Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 101Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşmaktadır.

a3⋅a7=16a4+a6=10\begin{aligned} a_3 \cdot a_7 &= 16 \\ a_4 + a_6 &= 10 \end{aligned}

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

22
Verilen soruda a3⋅a7=a52=16a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 16 bağıntısından dizinin 5. terimi a5=4a_5 = 4 olarak bulunur. Aynı özellik yardımıyla a4⋅a6=a52=16a_4 \cdot a_6 = a_5^2 = 16 elde edilir. Toplamları 1010, çarpımları 1616 olan a4a_4 ve a6a_6 terimleri 22 ve 88 sayılarıdır. Eğer a4=2a_4 = 2 ve a6=8a_6 = 8 ise a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 eşitliğinden 8=2⋅r2  ⟹  r2=4  ⟹  r=28 = 2 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2 bulunur. Dolayısıyla ortak çarpan 22 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin indis özellikleri kullanılarak a3⋅a7a_3 \cdot a_7 ifadesinin eşitini bulun.
a3⋅a7=a52=16a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 16 elde edilir. Terimler pozitif gerçel sayı olduğundan a5=4a_5 = 4 bulunur.
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=5+53 + 7 = 5 + 5).
2
a4a_4 ve a6a_6 terimlerinin çarpımını a5a_5 cinsinden yazın.
a4⋅a6=a52=16a_4 \cdot a_6 = a_5^2 = 16 bulunur.
Yine aynı indis özelliğinden dolayı 4+6=5+54 + 6 = 5 + 5 olduğundan a4⋅a6=a52a_4 \cdot a_6 = a_5^2 eşitliği geçerlidir.
3
a4a_4 ve a6a_6 terimlerini bulmak için denklem sistemini kurun ve çözün.
a4+a6=10a_4 + a_6 = 10 ve a4⋅a6=16a_4 \cdot a_6 = 16 denklemlerini sağlayan değerler 22 ve 88'dir. Dolayısıyla, (a4,a6)=(2,8)(a_4, a_6) = (2, 8) veya (a4,a6)=(8,2)(a_4, a_6) = (8, 2) olur.
Toplamları 1010, çarpımları 1616 olan iki sayı x2−10x+16=0x^2 - 10x + 16 = 0 denkleminin kökleridir.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) hesaplayın.
a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 formülünden:
- Birinci durumda: 8=2⋅r2  ⟹  r2=4  ⟹  r=28 = 2 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2 (terimler pozitif olduğundan r>0r > 0).
- İkinci durumda: 2=8⋅r2  ⟹  r2=14  ⟹  r=122 = 8 \cdot r^2 \implies r^2 = \frac{1}{4} \implies r = \frac{1}{2} elde edilir.
Ardışık olmayan iki terim arasındaki oran, ortak çarpanın indis farkı kadar kuvvetine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve terimler arasındaki geometrik ilişki.
Soru 102Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn terim toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin terimleri sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
S6−S4=4(S4−S2)S_6 - S_4 = 4(S_4 - S_2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanının alabileceği farklı gerçel sayı değerlerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Ortak çarpanın alabileceği farklı gerçel sayı değerlerinin çarpımı 4'tür.
Verilen S6−S4=4(S4−S2)S_6 - S_4 = 4(S_4 - S_2) denkleminde terimler geometrik dizi cinsinden açıldığında a1r4(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^4(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) eşitliğine ulaşılır. Burada a1≠0a_1 \neq 0 ve r≠0r \neq 0 olduğundan sadeleştirme sonrası denklem r2(1+r)−4(1+r)=0  ⟹  (1+r)(r2−4)=0r^2(1+r) - 4(1+r) = 0 \implies (1+r)(r^2-4) = 0 şeklini alır. Bu denklemi sağlayan rr gerçel sayı değerleri −1-1, 22 ve −2-2'dir. Bu değerlerin çarpımı (−1)⋅2⋅(−2)=4(-1) \cdot 2 \cdot (-2) = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade edelim.
S6−S4=a5+a6S_6 - S_4 = a_5 + a_6 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 olur.
İlk n terim toplamının tanımı gereği, ilk 6 terim toplamından ilk 4 terim toplamı çıkarıldığında geriye 5. ve 6. terimler kalır.
2
Terimleri dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak çarpanı (rr) cinsinden yazıp ortak paranteze alalım.
a5+a6=a1r4+a1r5=a1r4(1+r)a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1+r)
a3+a4=a1r2+a1r3=a1r2(1+r)a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1+r)
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} ilişkisini kullanmak için.
3
Elde ettiğimiz ifadeleri verilen eşitlikte yerine koyalım ve sadeleştirelim.
a1r4(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^4(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) denklemi elde edilir. Dizinin terimleri sıfırdan farklı olduğundan a1≠0a_1 \neq 0 ve r≠0r \neq 0'dır. Eşitliğin her iki tarafını a1r2a_1 r^2 ile bölersek r2(1+r)=4(1+r)r^2(1+r) = 4(1+r) kalır.
Denklemi sadeleştirerek ortak çarpan rr için çözülebilir bir polinom haline getirmek için.
4
Olası kökleri kaybetmemek için denklemi tek bir tarafta toplayıp çarpanlarına ayıralım.
r2(1+r)−4(1+r)=0  ⟹  (1+r)(r2−4)=0  ⟹  (1+r)(r−2)(r+2)=0r^2(1+r) - 4(1+r) = 0 \implies (1+r)(r^2 - 4) = 0 \implies (1+r)(r-2)(r+2) = 0 denklemi bulunur.
1+r1+r ifadesini doğrudan sadeleştirmek yerine paranteze almak, 1+r=01+r=0 kökünün (kök kaybının) önüne geçer.
5
Çarpanları sıfıra eşitleyerek rr değerlerini bulalım ve bu değerleri çarpalım.
r=−1r = -1, r=2r = 2 ve r=−2r = -2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin çarpımı (−1)⋅2⋅(−2)=4(-1) \cdot 2 \cdot (-2) = 4 olarak hesaplanır.
Ortak çarpanın alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin çarpımını bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin terim toplamları arasındaki fark ilişkileri ve cebirsel denklemlerin kök kaybı yaşanmadan çözülmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 103Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=px+qf(x) = px + q doğrusal fonksiyonu veriliyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için
an=f(n)a_n = f(n)
bn=f(2n−1)b_n = f(2n - 1)
biçiminde tanımlanıyor.
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) birer aritmetik dizi olmak üzere,
a3+b4=28a_3 + b_4 = 28
a7−b2=8a_7 - b_2 = 8
eşitlikleri sağlanmaktad��r.

Buna göre, a10+b5a_{10} + b_5 toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Dizilerin doğrusal fonksiyon tanımından yola çıkılarak elde edilen terimler yerine yazıldığında toplamın sonucu 46 bulunur.
Doğrusal fonksiyonun tanımından an=f(n)a_n = f(n) ve bn=f(2n−1)=a2n−1b_n = f(2n-1) = a_{2n-1} olduğu görülür. Buna göre b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 olur. Verilen eşitliklerden a3+a7=28a_3 + a_7 = 28 ve a7−a3=8a_7 - a_3 = 8 elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde a7=18a_7 = 18 ve a3=10a_3 = 10 bulunur. Dizinin ortak farkı rr olmak üzere a7−a3=4r  ⟹  8=4r  ⟹  r=2a_7 - a_3 = 4r \implies 8 = 4r \implies r = 2 olur. Bizden istenen a10+b5a_{10} + b_5 ifadesi, b5=a9b_5 = a_9 olduğundan a10+a9a_{10} + a_9 toplamına eşittir. a9=a7+2r=18+4=22a_9 = a_7 + 2r = 18 + 4 = 22 ve a10=a9+r=22+2=24a_{10} = a_9 + r = 22 + 2 = 24 olup, bu iki terimin toplamı 24+22=4624 + 22 = 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin terimleri arasındaki ilişkiyi doğrusal fonksiyon yardımıyla belirleme.
bn=a2n−1b_n = a_{2n-1} ilişkisi elde edilir. Buradan b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 olur.
bnb_n dizisi f(2n−1)f(2n-1) olarak tanımlandığından ve an=f(n)a_n = f(n) olduğundan, bnb_n dizisinin her bir terimi (an)(a_n) dizisinin tek indisli terimlerine karşılık gelir.
2
Verilen denklem sistemini (an)(a_n) dizisinin terimleri cinsinden yazıp çözme.
a3+a7=28a_3 + a_7 = 28 ve a7−a3=8a_7 - a_3 = 8 denklemleri elde edilir. Bu denklemler taraf tarafa toplandığında 2a7=36  ⟹  a7=182a_7 = 36 \implies a_7 = 18 ve buradan a3=10a_3 = 10 bulunur.
Elde edilen b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 değerleri soruda verilen eşitliklerde yerine yazılarak iki bilinmeyenli denklem sistemi oluşturulur.
3
(an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkını (rr) bulma.
a7−a3=4r  ⟹  18−10=4r  ⟹  8=4r  ⟹  r=2a_7 - a_3 = 4r \implies 18 - 10 = 4r \implies 8 = 4r \implies r = 2 bulunur.
Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve indisler farkı ortak farkın katını verir (ap−aq=(p−q)ra_p - a_q = (p-q)r).
4
İstenen a10+b5a_{10} + b_5 toplamını hesaplama.
b5=a9b_5 = a_9 olduğundan istenen ifade a10+a9a_{10} + a_9 toplamıdır. a9=a7+2r=18+4=22a_9 = a_7 + 2r = 18 + 4 = 22 ve a10=a9+r=22+2=24a_{10} = a_9 + r = 22 + 2 = 24 olup, 24+22=4624 + 22 = 46 bulunur.
b5b_5 teriminin (an)(a_n) cinsinden karşılığı bulunur ve ortak fark yardımıyla bilinmeyen terimler hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve indis özellikleri ile doğrusal fonksiyonlar arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 104Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 olarak verilmiştir. Bu dizinin ardışık terimleri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için
(n+1)an+1−nan=2n(n+1)a_{n+1} - n a_n = 2n
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, bu dizinin onuncu terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192\frac{19}{2}

Cevap

Dizinin onuncu terimi olan 192\frac{19}{2}
Dizinin genel terimini bulmak için bn=n⋅anb_n = n \cdot a_n dönüşümü yapılır. Bu durumda verilen indirgeme bağıntısı bn+1−bn=2nb_{n+1} - b_n = 2n şekline dönüşür. İlk terim b1=1⋅a1=5b_1 = 1 \cdot a_1 = 5 olarak bulunur. Bağıntı n=1n=1 ile n=9n=9 arasındaki değerler için taraf tarafa toplandığında b10=b1+∑k=192k=5+90=95b_{10} = b_1 + \sum_{k=1}^{9} 2k = 5 + 90 = 95 elde edilir. Buradan 10⋅a10=95  ⟹  a10=9510=19210 \cdot a_{10} = 95 \implies a_{10} = \frac{95}{10} = \frac{19}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
bn=n⋅anb_n = n \cdot a_n değişken dönüşümünün tanımlanması ve başlangıç koşulunun belirlenmesi
bn+1−bn=2nb_{n+1} - b_n = 2n ve b1=5b_1 = 5 elde edilir.
Katsayısı değişken olan terimleri sadeleştirmek ve indirgeme bağıntısını daha basit bir forma getirmek için bu dönüşüm uygulanır.
2
nn değerlerine 1'den 9'a kadar değerler verilerek elde edilen eşitliklerin taraf tarafa toplanması
b10−b1=∑k=192k=2⋅9⋅102=90b_{10} - b_1 = \sum_{k=1}^{9} 2k = 2 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 90 olur.
Teleskobik toplam (birbirini götüren terimler) yöntemiyle doğrudan b10b_{10} terimine ulaşmak hedeflenir.
3
b10b_{10} değerinin hesaplanması ve orijinal dizi terimi a10a_{10}'a geri dönülmesi
b10=95  ⟹  10⋅a10=95  ⟹  a10=192b_{10} = 95 \implies 10 \cdot a_{10} = 95 \implies a_{10} = \frac{19}{2} olarak bulunur.
b10=10⋅a10b_{10} = 10 \cdot a_{10} eşitliği kullanılarak aranan a10a_{10} terimi elde edilir.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (bn=n⋅anb_n = n \cdot a_n) yardımıyla bağıntının basitleştirilmesi ve teleskobik toplam yöntemiyle terim hesabı.
Soru 105Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için
a2⋅a6=36a1+a7=15\begin{aligned} a_2 \cdot a_6 &= 36 \\ a_1 + a_7 &= 15 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, a10a_{10} teriminin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Artan geometrik dizinin özellikleri kullanılarak yapılan hesaplamalar sonucunda onuncu terim olan a10a_{10} değeri 24 olarak bulunur.
Dizinin artan özelliğinden yola çıkılarak birinci terim 3, yedinci terim 12 olarak bulunur. Ortak çarpanın küpü r3=2r^3 = 2 elde edilir ve buradan onuncu terim a7⋅r3=12⋅2=24a_7 \cdot r^3 = 12 \cdot 2 = 24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
a2⋅a6=36a_2 \cdot a_6 = 36 eşitliğini kullanarak a4a_4 terimini bulma.
a4=6a_4 = 6
Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir: a2⋅a6=a4⋅a4=a42a_2 \cdot a_6 = a_4 \cdot a_4 = a_4^2.
2
a1⋅a7a_1 \cdot a_7 çarpımını bulma.
a1⋅a7=36a_1 \cdot a_7 = 36
Aynı indis özelliği gereği a1⋅a7=a42a_1 \cdot a_7 = a_4^2 eşitliği geçerlidir.
3
a1+a7=15a_1 + a_7 = 15 ve a1⋅a7=36a_1 \cdot a_7 = 36 denklem sistemini çözme.
{a1,a7}={3,12}\{a_1, a_7\} = \{3, 12\}
Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar kök bulma yöntemi veya çarpanlara ayırma ile 3 ve 12 olarak elde edilir.
4
Artan dizi şartına göre a1a_1 ve a7a_7 değerlerini atama.
a1=3a_1 = 3 ve a7=12a_7 = 12
Dizi artan olduğundan ilk terim yedinci terimden küçük olmalıdır.
5
Dizinin ortak çarpanının küpünü (r3r^3) hesaplama.
r3=2r^3 = 2
a7=a1⋅r6  ⟹  12=3⋅r6  ⟹  r6=4  ⟹  r3=2a_7 = a_1 \cdot r^6 \implies 12 = 3 \cdot r^6 \implies r^6 = 4 \implies r^3 = 2 olur.
6
a10a_{10} teriminin değerini hesaplama.
a10=24a_{10} = 24
a10=a7⋅r3a_{10} = a_7 \cdot r^3 eşitliği kullanılarak 12⋅2=2412 \cdot 2 = 24 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin indis özellikleri (ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s burada p+q=r+sp+q = r+s) ve genel terim formülü.
Soru 106Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a3⋅a7=36a_3 \cdot a_7 = 36
a1+a9=15a_1 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a32+a72a_3^2 + a_7^2 toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

90
Dizinin artan olma özelliği ve geometrik dizi kuralları doğru uygulandığında a1=3a_1=3, a9=12a_9=12 ve r2=2r^2=\sqrt{2} bulunur. Buradan a32+a72=18+72=90a_3^2 + a_7^2 = 18 + 72 = 90 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin simetri özelliğini kullanarak ortanca terimi bulma.
a5=6a_5 = 6 ve a1⋅a9=36a_1 \cdot a_9 = 36
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir. 3+7=1+9=103+7 = 1+9 = 10 olduğundan a3⋅a7=a1⋅a9=a52=36a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 36 olur.
2
İlk ve dokuzuncu terimleri bulmak için denklem sistemini çözme.
a1=3a_1 = 3 ve a9=12a_9 = 12
Çarpımları 36 ve toplamları 15 olan pozitif sayılar 3 ve 12'dir. Dizi artan olduğu için a1<a9a_1 < a_9 olmalıdır. Dolayısıyla a1=3a_1 = 3 ve a9=12a_9 = 12 bulunur.
3
Dizinin ortak çarpanının karesini (r2r^2) elde etme.
r2=2r^2 = \sqrt{2}
a9=a1⋅r8a_9 = a_1 \cdot r^8 bağıntısından 12=3⋅r8⇒r8=4⇒r2=212 = 3 \cdot r^8 \Rightarrow r^8 = 4 \Rightarrow r^2 = \sqrt{2} elde edilir.
4
İstenen üçüncü ve yedinci terimlerin değerlerini hesaplama.
a3=32a_3 = 3\sqrt{2} ve a7=62a_7 = 6\sqrt{2}
a3=a1⋅r2=32a_3 = a_1 \cdot r^2 = 3\sqrt{2} ve a7=a9/r2=12/2=62a_7 = a_9 / r^2 = 12 / \sqrt{2} = 6\sqrt{2} olarak bulunur.
5
Kareler toplamını hesaplama.
a32+a72=90a_3^2 + a_7^2 = 90
a32+a72=(32)2+(62)2=18+72=90a_3^2 + a_7^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 18 + 72 = 90 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler arası çarpım simetrisi ve indis ilişkileri.
Soru 107Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için dik koordinat düzleminde Pn(n,log⁡2(an))P_n(n, \log_2(a_n)) noktaları tanımlanıyor. Bu noktaların tamamı aynı doğru üzerinde olup P2P_2 ve P5P_5 noktalarından geçen doğrunun eğimi 22'dir. a1⋅a3=64a_1 \cdot a_3 = 64 olduğuna göre, aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Bu geometrik dizinin ortak çarpanı ve altıncı terimi olan a6a_6 değeri olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 4, altıncı terimi ise 2048'dir.
Koordinat düzlemindeki noktaların doğrusallığı ve eğim formülü kullanılarak log⁡2(r)=2\log_2(r) = 2 elde edilir ve ortak çarpan r=4r=4 bulunur. Geometrik dizinin ardışık terim özelliği gereği a22=a1⋅a3=64a_2^2 = a_1 \cdot a_3 = 64 bağıntısından a2=8a_2 = 8 ve dolayısıyla a1=2a_1 = 2 bulunur. Genel terim formülüyle a6=a1⋅r5=2048a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2048 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eğimi ile ortak çarpan arasındaki ilişkiyi kurma
m=log⁡2(r)=2m = \log_2(r) = 2 olup buradan dizinin ortak çarpanı r=4r = 4 olarak bulunur.
Pn(n,log⁡2(an))P_n(n, \log_2(a_n)) noktalarının doğrusal olması, yn=log⁡2(an)y_n = \log_2(a_n) dizisinin bir aritmetik dizi olduğunu gösterir. İki nokta arasındaki doğrunun eğimi, bu aritmetik dizinin ortak farkına eşittir: m=log⁡2(a5)−log⁡2(a2)5−2=log⁡2(a5/a2)3=log⁡2(r3)3=log⁡2(r)m = \frac{\log_2(a_5) - \log_2(a_2)}{5 - 2} = \frac{\log_2(a_5 / a_2)}{3} = \frac{\log_2(r^3)}{3} = \log_2(r).
2
Dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini kullanma
a2=8a_2 = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizilerde birbirine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı özelliğinden dolayı a1⋅a3=a22a_1 \cdot a_3 = a_2^2 olur. a22=64a_2^2 = 64 ve dizi pozitif terimli olduğundan a2=8a_2 = 8 elde edilir.
3
Dizinin ilk terimini bulma
a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r bağıntısı kullanılarak 8=a1⋅4⇒a1=28 = a_1 \cdot 4 \Rightarrow a_1 = 2 bulunur.
4
Altıncı terimi (a6a_6) hesaplama
a6=2048a_6 = 2048 olarak bulunur.
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak a6=a1⋅r5=2⋅45=2⋅1024=2048a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2 \cdot 4^5 = 2 \cdot 1024 = 2048 hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin tanımı, terimleri arasındaki oran ve logaritma ile ilişkisi
Soru 108Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde, a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1−an=n⋅n!a_{n+1} - a_n = n \cdot n!

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi olan a6a_6 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 724

Cevap

İndirgemeli dizinin ardışık farkları toplanarak elde edilen teleskopik toplam sonucunda dizinin 6. terimi 724 olarak bulunur.
Ardışık terimlerin farkları olan an+1−an=n⋅n!a_{n+1} - a_n = n \cdot n! bağıntısı n=1,2,3,4,5n = 1, 2, 3, 4, 5 için taraf tarafa toplandığında a6−a1=719a_6 - a_1 = 719 elde edilir. Buradan a1=5a_1 = 5 değeri eklenerek a6=724a_6 = 724 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını n=1n = 1 ile n=5n = 5 arasındaki tam sayılar için tek tek yazın.
a2−a1=1⋅1!a_2 - a_1 = 1 \cdot 1!, a3−a2=2⋅2!a_3 - a_2 = 2 \cdot 2!, a4−a3=3⋅3!a_4 - a_3 = 3 \cdot 3!, a5−a4=4⋅4!a_5 - a_4 = 4 \cdot 4!, a6−a5=5⋅5!a_6 - a_5 = 5 \cdot 5!
a6a_6 değerini elde edebilmek için son indirgeme adımında sol tarafta a6a_6 teriminin oluşması gerekir.
2
Elde edilen 5 adet denklemi taraf tarafa toplayın.
a6−a1=1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+4⋅4!+5⋅5!a_6 - a_1 = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + 4 \cdot 4! + 5 \cdot 5!
Taraf tarafa toplama yapıldığında a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Sağ taraftaki faktöriyelli çarpımların değerlerini hesaplayıp toplayın.
1⋅1=11 \cdot 1 = 1, 2⋅2=42 \cdot 2 = 4, 3⋅6=183 \cdot 6 = 18, 4⋅24=964 \cdot 24 = 96, 5⋅120=6005 \cdot 120 = 600 olup toplam 1+4+18+96+600=7191 + 4 + 18 + 96 + 600 = 719 bulunur.
Her bir terimin sayısal değerini bulup toplayarak ardışık terimlerin farklarının toplamını belirleriz.
4
a1=5a_1 = 5 başlangıç koşulunu kullanarak a6a_6 değerini hesaplayın.
a6−5=719  ⟹  a6=724a_6 - 5 = 719 \implies a_6 = 724
Teleskopik toplam denkleminde bilinen a1a_1 değerini yerine yazarak bilinmeyen a6a_6 terimini yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam ve faktöriyel içeren terimlerin sadeleştirilmesi
Soru 109Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a1⋅a7−a42=−36a_1 \cdot a_7 - a_4^2 = -36
a2⋅a4=45a_2 \cdot a_4 = 45

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Dizinin sekizinci terimi 17'dir.
Dizinin genel terim formülü kullanılarak birinci denklemden ortak fark r=2r = 2 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında ilk terim a1=3a_1 = 3 elde edilir. Bu değerlerle dizinin sekizinci terimi a8=a1+7r=17a_8 = a_1 + 7r = 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemdeki terimleri ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden ifade etmek.
−9r2=−36-9r^2 = -36 eşitliği elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak ve ortak farkı doğrudan bulabilmek için.
2
Elde edilen denklemden ortak farkı (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
Dizinin artan olduğu belirtildiğinden r>0r > 0 olmalıdır (r=−2r = -2 elenir).
3
İkinci denklemde terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp r=2r = 2 değerini yerine koymak.
(a1+2)(a1+6)=45(a_1 + 2)(a_1 + 6) = 45 denklemi elde edilir.
İlk terim olan a1a_1 değerini belirlemek için.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözmek.
a1=3a_1 = 3 bulunur.
Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan negatif kök olan a1=−11a_1 = -11 elenir.
5
Bulunan a1a_1 ve rr değerleriyle sekizinci terimi (a8a_8) hesaplamak.
a8=3+7⋅2=17a_8 = 3 + 7 \cdot 2 = 17 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terim formülü olan a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r bağıntısını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide terimlerin genel terim formülü kullanılarak ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen denklemlerin çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Birinci denklemde a1=a4−3ra_1 = a_4 - 3r ve a7=a4+3ra_7 = a_4 + 3r yazılarak (a4−3r)(a4+3r)−a42=−36  ⟹  a42−9r2−a42=−36  ⟹  9r2=36  ⟹  r=2(a_4 - 3r)(a_4 + 3r) - a_4^2 = -36 \implies a_4^2 - 9r^2 - a_4^2 = -36 \implies 9r^2 = 36 \implies r = 2 şeklinde daha hızlı bir sadeleştirme yapılabilir. Benzer şekilde ikinci denklemde a2=a3−2a_2 = a_3 - 2 ve a4=a3+2a_4 = a_3 + 2 yazılarak a32−4=45  ⟹  a3=7a_3^2 - 4 = 45 \implies a_3 = 7 bulunur. Buradan da a8=a3+5r=7+10=17a_8 = a_3 + 5r = 7 + 10 = 17 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 110Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk 15 teriminin çarpımı 121512^{15}'tir.

Bu dizinin birinci ve on beşinci terimlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 518\frac{5}{18} olduğuna göre, dizinin yirmi ikinci terimi (a22a_{22}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Dizinin yirmi ikinci terimi 108'dir.
Dizinin ilk 15 teriminin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşit olup a8=12a_8 = 12 bulunur. Simetrik terimlerin çarpımı özelliğinden a1⋅a15=a82=144a_1 \cdot a_{15} = a_8^2 = 144 elde edilir. Çarpmaya göre terslerin toplamı payda eşitlenerek yazıldığında a1+a15144=518\frac{a_1 + a_{15}}{144} = \frac{5}{18} eşitliğinden a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40 bulunur. Toplamları 40, çarpımları 144 olan sayılar 4 ve 36'dır. Artan dizi şartıyla a1=4a_1 = 4, a15=36a_{15} = 36 olur. a15=a1⋅r14  ⟹  r14=9  ⟹  r7=3a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 \implies r^7 = 3 elde edilir. Buradan a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 15 terimin çarpımını tek bir terim cinsinden yazarak a8a_8 ve a1⋅a15a_1 \cdot a_{15} değerlerini hesaplamak.
a8=12a_8 = 12 ve a1⋅a15=144a_1 \cdot a_{15} = 144
Bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı sabittir. İlk 15 terimin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşittir.
2
Verilen çarpmaya göre terslerin toplamı denkleminde payda eşitlemek ve toplam değerini bulmak.
a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40
1a1+1a15=a1+a15a1⋅a15=518\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{15}} = \frac{a_1 + a_{15}}{a_1 \cdot a_{15}} = \frac{5}{18} eşitliğinde payda kısmındaki çarpım yerine 144 yazılarak toplam çekilir.
3
Toplamları ve ��arpımları bilinen iki terimi bulmak için ikinci dereceden denklem kurup çözmek.
a1=4a_1 = 4 ve a15=36a_{15} = 36
Toplamları 40 ve çarpımları 144 olan sayılar (x−4)(x−36)=0(x-4)(x-36) = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için küçük olan değer birinci terime, büyük olan değer on beşinci terime eşittir.
4
Ortak çarpanın kuvvetini bulup istenen terimi hesaplamak.
a22=108a_{22} = 108
a15=a1⋅r14  ⟹  36=4⋅r14  ⟹  r14=9a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies 36 = 4 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 olur. Buradan r7=3r^7 = 3 bulunur. İstenen terim a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 şeklinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası geçiş kuralları.
Soru 111Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=2a_1 = 2 ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1−an=(−1)n(2n+1)a_{n+1} - a_n = (-1)^n (2n + 1)
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan a20a_{20} değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −19-19

Cevap

-19
Verilen indirgeme bağıntısı n = 1'den n = 19'a kadar yazılıp taraf tarafa toplandığında teleskopik toplam elde edilir. Bu toplamda terimler ikişerli gruplandırılarak toplamın değeri -21 olarak bulunur. Başlangıç terimi olan 2 eklendiğinde dizinin 20. terimi -19 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., 19 yazılır.
a2−a1=−3a_2 - a_1 = -3, a3−a2=5a_3 - a_2 = 5, a4−a3=−7a_4 - a_3 = -7, ..., a20−a19=−39a_{20} - a_{19} = -39 eşitlikleri elde edilir.
a_{20} terimine ulaşmak için ardışık terimlerin farklarını listeleyip toplamak gerekir.
2
Elde edilen 19 adet eşitlik taraf tarafa toplanır.
a20−a1=−3+5−7+9−11+13−⋯−39a_{20} - a_1 = -3 + 5 - 7 + 9 - 11 + 13 - \dots - 39 eşitliği elde edilir.
Sol taraftaki terimler teleskopik olarak birbirini sadeleştirir.
3
Sağ taraftaki ardışık toplama işlemini kolaylaştırmak için terimler ikişerli gruplandırılır.
(−3+5)+(−7+9)+⋯+(−35+37)−39=9×2−39=18−39=−21(-3 + 5) + (-7 + 9) + \dots + (-35 + 37) - 39 = 9 \times 2 - 39 = 18 - 39 = -21 bulunur.
Her ardışık çiftin toplamı sabit 2 değerini verir ve toplamda 9 adet çift ile bir adet tek terim (-39) kalır.
4
Bulunan fark toplamına dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 eklenir.
a20−2=−21  ⟹  a20=−19a_{20} - 2 = -21 \implies a_{20} = -19 olarak bulunur.
İndirgemeli dizinin 20. teriminin gerçek değerini elde etmek için başlangıç koşulu uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin bulunması.
Soru 112Soru →
Tüm terimleri pozitif olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde
a5−a3=12a4+a3=6\begin{aligned} a_5 - a_3 &= 12 \\ a_4 + a_3 &= 6 \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16\frac{1}{6}

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 16\frac{1}{6} olarak bulunur.
Dizinin terimleri üçüncü terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında ortak çarpan 3 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında üçüncü terim 3/2 elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi 1/6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini üçüncü terim (a3a_3) ve ortak çarpan (rr) cinsinden ifade etmek.
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 ve a4=a3⋅ra_4 = a_3 \cdot r ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler verilen denklemlerde yerine yazıldığında a3(r2−1)=12a_3(r^2 - 1) = 12 ve a3(r+1)=6a_3(r + 1) = 6 denklemleri elde edilir.
Denklemleri ortak terimler cinsinden yazıp sadeleştirebilmek için.
2
Elde edilen denklemleri taraf tarafa oranlamak.
a3(r2−1)a3(r+1)=126⇒r−1=2⇒r=3\frac{a_3(r^2 - 1)}{a_3(r + 1)} = \frac{12}{6} \Rightarrow r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3 olarak bulunur.
Dizinin ortak çarpanını (rr) elde etmek için.
3
Bulunan rr değerini ikinci denklemde yerine yazarak a3a_3 değerini hesaplamak.
a3(3+1)=6⇒4a3=6⇒a3=32a_3(3 + 1) = 6 \Rightarrow 4a_3 = 6 \Rightarrow a_3 = \frac{3}{2} bulunur.
Dizinin üçüncü terimine ulaşıp ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak için.
4
Geometrik dizinin genel terim ilişkisini kullanarak birinci terimi (a1a_1) bulmak.
a1=a3r2⇒a1=3/29=16a_1 = \frac{a_3}{r^2} \Rightarrow a_1 = \frac{3/2}{9} = \frac{1}{6} olarak hesaplanır.
Soruda istenen birinci terim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizilerde Terimler Arasındaki İlişki ve Ortak Çarpan Bulma

Alternatif Yöntem

Dizinin terimlerini doğrudan birinci terim ve ortak çarpan cinsinden yazarak denklemleri taraf tarafa oranlayıp ortak çarpana ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 113Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
log⁡2(a1)+log⁡2(a15)=12\log_2(a_1) + \log_2(a_{15}) = 12
log⁡2(a5)⋅log⁡2(a11)=32\log_2(a_5) \cdot \log_2(a_{11}) = 32
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ikinci terimi (a2a_2) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ikinci terimi 4'tür.
Geometrik dizinin terimlerinin 2 tabanındaki logaritması alındığında ortak farkı d=log⁡2(r)d = \log_2(r) olan bir aritmetik dizi elde edilir. Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşit olduğundan x1+x15=x5+x11=12x_1 + x_{15} = x_5 + x_{11} = 12 olur. Çarpımları da 32 olarak verildiğinden, bu iki terim t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için x5=4x_5 = 4 ve x11=8x_{11} = 8 bulunur. Buradan ortak fark d=2/3d = 2/3 ve dizinin ikinci teriminin logaritması x2=x5−3d=2x_2 = x_5 - 3d = 2 elde edilir. Sonuç olarak a2=22=4a_2 = 2^2 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma dönüşümü ile geometrik diziyi aritmetik diziye dönüştürme
xn=log⁡2(an)x_n = \log_2(a_n) tanımlanırsa, (xn)(x_n) dizisi bir aritmetik dizi belirtir. Dizinin ortak farkı d=log⁡2(r)d = \log_2(r) olur. (an)(a_n) dizisi pozitif terimli ve artan olduğundan r>1r > 1 ve dolayısıyla d>0d > 0'dır.
Geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir. Her iki tarafın 2 tabanında logaritması alındığında log⁡2(an)=log⁡2(a1)+(n−1)log⁡2(r)\log_2(a_n) = \log_2(a_1) + (n-1)\log_2(r) elde edilir. Bu da aritmetik dizi formülüdür.
2
Aritmetik dizi özelliklerini kullanarak terimler arası ilişkileri belirleme
x1+x15=12x_1 + x_{15} = 12 eşitliği kullanılarak x5+x11=12x_5 + x_{11} = 12 elde edilir.
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (1+15=5+11=161 + 15 = 5 + 11 = 16 olduğundan x1+x15=x5+x11x_1 + x_{15} = x_5 + x_{11} olur).
3
İkinci dereceden denklem kurup çözerek x5x_5 ve x11x_{11} terimlerini bulma
x5+x11=12x_5 + x_{11} = 12 ve x5⋅x11=32x_5 \cdot x_{11} = 32 denklemlerinden x5=4x_5 = 4 ve x11=8x_{11} = 8 bulunur.
Toplamları 12 ve çarpımları 32 olan sayılar, t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleridir. Bu denklem (t−4)(t−8)=0(t-4)(t-8) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Dizi artan olduğundan x5<x11x_5 < x_{11} olmalıdır.
4
Aritmetik dizinin ortak farkını (dd) ve hedef terim x2x_2'yi bulma
d=23d = \frac{2}{3} ve x2=2x_2 = 2 bulunur.
x11=x5+6d  ⟹  8=4+6d  ⟹  6d=4  ⟹  d=23x_{11} = x_5 + 6d \implies 8 = 4 + 6d \implies 6d = 4 \implies d = \frac{2}{3} olur. Buradan x2=x5−3d=4−3(23)=2x_2 = x_5 - 3d = 4 - 3\left(\frac{2}{3}\right) = 2 elde edilir.
5
Bulunan değeri geometrik dizi terimine geri dönüştürme
a2=4a_2 = 4 olarak bulunur.
x2=log⁡2(a2)=2  ⟹  a2=22=4x_2 = \log_2(a_2) = 2 \implies a_2 = 2^2 = 4 olur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin logaritmasının aritmetik dizi oluşturması ve aritmetik dizi terimlerinin simetri özelliği
Soru 114Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri doğru değerlerle doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−2x - 2, x+1x + 1 ve 2x+22x + 2 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı ve xx değeri olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2, x değeri ise 5'tir.
Dizinin terimlerinin pozitif gerçel sayılar olabilmesi için x değerinin 5 olması gerekir. Bu durumda ardışık terimler 3, 6, 12 olup ortak çarpan 2'ye eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç terim arasındaki geometrik dizi özelliğini kurma
(x+1)2=(x−2)(2x+2)(x + 1)^2 = (x - 2)(2x + 2) denklemi elde edilir.
Bir geometrik dizide ardışık üç terimden ortadakinin karesi, diğer iki terimin çarpımına eşittir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi sadeleştirip çözme
(x+1)2=2(x−2)(x+1)  ⟹  x+1=0(x + 1)^2 = 2(x - 2)(x + 1) \implies x + 1 = 0 veya x+1=2(x−2)x + 1 = 2(x - 2) olur. Buradan x=−1x = -1 veya x=5x = 5 değerleri bulunur.
Denklemin her iki tarafında bulunan (x+1)(x + 1) ��arpanını sadeleştirmeden önce sıfıra eşitleyerek köklerden birini buluruz, ardından sadeleştirme yaparak diğer köke ulaşırız.
3
Dizi terimlerinin pozitif olma koşulunu kontrol etme ve ortak çarpanı hesaplama
x=5x = 5 için terimler 3,6,123, 6, 12 olur. Ortak çarpan ise r=63=2r = \frac{6}{3} = 2 olarak bulunur.
x=−1x = -1 değeri için dizi terimleri pozitif olamayacağından bu değer elenir. x=5x = 5 değeriyle ardışık terimlerin oranı alınarak ortak çarpan bulunur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ardışık terimleri arasındaki oran sabiti ve terimler arası ilişki formülü
Soru 115Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=mx+nf(x) = mx + n doğrusal fonksiyonu için, her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı olmak üzere bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin genel terimi an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri ile ff fonksiyonu arasında
f(a2)=26f(a_2) = 26
f(a5)=53f(a_5) = 53
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, ortak farkı pozitif olan bu (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk 1010 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 185

Cevap

İlk 10 terim toplamı olan 185 değeri doğrudur.
Dizinin genel terimi doğrusal bir fonksiyon olduğundan an=mn+na_n = mn + n şeklinde yazılabilir. f(a2)=26f(a_2) = 26 ve f(a5)=53f(a_5) = 53 eşitliklerinden yararlanarak ortak fark m=3m = 3 ve sabit terim n=2n = 2 bulunur. Buradan dizinin genel terimi an=3n+2a_n = 3n + 2 elde edilir. İlk 10 terimin toplamı ise S10=102(a1+a10)=5(5+32)=185S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 32) = 185 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim ifadesini doğrusal fonksiyon cinsinden yazmak
an=f(n)=mn+na_n = f(n) = mn + n elde edilir. Bu aritmetik dizide ortak fark r=mr = m'dir.
Dizinin genel terimini fonksiyonun katsayıları cinsinden tanımlayabilmek için.
2
Verilen f(a2)=26f(a_2) = 26 ve f(a5)=53f(a_5) = 53 değerlerini kullanarak denklem sistemi oluşturmak
a2=2m+na_2 = 2m + n ve a5=5m+na_5 = 5m + n olur. Buradan f(a2)=m(2m+n)+n=2m2+mn+n=26f(a_2) = m(2m + n) + n = 2m^2 + mn + n = 26 ve f(a5)=m(5m+n)+n=5m2+mn+n=53f(a_5) = m(5m + n) + n = 5m^2 + mn + n = 53 denklemleri elde edilir.
Fonksiyonun katsayıları olan mm ve nn değerlerini belirleyebilmek için.
3
Oluşan denklem sistemini çözerek katsayıları bulmak
İki denklemin farkından 3m2=27  ⟹  m2=93m^2 = 27 \implies m^2 = 9 elde edilir. Ortak farkı pozitif dendiği için m=3m = 3 olur. Denklemde yerine yazıldığında 2(9)+4n=26  ⟹  4n=8  ⟹  n=22(9) + 4n = 26 \implies 4n = 8 \implies n = 2 bulunur.
Genel terimin katsayılarını tek bir değere indirgemek için.
4
Dizinin genel terimini yazıp ilk 10 terim toplamını hesaplamak
Genel terim an=3n+2a_n = 3n + 2 olur. İlk terim a1=5a_1 = 5, 10. terim a10=32a_{10} = 32 değerleridir. Toplam formülüyle S10=102(a1+a10)=5(5+32)=185S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 32) = 185 elde edilir.
Soru kökündeki ilk 10 terim toplamı (S10S_{10}) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve aritmetik dizi toplam formülü
Soru 116Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=1100a_1 = \frac{1}{100} olmak üzere, her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=an+2n+1n2(n+1)2a_{n+1} = a_n + \frac{2n + 1}{n^2(n+1)^2}
indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri 1'dir.
Rasyonel ifade basit kesirlere ayrıştırıldığında teleskopik sadeleşme gerçekleşir ve a10−a1=1−1100a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100} elde edilir. a1=1100a_1 = \frac{1}{100} değeri yerine yazıldığında a10=1a_{10} = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı biçiminde yazma.
2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}
Bu dönüşüm, terimlerin ardışık farklar şeklinde yazılarak teleskopik sadeleşme sağlaması için gereklidir.
2
Bağıntıyı düzenleyip n=1n=1 ile n=9n=9 arasındaki değerleri yazarak taraf tarafa toplama.
a10−a1=1−1100a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100}
Ardışık terimlerin farklarının toplamı alındığında aradaki terimler birbirini sadeleştirir.
3
Verilen a1=1100a_1 = \frac{1}{100} değerini yerine koyarak a10a_{10} değerini hesaplama.
a10=1a_{10} = 1
Bulunan genel fark denklemine bilinen ilk terim değeri eklenerek aranan terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla terim bulma.
Soru 117Soru →

Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3+a8+a13+a18=56a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 56
a6⋅a15=115a_6 \cdot a_{15} = 115

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk terimi −5-5 olarak bulunur.
Verilen terimlerin indis toplamları eşit olduğundan (3+18=8+13=6+15=213+18 = 8+13 = 6+15 = 21), denklem 2(a6+a15)=56  ⟹  a6+a15=282(a_6+a_{15}) = 56 \implies a_6+a_{15}=28 şeklinde sadeleşir. Çarpımları 115 ve toplamları 28 olan sayılar 5 ile 23'tür. Ortak farkı pozitif (artan dizi) olduğu için a6=5a_6 = 5 ve a15=23a_{15} = 23 bulunur. Buradan ortak fark r=2r = 2 ve ilk terim a1=a6−5r=−5a_1 = a_6 - 5r = -5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin indis özelliklerini kullanarak ilişkilendirme yapılması
a3+a18=a8+a13=a6+a15a_3 + a_{18} = a_8 + a_{13} = a_6 + a_{15}
Aritmetik dizilerde indislerinin toplamı eşit olan terimlerin toplamları da birbirine eşittir (3+18=8+13=6+15=213 + 18 = 8 + 13 = 6 + 15 = 21 olduğu için).
2
Verilen toplam denkleminden a6+a15a_6 + a_{15} değerinin çekilmesi
a6+a15=28a_6 + a_{15} = 28
a3+a8+a13+a18=2(a6+a15)=56a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 2(a_6 + a_{15}) = 56 eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.
3
Toplamları 28 ve çarpımları 115 olan terimlerin belirlenmesi
a6=5a_6 = 5 ve a15=23a_{15} = 23
x2−28x+115=0  ⟹  (x−5)(x−23)=0x^2 - 28x + 115 = 0 \implies (x-5)(x-23) = 0 denkleminin kökleri 5 ve 23'tür. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim daha küçük olmalıdır.
4
Dizinin ortak farkının (rr) hesaplanması
r=2r = 2
a15−a6=9r  ⟹  23−5=9r  ⟹  18=9ra_{15} - a_6 = 9r \implies 23 - 5 = 9r \implies 18 = 9r eşitliği çözülür.
5
İlk terimin (a1a_1) bulunması
a1=−5a_1 = -5
a6=a1+5r  ⟹  5=a1+5(2)  ⟹  a1=5−10a_6 = a_1 + 5r \implies 5 = a_1 + 5(2) \implies a_1 = 5 - 10 işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği ve genel terim formülü
Soru 118Soru →
Bütün terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a52−a32=15a_5^2 - a_3^2 = 15
a4−a3=1a_4 - a_3 = 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi (a6a_6) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Dizinin ortak çarpanı r=2r = 2 ve üçüncü terimi a3=1a_3 = 1 olarak elde edildiğinde, a6=a3⋅r3a_6 = a_3 \cdot r^3 formülünden altıncı terim 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak, a4a_4 ve a5a_5 terimlerini a3a_3 ve ortak çarpan rr cinsinden ifade edelim.
a4=a3⋅ra_4 = a_3 \cdot r ve a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 elde edilir.
Tüm terimleri tek bir terim (a3a_3) ve ortak çarpan (rr) cinsinden yazarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.
2
Bulduğumuz ifadeleri verilen denklemlerde yerine koyalım.
a4−a3=1  ⟹  a3(r−1)=1  ⟹  a3=1r−1a_4 - a_3 = 1 \implies a_3(r-1) = 1 \implies a_3 = \frac{1}{r-1} ve a52−a32=15  ⟹  a32(r4−1)=15a_5^2 - a_3^2 = 15 \implies a_3^2(r^4-1) = 15 elde edilir.
Denklemleri tek bir değişkene bağlı hale getirip ortak çözebilmek için.
3
a3=1r−1a_3 = \frac{1}{r-1} ifadesini ikinci denklemde yerine yazarak iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme yapalım.
(1r−1)2(r2−1)(r2+1)=15  ⟹  (r−1)(r+1)(r2+1)(r−1)2=15  ⟹  (r+1)(r2+1)r−1=15\left(\frac{1}{r-1}\right)^2 (r^2-1)(r^2+1) = 15 \implies \frac{(r-1)(r+1)(r^2+1)}{(r-1)^2} = 15 \implies \frac{(r+1)(r^2+1)}{r-1} = 15 elde edilir.
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirip çözülebilir bir r denklemi elde etmek için.
4
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyelim ve çözelim.
(r+1)(r2+1)=15(r−1)  ⟹  r3+r2+r+1=15r−15  ⟹  r3+r2−14r+16=0(r+1)(r^2+1) = 15(r-1) \implies r^3 + r^2 + r + 1 = 15r - 15 \implies r^3 + r^2 - 14r + 16 = 0 olur. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü r=2r = 2 olarak bulunur.
Dizinin ortak çarpanı olan r değerini belirlemek için.
5
r=2r = 2 değerini kullanarak dizinin üçüncü terimini (a3a_3) ve ardından bizden istenen altıncı terimini (a6a_6) hesaplayalım.
a3=12−1=1a_3 = \frac{1}{2-1} = 1 olur. Buradan a6=a3⋅r3=1⋅23=8a_6 = a_3 \cdot r^3 = 1 \cdot 2^3 = 8 bulunur.
Dizinin 6. teriminin değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terimi ve ardışık terimleri arasındaki ilişkiler
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 119Soru →
Bir (an)(a_n) pozitif gerçel sayı dizisinde, a1=218a_1 = 2^{\frac{1}{8}} ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=an⋅21n(n+1)a_{n+1} = a_n \cdot 2^{\frac{1}{n(n+1)}}
indirgeme bağıntısı veriliyor.

Buna göre, bu dizinin 8. terimi olan a8a_8 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Dizinin 8. terimi olan a8a_8 değeri 2'dir.
Verilen bağıntının her iki tarafının 2 tabanına göre logaritması alındığında bn+1−bn=1n−1n+1b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde teleskopik bir toplam elde edilir. n=1n=1 ile n=7n=7 arasındaki terimler taraf tarafa toplandığında b8−b1=78b_8 - b_1 = \frac{7}{8} bağıntısına ulaşılır. b1=18b_1 = \frac{1}{8} değeri eklendiğinde b8=1b_8 = 1 bulunur ve bu da a8=2a_8 = 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısının her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.
log⁡2(an+1)=log⁡2(an⋅21n(n+1))  ⟹  log⁡2(an+1)=log⁡2(an)+1n(n+1)\log_2(a_{n+1}) = \log_2\left(a_n \cdot 2^{\frac{1}{n(n+1)}}\right) \implies \log_2(a_{n+1}) = \log_2(a_n) + \frac{1}{n(n+1)}
Çarpım durumundaki indirgeme bağıntıs��nı, teleskopik olarak toplanabilecek bir biçime dönüştürmek için logaritma özellikleri kullanılır.
2
bn=log⁡2(an)b_n = \log_2(a_n) tanımlaması yaparak yeni dizinin bağıntısını ve başlangıç terimini belirleyin.
bn+1−bn=1n(n+1)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)}
Başlangıç terimi için:
b1=log⁡2(a1)=log⁡2(218)=18b_1 = \log_2(a_1) = \log_2\left(2^{\frac{1}{8}}\right) = \frac{1}{8}
İfadeyi daha sade ve doğrusal bir indirgemeli dizi halinde yazmak çözüm sürecini kolaylaştırır.
3
1n(n+1)\frac{1}{n(n+1)} ifadesini basit kesirlerin farkı olarak yazıp n=1n=1 ile n=7n=7 değerleri için yazarak taraf tarafa toplayın.
1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
b2−b1=1−12b_2 - b_1 = 1 - \frac{1}{2}
b3−b2=12−13b_3 - b_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
⋮\vdots
b8−b7=17−18b_8 - b_7 = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}

Taraf tarafa toplandığında:
b8−b1=1−18=78b_8 - b_1 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
Ardışık terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak b8b_8 değerini doğrudan b1b_1 cinsinden hesaplamak amaçlanır.
4
b1=18b_1 = \frac{1}{8} değerini yerine yazarak b8b_8 ve ardından a8a_8 değerini bulun.
b8=b1+78=18+78=1b_8 = b_1 + \frac{7}{8} = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = 1
b8=log⁡2(a8)=1  ⟹  a8=21=2b_8 = \log_2(a_8) = 1 \implies a_8 = 2^1 = 2
Tanımlanan yardımcı dizinin teriminden yararlanarak orijinal dizinin hedeflenen terimine geri dönülür.

Anahtar Kavram

Logaritma yardımıyla çözülebilen çarpımsal indirgemeli diziler ve rasyonel ifadelerde teleskopik toplam uygulaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 120Soru →
(an)(a_n) bir aritmetik dizi olmak üzere, her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için (bn)(b_n) dizisi
bn=a2n+1b_n = a_{2n+1}
biçiminde tanımlanıyor.
a5+b8=20a_5 + b_8 = 20
a8+b5=26a_8 + b_5 = 26
olduğuna göre, (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80
Verilen tanımlardan hareketle (bn)(b_n) dizisinin terimleri (an)(a_n) cinsinden ifade edildiğinde a5+a17=20a_5 + a_{17} = 20 elde edilir. İndis özellikleri kullanılarak a11=10a_{11} = 10 bulunur. İkinci denklemden a8=16a_8 = 16 ve dizinin ortak farkı r=−2r = -2 olarak bulunur. (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 terim toplamı için sınır değerleri olan b1=a3=26b_1 = a_3 = 26 ve b10=a21=−10b_{10} = a_{21} = -10 hesaplanır. Aritmetik dizi toplam formülünden doğru yanıt 80 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
(bn)(b_n) dizisinin terimlerini (an)(a_n) dizisi cinsinden yazarak denklemleri düzenlemek.
b5=a11b_5 = a_{11} ve b8=a17b_8 = a_{17} bulunur. Buradan denklemler;
a5+a17=20a_5 + a_{17} = 20
a8+a11=26a_8 + a_{11} = 26
haline gelir.
(bn)=a2n+1(b_n) = a_{2n+1} tanımı gereği n=5n=5 için b5=a11b_5 = a_{11} ve n=8n=8 için b8=a17b_8 = a_{17} eşitlikleri elde edilir.
2
Aritmetik dizilerde indisler toplamının eşitliği özelliğini kullanarak a11a_{11} terimini bulmak.
a5+a17=2a11  ⟹  2a11=20  ⟹  a11=10a_5 + a_{17} = 2a_{11} \implies 2a_{11} = 20 \implies a_{11} = 10 elde edilir.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir (5+17=11+11=225 + 17 = 11 + 11 = 22 olduğundan a5+a17=a11+a11a_5 + a_{17} = a_{11} + a_{11}).
3
İkinci denklemde a11a_{11} değerini yerine yazarak a8a_8 terimini ve dizinin ortak farkı rr değerini bulmak.
a8+10=26  ⟹  a8=16a_8 + 10 = 26 \implies a_8 = 16 olur.
Ortak fark rr için:
a11=a8+3r  ⟹  10=16+3r  ⟹  3r=−6  ⟹  r=−2a_{11} = a_8 + 3r \implies 10 = 16 + 3r \implies 3r = -6 \implies r = -2 bulunur.
Dizinin ardışık olmayan terimleri arasındaki ilişkiyi kurarak ortak farkı elde etmek için ak=ap+(k−p)ra_k = a_p + (k-p)r bağıntısı kullanılır.
4
(bn)(b_n) dizisinin ilk terimi b1b_1 ve 10. terimi b10b_{10} değerlerini hesaplamak.
b1=a3=a11−8r=10−8(−2)=26b_1 = a_3 = a_{11} - 8r = 10 - 8(-2) = 26
b10=a21=a11+10r=10+10(−2)=−10b_{10} = a_{21} = a_{11} + 10r = 10 + 10(-2) = -10 bulunur.
(bn)(b_n) dizisinin terimlerinin toplamını bulmak için sınır değerleri olan ilk ve son terimleri (an)(a_n) dizisi üzerinden hesaplarız.
5
Aritmetik dizi toplam formülünü uygulayarak (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 teriminin toplamını hesaplamak.
S10′=102(b1+b10)=5(26−10)=5⋅16=80S'_{10} = \frac{10}{2} (b_1 + b_{10}) = 5(26 - 10) = 5 \cdot 16 = 80 elde edilir.
İlk terimi ve son terimi bilinen bir aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark hesabı ve ilk n terim toplamı formülü
ÖncekiSayfa 6 / 10Sonraki
Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin