Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 soru

Tüm türler376Çoktan seçmeli189Doğru / Yanlış46Sayısal122Sıralama19
Soru 301Soru →

Bir marangoz, boyu 180180 cm olan tahta bir bloğu iki parçaya ayıracaktır. Bu parçalardan birinin boyu xx cm'dir. Marangozun elde etmek istediği ideal parça boyu yy cm olup, xx ile yy arasındaki ilişki

∣x−y∣=15|x - y| = 15

denklemi ile modellenmiştir.

Elde edilen parçalardan birinin boyu 7575 cm olduğuna göre, ideal parça boyu olan yy'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 270

Cevap

İdeal parça boyu olan y'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı 270 cm'dir.
Doğru cevap, 180 cm boyundaki tahtanın 75 cm ve 105 cm olmak üzere iki parçaya ayrılacağı bilgisini kullanarak, x değişkeninin bu parçalardan herhangi biri olabileceğini göz önünde bulundurur. x = 75 ve x = 105 durumlarının her ikisi için de |x - y| = 15 denklemi çözüldüğünde elde edilen farklı y değerleri 60, 90 ve 120 olur. Bu değerlerin toplamı 270'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahta bloğun toplam boyundan yararlanarak diğer parçanın boyunu hesaplamak.
Diğer parçanın boyu 180−75=105180 - 75 = 105 cm olarak bulunur.
Elde edilen iki parçanın toplam boyu tahta bloğun ilk boyuna (180180 cm) eşit olmalıdır.
2
Parçalardan birinin boyunun xx cm olduğu bilgisine göre xx için olası durumları belirlemek.
x=75x = 75 veya x=105x = 105 olabilir.
7575 cm'lik parça veya 105105 cm'lik parça xx değişkeni ile ifade edilmiş olabilir.
3
x=75x = 75 için ∣x−y∣=15|x - y| = 15 denklemini çözmek.
∣75−y∣=15  ⟹  75−y=15|75 - y| = 15 \implies 75 - y = 15 veya 75−y=−1575 - y = -15 olup y=60y = 60 veya y=90y = 90 elde edilir.
Mutlak değerli bir denklem, içindeki ifadenin pozitif veya negatif değerine eşitlenerek çözülür.
4
x=105x = 105 için ∣x−y∣=15|x - y| = 15 denklemini çözmek.
∣105−y∣=15  ⟹  105−y=15|105 - y| = 15 \implies 105 - y = 15 veya 105−y=−15105 - y = -15 olup y=90y = 90 veya y=120y = 120 elde edilir.
İkinci durumdaki xx değeri için de mutlak değerli denklem çözülmelidir.
5
Bulunan yy değerlerinin farklı olanlarını belirleyip toplamak.
Farklı yy değerleri 6060, 9090 ve 120120 olup, toplamları 60+90+120=27060 + 90 + 120 = 270 olur.
Soruda ideal parça boyu yy'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözüm kümesini bulma ve gerçek hayat durumlarında değişkenlerin alabileceği tüm durumları analiz etme.
Soru 302Soru →

Bir barajdaki su seviyesinin kontrol altında tutulması amacıyla kurulan otomatik bir sistemde; anlık su seviyesi xx metre olmak üzere, su seviyesinin hedeflenen 5050 metreye olan uzaklığının 33 katı ile kritik sınır olan 3838 metreye olan uzaklığının toplamı tam olarak 2424 metre olduğunda tahliye kapakları devreye girmektedir.

Buna göre, tahliye kapaklarının devreye girdiği su seviyesi değerlerinin toplamı kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 97

Cevap

Tahliye kapaklarının devreye girdiği su seviyesi değerlerinin toplamı 97 metredir.
Denklemin çözümünde mutlak değerli ifadelerin kritik noktaları olan 38 ve 50 değerlerine göre yapılan aralık incelemesinde, geçerli kökler 44 ve 53 olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı olan 97 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen sözel durum matematiksel denkleme dönüştürülür.
3∣x−50∣+∣x−38∣=243|x - 50| + |x - 38| = 24 denklemi elde edilir.
Uzaklık kavramı mutlak değer ile ifade edilir. Hedeflenen 50 metreye uzaklığın 3 katı 3∣x−50∣3|x-50| ve kritik 38 metreye uzaklık ∣x−38∣|x-38| biçimindedir.
2
Kritik noktalar olan x=38x = 38 ve x=50x = 50 değerlerine göre reel sayılar kümesi üç farklı aralıkta incelenir ve birinci aralık olarak x≥50x \geq 50 durumu çözülür.
x≥50x \geq 50 için:
3(x−50)+(x−38)=24⇒4x−188=24⇒4x=212⇒x=533(x - 50) + (x - 38) = 24 \Rightarrow 4x - 188 = 24 \Rightarrow 4x = 212 \Rightarrow x = 53 bulunur.
x≥50x \geq 50 olduğunda her iki mutlak değerin içi de pozitif veya sıfır olduğundan ifadeler dışarıya aynen çıkar. Bulunan 5353 değeri x≥50x \geq 50 koşulunu sağladığından geçerli bir köktür.
3
İkinci aralık olan 38≤x<5038 \leq x < 50 durumu çözülür.
38≤x<5038 \leq x < 50 için:
3(50−x)+(x−38)=24⇒150−3x+x−38=24⇒112−2x=24⇒2x=88⇒x=443(50 - x) + (x - 38) = 24 \Rightarrow 150 - 3x + x - 38 = 24 \Rightarrow 112 - 2x = 24 \Rightarrow 2x = 88 \Rightarrow x = 44 bulunur.
Bu aralıkta ∣x−50∣|x - 50| ifadesinin içi negatif olduğundan eksi ile çarpılarak 50−x50 - x olarak çıkar; ∣x−38∣|x - 38| ifadesinin içi pozitif veya sıfır olduğundan aynen çıkar. Bulunan 4444 değeri 38≤x<5038 \leq x < 50 koşulunu sağladığından geçerli bir köktür.
4
Üçüncü aralık olan x<38x < 38 durumu çözülür.
x<38x < 38 için:
3(50−x)+(38−x)=24⇒150−3x+38−x=24⇒188−4x=24⇒4x=164⇒x=413(50 - x) + (38 - x) = 24 \Rightarrow 150 - 3x + 38 - x = 24 \Rightarrow 188 - 4x = 24 \Rightarrow 4x = 164 \Rightarrow x = 41 bulunur.
Bu aralıkta her iki mutlak değerin içi de negatif olduğundan eksi ile çarpılarak çıkarılır. Ancak bulunan 4141 değeri x<38x < 38 koşulunu sağlamadığı (41>3841 > 38 olduğu) için kök olarak kabul edilemez.
5
Bulunan geçerli kökler toplanır.
53+44=9753 + 44 = 97 elde edilir.
Denklemi sağlayan geçerli su seviyesi değerleri 5353 ve 4444 metredir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümünde, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılması ve bulunan köklerin incelenen aralık koşulunu sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 303Soru →

Bir mağazada satılan A marka tişörtün birim fiyatı iki basamaklı abab TL, B marka tişörtün birim fiyatı ise iki basamaklı baba TL'dir. Bu mağazadan A marka tişörtlerden xx tane, B marka tişörtlerden yy tane alan bir müşteri toplam 220 TL ödemiştir. Eğer bu müşteri A marka tişörtlerden yy tane, B marka tişörtlerden xx tane alsaydı yine toplam 220 TL ödeyecekti. Müşterinin aldığı toplam tişört sayısı x+y=4x+y=4 olduğuna göre, A marka tişörtün birim fiyatının alabileceği en büyük değer için a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

En büyük iki basamaklı ab sayısının rakamları çarpımı olan 9 değeri doğru cevaptır.
Denklem sistemini taraf tarafa topladığımızda (11a + 11b)(x+y) = 440 elde edilir. x+y = 4 değeri yerine yazıldığında 44(a+b) = 440 buradan da a+b = 10 bulunur. ab sayısının en büyük değeri alabilmesi için onlar basamağındaki a rakamı en büyük seçilmelidir. a ve b sıfırdan farklı rakamlar olduğundan a = 9 ve b = 1 olur. Buradan en büyük ab sayısı 91 olarak bulunur ve rakamları çarpımı 9 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri denklem sistemine dönüştürelim.
A marka tişörtün birim fiyatı abab ve B marka tişörtün birim fiyatı baba olmak ��zere iki denklem elde edilir:
(ab)x+(ba)y=220(ab)x + (ba)y = 220
(ba)x+(ab)y=220(ba)x + (ab)y = 220
Soruda belirtilen alışveriş tutarlarını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım ve ortak çarpan parantezine alalım.
(ab+ba)x+(ab+ba)y=440  ⟹  (ab+ba)(x+y)=440(ab + ba)x + (ab + ba)y = 440 \implies (ab + ba)(x + y) = 440
Denklem sistemini sadeleştirip x+y toplamını kullanabilmek için.
3
x+y = 4 değerini yerine yazarak iki basamaklı sayıların çözümlenmesini yapalım.
(ab+ba)⋅4=440  ⟹  ab+ba=110(ab + ba) \cdot 4 = 440 \implies ab + ba = 110
(10a+b)+(10b+a)=110  ⟹  11(a+b)=110  ⟹  a+b=10(10a + b) + (10b + a) = 110 \implies 11(a + b) = 110 \implies a + b = 10
Basamak çözümlemesiyle a ve b rakamları arasındaki ilişkiyi bulmak için.
4
ab ve ba iki basamaklı sayılar olduğundan a ve b sıfırdan farklı birer rakamdır. Bu koşullar altında ab iki basamaklı sayısının alabileceği en büyük değeri bulalım ve rakamları çarpımını hesaplayalım.
ab sayısının en büyük olması için onlar basamağındaki a rakamı en büyük seçilmelidir. a = 9 için b = 1 olur (ab=91ab = 91). Bu durumda a⋅b=9⋅1=9a \cdot b = 9 \cdot 1 = 9 bulunur.
İki basamaklı en büyük ab sayısını belirleyip istenen çarpımı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve basamak çözümlemesi ile çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 304Soru →

Sıfırdan farklı ve birbirinden farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için
* a⋅b<0a \cdot b < 0
* ∣a∣<∣b∣|a| < |b|
* ∣a−c∣+∣b−c∣=∣a−b∣|a - c| + |b - c| = |a - b|

olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a⋅c>0a \cdot c > 0
II. ∣b∣>∣c∣|b| > |c|
III. a⋅(a+b)<0a \cdot (a + b) < 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü ifadeler her zaman doğrudur.
Doğru seçenekte belirtilen ikinci ve üçüncü ifadeler, her iki durum için de mutlak değer özellikleri ve sayı doğrusu üzerindeki sıralama kuralları kullanılarak doğrulanmaktadır. c sayısı a ile b arasında yer aldığı için mutlak değeri her zaman mutlak değerce daha büyük olan b sayısından küçük olacaktır. Ayrıca a ile a ve b toplamı zıt işaretli olduğundan çarpımları her zaman negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin geometrik yorumunu yapmak.
∣a−c∣+∣b−c∣=∣a−b∣|a - c| + |b - c| = |a - b| eşitliği, sayı doğrusunda cc sayısının aa ile bb arasında bulunduğunu (a<c<ba < c < b veya b<c<ab < c < a) gösterir.
Mutlak değerler farkı toplamı, iki uç nokta arasındaki mesafeye eşit olduğunda aradaki nokta bu iki noktanın oluşturduğu kapalı aralığın içinde yer almalıdır.
2
a ve b sayılarının işaret ve mutlak değerce büyüklük ilişkilerini incelemek.
a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan sayılar zıt işaretlidir. ∣a∣<∣b∣|a| < |b| olduğundan bb sayısı sıfıra daha uzaktır. İki durum mevcuttur:
Durum 1: a<0<ba < 0 < b ise −a<b  ⟹  a+b>0-a < b \implies a + b > 0 olur ve cc sayısı a<c<ba < c < b aralığındadır.
Durum 2: b<0<ab < 0 < a ise a<−b  ⟹  a+b<0a < -b \implies a + b < 0 olur ve cc sayısı b<c<ab < c < a aralığındadır.
Sayıların zıt işaretli olması ve mutlak değerce büyüklük sıralaması, toplamlarının işaretini belirlemeyi sağlar.
3
Öncüllerin doğruluğunu her iki durum için ayrı ayrı test etmek.
I. öncül: Durum 1'de a<0a < 0 iken a<c<ba < c < b aralığındaki cc sayısı pozitif veya negatif olabilir. Örneğin a=−2a = -2, b=5b = 5, c=1c = 1 için a⋅c<0a \cdot c < 0 olur. Her zaman doğru değildir.
II. öncül: Durum 1'de −b<a<c<b  ⟹  ∣c∣<∣b∣-b < a < c < b \implies |c| < |b| olur. Durum 2'de b<c<a<−b  ⟹  ∣c∣<∣b∣b < c < a < -b \implies |c| < |b| olur. Her zaman doğrudur.
III. öncül: Durum 1'de a<0a < 0 ve a+b>0  ⟹  a⋅(a+b)<0a + b > 0 \implies a \cdot (a+b) < 0 olur. Durum 2'de a>0a > 0 ve a+b<0  ⟹  a⋅(a+b)<0a + b < 0 \implies a \cdot (a+b) < 0 olur. Her zaman doğrudur.
Olası tüm durumları inceleyerek hangi öncüllerin kesinlikle sağlandığını tespit etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık yorumu ve mutlak değerli eşitsizliklerin işaret analizinde kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 305Soru →

Bir havaalanındaki iki farklı yürüyen bantta hareket eden bir yolcuyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yolcunun kendi yürüme hızı ile yürüyen bantların hızları sabittir.
* Yolcu, 1. yürüyen bant üzerinde bantla aynı yönde yürüdüğünde hızı saniyede 323{}2 metre; banda göre ters yönde ve aynı yürüme hızıyla yürüdüğünde ise hızı saniyede 080{}8 metre olmaktadır.
* 2. yürüyen bandın hızı, 1. yürüyen bandın hızının 151{}5 katıdır.
* Yolcu, 2. yürüyen bant üzerinde kendi yürüme hızını %25\%25 artırarak bantla aynı yönde yürümüştür.

Buna göre, yolcunun 2. yürüyen bant üzerindeki bu hareketinde hızı saniyede kaç metre olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.3

Cevap

Yolcunun 2. yürüyen bant üzerindeki toplam hızı saniyede 434{}3 metredir.
Yolcunun hızı ile 1. bandın hızının toplamı 3.2 m/s ve farkları 0.8 m/s olarak verilmiştir. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında yolcunun yürüme hızı 2 m/s, 1. bandın hızı ise 1.2 m/s bulunur. Buradan 2. bandın hızı 1.8 m/s ve yolcunun %25 artırılmış hızı 2.5 m/s olarak elde edilir. Aynı yönde hareket ettikleri için bu iki hız toplanarak saniyede 4.3 metre sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Yolcunun kendi yürüme hızını vyv_y ve 1. yürüyen bandın hızını vb1v_{b1} olarak belirleyip hareket yönlerine göre hız denklemlerini yazma.
vy+vb1=32v_y + v_{b1} = 3{}2 ve vy−vb1=08v_y - v_{b1} = 0{}8 denklemleri elde edilir.
Yolcu bantla aynı yönde yürüdüğünde hızlar toplanır, ters yönde yürüdüğünde ise yolcunun hızından bandın hızı çıkarılır.
2
Denklem sistemini taraf tarafa toplama yöntemiyle çözerek bilinmeyen hız değerlerini bulma.
2vy=40⇒vy=22v_y = 4{}0 \Rightarrow v_y = 2 m/s ve 2+vb1=32⇒vb1=122 + v_{b1} = 3{}2 \Rightarrow v_{b1} = 1{}2 m/s bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sisteminde değişkenlerden birini yok ederek sonuca ulaşılır.
3
2. yürüyen bandın hızını (vb2v_{b2}) ve yolcunun %25 artırılmış yeni yürüme hızını (vy2v_{y2}) hesaplama.
vb2=12×15=18v_{b2} = 1{}2 \times 1{}5 = 1{}8 m/s ve vy2=2×125=25v_{y2} = 2 \times 1{}25 = 2{}5 m/s bulunur.
Verilen oranlar ve yüzde artış miktarı kullanılarak yeni durumdaki hız bileşenleri elde edilir.
4
Yolcunun 2. bant üzerindeki toplam hızını hesaplama.
vtoplam=vy2+vb2=25+18=43v_{toplam} = v_{y2} + v_{b2} = 2{}5 + 1{}8 = 4{}3 m/s bulunur.
Yolcu 2. bant üzerinde de bantla aynı yönde hareket ettiği için hızlar toplanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve yok etme metoduyla çözülmesi.
Soru 306Soru →

Bir aa gerçel sayısı için ∣∣x−3∣−a∣=2||x - 3| - a| = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 33 elemanlı olduğuna göre, bu denklemin köklerinin toplamı 99'dur. Bu iddia doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Bir aa gerçel sayısı için ∣∣x−3∣−a∣=2||x - 3| - a| = 2 denkleminin çözüm kümesi 33 elemanlı ise a=2a = 2 olmalıdır. Bu durumda denklemin kökleri x=−1x = -1, x=3x = 3 ve x=7x = 7 olup toplamları 99'dur. Dolayısıyla iddia doğrudur.
Verilen denklemde 33 farklı gerçel kök bulunabilmesi için mutlak değerli ifadelerden birinin sonucunun sıfır, diğerinin ise pozitif olması gerekir. Bu durum ancak a=2a = 2 için geçerlidir. Bu durumda denklemin kökleri sırasıyla −1-1, 33 ve 77 olarak bulunur ve bu köklerin toplamı 99 olduğundan verilen iddia doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli denklemi iki ayrı durum olarak inceleme
∣x−3∣=a+2|x - 3| = a + 2 veya ∣x−3∣=a−2|x - 3| = a - 2
Dıştaki mutlak değer tanımı gereği, ifadenin içi 22 veya −2-2 değerlerini alabilir.
2
Kök sayısının 33 olması koşulunu değerlendirme
a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2
∣x−c∣=k|x - c| = k denkleminin tek kökünün olması için k=0k = 0 olmalıdır. a+2=0a + 2 = 0 durumu diğer denklemin kökünün olmamasına (∣x−3∣=−4|x-3| = -4) yol açarak toplamda sadece 11 kök üretir. Bu nedenle a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2 olmalıdır, bu durumda ∣x−3∣=4|x-3| = 4 denklemi 22 kök, ∣x−3∣=0|x-3| = 0 denklemi ise 11 kök üreterek toplam kök sayısını 33 yapar.
3
Bulunan a=2a = 2 değeri için kökleri bulma ve toplama
x1=7x_1 = 7, x2=−1x_2 = -1, x3=3x_3 = 3 ve Kökler toplamı =7+(−1)+3=9= 7 + (-1) + 3 = 9
a=2a = 2 için oluşan ∣x−3∣=4|x-3|=4 denkleminin kökleri 77 ve −1-1; ∣x−3∣=0|x-3|=0 denkleminin kökü ise 33'tür.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerde kök sayısının analizi ve köklerin bulunması
Soru 307Soru →
∣2x−6∣+∣y+4∣≤0|2x - 6| + |y + 4| \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx ve yy gerçel sayıları için x+yx + y toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan değerler için x+yx + y toplamı −1-1 olur.
Mutlak değerler negatif değer alamayacağından, toplamlarının sıfırdan küçük veya eşit olabilmesi için her iki mutlak değerin de aynı anda sıfır olması gerekir. Buradan x=3x = 3 ve y=−4y = -4 bulunur. Bu değerlerin toplamı −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerlerin negatif olamama özelliğini kullanarak eşitsizlik analizini yapma
∣2x−6∣=0|2x - 6| = 0 ve ∣y+4∣=0|y + 4| = 0
Herhangi bir gerçel sayı için mutlak değer daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olduğundan, iki mutlak değerli ifadenin toplamının sıfırdan küçük veya eşit olabilmesi ancak ikisinin de sıfır olmasıyla mümkündür.
2
İlk ifadeden xx değerini bulma
x=3x = 3
2x−6=02x - 6 = 0 denkleminden xx yalnız bırakılır.
3
İkinci ifadeden yy değerini bulma
y=−4y = -4
y+4=0y + 4 = 0 denkleminden yy yalnız bırakılır.
4
xx ve yy değerlerini toplama
x+y=−1x + y = -1
Bulunan x=3x = 3 ve y=−4y = -4 değerleri toplanarak istenen sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerin negatif olamama özelliği ve eşitsizlik çözümlerine uygulanması.
Soru 308Soru →

Her aa gerçel sayısı için ∣∣x−a∣−2∣=3||x - a| - 2| = 3 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 4 elemanlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır. Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 4 elemanlı değil, her a gerçel sayısı için 2 elemanlıdır.
Verilen önerme yanlıştır, çünkü mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşit olamaz ve bu durum denklemin kök sayısını azaltarak toplamda sadece 2 kök oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi dıştaki mutlak değerden kurtararak iki ayrı eşitlik şeklinde yazın.
∣x−a∣−2=3|x - a| - 2 = 3 veya ∣x−a∣−2=−3|x - a| - 2 = -3 elde edilir.
∣u∣=c|u| = c (burada c≥0c \ge 0) ise u=cu = c veya u=−cu = -c özelliğini uygulamaktır.
2
Elde edilen eşitliklerdeki sabit terimleri sağ tarafa geçirerek mutlak değerli terimleri yalnız bırak��n.
∣x−a∣=5|x - a| = 5 veya ∣x−a∣=−1|x - a| = -1 denklemlerine ulaşılır.
İçteki mutlak değerli ifadelerin eşit olduğu değerleri belirlemektir.
3
Bulunan denklemlerin gerçel sayılardaki çözüm kümelerini ve eleman sayılarını analiz edin.
∣x−a∣=5|x - a| = 5 denkleminin kökleri x=a+5x = a + 5 ve x=a−5x = a - 5 olup 2 elemanlıdır. ∣x−a∣=−1|x - a| = -1 denkleminin ise mutlak değerin negatif olamayacağı kuralı gereği gerçel sayılarda çözümü yoktur (boş kümedir).
Her bir alt denklemin köklerini bulup toplam gerçel kök sayısının 2 olduğunu saptamaktır.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümünde mutlak değerin tanımı gereği negatif sayılara eşit olamayacağı gerçeği.
Soru 309Soru →

Bir çiftlikteki koyunların sayısı xx ve keçilerin sayıs�� yy birer pozitif tam sayıdır. Bu çiftlikteki hayvan sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

- Koyunların sayısı, keçilerin sayısının 2 katından fazladır.
- Çiftlikteki toplam koyun ve keçi sayısı en fazla 60'tır.

Buna göre, bu çiftlikteki keçi sayısının (yy) alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Keçi sayısının (yy) alabileceği en büyük değer 19'dur.
Koyun sayısı xx ve keçi sayısı yy birer pozitif tam sayı olduğundan, x>2yx > 2y eşitsizliği en az x=2y+1x = 2y + 1 olabileceğini gösterir. Bu değeri toplamı belirten x+y≤60x + y \le 60 eşitsizliğinde yerine yazdığımızda 2y+1+y≤60  ⟹  3y+1≤60  ⟹  3y≤592y + 1 + y \le 60 \implies 3y + 1 \le 60 \implies 3y \le 59 elde edilir. Bu koşulu sağlayan en büyük yy tam sayısı 19'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitsizlik sistemine dönüştürmek.
x>2yx > 2y ve x+y≤60x + y \le 60 (burada x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+)
Problemde verilen sınır koşullarını belirlemek amacıyla eşitsizlik sistemi kurulur.
2
xx ve yy değişkenlerinin pozitif tam sayı olma özelliğini kullanarak birinci eşitsizliği düzenlemek.
x≥2y+1x \ge 2y + 1
Tam sayılarda büyüktür (>>) ifadesi, en az 1 fazlasına eşit veya büyük olmak (≥\ge) anlamına gelir.
3
Birinci eşitsizlikteki sınır değerini ikinci eşitsizlikte yerine yazarak yy için üst sınırı bulmak.
3y+1≤60  ⟹  3y≤59  ⟹  y≤193y + 1 \le 60 \implies 3y \le 59 \implies y \le 19
yy'nin alabileceği en büyük pozitif tam sayı değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin tam sayılarda çözümü ve sınır değerlerin analizi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 310Soru →

Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için
- ∣x−y∣=∣x∣−∣y∣|x - y| = |x| - |y|
- ∣y−z∣=∣y∣+∣z∣|y - z| = |y| + |z|
- ∣x+z∣=∣x∣−∣z∣|x + z| = |x| - |z|
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0

Cevap

x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0 ifadesinin yer aldığı seçenek
Verilen mutlak değer özelliklerinden xx ile yy sayılarının aynı işaretli, yy ile zz sayılarının zıt işaretli ve xx ile zz sayılarının zıt işaretli olduğu anlaşılır. Ayrıca ∣x∣>∣y∣|x| > |y| ve ∣x∣>∣z∣|x| > |z| koşulları sağlanır. Bu verilere göre ortaya çıkan iki farklı işaret durumunun her birinde xx ile y−zy - z ifadeleri her zaman aynı işaretli olduğundan, çarpımları (x⋅(y−z)x \cdot (y - z)) her zaman sıfırdan büyük olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer özelliklerini kullanarak değişkenlerin işaret durumlarını ve mutlak değerce büyüklük ilişkilerini belirlemek.
∣x−y∣=∣x∣−∣y∣  ⟹  x|x - y| = |x| - |y| \implies x ve yy aynı işaretlidir (x⋅y>0x \cdot y > 0) ve ∣x∣>∣y∣|x| > |y| olur.
∣y−z∣=∣y∣+∣z∣  ⟹  y|y - z| = |y| + |z| \implies y ve zz zıt işaretlidir (y⋅z<0y \cdot z < 0) olur.
∣x+z∣=∣x∣−∣z∣  ⟹  x|x + z| = |x| - |z| \implies x ve zz zıt işaretlidir (x⋅z<0x \cdot z < 0) ve ∣x∣>∣z∣|x| > |z| olur.
Her bir mutlak değer eşitliği, ifadelerin işaret ve mutlak değer büyüklük ilişkileri hakkında kesin bilgiler sunar.
2
Değişkenlerin olası işaret kombinasyonlarını tespit etmek.
xx ile yy aynı işaretli, yy ile zz zıt işaretli, xx ile zz ise zıt işaretlidir. Buna göre iki durum mevcuttur:
Durum 1: x>0x > 0, y>0y > 0 ve z<0z < 0
Durum 2: x<0x < 0, y<0y < 0 ve z>0z > 0
Seçeneklerin her durumda doğruluğunu denetleyebilmek için tüm olası işaret gruplarını belirlemeliyiz.
3
x⋅(y−z)x \cdot (y - z) ifadesini bu iki durum altında incelemek.
Durum 1 için: x>0x > 0 ve y>0,z<0y > 0, z < 0 olduğundan y−z>0y - z > 0 olur. Çarpım: (+)⋅(+)>0(+) \cdot (+) > 0 bulunur.
Durum 2 için: x<0x < 0 ve y<0,z>0y < 0, z > 0 olduğundan y−z<0y - z < 0 olur. Çarpım: (-) \cdot (-) > 0$ bulunur.
Her iki durumda da sonuç sıfırdan büyüktür.
x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0 eşitsizliğinin her iki durum için de sağlandığını teyit etmek.

Anahtar Kavram

Mutlak değer dışına çıkarma ve zıt/aynı işaretli ifadelerin mutlak değer özellikleri
Soru 311Soru →
∣2x−5∣≤3|2x - 5| \leq 3 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,4][1, 4]

Cevap

Kapalı aralık [1,4][1, 4]
Mutlak değerli eşitsizlik özelliğine göre, ∣2x−5∣≤3|2x - 5| \leq 3 ifadesi −3≤2x−5≤3-3 \leq 2x - 5 \leq 3 şeklinde yazılır. Eşitsizliğin her tarafına 5 eklendiğinde 2≤2x≤82 \leq 2x \leq 8 elde edilir. Her taraf 2'ye bölündüğünde ise 1≤x≤41 \leq x \leq 4 bulunur. Eşitsizlikte küçük eşit sembolü olduğu için sınırlar dahildir ve çözüm kümesi [1,4][1, 4] kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizlik özelliğini kullanarak mutlak değer ifadesini aralık biçiminde yazın.
−3≤2x−5≤3-3 \leq 2x - 5 \leq 3
∣f(x)∣≤a|f(x)| \leq a biçimindeki eşitsizlikler −a≤f(x)≤a-a \leq f(x) \leq a şeklinde açılır.
2
Eşitsizliğin her tarafına 5 ekleyerek ortadaki 2x2x terimini yalnız bırakın.
2≤2x≤82 \leq 2x \leq 8
Değişkeni yalnız bırakmak için sabit terimi yok etmek gerekir.
3
Eşitsizliğin her tarafını 2'ye bölerek xx değişkeninin aralığını bulun.
1≤x≤41 \leq x \leq 4
xx değişkeninin katsayısını 1 yapmak için eşitsizlik pozitif bir sayıya bölünür.
4
Sınır değerlerinin dahil olup olmadığını belirleyerek çözüm kümesini aralık olarak yazın.
[1,4][1, 4]
Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (≤\leq) sembolü kullanıldığı için sınır değerleri dahil edilir ve kapalı aralık kullanılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin özellikleri ve sınır değerlerin aralığa dahil edilmesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 312Soru →

Bir sayı doğrusu üzerinde işaretlenen aa ve bb tam sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* aa sayısının 33 noktasına olan uzaklığı ile bb sayısının −2-2 noktasına olan uzaklığının toplamı 55 birimdir.
* aa sayısının bb sayısına oranı bir tam sayıdır.

Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

27
Doğru cevap olan 27 değeri, mutlak değerli denklemin tam sayılardaki tüm çözümleri çıkarıldıktan sonra oranlama kısıtlamasını sağlayan a∈{−2,−1,0,1,2,3,4,5,7,8}a \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\} kümesinin elemanlarının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık tanımını kullanarak verilen ifadeyi mutlak değerli bir denkleme dönüştürün.
∣a−3∣+∣b−(−2)∣=5⇒∣a−3∣+∣b+2∣=5|a - 3| + |b - (-2)| = 5 \Rightarrow |a - 3| + |b + 2| = 5 denklemi elde edilir.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.
2
aa ve bb tam sayı olduğundan, mutlak değerli ifadelerin alabileceği negatif olmayan tam sayı değerlerini belirleyin.
(∣a−3∣,∣b+2∣)(|a-3|, |b+2|) ikilisinin alabileceği değerler: (0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0) olmalıdır.
İki mutlak değerli ifadenin toplamı 5 ise ve içleri tam sayıysa, bu mutlak değerlerin sonuçları da negatif olmayan tam sayılar olmak zorundadır.
3
Her bir durum için aa ve bb tam sayılarını hesaplayıp ab\frac{a}{b} oranının bir tam sayı olma durumunu inceleyin.
Durum analizi:
* ∣a−3∣=0,∣b+2∣=5⇒a=3|a-3|=0, |b+2|=5 \Rightarrow a=3 ve b∈{3,−7}b \in \{3, -7\}. b=3b=3 için a/b=1a/b=1 tam sayıdır (uygun).
* ∣a−3∣=1,∣b+2∣=4⇒a∈{2,4}|a-3|=1, |b+2|=4 \Rightarrow a \in \{2, 4\}, b∈{2,−6}b \in \{2, -6\}. b=2b=2 için a/ba/b oranları tam sayıdır ⇒a=2\Rightarrow a=2 ve a=4a=4 (uygun).
* ∣a−3∣=2,∣b+2∣=3⇒a∈{1,5}|a-3|=2, |b+2|=3 \Rightarrow a \in \{1, 5\}, b∈{1,−5}b \in \{1, -5\}. b=1b=1 için oranlar tam sayıdır ⇒a=1,5\Rightarrow a=1, 5 (uygun). b=−5b=-5 için a=5⇒a/b=−1a=5 \Rightarrow a/b=-1 tam sayıdır.
* ∣a−3∣=3,∣b+2∣=2⇒a∈{0,6}|a-3|=3, |b+2|=2 \Rightarrow a \in \{0, 6\}, b∈{0,−4}b \in \{0, -4\}. b=0b=0 için oran tanımsızdır. b=−4b=-4 için a=0⇒a/b=0a=0 \Rightarrow a/b=0 tam sayıdır ⇒a=0\Rightarrow a=0 (uygun). (a=6a=6 için 6/−46/-4 tam sayı değildir, elenir).
* ∣a−3∣=4,∣b+2∣=1⇒a∈{−1,7}|a-3|=4, |b+2|=1 \Rightarrow a \in \{-1, 7\}, b∈{−1,−3}b \in \{-1, -3\}. b=−1b=-1 için oranlar tam sayıdır ⇒a=−1\Rightarrow a=-1 ve a=7a=7 (uygun).
* ∣a−3∣=5,∣b+2∣=0⇒a∈{−2,8}|a-3|=5, |b+2|=0 \Rightarrow a \in \{-2, 8\}, b=−2b=-2. b=−2b=-2 için a/ba/b oranları tam sayıdır ⇒a=−2\Rightarrow a=-2 ve a=8a=8 (uygun).
Tanımsızlık oluşturan paydanın sıfır olması durumu ve oranın tam sayı çıkmadığı durumlar elenmelidir.
4
Koşulları sağlayan benzersiz aa değerlerini toplayın.
a∈{−2,−1,0,1,2,3,4,5,7,8}a \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\} değerlerinin toplamı: (−2)+(−1)+0+1+2+3+4+5+7+8=27(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27 bulunur.
Bulunan tüm geçerli aa değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık kavramıyla ilişkilendirilerek tam sayı kısıtlamaları altında çözülmesi.
Soru 313Soru →

Bir düz yol üzerindeki AA ve BB duraklarının konumlar�� sırasıyla sayı doğrusunda 22 ve 88 sayıları ile modellenmiştir.

Bu yol üzerinde bulunan bir mobil temizlik robotunun AA durağına olan uzaklığının, BB durağına olan uzaklığına oranı 22'dir.

Buna göre, robotun sayı doğrusu üzerindeki konumunun alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Robotun alabileceği konumların toplamı olan 20 sayısıdır.
Robotun A(2)A(2) ve B(8)B(8) noktalarına olan uzaklıkları oranı 22 olduğundan ∣x−2∣=2∣x−8∣|x - 2| = 2|x - 8| denklemini yazarız. Bu denklem çözüldüğünde x=14x = 14 ve x=6x = 6 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2020'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Robotun sayı doğrusu üzerindeki konumunu xx olarak tanımlayıp duraklara olan uzaklıklarını mutlak değerle ifade etmek.
A(2)A(2) durağına uzaklık ∣x−2∣|x - 2| ve B(8)B(8) durağına uzaklık ∣x−8∣|x - 8| olup, verilen oranla ∣x−2∣=2∣x−8∣|x - 2| = 2|x - 8| denklemi kurulur.
Uzaklık kavramı mutlak değerle ifade edilir ve oran ilişkisi denkleme dönüştürülür.
2
Mutlak değerli ifadelerin aynı işaretli olduğu ilk durumu (x−2=2(x−8)x - 2 = 2(x - 8)) çözmek.
x−2=2x−16  ⟹  x=14x - 2 = 2x - 16 \implies x = 14 bulunur.
Mutlak değer dışına pozitif veya aynı işaretle çıkarma durumunu incelemek için.
3
Mutlak değerli ifadelerin zıt işaretli olduğu ikinci durumu (x−2=−2(x−8)x - 2 = -2(x - 8)) çözmek.
x−2=−2x+16  ⟹  3x=18  ⟹  x=6x - 2 = -2x + 16 \implies 3x = 18 \implies x = 6 bulunur.
Mutlak değer dışına zıt işaretle çıkarma durumunu incelemek için.
4
Bulunan xx değerlerini toplamak.
14+6=2014 + 6 = 20 elde edilir.
Soruda robotun alabileceği farklı konum değerlerinin toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerde uzaklık tanımı ve iki ucu açık denklemlerin çözümü.
Soru 314Soru →

Bir araştırma gemisine bağlı denizaltının deniz seviyesine göre konumlandığı güvenli derinlik hh metredir (deniz seviyesinin altı pozitif yön olarak kabul edilmektedir). Denizaltı araştırma yapmak üzere dikey doğrultuda hareket ettiğinde bulunduğu yy derinliğinin, güvenli derinliğe olan uzaklığının 22 katı ile 1515 metre arasındaki farkının mutlak değeri 99 metredir. Bu koşulu sağlayan en derin konum 120120 metre olduğuna göre, güvenli derinlik olan hh kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Güvenli derinlik 108 metredir.
Denklemin çözümü sonucunda elde edilen olası derinlik değerleri incelendiğinde, en derin konumun h+12h + 12 olduğu görülür. En derin konumun 120 metreye eşitlenmesiyle güvenli derinlik 108 metre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel olarak verilen ilişkileri mutlak değerli denklem biçiminde modelleme
∣∣2∣y−h∣−15∣=9||2|y - h| - 15| = 9 denklemi elde edilir.
Derinlikler arasındaki uzaklık mutlak değerle ifade edilir ve iki aşamalı uzaklık ilişkisi iç içe mutlak değer yapısı gerektirir.
2
Dış mutlak değeri kaldırarak iki farklı durumu inceleme
∣y−h∣=12|y - h| = 12 ve ∣y−h∣=3|y - h| = 3 denklemleri elde edilir.
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu pozitif bir sayıya eşit olduğunda, mutlak değerin içi bu sayının kendisine veya negatifine eşit olabilir.
3
İçteki mutlak değerli denklemleri çözerek olası yy değerlerini belirleme
y∈{h−12,h−3,h+3,h+12}y \in \{h-12, h-3, h+3, h+12\} kümesi elde edilir.
Her bir mutlak değerli denklem ikişer kök üretir.
4
En derin konumu veren ifadeyi 120'ye eşitleyerek hh değerini hesaplama
h=108h = 108 elde edilir.
Kümedeki en büyük değer h+12h+12 olup, bu değer en derin konumu temsil eder.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler ve Uzaklık Kavramı
Soru 315Soru →

Bir lojistik firmasının deposunda bulunan A ve B tipi kolilerin kütleleri kg cinsinden sırasıyla iki basamaklı xyxy ve yxyx doğal sayılarıdır. Bu kolilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* 3 tane A tipi koli ile 2 tane B tipi kolinin toplam kütlesi 229229 kg'dır.
* 1 tane A tipi kolinin kütlesi, 1 tane B tipi kolinin kütlesinden 1818 kg fazladır.

Buna göre, 3x−2y3x - 2y ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
A tipi koli kütlesi olan AA ve B tipi koli kütlesi olan BB için 3A+2B=2293A + 2B = 229 ve A−B=18A - B = 18 denklemleri kurulur. Bu denklem sistemi çözüldüğünde A=53A = 53 ve B=35B = 35 değerleri elde edilir. A=xyA = xy ve B=yxB = yx iki basamaklı sayılar olduğundan x=5x = 5 ve y=3y = 3 bulunur. Buradan 3x−2y=3(5)−2(3)=93x - 2y = 3(5) - 2(3) = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kolilerin kütleleri olan A ve B için verilen bilgileri kullanarak birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurun.
3A+2B=2293A + 2B = 229 ve A−B=18A - B = 18 denklem sistemi elde edilir.
Soruda verilen koli adetleri ve kütle ilişkilerini matematiksel olarak ifade etmek için.
2
İkinci denklemden A=B+18A = B + 18 ifadesini birinci denklemde yerine yazarak B değerini bulun.
3(B+18)+2B=229⇒5B+54=229⇒5B=175⇒B=353(B + 18) + 2B = 229 \Rightarrow 5B + 54 = 229 \Rightarrow 5B = 175 \Rightarrow B = 35 bulunur.
Tek bilinmeyenli denklem elde edip çözüme ulaşmak için.
3
Bulunan B değerini kullanarak A değerini hesaplayın.
A=35+18=53A = 35 + 18 = 53 bulunur.
Diğer kolinin kütlesini belirlemek için.
4
Bulunan A=53A = 53 ve B=35B = 35 değerlerini xyxy ve yxyx iki basamaklı sayıları ile eşleştirerek x ve y rakamlarını belirleyin.
x=5x = 5 ve y=3y = 3 bulunur.
İstenen ifadeyi hesaplayabilmek için değişkenlerin rakam değerlerini bulmak gerekir.
5
Bulunan x ve y değerlerini 3x−2y3x - 2y ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
3(5)−2(3)=15−6=93(5) - 2(3) = 15 - 6 = 9 elde edilir.
Soruda sorulan ifadenin nihai sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 316Soru →
aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere,
(a−1)x+3y=b(a - 1)x + 3y = b
4x+(a+3)y=84x + (a + 3)y = 8
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Buna göre,
ax+2y=10ax + 2y = 10
6x+by=c6x + by = c
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, cc gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İkinci denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için değişkenlerin katsayıları oranı birbirine eşit olmalı, ancak bu oran sabit terimlerin oranından farklı olmalıdır. Bu koşulu bozan ve sistemi sonsuz çözümlü hale getiren c değeri 20 olduğundan, c sayısı 20 olamaz.
Birinci denklem sisteminin sonsuz elemanlı çözüm kümesine sahip olması için katsayılar oranı birbirine eşit olmalıdır. Buradan a=3a = 3 ve b=4b = 4 pozitif tam sayı değerleri bulunur. İkinci denklem sisteminde bu değerler yerine yazıldığında, sistemin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için değişkenlerin katsayıları oranı eşit olmalı (3/6=2/4=1/23/6 = 2/4 = 1/2), ancak sabit terimlerin oranı bu orandan farklı olmalıdır (10/c≠1/210/c \neq 1/2). Bu durum c≠20c \neq 20 olmasını gerektirir. Dolayısıyla, cc gerçel sayısı 2020 değerini alamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklem sisteminin sonsuz elemanlı çözüm kümesine sahip olması için katsayılar oranını kurun.
a−14=3a+3=b8\frac{a-1}{4} = \frac{3}{a+3} = \frac{b}{8}
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin sonsuz çözümlü olması, iki doğrunun çakışık olması demektir. Bu durumda x ve y değişkenlerinin katsayıları oranı, sabit terimlerin oranına eşit olmalıdır.
2
a−14=3a+3\frac{a-1}{4} = \frac{3}{a+3} eşitliğini kullanarak aa değerini bulun.
(a−1)(a+3)=12  ⟹  a2+2a−3=12  ⟹  a2+2a−15=0  ⟹  (a+5)(a−3)=0(a-1)(a+3) = 12 \implies a^2 + 2a - 3 = 12 \implies a^2 + 2a - 15 = 0 \implies (a+5)(a-3) = 0. aa pozitif tam sayı olduğundan a=3a = 3 bulunur.
aa değerini belirlemek için içler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden denklemi çözeriz ve pozitif tam sayı koşulunu uygularız.
3
a−14=b8\frac{a-1}{4} = \frac{b}{8} eşitliğini kullanarak bb değerini bulun.
a=3a = 3 için 3−14=b8  ⟹  24=b8  ⟹  b=4\frac{3-1}{4} = \frac{b}{8} \implies \frac{2}{4} = \frac{b}{8} \implies b = 4 bulunur.
bb değerini elde etmek için değişkenlerin katsayıları arasındaki bilinen oranı sabit terimlerin oranına eşitleriz.
4
Bulunan a=3a = 3 ve b=4b = 4 değerlerini ikinci denklem sisteminde yerine yazarak çözüm kümesinin boş küme olma koşulunu uygulayın.
İkinci sistem:
3x+2y=103x + 2y = 10
6x+4y=c6x + 4y = c
olur. Sistemin çözüm kümesinin boş küme olması için doğruların paralel olması gerekir:
36=24≠10c  ⟹  12≠10c  ⟹  c≠20\frac{3}{6} = \frac{2}{4} \neq \frac{10}{c} \implies \frac{1}{2} \neq \frac{10}{c} \implies c \neq 20 elde edilir.
Doğruların paralel olup kesişmemesi (çözüm kümesinin boş küme olması) için katsayılar oranı eşit olmalı, fakat sabitlerin oranı bu orandan farklı olmalıdır. c=20c = 20 durumunda doğrular çakışır ve çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümesi Durumları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 317Soru →
∣2x+1∣<9|2x + 1| < 9

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı -4'tür.
Eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen değer aralığı −5<x<4-5 < x < 4 olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı, −4-4 ile 33 arasındaki tüm tam sayıların toplanmasıyla −4-4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizlik kuralını uygulayarak mutlak değeri kaldırın.
−9<2x+1<9-9 < 2x + 1 < 9
∣f(x)∣<a|f(x)| < a (burada a>0a > 0) biçimindeki eşitsizlikler −a<f(x)<a-a < f(x) < a şeklinde açılır.
2
Eşitsizlikte x ifadesini yalnız bırakmak için sırasıyla işlemleri uygulayın.
−5<x<4-5 < x < 4
Eşitsizkin her üç tarafından da 1 çıkarılırsa −10<2x<8-10 < 2x < 8 elde edilir. Ardından her taraf 2'ye bölünürse −5<x<4-5 < x < 4 bulunur.
3
Bulunan aralıktaki tam sayıları belirleyin ve bu sayıları toplayın.
Tam sayılar: −4,−3,−2,−1,0,1,2,3-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; Toplam: −4-4
Sınır değerleri olan −5-5 ve 44 açık aralık sınırları olduğundan tam sayı olarak dahil edilmezler.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin açılması ve sınır değerlerin kontrolü
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 318Soru →

Bir sayı doğrusu üzerinde AA ve BB noktaları sırasıyla −4-4 ve 88 sayılarına karşılık gelmektedir.

Bu sayı doğrusu üzerinde bulunan bir P(x)P(x) noktasının AA ve BB noktalarına olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri 66 birimdir.

Buna göre, xx gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 4'tür.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık tanımından hareketle denklem ∣∣x+4∣−∣x−8∣∣=6||x + 4| - |x - 8|| = 6 şeklinde kurulur. Bu denklem çözüldüğünde elde edilen kökler x=5x = 5 ve x=−1x = -1 olup toplamları 4 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklıkların mutlak değer olarak ifadesi
P(x)P(x) noktasının A(−4)A(-4) noktasına uzaklığı ∣x−(−4)∣=∣x+4∣|x - (-4)| = |x + 4|, B(8)B(8) noktasına uzaklığı ∣x−8∣|x - 8| olarak yazılır.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık koordinatlar farkının mutlak değeridir.
2
Uzaklıklar farkının mutlak değer denkleminin kurulması
∣∣x+4∣−∣x−8∣∣=6||x + 4| - |x - 8|| = 6 denklemi elde edilir.
Uzaklıkların farkının mutlak değerinin 6 birim olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemin aralık analizi ile çözülmesi
Kritik noktalar olan −4-4 ve 88 için aralık incelemesi yapılır. Kökler sadece −4≤x<8-4 \leq x < 8 aralığındaki ∣2x−4∣=6|2x - 4| = 6 denkleminden x=5x = 5 ve x=−1x = -1 olarak bulunur.
Mutlak değerlerin işareti kritik noktalara göre değiştiği için sayı doğrusu bölgelere ayrılır.
4
Bulunan değerlerin toplanması
5+(−1)=45 + (-1) = 4 elde edilir.
Bulunan farklı köklerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklığın mutlak değerle ifadesi ve mutlak değerli denklemlerin aralık analizi ile çözümü.
Soru 319Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının 22 noktasına olan uzaklığı, −1-1 noktasına olan uzaklığının yarısından fazla değildir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx gerçel sayılarının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,5][1, 5]

Cevap

[1,5][1, 5] aralığı
Verilen sözel ifade 2∣x−2∣≤∣x+1∣2|x - 2| \leq |x + 1| şeklinde kurulur. Bu eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınıp düzenlendiğinde 3x2−18x+15≤03x^2 - 18x + 15 \leq 0 eşitsizliğine ulaşılır. Her iki taraf 3'e bölünerek elde edilen x2−6x+5≤0x^2 - 6x + 5 \leq 0 ifadesinin kökleri 1 ve 5 olup, işaret tablosuna göre bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu en geniş aralık kapalı [1,5][1, 5] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ilişkisini mutlak değerli eşitsizlik olarak kurma
∣x−2∣≤12∣x−(−1)∣|x - 2| \leq \frac{1}{2}|x - (-1)| yani 2∣x−2∣≤∣x+1∣2|x - 2| \leq |x + 1|
Bir aa sayısının bb sayısına uzaklığı ∣a−b∣|a - b| ile ifade edilir. 'Fazla değildir' ifadesi ise küçük veya eşit (\leq) anlamına gelir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak mutlak değerden kurtulma
(2∣x−2∣)2≤(∣x+1∣)2⇒4(x2−4x+4)≤x2+2x+1(2|x - 2|)^2 \leq (|x + 1|)^2 \Rightarrow 4(x^2 - 4x + 4) \leq x^2 + 2x + 1
Her iki taraf da negatif olmadığından karesi alındığında eşitsizlik yönü korunur ve mutlak değer sembolleri ortadan kalkar.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği düzenleme
4x2−16x+16≤x2+2x+1⇒3x2−18x+15≤04x^2 - 16x + 16 \leq x^2 + 2x + 1 \Rightarrow 3x^2 - 18x + 15 \leq 0
Tüm terimleri sol tarafa toplayarak standart ikinci dereceden eşitsizlik formuna ulaşıyoruz.
4
Eşitsizliği sadeleştirme ve kökleri bulma
x2−6x+5≤0⇒(x−1)(x−5)≤0x^2 - 6x + 5 \leq 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 5) \leq 0 olup kökler x=1x = 1 ve x=5x = 5 olarak bulunur.
İfadeyi 3 ile bölüp çarpanlarına ayırarak sınır değerleri (kökleri) belirliyoruz.
5
İşaret tablosu yaparak çözüm kümesini belirleme
x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesi [1,5][1, 5] aralığında negatif veya sıfır değerler alır. Dolayısıyla en geniş çözüm aralığı [1,5][1, 5] olur.
Köklerin dışında ifadenin işareti pozitif, köklerin arasında ise negatiftir. Bizden küçük veya eşit sıfır olan bölge istendiği için kapalı aralık alınır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve uzaklık kavramının cebirsel olarak ifade edilmesi

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik karesini almak yerine kritik noktalar olan x=−1x = -1 ve x=2x = 2 değerlerine göre sayı doğrusunu üç bölgeye ayırarak da çözülebilir. x<−1x < -1 için çözüm kümesi boş kümedir. −1≤x≤2-1 \leq x \leq 2 için eşitsizlik 1≤x≤21 \leq x \leq 2 aralığını verir. x>2x > 2 için ise 2<x≤52 < x \leq 5 aralığı elde edilir. Bu üç bölgedeki çözümler birleştirildiğinde [1,5][1, 5] aralığına ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 320Soru →

Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* aa sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı, bb sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından büyüktür.
* aa ve bb sayıları arasındaki uzaklık, bu iki sayının başlangıç noktasına olan uzaklıklarının toplamına eşittir.
* bb ve cc sayıları arasındaki uzaklık, bb sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından cc sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı çıkarılarak elde edilen değere eşittir.
* a+b>0a + b > 0

Buna göre,
∣b−a∣+∣c−b∣−∣a−c∣|b - a| + |c - b| - |a - c|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2(c - b)

Cevap

İki katı kadar olan c ve b farkı
Doğru olan iki katı kadar olan c ve b farkı seçeneği, b<c<0<ab < c < 0 < a sıralaması baz alınarak her bir mutlak değerli ifadenin içinin işaretinin doğru belirlenmesiyle elde edilir. Bu sıralamaya göre b−ab - a negatif olduğundan önüne eksi alarak a−ba - b olarak çıkar. c−bc - b pozitif olduğundan aynen c−bc - b olarak çıkar. a−ca - c pozitif olduğundan aynen a−ca - c olarak çıkar. İfadeler cebirsel olarak birleştirildiğinde doğru sadeleşme sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri mutlak değerli eşitliklere dönüştürmek ve ilk çıkarımları yapmak.
a sayısının başlangıç noktasına uzaklığı b'den büyük olduğundan ∣a∣>∣b∣|a| > |b| olur. a ve b sayıları arasındaki uzaklık ∣a−b∣|a - b| olup, bu uzaklık ∣a∣+∣b∣|a| + |b| değerine eşit olduğundan a ve b zıt işaretlidir (a⋅b<0a \cdot b < 0). b ve c sayıları arasındaki uzaklık ∣b−c∣|b - c| olup, bu uzaklık ∣b∣−∣c∣|b| - |c| değerine eşit olduğundan b ile c aynı işaretlidir (b⋅c>0b \cdot c > 0) ve ∣b∣>∣c∣|b| > |c| olmalıdır.
Sayı doğrusu üzerindeki geometrik uzaklık tanımlarını cebirsel mutlak değer özelliklerine dökerek değişkenlerin işaret ve büyüklük analizini gerçekleştirmek için.
2
Değişkenlerin işaret durumlarını ve sayı doğrusundaki kesin konumlarını belirlemek.
a ve b zıt işaretli olduğundan iki olasılık vardır. Eğer a<0a < 0 ve b>0b > 0 olsaydı, ∣a∣>∣b∣  ⟹  −a>b  ⟹  a+b<0|a| > |b| \implies -a > b \implies a + b < 0 çelişkisi doğardı. Dolayısıyla a>0a > 0 ve b<0b < 0 olmalıdır. Buradan a+b>0a + b > 0 koşulu da sağlanır. b ile c aynı işaretli olduğundan c<0c < 0 olur. ∣b∣>∣c∣|b| > |c| ve her ikisi de negatif olduğundan, sayı doğrusu üzerindeki sıralama b<c<0<ab < c < 0 < a şeklinde gerçekleşir.
Mutlak değer sembollerini kaldırabilmek için her bir mutlak değerin içinin pozitif veya negatif olduğunu kesin olarak tayin etmek amacıyla.
3
Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkararak sadeleştirme işlemini yapmak.
b<a  ⟹  b−a<0  ⟹  ∣b−a∣=−(b−a)=a−bb < a \implies b - a < 0 \implies |b - a| = -(b - a) = a - b olur. b<c  ⟹  c−b>0  ⟹  ∣c−b∣=c−bb < c \implies c - b > 0 \implies |c - b| = c - b olur. c<a  ⟹  a−c>0  ⟹  ∣a−c∣=a−cc < a \implies a - c > 0 \implies |a - c| = a - c olur. Bu ifadeler soruda yerine yazılırsa: (a−b)+(c−b)−(a−c)=a−b+c−b−a+c=2c−2b=2(c−b)(a - b) + (c - b) - (a - c) = a - b + c - b - a + c = 2c - 2b = 2(c - b) elde edilir.
Belirlenen işaret kuralları çerçevesinde cebirsel sadeleştirmeyi tamamlayıp doğru seçeneğe ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin geometrik anlamı, iki sayı arasındaki uzaklık ve zıt/aynı işaretli olma durumlarında mutlak değer dışına çıkarma kuralları.

Alternatif Yöntem

Sayıların kesin değerleri bilinmediği için bulunan b<c<0<ab < c < 0 < a ve ∣a∣>∣b∣>∣c∣|a| > |b| > |c| koşullarına uygun temsili değerler seçilebilir. Örneğin; a=5a = 5, b=−3b = -3, c=−2c = -2 değerleri seçildiğinde tüm öncüller ve eşitsizlikler sağlanır. Bu değerler ∣b−a∣+∣c−b∣−∣a−c∣|b - a| + |c - b| - |a - c| ifadesinde yerine yazılırsa: ∣−3−5∣+∣−2−(−3)∣−∣5−(−2)∣=∣−8∣+∣1∣−∣7∣=8+1−7=2|-3 - 5| + |-2 - (-3)| - |5 - (-2)| = |-8| + |1| - |7| = 8 + 1 - 7 = 2 bulunur. Seçeneklerde bu değerler yerine konduğunda sadece doğru olan ifade 2(c−b)=2(−2−(−3))=2(1)=22(c - b) = 2(-2 - (-3)) = 2(1) = 2 sonucunu vermektedir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 16 / 19Sonraki