Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 181Soru →
Bir ff fonksiyonunun birinci türevi olan f′(x)f'(x) fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f′(2x−1)=4x2−4x+3f'(2x - 1) = 4x^2 - 4x + 3
eşitliğini sağlamaktadır.
f(3)=17f(3) = 17 olduğuna göre, f(−3)f(-3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −13-13

Cevap

−13-13
Doğru seçenekteki değer, f′(2x−1)f'(2x-1) fonksiyonundan değişken dönüşümü yapılarak f′(x)=x2+2f'(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun bulunması, ardından integral kuralları ile f(x)=x33+2x+2f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + 2 genel kuralına ulaşılması ve x=−3x = -3 yazılarak −13-13 sonucunun elde edilmesiyle bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
f′(2x−1)f'(2x-1) ifadesinde değişken değiştirme yapılarak f′(x)f'(x) fonksiyonu elde edilir.
f′(x)=x2+2f'(x) = x^2 + 2
u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümüyle x=u+12x = \frac{u+1}{2} yazılır. Bu değer f′(2x−1)=4x2−4x+3f'(2x-1) = 4x^2 - 4x + 3 eşitliğinde yerine yazıldığında f′(u)=u2+2f'(u) = u^2 + 2 bulunur.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak f(x)f(x) fonksiyonu bulunur.
f(x)=x33+2x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C
Belirsiz integral alma kuralları gereği, dereceler 1 artırılıp yeni dereceye bölünür ve integral sabiti eklenir.
3
f(3)=17f(3) = 17 başlangıç koşulu kullanılarak CC integral sabiti bulunur.
C=2C = 2
f(3)=333+2(3)+C=17  ⟹  15+C=17  ⟹  C=2f(3) = \frac{3^3}{3} + 2(3) + C = 17 \implies 15 + C = 17 \implies C = 2 elde edilir.
4
Elde edilen f(x)=x33+2x+2f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + 2 fonksiyonunda x=−3x = -3 yazılarak f(−3)f(-3) değeri hesaplanır.
f(−3)=−13f(-3) = -13
f(−3)=(−3)33+2(−3)+2=−9−6+2=−13f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + 2(-3) + 2 = -9 - 6 + 2 = -13 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral kuralları ve integral sabitinin hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 182Soru →
[1,7][1, 7] kapalı aralığında sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10
ve
∫25f(2x−3) dx=8\int_{2}^{5} f(2x - 3) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫47(f(x)+2) dx\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Belirli integralin özellikleri kullanılarak elde edilen sonuç 12'dir.
Verilen ikinci integralde değişken değiştirme yapılarak sınırların güncellenmesiyle [1,7][1, 7] aralığındaki integral değeri 16 olarak bulunur. Ardından aralık bölme özelliği kullanılarak [4,7][4, 7] aralığındaki integral değeri 6 olarak elde edilir. Son olarak doğrusal parçalama ile bu değere sabit olan 2 sayısının aynı aralıktaki integrali (yani 6) eklenerek doğru cevap 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanarak sınırlar ve ifade düzenlenir.
∫17f(x) dx=16\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 16
u=2x−3u = 2x - 3 dönüşümüyle sınırları ve diferansiyel ifadesini (dx=du2dx = \frac{du}{2}) güncellemek için.
2
Belirli integralin sınırları bölme özelliği uygulanarak bilinmeyen aralıktaki integral değeri hesaplanır.
∫47f(x) dx=6\int_{4}^{7} f(x) \, dx = 6
[1,7][1, 7] aralığındaki integrali [1,4][1, 4] ve [4,7][4, 7] aralıklarına bölerek bilinen değerlerden yararlanmak için.
3
İstenen integral ifadesi doğrusal olarak parçalanarak hesaplanır.
∫47(f(x)+2) dx=12\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx = 12
Toplama halindeki integral ifadesini fonksiyonun integrali ile sabit terimin integralinin toplamı şeklinde yazıp hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme, aralık bölme ve doğrusallık özellikleri
Soru 183Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
I=∫12x5f(x3−1) dxI = \int_{1}^{2} x^5 f(x^3 - 1) \, dx
integrali veriliyor. Buna göre, bu integralde u=x3−1u = x^3 - 1 değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13∫07(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du

Cevap

Yapılan değişken değiştirme sonucunda 13∫07(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du ifadesi elde edilir.
Doğru değişken değiştirme adımları uygulandığında; x5 dxx^5 \, dx ifadesi x3⋅x2 dxx^3 \cdot x^2 \, dx şeklinde parçalanır, u=x3−1u = x^3 - 1 eşitliğinden x3=u+1x^3 = u + 1 ve x2 dx=13 dux^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du bulunur. Sınırlar ise x=1x=1 için 00 ve x=2x=2 için 77 olarak güncellenir. Bu değerler yerine yazıldığında doğru integral ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel hesabı yapılması
u=x3−1  ⟹  du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=13 duu = x^3 - 1 \implies du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazmak için diferansiyel alınır.
2
İntegral altındaki ifadenin düzenlenmesi
x5 f(x3−1) dx=x3⋅f(x3−1)⋅x2 dxx^5 \, f(x^3 - 1) \, dx = x^3 \cdot f(x^3 - 1) \cdot x^2 \, dx olarak yazılır. Buradan x3=u+1x^3 = u + 1 ve x2 dx=13 dux^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du değerleri yerlerine yazıldığında, integral içi (u+1)f(u)⋅13 du(u + 1) f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du haline gelir.
İntegral değişkenlerini tamamen uu cinsine dönüştürmek için x5x^5 terimi x3x^3 ve x2x^2 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
İntegral sınırlarının güncellenmesi
Alt sınır için: x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7
Yeni sınırlar [0,7][0, 7] aralığı olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
4
Yeni integralin yazılması
I=∫07(u+1)f(u)⋅13 du=13∫07(u+1)f(u) duI = \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du
Tüm dönüşümler ve yeni sınırlar birleştirilerek nihai integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel ilişkisine, fonksiyonel dönüşümlere ve sınırların doğru güncellenmesine dikkat edilmelidir.
Soru 184Soru →
R∖{12}\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈R∖{12}x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} için
f′(x)=2x3−3x2+x2x−1f'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{2x - 1}
eşitliğini sağlamaktadır.
f(3)=112f(3) = \frac{11}{2} olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Doğru cevap 55'tir.
Verilen türev fonksiyonunda pay çarpanlarına ayrılıp paydadaki ifadeyle sadeleştirildiğinde f′(x)=x2−xf'(x) = x^2 - x elde edilir. Bu ifadenin integral kurallarına göre integrali alındığında f(x)=x33−x22+Cf(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C bulunur. f(3)=112f(3) = \frac{11}{2} koşulu kullanılarak C=1C = 1 olarak elde edilir. Buradan fonksiyon kuralı f(x)=x33−x22+1f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1 olarak belirlenir ve x=6x = 6 yazıldığında sonuç 55 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun pay kısmını çarpanlarına ayırma ve sadeleştirme
2x3−3x2+x=x(2x2−3x+1)=x(2x−1)(x−1)2x^3 - 3x^2 + x = x(2x^2 - 3x + 1) = x(2x-1)(x-1)
İfadeyi türev denkleminde yerine yazıp 2x−12x - 1 terimlerini sadeleştirdiğimizde (çünkü x≠12x \neq \frac{1}{2}):
f′(x)=x(2x−1)(x−1)2x−1=x2−xf'(x) = \frac{x(2x-1)(x-1)}{2x-1} = x^2 - x elde edilir.
Belirsiz integral alma kurallarını doğrudan uygulayabilmek için rasyonel ifadeyi sadeleştirmeliyiz.
2
Belirsiz integral kurallarını kullanarak genel fonksiyon kuralın�� bulma
f(x)=∫(x2−x) dx=x33−x22+Cf(x) = \int (x^2 - x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C (C∈RC \in \mathbb{R})
f′(x)f'(x) fonksiyonundan f(x)f(x) fonksiyonuna geçmek için her iki tarafın belirsiz integralini alırız.
3
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerini hesaplama
f(3)=333−322+C=9−92+C=92+Cf(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + C = 9 - \frac{9}{2} + C = \frac{9}{2} + C
92+C=112  ⟹  C=1\frac{9}{2} + C = \frac{11}{2} \implies C = 1 elde edilir.
Böylece fonksiyonun kuralı:
f(x)=x33−x22+1f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1 olur.
Belirsiz integral sabitinin değerini bulmak için fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri kullanılır.
4
f(6)f(6) değerini hesaplama
f(6)=633−622+1=72−18+1=55f(6) = \frac{6^3}{3} - \frac{6^2}{2} + 1 = 72 - 18 + 1 = 55
Fonksiyonun kuralında xx yerine 66 yazarak istenen değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonların belirsiz integrali ve integral sabitinin başlangıç koşulu yardımıyla bulunması
Soru 185Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=10\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 10
olduğu bilinmektedir.
Buna göre,
∫02(f(2x+1)+3x) dx\int_{0}^{2} (f(2x + 1) + 3x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İntegralin değeri 11 olarak bulunur.
Verilen integral iki parçaya bölünerek incelenir. İlk parça olan f(2x+1)f(2x+1) integrali için u=2x+1u=2x+1 dönüşümü yapıldığında sınırlar 11 ve 55 olur ve integral değeri 55 olarak bulunur. İkinci parça olan 3x3x ifadesinin belirli integrali ise 66 çıkar. Bu iki değerin toplamı olan 11 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali toplama özelliğini kullanarak iki ayrı integral haline getirin.
∫02f(2x+1) dx+∫023x dx\int_{0}^{2} f(2x + 1) \, dx + \int_{0}^{2} 3x \, dx
Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir.
2
Birinci integralde u=2x+1u = 2x + 1 değişken değiştirmesini uygulayın.
u=2x+1  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x + 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}
Sınırlar için:
x=0  ⟹  u=1x = 0 \implies u = 1
x=2  ⟹  u=5x = 2 \implies u = 5
Yeni integral:
∫15f(u)du2=12∫15f(u) du\int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du
Değişken de��iştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini yeni değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Birinci integralin değerini hesaplayın.
12∫15f(x) dx=12×10=5\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \times 10 = 5
Verilen belirli integral değeri yerine yazılır.
4
İkinci integralin değerini hesaplayın.
∫023x dx=[3x22]02=3(2)22−0=6\int_{0}^{2} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{3(2)^2}{2} - 0 = 6
Polinom fonksiyonların belirli integral alma kuralları uygulanır.
5
Elde edilen iki integral değerini toplayın.
5+6=115 + 6 = 11
İlk adımda ayrıştırılan iki parçanın toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Lineerlik Özellikleri

Alternatif Yöntem

İntegrali doğrudan çözmek yerine grafiğin yatayda sıkışma ve öteleme özelliklerini düşünerek alanı yorumlayabilirsiniz. f(2x+1)f(2x+1) grafiği, f(x)f(x) grafiğinin 11 birim sola ötelenip 22 kat yatayda daraltılmış halidir. Sınırlar da bu daralmaya uygun olarak yarıya indiğinden alan da yarıya inecektir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 186Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 parabolü, bu parabole x=3x = 3 apsisli noktasında teğet olan doğru ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Parabole x=3x = 3 noktasında teğet olan doğru y=2x−6y = 2x - 6 denklemine sahiptir. x∈[0,3]x \in [0, 3] aralığında parabol bu doğrudan üstte konumlandığından, bu eğriler ve yy-ekseni (x=0x=0) arasında kalan sınırlı bölgenin alanı, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen (x−3)2(x-3)^2 ifadesinin 00 ile 33 sınırları arasında integralinin alınmasıyla hesaplanır. Bu hesaplama sonucunda alan 99 birimkare olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 99 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasının koordinatlarını bulmak
x=3x = 3 için y=32−4(3)+3=0y = 3^2 - 4(3) + 3 = 0 olup, teğet noktası (3,0)(3, 0) olarak elde edilir.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek adına teğet noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.
2
Teğet doğrusunun eğimini türev yardımıyla hesaplamak
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 türev fonksiyonundan, x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimi m=f′(3)=2(3)−4=2m = f'(3) = 2(3) - 4 = 2 bulunur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun denklemini yazmak
Eğimi m=2m = 2 olan ve (3,0)(3, 0) noktasından geçen doğrunun denklemi y−0=2(x−3)  ⟹  y=2x−6y - 0 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6 olarak elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklem formülü kullanılarak teğet doğrusu belirlenir.
4
Eğriler arasında kalan alanı belirli integral ile hesaplamak
x∈[0,3]x \in [0, 3] aralığında parabol teğet doğrusunun üstünde yer aldığından, alan A=∫03[(x2−4x+3)−(2x−6)]dx=∫03(x−3)2dx=[(x−3)33]03=0−(−273)=9A = \int_{0}^{3} \left[(x^2 - 4x + 3) - (2x - 6)\right] dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx = \left[\frac{(x-3)^3}{3}\right]_{0}^{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9 birimkare bulunur.
Sınırlı bölge üstteki parabol ile alttaki teğet doğrusu arasında x=0x = 0 (yy-ekseni) ve x=3x = 3 (kesişim noktası) sınırları ile belirlenir.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Soru 187Soru →
∫01x5(x3+1)4 dx\int_{0}^{1} x^5 (x^3 + 1)^4 \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4330\frac{43}{30}

Cevap

İntegralin değeri 4330\frac{43}{30} olarak bulunur.
İntegral u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümüyle çözüldüğünde sınırların x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=1x = 1 için u=2u = 2 olarak güncellenmesiyle integralin değeri 4330\frac{43}{30} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapıldığında du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir. Ayrıca x3=u−1x^3 = u - 1 olur.
İntegral içindeki x5x^5 ifadesini x3⋅x2x^3 \cdot x^2 şeklinde ayırarak dönüşümü tamamlamak amacıyla bu işlem yapılır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=03+1=1x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1, üst sınır için x=1  ⟹  u=13+1=2x = 1 \implies u = 1^3 + 1 = 2 olur.
xx de��işkeninden uu değişkenine geçerken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Yeni değişkenlere göre integral oluşturulur ve hesaplanır.
∫12(u−1)⋅u4⋅du3=13∫12(u5−u4) du\int_{1}^{2} (u - 1) \cdot u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} (u^5 - u^4) \, du elde edilir.
Değişken ve sınır dönüşümleri integrale yerleştirilir.
4
Elde edilen integralin değeri hesaplanır.
13[u66−u55]12=13[(646−325)−(16−15)]=13[6415−(−130)]=13(12930)=4330\frac{1}{3} \left[ \frac{u^6}{6} - \frac{u^5}{5} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{64}{6} - \frac{32}{5} \right) - \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{5} \right) \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{64}{15} - \left( -\frac{1}{30} \right) \right] = \frac{1}{3} \left( \frac{129}{30} \right) = \frac{43}{30} bulunur.
Temel integral alma ve yerine koyma kuralları uygulanır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi ile Belirli İntegral Hesabı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 188Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu her x>0x > 0 için
∫f′(x)x2 dx=x2−3x+C1 \int \frac{f'(x)}{x^2} \, dx = x^2 - 3x + C_1
eşitliğini sağlamaktadır.
f(2)=3f(2) = 3 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
(Burada C1C_1 integral sabitidir.)
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Beş bölü iki
İntegral ile türev arasındaki ters ilişki kullanılarak eşitliğin türevi alınmış, elde edilen türev fonksiyonu x2x^2 ile çarpılarak f′(x)f'(x) elde edilmiştir. Ardından integral kuralları ile f(x)f(x) fonksiyonu bulunmuş ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabiti hesaplanmıştır. Son adımda x=1x = 1 yazılarak beş bölü iki sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f′(x)x2=2x−3\frac{f'(x)}{x^2} = 2x - 3
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapılarak türev fonksiyonu yalnız bırakılır.
f′(x)=2x3−3x2f'(x) = 2x^3 - 3x^2
f′(x)f'(x) fonksiyonunu elde etmek için eşitliğin her iki tarafı x2x^2 ile çarpılır.
3
f(x)f(x) fonksiyonuna ulaşmak için f′(x)f'(x) ifadesinin belirsiz integrali alınır.
f(x)=12x4−x3+C2f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + C_2
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
4
f(2)=3f(2) = 3 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti hesaplanır.
C2=3C_2 = 3 yani f(x)=12x4−x3+3f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 3
x=2x = 2 değeri fonksiyonda yerine yazılarak eşitlik sağlanır.
5
Fonksiyonda x=1x = 1 yazılarak istenen değer hesaplanır.
f(1)=52f(1) = \frac{5}{2}
f(1)=12(1)4−(1)3+3=12−1+3=52f(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + 3 = \frac{1}{2} - 1 + 3 = \frac{5}{2} işlemi sonuçlandırılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve temel integral alma kuralları kullanılarak fonksiyonun kendisinin elde edilmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin türevi integralin içine eşit olduğundan, doğrudan türev alarak f′(x)f'(x) elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 189Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(x−1)f′′(x) dx+∫f′(x) dx=x2−3x+C \int (x-1) f''(x) \, dx + \int f'(x) \, dx = x^2 - 3x + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=3f(2) = 3 olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Sol taraftaki iki integral birleştirildiğinde integralin içinin (x−1)f′(x)(x-1)f'(x) ifadesinin türevi olduğu görülür. Buradan elde edilen (x−1)f′(x)=x2−3x+K(x-1)f'(x) = x^2 - 3x + K eşitliğinde, ff fonksiyonunun gerçel sayılarda türevlenebilir olması için x=1x=1 yazıldığında sağ tarafın sıfır olması gerektiği kullanılarak K=2K=2 bulunur. Buradan f′(x)=x−2f'(x) = x-2 elde edilir. Bu ifadenin integrali alınarak ve f(2)=3f(2)=3 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti C2=5C_2 = 5 bulunur. Son olarak f(6)=11f(6) = 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki integral ifadesini integralin doğrusallık özelliğini kullanarak birleştirin.
∫[(x−1)f′′(x)+f′(x)] dx=x2−3x+C\int [ (x-1)f''(x) + f'(x) ] \, dx = x^2 - 3x + C
Aynı değişkene göre alınan belirsiz integraller tek bir integral altında toplanabilir.
2
İntegralin içindeki ifadenin çarpımın türevi kuralına uygunluğunu tespit edin.
(x−1)f′(x)=x2−3x+K(x-1)f'(x) = x^2 - 3x + K (KK bir gerçel sayı sabiti)
[(x−1)f′(x)]′=(x−1)f′′(x)+f′(x)[(x-1)f'(x)]' = (x-1)f''(x) + f'(x) olduğundan, integral alındığında ifadenin kendisi elde edilir.
3
ff fonksiyonunun her yerde türevlenebilir olması koşulunu kullanarak KK sabitini bulun.
x=1x = 1 için 0=1−3+K  ⟹  K=20 = 1 - 3 + K \implies K = 2 bulunur. Dolayısıyla (x−1)f′(x)=(x−1)(x−2)(x-1)f'(x) = (x-1)(x-2) olur.
f′(1)f'(1) değerinin tanımlı bir gerçel sayı olması için eşitliğin sağ tarafının da x=1x = 1 için sıfır olması gerekir.
4
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulun ve belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunu elde edin.
f′(x)=x−2f'(x) = x-2 ve f(x)=x22−2x+C2f(x) = \frac{x^2}{2} - 2x + C_2
x≠1x \neq 1 için sadeleştirme yapıldığında f′(x)=x−2f'(x) = x-2 olur. f′f' fonksiyonunun sürekli olmasından dolayı bu eşitlik tüm gerçel sayılarda geçerlidir.
5
f(2)=3f(2) = 3 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti C2C_2 değerini bulun ve f(6)f(6) değerini hesaplayın.
C2=5C_2 = 5 ve f(6)=11f(6) = 11 bulunur.
f(2)=42−4+C2=3  ⟹  C2=5f(2) = \frac{4}{2} - 4 + C_2 = 3 \implies C_2 = 5 olur. Buradan f(6)=362−12+5=11f(6) = \frac{36}{2} - 12 + 5 = 11 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral özellikleri, çarpımın türevinin tersini bulma ve sınır koşulları ile fonksiyon bulma.
Soru 190Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12xf(x) dx=5\int_1^2 x f(x) \, dx = 5
∫26xf(x) dx=16\int_2^6 x f(x) \, dx = 16
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12(2x3+3x2+x)f(x2+x) dx\int_1^2 (2x^3 + 3x^2 + x) f(x^2 + x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İntegralin değeri 16'dır.
İntegral içindeki 2x3+3x2+x2x^3 + 3x^2 + x ifadesi (x2+x)(2x+1)(x^2+x)(2x+1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. u=x2+xu = x^2+x dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=(2x+1)dxdu = (2x+1)dx olur. İntegral sınırları x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=6u=6 olarak güncellenir. Bu dönüşümler uygulandığında integral ∫26uf(u) du\int_2^6 u f(u) \, du haline gelir. Soruda verilen ∫26xf(x) dx=16\int_2^6 x f(x) \, dx = 16 bilgisi kullanılarak doğru sonuç 16 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadedeki (2x3+3x2+x)(2x^3 + 3x^2 + x) terimini ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
2x3+3x2+x=x(2x2+3x+1)=x(x+1)(2x+1)=(x2+x)(2x+1)2x^3 + 3x^2 + x = x(2x^2 + 3x + 1) = x(x+1)(2x+1) = (x^2+x)(2x+1) elde edilir.
Bu sayede integral içindeki ifade u=x2+xu = x^2 + x değişken değiştirmesine uygun hale getirilir.
2
u=x2+xu = x^2 + x dönüşümü uygulayarak diferansiyeli bulun.
du=(2x+1)dxdu = (2x+1)dx olur.
Değişken değiştirme yönteminde diferansiyellerin doğru eşleştirilmesi gerekir.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=22+2=6x = 2 \implies u = 2^2 + 2 = 6 bulunur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Dönüşümü integralde yerine yazın ve verilen eşitlikleri kullanarak sonucu hesaplayın.
∫12(x2+x)f(x2+x)⋅(2x+1) dx=∫26uf(u) du=16\int_1^2 (x^2+x) f(x^2+x) \cdot (2x+1) \, dx = \int_2^6 u f(u) \, du = 16 bulunur.
İntegral değişkeni yapay bir değişken olduğundan ∫26uf(u) du\int_2^6 u f(u) \, du değeri ile ∫26xf(x) dx\int_2^6 x f(x) \, dx değeri aynıdır ve 16'ya eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integrandın hem de sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 191Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x+2y = x + 2 doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 4,5 birimkaredir.
Doğru ve parabolün kesişim noktaları x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olarak bulunur. Bu aralıkta doğru parabolün üzerinde kaldığı için alan ∫−12(x+2−x2) dx\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx belirli integraliyle hesaplanır. İntegral işlemi yapıldığında sonuç 276=4,5\frac{27}{6} = 4,5 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim Noktalarının Belirlenmesi
x=−1x = -1 ve x=2x = 2
İntegralin sınırlarını oluşturacak olan kesişim noktalarını bulmak için doğru ve parabol denklemleri ortak çözülür.
2
İntegral Sınırları İçinde Üstteki Eğrinin Belirlenmesi
[−1,2][-1, 2] aralığında y=x+2y = x + 2 doğrusu üstte yer alır.
Pozitif alan değerine ulaşmak amacıyla hangi fonksiyondan hangisinin çıkarılacağını tespit etmek gerekir.
3
Belirli İntegralin Hesaplanması
4,5 birimkare
Belirlenen sınırlar dahilinde fark fonksiyonunun integrali alınarak alan değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan, kesişim noktalarının apsisleri arasında, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak hesaplanan belirli integrale eşittir.
Soru 192Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(x) dx=4\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4
∫06f(x) dx=15\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫02(4x+2)f(x2+x) dx\int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

30
İntegral içerisinde u=x2+xu = x^2+x dönüşümü yapıldığında du=(2x+1) dxdu = (2x+1) \, dx elde edilir. İntegralin başındaki 4x+24x+2 ifadesi 2(2x+1)2(2x+1) olarak yazılabildiğinden integral 2f(u) du2 f(u) \, du şekline dönüşür. Belirli integral sınırları x=0x=0 için u=0u=0 ve x=2x=2 için u=6u=6 olarak güncellenir. Böylece integral 2∫06f(u) du2 \int_{0}^{6} f(u) \, du halini alır. Soruda verilen ∫06f(x) dx=15\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15 eşitliği yerine yazıldığında doğru yanıt 30 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadeyi değişken değiştirme yöntemine uygun hale getirmek için düzenleyelim.
∫02(4x+2)f(x2+x) dx=∫022(2x+1)f(x2+x) dx\int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx = \int_{0}^{2} 2(2x+1) f(x^2+x) \, dx
x2+xx^2+x ifadesinin türevi olan 2x+12x+1 terimini belirginleştirmek için ifadeyi 2 parantezine alırız.
2
u=x2+xu = x^2+x dönüşümü uygulayalım ve her iki tarafın diferansiyelini alalım.
du=(2x+1) dx  ⟹  2 du=2(2x+1) dxdu = (2x+1) \, dx \implies 2 \, du = 2(2x+1) \, dx
İntegraldeki değişkenleri ve diferansiyel terimini yeni değişken olan uu cinsinden yazabilmek için.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyelim.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+0=0x = 0 \implies u = 0^2 + 0 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=22+2=6x = 2 \implies u = 2^2 + 2 = 6
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
4
Elde ettiğimiz yeni sınırları ve diferansiyel ifadelerini integralde yerine yazalım.
∫062f(u) du=2∫06f(u) du\int_{0}^{6} 2 f(u) \, du = 2 \int_{0}^{6} f(u) \, du
İntegrali, değeri soruda verilen bilinen integral biçimine dönüştürmek için.
5
Soruda verilen bilinen integral değerini yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
∫06f(x) dx=15  ⟹  2×15=30\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15 \implies 2 \times 15 = 30
İntegralin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisinin doğru kurulması gerekir.
Soru 193Soru →

İntegrallenebilir bir ff fonksiyonu için

∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫13[f(2x−1)−f(2x+1)] dx\int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İntegralin değeri −3-3 olmalıdır.
İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak ifade iki ayrı integrale bölünür. İlk integralde u=2x−1u = 2x - 1 ve ikinci integralde v=2x+1v = 2x + 1 değişken değiştirmeleri yapıldığında, diferansiyel terimlerinden gelen 12\frac{1}{2} katsayısı ve güncellenen sınırlar yardımıyla integral 12∫15f(u) du−12∫37f(v) dv\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u)\,du - \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v)\,dv haline gelir. Buradan 12(12)−12(18)=6−9=−3\frac{1}{2}(12) - \frac{1}{2}(18) = 6 - 9 = -3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak iki ayrı integralin farkı şeklinde yazalım.
∫13[f(2x−1)−f(2x+1)] dx=∫13f(2x−1) dx−∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx = \int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx - \int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx
Belirli integralin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayarak her bir terimi ayrı ayrı analiz etmek işlemleri kolaylaştırır.
2
İlk integral olan ∫13f(2x−1) dx\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx ifadesinde u=2x−1u = 2x - 1 değişken değiştirmesini yapalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

Sınırların güncellenmesi:
- Alt sınır: x=1  ⟹  u=2(1)−1=1x = 1 \implies u = 2(1) - 1 = 1
- Üst sınır: x=3  ⟹  u=2(3)−1=5x = 3 \implies u = 2(3) - 1 = 5

Böylece integral:
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)du2=12∫15f(u) du=12⋅12=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6
Belirli integralde de��işken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İkinci integral olan ∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx ifadesinde v=2x+1v = 2x + 1 değişken değiştirmesini yapalım.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2}

Sınırların güncellenmesi:
- Alt sınır: x=1  ⟹  v=2(1)+1=3x = 1 \implies v = 2(1) + 1 = 3
- Üst sınır: x=3  ⟹  v=2(3)+1=7x = 3 \implies v = 2(3) + 1 = 7

Böylece integral:
∫13f(2x+1) dx=∫37f(v)dv2=12∫37f(v) dv=12⋅18=9\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(v) \frac{dv}{2} = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9
İkinci terim için de değişken değiştirme kurallarını ve sınır güncellemesini aynı şekilde uygularız.
4
Elde edilen integral değerlerini ana denklemde yerine yazarak çıkarma işlemini tamamlayalım.
6−9=−36 - 9 = -3
Ayrı ayrı hesaplanan integral değerlerinin farkı, soruda istenen nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin lineerlik özelliği.
Soru 194Soru →
f(x)+f(−x)=3x2+4f(x) + f(-x) = 3x^2 + 4 eşitliğini sağlayan sürekli bir ff fonksiyonu için ∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Belirli integralin değeri 16'dır.
Verilen eşitliğin integralini alıp sol tarafta değişken değiştirme kullanarak her iki terimin de aynı integral değerini verdiğini gösteririz. Bu da bizi doğru cevap olan 16 değerine ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının [−2,2][-2, 2] aralığında belirli integralini alırız.
∫−22(f(x)+f(−x)) dx=∫−22(3x2+4) dx\int_{-2}^{2} (f(x) + f(-x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx
Eşit iki ifadenin aynı sınırlar altındaki belirli integralleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki belirli integrali hesaplarız.
∫−22(3x2+4) dx=[x3+4x]−22=(8+8)−(−8−8)=16−(−16)=32\int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx = \left[ x^3 + 4x \right]_{-2}^{2} = (8 + 8) - (-8 - 8) = 16 - (-16) = 32
Belirli integralin temel teoremini kullanarak sınır değerlerini fonksiyonda yerine yazarız.
3
∫−22f(−x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx integralinde u=−xu = -x değişken değiştirmesi uygularız.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar için; x=−2x = -2 iken u=2u = 2 ve x=2x = 2 iken u=−2u = -2 olur. Buradan ∫−22f(−x) dx=∫2−2f(u) (−du)=∫−22f(u) du=∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = \int_{2}^{-2} f(u) \, (-du) = \int_{-2}^{2} f(u) \, du = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini uu cinsinden yazıp integralin yönünü değiştirerek eksiyi yok ederiz.
4
Eşitliğin sol tarafındaki iki integralin birbirine eşit olduğunu kullanarak sonucu buluruz.
∫−22f(x) dx+∫−22f(−x) dx=2∫−22f(x) dx=32  ⟹  ∫−22f(x) dx=16\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = 2 \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 32 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 16
Elde edilen sonuçları birleştirerek aranan integralin değerini yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi özellikleri
Soru 195Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her xx gerçel sayısı için
f′(x)=x4+x2+1x2−x+1 f'(x) = \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - x + 1}
eşitliğini sağlamaktadır.
f(0)=1f(0) = 1 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 352\frac{35}{2}

Cevap

352\frac{35}{2}
Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde f′(x)=x2+x+1f'(x) = x^2 + x + 1 elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x33+x22+x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C bulunur. f(0)=1f(0) = 1 koşuluyla integral sabiti C=1C = 1 olarak belirlenir. Fonksiyonda x=3x = 3 yazıldığında f(3)=352f(3) = \frac{35}{2} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f′(x)f'(x) ifadesini sadeleştirmek için pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
f′(x)=x2+x+1f'(x) = x^2 + x + 1
x4+x2+1=(x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1)x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) özdeşliği kullanılarak payda ile sadeleştirme yapılır.
2
Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak genel f(x)f(x) fonksiyonunu elde ederiz.
f(x)=x33+x22+x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C
İntegral alma kuralları (∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C) uygulanır.
3
f(0)=1f(0) = 1 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabitini (CC) buluruz.
C=1C = 1
f(0)f(0) değeri fonksiyon ifadesinde yerine yazılarak CC yalnız bırakılır.
4
Elde edilen f(x)f(x) fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) değerini hesaplarız.
f(3)=352f(3) = \frac{35}{2}
f(3)=9+92+3+1f(3) = 9 + \frac{9}{2} + 3 + 1 işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve cebirsel sadeleştirme yardımıyla fonksiyonun kendisini elde etme.
Soru 196Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=y2−2yx = y^2 - 2y parabolü ile x=2yx = 2y doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 323\frac{32}{3}

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı \frac{32}{3} birimkaredir.
İki eğrinin kesişim noktaları olan y=0y = 0 ve y=4y = 4 ordinat değerleri arasında, sağda kalan x=2yx = 2y doğrusundan solda kalan x=y2−2yx = y^2 - 2y parabolü çıkarılarak yapılan integral hesabı sonucunda alan \frac{32}{3} birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını belirlemek için denklemleri birbirine eşitleyin.
y2−2y=2y  ⟹  y2−4y=0  ⟹  y(y−4)=0y^2 - 2y = 2y \implies y^2 - 4y = 0 \implies y(y-4) = 0 denkleminin kökleri y=0y = 0 ve y=4y = 4 olarak bulunur.
İntegralin sınırlarını belirlemek için kesim noktalarının ordinatları hesaplanmalıdır.
2
Belirlenen sınırlar dahilinde hangi eğrinin daha sağda (büyük değerde) olduğunu tespit ederek integral ifadesini kurun.
y∈[0,4]y \in [0, 4] aralığında x=2yx = 2y doğrusu daha sağda olduğundan integral ∫04(2y−(y2−2y))dy=∫04(4y−y2)dy\int_{0}^{4} (2y - (y^2 - 2y)) dy = \int_{0}^{4} (4y - y^2) dy olarak kurulur.
Alan hesabının pozitif çıkması için sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.
3
Belirli integrali hesaplayarak alan değerine ulaşın.
[2y2−y33]04=(2(4)2−433)−0=32−643=323\left[ 2y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_0^4 = \left( 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} birimkare bulunur.
Eğriler arasında kalan bölgenin alanını veren integralin sayısal değeri hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan hesabı, kesişim noktaları bulunarak belirli integral yardımıyla yapılır. Yatay dilimleme yapıldığında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak y değişkenine göre integral alınır.

Alternatif Yöntem

Pratik yol olarak, bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktaları arasındaki alan formülü olan S=∣a∣6(y2−y1)3S = \frac{|a|}{6}(y_2 - y_1)^3 kullanılabilir. Burada y2−4y=0y^2 - 4y = 0 denkleminin kökleri y1=0y_1 = 0 ve y2=4y_2 = 4'tür. a=−1a = -1 olduğundan, Alan = \frac{1}{6}(4 - 0)^3 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$ birimkare bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 197Soru →
∫0π2sin⁡(2x)⋅(sin⁡2x+1)3 dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \cdot (\sin^2 x + 1)^3 \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 154\frac{15}{4}

Cevap

İntegralin değeri 15/4 olarak bulunur.
Doğru seçenekteki değer, u=sin⁡2x+1u = \sin^2 x + 1 dönüşümü ile sınırların [1,2][1, 2] aralığına güncellenmesi ve ∫12u3 du\int_{1}^{2} u^3 \, du integralinin integral kuralları çerçevesinde hesaplanmasıyla elde edilen 154\frac{15}{4} ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme ba��ıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=sin⁡2x+1u = \sin^2 x + 1 dönüşümü yapılırsa, diferansiyel du=2sin⁡xcos⁡x dxdu = 2\sin x \cos x \, dx olur. Yarım açı formülünden 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \sin(2x) olduğu için du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki bileşke fonksiyonu basitleştirmek ve diferansiyel terimi u cinsinden ifade etmek için.
2
Belirli integralin sınırlarını u değişkenine göre güncelleme
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=sin⁡2(0)+1=1x = 0 \implies u = \sin^2(0) + 1 = 1 olur. Üst sınır için: x=π2  ⟹  u=sin⁡2(π2)+1=1+1=2x = \frac{\pi}{2} \implies u = \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2 olur.
Değişken değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Yeni sınırları ve u değişkenini integralde yerine yazıp hesaplama
∫12u3 du=[u44]12=244−144=4−14=154\int_{1}^{2} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_1^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} olarak hesaplanır.
Elde edilen u cinsinden basit integrali temel integral alma kuralları yardımıyla nihai sonuca ulaştırmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve diferansiyel hesabında zincir kuralına dikkat edilmesi.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yapıldıktan sonra belirsiz integral F(u)=u44+CF(u) = \frac{u^4}{4} + C olarak bulunur. Burada u yerine sin⁡2x+1\sin^2 x + 1 yazılarak ifade orijinal x değişkenine dönüştürülür: F(x)=(sin⁡2x+1)44+CF(x) = \frac{(\sin^2 x + 1)^4}{4} + C. Daha sonra bu fonksiyona orijinal sınırlar olan 0 ve π2\frac{\pi}{2} değerleri yazılarak [(sin⁡2(π/2)+1)44]−[(sin⁡2(0)+1)44]=164−14=154\left[\frac{(\sin^2(\pi/2) + 1)^4}{4}\right] - \left[\frac{(\sin^2(0) + 1)^4}{4}\right] = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} sonucu elde edilebilir. Ancak bu yol trigonometric terimlerin üslerini hesaplarken daha fazla işlem yükü ve hata riski barındırır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 198Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫x⋅f′(x)−2f(x)x3 dx=3x2−4x+C \int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx = 3x^2 - 4x + C
eşitliği verilmiştir.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

28
İntegral içindeki rasyonel ifade, bölümün türevi kuralından f(x)x2\frac{f(x)}{x^2} ifadesinin türevine eşittir. Eşitliğin her iki tarafının integrali alındığında veya türev-integral ilişkisi kurulduğunda f(x)x2=3x2−4x+K\frac{f(x)}{x^2} = 3x^2 - 4x + K elde edilir. Verilen f(1)=2f(1) = 2 değeri yerine yazılarak integral sabiti K=3K = 3 olarak bulunur. Buradan fonksiyon f(x)=3x4−4x3+3x2f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 3x^2 şeklinde elde edilir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında f(2)=28f(2) = 28 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki ifadenin türev kuralları açısından karşılığı belirlenir.
x⋅f′(x)−2f(x)x3=(f(x)x2)′\frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} = \left( \frac{f(x)}{x^2} \right)' olduğu fark edilir.
Bölümün türevi kuralına göre (uv)′=u′v−uv′v2\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ifadesinde u=f(x)u = f(x) ve v=x2v = x^2 seçilip sadeleştirme yapıldığında bu ifade elde edilir.
2
Belirsiz integral alma işlemi uygulanarak iki taraf arasındaki eşitlik yazılır.
f(x)x2=3x2−4x+K\frac{f(x)}{x^2} = 3x^2 - 4x + K (burada KK bir integral sabitidir) eşitliği elde edilir.
Türevi alınan bir ifadenin belirsiz integrali, o ifadenin kendisine bir sabit eklenmesiyle bulunur.
3
Verilen f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulu kullanılarak KK sabiti hesaplanır.
x=1  ⟹  f(1)12=3(1)2−4(1)+K  ⟹  2=−1+K  ⟹  K=3x = 1 \implies \frac{f(1)}{1^2} = 3(1)^2 - 4(1) + K \implies 2 = -1 + K \implies K = 3 bulunur.
Fonksiyonun kuralını tam olarak belirlemek için verilen özel nokta değeri denklemde yerine yazılır.
4
f(x)f(x) fonksiyonunun kuralı çekilir ve istenen f(2)f(2) değeri hesaplanır.
f(x)=x2(3x2−4x+3)  ⟹  f(2)=22⋅(3(2)2−4(2)+3)=4⋅(12−8+3)=28f(x) = x^2(3x^2 - 4x + 3) \implies f(2) = 2^2 \cdot (3(2)^2 - 4(2) + 3) = 4 \cdot (12 - 8 + 3) = 28 bulunur.
Bulunan genel fonksiyon kuralında bağımsız değişken yerine iki yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi ve bölümün türevi kuralı yardımıyla fonksiyonun yeniden oluşturulması
Soru 199Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6
∫06f(x) dx=18\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 18
e��itlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x) dx+∫46f(x) dx\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İstenen belirli integrallerin toplam değeri 9'dur.
Verilen ilk integralde 2x=u2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında sınırların [0,4][0, 4] aralığına güncellendiği ve integralin değerinin 12 olduğu görülür. Toplam integral tanım aralığı [0,6][0, 6] olduğundan, aralık bölme özelliğiyle [4,6][4, 6] aralığındaki integral değeri 6 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki 2x=t2x = t değişken değiştirmesiyle ilk terimin [4,6][4, 6] aralığındaki integralin yarısı (yani 3) olduğu elde edilir. Bu değer ile [4,6][4, 6] aralığındaki integralin kendisinin (yani 6) toplamı 9 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6 integralinde u=2xu = 2x değişken değiştirmesi yapılması
∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=0x = 0 için u=0u = 0 ve x=2x = 2 için u=4u = 4 olarak güncellenir. Buradan 12∫04f(u) du=6\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6 eşitliğinden ∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12 elde edilir.
2
∫06f(x) dx=∫04f(x) dx+∫46f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx özelli��inin kullanılması
∫46f(x) dx=6\int_{4}^{6} f(x) \, dx = 6
[0,6][0, 6] aralığındaki integral, bilinen [0,4][0, 4] aralığı ve bilinmeyen [4,6][4, 6] aralığı olarak ikiye bölünür. 18=12+∫46f(x) dx18 = 12 + \int_{4}^{6} f(x) \, dx eşitliğinden aranan kısım 66 bulunur.
3
∫23f(2x) dx\int_{2}^{3} f(2x) \, dx integralinde t=2xt = 2x dönüşümü yapılarak ifadenin hesaplanması
∫23f(2x) dx+∫46f(x) dx=9\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx = 9
t=2x  ⟹  dx=dt2t = 2x \implies dx = \frac{dt}{2} olur. Sınırlar x=2x = 2 için t=4t = 4 ve x=3x = 3 için t=6t = 6 olur. İntegral 12∫46f(t) dt=12⋅6=3\frac{1}{2} \int_{4}^{6} f(t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 değerini alır. Toplam ise 3+6=93 + 6 = 9 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri
Soru 200Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(2x−1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x - 1) \, dx = 3
∫12x⋅f(x2+1) dx=6\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 6
∫15f(x) dx=15\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x−1) dx\int_{2}^{3} f(2x - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

Dokuz bölü iki
Dokuz bölü iki değeri doğrudur. İlk integralde u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü yapılarak ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 ve ikinci integralde t=x2+1t = x^2 + 1 dönüşümü yapılarak ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 elde edilir. ∫15f(x) dx=15\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 15 olduğundan, aralık parçalama özelliğiyle ∫35f(x) dx=15−6=9\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 15 - 6 = 9 bulunur. Son olarak, istenen integralde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında 12∫35f(v) dv=92\frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(v) \, dv = \frac{9}{2} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12f(2x−1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x - 1) \, dx = 3 ifadesinde u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü yapılır.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar için; x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=2  ⟹  u=3x = 2 \implies u = 3 elde edilir. Böylece ∫13f(u)du2=3  ⟹  ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(u) \frac{du}{2} = 3 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 bulunur.
Verilen integral ifadesini daha basit bir formda yazmak ve integral sınırlarını değişken cinsinden belirlemek için.
2
İkinci integral olan ∫12x⋅f(x2+1) dx=6\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 6 ifadesinde t=x2+1t = x^2 + 1 dönüşümü yapılır.
dt=2x dx  ⟹  x dx=dt2dt = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{2} olur. Sınırlar için; x=1  ⟹  t=2x = 1 \implies t = 2 ve x=2  ⟹  t=5x = 2 \implies t = 5 elde edilir. Böylece ∫25f(t)dt2=6  ⟹  ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(t) \frac{dt}{2} = 6 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 bulunur.
x⋅dxx \cdot dx ifadesini dtdt cinsinden yazıp integral sınırlarını güncellemek için.
3
Elde edilen integral değerleri ve belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx hesaplanır.
∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx yazılır. Buradan 15=6+∫35f(x) dx  ⟹  ∫35f(x) dx=915 = 6 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9 bulunur.
Sınırları [3,5][3, 5] olan integralin değerini bulmak için aralık toplamsal özelliğinden yararlanılır.
4
Bizden istenen ∫23f(2x−1) dx\int_{2}^{3} f(2x - 1) \, dx integralinde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü uygulanır.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar için; x=2  ⟹  v=3x = 2 \implies v = 3 ve x=3  ⟹  v=5x = 3 \implies v = 5 elde edilir. Bu durumda istenen integral 12∫35f(v) dv=12⋅9=92\frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2} olarak hesaplanır.
İstenen integrali, değeri bilinen integral cinsine dönüştürmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
ÖncekiSayfa 10 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 10 | Examkin