Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 soru

Tüm türler376Çoktan seçmeli189Doğru / Yanlış46Sayısal122Sıralama19
Soru 101Soru →

Bir dağın yamacında deniz seviyesinden yükseldikçe her 200200 metrede hava sıcaklığı 11 °C azalmaktadır. Deniz seviyesindeki hava sıcaklığının 1212 °C olduğu bu dağda, bir dağcının bulunduğu hh yüksekli��indeki (metre cinsinden) hava sıcaklığı T(h)T(h) olarak tanımlanıyor.

Dağcının bulunduğu konumdaki hava sıcaklığının −3-3 °C'den yüksek ve 44 °C'den düşük olduğu bilindiğine göre, dağcın��n bulunduğu hh yüksekliğinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1600<h<30001600 < h < 3000

Cevap

Dağcının bulunduğu yüksekliğin alabileceği değerlerin en geniş aralığı 1600<h<30001600 < h < 3000 şeklindedir.
Hava sıcaklığı sınırları −3<T(h)<4-3 < T(h) < 4 olarak kurulduğunda, T(h)=12−h200T(h) = 12 - \frac{h}{200} ifadesi eşitsizlikte yerine yerleştirilir. −3<12−h200<4-3 < 12 - \frac{h}{200} < 4 eşitsizliğinde her taraftan 1212 çıkarılarak −15<−h200<−8-15 < -\frac{h}{200} < -8 elde edilir. Eşitsizliğin her tarafı −200-200 ile çarpıldığında, negatif bir sayı ile çarpma yapıldığı için eşitsizlik yön değiştirerek 3000>h>16003000 > h > 1600 halini alır. Bu da 1600<h<30001600 < h < 3000 ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgilere göre dağcının bulunduğu yükseklikteki hava sıcaklığını ifade eden T(h)T(h) fonksiyonunu kurmak ve eşitsizlik sınırlarını belirlemek.
Deniz seviyesinde sıcaklık 1212 °C olup her 200200 metrede 11 °C azaldığından T(h)=12−h200T(h) = 12 - \frac{h}{200} olur. Sıcaklık −3-3 °C'den yüksek ve 44 °C'den düşük olduğu için eşitsizlik −3<12−h200<4-3 < 12 - \frac{h}{200} < 4 olarak yazılır.
Soruda verilen sözel durumun matematiksel eşitsizlik modelini oluşturmak.
2
Eşitsizliğin her üç tarafından 1212 çıkararak ortadaki sabit terimi yok etmek.
−3−12<12−h200−12<4−12⇒−15<−h200<−8-3 - 12 < 12 - \frac{h}{200} - 12 < 4 - 12 \Rightarrow -15 < -\frac{h}{200} < -8 elde edilir.
hh değişkenini yalnız bırakmak için ilk adımı uygulamak.
3
Eşitsizliği −200-200 ile çarparak paydadaki ve işaretteki negatifliği gidermek ve hh değişkenini yalnız bırakmak.
Negatif bir sayıyla çarpma yapıldığı için eşitsizlik yön değiştirir: −15×(−200)>h>−8×(−200)⇒3000>h>1600-15 \times (-200) > h > -8 \times (-200) \Rightarrow 3000 > h > 1600 olur. Bu ifade 1600<h<30001600 < h < 3000 şeklinde de yazılabilir.
Negatif sayı ile çarpma veya bölme işleminde eşitsizliğin yön değiştireceği kuralını uygulayarak doğru aralığı bulmak.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme işlemi yapıldığında eşitsizliğin yönünün değişmesi kuralı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 102Soru →
−5<1−2x≤7 -5 < 1 - 2x \le 7

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -3'tür.
Verilen eşitsizlik çözüldüğünde x gerçel sayısının [-3, 3) aralığında olduğu görülür. Bu aralıktaki tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1, 2 olup toplamları -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ortadaki terimi yalnız bırakmak için her taraftan 1 çıkarılır.
−6<−2x≤6-6 < -2x \le 6
Bilinmeyenli terimi tek başına bırakmak amacıyla sabit terim sadeleştirilir.
2
Her taraf -2'ye bölünerek x yalnız bırakılır.
−3≤x<3-3 \le x < 3
Negatif bir sayıya bölme yapıldığı için eşitsizliklerin yönü değiştirilir.
3
Bu aralıktaki tam sayılar tespit edilerek toplamları hesaplanır.
−3+(−2)+(−1)+0+1+2=−3-3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -3
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 103Soru →

Bir mağazada satılan belirli bir ürünün alış fiyatı (2x−10)(2x - 10) TL, satış fiyatı ise (26−2x)(26 - 2x) TL'dir.

Bu ürünün satışından kâr elde edildiği bilindiğine göre, xx tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Ürünün kâr getirmesi için satış fiyatının alış fiyatından yüksek olması (26−2x>2x−1026 - 2x > 2x - 10) ve alış fiyatının fiziksel olarak pozitif olması (2x−10>02x - 10 > 0) gerekir. Bu iki eşitsizlik çözüldüğünde xx tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı 21 olarak bulunur.
Ürünün kâr getirmesi için satış fiyatının alış fiyatından büyük olması gerekir: 26−2x>2x−1026 - 2x > 2x - 10. Bu eşitsizlik çözüldüğünde −4x>−36-4x > -36 elde edilir. Her iki taraf −4-4 ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve x<9x < 9 bulunur. Aynı zamanda alış fiyatı pozitif olmalıdır: 2x−10>0⇒x>52x - 10 > 0 \Rightarrow x > 5. Bu iki eşitsizliğin kesişimi olan 5<x<95 < x < 9 aralığındaki tam sayılar 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı ise 21'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr elde etme koşuluna ait eşitsizliği kurun.
26−2x>2x−1026 - 2x > 2x - 10
Bir ürünün satışından kâr elde edilmesi, satış fiyatının alış fiyatından büyük olmasıyla mümkündür.
2
Birinci adındaki eşitsizliği xx değişkeni için çözün.
−4x>−36⇒x<9-4x > -36 \Rightarrow x < 9
Eşitsizliğin her iki tarafı −4-4 gibi negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Gerçek hayat kısıtı gereği alış fiyatının pozitif olması şartını uygulayın.
2x−10>0⇒2x>10⇒x>52x - 10 > 0 \Rightarrow 2x > 10 \Rightarrow x > 5
Bir ürünün alış fiyatı sıfır ya da negatif bir değer olamaz.
4
Bulunan iki eşitsizliği birleştirerek xx için geçerli ortak aralığı yazın.
5<x<95 < x < 9
Hem kâr etme koşulunun hem de fiyatların pozitif olması koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Aralıktaki xx tam sayı değerlerini toplayın.
x∈{6,7,8}⇒6+7+8=21x \in \{6, 7, 8\} \Rightarrow 6 + 7 + 8 = 21
Soru kökünde bizden xx tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 104Soru →

