* x<−2x < -2 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* −2<x<0-2 < x < 0 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
* 0<x<10 < x < 1 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
* 1<x<21 < x < 2 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* 2<x<42 < x < 4 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* x>4x > 4 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin her bir çarpanının işaretleri çarpılarak toplam türevin işareti bulunur.
4
Monotonluk aralıkları birleştirilerek öncüller incelenir.
gg fonksiyonu sürekli olduğundan, artan olduğu aralıklar birleştirilerek [−2,1][-2, 1] aralığında artan, azalan olduğu aralıklar birleştirilerek [1,4][1, 4] aralığında azalan olduğu görülür. Buradan;
* I. öncül: [1,4][1, 4] aralığında azalandır ifadesi doğrudur.
* II. öncül: [−2,1][-2, 1] aralığında artan olduğundan ve −1<0-1 < 0 olduğundan g(−1)<g(0)g(-1) < g(0), yani g(0)>g(−1)g(0) > g(-1) ifadesi doğrudur.
* III. öncül: [1,4][1, 4] aralığında azalan olduğundan ve 1<21 < 2 olduğundan g(1)>g(2)g(1) > g(2), yani g(2)>g(1)g(2) > g(1) ifadesi yanlıştır.
Öncüllerdeki eşitsizliklerin doğruluğu tanımlı oldukları monotonluk aralıklarındaki davranışlara göre test edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve türev yardımıyla artan/azalan aralıkların bulunması
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1856Soru →

Tanımlı olduğu aralıklarda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

f(g(x))=3x2−5x+2f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2
g(x)=x+1x−2g(x) = \frac{x+1}{x-2}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -75

Cevap

-75
Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre, [f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) olur. Eşitliğin sağ tarafının türevi ise 6x−56x - 5 olarak bulunur. g(x)=2g(x) = 2 koşulunu sağlayan değer x=5x = 5 olduğundan, türev denkleminde x=5x = 5 yazıldığında f′(2)⋅g′(5)=25f'(2) \cdot g'(5) = 25 elde edilir. Bölümün türevi kuralıyla g′(5)=−13g'(5) = -\frac{1}{3} olarak hesaplanır. Buradan f′(2)⋅(−13)=25  ⟹  f′(2)=−75f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2g(x) = 2 eşitliğini sağlayan xx değerini bulmak.
x=5x = 5
f′(2)f'(2) değerini elde etmek için bileşke fonksiyonun içindeki g(x)g(x) ifadesinin 22 olması gerekir. x+1x−2=2  ⟹  x+1=2x−4  ⟹  x=5\frac{x+1}{x-2} = 2 \implies x+1 = 2x-4 \implies x = 5 bulunur.
2
f(g(x))=3x2−5x+2f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2 eşitliğinde her iki tarafın xx değişkenine göre türevini almak.
f′(g(x))⋅g′(x)=6x−5f'(g(x)) \cdot g'(x) = 6x - 5
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafın türevi alınır.
3
g(x)=x+1x−2g(x) = \frac{x+1}{x-2} fonksiyonunun türevini alıp x=5x = 5 değerini yerine yazmak.
g′(5)=−13g'(5) = -\frac{1}{3}
Bölümün türevi kuralı uygulanır: g′(x)=1⋅(x−2)−(x+1)⋅1(x−2)2=−3(x−2)2g'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}. Buradan g′(5)=−3(5−2)2=−13g'(5) = \frac{-3}{(5-2)^2} = -\frac{1}{3} elde edilir.
4
Türev denkleminde x=5x = 5 yazarak f′(2)f'(2) değerini çekmek.
f′(2)=−75f'(2) = -75
f′(g(5))⋅g′(5)=6(5)−5  ⟹  f′(2)⋅(−13)=25  ⟹  f′(2)=−75f'(g(5)) \cdot g'(5) = 6(5) - 5 \implies f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması unutulmamalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1857Soru →
arctan⁡(2)+arctan⁡(3)\arctan(2) + \arctan(3)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π4\frac{3\pi}{4}

Cevap

Üç pi bölü dört ifadesi doğru cevaptır.
Ters tanjant fonksiyonlarının tanımından dolayı elde edilen dar açılar sırasıyla pi bölü dörtten büyüktür. Bu iki açının toplamı ikinci bölgede bulunmalıdır. Tanjant toplam formülü kullanılarak toplamın tanjant değeri eksi bir olarak hesaplanır. İkinci bölgede tanjantı eksi bir olan tek açı üç pi bölü dört olduğundan doğru yanıt bu değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik ifadeleri değişkenlere atayarak tanjant değerlerini bulalım.
x=arctan⁡(2)⇒tan⁡x=2x = \arctan(2) \Rightarrow \tan x = 2
y=arctan⁡(3)⇒tan⁡y=3y = \arctan(3) \Rightarrow \tan y = 3 elde edilir. Bizden istenen değer x+yx + y toplamıdır.
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlem yapabilmek için bilinen trigonometrik oranlara dönüştürmek gerekir.
2
Açıların hangi bölgede yer aldığını belirleyerek toplam açının sınırlarını bulalım.
2>1⇒arctan⁡(2)>π42 > 1 \Rightarrow \arctan(2) > \frac{\pi}{4}
3>1⇒arctan⁡(3)>π43 > 1 \Rightarrow \arctan(3) > \frac{\pi}{4} olduğundan, x+y>π2x + y > \frac{\pi}{2} olur. Ayrıca x<π2x < \frac{\pi}{2} ve y<π2y < \frac{\pi}{2} olduğundan, x+y<πx + y < \pi elde edilir. Yani x+y∈(π2,π)x + y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığındadır (2. bölge).
Ters fonksiyonların görüntü kümeleri sınırlı olduğundan, toplam açının hangi bölgeye düştüğünü bilmek doğru açıyı seçmek için kritiktir.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak toplamın tanjant değerini hesaplayalım.
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}
tan⁡(x+y)=2+31−2⋅3=5−5=−1\tan(x + y) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1 bulunur.
Toplam açının tanjant değerini elde etmek için toplam formülünden yararlanırız.
4
Bulunan tanjant değerine ve bölgeye uygun olan açıyı tespit edelim.
Tanjantı −1-1 olan ve ikinci bölgede (π2,π)\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) yer alan açı x+y=3π4x + y = \frac{3\pi}{4} radyandır.
Tanjant değeri ve açı bölgesi birleştirilerek tekil çözüme ulaşılır.

Anahtar Kavram

Toplam ve Fark Formülleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1858Soru →
f(x)={∣x2−4∣x−2+a⋅sin⁡(πx4),x<2x2−bx+3,2≤x≤42x−8∣x−4∣+c,x>4f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + a \cdot \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) & , \quad x < 2 \\ x^2 - bx + 3 & , \quad 2 \le x \le 4 \\ \frac{2x - 8}{|x - 4|} + c & , \quad x > 4 \end{cases}

f(x)f(x) fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için limiti olduğuna göre,

lim⁡x→3(2a−c)x2−9(2a−c)x−3\lim_{x \to 3} \frac{(2a-c)x^2 - 9(2a-c)}{x-3}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Limit değeri 30'dur.
Doğru seçenekte verilen 3030 değeri, f(x)f(x) fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda limitinin olması koşulundan elde edilen a+2b=11a+2b=11 ve 4b+c=174b+c=17 denklemlerinin ortak çözümünden 2a−c=52a-c=5 bulunması ve bu değerin sorulan limit ifadesinde yerine yazılarak belirsizliğin giderilmesi ile elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x=2 kritik noktasındaki limit varlığı incelenir.
a+2b=11a + 2b = 11
x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2-4| = -(x^2-4) olur. Buradan sol limit: lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x+2)+asin⁡(πx4))=−4+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( -(x+2) + a\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \right) = -4 + a olur. Sağ limit: lim⁡x→2+f(x)=22−2b+3=7−2b\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 - 2b + 3 = 7 - 2b olur. Limit varlığı için −4+a=7−2b  ⟹  a+2b=11-4 + a = 7 - 2b \implies a + 2b = 11 elde edilir.
2
x=4x=4 kritik noktasındaki limit varlığı incelenir.
4b+c=174b + c = 17
Sol limit: lim⁡x→4−f(x)=42−4b+3=19−4b\lim_{x \to 4^-} f(x) = 4^2 - 4b + 3 = 19 - 4b olur. x→4+x \to 4^+ için x>4x > 4 olduğundan ∣x−4∣=x−4|x-4| = x-4 olur. Buradan sağ limit: lim⁡x→4+f(x)=lim⁡x→4+(2(x−4)x−4+c)=2+c\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \left( \frac{2(x-4)}{x-4} + c \right) = 2 + c olur. Limit varlığı için 19−4b=2+c  ⟹  4b+c=1719 - 4b = 2 + c \implies 4b + c = 17 elde edilir.
3
Elde edilen denklemlerden 2a−c2a - c ifadesinin değeri hesaplanır.
2a−c=52a - c = 5
a+2b=11a + 2b = 11 denklemi 2 ile çarpılarak 2a+4b=222a + 4b = 22 elde edilir. Bu denklemden 4b+c=174b + c = 17 denklemi taraf tarafa çıkarıldığında (2a+4b)−(4b+c)=22−17  ⟹  2a−c=5(2a + 4b) - (4b + c) = 22 - 17 \implies 2a - c = 5 bulunur.
4
Bulunan 2a−c2a - c değeri sorulan limit ifadesinde yerine yazılır ve belirsizlik giderilir.
30
2a−c=52a-c = 5 değeri yerine yazıldığında limit ifadesi lim⁡x→35(x2−9)x−3\lim_{x \to 3} \frac{5(x^2 - 9)}{x-3} şekline dönüşür. Burada 0/00/0 belirsizliği vardır. Pay çarpanlarına ayrılarak belirsizlik giderilir: lim⁡x→35(x−3)(x+3)x−3=lim⁡x→35(x+3)=5(3+3)=30\lim_{x \to 3} \frac{5(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} 5(x+3) = 5(3+3) = 30 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların kritik noktalardaki limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşitliği kontrol edilmeli, limit noktası mutlak değerin içini sıfır yapıyorsa mutlaka işaret analizi yapılarak mutlak değer dışına çıkarma işlemi gerçekleştirilmelidir.
Soru 1859Soru →
f(x)=x3−ax2+bx+4f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [1,5][1, 5] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktaları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği sıfır noktalarıdır. Dolayısıyla x=1x = 1 ve x=5x = 5 değerleri f′(x)=3x2−2ax+b=0f'(x) = 3x^2 - 2ax + b = 0 denkleminin kökleridir. Vieta formülleri kullanılarak kökler toplamı 1+5=2a/3  ⟹  a=91+5 = 2a/3 \implies a = 9 ve kökler çarpımı 1⋅5=b/3  ⟹  b=151 \cdot 5 = b/3 \implies b = 15 bulunur. Buradan a+b=24a+b = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3x2−2ax+bf'(x) = 3x^2 - 2ax + b
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Azalanlık aralığının sınırları ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurun.
f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x1=1x_1 = 1 ve x2=5x_2 = 5 olmalıdır.
Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [1,5][1, 5] ise, bu aralığın uç noktalarında türev sıfıra eşittir ve bu aralıkta türev negatif değerler alır.
3
Kökler toplamı ve çarpımı bağıntılarını kullanarak aa ve bb değerlerini bulun ve toplayın.
a=9a = 9, b=15b = 15 ve buradan a+b=24a + b = 24 elde edilir.
Kökler toplamı formülünden 1+5=2a3  ⟹  a=91 + 5 = \frac{2a}{3} \implies a = 9 ve kökler çarpımı formülünden 1⋅5=b3  ⟹  b=151 \cdot 5 = \frac{b}{3} \implies b = 15 bulunur.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarının azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktalarında birinci türevinin sıfıra eşit olması.

Alternatif Yöntem

Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanmak yerine, f′(1)=0f'(1) = 0 ve f′(5)=0f'(5) = 0 eşitlikleri doğrudan yazılabilir. Buradan 3−2a+b=03 - 2a + b = 0 ve 75−10a+b=075 - 10a + b = 0 denklemleri elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkararak 72−8a=0  ⟹  a=972 - 8a = 0 \implies a = 9 bulunur. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında da b=15b = 15 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1860Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(3x−1)=g(x2+1)+x2−xf(3x - 1) = g(x^2 + 1) + x^2 - x
eşitliğini sağlamaktadır.

g′(2)=4g'(2) = 4 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İstenen türev değeri 3 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı gereğince 3⋅f′(3x−1)=2x⋅g′(x2+1)+2x−13 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1 elde edilir. f′(2)f'(2) değerine ulaşmak için x=1x = 1 yazıldığında 3⋅f′(2)=2⋅g′(2)+13 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 bağıntısı oluşur. g′(2)=4g'(2) = 4 değeri yerine yazıldığında 3⋅f′(2)=93 \cdot f'(2) = 9 ve buradan f′(2)=3f'(2) = 3 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır.
3⋅f′(3x−1)=2x⋅g′(x2+1)+2x−13 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1
Bileşke fonksiyon türev kuralları ve zincir kuralı gereği, içteki fonksiyonların türevleri çarpım olarak dışarıya yazılır.
2
f′(2)f'(2) değerini elde etmek için xx yerine yazılması gereken değer bulunur.
3x−1=2  ⟹  x=13x - 1 = 2 \implies x = 1
Türev ifadesinde f′f' fonksiyonunun içinin 2 olması istenir.
3
Türev eşitliğinde x=1x = 1 yazılarak işlem tamamlanır.
3⋅f′(2)=2⋅g′(2)+1  ⟹  3⋅f′(2)=2⋅4+1=9  ⟹  f′(2)=33 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 \implies 3 \cdot f'(2) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \implies f'(2) = 3
g′(2)=4g'(2) = 4 değeri yerine yazılarak bilinmeyen f′(2)f'(2) değeri çekilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x)(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x).
ÖncekiSayfa 93 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin