Limit ve Süreklilik Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve $x = 0$ noktasında türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için $f(0) = g(0) = 0$ ve $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in \mathbb{R}$ 'dir. Buna göre, $L = \frac{f'(0)}{g'(0)}$ eşitliği her zaman sağlanır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.

Önerme yanlıştır çünkü paydanın türevinin sıfır olduğu durumlarda limit mevcut olsa bile türevler oranı tanımsız kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin her iki tarafının tanımlılık durumunu incelemek.

g'(0) = 0

olması durumunda

\frac{f'(0)}{g'(0)}

ifadesinin paydası sıfır olacağından bu oran tanımsız olur.

Bir eşitliğin her zaman sağlanması için ifadenin her iki tarafının da tanımlı olması gerekir.

2

Limitin var olduğu ancak türevler oranının tanımsız olduğu bir karşıt örnek oluşturmak.

f(x) = x^2

ve

g(x) = x^2

seçildiğinde,

x \to 0

iken limit değeri

\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1

olur.

Karşıt örnek yöntemiyle önermenin genel geçerliliğini test etmek.

3

Seçilen fonksiyonların türevlerini sıfır noktasında hesaplamak.

f'(x) = 2x \implies f'(0) = 0

ve

g'(x) = 2x \implies g'(0) = 0

olur.

Karşıt örnekteki fonksiyonların

x = 0

noktasındaki türev değerlerini belirlemek.

4

Eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek.

L = 1

iken

\frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{0}{0}

tanımsızlığı oluşur ve

1 \neq \text{tanımsız}

olduğundan eşitlik sağlanmaz.

Elde edilen değerleri önermede yerine koyarak doğruluğunu denetlemek.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir fonksiyonların limitlerinde

0/0

belirsizliği çözülürken paydanın türevinin limit noktasındaki değerinin sıfır olabilmesi durumu ve limitin türev tanımıyla ilişkisi.

Soru 42Soru →

1

ve

3

dışındaki tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f

fonksiyonu

f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{|x - 3|} + k \cdot \frac{|x - 1|}{x - 1}

biçiminde veriliyor.

\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5

olduğuna göre,

\lim_{x \to 1^-} f(x)

limitinin de��eri kaçtır?

-3

-5

3

-7

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

Limitin değeri -7'dir.

Limit x -> 3^- için x < 3 olduğundan |x-3| = -(x-3) ve x-1 > 0 olduğundan |x-1| = x-1 olur. Bu durumda limit -(x-1) + k ifadesinde x yerine 3 yazılmasıyla -2 + k = 5 olup k = 7 bulunur. Ardından x -> 1^- için x < 1 olduğundan |x-1| = -(x-1) ve |x-3| = -(x-3) olur. Limit x -> 1^- için -(x-1) - k ifadesinde x yerine 1 yazılmasıyla -k = -7 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x, 3'e soldan yaklaşırken mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleme

x < 3 olduğundan |x - 3| = -(x - 3) olur. Ayrıca x, 3'e çok yakın ama 3'ten küçük bir değer olduğundan x - 1 > 0 olur ve |x - 1| = x - 1 olarak dışarı çıkar.

Limit hesaplaması yapabilmek için mutlak değer ifadelerini dışarı çıkarmamız gerekir.

2

x, 3'e soldan yaklaşırken limit değerini hesaplayarak k sabiti değerini bulma

f(x) = (x-3)(x-1)/(-(x-3)) + k * (x-1)/(x-1) = -(x-1) + k olur. Buradan limit x -> 3^- için -(3-1) + k = -2 + k = 5 eşitliğinden k = 7 bulunur.

0/0 belirsizliğini gidermek için sadeleştirme işlemi yapıl��r ve k sabiti çözülür.

3

x, 1'e soldan yaklaşırken mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleme ve limit değerini hesaplama

x < 1 olduğundan |x - 1| = -(x - 1) ve |x - 3| = -(x - 3) olur. Fonksiyon f(x) = -(x-1) - k halini alır. x -> 1^- için limit -(1-1) - k = 0 - k = -7 bulunur.

x'in 1'e soldan yaklaştığı durumdaki mutlak değerlerin işaret analizi yapılarak nihai limit hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerin limitini hesaplarken, limit noktasına hangi yönden yaklaşıldığı tespit edilerek mutlak değer içindeki ifadelerin işaret analizi yapılır. Pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilerek 0/0 belirsizliği giderilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 43Soru →

f(x) = \begin{cases} ax - 3, & x < 4 \\ 2x + 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Süreklilik şartını sağlayan

a

değeri 4'tür.

Fonksiyonun her noktada sürekli olabilmesi için parçalandığı

x = 4

sınır değerinde de sürekli olması şarttır.

x = 4

'teki soldan limit

4a - 3

, sağdan limit ve

f(4)

değeri ise 13'tür. Bu iki değerin birbirine eşitlenmesiyle

4a - 3 = 13

denklemi elde edilir ve buradan

a = 4

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kritik noktada süreklilik şartını belirleme

\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)

olmalıdır.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.

2

x = 4

noktasındaki soldan limiti hesaplama

\lim_{x \to 4^-} (ax - 3) = 4a - 3

x < 4

için fonksiyon

ax - 3

kuralını kullanır.

3

x = 4

noktasındaki sağdan limiti ve fonksiyon değerini hesaplama

\lim_{x \to 4^+} (2x + 5) = f(4) = 13

x \geq 4

için fonksiyon

2x + 5

kuralını kullanır.

4

Elde edilen limit değerlerini eşitleyip

a

değerini çözme

4a - 3 = 13 \implies a = 4

Sürekliliğin sağlanması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarında limit ve süreklilik incelemesi

Soru 44Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + ax, & x < 1 \\ x^2 + bx + 1, & 1 \le x < 2 \\ \frac{|x^2 - 5x + 6|}{x - 2} + 3a - 2b, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun $x = 1$ ve $x = 2$ noktalarında limiti olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

12

16

20

24

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

20

Doğru seçenekte belirtilen 20 sayısı,

x=1

ve

x=2

noktalarındaki limit varlığı koşulundan elde edilen

a-b=4

ve

3a-4b=4

denklem sisteminin ortak çözümüyle bulunan

a=12

ve

b=8

değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitleri hesaplayarak eşitleyin.

x = 1 için sol limit:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + ax \right)

x \to 1^-

için

x < 1

olduğundan

x^2 - 1 < 0

olur ve ifade mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar:

\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x^2 - 1)}{x - 1} + ax = \lim_{x \to 1^-} -(x+1) + ax = -2 + a

x = 1 için sağ limit:

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + bx + 1) = 1 + b + 1 = b + 2

Limitin varlığı için bu iki limit birbirine eşit olmalıdır:

-2 + a = b + 2 \implies a - b = 4

(Denklem 1)

Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında limitin bulunması için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması kuralını uygulamak.

2

x = 2 noktasındaki sağ ve sol limitleri hesaplayarak eşitleyin.

x = 2 için sol limit:

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + bx + 1) = 4 + 2b + 1 = 2b + 5

x = 2 için sağ limit:

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left( \frac{|x^2 - 5x + 6|}{x - 2} + 3a - 2b \right)

x \to 2^+

için

x > 2

ve

x

değeri 2'ye çok yakın olduğundan

x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)

ifadesinde

x-2 > 0

ve

x-3 < 0

olur. Çarpım negatif olacağından önüne eksi alarak çıkar:

\lim_{x \to 2^+} \frac{-(x-2)(x-3)}{x - 2} + 3a - 2b = \lim_{x \to 2^+} -(x-3) + 3a - 2b = 1 + 3a - 2b

Limitin varlığı için bu iki limit birbirine eşit olmalıdır:

2b + 5 = 1 + 3a - 2b \implies 3a - 4b = 4

(Denklem 2)

Mutlak değerli ifadede 0/0 belirsizliğini gidermek için çarpanlara ayırma ve limit yönüne göre işaret incelemesi yapmak.

3

Elde edilen denklem sistemini çözerek a ve b parametrelerini bulunuz.

Denklem 1'den

a = b + 4

bağıntısını Denklem 2'de yerine yazalım:

3(b + 4) - 4b = 4

3b + 12 - 4b = 4 \implies -b = -8 \implies b = 8

b = 8

değerini yerine yazarak

a

değerini bulalım:

a = 8 + 4 = 12

Buradan istenen toplam:

a + b = 12 + 8 = 20

olarak elde edilir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek parametreleri ve bunların toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde, özellikle kritik (sınır) noktalardaki limit incelenirken sağdan ve soldan yaklaşımlar ayrı ayrı ele alınmalıdır. Mutlak değer fonksiyonunda limit alınırken limit noktasının mutlak değerin içini sıfır yapıp yapmadığı kontrol edilmeli, yaklaşılan yöne göre işaret belirlenip sadeleştirme yapılarak limit değeri hesaplanmalıdır.

Soru 45Soru →

$a < 4$ olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a^2}{x - a}, & x < a \\ \sqrt{x^2 - 6x + 24}, & a \leq x \leq 4 \\ \log_3(x^2 - 2x + k), & x > 4 \end{cases}

fonksiyonu her $x$ gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, $a + k$ toplamı kaçtır?

6

58

69

75

77

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Süreklilik şartları doğru uygulandığında a = 2 ve k = 73 bulunur. Bu değerlerin toplamı olan 75 doğru cevaptır.

Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması için

x = a

ve

x = 4

kritik noktalarında sürekli olması gerekir.

x = a

noktasında süreklilik için sol limit olan

2a

değeri ile sağ limit ve fonksiyon değeri olan

\sqrt{a^2 - 6a + 24}

değeri eşit olmalıdır. Buradan

a = 2

elde edilir (

a = -4

değeri sol limiti negatif yaptığından elenir).

x = 4

noktasında süreklilik için sol limit ve fonksiyon değeri olan

4

ile sağ limit olan

\log_3(8 + k)

eşit olmalıdır. Buradan

k = 73

elde edilir. Toplamları ise

75

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x < a

için tanımlı olan

\frac{x^2-a^2}{x-a}

ifadesini sadeleştirerek limit durumunu incelemek.

Sol limit

2a

olarak bulunur.

x \neq a

için

\frac{x^2-a^2}{x-a} = x+a

eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla

x \to a^-

için limit değeri

a+a = 2a

olur.

2

x = a

noktasındaki süreklilik şartını yazmak.

a = 2

bulunur.

Süreklilik için sol limit ile sağ limit ve o noktadaki fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Buradan

2a = \sqrt{a^2 - 6a + 24}

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için

2a \geq 0

yani

a \geq 0

olmalıdır. İki tarafın karesi alındığında

4a^2 = a^2 - 6a + 24 \Rightarrow a^2 + 2a - 8 = 0

denklemi elde edilir. Kökler

a = 2

ve

a = -4

olup,

a \geq 0

şartından dolayı

a = 2

seçilir.

3

x = 4

noktasındaki süreklilik şartını yazarak

k

parametresini bulmak.

k = 73

bulunur.

x = 4

noktasında süreklilik için sol limit ve fonksiyon değeri olan

\sqrt{4^2 - 6(4) + 24} = 4

değeri, sağ limit olan

\lim_{x \to 4^+} \log_3(x^2 - 2x + k) = \log_3(16 - 8 + k)

değerine eşit olmalıdır. Buradan

\log_3(8 + k) = 4 \Rightarrow 8 + k = 3^4 = 81 \Rightarrow k = 73

elde edilir. Bu

k

değeri için

x^2 - 2x + 73 > 0

şartı tüm

x > 4

sayıları için sağlandığından logaritma fonksiyonu tanımlıdır.

4

Bulunan

a

ve

k

değerlerini toplamak.

a + k = 2 + 73 = 75

bulunur.

Soruda istenen

a + k

toplamı bu iki parametrenin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların kritik noktalarda süreklilik tanımı, limit varlığı şartı ve tanımlı olma koşullarının analizi.

Soru 46Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = |x - 3| + \begin{cases} 2x - 1, & x < 3 \\ x^2 - a, & x \geq 3 \end{cases}

fonksiyonunun

x = 3

noktasında limitinin var olması için

a

parametresinin alması gereken değerin

4

olduğu yönündeki iddia doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen iddia doğrudur. Fonksiyonun

x = 3

noktasındaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması için

a

parametresinin

4

olması gerekir.

Verilen fonksiyonun

x=3

noktasında limitinin bulunabilmesi için sağdan limit olan

9-a

değerinin, soldan limit olan

5

değerine eşit olması zorunludur. Buradan

9-a=5 \implies a=4

elde edildiğinden iddia doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Soldan limitin hesaplanması

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (|x - 3| + 2x - 1) = |3 - 3| + 2(3) - 1 = 0 + 5 = 5

x \to 3^-

için

x < 3

olduğundan parçalı fonksiyonun ilk dalı olan

2x - 1

ifadesi kullanılır ve mutlak değerin içi sıfıra yaklaşır.

2

Sağdan limitin hesaplanması

\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (|x - 3| + x^2 - a) = |3 - 3| + 3^2 - a = 0 + 9 - a = 9 - a

x \to 3^+

için

x > 3

olduğundan parçalı fonksiyonun ikinci dalı olan

x^2 - a

ifadesi kullanılır.

3

Limitlerin eşitlenerek parametrenin bulunması

9 - a = 5 \implies a = 4

x = 3

kritik noktasında limitin var olması için sağdan ve soldan limit değerlerinin birbirine eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer fonksiyonlarının sınır (kritik) noktasındaki limit varlığının sağdan ve soldan limit eşitliği kullan��larak incelenmesi.

Soru 47Soru →

L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - \cos(2x)}{x^2}

olduğuna göre, $2L$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Hesaplanan limit değerinin iki katı olan 7'dir.

Limit ifadesi parçalandığında köklü terimlerin oluşturduğu birinci kısmın limiti eşlenik yardımıyla 3/2, trigonometrik terimlerin oluşturduğu ikinci kısmın limiti ise yarım açı formülüyle 2 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı olan L sayısı 7/2'dir. Soruda istenen 2L ifadesinin değeri ise 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Belirsizlik durumunun belirlenmesi

x \to 0

için payda

0^2 = 0

ve pay

\sqrt{1+0} - \cos(0) = 1-1 = 0

olduğundan

\frac{0}{0}

belirsizliği mevcuttur.

Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü tespit etmek gerekir.

2

Limit ifadesinin iki parçaya ayrılması

L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} + \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \right)

Buradan

L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2}

ve

L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}

olsun.

Toplamsal ifadeleri ayrı ayrı limitler halinde incelemek çözümü kolaylaştırır.

3

Eşlenik çarpımı ile birinci limitin (

L_1

) hesaplanması

L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1)(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}

L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{x\sin(3x)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}

L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1}

L_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır ve

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a

kuralı kullanılır.

4

Trigonometrik yarım açı formülü ile ikinci limitin (

L_2

) hesaplanması

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \implies 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)

L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} = 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2

Trigonometrik belirsizliklerde yarım açı dönüşümü yapılarak

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1

kuralı uygulanır.

5

L ve 2L değerlerinin elde edilmesi

L = L_1 + L_2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}

Buradan,

2L = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7

bulunur.

İki ayrı parçadan elde edilen limit değerleri toplanarak L değeri ve ardından sorulan 2L değeri bulunur.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda köklü ifadeler için eşlenik çarpımı ve trigonometrik ifadeler için yarım açı formülleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.

Soru 48Soru →

f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - x - 6}

fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{3\}

\{-2\}

\{-2, 3\}

\{-3, 2\}

\mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{-2, 3\}

Cevap

\{-2, 3\} kümesi

Doğru cevap

\{-2, 3\}

kümesidir. Fonksiyonun paydasını sıfır yapan

x = 3

ve

x = -2

değerleri için fonksiyon tanımsızdır. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması zorunludur. Dolayısıyla fonksiyon bu iki noktada süreksizdir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonu tanımsız yapan değerleri bulmak amacıyla paydayı sıfır yapan denklemi kurarız.

x^2 - x - 6 = 0

denklemi elde edilir.

Rasyonel fonksiyonlar paydalarının sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve tanımlı olmadıkları noktalarda sürekli olamazlar.

2

Paydadaki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri buluruz.

x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0

denklemi üzerinden kökler

x = 3

ve

x = -2

olarak elde edilir.

İkinci dereceden denklemlerin kökleri çarpanlarına ayırma yöntemi ile kolayca belirlenebilir.

3

Pay ve paydadaki ortak terimlerin sadeleşmesinin sürekliliğe etkisini analiz ederiz.

f(x) = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)}

fonksiyonunda

x = -2

için

\frac{0}{0}

belirsizliği olu��sa da fonksiyon bu noktada tanımsız kalır. Sadeleştirme yapılması tanımsızlığı ortadan kaldırmaz. Dolayısıyla fonksiyon hem

x = 3

hem de

x = -2

noktalarında süreksizdir. Süreksiz noktaların kümesi

\{-2, 3\}

olur.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için ilk koşul o noktada tanımlı olmasıdır.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, fonksiyonu tanımsız yapan (paydayı sıfır yapan) değerlerdir. Pay ve paydadaki ortak çarpanların sadeleşmesi, bu noktadaki süreksizliği ortadan kaldırmaz; grafik üzerinde o noktada bir delik (hole) oluşmasına yol açar.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 49Soru →

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x - 3} + ax, & x < 3 \\ x^2 - 2ax + a^2 - 1, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonunun $x = 3$ noktasında limiti vardır.

Buna göre, $a$ gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

a

gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 9'dur.

Fonksiyonun

x = 3

noktasında limitinin olması için soldan limiti olan

3a - 6

ile sağdan limiti olan

a^2 - 6a + 8

değerleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen

a^2 - 9a + 14 = 0

denkleminin kökleri

2

ve

7

olup, bu değerlerin toplamı

9

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Limit varlığı şartını belirleme

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x)

olmalıdır.

Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.

2

Soldan limiti hesaplama ve mutlak değer analizi

\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3a - 6

x \to 3^-

için

x < 3

olduğundan

x^2 - 9 < 0

olur. Dolayısıyla

|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3)

olarak dışarı çıkar ve paydadaki

x-3

terimi ile sadeleşir.

3

Sağdan limiti hesaplama

\lim_{x \to 3^+} f(x) = a^2 - 6a + 8

x \to 3^+

için

x \ge 3

aralığındaki

x^2 - 2ax + a^2 - 1

kuralı kullanılır ve

x

yerine 3 yazılır.

4

Limit eşitliğini kurma ve ikinci dereceden denklemi çözme

a^2 - 9a + 14 = 0 \implies (a - 2)(a - 7) = 0 \implies a = 2

veya

a = 7

Sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenerek

a

parametresine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.

5

Değerlerin toplamını bulma

2 + 7 = 9

a

'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin incelenmesi, mutlak değer içerisindeki ifadenin işaret analizi ve sadeleştirme yöntemleri.

Soru 50Soru →

Gerçel katsayılı üçüncü dereceden bir

P(x)

polinomu için,

\lim_{x \to 1} \frac{P(x)}{x^2 - 1} = -12

\lim_{x \to 3} \frac{P(x)}{x^2 - 9} = -4

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\lim_{x \to 2} \frac{P(x)}{x^2 - 4}

limitinin değeri kaçtır?

-3

12

3

\frac{3}{2}

-6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

Limit değeri 3'tür.

Verilen limitlerin gerçel sayı olması için paydaları sıfır yapan

x=1

ve

x=3

değerlerinin

P(x)

polinomunun kökleri olması gerekir. İstenen limitin varlığı da

x=2

değerinin polinomun bir diğer kökü olmasını gerektirir. Bu bilgilerle yazılan

P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3)

polinomunun baş katsayısı

k = -12

olarak bulunur. Son limitte belirsizlik giderilerek

x = 2

değeri yerine yazıldığında sonuç 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen limitlerin paydalarının sıfıra yaklaşma durumunu incelemek.

x \to 1

için

x^2 - 1 \to 0

ve

x \to 3

için

x^2 - 9 \to 0

olur.

Limit değerlerinin gerçel sayı olması için paylar da sıfıra gitmelidir, yani

P(1) = 0

ve

P(3) = 0

olmalıdır.

2

İstenen limitin varlık koşulunu belirlemek.

x \to 2

için payda

x^2 - 4 \to 0

olduğundan limitin var olması için

P(2) = 0

olmalıdır.

0/0 belirsizliği oluşmalıdır ki sadeleşme sonucu limit bir gerçel sayıya eşit olabilsin.

3

Polinomun genel denklemini yazmak.

P(x)

üçüncü dereceden bir polinom ve kökleri 1, 2, 3 olduğundan

P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3)

olur.

Polinomun kökleri bilindiğinde çarpanları cinsinden ifade edilebilir.

4

Birinci limit eşitliğini kullanarak

k

baş katsayısını bulmak.

\lim_{x \to 1} \frac{k(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)} = \frac{k(-1)(-2)}{2} = k = -12

elde edilir.

x-1

çarpanları sadeleşir ve belirsizlik giderilerek limit değeri hesaplanır.

5

İstenen limit değerini hesaplamak.

\lim_{x \to 2} \frac{-12(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{-12(x-1)(x-3)}{x+2} = \frac{-12(1)(-1)}{4} = 3

bulunur.

x-2

çarpanları sadeleştirildikten sonra

x = 2

değeri yerine yazılarak limit hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarda 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilmesi.

Alternatif Yöntem

Polinomun

P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3)

formunda olduğunu belirledikten sonra L'Hôpital kuralı kullanılarak da limit değerleri hesaplanabilir. Örneğin,

\lim_{x \to 1} \frac{P'(x)}{2x} = -12

eşitliğinden türev yardımıyla da sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 51Soru →

f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + ax^2 + bx + c}{x^{2n} + 1}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

f(2) + f(0) = 5

olduğuna göre, $a^2 + b^2 + c^2$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Bulunan parametre değerleri

a = -3

,

b = 1

ve

c = 3

olup, bunların kareleri toplamı olan

a^2 + b^2 + c^2 = 19

sayısıdır.

Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için

x=1

ve

x=-1

kritik noktalarında limitlerinin var ve fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Bu şartlar sağlandığında parametreler

a=-3

,

b=1

,

c=3

olarak bulunur ve karelerinin toplamı 19 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun farklı aralıklardaki limit davranışını analiz etme.

|x| > 1

için

f(x) = x

ve

|x| < 1

için

f(x) = ax^2 + bx + c

elde edilir.

n \to \infty

iken,

|x| < 1

durumunda

x^{2n} \to 0

olur;

|x| > 1

durumunda ise

x^{2n} \to \infty

olduğundan pay ve payda

x^{2n}

ifadesine bölünerek limit hesaplanır.

2

f(2) + f(0) = 5

eşitliğini kullanarak

c

değerini bulma.

c = 3

olarak bulunur.

2 \in (1, \infty)

olduğundan

f(2) = 2

olur.

0 \in (-1, 1)

olduğundan

f(0) = c

olur.

2 + c = 5 \implies c = 3

elde edilir.

3

x = 1

noktasındaki sürekliliği inceleme.

a + b + c = 1

denklemi elde edilir.

f

fonksiyonu

x = 1

noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (

\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1

) ile sol limit (

\lim_{x \to 1^-} f(x) = a+b+c

) eşit olmalıdır.

4

x = -1

noktasındaki sürekliliği inceleme.

a - b + c = -1

denklemi elde edilir.

f

fonksiyonu

x = -1

noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (

\lim_{x \to -1^+} f(x) = a-b+c

) ile sol limit (

\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1

) eşit olmalıdır.

5

Denklem sistemini çözme ve kareler toplamını hesaplama.

a = -3

,

b = 1

ve

a^2 + b^2 + c^2 = 19

bulunur.

a+b+c=1

ve

a-b+c=-1

denklemlerinden

2b=2 \implies b=1

bulunur.

c=3

yerine yaz��ldığında

a = -3

elde edilir. Buradan kareler toplamı

(-3)^2 + 1^2 + 3^2 = 19

olur.

Anahtar Kavram

Limit yardımıyla tanımlanan fonksiyonların sürekliliği ve kritik noktalarda süreklilik şartı.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 52Soru →

f(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}

fonksiyonu

x = 5

noktasında süreklidir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Fonksiyon

x = 5

noktasında tanımlı olmadığından bu noktada sürekli değildir.

Verilen ifade yanlıştır çünkü bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması gerekir. Fonksiyonun paydası

x = 5

için sıfır olduğundan fonksiyon bu noktada tanımsızdır ve dolayısıyla sürekli olamaz.

Adım Adım Çözüm

1

x = 5

noktasında fonksiyonun tanımlı olup olmadığını kontrol edin.

f(5) = \frac{5^2 - 25}{5 - 5} = \frac{0}{0}

ifadesi elde edilir. Payda sıfır olduğundan fonksiyon

x = 5

noktasında tanımsızdır.

Süreklilik tanımına göre bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması şarttır.

2

Bulunan tanım durumuna göre sürekliliği değerlendirin.

Fonksiyon

x = 5

noktasında tanımlı olmadığından, bu noktada sürekli olması mümkün değildir.

Bir noktada tanımlı olmayan bir fonksiyonun sürekliliğinden bahsedilemez.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve bu limit değerinin o noktadaki fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Paydayı sıfır yapan noktalar tanım kümesine dahil edilmediği için bu noktalarda süreklilik sağlanamaz.

Soru 53Soru →

a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - ax^2 - 4x + 4a}{x^2 - (a+2)x + 2a}, & x < 2 \\ b, & x = 2 \\ \frac{6\sqrt{x^2 + 5} - 18}{x - 2}, & x > 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu tüm gerçel sayılarda süreklidir.

Buna göre, $a$ parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, 2]

(2, \infty)

[2, \infty)

\mathbb{R} \setminus \{2\}

\mathbb{R}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2, \infty)$

Cevap

[2, \infty)

aralığıdır.

Doğru cevap

[2, \infty)

aralığıdır. Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için

x < 2

aralığında paydayı sıfır yapan herhangi bir değer bulunmamalıdır. Sol kısımdaki rasyonel ifadenin paydası

x = 2

ve

x = a

noktalarında sıfır olmaktadır.

x = 2

noktası

x < 2

aralığına dahil olmadığından tanımsızlık yaratmaz. Ancak

x = a

kökü eğer

2

'den küçük olursa (

a < 2

), bu nokta tanım kümesinde yer alacak ve fonksiyon o noktada tanımsız (dolayısıyla süreksiz) olacaktır. Sadeleştirme yapılabilmesi limitin var olmasını sağlasa da, fonksiyonun o noktada tanımlı olmasını sağlamaz. Bu nedenle

a

parametresi

2

'den küçük olamaz, yani

a \ge 2

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk olarak fonksiyonun

x = 2

noktasındaki süreklilik şartını inceleyelim.

Sağ limit

\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4

ve sol limit

\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4

olmalıdır. Buradan

f(2) = b = 4

elde edilir.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.

2

x < 2

için tanımlı rasyonel ifadenin pay ve paydasını çarpanlarına ayıralım.

Pay:

x^3 - ax^2 - 4x + 4a = (x-2)(x+2)(x-a)

, Payda:

x^2 - (a+2)x + 2a = (x-2)(x-a)

olarak bulunur.

Süreksizlik yaratabilecek noktaları belirlemek amacıyla rasyonel ifadenin köklerini bulmamız gerekir.

3

Çarpanlarına ayrılmış rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerleri bulalım ve süreklilik şartıyla ilişkilendirelim.

Paydanın kökleri

x = 2

ve

x = a

'dır.

x = 2

noktası

x < 2

aralığında yer almadığı için bu aralıkta süreksizlik yaratmaz. Ancak

x = a

noktası eğer

x < 2

aralığında olursa (

a < 2

), fonksiyon bu noktada tanımlı olmayacağından süreksiz olur.

Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olabilmesi için,

x < 2

aralığında paydayı sıfır yapan herhangi bir değer bulunmamalıdır. Sadeleşen çarpanlar limit varlığını sağlasa da fonksiyonun tanımlı olmasını engeller.

4

Bu koşul altında

a

parametresinin alabileceği değerler kümesini belirleyelim.

a \ge 2

olmalıdır. Böylece en geniş değer aralığı

[2, \infty)

olarak bulunur.

Eğer

a \ge 2

ise, paydanın

x = a

kökü

x < 2

aralığına düşmez ve bu aralıkta süreksizlik noktası oluşmaz.

Anahtar Kavram

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

x < 2

aralığında yer alan rasyonel ifadenin payda köklerinin kümesi olan

\{2, a\}

incelendiğinde,

x = 2

kökünün bu aralıkta olmadığı görülür. Diğer kök olan

x = a

ise ancak

a \ge 2

koşulunu sağladığında

x < 2

aralığının dışına düşer ve bu aralıkta bir süreksizlik noktası oluşturmaz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 54Soru →

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}}{x^2}

ifadesinin değeri

\frac{3}{2}

'dir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Verilen limitin değeri 3/2'dir.

Verilen limit ifadesinde eşlenik çarpımı ve yarım açı formülleri doğru bir şekilde uygulandığında belirsizlik giderilmekte ve limit değeri 3/2 olarak elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Belirsizlik durumunun belirlenmesi

Limit ifadesinde

x = 0

yazıldığında

\frac{0}{0}

belirsizliği elde edilir.

Limitte doğrudan yerine yazma yöntemi belirsizlik türünü tespit etmek için uygulanır.

2

Payın eşlenik yardımıyla rasyonelleştirilmesi

Pay ve payda

1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}

ile çarpılarak limit ifadesi

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2(x)\cos(2x)}{x^2(1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)})}

şekline dönüştürülür.

Kareköklü ifadelerin oluşturduğu belirsizlikleri gidermek için eşlenik çarpımı kullanılır.

3

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla payın sadeleştirilmesi

\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1

dönüşümüyle pay ifadesi

1 - 2\cos^4(x) + \cos^2(x) = (1 - \cos^2(x))(1 + 2\cos^2(x)) = \sin^2(x)(1 + 2\cos^2(x))

olur.

Belirsizliğe neden olan çarpanları ortaya çıkarmak için yarım açı ve temel özdeşlikler uygulanır.

4

Limit değerinin hesaplanması

\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1 + 2\cos^2(x)}{1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

elde edilir.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1

temel limit özelliği ve sürekli fonksiyonların limit özellikleri kullanılır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliğinde eşlenik çarpımı ve trigonometrik yarım açı formülleri kullanarak belirsizliğin giderilmesi.

Soru 55Soru →

a

ve

b

gerçel sayılar olmak üzere,

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a\cos x + b} - 2}{x^2} = 1

eşitliği sağlanmaktad��r.

Buna göre, $b - a$ farkı kaçtır?

-20

-12

-4

12

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İstenen

b - a

farkının değeri

20

olarak bulunur.

Limit ifadesinde

0/0

belirsizliği kullanılarak

a + b = 4

bulunur. Payın eşleniği ile genişletilmesi ve

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}

limitinin uygulanmasıyla limit değeri

-\frac{a}{8}

olarak hesaplanır. Limit 1'e eşit olduğundan

a = -8

ve

b = 12

elde edilir. Bu değerlerle fark

12 - (-8) = 20

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Paydanın sıfıra yaklaşması ve limitin bir gerçel sayı olması durumunu inceleme.

x \to 0

iken payda sıfıra gittiğinden, limitin var olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerekir. Buradan

\sqrt{a\cos(0) + b} - 2 = 0 \implies \sqrt{a + b} = 2 \implies a + b = 4

elde edilir.

Belirsizlik durumu (

0/0

) oluşmadığı sürece paydanın sıfır olduğu durumda limit bir gerçel sayı olamaz.

2

Köklü ifadedeki belirsizliği gidermek için payı eşleniği ile çarpıp bölme.

\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{a\cos x + b} - 2)(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a\cos x + b - 4}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}

a + b = 4 \implies b - 4 = -a

eşitliği kullanılarak pay kısmı

a(\cos x - 1)

olarak yazılır.

Kareköklü limitlerde

0/0

belirsizliğini gidermek için eşlenik ile çarpma yöntemi uygulanır.

3

Trigonometrik limit özelliklerini kullanarak limit değerini hesaplama.

\lim_{x \to 0} \frac{a(\cos x - 1)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{a\cos x + b} + 2}

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}

ve paydadaki köklü kısım

2 + 2 = 4

değerine gittiğinden limit:

-\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} = -\frac{a}{8}

olarak bulunur.

Yarım açı formülleri veya temel limit kuralları ile belirsizlik çözülür.

4

Limit değerini 1'e eşitleyerek a ve b parametrelerini çözüp istenen farkı bulma.

-\frac{a}{8} = 1 \implies a = -8

bulunur. Buradan

a + b = 4 \implies -8 + b = 4 \implies b = 12

elde edilir. Sonuç olarak

b - a = 12 - (-8) = 20

bulunur.

Bulunan limit ifadesi verilen gerçek limit değerine eşitlenerek parametreler elde edilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumlarında eşlenik çarpımı ve trigonometrik limit yardımıyla belirsizliğin giderilmesi.

Soru 56Soru →

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $f$ fonksiyonu $x < 2$ için

f(x) = \frac{|x^2 - 2x|}{x - 2} + a

ve $x \ge 2$ için

f(x) = 2x - b

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında limiti olduğuna göre, $a + b$ toplamının değeri kaçtır?

8

2

4

6

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Doğru seçenekteki 6 değeri, sol limit ve sağ limitin birbirine eşitlenmesiyle bulunur.

x \to 2^-

yaklaşımında

x < 2

olduğundan

x^2 - 2x < 0

olur ve mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar. Sadeleştirme yapıldığında sol limit

-2 + a

olur.

x \to 2^+

yaklaşımında ise limit

4 - b

bulunur. Eşitlikten

a + b = 6

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x = 2

noktasındaki sol limiti bulmak için

x < 2

durumunu inceleme ve mutlak değerin işaretini belirleme.

x \to 2^-

için

x < 2

olduğundan

x^2 - 2x = x(x-2) < 0

olur. Bu durumda

|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x)

olarak dışarı çıkar.

Kritik noktaya soldan yaklaşırken mutlak değerin içinin işaretine göre ifadeyi sadeleştirmek gerekir.

2

Sol limit değerini hesaplama.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{-x(x-2)}{x-2} + a\right) = \lim_{x \to 2^-} (-x + a) = -2 + a

Belirsizliğe neden olan

x-2

çarpanlarını sadeleştirdikten sonra

x

yerine 2 yazarak sol limiti buluruz.

3

x = 2

noktasındaki sağ limiti bulmak için

x \ge 2

durumunu inceleme.

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - b) = 2(2) - b = 4 - b

Sağdan yaklaşırken

x \ge 2

aralığı için tanımlı olan

2x - b

kuralı kullanılır.

4

Limitin var olması için sağ ve sol limitleri birbirine eşitleme.

-2 + a = 4 - b \implies a + b = 6

Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Par��alı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinin bulunması, kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi yapılması.

Soru 57Soru →

a

ve

b

gerçel sayılar olmak üzere,

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 2x} = b

eşitliği sağlandığına göre,

a \cdot b = \frac{5}{6}

'dır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Doğru çarpım değeri

a \cdot b = \frac{5}{3}

olmalıdır.

Limitin sıfırdan farklı bir

b

gerçel sayısına eşit olması için payın da sıfır olması gerektiğinden

a = 5

bulunur. Eşlenik çarpımı yapılarak belirsizlik çözüldüğünde

b = \frac{1}{3}

elde edilir. Dolayısıyla

a \cdot b = \frac{5}{3}

olmalıdır. Bu nedenle önerme yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Paydanın limitini inceleyerek belirsizlik türünü tespit etmek.

x \to 2

için payda olan

x^2 - 2x

ifadesinin limiti

2^2 - 2(2) = 0

olur. Limitin bir gerçel sayıya eşit olması için payın limiti de sıfır olmalı ve

0/0

belirsizliği oluşmalıdır.

Payda sıfıra yaklaşırken pay sıfırdan farklı bir sayıya yaklaşırsa limit tanımsız olur.

2

Payın limitini sıfıra eşitleyerek

a

parametresini bulmak.

\lim_{x \to 2} (\sqrt{x^2 + a} - 3) = 0 \implies \sqrt{4 + a} - 3 = 0 \implies 4 + a = 9 \implies a = 5

bulunur.

Kareköklü ifade

x = 2

noktasında tanımlı ve sürekli olduğundan limiti doğrudan fonksiyon değerine eşittir.

3

a

değerini yerine yazıp limit belirsizliğini eşlenik yardımıyla çözmek ve

b

değerini bulmak.

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \frac{2 + 2}{2(\sqrt{9} + 3)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

elde edilir. Buradan

b = \frac{1}{3}

bulunur.

0/0

belirsizliğini gidermek için payı eşleniğiyle çarparak belirsizliğe neden olan

(x - 2)

çarpanı sadeleştirilir.

4

a \cdot b

çarpımını hesaplayarak ifadenin doğruluğunu kontrol etmek.

a \cdot b = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}

olarak bulunur. İfadede verilen

\frac{5}{6}

değeri yanlış olduğundan önerme yanlıştır.

Elde edilen gerçek limit değeri ile ifadedeki değer uyuşmamaktadır.

Anahtar Kavram

Sıfır bölü sıfır belirsizliğinde eşlenik çarpımı ile belirsizliğin giderilmesi ve parametre hesabı

Soru 58Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanıml��

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3}, & x < 3 \\ x^2 - 2x - a, & x \ge 3 \end{cases}

fonksiyonunun

x = 3

noktasında limitinin var olması için

a

gerçel sayısının değeri

5

olmalıdır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen fonksiyonun

x = 3

noktasında limitinin var olması için

a

gerçel sayısının değeri

5

olmalıdır ifadesi doğrudur.

Verilen parçalı fonksiyonun kritik noktası olan

x = 3

noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin eşitlenmesi sonucunda

a = 5

değeri elde edilir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

x = 3

noktasındaki soldan limitin hesaplanması için mutlak değerli ifadenin işaretinin incelenmesi

x < 3

için

x^2 - 4x + 3 < 0

olduğundan

|x^2 - 4x + 3| = -(x-3)(x-1)

olur.

Soldan yaklaşırken

x

değerleri 3'ten küçük olduğu için çarpanların işaretlerini belirleyerek mutlak değer dışına nasıl çıkacağını bulmak gerekir.

2

Soldan limit değerinin bulunması

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} -(x-1) = -2

Pay ve paydadaki

(x-3)

sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve limit değeri hesaplanır.

3

Sağdan limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi

\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3 - a

ve soldan limit ile eşitlenirse

3 - a = -2 \implies a = 5

bulunur.

Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limit incelemesinde sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ile mutlak değerin işaret analizinin yapılması.

Soru 59Soru →

$a$ ve $b$ birer gerçel sayı olmak üzere,

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a + x \sin(3x)} - \sqrt{a - x \sin(3x)}}{\cos(2x) - 1} = b

eşitliği veriliyor.

$b < 0$ olduğuna göre, $a \cdot b^2$ çarpımının değeri kaçtır?

\frac{9}{16}

\frac{3}{4}

\frac{9}{4}

4

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{4}$

Cevap

9/4 değeri

Limit hesaplandığında

b = -\frac{3}{2\sqrt{a}}

bulunur. Buradan

\sqrt{a} = -\frac{3}{2b}

ve her iki tarafın karesi alınarak

a \cdot b^2 = \frac{9}{4}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Belirsizlik durumunu tespit etme

x \to 0

için pay

\sqrt{a} - \sqrt{a} = 0

ve payda

\cos(0) - 1 = 0

olup

\frac{0}{0}

belirsizliği vardır.

Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü belirlemek gerekir.

2

Payın eşleniği ile çarpma işlemi

İfadenin pay ve paydası

\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)}

ile çarpıldığında pay kısmı

(a + x\sin(3x)) - (a - x\sin(3x)) = 2x\sin(3x)

olur.

Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır.

3

Paydadaki trigonometrik ifadeyi yarım açı formülü ile yazma

Paydadaki

\cos(2x) - 1

ifadesi yerine

-2\sin^2(x)

yazılır.

Limit sadeleştirmesi yapabilmek için paydadaki ifadeyi

\sin(x)

cinsinden ifade etmek gerekir.

4

Limiti çarpanlarına ayırarak hesaplama

Limit

\lim_{x \to 0} \left[ \frac{x}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} \cdot \frac{2}{-2(\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)})} \right]

şeklinde yazılır.

x \to 0

için limit değerleri sırasıyla

1

,

3

ve

-\frac{1}{2\sqrt{a}}

olup çarpımları

b = -\frac{3}{2\sqrt{a}}

olur.

Bilinen

\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1

limit özelliğini kullanabilmek için ifade düzenlenir.

5

İstenen çarpım değerini bulma

b = -\frac{3}{2\sqrt{a}} \implies \sqrt{a} = -\frac{3}{2b} \implies a = \frac{9}{4b^2} \implies a \cdot b^2 = \frac{9}{4}

bulunur.

Elde edilen limit eşitliğinden yararlanılarak

a \cdot b^2

değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak limit hesabı

Soru 60Soru →

$a$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax}{|x - a|}, & x < a \\ 2x - a^2, & x \ge a \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun $x = a$ noktasında limiti olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşitliğinden elde edilen pozitif gerçel sayı değeri 3'tür.

Fonksiyonun x = a noktasında limitinin olması için sol limit (-a) ile sağ limit (2a - a^2) eşit olmalıdır. Buradan a^2 - 3a = 0 elde edilir. a pozitif olduğundan a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Limitin varlık koşulunu hatırlayarak sol limiti belirlemek için yaklaşım yönünü incelemek.

x, a'ya soldan yaklaşırken (x < a) x - a < 0 olur.

Sol limit hesaplanırken kritik noktanın solundaki değerler temel alınır.

2

Mutlak değerli ifadenin işaretini belirleyip belirsizliği gidermek.

|x - a| = -(x - a) olduğundan, sol limit değeri \lim_{x \to a^-} \frac{x(x-a)}{-(x-a)} = \lim_{x \to a^-} (-x) = -a olarak bulunur.

Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için mutlak değer işareti dışına çıkarma kuralları uygulanır.

3

Sağ limiti hesaplamak.

\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (2x - a^2) = 2a - a^2 olarak bulunur.

Sağdan yaklaşırken x >= a aralığındaki fonksiyon kuralı kullanılır.

4

Limitin var olması için sağ ve sol limitleri eşitlemek ve oluşan denklemi çözmek.

-a = 2a - a^2 \implies a^2 - 3a = 0 \implies a(a - 3) = 0 denklemi elde edilir.

Bir noktada limitin olması için sağ ve sol limitler birbirine eşit olmalıdır.

5

Soruda verilen a'nın pozitif gerçel sayı olması koşulunu uygulamak.

a > 0 olduğundan a = 3 olarak bulunur.

a = 0 değeri pozitiflik koşulunu sağlamaz.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde sağ ve sol limitlerin eşitliği ve mutlak değerin işaret analizi.

Limit ve Süreklilik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap