Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1821Soru →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
cos⁡(2x)+3sin⁡(x)−2=0\cos(2x) + 3\sin(x) - 2 = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π2\frac{3\pi}{2}

Cevap

Verilen denklemin farklı gerçel köklerinin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır.
Denklemin doğru çözümü için cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 1−2sin⁡2(x)1 - 2\sin^2(x) yazılarak ikinci dereceden 2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (2sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−1)=0(2\sin(x) - 1)(\sin(x) - 1) = 0 olup kökleri sin⁡(x)=1/2\sin(x) = 1/2 ve sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 değerleridir. [0,2π][0, 2\pi] aralığında bu değerleri sağlayan açılar sırasıyla π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6} ve π2\frac{\pi}{2} radyandır. Köklerin toplamı ise π6+5π6+π2=3π2\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanılarak cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesini sin⁡(x)\sin(x) cinsinden yazın.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) yazıldığında denklem 1−2sin⁡2(x)+3sin⁡(x)−2=01 - 2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 2 = 0 haline gelir. Düzenlendiğinde 2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 elde edilir.
Denklemdeki tüm trigonometrik ifadeleri aynı değişkene dönüştürerek çözülebilir bir ikinci dereceden denklem elde etmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırın.
2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=0  ⟹  (2sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−1)=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 \implies (2\sin(x) - 1)(\sin(x) - 1) = 0 elde edilir. Buradan sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} veya sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 bulunur.
Denklemin köklerini bulmak için çarpanların her birini sıfıra eşitlemek.
3
Belirtilen [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki kökleri tespit edin.
sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} için x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} bulunur. sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 için x=π2x = \frac{\pi}{2} bulunur.
Tanım kümesi aralığında denklemi sağlayan tüm x değerlerini bulmak.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplayın.
Toplam=π6+5π6+π2=π+π2=3π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} radyan elde edilir.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri yardımıyla ikinci dereceden denklemlere dönüştürerek belirli bir aralıktaki köklerini bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1822Soru →
log⁡12(x2−x−12)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 12) \geq -3

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı 11'dir.
Doğru cevap olan değer, tanım kümesi (x<−3x < -3 veya x>4x > 4) ile eşitsizlik çözümü olan [−4,5][-4, 5] aralığının kesişiminden elde edilen {−4,5}\{-4, 5\} kümesindeki tam sayıların toplamıdır. Bu toplam −4+5=1-4 + 5 = 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralını uygulayarak logaritmanın içinin pozitif olması gerektiğini belirtiriz.
x2−x−12>0  ⟹  (x−4)(x+3)>0  ⟹  x<−3x^2 - x - 12 > 0 \implies (x - 4)(x + 3) > 0 \implies x < -3 veya x>4x > 4 olur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının kesinlikle sıfırdan büyük olmas�� gerekir.
2
Eşitsizliğin tabanı 00 ile 11 arasında olduğundan, logaritmayı kaldırırken eşitsizliğin yönünü değiştiririz.
x2−x−12≤(12)−3  ⟹  x2−x−12≤8  ⟹  x2−x−20≤0x^2 - x - 12 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \implies x^2 - x - 12 \leq 8 \implies x^2 - x - 20 \leq 0 elde edilir.
Taban 0<b<10 < b < 1 olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır, bu nedenle eşitsizlik yön değiştirir.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.
x2−x−20≤0  ⟹  (x−5)(x+4)≤0  ⟹  −4≤x≤5x^2 - x - 20 \leq 0 \implies (x - 5)(x + 4) \leq 0 \implies -4 \leq x \leq 5 bulunur.
İkinci dereceden ifadenin kökleri −4-4 ve 55 olup, başkatsayısı pozitif olduğundan bu iki kök arasındaki bölge negatif veya sıfırdır.
4
Tanım kümesi ile eşitsizlikten elde edilen aralığın kesişimini alarak çözüm kümesini belirleriz.
[−4,5]∩((−∞,−3)∪(4,∞))=[−4,−3)∪(4,5][-4, 5] \cap ((-\infty, -3) \cup (4, \infty)) = [-4, -3) \cup (4, 5] elde edilir.
Bulunan xx değerlerinin hem e��itsizliği sağlaması hem de logaritmayı tanımlı kılması zorunludur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplarız.
Bu aralıktaki tam sayılar {−4,5}\{-4, 5\} olup, toplamları −4+5=1-4 + 5 = 1 olur.
[−4,−3)[-4, -3) aralığındaki tek tam sayı −4-4, (4,5](4, 5] aralığındaki tek tam sayı 55'tir.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerin çözümü ve tanım kümesi sınırlandırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1823Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={3−x2,x<1ax,x≥1f(x) = {\begin{cases} 3 - x^2, & x < 1 \\ ax, & x \geq 1 \end{cases}}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→2f(f(x−1))\lim_{x \to 2} f(f(x - 1))

limiti bir gerçel sayıya eşit olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

a sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı -1 olur.
Limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Değişken değiştirme sonrası sol limit 2a olarak bulunur. Sağ limit ise a'nın işaretine göre incelenir: a > 0 iken limit a^2 olup a = 2 bulunur; a < 0 iken limit 3 - a^2 olup a = -3 bulunur. Bu değerlerin toplamı -1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme ile limiti sadeleştirme
y=x−1y = x - 1 dönüşümü yapıldığında x→2x \to 2 iken y→1y \to 1 olur. Limit lim⁡y→1f(f(y))\lim_{y \to 1} f(f(y)) biçimine dönüşür. Limitin var olması için sol ve sa�� limitlerin eşit olması gerekir.
Yatay ötelemeyi ve değişken yaklaşımını daha kolay incelemek için.
2
Sol limit değerini hesaplama
y→1−y \to 1^- için f(y)=3−y2→2+f(y) = 3 - y^2 \to 2^+ olur. Buradan sol limit lim⁡u→2+f(u)=2a\lim_{u \to 2^+} f(u) = 2a elde edilir.
Limitin varlığı için sol limit değerini belirlemek gerekir.
3
Sağ limit değerini durum bazlı inceleme
y→1+y \to 1^+ için f(y)=ayf(y) = ay olur. a > 0 ise ay, a değerine sağdan yaklaşır; a < 0 ise ay, a değerine soldan yaklaşır. Bu iki durum ayrı ayrı incelenerek a = 2 ve a = -3 değerleri bulunur. a = 0 durumunda limitin olmadığı gösterilir.
Negatif bir katsayı ile çarpmanın yaklaşım yönünü tersine çevirdiğini göz önünde bulundurarak sağ limiti belirlemek için.
4
Bulunan değerleri toplayıp sonucu bulma
aa sayısının alabileceği değerler 22 ve −3-3 olup, toplamları 2+(−3)=−12 + (-3) = -1 bulunur.
Soru bizden a değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda yaklaşım yönünün belirlenmesi ve limit varlık koşulu
Soru 1824Soru →

Genel terimi an=2⋅3n−1a_n = 2 \cdot 3^{n-1} olan bir geometrik dizinin ilk 44 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Genel terimi verilen geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamı 80'dir.
Genel terimi verilen geometrik dizinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 ve ortak çarpanı r=3r = 3 olarak bulunur. Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ifadesinde bu değerler ve n=4n = 4 yerine yazıldığında S4=2⋅34−13−1=80S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 80 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terimi ve ortak çarpanı belirleme
a1=2a_1 = 2 ve r=3r = 3
Dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} biçiminde yazıldığında ilk terim ve ortak çarpan doğrudan tespit edilebilir.
2
Toplam formülünü kurma
S4=2⋅34−13−1S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1}
Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülü ile hesaplanır.
3
Hesaplamayı gerçekleştirme
S4=80S_4 = 80
Üslü ifadenin değeri bulunarak sadeleştirme işlemleri tamamlanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü
Soru 1825Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x−3)+1log⁡5(x2−4x)−1≤0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 1}{\log_5(x^2 - 4x) - 1} \leq 0
eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı tam sayının toplamı 13'tür.
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesi olan x>4x > 4 sınırları içinde, paydayı sıfır yapan x=5x = 5 değerinin elenmesiyle oluşan çözüm kümesindeki en küçük iki tam sayının (66 ve 77) toplamı doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şartını kullanarak tanım kümesini belirlemek.
Paydaki ifade için x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 olmalıdır. Paydadaki ifade için x2−4x>0  ⟹  x(x−4)>0  ⟹  x<0x^2 - 4x > 0 \implies x(x - 4) > 0 \implies x < 0 veya x>4x > 4 olmalıdır. Her iki koşulun kesişiminden en geniş tanım kümesi T=(4,∞)T = (4, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın tanımlı olmadığı aralıklarda eşitsizlik çözümü aranamaz.
2
Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini (ifadeyi sıfır yapan noktaları) bulmak.
Payın kökü: log⁡12(x−3)+1=0  ⟹  log⁡12(x−3)=−1  ⟹  x−3=2  ⟹  x=5\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x-3) = -1 \implies x-3 = 2 \implies x = 5. Paydanın kökü: log⁡5(x2−4x)−1=0  ⟹  log⁡5(x2−4x)=1  ⟹  x2−4x=5  ⟹  x2−4x−5=0  ⟹  (x−5)(x+1)=0  ⟹  x=5\log_5(x^2-4x) - 1 = 0 \implies \log_5(x^2-4x) = 1 \implies x^2-4x = 5 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0 \implies x=5 veya x=−1x=-1.
Eşitsizlik tablosu oluşturmak veya işaret değişimi incelemek için kritik noktalar belirlenmelidir.
3
Tanım kümesi (x>4x > 4) sınırları dahilinde pay ve paydanın işaretlerini analiz ederek eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak.
Taban değerlerine göre; 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan pay kısmı x>5x > 5 için negatif, x<5x < 5 için pozitiftir. Payda ise 5>15 > 1 olduğundan x>5x > 5 için pozitif, x<5x < 5 için negatiftir. Buradan oranlandığında, x≠5x \neq 5 ve x>4x > 4 koşulları altında tüm değerler için oran negatif olur. Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (4,5)∪(5,∞)(4, 5) \cup (5, \infty) olarak elde edilir.
Pay ve paydanın işaret değişimi ile paydanın tanımsızlık yaptığı nokta belirlenerek çözüm kümesi oluşturulur.
4
Çözüm kümesindeki en küçük iki farklı tam sayıyı belirleyip toplamak.
Çözüm kümesindeki tam sayılar 6,7,8,…6, 7, 8, \dots şeklindedir. En küçük iki tam sayı 66 ve 77 olup, toplamları 6+7=136 + 7 = 13 bulunur.
Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizliklerin Çözümü ve Tanım Kümesi Analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1826Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Her terimi pozitif olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ortak çarpanı r>1r > 1'dir. Bu dizide
a7−a1a5−a3=72\frac{a_7 - a_1}{a_5 - a_3} = \frac{7}{2}
a2⋅a8=32a_2 \cdot a_8 = 32
olduğuna göre, dizinin ortak çarpanının karesi r2=r^2 = ve dördüncü terimi a4=a_4 = olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak ��arpanının karesi r2=2r^2 = 2 ve dördüncü terimi a4=4a_4 = 4'tür.
Dizinin terimleri genel terim formülüyle ifade edilip oranlandığında r2+1+1/r2=7/2r^2 + 1 + 1/r^2 = 7/2 denklemi elde edilir. Bu denklemin r>1r > 1 koşulunu sağlayan kökü r2=2r^2 = 2'dir. Ardından a2⋅a8=a42⋅r2=32a_2 \cdot a_8 = a_4^2 \cdot r^2 = 32 eşitliğinde r2r^2 yerine 2 yazılarak a42=16a_4^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a4=4a_4 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri genel terim formülü kullanarak a1a_1 ve rr cinsinden yazma.
a7−a1=a1(r6−1)a_7 - a_1 = a_1(r^6 - 1) ve a5−a3=a1(r4−r2)=a1r2(r2−1)a_5 - a_3 = a_1(r^4 - r^2) = a_1 r^2(r^2 - 1) elde edilir.
Orandaki terimleri sadeleştirebilmek için hepsini ortak bir tabanda ifade etmeliyiz.
2
Elde edilen ifadeleri oranlama ve çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirme.
a1(r6−1)a1r2(r2−1)=r6−1r2(r2−1)=(r2−1)(r4+r2+1)r2(r2−1)=r4+r2+1r2=r2+1+1r2\frac{a_1(r^6 - 1)}{a_1 r^2(r^2 - 1)} = \frac{r^6 - 1}{r^2(r^2 - 1)} = \frac{(r^2 - 1)(r^4 + r^2 + 1)}{r^2(r^2 - 1)} = \frac{r^4 + r^2 + 1}{r^2} = r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} bulunur.
r6−1r^6 - 1 ifadesini iki kare farkı veya iki küp farkı mantığıyla (r2−1)(r4+r2+1)(r^2 - 1)(r^4 + r^2 + 1) olarak çarpanlarına ayırarak paydadaki (r2−1)(r^2 - 1) ile sadeleştiririz.
3
Sadeleşmiş ifadeyi 72\frac{7}{2}'ye eşitleyip r2r^2 değerini bulma.
r2+1+1r2=72  ⟹  r2+1r2=52r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} = \frac{7}{2} \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = \frac{5}{2} olur. Buradan r2=2r^2 = 2 veya r2=12r^2 = \frac{1}{2} elde edilir.
u=r2u = r^2 değişken değiştirmesi yapıldığında u+1u=52  ⟹  2u2−5u+2=0  ⟹  (2u−1)(u−2)=0u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2} \implies 2u^2 - 5u + 2 = 0 \implies (2u - 1)(u - 2) = 0 denklemi çözülür.
4
r>1r > 1 koşulunu kullanarak uygun r2r^2 değerini seçme.
r2=2r^2 = 2 olur.
r>1r > 1 ise r2>1r^2 > 1 olmalıdır. Dolayısıyla r2=2r^2 = 2 değeri seçilir, 12\frac{1}{2} elenir.
5
İkinci denklem yardımıyla a4a_4 terimini hesaplama.
a2⋅a8=(a4⋅r−2)⋅(a4⋅r4)=a42⋅r2=32a_2 \cdot a_8 = (a_4 \cdot r^{-2}) \cdot (a_4 \cdot r^4) = a_4^2 \cdot r^2 = 32 olur. r2=2r^2 = 2 yazıldığında a42⋅2=32  ⟹  a42=16  ⟹  a4=4a_4^2 \cdot 2 = 32 \implies a_4^2 = 16 \implies a_4 = 4 bulunur.
Geometrik dizinin indis özellikleri gereği a2⋅a8=a4⋅a6=a42⋅r2a_2 \cdot a_8 = a_4 \cdot a_6 = a_4^2 \cdot r^2 yazılabilir. Tüm terimler pozitif olduğundan a4=4a_4 = 4 olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin genel terim cinsinden yazılması, oranlanması ve indis özelliklerinin uygulanması
Soru 1827Soru →
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için log⁡xy\log_x y bir tam sayıdır.
log⁡x(y2)+log⁡y(x9)=9\log_x(y^2) + \log_y(x^9) = 9
olduğuna göre,
log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin doğru değeri 4'tür.
Verilen denklem log⁡xy=u\log_x y = u dönüşümüyle 2u2−9u+9=02u^2 - 9u + 9 = 0 denklemine dönüşür. Bu denklemin kökleri 33 ve 1.51.5 değerleridir. Soruda log⁡xy\log_x y ifadesinin bir tam sayı olduğu belirtildiğinden log⁡xy=3\log_x y = 3 alınmalıdır. İstenen ifade ise log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)=23log⁡xy+6log⁡xy\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6) = \frac{2}{3}\log_x y + \frac{6}{\log_x y} olarak sadeleşir. Burada log⁡xy=3\log_x y = 3 değeri yerine yazıldığında sonuç 23(3)+63=2+2=4\frac{2}{3}(3) + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki logaritmik ifadeleri aynı tabana dönüştürmek amacıyla log⁡xy\log_x y cinsinden yazarız.
log⁡x(y2)=2log⁡xy\log_x(y^2) = 2\log_x y ve log⁡y(x9)=9log⁡yx=9log⁡xy\log_y(x^9) = 9\log_y x = \frac{9}{\log_x y} ifadeleri elde edilir.
Taban değiştirme ve logaritma özelliklerini uygulayarak tek bir değişken üzerinden denklem kurabilmek.
2
log⁡xy=u\log_x y = u değişken değiştirmesini uygularız.
2u+9u=92u + \frac{9}{u} = 9 denklemi elde edilir.
Denklemin çözümünü daha kolay ve anlaşılır hale getirmek.
3
Elde edilen rasyonel denklemi, her iki tarafı uu ile çarparak ikinci dereceden bir denkleme dönüştürürüz.
2u2−9u+9=02u^2 - 9u + 9 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden denklem çözme yöntemlerini uygulayabilmek.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırırız.
(2u−3)(u−3)=0(2u - 3)(u - 3) = 0 elde edilir, buradan u=32u = \frac{3}{2} veya u=3u = 3 bulunur.
Değişkenin alabileceği olası değerleri belirlemek.
5
Soruda verilen 'log⁡xy\log_x y bir tam sayıdır' koşulunu kullanarak uygun uu değerini seçeriz.
u=3u = 3 seçilir.
Tam sayı olma koşulunu sağlayan tek kök 33 olduğu için.
6
İstenen ifadeyi logaritma özelliklerini kullanarak uu cinsinden yazarız.
log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)=23log⁡xy+6log⁡yx=23u+6u\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6) = \frac{2}{3}\log_x y + 6\log_y x = \frac{2}{3}u + \frac{6}{u} elde edilir.
Sorulan ifadeyi hesaplamaya uygun hale getirmek.
7
u=3u = 3 değerini elde ettiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu buluruz.
23(3)+63=2+2=4\frac{2}{3}(3) + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 hesaplanır.
İstenen ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} ve logaritmanın log⁡an(bm)=mnlog⁡ab\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n}\log_a b özelliğinin uygulanması.
Soru 1828Soru →

Bir sinema salonundaki koltuklar, ilk sırada belirli sayıda olmak üzere arkaya doğru her sırada sabit sayıda artarak yerleştirilmiştir. Bu salondaki ilk 6 sıradaki toplam koltuk sayısı 102, ilk 10 sıradaki toplam koltuk sayısı ise 250'dir.

Buna göre, bu sinema salonunun sadece 12. sırasında kaç adet koltuk vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Sinema salonunun 12. sırasında 51 adet koltuk vardır.
Verilen ilk 6 sıranın toplamı (S6=102S_6 = 102) ve ilk 10 sıranın toplamı (S10=250S_{10} = 250) aritmetik dizi toplam formülü ile 2a1+5d=342a_1 + 5d = 34 ve 2a1+9d=502a_1 + 9d = 50 denklemlerini verir. Bu sistem çözüldüğünde ortak fark d=4d = 4 ve ilk terim a1=7a_1 = 7 bulunur. 12. sıradaki koltuk sayısı ise genel terim formülünden a12=a1+11d=7+11×4=51a_{12} = a_1 + 11d = 7 + 11 \times 4 = 51 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülünü yazmak
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]
Soruda verilen toplam koltuk sayılarını modellemek için aritmetik dizi toplam formülüne ihtiyaç duyulmaktadır.
2
İlk 6 sıradaki toplam koltuk sayısı bilgisisi ile birinci denklemi elde etmek
2a1+5d=342a_1 + 5d = 34
S6=102S_6 = 102 eşitliğini formülde yerine koyup sadeleştirmek için.
3
İlk 10 sıradaki toplam koltuk sayısı bilgisi ile ikinci denklemi elde etmek
2a1+9d=502a_1 + 9d = 50
S10=250S_{10} = 250 eşitliğini formülde yerine koyup sadeleştirmek için.
4
Denklem sistemini ortak çözerek ilk terim a1a_1 ve ortak fark dd değerlerini bulmak
d=4d = 4 ve a1=7a_1 = 7
12. sıradaki koltuk sayısını hesaplamak için gerekli olan ilk terim ve ortak farkı elde etmek amacıyla.
5
Dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değerini hesaplamak
a12=51a_{12} = 51
Aritmetik dizinin genel terim formülü an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesinde bulunan değerleri yerine yazarak istenen sıradaki koltuk sayısını bulmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülü ile bulunur.
Soru 1829Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde, a2=4a_2 = 4 ve her n≥2n \geq 2 tam sayısı için
an+1=n+1n−1⋅ana_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cdot a_n
indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Doğru cevap 180'dir.
Teleskopik çarpım yöntemiyle ardışık terimler taraf tarafa çarpılıp sadeleştirildiğinde a10=45⋅a2a_{10} = 45 \cdot a_2 elde edilir. a2=4a_2 = 4 değeri yerine konduğunda doğru sonuç 180 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen an+1=n+1n−1⋅ana_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cdot a_n indirgeme ba��ıntısında nn yerine sırasıyla 2,3,4,…,92, 3, 4, \dots, 9 değerleri yazılır.
a3=31a2a_3 = \frac{3}{1} a_2, a4=42a3a_4 = \frac{4}{2} a_3, a5=53a4a_5 = \frac{5}{3} a_4, …\dots, a10=108a9a_{10} = \frac{10}{8} a_9 eşitlikleri elde edilir.
Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yapabilmek için terimler arasındaki geçiş bağıntıları listelenir.
2
Elde edilen tüm eşitlikler taraf tarafa çarpılır.
a3⋅a4⋯a10=(31⋅42⋅53⋯108)a2⋅a3⋯a9a_3 \cdot a_4 \cdots a_{10} = \left(\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdots \frac{10}{8}\right) a_2 \cdot a_3 \cdots a_9 elde edilir.
Çarpımsal olarak verilen ardışık terimlerin sadeleşmesini sağlamak amacıyla taraf tarafa çarpım uygulanır.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak a3,a4,…,a9a_3, a_4, \dots, a_9 terimleri sadeleştirilir.
a10=(31⋅42⋅53⋅64⋯97⋅108)a2a_{10} = \left(\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{4} \cdots \frac{9}{7} \cdot \frac{10}{8}\right) a_2 kalır.
İndirgemeli dizinin genel terimi ile başlangıç terimi arasındaki ilişkiyi yalnız bırakmak hedeflenir.
4
Kesirlerin çarpımındaki ardışık sadeleştirmeler yapılır.
Pay kısmında son iki terim (99 ve 1010), payda kısmında ise ilk iki terim (11 ve 22) kalır. Buradan a10=9⋅101⋅2a2=45a2a_{10} = \frac{9 \cdot 10}{1 \cdot 2} a_2 = 45 a_2 elde edilir.
Teleskopik çarpımın sadeleşme kuralına göre pay ve paydada kalan terimler belirlenir.
5
Başlangıç terimi a2=4a_2 = 4 değeri yerine yazılarak a10a_{10} hesaplanır.
a10=45⋅4=180a_{10} = 45 \cdot 4 = 180 bulunur.
Soruda verilen başlangıç değeri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpımsal İndirgemeli Dizilerde Teleskopik Çarpım ve Sadeleştirme Yöntemi
Soru 1830Soru →
log⁡a(b⋅c)=3\log_a(b \cdot c) = 3
log⁡b(a⋅c)=4\log_b(a \cdot c) = 4
eşitlikleri verilmiştir.
Buna göre, aa, bb ve cc sayıları 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 911\frac{9}{11}

Cevap

İfadenin doğru değeri 911\frac{9}{11}'dir.
Verilen iki denkleme sırasıyla log⁡aa=1\log_a a = 1 ve log⁡bb=1\log_b b = 1 eklendiğinde logaritmaların içleri abcabc çarpımına dönüşür. Taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡abca=1/4\log_{abc} a = 1/4 ve log⁡abcb=1/5\log_{abc} b = 1/5 bulunur. log⁡abc(abc)=1\log_{abc}(abc) = 1 toplamından log⁡abcc=11/20\log_{abc} c = 11/20 elde edilir. İstenen ifade log⁡c(ab)=log⁡abca+log⁡abcblog⁡abcc\log_c(ab) = \frac{\log_{abc} a + \log_{abc} b}{\log_{abc} c} şeklinde taban değiştirilerek oranlandığında doğru sonuç 911\frac{9}{11} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerinde çarpım özelliğini kullanarak ifadeleri toplam şeklinde yazalım.
log⁡ab+log⁡ac=3\log_a b + \log_a c = 3 ve log⁡ba+log⁡bc=4\log_b a + \log_b c = 4 elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğine göre log⁡x(y⋅z)=log⁡xy+log⁡xz\log_x(y \cdot z) = \log_x y + \log_x z kuralı geçerlidir.
2
Her iki eşitliğe sırasıyla log⁡aa=1\log_a a = 1 ve log⁡bb=1\log_b b = 1 ekleyerek argüman kısmında ortak a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c terimini elde edelim.
log⁡a(a⋅b⋅c)=4\log_a(a \cdot b \cdot c) = 4 ve log⁡b(a⋅b⋅c)=5\log_b(a \cdot b \cdot c) = 5 olur.
Tüm ifadeleri tek bir ortak tabanda birleştirebilmek için abcabc ortak çarpımını oluşturuyoruz.
3
Taban değiştirme kuralı yardımıyla elde ettiğimiz ifadeleri abcabc tabanına dönüştürelim.
log⁡abca=14\log_{abc} a = \frac{1}{4} ve log⁡abcb=15\log_{abc} b = \frac{1}{5} bulunur.
log⁡xy=1log⁡yx\log_x y = \frac{1}{\log_y x} özelliği sayesinde logaritmaların tabanlarını eşitlemiş oluruz.
4
Taban ile argümanı aynı olan logaritmanın değerinin 1 olmasından yararlanarak log⁡abcc\log_{abc} c değerini bulalım.
log⁡abc(a⋅b⋅c)=1  ⟹  log⁡abca+log⁡abcb+log⁡abcc=1  ⟹  14+15+log⁡abcc=1  ⟹  log⁡abcc=1−920=1120\log_{abc}(a \cdot b \cdot c) = 1 \implies \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \log_{abc} c = 1 \implies \log_{abc} c = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20} bulunur.
Ortak tabandaki bilinen iki terimi kullanarak üçüncü bilinmeyen terimin değerini denklemden çekeriz.
5
İstenen log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesini taban değiştirme kuralı ile ortak taban olan abcabc cinsinden yazarak hesaplayalım.
log⁡c(a⋅b)=log⁡abc(a⋅b)log⁡abcc=log⁡abca+log⁡abcblog⁡abcc=14+151120=9201120=911\log_c(a \cdot b) = \frac{\log_{abc}(a \cdot b)}{\log_{abc} c} = \frac{\log_{abc} a + \log_{abc} b}{\log_{abc} c} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}{\frac{11}{20}} = \frac{\frac{9}{20}}{\frac{11}{20}} = \frac{9}{11} elde edilir.
Taban değiştirme kuralı olan log⁡yx=log⁡zxlog⁡zy\log_y x = \frac{\log_z x}{\log_z y} formülü uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Eşitliklerde her iki tarafı abcabc tabanına çevirmek yerine doğrudan log⁡xy=ln⁡yln⁡x\log_x y = \frac{\ln y}{\ln x} yazarak doğal logaritma tabanına geçiş yapılabilir veya logaritmanın taban değiştirme kuralı herhangi bir ortak taban üzerinden de yürütülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1831Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=sin⁡x+cos⁡x\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sin x + \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büy��ğe doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
İkinci bölgenin (3π4,π)\left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) kısmında kosinüs negatif, sinüs ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı negatif olur. Kosinüs ile sinüsün farkı ise negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için daha da küçük bir negatif sayı verir. Tanjant ve kotanjant değerleri negatif olmakla birlikte, bu aralıkta kotanjant −1-1'den küçük, tanjant ise −1-1'den büyüktür. Dolayısıyla tanjant ile kotanjantın farkı pozitif bir değer üretir. Bu durum, kosinüs ile sinüsün farkını en küçük, tanjant ile kotanjantın farkını ise en büyük yapar. Sonuç olarak sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla kosinüs ve sinüsün farkı, sinüs ve kosinüsün toplamı, tanjant ve kotanjantın farkı şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralıktaki trigonometrik değerlerin işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığı ikinci bölgenin ikinci yarısını temsil eder. Bu aralıkta;
- sin⁡x>0\sin x > 0 ve sin⁡x<22\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}
- cos⁡x<0\cos x < 0 ve cos⁡x<−22\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}
- tan⁡x∈(−1,0)\tan x \in (-1, 0)
- cot⁡x<−1\cot x < -1 olur.
Birim çember üzerindeki ikinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. Açı 3π4\frac{3\pi}{4} değerini aştığında kosinüsün mutlak değeri büyürken sinüsün mutlak de��eri küçülür.
2
aa, bb ve cc ifadelerinin işaretlerini ve büyüklüklerini analiz etmek.
- a=cos⁡x−sin⁡x→a = \cos x - \sin x \rightarrow (Negatif) - (Pozitif) = Negatif bir değer alır.
- b=tan⁡x−cot⁡x→b = \tan x - \cot x \rightarrow tan⁡x>−1\tan x > -1 ve −cot⁡x>1-\cot x > 1 olduğundan toplamları pozitif bir değer alır (b>0b > 0).
- c=sin⁡x+cos⁡x→c = \sin x + \cos x \rightarrow Bu aralıkta ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x olduğundan, toplamları negatif bir değer alır (c<0c < 0).
İfadelerin genel işaret yapıları sıralamanın ana hatlarını belirler. Pozitif olan bb ifadesi en büyük değere sahiptir.
3
Negatif olan aa ve cc değerlerini kıyaslayarak tam sıralamayı oluşturmak.
c−a=(sin⁡x+cos⁡x)−(cos⁡x−sin⁡x)=2sin⁡xc - a = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2\sin x elde edilir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan 2sin⁡x>02\sin x > 0 olur, yani c>ac > a bağıntısı bulunur.
İki negatif değer arasındaki farkın işareti incelenerek hangisinin daha büyük olduğu belirlenir. c>ac > a ve b>0b > 0 olduğundan, nihai sıralama a<c<ba < c < b olarak kesinleşir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların ikinci bölgedeki işaretleri, değer aralıkları ve mutlak değerce büyüklük kıyaslamaları.
Soru 1832Soru →
Bir ABCABC üçgeninde aa, bb ve cc sırasıyla AA, BB ve CC açılarının karşılarındaki kenar uzunluklarıdır.
Bu üçgende,
b⋅cos⁡C+c⋅cos⁡B=63b \cdot \cos C + c \cdot \cos B = 6\sqrt{3}
bağıntısı sağlanmaktadır.
Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 66 birim olduğuna göre, AA dar açısının ölçüsü kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

A dar açısının ölçüsü 60 derecedir.
Üçgende kenarlar arasındaki projeksiyon bağıntısı gereği bcos⁡C+ccos⁡B=ab \cos C + c \cos B = a eşitliği yazılabilir. Buradan a=63a = 6\sqrt{3} birim elde edilir. Sinüs teoremine göre asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R olduğundan, yarıçap R=6R = 6 için 63sin⁡A=12\frac{6\sqrt{3}}{\sin A} = 12 eşitliği kurulur. Buradan sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir. AA açısı dar açı olarak belirtildiği için ölçüsü 60 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Projeksiyon formülünü kullanarak a kenar uzunluğunu belirleyin.
a=63a = 6\sqrt{3}
Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın komşu açılarla olan kosinüs bileşenlerinin toplamına eşittir (a=bcos⁡C+ccos⁡Ba = b \cos C + c \cos B).
2
Sinüs teoreminde bilinen değerleri yerine yazarak sin A değerini elde edin.
sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}
Sinüs teoremine göre bir üçgenin kenar uzunluğu, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine bölündüğünde çevrel çemberin çapına (2R2R) eşit olur.
3
Sinüs değeri 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan dar açının ölçüsün�� derece cinsinden bulun.
A=60∘A = 60^\circ
0∘<A<90∘0^\circ < A < 90^\circ aralığında sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan açı 60 derecedir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Kenar Projeksiyon Bağıntıları
Soru 1833Soru →
a<b<c<da < b < c < d olmak üzere,
log⁡13(log⁡2(x2−5))≥0\log_{\frac{1}{3}} \left( \log_2(x^2 - 5) \right) \geq 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [a,b)∪(c,d][a, b) \cup (c, d] olduğuna göre, a2+b2+c2+d2a^2 + b^2 + c^2 + d^2 toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin sınır değerlerinin kareleri toplamı 26'dır.
Verilen nested (iç içe) logaritmik eşitsizlikte hem en içteki ifadenin pozitifliği (x2−5>0x^2-5 > 0) hem de dıştaki logaritmanın argümanının pozitifliği (log⁡2(x2−5)>0  ⟹  x2>6\log_2(x^2-5) > 0 \implies x^2 > 6) sağlanmalıdır. Eşitsizlik çözülürken taban 1/3<11/3 < 1 olduğundan yön değiştirilir ve log⁡2(x2−5)≤1  ⟹  x2≤7\log_2(x^2-5) \leq 1 \implies x^2 \leq 7 bulunur. Koşulların kesişiminden 6<x2≤76 < x^2 \leq 7 elde edilir. Bu aralık [−7,−6)∪(6,7][-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}] biçiminde olup sınır değerlerinin kareleri toplamı 7+6+6+7=267 + 6 + 6 + 7 = 26 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki logaritmanın tanım kümesini belirlemek
x2−5>0  ⟹  x2>5x^2 - 5 > 0 \implies x^2 > 5
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanı sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Dıştaki logaritmanın tanım kümesini belirlemek
log⁡2(x2−5)>0  ⟹  x2−5>20  ⟹  x2>6\log_2(x^2 - 5) > 0 \implies x^2 - 5 > 2^0 \implies x^2 > 6
Dıştaki logaritmanın argümanı olan log⁡2(x2−5)\log_2(x^2 - 5) ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Logaritmik eşitsizliği çözmek
log⁡2(x2−5)≤(13)0  ⟹  log⁡2(x2−5)≤1  ⟹  x2−5≤21  ⟹  x2≤7\log_2(x^2 - 5) \leq (\frac{1}{3})^0 \implies \log_2(x^2 - 5) \leq 1 \implies x^2 - 5 \leq 2^1 \implies x^2 \leq 7
Logaritmanın tabanı 1'den küçük olduğundan dış logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir. İç logaritmanın tabanı 1'den büyük olduğundan yön değişmez.
4
Tanım kümesi ile çözüm kümesini kesiştirip sın��r değerlerin kareleri toplamını hesaplamak
6<x2≤7  ⟹  x∈[−7,−6)∪(6,7]6 < x^2 \leq 7 \implies x \in [-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}]. Buradan a=−7a = -\sqrt{7}, b=−6b = -\sqrt{6}, c=6c = \sqrt{6}, d=7d = \sqrt{7} elde edilir. Kareler toplamı: (−7)2+(−6)2+(6)2+(7)2=7+6+6+7=26(-\sqrt{7})^2 + (-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{7})^2 = 7 + 6 + 6 + 7 = 26 bulunur.
Bulunan tüm eşitsizlik koşullarının ortak kesişim kümesi alınarak en geniş çözüm aralığı belirlenir ve sınır değerlerin kareleri toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tabanın 1'den küçük veya büyük olmasına göre yön değiştirme kuralı ve logaritmanın tanımlı olma şartlarının kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1834Soru →

Bir sporcu antrenmanının ilk günü 1212 dakika koşmuş ve sonraki her gün günlük koşu süresini bir önceki güne göre 44 dakika artırmıştır.

Buna göre, bu sporcu antrenmanının 1010. günü kaç dakika koşmuştur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4848

Cevap

48 dakika
Doğru cevaba ulaşmak için aritmetik dizi modeli kurulur. İlk gün koşu süresi ilk terim a1=12a_1 = 12 ve her gün yapılan artış miktarı ortak fark d=4d = 4 olarak belirlenir. Aritmetik dizinin genel terim formülü an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d şeklindedir. Sporcunun 1010. günkü koşu süresi a10a_{10} terimi ile temsil edilir. Formülde değerler yerine yazıldığında a10=12+(10−1)⋅4=12+9⋅4=48a_{10} = 12 + (10-1) \cdot 4 = 12 + 9 \cdot 4 = 48 dakika bulunur. Bu durum doğru seçenekte sunulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi bir aritmetik dizi olarak modelleme.
İlk terim a1=12a_1 = 12 ve ortak fark d=4d = 4 olarak belirlenir.
Sporcu her gün sabit bir miktarda artış yaptığı için günlük koşu süreleri bir aritmetik dizi oluşturur.
2
1010. günkü koşu süresini temsil eden terimi belirleme.
Aritmetik dizinin genel terim formülü an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d olup, 1010. gün için a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d formülü kurulur.
1010. güne ulaşmak için ilk güne 99 kez günlük artış miktarı eklenmelidir.
3
Değerleri yerine yazarak sonucu hesaplama.
a10=12+9⋅4=48a_{10} = 12 + 9 \cdot 4 = 48 dakika bulunur.
Aritmetik işlemler tamamlanarak dizinin 1010. teriminin sayısal değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerin gerçek hayat uygulamalarında genel teriminin bulunması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1835Soru →

Bir ABCABC üçgeninde D∈[BC]D \in [BC] olacak şekilde bir DD noktası alınıyor.

3∣BD∣=2∣DC∣3|BD| = 2|DC|
m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ
m(DAC^)=45∘m(\widehat{DAC}) = 45^\circ

olduğuna göre, ∣AB∣∣AC∣\frac{|AB|}{|AC|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 223\frac{2\sqrt{2}}{3}

Cevap

223\frac{2\sqrt{2}}{3}
Ortak kenara ve bütünler açılara sahip iki üçgende Sinüs Teoremi uygulandığında, kenarların oranı taban parçalarının oranı ile açıların sinüs değerlerinin oranının çarpımına eşittir. Verilen oranlar yerine yazıldığında sonuç 223\frac{2\sqrt{2}}{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Komşu iki üçgende Sinüs Teoremi bağıntılarını yazma
ABDABD üçgeninde: ∣AB∣sin⁡(ADB^)=∣BD∣sin⁡30∘  ⟹  sin⁡(ADB^)=∣AB∣⋅sin⁡30∘∣BD∣\frac{|AB|}{\sin(\widehat{ADB})} = \frac{|BD|}{\sin 30^\circ} \implies \sin(\widehat{ADB}) = \frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|}

ADCADC üçgeninde: ∣AC∣sin⁡(ADC^)=∣DC∣sin⁡45∘  ⟹  sin⁡(ADC^)=∣AC∣⋅sin⁡45∘∣DC∣\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ADC})} = \frac{|DC|}{\sin 45^\circ} \implies \sin(\widehat{ADC}) = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}
Her iki üçgenin ortak olan kenarı ve bütünler açılarından yararlanmak için Sinüs Teoremi uygulanır.
2
Bütünler açıların sinüs eşitliğini kullanarak bağıntıları birleştirme
ADB^+ADC^=180∘\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180^\circ olduğundan sin⁡(ADB^)=sin⁡(ADC^)\sin(\widehat{ADB}) = \sin(\widehat{ADC}) olur. Buradan:

∣AB∣⋅sin⁡30∘∣BD∣=∣AC∣⋅sin⁡45∘∣DC∣\frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|} = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣⋅sin⁡45∘sin⁡30∘\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}
Birbirini 180∘180^\circ ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşittir.
3
Verilen oranları ve trigonometrik değerleri yerine yazarak sonucu bulma
3∣BD∣=2∣DC∣  ⟹  ∣BD∣∣DC∣=233|BD| = 2|DC| \implies \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{2}{3} değerini ve sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} değerlerini denklemde yerine koyalım:

∣AB∣∣AC∣=23⋅2212=223\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
Soruda verilen sayısal veriler ve standart açıların sinüs değerleri oranlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak kenara sahip komşu üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulamaları
Soru 1836Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f′(x)=(x−3)2(x+1)(x−a)x2+1f'(x) = \frac{(x - 3)^2(x + 1)(x - a)}{x^2 + 1}
biçimindedir.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 66 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 66 olan durum için aa değeri 77 olmalıdır.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin köklerinden x=3x = 3 çift katlı kök olduğundan bu noktada işaret değişmez ve yerel ekstremum noktası değildir. x=−1x = -1 ve x=ax = a noktaları tek katlı kökler olduğundan bu noktalarda işaret değişir ve yerel ekstremum noktalarıdır. Apsisler toplamı −1+a=6  ⟹  a=7-1 + a = 6 \implies a = 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunu sıfır yapan kritik noktaları belirlemek.
f′(x)=0  ⟹  (x−3)2(x+1)(x−a)=0f'(x) = 0 \implies (x - 3)^2(x + 1)(x - a) = 0 denkleminden elde edilen kökler x=3x = 3 (çift katlı), x=−1x = -1 ve x=ax = a'dır.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Bu noktalar türevin sıfır olduğu yerlerde aranır.
2
Köklerin katlılık durumunu inceleyerek işaret değişimini analiz etmek.
x=3x = 3 noktası çift katlı kök olduğundan türev bu noktada işaret değiştirmez. x=−1x = -1 ve x=ax = a noktaları tek katlı kökler olduğundan türev bu noktalarda işaret değiştirir.
Çift katlı köklerde fonksiyonun türevi işaret değiştirmediği için bu noktalar yerel ekstremum noktası olamaz.
3
Ekstremum noktalarının apsisleri toplamını kullanarak aa değerini hesaplamak.
Ekstremum noktalarının apsisleri −1-1 ve aa olduğundan, toplamları −1+a=6  ⟹  a=7-1 + a = 6 \implies a = 7 olarak elde edilir.
Soruda yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamının 66 olduğu verilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi işaret değiştirmelidir. Türevin çift katlı köklerinde işaret değişimi olmadığından bu noktalar yerel ekstremum noktası olamaz.
Soru 1837Soru →

(x−2)2(x2−5x−6)<0(x-2)^2(x^2 - 5x - 6) < 0 eşitsizliğinin gerçel sayılar kümesindeki en geniş çözüm kümesi [−1,6]∖{2}[-1, 6] \setminus \{2\} kümesidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Eşitsizliğin gerçel sayılardaki en geniş çözüm kümesi (−1,6)∖{2}(-1, 6) \setminus \{2\} olmalıdır.
Eşitsizlik kesin küçüktür (<<) sembolü içerdiğinden, ifadeyi sıfır yapan sınır değerleri (x=−1x = -1 ve x=6x = 6) ile çift katlı kök olan x=2x = 2 çözüm kümesine dahil edilmemelidir. Dolayısıyla doğru çözüm kümesi [−1,6]∖{2}[-1, 6] \setminus \{2\} değil, (−1,6)∖{2}(-1, 6) \setminus \{2\} açık aralığı olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki çarpanların köklerini bulunuz.
(x−2)2=0  ⟹  x=2(x-2)^2 = 0 \implies x = 2 (çift katlı kök) ve x2−5x−6=0  ⟹  (x−6)(x+1)=0  ⟹  x=6x^2 - 5x - 6 = 0 \implies (x-6)(x+1) = 0 \implies x = 6 ve x=−1x = -1 (tek katlı kökler) olarak bulunur.
İşaret tablosunda yer alacak sınır noktalarını ve köklerin tek/çift kat durumlarını belirlemek amacıyla her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.
2
Kökleri işaret tablosuna yerleştirerek en sağdaki bölgenin işaretini tespit ediniz.
Kökler küçükten büyüğe doğru −1-1, 22 ve 66 şeklinde sıralanır. Eşitsizlikteki ifadelerin baş katsayılarının işaretleri çarpımı (+1)⋅(+1)=+(+1) \cdot (+1) = + olduğundan, tablonun en sağ bölgesi (x>6x > 6 için) ++ işareti ile başlar.
İşaret tablosuna hangi işaretle başlanacağını belirlemek için en büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpılır.
3
Köklerin kat durumlarına dikkat ederek işaret tablosunu tamamlayınız.
x=6x = 6 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir (−- olur). x=2x = 2 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez (−- olarak kalır). x=−1x = -1 tek katlı kökünden geçerken işaret tekrar değişir (++ olur).
Tek katlı köklerde işaretin değiştiği, çift katlı köklerde ise işaretin korunduğu kuralı uygulanır.
4
Eşitsizlik şartını sağlayan bölgeleri belirleyip çözüm kümesini yazınız.
Eşitsizlikte sıfırdan küçük (<0< 0) olan bölgeler istendiği için tablodaki negatif bölgeler seçilir. Bu bölgeler (−1,2)(-1, 2) ve (2,6)(2, 6) aralıklarıdır. İki aralığın birleşimi (−1,6)∖{2}(-1, 6) \setminus \{2\} şeklinde yazılır. Eşitsizlikte eşitlik (==) durumu bulunmadığı için kök değerleri çözüm kümesine dahil edilmez.
Kesin eşitsizlik durumunda (<<) sınır değerlerinin ve ifadeyi sıfır yapan köklerin çözüm kümesinden çıkarılması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde çift katlı köklerin ve açık/kapalı aralık sınırlarının işaret tablosunda incelenmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1838Soru →
x∈(0,π)x \in (0, \pi) olmak üzere,
sin⁡(3x)+sin⁡(x)=sin⁡(2x)\sin(3x) + \sin(x) = \sin(2x)
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.
Verilen denklem toplam-çarpım dönüşümü yardımıyla sin⁡(2x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0 şeklinde yazılır. (0,π)(0, \pi) açık aralığında sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 denklemini sağlayan tek kök x=π2x = \frac{\pi}{2}'dir (00 ve π\pi açık aralıkta değildir). Aynı aralıkta cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan tek kök x=π3x = \frac{\pi}{3}'tür. Bu durumda denklemin bu aralıkta toplam 2 farklı kökü bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡(3x)+sin⁡(x)\sin(3x) + \sin(x) ifadesine toplam-çarpım dönüşüm formülünü uygulayın.
2sin⁡(2x)cos⁡(x)2\sin(2x)\cos(x)
Trigonometrik denklemleri çarpanlarına ayırabilmek için toplam şeklindeki ifadeleri çarpım şekline dönüştürmek gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazıp tüm terimleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.
sin⁡(2x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0
Kök kaybını önlemek amacıyla her iki tarafı sadeleştirmek yerine ortak paranteze alma yöntemi kullanılır.
3
sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki köklerini inceleyin.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
2x=kπ  ⟹  x=kπ22x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2} genel çözümünden, (0,π)(0, \pi) açık aralığına sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} düşer. Sınır değerleri olan 00 ve π\pi açık aralığa dahil değildir.
4
2cos⁡(x)−1=0  ⟹  cos⁡(x)=122\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki köklerini bulun.
x=π3x = \frac{\pi}{3}
Kosinüs fonksiyonunun birinci bölgede 12\frac{1}{2} değerini aldığı açı π3\frac{\pi}{3} radyandır.
5
Bulunan farklı kök sayılarını toplayarak sonuca ulaşın.
{π3,π2}\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right\} kümesinden 2 farklı kök elde edilir.
Bulunan köklerin her ikisi de verilen açık aralıkta yer alan ve birbirinden farklı olan geçerli gerçel köklerdir.

Anahtar Kavram

Toplam-çarpım formülleri yardımıyla trigonometrik denklemlerin çarpanlarına ayrılması ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Soru 1839Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡2(x−2)<log⁡12(x−4)+4\log_2(x - 2) < \log_{\frac{1}{2}}(x - 4) + 4
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 18'dir.
Logaritma tanımlarından gelen x>4x > 4 kısıtlaması ile eşitsizlik çözümü olan x<3+17x < 3 + \sqrt{17} aralığının kesişimi (4,3+17)(4, 3 + \sqrt{17}) aralığını verir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar 5,6,75, 6, 7 olup toplamları 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi: x>4x > 4
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifadeler pozitif olmalıdır. x−2>0x - 2 > 0 ve x−4>0x - 4 > 0 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
2
Logaritma tabanlarını eşitlemek ve düzenlemek
log⁡2((x−2)(x−4))<4\log_2((x - 2)(x - 4)) < 4
log⁡12(a)=−log⁡2(a)\log_{\frac{1}{2}}(a) = -\log_2(a) dönüşümü yapılıp logaritma toplam özelliği yardımıyla ifadeler tek bir logaritma altında çarpım olarak yazılır.
3
Logaritmayı kaldırmak ve cebirsel eşitsizliği elde etmek
x2−6x−8<0x^2 - 6x - 8 < 0
Taban 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmeden logaritmadan çıkarılır ve elde edilen ikinci dereceden ifade düzenlenir.
4
Cebirsel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak
x∈(3−17,3+17)x \in (3 - \sqrt{17}, 3 + \sqrt{17})
x2−6x−8=0x^2 - 6x - 8 = 0 denkleminin kökleri 3±173 \pm \sqrt{17} olarak bulunur ve baş katsayı pozitif olduğu için kökler arası bölge negatif işaretlidir.
5
Tanım kümesiyle kesiştirip tam sayı çözümlerinin toplamını bulmak
5+6+7=185 + 6 + 7 = 18
x>4x > 4 koşulu altında (4,3+17)(4, 3 + \sqrt{17}) aralığı elde edilir. 17≈4,12\sqrt{17} \approx 4,12 olduğundan aralıktaki tam sayılar 5,6,75, 6, 7 olur.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde taban 1'den küçük olduğunda dönüşüm yaparken işaret değişimlerine dikkat edilmesi ve tanım kümesi sınırlarının her aşamada kontrol edilmesi.
Soru 1840Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x+1,x<15,x=14−x,1<x<3x2−5x+7,x≥3f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 5, & x = 1 \\ 4 - x, & 1 < x < 3 \\ x^2 - 5x + 7, & x \geq 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→2+f(f(x+1))+lim⁡x→1−f(f(x−1))\lim_{x \to 2^+} f(f(x + 1)) + \lim_{x \to 1^-} f(f(x - 1))
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Limitlerin toplamı 5 değerine eşittir.
Doğru cevap olan 5 değeri, limit ifadelerinde yön takibinin doğru yapılmasıyla bulunur. İlk limitte iç limit 1+1^+ olduğundan dış limit 3'tür. İkinci limitte iç limit 1−1^- olduğundan dış limit 2'dir. Bu iki değerin toplamı 3+2=53 + 2 = 5 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İlk limit ifadesinde değişken dönüşümü yapılır.
t=x+1t = x + 1 dönüşümü yapıldığında, x→2+x \to 2^+ iken x>2x > 2 olduğundan t→3+t \to 3^+ olur. Limit lim⁡t→3+f(t)\lim_{t \to 3^+} f(t) haline gelir.
Bileşke fonksiyon limitlerinde i��teki ifadenin yaklaşım noktasını ve yönünü belirlemek gerekir.
2
İçteki limitin değeri ve yaklaşım yönü incelenir.
t→3+t \to 3^+ için t≥3t \ge 3 aralığındaki f(t)=t2−5t+7f(t) = t^2 - 5t + 7 parçası kullanılır. Limit değeri 32−5(3)+7=13^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. t>3t > 3 iken (t−2.5)2+0.75>1(t-2.5)^2 + 0.75 > 1 olduğundan limit değeri 1'e sağdan yaklaş��r (1+1^+).
Dıştaki fonksiyonun limit yönünü belirlemek için içteki limitin hangi yönden yaklaştığı tespit edilmelidir.
3
Dıştaki limit hesaplanır.
u→1+u \to 1^+ için 1<u<31 < u < 3 aralığındaki f(u)=4−uf(u) = 4 - u parçası kullanılır. Buradan lim⁡u→1+(4−u)=3\lim_{u \to 1^+} (4 - u) = 3 bulunur. ��lk limitin değeri 3'tür.
İç limit 1+1^+ olduğundan dıştaki fonksiyonda 1 noktasına sağdan yaklaşılır.
4
İkinci limit ifadesinde değişken dönüşümü yapılır.
t=x−1t = x - 1 dönüşümü yapıldığında, x→1−x \to 1^- iken x<1x < 1 olduğundan t→0−t \to 0^- olur. Limit lim⁡t→0−f(t)\lim_{t \to 0^-} f(t) haline gelir.
İkinci bileşke ifadede yatay ötelemenin limit noktasını nasıl etkilediği belirlenir.
5
İkinci limitin iç değeri ve yaklaşım yönü incelenir.
t→0−t \to 0^- için t<1t < 1 aralığındaki f(t)=t+1f(t) = t + 1 parçası kullanılır. Limit değeri 0+1=10 + 1 = 1 olur. t<0t < 0 iken t+1<1t + 1 < 1 olduğundan limit değeri 1'e soldan yaklaşır (1−1^-).
Bileşkenin dış basamağı için yaklaşım yönü belirlenmelidir.
6
İkinci limitin dıştaki aşaması hesaplanır.
u→1−u \to 1^- için u<1u < 1 aralığındaki f(u)=u+1f(u) = u + 1 parçası kullanılır. Buradan lim⁡u→1−(u+1)=2\lim_{u \to 1^-} (u + 1) = 2 bulunur. İkinci limitin değeri 2'dir.
İç limit 1−1^- olduğundan dıştaki fonksiyonda 1 noktasına soldan yaklaşılır.
7
Bulunan limit değerleri toplanır.
3+2=53 + 2 = 5 elde edilir.
İki limit ifadesinin toplamı sorulduğu için sonuçlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların limiti hesaplanırken, içteki fonksiyonun limit değerine yaklaşım yönü (sağdan veya soldan olması) belirlenmeli ve dıştaki limit bu yöne göre çözülmelidir.
ÖncekiSayfa 92 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin