Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1881Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere, tan⁡(x)+cot⁡(x)=43\tan(x) + \cot(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı π2\frac{\pi}{2} radyandır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen matematiksel ifade doğrudur.
Verilen denklem çözüldüğünde [0,π][0, \pi] aralığındaki gerçel köklerin π6\frac{\pi}{6} ve π3\frac{\pi}{3} olduğu görülür. Bu köklerin toplamı π2\frac{\pi}{2} radyan olduğundan ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
tan⁡(x)+cot⁡(x)\tan(x) + \cot(x) ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} elde edilir.
Trigonometrik denklemleri çözmek için öncelikle ifadeleri daha sade bir forma dönüşt��rmek gerekir.
2
Paydadaki sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(x)\cos(x) ifadesi için sinüs yarım açı formül��nü (sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)) uygulayarak denklemi yeniden düzenleyin.
1sin⁡(x)cos⁡(x)=2sin⁡(2x)\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{\sin(2x)} olur. Buradan denklemi 2sin⁡(2x)=43\frac{2}{\sin(2x)} = \frac{4}{\sqrt{3}} şeklinde yazıp içler dışlar çarpımı yaparsak sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Farklı trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadeyi tek bir sinüs fonksiyonu cinsinden yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek amaçlanır.
3
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x∈[0,2π]2x \in [0, 2\pi] olduğunu göz önünde bulundurarak sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} denkleminin köklerini bulun.
2x=π3  ⟹  x1=π62x = \frac{\pi}{3} \implies x_1 = \frac{\pi}{6} ve 2x=2π3  ⟹  x2=π32x = \frac{2\pi}{3} \implies x_2 = \frac{\pi}{3} bulunur.
Belirlenen aralıkta sinüs değerini 32\frac{\sqrt{3}}{2} yapan tüm açı değerlerini tespit etmek gerekir.
4
Bulunan köklerin toplamını hesaplayarak ifadedeki değerle karşılaştırın.
x1+x2=π6+π3=3π6=π2x_1 + x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} radyandır.
İfadenin doğruluğunu kesin olarak teyit etmek için kökler toplamı kontrol edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde özdeşlikler ve yarım açı formülleri yardımıyla kök bulma

Alternatif Yöntem

tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ifadesinde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 özdeşliği elde edilir. Buradan doğrudan paydanın sin⁡(x)cos⁡(x)=34\sin(x)\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} olması gerektiği görülür. Bu eşitliğin her iki tarafı 2 ile çarpılarak yarım açı formülünden sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} denklemine daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1882Soru →
f(x)=x3−12x+5f(x) = x^3 - 12x + 5

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 4 birimdir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12 ifadesinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık [−2,2][-2, 2] aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu ise 2−(−2)=42 - (-2) = 4 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için fonksiyonun birinci türevinin i��aretinin incelenmesi gerekir.
2
Türev fonksiyonunun sıfır veya sıfırdan küçük olduğu aralık (f′(x)≤0f'(x) \le 0) belirlenir.
[−2,2][-2, 2] aralığı
Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklar fonksiyonun azalan olduğu aralıkları verir.
3
Azalan olunan en geniş aralığın uzunluğu hesaplanır.
4
[−2,2][-2, 2] aralığının uzunluğunu bulmak için sağ uç noktadan sol uç nokta çıkarılır: 2−(−2)=42 - (-2) = 4.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda o fonksiyon azalandır.
Soru 1883Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x2−4x+3)(x2−2x−8)f'(x) = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x - 8)
olarak verilmektedir.
Buna göre, g(x)=f(2x−x2)g(x) = f(2x - x^2) fonksiyonunun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşaret tablosu analizi sonucunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 3'tür.
Fonksiyonun türevi alınıp zincir kuralı uygulandığında elde edilen türev fonksiyonunun işaret tablosu incelenir. Pozitif olduğu aralıklar belirlenerek bu aralıklardaki pozitif tam sayılar toplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(2x−x2)g(x) = f(2x - x^2) fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alınız.
g′(x)=(2−2x)⋅f′(2x−x2)=2(1−x)⋅f′(2x−x2)g'(x) = (2 - 2x) \cdot f'(2x - x^2) = 2(1-x) \cdot f'(2x - x^2)
Bileşke fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türev fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine 2x−x22x - x^2 yazarak f′(2x−x2)f'(2x - x^2) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
f′(u)=(u−1)(u−3)(u−4)(u+2)f'(u) = (u-1)(u-3)(u-4)(u+2) ifadesinde u=2x−x2u = 2x - x^2 yazıldığında; f′(2x−x2)=−(x−1)2⋅[−(x2−2x+3)]⋅[−(x2−2x+4)]⋅[−(x2−2x−2)]f'(2x-x^2) = -(x-1)^2 \cdot [-(x^2 - 2x + 3)] \cdot [-(x^2 - 2x + 4)] \cdot [-(x^2 - 2x - 2)] elde edilir.
g′(x)g'(x) ifadesinin işaretini belirleyebilmek için f′(2x−x2)f'(2x - x^2) bileşeninin tüm çarpanlarını analiz etmeliyiz.
3
Tüm çarpanlar�� birleştirerek g′(x)g'(x) türev fonksiyonunun işaretini belirleyen sadeleşmiş ifadeyi yazınız.
g′(x)=−2(x−1)3(x2−2x+3)(x2−2x+4)(x2−2x−2)g'(x) = -2 (x-1)^3 (x^2 - 2x + 3) (x^2 - 2x + 4) (x^2 - 2x - 2) olur. Burada x2−2x+3>0x^2 - 2x + 3 > 0 ve x2−2x+4>0x^2 - 2x + 4 > 0 daima pozitif olduğundan, işaret yalnızca −2(x−1)3(x2−2x−2)-2(x-1)^3(x^2-2x-2) ifadesine bağlıdır.
Daima pozitif olan çarpanlar işaret tablosundaki işaret değişimini etkilemezler, bu nedenle kökleri ve işaret değişimini belirleyen kritik çarpanlara odaklanılır.
4
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulunuz ve işaret tablosunu oluşturunuz.
Kökler x=1x = 1 (tek katlı), x=1−3x = 1 - \sqrt{3} (tek katlı) ve x=1+3x = 1 + \sqrt{3} (tek katlı) şeklindedir. İşaret tablosunda g′(x)g'(x)'in işareti sağdan sola sırasıyla −-, ++, −-, ++ şeklinde değişir. Böylece artan olduğu aralıklar (−∞,1−3](-\infty, 1 - \sqrt{3}] ve [1,1+3][1, 1 + \sqrt{3}] olarak bulunur.
Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar, fonksiyonun artan olduğu aralıklara karşılık gelir.
5
Artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyip toplamını bulunuz.
1−3≈−0.731 - \sqrt{3} \approx -0.73 olduğundan birinci aralıkta pozitif tam sayı yoktur. İkinci aralık olan [1,1+3][1, 1 + \sqrt{3}] aralığında 1+3≈2.731 + \sqrt{3} \approx 2.73 olduğundan bu aralıktaki pozitif tam sayılar 11 ve 22'dir. Toplamları ise 1+2=31 + 2 = 3 olur.
Soru bizden artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.
Soru 1884Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu

f(x)={x2−9∣x−3∣+a,x<32x−5,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|} + a, & x < 3 \\ 2x - 5, & x \geq 3 \end{cases}

kuralı ile veriliyor.

ff fonksiyonunun x=3x = 3 apsisli noktasında limiti var olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Fonksiyonun 3 noktasında limitinin bulunması, bu noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olmasına bağlıdır. Sol limit hesaplanırken x değeri 3'ten küçük olduğundan mutlak değer içindeki x - 3 ifadesi önüne eksi alarak çıkar ve sadeleştirme sonrası sol limit -6 + a olarak bulunur. Sağ limit ise doğrudan 2x - 5 ifadesinde x yerine 3 yazılarak 1 bulunur. Bu iki limit değerinin eşitlenmesiyle a değeri 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x = 3 noktasındaki sol limitini bulmak için x'in 3'e soldan yaklaştığı durumu inceleyelim.
x < 3 için x - 3 < 0 olduğundan |x - 3| = -(x - 3) olur. Buradan sol limit: lim (x -> 3^-) ( (x^2 - 9) / -(x - 3) + a ) = lim (x -> 3^-) ( -(x + 3) + a ) = -6 + a bulunur.
Mutlak değerli ifadelerin limitini hesaplarken, limit noktasına yaklaşım yönüne göre ifadenin işaretini belirleyip mutlak değer dışına çıkarmamız gerekir.
2
Fonksiyonun x = 3 noktasındaki sağ limitini bulmak için x'in 3'e sağdan yaklaştığı durumu inceleyelim.
x > 3 için f(x) = 2x - 5 kuralı geçerlidir. Buradan sağ limit: lim (x -> 3^+) (2x - 5) = 2(3) - 5 = 1 bulunur.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik noktadaki sağ limiti bulmak için o noktanın sağındaki aralıkta tanımlı olan kural kullanılır.
3
Fonksiyonun x = 3 noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerektiğini kullanalım.
-6 + a = 1 denkleminden a = 7 olarak elde edilir.
Bir noktada limitin varlığı, o noktadaki sağ ve sol limitlerin var ve birbirine eşit olması koşuluna bağlıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların kritik noktalarındaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1885Soru →

Bir ABCDABCD dikdörtgeninde, [AB][AB] kenarı üzerinde bir EE noktası, [BC][BC] kenarı üzerinde bir FF noktası işaretleniyor.

∣AE∣=2 birim|AE| = 2\text{ birim}, ∣EB∣=3 birim|EB| = 3\text{ birim}, ∣BF∣=1 birim|BF| = 1\text{ birim} ve ∣FC∣=3 birim|FC| = 3\text{ birim} olduğuna göre, tan⁡(m(EDF^))\tan(m(\widehat{EDF})) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 711\frac{7}{11}

Cevap

7/11 değeri doğrudur.
Doğru cevap olan 7/11 değeri, D köşesindeki dik açıdan yararlanılarak m(EDF^)=90∘−(a+b)m(\widehat{EDF}) = 90^\circ - (a+b) bağıntısının kurulması, dik üçgenlerden tan⁡a=1/2\tan a = 1/2 ve tan⁡b=3/5\tan b = 3/5 oranlarının elde edilmesi, tanjant toplam formülüyle tan⁡(a+b)=11/7\tan(a+b) = 11/7 bulunması ve tümler açılarda tan⁡(90∘−θ)=cot⁡θ\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta eşitliği kullanılarak kotanjant değerine geçilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin tüm kenar uzunluklarını belirleyelim.
∣AD∣=∣BC∣=∣BF∣+∣FC∣=1+3=4 birim|AD| = |BC| = |BF| + |FC| = 1 + 3 = 4\text{ birim} ve ∣CD∣=∣AB∣=∣AE∣+∣EB∣=2+3=5 birim|CD| = |AB| = |AE| + |EB| = 2 + 3 = 5\text{ birim} olur.
Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
2
m(ADE^)=am(\widehat{ADE}) = a ve m(CDF^)=bm(\widehat{CDF}) = b açılarını tanımlayıp hedef açıyla ilişkilendirelim.
m(EDF^)=xm(\widehat{EDF}) = x olsun. Dikdörtgenin DD köşesi dik açı (90∘90^\circ) olduğundan a+x+b=90∘⇒x=90∘−(a+b)a + x + b = 90^\circ \Rightarrow x = 90^\circ - (a+b) elde edilir.
D köşesindeki açıların toplamı dik açıyı oluşturur.
3
DAEDAE ve DCFDCF dik ��çgenlerini kullanarak aa ve bb açılarının tanjant değerlerini bulalım.
tan⁡a=∣AE∣∣AD∣=24=12\tan a = \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ve tan⁡b=∣FC∣∣CD∣=35\tan b = \frac{|FC|}{|CD|} = \frac{3}{5} bulunur.
Dik üçgende tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
4
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(a+b)\tan(a+b) değerini hesaplayalım.
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b=12+351−12⋅35=1110710=117\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{11}{10}}{\frac{7}{10}} = \frac{11}{7}
Toplam formülü yardımıyla iki açının toplamının tanjantını hesaplamak için.
5
İndirgeme formülü yardımıyla tan⁡x\tan x değerini bulalım.
tan⁡x=tan⁡(90∘−(a+b))=cot⁡(a+b)=1tan⁡(a+b)=711\tan x = \tan(90^\circ - (a+b)) = \cot(a+b) = \frac{1}{\tan(a+b)} = \frac{7}{11}
Birbirini 90∘90^\circ'ye tamamlayan açılardan birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjant formülü ve tümler açılarda trigonometrik fonksiyonların indirgenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1886Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=13x3−a+12x2+ax+7f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax + 7
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 66 birim olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Pozitif a değeri 7'dir.
Verilen fonksiyonun türevi f'(x) = x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a) şeklindedir. Türevin işaret tablosunda negatif olduğu bölge azalanlığı belirler ve bu bölge 1 ile a kökleri arasındadır. Kökler arası mesafe aralığın uzunluğuna eşit olup |a-1| = 6 denkleminden a'nın pozitif değeri 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması
f'(x) = x^2 - (a+1)x + a
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
Türevin köklerinin bulunması
x_1 = 1 ve x_2 = a
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirlemek için türev fonksiyonu sıfıra eşitlenir.
3
Azalanlık aralığı ve uzunluğunun ifadesi
Aralık uzunluğu = |a - 1|
Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir türev fonksiyonu kökler arasında negatif değer alır. Bu nedenle azalan olduğu en geniş aralığın sınırları türevin kökleridir.
4
a parametresinin alabileceği değerlerin hesabı
a = 7 veya a = -5
|a - 1| = 6 mutlak değer eşitliği çözülerek a'nın olası değerleri bulunur.
5
Pozitif değerin seçilmesi
a = 7
Soruda a gerçel sayısının pozitif değeri istendiği için negatif olan -5 değeri elenerek 7 değeri seçilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f'(x) <= 0) olduğu aralıktır. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu aralığın uzunluğu kökler arasındaki farkın mutlak değerine eşittir.
Soru 1887Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin %40\%40'ı erkek, %60\%60'ı kızdır. Erkek öğrencilerin yarısı, kız öğrencilerin ise üçte biri gözlük kullanmaktadır. Buna göre, bu sın��ftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı 0.4'tür.
Sınıftaki toplam öğrenci mevcudu 100 kabul edildiğinde, 40 erkek öğrenciden 20'si ve 60 kız öğrenciden 20'si gözlüklüdür. Toplamda 40 gözlüklü öğrenci bulunur. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı ise 40/100 = 0.4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıftaki toplam öğrenci sayısını 100 olarak varsayalım.
Sınıfta 40 erkek ve 60 kız öğrenci bulunur.
Yüzde hesaplamalarını tam sayılarla daha rahat yapabilmek için sınıf mevcudunu 100 seçmek kolaylık sağlar.
2
Gözlüklü erkek ve kız öğrencilerin sayılarını ayrı ayrı hesaplayalım.
Gözlüklü erkek sayısı: 40×12=2040 \times \frac{1}{2} = 20, Gözlüklü kız sayısı: 60×13=2060 \times \frac{1}{3} = 20.
Soruda verilen oranları erkek ve kız gruplarının sayılarına uygulayarak gözlüklü birey sayılarını bulmak için.
3
Sınıftaki toplam gözlüklü öğrenci sayısını belirleyelim.
Toplam gözlüklü öğrenci sayısı: 20+20=4020 + 20 = 40.
İstenen olayın (gözlüklü öğrenci seçilmesi) eleman sayısını bulmak için.
4
Gözlüklü bir öğrenci seçilme olasılığını hesaplayalım.
Olasılık = 40100=0.4\frac{40}{100} = 0.4.
Basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 1888Soru →
Tanımlı olduğu gerçel sayılar kümesinde
f(x)=x2+3xx+4f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\}

Cevap

Azalan olduğu en geniş küme [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\} kümesidir.
Türevin işaret tablosu yapıldığında [−6,−2][-6, -2] aralığında türev işaretinin negatif olduğu görülür. Ancak fonksiyon x=−4x = -4 noktasında tanımsız olduğu için bu nokta çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş küme [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=(2x+3)(x+4)−(x2+3x)(x+4)2=x2+8x+12(x+4)2f'(x) = \frac{(2x+3)(x+4) - (x^2+3x)}{(x+4)^2} = \frac{x^2+8x+12}{(x+4)^2}
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretinin incelenmesi gerekir.
2
Türevin kökleri ve tanımsızlık noktaları belirlenir.
Payın kökleri: x2+8x+12=0  ⟹  (x+6)(x+2)=0  ⟹  x=−6x^2 + 8x + 12 = 0 \implies (x+6)(x+2) = 0 \implies x = -6 ve x=−2x = -2. Paydanın kökü (tanımsızlık noktası): x=−4x = -4.
İşaret tablosunda kullanılacak kritik noktaları bulmak için türevin pay ve paydasının kökleri tespit edilir.
3
İşaret tablosu oluşturulur ve yorumlanır.
x∈(−∞,−6)x \in (-\infty, -6) için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), x∈(−6,−4)x \in (-6, -4) için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x∈(−4,−2)x \in (-4, -2) için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x∈(−2,∞)x \in (-2, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan).
Türevin işaretine göre fonksiyonun artanlık ve azalanlık bölgeleri belirlenir.
4
Tanım kümesi dikkate alınarak en geniş azalanlık kümesi yazılır.
Fonksiyon x=−4x = -4 noktasında tanımsız olduğundan bu değer kümeden çıkarılır. Sonuç: [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\}
Bir fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktada artan veya azalan olmasından bahsedilemez.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir aralıkta azalan olması için o aralıktaki her nokta için türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f′(x)≤0f'(x) \le 0) olması gerekir. Tanımsız noktalar bu kümeye dahil edilmez.
Soru 1889Soru →
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)={∣x2−a2∣x−a+5x,x<ax+8,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + 5x, & x < a \\ x + 8, & x \ge a \end{cases}
fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti vardır.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a = 4
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin olması, bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olmasını gerektirir. Soldan yaklaşıldığında x<ax < a olduğundan mutlak değerin içi negatiftir ve önüne eksi alarak çıkar. Sadeleştirme sonrası soldan limit 3a3a olarak bulunur. Sağdan limit ise doğrudan a+8a+8 değerini alır. Bu iki değer eşitlendiğinde 3a=a+83a = a + 8 denklemi çözülerek a=4a = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x→a−x \to a^- için soldan limiti inceleyelim.
lim⁡x→a−f(x)=3a\lim_{x \to a^-} f(x) = 3a
x→a−x \to a^- yaklaşımında x<ax < a ve a>0a > 0 olduğu için x2<a2x^2 < a^2 olur. Buradan x2−a2<0x^2 - a^2 < 0 elde edilir. Dolayısıyla mutlak değerli terim ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olarak dışarı çıkar. İfade sadeleştirildiğinde:
lim⁡x→a−(−(x−a)(x+a)x−a+5x)=lim⁡x→a−(−(x+a)+5x)=−2a+5a=3a\lim_{x \to a^-} \left( \frac{-(x-a)(x+a)}{x-a} + 5x \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x+a) + 5x) = -2a + 5a = 3a olur.
2
x→a+x \to a^+ için sağdan limiti inceleyelim.
lim⁡x→a+f(x)=a+8\lim_{x \to a^+} f(x) = a + 8
x→a+x \to a^+ yaklaşımında x≥ax \ge a kuralı geçerlidir. Fonksiyonun bu aralıktaki tanımı f(x)=x+8f(x) = x + 8 olduğundan limit değeri doğrudan a+8a + 8 olur.
3
Soldan ve sağdan limit değerlerini eşitleyerek aa parametresini bulalım.
a=4a = 4
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerinin eşit olması gerekir. Buradan:
3a=a+8  ⟹  2a=8  ⟹  a=43a = a + 8 \implies 2a = 8 \implies a = 4 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda limit incelenirken sağdan ve soldan limitlerin eşitliği kontrol edilir. Mutlak değerli ifadelerin sınır değerdeki işareti belirlenerek çarpanlara ayırma ve sadeleştirme adımları uygulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1890Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
tan⁡(x)⋅cos⁡(3π2−2x)=−sin⁡(x)\tan(x) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(x)
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2π2\pi

Cevap

Denklemi sa��layan köklerin toplamı 2π2\pi radyandır.
Denklem düzenlendiğinde elde edilen sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 eşitliğinin [0,π][0, \pi] aralığındaki ve tanjantı tanımlı yapan kökleri 00, π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6} ve π\pi sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 2π2\pi radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant fonksiyonunun tanımlı olması için kosinüsün sıfırdan farklı olması gerektiği belirlenir ve kosinüs indirgeme formülü uygulanır.
cos⁡(x)≠0⇒x≠π2\cos(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} ve cos⁡(3π2−2x)=−sin⁡(2x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(2x) olarak bulunur.
İndirgeme yaparak denklemi sadeleştirmek ve tanımsızlık oluşturan değerleri baştan dışarıda bırakmak için.
2
Elde edilen indirgenmiş ifade denklemde yerine yazılır, tanjant ve yarım açı formülleri açılarak sadeleştirilir.
sin⁡(x)cos⁡(x)⋅(−sin⁡(2x))=−sin⁡(x)⇒sin⁡(x)cos⁡(x)⋅(2sin⁡(x)cos⁡(x))=sin⁡(x)⇒2sin⁡2(x)=sin⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot (-\sin(2x)) = -\sin(x) \Rightarrow \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot (2\sin(x)\cos(x)) = \sin(x) \Rightarrow 2\sin^2(x) = \sin(x) elde edilir.
Tüm ifadeleri ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla tek bir fonksiyon türüne dönüştürmek için.
3
Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
2sin⁡2(x)−sin⁡(x)=0⇒sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=02\sin^2(x) - \sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 elde edilir.
Sadeleştirme yapıp kök kaybetmemek için tüm terimler tek tarafta toplanarak ortak çarpan parantezine alınır.
4
Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökler tespit edilir.
sin⁡(x)=0⇒x=0\sin(x) = 0 \Rightarrow x = 0 veya x=πx = \pi. 2sin⁡(x)−1=0⇒sin⁡(x)=12⇒x=π62\sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} veya x=5π6x = \frac{5\pi}{6} kökleri bulunur.
Her bir çarpanı sıfır yapan açı değerlerinin verilen sınırlı aralıktaki karşılıklarını bulmak için.
5
Bulunan tüm kökler toplanır.
0+π6+5π6+π=2π0 + \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi = 2\pi elde edilir.
Denklemin farklı gerçel köklerinin toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözümünde indirgeme formülleri, yarım açı özdeşlikleri, ortak çarpan parantezine alma yöntemi ve tanım kümesi kontrolü.
Soru 1891Soru →

aa ve bb sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={∣x2−a2∣x−a+2b,x<ax2−(b+2)x+2b∣x−2∣,x>af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + 2b & , \quad x < a \\ \frac{x^2 - (b+2)x + 2b}{|x - 2|} & , \quad x > a \end{cases}

fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti vardır.

Buna göre,

I. a⋅b>0a \cdot b > 0 ise a=ba = b dir.
II. a<0a < 0 ise lim⁡x→af(x)=43b\lim_{x \to a} f(x) = \frac{4}{3}b dir.
III. b>0b > 0 dır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Verilen öncüllerin üçü de daima doğrudur. Bu nedenle doğru cevap birinci, ikinci ve üçüncü ifadeleri içeren seçenektir.
Limit varlığı koşulu gereği x=ax=a noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşitliğinden yola çıkılarak parametreler incelenmiştir. Yapılan analiz sonucunda a>0a > 0 için a=ba = b eşitliği ve a<0a < 0 için b=−3ab = -3a bağıntısı elde edilmiştir. Bu bağıntılar kapsamında, aa ve bb aynı işaretli ise a=ba = b olmak zorundadır, çünkü zıt işaretli oldukları tek durum a<0a < 0 durumudur. Dolayısıyla birinci ifade doğrudur. a<0a < 0 durumunda limit değeri b−a=−3a−a=−4ab - a = -3a - a = -4a olup a=−b/3a = -b/3 yazılırsa limit değeri 4b/34b/3 olarak bulunur. Dolayısıyla ikinci ifade doğrudur. Her iki durumda da bb parametresi daima pozitif değerler almaktadır, bu sebeple üçüncü ifade de doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limitin (x→a−x \to a^-) belirlenmesi.
a>0a > 0 ise sol limit −2a+2b-2a + 2b; a<0a < 0 ise sol limit 2a+2b2a + 2b olur.
x→a−x \to a^- için x<ax < a dır. a>0a > 0 ise xx pozitif değerlerden yaklaşacağından x+a>0x+a > 0 ve x−a<0x-a < 0 olur, dolayısıyla ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2-a^2| = -(x^2-a^2) olarak dışarı çıkar. Sadeleşme sonucu limit −2a+2b-2a+2b olur. a<0a < 0 ise xx negatif değerlerden yaklaşacağından x+a<0x+a < 0 ve x−a<0x-a < 0 olur, dolayısıyla ∣x2−a2∣=x2−a2|x^2-a^2| = x^2-a^2 olarak dışarı çıkar. Sadeleşme sonucu limit 2a+2b2a+2b olur.
2
Sağ limitin (x→a+x \to a^+) belirlenmesi.
a>2a > 2 ise sağ limit a−ba - b; a<2a < 2 ise sağ limit b−ab - a olur.
x→a+x \to a^+ için x>ax > a dır. Paydaki ifade (x−2)(x−b)(x-2)(x-b) şeklinde çarpanlarına ayrılır. a>2a > 2 ise x>2x > 2 olacağından ∣x−2∣=x−2|x-2| = x-2 olur ve sadeleşme ile limit a−ba-b bulunur. a<2a < 2 ise x<2x < 2 olacağından ∣x−2∣=−(x−2)=2−x|x-2| = -(x-2) = 2-x olur ve sadeleşme ile limit −(a−b)=b−a-(a-b) = b-a bulunur.
3
Limit varlığı koşuluna göre durumların analiz edilmesi.
a>0a > 0 ise a=ba = b; a<0a < 0 ise b=−3ab = -3a bağıntıları elde edilir.
x=ax = a noktasında limitin var olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir. a>2a > 2 ise a−b=−2a+2b  ⟹  a=ba-b = -2a+2b \implies a=b bulunur. 0<a≤20 < a \le 2 ise b−a=−2a+2b  ⟹  a=bb-a = -2a+2b \implies a=b bulunur. Dolayısıyla a>0a > 0 için her durumda a=ba = b dir. a<0a < 0 ise b−a=2a+2b  ⟹  b=−3ab-a = 2a+2b \implies b = -3a bulunur.
4
Elde edilen bağıntılara göre öncüllerin doğruluğunun test edilmesi.
I, II ve III numaralı öncüllerin her birinin doğru olduğu doğrulanır.
I. a⋅b>0a \cdot b > 0 ise aa ile bb aynı işaretlidir. a<0a < 0 durumunda b=−3a>0b = -3a > 0 olup zıt işaretli olduklarından bu durum gerçekleşmez. O halde a>0a > 0 olmalıdır, bu durumda da a=ba = b dir (Doğru). II. a<0a < 0 ise b=−3a  ⟹  a=−b/3b = -3a \implies a = -b/3 tür. Bu durumda limit değeri sağ limit olan b−a=b−(−b/3)=4b/3b - a = b - (-b/3) = 4b/3 olur (Doğru). III. a>0a > 0 ise b=a>0b = a > 0 dır. a<0a < 0 ise b=−3a>0b = -3a > 0 dır. Her iki durumda da b>0b > 0 sağlanır (Doğru).

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limit incelemelerinde, yaklaşım yönüne göre mutlak değerin içerisindeki ifadenin işareti doğru belirlenmeli ve sağ-sol limitler birbirine eşitlenmelidir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1892Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir yy, uu ve tt değişkenleri arasında
y=u3−4u2+6uy = u^3 - 4u^2 + 6u
u=4t3−2tu = 4t^3 - 2t
t=x2−3t = x^2 - 3
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x=2x = 2 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80
Zincir kuralı kullanılarak dy/dx = (dy/du) * (du/dt) * (dt/dx) eşitliği elde edilir. x = 2 değeri için t = 1 ve u = 2 bulunur. Bu noktalardaki türevler sırasıyla 4, 10 ve 2 olarak hesaplanır. Bu değerlerin çarpımı olan 80 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin verilen x=2x = 2 noktasındaki karşılık gelen değerlerini hesaplamak
x=2  ⟹  t=1x = 2 \implies t = 1 ve t=1  ⟹  u=2t = 1 \implies u = 2
Zincir kuralında türevlerin hangi noktalarda değerlendirileceğini belirlemek için aracı değişkenlerin değerlerini bilmemiz gerekir.
2
Her bir değişkenin bir sonrakine göre türev fonksiyonunu bulmak ve ilgili noktadaki değerini hesaplamak
dtdx∣x=2=4\frac{dt}{dx}\Big|_{x=2} = 4, dudt∣t=1=10\frac{du}{dt}\Big|_{t=1} = 10, dydu∣u=2=2\frac{dy}{du}\Big|_{u=2} = 2
Zincir kuralı bileşenlerini elde etmek için her katmanın türevini alırız.
3
Zincir kuralı formülünü uygulamak ve değerleri çarpmak
dydx=2⋅10⋅4=80\frac{dy}{dx} = 2 \cdot 10 \cdot 4 = 80
Zincir kuralı gereği, bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre türevi, aradaki türevlerin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Zincir Kuralı ile türev hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1893Soru →

Her xx gerçel sayısı için tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2−a2∣x−a∣+2x,x<ax2−5x+6,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a^2}{|x - a|} + 2x, & x < a \\ x^2 - 5x + 6, & x \geq a \end{cases}

biçiminde verilmiştir.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti var olduğuna göre, aa parametresinin alabilece��i farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 5'tir.
Fonksiyonun soldan limiti hesaplanırken x<ax < a koşulu altında ∣x−a∣=−(x−a)|x - a| = -(x - a) eşitliği kullanılır. Paydaki x2−a2x^2 - a^2 ifadesi (x−a)(x+a)(x-a)(x+a) şeklinde çarpanlarına ayrılarak sadeleştirildiğinde sol limit lim⁡x→a−(x−a)=0\lim_{x \to a^-} (x - a) = 0 olarak bulunur. Fonksiyonun sağdan limiti ise lim⁡x→a+(x2−5x+6)=a2−5a+6\lim_{x \to a^+} (x^2 - 5x + 6) = a^2 - 5a + 6 olur. Limit varlığı için sağ ve sol limitlerin eşit olması gerektiğinden a2−5a+6=0a^2 - 5a + 6 = 0 denklemi kurulur. Bu denklemin kökleri olan 2 ve 3 sayılarının toplamı 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limit durumunda mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
x→a−x \to a^- için x<ax < a olduğundan x−a<0x - a < 0 olur. Dolayısıyla ∣x−a∣=−(x−a)|x - a| = -(x - a) olarak mutlak değer dışına çıkar.
Sol limit hesaplanırken değişkenin limit noktasına soldan yaklaşması, yani o değerden küçük olması durumunda mutlak değerin içinin işareti belirlenmelidir.
2
Sol limit değerini hesaplama
lim⁡x→a−(x2−a2−(x−a)+2x)=lim⁡x→a−((x−a)(x+a)−(x−a)+2x)=lim⁡x→a−(−(x+a)+2x)=lim⁡x→a−(x−a)=a−a=0\lim_{x \to a^-} \left( \frac{x^2 - a^2}{-(x - a)} + 2x \right) = \lim_{x \to a^-} \left( \frac{(x - a)(x + a)}{-(x - a)} + 2x \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x + a) + 2x) = \lim_{x \to a^-} (x - a) = a - a = 0
0/0 belirsizliğini gidermek için çarpanlara ayırma yapılıp sadeleştirme uygulanır ve limit değeri bulunur.
3
Sağ limit değerini hesaplama
lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a+(x2−5x+6)=a2−5a+6\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (x^2 - 5x + 6) = a^2 - 5a + 6
x→a+x \to a^+ için limit hesaplanırken fonksiyonun x≥ax \geq a kuralı kullanılır.
4
Limit varl��ğı koşuluyla denklemi çözme
a2−5a+6=0  ⟹  (a−2)(a−3)=0  ⟹  a=2 veya a=3a^2 - 5a + 6 = 0 \implies (a - 2)(a - 3) = 0 \implies a = 2 \text{ veya } a = 3
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
5
a değerlerinin toplamını hesaplama
2+3=52 + 3 = 5
Soru kökünde aa parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı istendiği için elde edilen değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitlerinde, kritik noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değer fonksiyonlarında limit noktasına yaklaşım yönü, mutlak değerin içinin işaretini belirler ve ifadenin sadeleştirilmesinde kritik rol oynar.
Soru 1894Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi, her u∈Ru \in \mathbb{R} için
f′(u)=(u−4)2+1f'(u) = (u-4)^2 + 1
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x3−3x2+4)−(x3−3x2+4)g(x) = f(x^3 - 3x^2 + 4) - (x^3 - 3x^2 + 4)
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu ile ilgili,
I. (−∞,0](-\infty, 0] aralığında artandır.
II. [2,∞)[2, \infty) aralığında artandır.
III. x=3x = 3 noktası gg fonksiyonunun bir yerel ekstremum noktasıdır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri doğrudur.
Türev fonksiyonunun işaret analizi yapıldığında, türevin kökleri olan 0 (tek katlı) ve 2 (tek katlı) noktalarında işaret değişirken, çift katlı kök olan 3 noktasında işaret değişmez. Bu durum, fonksiyonun sırasıyla (−∞,0](-\infty, 0] ve [2,∞)[2, \infty) aralıklarında artan olduğunu gösterir. Çift katlı kökte işaret değişmediği için de bu nokta ekstremum olamaz. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevini alarak g′(x)g'(x) ifadesini elde etmek.
g′(x)=f′(x3−3x2+4)⋅(3x2−6x)−(3x2−6x)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 + 4) \cdot (3x^2 - 6x) - (3x^2 - 6x)
Bu ifadeyi ortak çarpan parantezine alırsak:
g′(x)=3x(x−2)[f′(x3−3x2+4)−1]g'(x) = 3x(x-2) \left[ f'(x^3 - 3x^2 + 4) - 1 \right]
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları türevinin işaretini inceleyerek belirlemek gerekir.
2
f′(u)=(u−4)2+1f'(u) = (u-4)^2 + 1 tanımını kullanarak köşeli parantez içindeki ifadeyi basitleştirmek.
u=x3−3x2+4u = x^3 - 3x^2 + 4 yazıldığında:
f′(x3−3x2+4)−1=(x3−3x2+4−4)2=(x3−3x2)2=[x2(x−3)]2=x4(x−3)2f'(x^3 - 3x^2 + 4) - 1 = (x^3 - 3x^2 + 4 - 4)^2 = (x^3 - 3x^2)^2 = [x^2(x-3)]^2 = x^4(x-3)^2
Türev fonksiyonunun tüm çarpanlarını elde edip köklerini bulmak.
3
g′(x)g'(x) fonksiyonunu çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp köklerinin katlılık durumunu incelemek.
g′(x)=3x(x−2)⋅x4(x−3)2=3x5(x−2)(x−3)2g'(x) = 3x(x-2) \cdot x^4(x-3)^2 = 3x^5(x-2)(x-3)^2
Buradan elde edilen kökler:
- x=0x = 0 noktası 1+4=51 + 4 = 5 katlı kök (tek katlı kök)
- x=2x = 2 noktası 1 katlı kök (tek katlı kök)
- x=3x = 3 noktası 2 katlı kök (çift katlı kök)
İşaret tablosunda köklerden geçerken işaret değişim kurallarını doğru uygulamak.
4
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturarak öncülleri değerlendirmek.
Türevin işaret tablosu incelendiğinde:
- (−∞,0)(-\infty, 0) aralığında g′(x)>0g'(x) > 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta artandır (I. öncül doğru).
- (0,2)(0, 2) aralığında g′(x)<0g'(x) < 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta azalandır.
- (2,3)(2, 3) ve (3,∞)(3, \infty) aralıklarında g′(x)>0g'(x) > 0 olup g′(x)≥0g'(x) \geq 0 şartı [2,∞)[2, \infty) aralığında sağlandığından fonksiyon bu aralıkta artandır (II. öncül doğru).
- x=3x = 3 noktası çift katlı kök olduğundan bu noktada türevin işareti yön değiştirmez (artandan artana devam eder), dolayısıyla yerel ekstremum noktası değildir (III. öncül yanlış).
Türevin işaretine göre fonksiyonun artanlık/azalanlık bölgelerini ve yerel ekstremum varlığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi, bileşke fonksiyon türevi ve türev işaret tablosunda çift katlı kök analizi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaretini incelerken, (x−3)2(x-3)^2 ve x4x^4 terimlerinin x=3x=3 ve x=0x=0 dışındaki tüm gerçel sayılar için kesinlikle pozitif olduğu gerçeğinden hareket edilebilir. Bu durumda g′(x)g'(x) ifadesinin işareti (bu kök noktaları hariç tutulmak üzere) doğrudan 3x(x−2)3x(x-2) ifadesinin işaretiyle aynı olur. 3x(x−2)3x(x-2) parabolünün kökleri 0 ve 2 olup, bu parabol (−∞,0)(-\infty, 0) ve (2,∞)(2, \infty) aralıklarında pozitif, (0,2)(0, 2) aralığında negatiftir. Süreklilik ve izole kök özellikleri kullanılarak aralıklar birleştirildiğinde aynı sonuca pratik yoldan ulaşılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1895Soru →

aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={2x+a,x<1bx2+1,1≤x<2ax−b,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 1 \\ b x^2 + 1, & 1 \le x < 2 \\ a x - b, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlan��yor.

ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti olduğuna göre,

lim⁡x→3−f(x−1)+lim⁡x→1+f(f(x))=10\lim_{x \to 3^-} f(x - 1) + \lim_{x \to 1^+} f(f(x)) = 10

eşitliğini sağlayan a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Limit varlık ve yönlü yaklaşım kuralları uygulandığında a = 1 ve b = 2 olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı olan 2 doğru cevaptır.
Doğru cevap 2'dir. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki limit varlığından b - a = 1 elde edilir. Verilen limit toplamından ise yönlü yaklaşım kuralları kullanılarak 4b + ab = 10 eşitliğine ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde pozitif gerçel sayı olan a = 1 ve b = 2 değerleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 noktasındaki limit varlığını incelemek.
b - a = 1 denklemi elde edilir.
Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir. Sol limit: 2(1) + a = a + 2, Sağ limit: b(1)^2 + 1 = b + 1. Buradan a + 2 = b + 1 ve dolayısıyla b = a + 1 bulunur.
2
Birinci limit terimini (x -> 3'e soldan yaklaşırken f(x - 1)) hesaplamak.
4b + 1
u = x - 1 dönüşümü yapıl��r. x -> 3^- iken x < 3 olduğundan u -> 2^- olur. f(u) fonksiyonunun u -> 2'ye soldan limiti için ortadaki parça kullanılır: b(2)^2 + 1 = 4b + 1.
3
İkinci limit terimini (x -> 1'e sağdan yaklaşırken f(f(x))) hesaplamak.
ab - 1
Önce içteki f(x) limiti incelenir. x -> 1^+ iken 1 < x < 2 olduğundan f(x) = b x^2 + 1 olur. x > 1 ise x^2 > 1 ve b > 0 olduğundan b x^2 + 1 > b + 1 olur. Dolayısıyla f(x) değeri b + 1 değerine sağdan (büyük değerlerle) yaklaşır. Dış limit için v = f(x) dersek, v -> (b + 1)^+ olur. a > 0 olduğundan b = a + 1 > 1 ve b + 1 > 2'dir. Dolayısıyla v > 2 olur ve en alttaki parça kullanılır: a(b + 1) - b = ab + a - b. İlk adımdan a - b = -1 olduğundan bu ifade ab - 1 değerine eşit olur.
4
Limitlerin toplamını verilen değere eşitleyip a ve b değerlerini bulmak.
a = 1 ve b = 2
(4b + 1) + (ab - 1) = 10 => 4b + ab = 10 elde edilir. b = a + 1 yazılırsa: 4(a + 1) + a(a + 1) = 10 => a^2 + 5a - 6 = 0 olur. Bu denklem (a + 6)(a - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. a pozitif gerçel sayı olduğundan a = 1'dir. Buradan b = 2 bulunur.
5
a ve b değerlerinin çarpımını hesaplamak.
a * b = 2
İstenen a * b çarpımı 1 * 2 = 2 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun kritik noktalarında limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşitliği incelenir. Ötelenmiş ve bileşke fonksiyonların limitlerinde ise yaklaşım yönü (sağdan/soldan) titizlikle takip edilmelidir.
Soru 1896Soru →
f(x)=x3−6x2−15x+12f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 12

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkta bulunan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x−5)(x+1)f'(x) = 3(x-5)(x+1) olup, türevin negatif veya sıfır olduğu [−1,5][-1, 5] aralığı fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini hesaplayın.
f′(x)=3x2−12x−15f'(x) = 3x^2 - 12x - 15
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar, birinci türevinin işareti incelenerek bulunur.
2
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 eşitsizliğini çözmek için türev fonksiyonunun köklerini bulun.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=5x_2 = 5
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar türevin kökleridir.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturarak azalan olduğu en geniş aralığı belirleyin.
[−1,5][-1, 5] aralığı
[−1,5][-1, 5] aralığında f′(x)≤0f'(x) \leq 0 olduğu için fonksiyon bu aralıkta azalandır.
4
Belirlenen aralıktaki xx tam sayılarını toplayın.
−1+0+1+2+3+4+5=14-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14
[−1,5][-1, 5] aralığındaki tam sayılar sırasıyla −1,0,1,2,3,4,5-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5'tir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, fonksiyonun birinci türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) olduğu aralıktır.
Soru 1897Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff fonksiyonu
f(x)=x3−2x2+1f(x) = x^3 - 2x^2 + 1
ve x>−13x > -\frac{1}{3} için tanımlı gg fonksiyonu
g(x)=3x+1g(x) = \sqrt{3x + 1}
biçiminde veriliyor.

Buna göre, h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) olarak tanımlanan hh fonksiyonunun x=8x = 8 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16.5

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi kuralına göre h′(8)=16,5h'(8) = 16,5 olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulandığında h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) eşitliği yazılır. g(8)=5g(8) = 5 ve g′(8)=0,3g'(8) = 0,3 değerleri ile f′(5)=55f'(5) = 55 değeri yerine yazılıp çarpıldığında doğru yanıt olan 16,516,5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını belirleme
h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) olup x=8x = 8 için h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) olur.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
g(8)g(8) ve g′(8)g'(8) değerlerini hesaplama
g(8)=3⋅8+1=25=5g(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{25} = 5 ve g′(x)=323x+1g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} olduğundan g′(8)=3225=310=0,3g'(8) = \frac{3}{2\sqrt{25}} = \frac{3}{10} = 0,3 bulunur.
Formülde kullanılmak üzere içteki fonksiyonun x=8x=8 noktasındaki değeri ve türev değeri hesaplanır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulma ve f′(g(8))f'(g(8)) değerini hesaplama
f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x olduğundan, f′(g(8))=f′(5)=3(5)2−4(5)=75−20=55f'(g(8)) = f'(5) = 3(5)^2 - 4(5) = 75 - 20 = 55 bulunur.
Dıştaki fonksiyonun türevinde, içteki fonksiyonun görüntüsü olan 55 değeri yerine yazılır.
4
Değerleri bileşke türev formülünde yerine yazarak sonucu bulma
h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)=55⋅0,3=16,5h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) = 55 \cdot 0,3 = 16,5 bulunur.
Elde edilen ara değerler çarpılarak bileşke fonksiyonun türev değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi hesaplanıp içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
Soru 1898Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−2)2(x−5)f'(x) = (x - 2)^2 (x - 5)
olarak verilmektedir.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,5][2, 5]

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıklardan biri [2,5][2, 5] aralığıdır.
Zincir kuralı doğru uygulanıp çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo yapıldığında, türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıklardan biri [2,5][2, 5] olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak yazın.
g′(x)=f′(x2−4x)⋅(2x−4)g'(x) = f'(x^2 - 4x) \cdot (2x - 4)
Türevde zincir kuralı gereği dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılır.
2
f′(x)=(x−2)2(x−5)f'(x) = (x - 2)^2 (x - 5) ifadesinde xx yerine x2−4xx^2 - 4x yazarak f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesini elde edin.
f′(x2−4x)=(x2−4x−2)2(x2−4x−5)f'(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x - 2)^2 (x^2 - 4x - 5)
Bileşke fonksiyonun dıştaki bileşeninin türevine içteki fonksiyon yerleştirilir.
3
g′(x)=2(x−2)(x2−4x−2)2(x2−4x−5)g'(x) = 2(x - 2)(x^2 - 4x - 2)^2 (x^2 - 4x - 5) ifadesinin köklerini bulun.
x=−1x = -1 (tek katlı kök), x=2−6x = 2-\sqrt{6} (çift katlı kök), x=2x = 2 (tek katlı kök), x=2+6x = 2+\sqrt{6} (çift katlı kök) ve x=5x = 5 (tek katlı kök).
Türevin işaret tablosunu oluşturmak için tüm kökler ve katları belirlenir.
4
Elde edilen kökler yardımıyla g′(x)g'(x)'in işaret tablosunu oluşturun ve g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olan aralıkları belirleyin.
x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1] ve x∈[2,5]x \in [2, 5] aralıklarında g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olur. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş aralıklar (−∞,−1](-\infty, -1] ve [2,5][2, 5] olarak bulunur.
Çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo oluşturulduğunda türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler sürekli fonksiyonun azalanlık aralığını verir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bileşke fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve çift katlı kök içeren eşitsizliklerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1899Soru →
Gerçek sayılar kümesinde x≠2x \neq 2 için tanımlanan
f(x)=x2+x−6x−2f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x) limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Limit değeri 5'tir.
x→2x \to 2 için limit hesaplanırken pay ve paydada sıfır elde edilir. Bu durum 00\frac{0}{0} belirsizliğidir. Paydaki ifade (x−2)(x+3)(x-2)(x+3) şeklinde çarpanlarına ayrılıp paydadaki (x−2)(x-2) ile sadeleştirildiğinde belirsizlik ortadan kalkar ve limit değeri 2+3=52+3=5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesinde x yerine 2 yazarak belirsizlik durumunu belirlemek.
Pay ve payda sıfır çıktığı için 0/0 belirsizliği elde edilir.
Limitte hangi yöntemin uygulanacağını belirlemek için öncelikle belirsizlik türünü saptamamız gerekir.
2
Payda bulunan ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak.
x2+x−6=(x−2)(x+3)x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) elde edilir.
Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanını (x−2x-2) sadeleştirebilmek için payı çarpanlarına ayırmalıyız.
3
Belirsizliğe neden olan ortak çarpanı sadeleştirmek ve limiti hesaplamak.
lim⁡x→2(x+3)=2+3=5\lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5 bulunur.
x→2x \to 2 iken x≠2x \neq 2 olduğundan pay ve paydadaki (x−2)(x-2) terimleri sadeleşebilir ve belirsizlik ortadan kalkar.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1900Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} limit ifadesi, türevin limit tanımı gereği doğrudan f′(3)f'(3) değerine karşılık gelmektedir. f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonunun türevi f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 olup, bu fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki değeri 2(3)−1=52(3) - 1 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit ifadesinin türev tanımıyla olan ilişkisini belirleme.
Tanım gereği, lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a) eşitliği vardır. Bu durumda sorulan limit ifadesi f′(3)f'(3) değerine eşittir.
Anlık değişim oranı ve türevin limit tanımı bu limit formülü ile ifade edilir.
2
f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonunun türevini hesaplama.
f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 bulunur.
Polinom fonksiyonların türev kuralı (d/dx(xn)=n⋅xn−1d/dx(x^n) = n \cdot x^{n-1}) uygulanmıştır.
3
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak nihai sonucu bulma.
f′(3)=2(3)−1=5f'(3) = 2(3) - 1 = 5 elde edilir.
İstenen noktadaki anlık değişim oranını bulmak için türev fonksiyonunda ilgili değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve anlık değişim oranı ilişkisi
ÖncekiSayfa 95 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin