Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 3

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu tek, $g$ fonksiyonu ise çift fonksiyondur.

f(-3) = 6

g(-3) = -4

olduğuna göre, $f(3) - g(3)$ ifadesinin değeri kaçtır?

-10

-2

2

10

-6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

-2

Tek fonksiyon tanımına göre

f(3) = -f(-3) = -6

ve çift fonksiyon tanımına göre

g(3) = g(-3) = -4

olur. Bu değerler yerine yazıldığında

f(3) - g(3) = -6 - (-4) = -2

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f

fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğini uygularız.

f(3) = -f(-3) = -6

olur.

Tek fonksiyonlarda her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = -f(x)

eşitliği sağlanır.

2

g

fonksiyonunun çift fonksiyon olma özelliğini uygularız.

g(3) = g(-3) = -4

olur.

Çift fonksiyonlarda her

x

gerçel sayısı için

g(-x) = g(x)

eşitliği sağlanır.

3

Bulunan

f(3)

ve

g(3)

değerlerini

f(3) - g(3)

ifadesinde yerine yazarız.

f(3) - g(3) = -6 - (-4) = -2

bulunur.

İstenen cebirsel ifadenin değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların tanımı ve simetri özellikleri

Soru 42Soru →

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi olmak üzere, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tanımlı $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - ax + 4}}$ bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için $a$ gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı $(-4, 4)$ açık aralığıdır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen bağıntının

\mathbb{R}

'den

\mathbb{R}

'ye bir fonksiyon belirtmesi için her

x \in \mathbb{R}

için tanımlı olması gerekir. Bu da paydadaki kareköklü ifadenin tanımlı ve sıfırdan farklı olması, yani

x^2 - ax + 4 > 0

eşitsizliğinin her

x

gerçel sayısı için sağlanması demektir. Baş katsayısı pozitif olan bu ifadenin daima pozitif olması için diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (

\Delta < 0

).

\Delta = a^2 - 16 < 0

eşitsizliğinden

a

sayısının

(-4, 4)

açık aralığ��nda olması gerektiği bulunur. Dolayısıyla verilen ifade doğrudur.

Verilen bağıntının

\mathbb{R}

üzerinde tanımlı bir fonksiyon belirtmesi için paydadaki kareköklü ifadenin içi daima pozitif olmalıdır. Bu durum diskriminantın sıfırdan küçük olmasıyla (

a^2 - 16 < 0

) mümkündür ve buradan

a \in (-4, 4)

elde edilir. Bu sebeple ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyon olma şartını analiz etme

Tanım kümesi

\mathbb{R}

ve değer kümesi

\mathbb{R}

olan bir

f

bağıntısının fonksiyon belirtebilmesi için her

x \in \mathbb{R}

için

f(x)

değerinin tanımlı ve bir gerçel sayı olması gerekir.

Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesinde eşleşmeyen hiçbir eleman kalmamalıdır.

2

Tanımlılık şart��nı cebirsel olarak ifade etme

f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - ax + 4}}

ifadesinin tanımlı olması için

x^2 - ax + 4 > 0

olmalıdır.

Çift dereceden köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerin paydası sıfır olamaz.

3

Eşitsizliğin her

x

için sağlanma koşulunu (daima pozitiflik) uygulama

x^2 - ax + 4 > 0

ifadesinin her

x \in \mathbb{R}

için sağlanması için baş katsayısı

1 > 0

olduğundan diskriminantı

\Delta < 0

olmalıdır.

Parabolün

x

eksenini kesmemesi ve daima eksenin üzerinde kalması gerekir.

4

Diskriminantı hesaplama ve

a

değer aralığını bulma

\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16 < 0 \implies a^2 < 16 \implies -4 < a < 4

. En geniş değer aralığı

(-4, 4)

açık aralığıdır.

Eşitsizlik çözülerek parametrenin alabileceği değer sınırları belirlenir.

Anahtar Kavram

Fonksiyon tanımlılık şartları ve gerçel sayılarda tanımlı en geniş küme

Soru 43Soru →

Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesinde tanımlı

f: [3, \infty) \rightarrow [a, \infty)

f(x) = x^2 - 4x + k

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

f(5) = 12

olduğuna göre, $a$ kaçtır?

3

4

7

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 değeridir.

Fonksiyonun tanım kümesi [3, \infty) olup, bu aralıkta f(x) = x^2 - 4x + 7 fonksiyonu sürekli artandır. Bu nedenle en küçük değerini x = 3 noktasında alır. Fonksiyonun örten olması için değer kümesinin alt sınırı olan a sayısı, bu en küçük değer olan f(3) = 4 değerine eşit olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen f(5) = 12 eşitliğini kullanarak k sabitini bulalım.

k = 7

f(5) = 5^2 - 4(5) + k = 12 denkleminden 25 - 20 + k = 12 ve buradan k = 7 elde edilir. Dolayısıyla f(x) = x^2 - 4x + 7 olur.

2

Fonksiyonun bire birliğini tepe noktası yardımıyla inceleyelim.

Fonksiyon [3, \infty) aralığında artandır ve bire birdir.

f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasının apsisi r = 2'dir. Parabol [2, \infty) aralığında artan olduğundan, bu aralığın alt kümesi olan [3, \infty) aralüğında da artandır ve dolayısıyla bire birdir.

3

Fonksiyonun örtenliğini kullanarak a değerini belirleyelim.

a = 4

f(x) artan bir fonksiyon olduğundan [3, \infty) aralığındaki en küçük değerini x = 3 noktasında alır. Örtenlik gereği değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalıdır. Bu yüzden görüntü kümesinin en küçük elemanı olan f(3) değeri, değer kümesinin alt sınırı olan a sayısına eşit olmalıdır. Buradan a = f(3) = 3^2 - 4(3) + 7 = 4 bulunur.

Anahtar Kavram

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 44Soru →

Gerçek sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x) = \sqrt{12 - 3x} + \frac{4}{x - 1}

fonksiyonunun tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

f fonksiyonunun tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayılar rasyonel ifadeyi tanımsız yapan 1 hariç, köklü ifadenin tanım aralığı olan 4 ve 4'ten küçük pozitif tam sayılardır. Bunlar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları ise 9 yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Köklü ifadenin tanımlılık şartının incelenmesi

x \leq 4

Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içi negatif olmamalıdır.

2

Rasyonel ifadenin tanımlılık şartının incelenmesi

x \neq 1

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.

3

Koşulları sağlayan pozitif tam sayıların toplanması

2 + 3 + 4 = 9

x \leq 4

ve

x \neq 1

koşullarını aynı anda sağlayan pozitif tam sayılar

2

,

3

ve

4

'tür.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların en geniş tanım kümesi bulunurken köklü ifadelerin çift derece şartı ile rasyonel ifadelerin sıfırdan farklı payda şartının ortak kesişimi alınır.

Soru 45Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ birim fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı için,

f(x + g(x)) = h(3x) + f(2)

eşitliği sağlanmaktadır.

f(h(1)) = g(5) + 5

olduğuna göre,

(f \circ g)(1) + (g \circ h)(2) + (h \circ f)(3)

toplamının değeri kaçtır?

17

13

25

29

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

İstenen toplamın değeri 25 olarak bulunur.

Verilen fonksiyon tanımları sırasıyla uygulandığında doğrusal fonksiyon

f(x) = 3x + 4

, sabit fonksiyon

g(x) = 2

ve birim fonksiyon

h(x) = x

olarak elde edilir. Bu fonksiyonlar altında istenen bileşke değerleri sırasıyla 10, 2 ve 13 olup toplamları 25 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim (

h

) ve sabit (

g

) fonksiyon tanımlarını yazıp birinci eşitlikte yerlerine koymak.

h(x) = x

olduğundan

h(3x) = 3x

olur.

g(x) = c

(sabit) olsun.

f(x) = ax + b

doğrusal fonksiyon olmak üzere birinci eşitlik:

f(x + c) = 3x + f(2)

şekline gelir.

Fonksiyonların türlerine göre cebirsel ifadelerini belirlemek.

2

Elde edilen eşitlikten doğrusal fonksiyonun katsayısını (

a

) ve sabit fonksiyonun değerini (

c

) bulmak.

a(x+c) + b = 3x + (2a + b) \implies ax + ac + b = 3x + 2a + b

. Buradan

a = 3

ve

ac = 2a \implies 3c = 6 \implies c = 2

bulunur. Dolayısıyla

g(x) = 2

olur.

Polinomların/fonksiyonların eşitliği kuralını kullanarak katsayıları eşitlemek.

3

İkinci eşitliği kullanarak doğrusal fonksiyonun sabit terimini (

b

) bulmak.

f(h(1)) = g(5) + 5 \implies f(1) = 2 + 5 = 7

olur.

f(x) = 3x + b

olduğundan

f(1) = 3(1) + b = 3 + b = 7 \implies b = 4

bulunur. Buradan

f(x) = 3x + 4

elde edilir.

Birim ve sabit fonksiyonların değerlerini yerine yazarak bilinmeyen sabit terimi hesaplamak.

4

İstenen bileşke fonksiyon değerlerini hesaplayıp toplamak.

(f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 3(2) + 4 = 10

,

(g \circ h)(2) = g(h(2)) = g(2) = 2

,

(h \circ f)(3) = h(f(3)) = f(3) = 3(3) + 4 = 13

. Toplam:

10 + 2 + 13 = 25

bulunur.

Bileşke fonksiyon kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları, özellikleri ve cebirsel olarak modellenmesi.

Soru 46Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x < 5 \\ 3x - 7, & x \ge 5 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f(f(3))$ ifadesinin değeri ka��tır?

-1

17

20

21

71

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İfadenin doğru değeri 20'dir.

Verilen parçalı fonksiyonda f(3) değeri için 3 < 5 olduğundan üstteki kural uygulanır ve 9 elde edilir. f(f(3)) yani f(9) değeri için ise 9 >= 5 olduğundan alttaki kural uygulanır ve 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İçteki fonksiyon değeri olan f(3) hesaplanır.

f(3) = 9

3 < 5 olduğundan f(x) = 2x + 3 dalı kullanılır: 2(3) + 3 = 9.

2

Bulunan değer dıştaki fonksiyona yazılıp f(9) hesaplan��r.

f(9) = 20

9 >= 5 olduğundan f(x) = 3x - 7 dalı kullanılır: 3(9) - 7 = 20.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda girdinin değerine göre uygun dalın seçilerek değer bulma işleminin yapılması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 47Soru →

$\mathbb{N}$ doğal sayılar, $\mathbb{Z}$ tam sayılar ve $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi olmak üzere,

I. $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ , $f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}$
II. $g: \mathbb{R} \setminus \{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g(x) = \frac{x + 1}{|x| - 1}$
III. $h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , $h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + 1$

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, yukarıda verilen bağıntılardan hangileri bir fonksiyon belirtir?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III

Sadece üçüncü öncüldeki bağıntı, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki benzersiz elemanlara eşler. Kareköklü ifade mutlak değer olarak dışarı çıkarıldığında tüm doğal sayı girdileri için sonuç da bir doğal sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci öncüldeki bağıntının incelenmesi

x = 2 \in \mathbb{Z}

seçildiğinde

f(2) = \frac{2^3 - 2}{2^2 + 1} = \frac{6}{5} \notin \mathbb{Z}

elde edilir.

Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü değer kümesinde (tam sayılarda) bulunmalıdır. Ancak

x=2

için elde edilen değer tam sayı olmadığından bu bağıntı fonksiyon olamaz.

2

İkinci öncüldeki bağıntının incelenmesi

Paydayı sıfır yapan değerler

|x| - 1 = 0 \implies x = 1

veya

x = -1

olarak bulunur.

Tanım kümesi olan

\mathbb{R} \setminus \{1\}

kümesinde

x = -1

elemanı yer almaktadır. Bu değer için fonksiyon tanımsız olacağından tanım kümesindeki bir eleman açıkta kalır ve bağıntı fonksiyon belirtmez.

3

Üçüncü öncüldeki bağıntının incelenmesi

h(x) = \sqrt{(x-2)^2} + 1 = |x - 2| + 1

elde edilir. Her

x \in \mathbb{N}

için

|x - 2| + 1 \in \mathbb{N}

olur.

Kareköklü çift dereceli terim mutlak değer içinde dışarı çıkar. Her doğal sayı girdisi için bu ifade tanımlıdır ve sonuç daima pozitif tam sayı olacağından değer kümesine (doğal sayılara) aittir. Bu bağıntı bir fonksiyondur.

Anahtar Kavram

Fonksiyon tanımı, tanım ve değer kümelerinin sınırları ile tanımsızlık durumları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 48Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \text{ tek sayı ise} \\ 2x + 3, & x \text{ çift sayı ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f(3) + f(4)$ toplamının değeri kaçtır?

16

19

20

23

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Fonksiyon değerlerinin toplamı 19'dur.

Doğru cevap olan 19 değerine ulaşmak için, 3 sayısının tek sayı olduğu belirlenip

x^2 - 1

kuralıyla

f(3) = 8

hesaplanır. Ardından, 4 sayısının çift sayı olduğu belirlenip

2x + 3

kuralıyla

f(4) = 11

hesaplanır. Bu iki değerin toplamı

8 + 11 = 19

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

3 sayısının tek veya çift olma durumunu inceleyip uygun fonksiyon kuralını seçerek

f(3)

değerini hesaplamak.

f(3) = 8

3 bir tek sayı olduğundan parçalı fonksiyonun ilk kuralı olan

f(x) = x^2 - 1

kullanılır. Buradan

f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8

elde edilir.

2

4 sayısının tek veya çift olma durumunu inceleyip uygun fonksiyon kuralını seçerek

f(4)

değerini hesaplamak.

f(4) = 11

4 bir çift sayı olduğundan parçalı fonksiyonun ikinci kuralı olan

f(x) = 2x + 3

kullanılır. Buradan

f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

elde edilir.

3

Elde edilen

f(3)

ve

f(4)

değerlerini toplamak.

8 + 11 = 19

Soruda bizden

f(3) + f(4)

toplamı istendiği için bulunan değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda, girdi değerinin tanım aralıklarından veya koşullarından hangisini sağladığı belirlenmeli ve sadece o koşula ait olan kural uygulanmalıdır.

Tahmini Süre:50s

Soru 49Soru →

Tanım kümeleri gerçel sayılar olan $f$ doğrusal, $g$ sabit ve $h$ birim fonksiyonları için

f(h(x)) - g(x) = 3x - 5

h(g(x)) + f(g(1)) = 35

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(g(2)) - g(f(2))$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Fonksiyonların kuralları belirlendikten sonra yapılan işlemlerle f(g(2)) - g(f(2)) ifadesinin değeri 19 olarak bulunur.

Birim fonksiyon

h(x)=x

, sabit fonksiyon

g(x)=c

ve doğrusal fonksiyon

f(x)=px+q

özellikleri kullanılarak oluşturulan denklem sisteminde

p=3

,

q=3

ve

c=8

değerleri bulunur. Buradan

f(x)=3x+3

ve

g(x)=8

kurallarına ulaşılır. İstenen

f(g(2)) - g(f(2))

ifadesinde

f(8) - g(f(2)) = 27 - 8 = 19

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların genel gösterimleri belirlenir.

h(x) = x

,

g(x) = c

ve

f(x) = px + q

Fonksiyon türlerinin tanımları gereği bu formüller geçerlidir.

2

Birinci eşitlik kullanılarak katsayılar ve sabitler karşılaştırılır.

p = 3

ve

c = q + 5

f(h(x)) - g(x) = 3x - 5

ifadesi

(px + q) - c = 3x - 5

biçimine dönüşür ve polinom eşitliği uygulanır.

3

İkinci eşitlik yardımıyla bilinmeyen parametreler çözülür.

q = 3

ve

c = 8

h(g(x)) + f(g(1)) = 35 \implies c + (3c + q) = 35

denkleminde

c = q + 5

yerine konularak çözüm yapılır.

4

Elde edilen

f(x) = 3x + 3

ve

g(x) = 8

kuralları ile istenen değer hesaplanır.

f(g(2)) - g(f(2)) = 19

f(g(2)) = f(8) = 27

ve

g(f(2)) = 8

değerleri farkı alınarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların cebirsel tanımları ve bileşke işlemleriyle ilişkileri

Soru 50Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta bir

f

fonksiyonu için

f(2x + 3) = x^2 - 3x + 4

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(7)$ değeri kaçtır?

32

14

2

6

-6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Fonksiyonun değeri 2 olarak bulunur.

Doğru değer olan 2'yi bulmak için fonksiyonun girdisi olan

2x + 3

ifadesi 7'ye eşitlenir. Buradan

x = 2

elde edilir. Fonksiyonun kuralında

x

yerine 2 yazıldığında

f(7) = 2^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Girdiyi eşitleme

2x + 3 = 7

denkleminden

x = 2

bulunur.

f(7)

değerini elde etmek için fonksiyonun içindeki ifadenin

7

olması gerekir.

2

Değişkeni yerine yazma

x = 2

değeri kuralda yerine yazıldığında

f(7) = 2^2 - 3(2) + 4

elde edilir.

x

değerinin fonksiyondaki karşılığını hesaplamak için.

3

Aritmetik hesaplama

4 - 6 + 4 = 2

bulunur.

İşlem önceliğine göre toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 51Soru →

Tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tanımlı olduğu aralıklarda bire bir ve örtendir?

f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

f(x) = 3x - 2

g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

g(x) = |x| + x

h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

,

h(x) = x + 2

k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}

,

k(x) = \frac{2}{x}

s: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

s(x) = x^2 + 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , $k(x) = \frac{2}{x}$

Cevap

k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}

,

k(x) = \frac{2}{x}

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Sıfırdan farklı gerçel sayılardan sıfırdan farklı gerçel sayılara tanımlı

x \mapsto \frac{2}{x}

fonksiyonunda, her

x

değeri için benzersiz bir görüntü oluşur (bire birlik) ve sıfır dışındaki tüm gerçel sayılar bir girdinin görüntüsü olarak elde edilebilir (örtenlik).

Adım Adım Çözüm

1

Bire birlik tanımını her seçenek için kontrol etme

Tanım kümesindeki farklı her elemanın görüntüsünün de farklı olması gerekir.

k(x) = \frac{2}{x}

için

k(x_1) = k(x_2) \implies \frac{2}{x_1} = \frac{2}{x_2} \implies x_1 = x_2

olduğundan bire birdir.

Bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını belirlemek için farklı girdilerin farklı çıktılar verdiğini doğrulamalıyız.

2

Örtenlik tanımını her seçenek için kontrol etme

Değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

k(x) = \frac{2}{x}

fonksiyonunda değer kümesinden seçilen her

y \neq 0

için tanım kümesinde

x = \frac{2}{y} \neq 0

elemanı mevcuttur ve

k(x) = y

olur. Dolayısıyla örtendir.

Örtenliği kontrol etmek için değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olduğunu göstermeliyiz.

Anahtar Kavram

Bire bir fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşirken, örten fonksiyonlarda değer kümesinde eşleşmeyen eleman kalmaz.

Soru 52Soru →

Tanımlı oldukları aralıklarda $f(x) = 3x - 1$ ve $g(x) = x^2 - 3$ fonksiyonları veriliyor. Buna göre, $(2f + g)(3)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İşlemler sonucunda elde edilen doğru cevap 22'dir.

Fonksiyonlarda dört işlem kuralları gereği,

(2f + g)(3)

ifadesi

2 \cdot f(3) + g(3)

değerine eşittir. Verilen fonksiyon tanımlarından

f(3) = 8

ve

g(3) = 6

olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında

2 \cdot 8 + 6 = 22

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(3)

değerinin hesaplanması

f(3) = 8

f(x) = 3x - 1

fonksiyonunda

x = 3

yazılarak

f

fonksiyonunun bu noktadaki değeri bulunur.

2

g(3)

değerinin hesaplanması

g(3) = 6

g(x) = x^2 - 3

fonksiyonunda

x = 3

yazılarak

g

fonksiyonunun bu noktadaki değeri bulunur.

3

(2f + g)(3)

ifadesinin açılması ve değerlerin yerine yazılması

(2f + g)(3) = 2 \cdot 8 + 6 = 22

Fonksiyonlarda toplama ve skalerle çarpma kurallarına göre

(2f + g)(3) = 2f(3) + g(3)

eşitliği kullanılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Dört İşlem

Soru 53Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x) = \frac{\sqrt{a - |x - 3|}}{x^2 - 5x - 14}

fonksiyonunun tanım kümesinde tam olarak 8 tane tam sayı bulunmaktadır.

Buna göre, $a$ tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun tanım kümesinde tam olarak 8 tane tam sayı bulunmasını sağlayan

a

tam sayısı 4'tür.

Doğru cevap olan 4 değeri, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki tam sayıların adedini tam olarak 8 yapar.

a=4

için kök içi koşulundan elde edilen

[-1, 7]

aralığındaki 9 tam sayıdan, paydayı sıfır yapan

x=7

değeri çıkarıldığında geriye tam olarak 8 tam sayı kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun tanımlı olması için gerekli olan koşulları belirlemek.

a - |x - 3| \geq 0

ve

x^2 - 5x - 14 \neq 0

olmalıdır.

Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz.

2

Paydayı sıfır yapan ve tanım kümesinden çıkarılması gereken

x

değerlerini bulmak.

x = 7

ve

x = -2

değerleri tanımsızlık yaratır.

x^2 - 5x - 14 = 0

denkleminin çarpanlarına ayrılmış hali

(x-7)(x+2) = 0

şeklindedir.

3

Kök içerisindeki eşitsizliği çözerek tanım aralığını

a

parametresine bağlı olarak yazmak.

3 - a \leq x \leq 3 + a

kapalı aralığı elde edilir.

|x-3| \leq a

eşitsizliği

-a \leq x-3 \leq a

şeklinde açılır ve her tarafa 3 eklenir.

4

Farklı

a

tam sayı değerleri için tanımsızlık noktalarını da hesaba katarak tanım kümesindeki tam sayı adedini analiz etmek.

a = 4

için aralık

[-1, 7]

olup tanımsız yapan

7

çıkarıldığında geriye 8 tam sayı kalır.

a=3

için aralık

[0, 6]

olur ve bu aralıkta tanımsız yapan değer olmadığından 7 tam sayı bulunur.

a=5

için aralık

[-2, 8]

olur ve tanımsız yapan

-2

ile

7

çıkarıldığında 9 tam sayı kalır. Dolayısıyla tam olarak 8 tam sayı sağlayan değer

a = 4

'tür.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Tanım Kümesi ve Tanımsızlık Koşulları

Soru 54Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f$ birim fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ doğrusal fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı için,

h(f(x) + g(x)) = 3x - 6

h(f(2)) - g(h(1)) = 4

eşitlikleri sağlandığına göre,

h(g(3)) + f(h(-2))

toplamı kaçtır?

-15

5

-12

0

-5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Doğru cevap

-15

değeridir.

Doğru cevap olan seçenekteki değer, birim fonksiyonun

f(x)=x

, sabit fonksiyonun

g(x)=c

ve doğrusal fonksiyonun

h(x)=3x-3

kuralları doğru bir şekilde belirlenip yerine yazılmasıyla elde edilen

-15

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonların genel ifadelerini belirlemek.

f(x) = x

(birim fonksiyon),

g(x) = c

(

c

bir gerçek sayı olmak üzere sabit fonksiyon) ve

h(x) = ax + b

(

a

ve

b

birer gerçek sayı ve

a \neq 0

olmak üzere doğrusal fonksiyon).

Soruda verilen fonksiyon türlerinin matematiksel tanımlarını cebirsel olarak ifade etmek gerekir.

2

Birinci eşitliği kullanarak doğrusal fonksiyonun katsayılarını ilişkilendirmek.

h(f(x) + g(x)) = h(x + c) = a(x + c) + b = ax + ac + b

elde edilir. Bu ifade

3x - 6

ifadesine eşit olduğundan,

a = 3

ve

3c + b = -6

denklemleri bulunur.

Polinomların/fonksiyonların eşitliği ilkesine göre aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.

3

İkinci eşitliği kullanarak ikinci bir denklem elde etmek ve katsayıları çözmek.

h(f(2)) - g(h(1)) = h(2) - c = (3(2) + b) - c = 6 + b - c = 4

olduğundan,

b - c = -2

elde edilir. Elde edilen

3c + b = -6

ve

b - c = -2

denklemleri ortak çözüldüğünde

c = -1

ve

b = -3

bulunur. Böylece

g(x) = -1

ve

h(x) = 3x - 3

olarak elde edilir.

Birim fonksiyon

f(2)=2

değerini verir, sabit fonksiyon ise her girdi için

c

değerini üretir. İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek bilinmeyen parametreler bulunur.

4

İstenen ifadenin değerini hesaplamak.

g(3) = -1

olduğundan

h(g(3)) = h(-1) = 3(-1) - 3 = -6

olur.

h(-2) = 3(-2) - 3 = -9

olup

f(h(-2)) = f(-9) = -9

bulunur. Bu iki değer toplandığında

-6 + (-9) = -15

elde edilir.

Bulunan fonksiyon kuralları kullanılarak istenen bileşke ve değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bu tanımların bileşke işlemleriyle birlikte cebirsel olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

Denklem sistemi kurmadan önce

x=2

yazarak

h(f(2)+g(2)) = h(2+c)

ifadesinin

3(2)-6=0

olduğunu görebiliriz. Buradan doğrusal fonksiyonun kökünün

2+c

olduğunu saptayıp çözümü pratikleştirebiliriz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 55Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ birim fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı i��in,

f(x) + g(x) = 3x + 7

(f \circ h)(g(1)) = 13

olduğuna göre, $f(g(5)) + h(g(2))$ toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen toplamın değeri 16'dır.

Birim fonksiyon tanımından

h(3) = 3

, sabit fonksiyon tanımından

g(5) = 3

ve katsayı eşitlemelerinden elde edilen

f(x) = 3x + 4

kuralı kullanılarak

f(3) = 13

bulunur. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç 16 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların genel tanımlarını yazmak.

h(x) = x

,

g(x) = c

ve

f(x) = ax + b

olarak belirlendi.

Fonksiyonların türlerine göre cebirsel ifadelerini oluşturmak için.

2

f(x) + g(x) = 3x + 7

eşitliğini kullanarak katsayıları eşitlemek.

a = 3

ve

b + c = 7

elde edildi.

İki polinomun eşitliği ilkesini uygulamak için.

3

(f \circ h)(g(1)) = 13

eşitliğini düzenlemek.

f(c) = 13 \implies 3c + b = 13

elde edildi.

Bileşke fonksiyon bileşenlerini ve sabit fonksiyon değerini yerine koymak için.

4

b + c = 7

ve

3c + b = 13

denklem sistemini çözmek.

c = 3

ve

b = 4

bulundu. Dolayısıyla

f(x) = 3x + 4

ve

g(x) = 3

oldu.

Bilinmeyen katsayıları bulup fonksiyonların kurallarını tam olarak belirlemek için.

5

f(g(5)) + h(g(2))

ifadesinin değerini hesaplamak.

f(3) + h(3) = 13 + 3 = 16

bulundu.

Bulunan fonksiyon kurallarını kullanarak istenen bileşke ve değer işlemlerini yapmak için.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bu tanımların cebirsel denklemlerde uygulanması.

Soru 56Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş

K

alt kümesinde tanımlı bir

f

fonksiyonu

f(x) = \sqrt{\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2}}

kuralıyla veriliyor.
Buna göre,

f

fonksiyonunun tanım kümesi olan

K

kümesindeki tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

3

4

6

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Tam sayıların toplamı 6'dır.

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bu şartlar

\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2} \geq 0

eşitsizliğini doğurur. Eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesi

[-4, -1) \cup (3, 6]

olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar sırasıyla

-4, -3, -2, 4, 5, 6

olup, bu sayıların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Çift dereceden köklü ifadenin tanım şartını belirleme

\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2} \geq 0

Kökün derecesi çift (2) olduğundan, fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

2

Paydanın sıfır olmama şartını belirleme

|x - 1| - 2 \neq 0 \implies |x - 1| \neq 2 \implies x \neq 3 \text{ ve } x \neq -1

Rasyonel bir ifadenin tanımlı olabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir.

3

Değişken değiştirme yöntemiyle eşitsizliği basitleştirme ve çözme

u = |x - 1| \geq 0 \implies \frac{5 - u}{u - 2} \geq 0 \implies 2 < u \leq 5

Mutlak değerli ifadeye

u

diyerek rasyonel eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleriz. Paydayı sıfır yapan

u = 2

değeri çözüme dahil edilemezken, payı sıfır yapan

u = 5

değeri dahil edilebilir.

4

Bulunan aralığı mutlak değerli eşitsizlik olarak çözme

2 < |x - 1| \leq 5 \implies 3 < x \leq 6 \text{ veya } -4 \leq x < -1

Mutlak değerli eşitsizlik

2 < |x - 1| \leq 5

şeklinde iki parçaya ayrılarak çözülür. Buradan tanım kümesi

K = [-4, -1) \cup (3, 6]

olarak elde edilir.

5

Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplama

\{-4, -3, -2, 4, 5, 6\} \implies (-4) + (-3) + (-2) + 4 + 5 + 6 = 6

Elde edilen aralıklardaki tam sayılar tek tek belirlenir ve toplanarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Köklü ve Rasyonel İfadelerin Tanım Kümeleri ile Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözümü

Soru 57Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları

f(x) = 3x + 1

g(x) = 2x - 5

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $(f \circ g)(4)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlemler sonucunda (f o g)(4) değeri 10 olarak bulunur.

Bileşke fonksiyon tanımına göre (f o g)(4) ifadesi f(g(4)) şeklinde yazılır. g(4) değeri 3 olarak bulunduktan sonra f(3) değeri hesaplanır ve sonuç 10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

g(4) değerinin hesaplanması

g(4) = 3

Bileşke fonksiyon tanımı gereği (f o g)(4) = f(g(4)) olduğundan, öncelikle en içteki g(4) değeri hesaplanır.

2

f(3) değerinin hesaplanması

f(3) = 10

g(4) = 3 değeri f fonksiyonunda yerine yazılarak bileşke işleminin sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon işleminde sağdaki fonksiyonun görüntüsü soldaki fonksiyonun girdisi olur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 58Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir

f

fonksiyonu

f(x) = -3x

biçiminde tanımlanıyor.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere,

ab

ve

ba

iki basamaklı doğal sayılardır.

f(ab) + f(ba) > -198

olduğuna göre, bu eşitsizliği sağlayan en büyük

a+b

toplamı kaçtır?

5

7

32

33

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En büyük

a+b

toplamı 5 olmalıdır.

Verilen fonksiyon tanımına göre iki basamaklı sayıların çözümlenmiş halleri fonksiyonda yerine yazıldığında

-33(a+b) > -198

eşitsizliği elde edilir. Negatif sayıya bölme kuralı gereğince yön değiştirilerek

a+b < 6

sonucuna ulaşılır.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olduğundan bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı değeri 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

İki basamaklı sayıları çözümleme

ab = 10a + b

ve

ba = 10b + a

Fonksiyon girdilerini basamak değerlerine göre ifade etmek için.

2

Fonksiyon değerlerini hesaplama

f(ab) = -3(10a + b) = -30a - 3b

ve

f(ba) = -3(10b + a) = -30b - 3a

f(x) = -3x

kuralına göre girdileri yerine yazmak için.

3

Fonksiyon de��erlerini toplama ve sadeleştirme

f(ab) + f(ba) = -33(a + b)

Verilen eşitsizlikteki sol tarafı tek bir terim haline getirmek için.

4

Eşitsizliği çözme

-33(a+b) > -198 \implies a+b < 6

Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıya bölerken yönü tersine çevirmek için.

5

Kısıtlamalara göre en büyük değeri belirleme

a+b

en çok 5 olabilir.

a

ve

b

rakam olduğu için

a+b

toplamı tam sayı olmalıdır ve 6'dan küçük en büyük tam sayı 5'tir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma işlemi yapılırken değişken yerine cebirsel ifadelerin yazılması ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonda doğrudan

a

ve

b

yerine uygun rakamlar seçilip denenerek de eşitsizlik kontrol edilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 59Soru →

$\mathbb{R}$ 'den $\mathbb{R}$ 'ye tanımlı $f$ çift ve $g$ tek fonksiyondur.

Her

x

gerçel sayısı için,

(x+2) \cdot f(x) + g(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 5x - 6

eşitliği sağlandığına göre,

f(2) + g(2)

toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

27

Verilen denklemde sırasıyla

x = -2

ve

x = 2

değerleri yazılarak elde edilen

g(-2) = -28

ve

4f(2) + g(2) = 24

eşitlikleri kullanılır.

g

tek fonksiyon olduğundan

g(2) = 28

olur. Bu değer yerine yazıldığında

f(2) = -1

bulunur. İkisinin toplamı ise

27

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitlikte

x = -2

yazılır.

g(-2) = -28

elde edilir.

f(-2)

teriminin katsayısını sıfırlayarak doğrudan

g

fonksiyonuna bağlı bir değer elde etmek için

x = -2

seçilir.

2

g

fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğini kullanmak.

g(2) = 28

bulunur.

Tek fonksiyonlar için

g(-x) = -g(x)

kuralı geçerlidir.

3

Verilen eşitlikte

x = 2

yazılır.

4 \cdot f(2) + g(2) = 24

elde edilir.

f(2)

değerine ulaşmak amacıyla denklemde

x = 2

yazarak yeni bir eşitlik oluşturulur.

4

Bulunan

g(2) = 28

değeri eşitlikte yerine yazılarak

f(2)

hesaplanır.

f(2) = -1

bulunur.

İki bilinmeyenli denklemde bilinen değeri yerine koyarak diğer bilinmeyeni elde etmek için.

5

f(2) + g(2)

toplamı hesaplanır.

f(2) + g(2) = -1 + 28 = 27

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların tanımı ve simetri özellikleri (

f(-x) = f(x)

ve

g(-x) = -g(x)

).

Soru 60Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan

f

sabit,

g

birim ve

h

doğrusal fonksiyonları her

x

gerçel sayısı için,

h(x) - f(x) = g(2x + 5)

h(f(3)) = 17

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(8) + h(1)$ toplamının değeri kaçtır?

7

11

19

15

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15

Birim fonksiyon tanımından

g(2x+5)=2x+5

yazılır. Sabit fonksiyon tanımından

f(x)=c

kabul edilirse ilk denklem

h(x) = 2x + c + 5

biçiminde bir doğrusal fonksiyon belirtir. İkinci denklemde

f(3)=c

olacağından

h(c)=17

eşitliği kurulur. Buradan

2c+c+5=17 \implies 3c=12 \implies c=4

elde edilir. Bu durumda

f(8)=4

ve

h(1)=2(1)+4+5=11

bulunur. İstenen toplamın değeri 15 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birim fonksiyonun tanımı eşitliğe uygulanır.

g(2x + 5) = 2x + 5

olur.

g

birim fonksiyon olduğundan her girdi kendisiyle eşleşir.

2

Sabit fonksiyon tanımı kullanılarak doğrusal fonksiyon yalnız bırakılır.

f(x) = c

(sabit) alınırsa,

h(x) - c = 2x + 5 \implies h(x) = 2x + c + 5

olur.

f

sabit fonksiyon olduğundan her gerçel sayıyı aynı sabit

c

değerine götürür.

3

İkinci denklem kullanılarak sabit

c

değeri çözülür.

h(f(3)) = h(c) = 17

olur. Doğrusal fonksiyonda

x = c

yazılırsa,

2c + c + 5 = 17 \implies 3c = 12 \implies c = 4

bulunur.

f(3) = c

olduğundan bileşke işleminde içteki değer yerine yazılır.

4

Elde edilen fonksiyon kuralında istenen değerler yerine yazılıp toplanır.

f(8) = 4

ve

h(1) = 2(1) + 9 = 11

olup

f(8) + h(1) = 4 + 11 = 15

elde edilir.

c = 4

değeri doğrultusunda fonksiyon kuralları

f(x) = 4

ve

h(x) = 2x + 9

olarak netleşir.

Anahtar Kavram

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonların Tanımları

Tahmini Süre:2m 0s

Fonksiyonlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap