Denklem ve Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 9

Soru 161Soru →

Bir akıllı telefonun batarya doluluk oranı yüzde cinsinden zamana bağlı olarak azalmaktadır. Şarjı tamamen dolu (%100) olan bu telefon aktif olarak kullanıldığında, her saat sonunda batarya doluluk oranı %12 azalmaktadır. Telefonun batarya doluluk oranının %16'nın altına düşmemesi istenmektedir.

Buna göre, bu telefon aktif olarak en fazla kaç saat kullanılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Telefon aktif olarak en fazla 7 saat kullanılabilir.

Kalan batarya yüzdesini ifade eden

100 - 12x

teriminin en az

16

olması şartı

100 - 12x \ge 16

eşitsizliğini verir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

-12x \ge -84

elde edilir. Her iki taraf

-12

ile bölündüğünde negatif sayıya bölme kuralı gereği eşitsizlik yön değiştirir ve

x \le 7

sonucuna ulaşılır. Bu nedenle en fazla kullanım süresi 7 saattir.

Adım Adım Çözüm

1

Kullanım süresine bağlı batarya değişimini gösteren matematiksel ifadeyi oluşturma

100 - 12x

Her saat batarya doluluk oranı %12 azaldığı için

x

saatte toplam

12x

azalma gerçekleşir ve kalan oran başlangıçtaki %100 değerinden çıkarılır.

2

Batarya limitine uygun eşitsizliği kurma

100 - 12x \ge 16

Doluluk oranının %16'nın altına düşmemesi, yani en az %16 olması hedeflenmektedir.

3

Eşitsizliği çözerek yön değiştirme kuralını uygulama

x \le 7

Eşitsizliğin her iki tarafı

-12

negatif sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı

Soru 162Soru →

Bir sıcak hava balonunun havada güvenle süzülebilmesi için sepetindeki toplam yük miktarı $m$ (kg) cinsinden belirli limitler arasında olmalıdır. Balonun uçuş kontrol ünitesi, yük miktarını doğrudan ölçmek yerine aerodinamik direnç katsay��sı olan $a$ parametresi üzerinden hesaplamaktadır. Yapılan ölçümlere göre güvenli bir uçuş için $a$ parametresinin

-14 < 10 - 6a \le 22

eşitsizliğini sağlaması gerektiği saptanmıştır.

Buna göre, bu sıcak hava balonunun güvenli bir şekilde uçabilmesi için $a$ parametresinin alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[-4, 2)

(-2, 4]

[-2, 4)

[-2, 4]

(-2, 4)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [-2, 4)

Cevap

[-2, 4) yarı açık aralığı

Verilen eşitsizlikte orta kısımdaki sabit terimden kurtulmak için her taraftan 10 çıkarıldığında

-24 < -6a \le 12

elde edilir. Ardından her taraf

-6

'ya bölündüğünde, negatif bir sayıya bölme yapıldığı için eşitsizlikler yön değiştirir ve

4 > a \ge -2

sonucuna ulaşılır. Bu ifade küçükten büyüğe

-2 \le a < 4

şeklinde yazılır. Sınır değerlerinden

-2

dahil (köşeli parantez),

4

ise dahil değildir (yay parantez). Dolayısıyla doğru aralık

-2

kapalı,

4

açık olmak üzere

[-2, 4)

yarı açık aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitsizlikteki orta kısımda yer alan sabit terimi yok etmek amacıyla eşitsizliğin her tarafına -10 eklenir.

-24 < -6a \le 12

a

parametresini içeren terimi yalnız bırakmak.

2

Eşitsizliğin her tarafı -6 sayısına bölün��r. Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığı için eşitsizlik işaretleri yön değiştirir.

4 > a \ge -2

a

parametresinin katsayısını 1 yapmak ve aralığı belirlemek.

3

Elde edilen eşitsizlik küçükten büyüğe doğru yeniden düzenlenir ve aralık gösterimiyle yazılır.

-2 \le a < 4

yani

[-2, 4)

$

Değer aralığını standart YKS formatında ifade etmek.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayı ile çarpıldığında veya negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.

Soru 163Soru →

a \cdot x - 3 > 9

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

gerçel sayılarının kümesi

(-\infty, -4)

aralığı olduğuna göre,

a

de��eri kaçtır?

3

-4

-3

4

-6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

-3

Verilen eşitsizlik düzenlendiğinde

a \cdot x > 12

elde edilir. Çözüm kümesi

(-\infty, -4)

yani

x < -4

olarak verildiğinden, büyüktür (>) sembolünün küçüktür (<) sembolüne dönüştüğü görülür. Bu durum, eşitsizliğin her iki tarafının negatif bir a sayısına bölündüğünü gösterir. Bölme işlemi yapıldığında

x < \frac{12}{a}

elde edilir. Sınır değerlerinin eşitliğinden

\frac{12}{a} = -4

denklemi kurularak a değeri -3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizlikte x'li terimi yalnız bırakmak için -3 ifadesini karşı tarafa toplama olarak göndeririz.

a \cdot x > 12

Değişkeni yalnız bırakabilmek için öncelikle sabit terimlerin bir tarafta toplanması gerekir.

2

Verilen

(-\infty, -4)

çözüm kümesini eşitsizlik formatında ifade ederiz.

x < -4

Eşitsizliğin çözüm adımlarını hedef aralık ile karşılaştırabilmek için aralığı eşitsizlik diline çeviririz.

3

Elde ettiğimiz

a \cdot x > 12

ifadesinde her iki taraf�� a sayısına böleriz. Çözüm kümesinin yönü küçüktür (<) sembolüne dönüştüğü için a sayısının negatif bir sayı olması gerektiğini belirleriz.

x < \frac{12}{a}

(a < 0 koşuluyla)

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

4

Elde edilen

x < \frac{12}{a}

eşitsizliği ile çözüm aralığından gelen

x < -4

eşitsizliğindeki sınır değerlerini eşitleriz.

\frac{12}{a} = -4 \Rightarrow a = -3

İki ifadenin aynı çözüm kümesini belirtmesi için sınır değerlerinin birbirine eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayıyla bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

Alternatif Yöntem

Çözüm kümesinden deneme değeri seçilebilir. Örneğin, x = -5 değeri çözüm kümesinin bir elemanıdır. Eşitsizlikte yerine yazıldığında -5a - 3 > 9 yani -5a > 12 olmalıdır. Seçeneklerdeki değerler denendiğinde; a = -3 için 15 > 12 sağlanırken, pozitif değerler için bu eşitsizlik sağlanamaz.

Tahmini Süre:45s

Soru 164Soru →

Bir akıllı ev otomasyon sisteminde, enerji tasarrufu ve konfor sağlamak amacıyla salon ve yatak odasının sıcaklıkları sırasıyla $S$ ve $Y$ santigrat derece ( $^\circ\text{C}$ ) olarak kontrol edilmektedir. Sistemin kararlı çalışabilmesi için sıcaklık değerlerinin aşağıdaki aralıklarda kalması gerekmektedir:

* Salonun sıcaklık değeri ( $S$ ), $[-6, 15)$ aralığında olmalıdır.
* Yatak odasının sıcaklık değeri ( $Y$ ), $(-2, 22]$ aralığında olmalıdır.

Sistemin çalışma algoritmasına göre, salonun sıcaklığı her zaman yatak odasının sıcaklığından tam olarak $10^\circ\text{C}$ daha düşük olacak şekilde ayarlanmaktadır.

Buna göre, sistemin kararlı çalıştığı bir zaman diliminde yatak odasının sıcaklığının ( $Y$ ) alabileceği tüm tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 247

Cevap

Yatak odasının sıcaklığının alabileceği tüm tam sayı değerlerinin toplamı 247'dir.

Yatak odasının sıcaklık değeri

Y

, salonun sıcaklık sınırları yardımıyla elde edilen

Y \in [4, 25)

aralığı ile yatak odasının kendi sınırları olan

Y \in (-2, 22]

aralığının her ikisinde de bulunmalıdır. Bu iki aralığın kesişimi alındığında

[4, 22]

kapalı aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tüm tam sayıların toplamı 247'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Salonun sıcaklığı ile yatak odasının sıcaklığı arasındaki ilişkiyi kurarak salonun sıcaklık sınırlarından yatak odasının sıcaklığı için bir aralık elde etmek.

4 \le Y < 25

yani

Y \in [4, 25)

aralığı elde edilir.

Salonun sıcaklığının (

S

) yatak odasının sıcaklığından (

Y

)

10^\circ\text{C}

düşük olduğu (

S = Y - 10

) verilmiştir. Bu ifade

S \in [-6, 15)

eşitsizliğinde yerine yazıldığında

-6 \le Y - 10 < 15 \implies 4 \le Y < 25

bulunur.

2

Yatak odasının kendi sıcaklık limitleri ile salon sıcaklığına bağlı olarak elde edilen sıcaklık limitlerinin kesişimini bulmak.

Kesişim aralığı

[4, 22]

olarak bulunur.

Sistemin kararl�� çalışması için hem

Y \in (-2, 22]

hem de

Y \in [4, 25)

koşulları aynı anda sağlanmalıdır. Sayı doğrusu üzerinde bu iki aralığın kesişimi alındığında

[4, 22]

kapalı aralığı elde edilir.

3

Bulunan aralıktaki tüm tam sayıların toplamını hesaplamak.

4 + 5 + 6 + \dots + 22 = 247

bulunur.

[4, 22]

aralığındaki tam sayılar

4

ile başlayıp

22

ile biter. Terim sayısı

22 - 4 + 1 = 19

'dur. Ardışık terimlerin toplamı formülüyle

\frac{4 + 22}{2} \times 19 = 13 \times 19 = 247

elde edilir.

Anahtar Kavram

Aralıkların Sayı Doğrusunda Kesişimi ve Gösterimi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 165Soru →

7 - 3x \geq 22

eşitsizliğini sağlayan en büyük

x

tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı -5'tir.

Verilen eşitsizlik çözüldüğünde

-3x \geq 15

ve buradan

x \leq -5

elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri -5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafından 7 çıkarılır.

-3x \geq 15

Eşitsizliğin çözümünde değişken içeren terimi tek başına bırakmak gerekir.

2

Eşitsizliğin her iki tarafı -3'e bölünür. Negatif sayıya bölündüğü için eşitsizlik işareti yön değiştirir.

x \leq -5

Eşitsizliklerde negatif bir sayı ile bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

3

Bulunan aralıktaki en büyük tam sayı seçilir.

-5

-5'ten küçük veya eşit olan tam sayılar arasından en büyüğü -5'tir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

Soru 166Soru →

Bir kırtasiyeci, her birinin birim fiyatı $(2x + 1)$ TL olan defterlerden $(x - 2)$ adet satarak $A$ TL, her birinin birim fiyatı $(2x + 5)$ TL olan kitaplardan ise $(x - 3)$ adet satarak $B$ TL gelir elde etmiştir. Bu satış işleminde satılan ürün adetleri birer pozitif tam sayı ve kırtasiyecinin kitaplar ile defterlerden elde ettiği gelirlerin farkı 5 TL'dir. Buna göre, kırtasiyecinin sattığı toplam defter ve kitap sayısı en fazla 13'tür.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Kırtasiyecinin sattığı toplam defter ve kitap sayısı en fazla 13'tür ifadesi doğrudur.

Kurulan denklemin çözümlerinden elde edilen

x = 9

değeri, tüm tanımlı şartları sağlayarak toplam ürün sayısını en fazla 13 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Defter ve kitap satışlarından elde edilen toplam gelirleri

x

değişkeni cinsinden ifade edin.

Defter geliri

A = (2x + 1)(x - 2) = 2x^2 - 3x - 2

TL, kitap geliri

B = (2x + 5)(x - 3) = 2x^2 - x - 15

TL olur.

Toplam geliri bulmak için birim fiyat ile adet çarpılmalıdır.

2

İki gelir arasındaki farkın mutlak değerini alarak 5'e eşitleyin ve birinci dereceden denklemi kurun.

|B - A| = |(2x^2 - x - 15) - (2x^2 - 3x - 2)| = |2x - 13| = 5

denklemi elde edilir.

Gelirler farkı 5 TL olarak verildiği için hangi gelirin daha büyük olduğu belirtilmediğinden mutlak değerli denklem kurulmalıdır.

3

Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için çözün ve

x

değerlerini bulun.

1)

2x - 13 = 5 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9

. 2)

2x - 13 = -5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4

. Her iki

x

değeri de tam sayıdır.

Mutlak değerli bir ifade pozitif veya negatif değerine eşit olabilir.

4

Bulunan

x

değerlerini ürün adetlerinin pozitif tam sayı olma şartına göre kontrol edin ve toplam ürün sayısını hesaplayın.

Ürün adetleri olan

x - 2

ve

x - 3

değerlerinin pozitif tam sayı olması için

x > 3

olmalıdır.

x = 9

için toplam ürün sayısı

(9 - 2) + (9 - 3) = 13

olur.

x = 4

için toplam ürün sayısı

(4 - 2) + (4 - 3) = 3

olur. Bu durumda en fazla ürün sayısı 13'tür.

Gerçek hayat senaryolarında ürün adetleri negatif veya sıfır olamayacağı için sınır değerler kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve gerçekçi sınır koşulları altında çözülmesi.

Soru 167Soru →

Bir $x$ gerçel sayısının $5$ fazlasının $-2$ katı, aynı sayının $4$ eksiğinden büyüktür.

Buna göre, $x$ sayısının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, -2)

(-2, \infty)

(-\infty, -2]

(-\infty, 2)

(2, \infty)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-\infty, -2)$

Cevap

x sayısının alabileceği en geniş değer aralığı

(-\infty, -2)

aralığıdır.

Verilen sözel ifade eşitsizliğe dönüştürüldüğünde

-2(x + 5) > x - 4

elde edilir. Sol taraf dağıtılıp düzenlendiğinde

-3x > 6

olur. Eşitsizliğin her iki tarafı

-3

ile bölündüğünde, negatif bir sayıya bölündüğü için yön değiştirir ve

x < -2

bulunur. Bu durum

(-\infty, -2)

açık aralığı ile gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sözel ifadeyi matematiksel eşitsizlik formuna dönüştürme.

-2(x + 5) > x - 4

Bir sayının 5 fazlasının -2 katı

-2(x + 5)

şeklinde, bu ifadenin sayının 4 eksiğinden büyük olması ise

> x - 4

şeklinde ifade edilir.

2

Eşitsizliğin sol tarafındaki parantezi dağıtma ve benzer terimleri bir araya getirme.

-2x - 10 > x - 4 \Rightarrow -3x > 6

Parantez dağıtıldıktan sonra

x

terimleri sol tarafta, sabit sayılar sağ tarafta toplanarak eşitsizlik sadeleştirilir.

3

Eşitsizliğin her iki tarafını x'in katsayısı olan -3'e bölme.

x < -2

Negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir. Bu nedenle büyük işareti (>) küçük işaretine (<) dönüşür.

4

Bulunan aralığı küme gösterimi olarak yazma.

(-\infty, -2)

x < -2

ifadesi, -2'den küçük tüm gerçel sayıları kapsar ve sınır noktası dahil olmadığından açık aralıkla gösterilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünde, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.

Soru 168Soru →

Bir su deposunda başlangıçta $120$ litre su bulunmaktadır. Depodan her gün eşit miktarda su tüketilmektedir. $8$ . günün sonunda depoda kalan su miktarı, başlangıçtaki su miktarının $\frac{1}{3}$ 'ünden fazla, $\frac{1}{2}$ 'sinden azdır.

Buna göre, bu depodan bir günde tüketilen su miktarının litre cinsinden alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Depodan bir günde tüketilen su miktarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 17'dir.

Eşitsizlik adımları doğru uygulanıp

-8

ile bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve

7,5 < x < 10

aralığı bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar

8

ve

9

olup toplamları 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Bir günde tüketilen su miktarını

x

olarak tanımlayıp 8 günün sonundaki kalan su miktarını ifade etme.

Günde tüketilen su miktarı

x

litre ise 8 günün sonunda depoda kalan su miktarı

120 - 8x

litredir.

Günlük tüketim sabit olduğundan 8 günde toplam

8x

litre su harcanır ve başlangıçtaki miktardan çıkarılır.

2

Kalan su miktarının sınır değerlerini belirleyerek eşitsizlik modelini oluşturma.

120 \cdot \frac{1}{3} = 40

ve

120 \cdot \frac{1}{2} = 60

olduğundan eşitsizlik

40 < 120 - 8x < 60

olur.

Soruda kalan su miktarının başlangıçtaki suyun üçte birinden fazla, yarısından az olduğu belirtilmiştir.

3

Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafından 120 çıkarma.

-80 < -8x < -60

Eşitsizliği çözmek amacıyla sabit terimleri yok etmek.

4

Eşitsizliğin her tarafını -8'e bölerek x değişkenini yalnız bırakma.

10 > x > 7,5

(veya

7,5 < x < 10

)

Negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı uygulanır.

5

Aralıktaki tam sayı değerlerini bulup toplama.

x

tam sayı değerleri

8

ve

9

'dur. Toplamı:

8 + 9 = 17

.

Soruda bizden günlük tüketimin litre cinsinden alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yönünün değişmesi.

Soru 169Soru →

Bir tarım laboratuvarında yetiştirilen özel bir bitki t��rünün gelişimi için ortamın nem oranı ( $N$ ) yüzde cinsinden incelenmektedir. Araştırmacılar bitkinin gelişimiyle ilgili şu bilgileri elde etmiştir:
- Bitkinin gövde gelişimi için uygun olan nem oranlarının oluşturduğu aralık $A$ kümesidir. Sayı doğrusunda $A$ kümesi; uç noktalarından $-8$ kapalı, $12$ açık olacak şekilde bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları içermektedir.
- Bitkinin çiçek açması için uygun olan nem oranlarının oluşturduğu aralık $B$ kümesidir. Sayı doğrusunda $B$ kümesi; uç noktalarından $-3$ açık, $18$ kapalı olacak şekilde bu iki sayı arasındaki tüm ger��ek sayıları içermektedir.

Bu bitki için gövde gelişimi veya çiçek açma süreçlerinden yalnızca birinin gerçekleştiği nem oranı değerlerinin kümesi $K$ olarak tanımlanıyor.

Buna göre, $K$ kümesinin aralık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

[-8, -3) \cup (12, 18]

[-8, -3] \cup (12, 18]

[-8, -3] \cup [12, 18]

[-8, -3) \cup [12, 18]

[-8, 18]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[-8, -3] \cup [12, 18]$

Cevap

[-8, -3] \cup [12, 18]

aralık birleşimi

Bitkinin gövde gelişimi veya çiçek açma süreçlerinden yalnızca birinin gerçekleşmesi durumu simetrik fark işlemi ile belirlenir.

A = [-8, 12)

ve

B = (-3, 18]

olmak üzere,

K = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

kümesidir.

A \setminus B

bulunurken,

-3

sayısı

B

kümesinde bulunmadığı için fark kümesinde kalır ve bu sınır

[-8, -3]

kapalı aralığına dönüşür. Benzer şekilde,

B \setminus A

bulunurken

12

sayısı

A

kümesine dahil olmadığından fark kümesine dahil olur ve

[12, 18]

kapalı aralığı elde edilir. Bu iki aralığın birleşimi olan

[-8, -3] \cup [12, 18]

kümesi doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

kümelerini aralık gösterimiyle ifade etmek.

A = [-8, 12)

ve

B = (-3, 18]

A

kümesinde

-8

kapalı ve

12

açık olduğundan yarı açık aralık

[-8, 12)

şeklinde;

B

kümesinde

-3

açık ve

18

kapalı olduğundan yarı açık aralık

(-3, 18]

şeklinde yazılır.

2

"Yalnızca birinin gerçekleştiği" durumları temsil eden küme işlemini belirlemek.

K = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

İki süreçten yalnızca birinin gerçekleşmesi durumu, birinci s��recin gerçekleşip ikincinin gerçekleşmediği (

A \setminus B

) ile ikinci sürecin gerçekleşip birincinin gerçekleşmediği (

B \setminus A

) durumların birleşimidir.

3

A \setminus B

fark kümesini bulmak.

A \setminus B = [-8, -3]

[-8, 12)

aralığında olup

(-3, 18]

aralığında olmayan elemanlar

[-8, -3]

aralığıdır. Burada

-3

sayısı

B

kümesine dahil olmadığından (açık uç), fark kümesinde kalır ve sınır kapalı (

[-3]

) olur.

4

B \setminus A

fark kümesini bulmak.

B \setminus A = [12, 18]

(-3, 18]

aralığında olup

[-8, 12)

aralığında olmayan elemanlar

[12, 18]

aralığıdır. Burada

12

sayısı

A

kümesine dahil olmadığından (açık uç), fark kümesinde kalır ve sınır kapalı (

[12]

) olur.

5

Elde edilen fark kümelerini birleştirerek

K

kümesini oluşturmak.

K = [-8, -3] \cup [12, 18]

Bulunan iki ayrık aralığın birleşimi alınarak nihai sonuç kümesi oluşturulur.

Anahtar Kavram

Aralıkların Fark�� ve Birleşimi

Alternatif Yöntem

K

kümesi,

A

ve

B

kümelerinin birleşiminden kesişimlerinin çıkarılmasıyla da bulunabilir:

K = (A \cup B) \setminus (A \cap B)

. Burada

A \cup B = [-8, 18]

ve

A \cap B = (-3, 12)

olarak elde edilir.

[-8, 18]

aralığından

(-3, 12)

açık aralığını çıkardığımızda,

-3

ve

12

değerleri kesişim kümesinde yer almadığı için fark kümesinde kalırlar. Dolayısıyla bu sınır noktaları kapalı hale gelerek

K = [-8, -3] \cup [12, 18]

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 170Soru →

-4x - 7 < 5

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-3, \infty)

(-\infty, -3)

[-3, \infty)

(-\infty, -3]

(3, \infty)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-3, \infty)$

Cevap

Eşitsizliğin gerçel sayılardaki en geniş çözüm aralığı

(-3, \infty)

aralığıdır.

Eşitsizliğin her iki tarafı

-4

gibi negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek

x > -3

olur. Sınır değeri eşitlik içermediği için açık aralık olarak

(-3, \infty)

şeklinde gösterilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizlikteki sabit terimi yalnız bırakmak için her iki tarafa

7

eklenir.

-4x < 12

Değişkenli terimi eşitsizliğin bir tarafında tek başına bırakmak amaçlanır.

2

Eşitsizliğin her iki tarafı

-4

sayısına bölünür ve negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik sembolü (

<

) yön değiştirerek (

>

) haline getirilir.

x > -3

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

3

Bulunan

x > -3

eşitsizliği aralık gösterimiyle ifade edilir.

(-3, \infty)

Sınır değeri dahil olmadığı için açık aralık parantezi kullanılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik sembolünün yön değiştirmesi ve açık/kapalı aralık ayrımı.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 171Soru →

12 - 3x \ge -6

eşitsizliğini sağlayan pozitif

x

tam say��larının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 21'dir.

Verilen eşitsizlik düzenlendiğinde -3x >= -18 elde edilir. Her iki taraf -3'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek x <= 6 olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3, 4, 5 ve 6'dır. Bunların toplamı ise 21'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin her iki tarafından 12 çıkarılır.

-3x \ge -18

Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak için.

2

Eşitsizliğin her iki tarafı -3'e bölünür.

x \le 6

Eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğü için yön değiştirir.

3

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayılar belirlenir.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Pozitif tam sayılar 1'den başladığı için x'in alabileceği 6 veya 6'dan küçük pozitif tam sayı değerleri bulunur.

4

Belirlenen pozitif tam sayıların toplamı hesaplanır.

21

Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolü yön değiştirir.

Soru 172Soru →

-3x + 12 > 2x - 8

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

gerçel sayıları için

-2x + 5

ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

-5

-3

-2

-1

-4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük tam sayı değeri -2'dir.

Verilen eşitsizlik çözüldüğünde

x < 4

elde edilir. Bu aralık kullanılarak

-2x + 5

ifadesi oluşturulurken eşitsizliğin negatif bir sayıyla çarpılmasından dolayı yön değiştirdiği görülür ve

-2x + 5 > -3

aralığına ulaşılır. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri

-2

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitsizlikteki terimler düzenlenir.

-3x + 12 > 2x - 8 \implies -3x - 2x > -8 - 12 \implies -5x > -20

Değişkenleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplamak için.

2

Eşitsizliğin her iki tarafı

-5

'e bölünür.

x < 4

Negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir.

3

Elde edilen

x < 4

aralığından

-2x

ifadesinin aralığına geçilir.

-2x > -8

Eşitsizliğin her iki tarafı

-2

ile çarpıldığında, negatif sayıyla çarpma kuralı gereği eşitsizlik yön değiştirir.

4

Eşitsizliğin her iki tarafına

5

eklenir.

-2x + 5 > -3

İstenen

-2x + 5

ifadesinin değer aralığını bulmak için.

5

Elde edilen aralıktaki en küçük tam sayı belirlenir.

En küçük tam sayı değeri

-2

'dir.

-3

'ten büyük en küçük tam sayı

-2

olduğu için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizlik yönünün değişmesi

Soru 173Soru →

Bir ilaç deposundaki A ve B bölmelerinin sıcaklık kontrol sistemleri sırasıyla $T_A$ ve $T_B$ santigrat derece ( $^\circ\text{C}$ ) olmak üzere, bu bölmelerin güvenli çalışma sıcaklık aralıkları sayı doğrusunda şu şekilde tanımlanmıştır:

* A bölmesi için: $[-8, 12)$
* B bölmesi için: $(-2, 17]$

Bu depoda, sadece bölmelerden birinin güvenli çalışma sıcaklığı sınırları içinde kalan sıcaklık değerlerinin oluşturduğu küme $S$ ’dir.

Buna göre, $S$ kümesinde yer alan tüm tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52

Cevap

S kümesinde yer alan tüm tam sayı değerlerinin toplamı 52'dir.

Sadece bir bölmede güvenli olan sıcaklık değerleri, bu iki aralığın simetrik farkı olan

[-8, -2] \cup [12, 17]

kümesidir. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı sırasıyla -35 ve 87 olup, genel toplam 52 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B kümelerini belirleme

A = [-8, 12)

ve

B = (-2, 17]

Soruda verilen bölmelerin güvenli sıcaklık aralıklarını matematiksel kümeler olarak tanımlamak için.

2

Yalnızca A bölmesinde güvenli olan sıcaklık değerleri kümesini (

A \setminus B

) hesaplama

A \setminus B = [-8, -2]

B

kümesinin sol sınır noktası olan

-2

değeri

B

kümesine dahil olmadığından, bu değer

A \setminus B

fark kümesine dahil edilir.

3

A \setminus B

kümesindeki tam sayıların toplamını bulma

-8 + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) = -35

[-8, -2]

aralığındaki tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak için.

4

Yalnızca B bölmesinde güvenli olan sıcaklık değerleri kümesini (

B \setminus A

) hesaplama

B \setminus A = [12, 17]

A

kümesinin sağ sınır noktası olan

12

değeri

A

kümesine dahil olmadığından (açık aralık), bu değer

B \setminus A

fark kümesine dahil edilir.

5

B \setminus A

kümesindeki tam sayıların toplamını bulma

12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 87

[12, 17]

aralığındaki tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak için.

6

Toplamları birleştirerek nihai sonucu hesaplama

-35 + 87 = 52

Sadece bir bölmede güvenli olan sıcaklık değerlerinin (

S

kümesi) tüm tam sayı elemanlarının toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

İki aralığın farkı ve bu fark kümelerindeki tam sayıların analizi

Soru 174Soru →

Bir akıllı telefonun batarya yönetim sistemi, bataryanın ömrünü uzatmak amacıyla şarj hızını bataryanın santigrat derece ( $^\circ\text{C}$ ) cinsinden sıcaklık değerine ( $T$ ) göre ayarlamaktadır.

Telefonun;
* Hızlı şarj modunda çalışabilmesi için sıcaklığın $15^\circ\text{C}$ ile $40^\circ\text{C}$ arasında (sınırlar dahil),
* Standart şarj modunda çalışabilmesi için sıcaklığın $5^\circ\text{C}$ (sınır dahil değil) ile $45^\circ\text{C}$ (sınır dahil) arasında

olması gerekmektedir.

Buna göre, bataryanın standart şarj modunda çalışıp hızlı şarj modunda çalışamadığı sıcaklık değerlerinin kümesi aşağıdakilerin hangisinde doğru gösterilmiştir?

(5, 15] \cup [40, 45]

[5, 15) \cup (40, 45]

(5, 15] \cup (40, 45]

(5, 15) \cup (40, 45]

(5, 15) \cup [40, 45]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(5, 15) \cup (40, 45]$

Cevap

(5, 15) \cup (40, 45]

aralığı

Doğru şıkta verilen

(5, 15) \cup (40, 45]

ifadesi, standart şarj aralığından hızlı şarj aralığının çıkarılmasıyla elde edilir. Çıkarılan hızlı şarj aralığında sınır değerleri olan

15

ve

40

dahil olduğundan, kalan fark kümesinde bu sınır değerleri dahil olamaz (yani açık sınır olur).

5

değeri standart şarj aralığına zaten dahil olmadığından fark kümesinde de açık sınır olarak kalır.

45

değeri standart şarj aralığına dahil olup hızlı şarj aralığında yer almadığı için kapalı sınır olarak kalmaya devam eder.

Adım Adım Çözüm

1

Şarj modlarının sıcaklık aralıklarını küme ve aralık sembolleriyle ifade edin.

Hızlı şarj aralığı:

H = [15, 40]

ve Standart şarj aralığı:

S = (5, 45]

olarak belirlenir.

Sıcaklık sınırlarının dahil olup olmama durumu sırasıyla kapalı [ ] ve açık ( ] aralık köşeli parantezleriyle gösterilir.

2

İstenen durumu matematiksel küme işlemine dönüştürün.

Bataryanın standart şarj modunda çalışıp hızlı şarj modunda çalışamadığı durum

S \setminus H

fark k��mesiyle gösterilir.

Bir kümede olup diğerinde olmama durumu küme farkı işleminin tanımıdır.

3

Küme farkı işlemini gerçekleştirerek yeni aralık sınırlarını belirleyin.

S \setminus H = (5, 45] \setminus [15, 40] = (5, 15) \cup (40, 45]

elde edilir.

15

ve

40

sınır değerleri hızlı şarj kümesine dahil olduğundan, fark kümesinden çıkarılırlar ve bu noktalar açık aralık sınırına dönüşür.

Anahtar Kavram

Aralık kavramı, küme farkı işlemi ve açık/kapalı sınırların sayı doğrusu mantığıyla belirlenmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 175Soru →

Bir barajın su doluluk oranı yüzde cinsinden $x$ olmak üzere, barajın güvenli çalışma aralığı sayı doğrusunda $(15, 85]$ yarı açık aralığı ile gösterilmektedir. Buna göre, bu barajın güvenli çalışma aralığında alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 101

Cevap

En küçük tam sayı değeri olan 16 ile en büyük tam sayı değeri olan 85'in toplamı 101'dir.

Verilen

(15, 85]

yarı açık aralığında sol uç nokta olan 15 açık aralık (dahil değil), sağ uç nokta olan 85 ise kapalı aralıktır (dahil). Bu aralıktaki tam sayılar

15 < x \leq 85

şartını sağlar. Bu şarta uyan en küçük tam sayı 16, en büyük tam sayı ise 85'tir. Bu değerlerin toplamı

16 + 85 = 101

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Aralığın eşitsizlik biçiminde yazılması

15 < x \leq 85

(15, 85]

yarı açık aralığında sol sınır açık (dahil değil), sağ sınır ise kapalıdır (dahildir).

2

En küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin bulunması

En küçük tam sayı

x = 16

, en büyük tam sayı

x = 85

olur.

15'ten büyük en küçük tam sayı 16, 85'e eşit veya küçük en büyük tam sayı 85'tir.

3

Bulunan tam sayı değerlerinin toplanması

16 + 85 = 101

En küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı istendiği için bu iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Yarı açık aralıkta sınır değerlerinin dahil olup olmama durumunun belirlenmesi.

Soru 176Soru →

Bir öğretmen, tahtaya onlar basamağı 5 olan iki basamaklı $5x$ doğal sayısını yazıyor. Ardından bir öğrencisinden bu sayının rakamları toplamını bulmasını istiyor. Öğrenci rakamlar toplamını hesaplayıp 3 ile çarptığında, bulduğu sonucun tahtadaki $5x$ sayısından 23 eksik olduğunu görüyor.

Buna göre, $x$ rakamı kaçtır?

11

19

6

3

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 rakamı

Verilen sözel ifadeler matematiksel dile aktarıldığında

3(5 + x) = 50 + x - 23

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

15 + 3x = 27 + x \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6

sonucuna ulaşılır. Bulunan 6 değeri bir rakam olup sorudaki tüm koşulları sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

İki basamaklı sayıyı basamak değerlerine göre çözümlemek.

5x = 50 + x

İki basamaklı sayıların cebirsel ifadelerde doğru gösterilmesi için basamak çözümlemesi yapılmalıdır.

2

Soruda verilen sözel ifadeyi birinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürmek.

3 \cdot (5 + x) = (50 + x) - 23

Rakamlar toplamının (

5+x

) 3 katının, sayının kendisinin (

50+x

) 23 eksiğine eşit olduğu belirtilmiştir.

3

Denklemi düzenlemek ve bilinmeyeni yalnız bırakmak.

15 + 3x = 27 + x \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6

Parantez dağıtılıp benzer terimler eşitliğin aynı tarafında toplandıktan sonra sadeleştirme yapılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi

Soru 177Soru →

Bir kargo firmasında paketleme yapan bir çalışan, yükseklikleri eşit olan iki farklı raf sistemi için kutuları yerleştirecektir. Üst rafa, yüksekliği $(4x - 3)$ cm olan özdeş mavi kutulardan 3 adet üst üste konulduğunda raf tamamen dolmaktadır. Alt rafa, yüksekliği $(5x + 1)$ cm olan özdeş kırmızı kutulardan 2 adet üst üste konulduğunda rafa sığmamakta ve raf yüksekliğinden $4$ cm taşmaktadır. Her iki rafın yüksekliği birbirine eşit olduğuna göre, kullanılan kutuların yüksekliklerinin birer tam sayı olmasını sağlayan bir $x$ gerçel sayısı vardır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Yanlış

Denklemin tek çözümü olan

x = 3.5

değeri için mavi kutunun yüksekliği

11

cm ile bir tam sayı belirtirken, kırmızı kutunun yüksekliği

18.5

cm ile bir tam sayı belirtmez. Bu nedenle her iki kutunun yüksekliğinin de tam sayı olmasını sağlayan bir gerçel sayı bulunmamaktadır ve önerme yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki raf sistemi için yükseklik ifadelerini

x

cinsinden yazın.

Üst raf yüksekliği:

3(4x - 3) = 12x - 9

cm. Alt raf yüksekliği:

2(5x + 1) - 4 = 10x - 2

cm.

Rafların toplam yüksekliklerini birbirine eşitleyebilmek için cebirsel ifadelerin kurulması gerekir.

2

Elde edilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek

x

değerini bulun.

12x - 9 = 10x - 2 \implies 2x = 7 \implies x = 3.5

veya

x = \frac{7}{2}

.

Rafların yükseklikleri eşit olduğundan bu iki cebirsel ifade birbirine eşitlenmelidir.

3

x = 3.5

değerini kutu yüksekliklerinde yerine koyarak tam sayı olup olmadıklarını kontrol edin.

Mavi kutu yüksekliği:

4(3.5) - 3 = 11

cm (tam sayı). Kırmızı kutu yüksekliği:

5(3.5) + 1 = 18.5

cm (tam sayı değil).

Önermede belirtilen 'kutuların yüksekliklerinin birer tam sayı olması' koşulunun sağlanıp sağlanmadığını doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri kurma, çözme ve elde edilen köklerin sayı kümeleri (tam sayılar, rasyonel sayılar) bakımından uygunluğunu denetleme.

Soru 178Soru →

Sayı doğrusu üzerinde işaretlenen $A$ ve $B$ noktalarının başlangıç noktasına olan uzaklıkları sırasıyla $3$ ve $5$ birimdir. Buna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

A ve B noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı 10'dur.

A noktasının başlangıç noktasına uzaklığı 3 birim olduğundan A sayısı 3 veya -3'tür. Benzer şekilde, B noktasının başlangıç noktasına uzaklığı 5 birim olduğundan B sayısı 5 veya -5'tür. İki nokta arasındaki uzaklık en büyük değerini noktalar zıt işaretli seçildiğinde alır: |3 - (-5)| = 8 birim. İki nokta arasındaki uzaklık en küçük değerini ise noktalar aynı işaretli seçildiğinde alır: |5 - 3| = 2 birim. Bu değerlerin toplamı 8 + 2 = 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Noktaların başlangıç noktasına olan uzaklıklarını mutlak değer cinsinden ifade etme.

|A| = 3

ve

|B| = 5

eşitlikleri elde edilir.

Sayı doğrusu üzerindeki bir noktanın başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı, o noktanın temsil ettiği sayının mutlak değerine eşittir.

2

A

ve

B

noktalarının alabileceği sayısal değerleri belirleme.

A \in \{-3, 3\}

ve

B \in \{-5, 5\}

olur.

Mutlak değeri

3

olan sayılar

-3

ve

3

; mutlak değeri

5

olan sayılar

-5

ve

5

'tir.

3

A

ve

B

noktaları arasındaki en büyük ve en küçük uzaklığı hesaplama.

En büyük uzaklık

8

birim, en küçük uzaklık ise

2

birim olarak bulunur.

İki sayı arasındaki uzaklık farklarının mutlak değeridir. Sayılar zıt işaretli seçildiğinde uzaklık en büyük (

|3 - (-5)| = 8

), aynı işaretli seçildiğinde ise en küçük (

|5 - 3| = 2

) olur.

4

Elde edilen en büyük ve en küçük uzaklık değerlerini toplama.

8 + 2 = 10

bulunur.

Soruda en büyük ve en küçük uzaklık değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir gerçel sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda sıfır noktasına olan uzaklığıdır. İki nokta arasındaki uzaklık ise bu noktaların koordinatları farkının mutlak değeridir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizilerek sıfır noktası işaretlenir. A noktası sıfırın 3 birim sağında veya solunda, B noktası ise sıfırın 5 birim sağında veya solunda yer alır. Noktalar sıfırın farklı taraflarında olduğunda aralarındaki mesafe 3 + 5 = 8 birim (maksimum) olur. Noktalar sıfırın aynı tarafında olduğunda aralarındaki mesafe 5 - 3 = 2 birim (minimum) olur. Toplamları ise 8 + 2 = 10 birimdir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 179Soru →

9 - 4x > 25

eşitsizliğini sağlayan en büyük

x

tam sayısı kaçtır?

-3

-4

-5

-2

-6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-5$

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük

x

tam sayısı

-5

olmalıdır.

Verilen eşitsizlikte her iki taraftan

9

çıkarılıp

-4x > 16

elde edildikten sonra, her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir ve

x < -4

olur.

-4

'ten küçük en büyük tam sayı

-5

olduğundan, doğru yanıt

-5

değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin her iki tarafından

9

çıkarılır.

-4x > 16

x

değişkenini içeren terimi yalnız bırakmak amacıyla sabit sayı karşıya gönderilir.

2

Eşitsizliğin her iki tarafı

-4

sayısına bölünür.

x < -4

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

3

Elde edilen eşitsizlik aralığındaki en büyük tam sayı belirlenir.

-5

-4

'ten küçük olan tam sayılar

\{-5, -6, -7, \dots\}

şeklindedir ve bu kümedeki en büyük tam sayı

-5

'tir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişir.

Soru 180Soru →

Bir akıllı seradaki sıcaklık kontrol sistemi, sıcaklık ( $T$ , $^\circ\text{C}$ cinsinden) değerlerine göre iki farklı fanı devreye almaktadır.

* 1. Fan: Sıcaklık $12^\circ\text{C}$ ile $24^\circ\text{C}$ arasında (sınır değerler dahil) olduğunda çalışmaktadır.
* 2. Fan: Sıcaklık $16^\circ\text{C}$ 'den yüksek ve $28^\circ\text{C}$ 'ye eşit veya daha düşük olduğunda çalışmaktadır.

Buna göre, serada sadece 1. Fanın çalıştığı sıcaklık değerlerini ifade eden aralık aşağıdakilerden hangisidir?

[12, 16)

[12, 16]

(12, 16]

(12, 16)

(16, 24]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[12, 16]$

Cevap

Sadece 1. Fanın çalıştığı sıcaklık değerlerini ifade eden aralık

[12, 16]

kapalı aralığıdır.

Sadece 1. Fanın çalıştığı aralığı bulmak için 1. Fanın çalışma aralığı olan

[12, 24]

kapalı aralığından, 2. Fanın çalışma aralığı olan

(16, 28]

yarı açık aralığını çıkarmamız gerekir. Bu işlem

[12, 24] \setminus (16, 28]

fark kümesi ile ifade edilir. Sıcaklık

16^\circ\text{C}

değerindeyken 2. Fan çalışmadığından, bu değer sadece 1. Fanın çalıştığı aralığa dahil edilmelidir. Dolayısıyla aralığın sağ ucu kapalı olmalı ve sonuç

[12, 16]

kapalı aralığı olarak bulunmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Fanların çalışma koşullarını matematiksel aralıklar olarak ifade edelim.

1. Fanın çalışma aralığı:

A = [12, 24]

2. Fanın çalışma aralığı:

B = (16, 28]

Sözel olarak verilen sınır koşullarını sayı doğrusu üzerindeki aralık gösterimlerine dönüştürmek için.

2

Sadece 1. Fanın çalıştığı sıcaklık değerlerini bulmak için küme farkı işlemini (

A \setminus B

) uygulayalım.

A \setminus B = [12, 24] \setminus (16, 28]

fark kümesi elde edilir.

Sadece birinci fanın çalışıp ikinci fanın çalışmadığı bölgeyi belirlemek için.

3

Elde edilen fark kümesinin sınır noktalarının dahil olup olmadığını analiz edelim.

12

değeri

A

kümesine dahil olup

B

kümesinde yer almadığı için fark kümesinde kalır (kapalı sınır).

16

değeri

B

kümesine dahil olmadığından (çünkü

B

aralığı

16

'dan büyük değerleri kapsar),

A

kümesindeki

16

değeri fark kümesinden çıkarılamaz ve fark kümesine dahil kalır (kapalı sınır). Sonuç olarak fark aralığı

[12, 16]

olur.

Uç noktaların dahil edilip edilmeyeceğini belirleyerek doğru aralığı netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusunda aralık kavramı, açık/kapalı aralık sınırları ve aralıklar üzerinde fark işlemi.

Denklem ve Eşitsizlikler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar