Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 121Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları tanımlanmıştır. y=g(x)y = g(x) fonksiyonunun grafiğine x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=2x+7y = 2x + 7 olarak verilmektedir.

f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x)
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x))

olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4
Doğru cevap olan −4-4 değeri, y=g(x)y = g(x) fonksiyonuna çizilen teğet doğrusunun eğiminden g′(−2)=2g'(-2) = 2 ve temas noktasından g(−2)=3g(-2) = 3 değerleri elde edildikten sonra, f(x)f(x) ve h(x)h(x) fonksiyonlarının türevlerinin zincir kuralına uygun şekilde alınması ve elde edilen değerlerin yerine konulmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminden g(−2)g(-2) ve g′(−2)g'(-2) değerlerini elde etme.
g(−2)=3g(-2) = 3 ve g′(−2)=2g'(-2) = 2
y=g(x)y = g(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu y=2x+7y = 2x + 7 olduğundan, bu noktanın ordinatı doğrunun denklemini sağlar: g(−2)=2(−2)+7=3g(-2) = 2(-2) + 7 = 3. Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan g′(−2)=2g'(-2) = 2 bulunur.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak f(2)f(2), f′(2)f'(2) ve f′(1)f'(1) değerlerini hesaplama.
f(2)=3f(2) = 3, f′(2)=2f'(2) = 2 ve f′(1)=−2f'(1) = -2
f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x) için x=2x = 2 yazıldığında f(2)=g(22−3(2))=g(−2)=3f(2) = g(2^2 - 3(2)) = g(-2) = 3 olur. Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre f′(x)=g′(x2−3x)⋅(2x−3)f'(x) = g'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) elde edilir. x=2x = 2 için f′(2)=g′(−2)⋅(2(2)−3)=2⋅1=2f'(2) = g'(-2) \cdot (2(2) - 3) = 2 \cdot 1 = 2 ve x=1x = 1 için f′(1)=g′(−2)⋅(2(1)−3)=2⋅(−1)=−2f'(1) = g'(-2) \cdot (2(1) - 3) = 2 \cdot (-1) = -2 hesaplanır.
3
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x)) fonksiyonunun türevini alıp x=2x = 2 değerini yerine yazma.
h′(2)=−4h'(2) = -4
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x)) ifadesinde zincir kuralı uygulanırsa, türev h′(x)=f′(x2−f(x))⋅(2x−f′(x))h'(x) = f'(x^2 - f(x)) \cdot (2x - f'(x)) olarak bulunur. x=2x = 2 yazıldığında h′(2)=f′(4−f(2))⋅(4−f′(2))h'(2) = f'(4 - f(2)) \cdot (4 - f'(2)) elde edilir. Önceki adımlarda bulunan değerler yerine yazıldığında h′(2)=f′(4−3)⋅(4−2)=f′(1)⋅2=−2⋅2=−4h'(2) = f'(4 - 3) \cdot (4 - 2) = f'(1) \cdot 2 = -2 \cdot 2 = -4 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Alternatif Yöntem

Zincir kuralını daha net görmek için değişken değiştirmesi yapılabilir. Örneğin, u=x2−f(x)u = x^2 - f(x) denilirse h(x)=f(u)h(x) = f(u) olur. Buradan türev alındığında h′(x)=dfdu⋅dudx=f′(u)⋅(2x−f′(x))h'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot (2x - f'(x)) elde edilir. Benzer şekilde f(x)=g(t)f(x) = g(t) ve t=x2−3xt = x^2 - 3x tanımlamaları ile türev adımları daha izole ve hatasız bir şekilde sürdürülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 122Soru →

Türevlenebilir bir gg fonksiyonu için g(2)=3g(2) = 3 ve f(x)=x2−3x+4f(x) = x^2 - 3x + 4 olmak üzere,

lim⁡x→2f(x)g(x)−6x−2=11 \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - 6}{x - 2} = 11

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

lim⁡h→0g(2+3h)−g(2−5h)h \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Verilen limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisi kurularak çarpımın türevi yardımıyla g′(2)=4g'(2) = 4 bulunur. İstenen limit düzenlendiğinde 8g′(2)8g'(2) değerine eşit olduğundan sonuç 32'dir.
Limit tanımı gereği, lim⁡x→2f(x)g(x)−f(2)g(2)x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2} ifadesi (f⋅g)′(2)(f \cdot g)'(2) türev değerini verir. Buradan elde edilen denklem çözülerek g′(2)=4g'(2) = 4 bulunur. İstenen limit ifadesi h→0h \to 0 için 8g′(2)8g'(2) olarak sadeleşir. 8⋅48 \cdot 4 işlemiyle doğru cevap 3232 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(2)f(2) değerini hesaplama ve limitin türev tanımıyla ilişkisini kurma
f(2)=22−3(2)+4=2f(2) = 2^2 - 3(2) + 4 = 2 olup f(2)g(2)=2⋅3=6f(2)g(2) = 2 \cdot 3 = 6 elde edilir. Bu durumda verilen limit, h(x)=f(x)g(x)h(x) = f(x)g(x) çarpım fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türev tanımıdır:

h′(2)=lim⁡x→2f(x)g(x)−f(2)g(2)x−2=11 h'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2} = 11
Verilen limitin 0/00/0 belirsizliği içerdiğini görmek ve limit tanımını çarpım fonksiyonunun türevi cinsinden yazmak için.
2
Çarpımın türevi kuralını uygulayarak g′(2)g'(2) değerini elde etme
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) olduğundan h′(2)=f′(2)g(2)+f(2)g′(2)=11h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 11 olur.

f′(x)=2x−3  ⟹  f′(2)=1f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 1 değerini yerine yazarsak:

1⋅3+2⋅g′(2)=11  ⟹  2g′(2)=8  ⟹  g′(2)=4 1 \cdot 3 + 2 \cdot g'(2) = 11 \implies 2g'(2) = 8 \implies g'(2) = 4 bulunur.
g′(2)g'(2) değerine ulaşmak için ��arpımın türevi formülünden yararlanmak gerekir.
3
İstenen limit ifadesini düzenleme
lim⁡h→0g(2+3h)−g(2−5h)h=lim⁡h→0g(2+3h)−g(2)−(g(2−5h)−g(2))h \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2) - (g(2 - 5h) - g(2))}{h}

=3⋅lim⁡h→0g(2+3h)−g(2)3h−(−5)⋅lim⁡h→0g(2−5h)−g(2)−5h = 3 \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2)}{3h} - (-5) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 - 5h) - g(2)}{-5h}

=3g′(2)+5g′(2)=8g′(2) = 3g'(2) + 5g'(2) = 8g'(2)
Limit ifadesini türevin limit tanımına benzeterek sadeleştirmek için.
4
Nihai sonucu hesaplama
8g′(2)=8⋅4=328g'(2) = 8 \cdot 4 = 32 elde edilir.
Elde edilen g′(2)g'(2) değerini yerine yazarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve çarpım fonksiyonunun türevi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 123Soru →
f(x)=x2−x+4f(x) = x^2 - x + 4 eğrisinin x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Verilen fonksiyonun belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 5'tir.
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki birinci türev değeridir. f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 olup, x=3x = 3 için bu değer f′(3)=5f'(3) = 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması
f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x = 3 değerinin yerine yazılması
f′(3)=2(3)−1=5f'(3) = 2(3) - 1 = 5
Teğet noktasının apsisi 3 olduğu için türevde x yerine 3 yazılarak teğet doğrusunun eğimi (m) elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumuna göre bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türevine eşittir.
Tahmini Süre:45s
Soru 124Soru →
f(x)=(x2−3)(x+1)f(x) = (x^2 - 3)(x + 1)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Çarpım türevi kuralı kullanılarak türev fonksiyonu f′(x)=2x(x+1)+(x2−3)f'(x) = 2x(x+1) + (x^2-3) olarak elde edilir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=13f'(2) = 13 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=(x2−3)′⋅(x+1)+(x2−3)⋅(x+1)′f'(x) = (x^2 - 3)' \cdot (x + 1) + (x^2 - 3) \cdot (x + 1)'
Çarpım durumundaki iki fonksiyonun türevi [u(x)⋅v(x)]′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) kuralı ile bulunur.
2
Parantez içindeki ifadelerin türevleri alınır.
f′(x)=2x(x+1)+(x2−3)⋅1f'(x) = 2x(x + 1) + (x^2 - 3) \cdot 1
(x2−3)′=2x(x^2 - 3)' = 2x ve (x+1)′=1(x + 1)' = 1 olduğu için temel türev alma kuralları uygulanır.
3
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=2(2)(2+1)+(22−3)=4(3)+1=13f'(2) = 2(2)(2 + 1) + (2^2 - 3) = 4(3) + 1 = 13
İstenen x=2x = 2 noktasındaki türev değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım durumundaki fonksiyonların türevini çarpım kuralı ile hesaplama
Soru 125Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için her xx gerçel sayısı için g(x)≠0g(x) \neq 0’dır.

h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)

k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

olmak üzere, her xx gerçel sayısı için

h′(x)+[g(x)]2⋅k′(x)=12x2+4h'(x) + [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 12x^2 + 4
h′(x)−[g(x)]2⋅k′(x)=8xh'(x) - [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 8x

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f′(2)⋅g(2)−f(2)⋅g′(2)f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen f′(2)⋅g(2)−f(2)⋅g′(2)f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2) ifadesinin değeri 18'dir.
Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm türevleri alındığında cebirsel düzenlemeler ile f′(x)g(x)=6x2+2f'(x)g(x) = 6x^2 + 2 ve f(x)g′(x)=4xf(x)g'(x) = 4x eşitliklerine ulaşılır. x=2x=2 için bu ifadeler sırasıyla 26 ve 8 değerlerini alır. İstenen fark hesaplandığında 18 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ve bölüm türevi kurallarını kullanarak h′(x)h'(x) ve k′(x)k'(x) türevlerini yazın.
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ve k′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
Soruda verilen fonksiyon bileşenlerinin türevlerini cebirsel olarak ifade etmek için bu kurallar gereklidir.
2
k′(x)k'(x) ifadesini [g(x)]2[g(x)]^2 ile çarparak sadeleştirin.
[g(x)]2⋅k′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]^2 \cdot k'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
Bölüm türevinin paydasındaki [g(x)]2[g(x)]^2 terimini sadeleştirmek için bu işlem uygulanır.
3
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak f′(x)g(x)f'(x)g(x) ifadesini yalnız bırakın.
2f′(x)g(x)=12x2+4  ⟹  f′(x)g(x)=6x2+22f'(x)g(x) = 12x^2 + 4 \implies f'(x)g(x) = 6x^2 + 2
Toplama işlemiyle −f(x)g′(x)-f(x)g'(x) ve +f(x)g′(x)+f(x)g'(x) terimleri birbirini sıfırlar.
4
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak f(x)g′(x)f(x)g'(x) ifadesini yalnız bırakın.
2f(x)g′(x)=8x  ⟹  f(x)g′(x)=4x2f(x)g'(x) = 8x \implies f(x)g'(x) = 4x
Çıkarma işlemiyle f′(x)g(x)f'(x)g(x) terimleri birbirini sıfırlar.
5
x=2x = 2 yazarak elde edilen değerlerin farkını hesaplayın.
f′(2)g(2)−f(2)g′(2)=26−8=18f'(2)g(2) - f(2)g'(2) = 26 - 8 = 18
x=2x=2 için f′(2)g(2)=26f'(2)g(2) = 26 ve f(2)g′(2)=8f(2)g'(2) = 8 değerleri bulunur ve farkları alınır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm türevi kurallarının cebirsel denklem sistemlerinde uygulanması
Soru 126Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 parabolüne üzerindeki olmayan P(0,−7)P(0, -7) noktasından çizilen teğet doğrularının parabolü kestiği (teğet değme) noktalar AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Köşeleri P(0,−7)P(0, -7), A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olan PABPAB üçgeninin alanı 1616 birimkaredir.
Parabole dışındaki P(0,−7)P(0, -7) noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olarak bulunur. Köşeleri PP, AA ve BB olan üçgenin alanı koordinat metodu ile 1616 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğimi ifade etme.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, tt apsisli teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimi m=2t−2m = 2t - 2 olur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma ve dışındaki P(0,−7)P(0, -7) noktasını bu denklemde yerine yazarak teğet noktalarının apsislerini bulma.
−7−(t2−2t−3)=(2t−2)(0−t)  ⟹  t2=4  ⟹  t=2-7 - (t^2 - 2t - 3) = (2t - 2)(0 - t) \implies t^2 = 4 \implies t = 2 ve t=−2t = -2 elde edilir.
Teğet doğrusu P(0,−7)P(0, -7) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.
3
Teğet noktaları AA ve BB'nin koordinatlarını belirleme.
t=2t = 2 için A(2,−3)A(2, -3) ve t=−2t = -2 için B(−2,5)B(-2, 5) noktaları elde edilir.
Teğet noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri parabol denkleminde yerine yazılır.
4
Köşe koordinatları bilinen PABPAB üçgeninin alanını hesaplama.
Alan(PAB)=12∣2(12)−(−2)(−4)∣=16\text{Alan}(PAB) = \frac{1}{2} |2(12) - (-2)(-4)| = 16 birimkare bulunur.
Köşeleri P(0,−7)P(0, -7), A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olan üçgenin alanı, koordinat düzleminde determinant yöntemi veya vektörel alan formülüyle hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin bulunması ve analitik düzlemde köşe koordinatları bilinen üçgenin alan hesabı.
Soru 127Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=4xf(x) = \frac{4}{x}

eğrisine üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eğrinin x=2x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimi 11'dir.
Fonksiyonun türevi f′(x)=−4x2f'(x) = -\frac{4}{x^2} olarak bulunur. x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetin eğimi mt=f′(2)=−1m_t = f'(2) = -1'dir. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan normalin eğimi mn=1m_n = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=−4x2f'(x) = -\frac{4}{x^2}
Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğet noktasının apsisi olan x=2x = 2 değerini türev fonksiyonunda yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) hesaplayın.
mt=f′(2)=−422=−1m_t = f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki türev değeridir.
3
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğu için eğimleri çarpımının −1-1 olması kuralını kullanarak normal doğrusunun eğimini (mnm_n) bulun.
mt⋅mn=−1  ⟹  −1⋅mn=−1  ⟹  mn=1m_t \cdot m_n = -1 \implies -1 \cdot m_n = -1 \implies m_n = 1
Dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir.
Soru 128Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği, xx-eksenini yalnızca x=−2x = -2 ve x=3x = 3 noktalarında kesen kolları yukarı doğru bir paraboldür.

g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x)

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,1][-1, 1]

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin işaret tablosu oluşturulduğunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardan biri [−1,1][-1, 1] kapalı aralığıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin işaret tablosu incelendiğinde; x=−1x = -1, x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktaları kritik noktalardır. Bu tablonun pozitif işaretli olduğu en geniş aralıklardan biri [−1,1][-1, 1] kapalı aralığıdır. Dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artandır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi zincir kuralı kullanılarak alınır.
g′(x)=(2x−2)⋅f′(x2−2x)g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)
Bileşke fonksiyonun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.
x=1x = 1, x=−1x = -1 ve x=3x = 3
2(x−1)=0⇒x=12(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1 olur. Grafik kolları yukarı doğru olan ve xx-eksenini sadece −2-2 ve 33 noktalarında kesen bir parabol olduğundan, f′(u)=0⇒u=−2f'(u) = 0 \Rightarrow u = -2 veya u=3u = 3 olmalıdır. Buradan x2−2x=−2⇒x2−2x+2=0x^2 - 2x = -2 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur (Δ<0\Delta < 0). Diğer taraftan x2−2x=3⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 denkleminden x=−1x = -1 ve x=3x = 3 kökleri bulunur.
3
g′(x)g'(x) için işaret tablosu hazırlanır.
x<−1x < -1 için g′(x)<0g'(x) < 0, −1<x<1-1 < x < 1 için g′(x)>0g'(x) > 0, 1<x<31 < x < 3 için g′(x)<0g'(x) < 0 ve x>3x > 3 için g′(x)>0g'(x) > 0 bulunur.
f′(t)f'(t) fonksiyonu, kolları yukarı doğru olan ve kökleri −2-2 ile 33 olan bir parabol olduğundan t>3t > 3 için pozitif, −2<t<3-2 < t < 3 için negatiftir. Buradan x>3x > 3 için x2−2x>3⇒f′(x2−2x)>0x^2-2x > 3 \Rightarrow f'(x^2-2x) > 0 ve 2(x−1)>02(x-1) > 0 olup türev pozitiftir. Diğer aralıklar da benzer şekilde çarpanların işaretleri incelenerek doldurulur.
4
Türevin pozitif veya sıfır oldu��u aralıklar artan aralıklar olarak belirlenir.
gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklar [−1,1][-1, 1] ve [3,∞)[3, \infty) olarak tespit edilir.
Bir fonksiyon türevinin pozitif olduğu aralıklarda artandır. Seçeneklerde verilen aralıklardan [−1,1][-1, 1] bu aralıklardan biridir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.
Soru 129Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={ax2+bx,x<12,x=1∣x2−5x+c∣,x>1f(x) = \begin{cases} a x^2 + b x, & x < 1 \\ 2, & x = 1 \\ |x^2 - 5x + c|, & x > 1 \end{cases}
fonksiyonu x=1x = 1 noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, c<4c < 4 olmak üzere, a−b+ca - b + c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Doğru yanıt 2 değeridir. x = 1 noktasında süreklilikten a + b = 2 ve c = 2 bulunur. x = 1'in sağ komşuluğunda mutlak değerin içi negatif olduğundan fonksiyon f(x) = -x^2 + 5x - 2 olarak dışarı çıkar ve sağ türev 3 olur. Sol türev 2a + b olduğuna göre 2a + b = 3 eşitliğinden a = 1 ve b = 1 elde edilir. Böylece a - b + c = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki sürekliliğini inceleyin.
Süreklilik şartı gereği sol limit, sağ limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2. Buradan a+b=2a + b = 2 ve ∣c−4∣=2|c - 4| = 2 denklemleri elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması zorunludur.
2
c parametresinin değerini belirleyin.
∣c−4∣=2|c - 4| = 2 denkleminden c−4=2  ⟹  c=6c - 4 = 2 \implies c = 6 veya c−4=−2  ⟹  c=2c - 4 = -2 \implies c = 2 bulunur. Soruda verilen c<4c < 4 koşulu nedeniyle c=2c = 2 olarak seçilir.
Mutlak değerli denklemin çözüm kümesindeki elemanlardan verilen tanım aralığına uygun olanı seçilmelidir.
3
Sağ ve sol türevleri hesaplayarak birbirine eşitleyin.
Sol türev: f−′(1)=2a+bf'_{-}(1) = 2a + b. Sağ türev için c=2c = 2 yazıldığında x2−5x+2x^2 - 5x + 2 ifadesi x=1x = 1 noktasında negatif olduğundan mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: f(x)=−x2+5x−2f(x) = -x^2 + 5x - 2. Buradan sağ türev f+′(1)=−2(1)+5=3f'_{+}(1) = -2(1) + 5 = 3 olur. Türevlenebilirlik için 2a+b=32a + b = 3 olmalıdır.
Sürekli bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktadaki sağ ve sol türevlerinin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen ifadeyi hesaplayın.
a+b=2a + b = 2 ve 2a+b=32a + b = 3 denklemlerinden a=1a = 1 ve b=1b = 1 bulunur. Buradan a−b+c=1−1+2=2a - b + c = 1 - 1 + 2 = 2 elde edilir.
Bilinmeyen parametreler bulunduktan sonra soruda sorulan cebirsel ifadenin değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 130Soru →

Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir bir ff fonksiyonunun kuralı f(x)=x3−ax2+3xf(x) = x^3 - ax^2 + 3x biçimindedir.

lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)2h=14\lim_{h \to 0} \frac{f(2+3h) - f(2-h)}{2h} = 14

olduğuna g��re, aa sabitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a sabitinin değeri 2'dir.
Limit tanımı gereği lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)2h=2f′(2)\lim_{h \to 0} \frac{f(2+3h) - f(2-h)}{2h} = 2f'(2) olur. Buradan 2f′(2)=14  ⟹  f′(2)=72f'(2) = 14 \implies f'(2) = 7 elde edilir. Fonksiyonun türevi alınıp x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=15−4a=7f'(2) = 15 - 4a = 7 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde a=2a = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türevin limit tanımına dönüştürmek
Limit ifadesinin değeri 2f′(2)2f'(2) olarak bulunur.
Türevin limit tanımını uygulayabilmek için limiti uygun katsayılarla parçalara ayırdık.
2
Verilen limit değerini kullanarak f′(2)f'(2) türev değerini bulmak
f′(2)=7f'(2) = 7
2f′(2)=142f'(2) = 14 denklemini çözerek x=2x = 2 noktasındaki türev değerini elde ettik.
3
Fonksiyonun türevini alıp x=2x = 2 yazarak aa değerini hesaplamak
a=2a = 2
f′(2)=15−4af'(2) = 15 - 4a ifadesini 77 değerine eşitleyerek aa parametresini bulduk.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı yardımıyla türev değerinin belirlenmesi ve polinom fonksiyonun türevi.
Soru 131Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=x2−3x+2 f(x) = x^2 - 3x + 2
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→2f(x2−2)−f(2)x−2 \lim_{x \to 2} \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x - 2}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 değeri doğru cevaptır.
Limit ifadesini türevin limit tanımına uygun hâle getirmek için payı ve paydayı (x2−2)−2=x2−4(x^2 - 2) - 2 = x^2 - 4 terimini elde edecek şekilde düzenleriz. Bunun için ifadeyi x2−4x−2\frac{x^2 - 4}{x - 2} ile çarparız. Bu durumda limit, f′(2)⋅lim⁡x→2(x+2)=f′(2)⋅4f'(2) \cdot \lim_{x \to 2}(x+2) = f'(2) \cdot 4 olur. f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olduğundan f′(2)=1f'(2) = 1 olur ve limitin değeri 44 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türevin limit tanımına benzetmek için uygun çarpanı belirleme.
lim⁡x→2f(x2−2)−f(2)x−2=lim⁡x→2[f(x2−2)−f(2)x2−4⋅x2−4x−2]\lim_{x \to 2} \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \left[ \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x^2 - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{x - 2} \right] ifadesi elde edilir.
Türevin limit tanımı olan lim⁡u→af(u)−f(a)u−a=f′(a)\lim_{u \to a} \frac{f(u) - f(a)}{u - a} = f'(a) yapısını oluşturmak için.
2
Değişken değiştirme ve sadeleştirme işlemlerini yapma.
u=x2−2u = x^2 - 2 dönüşümü yapıldığında x→2x \to 2 iken u→2u \to 2 olur. Diğer yandan x2−4x−2=x+2\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 olur.
Belirsizliği gidermek ve türev limit tanımını doğrudan uygulamak için.
3
Limit değerini f′(2)f'(2) cinsinden yazma.
Limit ifadesi lim⁡u→2f(u)−f(2)u−2⋅lim⁡x→2(x+2)=f′(2)⋅4\lim_{u \to 2} \frac{f(u) - f(2)}{u - 2} \cdot \lim_{x \to 2} (x+2) = f'(2) \cdot 4 şekline gelir.
Dönüştürülmüş limitleri hesaplamak için.
4
f′(2)f'(2) değerini hesaplayarak sonucu bulma.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olduğundan f′(2)=1f'(2) = 1 olur. Buradan limit değeri 1⋅4=41 \cdot 4 = 4 bulunur.
Fonksiyonun türev kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve değişken dönüşümü yardımıyla limit hesaplama.

Alternatif Yöntem

Limit ifadesine L'Hôpital kuralı uygulanarak payın ve paydanın xx değişkenine göre türevi alınabilir. Payın türevi f′(x2−2)⋅2xf'(x^2 - 2) \cdot 2x, paydanın türevi ise 11'dir. x=2x = 2 için limit f′(2)⋅41=4⋅f′(2)\frac{f'(2) \cdot 4}{1} = 4 \cdot f'(2) olur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 132Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 parabolünün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi 2'dir.
Parabolün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi f′(3)=2f'(3) = 2 olup teğet noktası (3,2)(3, 2)'dir. Teğet doğrusunun denklemi y=2x−4y = 2x - 4 olarak elde edilir. Bu doğrunun xx eksenini kestiği noktayı bulmak için y=0y = 0 yazıldığında x=2x = 2 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasının y-koordinatını bulmak
y=2y = 2 (f(3)=2f(3) = 2)
Teğet noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.
2
Fonksiyonun türevini almak
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4
Teğet doğrusunun eğimini bulmak için türev fonksiyonu gereklidir.
3
Türevde x=3x = 3 yazarak teğet eğimini hesaplamak
m=2m = 2
Bir noktadaki teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Teğet doğrusunun denklemini oluşturmak
y=2x−4y = 2x - 4
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) uygulanır.
5
Teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktayı bulmak
x=2x = 2
Bir doğrunun xx eksenini kestiği noktada ordinat değeri sıfırdır (y=0y = 0).

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu gereğince bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
Soru 133Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi

f′(x)=(x−3)2(x+2)(x−4)f'(x) = (x-3)^2(x+2)(x-4)

olarak verilmiştir. Buna göre, ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

f fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 6 birimdir.
Türev fonksiyonunun işaret tablosunda, x=3x = 3 çift katlı kökünde işaret değişimi olmaması nedeniyle türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu da 4−(−2)=64 - (-2) = 6 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun köklerinin belirlenmesi
x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı) ve x=4x = 4 (tek katlı) kökleri elde edilir.
f′(x)=0f'(x) = 0 eşitliğini sağlayan kritik noktalar bulunarak işaret değişim sınırları belirlenir.
2
Türevin işaret tablosunun oluşturulması
x∈(4,∞)x \in (4, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0, x∈(3,4)x \in (3, 4) için f′(x)<0f'(x) < 0, x∈(−2,3)x \in (-2, 3) için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2) için f′(x)>0f'(x) > 0 bulunur.
x=3x = 3 çift katlı kökünde işaretin korunacağı göz önünde bulundurularak işaret tablosu doldurulur.
3
En geniş azalanlık aralığının tespit edilmesi
Azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olarak belirlenir.
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 koşulunu sağlayan aralıklar sürekli fonksiyonlarda uç noktaları da kapsayacak şekilde birleştirilir.
4
Aralık uzunluğunun hesaplanması
4−(−2)=64 - (-2) = 6
Belirlenen aralığın uç noktaları arasındaki fark hesaplanarak uzunluk elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerin birleşimiyle elde edilir. Çift katlı köklerde türev işaret değiştirmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 134Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ve g(x)=x2+5g(x) = \sqrt{x^2 + 5} fonksiyonları veriliyor.

h(x)=(f∘g)(2x)h(x) = (f \circ g)(2x)

olduğuna göre, h′(1)h'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. Zincir kuralı uygulandığında h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 elde edilir. İlgili fonksiyonların değerleri hesaplandığında g(2)=3g(2) = 3, g′(2)=23g'(2) = \frac{2}{3} ve f′(3)=9f'(3) = 9 bulunur. Bu değerlerin çarpımı 9⋅23⋅2=129 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 12 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını uygulayın.
h′(x)=f′(g(2x))⋅g′(2x)⋅2h'(x) = f'(g(2x)) \cdot g'(2x) \cdot 2
Zincir kuralı gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadelerin türevleri sırasıyla çarpım olarak eklenir.
2
g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini hesaplayın.
g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=23g'(2) = \frac{2}{3}
g(x)=x2+5g(x) = \sqrt{x^2+5} fonksiyonunda x=2x=2 yazılır ve fonksiyonun türevi alınarak türevinde de x=2x=2 yazılır.
3
f′(3)f'(3) değerini hesaplayın.
f′(3)=9f'(3) = 9
f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 fonksiyonunun türevi olan f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x ifadesinde x=g(2)=3x = g(2) = 3 yazılır.
4
Elde edilen değerleri yerine koyarak sonucu hesaplayın.
h′(1)=12h'(1) = 12
h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2=9⋅23⋅2=12h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 = 9 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 12 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Soru 135Soru →
Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(x2−2x)=(x2+1)⋅g(2−x)f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x)
ilişkisi bulunmaktadır.
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=2g'(0) = 2 olduğuna göre,
h(x)=f(x2−2x)g(x2−4)h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)}
fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6
Doğru cevap olan -6 değeri; sırasıyla çarpım, bölüm ve zincir türev kurallarının doğru şekilde uygulanması, x = 2 noktasındaki iç türevlerin hesaba katılması ve elde edilen değerlerin yerlerine yazılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x2−2x)=(x2+1)⋅g(2−x)f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x) eşitliğinde her iki tarafın xx'e göre türevi alınır.
f′(x2−2x)⋅(2x−2)=2x⋅g(2−x)−(x2+1)⋅g′(2−x)f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) = 2x \cdot g(2-x) - (x^2 + 1) \cdot g'(2-x)
Eşitliğin her iki tarafının türevi birbirine eşittir; sol tarafta zincir kuralı, sağ tarafta ise çarpım ve zincir kuralları uygulanır.
2
Elde edilen türev eşitliğinde x=2x = 2 yazılarak f′(0)f'(0) değeri bulunur.
2⋅f′(0)=4⋅g(0)−5⋅g′(0)  ⟹  2⋅f′(0)=4(5)−5(2)  ⟹  f′(0)=52 \cdot f'(0) = 4 \cdot g(0) - 5 \cdot g'(0) \implies 2 \cdot f'(0) = 4(5) - 5(2) \implies f'(0) = 5
x=2x = 2 değeri, f′f' fonksiyonunun içini 00 yapar ve bilinen g(0)g(0) ile g′(0)g'(0) değerlerini kullanmamızı sağlar.
3
Orijinal eşitlikte x=2x = 2 yazılarak f(0)f(0) değeri bulunur.
f(0)=(22+1)⋅g(0)  ⟹  f(0)=5⋅5=25f(0) = (2^2 + 1) \cdot g(0) \implies f(0) = 5 \cdot 5 = 25
h′(2)h'(2) ifadesinin hesaplanması sırasında f(0)f(0) değerine ihtiyaç duyulacaktır.
4
h(x)=f(x2−2x)g(x2−4)h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)} fonksiyonunun bölümün türevi kuralı kullanılarak türevi alınır ve x=2x = 2 yazılır.
h′(x)=[f′(x2−2x)⋅(2x−2)]⋅g(x2−4)−f(x2−2x)⋅[g′(x2−4)⋅2x][g(x2−4)]2h'(x) = \frac{[f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)] \cdot g(x^2 - 4) - f(x^2 - 2x) \cdot [g'(x^2 - 4) \cdot 2x]}{[g(x^2 - 4)]^2} ve buradan h′(2)=2f′(0)⋅g(0)−f(0)⋅4g′(0)[g(0)]2h'(2) = \frac{2 f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot 4 g'(0)}{[g(0)]^2} elde edilir.
Bölüm durumundaki bir fonksiyonun türevini almak için b��lümün türevi ve zincir kuralı kuralları birleştirilir.
5
Bulunan f(0)=25f(0) = 25, f′(0)=5f'(0) = 5, g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=2g'(0) = 2 değerleri h′(2)h'(2) ifadesinde yerine yazılır.
h′(2)=2(5)⋅5−25⋅4(2)52=50−20025=−6h'(2) = \frac{2(5) \cdot 5 - 25 \cdot 4(2)}{5^2} = \frac{50 - 200}{25} = -6
Gerekli tüm değerler yerine konularak aritmetik işlem tamamlanır ve sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Bölüm, Çarpım ve Zincir Kuralları)
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 136Soru →

f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=x3−2x2x−2f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x - 2}

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Yerel minimum noktasının apsisi 0'dır.
Fonksiyon x≠2x \neq 2 için sadeleştirildiğinde f(x)=x2f(x) = x^2 halini alır. Bu fonksiyonun birinci türevi f′(x)=2xf'(x) = 2x olur. Türevin kökü x=0x = 0 olup, bu noktada türevin işareti negatiften pozitife geçtiği için x=0x = 0 apsisli nokta fonksiyonun yerel minimum noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tanım kümesini inceleyelim ve sadeleştirme yapalım.
x≠2x \neq 2 için f(x)=x2(x−2)x−2=x2f(x) = \frac{x^2(x - 2)}{x - 2} = x^2 olur.
İşlemleri kolaylaştırmak ve türev almayı sadeleştirmek amacıyla ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yaparız.
2
Sadeleştirilmiş fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=2xf'(x) = 2x (x≠2x \neq 2)
Ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini incelememiz gerekir.
3
Türevin köklerini bulup işaret tablosunu inceleyelim.
f′(x)=2x=0⇒x=0f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0 bulunur. İşaret tablosunda x<0x < 0 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x>0x > 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
Türevin işaret değiştirdiği noktaları ve bu noktalardaki artanlık-azalanlık durumunu belirlemek için.
4
Türevin işaret değişimine göre yerel minimum noktasını belirleyelim.
x=0x = 0 noktasında türevin işareti negatiften pozitife değiştiği için bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Dolay��sıyla yerel minimum noktasının apsisi 0'dır.
Bir fonksiyonun türevinin işaretinin negatiften pozitife döndüğü tanımlı noktalar yerel minimum noktalarıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta yerel minimum noktası, birinci türevinin işaretinin negatiften pozitife döndüğü noktadır. Rasyonel fonksiyonlarda tanımsız olunan noktalar ekstremum noktası olamaz.
Soru 137Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 eğrisi üzerindeki A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasından çizilen teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir BB noktasında kesmektedir. BB noktasından eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi 99 ve a>1a > 1 olduğuna göre, AA noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Apsisi a=2a = 2 olan AA noktasının koordinatları toplamı 22'dir.
Koşulları sağlayan teğet noktası A(2,0)A(2, 0) olarak bulunur ve koordinatları toplamı 22 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x elde edilir.
Eğri üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak için türev fonksiyonu gereklidir.
2
A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusunun eğriyi kestiği diğer nokta B(b,f(b))B(b, f(b)) olarak belirlenir ve kökler toplamı ilişkisi kurulur.
2a+b=3  ⟹  b=3−2a2a + b = 3 \implies b = 3 - 2a bulunur.
Kübik bir fonksiyona teğet olan doğru ile fonksiyonun kesişim noktalarının apsisleri toplamı, x3−3x2+⋯=0x^3 - 3x^2 + \dots = 0 denkleminden 2a+b=32a + b = 3 olur (aa teğet noktası olduğundan çift katlı köktür).
3
B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasındaki teğet eğimi kullanılarak bb değerleri hesaplanır.
f′(b)=9  ⟹  3b2−6b=9  ⟹  b2−2b−3=0  ⟹  b=3f'(b) = 9 \implies 3b^2 - 6b = 9 \implies b^2 - 2b - 3 = 0 \implies b = 3 veya b=−1b = -1 bulunur.
BB noktasından çizilen teğetin eğimi 99 olarak verilmiştir.
4
a>1a > 1 koşulu kullanılarak uygun aa değeri seçilir.
b=3  ⟹  a=0b = 3 \implies a = 0 (koşulu sağlamaz), b=−1  ⟹  a=2b = -1 \implies a = 2 (koşulu sağlar) olarak bulunur.
Soruda teğet noktasının apsisi aa'nın 11'den büyük olduğu belirtilmiştir.
5
AA noktasının koordinatları belirlenir ve toplamı hesaplanır.
A(2,f(2))=A(2,0)A(2, f(2)) = A(2, 0) noktası ve koordinatlar toplamı 2+0=22 + 0 = 2 bulunur.
AA noktasının ordinatı f(2)=23−3(22)+4=0f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 0 şeklindedir.

Anahtar Kavram

Bir kübik eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğriyle ikinci kesim noktası ve teğet eğimi ilişkisi.
Soru 138Soru →
f(x)=ax2−5x+3f(x) = ax^2 - 5x + 3 fonksiyonu için f′(3)=7f'(3) = 7 eşitliği sağlandığına göre, aa parametresinin değerini bulunuz.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a parametresinin değeri 2'dir.
f(x) = ax^2 - 5x + 3 fonksiyonunun türevi f'(x) = 2ax - 5 olarak bulunur. x = 3 için f'(3) = 6a - 5 elde edilir. Bu değer 7'ye eşitlendiğinde 6a - 5 = 7 denklemi elde edilir ve buradan a = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini bulunuz.
f′(x)=2ax−5f'(x) = 2ax - 5
Temel türev alma kuralları gereği, xnx^n ifadesinin türevi n⋅xn−1n \cdot x^{n-1}'dir. Sabit sayının türevi ise sıfırdır.
2
Türev fonksiyonunda x yerine 3 yazarak f'(3) ifadesini oluşturunuz.
f′(3)=6a−5f'(3) = 6a - 5
x=3x = 3 noktasındaki türev değeri soruda verildiği için bu noktayı türev denkleminde yerine koyarız.
3
Elde edilen ifadeyi verilen türev değerine eşitleyerek a'yı çözünüz.
a=2a = 2
f′(3)=7f'(3) = 7 olduğu verildiğinden 6a−5=76a - 5 = 7 denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları ve türevde değer bulma
Soru 139Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x+2f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + 2
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerindedir.
Buna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Doğru olan 2 değeri, ekstremum noktalarının koordinatlarının y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerinde yer almasını sağlayan tek gerçel parametre değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini veren denklem oluşturulur.
f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=0f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem 3(x−(a−1))(x−(a+1))=03(x - (a - 1))(x - (a + 1)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır ve kökleri x1=a−1x_1 = a - 1 ve x2=a+1x_2 = a + 1 olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar yerel ekstremum noktalarının apsislerini verir.
2
Yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılır.
f(x)=(x−a)3−3(x−a)+a3−3a+2f(x) = (x-a)^3 - 3(x-a) + a^3 - 3a + 2 özdeşliği yardımıyla; f(a−1)=a3−3a+4f(a-1) = a^3 - 3a + 4 ve f(a+1)=a3−3af(a+1) = a^3 - 3a değerleri hesaplanır. Böylece yerel ekstremum noktaları A(a−1,a3−3a+4)A(a-1, a^3-3a+4) ve B(a+1,a3−3a)B(a+1, a^3-3a) olur.
Bir noktanın ordinatını bulmak için apsis değeri fonksiyon denkleminde yerine yazılmalıdır.
3
Bulunan ekstremum noktalarının y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerinde olması şartı uygulanır.
B(a+1,a3−3a)B(a+1, a^3-3a) noktası doğru denkleminde yerine yazıldığında a3−3a=−2(a+1)+8  ⟹  a3−a−6=0a^3 - 3a = -2(a + 1) + 8 \implies a^3 - a - 6 = 0 denklemi elde edilir. Aynı işlem AA noktası için yapıldığında da aynı denklem bulunur.
Doğru üzerindeki her nokta, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Elde edilen a3−a−6=0a^3 - a - 6 = 0 kübik denkleminin gerçel kökleri belirlenir.
a=2a = 2 değeri denklemi sağlar (23−2−6=02^3 - 2 - 6 = 0). Denklem çarpanlarına ayrıldığında (a−2)(a2+2a+3)=0(a - 2)(a^2 + 2a + 3) = 0 elde edilir. İkinci çarpanın diskriminantı Δ=4−12=−8<0\Delta = 4 - 12 = -8 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur. Dolayısıyla tek gerçel çözüm a=2a = 2'dir.
aa değerinin gerçel sayı olması istendiği için sadece gerçel kökler kabul edilir.

Anahtar Kavram

Yerel ekstremum noktalarının türev yardımıyla bulunması ve koordinat geometrisiyle ilişkilendirilmesi

Alternatif Yöntem

Ekstremum noktalarının apsisleri toplamı olan x1+x2=2ax_1 + x_2 = 2a ve orta noktanın ordinatı olan yorta=a3−3a+2y_{orta} = a^3 - 3a + 2 kullanılarak, orta noktanın doğrunun üzerinde olması gerektiği bilgisinden de doğrudan a3−3a+2=−2a+8a^3 - 3a + 2 = -2a + 8 denklemi kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 140Soru →

Gerçel say��lar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için ∣f∣|f| fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu bu noktada sürekli olmak zorundadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Bir fonksiyonun mutlak değerinin bir noktada türevlenebilir olması, fonksiyonun o noktada sürekli olmasını gerektirmez.
Verilen ifade yanlıştır. Karşıt örnek olarak seçilen f(x)=sgn(x)f(x) = \text{sgn}(x) benzeri bir fonksiyonun mutlak değeri sabit fonksiyon olup her yerde türevlenebilirken, fonksiyonun kendisi sıçrama noktasında sürekli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilme ve süreklilik arasındaki genel ilişkiyi hatırlayalım.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir. Ancak mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirliği ile orijinal fonksiyonun sürekliliği arasındaki ilişki doğrudan bu kurala uymayabilir.
Önermenin doğruluğunu test etmek için genel kuralları ve istisnaları belirlemek gerekir.
2
Önermeyi çürütecek bir karşıt örnek (karşı örnek) oluşturalım.
f(x)={1,x≥0−1,x<0f(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases} parçalı fonksiyonunu ele alalım.
Genel bir önermenin yanlış olduğunu göstermenin en doğrudan yolu tek bir karşı örnek sunmaktır.
3
Oluşturulan karşıt örneğin mutlak değerinin türevlenebilirliğini inceleyelim.
∣f(x)∣=1|f(x)| = 1 olur. Bu sabit fonksiyon her xx gerçel sayısı için türevlidir ve türevi sıfırdır ((∣f∣)′(0)=0(|f|)'(0) = 0).
Karşıt örneğin hipotez şartını (∣f∣|f|'in türevlenebilirliği) sağladığını doğrulamak gerekir.
4
Oluşturulan karşıt örneğin x=0x = 0 noktasındaki sürekliliğini inceleyelim.
lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 ve lim⁡x→0−f(x)=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 olduğundan, limit mevcut değildir ve dolayısıyla fonksiyon x=0x = 0 noktasında sürekli değildir.
Karşıt örneğin hüküm kısmını (ff'in sürekliliği) sağlamadığını göstererek önermenin yanlış olduğunu kanıtlarız.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisi, özellikle mutlak değer fonksiyonu altında süreksiz fonksiyonların türevlenebilir fonksiyonlara dönüşebilmesi.

Alternatif Yöntem

Süreksiz bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasını geometrik olarak grafiklerin simetrisi (x eksenine göre yansıma) üzerinden de düşünebiliriz. y=−1y = -1 ve y=1y = 1 doğrularının mutlak değeri tek bir sürekli y=1y = 1 doğrusuna dönüşür.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 7 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 7 | Examkin