Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1861Soru →
x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi) olmak üzere,
tan⁡(x)⋅sin⁡(x)−3sin⁡(x)−tan⁡(x)+3=0\tan(x)\cdot\sin(x) - \sqrt{3}\sin(x) - \tan(x) + \sqrt{3} = 0
denklemi veriliyor.

Buna göre, bu denklemin [0,2π)[0, 2\pi) aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π3\frac{5\pi}{3}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.
Denklem çarpanlarına ayrıldığında (sin⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\sin(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 elde edilir. Ancak tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonu x=π2x = \frac{\pi}{2} değerinde tanımlı olmadığından, sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 eşitliğinden gelen x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü elenir. Sadece tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} eşitliğini sağlayan x=π3x = \frac{\pi}{3} ve x=4π3x = \frac{4\pi}{3} kökleri geçerlidir. Bu köklerin toplamı 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde ortak terimleri gruplandırarak çarpanlara ayırın.
sin⁡(x)(tan⁡(x)−3)−(tan⁡(x)−3)=0\sin(x)(\tan(x) - \sqrt{3}) - (\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 ifadesinden (sin⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\sin(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 elde edilir.
Çarpım halindeki ifadelerin köklerini bulmak için her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyebilmek amacıyla gruplandırma yapılır.
2
Çarpanları sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını belirleyin.
sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 veya tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} denklem parçaları elde edilir.
İki ifadenin çarpımının sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Denklemdeki fonksiyonların tanım kümesini kontrol edin.
tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonu x=π2x = \frac{\pi}{2} değerinde tanımsızdır. Bu nedenle sin⁡(x)=1  ⟹  x=π2\sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} değeri çözüm kümesine alınamaz.
Orijinal denklemde yer alan tanjant fonksiyonunun tanımlı olmadığı değerler denklemi de tanımsız yapacağından kök olamaz.
4
tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} denkleminin verilen aralıktaki köklerini bulun.
[0,2π)[0, 2\pi) aralığında tanjantı 3\sqrt{3} olan açılar x1=π3x_1 = \frac{\pi}{3} ve x2=4π3x_2 = \frac{4\pi}{3} olarak bulunur.
Tanjant fonksiyonu birinci ve üçüncü bölgelerde pozitif değer alır.
5
Bulunan geçerli kökleri toplayın.
Toplam=π3+4π3=5π3\text{Toplam} = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} radyandır.
Soruda bizden istenen geçerli tüm farklı gerçel köklerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve tanım kümesi sınırlamalarına dikkat edilmesi.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki tan⁡(x)\tan(x) ifadesi sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} olarak yazılıp payda eşitlenirse, sin⁡2(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)+3cos⁡(x)cos⁡(x)=0\frac{\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x)\cos(x) - \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x)}{\cos(x)} = 0 denklemi elde edilir. Pay kısmındaki ifade sin⁡(x)(sin⁡(x)−1)−3cos⁡(x)(sin⁡(x)−1)=0  ⟹  (sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−3cos⁡(x))=0\sin(x)(\sin(x) - 1) - \sqrt{3}\cos(x)(\sin(x) - 1) = 0 \implies (\sin(x) - 1)(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydanın sıfır olamayacağı (yani cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0 koşulu) göz önünde bulundurulduğunda, sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 için cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 olacağından bu kök elenir. Diğer taraftan sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0  ⟹  sin⁡(x)=3cos⁡(x)  ⟹  tan⁡(x)=3\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \implies \sin(x) = \sqrt{3}\cos(x) \implies \tan(x) = \sqrt{3} elde edilerek aynı köklere ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1862Soru →
Gerçel sayılarda tanımlı en geniş kümede
f(x)=x−2x2−2ax+3a+4f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 2ax + 3a + 4}
kuralıyla verilen ff fonksiyonunu süreksiz yapan yalnızca bir tane gerçel sayı değeri bulunmaktad��r.
Buna göre, parametre olan aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Fonksiyonun süreksiz olduğu yalnızca bir noktanın bulunması için paydanın tam kare bir ifade belirtmesi gerekir. Buradan elde edilen geçerli parametre değerlerinin toplamı 3'tür.
Rasyonel bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, paydasını sıfır yapan değerlerdir. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması için paydadaki ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan a=4a = 4 veya a=−1a = -1 bulunur. Pay ile paydanın sadeleştiği a=8a = 8 durumunda ise fonksiyon iki noktada süreksiz olacağından bu değer alınmaz. Dolayısıyla uygun değerlerin toplamı 33 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktaları belirlemek için paydasını sıfır yapan değerler incelenir.
f(x)f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar, x2−2ax+3a+4=0x^2 - 2ax + 3a + 4 = 0 denkleminin gerçel kökleridir.
Rasyonel fonksiyonlar, paydanın sıfır olduğu (tanımsız olduğu) değerler dışında tüm gerçel sayılarda süreklidir.
2
Denklemin yalnızca bir gerçel kökü olması için disriminantın (Δ\Delta) sıfıra eşit olması koşulu uygulanır.
Δ=(−2a)2−4(1)(3a+4)=0\Delta = (-2a)^2 - 4(1)(3a + 4) = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden bir denklemin tek bir gerçel kökünün olması, o denklemin çakışık iki kökünün olması anlamına gelir ve bu durum Δ=0\Delta = 0 ile sağlanır.
3
Elde edilen disriminant denklemi sadeleştirilerek çözülür.
4a2−12a−16=0  ⟹  a2−3a−4=0  ⟹  (a−4)(a+1)=04a^2 - 12a - 16 = 0 \implies a^2 - 3a - 4 = 0 \implies (a - 4)(a + 1) = 0 buradan a=4a = 4 veya a=−1a = -1 bulunur.
Bu de��erler paydada tam kare bir ifade oluşturarak tek bir süreksizlik noktası (çift katlı kök) üretir.
4
Pay ile paydanın sadeleştiği durum (sadeleştirme yanılgısı) incelenir.
Payın kökü olan x=2x = 2 değeri paydanın da bir kökü kabul edilirse 22−2a(2)+3a+4=0  ⟹  a=82^2 - 2a(2) + 3a + 4 = 0 \implies a = 8 olur. Ancak a=8a = 8 için fonksiyon f(x)=x−2(x−2)(x−14)f(x) = \frac{x-2}{(x-2)(x-14)} haline gelir. Bu fonksiyon hem x=2x=2 hem de x=14x=14 değerlerinde tanımsızdır. Dolayısıyla süreksiz olduğu nokta sayısı 2 olur. Bu yüzden a=8a = 8 değeri çözüme dahil edilemez.
Bir rasyonel fonksiyonda pay ve paydada ortak çarpan olması ve bunların sadeleşmesi, fonksiyonun o noktada tanımlı olmasını sağlamaz; o nokta hala bir süreksizlik noktasıdır.
5
Geçerli olan aa değerleri toplanır.
4+(−1)=34 + (-1) = 3 elde edilir.
aa parametresinin alabileceği uygun tüm gerçel sayı değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonlarda süreksizlik noktaları ve kaldırılabilir süreksizlik kavramı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1863Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,
sin⁡(x−y)⋅cos⁡y+cos⁡(x−y)⋅sin⁡ycos⁡(x+y)⋅cos⁡y+sin⁡(x+y)⋅sin⁡y\frac{\sin(x - y) \cdot \cos y + \cos(x - y) \cdot \sin y}{\cos(x + y) \cdot \cos y + \sin(x + y) \cdot \sin y}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x

Cevap

tan⁡x\tan x
Verilen rasyonel ifadenin payı sinüs toplam formülüyle sin⁡(x−y+y)=sin⁡x\sin(x-y+y) = \sin x olarak, paydası ise kosinüs fark formülüyle cos⁡(x+y−y)=cos⁡x\cos(x+y-y) = \cos x olarak sadeleşir. Bu iki değerin birbirine oranı olan sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} ifadesi tan⁡x\tan x değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi sinüs toplam formülü kullanarak sadeleştirmek.
sin⁡(x−y+y)=sin⁡x\sin(x - y + y) = \sin x
sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B toplam formülünde A=x−yA = x - y ve B=yB = y alındığında paydaki ifade elde edilir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi kosinüs fark formülü kullanarak sadeleştirmek.
cos⁡(x+y−y)=cos⁡x\cos(x + y - y) = \cos x
cos⁡(C−D)=cos⁡Ccos⁡D+sin⁡Csin⁡D\cos(C - D) = \cos C \cos D + \sin C \sin D fark formülünde C=x+yC = x + y ve D=yD = y alındığında paydadaki ifade elde edilir.
3
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade hali bulmak.
sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} temel trigonometrik özdeşliği kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam ve kosinüs fark formülleri kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Soru 1864Soru →
Her xx gerçel sayısı için tanımlı olan
f(x)=ln⁡(x2−2x+k)−13xf(x) = \ln(x^2 - 2x + k) - \frac{1}{3}x
fonksiyonu her xx gerçel sayısı için azalandır.

Buna göre, kk gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 10'dur.
Fonksiyonun tanımlı ve azalan olması için k>1k > 1 ve k≥10k \ge 10 şartlarının birlikte sağlanması gerekir. Bu iki koşulu da sağlayan en küçük tam sayı değeri 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlılık şartını belirleme
k>1k > 1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif olması gerekir. x2−2x+k>0x^2 - 2x + k > 0 ifadesinin her xx için sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir.
2
Türev fonksiyonunu hesaplama ve azalanlık eşitsizliğini kurma
f′(x)=2x−2x2−2x+k−13≤0f'(x) = \frac{2x-2}{x^2-2x+k} - \frac{1}{3} \le 0
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta daima azalan olması, türevinin o aralıkta daima sıfırdan küçük veya eşit olmasını gerektirir.
3
Türev eşitsizliğini ikinci dereceden bir eşitsizliğe d��nüştürme
x2−8x+k+6≥0x^2 - 8x + k + 6 \ge 0
Paydanın daima pozitif olduğu birinci adımdan bilindiği için, içler dışlar çarpımı yapılarak eşitsizlik yön değiştirmeden düzenlenebilir.
4
İkinci dereceden eşitsizliğin daima sağlanma şartını uygulama ve ortak çözümü bulma
k≥10k \ge 10
x2−8x+k+6≥0x^2 - 8x + k + 6 \ge 0 eşitsizliğinin her xx gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır (Δ2≤0\Delta_2 \le 0). Buradan k≥10k \ge 10 bulunur. Tanımlılık şartı olan k>1k > 1 ile kesişim alındığında en küçük tam sayı değeri 10 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi ile türev yardımıyla fonksiyonların artanlık/azalanlık incelemesi.
Soru 1865Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x) = \\begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\\\ 0, & x = 1 \\\\ x + 2, & 1 < x < 2 \\\\ 1, & x = 2 \\\\ 6 - x^2, & x > 2 \\end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→1+f(f(x+1))\lim_{x \to 1^+} f(f(x + 1))
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Bileşke fonksiyonda limit hesaplanırken adım adım yaklaşım yönleri takip edilir. x→1+x \to 1^+ için x+1→2+x+1 \to 2^+ olur. x>2x > 2 bölgesinde f(x)=6−x2f(x) = 6 - x^2 olduğundan, 22 noktasına sağdan yaklaşırken f(x)f(x) değerleri 22 değerine küçük değerlerle yaklaşır (f(x)→2−f(x) \to 2^-). Dıştaki fonksiyonun limiti için 22 noktasına soldan yaklaşılır. x<2x < 2 bölgesinde fonksiyon f(x)=x+2f(x) = x + 2 olduğundan limit 2+2=42 + 2 = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki ifadenin limit yaklaşımını belirleme
x→1+x \to 1^+ iken u=x+1→2+u = x + 1 \to 2^+ olur.
xx, 11 değerine sağdan (11'den büyük değerlerle) yaklaşırken, x+1x+1 ifadesi de 22 değerine sağdan (22'den büyük değerlerle) yaklaşır.
2
İç fonksiyonun limit değerini ve yaklaşım yönünü bulma
u→2+u \to 2^+ iken f(u)→2−f(u) \to 2^- olur.
u>2u > 2 aralığında fonksiyon f(u)=6−u2f(u) = 6 - u^2 olarak tanımlıdır. uu, 22'ye sağdan yaklaşırken u2u^2 ifadesi 44'e sağdan (44'ten büyük değerlerle) yaklaşır. Dolayısıyla 6−u26 - u^2 ifadesi 22 değerine soldan (22'ten küçük değerlerle) yaklaşır.
3
Dış fonksiyonun limitini hesaplama
lim⁡t→2−f(t)=4\lim_{t \to 2^-} f(t) = 4 olur.
İkinci adımda elde edilen f(u)→2−f(u) \to 2^- yaklaşımı nedeniyle dıştaki limit lim⁡t→2−f(t)\lim_{t \to 2^-} f(t) biçimine dönüşür. t<2t < 2 aralığında fonksiyon f(t)=t+2f(t) = t + 2 olarak tanımlı olduğundan, bu aralıktaki limit değeri 2+2=42 + 2 = 4 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda limit hesaplanırken, içteki fonksiyonun limit değerinin yanı sıra bu değere hangi yönden (sağdan veya soldan) yaklaşıldığı belirlenmeli ve dıştaki limit bu yaklaşım yönüne göre hesaplanmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1866Soru →
lim⁡x→3−x2−9∣x−3∣\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −6-6

Cevap

−6-6
Limit değerine x=3x = 3 noktasına soldan yaklaşıldığında, xx değerleri 3'ten küçük olur. Bu nedenle x−3<0x - 3 < 0 olur ve ∣x−3∣|x - 3| ifadesi dışarıya −(x−3)-(x - 3) olarak çıkar. Pay kısmındaki x2−9x^2 - 9 ifadesi (x−3)(x+3)(x - 3)(x + 3) şeklinde çarpanlarına ayrılıp paydadaki −(x−3)-(x - 3) ile sadeleştirildiğinde geriye −(x+3)-(x + 3) kalır. Burada xx yerine 3 yazıldığında limitin değeri −6-6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x=3x = 3 değerine soldan yaklaşıldığı için (x<3x < 3) mutlak değerin içindeki x−3x - 3 ifadesinin işaretini belirleyin.
x<3x < 3 olduğundan x−3<0x - 3 < 0 olur. Bu durumda ∣x−3∣=−(x−3)|x - 3| = -(x - 3) olarak dışarı çıkar.
Mutlak değerli ifadenin limitini hesaplamak için öncelikle ifadenin işaretini belirleyip mutlak değer dışına çıkarmamız gerekir.
2
Pay kısmındaki x2−9x^2 - 9 ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın ve limit ifadesini yeniden yazın.
x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) olduğundan limit ifadesi lim⁡x→3−(x−3)(x+3)−(x−3)\lim_{x \to 3^-} \frac{(x - 3)(x + 3)}{-(x - 3)} haline gelir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek i��in pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek amacıyla çarpanlara ayırma yapılır.
3
Pay ve paydadaki ortak (x−3)(x - 3) çarpanlarını sadeleştirin ve kalan ifadede xx yerine 33 yazarak limiti hesaplayın.
lim⁡x→3−x+3−1=lim⁡x→3−−(x+3)=−(3+3)=−6\lim_{x \to 3^-} \frac{x + 3}{-1} = \lim_{x \to 3^-} -(x + 3) = -(3 + 3) = -6 bulunur.
Sadeleştirme işlemiyle belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren fonksiyonların belirli bir noktadaki limitini hesaplarken, limit noktasına yaklaşılan yöne göre mutlak değerin içinin işareti belirlenir ve mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılır. Ardından belirsizlik varsa sadeleştirme yapılarak limit hesaplanır.
Soru 1867Soru →
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,3][-1, 3]

Cevap

[−1,3][-1, 3] aralığıdır.
Verilen fonksiyonun birinci türevi olan f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x - 3)(x + 1) ifadesinin işaret tablosu yapıldığında, türevin [−1,3][-1, 3] aralığında negatif değerler aldığı görülür. Bu nedenle fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−1,3][-1, 3] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin köklerini bulmak için türev ifadesi sıfıra eşitlenir.
3x2−6x−9=0  ⟹  3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03x^2 - 6x - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 Denklemden kökler x1=−1x_1 = -1 ve x2=3x_2 = 3 olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirebileceği kritik noktaları belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.
3
Birinci türev için işaret tablosu oluşturulur.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Buna göre, fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−1,3][-1, 3] kapalı aralığıdır.
Türevin negatif (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) olduğu aralıklar fonksiyonun azalan olduğu bölgeleri gösterir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1868Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={∣x2−4x+3∣x−3+2x+k,x<3x2−2x+1,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3} + 2x + k, & x < 3 \\ x^2 - 2x + 1, & x \ge 3 \end{cases}

fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için k=0k = 0 olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen parçalı fonksiyonun x=3x = 3 noktasında sağ limiti 44 ve sol limiti 4+k4+k olup, limitin var olabilmesi için bu iki değerin eşit olması (k=0k = 0) gerekmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki sağ limiti hesaplayın.
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(x2−2x+1)=32−2(3)+1=4\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 2x + 1) = 3^2 - 2(3) + 1 = 4
x→3+x \to 3^+ iken x>3x > 3 olduğundan parçalı fonksiyonun alt dalı kullanılır.
2
x→3−x \to 3^- için mutlak değerli terimin işaretini belirleyin ve sadeleştirin.
x<3x < 3 ve xx değeri 33'e yeterince yakınken (örneğin 1<x<31 < x < 3 aralığında) x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) çarpımında (x−3)<0(x-3) < 0 ve (x−1)>0(x-1) > 0 olduğundan ifade negatif değerler alır. Bu nedenle ∣x2−4x+3∣=−(x2−4x+3)=−(x−3)(x−1)|x^2 - 4x + 3| = -(x^2 - 4x + 3) = -(x-3)(x-1) olarak dışarı çıkar. Buradan rasyonel ifade −(x−3)(x−1)x−3=−(x−1)=1−x\frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = -(x-1) = 1-x şeklinde sadeleşir.
0/00/0 belirsizliğini ortadan kaldırmak için mutlak değer dışına ç��karma ve sadeleştirme adımları uygulanır.
3
x=3x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplayın.
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(1−x+2x+k)=lim⁡x→3−(x+1+k)=3+1+k=4+k\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (1 - x + 2x + k) = \lim_{x \to 3^-} (x + 1 + k) = 3 + 1 + k = 4 + k
Sadeleşmiş fonksiyon ifadesinde limit değeri yerine yazılarak sol limit hesaplanır.
4
Sağ ve sol limitleri eşitleyerek kk değerini bulun.
4+k=4  ⟹  k=04 + k = 4 \implies k = 0
Kritik noktada limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitini hesaplarken kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değer içeren ifadelerde limit noktasına yaklaşırken ifadenin işareti belirlenerek mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1869Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1
f′(2)=5f'(2) = 5
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre doğru cevap 15 olmalıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereğince (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) formülü kullanılır. Soruda verilen g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1 fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değeri g(1)=2g(1) = 2 ve türevi g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2 olduğundan g′(1)=3g'(1) = 3 olarak elde edilir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında (f(g(1)))′=f′(2)⋅g′(1)=5⋅3=15(f(g(1)))' = f'(2) \cdot g'(1) = 5 \cdot 3 = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini veren kuralı (zincir kuralını) yazmak.
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Soruda istenen (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değerini hesaplamak için genel türev ifadesini elde etmeliyiz.
2
x=1x = 1 için içteki fonksiyonun değerini (g(1)g(1)) ve türevinin değerini (g′(1)g'(1)) hesaplamak.
g(1)=13+1=2g(1) = 1^3 + 1 = 2 ve g′(x)=3x2  ⟹  g′(1)=3⋅12=3g'(x) = 3x^2 \implies g'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon türevinde kullanılacak olan bileşenlerin sayısal değerlerini bulmak.
3
Hesaplanan değerleri türev formülünde yerine yazıp sonucu bulmak.
(f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)=f′(2)⋅g′(1)=5⋅3=15(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(2) \cdot g'(1) = 5 \cdot 3 = 15 bulunur.
Türev ifadesinde tüm bilinenleri yerine yerleştirerek nihai sayısal sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve dıştaki fonksiyonun türevi alınarak içi aynen bırakıldıktan sonra içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1870Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(3)=2g(3) = 2
g′(3)=4g'(3) = 4
f′(2)=5f'(2) = 5
bilgileri veriliyor.
h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1))
olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Doğru cevap 60 değeridir.
Zincir kuralına göre h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1)) fonksiyonunun türevi h′(x)=f′(g(x2−x+1))⋅g′(x2−x+1)⋅(2x−1)h'(x) = f'(g(x^2 - x + 1)) \cdot g'(x^2 - x + 1) \cdot (2x - 1) olarak bulunur. Burada x=2x=2 yazıldığında h′(2)=f′(g(3))⋅g′(3)⋅3h'(2) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 3 elde edilir. Verilen değerler yerine yerleştirildiğinde h′(2)=5⋅4⋅3=60h'(2) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1)) fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
h′(x)=f′(g(x2−x+1))⋅g′(x2−x+1)⋅(2x−1)h'(x) = f'(g(x^2 - x + 1)) \cdot g'(x^2 - x + 1) \cdot (2x - 1) ifadesi elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştan içe doğru her bir fonksiyonun içinin türevi çarpan olarak eklenmelidir.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda xx yerine 2 yazarak ifadeyi düzenleyin.
h′(2)=f′(g(22−2+1))⋅g′(22−2+1)⋅(2⋅2−1)=f′(g(3))⋅g′(3)⋅3h'(2) = f'(g(2^2 - 2 + 1)) \cdot g'(2^2 - 2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 - 1) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 3 olur.
h′(2)h'(2) değerini bulmak için fonksiyondaki xx değişkenleri yerine 2 yazılmalıdır.
3
Soruda verilen g(3)=2g(3) = 2, g′(3)=4g'(3) = 4 ve f′(2)=5f'(2) = 5 değerlerini türev ifadesinde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayın.
h′(2)=f′(2)⋅4⋅3=5⋅4⋅3=60h'(2) = f'(2) \cdot 4 \cdot 3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 olarak bulunur.
Verilen sayısal değerlerin yerine konulmasıyla nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Soru 1871Soru →
Her uu ve xx gerçel sayısı için türevlenebilen y=f(u)y = f(u) ve u=g(x)u = g(x) fonksiyonları sırasıyla
y=u2+uy = u^2 + u
u=3x−2u = 3x - 2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, yy değişkeninin xx değişkenine göre türevinin x=1x = 1 için değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

y değişkeninin x değişkenine göre türevinin x = 1 için değeri 9'dur.
Zincir kuralı uygulanarak dy/dx = (dy/du) * (du/dx) şeklinde türev ifadesi yazılır. x = 1 için u = 1 elde edilir. dy/du türevinde u yerine 1 yazıldığında 3, du/dx türevinden ise 3 değeri bulunur. Bu iki değerin çarpımı olan 9, y'nin x'e göre türevidir.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı formülünü oluşturmak.
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
y değişkeni doğrudan x'e bağlı olmayıp u aracılığıyla bağlı olduğundan, x'e göre türevi bulmak için zincir kuralı uygulanmalıdır.
2
y'nin u'ya göre ve u'nun x'e göre türevlerini ayrı ayrı hesaplamak.
dydu=2u+1\frac{dy}{du} = 2u + 1 ve dudx=3\frac{du}{dx} = 3
Zincir kuralı formülünde çarpım durumundaki türev bileşenlerini elde etmek gerekir.
3
x = 1 noktasındaki u değerini bulmak.
u=3(1)−2=1u = 3(1) - 2 = 1
y'nin u'ya göre türevinde u yerine yazılacak değeri belirlemek gerekir.
4
Bulunan değerleri zincir kuralı formülünde yerine koyarak türev değerini hesaplamak.
dydx=(2⋅1+1)⋅3=3⋅3=9\frac{dy}{dx} = (2 \cdot 1 + 1) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9
x = 1 noktasında elde edilen türev bileşenlerini çarparak nihai dy/dx sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve zincir kuralı (chain rule) kullanılarak türev hesabı.

Alternatif Yöntem

y = u^2 + u fonksiyonunda u yerine 3x - 2 yazılarak y doğrudan x cinsinden y = (3x-2)^2 + (3x-2) şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadenin x'e göre türevi alındığında dy/dx = 2(3x-2) * 3 + 3 elde edilir. x = 1 yazıldığında dy/dx = 2(1) * 3 + 3 = 9 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1872Soru →

lim⁡x→2x2−4x2−2x\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} limitinin değeri 00'dır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Verilen limitin doğru değeri 2'dir.
Verilen limit ifadesinde pay ve payda x=2x = 2 için sıfır değerini aldığından 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Çarpanlara ayırma yöntemiyle ortak olan x−2x-2 terimleri sadeleştirildiğinde limitin değeri 2 olarak bulunur. Bu sebeple limitin değerinin sıfır olduğunu belirten ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunu kontrol etme
x=2x = 2 için pay 22−4=02^2 - 4 = 0 ve payda 22−2(2)=02^2 - 2(2) = 0 olup 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Limitte doğrudan yerine koyma yöntemi uygulandığında belirsizlik durumunun oluşup oluşmadığı belirlenir.
2
Pay ve paydayı çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapma
x2−4x2−2x=(x−2)(x+2)x(x−2)=x+2x\frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \frac{x+2}{x} (x≠2x \neq 2 için)
Belirsizliğe yol açan sıfır çarpanlarını (x−2x-2) sadeleştirerek ifadeyi sade bir biçime getirmek gerekir.
3
Sadeleşmiş ifadenin limitini hesaplama
lim⁡x→2x+2x=2+22=2\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x} = \frac{2+2}{2} = 2
Belirsizlik giderildikten sonra sadeleşmiş ifadede limit noktası yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Limit hesaplamalarında 00\frac{0}{0} belirsizliği ile karşılaşıldığında, pay ve payda çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir ve ardından limit değeri hesaplanır.
Tahmini Süre:45s
Soru 1873Soru →
Tanımlı ve türevlenebilir y=f(u)y = f(u) ve u=g(x)u = g(x) fonksiyonları için
y=u2−3u+1y = u^2 - 3u + 1
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, dydx\frac{dy}{dx} ifadesinin x=2x = 2 noktasındaki değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Aranan t��rev değeri 2'dir.
Zincir kuralı formülü olan dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ifadesinde ilgili türev değerleri sırasıyla dydu=3\frac{dy}{du} = 3 ve dudx=23\frac{du}{dx} = \frac{2}{3} olarak bulunur. Bu iki değer çarpıldığında doğru sonuç 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı ilişkisini yazma
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
yy değişkeninin xx'e göre türevi, aradaki ortak uu değişkenine bağlı olarak zincir kuralı yardımıyla elde edilir.
2
x=2x = 2 için uu değerini hesaplama
u=3u = 3
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5} ifadesinde x=2x = 2 yazılarak ilgili uu değeri tespit edilir.
3
yy'nin uu'ya göre türevini alıp u=3u = 3 noktasındaki değerini bulma
dydu=3\frac{dy}{du} = 3
y=u2−3u+1y = u^2 - 3u + 1 fonksiyonunun uu değişkenine göre türevi 2u−32u - 3 olur. u=3u = 3 için 2(3)−3=32(3) - 3 = 3 elde edilir.
4
uu'nun xx'e göre türevini alıp x=2x = 2 noktasındaki değerini bulma
dudx=23\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5} fonksiyonunun xx'e göre türevi zincir kuralı gereği 12x2+5⋅2x=xx2+5\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}} olur. x=2x = 2 yazıldığında 23\frac{2}{3} değeri bulunur.
5
Türev değerlerini çarparak sonucu hesaplama
2
Bulunan türev değerleri zincir kuralı formülünde yerine konulup çarpılır: 3⋅23=23 \cdot \frac{2}{3} = 2.

Anahtar Kavram

Bağlı değişkenlerde türev hesabı için zincir kuralının uygulanması.
Soru 1874Soru →

Pozitif bir aa gerçel sayısı için ff fonksiyonu

f(x)={∣x2−a2∣x−a+b,x<ax2−2x+3,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + b, & x < a \\ x^2 - 2x + 3, & x \ge a \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti olduğuna göre, bb değerinin aa cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2+3a^2 + 3

Cevap

b=a2+3b = a^2 + 3 ifadesidir.
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin olması için bu noktadaki sağ ve sol limitleri eşit olmalıdır. Pozitif aa değeri için sol limitte mutlak değerin içi negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar ve sadeleştirme sonrası sol limit −2a+b-2a + b olur. Sağ limit ise doğrudan yerine yazılarak a2−2a+3a^2 - 2a + 3 bulunur. Bu iki değer eşitlendiğinde b=a2+3b = a^2 + 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x→a−x \to a^- için sol limit incelenir.
x<ax < a ve a>0a > 0 olduğundan x2−a2<0x^2 - a^2 < 0 olur. Dolayısıyla ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olarak dışarı çıkar.
Mutlak değerin içerisindeki ifadenin işareti negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar.
2
Sol limit ifadesindeki belirsizlik giderilir ve limit değeri hesaplanır.
lim⁡x→a−(−(x−a)(x+a)x−a+b)=lim⁡x→a−(−(x+a)+b)=−2a+b\lim_{x \to a^-} \left( \frac{-(x-a)(x+a)}{x - a} + b \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x+a) + b) = -2a + b elde edilir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek için x−ax-a ortak çarpanları sadeleştirilir.
3
x→a+x \to a^+ için sağ limit hesaplanır.
lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a+(x2−2x+3)=a2−2a+3\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (x^2 - 2x + 3) = a^2 - 2a + 3 bulunur.
x≥ax \ge a aralığında fonksiyonun kuralı x2−2x+3x^2 - 2x + 3 olarak verilmiştir.
4
Limitin var olması için sağ ve sol limitler birbirine eşitlenir.
−2a+b=a2−2a+3  ⟹  b=a2+3-2a + b = a^2 - 2a + 3 \implies b = a^2 + 3 bulunur.
Bir noktada limitin olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin ayrı ayrı hesaplanıp birbirine eşitlenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1875Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x≠1x \neq 1 için
f(x)=∣x3−1∣−3∣x−1∣(x−1)∣x−1∣f(x) = \frac{|x^3 - 1| - 3|x - 1|}{(x - 1)|x - 1|}
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki limitinin varlığı ve değeri ile ilgili verilen 'lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3' ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen limit ifadesi doğrudur. Fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitleri eşit olup 33'tür.
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitleri hesaplandığında, mutlak değerli terimlerin işaretleri doğru analiz edilip sadeleştirmeler yapıldığında her iki yönden limit değeri 33 olarak bulunur. Dolayısıyla verilen limit ifadesi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x→1+x \to 1^+ için limit incelenir.
x>1x > 1 olduğundan ∣x−1∣=x−1|x - 1| = x - 1 ve ∣x3−1∣=x3−1|x^3 - 1| = x^3 - 1 olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=(x3−1)−3(x−1)(x−1)2f(x) = \frac{(x^3 - 1) - 3(x - 1)}{(x - 1)^2} halini alır. Pay kısmındaki ifade x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan f(x)=(x−1)2(x+2)(x−1)2=x+2f(x) = \frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} = x + 2 bulunur. Dolayısıyla lim⁡x→1+f(x)=1+2=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 + 2 = 3 olur.
Sağdan yaklaşırken mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri belirlenerek dışarı çıkarılır.
2
x→1−x \to 1^- için limit incelenir.
x<1x < 1 olduğundan ∣x−1∣=−(x−1)|x - 1| = -(x - 1) ve ∣x3−1∣=−(x3−1)|x^3 - 1| = -(x^3 - 1) olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=−(x3−1)−3(−(x−1))−(x−1)2f(x) = \frac{-(x^3 - 1) - 3(-(x - 1))}{-(x - 1)^2} halini alır. Pay kısmı düzenlendiğinde −(x3−3x+2)=−(x−1)2(x+2)-(x^3 - 3x + 2) = -(x - 1)^2(x + 2) elde edilir. Buradan f(x)=−(x−1)2(x+2)−(x−1)2=x+2f(x) = \frac{-(x - 1)^2(x + 2)}{-(x - 1)^2} = x + 2 bulunur. Dolayısıyla lim⁡x→1−f(x)=1+2=3\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 2 = 3 olur.
Soldan yaklaşırken mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri belirlenerek dışarı çıkarılır.
3
Sağ ve sol limitler karşılaştırılarak sonuç belirlenir.
lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 olduğundan, f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti vardır ve lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3'tür.
Bir noktadaki sağ ve sol limitler birbirine eşit ise o noktada limit vardır ve bu ortak değere eşittir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren rasyonel ifadelerde sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik giderme.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1876Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x
g(x)=2x+1g(x) = 2x + 1
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi 6 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre (f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) eşitliği geçerlidir. g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=2g'(1) = 2 ve f′(3)=3f'(3) = 3 değerleri yerlerine yazıldığında çarpımın sonucu 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı yazılır.
(f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi içteki fonksiyonun değerinde hesaplanır ve içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
g(1)g(1) ve g′(1)g'(1) değerleri hesaplanır.
g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=2g'(1) = 2
g(x)=2x+1g(x) = 2x + 1 fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında g(1)=3g(1) = 3 ve türevi alındığında g′(x)=2g'(x) = 2 olup g′(1)=2g'(1) = 2 bulunur.
3
f′(x)f'(x) bulunur ve f′(g(1))f'(g(1)) değeri hesaplanır.
f′(g(1))=f′(3)=3f'(g(1)) = f'(3) = 3
f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x fonksiyonunun türevi f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olup, x=3x = 3 noktasındaki değeri f′(3)=2(3)−3=3f'(3) = 2(3) - 3 = 3 olarak elde edilir.
4
Elde edilen değerler çarpılarak sonuç bulunur.
(f∘g)′(1)=3⋅2=6(f \circ g)'(1) = 3 \cdot 2 = 6
Zincir kuralı formülünde bulduğumuz değerler yerine yazılıp çarpma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı
Soru 1877Soru →
aa, bb ve cc dar açılar olmak üzere,
tan⁡a=12\tan a = \frac{1}{2}
tan⁡b=15\tan b = \frac{1}{5}
tan⁡c=18\tan c = \frac{1}{8}
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

a+b+ca + b + c toplamı 4545 derecedir.
Tanjant toplam formülü ardışık olarak iki kez uygulandığında tan⁡(a+b+c)=1\tan(a+b+c) = 1 elde edilir. Açılar dar açı olduğundan, toplamları 135∘135^\circ değerinden küçük olmalıdır. Tanjantı 11 olan ve bu sınırı aşmayan tek pozitif açı 45∘45^\circ olduğundan doğru yanıt 4545 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ve bb açılarının toplamının tanjant değerini hesaplamak
tan⁡(a+b)=79\tan(a+b) = \frac{7}{9}
Toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} ifadesinde verilen değerleri yerine yazmak
2
a+b+ca + b + c toplamının tanjant değerini hesaplamak
tan⁡(a+b+c)=1\tan(a+b+c) = 1
(a+b)(a+b) ve cc açılarının toplamına tanjant toplam formülünü uygulamak
3
Dar açı sınırlarını kullanarak toplam açının değerini derece cinsinden belirlemek
a+b+c=45∘a + b + c = 45^\circ
0<a+b+c<135∘0 < a+b+c < 135^\circ aralığında tanjantı 11 olan açıyı bulmak

Anahtar Kavram

Tanjant toplam formülü ve dar açılarda trigonometrik oranların yorumlanması
Soru 1878Soru →
f(x)=x3−3x2+kx+5f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 5 fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde daima artan olması için kk gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesi üzerinde daima artan olması, birinci türevinin her gerçel sayı için sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirir. f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için baş katsayısı pozitif olduğundan diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit (Δ≤0\Delta \leq 0) olması gerekir. Buradan 36−12k≤036 - 12k \leq 0 eşitsizliğinden k≥3k \geq 3 bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük kk tam sayısı 33'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun birinci türevini hesaplayın.
f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k
Bir fonksiyonun artan veya azalan oldu��u aralıklar birinci türevinin işaretiyle belirlenir.
2
Fonksiyonun daima artan olması için gerekli türev koşulunu yazın.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olmalıdır.
Türevin negatif olmadığı (sıfırdan büyük veya eşit olduğu) aralıklarda fonksiyon artandır.
3
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminant koşulunu uygulayın.
f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k ikinci dereceden ifadesinin baş katsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, daima pozitif veya sıfır olması için Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin işaret tablosunda işaret değiştirmemesi ve daima pozitif kalması için gerçek kökünün olmaması ya da yalnızca çift katlı kökünün olması gerekir.
4
Diskriminant (Δ\Delta) ifadesini hesaplayıp sıfırdan küçük veya eşit olacak şekilde eşitsizliği çözün.
Δ=(−6)2−4⋅3⋅k≤0⇒36−12k≤0⇒12k≥36⇒k≥3\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot k \leq 0 \Rightarrow 36 - 12k \leq 0 \Rightarrow 12k \geq 36 \Rightarrow k \geq 3
kk değerlerinin aralığını bulmak için eşitsizlik çözülür.
5
k≥3k \geq 3 şartını sağlayan en küçük tam sayı değerini belirleyin.
k=3k = 3
33 veya 33'ten büyük tam sayılar arasından en küçüğü seçilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her noktada sıfırdan büyük veya eşit olması ve türevin sıfır olduğu noktaların ayrık (tekil) olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1879Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f(f(x))=x3+x−1f(f(x)) = x^3 + x - 1
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, h(x)=f(x3⋅f(x))h(x) = f(x^3 \cdot f(x)) olarak tanımlanan hh fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Verilen f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılarak f(1) = 1 değeri elde edilir. Ardından eşitliğin her iki tarafının türevi alınıp x = 1 konulduğunda f'(f(1)) * f'(1) = 4 denklemiyle (f'(1))^2 = 4 bulunur. Fonksiyonun artan olmasından ötürü f'(1) = 2 olarak seçilir. h(x) = f(x^3 * f(x)) ifadesinin türevi zincir ve çarpım kurallarıyla alınarak x = 1 için h'(1) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) = 2 * (3 * 1 + 2) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 yazarak f(1) değerini elde ediniz.
f(1) = 1
f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılırsa f(f(1)) = 1 elde edilir. f fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde artan (ve dolayısıyla bire bir) olduğundan f(1) = 1 olmalıdır. Aksi halde f(1) = k > 1 için f(k) > f(1) yani 1 > k çelişkisi, f(1) = k < 1 için f(k) < f(1) yani 1 < k çelişkisi doğardı.
2
Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevini alarak f'(1) değerini bulunuz.
f'(1) = 2
f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinin iki tarafının türevi zincir kuralı ile alınırsa f'(f(x)) * f'(x) = 3x^2 + 1 olur. x = 1 için f'(f(1)) * f'(1) = 4 elde edilir. f(1) = 1 olduğundan (f'(1))^2 = 4 bulunur. f fonksiyonu artan olduğu için türevi negatif olamaz. Bu nedenle f'(1) = 2 olarak elde edilir.
3
h(x) = f(x^3 * f(x)) fonksiyonunun türevini bulunuz.
h'(x) = f'(x^3 * f(x)) * (3x^2 * f(x) + x^3 * f'(x))
Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve içteki ifadenin türevi için çarpım kuralı uygulanır.
4
Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazarak sonucu hesaplayınız.
h'(1) = 10
h'(1) = f'(1^3 * f(1)) * (3 * 1^2 * f(1) + 1^3 * f'(1)) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) yazılır. f(1) = 1 ve f'(1) = 2 değerleri yerlerine yazıldığında h'(1) = f'(1) * (3 * 1 + 2) = 2 * 5 = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpım unutulmamalıdır.
Soru 1880Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(g(x)+x)=x3−x2+8x−2f(g(x) + x) = x^3 - x^2 + 8x - 2
eşitliği geçerlidir.

g(1)=2g(1) = 2 ve g′(1)=2g'(1) = 2 olduğuna göre, f′(3)f'(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Doğru cevap 3 değerini içeren seçenektir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte her iki tarafın türevi alındığında bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafta f'(g(x) + x) * (g'(x) + 1) ifadesi elde edilir. x = 1 değeri için g(1) = 2 ve g'(1) = 2 değerleri yerine yazıldığında f'(3) * 3 elde edilir. Sağ tarafın türevi olan 3x^2 - 2x + 8 ifadesinde x = 1 yazıldığında 9 elde edilir. Buradan 3 * f'(3) = 9 ve f'(3) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f′(g(x)+x)⋅(g′(x)+1)=3x2−2x+8f'(g(x) + x) \cdot (g'(x) + 1) = 3x^2 - 2x + 8
Bileşke fonksiyon türevi kuralı (f(u(x)))' = f'(u(x)) * u'(x) uygulanmıştır.
2
Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazılır.
f′(g(1)+1)⋅(g′(1)+1)=3(1)2−2(1)+8f'(g(1) + 1) \cdot (g'(1) + 1) = 3(1)^2 - 2(1) + 8
Bize verilen ve sorulan değerlerin elde edilmesi için uygun nokta seçilmiştir.
3
Verilen g(1) = 2 ve g'(1) = 2 değerleri denklemde yerine yazılır.
f′(2+1)⋅(2+1)=3−2+8  ⟹  f′(3)⋅3=9f'(2 + 1) \cdot (2 + 1) = 3 - 2 + 8 \implies f'(3) \cdot 3 = 9
Bilinmeyen f'(3) değerini yalnız bırakmak için aritmetik işlemler yürütülür.
4
Denklemin her iki tarafı 3'e bölünerek f'(3) değeri yalnız bırakılır.
f′(3)=3f'(3) = 3
İstenen türev değerine ulaşılmıştır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uyarınca içteki ifadenin türeviyle çarpmayı unutmamak gerekir.
ÖncekiSayfa 94 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin