Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 161Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| fonksiyonunun grafiği ile y=3y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 8 birimkaredir.
Sınırlı bölgenin alanı, üstteki doğru olan y=3y = 3 ile alttaki eğri olan y=∣x2−1∣y = |x^2 - 1| arasındaki farkın [−2,2][-2, 2] aralığındaki belirli integraline eşittir. Bu integral simetri kullanılarak iki parçaya ayrılıp hesaplandığında sonuç 8 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarını bulma
x=−2x = -2 ve x=2x = 2
Entegrasyon sınırlarını belirlemek için ∣x2−1∣=3|x^2 - 1| = 3 denklemi çözülür. x2−1=3  ⟹  x2=4  ⟹  x=±2x^2 - 1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 elde edilir. Diğer durum olan x2−1=−3x^2 - 1 = -3 denkleminin gerçel kökü yoktur.
2
Simetriyi kullanarak integrali basitleştirme
Alan=2∫02(3−∣x2−1∣) dxAlan = 2 \int_{0}^{2} (3 - |x^2 - 1|) \, dx
f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| ve y=3y = 3 fonksiyonları çift fonksiyonlar olduğundan, grafikler yy-eksenine göre simetriktir. Bu yüzden alan [−2,2][-2, 2] aralığı yerine [0,2][0, 2] aralığında hesaplanıp 2 ile çarpılabilir.
3
İntegrali kritik noktaya göre parçalama
Alan=2(∫01(3−(1−x2)) dx+∫12(3−(x2−1)) dx)Alan = 2 \left( \int_{0}^{1} (3 - (1 - x^2)) \, dx + \int_{1}^{2} (3 - (x^2 - 1)) \, dx \right)
x2−1=0  ⟹  x=1x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 noktası mutlak değerin kritik noktasıdır. [0,1][0, 1] aralığında x2−1≤0x^2 - 1 \le 0 olduğundan ∣x2−1∣=1−x2|x^2 - 1| = 1 - x^2 olur. [1,2][1, 2] aralığında ise ∣x2−1∣=x2−1|x^2 - 1| = x^2 - 1 olur.
4
Belirli integralleri hesaplama
Birinci parça için 73\frac{7}{3}, ikinci parça için 53\frac{5}{3}
∫01(2+x2) dx=[2x+x33]01=73\int_{0}^{1} (2 + x^2) \, dx = \left[ 2x + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{7}{3} ve ∫12(4−x2) dx=[4x−x33]12=(8−83)−(4−13)=53\int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(4 - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3} olarak hesaplanır.
5
Toplam alanı bulma
8
Alan=2×(73+53)=2×123=8Alan = 2 \times \left( \frac{7}{3} + \frac{5}{3} \right) = 2 \times \frac{12}{3} = 8 birimkare bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral alınır. Mutlak değerli ifadelerde integral sınırları kritik noktalara göre parçalanmalıdır.
Soru 162Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=5\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 5
∫36f(x) dx=8\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫25[2f(x−1)−f(x+1)] dx\int_{2}^{5} [2f(x-1) - f(x+1)] \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegralin doğru değeri 2'dir.
Verilen integral, belirli integralin özellikleri ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak iki ayrı integrale bölünür. İlk kısımda yapılan dönüşümle sınırlar [1, 4] aralığına, ikinci kısımda ise [3, 6] aralığına taşınır. Bu aralıklardaki integral değerleri soruda sırasıyla 5 ve 8 olarak verilmiştir. Katsayılar ve çıkarma işlemi uygulandığında sonuç 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan ∫252f(x−1) dx\int_{2}^{5} 2f(x-1) \, dx integrali için değişken değiştirme uygulamak.
u=x−1u = x-1 dönüşümü yapılır. Buradan du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellenir: x=2x=2 için u=1u=1 ve x=5x=5 için u=4u=4 elde edilir. Böylece integral 2∫14f(u) du2 \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
2
İkinci terim olan ∫25f(x+1) dx\int_{2}^{5} f(x+1) \, dx integrali için değişken değiştirme uygulamak.
v=x+1v = x+1 dönüşümü yapılır. Buradan dv=dxdv = dx olur. Sınırlar güncellenir: x=2x=2 için v=3v=3 ve x=5x=5 için v=6v=6 elde edilir. Böylece integral ∫36f(v) dv\int_{3}^{6} f(v) \, dv haline gelir.
Belirli integralde sınırları ve diferansiyeli yeni değişkene göre ifade etmek integralin değerini bulmamızı sağlar.
3
Verilen integral değerlerini yerlerine yazarak sonucu hesaplamak.
∫14f(x) dx=5\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 5 olduğundan ilk kısım 2×5=102 \times 5 = 10 olur. ∫36f(x) dx=8\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 8 olduğundan ikinci kısım 88 olur. Sonuç olarak 10−8=210 - 8 = 2 elde edilir.
İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak terimlerin farkı alınır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve sınırların güncellenmesi.
Soru 163Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu çift fonksiyon olup her xx gerçel sayısı için
f(x+4)=f(x)f(x+4) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(2x) dx=3\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = 3
∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4
olduğuna göre,
∫25f(3−2x) dx\int_{2}^{5} f(3-2x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin doğru değeri 8'dir.
Doğru cevap olan 8 değeri; öncelikle u=2xu = 2x dönüşümüyle ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 değerinin bulunması, ardından çiftlik ve periyot özellikleri yardımıyla [0,4][0,4] aralığındaki simetrik dağılımın ve tam periyot integralinin (12) hesaplanması, son olarak t=3−2xt = 3-2x dönüşümüyle elde edilen 12∫17f(t) dt\frac{1}{2} \int_{1}^{7} f(t) \, dt integralinde periyot kaydırma yapılarak sonucun 12×(12+4)=8\frac{1}{2} \times (12 + 4) = 8 olarak bulunmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} dönüşümü yapılır. Sınırlar x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 olarak güncellenir. Buradan, ∫01f(2x) dx=∫02f(u)du2=3  ⟹  ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = \int_{0}^{2} f(u) \frac{du}{2} = 3 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 elde edilir.
Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve [0,2][0, 2] aralığındaki integral değerini bulmak için.
2
Fonksiyonun çiftlik ve periyodiklik özelliklerini kullanarak alt aralıklardaki integralleri hesaplayalım.
ff fonksiyonu çift ve periyodu 4 olduğundan, f(2−x)=f(2+x)f(2-x) = f(2+x) simetrisi mevcuttur. Bu durum ∫02f(x) dx=∫24f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 olmasını gerektirir. Buradan tüm periyot boyunca integral ∫04f(x) dx=6+6=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 6 + 6 = 12 olur. ∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4 verildiğinden, ∫12f(x) dx=6−4=2\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6 - 4 = 2 olur. Simetriden dolayı ∫23f(x) dx=2\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 2 ve ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bulunur.
[0,4][0, 4] periyodu içerisindeki farklı alt aralıkların integral değerlerini belirleyip hedef integralde kullanabilmek için.
3
Sorulan integralde değişken değiştirme uygulanır ve sınırlar güncellenir.
∫25f(3−2x) dx\int_{2}^{5} f(3-2x) \, dx integralinde t=3−2x  ⟹  dt=−2 dx  ⟹  dx=−dt2t = 3-2x \implies dt = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dt}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  t=−1x = 2 \implies t = -1 ve x=5  ⟹  t=−7x = 5 \implies t = -7 olur. İntegral: ∫−1−7f(t)(−dt2)=12∫−7−1f(t) dt\int_{-1}^{-7} f(t) \left(-\frac{dt}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{-7}^{-1} f(t) \, dt şeklini alır.
İntegrali ff fonksiyonunun tanım kümesindeki değişkenine indirgemek için.
4
Periyodiklik özelliğini kullanarak sınırları pozitif aralığa taşıyalım ve nihai değeri hesaplayalım.
Periyot 4 olduğundan sınırları 8 birim sağa kaydırabiliriz: ∫−7−1f(t) dt=∫17f(t) dt\int_{-7}^{-1} f(t) \, dt = \int_{1}^{7} f(t) \, dt olur. Bu integral ∫15f(t) dt+∫57f(t) dt\int_{1}^{5} f(t) \, dt + \int_{5}^{7} f(t) \, dt olarak ayrılır. [1,5][1, 5] aralığı tam bir periyot olduğundan integral değeri 12'dir. [5,7][5, 7] aralığı ise periyodiklikten dolayı [1,3][1, 3] aralığına denktir: ∫57f(t) dt=∫13f(t) dt=∫12f(t) dt+∫23f(t) dt=2+2=4\int_{5}^{7} f(t) \, dt = \int_{1}^{3} f(t) \, dt = \int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{2}^{3} f(t) \, dt = 2 + 2 = 4 olur. Toplam integral 12+4=1612 + 4 = 16 olup, sonuç 12×16=8\frac{1}{2} \times 16 = 8 bulunur.
Sınırları bilinen ve tanımlı aralıklara indirgeyerek sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, periyodiklik ve tek/çift fonksiyon simetrisi özelliklerinin birlikte kullanımı.
Soru 164Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=∫(3x+1)2 dx−∫(3x−1)2 dxf(x) = \int (3x+1)^2 \, dx - \int (3x-1)^2 \, dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=10f(1) = 10 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

