Examkin

Fonksiyonlar

141 soru

Tüm türler141Çoktan seçmeli95Doğru / Yanlış7Sayısal39
Soru 61Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından ff tek, gg çift fonksiyondur.

Buna göre,

I. h(x)=(g∘f)(x)h(x) = (g \circ f)(x) fonksiyonu tek fonksiyondur.

II. k(x)=x⋅f(x)+g(x)k(x) = x \cdot f(x) + g(x) fonksiyonu çift fonksiyondur.

III. r(x)=f(x)⋅g(x)+x3r(x) = f(x) \cdot g(x) + x^3 fonksiyonu tek fonksiyondur.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
Doğru olan seçenek, ikinci öncüldeki fonksiyonun çift ve üçüncü öncüldeki fonksiyonun tek olduğunu belirten seçenektir. Çünkü her iki ifade de fonksiyonların teklik ve çiftlik tanımlarını ve değişkenin işaret değişimini tam olarak doğrulamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımları yazalım.
ff tek fonksiyon olduğundan her xx gerçel sayısı için f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) olur. gg çift fonksiyon olduğundan her xx gerçel sayısı için g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) olur.
Fonksiyonların teklik ve çiftlik özelliklerini cebirsel olarak kullanabilmek için.
2
I. öncülü inceleyelim: h(x)=(g∘f)(x)=g(f(x))h(x) = (g \circ f)(x) = g(f(x))
h(−x)=g(f(−x))=g(−f(x))h(-x) = g(f(-x)) = g(-f(x)) yazılır. gg çift fonksiyon olduğundan g(−f(x))=g(f(x))=h(x)g(-f(x)) = g(f(x)) = h(x) elde edilir. Dolayısıyla h(x)h(x) çift fonksiyondur. Bu durumda I. öncül yanlıştır.
Bileşke fonksiyonun teklik/çiftlik durumunu test etmek için.
3
II. öncülü inceleyelim: k(x)=x⋅f(x)+g(x)k(x) = x \cdot f(x) + g(x)
k(−x)=(−x)⋅f(−x)+g(−x)=(−x)⋅(−f(x))+g(x)=x⋅f(x)+g(x)=k(x)k(-x) = (-x) \cdot f(-x) + g(-x) = (-x) \cdot (-f(x)) + g(x) = x \cdot f(x) + g(x) = k(x) olur. Dolayısıyla k(x)k(x) çift fonksiyondur. Bu durumda II. öncül doğrudur.
Çarpım ve toplam biçimindeki fonksiyonların teklik/çiftliğini test etmek için.
4
III. öncülü inceleyelim: r(x)=f(x)⋅g(x)+x3r(x) = f(x) \cdot g(x) + x^3
r(−x)=f(−x)⋅g(−x)+(−x)3=(−f(x))⋅g(x)−x3=−(f(x)⋅g(x)+x3)=−r(x)r(-x) = f(-x) \cdot g(-x) + (-x)^3 = (-f(x)) \cdot g(x) - x^3 = -(f(x) \cdot g(x) + x^3) = -r(x) olur. Dolayısıyla r(x)r(x) tek fonksiyondur. Bu durumda III. öncül doğrudur.
Tek ve çift fonksiyonun çarpımı ile bir tek fonksiyonun toplamının teklik durumunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel özellikleri, bileşke, çarpım ve toplam işlemlerindeki simetri kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 62Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff çift fonksiyon, gg ise tek fonksiyondur. Her xx gerçel sayısı için,
f(x)−3⋅g(−x)=2x2−6x+4f(x) - 3 \cdot g(-x) = 2x^2 - 6x + 4
eşitliği sağlandığına göre, f(3)+g(3)f(3) + g(3) toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

f(3)+g(3)f(3) + g(3) toplamının değeri 16'dır.
Verilen f(x)−3g(−x)=2x2−6x+4f(x) - 3g(-x) = 2x^2 - 6x + 4 eşitliğinde g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) parite özelliği kullanılarak f(x)+3g(x)=2x2−6x+4f(x) + 3g(x) = 2x^2 - 6x + 4 denklemi elde edilir. Bu denklemde sırasıyla x=3x=3 ve x=−3x=-3 değerleri yazılıp f(−3)=f(3)f(-3)=f(3) ile g(−3)=−g(3)g(-3)=-g(3) özellikleri uygulandığında elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden f(3)=22f(3) = 22 ve g(3)=−6g(3) = -6 bulunur. Buradan da toplam 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde tek fonksiyon özelliğini uygulayarak denklemi sadeleştirmek.
f(x)+3g(x)=2x2−6x+4f(x) + 3g(x) = 2x^2 - 6x + 4 denklemi elde edilir.
gg tek fonksiyon olduğundan g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitliği geçerlidir.
2
Elde edilen denklemde x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) ve g(3)g(3) terimlerini içeren ilk denklemi bulmak.
f(3)+3g(3)=4f(3) + 3g(3) = 4 eşitliği elde edilir.
x=3x=3 için 2(3)2−6(3)+4=18−18+4=42(3)^2 - 6(3) + 4 = 18 - 18 + 4 = 4 olur.
3
Elde edilen denklemde x=−3x = -3 yazarak f(−3)f(-3) ve g(−3)g(-3) terimlerini içeren ikinci denklemi bulmak ve çift/tek fonksiyon özellikleri ile düzenlemek.
f(3)−3g(3)=40f(3) - 3g(3) = 40 eşitliği elde edilir.
x=−3x=-3 için 2(−3)2−6(−3)+4=402(-3)^2 - 6(-3) + 4 = 40 olur. Ayrıca ff çift olduğundan f(−3)=f(3)f(-3)=f(3) ve gg tek olduğundan g(−3)=−g(3)g(-3)=-g(3) eşitlikleri kullanılır.
4
Bulunan f(3)+3g(3)=4f(3) + 3g(3) = 4 ve f(3)−3g(3)=40f(3) - 3g(3) = 40 denklem sistemini çözerek f(3)f(3) ve g(3)g(3) değerlerini hesaplamak.
f(3)=22f(3) = 22 ve g(3)=−6g(3) = -6 olarak bulunur.
Denklemler taraf tarafa toplandığında 2f(3)=44⇒f(3)=222f(3) = 44 \Rightarrow f(3) = 22 elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 22+3g(3)=4⇒3g(3)=−18⇒g(3)=−622 + 3g(3) = 4 \Rightarrow 3g(3) = -18 \Rightarrow g(3) = -6 olur.
5
f(3)+g(3)f(3) + g(3) toplamını hesaplamak.
f(3)+g(3)=22+(−6)=16f(3) + g(3) = 22 + (-6) = 16 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların parite özellikleri (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)) ve fonksiyonel denklemlerin çözümü.
Soru 63Soru →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tan��mlı ff ve gg fonksiyonlarının değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx1122334455
f(x)f(x)3355112244
g(x)g(x)4411553322

Buna göre, (f∘g)(a)=2(f \circ g)(a) = 2 eşitliğini sağlayan aa değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(a)=f(g(a))=2(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 2 eşitliği sağlanmalıdır. Tabloda ff fonksiyonunun 22 değerini aldığı girdi 44 olduğundan g(a)=4g(a) = 4 olmalıdır. Tabloda gg fonksiyonunun 44 değerini aldığı girdi 11 olduğundan a=1a = 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(a)=2(f \circ g)(a) = 2 eşitliğini bileşke fonksiyonun tanımını kullanarak f(g(a))=2f(g(a)) = 2 biçiminde yazalım.
f(g(a))=2f(g(a)) = 2
Bileşke fonksiyon tanımı gereği, her xx elemanı için (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
Tabloda f(x)=2f(x) = 2 eşitliğini sağlayan xx değerini bulalım.
g(a)=4g(a) = 4
Tabloda f(x)f(x) satırında 22 değerinin üstündeki sütunda x=4x = 4 yazmaktadır, bu yüzden f(4)=2f(4) = 2 olup g(a)g(a) değeri 44 olmalıdır.
3
Tabloda g(x)=4g(x) = 4 eşitliğini sağlayan xx değerini bulalım.
a=1a = 1
Tabloda g(x)g(x) satırında 44 değerinin üstündeki sütunda x=1x = 1 yazmaktadır, dolayısıyla g(1)=4g(1) = 4 olup a=1a = 1 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma ve tablo okuma
Soru 64Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={3x−1,x rasyonel isex2−a,x irrasyonel isef(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x \text{ rasyonel ise} \\ x^2 - a, & x \text{ irrasyonel ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(2))=8f(f(\sqrt{2})) = 8

olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 4'tür.
İçteki fonksiyonun girdisi olan karekök iki sayısı irrasyonel olduğu için fonksiyonun ikinci kuralı işletilir ve iki eksi a elde edilir. İki eksi a ifadesinin rasyonel olması durumunda fonksiyonun birinci kuralından a sayısı eksi bir rasyonel sayısı olarak bulunur. İki eksi a ifadesinin irrasyonel olması durumunda ise fonksiyonun ikinci kuralından a kare eksi beş a eksi dört eşittir sıfır denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri irrasyonel olup toplamları beştir. Her iki durumdan elde edilen tüm farklı a değerlerinin toplamı ise eksi bir ile beşin toplamından dört olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyondaki iç değeri hesaplamak için 2\sqrt{2} sayısının türünü belirleyip ilgili fonksiyon satırını uygulayalım.
2\sqrt{2} sayısı irrasyonel bir sayı olduğundan ikinci satır kullanılır: f(2)=(2)2−a=2−af(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - a = 2 - a elde edilir.
Parçalı fonksiyon kuralların�� doğru girdi değerine göre başlatmak için.
2
Elde edilen sonucu bileşke eşitliğinde yerine yazarak çözülmesi gereken denklemi kuralım.
f(f(2))=f(2−a)=8f(f(\sqrt{2})) = f(2 - a) = 8 denklemi elde edilir. Bu adımda 2−a2 - a ifadesinin rasyonel veya irrasyonel olma durumlarına göre iki farklı inceleme yapmalıyız.
2−a2 - a ifadesinin sayı kümesi aa değerine göre değiştiğinden tüm olasılıkları kapsamak için.
3
1. Durum: 2−a2 - a ifadesinin rasyonel sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda aa da bir rasyonel sayı olmalıdır. Fonksiyonun rasyonel sayılar için tanımlanan birinci satırını kullanalım.
3(2−a)−1=8  ⟹  6−3a−1=8  ⟹  5−3a=8  ⟹  3a=−3  ⟹  a=−13(2 - a) - 1 = 8 \implies 6 - 3a - 1 = 8 \implies 5 - 3a = 8 \implies 3a = -3 \implies a = -1 bulunur. a=−1a = -1 rasyonel bir sayı olduğundan bu çözüm geçerlidir.
Girdinin rasyonel olduğu varsayımı altındaki tutarlı aa değerini bulmak için.
4
2. Durum: 2−a2 - a ifadesinin irrasyonel sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda aa da bir irrasyonel sayı olmalıdır. Fonksiyonun ikinci satırını kullanalım.
(2−a)2−a=8  ⟹  4−4a+a2−a=8  ⟹  a2−5a−4=0(2 - a)^2 - a = 8 \implies 4 - 4a + a^2 - a = 8 \implies a^2 - 5a - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Girdinin irrasyonel olduğu varsayımı altındaki aa değerlerini belirleyecek denklemi kurmak için.
5
Elde edilen ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin varlığını ve irrasyonel olup olmadıklarını kontrol edip, kökler toplamını bulalım.
Δ=(−5)2−4(1)(−4)=41>0\Delta = (-5)^2 - 4(1)(-4) = 41 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kök vardır. Diskriminant tam kare olmadığından kökler irrasyoneldir ve 2−a2 - a ifadesi de irrasyonel kalır. Kökler toplamı −b/a-b/a formülüyle 55 olarak bulunur.
İkinci durumdan gelen geçerli aa değerlerinin toplamına doğrudan ulaşmak için.
6
Bulunan tüm geçerli aa değerlerini toplayalım.
a1+(a2+a3)=−1+5=4a_1 + (a_2 + a_3) = -1 + 5 = 4 bulunur.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma adımları ve sayı kümelerinin rasyonel/irrasyonel olarak sınıflandırılması.
Soru 65Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff birim fonksiyon, gg sabit fonksiyon ve hh doğrusal fonksiyondur. Her xx gerçel sayısı için,
h(f(x))−g(f(x))=2x−3h(f(x)) - g(f(x)) = 2x - 3
h(g(x))+f(g(x))=13h(g(x)) + f(g(x)) = 13
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, h(f(3))+g(h(3))h(f(3)) + g(h(3)) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11'dir.
Soruda verilen tanımlara göre f(x)=xf(x)=x birim fonksiyon ve g(x)=cg(x)=c sabit fonksiyondur. İlk eşitlikte bu kurallar yerine yazıldığında h(x)−c=2x−3  ⟹  h(x)=2x−3+ch(x) - c = 2x - 3 \implies h(x) = 2x - 3 + c bulunur. İkinci eşitlikte g(x)=cg(x) = c yazılırsa h(c)+f(c)=13h(c) + f(c) = 13 elde edilir. Burada f(c)=cf(c) = c ve h(c)=3c−3h(c) = 3c - 3 yerine konulursa 4c−3=13  ⟹  c=44c - 3 = 13 \implies c = 4 olarak hesaplanır. Böylece g(x)=4g(x) = 4 ve h(x)=2x+1h(x) = 2x + 1 kuralları bulunur. İstenen h(f(3))+g(h(3))h(f(3)) + g(h(3)) ifadesinde f(3)=3f(3) = 3 ve h(3)=7h(3) = 7 değerleri kullanılarak h(3)+g(7)=7+4=11h(3) + g(7) = 7 + 4 = 11 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birim ve sabit fonksiyonların genel kurallarını belirleme.
f(x)=xf(x) = x ve g(x)=cg(x) = c (Burada cc bir gerçel say��dır).
Birim fonksiyon her elemanı kendisine, sabit fonksiyon ise tüm elemanları aynı sabit değere eşler.
2
İlk denklemi kullanarak doğrusal h(x)h(x) fonksiyonunu cc parametresine bağlı olarak ifade etme.
h(x)=2x−3+ch(x) = 2x - 3 + c
h(f(x))−g(f(x))=2x−3h(f(x)) - g(f(x)) = 2x - 3 ifadesinde f(x)=xf(x) = x ve g(f(x))=cg(f(x)) = c yazıldığında h(x)−c=2x−3h(x) - c = 2x - 3 olur.
3
İkinci denklemi cc sabitine bağlı olarak çözme.
c=4c = 4
h(g(x))+f(g(x))=13h(g(x)) + f(g(x)) = 13 denkleminde g(x)=cg(x) = c yazıldığında h(c)+f(c)=13h(c) + f(c) = 13 elde edilir. Buradan (2c−3+c)+c=13  ⟹  4c−3=13(2c - 3 + c) + c = 13 \implies 4c - 3 = 13 denklemi çözül��r.
4
g(x)g(x) ve h(x)h(x) fonksiyonlarının net kurallarını yazma.
g(x)=4g(x) = 4 ve h(x)=2x+1h(x) = 2x + 1
Bulunan c=4c = 4 sabiti ilgili fonksiyon kurallarında yerine yazılır.
5
İstenen h(f(3))+g(h(3))h(f(3)) + g(h(3)) ifadesini hesaplama.
11
f(3)=3f(3) = 3 olduğundan h(f(3))=h(3)=7h(f(3)) = h(3) = 7 olur. h(3)=7h(3) = 7 olduğundan g(h(3))=g(7)=4g(h(3)) = g(7) = 4 olur. Toplamları 7+4=117 + 4 = 11 bulunur.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların cebirsel tanımları ve bileşke işlemleri altındaki davranışları
Soru 66Soru →
f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5

olmak üzere,

f(f(a))=1f(f(a)) = 1

eşitliğini sağlayan aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitliği sağlayan aa gerçel sayısı 4'tür.
İç içe fonksiyonlarda f(f(a))=1f(f(a)) = 1 eşitliğini çözmek için dıştan içe doğru gidilir. f(y)=1f(y) = 1 eşitliğini sağlayan yy değeri 2y−5=1  ⟹  y=32y - 5 = 1 \implies y = 3 olarak bulunur. Dolayısıyla f(a)=3f(a) = 3 olmalıdır. Buradan 2a−5=3  ⟹  a=42a - 5 = 3 \implies a = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Dıştaki fonksiyonun girdisini bulmak için f(y)=1f(y) = 1 eşitliğini kurun.
2y−5=1  ⟹  2y=6  ⟹  y=32y - 5 = 1 \implies 2y = 6 \implies y = 3 elde edilir. Yani f(a)=3f(a) = 3 olmalıdır.
Bileşke fonksiyonlarda işlem sırası dıştan içe doğru çözümlenir.
2
f(a)=3f(a) = 3 eşitliğini sağlayan aa değerini bulmak için fonksiyon kuralını uygulayın.
2a−5=3  ⟹  2a=8  ⟹  a=42a - 5 = 3 \implies 2a = 8 \implies a = 4 bulunur.
f(a)f(a) ifadesinin kuralı 2a−52a - 5 olduğu için bu ifade 3'e eşitlenir.

Anahtar Kavram

Bileşke veya iç içe geçmiş fonksiyon denklemlerinde adım adım değer bulma.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun kuralını doğrudan bileşke şeklinde yazabiliriz: f(f(x))=2(2x−5)−5=4x−15f(f(x)) = 2(2x - 5) - 5 = 4x - 15. Bu ifadeyi 1'e eşitlersek 4a−15=1  ⟹  4a=16  ⟹  a=44a - 15 = 1 \implies 4a = 16 \implies a = 4 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 67Soru →
Tanımlı oldukları aralıklarda ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4
g(x)=2x+5g(x) = 2x + 5
eşitlikleri veriliyor.

(f∘g)(a)=17(f \circ g)(a) = 17 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Bileşke fonksiyon tanımından yola çıkarak elde edilen denklem çözüldüğünde a değeri 1 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(a)=f(g(a))=17(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 17 eşitliği kurulur. f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 olduğundan f(g(a))=3g(a)−4=17  ⟹  g(a)=7f(g(a)) = 3g(a) - 4 = 17 \implies g(a) = 7 olur. Son olarak g(x)=2x+5g(x) = 2x + 5 tanımından 2a+5=7  ⟹  a=12a + 5 = 7 \implies a = 1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
f(g(a))=17f(g(a)) = 17
(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) bileşke tanımı gereğidir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine g(a)g(a) yazarak g(a)g(a) değerini bulmak.
g(a)=7g(a) = 7
f(g(a))=3g(a)−4=17f(g(a)) = 3g(a) - 4 = 17 eşitliğinden 3g(a)=213g(a) = 21 ve böylece g(a)=7g(a) = 7 elde edilir.
3
g(x)g(x) fonksiyonu tanımından aa değerini hesaplamak.
a=1a = 1
g(a)=2a+5=7g(a) = 2a + 5 = 7 eşitliğinden 2a=22a = 2 ve buradan a=1a = 1 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda sağdan sola doğru değer bulma ve denklem çözme.
Soru 68Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={x+3,x<0x2−2x−3,x≥0f(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 0 \\ x^2 - 2x - 3, & x \geq 0 \end{cases}
biçiminde tanımlanmaktadır.
Buna göre, (f∘f)(x)=−3(f \circ f)(x) = -3 eşitliğini sağlayan 55 farklı gerçel sayı değeri vardır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Eşitliği sağlayan xx gerçel sayılarının oluşturduğu küme {−9,−3,−1,3,1+6}\{-9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}\} olup 55 elemanlıdır.
Bileşke fonksiyon eşitliğinde dıştan içe yapılan analizlerle elde edilen uu değerleri için parçalı fonksiyonun aralık sınırlarına uyan tam 55 adet bağımsız gerçel sayı kökü (x=−9,−3,−1,3,1+6x = -9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}) tespit edilmiştir. Bu durum ifadenin doğruluğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yapılarak f(u)=−3f(u) = -3 denklemi çözülür.
u<0u < 0 için u+3=−3⇒u=−6u + 3 = -3 \Rightarrow u = -6 bulunur (−6<0-6 < 0 koşulunu sağlar).
u≥0u \geq 0 için u2−2u−3=−3⇒u(u−2)=0u^2 - 2u - 3 = -3 \Rightarrow u(u-2) = 0 denkleminden u=0u = 0 veya u=2u = 2 bulunur (her iki değer de ≥0\geq 0 koşulunu sağlar).
Bileşke fonksiyon tanımı gereği içteki fonksiyonun değer aralığı, dıştaki fonksiyonun tanım kümesine göre değerlendirilmelidir.
2
u=−6u = -6 için f(x)=−6f(x) = -6 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=−6⇒x=−9x + 3 = -6 \Rightarrow x = -9 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=−6⇒x2−2x+3=0x^2 - 2x - 3 = -6 \Rightarrow x^2 - 2x + 3 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=4−12=−8<0\Delta = 4 - 12 = -8 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur.
Elde edilen uu değerini veren xx girdileri, parçalı fonksiyonun iki ayrı dalı için de sorgulanmalıdır.
3
u=0u = 0 için f(x)=0f(x) = 0 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1 olup aralık koşulunu (x≥0x \geq 0) yalnızca x=3x = 3 sağlar.
f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökleri bulunurken her dalın kendi tanım aralığı ile kesişimi alınmalıdır.
4
u=2u = 2 için f(x)=2f(x) = 2 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=2⇒x=−1x + 3 = 2 \Rightarrow x = -1 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=2⇒x2−2x−5=0x^2 - 2x - 3 = 2 \Rightarrow x^2 - 2x - 5 = 0 denkleminin kökleri x=1±6x = 1 \pm \sqrt{6} olup aralık koşulunu (x≥0x \geq 0) yalnızca x=1+6x = 1 + \sqrt{6} sağlar (1−6<01 - \sqrt{6} < 0 olduğundan elenir).
İkinci dereceden denklemin köklerinden hangisinin tanım kümesi sınırlarına dahil olduğu incelenmelidir.
5
Bulunan tüm gerçel kökler birleştirilerek çözüm kümesinin eleman sayısı belirlenir.
Çözüm kümesi {−9,−3,−1,3,1+6}\{-9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}\} olarak bulunur. Bu kümede 55 farklı gerçel sayı vardır.
Farklı durumlardan elde edilen bağımsız tüm köklerin toplam sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bileşke işlemi içeren denklemleri çözerken tanım aralıklarına ve sınır değerlerine göre analiz yapma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 69Soru →
Her xx gerçel sayısı için
f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1
g(x)=x+2g(x) = x + 2
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bileşke işleminin sonucu 10'dur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesi g(f(3))g(f(3)) şeklinde çözümlenir. İlk adımda f(3)=3(3)−1=8f(3) = 3(3) - 1 = 8 değeri bulunur. İkinci adımda bu değer gg fonksiyonunun girdisi yapılarak g(8)=8+2=10g(8) = 8 + 2 = 10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki fonksiyonun değerini hesaplayın.
f(3)=8f(3) = 8
(g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesi g(f(3))g(f(3)) anlamına geldiğinden öncelikle en içteki fonksiyon olan f(3)f(3) değeri bulunur: 3(3)−1=83(3) - 1 = 8.
2
Bulunan değeri dıştaki fonksiyonda yerine yazın.
g(8)=10g(8) = 10
f(3)=8f(3) = 8 olduğundan, elde edilen 8 değeri dıştaki gg fonksiyonunda xx yerine yazılarak 8+2=108 + 2 = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda içten dışa doğru değer hesaplama sırası
Soru 70Soru →

Bir kütüphaneye üye olan kişilerden aylık sabit bir üyelik ücreti alınmakta ve ödünç alınan her kitap için kitap başına sabit bir ücret ödenmektedir. Bu kütüphaneye üye olan bir kişinin bir ayda xx adet kitap ödünç alması durumunda ödeyeceği toplam tutar f(x)f(x) fonksiyonu ile, kütüphanenin üyelerden aldığı aylık sabit üyelik ücreti ise g(x)g(x) fonksiyonu ile modellenmiştir. f(x)f(x) doğrusal fonksiyon ve g(x)g(x) sabit fonksiyon olmak üzere, bu kütüphaneden bir ayda 4 kitap ödünç alan bir kişi 120 TL, 10 kitap ödünç alan bir kişi ise 210 TL ödemiştir. Buna göre, f(g(5))f(g(5)) değeri kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 960960

Cevap

Ahmet'in ödeyeceği toplam tutarı ifade eden f(g(5))f(g(5)) değeri 960 TL'dir.
Doğrusal fonksiyonun kuralı f(x)=15x+60f(x) = 15x + 60 ve kütüphanenin sabit ücretini temsil eden sabit fonksiyon g(x)=60g(x) = 60 olarak bulunur. Bileşke fonksiyon işlem sırasına göre f(g(5))f(g(5)) ifadesinde önce içteki g(5)g(5) değeri hesaplanır. gg sabit fonksiyon olduğundan g(5)=60g(5) = 60'tır. Ardından bu değer ff fonksiyonunda yerine yazılarak f(60)=15⋅60+60=960f(60) = 15 \cdot 60 + 60 = 960 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyon olan f(x)f(x) ve sabit fonksiyon olan g(x)g(x) için genel kuralları belirleme.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b ve g(x)=cg(x) = c (cc sabit bir sayı) şeklinde yazılır. Soruda g(x)g(x) aylık sabit ücret olarak tanımlandığı için g(x)=bg(x) = b olur.
Doğrusal ve sabit fonksiyonların matematiksel tanımlarını kurmak için.
2
Verilen değerleri kullanarak denklem sistemini kurma ve aa ile bb değerlerini bulma.
f(4)=4a+b=120f(4) = 4a + b = 120 ve f(10)=10a+b=210f(10) = 10a + b = 210 denklemleri elde edilir. Denklemler birbirinden çıkarıldığında 6a=90  ⟹  a=156a = 90 \implies a = 15 bulunur. Buradan 4(15)+b=120  ⟹  b=604(15) + b = 120 \implies b = 60 elde edilir.
Kitap başına ücreti (aa) ve sabit ücreti (bb) hesaplamak için.
3
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarını yazıp istenen f(g(5))f(g(5)) değerini hesaplama.
f(x)=15x+60f(x) = 15x + 60 ve g(x)=60g(x) = 60 olur. g(x)g(x) sabit fonksiyon olduğundan g(5)=60g(5) = 60 olur. Buradan f(g(5))=f(60)=15⋅60+60=960f(g(5)) = f(60) = 15 \cdot 60 + 60 = 960 bulunur.
Bileşke fonksiyon işlem adımlarını sırasıyla uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonların Tanımları ve Bileşke Fonksiyon İşlemleri
Soru 71Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(n)={2n+1,n tek isen−3,n c¸ift isef(n) = \begin{cases} 2n + 1, & n \text{ tek ise} \\ n - 3, & n \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tan��mlanıyor.

Buna göre, f(5)+f(2)f(5) + f(2) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

f(5) + f(2) toplamının değeri 10'dur.
Verilen fonksiyon parçalı bir fonksiyondur. Girdi tek sayı ise 2n+12n+1, çift sayı ise n−3n-3 kuralı uygulanır. 5 tek sayı olduğu için f(5)=2⋅5+1=11f(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 11 olur. 2 çift sayı olduğu için f(2)=2−3=−1f(2) = 2 - 3 = -1 olur. Bu iki değer toplandığında 11+(−1)=1011 + (-1) = 10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(5)f(5) değerini hesaplamak için 5 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip uygun fonksiyon kuralını seçmek.
5 bir tek sayı olduğundan, f(n)=2n+1f(n) = 2n + 1 kural�� uygulanır: f(5)=2⋅5+1=11f(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 11.
Fonksiyon parçalı tanımlanmıştır ve girdinin tek veya çift olmasına göre farklı kurallar işletilmektedir.
2
f(2)f(2) değerini hesaplamak için 2 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip uygun fonksiyon kuralını seçmek.
2 bir çift sayı olduğundan, f(n)=n−3f(n) = n - 3 kuralı uygulanır: f(2)=2−3=−1f(2) = 2 - 3 = -1.
Çift girdiler için tanımlanan kuralı doğru uygulamak gerekir.
3
Elde edilen f(5)f(5) ve f(2)f(2) değerlerini toplamak.
f(5)+f(2)=11+(−1)=10f(5) + f(2) = 11 + (-1) = 10.
Soruda bizden bu iki değerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda verilen girdinin koşuluna uygun olan dalı belirleyerek fonksiyon değerini bulma.

Alternatif Yöntem

Alternatif bir pratik yöntem bulunmamaktadır; parçalı fonksiyon sorularında her bir değerin tanım aralığına göre ayrı ayrı hesaplanması en doğrudan ve güvenli yoldur.
Tahmini Süre:45s
Soru 72Soru →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan ff fonksiyonu,
f(x)={3x+11,x<−12−x,x≥−1f(x) = \begin{cases} 3x + 11, & x < -1 \\ 2 - x, & x \ge -1 \end{cases}
kuralı ile veriliyor.
Buna göre, f(f(a))=5f(f(a)) = 5 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −13-\frac{1}{3}

Cevap

Eşitliği sağlayan ger��el sayıların toplamı −13-\frac{1}{3} değeridir.
Bileşke fonksiyon yapısında f(f(a))=5f(f(a)) = 5 eşitliğini çözmek için öncelikle f(a)=yf(a) = y denilerek dıştaki fonksiyon için f(y)=5f(y) = 5 denklemi çözülür. Parçalı fonksiyonun dalları incelendiğinde, y<−1y < -1 için 3y+11=5⇒y=−23y + 11 = 5 \Rightarrow y = -2 değeri aralık şartını sağladığından geçerlidir. y≥−1y \ge -1 için 2−y=5⇒y=−32 - y = 5 \Rightarrow y = -3 değeri ise aralık şartını sağlamadığından elenir. Dolayısıyla yalnızca f(a)=−2f(a) = -2 eşitliği çözülür. Buradan a<−1a < -1 için a=−13/3a = -13/3 ve a≥−1a \ge -1 için a=4a = 4 değerleri elde edilir. Bu iki gerçel sayının toplamı ise −1/3-1/3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon eşitliğini çözmek amacıyla dıştaki fonksiyonu ele alarak f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapmak.
f(y)=5f(y) = 5 denklemi elde edilir.
İç içe geçmiş fonksiyon yapısını basitleştirmek ve adım adım çözüm üretmek.
2
f(y)=5f(y) = 5 denklemini fonksiyonun her iki parçası için ayrı ayrı çözmek ve bulduğumuz yy değerlerinin tanımlı aralık şartlarını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
y<−1y < -1 dalı için: 3y+11=5⇒3y=−6⇒y=−23y + 11 = 5 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2 bulunur. −2<−1-2 < -1 şartı sağlandığı için bu değer kabul edilir. y≥−1y \ge -1 dalı için: 2−y=5⇒y=−32 - y = 5 \Rightarrow y = -3 bulunur. Ancak −3≥−1-3 \ge -1 şartı sağlanmadığı için bu değer elenir.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda elde edilen değerlerin ilgili parçanın tanım aralığına uygun olması zorunludur.
3
Kabul edilen tek değer olan f(a)=−2f(a) = -2 denklemini, fonksiyonun kurallarına göre yine iki durum için ayrı ayrı çözmek.
a<−1a < -1 dalı için: 3a+11=−2⇒3a=−13⇒a=−1333a + 11 = -2 \Rightarrow 3a = -13 \Rightarrow a = -\frac{13}{3} bulunur. Bu değer şartı sağlar. a≥−1a \ge -1 dalı için: 2−a=−2⇒a=42 - a = -2 \Rightarrow a = 4 bulunur. Bu değer de şartı sağlar.
f(a)=−2f(a) = -2 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarını bulmak.
4
Bulunan geçerli aa değerlerini toplamak.
−133+4=−13-\frac{13}{3} + 4 = -\frac{1}{3} elde edilir.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda iç içe (bileşke) değer bulma ve aralık kontrolü yapılması
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 73Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=2x+35f(x) = \frac{2x + 3}{5}
fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f−1(3)f^{-1}(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru cevap 6'dır.
f−1(3)=kf^{-1}(3) = k olsun. Ters fonksiyon tanımı gereği f(k)=3f(k) = 3 olmalıdır. Buradan 2k+35=3\frac{2k + 3}{5} = 3 denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 2k+3=152k + 3 = 15 ve 2k=122k = 12 elde edilir, böylece k=6k = 6 olarak bulunur. Dolayısıyla f−1(3)f^{-1}(3) değeri 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f−1(3)=kf^{-1}(3) = k eşitliğini yazarak fonksiyonun tersi tanımını uygulayın.
f(k)=3f(k) = 3 olur.
Bir fonksiyonun tersinin tanımı gereği, f−1(y)=xf^{-1}(y) = x ise f(x)=yf(x) = y olur.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun kuralında xx yerine kk yazıp 33'e eşitleyin.
2k+35=3\frac{2k + 3}{5} = 3 denklemi elde edilir.
f(k)f(k) ifadesini oluşturmak için fonksiyonda değişken yerine kk yazılır.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözün.
2k+3=15  ⟹  2k=12  ⟹  k=62k + 3 = 15 \implies 2k = 12 \implies k = 6 bulunur.
İçler dışlar çarpımı yapılarak ve bilinenler bir tarafa toplanarak bilinmeyen yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanımı (f(x)=y  ⟺  f−1(y)=xf(x) = y \iff f^{-1}(y) = x)
Tahmini Süre:45s
Soru 74Soru →

AA ve BB tam sayıların alt kümeleri olmak üzere,

f:A→Rf: A \to \mathbb{R}
g:B→Rg: B \to \mathbb{R}

fonksiyonları tanımlanıyor. Tanım kümeleri

A={x∈Z:∣x−3∣≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 3| \leq 2\}
B={x∈Z:x2−7x+10<0}B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 7x + 10 < 0\}

olarak veriliyor.

f+gf + g ve f−gf - g fonksiyonlarının tanım kümesi TT olmak üzere, TT kümesi üzerinde tanımlı

(f+g)(x)=x2+a(f+g)(x) = x^2 + a
(f−g)(x)=5x−a(f-g)(x) = 5x - a

eşitlikleri sağlanmaktadır.

aa bir gerçel sayı ve (f⋅g)(3)=24(f \cdot g)(3) = 24 olduğuna göre, TT kümesinin elemanlarının toplamı KK ve

(f⋅g)(4)−3⋅(fg)(4)(f \cdot g)(4) - 3 \cdot \left(\frac{f}{g}\right)(4)

ifadesinin değeri LL olmak üzere, K+LK + L toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

Doğru yanıt kırk üç değerini veren seçenektir.
Soruda verilen iki kümenin kesişimi olan ortak tanım kümesi belirlenip elemanlar toplamı yedi olarak bulunur. Ardından verilen çarpım değeri yardımıyla bilinmeyen sabit sayı beş olarak elde edilir. Bu sabit sayı ile fonksiyonların dört işlem kuralları belirlenip istenen ifade otuz altı olarak hesaplanır. İki değerin toplamından kırk üç sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B kümelerinin elemanlarını belirleme.
A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} ve B={3,4}B = \{3, 4\}
AA kümesi ∣x−3∣≤2  ⟹  −2≤x−3≤2  ⟹  1≤x≤5|x-3| \leq 2 \implies -2 \leq x-3 \leq 2 \implies 1 \leq x \leq 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardan oluşur. BB kümesi ise x2−7x+10<0  ⟹  (x−2)(x−5)<0  ⟹  2<x<5x^2-7x+10 < 0 \implies (x-2)(x-5) < 0 \implies 2 < x < 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardan oluşur.
2
f+gf+g ve f−gf-g fonksiyonlarının tanım kümesini ve bu kümenin elemanları toplamı olan KK değerini bulma.
T=A∩B={3,4}T = A \cap B = \{3, 4\} ve K=3+4=7K = 3 + 4 = 7
Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma işlemlerinin tanımlı olabilmesi için her iki fonksiyonun da tanımlı olduğu ortak küme, yani tanım kümelerinin kesişimi alınmalıdır.
3
x=3x = 3 için verilen eşitlikleri kullanarak aa sabitini bulma.
a=5a = 5
x=3x = 3 için (f+g)(3)=9+a(f+g)(3) = 9 + a ve (f−g)(3)=15−a(f-g)(3) = 15 - a olur. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa 2f(3)=24  ⟹  f(3)=122f(3) = 24 \implies f(3) = 12 bulunur. (f⋅g)(3)=f(3)⋅g(3)=24  ⟹  12⋅g(3)=24  ⟹  g(3)=2(f \cdot g)(3) = f(3) \cdot g(3) = 24 \implies 12 \cdot g(3) = 24 \implies g(3) = 2 elde edilir. Tanımdan g(3)=a−3g(3) = a - 3 olduğundan a−3=2  ⟹  a=5a - 3 = 2 \implies a = 5 bulunur.
4
x=4x = 4 için f(4)f(4) ve g(4)g(4) değerlerini hesaplama.
f(4)=18f(4) = 18 ve g(4)=3g(4) = 3
a=5a = 5 için (f+g)(4)=16+5=21(f+g)(4) = 16 + 5 = 21 ve (f−g)(4)=20−5=15(f-g)(4) = 20 - 5 = 15 olur. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa 2f(4)=36  ⟹  f(4)=182f(4) = 36 \implies f(4) = 18 elde edilir. Buradan 18+g(4)=21  ⟹  g(4)=318 + g(4) = 21 \implies g(4) = 3 bulunur.
5
LL ifadesinin değerini ve ardından K+LK + L toplamını hesaplama.
L=36L = 36 ve K+L=43K + L = 43
L=(f⋅g)(4)−3⋅(fg)(4)=f(4)⋅g(4)−3⋅f(4)g(4)=18⋅3−3⋅183=54−18=36L = (f \cdot g)(4) - 3 \cdot \left(\frac{f}{g}\right)(4) = f(4) \cdot g(4) - 3 \cdot \frac{f(4)}{g(4)} = 18 \cdot 3 - 3 \cdot \frac{18}{3} = 54 - 18 = 36 olur. Buradan K+L=7+36=43K + L = 7 + 36 = 43 elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda dört işlem yapılabilmesi için işlemlerin tanım kümelerinin kesişim kümesi üzerinde tanımlanması gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 75Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(2x−1)=x2+af(2x - 1) = x^2 + a
eşitliği sağlanmaktadır.
f(3)=11f(3) = 11 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İstenen fonksiyon değeri 8'dir.
Verilen f(2x−1)=x2+af(2x - 1) = x^2 + a kuralında f(3)=11f(3) = 11 bilgisini kullanmak için girdiyi 33 yapan değer belirlenir. Buradan 2x−1=3  ⟹  x=22x - 1 = 3 \implies x = 2 bulunur. Bulunan değer yerine yazıldığında f(3)=22+a  ⟹  11=4+a  ⟹  a=7f(3) = 2^2 + a \implies 11 = 4 + a \implies a = 7 olarak elde edilir. Fonksiyonun kuralı f(2x−1)=x2+7f(2x - 1) = x^2 + 7 şeklindedir. Bizden istenen f(1)f(1) değerini bulmak için girdiyi 11 yapan değer belirlenir: 2x−1=1  ⟹  x=12x - 1 = 1 \implies x = 1 olur. Bu değer kuralda yerine yazıldığında f(1)=12+7=8f(1) = 1^2 + 7 = 8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(3)=11f(3) = 11 eşitliğini kullanmak üzere, fonksiyonun girdisini 33 yapan xx değerini bulalım.
2x−1=3  ⟹  2x=4  ⟹  x=22x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2 bulunur.
Fonksiyonun kuralında verilen parantez içi ifadeyi bilinen girdi değerine eşitlememiz gerekir.
2
Bulduğumuz x=2x = 2 değerini fonksiyon kuralında yerine yazarak aa sabitini hesaplayalım.
f(2(2)−1)=22+a  ⟹  f(3)=4+a  ⟹  11=4+a  ⟹  a=7f(2(2) - 1) = 2^2 + a \implies f(3) = 4 + a \implies 11 = 4 + a \implies a = 7 elde edilir.
Fonksiyonun kuralını eksiksiz tanımlayabilmek için bilinmeyen sabit sayıyı bulmalıyız.
3
f(1)f(1) değerini bulabilmek için fonksiyonun girdisini 11 yapan xx değerini belirleyip fonksiyonda yerine koyalım.
2x−1=1  ⟹  2x=2  ⟹  x=12x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1 olur. Kuralda yerine yazarsak; f(1)=12+7=8f(1) = 1^2 + 7 = 8 bulunur.
Fonksiyonda istenen değeri hesaplamak için uygun bağımsız değişken değerini yerine yazarak işlemi tamamlarız.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonda belirli bir değer için sonuç bulunurken, fonksiyonun girdisini oluşturan ifadenin tamamı hedeflenen sayıya eşitlenerek değişkenin alması gereken değer belirlenir ve kuralda yerine yazılır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 76Soru →

Bir teknoloji firmasının Ar-Ge ve Pazarlama departmanlarındaki çalışan sayılarının zamana bağlı değişimi sırasıyla f(t)f(t) doğrusal fonksiyonu ve g(t)g(t) sabit fonksiyonu ile modellenmiştir. Bu fonksiyonlarda tt, firmanın kurulmasından itibaren geçen süreyi yıl cinsinden göstermektedir.

Firmanın kurulduğu ilk yıl (t=0t = 0) Ar-Ge departmanında 12 çalışan bulunmakta ve bu departmandaki çalışan sayısı her yıl 4 kişi artmaktadır. Pazarlama departmanındaki çalışan sayısı ise yıllara göre değişmemektedir.

Firma kurulduktan 6 yıl sonra iki departmandaki toplam çalışan sayısı, Pazarlama departmanındaki çalışan sayısının 3 katına eşit olduğuna göre, Pazarlama departmanında kaç çalışan vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Pazarlama departmanındaki çalışan sayısı 18'dir.
Ar-Ge departmanı için doğrusal fonksiyon f(t)=4t+12f(t) = 4t + 12 şeklinde kurulur. t=6t = 6 için f(6)=36f(6) = 36 bulunur. Pazarlama departmanı çalışan sayısı sabit fonksiyon g(t)=cg(t) = c olduğundan, toplam çalışan sayısı olan 36+c36 + c ifadesi 3c3c değerine eşitlenir. Buradan 2c=36  ⟹  c=182c = 36 \implies c = 18 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ar-Ge departmanındaki çalışan sayısını zamana bağlı olarak veren doğrusal fonksiyonu yazma
f(t)=4t+12f(t) = 4t + 12
Başlangıç değeri 12 ve her yılki artış miktarı 4 olduğu için doğrusal fonksiyon f(t)=4t+12f(t) = 4t + 12 olur.
2
Pazarlama departmanındaki çalışan sayısını sabit fonksiyon olarak tanımlama
g(t)=cg(t) = c
Pazarlama departmanındaki çalışan sayısı yıllara göre değişmediği için sabit fonksiyondur.
3
6. yıldaki Ar-Ge departmanı çalışan sayısını hesaplama
f(6)=4×6+12=36f(6) = 4 \times 6 + 12 = 36
t=6t = 6 değeri doğrusal fonksiyonda yerine yazılır.
4
Toplam çalışan sayısı ile Pazarlama departmanı çalışan sayısı arasındaki ilişkiyi veren denklemi kurma ve çözme
36+c=3c  ⟹  2c=36  ⟹  c=1836 + c = 3c \implies 2c = 36 \implies c = 18
Toplam çalışan sayısının Pazarlama departmanının 3 katı olduğu bilgisi kullanılarak denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Doğrusal ve Sabit Fonksiyonların Modellenmesi
Soru 77Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x2−1,x<22x+a,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x < 2 \\ 2x + a, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(3))=15f(f(3)) = 15

eşitliğini sağlayan aa gerçek sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Koşulu sağlayan a gerçek sayılarının toplamı -9'dur.
Doğru cevap olan seçenekteki değer (-9), f(3) = 6 + a girdisinin parçalı fonksiyondaki sınır koşullarına göre iki ayrı durumda incelenmesiyle bulunur. Birinci durumda a < -4 koşulu altında a = -10 elde edilir. İkinci durumda a >= -4 koşulu altında a = 1 elde edilir. Bu değerlerin toplamı -9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak f(3) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun tanım kümesi aralıkları incelenir.
3 sayısı 2'den büyük veya eşit olduğundan ikinci dal (2x + a) kullanılır. Buradan f(3) = 2(3) + a = 6 + a elde edilir.
Parçalı fonksiyonda girdinin aralığına uygun olan fonksiyon dalının seçilmesi gerekir.
2
Bulunan f(3) değeri f(f(3)) = 15 eşitliğinde yerine yazılarak yeni denklem oluşturulur.
f(6 + a) = 15 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği içteki fonksiyonun çıktısı, dıştaki fonksiyonun girdisi olur.
3
Girdi olan 6 + a ifadesinin 2'den küçük olduğu durum (6 + a < 2 yani a < -4) incelenir.
Bu durumda birinci dal kullanılır: (6 + a)^2 - 1 = 15. Buradan (6 + a)^2 = 16 bulunur. Çözüm olarak 6 + a = 4 veya 6 + a = -4 elde edilir. Buradan a = -2 veya a = -10 bulunur. Başlangıçtaki a < -4 koşulunu yalnızca a = -10 sağlar.
Parçalı fonksiyonun birinci dalının kullanılabilmesi için girdinin 2'den küçük olması koşulunun sağlanması şarttır.
4
Girdi olan 6 + a ifadesinin 2'den büyük veya eşit olduğu durum (6 + a >= 2 yani a >= -4) incelenir.
Bu durumda ikinci dal kullanılır: 2(6 + a) + a = 15. Denklemi düzenlersek 12 + 3a = 15, buradan 3a = 3 ve a = 1 bulunur. Bulunan a = 1 değeri a >= -4 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
Parçalı fonksiyonun ikinci dalının kullanılabilmesi için girdinin 2'den büyük veya eşit olması koşulunun sağlanması şarttır.
5
Bulunan geçerli a değerleri toplanır.
-10 + 1 = -9 elde edilir.
Soruda a gerçek sayılarının alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma işlemlerinde, girdinin ait olduğu aralığa göre uygun dalın seçilmesi ve bilinmeyen parametrelerin bu aralık koşullarına göre denetlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 78Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için,
f(x+3)=2x−1f(x + 3) = 2x - 1
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f−1(5)f^{-1}(5) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Aranan f^{-1}(5) değeri 6'dır.
Verilen f(x+3)=2x−1f(x + 3) = 2x - 1 eşitliğinde ters fonksiyon kuralı uygulandığında f−1(2x−1)=x+3f^{-1}(2x - 1) = x + 3 elde edilir. Bu ifadenin içinin 55 olması istendiğinden 2x−1=52x - 1 = 5 denklemi kurulur. Buradan x=3x = 3 bulunur. Bulunan xx değeri sağ taraftaki x+3x + 3 ifadesinde yerine yazıldığında f−1(5)=3+3=6f^{-1}(5) = 3 + 3 = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon ilişkisini kurarak denklem formunda ifade etmek.
f^{-1}(2x - 1) = x + 3 elde edilir.
f(a) = b ise f^{-1}(b) = a özelliğinden yararlanarak ters fonksiyonun kuralı değişken cinsinden yazılır.
2
Ters fonksiyonun içindeki ifadeyi aranan değer olan 5'e eşitleyerek x değişkenini bulmak.
2x - 1 = 5 denkleminden 2x = 6 ve x = 3 bulunur.
Ters fonksiyonun girdisinin 5 olmasını sağlayan uygun x değerinin belirlenmesi gerekir.
3
Bulunan x = 3 değerini ters fonksiyonun karşı tarafındaki x + 3 ifadesinde yerine yazmak.
f^{-1}(5) = 3 + 3 = 6 elde edilir.
Ters fonksiyonda x girdisinin tanım kümesindeki karşılığını hesaplamak için x değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersi alınırken tanım ve değer kümelerinin yer değiştirmesi ve f(a) = b ise f^{-1}(b) = a ilişkisi.
Soru 79Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tan��mlı ff ve gg fonksiyonları için
(f∘g)(x)=3g(x)+4(f \circ g)(x) = 3g(x) + 4
(g∘f)(x)=(f(x))2−2f(x)−5(g \circ f)(x) = (f(x))^2 - 2f(x) - 5

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, (g∘f)(1)(g \circ f)(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

30
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(1)=g(f(1))(g \circ f)(1) = g(f(1)) ifadesini çözmek için önce f(1)f(1) değeri bulunur. f(g(x))=3g(x)+4f(g(x)) = 3g(x) + 4 eşitliğinden f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 (uu değeri gg'nin görüntü kümesinde olmak üzere) elde edilir. g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 kuralının görüntü kümesi [−6,∞)[-6, \infty) olduğundan ve 11 bu kümede bulunduğundan f(1)=3(1)+4=7f(1) = 3(1) + 4 = 7 olur. Benzer şekilde, ff'nin görüntü kümesi [−14,∞)[-14, \infty) aralığıdır ve 77 bu aralıkta olduğu için g(7)=72−2(7)−5=30g(7) = 7^2 - 2(7) - 5 = 30 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(x)=3g(x)+4(f \circ g)(x) = 3g(x) + 4 eşitliğini analiz etmek.
g(x)=ug(x) = u dönüşümüyle, gg fonksiyonunun görüntü kümesindeki her uu için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 elde edilir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre dıştaki fonksiyon, içteki fonksiyonun değerleri üzerinde tanımlanır.
2
(g∘f)(x)=(f(x))2−2f(x)−5(g \circ f)(x) = (f(x))^2 - 2f(x) - 5 eşitli��ini analiz etmek.
f(x)=vf(x) = v dönüşümüyle, ff fonksiyonunun görüntü kümesindeki her vv için g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 elde edilir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre gg fonksiyonunun kuralını ff'in görüntü kümesi üzerinde belirlemek gerekir.
3
gg fonksiyonunun görüntü kümesini bulmak.
g(v)=(v−1)2−6g(v) = (v-1)^2 - 6 biçiminde yazılabileceğinden, gg'nin en küçük değeri −6-6'dır. Görüntü kümesi [−6,∞)[-6, \infty) olur.
f(1)f(1) değerini hesaplayabilmek için 11 sayısının gg'nin görüntü kümesinde olup olmadığını doğrulamamız gerekir.
4
f(1)f(1) değerini hesaplamak.
1∈[−6,∞)1 \in [-6, \infty) olduğundan f(1)=3(1)+4=7f(1) = 3(1) + 4 = 7 bulunur.
11 değeri gg'nin görüntü kümesinde yer aldığı için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 kuralı geçerlidir.
5
(g∘f)(1)=g(f(1))=g(7)(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(7) değerini hesaplamak.
u≥−6u \ge -6 için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 kuralı uygulandığında ff'nin görüntü kümesi [−14,∞)[-14, \infty) olur. 7≥−147 \ge -14 olduğundan g(7)=72−2(7)−5=30g(7) = 7^2 - 2(7) - 5 = 30 elde edilir.
77 değeri ff'nin görüntü kümesinde yer aldığı için g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 kuralı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda tanım ve görüntü kümelerinin analizi ile zincirleme değer bulma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 80Soru →
f(x+1)=2x−3f(x + 1) = 2x - 3
g(x−1)=x2+1g(x - 1) = x^2 + 1

eşitliklerini sağlayan ff ve gg fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, f(3)+g(1)f(3) + g(1) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen f(3) ve g(1) değerleri için gerekli x değişkenleri belirlenip fonksiyonlarda yerine yazıldığında toplamın sonucu 6 olarak elde edilir.
Fonksiyonların kurallarında girdiyi istenen değere ulaştıran bağımsız değişken değerleri doğru şekilde bulunmuş ve yerlerine yazılmıştır. f(x + 1) ifadesinde x + 1 = 3 için x = 2 yazılıp f(3) = 1 bulunmuştur. g(x - 1) ifadesinde x - 1 = 1 için x = 2 yazılıp g(1) = 5 bulunmuştur. Bu değerlerin toplamı 1 + 5 = 6 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(3) değerini hesaplamak amacıyla f(x + 1) ifadesinin girdisini 3 yapan x değeri bulunur.
x+1=3  ⟹  x=2x + 1 = 3 \implies x = 2
Fonksiyonun kuralını uygulamak için girdi değerine karşılık gelen bağımsız değişkenin bulunması gerekir.
2
Bulunan x = 2 değeri f(x + 1) = 2x - 3 eşitliğinde yerine yazılır.
f(3)=2(2)−3=1f(3) = 2(2) - 3 = 1
Fonksiyonun 3 noktasındaki değerini elde etmek için.
3
g(1) değerini hesaplamak amacıyla g(x - 1) ifadesinin girdisini 1 yapan x değeri bulunur.
x−1=1  ⟹  x=2x - 1 = 1 \implies x = 2
Fonksiyonun kuralını uygulamak için girdi değerine karşılık gelen bağımsız değişkenin belirlenmesi gerekir.
4
Bulunan x = 2 değeri g(x - 1) = x^2 + 1 eşitliğinde yerine yazılır.
g(1)=22+1=5g(1) = 2^2 + 1 = 5
g fonksiyonunun 1 noktasındaki değerini bulmak için.
5
Elde edilen f(3) ve g(1) değerleri toplanır.
f(3)+g(1)=1+5=6f(3) + g(1) = 1 + 5 = 6
Soru kökünde bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Alternatif Yöntem

Öncelikle fonksiyonların kuralları f(x) ve g(x) şeklinde elde edilebilir. f(x + 1) = 2x - 3 ifadesinde x yerine x - 1 yazılırsa f(x) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 5 olur. Buradan f(3) = 2(3) - 5 = 1 elde edilir. g(x - 1) = x^2 + 1 ifadesinde x yerine x + 1 yazılırsa g(x) = (x + 1)^2 + 1 olur. Buradan g(1) = (1 + 1)^2 + 1 = 5 elde edilir. Toplamları ise 1 + 5 = 6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 4 / 8Sonraki
Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin