Denklem ve Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 17

Soru 321Soru →

Dik koordinat düzleminde, $x$ ve $y$ gerçek sayıları için tanımlanan bir bölge aşağıdaki eşitsizlik sistemiyle belirlenmiştir:

-2y \le x - 4

x + y < 3

Bu bölgeyi dik koordinat düzleminde göstermek isteyen bir öğrenci;

I. Birinci eşitsizlikte $y$ 'yi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafını $-2$ ile bölerken eşitsizliğin yönünü değiştirmeyi unutmuş,
II. İkinci eşitsizlikte ise sınır doğrusunun çözüm kümesine dahil olduğunu düşünerek sınır doğrusunu kesikli çizgi yerine düz çizgi olarak çizmiştir.

Buna göre, bu öğrencinin yaptığı işlemler sonucunda elde ettiği hatalı eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?

y \ge -\frac{x}{2} + 2

ve

x + y < 3

y \le -\frac{x}{2} + 2

ve

x + y < 3

y \le -\frac{x}{2} + 2

ve

x + y \le 3

y \ge -\frac{x}{2} + 2

ve

x + y \le 3

y < -\frac{x}{2} + 2

ve

x + y \le 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y \le -\frac{x}{2} + 2$ ve $x + y \le 3$

Cevap

Öğrencinin elde ettiği hatalı eşitsizlik sistemi

y \le -\frac{x}{2} + 2

ve

x + y \le 3

şeklindedir.

Öğrencinin yaptığı hatalar incelendiğinde; ilk eşitsizlikte negatif bir sayıya bölme yapılmasına rağmen yön değiştirme unutulduğu için küçük eşittir sembolü kalmıştır. İkinci eşitsizlikte ise sınırın dahil olduğu varsayılarak küçüktür sembolü küçük eşittir sembolüne dönüştürülmüştür. Bu iki hatalı durumu içeren seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizlik olan

-2y \le x - 4

ifadesinde

y

değişkenini yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafını

-2

ile bölme işlemi tanımlanır.

y \le -\frac{x}{2} + 2

Öğrenci negatif bir sayıya bölerken yön değiştirmeyi unuttuğu için küçük eşittir sembolü korunmuştur.

2

İkinci eşitsizlik olan

x + y < 3

ifadesindeki sınır doğrusunun dahil edilme durumu incelenir.

x + y \le 3

Öğrenci sınır doğrusunun dahil olduğunu (düz çizgi) varsaydığı için küçüktür sembolünü küçük eşittir sembolüne dönüştürmüştür.

3

Her iki adımdaki hatalı ifadeler bir araya getirilerek yeni sistem oluşturulur.

y \le -\frac{x}{2} + 2

ve

x + y \le 3

Öğrencinin elde ettiği nihai hatalı eşitsizlik sistemini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinde eşitsizliğin yön değiştirme kuralı ve sınır doğrularının dahiliyet durumu.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 322Soru →

|x - 2| \leq 4

|2x - a| > 6

eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının sayısı 5'tir.

Buna göre, $a$ pozitif tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük pozitif a tam sayısı 11'dir.

İlk eşitsizliği sağlayan 9 tam sayıdan

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

, ikinci eşitsizliği sağlamayan

[(a-6)/2, (a+6)/2]

aralığına tam olarak 4 tanesinin düşmesi gerekir. a pozitif tam sayısı için bu koşulu sağlayan en küçük değer a=11 olup, hariç tutulan aralık

[2.5, 8.5]

olur ve ilk kümeden

\{3, 4, 5, 6\}

sayılarını kapsayarak geriye 5 çözüm bırakır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk mutlak değerli eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak ve bu aralıktaki tam sayıları listelemek.

-2 \leq x \leq 6

aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar:

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

(9 adet).

Sistemin ilk koşulunu sağlayan x değerlerini belirlemek.

2

İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini ve sistemi sağlamayan (hariç tutulan) aralığı belirlemek.

x > \frac{a+6}{2}

veya

x < \frac{a-6}{2}

çözümü elde edilir. Sistemi sağlamayan bölge ise

\frac{a-6}{2} \leq x \leq \frac{a+6}{2}

aralığıdır.

İkinci eşitsizliğin sınırlarını a parametresi cinsinden ifade etmek.

3

İlk kümedeki tam sayılardan kaç tanesinin hariç tutulan aralıkta olması gerektiğini belirlemek.

Toplam 9 tam sayıdan 5'inin sistemi sağlaması için, hariç tutulan aralıkta ilk kümeden tam olarak

9 - 5 = 4

tam sayı bulunmalıdır.

Sistemi sağlayan tam sayı adedinin tam olarak 5 olmasını sağlamak.

4

En küçük pozitif a tam sayısını bulmak için değerleri analiz etmek.

a = 11

için hariç tutulan aralık

[2.5, 8.5]

olur. Bu aralıktaki tam sayılar

\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}

olup ilk küme ile kesişimi

\{3, 4, 5, 6\}

(4 eleman) şeklindedir. Böylece geriye kalan

\{-2, -1, 0, 1, 2\}

(5 eleman) sistemi sağlar.

a < 11

değerleri için bu kesişim 4'ten fazla eleman içerir veya kalan eleman sayısı 5 olmaz.

Koşulları sağlayan en küçük pozitif a tam sayı değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizlik sistemlerinin ortak çözüm kümesinin bulunması ve aralık analizi.

Soru 323Soru →

Bir bilye üretim tesisinde üretilen standart bilyelerin çapları $d$ milimetredir. Kalite kontrol sürecinde, bir bilyenin çapının $8\text{ mm}$ ve $14\text{ mm}$ değerlerine olan uzaklıklarının toplamı $10\text{ mm}$ olarak ölçülmüştür. Buna göre, bu koşulu sağlayan $d$ çap değerlerinin toplamı $22\text{ mm}$ 'dir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemi sağlayan

d

değerlerinin toplamı

22\text{ mm}

'dir.

Denklemin çözüm kümesi

\{6, 16\}

olup, bu değerlerin toplamı

22

olduğundan ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Bilyenin çapının

8\text{ mm}

ve

14\text{ mm}

değerlerine olan uzaklıklarının toplamını ifade eden mutlak değerli denklemi kurun.

|d - 8| + |d - 14| = 10

Bir sayının diğer sayılara olan uzaklığı mutlak değer ile ifade edilir.

2

Denklemi kritik noktalar olan

d = 8

ve

d = 14

değerlerine göre üç farklı aralıkta inceleyin.

d < 8

için

d = 6

(geçerli);

8 \le d \le 14

için çözüm yok (

6=10

çelişkisi);

d > 14

için

d = 16

(geçerli).

Mutlak değerli ifadelerin işaret değiştirdiği kritik noktalar belirlenerek mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanır.

3

Elde edilen kökleri toplayın.

6 + 16 = 22

Koşulu sağlayan tüm çap değerlerinin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemlerde Kritik Nokta Analizi ve Geometrik Yorum

Alternatif Yöntem

Mutlak değer fonksiyonlarının simetri özelliğinden yararlanarak,

|d - 8| + |d - 14| = 10

denkleminde

d = 8

ve

d = 14

noktalarının orta noktası olan

11

değerine göre simetriklik vardır. Denklemin kökleri

11

noktasına eşit uzaklıkta olacağından, köklerin toplamı orta noktanın

2

katı olan

2 \times 11 = 22

olur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 324Soru →

Sıfırdan farklı $a$ ve $b$ gerçel sayıları için $|a| - |b| < |a - b|$ eşitsizliğinin sağlanması için $a$ ve $b$ say��larının zıt işaretli olması zorunludur.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır, çünkü

a

ve

b

sayıları aynı işaretli olduğunda da

|a| < |b|

koşulu sağlandığı sürece eşitsizlik geçerliliğini korur.

Verilen ifade yanlıştır çünkü

a

ve

b

sayılarının zıt işaretli olması bir zorunluluk değildir; aynı işaretli olduklarında da

|a| < |b|

koşulu sağlandığı sürece eşitsizlik doğru olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin sağlanmadığı karşıt durumları bulmak amacıyla

|a| - |b| \geq |a - b|

durumunu inceleyelim.

Mutlak değerin temel özelliklerinden olan üçgen eşitsizliğine göre her

a, b \in \mathbb{R}

için

|a| - |b| \leq |a - b|

eşitsizliği daima doğrudur. Bu nedenle, ilk eşitsizliğin sağlanmaması sadece

|a| - |b| = |a - b|

eşitliği durumunda gerçekleşebilir.

Eşitsizliğin geçerli olmadığı sınır koşullarını belirleyerek çözüm kümesini daha net görebilmek için.

2

|a - b| = |a| - |b|

eşitliğini sağlayan koşullar�� bulmak için denklemi çözelim.

Eşitliğin sol tarafı mutlak değer olduğundan negatif olamaz, dolayısıyla

|a| \geq |b|

olmalıdır. Her iki tarafın karesini aldığımızda:

(a - b)^2 = (|a| - |b|)^2 \implies a^2 - 2ab + b^2 = a^2 - 2|ab| + b^2 \implies ab = |ab|

elde edilir. Bu eşitlik ise ancak

ab \geq 0

olduğunda geçerlidir.

Mutlak değer dışına çıkarma kurallarını uygulayabilmek amacıyla karesel açılım yapmak için.

3

Elde edilen sonuçları birleştirerek

|a| - |b| < |a - b|

eşitsizliğinin sağlandığı aralıkları belirleyelim.

Eşitsizlik sadece

ab \geq 0

(aynı işaretli veya sıfır) ve

|a| \geq |b|

durumunda sa��lanmaz. Soruda sayıların sıfırdan farklı olduğu belirtildiğinden, eşitsizlik şu iki durumda daima sağlanır: 1)

ab < 0

(zıt işaretli olmaları) veya 2)

ab > 0

iken

|a| < |b|

(aynı işaretli olmaları fakat

b

'nin mutlak değerce daha büyük olması).

Eşitsizliğin doğru olduğu tüm durumların analizini tamamlamak için.

4

Aynı işaretli olup eşitsizliği sağlayan somut bir karşıt örnek gösterelim.

a = 2

ve

b = 5

seçelim. Her ikisi de pozitif (aynı işaretli) sayılardır. Eşitsizlikte yerine yazdığımızda

|2| - |5| < |2 - 5| \implies -3 < 3

olur ki bu doğrudur. Dolayısıyla zıt işaretli olma zorunluluğu yoktur.

İddia edilen zorunluluğun aksini kanıtlayan bir örnek sunarak çözümü netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin üçgen eşitsizliği özelliği ve sayı doğrusu üzerindeki geometrik anlamı.

Soru 325Soru →

Bir hedef vurma oyununda oyuncular isabet ettirdikleri her atış için belirli bir artı puan almakta, karavana attıkları (hedefi vuramadıkları) her atış için ise belirli bir eksi puan almaktadır.

Bu oyunda:
* 12 atış yapan ve bu atışların 8'inde hedefi vuran Kerem toplam 44 puan almıştır.
* 15 atış yapan ve bu atışların 9'unda hedefi vuran Aslı toplam 39 puan almıştır.

Buna göre, bu oyunda tek bir atışta hedefi vuran bir oyuncu kaç puan kazanır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İsabetli tek bir atış için kazanılan puan 9'dur.

Kerem ve Aslı'nın isabetli ve karavana atış sayılarına göre kurulan

2x - y = 11

ve

3x - 2y = 13

denklem sisteminin ortak çözümü

x = 9

ve

y = 7

olarak bulunur. Bu durumda tek bir isabetli atış için kazanılan puan 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1

İsabetli ve karavana atışlar için değişken tanımlama

İsabetli atış puanı

x

, karavana atışta kaybedilen puan

y

olsun.

Soru durumunu cebirsel olarak ifade edebilmek için değişkenler atanır.

2

Kerem'in atışlarına göre birinci denklemi kurma

8x - 4y = 44

denklemi kurulur ve sadeleştirilerek

2x - y = 11

elde edilir.

Kerem 12 atıştan 8'ini vurup 4'ünü kaçırmış ve 44 puan almıştır.

3

Aslı'nın atışlarına göre ikinci denklemi kurma

9x - 6y = 39

denklemi kurulur ve sadeleştirilerek

3x - 2y = 13

elde edilir.

Aslı 15 atıştan 9'unu vurup 6'sını kaçırmış ve 39 puan almıştır.

4

Oluşturulan denklem sistemini çözme

2x - y = 11

denkleminden

y = 2x - 11

çekilir, diğer denklemde yerine yazılarak

x = 9

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sisteminin yok etme veya yerine koyma yöntemiyle çözülmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi.

Soru 326Soru →

Bir fırındaki ekmeklerin ideal pişme sıcakl��ğı $220^\circ\text{C}$ olarak belirlenmiştir. Fırının anlık sıcaklığı $x^\circ\text{C}$ olmak üzere, fırın sıcaklığının ideal sıcaklıktan sapma miktarı $|x - 220|^\circ\text{C}$ olarak tanımlanmaktadır. Fırın sıcaklığı ayarlanırken yapılan bir ölçümde, bu sapma miktarının $15^\circ\text{C}$ değerine olan uzaklığının $5^\circ\text{C}$ olduğu tespit edilmiştir. Buna göre, fırın sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç $^\circ\text{C}$ 'dir?

410

440

470

880

920

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 880

Cevap

Fırın sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı olan 880 derecedir.

Fırın sıcaklığının ideal pişme sıcaklığından sapma miktarı olan

|x - 220|

ifadesinin

15^\circ\text{C}

değerine uzaklığı

5^\circ\text{C}

olarak verildiğinden

||x - 220| - 15| = 5

denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü için dıştaki mutlak değer açılarak

|x - 220| - 15 = 5

ve

|x - 220| - 15 = -5

durumları incelenir. Buradan sırasıyla

|x - 220| = 20

ve

|x - 220| = 10

denklemlerine ulaşılır. Bu denklemler çözüldüğünde

x

değerleri

200, 210, 230

ve

240

olarak bulunur. Tüm bu değerlerin toplamı olan

880

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Sapma miktarı olan

|x - 220|

ifadesini yeni bir değişkenle (

y

) tanımlayarak denklemi kurmak.

y = |x - 220|

olsun. Sapma miktarının

15^\circ\text{C}

değerine uzaklığı

5^\circ\text{C}

olduğuna göre denklem

|y - 15| = 5

olur.

Sözel olarak verilen problemi matematiksel bir denkleme dönüştürmek için.

2

|y - 15| = 5

denklemini çözerek

y

değerlerini bulmak.

y - 15 = 5 \Rightarrow y = 20

veya

y - 15 = -5 \Rightarrow y = 10

bulunur. Her iki değer de mutlak değerin tanımına uygun olarak pozitif olduğundan geçerlidir.

Mutlak değerli bir denklemin iki farklı yönlü çözüm durumunu elde etmek için.

3

Bulunan

y

değerlerini yerine yazarak

x

için yeni mutlak değerli denklemleri çözmek.

|x - 220| = 20

için:

x - 220 = 20 \Rightarrow x_1 = 240

ve

x - 220 = -20 \Rightarrow x_2 = 200

olur.

|x - 220| = 10

için:

x - 220 = 10 \Rightarrow x_3 = 230

ve

x - 220 = -10 \Rightarrow x_4 = 210

olur.

Değişken dönüşümünü geri alarak fırın sıcaklığının alabileceği gerçek değerleri hesaplamak için.

4

Fırın sıcaklığının alabileceği tüm farklı değerleri toplamak.

240 + 200 + 230 + 210 = 880

bulunur.

Soru kökünde istenen toplam değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümü ve sapma problemlerinin modellenmesi

Soru 327Soru →

Bir gıda laboratuvarında üretilen zeytinyağlarının asitlik derecesi ölçülmektedir. Yapılan ölçümlerdeki hata payı en fazla $0,2$ birimdir. Laboratuvarda asitlik derecesi $x$ olarak ölçülen bir zeytinyağının gerçek asitlik derecesi $y$ olmak üzere,

|y - x| \leq 0,2

bağıntısı geçerlidir.

Ger��ek asitlik derecesi $0,8$ ile $1,6$ arasında (sınırlar dahil) olan zeytinyağları 'Naturel Sızma' olarak sınıflandırılmaktadır.

Buna göre, ölçülen asitlik derecesi $x$ olan bir zeytinyağının gerçekte kesinlikle 'Naturel Sızma' sınıfına ait olması için $x$ değerinin alabileceği tüm değerleri ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

|x - 1,2| \leq 0,4

|x - 1,2| \leq 0,6

|x - 1,2| \leq 0,2

|x - 1,2| < 0,2

|x - 1,4| \leq 0,2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $|x - 1,2| \leq 0,2$

Cevap

|x - 1,2| \leq 0,2

eşitsizliğidir.

Ölçülen asitlik derecesi

x

olan zeytinyağının gerçek asitlik derecesi

y

,

|y - x| \leq 0,2

eşitsizliğine göre

x - 0,2 \leq y \leq x + 0,2

aralığındadır. Bu zeytinyağının kesinlikle 'Naturel Sızma' sınıfına (yani

0,8 \leq y \leq 1,6

aralığına) ait olması için,

y

'nin alabileceği tüm değerlerin bu aralıkta kalması gerekir. Bu da

[x - 0,2, x + 0,2] \subseteq [0,8, 1,6]

olmasını gerektirir. Buradan

x - 0,2 \geq 0,8 \implies x \geq 1,0

ve

x + 0,2 \leq 1,6 \implies x \leq 1,4

elde edilir. Dolayısıyla

1,0 \leq x \leq 1,4

olmalıdır. Bu aralığın orta noktası

1,2

ve yarı genişliği

0,2

olduğundan, mutlak değerli eşitsizlik ifadesi

|x - 1,2| \leq 0,2

şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1

Hata payı bağıntısını açarak gerçek değerin aralığını bulunuz.

|y - x| \leq 0,2 \implies x - 0,2 \leq y \leq x + 0,2

elde edilir.

Ölçülen

x

değerine bağlı olarak gerçek asitlik derecesi

y

'nin hangi aralıkta yer alabileceğini belirlemek için.

2

Gerçek değerin kesinlikle 'Naturel Sızma' sınırlarında kalması koşulunu uygulayınız.

[x - 0,2, x + 0,2] \subseteq [0,8, 1,6]

olmalıdır. Buradan

x - 0,2 \geq 0,8 \implies x \geq 1,0

ve

x + 0,2 \leq 1,6 \implies x \leq 1,4

bulunur. Sonuç olarak

1,0 \leq x \leq 1,4

elde edilir.

Zeytinyağın��n her koşulda 'Naturel Sızma' sınıfına ait olmasını garanti altına almak için en kötü durum senaryolarındaki sınırları belirlemek amacıyla.

3

Elde edilen kapalı aralığı mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürünüz.

Aralığın orta noktası

\frac{1,0 + 1,4}{2} = 1,2

, sınır değerlerine olan uzaklığı (yarı genişlik)

1,4 - 1,2 = 0,2

birimdir. Buradan eşitsizlik

|x - 1,2| \leq 0,2

olarak yazılır.

Soru kökündeki cebirsel ifadeyi mutlak değer gösterimine çevirmek için.

Anahtar Kavram

Bir aralığın alt küme ilişkisi kullanılarak mutlak değerli eşitsizlik şeklinde modellenmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği değer vererek veya sınır değerlerini doğrudan deneyerek de çözebilirsiniz. Örneğin, sınır değerleri olan

x = 1,0

ve

x = 1,4

için gerçek asitlik derecesi sınırları tam olarak sağlandığından, ölçüm aralığının

[1,0, 1,4]

kapalı aralığı olduğu görülür. Bu aralığı veren mutlak değerli ifade doğrudan seçeneklerden kontrol edilerek doğru cevaba ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 328Soru →

Bir depodaki paketleri tartmak isteyen bir çalışan, elindeki özdeş A kutuları ve özdeş B kutularını eşit kollu bir terazi ve bazı kütlelerle tartmaktadır.

* Terazinin sol kefesine 3 adet A kutusu ile $2\text{ kg}$ 'lık bir kütle, sağ kefesine ise 2 adet B kutusu ile $3\text{ kg}$ 'lık bir kütle konulduğunda terazi dengede kalmaktadır.
* Terazinin sol kefesine 2 adet A kutusu ile $2\text{ kg}$ 'lık bir kütle, sağ kefesine ise 1 adet B kutusu ile $5\text{ kg}$ 'lık bir kütle konulduğunda terazi dengede kalmaktadır.

Buna göre, bir adet B kutusunun kütlesi bir adet A kutusunun kütlesinden kaç $\text{kg}$ fazladır?

3

4

5

2

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

B kutusunun kütlesi A kutusunun kütlesinden 2 kg fazladır.

Terazilerin denge durumlarından elde edilen

3a - 2b = 1

ve

2a - b = 3

denklemleri ortak çözüldüğünde kutuların kütleleri

a = 5

kg ve

b = 7

kg bulunur. Aralarındaki fark ise

7 - 5 = 2

kg'dır.

Adım Adım Çözüm

1

A kutusunun kütlesine

a

, B kutusunun kütlesine

b

diyerek terazinin ilk denge durumunu denklem haline getirelim.

3a + 2 = 2b + 3 \implies 3a - 2b = 1

denklemi elde edilir.

Terazinin sol ve sağ kefelerindeki toplam kütlelerin eşitliği ilk denklemi verir.

2

Terazinin ikinci denge durumunu denklem haline getirelim.

2a + 2 = b + 5 \implies b = 2a - 3

denklemi elde edilir.

İkinci denge durumundan

b

değişkenini

a

cinsinden ifade etmek çözüm kolaylığı sağlar.

3

İkinci denklemde elde ettiğimiz

b = 2a - 3

ifadesini birinci denklemde yerine koyarak tek bilinmeyenli bir denklem elde edip çözelim.

3a - 2(2a - 3) = 1 \implies 3a - 4a + 6 = 1 \implies -a = -5 \implies a = 5

olarak bulunur.

Yerine koyma yöntemiyle

a

bilinmeyeninin değerini bulmak için.

4

Bulduğumuz

a = 5

değerini

b = 2a - 3

eşitliğinde yerine yazarak

b

'yi bulalım.

b = 2(5) - 3 = 7

olarak bulunur.

Her iki kutunun kütlesini netleştirmek için.

5

Kutuların kütleleri arasındaki farkı hesaplayalım.

b - a = 7 - 5 = 2

kg bulunur.

Soruda bizden istenen fark değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Soru 329Soru →

|x^2 - 4| \leq |x - 2|

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

-6

-4

-2

0

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -4 değeridir.

Eşitsizlik

|x - 2|(|x + 2| - 1) \leq 0

şeklinde çarpanlara ayrıldığında, her

x

gerçel sayısı için

|x - 2| \geq 0

olduğundan çözüm iki durumdan gelir: ya

|x - 2| = 0

(yani

x = 2

) ya da

|x + 2| - 1 \leq 0

(yani

-3 \leq x \leq -1

) olur. Bu iki kümenin birleşiminden elde edilen tam sayılar

-3, -2, -1

ve

2

olup toplamları -4 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve mutlak değerin çarpım özelliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.

|x - 2| \cdot |x + 2| \leq |x - 2|

x^2 - 4 = (x-2)(x+2)

olduğundan

|x^2-4| = |x-2||x+2|

olarak yazılabilir.

2

Tüm ifadeleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.

|x - 2| \cdot (|x + 2| - 1) \leq 0

Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için çarpanlar��n işaretlerini incelemek gerekir.

3

Çarpanların sıfırdan küçük veya eşit olma durumlarını inceleyin.

|x - 2| = 0

veya

|x + 2| - 1 \leq 0

Her

x

gerçel sayısı için

|x - 2| \geq 0

olduğundan, çarpımın sonucunun sıfırdan küçük veya eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması ya da ikinci çarpanın negatif olması gerekir.

4

Her iki durumu ayrı ayrı çözün.

x = 2

ve

-3 \leq x \leq -1

|x - 2| = 0 \Rightarrow x = 2

olur.

|x + 2| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x + 2 \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x + 2 \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x \leq -1

elde edilir.

5

Bulunan çözüm aralıklarındaki tam sayıları listeleyin.

-3, -2, -1

ve

2

Hem aralıktaki uç değerler dahil olduğundan hem de tek nokta çözümü olan

2

gerçel sayısı birer tam sayıdır.

6

Bu tam sayıları toplayın.

-3 + (-2) + (-1) + 2 = -4

İstenen tam sayıların toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerin çarpım özelliği ve mutlak değerin negatif olamama kuralı.

Soru 330Soru →

Bir bulut depolama firması, kurumsal kullanıcılarına $A$ ve $B$ kapasiteli olmak üzere iki farklı depolama paketi sunmaktadır. Bu firmadan paket satın alan iki farklı şirketin tercihleri ve ödedikleri aylık toplam ücretler aşağıda verilmiştir:

- Birinci şirket; 3 adet $A$ paketi ve 4 adet $B$ paketi satın alarak aylık toplam $360$ TL ödemektedir.
- İkinci şirket; 2 adet $A$ paketi ve 5 adet $B$ paketi satın alarak aylık toplam $310$ TL ödemektedir.

Buna göre, 1 adet $A$ paketinin aylık ücreti, 1 adet $B$ paketinin aylık ücretinden kaç TL fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

A paketinin aylık ücreti, B paketinin aylık ücretinden 50 TL fazladır.

Doğru cevap 50'dir çünkü denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözüldüğünde A paketinin aylık ücreti 80 TL, B paketinin aylık ücreti ise 30 TL olarak bulunur. A paketinin ücretinin B paketinin ücretinden farkı

80 - 30 = 50

TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri belirleme ve denklem sistemini kurma

A

paketinin ücreti

x

TL,

B

paketinin ücreti

y

TL olmak üzere;

3x + 4y = 360

2x + 5y = 310

denklem sistemi elde edilir.

Soruda verilen bilgileri matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Yok etme metodunu uygulamak için katsayıları eşitleme

Birinci denklem 5 ile, ikinci denklem 4 ile çarpılarak;

15x + 20y = 1800

8x + 20y = 1240

denklemleri elde edilir.

y

değişkenini taraf tarafa çıkarma işlemiyle yok etmek için.

3

Taraf tarafa çıkarma ve

x

değerini bulma

7x = 560 \implies x = 80

olarak bulunur.

Ortak katsayılı olan

y

terimlerini sadeleştirip tek bilinmeyenli denklem elde etmek için.

4

y

değerini hesaplama

2(80) + 5y = 310 \implies 160 + 5y = 310 \implies 5y = 150 \implies y = 30

olarak bulunur.

Bulunan

x

değerini kullanarak diğer bilinmeyeni bulmak için.

5

İstenen farkı hesaplama

x - y = 80 - 30 = 50

olarak bulunur.

A

paketinin ücretinin

B

paketinden ne kadar fazla olduğunu bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yok etme yöntemiyle çözülmesi ve problem durumlarına uygulanması.

Alternatif Yöntem

Birinci denklemden ikinci denklemi doğrudan çıkararak

x - y

ifadesine ulaşmaya çalışabiliriz:

(3x + 4y) - (2x + 5y) = 360 - 310 \implies x - y = 50

Bu pratik yöntem sayesinde tek tek değişkenleri bulmaya gerek kalmadan doğrudan sonuca ulaşabiliriz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 331Soru →

Dik koordinat düzleminde,

d_1: (a-1)x + 4y = 12

d_2: 3x + (b-5)y = 3

doğruları verilmektedir. Bu doğrular $x = 2$ apsisli noktada dik kesiştiklerine göre, $a$ ve $b$ birer rakam olmak üzere yazılabilecek iki basamaklı $ab$ doğal sayısı kaçtır?

10

25

52

34

58

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52

Cevap

İki basamaklı

ab

doğal sayısı 52'dir.

Doğruların kesim noktası olan A(2, k) noktası her iki denklemi de sağlar. Bu noktadan hareketle a = 7 - 2k ve b - 5 = -3/k ilişkileri bulunur. Doğruların dik kesişmesi sebebiyle eğimleri çarpımı -1'e eşitlenir. Buradan elde edilen k^2 - 3k + 2 = 0 denkleminin kökleri k = 1 ve k = 2'dir. k = 2 değeri b'nin tam sayı (rakam) olmasını engellediğinden elenir. k = 1 değeri için a = 5 ve b = 2 rakamları elde edilir. Bu rakamlarla yazılabilecek iki basamaklı ab sayısı 52'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların kesim noktasının ordinatını (

y = k

) bulmak için

x = 2

değerini ikinci denklemde yerine yazalım.

3(2) + (b-5)k = 3 \implies 6 + (b-5)k = 3 \implies (b-5)k = -3 \implies b-5 = -\frac{3}{k}

elde edilir.

Kesişim noktası her iki doğrunun üzerinde olduğundan denklemleri sağlar.

b

bir rakam (tam sayı) olduğuna göre,

b-5

de bir tam sayı olmalı ve bu yüzden

k

değeri

-3

sayısının bir tam sayı böleni olmalıdır.

2

Kesişim noktasını birinci denklemde yerine koyarak

a

parametresini

k

cinsinden ifade edelim.

(a-1)(2) + 4k = 12 \implies 2a - 2 + 4k = 12 \implies 2a = 14 - 4k \implies a = 7 - 2k

elde edilir.

a

parametresinin alabileceği değerleri

k

değişkenine bağlı olarak bulmak için bu bağıntıyı kullanacağız.

3

Doğruların birbirine dik olması şartını (eğimleri çarpımı

-1

) kullanalım.

d_1

doğrusunun eğimi

m_1 = -\frac{a-1}{4}

ve

d_2

doğrusunun eğimi

m_2 = -\frac{3}{b-5}

'dir.

m_1 \cdot m_2 = -1 \implies \frac{3(a-1)}{4(b-5)} = -1

olur.

Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı

-1

'dir. Bu kuralı kullanarak

a

ve

b

arasındaki ikinci ilişkiyi kurarız.

4

a-1 = 6-2k

ve

b-5 = -\frac{3}{k}

ifadelerini eğimler çarpımı denkleminde yerine yazıp

k

değerini çözelim.

\frac{3(6-2k)}{4\left(-\frac{3}{k}\right)} = -1 \implies 18 - 6k = \frac{12}{k} \implies 6k^2 - 18k + 12 = 0 \implies k^2 - 3k + 2 = 0 \implies (k-1)(k-2) = 0

denkleminden

k = 1

veya

k = 2

bulunur.

Elde edilen bağıntıları birleştirerek tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde etmek ve kesişim noktasının ordinatını belirlemek için.

5

a

ve

b

değerlerinin rakam olma koşulunu kontrol ederek uygun

k

değerini seçelim.

k = 2

için

b-5 = -1.5 \implies b = 3.5

olur ki bu bir rakam değildir.

k = 1

için

b-5 = -3 \implies b = 2

ve

a = 7 - 2(1) = 5

bulunur. Hem

a=5

hem de

b=2

birer rakamdır.

Soruda verilen

a

ve

b

'nin birer rakam olması koşuluna uygun olan tek çözümü belirlemek için.

6

Bulunan rakamlar ile iki basamaklı

ab

sayısını oluşturalım.

a = 5

(onlar basamağı) ve

b = 2

(birler basamağı) olduğundan

ab = 52

olur.

Bulunan basamak değerlerini doğru yerleştirerek istenen iki basamaklı doğal sayıyı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin grafiksel yorumu (doğruların kesim noktası) ve dik kesişme şartı

Alternatif Yöntem

Kesim noktasını bulduktan sonra elde edilen d1 ve d2 denklemleri sadeleştirilerek d1: x + y = 3 ve d2: x - y = 1 doğruları olduğu görülür. Bu iki doğrunun eğimlerinin sırasıyla -1 ve 1 olduğu, çarpımlarının da -1 olduğu ve x = 2 apsisli A(2, 1) noktasında kesiştikleri doğrudan kontrol edilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 332Soru →

Bir sayı doğrusu üzerinde i��aretlenen sıfırdan farklı $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $b$ ile $c$ sayıları arasındaki uzaklık; $b$ sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından, $c$ sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı çıkarılarak bulunmaktadır.
* $a$ ile $b$ sayıları arasındaki uzaklık, bu iki sayının başlangıç noktasına olan uzaklıklarının toplamından küçüktür.

Buna göre,

I. $a \cdot c > 0$
II. $a \cdot (b - c) > 0$
III. $a + c > b$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.

Verilen koşullardan

a

,

b

ve

c

sayılarının üçünün de aynı işaretli olduğu ve

|b| > |c|

olduğu bulunur. Bu durumda, aynı işaretli iki sayının çarpımı her zaman pozitif olacağından birinci öncül kesinlikle doğrudur. İkinci öncülde, sayılar pozitifken

a > 0

ve

b - c > 0

olacağından çarpım pozitiftir; sayılar negatifken ise

a < 0

ve

b - c < 0

olacağından çarpım yine pozitiftir. Bu nedenle birinci ve ikinci öncüller her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Uzaklık ifadelerini mutlak değer sembolleri kullanarak cebirsel olarak yazmak.

b

ile

c

arasındaki uzaklık

|b - c|

, başlangıç noktasına olan uzaklıklar

|b|

ve

|c|

olduğundan birinci bilgi

|b - c| = |b| - |c|

olarak yazılır. İkinci bilgi ise benzer şekilde

|a - b| < |a| + |b|

eşitsizliğini verir.

Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık farklarının mutlak değerine, bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığı ise o noktanın mutlak değerine eşittir.

2

|b - c| = |b| - |c|

eşitliğini incelemek.

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağından

|b| - |c| \geq 0 \implies |b| \geq |c|

olmalıdır. Eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında

b^2 - 2bc + c^2 = b^2 - 2|bc| + c^2 \implies bc = |bc| \implies b \cdot c \geq 0

elde edilir. Sayılar sıfırdan farklı olduğu için

b

ve

c

aynı işaretlidir ve

|b| > |c|

'dir.

Mutlak değer dışına çıkarma kuralları ve mutlak değerin tanımı gereği, farkın mutlak değerinin mutlak değerler farkına eşit olması ancak bu sayıların aynı işaretli olması ve eksilen sayının mutlak değerce daha büyük olması durumunda mümkündür.

3

|a - b| < |a| + |b|

eşitsizliğini incelemek.

a \cdot b > 0

olmalıdır. Dolayısıyla

a

ve

b

sayıları aynı işaretlidir.

Üçgen eşitsizliğine göre iki sayının farkının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamından her zaman küçük veya eşittir. Eşitliğin sağlanmadığı (kesin küçüklük) durum, sayıların aynı işaretli ve sıfırdan farklı olduğu durumlardır.

4

Elde edilen işaretleri birleştirerek öncülleri test etmek.

a

ile

b

aynı işaretli,

b

ile

c

de aynı işaretli olduğundan

a, b, c

sayılarının üçü de aynı işaretlidir. I. öncül:

a \cdot c > 0

(Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif olduğundan her zaman doğrudur). II. öncül:

a

ve

b - c

ifadelerinin işaretlerini inceleyelim. Sayılar pozitif ise

b > c > 0 \implies b-c > 0

ve

a > 0 \implies a \cdot (b - c) > 0

olur. Sayılar negatif ise

b < c < 0 \implies b-c < 0

ve

a < 0 \implies a \cdot (b - c) > 0

olur. Dolayısıyla her iki durumda da doğrudur. III. öncül:

a = -2, b = -3, c = -1

için koşullar sağlanır ancak

a+c = -3

ve

b = -3

olup

-3 > -3

eşitsizliği sağlanmaz.

Her zaman doğruluk sorularında tüm değişkenlerin alabileceği olası işaret kombinasyonları test edilmeli ve karşıt örnekler araştırılmalıdır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin geometrik ve cebirsel özellikleri ile üçgen eşitsizliği

Soru 333Soru →

Bir maden ocağındaki düz bir nakil hattı üzerinde bulunan iki havalandırma kapısı $A$ ve $B$ olarak adlandırılmıştır. Sayı doğrusu şeklinde modellenen bu hat üzerinde $A$ kapıs�� $-8$ noktasında, $B$ kapısı ise $12$ noktasında yer almaktadır.

Bu hat üzerinde çalışan bir iş güvenliği uzmanı, her iki kapıya olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri $10$ birim olan noktalara acil durum butonu yerleştirecektir.

Buna göre, yerleştirilecek acil durum butonlarının konumlandırılacağı noktaların koordinatlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Acil durum butonlarının yerleştirileceği noktaların koordinatlarının toplamı 4'tür.

Denklemin çözümünden elde edilen gerçek kökler

x = 7

ve

x = -3

olup, bu değerlerin toplamı

7 + (-3) = 4

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Uzaklık ifadelerini mutlak değer cinsinden yazma ve denklemi kurma

||x + 8| - |x - 12|| = 10

denklemi elde edilir.

Bir noktanın diğer iki noktaya olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri tanımlanmıştır.

2

Kritik noktaları belirleme ve aralık analizi yapma

x = -8

ve

x = 12

kritik noktalarına göre üç farklı durum incelenir.

Mutlak değerli ifadelerin işaret değiştirdiği noktaları analiz ederek denklemi çözmek gerekir.

3

Aralıklardaki denklemleri çözerek kökleri bulma

-8 \le x < 12

aralığında

x_1 = 7

ve

x_2 = -3

kökleri bulunur. Diğer aralıklarda çözüm yoktur.

Her aralık için mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanır.

4

Köklerin toplamını hesaplama

7 + (-3) = 4

Butonların yerleştirileceği noktaların koordinatları toplamı istendiği için bulunan kökler toplanır.

Anahtar Kavram

İki noktaya olan uzaklıkların farkının mutlak değerini içeren denklemlerin kritik noktalar yöntemiyle çözümü.

Soru 334Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan $A$ ve $B$ marka iki farklı taşınabilir şarj cihazının (powerbank) kapasiteleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* 3 adet $A$ marka şarj cihazı ile 2 adet $B$ marka şarj cihazının tam dolu batarya kapasitelerinin toplamı $38\text{ Ah}$ (amper-saat) değerindedir.
* 2 adet $A$ marka şarj cihazı ile 3 adet $B$ marka şarj cihazının tam dolu batarya kapasitelerinin toplamı $37\text{ Ah}$ değerindedir.

Buna göre, 1 adet $A$ marka şarj cihazının tam dolu batarya kapasitesi kaç $\text{Ah}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

1 adet A marka şarj cihazının tam dolu batarya kapasitesi 8 Ah'dir.

Kurulan

3A + 2B = 38

ve

2A + 3B = 37

denklem sisteminin ortak çözümünden A değişkeninin değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B marka şarj cihazlarının kapasitelerini sırasıyla A ve B değişkenleri ile göstererek birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini kurmak.

3A + 2B = 38

ve

2A + 3B = 37

denklemleri elde edilir.

Sözel ifadeleri matematiksel modele dönüştürmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayarak değişkenlerin toplamını sadeleştirmek.

5A + 5B = 75 \Rightarrow A + B = 15

elde edilir.

Sistemdeki katsayıların simetrik yapısından faydalanarak daha basit bir denklem elde etmek için bu işlem yapılır.

3

Birinci denklemden ikinci denklemi çıkararak değişkenlerin farkını bulmak.

A - B = 1

elde edilir.

İki bilinmeyen arasındaki farkı bularak ortak çözümü kolaylaştırmak amacıyla bu adım uygulanır.

4

Bulunan iki basit denklemi taraf tarafa toplayarak A değerine ulaşmak.

2A = 16 \Rightarrow A = 8

bulunur.

Ortak çözüm yöntemiyle doğrudan istenen bilinmeyeni yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yok etme ve taraf tarafa toplama/çıkarma yöntemleriyle çözülmesi.

Soru 335Soru →

Hassas bir üretim bandında üretilen metal çubukların boyları $x$ santimetredir. Bu çubukların standartlara uygun kabul edilmesi için boylarının 15 santimetreye olan uzaklığının 3 katı, 27 santimetreye olan uzaklığından büyük olmamalıdır.

Buna göre, standartlara uygun bir metal çubuğun boyunun ( $x$ ) alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Standartlara uygun bir metal çubuğun boyunun alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı 27'dir.

Verilen problem matematiksel olarak

3|x - 15| \leq |x - 27|

şeklinde modellenir. Her iki tarafın karesi alındığında

x^2 - 27x + 162 \leq 0

eşitsizliğine ulaşılır. Bu eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında

(x - 9)(x - 18) \leq 0

elde edilir ve

x

değişkeninin kapalı aralığı

[9, 18]

olarak bulunur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 9, en büyük tam sayı değeri ise 18'dir. Toplamları ise

9 + 18 = 27

yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen sözel koşulları cebirsel olarak ifade etmek.

3|x - 15| \leq |x - 27|

15'e olan uzaklığın 3 katının (

3|x-15|

), 27'ye olan uzaklıktan (

|x-27|

) büyük olmaması (küçük veya eşit olması) koşulu mutlak değer kullanılarak ifade edilmiştir.

2

Mutlak değerli eşitsizliği çözmek için her iki tarafın karesini almak ve sadeleştirmek.

x^2 - 27x + 162 \leq 0

Her iki taraf pozitif olduğundan, karesi alındığında eşitsizlik yön değiştirmez ve mutlak değer sembolleri ortadan kalkar.

9(x^2 - 30x + 225) \leq x^2 - 54x + 729

ifadesi düzenlendiğinde bu ikinci dereceden eşitsizlik elde edilir.

3

Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırarak çözüm kümesini bulmak.

x \in [9, 18]

x^2 - 27x + 162 = (x - 9)(x - 18)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Çarpımın sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık

[9, 18]

kapalı aralığıdır.

4

Sınır tam sayı değerlerini belirleyip toplamak.

27

Çözüm aralığındaki en küçük tam sayı değeri 9, en büyük tam sayı değeri ise 18'dir. Bu iki değerin toplamı

9 + 18 = 27

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir eşitsizliğin karesel yöntemle veya kritik nokta analiziyle ikinci dereceden eşitsizliğe dönüştürülerek çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik

|3x - 45| \leq |x - 27|

şeklinde yazıldıktan sonra kritik noktalar olan

x = 15

ve

x = 27

sınırlarına göre parçalı fonksiyon olarak incelenebilir:
1)

x < 15

için:

-(3x - 45) \leq -(x - 27) \implies -3x + 45 \leq -x + 27 \implies 18 \leq 2x \implies x \geq 9

. Bu bölgedeki çözüm

[9, 15)

aralığıdır.
2)

15 \leq x < 27

için:

(3x - 45) \leq -(x - 27) \implies 3x - 45 \leq -x + 27 \implies 4x \leq 72 \implies x \leq 18

. Bu bölgedeki çözüm

[15, 18]

aralığıdır.
3)

x \geq 27

için:

3x - 45 \leq x - 27 \implies 2x \leq 18 \implies x \leq 9

. Bu bölgede

x \geq 27

ile kesişim boş kümedir.
Bölgelerin birleşimi

[9, 18]

kapalı aralığını verir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 336Soru →

Bir kimya laboratuvarındaki hassas sıcaklık ölçümlerinde $A$ , $B$ ve $C$ termometrelerinin ölçtüğü s��caklık değerleri sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayılarıdır. Bu ölçüm değerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $A$ termometresi sıfırın altında bir sıcaklık değerini, $B$ ve $C$ termometreleri ise sıfırın üstünde sıcaklık değerlerini göstermektedir.
* $C$ termometresinin gösterdiği sıcaklık değeri, $B$ termometresinin gösterdiği değerden daha büyüktür.
* $A$ ile $B$ termometrelerinin gösterdiği sıcaklık değerlerinin farkının mutlak değeri, $C$ termometresinin gösterdiği değerin mutlak değerinin yarısına eşittir.
* $B$ ile $C$ termometrelerinin gösterdiği sıcaklık değerlerinin farkının mutlak değeri, $A$ termometresinin gösterdiği değerin mutlak değerinin $3$ katına eşittir.

Buna göre,

a

,

b

ve

c

değerleri için

\frac{|a - c| + |b - c|}{|a| + |b|}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen ifadenin değeri 4'tür.

Verilen sıcaklık değerlerinin işaretleri ve aralarındaki büyüklük ilişkileri incelendiğinde,

a < 0 < b < c

eşitsizliği elde edilir. Bu sıralamaya dayanarak mutlak değerli ifadeler dışarı çıkarıldığında

a = -b

ve

c = 4b

eşitliklerine ulaşılır. İstenen oranda tüm değişkenler

b

cinsinden yazılıp sadeleştirildiğinde oran 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgileri kullanarak

a

,

b

ve

c

değişkenlerinin işaretlerini ve sıralamasını belirleyin.

a < 0 < b < c

A

sıfırın altında (

a < 0

),

B

ve

C

sıfırın üstündedir (

b > 0

,

c > 0

) ve

c > b

olduğu belirtilmiştir.

2

Verilen sözel ifadeleri mutlak değerli denklemler haline getirin.

|a - b| = \frac{|c|}{2}

ve

|b - c| = 3|a|

İki değer arasındaki farkın mutlak değeri aralarındaki uzaklığı belirtir. Başlangıç noktasına olan uzaklık ise sayının kendisinin mutlak değeridir.

3

Tanımlanan eşitsizliklere göre mutlak değerleri dışarı çıkarın.

b - a = \frac{c}{2} \implies c = 2b - 2a

ve

c - b = 3(-a) \implies c = b - 3a

a < b

olduğundan

|a - b| = b - a

;

b < c

olduğundan

|b - c| = c - b

;

c > 0

olduğundan

|c| = c

ve

a < 0

oldu��undan

|a| = -a

olur.

4

Elde edilen iki

c

ifadesini birbirine eşitleyerek

a

ile

b

arasındaki ilişkiyi bulun.

2b - 2a = b - 3a \implies b = -a

(yani

a = -b

)

İki farklı yolla ifade edilen

c

değerleri birbirine eşit olmak zorundadır.

5

a = -b

ilişkisini kullanarak

c

'yi sadece

b

cinsinden yazın.

c = b - 3(-b) = 4b

c = b - 3a

denkleminde

a

yerine

-b

yazılmıştır.

6

Soruda istenen oranı

b

cinsinden yazarak hesaplayın.

a = -b

ve

c = 4b

için:

|a - c| = |-b - 4b| = |-5b| = 5b

|b - c| = |b - 4b| = |-3b| = 3b

|a| = |-b| = b

|b| = b

Buradan,

\frac{5b + 3b}{b + b} = \frac{8b}{2b} = 4

olarak bulunur.

b > 0

olduğu için mutlak değerli ifadeler dışarıya pozitif katsayılarla çıkar.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin tanımı gereği, bir ifadenin içi negatif ise dışarıya eksi ile çarpılarak, pozitif ise aynen çıkarılır. Sayı doğrusu üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık bu iki noktanın farkının mutlak değeriyle ifade edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 337Soru →

Bir tabletin bataryası tamamen boşken, bu tablet sabit güçteki $A$ hızlı şarj aletiyle şarj edilirse her dakikada batarya doluluk oranı sabit bir yüzdeyle, sabit güçteki $B$ normal şarj aletiyle şarj edilirse her dakikada yine sabit başka bir yüzdeyle artmaktadır.

* Bu tablet önce $A$ şarj aletiyle $10$ dakika, ardından $B$ şarj aletiyle $15$ dakika şarj edildiğinde bataryanın boş kalan kısmı, doluluk yüzdesinin $\frac{3}{7}$ 'sine eşit olmaktadır.
* Eğer bu tablet önce $A$ şarj aletiyle $15$ dakika, ardından $B$ ��arj aletiyle $10$ dakika şarj edilseydi bataryanın doluluk yüzdesi, boş kalan kısmının $4$ katı olacaktı.

Buna göre, tamamen boş olan bu tablet bataryası sadece $A$ şarj aletiyle şarj edilirse kaç dakikada tamamen dolar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Tamamen boş olan tablet bataryası sadece A hızlı şarj aletiyle şarj edildiğinde 25 dakikada tamamen dolar.

Denklem sistemi çözüldüğünde hızlı şarj aletinin dakikada %4 şarj ettiği bulunur. Bataryanın tamamının dolması için geçen süre 100/4 = 25 dakikadır.

Adım Adım Çözüm

1

A şarj aletinin dakikada şarj etme yüzdesini

x

, B şarj aletinin dakikada şarj etme yüzdesini

y

olarak değişkenlere atamak ve ilk durumdaki doluluk yüzdesini bulmak.

İlk durumdaki doluluk yüzdesi

P_1 = 70

ve ilgili denklem

10x + 15y = 70

(yani

2x + 3y = 14

) olarak bulunur.

Soruda verilen boş kalan kısmın doluluk yüzdesine olan oranını kullanarak birinci denklemi oluşturmak.

2

İkinci durumdaki doluluk yüzdesini hesaplayarak ikinci denklemi oluşturmak.

İkinci durumdaki doluluk yüzdesi

P_2 = 80

ve ilgili denklem

15x + 10y = 80

(yani

3x + 2y = 16

) olarak bulunur.

Soruda verilen doluluk yüzdesinin boş kısma olan oranını kullanarak ikinci denklemi oluşturmak.

3

Elde edilen birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini yok etme yöntemi kullanarak çözmek.

x = 4

ve

y = 2

olarak bulunur.

Her bir şarj aletinin dakikada bataryayı yüzde kaç doldurduğunu belirlemek.

4

A şarj aletinin dakikalık dolum oranıyla bataryanın tamamının (

%100

) dolma süresini hesaplamak.

Süre =

100 / 4 = 25

dakika.

Sadece A şarj aletinin kullanılması durumundaki toplam dolum süresini bulmak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve yok etme yöntemiyle çözülmesi.

Soru 338Soru →

Bir marangoz, boyu $120\text{ cm}$ olan bir tahtayı iki parçaya ayıracaktır. Kesim noktasının tahtanın sol ucuna olan uzaklığı ile sağ ucuna olan uzaklığının farkının mutlak değeri $20\text{ cm}$ 'dir. Kesim noktasının sol ucundan uzaklığı $x\text{ cm}$ olmak üzere, bu durumu ifade eden denklem $|x - 60| = 20$ şeklindedir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır (False). Doğru denklem

|x - 60| = 10

olmalıdır.

Kesim noktasının sol uca olan uzaklığı

x

ise sağ uca olan uzaklığı

120 - x

olur. İki uzaklık arasındaki farkın mutlak değeri

|x - (120 - x)| = |2x - 120| = 2|x - 60|

olarak bulunur. Bu farkın

20\text{ cm}

olması istendiğinden elde edilen denklem

2|x - 60| = 20

, yani

|x - 60| = 10

olmalıdır. Dolayısıyla verilen denklem yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Kesim noktasının uç noktalara olan uzaklıklarını

x

cinsinden ifade edin.

Sol uca olan uzaklık

x

ise sağ uca olan uzaklık

120 - x

olur.

Tahtanın toplam boyu

120\text{ cm}

olduğu için parçaların uzunlukları toplamı

120

olmalıdır.

2

Uzaklıkların farkının mutlak değerini oluşturun.

Farkın mutlak değeri:

|x - (120 - x)| = |2x - 120|

olur.

İki değerin farkının mutlak değeri, aralarındaki uzaklık farkını temsil eder.

3

Elde edilen ifadeyi verilen fark değerine (

20\text{ cm}

) eşitleyin ve denklemi sadeleştirin.

|2x - 120| = 20 \Rightarrow 2|x - 60| = 20 \Rightarrow |x - 60| = 10

elde edilir.

Ortak çarpan parantezine alarak denklemi en sade haline getirmek için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin gerçek hayat problemlerine modellenmesi ve mutlak değer dışına çıkarma özellikleri.

Soru 339Soru →

Doğrusal bir raylı sistem hattı üzerinde konumları belirlenen iki bakım istasyonundan birincisi $-6$ . kilometrede, ikincisi ise $12$ . kilometrededir. Bu hat üzerinde bulunan bir bakım aracının her iki istasyona olan uzaklıklarının toplamı $24$ kilometredir.

Buna göre, bu bakım aracının hattaki konumunu temsil eden sayıların alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

-108

-72

-135

108

135

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-135$

Cevap

Bakım aracının alabileceği konum değerlerinin çarpımı

-135

sayısıdır.

Bakım aracının istasyonlara olan uzaklıklarının toplamı

|x + 6| + |x - 12| = 24

denklemi ile modellenir. Bu denklem

x > 12

,

-6 \le x \le 12

ve

x < -6

aralıklarında incelendiğinde, aracın alabileceği konum değerleri

15

ve

-9

olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı

-135

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Bakım aracının konumu x olarak belirlenip istasyonlara olan uzaklıklar cinsinden mutlak değerli denklem kurulur.

|x + 6| + |x - 12| = 24

Bir noktanın diğer noktalara olan uzaklığı mutlak değerle ifade edilir ve toplamları 24 olarak verilmiştir.

2

Mutlak değerlerin içini sıfır yapan

x = -6

ve

x = 12

kritik noktalarına göre sayı doğrusu üç bölgeye ayrılarak incelenir.

Bölgeler:

x < -6

,

-6 \leq x \leq 12

,

x > 12

Farklı aralıklarda mutlak değerlerin dışarıya çıkış işaretleri değişiklik gösterir.

3

x > 12

aralığı için mutlak değerler dışarı çıkarılarak denklem çözülür.

(x + 6) + (x - 12) = 24 \Rightarrow 2x - 6 = 24 \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15

(Bu değer

15 > 12

koşulunu sağlar).

Bu aralıkta her iki mutlak değerin içi de pozitif olduğundan aynen dışarı çıkarlar.

4

-6 \leq x \leq 12

aralığı için mutlak değerler d��şarı çıkarılarak denklem çözülür.

(x + 6) - (x - 12) = 24 \Rightarrow 18 = 24

(Çelişki, bu aralıkta çözüm yoktur).

Bu aralıkta ilk ifade pozitif, ikinci ifade negatif olduğundan ikinci ifade işaret değiştirerek çıkar.

5

x < -6

aralığı için mutlak değerler dışarı çıkarılarak denklem çözülür.

-(x + 6) - (x - 12) = 24 \Rightarrow -2x + 6 = 24 \Rightarrow -2x = 18 \Rightarrow x = -9

(Bu değer

-9 < -6

koşulunu sağlar).

Bu aralıkta her iki mutlak değerin içi de negatif olduğundan işaret değiştirerek dışarı çıkarlar.

6

Bulunan

x

değerlerinin çarpımı hesaplanır.

15 \times (-9) = -135

Soru kökünde aracın konumunu temsil eden değerlerin çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemlerin Çözüm Kümesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 340Soru →

Bir otoparkta müşterilere $A$ ve $B$ olmak üzere iki farklı ücret tarifesi sunulmaktadır.

* $A$ tarifesinde; sabit bir giriş ücreti ve sonrasında kalınan her saat için sabit bir saatlik ücret alınmaktadır.
* $B$ tarifesinde ise; sabit giriş ücreti $A$ tarifesinin saatlik ücretine, saatlik ücreti ise $A$ tarifesinin giriş ücretine eşittir.

Bu otoparka gelen iki araçtan;

* Birincisi $A$ tarifesini seçip otoparkta 4 saat kalmış ve $21$ TL ödemiştir.
* İkincisi $B$ tarifesini seçip otoparkta 3 saat kalmış ve $19$ TL ödemiştir.

Buna göre, bu otoparkta $A$ tarifesini seçip 5 saat kalan bir aracın ödeyeceği toplam tutar kaç TL'dir?

17

18

25

26

29

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

A tarifesinde 5 saat kalan bir aracın ödeyeceği toplam tutar 25 TL'dir.

Doğru cevap 25'tir. A tarifesinin giriş ücreti 5 TL ve saatlik ücreti 4 TL olarak hesaplanır. A tarifesinde 5 saat kalan bir araç 5 + 5 * 4 = 25 TL öder.

Adım Adım Çözüm

1

A tarifesinin sabit giriş ücretine

a

TL, saatlik ücretine

b

TL diyelim.

A tarifesi ücret modeli:

a + (\text{saat}) \cdot b

Tarifelerin matematiksel modelini oluşturmak için değişken tanımlanmalıdır.

2

B tarifesinin ücret yapısını tanımlayalım. Soruda verilen bilgiye göre B tarifesinin giriş ücreti A'nın saatlik ücretine yani

b

'ye, saatlik ücreti ise A'nın giriş ücretine yani

a

'ya eşittir.

B tarifesi ücret modeli:

b + (\text{saat}) \cdot a

B tarifesinin ücret denklemini yazabilmek için.

3

Verilen araçların ödemelerinden yararlanarak iki bilinmeyenli denklem sistemini kuralım.

A tarifesinde 4 saat kalan araç için:

a + 4b = 21

B tarifesinde 3 saat kalan araç için:

b + 3a = 19

(veya

3a + b = 19

)

Bilinmeyenleri bulabilmek için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde etmek gerekir.

4

Elde edilen denklem sistemini yok etme yöntemini kullanarak çözelim. İkinci denklemi

-4

ile çarpıp birinci denklemle taraf tarafa toplayalım.

a + 4b = 21

ve

-12a - 4b = -76

denklemleri toplanırsa

-11a = -55 \implies a = 5

bulunur. Bu değer birinci denklemde yerine yazılırsa

5 + 4b = 21 \implies 4b = 16 \implies b = 4

elde edilir.

Bilinmeyen

a

ve

b

değerlerini bulmak için yok etme yöntemi uygulanır.

5

A tarifesinde 5 saat kalan aracın ödeyeceği tutarı hesaplayalım.

a + 5b = 5 + 5(4) = 25

TL

Soruda istenen 5 saatlik A tarifesi ücretini bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve yok etme yöntemiyle çözülmesi.

Denklem ve Eşitsizlikler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm