Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 141Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−x2−2xf(x) = x^3 - x^2 - 2x eğrisi ile g(x)=2x2+2xg(x) = 2x^2 + 2x parabolü verilmiştir.

Buna göre, bu iki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1314\frac{131}{4}

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı 1314\frac{131}{4} birimkaredir.
Doğru alan hesabı için iki eğrinin kesişim noktaları olan x=−1x = -1, x=0x = 0 ve x=4x = 4 apsisli noktaların doğru belirlenmesi ve bu sınırlar altında iki ayrı bölge halinde alan integrallerinin 34+32\frac{3}{4} + 32 şeklinde toplanması gerekir. Bu da bizi 1314\frac{131}{4} sonucuna ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
İki eğrinin kesim noktalarını bulmak için fonksiyon denklemlerini birbirine eşitleyelim.
x3−x2−2x=2x2+2x  ⟹  x3−3x2−4x=0  ⟹  x(x−4)(x+1)=0x^3 - x^2 - 2x = 2x^2 + 2x \implies x^3 - 3x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4)(x + 1) = 0 denklemi elde edilir. Buradan kesim noktalarının apsisleri x1=−1x_1 = -1, x2=0x_2 = 0 ve x3=4x_3 = 4 olarak bulunur.
Eğriler arasında kalan kapalı bölgelerin sınırlarını (integral sınırlarını) belirlemek için kesim noktalarını bulmamız gerekir.
2
Belirlenen aralıklarda hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirlemek için işaret incelemesi yapalım ve alan integrallerini yazalım.
[−1,0][-1, 0] aralığında f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) olduğundan bu bölgenin alanı A1=∫−10(f(x)−g(x)) dxA_1 = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx olur. [0,4][0, 4] aralığında ise g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan bu bölgenin alanı A2=∫04(g(x)−f(x)) dxA_2 = \int_{0}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx olur.
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral kurulmalıdır.
3
[−1,0][-1, 0] aralığındaki birinci bölgenin alanı olan A1A_1 değerini hesaplayalım.
A1=∫−10(x3−3x2−4x) dx=[x44−x3−2x2]−10=0−(14+1−2)=34A_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - 3x^2 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 - 2x^2 \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} + 1 - 2 \right) = \frac{3}{4} birimkare bulunur.
İlk bölgenin alanını veren belirli integrali hesaplamak için.
4
[0,4][0, 4] aralığındaki ikinci bölgenin alanı olan A2A_2 değerini hesaplayalım.
A2=∫04(2x2+2x−(x3−x2−2x)) dx=∫04(3x2+4x−x3) dx=[x3+2x2−x44]04=(64+32−64)−0=32A_2 = \int_{0}^{4} (2x^2 + 2x - (x^3 - x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{4} (3x^2 + 4x - x^3) \, dx = \left[ x^3 + 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{4} = (64 + 32 - 64) - 0 = 32 birimkare bulunur.
İkinci bölgenin alanını veren belirli integrali hesaplamak için.
5
Bulunan iki alanı toplayarak toplam alanı elde edelim.
A=A1+A2=34+32=1314A = A_1 + A_2 = \frac{3}{4} + 32 = \frac{131}{4} birimkare elde edilir.
İki eğri arasında kalan tüm sınırlı bölgelerin toplam alanını bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesim noktaları sınır kabul edilerek, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla elde edilen fark fonksiyonunun belirli integrali ile hesaplanır.
Soru 142Soru →
f:[0,4]→R,f(x)=x2−4x+6f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonu veriliyor. [0,4][0, 4] kapalı aralığı, her birinin uzunluğu 11 birim olan 44 eş alt aralığa bölünüyor. Buna göre, bu bölüntüye ait Riemann alt toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Riemann alt toplamı 10 olarak bulunur.
Riemann alt toplamı, her bir alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerlerin, alt aralık genişliğiyle çarpılıp toplanmasıyla bulunur. Parabolün tepe noktası x=2x=2 apsisli noktada olup fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aralığında ise artandır. Bu nedenle [0,1][0, 1] aralığındaki en küçük değer f(1)=3f(1)=3, [1,2][1, 2] aralığındaki en küçük değer f(2)=2f(2)=2, [2,3][2, 3] aralığındaki en küçük değer f(2)=2f(2)=2 ve [3,4][3, 4] aralığındaki en küçük değer f(3)=3f(3)=3 olur. Genişlik 11 birim olduğundan bu minimum değerlerin toplamı 3+2+2+3=103+2+2+3=10 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkları ve aralık genişliğini belirleme
[0,4][0, 4] aralığı 4 eş parçaya bölündüğünde alt aralık genişliği Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1 olur. Alt aralıklar sırasıyla [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3] ve [3,4][3, 4] şeklindedir.
Riemann toplamını oluşturacak dikdörtgenlerin taban uzunluğunu bulmak için aralık bölünür.
2
Her alt aralıktaki minimum fonksiyon değerlerini belirleme
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=−−42(1)=2r = -\frac{-4}{2(1)} = 2 olduğundan, fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aral��ğında ise artandır. Buna göre her alt aralıktaki minimum değerler:
- [0,1][0, 1] aralığında en küçük değer sağ uçta: f(1)=12−4(1)+6=3f(1) = 1^2 - 4(1) + 6 = 3
- [1,2][1, 2] aralığında en kü��ük değer sağ uçta: f(2)=22−4(2)+6=2f(2) = 2^2 - 4(2) + 6 = 2
- [2,3][2, 3] aralığında en küçük değer sol uçta: f(2)=2f(2) = 2
- [3,4][3, 4] aralığında en küçük değer sol uçta: f(3)=32−4(3)+6=3f(3) = 3^2 - 4(3) + 6 = 3 olur.
Riemann alt toplamını bulmak için her alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerler (yükseklikler) seçilmelidir.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
Riemann alt toplamı A=Δx⋅[f(1)+f(2)+f(2)+f(3)]=1⋅[3+2+2+3]=10A = \Delta x \cdot [f(1) + f(2) + f(2) + f(3)] = 1 \cdot [3 + 2 + 2 + 3] = 10 elde edilir.
Belirlenen yükseklikler ile taban genişliği çarpılarak alanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun ilgili alt aralıklardaki minimum değerleri kullanıl��r. Fonksiyonun monoton olmadığı durumlarda minimum değerlerin hangi noktalarda gerçekleştiği, fonksiyonun tepe noktası ve artan/azalanlık aralıkları incelenerek bulunmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 143Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫24f(2x−1) dx=7\int_{2}^{4} f(2x - 1) \, dx = 7
∫13f(x+4) dx=6\int_{1}^{3} f(x + 4) \, dx = 6
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11(x3⋅f(x2+1)+f(2x+3)−f(x+4)) dx\int_{-1}^{1} \left( x^3 \cdot f(x^2 + 1) + f(2x + 3) - f(x + 4) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2-2

Cevap

−2-2
Doğru cevap −2-2 değeridir. Belirli integralin lineerlik özelliği kullanılarak terimler ayrıştırıldığında, tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali sıfır olur. Diğer iki terimde değişken değiştirme yöntemi uygulanıp sınırlar güncellenerek verilen integral değerleriyle ilişkilendirildiğinde 6−8=−26 - 8 = -2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak terimlerine ayıralım.
∫−11x3⋅f(x2+1) dx+∫−11f(2x+3) dx−∫−11f(x+4) dx\int_{-1}^{1} x^3 \cdot f(x^2 + 1) \, dx + \int_{-1}^{1} f(2x + 3) \, dx - \int_{-1}^{1} f(x + 4) \, dx
Her bir terimi ayrı ayrı inceleyerek daha basit integraller elde etmek için.
2
İlk terimi oluşturan fonksiyonun tek/çift olma durumunu inceleyelim.
g(−x)=(−x)3⋅f((−x)2+1)=−x3⋅f(x2+1)=−g(x)g(-x) = (-x)^3 \cdot f((-x)^2 + 1) = -x^3 \cdot f(x^2 + 1) = -g(x) olduğundan fonksiyon tektir ve simetrik [−1,1][-1, 1] aralığındaki integralinin değeri 00'dır.
Simetrik sınırlarda tek fonksiyonların integralinin sıfıra eşit olması özelliğini kullanmak için.
3
İkinci terim için u=2x+3u = 2x + 3 değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}. Sınırlar: x=−1  ⟹  u=1x = -1 \implies u = 1 ve x=1  ⟹  u=5x = 1 \implies u = 5. İntegral değeri: 12∫15f(u) du=12⋅12=6\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 olur.
Belirli integral sınırlarını yeni değişken cinsinden güncelleyerek verilen ilk eşitliği kullanabilmek için.
4
Üçüncü terim için v=x+4v = x + 4 değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=dxdv = dx. Sınırlar: x=−1  ⟹  v=3x = -1 \implies v = 3 ve x=1  ⟹  v=5x = 1 \implies v = 5. İntegral değeri: ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx olur.
Belirli integral sınırlarını yeni değişken cinsinden yazıp aralık analizi yapabilmek için.
5
Verilen diğer iki integral eşitliğinden ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx değerini elde edelim.
∫24f(2x−1) dx=7  ⟹  ∫37f(w) dw=14\int_{2}^{4} f(2x - 1) \, dx = 7 \implies \int_{3}^{7} f(w) \, dw = 14 ve ∫13f(x+4) dx=6  ⟹  ∫57f(t) dt=6\int_{1}^{3} f(x + 4) \, dx = 6 \implies \int_{5}^{7} f(t) \, dt = 6 bulunur. Aralık bölme özelliğinden: ∫37f(x) dx=∫35f(x) dx+∫57f(x) dx  ⟹  14=∫35f(x) dx+6  ⟹  ∫35f(x) dx=8\int_{3}^{7} f(x) \, dx = \int_{3}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{7} f(x) \, dx \implies 14 = \int_{3}^{5} f(x) \, dx + 6 \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8 elde edilir.
Değişken değiştirme ve integralin aralık bölme özelliklerini birleştirerek istenen bilinmeyen aralıktaki integrali bulmak için.
6
Bulunan tüm terimlerin değerlerini ana ifadede birleştirelim.
0+6−8=−20 + 6 - 8 = -2
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, simetri (tek/çift fonksiyonlar) ve aralık bölme özellikleri.
Soru 144Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 parabolünün y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınarak bir eğri elde ediliyor. Bu eğri, xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelenerek yeni bir CC eğrisi oluşturuluyor.

Buna göre, f(x)f(x) parabolü ile CC eğrisi arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13\frac{1}{3}

Cevap

Parabol ile elde edilen eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 13\frac{1}{3} birimkaredir.
Parabolün y=xy=x doğrusuna göre simetriği x=4−y2x = 4-y^2 eğrisidir. Bu eğrinin xx-ekseninde negatif yönde 4 birim (x→x+4x \to x+4) ve yy-ekseninde pozitif yönde 4 birim (y→y−4y \to y-4) ötelenmesiyle x=−(y−4)2x = -(y-4)^2 denklemine sahip CC eğrisi elde edilir. Bu iki eğri x=0x = 0 ve x=−1x = -1 apsisli noktalarda kesişir. [−1,0][-1, 0] aralığında üstteki eğri y=4−x2y = 4-x^2 ve alttaki eğri y=4−−xy = 4-\sqrt{-x} olduğundan, aralarındaki farkın [−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali alındığında alan 13\frac{1}{3} birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 parabolünün y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınır.
x=4−y2x = 4 - y^2 eğrisi elde edilir.
Bir eğrinin y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınırken denklemdeki xx ve yy değişkenlerinin yerleri değiştirilir.
2
Elde edilen eğri, xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelenir.
x+4=4−(y−4)2  ⟹  x=−(y−4)2x + 4 = 4 - (y - 4)^2 \implies x = -(y - 4)^2 eğrisi elde edilir.
xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim öteleme için xx yerine x+4x + 4, yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim öteleme için yy yerine y−4y - 4 yazılır.
3
f(x)f(x) parabolü ile yeni oluşturulan CC eğrisinin kesim noktaları belirlenir.
x=−1x = -1 ve x=0x = 0 kesim noktalarıdır.
y=4−x2y = 4 - x^2 denklemi x=−(y−4)2x = -(y - 4)^2 denkleminde yerine yazılırsa: x=−((4−x2)−4)2  ⟹  x=−x4  ⟹  x4+x=0  ⟹  x(x3+1)=0x = -((4 - x^2) - 4)^2 \implies x = -x^4 \implies x^4 + x = 0 \implies x(x^3 + 1) = 0 bulunur. Gerçel kökler x=0x = 0 ve x=−1x = -1 olarak elde edilir.
4
[−1,0][-1, 0] aralığında sınırlandırılan bölgenin alanı için belirli integral kurulur ve hesaplanır.
Alan 13\frac{1}{3} birimkaredir.
[−1,0][-1, 0] aralığında x=−(y−4)2x = -(y - 4)^2 eğrisi düzenlendiğinde y=4−−xy = 4 - \sqrt{-x} elde edilir. Bu aralıkta 4−x2≥4−−x4 - x^2 \ge 4 - \sqrt{-x} olduğundan alan integrali: ∫−10((4−x2)−(4−−x))dx=∫−10(−x−x2)dx\int_{-1}^0 \left( (4 - x^2) - (4 - \sqrt{-x}) \right) dx = \int_{-1}^0 \left( \sqrt{-x} - x^2 \right) dx olur. u=−xu = -x dönüşümüyle integral ∫01(u−u2)du=[23u3/2−u33]01=23−13=13\int_0^1 (\sqrt{u} - u^2) du = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki eğri arasında kalan alanın hesaplanması, yansıma ve öteleme dönüşümleri.

Alternatif Yöntem

Alanı y-eksenine göre integre ederek bulmak da mümkündür. İlgili aralık y∈[3,4]y \in [3, 4] olacaktır. Bu aralıkta sağdaki eğri x=−(y−4)2x = -(y-4)^2 ve soldaki eğri x=−4−yx = -\sqrt{4-y}'dir. Dolayısıyla alan integralimiz ∫34(−(y−4)2−(−4−y))dy=∫34(4−y−(y−4)2)dy\int_3^4 \left( -(y-4)^2 - (-\sqrt{4-y}) \right) dy = \int_3^4 \left( \sqrt{4-y} - (y-4)^2 \right) dy olarak kurulur ve aynı şekilde 13\frac{1}{3} sonucunu verir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 145Soru →

Şekilde y=(x−2)2−1y = (x-2)^2 - 1 parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre, parabol ile xx-ekseni arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 43\frac{4}{3} birimkaredir.
Parabolün xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı, parabolün [1,3][1, 3] aralığındaki integralinin eksi ile çarpılmasına eşittir. Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak hesaplanan integral sonucunda alan 43\frac{4}{3} birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Boyalı bölgenin s��nırlarını belirleme ve alanı integral cinsinden ifade etme.
Bölge x=1x = 1 ile x=3x = 3 arasında ve xx-ekseninin altında yer aldığından, alan A=−∫13((x−2)2−1) dxA = -\int_1^3 ((x-2)^2 - 1) \, dx olarak yazılır.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin negatif çıkmasını önlemek için integralin önüne eksi işareti konur.
2
Belirli integrali hesaplamak için u=x−2u = x-2 değişken değiştirmesini yapma.
du=dxdu = dx olur. x=1x=1 için u=−1u=-1 ve x=3x=3 için u=1u=1 sınırları elde edilir. İntegral A=−∫−11(u2−1) duA = -\int_{-1}^1 (u^2 - 1) \, du şekline dönüşür.
Değişken değiştirme yöntemi integral hesabını kolaylaştırır.
3
İntegrali hesaplayıp alan değerini bulma.
A=∫−11(1−u2) du=[u−u33]−11=(1−13)−(−1+13)=23−(−23)=43A = \int_{-1}^1 (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} birimkaredir.
Sınırlar yerine yazılıp integral hesaplanarak alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısmının sınırladığı bölgenin alanı, o aralıktaki belirli integralin mutlak değerine (veya integralin eksi ile çarpımına) eşittir.
Soru 146Soru →

[a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve azalan bir ff fonksiyonunun bu aralıkta oluşturulan herhangi bir düzgün bölüntüsüne ait Riemann sol toplamı, ff fonksiyonunun bu aralıktaki belirli integralinin değerinden her zaman küçüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Azalan bir fonksiyonun Riemann sol toplamı, belirli integralin değerinden küçük değil, büyük veya eşittir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü azalan bir fonksiyonda Riemann sol toplamı, her bir alt aralıktaki maksimum değerleri kullandığı için bir üst toplam belirtir ve bu yüzden belirli integralin değerinden her zaman büyük veya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Riemann sol toplamın��n tanımını belirlemek.
Riemann sol toplamı, [a,b][a, b] aralığının her bir [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında yükseklik değeri olarak sol uç noktanın fonksiyon değeri olan f(xi−1)f(x_{i-1}) alınarak hesaplanır.
Riemann sol toplamının hangi noktalardaki değerleri kullandığını netleştirmek için.
2
Azalan fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyon değerlerini karşılaştırmak.
ff fonksiyonu azalan olduğundan, her x∈[xi−1,xi]x \in [x_{i-1}, x_i] için f(xi−1)≥f(x)f(x_{i-1}) \geq f(x) olur. Yani sol uç nokta, fonksiyonun o aralıktaki en büyük değerini verir.
Fonksiyonun azalan olmasının sol uç noktalardaki değerlerin büyüklüğüne etkisini incelemek için.
3
Riemann sol toplamı ile belirli integral arasındaki ilişkiyi kurmak.
Her bir alt aralıkta f(xi−1)≥f(x)f(x_{i-1}) \geq f(x) olduğundan, Riemann sol toplamı Riemann üst toplamına eşit olur. Bu yüzden Riemann sol toplamı, ∫abf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx integralinden büyük veya eşittir.
Sol toplamın integral alanı ile olan büyüklük ilişkisini kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Riemann sol toplamının azalan fonksiyonlardaki geometrik anlamı ve belirli integral ile ilişkisi.
Soru 147Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ve g(x)=x2g(x) = x^2 eğrileri arasında kalan sınırlı bölge verilmiştir. Orijinden geçen y=mxy = mx (m>0m > 0) doğrusu, bu bölgeyi S1S_1 ve S2S_2 alanlarına sahip iki alt bölgeye ayırmaktadır. S1S_1 bölgesi y=mxy = mx doğrusunun üst tarafında kalan bölgeyi temsil etmek üzere, S1S2=115\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, mm gerçel sayısının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

m gerçel sayısının değeri 6'dır.
Toplam alan 643\frac{64}{3} birimkaredir. Alanlar oranı S1S2=115\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} olduğu için doğrunun üstünde kalan bölgenin alanı S1=43S_1 = \frac{4}{3} birimkaredir. Bu alan ∫08−m(−x2+(8−m)x)dx=(8−m)36\int_{0}^{8-m} (-x^2 + (8-m)x) dx = \frac{(8-m)^3}{6} integraline eşittir. (8−m)36=43\frac{(8-m)^3}{6} = \frac{4}{3} eşitliğinden 8−m=28-m = 2 ve m=6m=6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
−x2+8x=x2  ⟹  2x2−8x=0  ⟹  2x(x−4)=0  ⟹  x=0-x^2 + 8x = x^2 \implies 2x^2 - 8x = 0 \implies 2x(x - 4) = 0 \implies x = 0 ve x=4x = 4 kesişim noktalarıdır.
İntegral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları bulunmalıdır.
2
Eğriler arasında kalan toplam alanı (AA) veren integrali yazın ve hesaplayın.
A=∫04((−x2+8x)−x2)dx=∫04(−2x2+8x)dx=[−2x33+4x2]04=−1283+64=643A = \int_{0}^{4} ((-x^2 + 8x) - x^2) dx = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x) dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 \right]_0^4 = -\frac{128}{3} + 64 = \frac{64}{3} birimkaredir.
Toplam alanı bulmak, oranlama yaparak alt bölgelerin alanlarını bulmayı sağlar.
3
S1S_1 alanını toplam alan türünden yazın.
S1S2=115  ⟹  S1=116A=116⋅643=43\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} \implies S_1 = \frac{1}{16} A = \frac{1}{16} \cdot \frac{64}{3} = \frac{4}{3} birimkare elde edilir.
S1S_1 ve S2S_2 bölgelerinin toplamı tüm alana eşit olduğundan, oran kullanılarak S1S_1 alanı hesaplanır.
4
y=mxy = mx doğrusunun f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x eğrisiyle kesişim noktasını bulun.
−x2+8x=mx  ⟹  x2+(m−8)x=0  ⟹  x=8−m-x^2 + 8x = mx \implies x^2 + (m - 8)x = 0 \implies x = 8 - m (çünkü x>0x > 0 olmalıdır).
S1S_1 bölgesinin sağ sınırını belirlemek için kesişim noktası hesaplanmalıdır.
5
S1S_1 alanını integral olarak ifade edip mm değerini çözün.
S1=∫08−m((−x2+8x)−mx)dx=∫08−m((8−m)x−x2)dx=[(8−m)x22−x33]08−m=(8−m)36S_1 = \int_{0}^{8 - m} ((-x^2 + 8x) - mx) dx = \int_{0}^{8 - m} ((8 - m)x - x^2) dx = \left[ \frac{(8 - m)x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{8 - m} = \frac{(8 - m)^3}{6} olur. Buradan (8−m)36=43  ⟹  (8−m)3=8  ⟹  8−m=2  ⟹  m=6\frac{(8 - m)^3}{6} = \frac{4}{3} \implies (8 - m)^3 = 8 \implies 8 - m = 2 \implies m = 6 bulunur.
S1S_1 alanının sayısal değerini integral sonucuna eşitleyerek bilinmeyen mm parametresi elde edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın integral yardımıyla hesaplanması ve alan paylaştırma problemleri.
Soru 148Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x3−2x2f(x) = x^3 - 2x^2 fonksiyonunun grafiği ile g(x)=x2−2xg(x) = x^2 - 2x parabolü koordinat düzleminde kesişerek sınırlı bölgeler oluşturmaktadır. Buna göre, bu eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı \frac{1}{2} birimkaredir.
Eğriler x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=2x = 2 apsisli noktalarda kesişirler. [0,1][0, 1] aralığında üstte olan eğri ile alttaki eğrinin farkının integrali 14\frac{1}{4} birimkaredir. [1,2][1, 2] aralığında ise fonksiyonların konumu değiştiği için fark fonksiyonunun işareti ters çevrilerek alınan integral yine 14\frac{1}{4} birimkare değerini verir. Bu iki bölgenin alanları toplamı olan 12\frac{1}{2} birimkare doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleyelim.
x3−2x2=x2−2x  ⟹  x3−3x2+2x=0  ⟹  x(x−1)(x−2)=0x^3 - 2x^2 = x^2 - 2x \implies x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \implies x(x-1)(x-2) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x1=0x_1 = 0, x2=1x_2 = 1 ve x3=2x_3 = 2 olarak bulunur.
Eğrilerin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirleyerek entegrasyon sınırlarını oluşturmak için bu adım gereklidir.
2
[0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] aralıklarında hangi fonksiyonun üstte oldu��unu belirleyelim.
x∈(0,1)x \in (0, 1) için f(x)>g(x)f(x) > g(x) olduğundan alan integral ifadesi ∫01(f(x)−g(x)) dx\int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx olur. x∈(1,2)x \in (1, 2) için g(x)>f(x)g(x) > f(x) olduğundan alan integral ifadesi ∫12(g(x)−f(x)) dx\int_{1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx olur.
Alan hesabının pozitif değer vermesi için üstteki eğriden alttaki eğrinin çıkarılması gerekir.
3
Her iki aralıktaki alanları ayrı ayrı hesaplayarak toplayalım.
A1=∫01(x3−3x2+2x) dx=[x44−x3+x2]01=14A_1 = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} ve A2=∫12(−x3+3x2−2x) dx=[−x44+x3−x2]12=0−(−14)=14A_2 = \int_{1}^{2} (-x^3 + 3x^2 - 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 - x^2 \right]_{1}^{2} = 0 - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} bulunur. Toplam alan A1+A2=14+14=12A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} birimkaredir.
Sınırlanan iki farklı kapalı bölgenin alanlarının toplamını elde etmek için bu hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktaları arasındaki fark fonksiyonunun belirli integraliyle hesaplanır. Eğriler birbirini kestiğinde integral sınırları kesişim noktalarına göre parçalanmalıdır.
Soru 149Soru →

Aşağıda sol sütunda koordinat düzleminde sınırları belirtilen bölgeler, sağ sütunda ise bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integraller verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki doğru integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Birinci bölgede; y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=x−2y = x - 2 doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 parabolü, bu parabole x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
y=exy = e^x eğrisi, y=e−xy = e^{-x} eğrisi ve y=ey = e doğrusu arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölgedeki y=xy = \sqrt{x}, y=x−2y = x-2 ve yy ekseni arasındaki alan ∫−22(y+2) dy−∫02y2 dy\int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy integrali ile; y=x2y = x^2, bu eğriye x=2x=2'de teğet olan doğru ve yy ekseni arasındaki alan ∫02(x−2)2 dx\int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx integrali ile; y=exy = e^x, y=e−xy = e^{-x} ve y=ey = e arasındaki alan ise ∫1e2ln⁡y dy\int_{1}^{e} 2\ln y \, dy integrali ile eşleşir.
Verilen her bir geometrik ve cebirsel tanım, alanın integralle ifadesi kuralları (üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılması veya yy ekseni boyunca sağdakinden soldakinin çıkarılması) kullanılarak integral ifadeleriyle birebir eşleşir. Özellikle birinci bölgede iki farklı integralin birleştirilmesiyle elde edilen integral, bölgenin toplam alanına tam olarak karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için sınırları ve kesişim noktalarını belirleme
y=xy = \sqrt{x} ile y=x−2y = x - 2 doğrularının kesişim noktası x=4x = 4, y=2y = 2'dir. yy ekseni sınır olduğundan yy değişkenine göre entegre edildiğinde, y∈[−2,0]y \in [-2, 0] için x=0x = 0 ve x=y+2x = y+2; y∈[0,2]y \in [0, 2] için x=y2x = y^2 ve x=y+2x = y+2 sınırları kullanılır.
Alan integralini tek bir değişkene bağlı olarak daha basit biçimde ifade edebilmek için.
2
Birinci bölgenin integral ifadesini oluşturma
A1=∫−20(y+2) dy+∫02(y+2−y2) dy=∫−22(y+2) dy−∫02y2 dyA_1 = \int_{-2}^{0} (y+2) \, dy + \int_{0}^{2} (y+2 - y^2) \, dy = \int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy
İntegral sınırlarının birleştirilmesiyle sade bir gösterim elde etmek için.
3
İkinci bölge için teğet doğrusunu ve sınırları bulma
x=2x = 2 noktasında y=x2y = x^2 parabolüne çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−4y = 4x - 4 olarak bulunur. Kesişim noktası teğet noktası olan x=2x=2 ve sol sınır x=0x=0'dır.
Sınırlı bölgenin alt sınırını oluşturan doğrunun denklemini elde etmek için.
4
İkinci bölgenin integral ifadesini yazma
A2=∫02(x2−(4x−4)) dx=∫02(x−2)2 dxA_2 = \int_{0}^{2} (x^2 - (4x-4)) \, dx = \int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx
İki eğri arasında kalan alanın üstteki eğriden alttaki eğrinin çıkarılmasıyla bulunması kuralını uygulamak için.
5
Üçüncü bölge için eğrileri yy cinsinden yazıp kesişim sınırlarını bulma
y=ex  ⟹  x=ln⁡yy = e^x \implies x = \ln y ve y=e−x  ⟹  x=−ln⁡yy = e^{-x} \implies x = -\ln y. Bu eğriler y=1y = 1 düzeyinde kesişirler ve üstten y=ey = e doğrusu ile sınırlıdırlar.
Alan integralini yy ekseni boyunca dilimleyerek kurmak için.
6
Üçüncü bölgenin integral ifadesini yazma
A3=∫1e(ln⁡y−(−ln⁡y)) dy=∫1e2ln⁡y dyA_3 = \int_{1}^{e} (\ln y - (-\ln y)) \, dy = \int_{1}^{e} 2\ln y \, dy
Sağdaki eğriden soldaki eğrinin çıkarılarak yy değişkenine göre belirli integralinin alınmasıyla alanı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının, uygun değişken (x veya y) seçilerek belirli integral yardımıyla ifade edilmesi ve hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Birinci bölge için alanı xx ekseni boyunca iki parçaya ayırarak hesaplayabiliriz: x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığında ∫02x dx\int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx ve x∈[2,4]x \in [2, 4] aralığında ∫24(x−(x−2)) dx\int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx integrallerinin toplamı da aynı alanı verir. Ancak bu biçim, sağ sütundaki tekil integral biçimlerinden daha karmaşık görünür.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 150Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi, x≠1x \neq 1 için
f′(x)=x4−xx−1−x2f'(x) = \frac{x^4 - x}{x - 1} - x^2
eşitliğini sağlamaktadır.

f(2)=8f(2) = 8 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Türev fonksiyonu çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde f′(x)=x3+xf'(x) = x^3 + x elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x44+x22+Cf(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C bulunur. f(2)=8f(2) = 8 koşulu kullanıldığında C=2C = 2 olarak elde edilir. İstenen f(0)f(0) değeri doğrudan CC sabitine eşit olduğundan doğru yanıt 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f′(x)f'(x) fonksiyonunu sadeleştirmek için pay kısmını ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yaparız.
f′(x)=x(x3−1)x−1−x2=x(x−1)(x2+x+1)x−1−x2=x3+x2+x−x2=x3+xf'(x) = \frac{x(x^3 - 1)}{x - 1} - x^2 = \frac{x(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} - x^2 = x^3 + x^2 + x - x^2 = x^3 + x
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştiririz.
2
Sadeleştirilmiş türev fonksiyonunun belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun genel kuralını buluruz.
f(x)=∫(x3+x) dx=x44+x22+Cf(x) = \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
3
f(2)=8f(2) = 8 başlangıç koşulunu yerine yazarak integral sabiti CC'yi hesaplarız.
f(2)=244+222+C=8  ⟹  4+2+C=8  ⟹  C=2f(2) = \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} + C = 8 \implies 4 + 2 + C = 8 \implies C = 2
Başlangıç koşulu yardımıyla belirsiz integraldeki sabit sayı (CC) bulunur.
4
f(x)f(x) fonksiyonunda x=0x = 0 yazarak f(0)f(0) değerini hesaplarız.
f(0)=044+022+C=C=2f(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^2}{2} + C = C = 2
Elde edilen fonksiyonda istenen değer yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve başlangıç değer problemleri.

Alternatif Yöntem

Belirli integral tanımı ve Newton-Leibniz formülü kullanılarak da çözüm yapılabilir: ∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)\int_{0}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(0) yazılır. Sadeleştirilmiş f′(x)=x3+xf'(x) = x^3 + x fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki belirli integrali ∫02(x3+x) dx=[x44+x22]02=(4+2)−0=6\int_{0}^{2} (x^3 + x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = (4 + 2) - 0 = 6 olarak bulunur. Buradan f(2)−f(0)=6  ⟹  8−f(0)=6  ⟹  f(0)=2f(2) - f(0) = 6 \implies 8 - f(0) = 6 \implies f(0) = 2 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 151Soru →
f:[0,2]→R,f(x)=3xf: [0, 2] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 3^x fonksiyonu veriliyor. [0,2][0, 2] kapalı aralığı, eşit uzunlukta 44 alt aralığa bölünerek bir PP düzgün bölüntüsü elde ediliyor.

ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne ait Riemann üst toplamı UU ve Riemann alt toplamı AA olduğuna göre, U−AU - A farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark 4'tür.
Artan bir fonksiyonun Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark, fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımıyla pratik olarak bulunur. Bu soruda fonksiyon f(x)=3xf(x) = 3^x sürekli artan olup, aralık [0,2][0, 2] ve parça sayısı 44 olduğundan aralık genişliği 0,50,5 birimdir. Formüle göre fark (f(2)−f(0))⋅0,5=(9−1)⋅0,5=4(f(2) - f(0)) \cdot 0,5 = (9 - 1) \cdot 0,5 = 4 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini (\Delta x) hesaplama
Δx=2−04=0,5\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0,5
Bölüntünün eşit uzunluktaki alt aralıklarının taban uzunluğunu bulmak için toplam aralık uzunluğu alt aralık say��sına bölünür.
2
Bölüntü noktalarını ve fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini belirleme
Bölüntü noktaları: x0=0x_0 = 0, x1=0,5x_1 = 0,5, x2=1x_2 = 1, x3=1,5x_3 = 1,5, x4=2x_4 = 2 şeklindedir. f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyon en küçük değerini sol uçta, en büyük de��erini ise sağ uçta alır.
Riemann alt toplamında alt aralıkların sol uç değerleri, üst toplamında ise sağ uç değerleri yükseklik olarak kullanılır.
3
Riemann üst ve alt toplamlarının farkını hesaplama
A=[f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5)]⋅0,5A = [f(0) + f(0,5) + f(1) + f(1,5)] \cdot 0,5
U=[f(0,5)+f(1)+f(1,5)+f(2)]⋅0,5U = [f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)] \cdot 0,5
U−A=[f(2)−f(0)]⋅0,5=(32−30)⋅0,5=(9−1)⋅0,5=4U - A = [f(2) - f(0)] \cdot 0,5 = (3^2 - 3^0) \cdot 0,5 = (9 - 1) \cdot 0,5 = 4
Çıkarma işleminde ara noktalardaki fonksiyon değerleri birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca uç noktalardaki değerlerin farkı ile aralık genişliğinin çarpımı kalır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının farkının, monoton (artan veya azalan) fonksiyonlarda uç değerler ve alt aralık genişliğiyle olan ilişkisi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 152Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 parabolü ile bu parabolün y=5y = 5 doğrusuna göre simetriği olan g(x)g(x) parabolü verilmiştir. Bu iki parabolün kesim noktaları ile tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı AA birimkare, paraboller arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ise BB birimkaredir. Buna göre, B−AB - A farkı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 163\frac{16}{3}

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ile bu parabollerin kesim ve tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanının farkı \frac{16}{3} birimkaredir.
Doğru seçenekte sunulan değer, simetrik parabol denklemlerinin doğru bulunması, kesim noktalarının doğru tespit edilmesi, köşegen uzunlukları 44 ve 88 olan eşkenar dörtgenin alanının 1616 olarak hesaplanması ve iki eğri arasında kalan alanın integral ile B=643B = \frac{64}{3} olarak bulunarak farklarının alınmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) parabolünün denklemini bulma.
g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1
f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 parabolünün y=5y = 5 doğrusuna göre simetriği g(x)=2(5)−f(x)=10−(9−x2)=x2+1g(x) = 2(5) - f(x) = 10 - (9 - x^2) = x^2 + 1 olarak elde edilir.
2
Parabollerin kesim noktalarını bulma.
x=−2x = -2 ve x=2x = 2
Kesim noktalarını bulmak için iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleriz: 9−x2=x2+1⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±29 - x^2 = x^2 + 1 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.
3
Köşeleri kesim noktaları ve tepe noktaları olan dörtgenin alanını (A) hesaplama.
A=16A = 16
Dörtgenin köşeleri P1(2,5)P_1(2, 5), P2(−2,5)P_2(-2, 5), T1(0,9)T_1(0, 9) ve T2(0,1)T_2(0, 1) noktalarıdır. Bu noktalar koordinat düzleminde bir eşkenar dörtgen oluşturur. Yatay köşegen uzunluğu ∣2−(−2)∣=4|2 - (-2)| = 4 birim, dikey köşegen uzunluğu ise ∣9−1∣=8|9 - 1| = 8 birimdir. Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısı olduğundan A=4×82=16A = \frac{4 \times 8}{2} = 16 birimkaredir.
4
Paraboller arasında kalan sınırl�� bölgenin alanını (B) belirli integral yardımıyla hesaplama.
B=643B = \frac{64}{3}
İntegral sınırları kesim noktaları olan −2-2 ve 22'dir. Bu aralıkta f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x) olduğundan alan B=∫−22(f(x)−g(x)) dx=∫−22(8−2x2) dxB = \int_{-2}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur. Fonksiyon çift olduğundan B=2∫02(8−2x2) dx=2[8x−2x33]02=2(16−163)=643B = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx = 2 \left[ 8x - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( 16 - \frac{16}{3} \right) = \frac{64}{3} birimkare bulunur.
5
B - A farkını bulma.
163\frac{16}{3}
B−A=643−16=163B - A = \frac{64}{3} - 16 = \frac{16}{3} birimkaredir.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile iki eğri arasında kalan alanın hesabı, fonksiyonların simetri dönüşümleri ve geometrik alan ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Rhombus alanını integral kullanmadan koordinat geometrisi formülüyle bulmak ve iki parabol arasında kalan alanı Archimedes'in parabol kesmesi alan kuralını (Alan = 2/3 * taban * yükseklik) uygulayarak integral almadan pratik yoldan hesaplamak. Bu yöntemde paraboller arasındaki fark fonksiyonu h(x) = 8 - 2x^2 olup, kökleri -2 ve 2'dir. Taban uzunluğu 4 birim, tepe noktasındaki yükseklik 8 birimdir. Buradan Alan = 2/3 * 4 * 8 = 64/3 birimkare bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 153Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=4f(2)=1f(3)=5f(32)=2\begin{aligned} f(1) &= 4 \\ f(2) &= 1 \\ f(3) &= 5 \\ f\left(\frac{3}{2}\right) &= 2 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f′(3x)⋅f(3x)x2 dx\int_{1}^{2} \frac{f'\left(\frac{3}{x}\right) \cdot f\left(\frac{3}{x}\right)}{x^2} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

İntegralin doğru değeri yedi bölü iki olarak bulunur.
Doğru seçenekte sunulan yedi bölü iki değeri; u=3/xu = 3/x dönüşümü sonrasında sınırların alt sınır üç ve üst sınır üç bölü iki olarak güncellenmesi, diferansiyel hesabından gelen katsayıların integral dışına doğru aktarılması ve nihayetinde f(u)f′(u)f(u)f'(u) ifadesinin ters türevinin doğru hesaplanmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesinde değişken değiştirme uygulanır.
u=3xu = \frac{3}{x} dönüşümü seçildiğinde her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du=−3x2 dx  ⟹  dxx2=−du3du = -\frac{3}{x^2} \, dx \implies \frac{dx}{x^2} = -\frac{du}{3} eşitliği elde edilir.
İntegral içindeki karmaşık rasyonel ifadeyi basitleştirmek ve integralin kurallara uygun biçimde alınmasını sağlamak için değişken değiştirme yöntemi tercih edilir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu değerlerine göre dönüştürülür.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=31=3x = 1 \implies u = \frac{3}{1} = 3 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=32x = 2 \implies u = \frac{3}{2} olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınır değerleri, değişkenler ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yazılır.
∫33/2f′(u)⋅f(u)⋅(−du3)=13∫3/23f(u)⋅f′(u) du\int_{3}^{3/2} f'(u) \cdot f(u) \cdot \left(-\frac{du}{3}\right) = \frac{1}{3} \int_{3/2}^{3} f(u) \cdot f'(u) \, du integral ifadesi elde edilir.
Diferansiyelden gelen eksi işareti, integralin alt ve üst sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltmek amacıyla kullanılmıştır.
4
İntegral alma işlemi tamamlanır ve verilen fonksiyon değerleri yerlerine konularak sonuç hesaplanır.
v=f(u)  ⟹  dv=f′(u) duv = f(u) \implies dv = f'(u) \, du dönüşümü altında integral 13∫f(u)⋅f′(u) du=13⋅(f(u))22=(f(u))26\frac{1}{3} \int f(u) \cdot f'(u) \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{(f(u))^2}{2} = \frac{(f(u))^2}{6} haline gelir. Sınırlar yerine yazıldığında: 16[(f(3))2−(f(32))2]=16(52−22)=216=72\frac{1}{6} \left[ (f(3))^2 - \left(f\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2 \right] = \frac{1}{6} (5^2 - 2^2) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} bulunur.
Bulunan ters türev ifadesinde üst sınır olan üç değeri ile alt sınır olan üç bölü iki değeri yerlerine yazılarak belirli integral hesabı tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisindeki katsayıların doğru biçimde integral dışına taşınması gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 154Soru →

Koordinat düzleminde x=2−y2x = 2 - y^2 eğrisi ile x+y=0x + y = 0 doğrusunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

Eğriler arasında kalan kapalı bölgenin alanı 4,5 birimkaredir.
Verilen parabol ile doğrunun y eksenine göre kesim noktaları y = -1 ve y = 2 olarak hesaplanır. Bu sınırlar arasında sağda kalan parabol denkleminden solda kalan doğru denklemi çıkarılıp integral alındığında alan 4,5 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını (integrasyon sınırlar��nı) belirlemek için denklemleri birbirine eşitleriz.
y2−y−2=0  ⟹  y=2y^2 - y - 2 = 0 \implies y = 2 ve y=−1y = -1 bulunur.
Bölgenin y ekseni boyunca sınırlarını bulmak için kesim noktalarının y koordinatlarına ihtiyacımız vardır.
2
Sağdaki eğriden soldaki eğriyi çıkararak alanı veren belirli integrali kurarız.
A=∫−12((2−y2)−(−y))dy=∫−12(2−y2+y)dyA = \int_{-1}^{2} \left( (2 - y^2) - (-y) \right) dy = \int_{-1}^{2} (2 - y^2 + y) dy elde edilir.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları arasında sağda kalan fonksiyondan solda kalan fonksiyon çıkarılır.
3
İntegrali hesaplar ve sınırları yerine koyarak alanı buluruz.
A=[2y−y33+y22]−12=103−(−76)=276=4,5A = \left[ 2y - \frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4,5 birimkare.
Belirli integralin değerini hesaplayarak sınırlı bölgenin alanın�� bulmuş oluruz.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın y eksenine göre integral alınarak hesaplanması

Alternatif Yöntem

Bir parabol ile doğrunun kesim noktalarının y koordinatları y_1 ve y_2 ise, aralarında kalan alan pratik olarak A = (1/6) * |a| * (y_2 - y_1)^3 formülüyle hesaplanabilir. Burada a, parabolün y^2 teriminin katsayısıdır. Kökler farkı y_2 - y_1 = 2 - (-1) = 3 ve |a| = 1 olduğundan, Alan = (1/6) * 1 * 3^3 = 27/6 = 4,5 birimkare olarak saniyeler içinde bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 155Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−22f(x) dx=12\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 12
ve her xx gerçel sayısı için
f(x)−f(−x)=8x3−6xf(x) - f(-x) = 8x^3 - 6x
olduğuna göre,
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İntegralin doğru değeri 16'dır.
Doğru cevap olan 16 değeri, belirli integralin parçalama özelliği ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin (A+B=12A + B = 12 ve B−A=20B - A = 20) doğru bir şekilde çözülmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak sınırları bölelim.
∫−22f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫02f(x) dx=12\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 12 denklemi elde edilir.
[−2,2][-2, 2] aralığındaki integrali simetri ekseni olan x=0x = 0 noktasına göre iki alt aralığa ayırmak çözümü kolaylaştırır.
2
Verilen f(x)−f(−x)=8x3−6xf(x) - f(-x) = 8x^3 - 6x eşitliğinin her iki tarafını [0,2][0, 2] aralığında integre edelim.
∫02f(x) dx−∫02f(−x) dx=∫02(8x3−6x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(-x) \, dx = \int_{0}^{2} (8x^3 - 6x) \, dx olur. Sağ tarafın integrali alındığında:
[2x4−3x2]02=(2⋅16−3⋅4)−0=20\left[ 2x^4 - 3x^2 \right]_{0}^{2} = (2 \cdot 16 - 3 \cdot 4) - 0 = 20 bulunur.
Verilen fonksiyonel ilişkiyi belirli integral sınırlarına taşıyarak iki farklı integral terimi arasında bir denklem elde etmek.
3
∫02f(−x) dx\int_{0}^{2} f(-x) \, dx integralinde değişken değiştirme uygulayalım.
u=−xu = -x dönüşümü yapılırsa du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar ise x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=2  ⟹  u=−2x = 2 \implies u = -2 olarak güncellenir. Bu durumda:
∫02f(−x) dx=∫0−2f(u)(−du)=∫−20f(u) du=∫−20f(x) dx\int_{0}^{2} f(-x) \, dx = \int_{0}^{-2} f(u) (-du) = \int_{-2}^{0} f(u) \, du = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx elde edilir.
f(−x)f(-x) terimini pozitif değişkenli f(x)f(x) cinsinden yazarak ilk adımda parçaladığımız integrallerle ilişkilendirmek.
4
Bulunan denklemleri bir araya getirerek denklem sistemini çözelim.
∫−20f(x) dx=A\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = A ve ∫02f(x) dx=B\int_{0}^{2} f(x) \, dx = B tanımlayalım. Birinci adımdan A+B=12A + B = 12 ve ikinci adımdan B−A=20B - A = 20 elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa topladığımızda:
2B=32  ⟹  B=162B = 32 \implies B = 16 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözerek bizden istenen ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx integralinin değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Belirli integralin sınır değiştirme ve parçalama özellikleri ile değişken değiştirme yöntemi.
Soru 156Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−6xf(x) = 3x^2 - 6x fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=3x = 3 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Toplam alan hesaplanırken fonksiyonun xx-ekseninin altında kaldığı [0,2][0, 2] aralığındaki integralinin negatifi alınarak alan değeri pozitif yapılır ve üstünde kaldığı [2,3][2, 3] aralığındaki integral değeri ile toplanır. Bu durumda toplam alan 4+4=84 + 4 = 8 birimkare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun xx-eksenini kestiği noktaları (köklerini) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözeriz.
3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=03x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 denklemi çözüldüğünde x=0x = 0 ve x=2x = 2 kökleri elde edilir.
Fonksiyonun hangi aralıklarda xx-ekseninin altında (negatif) veya üstünde (pozitif) kaldığını belirlemek için kökleri bulmamız gerekir.
2
İntegral sınırlarını belirleriz.
[0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan alan S1=∫02−f(x) dxS_1 = \int_{0}^{2} -f(x) \, dx olur. [2,3][2, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan alan S2=∫23f(x) dxS_2 = \int_{2}^{3} f(x) \, dx olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken belirli integralin değeri negatif çıkacağı için önüne eksi işareti konulmalıdır.
3
Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplarız.
S1=∫02(−3x2+6x) dx=[−x3+3x2]02=−8+12=4S_1 = \int_{0}^{2} (-3x^2 + 6x) \, dx = [-x^3 + 3x^2]_0^2 = -8 + 12 = 4 birimkare olarak bulunur. S2=∫23(3x2−6x) dx=[x3−3x2]23=(27−27)−(8−12)=4S_2 = \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x) \, dx = [x^3 - 3x^2]_2^3 = (27 - 27) - (8 - 12) = 4 birimkare olarak bulunur.
Her bir alt aralıktaki alan değerini integral alma kurallarını uygulayarak hesaplarız.
4
Bulunan alan değerlerini toplayarak toplam alanı elde ederiz.
Toplam Alan = S1+S2=4+4=8S_1 + S_2 = 4 + 4 = 8 birimkare bulunur.
Toplam alan, her iki bölgenin alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplama.
Soru 157Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′(x)f'(x) olmak üzere, x≠1x \neq 1 için
f′(x)=3x3−x2−2xx−1−2f'(x) = \frac{3x^3 - x^2 - 2x}{x-1} - 2
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İstenen f(3)f(3) değeri 27 olarak bulunur.
Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde f′(x)=3x2+2x−2f'(x) = 3x^2 + 2x - 2 elde edilir. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=x3+x2−2x+Cf(x) = x^3 + x^2 - 2x + C fonksiyonuna ulaşılır. f(2)=5f(2) = 5 koşulu kullanıldığında integral sabiti C=−3C = -3 olarak bulunur. Fonksiyon kuralı f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 olduğundan, f(3)f(3) değeri 2727 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapılması
f′(x)=3x2+2x−2f'(x) = 3x^2 + 2x - 2 (her x∈Rx \in \mathbb{R} için)
Belirsiz integral alma kurallarını uygulamadan önce türev fonksiyonunun kuralını daha basit bir biçime getirmek gerekir. 3x3−x2−2x=x(3x2−x−2)=x(3x+2)(x−1)3x^3 - x^2 - 2x = x(3x^2 - x - 2) = x(3x+2)(x-1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. x≠1x \neq 1 için paydadaki x−1x-1 ifadesi sadeleşir ve f′(x)=x(3x+2)−2=3x2+2x−2f'(x) = x(3x+2) - 2 = 3x^2 + 2x - 2 elde edilir. Fonksiyon gerçel sayılarda türevlenebilir olduğundan bu eşitlik tüm gerçel sayılar için geçerlidir.
2
Türev fonksiyonunun belirsiz integralinin alınarak genel fonksiyon kuralının elde edilmesi
f(x)=x3+x2−2x+Cf(x) = x^3 + x^2 - 2x + C
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınır. İntegral alma kuralları gereğince ∫(3x2+2x−2)dx=x3+x2−2x+C\int (3x^2 + 2x - 2) dx = x^3 + x^2 - 2x + C elde edilir. Burada CC integral sabitidir.
3
f(2)=5f(2) = 5 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerinin bulunması
C=−3C = -3
Fonksiyonun kuralında x=2x = 2 yazılarak verilen değere eşitlenir: f(2)=23+22−2(2)+C=5  ⟹  8+4−4+C=5  ⟹  8+C=5f(2) = 2^3 + 2^2 - 2(2) + C = 5 \implies 8 + 4 - 4 + C = 5 \implies 8 + C = 5 elde edilir. Buradan C=−3C = -3 bulunur. Böylece fonksiyon f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 olarak belirlenir.
4
Elde edilen fonksiyon kuralında x=3x = 3 yazılarak f(3)f(3) değerinin hesaplanması
f(3)=27f(3) = 27
Bulunan f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 fonksiyonunda xx yerine 33 yazıldığında f(3)=33+32−2(3)−3=27+9−6−3=27f(3) = 3^3 + 3^2 - 2(3) - 3 = 27 + 9 - 6 - 3 = 27 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabiti kullanılarak fonksiyonun kendisini elde etme.
Soru 158Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 ve y=2−x2y = 2 - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölge, y=ax2y = ax^2 (a>1a > 1) parabolü ile eşit alanlı iki bölgeye ayrılmaktadır.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru yanıt 7 değeridir.
Toplam alan 8/3 birimkare olarak bulunduktan sonra, iki bölgenin kesim noktası olan x=1/2x = 1/2 değeri kullanılarak alt bölgenin alanı toplam alanın yarısına (4/34/3) eşitlenir. Buradan parabolün katsayısı olan değer 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sınırlı bölgenin toplam alanını hesaplamak için iki parabolün kesim noktalarını buluruz.
x2=2−x2x^2 = 2 - x^2 denkleminden 2x2=22x^2 = 2 ve x=1x = 1 ile x=−1x = -1 sınır noktaları elde edilir.
İntegral sınırlarını belirlemek için sınır eğrilerinin kesişim noktaları bulunmalıdır.
2
Bu iki sınır arasında kalan toplam alanı belirli integral ile hesaplarız.
Toplam Alan (SS) = ∫−11((2−x2)−x2)dx=∫−11(2−2x2)dx=[2x−2x33]−11=83\int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx = [2x - \frac{2x^3}{3}]_{-1}^{1} = \frac{8}{3} birimkare.
Bölgeyi ikiye bölen parabolün yapacağı alan paylaşımını bulabilmek için önce toplam alanın bilinmesi gerekir.
3
y = ax^2 parabolü ile y = 2 - x^2 parabolünün kesişim noktasın��n apsisini (x0x_0) buluruz.
ax02=2−x02ax_0^2 = 2 - x_0^2 denkleminden x0=2a+1x_0 = \sqrt{\frac{2}{a+1}} elde edilir.
Yeni parabolün bölgeyi hangi apsis değerinde kestiğini bularak integral sınırlarını güncellememiz gerekir.
4
Bölgenin simetrik yapısını kullanarak x=0x = 0 ile x=1x = 1 arasındaki alt bölgenin alanını toplam alanın yarısına (4/34/3) eşitleriz.
∫0x0(ax2−x2)dx+∫x01(2−2x2)dx=43\int_{0}^{x_0} (ax^2 - x^2) dx + \int_{x_0}^{1} (2 - 2x^2) dx = \frac{4}{3} denklemini kurarız.
y = ax^2 parabolü y = 2 - x^2 eğrisini x0x_0 noktasında kestiği için, bu noktadan sonra üst sınır y = 2 - x^2 eğrisi olur. Bu nedenle integral iki parça halinde yazılmalıdır.
5
İntegralleri hesaplayıp x0x_0 cinsinden ifade ederiz.
[(a−1)x33]0x0+[2x−2x33]x01=43⇒(a−1)x033+43−(2x0−2x033)=43⇒(a+1)x033−2x0+43=43[\frac{(a-1)x^3}{3}]_{0}^{x_0} + [2x - \frac{2x^3}{3}]_{x_0}^{1} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{(a-1)x_0^3}{3} + \frac{4}{3} - (2x_0 - \frac{2x_0^3}{3}) = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{(a+1)x_0^3}{3} - 2x_0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} elde edilir.
Alanı belirleyen cebirsel ifadeyi basitleştirmek.
6
x02=2a+1x_0^2 = \frac{2}{a+1} ilişkisini kullanarak denklemdeki aa değişkenini eleriz.
(a+1)x03=(a+1)x02⋅x0=2x0(a+1)x_0^3 = (a+1)x_0^2 \cdot x_0 = 2x_0 olur. Buradan 2x03−2x0+43=43⇒−4x03+43=43⇒x0=12\frac{2x_0}{3} - 2x_0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow -\frac{4x_0}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow x_0 = \frac{1}{2} bulunur.
x0x_0 değerini doğrudan bulmak için aa ve x0x_0 arasındaki ilişkiyi yerine yazarız.
7
Bulduğumuz x0=1/2x_0 = 1/2 değerini kesişim denkleminde yerine yazıp aa değerini hesaplarız.
12=2a+1⇒14=2a+1⇒a+1=8⇒a=7\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2}{a+1}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{2}{a+1} \Rightarrow a+1 = 8 \Rightarrow a = 7 elde edilir.
İstenen bilinmeyen katsayıyı bulmak.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Soru 159Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
eşitliği verilmiştir.
Buna göre,
∫ee2f(ln⁡x)+f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) + f(3 - \ln x)}{x} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen integral iki parçaya ayrılıp sırasıyla u=ln⁡xu = \ln x ve v=3−ln⁡xv = 3 - \ln x dönüşümleri yapıldığında, her iki integralin de sınırları güncellenerek ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx ifadesine dönüşür. Dolayısıyla her iki integralin değeri de 4 olur ve toplamları 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen integral ifadesini daha rahat incelemek için iki ayrı integralin toplamı şeklinde yazın.
∫ee2f(ln⁡x)x dx+∫ee2f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{f(3 - \ln x)}{x} \, dx elde edilir.
Her bir terimde yapılacak değişken değiştirme adımlarını bağımsız olarak yönetebilmek için.
2
Birinci integral olan ∫ee2f(ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} \, dx ifadesi için u=ln⁡xu = \ln x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur. Sınırlar ise x=ex = e için u=1u = 1 ve x=e2x = e^2 için u=2u = 2 olarak güncellenir. Bu durumda birinci integral ∫12f(u) du=4\int_{1}^{2} f(u) \, du = 4 haline gelir.
Logaritmik ifadeyi doğrusal bir değişkene dönüştürmek ve soruda verilen integral değerini kullanabilmek için.
3
İkinci integral olan ∫ee2f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(3 - \ln x)}{x} \, dx ifadesi için v=3−ln⁡xv = 3 - \ln x değişken değiştirmesini uygulayın.
dv=−1x dx⇒1x dx=−dvdv = -\frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{1}{x} \, dx = -dv olur. Sınırlar ise x=ex = e için v=3−1=2v = 3 - 1 = 2 ve x=e2x = e^2 için v=3−2=1v = 3 - 2 = 1 olarak güncellenir.
İkinci terimdeki bileşke fonksiyon yapısını çözerek integrali hesaplanabilir hale getirmek için.
4
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyeli ikinci integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayın.
∫21f(v) (−dv)=∫12f(v) dv=4\int_{2}^{1} f(v) \, (-dv) = \int_{1}^{2} f(v) \, dv = 4 olarak bulunur.
Belirli integralde sınırların yer değiştirmesinin integrali eksi ile çarptığı özelliğini kullanarak integral değerini bulmak için.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak toplam integralin sonucuna ulaşın.
4+4=84 + 4 = 8 elde edilir.
İntegral toplam özelliğine göre parçalanan kısımların toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi
Soru 160Soru →

Tüm gerçel sayılarda sürekli olan bir ff fonksiyonu

f(x)={3x2+1,x<12x+a,x≥1f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 1, & x < 1 \\ 2x + a, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

∫−12f(∣x∣) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Sürekli fonksiyonun kuralları ve mutlak değer özelliği kullan��larak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.
Fonksiyonun sürekliliği kullanılarak a = 2 bulunur. Mutlak değer tanımından dolayı integral [-1, 0] ve [0, 2] aralıklarına bölünür. Bu aralıklarda fonksiyonun ilgili kuralları uygulanarak elde edilen integral değerleri toplanır ve doğru sonuç 9 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sürekliliğini kullanarak aa sabitini bulunuz.
a=2a = 2
ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan x=1x = 1 kritik noktasında da süreklidir. Bu nedenle sağdan ve soldan limitleri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)  ⟹  3(1)2+1=2(1)+a  ⟹  4=2+a  ⟹  a=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 3(1)^2 + 1 = 2(1) + a \implies 4 = 2 + a \implies a = 2 elde edilir.
2
İntegrali mutlak değerin içi sıfır olan x=0x = 0 noktasına göre iki parçaya ayırınız.
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(−x) dx+∫02f(x) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(-x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx
x<0x < 0 için ∣x∣=−x|x| = -x ve x≥0x \ge 0 için ∣x∣=x|x| = x olduğundan integral bu kritik noktaya göre ikiye bölünür.
3
[−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫−10(3x2+1) dx=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = 2
x∈[−1,0]x \in [-1, 0] aralığında ∣x∣=−x|x| = -x olur. Bu durumda −x∈[0,1]-x \in [0, 1] olacağından fonksiyonun 11'den küçük değerler için geçerli olan kuralı kullanılır: f(−x)=3(−x)2+1=3x2+1f(-x) = 3(-x)^2 + 1 = 3x^2 + 1. İntegral hesaplandığında: ∫−10(3x2+1) dx=[x3+x]−10=0−(−1−1)=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = [x^3 + x]_{-1}^0 = 0 - (-1 - 1) = 2 bulunur.
4
[0,2][0, 2] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫02f(x) dx=7\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 7
x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığı, fonksiyonun kural değiştirdiği x=1x = 1 noktasına göre bölünür: ∫01(3x2+1) dx+∫12(2x+2) dx=[x3+x]01+[x2+2x]12=2+(8−3)=7\int_{0}^{1} (3x^2 + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (2x + 2) \, dx = [x^3 + x]_0^1 + [x^2 + 2x]_1^2 = 2 + (8 - 3) = 7 elde edilir.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak sonucu bulunuz.
9
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(∣x∣) dx+∫02f(∣x∣) dx=2+7=9\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(|x|) \, dx + \int_{0}^{2} f(|x|) \, dx = 2 + 7 = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı sürekli fonksiyonlerin belirli integrali ve mutlak değer içeren integral özellikleri
ÖncekiSayfa 8 / 14Sonraki