Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 soru

Tüm türler376Çoktan seçmeli189Doğru / Yanlış46Sayısal122Sıralama19
Soru 281Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
(a−b)x+2a−b<0 (a - b)x + 2a - b < 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (13,∞)\left(\frac{1}{3}, \infty\right) olarak veriliyor.
Buna göre, xx değişkenine bağlı
(a−2b)x+3a−b≤0 (a - 2b)x + 3a - b \leq 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [12,∞)[\frac{1}{2}, \infty)

Cevap

[12,∞)[\frac{1}{2}, \infty) yarı açık aralığı
Doğru cevap olan aralık, birinci eşitsizlikteki yön değişiminden a<ba < b ve b>0b > 0 olduğunu saptadıktan sonra, ikinci eşitsizlikte a=47ba = \frac{4}{7}b dönüşümü yapılarak elde edilen katsayının negatif olduğunu görerek her iki tarafın negatif sayıya bölünmesiyle elde edilen x≥12x \geq \frac{1}{2} sonucunu verir. Bu da [12,∞)[\frac{1}{2}, \infty) yarı açık aralığına karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizlikteki bilinmeyen terimi yalnız bırakalım.
(a−b)x<b−2a(a - b)x < b - 2a elde edilir.
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için xx değişkeninin katsayısını belirlemeliyiz.
2
Eşitsizliğin çözüm kümesinin yönü ile ilk eşitsizliğin yönünü karşılaştırarak katsayının işaretini belirleyelim.
İlk eşitsizlikte sembol << iken çözüm kümesi x>13x > \frac{1}{3} şeklindedir (yani yön değiştirmiştir). Bu durum, her iki tarafın negatif bir sayıya bölündüğünü gösterir. Dolayısıyla, a−b<0⇒a<ba - b < 0 \Rightarrow a < b olmalıdır.
Eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
3
Sınır değerini kullanarak aa ile bb arasındaki bağıntıyı bulalım.
b−2aa−b=13⇒3(b−2a)=a−b⇒3b−6a=a−b⇒4b=7a⇒a=47b\frac{b - 2a}{a - b} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(b - 2a) = a - b \Rightarrow 3b - 6a = a - b \Rightarrow 4b = 7a \Rightarrow a = \frac{4}{7}b bulunur.
Çözüm kümesinin alt sınırı 13\frac{1}{3} olarak verildiğinden, sınır değerlerin eşit olması gerekir.
4
Bulduğumuz bağıntıyı a−b<0a - b < 0 eşitsizliğinde yerine yazarak bb'nin işaretini belirleyelim.
47b−b<0⇒−37b<0⇒b>0\frac{4}{7}b - b < 0 \Rightarrow -\frac{3}{7}b < 0 \Rightarrow b > 0 bulunur. Buradan da a>0a > 0 olduğu anlaşılır.
bb değişkeninin işaretini bilmek, ikinci eşitsizlikte böleceğimiz katsayının işaretini doğru belirlemek için şarttır.
5
İkinci eşitsizlikte a=47ba = \frac{4}{7}b yazarak eşitsizliği bb cinsinden sadeleştirelim.
(47b−2b)x+3(47b)−b≤0⇒−107bx+57b≤0(\frac{4}{7}b - 2b)x + 3(\frac{4}{7}b) - b \leq 0 \Rightarrow -\frac{10}{7}bx + \frac{5}{7}b \leq 0 elde edilir.
Eşitsizliği tek bir değişkene indirgeyerek çözüme ulaşmak hedeflenir.
6
Eşitsizliği xx için çözelim.
−107bx≤−57b-\frac{10}{7}bx \leq -\frac{5}{7}b ifadesinde her iki tarafı 77 ile çarpıp bb pozitif sayısına bölelim: −10x≤−5-10x \leq -5 olur. Her iki tarafı −10-10 negatif sayısına böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir ve x≥12x \geq \frac{1}{2} elde edilir.
Negatif sayıya bölme işlemi yapıldığı için eşitsizlik yön değiştirmiştir ve küçük-eşit sembolü dahil olduğu için sınır noktası kapalı aralık olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizlik yönünün değişmesi kuralı ile aralık uç noktalarının dahil olma (kapalı aralık) durumunun incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 282Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ∣∣x−3∣−4∣=2||x - 3| - 4| = 2 denkleminin tüm farklı gerçek köklerinin toplamı 1212'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen kökler {−3,1,5,9}\{-3, 1, 5, 9\} olup bu sayıların toplamı 1212 yapmaktadır. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Dış mutlak değeri kaldırarak denklemi iki ayrı eşitlik halinde yazın.
∣x−3∣−4=2|x - 3| - 4 = 2 veya ∣x−3∣−4=−2|x - 3| - 4 = -2 olur.
∣A∣=2|A| = 2 ise A=2A = 2 veya A=−2A = -2 olur.
2
Elde edilen iki denklemi de düzenleyip mutlak değerleri yalnız bırakın.
∣x−3∣=6|x - 3| = 6 veya ∣x−3∣=2|x - 3| = 2 olur.
Her iki denklemde de −4-4 ifadesi eşitliğin sağ tarafına +4+4 olarak geçirilir.
3
Bu iki yeni mutlak değerli denklemi çözerek kökleri bulun.
∣x−3∣=6|x - 3| = 6 için x−3=6⇒x=9x - 3 = 6 \Rightarrow x = 9 veya x−3=−6⇒x=−3x - 3 = -6 \Rightarrow x = -3 olur. ∣x−3∣=2|x - 3| = 2 için x−3=2⇒x=5x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5 veya x−3=−2⇒x=1x - 3 = -2 \Rightarrow x = 1 olur. Kökler kümesi {−3,1,5,9}\{-3, 1, 5, 9\} olarak elde edilir.
Mutlak değerli bir ifadenin pozitif bir sayıya eşitliği, içindeki ifadenin o sayının kendisine veya negatifine eşit olmasıyla çözülür.
4
Bulunan tüm farklı kökleri toplayın.
(−3)+1+5+9=12(-3) + 1 + 5 + 9 = 12 bulunur.
Soru kökündeki toplam iddiasını doğrulamak için köklerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümünde dıştaki mutlak değerden başlayarak adım adım durum analizi yapılması.
Soru 283Soru →

Bir su deposunu doldurmak için A ve B muslukları kullanılmaktadır. A musluğunun saatlik su akıtma miktarı (2x−y)(2x - y) ton, B musluğunun saatlik su akıtma miktarı ise (x+3y)(x + 3y) tondur.

33 ton suyun A musluğu ile doldurulma süresi ile 55 ton suyun B musluğu ile doldurulma süresinin toplamı 22 saattir.

66 ton suyun A musluğu ile doldurulma süresi, 1010 ton suyun B musluğu ile doldurulma süresine eşittir.

Buna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Süre bağıntıları kullanılarak elde edilen denklem sisteminden x=2x = 2 ve y=1y = 1 değerleri bulunur. Bu değerlerin toplamı olan 3 doğru cevaptır.
Soruda verilen dolum süreleri eşitlenerek elde edilen x=2yx = 2y bağıntısı, sürelerin toplamı denkleminde yerine yazıldığında y=1y = 1 ve dolayısıyla x=2x = 2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı olan 3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Dolum sürelerini veren rasyonel ifadeleri yazarak toplam süreyi veren ilk denklemi oluşturmak
32x−y+5x+3y=2\frac{3}{2x-y} + \frac{5}{x+3y} = 2
Süre = Miktar / Akış Hızı formülüyle her iki musluğun dolum süreleri toplamı 2 saate eşitlenir.
2
Eşit olan dolum sürelerini kullanarak ikinci denklemi oluşturmak
62x−y=10x+3y\frac{6}{2x-y} = \frac{10}{x+3y}
A musluğu ile 6 ton suyun dolum süresi, B musluğu ile 10 ton suyun dolum süresine eşitlenir.
3
İkinci denklemde içler dışlar çarpımı yaparak x ve y arasındaki doğrusal ilişkiyi bulmak
x=2yx = 2y
Eşitlik düzenlenerek değişkenler arasındaki oran belirlenir.
4
Bulunan x = 2y bağıntısını ilk denklemde yerine yazarak y değerini bulmak
y=1y = 1
Değişken sayısını bire indirgeyerek denklemi çözmek.
5
y değerini kullanarak x değerini ve ardından x + y toplamını hesaplamak
x=2x = 2 ve x+y=3x + y = 3
Bulunan bilinmeyenleri toplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin rasyonel ifadeler yardımıyla modellenmesi ve çözülmesi
Soru 284Soru →
2x+ay=62x + ay = 6
3x−6y=123x - 6y = 12
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −4-4

Cevap

−4-4 değeri
Denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için xx'in katsayıları oranı ile yy'nin katsayıları oranı eşit olmalıdır. Buradan 23=a−6\frac{2}{3} = \frac{a}{-6} eşitliği yazılır. İçler dışlar çarpımı yapıldığında 3a=−123a = -12 ve buradan a=−4a = -4 bulunur. Bu değer için sabit terimlerin oranı 612=12≠23\frac{6}{12} = \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3} olduğundan koşul sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklem sisteminin katsayılarını belirlemek.
xx'in katsayıları 22 ve 33, yy'nin katsayıları aa ve −6-6, sabit terimler ise 66 ve 1212'dir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için katsayılar arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Boş küme koşulunu uygulamak.
23=a−6≠612\frac{2}{3} = \frac{a}{-6} \neq \frac{6}{12}
İki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için xx ve yy katsayılarının oranının eşit, ancak sabit terimlerin oranının bu orana eşit olmaması gerekir.
3
Orantıdan aa değerini çözmek.
23=a−6⇒3a=−12⇒a=−4\frac{2}{3} = \frac{a}{-6} \Rightarrow 3a = -12 \Rightarrow a = -4
Kurulan orantıda içler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen aa değeri yalnız bırakılır.
4
Sabit terimlerin oranını kontrol etmek.
612=12≠23\frac{6}{12} = \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}
Bulunan oranın sabit terimlerin oranından farklı olduğu teyit edilerek çözüm kümesinin gerçekten boş küme olduğu kesinleştirilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için değişkenlerin katsayıları oranının eşit, sabit terimlerin oranının ise bu orandan farklı olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 285Soru →

Bir spor salonuna üye olmak isteyen müşterilere, giriş ücreti ve aylık ücretten oluşan A ve B olmak üzere iki farklı ödeme seçeneği sunulmaktadır:

* A seçeneğinde; giriş ücreti xx TL, aylık ücret yy TL'dir.
* B seçeneğinde; giriş ücreti yy TL, aylık ücret xx TL'dir.

Bu spor salonuna A seçeneğiyle üye olup 6 ay boyunca salonu kullanan bir kişinin ödediği toplam ücret 820820 TL; B seçeneğiyle üye olup 4 ay boyunca salonu kullanan başka bir kişinin ödediği toplam ücret ise 520520 TL'dir.

Buna göre, bu spor salonunun A seçeneğindeki aylık ücreti (yy) kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

A seçeneğindeki aylık ücret 120 TL'dir.
A seçeneğinde 6 aylık üyelik ve giriş ücretiyle birlikte x+6y=820x + 6y = 820 denklemi; B seçeneğinde ise 4 aylık üyelik ve giriş ücretiyle birlikte 4x+y=5204x + y = 520 denklemi elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa yok etme yöntemiyle çözüldüğünde x=100x = 100 ve y=120y = 120 bulunur. Soru bizden A seçeneğindeki aylık ücreti (yy) istediği için doğru yanıt 120'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel ifadeleri denklem sistemine dönü��türme
A seçeneği için: x+6y=820x + 6y = 820
B seçeneği için: y+4x=520  ⟹  4x+y=520y + 4x = 520 \implies 4x + y = 520
Müşterilerin ödediği toplam ücretlerin giriş ücreti ile aylık kullanım sürelerinin çarpımının toplamına eşit olmasından dolayı.
2
Yok etme yöntemini uygulayarak birinci değişkeni bulma
İkinci denklemi −6-6 ile çarpıp taraf tarafa toplayalım:
x+6y=820x + 6y = 820
−24x−6y=−3120-24x - 6y = -3120
Taraf tarafa topladığımızda:
−23x=−2300  ⟹  x=100-23x = -2300 \implies x = 100
yy değişkenini yok ederek xx değişkeninin değerine ulaşmak amacıyla.
3
Bulunan değeri yerine yazarak ikinci değişkeni bulma
4(100)+y=520  ⟹  400+y=520  ⟹  y=1204(100) + y = 520 \implies 400 + y = 520 \implies y = 120
Denklemlerden birinde xx yerine 100100 yazılarak sorulan yy değerine ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve yok etme yöntemiyle çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Denklemlerden biri yalnız bırakılarak yerine koyma yöntemi uygulanabilir. Örneğin ikinci denklemden y=520−4xy = 520 - 4x ifadesi çekilip birinci denklemde yerine yazıldığında x+6(520−4x)=820x + 6(520 - 4x) = 820 eşitliği elde edilir. Buradan x=100x = 100 ve ardından y=120y = 120 değerlerine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 286Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli

I. a⋅x−b<0a \cdot x - b < 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (3,∞)(3, \infty)
II. b⋅x−c>0b \cdot x - c > 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,−2)(-\infty, -2)

olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir. Birinci eşitsizlikte çözüm kümesinin yönü ile eşitsizliğin yönü zıt olduğundan a<0a < 0 olmalıdır ve buradan b=3ab = 3a elde edilir. İkinci eşitsizlikte de benzer şekilde yön değişimi olduğundan b<0b < 0 olmalıdır ve buradan c=−2bc = -2b elde edilir. aa ve bb negatif sayılar olup b=3ab = 3a olduğundan b<ab < a ilişkisi vardır. c=−2bc = -2b ifadesinde bb negatif olduğu için cc pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla en büyük sayı cc, en küçük sayı ise bb olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme ve aa ile bb arasındaki ilişkiyi bulma.
a<0a < 0 ve b=3ab = 3a
a⋅x−b<0  ⟹  a⋅x<ba \cdot x - b < 0 \implies a \cdot x < b olur. Eşitsizliğin çözüm kümesi (3,∞)(3, \infty) yani x>3x > 3 olduğundan, her iki taraf aa'ya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan a<0a < 0 ve ba=3  ⟹  b=3a\frac{b}{a} = 3 \implies b = 3a elde edilir.
2
İkinci eşitsizliği analiz etme ve bb ile cc arasındaki ilişkiyi bulma.
b<0b < 0 ve c=−2bc = -2b
b⋅x−c>0  ⟹  b⋅x>cb \cdot x - c > 0 \implies b \cdot x > c olur. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−2)(-\infty, -2) yani x<−2x < -2 olduğundan, her iki taraf bb'ye bölünd��ğünde eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan b<0b < 0 ve cb=−2  ⟹  c=−2b\frac{c}{b} = -2 \implies c = -2b elde edilir. Bu durum birinci adımdaki b<0b < 0 sonucuyla da tutarlıdır.
3
Elde edilen verileri kullanarak sayıların işaretlerini ve büyüklüklerini karşılaştırma.
b<a<cb < a < c
a<0a < 0 olduğundan ve b=3ab = 3a eşitliği bulunduğundan, negatif bir sayı 33 ile çarpıldığında daha da küçülür. Dolayısıyla b<a<0b < a < 0 olur. b<0b < 0 ve c=−2bc = -2b olduğundan, negatif bir sayının −2-2 katı pozitif olacağından c>0c > 0 bulunur. Bu durumda negatif sayılar pozitif sayıdan küçük olacağı için sıralama b<a<cb < a < c şeklinde gerçekleşir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.

Alternatif Yöntem

Sayısal değerler verilerek de kontrol yapılabilir. a=−2a = -2 seçilirse, b=3a=−6b = 3a = -6 olur. Buradan c=−2b=12c = -2b = 12 elde edilir. Değerler yerine yazıldığında −6<−2<12-6 < -2 < 12 yani b<a<cb < a < c sıralaması doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 287Soru →

Bir kurye şirketinde paket teslimatı yapan bir motosikletin tek bir seferde tükettiği yakıt miktarı sabit olup mm litre, bir otomobilin ise sabit olup oo litredir. Bu şirketteki araçların sefer sayıları ve toplam yakıt tüketimleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Motosiklet ile 4 sefer, otomobil ile 3 sefer yapıldığında toplam 61 litre yak��t tüketilmektedir.
* Motosiklet ile 3 sefer, otomobil ile 5 sefer yapıldığında toplam 76 litre yakıt tüketilmektedir.

Buna göre, otomobilin bir seferde tükettiği yakıt miktarı, motosikletin bir seferde tüketti��i yakıt miktarından kaç litre fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Otomobilin bir seferde tükettiği yakıt miktarı motosikletinkinden 4 litre fazladır.
Denklem sisteminin çözümünden elde edilen o=11o = 11 ve m=7m = 7 değerlerinin farkı olan 4, otomobilin motosikletten kaç litre fazla yakıt tükettiğini gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklem sistemini kurma
4m+3o=614m + 3o = 61 ve 3m+5o=763m + 5o = 76 denklemleri elde edilir.
Motosikletin sefer başına tüketimi mm ve otomobilin sefer başına tüketimi oo cinsinden toplam tüketimleri ifade etmek için.
2
Yok etme yöntemiyle otomobilin yakıt tüketimini (oo) bulma
11o=121  ⟹  o=1111o = 121 \implies o = 11 bulunur.
İlk denklemi −3-3 ile, ikinci denklemi 44 ile çarpıp taraf tarafa toplayarak mm değişkenini yok etmek için.
3
Motosikletin yakıt tüketimini (mm) bulma
4m+3(11)=61  ⟹  4m=28  ⟹  m=74m + 3(11) = 61 \implies 4m = 28 \implies m = 7 bulunur.
Bulunan oo değerini denklemlerden birinde yerine yazarak mm değerini hesaplamak için.
4
Farkı hesaplama
11−7=411 - 7 = 4 bulunur.
Otomobilin tüketiminin motosikletinkinden ne kadar fazla olduğunu bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri
Soru 288Soru →

Bir kimya laboratuvarındaki hassas bir reaksiyon kabının sıcaklığı (xx °C), hedeflenen TT tam sayı sıcaklık değerine göre kontrol edilmektedir. Sıcaklık kontrol ünitesi,

∣∣x−T∣−4∣=1||x - T| - 4| = 1

denklemini sağlayan xx sınır sıcaklık değerlerinde uyarı vermektedir.

Bu kontrol ünitesinin uyarı verdiği farklı xx sıcaklık değerlerinden yalnızca 1 tanesi negatif tam sayı olduğuna göre, hedeflenen TT sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Hedeflenen sıcaklık de��eri olan TT tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 7'dir.
Verilen denklemin çözümü yapıldığında dört farklı kök olan T−5T-5, T−3T-3, T+3T+3 ve T+5T+5 elde edilir. Bu köklerin büyüklük sıralaması T−5<T−3<T+3<T+5T-5 < T-3 < T+3 < T+5 şeklindedir. Bu köklerden yalnızca birinin negatif tam sayı olması istendiğinden, en küçük kök negatif (T−5<0T-5 < 0) ve diğer tüm kökler sıfır ya da pozitif (T−3≥0T-3 \ge 0) olmalıdır. Buradan elde edilen 3≤T<53 \le T < 5 eşitsizliğini sağlayan TT tam sayıları 3 ve 4'tür. Bu değerlerin toplamı ise 7 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli denklemin dıştaki mutlak değerini açarak iki farklı durum elde etmek.
∣x−T∣−4=1|x - T| - 4 = 1 veya ∣x−T∣−4=−1|x - T| - 4 = -1 denklemleri bulunur.
∣A∣=B|A| = B biçimindeki denklemlerin çözümünde A=BA = B veya A=−BA = -B durumlar�� incelenir.
2
Elde edilen her iki denklemdeki iç mutlak değerli ifadeleri yalnız bırakmak.
∣x−T∣=5|x - T| = 5 ve ∣x−T∣=3|x - T| = 3 denklemleri elde edilir.
İkinci seviye mutlak değer çözümü için mutlak değerli terimler yalnız bırakılmalıdır.
3
Mutlak değerli denklemleri çözerek xx değerlerini TT cinsinden bulmak.
x=T+5x = T + 5, x=T−5x = T - 5, x=T+3x = T + 3, x=T−3x = T - 3 kökleri bulunur.
Her iki denklemin pozitif sayıya eşit olması nedeniyle toplam 4 farklı gerçek kök oluşur.
4
Kökleri küçükten büyüğe sıralayıp negatiflik koşulunu uygulamak.
T−5<T−3<T+3<T+5T - 5 < T - 3 < T + 3 < T + 5 sıralamasında yalnızca T−5<0T - 5 < 0 ve T−3≥0T - 3 \ge 0 olmalıdır.
Köklerden yalnızca birinin negatif tam sayı olması için en küçük kökün negatif, diğerlerinin ise sıfır veya pozitif olması gerekir.
5
Elde edilen eşitsizlik sistemini çözüp TT tam sayı değerlerini toplamak.
3≤T<53 \le T < 5 aralığından T∈{3,4}T \in \{3, 4\} elde edilir. Toplamları 3+4=73 + 4 = 7 olur.
Eşitsizlikleri sağlayan TT tam sayı değerlerini bulup toplamak hedeflenen sonuca ulaştırır.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümü ve elde edilen köklerin sayı kümeleri sınırlarına göre incelenmesi.
Soru 289Soru →
Denklem sistemi:
3x−2y=8ax+4y=5\begin{aligned} 3x - 2y &= 8 \\ ax + 4y &= 5 \end{aligned}

Yukarıdaki birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin tek bir (x,y)(x, y) gerçek sayı sıralı ikilisi çözümü olduğuna göre, aa hangi gerçek sayı değerini alamaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

a gerçek sayısı -6 değerini alamaz.
Verilen denklem sisteminin tek bir çözümü olması için, bu denklemlerin belirttiği doğruların kesişmesi gerekir. Doğruların kesişmesi için eğimlerinin farklı olması, yani değişken katsayılarının orantılı olmaması şarttır. Buradan 3a≠−24\frac{3}{a} \neq \frac{-2}{4} eşitsizliği yazılır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde a≠−6a \neq -6 bulunur. Dolayısıyla aa sayısı −6-6 değerini alamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklem sistemindeki değişkenlerin katsayıları belirlenir.
Birinci denklemde xx'in katsayısı 33, yy'nin katsayısı −2-2'dir. İkinci denklemde xx'in katsayısı aa, yy'nin katsayısı 44'tür.
Denklem sisteminin çözüm kümesinin tek elemanlı olması koşulunu test etmek için değişkenlerin katsayıları oranına bakılması gerekir.
2
Tek çözüm olabilmesi için katsayılar arasındaki eşitsizlik bağıntısı kurulur.
3a≠−24\frac{3}{a} \neq \frac{-2}{4}
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin tek çözümünün olması, doğruların paralel olmaması, yani katsayılarının orantılı olmaması anlamına gelir.
3
Eşitsizlik çözülerek aa parametresinin alamayacağı değer hesaplanır.
3⋅4≠a⋅(−2)  ⟹  12≠−2a  ⟹  a≠−63 \cdot 4 \neq a \cdot (-2) \implies 12 \neq -2a \implies a \neq -6
İçler dışlar çarpımı yapılarak aa değişkeni yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin tek çözümünün olma koşulu
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 290Soru →
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için xx değişkenine bağlı
a⋅x+b>0 a \cdot x + b > 0
ve
b⋅x−a<0 b \cdot x - a < 0
eşitsizliklerinin en geniş çözüm kümeleri sırasıyla KK ve LL dir.

K∩L=∅K \cap L = \emptyset olduğuna göre,
I. a⋅b>0a \cdot b > 0
II. a+b<0a + b < 0
III. a>ba > b

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri her zaman doğrudur.
Doğru yanıt olan 'I ve II' ifadesinin doğruluğu şu şekilde açıklanır: Eşitsizliklerin çözümü sırasında, a ve b negatif olduğundan her iki eşitsizlikte de bilinmeyen yalnız bırakılırken eşitsizlik yön değiştirir. Buradan K=(−∞,−b/a)K = (-\infty, -b/a) ve L=(a/b,∞)L = (a/b, \infty) aralıkları elde edilir. Bu iki aralığın kesişiminin boş küme olması için −b/a<a/b-b/a < a/b şartı sağlanmalıdır. a ve b negatif olduğundan −b/a-b/a değeri negatif, a/ba/b değeri ise pozitiftir; dolayısıyla bu eşitsizlik her zaman doğrudur. a ve b negatif sayılar olduğundan, çarpımları pozitif (a⋅b>0a \cdot b > 0) ve toplamları negatif (a+b<0a + b < 0) olur. a ve b arasındaki büyüklük ilişkisi ise kesin olarak bilinemez.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği çözelim.
a⋅x>−ba \cdot x > -b elde edilir. Her iki tarafı aa'ya bölerken aa'nın işaretine göre iki durum oluşur: a>0a > 0 ise x>−bax > -\frac{b}{a} ve K=(−ba,∞)K = (-\frac{b}{a}, \infty) olur. a<0a < 0 ise eşitsizlik yön değiştirir, x<−bax < -\frac{b}{a} ve K=(−∞,−ba)K = (-\infty, -\frac{b}{a}) olur.
xx değişkenini yalnız bırakmak ve KK çözüm kümesini aa ile bb cinsinden ifade etmek için.
2
İkinci eşitsizliği çözelim.
b⋅x<ab \cdot x < a elde edilir. Her iki tarafı bb'ye bölerken bb'nin işaretine göre iki durum oluşur: b>0b > 0 ise x<abx < \frac{a}{b} ve L=(−∞,ab)L = (-\infty, \frac{a}{b}) olur. b<0b < 0 ise eşitsizlik yön değiştirir, x>abx > \frac{a}{b} ve L=(ab,∞)L = (\frac{a}{b}, \infty) olur.
xx değişkenini yalnız bırakmak ve LL çözüm kümesini aa ile bb cinsinden ifade etmek için.
3
K∩L=∅K \cap L = \emptyset koşulunu sağlayan durumları analiz edelim.
aa ve bb işaretlerine göre 4 durumu incelersek: Hem a<0a < 0 hem de b<0b < 0 olduğunda K=(−∞,−ba)K = (-\infty, -\frac{b}{a}) ve L=(ab,∞)L = (\frac{a}{b}, \infty) olur. −b<0-b < 0 ve a<0a < 0 olduğundan −ba<0-\frac{b}{a} < 0 dır. a<0a < 0 ve b<0b < 0 olduğundan ab>0\frac{a}{b} > 0 dır. Dolayısıyla −ba<0<ab-\frac{b}{a} < 0 < \frac{a}{b} olduğundan bu iki aralık kesişmez (K∩L=∅K \cap L = \emptyset). Diğer tüm durumlarda aralıklar kesişir. Dolayısıyla a<0a < 0 ve b<0b < 0 olmalıdır.
Kesişimin boş küme olmasını sağlayan aa ve bb değerlerinin işaretlerini belirlemek için.
4
Öncülleri elde ettiğimiz işaretlere göre değerlendirelim.
a<0a < 0 ve b<0b < 0 olduğundan: I. a⋅b>0a \cdot b > 0 (doğru), II. a+b<0a + b < 0 (doğru), III. a>ba > b (her zaman doğru değil, örneğin a=−2,b=−1a = -2, b = -1 için yanlış, a=−1,b=−2a = -1, b = -2 için doğru).
Hangi öncüllerin her zaman doğru olduğunu bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayıya bölme durumunda yön değiştirme kuralı ve aralıkların sayı doğrusunda gösterimi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 291Soru →
∣2x−3∣<7|2x - 3| < 7

eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı ile en küçük xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı ile en küçük tam sayının toplamı 3'tür.
Mutlak değerli ∣2x−3∣<7|2x - 3| < 7 eşitsizliği çözüldüğünde −7<2x−3<7-7 < 2x - 3 < 7 aralığı elde edilir. Buradan xx değerinin −2<x<5-2 < x < 5 aralığında olduğu görülür. Bu açık aralıktaki en büyük tam sayı 4, en küçük tam sayı ise −1-1'dir. Bu sayıların toplamı 4+(−1)=34 + (-1) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizliği, mutlak değer özelliklerini kullanarak çift yönlü eşitsizlik halinde yazmak.
−7<2x−3<7-7 < 2x - 3 < 7
∣f(x)∣<a|f(x)| < a (burada a>0a > 0) biçimindeki eşitsizlikler −a<f(x)<a-a < f(x) < a kuralına göre çözülür.
2
Eşitsizliğin her tarafına 3 eklemek ve ardından her tarafı 2'ye bölerek xx değişkenini yalnız bırakmak.
−2<x<5-2 < x < 5
xx değişkeninin değer aralığını (çözüm kümesini) bulmak.
3
Elde edilen açık aralıktaki en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirlemek.
En büyük tam sayı 44, en küçük tam sayı −1-1
S��nır değerleri olan −2-2 ve 55 açık aralık sınırları olduğundan çözüme dahil edilemez; bu sınırlara en yakın tam sayılar seçilir.
4
Belirlenen en büyük ve en küçük tam sayıları toplamak.
4+(−1)=34 + (-1) = 3
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir ifadenin pozitif bir sayıdan küçük olması durumunda çözülmesi ve sınır değerlerin dahil edilme durumunun analizi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 292Soru →
Dik koordinat düzleminde verilen
ax−2y=4ax - 2y = 4
x+by=3x + by = 3
denklem sisteminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

−2-2 (Denklem sisteminin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için a⋅ba \cdot b çarpımı −2-2 olamaz.)
Verilen denklem sisteminin tek elemanlı bir çözüm kümesi olması için katsayılar oranı eşit olmamalıdır. a1≠−2b\frac{a}{1} \neq \frac{-2}{b} ifadesinden içler dışlar çarpımı yapıldığında a⋅b≠−2a \cdot b \neq -2 sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla a⋅ba \cdot b çarpımı −2-2 değerini alamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Denklem sisteminin tek elemanlı bir çözüm kümesine sahip olma koşulunu belirleme.
Doğruların eğimleri farklı olmalıdır, yani katsayılar oranı eşit olmamalıdır: a1≠−2b\frac{a}{1} \neq \frac{-2}{b}
Eğer oranlar eşit olsaydı, doğrular ya paralel olurdu (çözüm kümesi boş küme) ya da çakışık olurdu (çözüm kümesi sonsuz elemanlı).
2
Eşitsizlik ifadesini çözerek çarpım koşulunu bulma.
a⋅b≠−2a \cdot b \neq -2
a1≠−2b\frac{a}{1} \neq \frac{-2}{b} ifadesinde içler dışlar çarpımı yapıldığında elde edilen sonuçtur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin tek çözümü olması için değişkenlerin katsayıları oranının farklı olması gerekir.
Soru 293Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı

(a−3)x+a2+1≥0 (a - 3)x + a^2 + 1 \geq 0

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,5](-\infty, 5] olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

a'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı -5'tir.
Çözüm kümesinin sınır değerinin 5 olması ve eşitsizliğin yön değiştirmesi nedeniyle a−3<0a-3 < 0 koşulu altında −a2−1a−3=5\frac{-a^2-1}{a-3} = 5 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri olan −7-7 ve 22 değerlerinin her ikisi de a<3a < 3 koşulunu sağladığından toplamları −5-5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik yönünün değişimini inceleyerek aa parametresinin sınır koşulunu belirleme.
a−3<0  ⟹  a<3a - 3 < 0 \implies a < 3 olmalıdır.
Orijinal eşitsizlik ≥\geq yönündeyken çözüm kümesi x≤5x \leq 5 biçimindedir. Eşitsizliğin yön değiştirmesi için her iki tarafın bölündüğü a−3a-3 katsayısının negatif olması gerekir.
2
Eşitsizlikte xx değişkenini yalnız bırakma.
x≤−a2−1a−3x \leq \frac{-a^2-1}{a-3}
a−3<0a-3 < 0 olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafı a−3a-3'e bölündüğünde eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Elde edilen sınır değerini, çözüm kümesinin üst sınırı olan 5'e eşitleyerek ikinci dereceden denklemi kurma ve çözme.
−a2−1a−3=5  ⟹  a2+5a−14=0  ⟹  (a+7)(a−2)=0  ⟹  a=−7\frac{-a^2-1}{a-3} = 5 \implies a^2 + 5a - 14 = 0 \implies (a+7)(a-2) = 0 \implies a = -7 veya a=2a = 2
En geniş çözüm kümesinin üst sınırı 5 olarak verilmiştir.
4
Bulunan aa değerlerinin başlangıçtaki a<3a < 3 koşuluna uygunluğunu denetleme ve toplamını hesaplama.
−7<3-7 < 3 ve 2<32 < 3 olup her iki değer de koşulu sağlar. Değerler toplamı: −7+2=−5-7 + 2 = -5 olur.
Eşitsizliğin yön değiştirmesini sağlayan tüm geçerli aa değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayıya bölme/çarpma yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı ve sınır değer analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 294Soru →

Bir okulda düzenlenen geri dönüşüm kampanyasında plastik ve cam şişeler toplanarak çevre puanı kazanılmaktadır. Kampanya kapsamında toplanan şişelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* 33 adet plastik şişe ve 22 adet cam şişe teslim edildiğinde toplam 1818 çevre puanı kazanılmaktadır.
* 44 adet plastik şişe ve 55 adet cam şişe teslim edildiğinde toplam 3131 çevre puanı kazanılmaktadır.

Buna göre, 11 adet plastik şişe ve 11 adet cam şişe teslim eden bir öğrenci toplam kaç çevre puanı kazanır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Bir adet plastik şişe ve bir adet cam şişe teslim edildiğinde kazanılan toplam çevre puanı 7'dir.
Denklem sistemi taraf tarafa toplandığında 7(P+C)=497(P + C) = 49 elde edilir ve buradan P+C=7P + C = 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Plastik şişe puanını PP ve cam şi��e puanını CC olarak değişkenlerle ifade edip denklem sistemini oluşturmak.
3P+2C=183P + 2C = 18 ve 4P+5C=314P + 5C = 31 denklemleri elde edilir.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Denklemleri taraf tarafa toplamak.
7P+7C=497P + 7C = 49 denklemi elde edilir.
Değişkenlerin katsayıları toplamının eşit olduğunu fark edip doğrudan P+CP+C toplamına ulaşmak için.
3
Denklemin her iki tarafını 7'ye bölmek.
P+C=7P + C = 7 elde edilir.
1 adet plastik ve 1 adet cam şişenin toplam puanını bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Soru 295Soru →

Bir metro hattı üzerindeki üç istasyon; AA, BB ve CC istasyonlarıdır. Bu istasyonların hat üzerindeki konumları bir sayı doğrusuyla modellenmiştir. Sayı doğrusunun başlangıç noktası (00 noktası) AA istasyonudur. BB istasyonu AA'nın 9 km sağında (pozitif yönde), CC istasyonu ise AA'nın 12 km sağında yer almaktadır. Bu metro hattı üzerinde hareket eden bir bakım treni; AA istasyonuna olan uzaklığı ile BB istasyonuna olan uzaklığının farkının mutlak değerinin 2 katı, CC istasyonuna olan uzaklığına eşit olacak şekilde bir xx konumunda durmaktadır. Buna göre, bakım treninin durabileceği farklı konumların (kilometre cinsinden) toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Bakım treninin durabileceği farklı konumların kilometre cinsinden toplamı 32'dir.
Doğru yanıt olan 32 sayısı, denklemin sağlandığı tüm geçerli gerçek sayı konumlarının toplamıdır. Yapılan aralık analizinde x<0x < 0 için x=−6x = -6, 0≤x<4.50 \le x < 4.5 için x=2x = 2, 4.5≤x<94.5 \le x < 9 için x=6x = 6 ve x≥12x \ge 12 için x=30x = 30 kökleri elde edilmektedir. Bu dört kökün toplamı (−6)+2+6+30=32(-6) + 2 + 6 + 30 = 32 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstasyonların konumlarını sayı doğrusuna yerleştirip trenin istasyonlara olan uzaklıklarını mutlak değerli ifadelerle yazalım.
AA istasyonu 00 noktasında, BB istasyonu 99 noktasında, CC istasyonu ise 1212 noktasındadır. Trenin konumu xx olsun. AA'ya uzaklık ∣x∣|x|, BB'ye uzaklık ∣x−9∣|x - 9|, CC'ye uzaklık ∣x−12∣|x - 12| olur.
Uzaklık kavramı mutlak değer ile ifade edilir.
2
Soruda verilen ilişkiyi denklem haline getirelim.
2∣∣x∣−∣x−9∣∣=∣x−12∣2||x| - |x - 9|| = |x - 12| denklemi elde edilir.
İstasyonlara olan uzaklıkların farkının mutlak değerinin 2 katı, diğer istasyona olan uzaklığa eşit olarak tanımlanmıştır.
3
Denklemi kritik noktalara göre aralıklara ayırarak çözelim.
Kritik noktalar x=0x = 0, x=4.5x = 4.5 ve x=9x = 9 olup aralık analizleri şöyledir:
- x<0x < 0 için: 2∣−x−(9−x)∣=12−x⇒18=12−x⇒x=−62|-x - (9 - x)| = 12 - x \Rightarrow 18 = 12 - x \Rightarrow x = -6 (Aralıkta, geçerli).
- 0≤x<4.50 \le x < 4.5 için: 2∣x−(9−x)∣=12−x⇒2∣2x−9∣=12−x⇒18−4x=12−x⇒3x=6⇒x=22|x - (9 - x)| = 12 - x \Rightarrow 2|2x - 9| = 12 - x \Rightarrow 18 - 4x = 12 - x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 (Aralıkta, geçerli).
- 4.5≤x<94.5 \le x < 9 için: 2(2x−9)=12−x⇒4x−18=12−x⇒5x=30⇒x=62(2x - 9) = 12 - x \Rightarrow 4x - 18 = 12 - x \Rightarrow 5x = 30 \Rightarrow x = 6 (Aralıkta, geçerli).
- 9≤x<129 \le x < 12 için: 2(9)=12−x⇒18=12−x⇒x=−62(9) = 12 - x \Rightarrow 18 = 12 - x \Rightarrow x = -6 (Aralıkta değil).
- x≥12x \ge 12 için: 2(9)=x−12⇒18=x−12⇒x=302(9) = x - 12 \Rightarrow 18 = x - 12 \Rightarrow x = 30 (Aralıkta, geçerli).
Mutlak değerli ifadelerin içini sıfır yapan değerlere göre durum incelemesi yapılmalıdır.
4
Geçerli tüm konumların toplamını hesaplayalım.
Geçerli konumlar: −6,2,6,30-6, 2, 6, 30. Toplamları: (−6)+2+6+30=32(-6) + 2 + 6 + 30 = 32.
Bakım treninin durabileceği tüm farklı konumların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılarak çözülmesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 296Soru →
ax−4y=12ax - 4y = 12
3x+by=63x + by = 6

denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Toplamın değeri 4'tür.
Denklem sisteminin sonsuz çözümü olması için değişkenlerin katsayıları ile sabit terimlerin oranları birbirine eşit olmalıdır. Buradan \frac{a}{3} = \frac{-4}{b} = \frac{12}{6} = 2 orantısı elde edilir. Bu orantıdan a = 6 ve b = -2 bulunur. Toplamları ise 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması koşulunu uygulayın.
a3=−4b=126\frac{a}{3} = \frac{-4}{b} = \frac{12}{6}
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin sonsuz çözümü olması için katsayılar orantılı olmalıdır.
2
Sabit terimlerin oranını hesaplayarak orantı sabitini bulun.
126=2\frac{12}{6} = 2
Diğer katsayı oranlarının eşit olacağı temel oranı belirlemek için.
3
x'lerin katsayıları oranını orantı sabitine eşitleyerek a değerini bulun.
a3=2  ⟹  a=6\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6
a parametresini hesaplamak için.
4
y'lerin katsayıları oranını orantı sabitine eşitleyerek b değerini bulun.
−4b=2  ⟹  b=−2\frac{-4}{b} = 2 \implies b = -2
b parametresini hesaplamak için.
5
Bulunan a ve b değerlerini toplayın.
a+b=6+(−2)=4a + b = 6 + (-2) = 4
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin sonsuz çözümü olma koşulu (katsayılar oranı eşitliği).
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 297Soru →

Bir akıllı telefonun batarya tüketimiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Telefonun ekranı açıkken saatte tükettiği pil yüzdesi sabittir.
* Telefonun ekranı kapalıyken saatte tükettiği pil yüzdesi sabittir.

Bu telefonun ekranı 22 saat açık ve 1515 saat kapalı kaldığında bataryanın %35\%35'i tükenmektedir. Eğer telefonun ekranı 33 saat açık ve 1010 saat kapalı kalırsa bataryanın %40\%40'ı tükenmektedir.

Buna göre, bataryası tamamen dolu olan bu telefonun ekranı sürekli açık tutulduğunda bataryanın tamamı kaç saatte tükenir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Ekranı sürekli açık tutulan telefonun bataryası 10 saatte tükenir.
Doğru cevap, kurulan birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin (2x+15y=352x + 15y = 35 ve 3x+10y=403x + 10y = 40) çözülmesiyle elde edilen saatlik ekran açık tüketim oranı olan x=10x = 10 değerinin, pilin tamamı olan %100\%100'e bölünmesiyle (100/10=10100/10 = 10) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ekran açıkken saatlik pil tüketim yüzdesine xx, ekran kapalıyken saatlik pil tüketim yüzdesine yy diyerek denklem sistemini kurma.
2x+15y=352x + 15y = 35 ve 3x+10y=403x + 10y = 40 denklemleri elde edilir.
Verilen durumları matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Denklem sistemini çözmek için yok etme yöntemini uygulama. Birinci denklemi 22 ile, ikinci denklemi 33 ile çarpma.
6x+45y=1056x + 45y = 105 ve 6x+20y=806x + 20y = 80 denklemleri elde edilir.
xx değişkeninin katsayılarını eşitlemek için.
3
Elde edilen yeni denklemleri birbirinden çıkarma.
25y=25  ⟹  y=125y = 25 \implies y = 1 bulunur.
xx değişkenini yok edip yy değerine ulaşmak için.
4
Bulunan y=1y = 1 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak xx değerini hesaplama.
3x+10(1)=40  ⟹  3x=30  ⟹  x=103x + 10(1) = 40 \implies 3x = 30 \implies x = 10 bulunur.
Ekran açıkken saatlik pil tüketim yüzdesini bulmak için.
5
Bataryanın tamamının (%100\%100) ekran sürekli açıkken kaç saatte tükeneceğini hesaplama.
10010=10\frac{100}{10} = 10 saat bulunur.
Tam dolu bataryanın ekran açıkken tükenme süresini bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Soru 298Soru →
Analitik düzlemde,
y≥xy \ge x
y<3y < 3
x>0x > 0
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) tam sayı ikilisi vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan 3 farklı tam sayı ikilisi vardır.
Verilen eşitsizlik sistemini ve tam sayı koşullarını sağlayan koordinat çiftleri doğrudan sınırların doğru analiz edilmesiyle (1, 1), (1, 2) ve (2, 2) olarak bulunur ve toplamda 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
x değişkeninin sınır koşulunu belirleme
x≥1x \ge 1
xx bir tam sayı olduğundan x>0x > 0 koşulu x≥1x \ge 1 olmasını gerektirir.
2
y değişkeninin sınır koşulunu belirleme
y≤2y \le 2
yy bir tam sayı olduğundan y<3y < 3 koşulu y≤2y \le 2 olmasını gerektirir.
3
y >= x koşuluna göre x değerlerini eşleştirme
y=1  ⟹  x=1y = 1 \implies x = 1 ve y=2  ⟹  x∈{1,2}y = 2 \implies x \in \{1, 2\}
y≥xy \ge x eşitsizliğini sağlayan ve x≥1x \ge 1 olan tüm tam sayı çiftleri belirlenir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin tam sayı çözümlerinin bulunması ve sınır koşullarının (dahillik) analizi.
Soru 299Soru →

Bir kafede satılan bir fincan çay ve bir fincan kahvenin fiyatları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* 33 fincan çay ve 22 fincan kahvenin toplam fiyatı, 55 fincan çayın fiyatından 3030 TL fazladır.
* 11 fincan çay ve 33 fincan kahvenin toplam fiyatı, 66 fincan çayın fiyat��ndan 55 TL eksiktir.

Buna göre, bu kafeden 22 fincan çay ve 33 fincan kahve sipariş eden bir müşteri toplam kaç TL öder?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 170

Cevap

2 fincan çay ve 3 fincan kahve sipariş eden bir müşterinin ödeyeceği toplam tutar olan 170 TL
Denklem sistemi çözüldüğünde çayın fiyatı 25 TL, kahvenin fiyatı 40 TL olarak bulunur. Buna göre 2 fincan çay ve 3 fincan kahvenin toplam fiyatı 2×25+3×40=1702 \times 25 + 3 \times 40 = 170 TL olur.

Adım Adım Çözüm

1
Çayın bir fincan fiyatını xx, kahvenin bir fincan fiyatını yy olarak değişkenlerle ifade edip ilk bilgiyi denkleme dönüştürme
3x+2y=5x+30⇒2y−2x=30⇒y−x=153x + 2y = 5x + 30 \Rightarrow 2y - 2x = 30 \Rightarrow y - x = 15
İlk ifadedeki ilişkiyi matematiksel bir eşitlik olarak ifade etmek için
2
İkinci bilgiyi denkleme dönüştürme ve düzenleme
x+3y=6x−5⇒3y−5x=−5⇒5x−3y=5x + 3y = 6x - 5 \Rightarrow 3y - 5x = -5 \Rightarrow 5x - 3y = 5
İkinci ifadedeki ilişkiyi matematiksel bir eşitlik olarak ifade etmek için
3
Birinci denklemden y=x+15y = x + 15 ifadesini ikinci denklemde yerine koyarak xx ve yy değerlerini çözme
5x−3(x+15)=5⇒2x−45=5⇒2x=50⇒x=255x - 3(x + 15) = 5 \Rightarrow 2x - 45 = 5 \Rightarrow 2x = 50 \Rightarrow x = 25 TL ve y=25+15=40y = 25 + 15 = 40 TL
Denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek bilinmeyenlerin değerini bulmak için
4
İstenen sipariş kombinasyonunun toplam tutarını hesaplama
2x+3y=2(25)+3(40)=50+120=1702x + 3y = 2(25) + 3(40) = 50 + 120 = 170 TL
2 fincan çay ve 3 fincan kahve için ödenecek toplam tutarı bulmak için

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 300Soru →
∣x−1∣<5|x - 1| < 5

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx doğal sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 6 farklı x doğal sayısı vardır.
Mutlak değerli eşitsizlik çözüldüğünde −4<x<6-4 < x < 6 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki doğal sayılar 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5 olup toplamda 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizliği açma
−5<x−1<5-5 < x - 1 < 5
∣a∣<b|a| < b eşitsizliği −b<a<b-b < a < b şeklinde yazılır.
2
Eşitsizliği çözerek x aralığını bulma
−4<x<6-4 < x < 6
x'i yalnız bırakmak için eşitsizli��in her tarafına 1 eklenir.
3
Aralıktaki doğal sayıları belirleme
x∈{0,1,2,3,4,5}x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Doğal sayılar 0'dan başlar ve negatif olmayan tam sayılardır.
4
Doğal sayı adetini bulma
6
Kümedeki eleman sayısı sayılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve doğal sayı tanımının uygulanması
ÖncekiSayfa 15 / 19Sonraki
Denklem ve Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 15 | Examkin