Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 soru

Tüm türler376Çoktan seçmeli189Doğru / Yanlış46Sayısal122Sıralama19
Soru 121Soru →
Bir elektrikli bisikletin bataryası tamamen dolu iken kullanıldığı her saatte bataryasındaki enerji miktarı eşit miktarda azalmaktadır. Başlangıçta bataryasında 80 Wh80\text{ Wh} enerji bulunan bu bisikletin, xx saat kullanım sonrasında kalan enerji miktarını Wh cinsinden gösteren denklem E=80−6xE = 80 - 6x olarak modellenmiştir. Buna göre, bisikletin bataryasında kalan enerji miktarının 32 Wh32\text{ Wh} olması için bisiklet kaç saat kullanılmalıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Bisikletin bataryasında kalan enerji miktarının 32 Wh32\text{ Wh} olması için bisiklet 88 saat kullanılmalıdır.
Verilen denklemde kalan enerji miktarı olan EE yerine 3232 yazıldığında 32=80−6x32 = 80 - 6x denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde 6x=486x = 48 ve buradan x=8x = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan enerji EE yerine 3232 yazarak denklemi oluşturmak
32=80−6x32 = 80 - 6x denklemi elde edilir.
Kalan enerji miktarının 32 Wh32\text{ Wh} olduğu durumdaki kullanım süresi xx'i bulmak için denklemde EE yerine 3232 yazılmalıdır.
2
Bilinmeyen xx ifadesini yalnız bırakmak için denklemi düzenlemek
6x=486x = 48 elde edilir.
−6x-6x terimi eşitliğin sol tarafına +6x+6x, 3232 sayısı ise sağ tarafına −32-32 olarak geçirilerek bilinmeyen terim yalnız bırakılır.
3
Eşitliğin her iki tarafını 66'ya bölerek xx'i bulmak
x=8x = 8 bulunur.
xx'in katsayısı olan 66'ya bölerek aranan kullanım süresine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümü ve modellemesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 122Soru →
Bir kargo firması, taşıdığı paketlerin ağırlığına göre bir taşıma ücreti belirlemektedir. Paketin ağırlığı xx kg olmak üzere, TL cinsinden taşıma ücreti UU ile ağırlık arasında
U=400−15xU = 400 - 15x
bağıntısı tanımlanmıştır.

Bu kargo firmasının bir paket için belirlediği taşıma ücretinin 190 TL'den az ve 280 TL'den fazla olmadığı bilinmektedir.

Buna göre, paketin ağırlığı olan xx'in alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [8,14][8, 14]

Cevap

Paketin ağırlığının alabileceği değerlerin en geniş aralığı [8,14][8, 14] kapalı aralığıdır.
Taşıma ücretinin 190 TL'den az ve 280 TL'den fazla olmaması, ücretin [190,280][190, 280] kapalı aralığında yer aldığını gösterir. Buradan 190≤400−15x≤280190 \le 400 - 15x \le 280 eşitsizliği elde edilir. Eşitsizliğin her tarafından 400 çıkarıldığında −210≤−15x≤−120-210 \le -15x \le -120 olur. Eşitsizlik negatif bir sayı olan −15-15 ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir. Böylece 14≥x≥814 \ge x \ge 8, yani 8≤x≤148 \le x \le 14 elde edilir. Bu durum [8,14][8, 14] kapalı aralığını belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
Metindeki sözel ifadeyi matematiksel eşitsizlik modeline dönüştürmek
Ücretin 190 TL'den az ve 280 TL'den fazla olmaması 190≤U≤280190 \le U \le 280 olarak ifade edilir. U=400−15xU = 400 - 15x ifadesi yerine yazılarak 190≤400−15x≤280190 \le 400 - 15x \le 280 eşitsizliği elde edilir.
Sınır koşullarının 'az olmayan' ve 'fazla olmayan' ifadeleri gereği kapalı aralık oluşturduğunu belirlemek.
2
Eşitsizlikteki bilinmeyen terimi yalnız bırakmak için her taraftan 400 çıkarmak
190−400≤−15x≤280−400  ⟹  −210≤−15x≤−120190 - 400 \le -15x \le 280 - 400 \implies -210 \le -15x \le -120 elde edilir.
Bilinmeyenli terimi ortada yalnız bırakabilmek için sabit terimi yok etmek.
3
Eşitsizliğin her tarafını −15-15 sayısına bölmek ve yön değiştirmek
−210−15≥x≥−120−15  ⟹  14≥x≥8\frac{-210}{-15} \ge x \ge \frac{-120}{-15} \implies 14 \ge x \ge 8 (veya 8≤x≤148 \le x \le 14) elde edilir.
Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığından eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralını uygulamak.
4
Eşitsizlik çözümünü aralık gösterimi olarak ifade etmek
Çözüm kümesi [8,14][8, 14] kapalı aralığıdır.
Eşitsizlik sınırları dahil olduğundan köşeli parantez kullanarak en geniş aralığı yazmak.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği iki ayrı basit eşitsizlik halinde yazıp çözerek de sonuca ulaşabiliriz: 190≤400−15x  ⟹  15x≤210  ⟹  x≤14190 \le 400 - 15x \implies 15x \le 210 \implies x \le 14 ve 400−15x≤280  ⟹  120≤15x  ⟹  8≤x400 - 15x \le 280 \implies 120 \le 15x \implies 8 \le x. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde 8≤x≤148 \le x \le 14 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 123Soru →

Bir otoyoldaki üç farklı aracın hız sınırları ve bu araçların hızları (vAv_A, vBv_B, vCv_C) ile ilgili eşitsizlikler verilmiştir. Araçların hızları km/sa cinsinden birer tam sayı olup sağladıkları eşitsizlikler şu şekildedir:

* A aracının hızı vAv_A olmak üzere: −3vA+280>−20-3v_A + 280 > -20
* B aracının hız�� vBv_B olmak üzere: −2vB+150≤−30-2v_B + 150 \le -30
* C aracının hızı vCv_C olmak üzere: 5vC−100<3505v_C - 100 < 350

Buna göre, A aracının en büyük hızı, B aracının en küçük hızı ve C aracının en büyük hızı sırasıyla vAv_A, vBv_B ve vCv_C tam sayı değerleri olduğuna göre, bu hız değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Hız değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralaması C aracının hızı, B aracının hızı ve A aracının hızı şeklindedir (vC<vB<vAv_C < v_B < v_A).
Eşitsizliklerin çözülmesiyle elde edilen değerler sırasıyla vC=89v_C = 89, vB=90v_B = 90 ve vA=99v_A = 99 olduğundan, doğru sıralama C aracının hızı, B aracının hızı ve A aracının hızı şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
A aracının en büyük hız değerini bulmak için −3vA+280>−20-3v_A + 280 > -20 eşitsizliğini çözelim.
−3vA>−300-3v_A > -300 olur. Her iki tarafı −3-3 ile böldüğümüzde negatif sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir ve vA<100v_A < 100 elde edilir. En büyük tam sayı değeri vA=99v_A = 99'dur.
Eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayı ile bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişir.
2
B aracının en küçük hız değerini bulmak için −2vB+150≤−30-2v_B + 150 \le -30 eşitsizliğini çözelim.
−2vB≤−180-2v_B \le -180 olur. Her iki tarafı −2-2 ile böldüğümüzde negatif sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir ve vB≥90v_B \ge 90 elde edilir. En küçük tam sayı değeri vB=90v_B = 90'dır.
Negatif bir sayıya bölme işlemi eşitsizlik yönünü tersine çevirir.
3
C aracının en büyük hız değerini bulmak için 5vC−100<3505v_C - 100 < 350 eşitsizliğini çözelim.
5vC<4505v_C < 450 ve her iki tarafı 55 ile böldüğümüzde vC<90v_C < 90 elde edilir. En büyük tam sayı değeri vC=89v_C = 89'dur.
Pozitif bir sayıya bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirmez.
4
Bulunan hız değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
89<90<9989 < 90 < 99 olduğundan sıralama vC<vB<vAv_C < v_B < v_A şeklinde olur.
Elde edilen tam sayı değerlerinin büyüklük ilişkisi doğrudan karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 124Soru →

Her x<0x < 0 gerçel sayısı için ∣−x∣=−x|-x| = -x eşitliği her zaman doğrudur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ifade doğrudur çünkü x<0x < 0 koşulu altında −x-x ifadesi pozitif bir değer belirtir ve pozitif ifadeler mutlak değer dışına aynen çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
x<0x < 0 eşitsizliğinin her iki tarafını −1-1 ile çarparak −x-x ifadesinin işaretini belirleyin.
−x>0-x > 0 elde edilir.
Mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretini belirlemek, mutlak değer dışına nasıl çıkacağını anlamak için gereklidir.
2
Mutlak değer özelliğini uygulayarak ∣−x∣|-x| ifadesini dışarı çıkarın.
∣−x∣=−x|-x| = -x olur.
Sıfırdan büyük bir ifadenin mutlak değeri kendisine eşittir. −x>0-x > 0 olduğundan, mutlak değer dışına aynen çıkar.

Anahtar Kavram

Negatif bir değişkenin önüne eksi işareti geldiğinde pozitif bir değer elde edilir ve mutlak değer tanımı gereği pozitif ifadeler dışarıya aynen çıkar.

İpuçları

1
xx sayısı negatif bir sayı olduğuna göre, −x-x ifadesinin işaretinin (pozitif mi negatif mi) ne olacağını düşünün.
2
Mutlak değer içerisindeki bir ifade pozitif olduğunda dışarıya nasıl çıktığını hatırlayın: ∣A∣=A|A| = A (eğer A>0A > 0 ise).

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin işaretlerine dikkat ederek ∣x−y∣|x - y| ifadesinin x<yx < y durumunda dışarı nasıl çıkacağını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önermenin doğruluğunu test etmek için xx yerine negatif bir sayı (örneğin x=−3x = -3) yazabilirsiniz: ∣−(−3)∣=∣3∣=3|-(-3)| = |3| = 3 ve −x=−(−3)=3-x = -(-3) = 3 olup eşitlik sağlanır.
Tahmini Süre:45s
Soru 125Soru →

Bir seracılık işletmesinde kullanılan otomatik sulama sistemi, toprağın nem oranına göre iki farklı sulama yöntemini devreye almaktadır. Toprağın nem yüzdesi xx olmak üzere;

* Damlama sulama yöntemi, nem yüzdesi [15,45)[15, 45) aralığında olduğunda,
* Yağmurlama sulama yöntemi, nem yüzdesi (30,80](30, 80] aralığında olduğunda

çalışmaktadır.

Sistemde yalnızca damlama sulama yönteminin çalıştığı nem yüzdelerinin kümesi AA, yalnızca yağmurlama sulama yönteminin çalıştığı nem yüzdelerinin kümesi BB olarak tanımlanıyor.

Buna göre, AA kümesi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [15,30][15, 30]

Cevap

Yalnızca damlama sulama yönteminin çalıştığı nem yüzdelerinin kümesi olan AA kümesi [15,30][15, 30] kapalı aralığıdır.
Yalnızca damlama sulama yönteminin çalışması durumu, nem oranının damlama sulama aralığı olan [15,45)[15, 45) içinde bulunması ancak yağmurlama sulama aralığı olan (30,80](30, 80] içinde bulunmaması anlamına gelir. Bu durum kümelerdeki fark işlemi ile ifade edilir. On beş değeri damlama aralığına dahil olduğundan ve yağmurlama aralığında yer almadığından fark kümesine dahildir. Otuz değeri ise damlama aralığında yer almasına rağmen, yağmurlama aralığının sınır değeri açık olduğundan yağmurlama grubuna dahil değildir; dolayısıyla fark kümesinde kalır. Bu iki analizin sonucunda aradığımız küme her iki sınırın da dahil olduğu kapalı aralık olan [15,30][15, 30] seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Sulama yöntemlerinin çalıştığı nem aralıklarını küme gösterimiyle tanımlayalım.
Damlama sulama kümesi D=[15,45)D = [15, 45) ve yağmurlama sulama kümesi Y=(30,80]Y = (30, 80] olarak belirlenir.
Soruda verilen sözel aralık ifadelerini matematiksel kümelere dönüştürmek için.
2
Yalnızca damlama sulama yönteminin çalıştığı AA kümesini küme işlemleri cinsinden ifade edelim.
Yalnızca damlama sulamanın çalışması, nem değerinin DD kümesinde bulunup YY kümesinde bulunmaması anlamına gelir. Bu durum A=D∖YA = D \setminus Y fark kümesine karşılık gelir.
İstenen durumun matematiksel karşılığını fark işlemiyle ilişkilendirmek için.
3
D∖YD \setminus Y kümesinin uç noktalarını ve dahil olma durumlarını analiz edelim.
Alt sınır: 1515 değeri DD kümesine dahildir (15∈D15 \in D) ve YY kümesinde yoktur (15∉Y15 \notin Y). Bu yüzden fark kümesine dahil edilmelidir (15∈A15 \in A). Üst sınır: 3030 değeri DD kümesindedir (30∈D30 \in D) ancak yağmurlama kümesinin sınırı açık olduğundan YY kümesine dahil değildir (30∉Y30 \notin Y). Bu yüzden otuz değeri de fark kümesinde kalmaya devam eder (30∈A30 \in A). Sonuç olarak A=[15,30]A = [15, 30] kapalı aralığı elde edilir.
Açık ve kapalı aralık sınır değerlerinin fark kümesine dahil olup olmadığını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Açık ve kapalı aralıkların sayı doğrusunda gösterimi ve aralıklar üzerinde fark işlemi uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 126Soru →

Bir masanın üzerine soldan sağa doğru yan yana dizilen mavi ve kırmızı renkli kartlar ile bir örüntü oluşturulmuştur. Bu örüntüyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Örüntü, mavi kart ile başlayıp mavi kart ile bitmektedir.
* Yan yana bulunan her 3 karttan tam olarak ikisi mavi, birisi kırmızı karttır.
* Örüntünün hem başındaki ilk iki kart hem de sonundaki son iki kart mavi renklidir.
* xx bir rasyonel sayı olmak üzere, bu örüntüde kullanılan mavi kart sayısı 6x−76x - 7, kırmızı kart sayısı ise 4x−104x - 10'dur.

Buna göre, bu örüntüde kullanılan toplam kart sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Toplam kart sayısı 38'dir.
Örüntünün kurallarına göre mavi ve kırmızı kart sayıları arasında M=2K+2M = 2K + 2 bağıntısı vardır. Bu bağıntıda verilen 6x−76x - 7 ve 4x−104x - 10 ifadeleri yerlerine yazıldığında x=5,5x = 5,5 bulunur. Bu değer kart sayılarını tam sayı yapar ve toplam kart sayısını 38 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün yapısını analiz ederek mavi kart sayısı (M) ile kırmızı kart sayısı (K) arasındaki ilişkiyi kurmak.
Mavi kart sayısı ile kırmızı kart sayısı arasında M=2K+2M = 2K + 2 ilişkisi vardır.
Örüntü M-M-K-M-M-K-...-M-M şeklinde olup, her kırmızı karta karşılık iki mavi kart bulunmakta ve en sonda fazladan iki mavi kart yer almaktadır.
2
Verilen mavi ve kırmızı kart sayılarını bu ilişkide yerine yazarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde etmek.
6x−7=2(4x−10)+26x - 7 = 2(4x - 10) + 2 denklemi elde edilir.
Mavi kart sayısı 6x−76x - 7 ve kırmızı kart sayısı 4x−104x - 10 ifadelerini M=2K+2M = 2K + 2 eşitliğinde yerlerine koymak gerekir.
3
Elde edilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek xx değerini bulmak.
x=5,5x = 5,5 (veya 112\frac{11}{2}) bulunur.
Denklemi açtığımızda 6x−7=8x−20+2  ⟹  6x−7=8x−18  ⟹  2x=11  ⟹  x=5,56x - 7 = 8x - 20 + 2 \implies 6x - 7 = 8x - 18 \implies 2x = 11 \implies x = 5,5 elde edilir.
4
Bulunan xx değerini kullanarak mavi ve kırmızı kart sayılarını hesaplamak.
Mavi kart sayısı 2626, kırmızı kart sayısı 1212 adet olarak bulunur.
x=5,5x = 5,5 değeri için M=6(5,5)−7=26M = 6(5,5) - 7 = 26 ve K=4(5,5)−10=12K = 4(5,5) - 10 = 12 tam sayı değerleri elde edilir.
5
Toplam kart sayısını hesaplamak.
Toplam kart sayısı 26+12=3826 + 12 = 38 olarak bulunur.
Örüntüdeki toplam kart sayısı, mavi ve kırmızı kart sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 127Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−4)2−3∣x−4∣−4>0(x - 4)^2 - 3|x - 4| - 4 > 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlamayan xx tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Eşitsizliği sağlamayan x tam sayılarının toplamı 36'dır.
Verilen eşitsizlikte (x−4)2=∣x−4∣2(x - 4)^2 = |x - 4|^2 dönüşümü yapıldıktan sonra ∣x−4∣=t|x - 4| = t denilerek ikinci dereceden (t−4)(t+1)>0(t - 4)(t + 1) > 0 eşitsizliği çözülür. Mutlak değer negatif olamayacağından t<−1t < -1 elenir ve sadece ∣x−4∣>4|x - 4| > 4 kalır. Bu eşitsizliği sağlamayan değerler ise tümleyeni olan ∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4 eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Buradan 0≤x≤80 \le x \le 8 aralığı elde edilir ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği mutlak değerli tek bir değişken cinsinden ifade etme.
∣x−4∣2−3∣x−4∣−4>0|x - 4|^2 - 3|x - 4| - 4 > 0
(x−4)2=∣x−4∣2(x - 4)^2 = |x - 4|^2 özdeşliği kullanılarak tüm terimler ∣x−4∣|x - 4| cinsinden yazılır.
2
Değişken değiştirme yöntemiyle eşitsizliği ikinci dereceden forma getirme.
t2−3t−4>0t^2 - 3t - 4 > 0 (burada t=∣x−4∣t = |x - 4| ve t≥0t \ge 0)
∣x−4∣|x - 4| yerine tt yazılarak ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edilir. Mutlak değer negatif olamayacağı için tt sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
3
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulma.
t>4t > 4
(t−4)(t+1)>0(t - 4)(t + 1) > 0 eşitsizliğinin kökleri 44 ve −1-1'dir. Çözüm aralığı t>4t > 4 veya t<−1t < -1 olur. Ancak t≥0t \ge 0 koşulu nedeniyle t<−1t < -1 aralığında çözüm yoktur.
4
Orijinal eşitsizliği sağlamayan durumları belirleme.
∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4
Eşitsizliği sağlamayan değerler, çözüm kümesinin tümleyenidir. Bu yüzden ∣x−4∣>4|x - 4| > 4 eşitsizliğinin değili (sağlamayan durumu) olan ∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4 eşitsizliği çözülmelidir.
5
Elde edilen mutlak değerli eşitsizliği çözerek x aralığın�� bulma.
0≤x≤80 \le x \le 8
∣x−4∣≤4  ⟹  −4≤x−4≤4|x - 4| \le 4 \implies -4 \le x - 4 \le 4 eşitsizliğinde her tarafa 4 eklenerek 0≤x≤80 \le x \le 8 aralığı bulunur.
6
Aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplama.
36
0≤x≤80 \le x \le 8 aralığındaki tam sayılar 0,1,2,3,4,5,6,7,80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8'dir. Bu sayıların toplamı 0+1+2+3+4+5+6+7+8=360 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği sağlamayan aralık belirlendikten sonra (0≤x≤80 \le x \le 8), ardışık tam sayıların toplam formülü olan [n * (n + 1)] / 2 kullanılarak [8 * 9] / 2 = 36 hesabı daha hızlı yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 128Soru →

Bir soğuk hava deposunun iç sıcaklığı xx °C'dir. Deponun sıcaklık kontrol sisteminin sağlıklı çalışabilmesi için sıcaklığın şu koşulu sağlaması gerekmektedir:

Sıcaklık değerinin 44 eksiğinin −2-2 katı, −6-6 °C'den büyük ve 88 °C'den küçük olmalıdır.

Buna göre, deponun sağlıklı çalışabilmesi için iç sıcaklığı xx'in alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (0,7)(0, 7)

Cevap

Doğru cevap (0,7)(0, 7) aralığıdır.
Sağlıklı çalışma aralığı −6<−2(x−4)<8-6 < -2(x-4) < 8 eşitsizliği ile gösterilir. Eşitsizliğin her tarafı −2-2 ile bölündüğünde yön değiştirerek 3>x−4>−43 > x - 4 > -4 elde edilir. Bu ifade −4<x−4<3-4 < x - 4 < 3 olarak yazılabilir. Her tarafa 44 eklendiğinde 0<x<70 < x < 7 aralığı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel bir eşitsizlik olarak yazalım.
−6<−2(x−4)<8-6 < -2(x - 4) < 8
Sıcaklık değerinin 44 eksiğinin (x−4x-4), −2-2 katının (−2(x−4)-2(x-4)), −6-6 ile 88 arasında olması gerektiği belirtilmiştir.
2
Eşitsizliğin her tarafını −2-2 ile bölelim.
3>x−4>−43 > x - 4 > -4
Bir eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolleri yön değiştirir.
3
Eşitsizliği düzenleyip xx'i yalnız bırakmak için her tarafa 44 ekleyelim.
0<x<70 < x < 7
−4<x−4<3-4 < x - 4 < 3 eşitsizliğinde her tarafa 44 eklendiğinde xx değişkeninin en geniş aralığı (0,7)(0, 7) olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 129Soru →

Bir satıcı, maliyeti xx TL olan bir ürünün satış fiyatını iki farklı seçenek üzerinden belirlemektedir:

* 1. Seçenek: S1=3x−100S_1 = 3x - 100 TL
* 2. Seçenek: S2=200−xS_2 = 200 - x TL

Bu satıcı için 2. seçeneğin daha kârlı olduğu ve her iki seçenek için de satış fiyatlarının pozitif birer değer aldığı bilindiğine göre, ürünün maliyeti olan xx'in alabileceği tüm gerçel sayı değerlerini ifade eden en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1003<x<75\frac{100}{3} < x < 75

Cevap

Maliyet fiyatının alabileceği tüm gerçel sayı değerlerini ifade eden en geniş aralık 1003<x<75\frac{100}{3} < x < 75 aralığıdır.
En geniş değer aralığı, hem ikinci seçeneğin daha kârlı olması (S2>S1S_2 > S_1) hem de her iki seçenekte satış fiyatlarının pozitif olması (S1>0S_1 > 0, S2>0S_2 > 0) koşullarının birlikte kesişimiyle elde edilir. Yapılan analiz sonucunda 1003<x<75\frac{100}{3} < x < 75 aralığı doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci seçeneğin daha kârlı olması durumunu matematiksel olarak ifade etmek ve eşitsizliği kurmak.
200−x>3x−100200 - x > 3x - 100
İkinci seçeneğin daha kârlı olması, bu seçeneğin satış fiyatının birinci seçeneğin satış fiyatından daha yüksek olması anlamına gelir.
2
Eşitsizliği çözmek amacıyla bilinmeyenleri sol tarafta, sabit sayıları sağ tarafta toplamak.
−4x>−300-4x > -300
Eşitsizliğin her iki tarafından 3x3x çıkarılıp 200200 çıkarıldığında değişkenler bir araya getirilmiş olur.
3
Eşitsizliğin her iki tarafını −4-4 sayısına bölerek xx'in sınırını bulmak.
x<75x < 75
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir. Bu kural gereği büyüktür (>>) sembolü küçüktür (<<) sembolüne dönüşür.
4
Satış fiyatlarının pozitif olması gerektiği sınır koşullarını uygulamak.
3x−100>0  ⟹  x>10033x - 100 > 0 \implies x > \frac{100}{3} ve 200−x>0  ⟹  x<200200 - x > 0 \implies x < 200
Gerçek hayat uygulamalarında satış fiyatları sıfırdan büyük (pozitif) olmak zorundadır.
5
Elde edilen tüm aralıkların kesişimini alarak en geniş değer aralığını belirlemek.
1003<x<75\frac{100}{3} < x < 75
Hem kârlılık koşulunun (x<75x < 75) hem de satış fiyatlarının pozitif olma koşulunun (x>1003x > \frac{100}{3} ve x<200x < 200) aynı anda sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü, negatif sayı ile bölmede yön değiştirme kuralı ve gerçek hayat sınır koşullarının kesişimi
Soru 130Soru →
−1<x<0-1 < x < 0 olmak üzere,
a=xa = x
b=x2b = x^2
c=1xc = \frac{1}{x}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama c < a < b şeklindedir.
Negatif bir sayının karesi pozitif olacağından b=x2b = x^2 en büyük değerdir. −1<x<0-1 < x < 0 eşitsizliğinde her iki taraf negatif olan xx sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek c=1x<−1c = \frac{1}{x} < -1 sonucunu verir. a=xa = x ise −1-1 ile 00 arasında olduğundan doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x sayısının değer aralığını ve işaretini belirleme
xx negatif bir sayıdır ve −1<x<0-1 < x < 0 aralığındadır.
Verilen eşitsizlik xx'in negatif bir basit kesir olduğunu göstermektedir.
2
b = x^2 ifadesinin işaretini belirleme
b=x2>0b = x^2 > 0 olur.
Negatif bir gerçel sayının karesi daima pozitiftir.
3
c = 1/x ifadesini elde etmek için eşitsizliğin yön değiştirme kuralını uygulama
−1<x-1 < x eşitsizliğinde her tarafı negatif olan xx değerine böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir ve 1x<−1\frac{1}{x} < -1 elde edilir. Yani c<−1c < -1 olur.
Negatif bir sayıya bölme veya çarpma yapıldığında eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
4
Bulunan aralıkları birleştirerek sıralamayı tamamlama
c<−1<a<0<bc < -1 < a < 0 < b olduğundan c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
cc sayısı −1-1'den küçük bir negatif sayı, aa sayısı −1-1 ile 00 arasında bir negatif sayı, bb ise pozitif bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 131Soru →

Bir kırtasiyeci elindeki kalemleri kutulara koyacaktır. Kutuların her birinin içindeki kalem sayısı adet olarak birer pozitif tam sayıdır.

Kırtasiyeci, elindeki tüm kalemleri her birinde xx adet kalem olan 3 kutuya koyarsa geriye 5 kalem kalıyor.

Eğer her birinde (2x−8)(2x - 8) adet kalem olan 2 kutuya koyarsa geriye 3 kalem kalıyor.

Buna göre, kırtasiyecinin elindeki toplam kalem sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59

Cevap

Toplam kalem sayısı 59'dur.
Toplam kalem sayısını veren ifadeler eşitlendiğinde 3x+5=2(2x−8)+33x + 5 = 2(2x - 8) + 3 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=18x = 18 bulunur. Bulunan bu değer kutudaki kalem sayısı için verilen pozitif tam sayı şartını sağladığından toplam kalem sayısı 59 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kırtasiyecinin elindeki toplam kalem sayısını veren ifadeleri her iki durum için ayrı ayrı yazalım.
Birinci durum için toplam kalem sayısı 3x+53x + 5, ikinci durum için ise 2(2x−8)+32(2x - 8) + 3 olur.
Her iki durumda da toplam kalem sayısı aynı olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek denklemi kurmak gerekir.
2
Kurulan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözelim.
3x+5=2(2x−8)+3⇒3x+5=4x−16+3⇒3x+5=4x−13⇒x=183x + 5 = 2(2x - 8) + 3 \Rightarrow 3x + 5 = 4x - 16 + 3 \Rightarrow 3x + 5 = 4x - 13 \Rightarrow x = 18 bulunur.
Bilinmeyen xx değerini bulmak için parantezi dağıtıp benzer terimleri bir araya getirmeliyiz.
3
Bulunan xx değerinin pozitif tam sayı koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edip toplam kalem sayısını hesaplayalım.
x=18x = 18 için ikinci durumdaki kutu kapasitesi 2(18)−8=282(18) - 8 = 28 olup pozitif bir tam sayıdır. Toplam kalem sayısı ise 3(18)+5=593(18) + 5 = 59 olarak hesaplanır.
Soruda kutulardaki kalem sayılarının pozitif tam sayı olduğu belirtilmiştir. Bu koşul doğrulandıktan sonra herhangi bir durumdaki ifade kullanılarak toplam kalem sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi, değişkenlerin tanımlı olduğu sayı kümelerine uygunluğunun denetlenmesi.
Soru 132Soru →

Bir akıllı telefonun ekran parlaklık yüzdesi pp, 0≤p≤1000 \leq p \leq 100 koşulunu sağlayan bir gerçel sayıdır. Bu telefonda bulunan iki farklı ekran moduyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Göz Sağlığı Modu: Ekran parlaklığı [15,65)[15, 65) aralığında olduğunda otomatik olarak etkinleşmektedir.
* Güç Tasarrufu Modu: Ekran parlaklığı (40,85](40, 85] aralığında olduğunda otomatik olarak etkinleşmektedir.

Buna göre, bu telefonda bu iki moddan yalnızca birinin etkin olduğu parlaklık yüzdesi değerlerinin kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2290

Cevap

Yalnızca bir modun etkin olduğu ekran parlaklık yüzdesi tam sayı değerlerinin toplamı 2290'dır.
Yalnızca bir modun etkin olduğu aralıklar [15, 40] ve [65, 85] kapalı aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı sırasıyla 715 ve 1575 olup, bu değerlerin toplamı 2290'ı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Göz Sağlığı Modu (AA) ve Güç Tasarrufu Modu (BB) için tanımlanan aralıkları küme olarak ifade etmek.
A=[15,65)A = [15, 65) ve B=(40,85]B = (40, 85] kümeleri elde edilir.
Modların etkin olduğu bölgeleri sayı doğrusu ve aralık kavramı yardımıyla matematiksel olarak tanımlamak.
2
Yalnızca bir modun etkin olduğu bölgeyi küme işlemleriyle belirlemek.
Bu bölge (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesidir.
İki kümeden yalnızca birine ait olan elemanlar simetrik fark kümesini oluşturur.
3
A∖BA \setminus B kümesini hesaplamak ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulmak.
A∖B=[15,65)∖(40,85]=[15,40]A \setminus B = [15, 65) \setminus (40, 85] = [15, 40] aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 15+16+⋯+40=71515 + 16 + \dots + 40 = 715 olur.
4040 değeri BB kümesine dahil olmadığından (BB açık sınırıdır), A∖BA \setminus B fark kümesine dahil edilir.
4
B∖AB \setminus A kümesini hesaplamak ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulmak.
B∖A=(40,85]∖[15,65)=[65,85]B \setminus A = (40, 85] \setminus [15, 65) = [65, 85] aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 65+66+⋯+85=157565 + 66 + \dots + 85 = 1575 olur.
6565 değeri AA kümesine dahil olmadığından (AA açık sınırıdır), B∖AB \setminus A fark kümesine dahil edilir.
5
Bulunan iki ayrı toplamı birleştirerek nihai sonucu elde etmek.
Toplam = 715+1575=2290715 + 1575 = 2290 olarak bulunur.
İki ayrık kümedeki tam sayıların toplamı, bu iki toplamın toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Aralıkların sayı doğrusunda gösterimi ve aralıklar üzerinde fark ile birleşim işlemleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 133Soru →

Bir akıllı telefonun güvenli bir şekilde şarj olabilmesi için pil sıcaklığının santigrat derece (∘C^\circ\text{C}) cinsinden alabileceği uygun değerlerin aralığı, gerçek sayı doğrusunda boyalı bir aralık olarak gösterilmektedir.

Bu güvenli şarj aralığında pil sıcaklığının alabileceği değerler, 5∘C5^\circ\text{C}'den büyük ve 45∘C45^\circ\text{C}'ye eşit veya küçük gerçek sayılardır.

Buna göre, bu güvenli şarj sıcaklığı aralığında bulunan en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Güvenli şarj sıcaklığı aralığında bulunan en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı 51'dir.
Sıcaklık aralığı 5<T≤455 < T \le 45 olduğundan, aralıktaki en küçük tam sayı 6 ve en büyük tam sayı 45'tir. Bu iki tam sayının toplamı 6+45=516 + 45 = 51 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Güvenli şarj sıcaklığı aralığını matematiksel eşitsizlik ve aralık gösterimi olarak ifade etme.
5<T≤455 < T \le 45 veya T∈(5,45]T \in (5, 45]
Sıcaklığın 5∘C5^\circ\text{C}'den büyük ve 45∘C45^\circ\text{C}'ye eşit veya küçük olduğu belirtilmiştir.
2
Aralıktaki en küçük tam sayı değerini belirleme.
6
Sınır değeri olan 5 aralığa dahil olmadığından (5<T5 < T), bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı 6'dır.
3
Aralıktaki en büyük tam sayı değerini belirleme.
45
Sınır değeri olan 45 aralığa dahil olduğundan (T≤45T \le 45), bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı 45'tir.
4
En küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamını bulma.
6+45=516 + 45 = 51
Soruda bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Yarı açık aralık kavramı ve sınırların dahil olup olmama durumunun aralıktaki tam sayılara etkisi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 134Soru →

Bir kitaplık rafında bulunan Türkçe ve Matematik kitaplarının toplam sayısı 24'tür. Bu raftaki Matematik kitaplarının sayısı, Türkçe kitaplarının sayısının 3 katından 4 eksiktir. Buna göre, raftaki Matematik kitaplarının sayısı 17'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Kurulan x+(3x−4)=24x + (3x - 4) = 24 denklemi çözüldüğünde Türkçe kitap sayısı 77, Matematik kitap sayısı ise 1717 olarak bulunmaktadır. Bu durum ifadedeki iddiayı doğrulamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri belirleyip denklemi kurmak
Türkçe kitaplarının sayısı xx ise Matematik kitaplarının sayısı 3x−43x - 4 olur. Toplam kitap sayısı x+(3x−4)=24x + (3x - 4) = 24 olarak yazılır.
Soruda verilen sözel ilişkiyi matematiksel bir denkleme dönüştürmek için.
2
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözmek
4x−4=24⇒4x=28⇒x=74x - 4 = 24 \Rightarrow 4x = 28 \Rightarrow x = 7 bulunur.
Türkçe kitaplarının sayısını elde etmek için.
3
İstenen Matematik kitaplarının sayısını hesaplamak
Matematik kitaplarının sayısı 3×7−4=173 \times 7 - 4 = 17 olarak hesaplanır.
Soruda doğruluğu iddia edilen Matematik kitap sayısını teyit etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri kurma ve çözme
Soru 135Soru →
Bir kimyasal deneyde, reaksiyonun güvenli bir şekilde gerçekleşmesi için ortam sıcaklığı TT (°C) ile reaksiyon süresi xx (dakika) arasında
T=15−3xT = 15 - 3x
bağıntısı bulunmaktadır.

Bu reaksiyonun güvenli ortam sıcaklığı aralığı [−12,18)[-12, 18) °C olduğuna göre, reaksiyonun güvenli bir şekilde gerçekleşebileceği reaksiyon süresi xx’in alabileceği tüm değerleri ifade eden en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−1,9](-1, 9]

Cevap

Reaksiyonun güvenli bir şekilde gerçekleşebileceği reaksiyon süresi xx’in alabileceği tüm değerleri ifade eden en geniş aralık (−1,9](-1, 9] aralığıdır.
Doğru cevap olan (−1,9](-1, 9] aralığı, eşitsizlik her iki taraftan 15 çıkarılıp ardından −3-3 ile bölündüğünde eşitsizlik yönünün değiştirilmesiyle elde edilen aralıktır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortam sıcaklığı TT ifadesini verilen eşitsizlikte yerine yazarak xx değişkenine bağlı eşitsizliği kurmak.
−12≤15−3x<18-12 \le 15 - 3x < 18 eşitsizliği elde edilir.
TT'nin [−12,18)[-12, 18) aralığında olduğu belirtildiği için sıcaklık ifadesini bu aralığa yerleştirmemiz gerekir.
2
xx'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her üç tarafından 15 çıkarmak.
−27≤−3x<3-27 \le -3x < 3 eşitsizliği elde edilir.
Ortadaki sabit terim olan 15'ten kurtulmak için her tarafa −15-15 eklenir.
3
Eşitsizliğin her üç tarafını −3-3'e bölmek.
9≥x>−19 \ge x > -1 (veya −1<x≤9-1 < x \le 9) eşitsizliği elde edilir.
xx'in katsayısı olan −3-3 negatif bir sayı olduğundan, eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir.
4
Elde edilen eşitsizliği aralık gösterimi olarak yazmak.
x∈(−1,9]x \in (-1, 9] aralığı elde edilir.
−1-1 değeri eşitsizlikte dahil olmadığından açık parantez, 99 değeri dahil olduğundan köşeli parantez kullanılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve aralık gösterimi

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği iki ayrı basit eşitsizlik olarak çözebiliriz: İlk olarak −12≤15−3x-12 \le 15 - 3x eşitsizliğinden 3x≤27  ⟹  x≤93x \le 27 \implies x \le 9 elde edilir. İkinci olarak 15−3x<1815 - 3x < 18 eşitsizliğinden −3<3x  ⟹  −1<x-3 < 3x \implies -1 < x elde edilir. Bu iki sonucun kesişimi −1<x≤9-1 < x \le 9 yani (−1,9](-1, 9] aralığını verir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 136Soru →

Bir gıda deposunun iç sıcaklığı xx °C'dir. Depodaki sıcaklık kontrol ünitesinin ekranında sıcaklıkla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sıcaklık değerinin 3 katının 5 fazlası, bu değerin 11 fazlasından büyüktür.
* Sıcaklık değerinin 2 katının 13 fazlası, bu değerin 5 katının 1 fazlasından az değildir.

Buna göre, bu depodaki sıcaklık değeri xx olmak üzere, 4−3x4 - 3x ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -14

Cevap

En büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı -14'tür.
Soruda verilen sözel ifadelerden 3<x≤43 < x \le 4 eşitsizlik sistemi elde edilir. İstenen 4−3x4 - 3x ifadesine ulaşmak için bu eşitsizlik −3-3 ile çarpıldığında yön değiştirir ve −12≤−3x<−9-12 \le -3x < -9 halini alır. Eşitsizliğe 44 eklendiğinde ise −8≤4−3x<−5-8 \le 4 - 3x < -5 aralığı bulunur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı −8-8, en büyük tam sayı ise −6-6 olduğundan toplamları −14-14 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci koşuldan elde edilen sözel ifadeyi eşitsizliğe dönüştürmek ve çözmek.
3x+5>x+11  ⟹  2x>6  ⟹  x>33x + 5 > x + 11 \implies 2x > 6 \implies x > 3
Sıcaklık değeri olan x'in alt sınırını belirlemek için.
2
İkinci koşuldan elde edilen sözel ifadeyi eşitsizliğe dönüştürmek ve çözmek.
2x+13≥5x+1  ⟹  12≥3x  ⟹  x≤42x + 13 \ge 5x + 1 \implies 12 \ge 3x \implies x \le 4
Sıcaklık değeri olan x'in üst sınırını belirlemek için ('az değildir' ifadesi büyük veya eşittir anlamına gelir).
3
Bulunan iki eşitsizliği birleştirerek x'in değer aralığını yazmak.
3<x≤43 < x \le 4
x gerçel sayısının ortak çözüm kümesini oluşturmak için.
4
Sorulan 4−3x4 - 3x ifadesini elde etmek için eşitsizliği -3 ile çarpmak.
−9>−3x≥−12-9 > -3x \ge -12 yani −12≤−3x<−9-12 \le -3x < -9
Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığ��nda eşitsizlik yönünün değişmesi kuralını uygulamak.
5
Eşitsizliğin her tarafına 4 eklemek.
−8≤4−3x<−5-8 \le 4 - 3x < -5
4−3x4 - 3x ifadesinin değer aralığını netleştirmek.
6
Değer aralığındaki en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplamak.
En küçük tam sayı değeri −8-8 (dahil), en büyük tam sayı değeri ise −6-6 (hariç olan −5-5 değerinden küçük en büyük tam sayı). Toplam: −8+(−6)=−14-8 + (-6) = -14
İstenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma/bölme durumunda yön değiştirme kuralı ve gerçel sayı aralıklarında uç değer analizi.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliğin sınır değerleri olan x=3x = 3 ve x=4x = 4 değerleri 4−3x4 - 3x ifadesinde doğrudan yerine yazılarak sınır noktaları −5-5 ve −8-8 olarak bulunabilir. Katsayı negatif olduğundan büyük sınır değerinin açık aralık, küçük sınır değerinin kapalı aralık olacağı belirlenir. Buradan aralık [−8,−5)[-8, -5) olarak elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 137Soru →
−4x+9>−11 -4x + 9 > -11

eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük x tam sayısı 4'tür.
Eşitsizlik çözüldüğünde x'in 5'ten küçük gerçel sayılar olması gerektiği bulunur. 5'ten küçük en büyük tam sayı 4 olduğu için doğru yanıt 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizli��in her iki tarafından 9 çıkarılarak x'li terim yalnız bırakılır.
-4x > -20
Eşitsizliği sadeleştirmek için sabit terimler bir tarafa toplanır.
2
Eşitsizliğin her iki tarafı -4'e bölünür. Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığı için eşitsizliğin yönü değiştirilir.
x < 5
Bir eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir (büyüktür işareti küçüktür işaretine dönüşür).
3
x < 5 koşulunu sağlayan en büyük tam sayı değeri tespit edilir.
4
5'ten küçük en büyük tam sayı 4'tür.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Soru 138Soru →
Analitik düzlemde verilen
d1:(a−3)x+6y=12d_1: (a-3)x + 6y = 12
d2:2x+(a+1)y=12d_2: 2x + (a+1)y = 12
doğrularının ortak noktası bulunmadığına göre, aa kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Doğruların ortak noktasının bulunmaması için paralel olmaları gerekir ve bu durum -3 değeri ile sağlan��r.
İki doğrunun ortak noktasının olmaması, bu doğruların düzlemde paralel olması demektir. Bunun için x ve y katsayılarının oranları birbirine eşit olmalı ancak sabit terimlerin oranına eşit olmamalıdır. Bu koşul sadece -3 değeri için sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların ortak noktasının olmaması (paralel olmaları) için gereken katsayılar ilişkisi kurulur.
a−32=6a+1≠1212\frac{a-3}{2} = \frac{6}{a+1} \neq \frac{12}{12}
İki doğrunun paralel olması için x ve y katsayılarının oranları eşit olmalı, ancak bu oran sabit terimlerin oranından farklı olmalıdır.
2
Katsayılar oranının eşitliğinden elde edilen rasyonel denklem çözülür.
(a−3)(a+1)=12⇒a2−2a−15=0⇒(a−5)(a+3)=0(a-3)(a+1) = 12 \Rightarrow a^2 - 2a - 15 = 0 \Rightarrow (a-5)(a+3) = 0 buradan a=5a = 5 veya a=−3a = -3 bulunur.
Denklemin köklerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır.
3
Bulunan a değerlerinin sabit terimler oranıyla çelişip çelişmediği kontrol edilir.
a=5a = 5 için oranlar 22=66=1212=1\frac{2}{2} = \frac{6}{6} = \frac{12}{12} = 1 olur (çakışık doğrular, sonsuz çözüm). a=−3a = -3 için ise oranlar −62=6−2=−3≠1\frac{-6}{2} = \frac{6}{-2} = -3 \neq 1 olur (paralel doğrular, çözüm kümesi boş küme).
Çakışık olma durumunu eleyip yalnızca paralel olma durumunu (ortak nokta yok) sağlayan değeri belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesinin boş küme olması (doğruların paralel olması) koşulu.
Soru 139Soru →

Aşağıdaki sayı doğrusunda mavi renk ile boyanmış olan xx gerçel sayılarının değer aralığı gösterilmiştir.

[Burada sayı doğrusu görseli yer almaktadır.]

Buna göre, bu aralıktaki bir xx gerçel sayısı için −3x+1-3x + 1 ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

İfadenin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı -15'tir.
Sayı doğrusunda belirtilen aralık −2<x≤3-2 < x \leq 3 şeklindedir. Bu aralık −3-3 ile çarpıldığında eşitsizlikler yön değiştirerek −9≤−3x<6-9 \leq -3x < 6 olur. Ardından her tarafa 11 eklendiğinde elde edilen −8≤−3x+1<7-8 \leq -3x + 1 < 7 aralığındaki tam sayıların toplamı −15-15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusundaki aralığı eşitsizlik olarak ifade etme
−2<x≤3-2 < x \leq 3
Sayı doğrusunda -2 noktasının içi boş (açık aralık) ve 3 noktasının i��i dolu (kapalı aralık) gösterildiğinden sınır değerleri bu şekilde belirlenir.
2
Eşitsizliği -3 ile çarpma
−9≤−3x<6-9 \leq -3x < 6
Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir. Dolayısıyla kapalı sınır olan 3'ün -3 ile çarpımı olan -9 küçük eşit (kapalı), açık sınır olan -2'nin -3 ile çarpımı olan 6 ise büyüktür (açık) olur.
3
Eşitsizliğin her tarafına 1 ekleme
−8≤−3x+1<7-8 \leq -3x + 1 < 7
İstenen -3x + 1 ifadesini elde etmek için eşitsizliğin her bir kısmına 1 eklenir.
4
Aralıktaki tam sayıları belirleme ve toplama
Toplam = -15
[-8, 7) aralığındaki tam sayılar -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 şeklindedir. -6 ile 6 arasındaki sayıların toplamı sıfır olacağından, geriye kalan -8 ve -7 değerlerinin toplamı -15 bulunur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve uç noktaların dahil olma durumlarının korunması.
Soru 140Soru →

Bir güneş paneli şarj kontrol ünitesi, panele gelen ışık şiddetine (LL, lümen cinsinden) göre üç farklı şarj modu uygulamaktadır:

* Yavaş şarj modu: Işık şiddeti en az 120120 lümen, en çok 300300 lümen olduğunda aktiftir.
* Standart şarj modu: Işık şiddeti 250250 lümenden fazla, 600600 lümenden az olduğunda aktiftir.
* Hızlı şarj modu: Işık şiddeti en az 500500 lümen olduğunda aktiftir.

Buna göre, şarj kontrol ünitesinin yalnızca standart şarj modunda çalıştığı ışık şiddeti değerlerini gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (300,500)(300, 500)

Cevap

Şarj kontrol ünitesinin yalnızca standart şarj modunda çalıştığı aralık (300,500)(300, 500) açık aralığıdır.
Yalnızca standart şarj modunun aktif olması için ışık şiddetinin standart şarj aralığında (250,600)(250, 600) olması, ancak yavaş şarj aralüğında [120,300][120, 300] ve hızlı şarj aralığında [500,∞)[500, \infty) olmaması gerekir. Bu durum (250,600)∖([120,300]∪[500,∞))(250, 600) \setminus ([120, 300] \cup [500, \infty)) işlemiyle bulunur. 300300 değeri yavaş şarja dahil olduğu için çıkarılır ve açık sınır olur. 500500 değeri hızlı şarja dahil olduğu için çıkarılır ve açık sınır olur. Böylece aralık (300,500)(300, 500) açık aralığı olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir şarj modunun aktif olduğu ışık şiddeti (LL) aralıklarını matematiksel olarak ifade edelim.
Yavaş şarj modu için Y=[120,300]Y = [120, 300], Standart şarj modu için S=(250,600)S = (250, 600), Hızlı şarj modu için H=[500,∞)H = [500, \infty) elde edilir.
Sözel olarak verilen sınır ve dahiliyet koşullarını aralık kavramı ile sembolize etmek için.
2
Yalnızca standart şarj modunun aktif olduğu bölgeyi küme işlemleriyle tanımlayalım.
İstenen küme S∖(Y∪H)S \setminus (Y \cup H) işlemine karşılık gelir.
Standart şarj modunun aktif olduğu aralıktan, diğer modların (yavaş ve hızlı) aktif olduğu bölgeleri çıkarmak gerektiği için.
3
SS aralığından YY ve HH kümelerinin elemanlarını çıkararak sınır değerlerinin dahiliyetini analiz edelim.
[120,300][120, 300] aralığı çıkarıldığında alt sınır 300300 değeri çıkarılmış olur ve sınır (300,… )(300, \dots) şeklinde açık aralık halini alır. [500,∞)[500, \infty) aralığı çıkarıldığında üst sınır 500500 değeri çıkarılmış olur ve sınır (…,500)(\dots, 500) şeklinde açık aralık halini alır. Sonuç olarak aralık (300,500)(300, 500) olur.
Sınır değerlerinin çıkarılan kümelere dahil olup olmamasının, kalan aralığın açık veya kapalı olmasını nasıl etkilediğini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Aralıkların kesişimi ve farkı işlemleri ile açık-kapalı aralık sınır analizi.
ÖncekiSayfa 7 / 19Sonraki
Denklem ve Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 7 | Examkin