Bir kutudaki bilyelerin sayısı, onlar basamağı xx rakamı olan iki basamaklı x2x2 doğal sayısıdır. Bu kutuya 13 bilye daha eklendiğinde kutudaki toplam bilye sayısı, xx rakamının 15 katına eşit olmaktadır. Buna göre, xx rakamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Bilye sayısını veren denklemin çözümüyle elde edilen rakam değeri 3 olmalıdır.
İki basamaklı x2x2 sayısı 10x+210x + 2 şeklinde çözümlenir. Bu sayıya 13 eklenmesiyle elde edilen 10x+1510x + 15 ifadesi, xx rakamının 15 katı olan 15x15x değerine eşitlenir. Buradan 10x+15=15x⇒5x=15⇒x=310x + 15 = 15x \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3 elde edilir. 3 bir rakam olduğu için şartları tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı x2x2 sayısını basamak değerlerine göre çözümlemek.
x2=10x+2x2 = 10x + 2
Onlar basamağında xx, birler basamağında 2 olan iki basamaklı doğal sayının sayısal değeri 10⋅x+2⋅110 \cdot x + 2 \cdot 1 şeklinde ifade edilir.
2
Soruda verilen bilgilere uygun olarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi kurmak.
(10x+2)+13=15x(10x + 2) + 13 = 15x
Kutudaki mevcut bilye sayısına (10x+210x+2) 13 bilye eklenmesinin, xx rakamının 15 katına (15x15x) eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Kurulan denklemi çözerek xx bilinmeyenini bulmak.
10x+15=15x⇒15=15x−10x⇒15=5x⇒x=310x + 15 = 15x \Rightarrow 15 = 15x - 10x \Rightarrow 15 = 5x \Rightarrow x = 3
Benzer terimler eşitliğin aynı tarafında toplanarak sadeleştirilir ve bilinmeyen yalnız bırakılır. Bulunan 3 değeri bir rakam olup şartı sağlamaktadır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ilişkisi.
Soru 105Soru →

Bir otoparkın ücret tarifesi şu şekildedir:
- Giriş ücreti sabittir ve bu ücrete ilk 1 saatlik park süresi dahildir.
- 1 saatten sonraki her bir saat için ödenecek ek ücret sabit ve TL cinsinden birer tam sayıdır.

Bu otoparkta;
- xx saat kalan bir müşteri, giriş ücreti ve ek ücretler dahil toplam iki basamaklı 3x3x TL,
- (x+2)(x + 2) saat kalan başka bir müşteri ise toplam (5x−4)(5x - 4) TL
ödüyor.

Buna göre, bu otoparkta 6 saat kalan bir müşterinin ödeyeceği toplam tutar kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

6 saat kalan bir müşterinin ödeyeceği toplam tutar 36 TL'dir.
Müşterilerin ödediği toplam ücret denklemleri yazılıp taraf tarafa çıkarıldığında saatlik ek ücret E=2x−17E = 2x - 17 olarak bulunur. 3x3x ifadesi iki basamaklı bir sayı olduğundan xx bir rakam olmalıdır. Ayrıca ek ücret pozitif bir tam sayı olmak zorunda olduğundan 2x−17≥1  ⟹  x≥92x - 17 \ge 1 \implies x \ge 9 eşitsizliğinden x=9x = 9 bulunur. Buradan ek ücret E=1E = 1 TL ve giriş ücreti G=31G = 31 TL olarak elde edilir. Otoparkta 6 saat kalan bir müşteri, ilk saat için 31 TL ve kalan 5 saat için 5⋅1=55 \cdot 1 = 5 TL olmak üzere toplam 36 TL öder.

Adım Adım Çözüm

1
Müşterilerin ödediği toplam ücret denklemlerini kurun.
Giriş ücreti GG ve saatlik ek ücret EE olsun. İlk 1 saat giriş ücretine dahil olduğundan:
1. Müşteri (xx saat): G+(x−1)E=30+xG + (x - 1)E = 30 + x (çünkü 3x3x iki basamaklı sayısı 30+x30 + x değerindedir).
2. Müşteri ((x+2)(x + 2) saat): G+(x+1)E=5x−4G + (x + 1)E = 5x - 4.
Otoparkın ücret yapısına uygun doğrusal denklemleri oluşturmak için bu adım gereklidir.
2
Elde edilen denklemleri taraf tarafa çıkararak GG değişkenini yok edin.
[G+(x+1)E]−[G+(x−1)E]=(5x−4)−(30+x)[G + (x + 1)E] - [G + (x - 1)E] = (5x - 4) - (30 + x)
2E=4x−342E = 4x - 34
E=2x−17E = 2x - 17.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek amacıyla giriş ücretini elemek için bu işlem yapılır.
3
xx değişkeninin alabileceği değeri belirleyin.
3x3x iki basamaklı bir sayı olduğundan xx bir rakam olmalıdır (x∈{0,1,...,9}x \in \{0, 1, ..., 9\}).
Ek ücret pozitif bir tam sayı olmak zorunda olduğundan:
E≥1  ⟹  2x−17≥1  ⟹  2x≥18  ⟹  x≥9E \ge 1 \implies 2x - 17 \ge 1 \implies 2x \ge 18 \implies x \ge 9.
Bu durumda xx ancak 99 olabilir.
Sayı kümelerinin kısıtları kullanılarak denklemin tekil çözümü bulunur.
4
Belirlenen xx değerine göre EE ve GG sabitlerini bulun.
x=9x = 9 için:
E=2(9)−17=1E = 2(9) - 17 = 1 TL.
İlk denklemde yerine yazılırsa:
G+(9−1)⋅1=30+9  ⟹  G+8=39  ⟹  G=31G + (9 - 1) \cdot 1 = 30 + 9 \implies G + 8 = 39 \implies G = 31 TL.
Giriş ücreti ve saatlik ek ücret değerlerinin netleştirilmesi için bu adım zorunludur.
5
6 saat park eden müşterinin ödeyeceği toplam ücreti hesaplayın.
6 saat park süresi için ilk 1 saat giriş ücretine dahildir ve kalan 5 saat için ek ücret ödenir:
Toplam Ücret = G+5E=31+5⋅1=36G + 5E = 31 + 5 \cdot 1 = 36 TL.
Soruda istenen hedef değere ulaşmak için bu son hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin katsayı kısıtları ve sayı kümeleri özellikleri kullanılarak çözülmesi.
Soru 106Soru →

−2<x<−1-2 < x < -1 olmak üzere, aa, bb ve cc gerçel sayıları aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

* a=−3x+2a = -3x + 2
* b=x−1−2b = \frac{x-1}{-2}
* c=2x−5−3c = \frac{2x - 5}{-3}

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe sıralama b < c < a şeklindedir.
Verilen xx aralığı kullanılarak her bir değişkenin değer aralığı, eşitsizlik kurallarına (özellikle negatif sayılarla çarpma/bölme yapıldığında eşitsizlik yönünün değişmesi kuralına) uygun olarak hesaplanır. Elde edilen aralıklar b∈(1,1.5)b \in (1, 1.5), c∈(73,3)c \in (\frac{7}{3}, 3) ve a∈(5,8)a \in (5, 8) şeklindedir. Bu aralıkların sınır değerleri karşılaştırıldığında en küçük değerin bb sayısı, ortanca değerin cc sayısı ve en büyük değerin aa sayısı olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
aa sayısının aralığını bulmak için xx aralığını −3-3 ile çarpıp 22 ekleyin.
5<a<85 < a < 8
−2<x<−1-2 < x < -1 eşitsizliği negatif −3-3 sayısı ile çarpıldığında yön değiştirir (3<−3x<63 < -3x < 6) ve 22 eklendiğinde 5<a<85 < a < 8 elde edilir.
2
bb sayısının aralığını bulmak için xx aralığından 11 çıkarıp −2-2 ile bölün.
1<b<1.51 < b < 1.5
−3<x−1<−2-3 < x - 1 < -2 eşitsizliği negatif −2-2 sayısına bölündüğünde yön değiştirerek 1<b<1.51 < b < 1.5 olur.
3
cc sayısının aralığını bulmak için xx aralığını 22 ile çarpıp 55 çıkarın ve elde edilen sonucu −3-3 ile bölün.
73<c<3\frac{7}{3} < c < 3
−9<2x−5<−7-9 < 2x - 5 < -7 eşitsizliği negatif −3-3 sayısına bölündüğünde yön değiştirerek 73<c<3\frac{7}{3} < c < 3 olur.
4
Elde edilen aa, bb ve cc aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapın.
b<c<ab < c < a
bb aralığının üst sınırı olan 1.51.5 değeri, cc aralığının alt sınırı olan 73≈2.33\frac{7}{3} \approx 2.33 değerinden küçüktür. Benzer şekilde cc aralığının üst sınırı olan 33 değeri, aa aralığının alt sınırı olan 55 değerinden küçüktür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde eşitsizlik yönünün değişmesi.
Soru 107Soru →

Bir taksinin açılış ücreti 2020 TL olup gidilen her kilometre için 88 TL ücret alınmaktadır. Bu taksiyle xx kilometre yolculuk yapan bir müşterinin ödediği toplam ücret 100100 TL olduğuna göre, gidilen yolu veren denklem 8x+20=1008x + 20 = 100 şeklindedir ve bu yolculukta gidilen mesafe 1010 kilometredir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Yolculuk için kurulan denklem 8x+20=1008x + 20 = 100 şeklindedir ve bu denklem çözüldüğünde gidilen mesafe 1010 km olarak bulunur.
Denklemin cebirsel modellemesi doğru yapılmış ve denklem hatasız çözülerek x=10x = 10 sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Gidilen mesafeye bağlı olarak ödenen değişken ücret ile sabit açılış ücretini belirleme.
Kilometre başına 88 TL alındığından xx km için 8x8x TL ödenir. Sabit açılış ücreti ise 2020 TL'dir.
Do��rusal ücretlendirme kurgusunda değişken miktar ile sabit değer ayrı ayrı tespit edilmelidir.
2
Toplam ücret ifadesini oluşturup verilen toplam tutara eşitleyerek denklemi kurma.
8x+20=1008x + 20 = 100
Müşterinin yaptığı yolculuk sonrası ödediği toplam ücretin 100100 TL olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi çözerek bilinmeyen xx değerini bulma.
8x=100−20  ⟹  8x=80  ⟹  x=108x = 100 - 20 \implies 8x = 80 \implies x = 10
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde değişkeni yalnız bırakmak amacıyla işlemler sırasıyla uygulanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem modelleme ve çözme
Soru 108Soru →
x<0<yx < 0 < y olmak üzere,
∣x∣+∣y−x∣−∣y∣|x| + |y - x| - |y|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2x-2x

Cevap

İfadenin en sade eşiti −2x-2x olur.
Verilen koşullarda xx negatif olduğu için ∣x∣=−x|x| = -x olur. y−xy - x pozitif olduğu için ∣y−x∣=y−x|y - x| = y - x olur. yy pozitif olduğu için ∣y∣=y|y| = y olur. Bu değerler yerine yazıldığında −x+y−x−y=−2x-x + y - x - y = -2x sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla doğru yanıt −2x-2x ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaretlerini belirleme.
x<0x < 0 olduğundan xx negatiftir. x<0<yx < 0 < y olduğundan y−x>0y - x > 0 (pozitif) ve y>0y > 0 (pozitif) olur.
Mutlak değer dışına çıkarma işleminde ifadenin işareti dışarıya nasıl çıkacağını belirler.
2
İfadeleri mutlak değer dışına çıkarma.
∣x∣=−x|x| = -x, ∣y−x∣=y−x|y - x| = y - x ve ∣y∣=y|y| = y olarak çıkar.
Negatif ifadeler önüne eksi (−-) alarak çıkar, pozitif ifadeler aynen çıkar.
3
Elde edilen ifadeleri ana denklemde yerine koyup sadeleştirme.
(−x)+(y−x)−(y)=−x+y−x−y=−2x(-x) + (y - x) - (y) = -x + y - x - y = -2x elde edilir.
Toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayarak en sade biçime ulaşırız.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretine göre dışarıya çıkarılması.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde değer seçme yöntemi kullanılabilir. Örneğin, x=−1x = -1 ve y=2y = 2 değerleri seçilirse; ∣−1∣+∣2−(−1)∣−∣2∣=1+3−2=2|-1| + |2 - (-1)| - |2| = 1 + 3 - 2 = 2 bulunur. Seçeneklerde x=−1x = -1 yazıldığında 22 sonucunu veren tek ifade −2x-2x ifadesidir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 109Soru →

Bir kırtasiyeci, deposundaki defterleri paketlemek için iki farklı boyuttaki kolileri kullanmaktadır.

* Küçük kolilerin her birine, onlar basamağı birler basamağından 33 eksik olan iki basamaklı bir doğal sayı kadar defter yerleştirilmektedir.
* Büyük kolilerin her birine ise küçük kolinin kapasitesini gösteren sayının basamaklarının yer değiştirilmesiyle elde edilen iki basamaklı sayı kadar defter yerleştirilmektedir.

Kırtasiyeci elindeki defterleri;
* Sadece kü��ük kolilere yerleştirirse 55 koli tamamen dolmakta ve geriye 55 defter kalmaktadır.
* Sadece büyük kolilere yerleştirirse 33 koli tamamen dolmakta fakat son kolinin tamamen dolması için 44 defter eksik kalmaktadır.

Buna göre, kırtasiyecinin paketlemek istediği toplam defter sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 185

Cevap

Paketlemek istenen toplam defter sayısı 185'tir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, koli kapasitelerinin basamak analiziyle tek bir değişken cinsinden doğru kurulması, doğrusal denklemdeki parantezlerin kurallara uygun açılması ve elde edilen tam sayı koli kapasiteleriyle (36 ve 63) toplam defter sayısının hatasız hesaplanması (5 * 36 + 5 = 185) ile bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük kolinin kapasitesini belirlemek için onlar basamağına aa, birler basamağına bb diyelim. Onlar basamağı birler basamağından 33 eksik olduğuna göre a=b−3a = b - 3, yani b=a+3b = a + 3 olur. Küçük kolinin kapasitesi iki basamaklı sayı olduğundan 10a+b=10a+(a+3)=11a+310a + b = 10a + (a + 3) = 11a + 3 olarak ifade edilir.
Küçük koli kapasitesi: 11a+311a + 3 adet defter.
Koli kapasitesini tek bir bilinmeyen cinsinden basamak çözümlemesi kullanarak yazmak için.
2
Büyük kolinin kapasitesi, küçük kolinin kapasitesinin basamaklarının yer değiştirilmesiyle elde edilir. Bu sayı 10b+a10b + a olacağından, bb yerine a+3a + 3 yazıldığında büyük kolinin kapasitesi 10(a+3)+a=11a+3010(a + 3) + a = 11a + 30 olarak bulunur.
Büyük koli kapasitesi: 11a+3011a + 30 adet defter.
Büyük koli kapasitesini de aynı bilinmeyen cinsinden ifade etmek için.
3
Defter sayısını veren iki durumu birbirine eşitleyen denklemi kuralım. 55 küçük koli dolduğunda 55 defter artması 5(11a+3)+55(11a + 3) + 5 ifadesini, 33 büyük koli dolduğunda 44 defter eksik kalması ise 3(11a+30)−43(11a + 30) - 4 ifadesini verir. Buradan denklem: 5(11a+3)+5=3(11a+30)−45(11a + 3) + 5 = 3(11a + 30) - 4 olur.
Denklem: 55a+15+5=33a+90−455a + 15 + 5 = 33a + 90 - 4
Her iki durumda paketlenen defter miktar�� aynı olduğundan eşitlik kurulur.
4
Elde edilen denklemi çözelim: 55a+20=33a+86  ⟹  22a=66  ⟹  a=355a + 20 = 33a + 86 \implies 22a = 66 \implies a = 3 bulunur. Buradan birler basamağı b=3+3=6b = 3 + 3 = 6 olur. Rakamlar koşuluna uyduğundan küçük koli kapasitesi 3636, büyük koli kapasitesi 6363 olarak elde edilir.
a=3a = 3, küçük koli kapasitesi 3636 ve büyük koli kapasitesi 6363 adet defterdir.
Bilinmeyen aa değerini bularak koli kapasitelerini hesaplamak için.
5
Bulunan kapasite değerini toplam defter sayısı formülünde yerine koyalım: D=5⋅36+5=180+5=185D = 5 \cdot 36 + 5 = 180 + 5 = 185 bulunur.
Toplam defter sayısı 185'tir.
Soruda istenen nihai toplam defter sayısını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin basamak analizi ve sözel senaryolar yardımıyla kurulması ve çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine seçeneklerden gidilebilir. Toplam defter sayısı olan 185 değeri için: 5 küçük koli doldurulduğunda 5 defter artıyorsa, bir küçük kolinin kapasitesi (185 - 5) / 5 = 36 olur. 36 sayısının basamakları yer değiştirilirse 63 elde edilir. Bu durumda büyük kolinin kapasitesi 63 olur. 3 büyük koli tamamen doldurulduğunda (3 * 63 = 189) son kolinin dolması için gerçekten de 4 defter (189 - 185 = 4) eksik kalmaktadır. Küçük koli kapasitesi olan 36 sayısında onlar basamağı (3), birler basamağından (6) tam olarak 3 eksik olduğundan tüm koşullar sağlanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 110Soru →

Genişlikleri birbirine eşit olan iki raftan birincisine, genişliği xx cm olan 2 adet özdeş kitap yan yana yerleştirildikten sonra rafın kalan kısmına 37 cm genişliğinde bir destek yerleştiriliyor. İkinci rafa ise onlar basamağı xx rakamı olan iki basamaklı x5x5 cm genişliğinde tek bir kutu yerleştirildiğinde raf tamamen doluyor.

Buna göre, bir kitabın genişliği (xx) kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Bir kitabın genişliği 44 cm'dir.
Raf genişliklerinin eşitliğinden 2x+37=10x+52x + 37 = 10x + 5 denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 8x=328x = 32 ve buradan x=4x = 4 elde edilir. Bu değer bir rakam olduğundan şartı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Raf genişliklerinin eşitliğinden yararlanarak denklemi kurmak.
2x+37=10x+52x + 37 = 10x + 5 denklemi elde edilir.
Birinci raftaki 2 kitap ve 37 cm'lik destek, ikinci raftaki x5x5 iki basamaklı genişliğine eşittir. Burada x5x5 iki basamaklı sayısı 10x+510x + 5 olarak çözümlenir.
2
Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplamak.
32=8x32 = 8x denklemi elde edilir.
Denklemin sol tarafındaki 2x2x ifadesi sağ tarafa eksi olarak geçer (10x−2x=8x10x - 2x = 8x), sağ taraftaki +5+5 ifadesi sol tarafa eksi olarak geçer (37−5=3237 - 5 = 32).
3
Denklemi çözerek xx değerini bulmak.
x=4x = 4 bulunur.
Eşitliğin her iki tarafı 88 ile bölünerek xx yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kurma ve Çözme
Soru 111Soru →

Her xx gerçel sayısı için x2=x\sqrt{x^2} = x eşitliği her zaman doğrudur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Her xx gerçel sayısı için x2=x\sqrt{x^2} = x eşitliği her zaman doğru değildir, bu nedenle verilen ifade yanlıştır.
Her xx gerçel sayısı için x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| olup, xx negatif olduğunda sonuç −x-x olur. Dolayısıyla x2=x\sqrt{x^2} = x eşitliği her zaman sağlanmaz.

Adım Adım Çözüm

1
Karekökün tanımını hatırlayalım.
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| bağ��ntısı geçerlidir.
Çift dereceli bir kökten çıkan ifade negatif olamaz, bu yüzden dışarıya mutlak değer içinde çıkar.
2
Negatif bir sayı için durumu test edelim.
x=−2x = -2 için (−2)2=4=2\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 olur. Ancak ifadedeki formüle göre bu değer x=−2x = -2 olmalıdır. 2≠−22 \neq -2 olduğundan eşitlik her zaman doğru değildir.
Eşitliğin her gerçel sayı için doğru olması gerektiği iddia edildiğinden, tek bir karşıt örnek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerin Kareköklü İfadelerle İlişkisi ve Dışarı Çıkarma Kuralı
Soru 112Soru →

Aşağıda birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler yardımıyla tanımlanan aa, bb ve cc tam sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir (b=−3b = -3, a=−2a = -2, c=1c = 1).
Verilen eşitsizlikler çözüldüğünde a=−2a = -2, b=−3b = -3 ve c=1c = 1 tam sayı değerleri bulunur. Bu değerlerin sayı doğrusundaki konumlarına göre küçükten büyüğe sıralanışı −3<−2<1-3 < -2 < 1 yani b<a<cb < a < c şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
aa değerini bulmak için −3x+6≥12-3x + 6 \ge 12 eşitsizliğini çözünüz.
x≤−2x \le -2 elde edilir. Buradan en büyük xx tam sayısı a=−2a = -2 bulunur.
−3x≥6-3x \ge 6 adımında eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir.
2
bb değerini bulmak için 2x−4<−82x - 4 < -8 eşitsizliğini çözünüz.
x<−2x < -2 elde edilir. Buradan en büyük xx tam sayısı b=−3b = -3 bulunur.
2x<−42x < -4 adımında eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölündüğü için yön değişmez.
3
cc değerini bulmak için −x−1>−3-x - 1 > -3 eşitsizliğini çözünüz.
x<2x < 2 elde edilir. Buradan en büyük xx tam sayısı c=1c = 1 bulunur.
−x>−2-x > -2 adımında eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir.
4
Elde edilen a=−2a = -2, b=−3b = -3 ve c=1c = 1 değerlerini karşılaştırınız.
−3<−2<1-3 < -2 < 1 olduğundan sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür ve her halükarda pozitif sayılardan küçüktür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayı ile çarpıldığında ya da bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Soru 113Soru →

Hibrit bir otomobil, bir elektrikli motor ve bir benzinli motor olmak üzere toplam iki motora sahiptir. Bu otomobilin sürüş kontrol sistemi, aracın hızına (vv, km/sa cinsinden) göre motorların çalışma durumlarını şu şekilde ayarlamaktadır:

* İki motorun birlikte çalıştığı hız aralığı: [40,90][40, 90]
* Yalnızca benzinli motorun çalıştığı hız aralığı: (80,180](80, 180]

Buna göre, bu otomobilde iki motorun birlikte çalıştığı veya yalnızca benzinli motorun çalıştığı hız değerlerinin oluşturduğu küme sayı doğrusunda gösterildiğinde, bu kümeye ait en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 220

Cevap

İki aralığın birleşimi olan [40,180][40, 180] kümesindeki en küçük tam sayı değeri olan 4040 ile en büyük tam sayı değeri olan 180180 sayılarının toplamı olan 220220 sayısıdır.
İki motorun birlikte çalıştığı [40,90][40, 90] aralığı ile yalnızca benzinli motorun çalıştığı (80,180](80, 180] aralığının birleşimi olan [40,180][40, 180] aralığındaki en küçük tam sayı değeri (4040) ile en büyük tam sayı değerinin (180180) toplamı 220220 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
İki motorun birlikte çalıştığı hız aralığını belirlemek.
[40,90][40, 90] aralığı.
Soruda iki motorun birlikte çalıştığı durum bu şekilde tanımlanmıştır.
2
Yalnızca benzinli motorun çalıştığı hız aralığını belirlemek.
(80,180](80, 180] aralığı.
Soruda yalnızca benzinli motorun çalıştığı durum bu şekilde tanımlanmıştır.
3
Bu iki aralığın veya (birleşim) işlemi ile birleştirilmesi.
[40,90]∪(80,180]=[40,180][40, 90] \cup (80, 180] = [40, 180] aralığı.
İki aralık [80,90][80, 90] bölgesinde kesiştiği için birleşimleri kesintisiz tek bir kapal�� aralık oluşturur.
4
Birleşim kümesine ait en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulmak.
En küçük değer 4040, en büyük değer 180180.
[40,180][40, 180] aralığının uç noktaları dahil (kapalı) olduğundan bu sınırlar aralıktaki en küçük ve en büyük tam sayı değerleridir.
5
Bu iki değerin toplamını hesaplamak.
40+180=22040 + 180 = 220.
Soruda elde edilen en küçük ve en büyük tam sayı sınırlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusunda aralıkların gösterimi, açık-kapalı aralık kavramı ve aralıklar üzerinde birleşim işlemi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 114Soru →

x<0x < 0 olmak üzere,

∣x∣+∣−3x∣|x| + |-3x|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −4x-4x

Cevap

−4x-4x ifadesi doğru cevaptır.
Doğru cevap −4x-4x seçeneğidir. Tanım gereği, mutlak değerin içi negatifse dışarıya eksi ile çarpılarak çıkar; içi pozitifse aynen çıkar. x<0x < 0 olduğu için ∣x∣|x| ifadesinin içi negatiftir ve −x-x olarak çıkar. −3x-3x ifadesinin içi ise pozitif olduğu için aynen −3x-3x olarak çıkar. İki ifadenin toplamı −x−3x=−4x-x - 3x = -4x olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan ∣x∣|x| ifadesini mutlak değer dışına çıkarın.
∣x∣=−x|x| = -x
x<0x < 0 olarak verildiğinden xx negatif bir sayıdır. Negatif ifadeler mutlak değer dışına çıkarken önüne eksi işareti alır.
2
İkinci terim olan ∣−3x∣|-3x| ifadesini mutlak değer dışına çıkarın.
∣−3x∣=−3x|-3x| = -3x
x<0x < 0 olduğundan, −3x-3x ifadesi pozitif bir değer belirtir (negatif ×\times negatif = pozitif). Pozitif ifadeler mutlak değer dışına aynen çıkar.
3
Elde edilen ifadeleri toplayarak sonucu sadeleştirin.
−x+(−3x)=−4x-x + (-3x) = -4x
Bulunan mutlak değer dışı ifadelerin cebirsel toplamı alınarak sade hal elde edilir.

Anahtar Kavram

Negatif işaretli değişkenlerin mutlak değer dışına çıkarılması ve mutlak değerin temel özellikleri.
Soru 115Soru →
Bir su deposundaki suyun buharlaşma hızının güvenli sınırda kalması için depo içi sıcaklığın (TT °C) sağlaması gereken koşul,
−15<15−5T3≤−5 -15 < \frac{15 - 5T}{3} \le -5
eşitsizliği ile belirlenmiştir.

Buna g��re, bu koşulu sağlayan en küçük TT tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Koşulu sağlayan en küçük T tam sayı değeri 6'dır.
Verilen eşitsizlik adımları takip edilerek çözüldüğünde sıcaklık aralığı 6≤T<126 \le T < 12 olarak bulunur. Bu aralıkta eşitlik sınırı dahil olan en küçük tam sayı değeri 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği 3 ile çarpmak
−45<15−5T≤−15-45 < 15 - 5T \le -15
Rasyonel ifadeyi tam sayı katsayılı hale getirmek.
2
Her taraftan 15 çıkarmak
−60<−5T≤−30-60 < -5T \le -30
Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak.
3
Her tarafı -5'e bölmek
12>T≥612 > T \ge 6 (veya 6≤T<126 \le T < 12)
Negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
4
Aralıktaki en küçük tam sayıyı seçmek
66
6≤T<126 \le T < 12 yarı açık aralığında 6 değeri dahil olduğundan en küçük tam sayı 6 olur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve eşitsizliğin negatif bir sayı ile bölünmesi durumunda yön değiştirmesi.
Soru 116Soru →

Her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x−y∣<∣1−xy∣|x - y| < |1 - xy| eşitsizliğinin sağlanması için gerek ve yeter koşul (∣x∣−1)(∣y∣−1)>0(|x| - 1)(|y| - 1) > 0 olmasıdır. Bu ifade doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ∣x−y∣<∣1−xy∣|x - y| < |1 - xy| eşitsizliğinin her iki tarafının karesi alınıp çarpanlara ayrıldığında (∣x∣−1)(∣y∣−1)>0(|x| - 1)(|y| - 1) > 0 elde edilir. Mutlak değerin ∣t∣2=t2|t|^2 = t^2 özelliği ve ∣t∣+1>0|t| + 1 > 0 gerçeği kullanılarak gerek ve yeter koşulun tam olarak bu olduğu ispatlanır. Dolayısıyla ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizliğin her iki tarafının da karesi alınarak mutlak değer işaretlerinden kurtulunur.
∣x−y∣2<∣1−xy∣2⇒(x−y)2<(1−xy)2|x - y|^2 < |1 - xy|^2 \Rightarrow (x - y)^2 < (1 - xy)^2
Mutlak değerli ifadelerin kareleri, kendilerinin karelerine eşittir (yani ∣a∣2=a2|a|^2 = a^2).
2
Kareleri al��nan ifadeler açılarak eşitsizliğin tüm terimleri bir tarafta toplanır.
x2−2xy+y2<1−2xy+x2y2⇒x2+y2<1+x2y2⇒x2y2−x2−y2+1>0x^2 - 2xy + y^2 < 1 - 2xy + x^2y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 < 1 + x^2y^2 \Rightarrow x^2y^2 - x^2 - y^2 + 1 > 0
Eşitsizliğin her iki tarafındaki −2xy-2xy terimleri sadeleştirilir ve tüm terimler sağ tarafa aktarılır.
3
Elde edilen x2y2−x2−y2+1>0x^2y^2 - x^2 - y^2 + 1 > 0 ifadesi ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.
x2(y2−1)−(y2−1)>0⇒(x2−1)(y2−1)>0x^2(y^2 - 1) - (y^2 - 1) > 0 \Rightarrow (x^2 - 1)(y^2 - 1) > 0
Ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanarak ifade daha sade bir çarpım durumuna getirilir.
4
Çarpanlar iki kare fark�� ve mutlak değer özellikleri kullanılarak analiz edilir ve sadeleştirilir.
(x2−1)=(∣x∣2−1)=(∣x∣−1)(∣x∣+1)(x^2 - 1) = (|x|^2 - 1) = (|x| - 1)(|x| + 1) ve (y2−1)=(∣y∣2−1)=(∣y∣−1)(∣y∣+1)(y^2 - 1) = (|y|^2 - 1) = (|y| - 1)(|y| + 1) yazılır. Buradan eşitsizlik (∣x∣−1)(∣x∣+1)(∣y∣−1)(∣y∣+1)>0(|x| - 1)(|x| + 1)(|y| - 1)(|y| + 1) > 0 haline gelir. Her gerçel sayı için ∣x∣+1>0|x| + 1 > 0 ve ∣y∣+1>0|y| + 1 > 0 olduğundan, bu terimler eşitsizliğin yönünü etkilemez ve sadeleştirilebilir. Sonuç olarak gerek ve yeter koşul (∣x∣−1)(∣y∣−1)>0(|x| - 1)(|y| - 1) > 0 olarak bulunur.
x2=∣x∣2x^2 = |x|^2 özdeşliği ve daima pozitif olan çarpanların eşitsizlikten elenmesi kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin karesel özellikleri, iki kare farkı özdeşliği ve eşitsizliklerde işaret analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 117Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının 44 noktasına olan uzaklığı, −2-2 noktasına olan uzaklığının 22 katına eşitse, bu koşulu sağlayan xx değerlerinin toplamı 00'dır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır çünkü bu koşulu sağlayan gerçek sayıların toplamı 00 değil, −8-8'dir.
Doğru yanıt ifadenin yanlış olduğudur. Çünkü denklemden elde edilen kökler x=−8x = -8 ve x=0x = 0 olup toplamları −8-8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık kavramını mutlak değer kullanarak denklem haline getirin.
xx sayısının 44'e uzaklığı ∣x−4∣|x - 4|, −2-2'ye uzaklığı ∣x−(−2)∣=∣x+2∣|x - (-2)| = |x + 2| olduğundan denklem ∣x−4∣=2∣x+2∣|x - 4| = 2|x + 2| şeklindedir.
Sayı doğrusu üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın farkının mutlak değeri ile ifade edilir.
2
Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için açarak çözün.
Birinci durum: x−4=2(x+2)  ⟹  x−4=2x+4  ⟹  x=−8x - 4 = 2(x + 2) \implies x - 4 = 2x + 4 \implies x = -8. İkinci durum: x−4=−2(x+2)  ⟹  x−4=−2x−4  ⟹  3x=0  ⟹  x=0x - 4 = -2(x + 2) \implies x - 4 = -2x - 4 \implies 3x = 0 \implies x = 0.
∣A∣=∣B∣|A| = |B| veya ∣A∣=k∣B∣|A| = k|B| tarzı denklemlerde, ifadeler ya birbirine doğrudan eşittir ya da biri diğerinin negatif işaretlisine eşittir.
3
Bulunan xx değerlerini toplayın.
−8+0=−8-8 + 0 = -8.
Soruda verilen ifadedeki iddia ile karşılaştırma yapmak ve doğru toplamı belirlemek için kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümü ve uzaklık kavramının cebirsel ifadesi.
Soru 118Soru →

Bir laboratuvarda bulunan hassas bir kimyasal reaktörün kontrol sistemi, ortam sıcaklığına (TT, ∘C^\circ\text{C} cinsinden) göre çalışma modlarını ayarlamaktadır.

* Sıcaklık 14∘C14^\circ\text{C}'den yüksek ve en fazla 29∘C29^\circ\text{C} olduğunda reaktör 'Kararlı Mod'da çalışmaktadır.
* Sıcaklık 20∘C20^\circ\text{C} veya daha yüksek, fakat 32∘C32^\circ\text{C}'den düşük olduğunda ise reaktör 'Güvenli Mod'da çalışmaktadır.

Kontrol sistemi, bu iki çalışma modunun her ikisinin de aktif olduğu sıcaklık aralığında reaktörün tam verimle çalışmasını sağlamaktadır.

Buna göre, reaktörün tam verimle çalışabildiği TT sıcaklık değerlerinin oluşturduğu aralıktaki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 245

Cevap

Reaktörün tam verimle çalışabildiği sıcaklık aralığındaki tam sayıların toplamı 245'tir.
Hem Kararlı Mod (14<T≤2914 < T \le 29) hem de Güvenli Mod (20≤T<3220 \le T < 32) aktif olmalıdır. İki aralığın ortak bölgesi [20,29][20, 29] kapalı aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların toplamı 245'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı Mod'un sıcaklık aralığını belirleme.
T∈(14,29]T \in (14, 29]
Sıcaklığın 14∘C14^\circ\text{C}'den yüksek ve en fazla 29∘C29^\circ\text{C} olduğu koşulu, 14 değerini hariç tutarken 29 değerini dahil eder.
2
Güvenli Mod'un sıcaklık aralığını belirleme.
T∈[20,32)T \in [20, 32)
Sıcaklığın 20∘C20^\circ\text{C} veya daha yüksek ve 32∘C32^\circ\text{C}'den düşük olması koşulu, 20 değerini dahil ederken 32 değerini hariç tutar.
3
İki aralığın kesişimini hesaplama.
T∈[20,29]T \in [20, 29]
Reaktörün tam verimle çalışabilmesi için her iki modun da aktif olması, yani iki aralığın kesişim kümesinin bulunması gerekir: (14,29]∩[20,32)=[20,29](14, 29] \cap [20, 32) = [20, 29].
4
Aralıktaki tam sayıların toplamını bulma.
20+21+22+23+24+25+26+27+28+29=24520 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 = 245
[20,29][20, 29] aralığındaki 10 tam sayının toplamı, ilk ve son terimin toplamının yarısı ile terim sayısının çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Yarı açık aralıkların kesişimini alarak kapalı aralık elde etme ve bu aralıktaki sınırların dahil olup olmama durumlarını analiz etme.
Soru 119Soru →

x>2x > 2 olmak üzere,

∣2−x∣+∣x−1∣|2 - x| + |x - 1|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x - 3

Cevap

2x - 3 ifadesidir.
Verilen x>2x > 2 koşuluna göre mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işaretleri belirlenip mutlak değer dışına doğru işaretlerle çıkarıldığında ve bu ifadeler toplandığında sonuç 2x−32x - 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x>2x > 2 koşulunu kullanarak mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek.
2−x2 - x ifadesinin negatif (2−x<02 - x < 0), x−1x - 1 ifadesinin ise pozitif (x−1>0x - 1 > 0) olduğu tespit edilir.
Mutlak değer dı��ına çıkarma işlemini doğru yapabilmek için öncelikle içerideki ifadenin işaretini bilmek gerekir.
2
Belirlenen işaretlere göre mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkarmak.
∣2−x∣=−(2−x)=x−2|2 - x| = -(2 - x) = x - 2 ve ∣x−1∣=x−1|x - 1| = x - 1 elde edilir.
Negatif ifadeler mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar, pozitif ifadeler ise aynen çıkar.
3
Dışarı çıkarılan ifadeleri toplamak.
(x−2)+(x−1)=2x−3(x - 2) + (x - 1) = 2x - 3 bulunur.
Soru kökündeki toplama işlemini tamamlayarak ifadenin en sade halini bulmak.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içindeki ifadenin işaretine göre mutlak değer dışına çıkarılması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 120Soru →

Sayı doğrusu üzerinde A=[−5,3)A = [-5, 3) ve B=(−2,6]B = (-2, 6] yarı açık aralıkları tanımlanıyor. Buna göre, A∩BA \cap B kesişim aralığında yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

A ve B aralıklarının kesişim kümesi olan (-2, 3) açık aralığındaki tam sayıların toplamı 2'dir.
Kesişim kümesi olan (−2,3)(-2, 3) açık aralığında yer alan tam sayılar −1,0,1-1, 0, 1 ve 22 olup bunların toplamı 22 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B aralıklarının kesişim kümesini bulma
A∩B=(−2,3)A \cap B = (-2, 3)
Kesi��im aralığı, her iki aralığın da ortak elemanlarını içerir. Alt sınır −2-2 her iki aralıkta da ortak olabilmesi için açık sınır olmalıdır çünkü −2-2 sayısı BB aralığına dahil değildir. Üst sınır 33 de benzer şekilde AA aralığına dahil olmadığı için açık sınır olmalıdır.
2
Kesişim aralığındaki tam say��ları belirleme
−1,0,1,2-1, 0, 1, 2
−2<x<3-2 < x < 3 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar belirlenir.
3
Belirlenen tam sayıların toplamını hesaplama
2
(−1)+0+1+2=2(-1) + 0 + 1 + 2 = 2 işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

İki aralığın kesişimi, her iki aralıkta da bulunan ortak elemanlardan oluşur. Sayı doğrusu üzerindeki gösterimde açık aralık sınırları içi boş, kapalı aralık sınırları ise içi dolu daire ile temsil edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 6 / 19Sonraki