28
İntegralin fark özelliği kullanılarak integralin içi (3x+1)2−(3x−1)2=12x(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = 12x şeklinde sadeleştirilir. 12x12x ifadesinin belirsiz integrali alındığında f(x)=6x2+Cf(x) = 6x^2 + C elde edilir. f(1)=10f(1) = 10 koşulu kullanılarak C=4C = 4 bulunur. Buradan fonksiyon f(x)=6x2+4f(x) = 6x^2 + 4 olarak elde edilir ve x=2x = 2 için f(2)=28f(2) = 28 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral işleminin doğrusallık özelliğini kullanarak iki ayrı integrali tek bir integral altında birleştirin.
f(x)=∫[(3x+1)2−(3x−1)2] dxf(x) = \int \left[ (3x+1)^2 - (3x-1)^2 \right] \, dx
Belirsiz integralde çıkarma işlemini tek bir integral altında toplamak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
İntegral içindeki ifadeyi iki kare farkı veya tam kare açılımı yardımıyla sadeleştirin.
(3x+1)2−(3x−1)2=(9x2+6x+1)−(9x2−6x+1)=12x(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = (9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - 6x + 1) = 12x olduğundan integral f(x)=∫12x dxf(x) = \int 12x \, dx hâline gelir.
İntegral alma kuralını uygulamadan önce integrali alınacak ifadeyi en sade biçime getirmek gerekir.
3
Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak integrali hesaplayın ve integral sabitini ekleyin.
f(x)=6x2+Cf(x) = 6x^2 + C (burada CC bir gerçel sayı sabitidir)
Belirsiz integralin genel tanımı gereği integral sabiti CC eklenmelidir.
4
Verilen f(1)=10f(1) = 10 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti CC'yi bulun.
f(1)=6(1)2+C=10  ⟹  6+C=10  ⟹  C=4f(1) = 6(1)^2 + C = 10 \implies 6 + C = 10 \implies C = 4 olarak bulunur. Dolayısıyla f(x)=6x2+4f(x) = 6x^2 + 4 olur.
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla genel çözümden özel çözüme geçilir.
5
Bulunan f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak f(2)f(2) değerini hesaplayın.
f(2)=6(2)2+4=6⋅4+4=28f(2) = 6(2)^2 + 4 = 6 \cdot 4 + 4 = 28 olarak bulunur.
Soruda istenen f(2)f(2) değerine ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Alternatif Yöntem

İntegralleri tek bir integral altında birleştirmek yerine, her bir integrali ayrı ayrı ∫(3x+1)2 dx=(3x+1)39+C1\int (3x+1)^2 \, dx = \frac{(3x+1)^3}{9} + C_1 ve ∫(3x−1)2 dx=(3x−1)39+C2\int (3x-1)^2 \, dx = \frac{(3x-1)^3}{9} + C_2 şeklinde hesaplayıp farklarını alarak da çözüme ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 165Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=x2−1y = x^2 - 1 eğrisi, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=2x = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.
Doğru cevap olan 2 değeri, fonksiyonun x-eksenini kestiği x=1x = 1 noktasından itibaren aralığın ikiye bölünmesi ve x-ekseninin altında kalan [0,1][0, 1] aralığındaki integral değerinin negatif işaretlisinin alınmasıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
x2−1=0⇒x=1x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 ve x=−1x = -1. [0,2][0, 2] aralığına düşen kesim noktası x=1x = 1'dir.
İntegral sınırları içerisindeki işaret değişim yerlerini belirlemek için.
2
Alan hesabı için [0,2][0, 2] aralığı, fonksiyonun negatif ve pozitif olduğu bölgelere göre [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] olarak iki alt aralığa ayrılır.
A=A1+A2=∫01∣x2−1∣ dx+∫12∣x2−1∣ dxA = A_1 + A_2 = \int_{0}^{1} |x^2 - 1| \, dx + \int_{1}^{2} |x^2 - 1| \, dx
x-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değeri negatif çıkacağı için alan hesaplanırken bu değerin mutlak değeri veya negatifi alınmalıdır.
3
[0,1][0, 1] aralığında x2−1≤0x^2 - 1 \leq 0 olduğundan bu aralıktaki alan hesaplanır.
A1=∫01(1−x2) dx=[x−x33]01=1−13=23A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} birimkare.
Negatif bölgedeki alanın pozitif değerini bulmak için.
4
[1,2][1, 2] aralığında x2−1≥0x^2 - 1 \geq 0 olduğundan bu aralıktaki alan hesaplanır.
A2=∫12(x2−1) dx=[x33−x]12=(83−2)−(13−1)=23−(−23)=43A_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} birimkare.
Pozitif bölgedeki alanı bulmak için.
5
Elde edilen iki alan değeri toplanır.
A=A1+A2=23+43=2A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 birimkare.
Toplam sınırlı alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan alanın hesabı.
Soru 166Soru →
Her noktada sürekli olan bir ff fonksiyonu için
∫28f(x) dx=15\int_{2}^{8} f(x) \, dx = 15
ve
∫25f(10−x) dx=9\int_{2}^{5} f(10-x) \, dx = 9
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12f(3x−1) dx\int_{1}^{2} f(3x-1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegralin değeri 2'dir.
Verilen belirli integral özellikleri ve değişken değiştirme yöntemleri sırasıyla uygulandığında integralin değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen integralde u = 10 - x değişken değiştirmesi yapılması
\int_{5}^{8} f(u) \, du = 9
İntegrali standart formda ifade ederek sınırları belirlemek amacıyla değişken değiştirme uygulanır.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliğinin kullanılması
\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 6
[2, 8] aralığındaki integral, [2, 5] ve [5, 8] aralıklarının toplamı olarak yazılır.
3
İstenen integralde t = 3x - 1 değişken değiştirmesi yapılarak sonucun hesaplanması
2
İstenen integral, elde edilen bilinen integral cinsine dönüştürülerek hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralin aralık bölme ve değişken değiştirme (ikame) özellikleri.
Soru 167Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu dd olarak verilmiştir. ff fonksiyonunun grafiği ile dd doğrusu arasında kalan sınırlı bölge, yy-ekseni tarafından iki alt bölgeye ayrılmaktadır. Buna göre, solda kalan bölgenin alanının sağda kalan bölgenin alanına oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Soldaki bölgenin alanının sağdaki bölgenin alanına oranı 8'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi bulunur. Teğet doğrusunun denklemi y=9x−16y = 9x - 16 olarak elde edilir. Ardından, eğri ile teğet doğrusunun kesişim noktaları x3−3x=9x−16x^3 - 3x = 9x - 16 denkleminin çözülmesiyle x=2x = 2 (teğetlik noktası, çift katlı kök) ve x=−4x = -4 olarak bulunur. Sınırlı bölge [−4,2][-4, 2] aralığındadır. Bu bölgeyi yy-ekseni (x=0x=0 doğrusu) ikiye ayırdığı için, soldaki alan [−4,0][-4, 0] aralığında, sağdaki alan ise [0,2][0, 2] aralığında integral alınarak hesaplanır. [−4,2][-4, 2] aralığında eğri teğet doğrusunun üzerinde kaldığından, integrali alınacak fark fonksiyonu (x3−3x)−(9x−16)=x3−12x+16(x^3 - 3x) - (9x - 16) = x^3 - 12x + 16 olur. Soldaki alan ∫−40(x3−12x+16)dx=96\int_{-4}^0 (x^3 - 12x + 16) dx = 96 ve sağdaki alan ∫02(x3−12x+16)dx=12\int_0^2 (x^3 - 12x + 16) dx = 12 olarak bulunur. Bu iki alanın oranı 96/12=896 / 12 = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin e��imini ve teğet noktası koordinatlarını bulun.
f(2)=23−3(2)=2f(2) = 2^3 - 3(2) = 2 olduğundan teğet noktası (2,2)(2, 2)'dir. Türev fonksiyonu f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 olup, x=2x = 2 noktasındaki teğet eğimi m=f′(2)=3(22)−3=9m = f'(2) = 3(2^2) - 3 = 9 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasının koordinatlarına ve doğrunun eğimine ihtiyaç vardır.
2
Teğet doğrusu dd'nin denklemini yazın.
Teğet doğrusunun denklemi y−2=9(x−2)  ⟹  y=9x−16y - 2 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 16 olarak elde edilir.
Eğri ile teğet doğrusu arasında kalan bölgenin sınırlarını ve alanını belirlemek için doğrunun cebirsel ifadesi gereklidir.
3
f(x)f(x) eğrisi ile dd doğrusunun kesim noktalarını bulun.
x3−3x=9x−16  ⟹  x3−12x+16=0x^3 - 3x = 9x - 16 \implies x^3 - 12x + 16 = 0 denklemi çözülür. x=2x = 2 noktası teğet noktası olduğundan denklemin çift katlı köküdür. Dolayısıyla denklem (x−2)2(x+4)=0(x-2)^2(x+4) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kesim noktaları x=2x = 2 ve x=−4x = -4 olarak bulunur.
Eğri ve doğrunun sınırladığı bölgenin sol ve sağ uç sınırlarını tespit etmek için kesim noktaları bulunmalıdır.
4
yy-ekseninin solunda ve sağında kalan alanları belirli integral yardımıyla hesaplayın.
[−4,2][-4, 2] aralığında f(x)≥9x−16f(x) \ge 9x - 16 olduğundan fark fonksiyonu x3−12x+16x^3 - 12x + 16'dır. Soldaki alan S1=∫−40(x3−12x+16)dx=[x44−6x2+16x]−40=0−(64−96−64)=96S_1 = \int_{-4}^0 (x^3 - 12x + 16) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^0 = 0 - (64 - 96 - 64) = 96 birimkare bulunur. Sağdaki alan S2=∫02(x3−12x+16)dx=[x44−6x2+16x]02=(4−24+32)−0=12S_2 = \int_0^2 (x^3 - 12x + 16) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 16x \right]_0^2 = (4 - 24 + 32) - 0 = 12 birimkare bulunur.
yy-ekseni x=0x = 0 doğrusu olduğundan sınırlı bölgeyi [−4,0][-4, 0] ve [0,2][0, 2] olmak üzere iki alt aralığa böler. Her bir alt bölgenin alanı belirli integral ile hesaplanır.
5
Bulunan alanların oranını hesaplayın.
Soldaki alanın sağdaki alana oranı S1S2=9612=8\frac{S_1}{S_2} = \frac{96}{12} = 8 olarak elde edilir.
Soruda bizden istenen oran, sol bölgenin alanının sağ bölgenin alanına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

İntegral alırken x3−12x+16=(x−2)2(x+4)x^3 - 12x + 16 = (x-2)^2(x+4) biçiminde çarpanlarına ayrılan ifadenin integrali, değişken değiştirme veya doğrudan polinom integrali ile hesaplanabilir. Ayrıca pratik bir yol olarak, üçüncü dereceden bir fonksiyona teğet olan doğru ile fonksiyon arasında kalan toplam alan A=k12(x2−x1)4A = \frac{k}{12}(x_2 - x_1)^4 formülüyle de kontrol edilebilir (burada kk başkatsayıdır). Bu soruda toplam alan 112⋅(2−(−4))4=129612=108\frac{1}{12} \cdot (2 - (-4))^4 = \frac{1296}{12} = 108 olarak bulunur. Bölgelerin alanları sırasıyla 96 ve 12 olduğundan toplamı doğrular.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 168Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−12f(x) dx=10\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 10
olduğuna göre,
∫01(6x⋅f(x2−1)+6f(2x)) dx\int_{0}^{1} \left( 6x \cdot f(x^2 - 1) + 6f(2x) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İntegralin değeri 30'dur.
Verilen integral iki parçaya ayrılıp u=x2−1u = x^2 - 1 ve v=2xv = 2x değişken değiştirmeleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] olur. Bu iki integralin toplamı, belirli integralin aralık birleştirme kuralına göre [−1,2][-1, 2] aralığındaki integralin 3 katına eşit olur. Dolayısıyla doğru yanıt 3⋅10=303 \cdot 10 = 30 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazalım.
∫016x⋅f(x2−1) dx+∫016f(2x) dx\int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx + \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx
Her iki terim i��in farklı değişken değiştirme yöntemleri uygulanacaktır.
2
Birinci integral olan I1=∫016x⋅f(x2−1) dxI_1 = \int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx için u=x2−1u = x^2 - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
I1=3∫−10f(u) duI_1 = 3 \int_{-1}^{0} f(u) \, du
u=x2−1u = x^2 - 1 ise du=2x dxdu = 2x \, dx olur. Buradan 6x dx=3 du6x \, dx = 3 \, du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için u=−1u = -1 ve x=1x = 1 için u=0u = 0 olarak güncellenir.
3
İkinci integral olan I2=∫016f(2x) dxI_2 = \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx için v=2xv = 2x değişken değiştirmesini uygulayalım.
I2=3∫02f(v) dvI_2 = 3 \int_{0}^{2} f(v) \, dv
v=2xv = 2x ise dv=2 dxdv = 2 \, dx olur. Buradan 6 dx=3 dv6 \, dx = 3 \, dv elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için v=0v = 0 ve x=1x = 1 için v=2v = 2 olarak güncellenir.
4
Elde edilen I1I_1 ve I2I_2 integrallerini toplayarak ortak katsayı parantezine alalım ve integral aralıklarını birleştirelim.
I1+I2=3(∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx)=3∫−12f(x) dx=3⋅10=30I_1 + I_2 = 3 \left( \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right) = 3 \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 3 \cdot 10 = 30
Belirli integralin sınırları [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] birbirini tamamladığı için aralık bölme özelliği gereğince ∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx=∫−12f(x) dx\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve integral aralıklarının parçalanması/birleştirilmesi özellikleri
Soru 169Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(2x) dx=8\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 8
∫13f(x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(x-1) \, dx = 6

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫24f(x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 değerini içeren seçenek doğrudur.
Verilen integrallerde gerekli değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru şekilde güncellendiğinde sırasıyla ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 ve ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 değerleri elde edilir. İstenen integral, bu iki integralin farkı olan ∫24f(x) dx=16−6=10\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 16 - 6 = 10 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} ve sınırlar x=0  ⟹  u=0x=0 \implies u=0, x=2  ⟹  u=4x=2 \implies u=4 olur. İntegral: ∫04f(u)du2=8  ⟹  ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 olarak bulunur.
Verilen integrali f(x) cinsinden ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi kullanılır.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
t=x−1  ⟹  dt=dxt = x-1 \implies dt = dx ve sınırlar x=1  ⟹  t=0x=1 \implies t=0, x=3  ⟹  t=2x=3 \implies t=2 olur. İntegral: ∫02f(t) dt=6  ⟹  ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 olarak bulunur.
İkinci integral ifadesini f(x) cinsinden sadeleştirmek için değişken değiştirme yapılır.
3
Elde edilen integral alanlarını sınır parçalama özelliğine göre birleştirmek.
∫24f(x) dx=∫04f(x) dx−∫02f(x) dx=16−6=10\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 16 - 6 = 10 bulunur.
İstenen integralin sınırları olan [2, 4] aralığı, [0, 4] ve [0, 2] aralıklarının farkı şeklinde ifade edilebilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin toplamsal/parçalama özelliğinin kullanılması.
Soru 170Soru →
Gerçel sayılar kümesinin R∖{−3,3}\mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\} alt kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(x)=∫x4−4x2+3x2−3 dxf(x) = \int \frac{x^4 - 4x^2 + 3}{x^2 - 3} \, dx
eşitliği sağlanmaktadır.

f(3)=10f(3) = 10 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap, doğru integral alma kuralları ve başlangıç koşulu kullanılarak elde edilen 4 değeridir.
Verilen rasyonel ifade çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde x2−1x^2 - 1 elde edilir. Bu ifadenin integral kurallarına göre integrali x33−x+C\frac{x^3}{3} - x + C şeklindedir. f(3)=10f(3) = 10 eşitliği kullanılarak 6+C=106 + C = 10 denkleminden integral sabiti C=4C = 4 olarak bulunur. Fonksiyonda xx yerine 00 yazıldığında f(0)=Cf(0) = C olduğundan, aranan değer 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak rasyonel ifadenin pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapmak.
x4−4x2+3=(x2−3)(x2−1)x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 3)(x^2 - 1) olduğu için, x2≠3x^2 \neq 3 koşulu altında ifade (x2−3)(x2−1)x2−3=x2−1\frac{(x^2 - 3)(x^2 - 1)}{x^2 - 3} = x^2 - 1 biçiminde sadeleşir.
İntegral işlemini daha kolay gerçekleştirebilmek amacıyla ifadeyi polinom haline getirmek.
2
Elde edilen sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini hesaplamak.
f(x)=∫(x2−1) dx=x33−x+Cf(x) = \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C olarak bulunur.
Belirsiz integral alma kuralları yardımıyla fonksiyonun genel kuralını integral sabitiyle birlikte belirlemek.
3
Verilen f(3)=10f(3) = 10 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti CC değerini bulmak.
f(3)=333−3+C=9−3+C=6+C=10  ⟹  C=4f(3) = \frac{3^3}{3} - 3 + C = 9 - 3 + C = 6 + C = 10 \implies C = 4 elde edilir.
Belirsiz integral sonucundaki belirsizliği verilen bir nokta yardımıyla ortadan kaldırmak.
4
Bulunan f(x)=x33−x+4f(x) = \frac{x^3}{3} - x + 4 fonksiyonunda x=0x = 0 yazarak f(0)f(0) değerini hesaplamak.
f(0)=033−0+4=4f(0) = \frac{0^3}{3} - 0 + 4 = 4 bulunur.
Soru kökünde bizden istenen hedef değere ulaşmak.

Anahtar Kavram

Polinom tipindeki ifadelerin belirsiz integral alma kuralları kullanılarak entegre edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 171Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6
ve
∫12x⋅f(x2+1) dx=4\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İntegralin değeri 4'tür.
Dönüşümler yapıldığında ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 ve ∫25f(x) dx=8\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8 değerleri bulunur. Belirli integralin sınırları bölme özelliği kullanılarak ∫12f(x) dx=12−8=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 - 8 = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken de��iştirme yöntemini uygulayalım.
u=2x−1  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x - 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=3  ⟹  u=5x = 3 \implies u = 5 elde edilir. Buradan,
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)du2=6  ⟹  ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
bulunur.
Verilen ilk integral ifadesini sadeleştirmek ve standart f(x)f(x) formuyla ifade edebilmek için değişken değiştirme uygulanır.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
v=x2+1  ⟹  dv=2x dx  ⟹  x dx=dv2v = x^2 + 1 \implies dv = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  v=2x = 1 \implies v = 2 ve x=2  ⟹  v=5x = 2 \implies v = 5 elde edilir. Buradan,
∫12x⋅f(x2+1) dx=∫25f(v)dv2=4  ⟹  ∫25f(x) dx=8\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(v) \frac{dv}{2} = 4 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8
bulunur.
İkinci integral ifadesini standart f(x)f(x) integraline dönüştürmek için x2+1x^2+1 ifadesine yeni bir değişken atanır.
3
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanalım.
∫15f(x) dx=∫12f(x) dx+∫25f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx
Elde ettiğimiz değerleri yerine yazarsak;
12=∫12f(x) dx+8  ⟹  ∫12f(x) dx=412 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
bulunur.
Sınırları [1,5][1, 5] olan integral, [1,2][1, 2] ve [2,5][2, 5] aralıklarında iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve integralin sınırları bölme özelliği
Soru 172Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−12xf(x) = 3x^2 - 12x parabolü ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

32
Parabolün kökleri olan 0 ve 4 sınırları arasında kalan bölge x-ekseninin altında yer alır. Bu nedenle alan, integral değerinin eksi işaretiyle çarpılmasıyla elde edilir. İntegral işlemi yapıldığında sonuç 32 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları belirlemek için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
3x2−12x=0  ⟹  3x(x−4)=03x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0 denklemi çözüldüğünde sınırlar x=0x = 0 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Eksenler arasında kalan sınırlı bölgenin başlangıç ve bitiş sınırlarını (integral sınırlarını) tespit etmek için.
2
İntegral alınacak aralıktaki fonksiyonun işaretini belirleyerek alan formülü kurulur.
x∈(0,4)x \in (0, 4) aralığı için f(x)<0f(x) < 0 olduğundan alan formülü Alan=−∫04(3x2−12x) dx\text{Alan} = -\int_{0}^{4} (3x^2 - 12x) \,dx olarak yazılır.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken belirli integralin değeri negatif çıkacağından önüne eksi işareti konmalıdır.
3
Belirli integral hesaplanır.
−[x3−6x2]04=−((43−6⋅42)−0)=−(64−96)=32-\left[ x^3 - 6x^2 \right]_0^4 = -((4^3 - 6 \cdot 4^2) - 0) = -(64 - 96) = 32 birimkare bulunur.
Sınırlar yerine yazılarak net alan değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eğrinin x-ekseninin altında kaldığı aralıklarda belirli integral değerinin negatif çıkması ve alan hesabı yapılırken bu değerin mutlak değerinin (veya önüne eksi işareti getirilerek) kullanılması gerektiği.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 173Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫35(f(x)−2x) dx=−8\int_{3}^{5} (f(x) - 2x) \, dx = -8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 4 olarak bulunur.
İkinci denklem belirli integralin lineerlik özelliği ile parçalandığında elde edilen ∫352x dx\int_{3}^{5} 2x \, dx integralinin değeri 1616 olur. Buradan ∫35f(x) dx=8\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8 olarak bulunur. İlk denklemde verilen [1,5][1, 5] aralığı belirli integralin aralık bölme özelliğiyle [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olarak ikiye ayrıldığında, ∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx bağıntısı elde edilir. Sayısal değerler yerine konduğunda 12=∫13f(x) dx+812 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 eşitliğinden aranan integralin değeri 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integral ifadesini belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak parçalamak
∫35f(x) dx−∫352x dx=−8\int_{3}^{5} f(x) \, dx - \int_{3}^{5} 2x \, dx = -8
İntegrali sadeleştirip ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx terimini yalnız bırakabilmek için belirli integralin çıkarma özelliğini uyguladık.
2
∫352x dx\int_{3}^{5} 2x \, dx integralini hesaplamak
∫352x dx=[x2]35=25−9=16\int_{3}^{5} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{3}^{5} = 25 - 9 = 16
2x2x fonksiyonunun integralinin x2x^2 olduğunu bilerek sınır değerlerini yerine koyduk.
3
∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx değerini bulmak
∫35f(x) dx=8\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8
∫35f(x) dx−16=−8\int_{3}^{5} f(x) \, dx - 16 = -8 eşitliğinden bilinmeyen integral değerini çektik.
4
Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini uygulamak
∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx
[1,5][1, 5] aralığını 33 noktasına göre iki alt aralığa bölerek integral değerleri arasındaki ilişkiyi kurduk.
5
Verilen ve bulunan değerleri denklemde yerine koyup sonuca ulaşmak
12=∫13f(x) dx+8  ⟹  ∫13f(x) dx=412 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4
Bilinen değerleri yerine yazarak bizden istenen aralıktaki integral değerini hesapladık.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralin Lineerlik ve Aralık Bölme Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 174Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=3y2−3y−6x = 3y^2 - 3y - 6 ve x=6+3y−3y2x = 6 + 3y - 3y^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 27 birimkaredir.
Kesişim noktaları y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olarak bulunduktan sonra, [−1,2][-1, 2] aralığında sağda olan x=6+3y−3y2x = 6 + 3y - 3y^2 eğrisinden solda olan x=3y2−3y−6x = 3y^2 - 3y - 6 eğrisi çıkarılarak elde edilen 12+6y−6y212 + 6y - 6y^2 ifadesinin bu aralıktaki belirli integrali hesaplandığında alan 27 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalar��nın y koordinatlarını bulmak için denklemler eşitlenir.
y=−1y = -1 ve y=2y = 2
İntegral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları hesaplanmalıdır.
2
Sınırlar arasında hangi eğrinin sağda olduğunu belirlemek için aralıktan bir değer seçilerek kontrol edilir.
x=6+3y−3y2x = 6 + 3y - 3y^2 parabolü sağdadır.
Alan hesabında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.
3
Alan hesabı için belirli integral kurulur.
Alan=∫−12(12+6y−6y2) dy\text{Alan} = \int_{-1}^{2} (12 + 6y - 6y^2) \, dy
İki eğri arasında kalan alan, sağdaki eğrinin denkleminden soldakinin çıkarılmasıyla elde edilen ifadenin integralidir.
4
İntegral alınır ve sınırlar yerine konarak alan hesaplanır.
Alan = 27
Belirli integral kuralları uygulanarak alanın sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını y eksenine göre integral alarak hesaplama.
Soru 175Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff çift fonksiyonu için
∫−24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18
ve
∫12f(2x) dx=4\int_{1}^{2} f(2x) \, dx = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
İkinci integralde yapılan değişken değiştirme ile [2,4][2, 4] aralığındaki integral değeri 8 bulunur. İlk integral [−2,2][ -2, 2 ] ve [2,4][ 2, 4 ] olarak parçalandığında, [−2,2][-2, 2] aralığının değeri 10 olur. ff çift fonksiyon olduğundan [0,2][0, 2] aralığının değeri 5 olarak elde edilir. İstenen integral de [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] olarak parçalanıp toplandığında 13 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde u=2xu = 2x değişken değiştirmesi yapılması
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde: x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 elde edilir. Bu durumda ∫24f(u)du2=4  ⟹  ∫24f(x) dx=8\int_{2}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 4 \implies \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8 bulunur.
f(2x)f(2x) ifadesini standart f(x)f(x) formuna getirerek integral aralığını belirlemek.
2
İlk integralin aralık parçalama özelliği kullanılarak bölünmesi
∫−24f(x) dx=∫−22f(x) dx+∫24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 18 olur. Birinci adımda bulunan değer yerine yazıldığında: ∫−22f(x) dx+8=18  ⟹  ∫−22f(x) dx=10\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + 8 = 18 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 10 elde edilir.
Tanımlı [−2,4][ -2, 4 ] integralini bilinen ve simetrik olan alt aralıklara ayırmak.
3
ff fonksiyonunun çift olmasından yararlanılarak simetrik sınır özelliğinin uygulanması
ff çift fonksiyon olduğundan ∫−22f(x) dx=2∫02f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} f(x) \, dx olur. Buradan 2∫02f(x) dx=10  ⟹  ∫02f(x) dx=52 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5 bulunur.
Simetrik [−2,2][-2, 2] aralığındaki integral değerini [0,2][0, 2] aralığına indirgemek.
4
İstenen integralin parçalanarak hesaplanması
∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx şeklinde parçalanır. Değerler yerine yazıldığında: 5+8=135 + 8 = 13 elde edilir.
Elde edilen [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] integral değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, aralık parçalama ve simetrik sınırlarda çift fonksiyon integral özellikleri
Soru 176Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(x⋅f′(x)+f(x))dx=x2−2x \int \left( x \cdot f'(x) + f(x) \right) dx = x^2 - 2x
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2'dir.
Verilen eşitliğin sol tarafında yer alan integralin içerisindeki x⋅f′(x)+f(x)x \cdot f'(x) + f(x) ifadesi, x⋅f(x)x \cdot f(x) ifadesinin türevidir. Buradan integral alındığında x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C denklemi elde edilir. f(1)=2f(1) = 2 sınır koşulu yerine yazıldığında 1⋅2=12−2(1)+C1 \cdot 2 = 1^2 - 2(1) + C den C=3C = 3 olarak bulunur. Fonksiyon denklemi x⋅f(x)=x2−2x+3x \cdot f(x) = x^2 - 2x + 3 halini alır. x=3x = 3 için bu denklem 3⋅f(3)=32−2(3)+3=63 \cdot f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 6 eşitliğini verir ve buradan f(3)=2f(3) = 2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içindeki ifadenin çarpımın türevi kuralına uygunluğunu kontrol etme.
x⋅f′(x)+f(x)=(x⋅f(x))′x \cdot f'(x) + f(x) = (x \cdot f(x))' olduğunu görme.
Çarpımın türevi kuralı gereği, (g(x)⋅h(x))′=g′(x)h(x)+g(x)h′(x)(g(x) \cdot h(x))' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) olup bu kural g(x)=xg(x) = x ve h(x)=f(x)h(x) = f(x) için uygulandığında integralin içindeki ifadeyi verir.
2
Eşitliğin her iki tarafının integralini çözerek f(x)f(x) fonksiyonuna bağlı ifadeyi elde etme.
x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C
Türevi alınmış bir ifadenin belirsiz integrali, ifadenin kendisine bir integral sabiti (C) eklenmesiyle bulunur.
3
Verilen f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulunu kullanarak C sabitini hesaplama.
1⋅f(1)=12−2(1)+C  ⟹  2=−1+C  ⟹  C=31 \cdot f(1) = 1^2 - 2(1) + C \implies 2 = -1 + C \implies C = 3
Fonksiyonun kuralını tam olarak belirlemek için integral sabitinin sayısal değerini bulmamız gerekir.
4
Elde edilen x⋅f(x)=x2−2x+3x \cdot f(x) = x^2 - 2x + 3 eşitliğinde x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) değerini hesaplama.
3⋅f(3)=32−2(3)+3  ⟹  3⋅f(3)=6  ⟹  f(3)=23 \cdot f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 \implies 3 \cdot f(3) = 6 \implies f(3) = 2
Soruda bizden istenen hedef değeri bulmak için denklemde değişken yerine ilgili sayıyı yazarız.

Anahtar Kavram

Çarpımın türevi kuralı içeren ifadelerin belirsiz integrali ve integral sabiti (C) hesabı

Alternatif Yöntem

Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevi alınabilir:
ddx[∫(x⋅f′(x)+f(x)) dx]=ddx(x2−2x)\frac{d}{dx} \left[ \int (x \cdot f'(x) + f(x)) \, dx \right] = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x)
Buradan x⋅f′(x)+f(x)=2x−2x \cdot f'(x) + f(x) = 2x - 2 elde edilir. Sol taraf (x⋅f(x))′(x \cdot f(x))' çarpım türevi olduğundan:
(x⋅f(x))′=2x−2(x \cdot f(x))' = 2x - 2
Her iki tarafın tekrar belirsiz integrali alınırsa:
x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C
bağıntısı bulunur. Buradan da f(1)=2f(1) = 2 yazılarak C=3C = 3 ve ardından f(3)=2f(3) = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 177Soru →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2
olduğuna göre,
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İstenen integral işleminin sonucu 10'dur.
Verilen fonksiyonel denklemden fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır. Bu periyot özelliği kullanılarak sınırları daha büyük olan integral terimleri [0,4][0, 4] periyot aralığı cinsinden parçalanır ve ortak [1,2][1, 2] aralığı sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun periyodiklik özelliğinin belirlenmesi
f(x)=f(x+4)f(x) = f(x+4) eşitliği elde edilerek fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır.
İntegral sınırlarını kaydırabilmek ve periyot özelliğini kullanabilmek için.
2
Periyot aralığındaki integral değerinin hesaplanması
[0,4][0, 4] aralığındaki integral değeri 12 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki yanının [0,2][0, 2] aralığında entegre edilmesi ve değişken değiştirme uygulanması ile tam bir periyottaki integral değerine ulaşmak amacıyla.
3
İstenen integral ifadesinin parçalanması
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx=12+∫02f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 12 + \int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesi elde edilir.
Sınırları [0,4][0, 4] periyot uzunluğuna göre sadeleştirmek için.
4
Fark integralinin ortak aralıklar kullanılarak basitleştirilmesi
∫02f(x) dx−∫13f(x) dx=∫01f(x) dx−∫23f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{2}^{3} f(x) \, dx olduğu görülür.
[1,2][1, 2] aralığındaki ortak integral değerlerinin sadeleşmesini sağlamak için.
5
Kayıp aralıktaki integral değerinin bulunması
∫23f(x) dx=4\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4 olarak hesaplanır.
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6 eşitliği [0,1][0, 1] aralığında entegre edilip verilen ∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 değeri kullanılarak.
6
Nihai sonucun elde edilmesi
İşlemin sonucu 12+(2−4)=1012 + (2 - 4) = 10 olarak bulunur.
Bulunan tüm değerlerin sadeleştirilmiş ana ifadede yerine konulması amacıyla.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınır kaydırma, periyodik fonksiyonların integrali ve değişken değiştirme özellikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 178Soru →
∫13x3−x(x2+1)3 dx\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x}{(x^2 + 1)^3} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 225\frac{2}{25}

Cevap

225\frac{2}{25}
İntegral ifadesinde pay kısmındaki x3−xx^3 - x ifadesi x(x2−1)x(x^2 - 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki x2+1x^2 + 1 ifadesine uu denilirse, diferansiyel x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olarak elde edilir. Bu durumda paydaki x2−1x^2 - 1 terimi u−2u - 2 haline gelir. İntegralin sınırları da x=1x=1 için u=2u=2 ve x=3x=3 için u=10u=10 olarak güncellenir. Bu dönüşümler altında integral 12∫210(u−2−2u−3) du\frac{1}{2} \int_{2}^{10} (u^{-2} - 2u^{-3}) \, du biçimine dönüşür. İntegral hesaplandığında doğru sonuç 225\frac{2}{25} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali daha kolay hesaplayabilmek amacıyla u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesini yapalım.
Diferansiyel alındığında du=2x dx⇒x dx=12 dudu = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
Paydadaki ifadeyi tek bir değişkenin kuvvetine dönüştürmek ve pay kısmındaki x3−x=x(x2−1)x^3 - x = x(x^2 - 1) ifadesindeki xx çarpanı ile diferansiyel ilişkisi kurmak amacıyla bu dönüşüm seçilmiştir.
2
x2−1x^2 - 1 ifadesini uu türünden yazalım.
u=x2+1⇒x2=u−1u = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 = u - 1 olduğundan, x2−1=(u−1)−1=u−2x^2 - 1 = (u - 1) - 1 = u - 2 olur.
İntegral içindeki tüm xx terimlerinin yeni değişken olan uu türünden ifade edilmesi zorunludur.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken olan uu değerlerine göre güncelleyelim.
Alt sınır için x=1⇒u=12+1=2x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=3⇒u=32+1=10x = 3 \Rightarrow u = 3^2 + 1 = 10 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir, aksi takdirde yanlış sonuç elde edilir.
4
Dönüşümleri ve yeni sınırları integralde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayalım.
∫210u−2u3⋅12 du=12∫210(u−2−2u−3) du=12[−u−1+u−2]210=12[−1u+1u2]210\int_{2}^{10} \frac{u - 2}{u^3} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{2}^{10} \left( u^{-2} - 2u^{-3} \right) \, du = \frac{1}{2} \left[ -u^{-1} + u^{-2} \right]_2^{10} = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} \right]_2^{10}

Sınırları yerine yazarsak:
12[(−110+1100)−(−12+14)]=12[−9100−(−14)]=12[−9100+25100]=12⋅16100=225\frac{1}{2} \left[ \left( -\frac{1}{10} + \frac{1}{100} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{9}{100} - \left( -\frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{9}{100} + \frac{25}{100} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{100} = \frac{2}{25} elde edilir.
Elde edilen basit rasyonel fonksiyonların integralleri alınır ve sınırlar yerine konur.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Soru 179Soru →
Bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integral değerleri ile ilgili olarak,
∫13f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4
∫15f(x) dx=10\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 10
bilgileri verilmektedir.
Buna göre,
∫12f(2x+1) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegral özelliklerinin uygulanmasıyla elde edilen doğru sonuç 9'dur.
İntegralin aralık bölme özelliğinden yararlanılarak 3 ile 5 sınırları arasındaki integral değeri 6 olarak hesaplanır. Ardından, birinci integralde değişken değiştirme uygulanarak sınırlar 3 ve 5'e dönüştürülür ve katsayı çarpanıyla birlikte bu integralin değeri 3 bulunur. Son olarak iki değer toplandığında 9 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak 3 ile 5 arasındaki integral değerini hesaplayın.
∫35f(x) dx=6\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 6
[1,5][1, 5] aralığı [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olarak ikiye bölünebildiğinden, ∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx eşitliği yazılır. Buradan 10=4+∫35f(x) dx10 = 4 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx elde edilerek aranan değer 6 bulunur.
2
İlk integral olan ∫12f(2x+1) dx\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx ifadesinde u=2x+1u = 2x+1 değişken değiştirmesini uygulayın.
∫12f(2x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx = 3
u=2x+1u = 2x+1 için du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1x = 1 için u=3u = 3 ve x=2x = 2 için u=5u = 5 olur. Buradan integral ∫35f(u) du2=12∫35f(x) dx=12⋅6=3\int_{3}^{5} f(u) \, \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 olarak bulunur.
3
Elde edilen iki integral değerini toplayarak sonucu bulun.
3+6=93 + 6 = 9
Toplamı oluşturan ilk terim 3, ikinci terim ise 6 olarak hesaplandığından bu iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemlerinin birlikte kullanılması.
Soru 180Soru →

Aşağıdaki dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre, bu iki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Doğru cevap, iki eğrinin kesişim noktaları olan -2, 0 ve 2 değerleri kullanılarak, her iki bölge için ayrı ayrı hesaplanan integral değerlerinin (4 + 4) toplanmasıyla elde edilen 8 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri ve doğrunun kesişim noktalarını belirlemek için denklemleri birbirine eşitleriz.
x3−3x=x  ⟹  x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \implies x^3 - 4x = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0 denklemi çözüldüğünde kesişim noktalarının apsisleri x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını do��ru bir şekilde belirleyebilmek için kesişim noktalarının apsislerini bulmamız gerekir.
2
Grafiği inceleyerek hangi aralıkta hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirleriz ve alan integrallerini yazarız.
[−2,0][-2, 0] aralığında eğri doğrunun üstünde olduğundan A1=∫−20(x3−3x−x)dx=∫−20(x3−4x)dxA_1 = \int_{-2}^0 (x^3 - 3x - x) dx = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x) dx olur. [0,2][0, 2] aralığında ise doğru eğrinin üstünde olduğundan A2=∫02(x−(x3−3x))dx=∫02(4x−x3)dxA_2 = \int_0^2 (x - (x^3 - 3x)) dx = \int_0^2 (4x - x^3) dx olur.
İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken integral sınırları içerisinde daima üstteki fonksiyonun denkleminden alttaki fonksiyonun denklemi çıkarılır.
3
Belirli integrallerin değerlerini hesaplarız.
A1=[x44−2x2]−20=0−(4−8)=4A_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4 ve A2=[2x2−x44]02=(8−4)−0=4A_2 = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4 olarak bulunur.
Her bir bölgenin sınırladığı alan miktarını sayısal olarak bulmak için.
4
Elde edilen alan değerlerini toplayarak toplam alanı buluruz.
A1+A2=4+4=8A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 birimkare.
Bizden istenen toplam sınırlı alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan belirli integral yardımıyla hesaplanırken, kesişim noktaları sınırları belirler ve ilgili aralıkta üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak integral alınır.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 9 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 9 | Examkin