Examkin

Fonksiyonlar

141 soru

Tüm türler141Çoktan seçmeli95Doğru / Yanlış7Sayısal39
Soru 21Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ve g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonları

f(x)={x+3,x<1x2−4x+7,x≥1f(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 1 \\ x^2 - 4x + 7, & x \ge 1 \end{cases}
g(x)=x2−ax+2g(x) = x^2 - ax + 2

biçiminde tanımlanıyor. Burada aa bir gerçel sayıdır.

(f∘g)(x)=3(f \circ g)(x) = 3 denklemini sağlayan birbirinden farklı gerçel köklerin sayısı 33 olduğuna göre, bu köklerin toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 323\sqrt{2}

Cevap

Birbirinden farklı gerçel köklerin toplamı 323\sqrt{2} olabilir.
Denklemin 3 farklı gerçel kökü olması için g(x)=0g(x) = 0 denkleminin iki farklı kökü varken, g(x)=2g(x) = 2 denkleminin diskriminantının sıfır olması ve çakışık tek kök vermesi gerekir. Buradan a=22a = 2\sqrt{2} veya a=−22a = -2\sqrt{2} elde edilir. Farklı köklerin toplamı 3a2\frac{3a}{2} formülünden 323\sqrt{2} veya −32-3\sqrt{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımı uygulanarak dıştaki fonksiyon eşitlenir.
(f∘g)(x)=3  ⟹  f(g(x))=3(f \circ g)(x) = 3 \implies f(g(x)) = 3 elde edilir. Burada g(x)=ug(x) = u dönüşümü yapılırsa f(u)=3f(u) = 3 denklemine ulaşılır.
Bileşke fonksiyon sorularında içten dışa veya dönüşüm yöntemiyle işlem sırasını belirlemek en güvenli yoldur.
2
Parçalı tanımlı olan f(u)=3f(u) = 3 denkleminin kökleri bulunur.
İki durum incelenir:
1. Durum: u<1u < 1 ise u+3=3  ⟹  u=0u + 3 = 3 \implies u = 0 olur. 0<10 < 1 şartını sağladığı için u=0u = 0 geçerli bir çözümdür.
2. Durum: u≥1u \ge 1 ise u2−4u+7=3  ⟹  u2−4u+4=0  ⟹  (u−2)2=0  ⟹  u=2u^2 - 4u + 7 = 3 \implies u^2 - 4u + 4 = 0 \implies (u - 2)^2 = 0 \implies u = 2 olur. 2≥12 \ge 1 şartını sağladığı için u=2u = 2 de geçerli bir çözümdür.
Parçalı fonksiyonlarda bulunan köklerin, tanımlı oldukları aralıklara uygun olup olmadığı kontrol edilmelidir.
3
Dönüşüm geri alınarak g(x)g(x) fonksiyonunun eşitlikleri yazılır.
g(x)=0g(x) = 0 veya g(x)=2g(x) = 2 olmalıdır. g(x)=x2−ax+2g(x) = x^2 - ax + 2 ifadesi yerine yazıldı��ında:
1. Denklem: x2−ax+2=0x^2 - ax + 2 = 0
2. Denklem: x2−ax+2=2  ⟹  x2−ax=0  ⟹  x(x−a)=0x^2 - ax + 2 = 2 \implies x^2 - ax = 0 \implies x(x - a) = 0
elde edilir.
Bileşke fonksiyonun iç kısmındaki fonksiyonun alabileceği değerler üzerinden değişkenin alacağı değerlere geçilir.
4
Elde edilen iki denklemin kök sayısı analizi yapılır.
2. denklemin kökleri x=0x = 0 ve x=ax = a olmak üzere her zaman iki tanedir (a≠0a \ne 0 için). Toplam kök sayısının 3 olması için 1. denklemin diskriminantı sıfır olmalı, yani tek (çakışık) bir kökü bulunmalıdır.
Δ=a2−4(1)(2)=0  ⟹  a2=8  ⟹  a=22\Delta = a^2 - 4(1)(2) = 0 \implies a^2 = 8 \implies a = 2\sqrt{2} veya a=−22a = -2\sqrt{2} bulunur.
1. denklemin kökü bu durumda x=a2x = \frac{a}{2} olur. a≠0a \ne 0 olduğundan bu kök 2. denklemin kökleri olan 00 ve aa ile çakışmaz. Dolayısıyla toplamda tam olarak 3 farklı gerçel kök elde edilir.
İkinci dereceden denklemlerin kök sayıları diskriminant değerlerine bağlıdır. Toplam farklı kök sayısı iki denklemin ortak kökü olmaması ve birinin çakışık köke sahip olmasıyla 3'e eşitlenir.
5
Köklerin toplamı hesaplanır.
Kökler 00, aa ve a2\frac{a}{2} şeklindedir. Farklı köklerin toplamı 0+a+a2=3a20 + a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2} olur.
- a=22a = 2\sqrt{2} için kökler toplamı: 3(22)2=32\frac{3(2\sqrt{2})}{2} = 3\sqrt{2} bulunur.
- a=−22a = -2\sqrt{2} için kökler toplamı: 3(−22)2=−32\frac{3(-2\sqrt{2})}{2} = -3\sqrt{2} bulunur.
Seçeneklerde 323\sqrt{2} değeri yer almaktadır.
Bulunan parametre değerlerine karşılık gelen tüm kökler toplanarak olası sonuçlar belirlenir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda iç içe işlem yapma, parçalı fonksiyonlarda tanım aralığı kontrolü ve ikinci dereceden denklemlerde diskriminant ile kök sayısı ilişkisi.
Soru 22Soru →
f(x)=(a−2)x2+(b+3)x+a⋅bf(x) = (a - 2)x^2 + (b + 3)x + a \cdot b

fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre, f(2026)f(2026) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Sabit fonksiyonun değeri -6 olarak bulunur.
Sabit fonksiyon tanımı gereği değişken içeren terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Buradan a−2=0  ⟹  a=2a-2=0 \implies a=2 ve b+3=0  ⟹  b=−3b+3=0 \implies b=-3 bulunur. Fonksiyon f(x)=a⋅bf(x) = a \cdot b halini alır ve f(x)=2⋅(−3)=−6f(x) = 2 \cdot (-3) = -6 olur. Fonksiyon sabit olduğundan her xx gerçel sayısı için f(x)=−6f(x) = -6'dır, dolayısıyla f(2026)=−6f(2026) = -6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit fonksiyonda x ve x^2 terimlerinin katsayılarını sıfıra eşitlemek
a = 2 ve b = -3
Sabit fonksiyonda değişken içeren terimler bulunmamalıdır.
2
Bulunan a ve b değerlerini kullanarak f(x) fonksiyonunu yazmak ve f(2026) değerini hesaplamak
f(x) = -6 ve f(2026) = -6
Sabit fonksiyonun tanımı gereği her girdi için çıktı aynı sabite eşittir.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyonda değişkenli terimlerin katsayıları sıfırdır ve fonksiyon her girdi için tek bir sabit değere eşittir.
Soru 23Soru →
f(x)=x−4+2x−6f(x) = \sqrt{x - 4} + \frac{2}{x - 6}

fonksiyonunu gerçek sayılarda tanımlı kılan en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [4,∞)∖{6}[4, \infty) \setminus \{6\}

Cevap

Dört kapalı, sonsuz açık aralığından altı elemanının çıkarılmasıyla elde edilen küme ([4,∞)∖{6}[4, \infty) \setminus \{6\})
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de tanımlı olması gerekir. Kareköklü terim için x≥4x \geq 4 olmalı, rasyonel terim için ise x≠6x \neq 6 olmalıdır. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde en geniş tanım kümesi, dört kapalı sonsuz açık aralığından altı elemanının çıkarılmasıyla elde edilen küme olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin gerçek sayılarda tanımlı olması için kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması koşulu incelenir.
x−4≥0⇒x≥4x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4
Derecesi çift olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
2
Rasyonel ifadenin tanımlı olması için paydayı sıfır yapan değer belirlenir ve bu değer tanım kümesinden hariç tutulur.
x−6≠0⇒x≠6x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6
Paydası sıfır olan rasyonel ifadeler tanımsızdır.
3
Elde edilen iki koşul birleştirilerek en geniş tanım kümesi oluşturulur.
[4,∞)∖{6}[4, \infty) \setminus \{6\}
Fonksiyonun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olması gerekir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlerin en geniş tanım kümesini bulmak için çift dereceli köklerin içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadelerin paydalarının sıfırdan farklı olması koşulları bir arada uygulanır.
Soru 24Soru →
f:R∖{2}→R∖{1}f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{1\} olmak üzere,
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2}
g:(−∞,2]→[2,∞)g: (-\infty, 2] \rightarrow [2, \infty) olmak üzere,
g(x)=x2−4x+6g(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonlar�� tanımlanıyor. Bire bir ve örten olan bu fonksiyonlar yardımıyla h(x)=(f−1∘g)(x)h(x) = (f^{-1} \circ g)(x) fonksiyonu oluşturuluyor.

Buna göre, h−1(x)h^{-1}(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Bileşke fonksiyonunun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığı olarak bulunur. Bu aralık, ters fonksiyonun en geniş tanım kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 olup toplamları 2525 olarak hesaplanır.
Bileşke fonksiyonun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığı olarak elde edilir. Bu aralık, ters fonksiyonun tanım kümesidir ve bu kümedeki tam sayıların (3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7) toplamı 2525'tir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2} fonksiyonunun tersini bulalım.
f−1(x)=2x+3x−1f^{-1}(x) = \frac{2x+3}{x-1} olur.
f(x)=ax+bcx+df(x) = \frac{ax+b}{cx+d} biçimindeki fonksiyonların tersi f−1(x)=−dx+bcx−af^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} kuralı ile elde edilir.
2
g(x)=x2−4x+6g(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun görüntü kümesini analiz edelim.
g(x)=(x−2)2+2g(x) = (x-2)^2 + 2 olup x∈(−∞,2]x \in (-\infty, 2] için görüntü kümesi [2,∞)[2, \infty) aralığıdır.
Tanım kümesindeki x≤2x \le 2 değerleri için (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0 olacağından g(x)≥2g(x) \ge 2 elde edilir.
3
h(x)=f−1(g(x))h(x) = f^{-1}(g(x)) fonksiyonunun görüntü kümesini belirleyelim.
h(x)h(x) fonksiyonunun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığıdır.
g(x)≥2g(x) \ge 2 olduğuna g��re f−1(g(x))f^{-1}(g(x)) ifadesini incelemek için x≥2x \ge 2 iken f−1(x)=2+5x−1f^{-1}(x) = 2 + \frac{5}{x-1} ifadesinin değer aralığını bulmalıyız. x≥2  ⟹  x−1≥1  ⟹  0<1x−1≤1  ⟹  0<5x−1≤5  ⟹  2<2+5x−1≤7x \ge 2 \implies x-1 \ge 1 \implies 0 < \frac{1}{x-1} \le 1 \implies 0 < \frac{5}{x-1} \le 5 \implies 2 < 2 + \frac{5}{x-1} \le 7 elde edilir.
4
h−1(x)h^{-1}(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamını bulalım.
Tam sayıların toplamı 3+4+5+6+7=253 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 olur.
Bir fonksiyonun tersinin en geniş tanım kümesi, o fonksiyonun görüntü kümesine eşittir. Dolayısıyla h−1h^{-1} fonksiyonunun tanım kümesi (2,7](2, 7] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 olup toplamları 2525'tir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanım kümesi, kendisinin görüntü kümesine eşittir.
Soru 25Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff doğrusal fonksiyon ve gg sabit fonksiyondur.

f(x)=2x+af(x) = 2x + a
g(x)=bg(x) = b

olmak üzere,

f(g(3))=7f(g(3)) = 7
g(f(1))=3g(f(1)) = 3

olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4'tür.
Sabit fonksiyon tanımından g(x)=bg(x) = b olduğundan her girdi için sonuç bb'dir. Buradan b=3b = 3 bulunur. Bu değer f(g(3))=7f(g(3)) = 7 eşitliğinde yerine yazıldığında f(3)=7f(3) = 7 elde edilir. Doğrusal fonksiyon kuralı f(x)=2x+af(x) = 2x + a olduğundan f(3)=2(3)+a=7f(3) = 2(3) + a = 7 denkleminden a=1a = 1 bulunur. Sonuç olarak a+b=1+3=4a + b = 1 + 3 = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun sabit fonksiyon olmasından yararlanarak bb değerini bulunuz.
b=3b = 3 olarak bulunur.
g(x)g(x) sabit fonksiyon olduğundan tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit değere eşler. Dolayısıyla her xx gerçek sayısı için g(x)=bg(x) = b olur. Buradan g(f(1))=b=3g(f(1)) = b = 3 elde edilir.
2
f(g(3))=7f(g(3)) = 7 eşitliğini kullanarak aa değerini hesaplayınız.
a=1a = 1 olarak bulunur.
g(3)=b=3g(3) = b = 3 olduğundan f(g(3))=f(3)=7f(g(3)) = f(3) = 7 olur. f(x)=2x+af(x) = 2x + a fonksiyonunda x=3x = 3 yazılırsa 2(3)+a=7  ⟹  6+a=7  ⟹  a=12(3) + a = 7 \implies 6 + a = 7 \implies a = 1 bulunur.
3
a+ba + b toplamını bulunuz.
a+b=4a + b = 4 olarak bulunur.
a=1a = 1 ve b=3b = 3 değerleri toplanarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bileşke altındaki davranışları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →

Gerçek sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x)=2x−1x2−ax+16f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - ax + 16}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi R−{b}\mathbb{R} - \{b\} olduğuna göre, pozitif aa gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Pozitif aa değeri 8'dir.
Rasyonel ifadenin en geniş tanım kümesinin R−{b}\mathbb{R} - \{b\} olması için paydadaki ifadenin tam kare olması gerekir. Bu da diskriminantın sıfır olması anlamına gelir. Δ=a2−64=0\Delta = a^2 - 64 = 0 denkleminden pozitif aa değeri 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadenin tanımsızlık şartını belirleme
Payda olan x2−ax+16x^2 - ax + 16 ifadesini sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
Rasyonel fonksiyonlar paydaları sıfır olduğunda tanımsız olurlar.
2
Tanım kümesindeki tekil tanımsız elemanı yorumlama
Paydanın yalnızca bir tane gerçek kökü vardır. Bu kök x=bx = b değeridir.
En geniş tanım kümesi R−{b}\mathbb{R} - \{b\} olarak verilmiştir, bu da paydayı sıfır yapan yalnızca bir gerçek sayı olduğunu gösterir.
3
İkinci dereceden denklemin diskriminantını sıfıra eşitleme
Δ=(−a)2−4⋅1⋅16=0\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 0 eşitliğinden a2−64=0a^2 - 64 = 0 bulunur.
İkinci dereceden bir denklemin tek kökünün olması için diskriminantının sıfıra eşit olması gerekir.
4
Pozitif aa değerini seçme
a=8a = 8 elde edilir.
Eşitlikten a=8a = 8 veya a=−8a = -8 gelir, bizden pozitif değer istendiği için 88 seçilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların paydasını sıfır yapan değerlerin tanım kümesinden çıkarılması ve tek kök durumunun diskriminant ile ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 27Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
(f+g)(x)=x2+3x(f + g)(x) = x^2 + 3x
(f−g)(x)=x2−x(f - g)(x) = x^2 - x
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, g(5)g(5) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Verilen fonksiyonlarda x=5x = 5 yazıldığında f(5)+g(5)=40f(5) + g(5) = 40 ve f(5)−g(5)=20f(5) - g(5) = 20 eşitlikleri elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarıldığında 2g(5)=202g(5) = 20 bulunur ve buradan g(5)=10g(5) = 10 olarak elde edilir. Dolayısıyla doğru cevap 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonlarda dört işlem tanımından yararlanarak, verilen eşitliklerde x=5x = 5 yazılır.
f(5)+g(5)=52+3(5)=40f(5) + g(5) = 5^2 + 3(5) = 40 ve f(5)−g(5)=52−5=20f(5) - g(5) = 5^2 - 5 = 20 elde edilir.
g(5)g(5) değerini bulabilmek için fonksiyonların 55 noktasındaki değerlerini veren bir denklem sistemi kurmak gerekir.
2
Elde edilen f(5)+g(5)=40f(5) + g(5) = 40 denkleminden f(5)−g(5)=20f(5) - g(5) = 20 denklemi taraf tarafa çıkarılır.
[f(5)+g(5)]−[f(5)−g(5)]=40−20  ⟹  2g(5)=20[f(5) + g(5)] - [f(5) - g(5)] = 40 - 20 \implies 2g(5) = 20 elde edilir.
f(5)f(5) bilinmeyenini yok ederek doğrudan g(5)g(5) değerine ulaşmak amaçlanır.
3
Elde edilen denklemde her iki taraf 22'ye bölünür.
g(5)=10g(5) = 10 bulunur.
g(5)g(5) değerini yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma işlemleri ile değer bulma
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 28Soru →
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
A=R−{a}A = \mathbb{R} - \{a\}
B=R−{b}B = \mathbb{R} - \{b\}
kümeleri tanımlanıyor.
f:A→Bf: A \rightarrow B tanımlı
f(x)=3x−52x−4f(x) = \frac{3x - 5}{2x - 4}
fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, a⋅f(b)a \cdot f(b) çarpımının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Doğru cevap 1'dir. Rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan değer tanım kümesinden çıkarılan a=2a = 2 değeridir. Fonksiyonun değer kümesinden çıkarılan değer ise yatay asimptotu olan b=32b = \frac{3}{2} değeridir. bb değeri fonksiyonda yerine yazıldığında f(32)=12f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} elde edilir. Bu iki değerin çarpılmasıyla a⋅f(b)=2⋅12=1a \cdot f(b) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tanım kümesini belirlemek için paydayı sıfır yapan değeri buluruz.
2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 olduğundan a=2a = 2 olur. Böylece tanım kümesi A=R−{2}A = \mathbb{R} - \{2\} şeklindedir.
Rasyonel bir ifadenin tanımlı olabilmesi için paydasının sıfır olmaması gerekir. Bu yüzden paydayı sıfır yapan x=2x = 2 değeri tanım kümesinden çıkarılmıştır.
2
Fonksiyonun bire bir ve örten olmasından faydalanarak değer kümesini (görüntü kümesini) buluruz.
y=3x−52x−4y = \frac{3x - 5}{2x - 4} ifadesinde xx yalnız bırakılırsa x=4y−52y−3x = \frac{4y - 5}{2y - 3} elde edilir. Buradan paydayı sıfır yapan y=32y = \frac{3}{2} değeri görüntü kümesinde yer alamaz. Dolayısıyla b=32b = \frac{3}{2} olur ve değer kümesi B=R−{32}B = \mathbb{R} - \{\frac{3}{2}\} olarak bulunur.
Bire bir ve örten fonksiyonlarda değer kümesi görüntü kümesine eşittir. Fonksiyonun tersinin paydasını sıfır yapan değer, fonksiyonun alamayacağı değerdir.
3
Elde edilen b=32b = \frac{3}{2} değerini fonksiyonda yerine yazarak f(b)f(b) değerini hesaplarız.
f(32)=3(32)−52(32)−4=92−53−4=−12−1=12f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3\left(\frac{3}{2}\right) - 5}{2\left(\frac{3}{2}\right) - 4} = \frac{\frac{9}{2} - 5}{3 - 4} = \frac{-\frac{1}{2}}{-1} = \frac{1}{2} bulunur.
Çarpımda kullanılacak olan f(b)f(b) değerini elde etmek için xx yerine b=32b = \frac{3}{2} yazılması gerekir.
4
aa ve f(b)f(b) değerlerini çarparak sonuca ulaşırız.
a⋅f(b)=2⋅12=1a \cdot f(b) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 elde edilir.
Soru kökünde bizden istenen işlem aa ile f(b)f(b) değerlerinin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların bire bir ve örtenlik koşulları altında tanım ve değer kümelerinin belirlenmesi
Soru 29Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={x+3,x<1 ise−(x−3)2+a,x≥1 isef(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 1 \text{ ise} \\ -(x-3)^2 + a, & x \geq 1 \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

(f∘f)(x)=a(f \circ f)(x) = a eşitliğini sağlayan yalnızca 3 farklı xx gerçel sayısı olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Doğru yanıt 22'dir. f(f(x))=af(f(x)) = a denkleminin 3 farklı kökü olması için 4≤a≤74 \leq a \leq 7 olmalıdır. Bu aralıktaki aa tam sayıları 4,5,6,74, 5, 6, 7 olup toplamları 2222'dir.
Doğru yanıt olan 22 değeri, f(f(x))=af(f(x)) = a denkleminin 3 farklı gerçel kökü olmasını sağlayan 4≤a≤74 \leq a \leq 7 koşulundaki 4,5,6,74, 5, 6, 7 tam sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak denklemi düzenleme
f(f(x))=af(f(x)) = a denklemi elde edilir. Burada f(x)=yf(x) = y dönüşümü yapılarak öncelikle f(y)=af(y) = a denklemi çözülür.
Bileşke fonksiyon işlemlerini adım adım çözmek amacıyla içteki ifadeye yeni bir değişken atanır.
2
f(y)=af(y) = a denkleminin köklerini parçalı tanıma göre bulma
y<1y < 1 için y+3=a  ⟹  y=a−3y + 3 = a \implies y = a - 3 (bu kökün geçerli olması için a<4a < 4 olmalı). y≥1y \geq 1 için −(y−3)2+a=a  ⟹  (y−3)2=0  ⟹  y=3-(y-3)^2 + a = a \implies (y-3)^2 = 0 \implies y = 3 (daima geçerli çünkü 3≥13 \geq 1).
Değişkenin tanım aralıklarına göre hangi koşullarda kök oluşturabileceği incelenir.
3
aa parametresinin durumlarına göre kök sayılarını analiz etme
a≥4a \geq 4 durumunda tek geçerli ara değer y=3y = 3 olur. f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözümü: x<1  ⟹  x=0x < 1 \implies x = 0 (1 kök) ve x≥1  ⟹  −(x−3)2+a=3  ⟹  (x−3)2=a−3x \geq 1 \implies -(x-3)^2 + a = 3 \implies (x-3)^2 = a - 3. Bu ikinci kısmın iki farklı gerçel kökü olması ve köklerin ≥1\geq 1 kalması için 3−a−3≥1  ⟹  a≤73 - \sqrt{a-3} \geq 1 \implies a \leq 7 olmalıdır. Dolayısıyla 4≤a≤74 \leq a \leq 7 aralığında toplamda 3 kök (x1=0x_1 = 0, x2=3−a−3x_2 = 3 - \sqrt{a-3}, x3=3+a−3x_3 = 3 + \sqrt{a-3}) elde edilir. a<4a < 4 durumunda ise y=a−3y = a-3 ve y=3y = 3 olmak üzere iki farklı değer oluşur ve toplam kök sayısı 3'ten farklı olur.
Köklerin tanım kümelerine uygunluğunu denetleyerek tam olarak 3 kök sağlayan aralık belirlenir.
4
aa tam sayılarının toplamını hesaplama
aa tam sayısı 4,5,6,74, 5, 6, 7 değerlerini alabilir. Toplamları 4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22 olur.
Koşulu sağlayan tüm tam sayılar toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü
Soru 30Soru →

f:Z+→Zf: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z} olmak üzere, f(x)=2x−3x−1f(x) = \frac{2x - 3}{x - 1} bağıntısı bir fonksiyondur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Tanım kümesinde bulunan x=1x = 1 elemanı için bağıntı tanımsızdır ve tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için fonksiyon belirtmez.
Verilen bağıntıda tanım kümesinde yer alan x=1x = 1 elemanı için payda sıfır olmakta ve tanımsızlık oluşmaktadır. Tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü bulunmadığı için bağıntı fonksiyon belirtmez.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım ve değer kümelerini belirleyin.
Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi (Z+={1,2,3,… }\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}), değer kümesi ise tam sayılar kümesidir (Z\mathbb{Z}).
Bağıntının fonksiyon olup olmadığını incelemek için öncelikle tanım kümesindeki elemanların durumunu belirlemek gerekir.
2
Rasyonel ifadeyi tanımsız yapan değerleri tespit edin.
Paydayı sıfır yapan değer x−1=0  ⟹  x=1x - 1 = 0 \implies x = 1 değeridir.
Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olduğunda ifade gerçek sayılarda tanımsız olur.
3
Tanımsız yapan değerin tanım kümesinde bulunup bulunmadığını ve fonksiyon şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=1x = 1 değeri tanım kümesinin (Z+\mathbb{Z}^+) bir elemanıdır. Bu eleman için bağıntı tanımsız olduğundan değer kümesinde bir görüntüsü yoktur. Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığından bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
Fonksiyon olma şartına göre tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde mutlaka bir ve yalnız bir görüntüsü bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Fonksiyon Olma Şartı ve Tanım Kümesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 31Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff birim fonksiyon ve gg sabit fonksiyondur.

f(5)+g(3)=12f(5) + g(3) = 12

olduğuna göre, g(7)g(7) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7'dir.
Birim fonksiyon tanımından f(5)=5f(5) = 5 elde edilir. Bu değer f(5)+g(3)=12f(5) + g(3) = 12 eşitliğinde yerine yazıldığında g(3)=7g(3) = 7 bulunur. Sabit fonksiyonun tüm değerleri birbirine eşit olduğundan, g(7)g(7) değeri de g(3)g(3) değerine eşit olup 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim fonksiyon tanımını uygulama
f(5)=5f(5) = 5
Birim fonksiyon tanım gereği her elemanı kendisine eşler, yani f(x)=xf(x) = x şeklindedir.
2
Sabit fonksiyonun değerini bulma
g(3)=7g(3) = 7
f(5)+g(3)=12f(5) + g(3) = 12 denkleminde f(5)f(5) yerine 55 yazıldığında 5+g(3)=125 + g(3) = 12 elde edilir ve buradan g(3)=7g(3) = 7 bulunur.
3
Sabit fonksiyon özelliğinden istenen değeri belirleme
g(7)=7g(7) = 7
Sabit fonksiyon tanım kümesindeki tüm elemanları aynı sabit sayıya götürür, dolayısıyla g(3)=7g(3) = 7 ise her xx için g(x)=7g(x) = 7 olur ve g(7)=7g(7) = 7 elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim ve Sabit Fonksiyon Tanımları
Soru 32Soru →
Tanım ve değer kümeleri gerçel sayıların alt kümeleri olan
f(x)=(3−a)x+7f(x) = (3 - a)x + 7
fonksiyonu f:[2,∞)→(−∞,3]f: [2, \infty) \rightarrow (-\infty, 3] biçiminde tanımlanıyor.
ff fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Bir doğrusal fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten olabilmesi için fonksiyonun bu aralıkta sürekli artan ya da sürekli azalan olması gerekir. Değer kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olarak verildiği için fonksiyonun azalan olması zorunludur. Dolayısıyla eğim negatif olmalıdır: 3−a<0  ⟹  a>33 - a < 0 \implies a > 3. Azalan bir fonksiyonun [2,∞)[2, \infty) aralığındaki en büyük değeri tanım kümesinin başlangıç noktası olan x=2x = 2 için gerçekleşir. Fonksiyonun örten olması için bu en büyük değerin değer kümesinin üst sınırı olan 3'e eşit olması gerekir. Buradan f(2)=3f(2) = 3 eşitliği elde edilir. Fonksiyon kuralında x=2x = 2 yazılarak (3−a)⋅2+7=3(3 - a) \cdot 2 + 7 = 3 denklemi çözüldüğünde a=5a = 5 bulunur. 5 değeri a>3a > 3 şartını sağladığından doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu belirleme
3−a<0  ⟹  a>33 - a < 0 \implies a > 3
Değer kümesi (−∞,3](-\infty, 3] biçiminde yukarıdan sınırlı ve aşağıdan sınırsız olduğu için doğrusal fonksiyonun azalan olması gerekir. Bu nedenle eğim (x'in katsayısı) negatif olmalıdır.
2
Örtenlik şartını kullanarak sınır değerini eşitleme
f(2)=3f(2) = 3
Azalan bir fonksiyon, [2,∞)[2, \infty) aralığında en büyük değerini sol uç nokta olan x=2x = 2 noktasında alır. Fonksiyonun değer kümesini tamamen örtebilmesi için bu en büyük değer, değer kümesinin üst sınırı olan 3'e eşit olmalıdır.
3
Elde edilen denklemi çözerek a de��erini bulma
a=5a = 5
f(2)=(3−a)⋅2+7=3  ⟹  6−2a+7=3  ⟹  13−2a=3  ⟹  2a=10  ⟹  a=5f(2) = (3 - a) \cdot 2 + 7 = 3 \implies 6 - 2a + 7 = 3 \implies 13 - 2a = 3 \implies 2a = 10 \implies a = 5 işlemleri uygulanır. Bulunan 5 değeri a>3a > 3 şartını sağladığı için geçerlidir.

Anahtar Kavram

Doğrusal fonksiyonların belirli aralıklarda bire bir ve örtenlik koşulları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →

Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x+a,x c¸ift isex+b,x tek isef(x) = \begin{cases} x + a, & x \text{ çift ise} \\ x + b, & x \text{ tek ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere, ff fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ba + b çift sayıdır.

Cevap

İki parametrenin toplamının çift sayı olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.
Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tanım kümesindeki tek ve çift sayıların görüntülerinin çakışmaması ve değer kümesindeki tüm tam sayıları kapsaması gerekir. Bu durum, parametrelerin her ikisinin de çift ya da her ikisinin de tek olmasını gerektirir. Aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki tam sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, iki parametrenin toplamının çift sayı olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki elemanların tek ve çift olma durumlarına göre görüntü kümesini gruplandırmak.
Girdi olarak çift sayılar (x=2kx = 2k) seçildiğinde görüntüler E=2k+aE = 2k + a kümesini, tek sayılar (x=2k+1x = 2k+1) seçildiğinde ise görüntüler O=2k+1+bO = 2k + 1 + b kümesini oluşturur.
Parçalı tanımlanmış fonksiyonun farklı girdiler altında ürettiği çıktıların yapısını incelemek gerekir.
2
Bire bir ve örtenlik koşulunu görüntü kümeleri üzerinden analiz etmek.
Fonksiyonun bire bir ve örten olması için çift sayıların görüntülerinin kümesi (EE) ile tek sayıların görüntülerinin kümesi (OO) ayrık olmalı (E∩O=∅E \cap O = \emptyset) ve birleşimleri tüm tam sayılar kümesini vermelidir (E∪O=ZE \cup O = \mathbb{Z}).
Değer kümesindeki her elemanın yalnızca bir kez eşle��mesi (bire birlik) ve açıkta eleman kalmaması (örtenlik) bu iki kümenin tam sayıları tam olarak bölüşmesini gerektirir.
3
aa ve bb parametrelerinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
aa ve bb tam sayılarının her ikisinin de çift ya da her ikisinin de tek olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Yani aa ve bb aynı pariteye sahiptir.
Eğer aa çift ise EE kümesi çift sayılardan oluşur ve bu durumda OO kümesi tek sayılardan oluşmalıdır (bu da bb'nin çift olmasını gerektirir). Eğer aa tek ise EE kümesi tek sayılardan oluşur ve bu durumda OO kümesi çift sayılardan oluşmalıdır (bu da bb'nin tek olmasını gerektirir).
4
Bulunan sonuca göre aa ve bb arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini toplama işlemine uygulamak.
Aynı pariteye sahip (her ikisi de çift veya her ikisi de tek) iki tam sayının toplamı (a+ba + b) her zaman çift bir sayıdır.
Çift + Çift = Çift ve Tek + Tek = Çift temel aritmetik kurallarından dolayı bu toplam her zaman çifttir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda tanım ve değer kümelerine göre bire birlik ve örtenlik analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 34Soru →
Gerçek sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı
f(x)=a−∣x−2∣+∣x−2∣−bf(x) = \sqrt{a - |x - 2|} + \sqrt{|x - 2| - b}
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Tanım kümesinin [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] olarak verilmesi, köklerin tanımlı olma şartından gelen b≤∣x−2∣≤ab \leq |x - 2| \leq a eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [2−a,2−b]∪[2+b,2+a][2 - a, 2 - b] \cup [2 + b, 2 + a] ifadesiyle örtüşmektedir. Buradan 2−a=−2  ⟹  a=42 - a = -2 \implies a = 4 ve 2−b=1  ⟹  b=12 - b = 1 \implies b = 1 elde edilir. Bu değerler diğer sınırları da (2+1=32 + 1 = 3 ve 2+4=62 + 4 = 6) sağladığından tutarlıdır. Dolayısıyla a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin gerçek sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için kök içlerinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği kuralını uygulayın.
a−∣x−2∣≥0  ⟹  ∣x−2∣≤aa - |x - 2| \geq 0 \implies |x - 2| \leq a ve ∣x−2∣−b≥0  ⟹  ∣x−2∣≥b|x - 2| - b \geq 0 \implies |x - 2| \geq b
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi negatif olamaz.
2
Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek mutlak değerli ifade için ortak bir aralık belirleyin.
b≤∣x−2∣≤ab \leq |x - 2| \leq a
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki köklü ifadenin de eş zamanlı olarak tanımlı olması gerekir.
3
Verilen tanım kümesi iki ayrık aralığın birleşimi ([−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6]) olduğundan, b>0b > 0 olması gerektiğini tespit edin ve eşitsizliği iki durum halinde çözün.
Durum 1 (x−2≥0x - 2 \geq 0): b≤x−2≤a  ⟹  2+b≤x≤2+ab \leq x - 2 \leq a \implies 2 + b \leq x \leq 2 + a
Durum 2 (x−2<0x - 2 < 0): b≤−(x−2)≤a  ⟹  −a≤x−2≤−b  ⟹  2−a≤x≤2−bb \leq -(x - 2) \leq a \implies -a \leq x - 2 \leq -b \implies 2 - a \leq x \leq 2 - b
Birleşik Çözüm Kümesi: [2−a,2−b]∪[2+b,2+a][2 - a, 2 - b] \cup [2 + b, 2 + a]
Mutlak değerli bir ifadenin pozitif iki sınır arasında kalması durumunda, ifadenin kendisi de bu sınırların pozitif ve negatif değerleri arasında yer alır.
4
Bulunan genel çözüm kümesini soruda verilen [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] tanım kümesi ile eşleştirerek aa ve bb değerlerini hesaplayın.
2−a=−2  ⟹  a=42 - a = -2 \implies a = 4
2−b=1  ⟹  b=12 - b = 1 \implies b = 1
2+b=3  ⟹  b=12 + b = 3 \implies b = 1
2+a=6  ⟹  a=42 + a = 6 \implies a = 4
Buradan a=4a = 4 ve b=1b = 1 olarak elde edilir.
Elde edilen genel aralık sınırlarının, verilen tanım kümesinin sınır değerleriyle birebir uyuşması zorunludur.
5
Bulunan aa ve bb değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.
a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5
Soruda bizden istenen a+ba + b toplamıdır.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerin tanımlı olma şartı ve mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümelerinin analizi
Soru 35Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff doğrusal fonksiyon, gg sabit fonksiyon ve hh birim fonksiyondur.

Her xx gerçek sayısı için,
f(h(x)+g(x))=4x−f(1)f(h(x) + g(x)) = 4x - f(1)
(f∘g)(x)−(g∘f)(x)=4(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f(a)=g(a)f(a) = g(a) eşitliğini sağlayan aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Doğrusal fonksiyonun kuralı f(x)=4x−14f(x) = 4x - 14 ve sabit fonksiyonun kuralı g(x)=6g(x) = 6 olarak elde edilir. Buradan f(a)=g(a)f(a) = g(a) eşitliği kurulduğunda 4a−14=64a - 14 = 6 denklemi çözülerek a=5a = 5 sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların genel kurallarını cebirsel olarak tanımlayın.
h(x)=xh(x) = x, g(x)=cg(x) = c ve f(x)=mx+nf(x) = mx + n eşitlikleri kurulmuştur.
Fonksiyonların özelliklerini cebirsel denklemlere dönüştürmek için.
2
İlk fonksiyonda verilen kuralları yerine koyarak mm katsayısını belirleyin ve cc ile nn arasında birinci bağıntıyı kurun.
m=4m = 4 ve 2c+n=−22c + n = -2 bağıntısı bulunmuştur.
Her xx gerçek sayısı için geçerli olan polinom eşitliğini kullanmak için.
3
Bileşke fonksiyon tanımlarını uygulayarak ikinci eşitlikten yeni bir bağıntı üretin.
3c+n=43c + n = 4 bağıntısı elde edilmiştir.
Sabit fonksiyonun bileşkeye etkisini ve doğrusal fonksiyonun kuralını birleştirmek için.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek fonksiyonları netleştirin.
c=6c = 6, n=−14n = -14 bulunarak f(x)=4x−14f(x) = 4x - 14 ve g(x)=6g(x) = 6 kurallarına ulaşılmıştır.
Fonksiyonların kurallarını eksiksiz tanımlamak için.
5
f(a)=g(a)f(a) = g(a) denklemini kurarak bilinmeyen aa değerini hesaplayın.
a=5a = 5 bulunmuştur.
Soruda hedeflenen eşitliği sağlayan gerçek sayıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların kurallarının belirlenmesi ve bileşke fonksiyon cebiri
Soru 36Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu bir çift fonksiyondur.

f(x)=(a−2)x3+4x2+(b+3)x+a⋅bf(x) = (a-2)x^3 + 4x^2 + (b+3)x + a \cdot b

olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Doğru cevap -2'dir.
Polinom biçiminde tanımlanmış bir fonksiyonun çift fonksiyon olabilmesi için tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Bu nedenle x3x^3 teriminin katsayısı a−2=0⇒a=2a-2=0 \Rightarrow a=2 ve xx teriminin katsayısı b+3=0⇒b=−3b+3=0 \Rightarrow b=-3 olmalıdır. Değerler yerine yazıldığında fonksiyon f(x)=4x2−6f(x) = 4x^2 - 6 olarak bulunur. Burada x=1x=1 yazılırsa f(1)=4(1)2−6=−2f(1) = 4(1)^2 - 6 = -2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek dereceli terimlerin katsayılarını sıfıra eşitlemek
a−2=0⇒a=2a-2=0 \Rightarrow a=2 ve b+3=0⇒b=−3b+3=0 \Rightarrow b=-3
Bir fonksiyonun çift fonksiyon olabilmesi için kuralındaki tek dereceli terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekir.
2
aa ve bb değerlerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyon kuralını düzenlemek
f(x)=4x2−6f(x) = 4x^2 - 6
Elde edilen katsayılar fonksiyon denkleminde yerine yazılır ve sabit terim a⋅b=2⋅(−3)=−6a \cdot b = 2 \cdot (-3) = -6 olarak hesaplanır.
3
Düzenlenen fonksiyonda x=1x=1 değerini hesaplamak
f(1)=4(1)2−6=−2f(1) = 4(1)^2 - 6 = -2
Fonksiyonun kuralında xx yerine 11 yazılarak istenen değer elde edilir.

Anahtar Kavram

Çift fonksiyonlarda tek dereceli terimlerin katsayıları sıfırdır.
Soru 37Soru →
aa bir tam sayı olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(n)=a⋅n+(−1)nf(n) = a \cdot n + (-1)^n
fonksiyonu veriliyor.

ff fonksiyonu bire bir olduğuna göre,

I. aa sayısı 2 olamaz.
II. ff fonksiyonunun örten olması için aa sayısının alabileceği 2 farklı değer vardır.
III. a=3a = 3 için ff fonksiyonunun görüntü kümesinde 3 ile kalansız bölünebilen en az bir tam sayı bulunur.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II öncüllerinin doğru olduğunu belirten seçenek
Doğru seçenek olan I ve II öncüllerini içeren şık doğrudur. Çünkü a=2a=2 değeri için fonksiyonun farklı iki noktada aynı değeri alması bire birliği bozduğundan aa sayısı 2 olamaz. Fonksiyonun örtenliği ise tanım kümesindeki tam sayı yapısından dolayı parametrenin yalnızca 11 veya −1-1 olmasına bağlıdır. a=3a=3 için fonksiyon çıktılarının 3 ile bölümünden kalanlar asla 0 olamayacağı için görüntü kümesinde 3 ile bölünen eleman bulunmaz.

Adım Adım Çözüm

1
Bire birlik tanımını kullanarak birinci öncülün (a≠2a \neq 2) analizi
a=2a = 2 için fonksiyon f(n)=2n+(−1)nf(n) = 2n + (-1)^n hâlini alır. Bu durumda f(0)=2(0)+(−1)0=1f(0) = 2(0) + (-1)^0 = 1 ve f(1)=2(1)+(−1)1=2−1=1f(1) = 2(1) + (-1)^1 = 2 - 1 = 1 elde edilir. Farklı iki girdi (0≠10 \neq 1) aynı çıktıya (11) gittiğinden fonksiyon bire bir olamaz. Dolayısıyla bire bir olan bu fonksiyonda aa sayısı 2 olamaz, birinci öncül doğrudur.
Fonksiyonun bire bir olması, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmesini gerektirir.
2
Örtenlik tanımını kullanarak ikinci öncülün analizi
Görüntü kümesinin tüm tam sayılar kümesini kaplaması için ∣a∣≤1|a| \le 1 olmalıdır. Eğer ∣a∣>1|a| > 1 (örneğin a≥2a \ge 2 veya a≤−2a \le -2) olursa, ardışık çift ve tek girdilerin ürettiği çıktılar arasındaki fark çok büyüyecek ve arada kalan tam sayılar örtülemeyecektir. a=0a = 0 için f(n)=(−1)nf(n) = (-1)^n olur ve sadece {−1,1}\{-1, 1\} kümesini örter. a=1a = 1 için f(n)=n+(−1)nf(n) = n + (-1)^n ve a=−1a = -1 için f(n)=−n+(−1)nf(n) = -n + (-1)^n fonksiyonları bire bir ve örtendir. Dolayısıyla aa sayısı 11 veya −1-1 olmak üzere tam olarak 2 farklı değer alabilir, ikinci öncül doğrudur.
Örten fonksiyonlarda değer kümesinde (tam sayılar) eşleşmemiş eleman kalmamalıdır. Katsayının büyümesi adımlar arasındaki mesafeyi açarak örtenliği bozar.
3
Modüler aritmetik kullanarak üçüncü öncülün analizi
a=3a = 3 için fonksiyon f(n)=3n+(−1)nf(n) = 3n + (-1)^n olur. Bu ifadenin 3 ile bölümünden kalanı (mod 3 altındaki durumunu) inceleyelim: f(n)≡3n+(−1)n≡(−1)n(mod3)f(n) \equiv 3n + (-1)^n \equiv (-1)^n \pmod 3 elde edilir. nn çift ise f(n)≡1(mod3)f(n) \equiv 1 \pmod 3, nn tek ise f(n)≡−1≡2(mod3)f(n) \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3 olur. Çıktıların kalanları hiçbir zaman 0 olamayacağından, görüntü kümesinde 3'e tam bölünen hiçbir sayı bulunmaz, üçüncü öncül yanlıştır.
Görüntü kümesindeki elemanların bölünebilme özelliklerini incelemek için modüler aritmetik analizi en doğrudan yoldur.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tanımlı fonksiyonlarda katsayı ve terim değişimlerine göre bire birlik ile örtenlik durumlarının incelenmesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 38Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi üzerinde tanımlı f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

f(1)+f(2)=5f(3)+f(4)=9f(1)⋅f(3)=6\begin{aligned} &f(1) + f(2) = 5 \\ &f(3) + f(4) = 9 \\ &f(1) \cdot f(3) = 6 \end{aligned}

olduğuna göre, f(5)+f(6)f(5) + f(6) toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Fonksiyonun bire bir ve örten olmasından yola çıkarak f(5)+f(6)f(5) + f(6) toplamının değeri 7 olmalıdır.
Fonksiyonun bire bir ve örten olması, değer kümesindeki her bir elemanın tanım kümesindeki yalnızca bir elemanla eşleşmesini gerektirir. Verilen denklemler çözüldüğünde f(1)=1f(1) = 1, f(2)=4f(2) = 4, f(3)=6f(3) = 6 ve f(4)=3f(4) = 3 değerleri tek bir biçimde elde edilir. Değer kümesinde geriye kalan {2,5}\{2, 5\} elemanları ise f(5)f(5) ve f(6)f(6) ile eşleşmek zorundadır. Bu nedenle, hangi eşleşme yapılırsa yapılsın bu iki değerin toplamı her zaman 7 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)⋅f(3)=6f(1) \cdot f(3) = 6 denklemini sağlayan AA kümesi elemanlarını belirlemek.
Çarpımları 6 olan iki farklı eleman çifti {1,6}\{1, 6\} veya {2,3}\{2, 3\} olabilir.
ff fonksiyonunun değerleri A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinden seçilmelidir.
2
Bulunan çarpım alternatiflerini f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5 ve f(3)+f(4)=9f(3) + f(4) = 9 denklemlerinde test ederek çelişki oluşturmayan durumu bulmak.
Eğer f(1)=2f(1) = 2 ve f(3)=3f(3) = 3 seçilirse, f(2)=3f(2) = 3 olur. Ancak ff bire bir olduğundan f(2)≠f(3)f(2) \neq f(3) olmalıdır, bu durum çelişki yarat��r. Benzer şekilde f(1)=3f(1) = 3 ve f(3)=2f(3) = 2 durumu da f(2)=2=f(3)f(2) = 2 = f(3) çelişkisine yol açar. Eğer f(1)=6f(1) = 6 ve f(3)=1f(3) = 1 seçilirse, f(2)=−1f(2) = -1 olur, ancak −1∉A-1 \notin A'dır. Dolayısıyla tek geçerli durum f(1)=1f(1) = 1 ve f(3)=6f(3) = 6 olmasıdır.
Fonksiyonun bire bir ve örten olması, her bir tanım kümesi elemanının değer kümesindeki farklı bir elemanla eşleşmesini gerektirir.
3
Geçerli duruma göre diğer fonksiyon değerlerini ve kalan elemanları hesaplamak.
f(1)=1f(1) = 1 ve f(3)=6f(3) = 6 ise; f(2)=5−1=4f(2) = 5 - 1 = 4 ve f(4)=9−6=3f(4) = 9 - 6 = 3 olur. Eşleşen değerler kümesi {1,3,4,6}\{1, 3, 4, 6\} olarak bulunur. ff fonksiyonu örten olduğundan, tanım kümesindeki 55 ve 66 elemanları, değer kümesindeki henüz eşleşmemiş olan {2,5}\{2, 5\} elemanları ile eşleşmelidir. Bu durumda {f(5),f(6)}={2,5}\{f(5), f(6)\} = \{2, 5\} olur ve toplamları 2+5=72 + 5 = 7 olarak bulunur.
Örtenlik tanımı gereği değer kümesindeki her elemanın en az bir kez eşleşmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Sonlu kümelerde tanımlı bire bir ve örten fonksiyonların özellikleri ve değer eşlemesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 39Soru →

Tanım kümesi A=(−∞,2]A = (-\infty, 2] olan bire bir ve örten f:A→[1,∞)f: A \rightarrow [1, \infty) fonksiyonu

f(x)=x2−4x+13−2f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 13} - 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun tersi olan f−1(x)f^{-1}(x) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2−x2+4x−52 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}

Cevap

2−x2+4x−52 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}
Ters fonksiyon kuralını bulmak için y=f(x)y = f(x) denkleminde xx yalnız bırakılır. (x−2)2(x-2)^2 ifadesini yalnız bıraktıktan sonra her iki tarafın karekökü alınırken tanım kümesi kısıtı olan x≤2x \le 2 eşitsizliğine dikkat edilmelidir. x−2≤0x-2 \le 0 olduğu için karekökün sonucu −(x−2)-(x-2) olur. Buradan xx yalnız bırakıldığında doğru kural elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon kuralında karekökün içerisindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
x2−4x+13=x2−4x+4+9=(x−2)2+9x^2 - 4x + 13 = x^2 - 4x + 4 + 9 = (x - 2)^2 + 9 elde edilir. Böylece fonksiyon f(x)=(x−2)2+9−2f(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} - 2 şeklinde yazılabilir.
Fonksiyonda xx değişkenini yalnız b��rakabilmek için ifadeyi tam kare biçiminde yazmamız gerekir.
2
y=f(x)y = f(x) diyerek xx'i yy cinsinden yalnız bırakmaya çalışalım.
y=(x−2)2+9−2  ⟹  y+2=(x−2)2+9y = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} - 2 \implies y + 2 = \sqrt{(x - 2)^2 + 9}
Ters fonksiyonu bulmanın temel adımı y=f(x)y = f(x) eşitliğinden x=f−1(y)x = f^{-1}(y) ilişkisini elde etmektir.
3
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım ve xx terimini yalnız bırakalım.
(y+2)2=(x−2)2+9  ⟹  (x−2)2=(y+2)2−9  ⟹  (x−2)2=y2+4y−5(y + 2)^2 = (x - 2)^2 + 9 \implies (x - 2)^2 = (y + 2)^2 - 9 \implies (x - 2)^2 = y^2 + 4y - 5
Karekök ifadesinden kurtulmak ve xx'in karesel terimini yalnız bırakmak için iki tarafın da karesi alınır.
4
Her iki tarafın karekökünü alırken tanım kümesi sınırını göz önünde bulunduralım.
Tanım kümesi A=(−∞,2]A = (-\infty, 2] olduğu için x≤2  ⟹  x−2≤0x \le 2 \implies x - 2 \le 0 olur. Dolayısıyla, (x−2)2=∣x−2∣=−(x−2)\sqrt{(x-2)^2} = |x-2| = -(x-2) olarak çıkar. Buradan −(x−2)=y2+4y−5  ⟹  x−2=−y2+4y−5-(x-2) = \sqrt{y^2 + 4y - 5} \implies x - 2 = -\sqrt{y^2 + 4y - 5} elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken, değişkenin tanım aralığına göre mutlak değerin işaretine dikkat edilmelidir.
5
xx'i tamamen yalnız bırakıp ters fonksiyon kuralını yazalım.
x=2−y2+4y−5  ⟹  f−1(x)=2−x2+4x−5x = 2 - \sqrt{y^2 + 4y - 5} \implies f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}
Yalnız bırakılan xx değişkeni f−1(y)f^{-1}(y) ifadesine eşittir. Son adımda değişkenler yer değiştirilerek fonksiyonun tersinin kuralı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin bulunması ve tanım kümesi kısıtlamaları
Soru 40Soru →
Gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesinde tanımlı
f(x)=x−1+35−xf(x) = \sqrt{x - 1} + \frac{3}{5 - x}
fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların kümesi AA olarak belirleniyor.

Buna göre, AA kümesinin en küçük 5 elemanının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

En küçük 5 elemanın toplamı 16'dır.
Fonksiyonun tanımlı olması için kareköklü ifadenin içi negatif olmamalıdır (x≥1x \geq 1) ve rasyonel ifadenin paydası sıfırdan farklı olmalıdır (x≠5x \neq 5). Bu iki koşulun kesişimiyle tanım kümesindeki en küçük 5 tam sayı 1, 2, 3, 4 ve 6 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı ise 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme
x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1
Gerçek sayılar kümesinde çift dereceden köklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifade sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
2
Rasyonel ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme
5−x≠0  ⟹  x≠55 - x \neq 0 \implies x \neq 5
Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olamaz, aksi takdirde ifade tanımsız olur.
3
Tanım kümesindeki tam sayıları listeleme
A={1,2,3,4,6,7,8,… }A = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, \dots\}
Bulunan iki koşulu (x≥1x \geq 1 ve x≠5x \neq 5) sağlayan tam sayıları belirlemek gerekir.
4
En küçük 5 tam sayının toplamını hesaplama
1+2+3+4+6=161 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
İstenen en küçük 5 elemanın toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için kareköklü ifadelerin içinin negatif olmaması ve rasyonel ifadelerin paydalarının sıfır olmaması koşulları birlikte incelenir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 8Sonraki
Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin