Examkin

Fonksiyonlar

141 soru

Tüm türler141Çoktan seçmeli95Doğru / Yanlış7Sayısal39
Soru 81Soru →

Her xx gerçel sayısı için tanımlı ff, gg ve hh fonksiyonlarından ff birim, gg sabit ve hh doğrusal fonksiyondur.

Her xx gerçel sayısı için,
h(f(x))+g(x)=4x+7h(f(x)) + g(x) = 4x + 7
h(g(x))=13h(g(x)) = 13

eşitlikleri sağlandığına göre, h(3)+g(10)h(3) + g(10) toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Yapılan hesaplamalar sonucunda h(3)+g(10)h(3) + g(10) toplamı 19 olarak bulunmuştur.
Verilen tanımlara göre f(x)=xf(x)=x (birim), g(x)=2g(x)=2 (sabit) ve h(x)=4x+5h(x)=4x+5 (doğrusal) olarak elde edilir. Buradan h(3)=17h(3)=17 ve g(10)=2g(10)=2 olup toplamları 19 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon tanımlarını yazmak ve h(f(x))h(f(x)) ifadesini sadeleştirmek
f(x)=xf(x) = x, g(x)=cg(x) = c, h(x)=kx+mh(x) = kx + m ve h(f(x))=h(x)h(f(x)) = h(x)
Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların temel özelliklerini cebirsel olarak ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilmiştir.
2
İlk denklemde katsayıları eşitleyerek kk değerini ve mm ile cc arasındaki ilişkiyi bulmak
k=4k = 4 ve m+c=7m + c = 7
Fonksiyonların toplamının her xx gerçel sayısı için 4x+74x+7 ifadesine eşit olması bilgisinden yararlanılmıştır.
3
İkinci denklem yardımıyla iki bilinmeyenli bir sistem oluşturmak ve çözmek
c=2c = 2 ve m=5m = 5
h(g(x))=13  ⟹  4c+m=13h(g(x)) = 13 \implies 4c + m = 13 denklemi ile m+c=7m + c = 7 denkleminin ortak çözülmesiyle sabit terimler bulunmuştur.
4
Belirlenen fonksiyonlar altında h(3)h(3) ve g(10)g(10) değerlerini bularak toplamak
17+2=1917 + 2 = 19
Soruda bizden istenen h(3)+g(10)h(3) + g(10) toplam değerine ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyon tanımları ile fonksiyonların bileşkesi ve cebirsel özellikleri
Soru 82Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} doğrusal fonksiyon ve g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sabit fonksiyon olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f(x+g(x))=2x+5f(x + g(x)) = 2x + 5
f(g(x))=g(f(x))+1f(g(x)) = g(f(x)) + 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f(4)+g(−3)f(4) + g(-3) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
ff doğrusal fonksiyon olduğundan f(x)=ax+bf(x) = ax + b ve gg sabit fonksiyon olduğundan g(x)=cg(x) = c (cc bir gerçel sayı) şeklinde yazılabilir. İlk eşitlikte g(x)g(x) yerine cc yazıldığında f(x+c)=a(x+c)+b=ax+ac+b=2x+5f(x + c) = a(x + c) + b = ax + ac + b = 2x + 5 elde edilir. Buradan a=2a = 2 ve 2c+b=52c + b = 5 bulunur. İkinci eşitlikte sabit fonksiyon özelliğinden dolayı g(f(x))=cg(f(x)) = c ve f(g(x))=f(c)=2c+bf(g(x)) = f(c) = 2c + b olur. Bu değerler eşitlikte yerine yazıldığında 2c+b=c+1  ⟹  c+b=12c + b = c + 1 \implies c + b = 1 elde edilir. Bu iki bilinmeyenli denklem sisteminden c=4c = 4 ve b=−3b = -3 olarak bulunur. Dolayısıyla f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 ve g(x)=4g(x) = 4 fonksiyonları elde edilir. Buradan f(4)+g(−3)=5+4=9f(4) + g(-3) = 5 + 4 = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ff ve gg fonksiyonlarının genel kurallarını belirleme
f(x)=ax+bf(x) = ax + b ve g(x)=cg(x) = c (cc bir sabit sayı)
ff fonksiyonunun doğrusal, gg fonksiyonunun ise sabit fonksiyon olduğu belirtilmiştir.
2
f(x+g(x))=2x+5f(x + g(x)) = 2x + 5 eşitliğini kullanma
a=2a = 2 ve 2c+b=52c + b = 5
f(x+c)=a(x+c)+b=ax+ac+bf(x+c) = a(x+c) + b = ax + ac + b ifadesinin 2x+52x + 5 ifadesine eşitlenmesiyle katsayılar karşılaştırılır.
3
f(g(x))=g(f(x))+1f(g(x)) = g(f(x)) + 1 eşitliğini kullanma
c+b=1c + b = 1
gg sabit fonksiyon olduğundan g(f(x))=cg(f(x)) = c ve f(g(x))=f(c)=2c+bf(g(x)) = f(c) = 2c + b olur. Eşitlikten 2c+b=c+12c + b = c + 1 elde edilir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözme
c=4c = 4 ve b=−3b = -3
2c+b=52c + b = 5 ve c+b=1c + b = 1 denklemleri taraf tarafa çıkarılarak cc ve bb değerleri bulunur.
5
İstenen toplam değerini hesaplama
f(4)+g(−3)=9f(4) + g(-3) = 9
f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 ve g(x)=4g(x) = 4 olduğundan f(4)=5f(4) = 5 ve g(−3)=4g(-3) = 4 olur, toplamları 99 yapar.

Anahtar Kavram

Doğrusal ve sabit fonksiyonların cebirsel özellikleri ve bileşke işlemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 83Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için,
x=3f(x)+2f(x)−4x = \frac{3f(x) + 2}{f(x) - 4}
eşitliği veriliyor. Buna göre, f−1(5)f^{-1}(5) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Fonksiyonun tersinin tanımı gereği f−1(5)=17f^{-1}(5) = 17 olarak bulunur.
Verilen denklemde xx zaten f(x)f(x) cinsinden yalnız bırakılmıştır. f(x)=yf(x) = y dersek x=f−1(y)x = f^{-1}(y) olur. Dolayısıyla f−1(y)=3y+2y−4f^{-1}(y) = \frac{3y + 2}{y - 4} elde edilir. Buradan y=5y = 5 yazıldığında f−1(5)=17f^{-1}(5) = 17 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon tanımını uygulamak için f(x)=yf(x) = y değişken dönüşümü yapılır.
x=f−1(y)x = f^{-1}(y) eşitliği elde edilir ve verilen denklem x=3y+2y−4x = \frac{3y + 2}{y - 4} haline gelir.
Bir fonksiyonun tersi, bağımsız değişkeni (xx) bağımlı değişken (yy) cinsinden ifade eder.
2
Elde edilen f−1(y)=3y+2y−4f^{-1}(y) = \frac{3y + 2}{y - 4} ifadesinde yy yerine 5 yazılır.
f−1(5)=3(5)+25−4f^{-1}(5) = \frac{3(5) + 2}{5 - 4} işlemi kurulur.
İstenen f−1(5)f^{-1}(5) değerini hesaplamak için.
3
İşlemler tamamlanarak sonuç bulunur.
f−1(5)=17f^{-1}(5) = 17 elde edilir.
Toplama, çarpma ve bölme işlemlerinin yapılması.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanımı: y=f(x)  ⟺  x=f−1(y)y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)
Soru 84Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları

f(x)={2x+4,x<1x2−3,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 4, & x < 1 \\ x^2 - 3, & x \ge 1 \end{cases}
g(x)={3x−1,x<22x−a,x≥2g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 2 \\ 2x - a, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

(f∘g)(3)=(g∘f)(0)(f \circ g)(3) = (g \circ f)(0)

eşitliğini sağlayan aa gerçel sayısının tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen eşitlikte (g∘f)(0)(g \circ f)(0) ifadesinin değeri 8−a8-a ve (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri, a>5a > 5 kabulü altında 16−2a16-2a olarak bulunur. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde a=8a = 8 tam sayı değeri elde edilir ve bu değer başlangıçtaki aralık koşulunu sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
(g∘f)(0)(g \circ f)(0) ifadesinin değerini bulmak için öncelikle f(0)f(0) değerini hesaplayalım.
f(0)=2(0)+4=4f(0) = 2(0) + 4 = 4
0<10 < 1 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonunun üstteki dalı kullanılır.
2
Bulduğumuz f(0)=4f(0) = 4 değerini gg fonksiyonunda yerine yazarak g(4)g(4) değerini elde edelim.
g(4)=2(4)−a=8−ag(4) = 2(4) - a = 8 - a
4≥24 \ge 2 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonunun alttaki dalı kullanılır.
3
(f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değerini bulmak için öncelikle g(3)g(3) değerini hesaplayalım.
g(3)=2(3)−a=6−ag(3) = 2(3) - a = 6 - a
3≥23 \ge 2 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonunun alttaki dalı kullanılır.
4
Bulduğumuz g(3)=6−ag(3) = 6 - a değerini ff fonksiyonunda yerine yazarak f(6−a)f(6 - a) değerini elde edelim ve (f∘g)(3)=(g∘f)(0)(f \circ g)(3) = (g \circ f)(0) eşitliğini kuralım.
f(6−a)=8−af(6 - a) = 8 - a
f(g(3))=g(f(0))f(g(3)) = g(f(0)) eşitliği gereği bu iki ifade birbirine eşitlenmelidir.
5
aa sayısının bir tam sayı olduğu bilgisiyle 6−a6 - a ifadesinin değer aralığına göre durum analizi yapalım. İlk olarak 6−a<16 - a < 1 (yani a>5a > 5) durumunu inceleyelim.
2(6−a)+4=8−a  ⟹  16−2a=8−a  ⟹  a=82(6 - a) + 4 = 8 - a \implies 16 - 2a = 8 - a \implies a = 8
6−a<16 - a < 1 koşulu altında f(x)f(x) fonksiyonunun üstteki dalı olan 2x+42x + 4 kuralı uygulanır. Bulunan a=8a = 8 değeri a>5a > 5 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
6
İkinci durum olan 6−a≥16 - a \ge 1 (yani a≤5a \le 5) durumunu inceleyelim.
(6−a)2−3=8−a  ⟹  a2−11a+25=0(6 - a)^2 - 3 = 8 - a \implies a^2 - 11a + 25 = 0
6−a≥16 - a \ge 1 koşulu altında f(x)f(x) fonksiyonunun alttaki dalı olan x2−3x^2 - 3 kuralı uygulanır. Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı Δ=121−100=21\Delta = 121 - 100 = 21 olup kökleri rasyonel veya tam sayı değildir. Dolayısıyla bu durumdan tam sayı çözümü gelmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon tanımı ve parçalı fonksiyonlarda değer bulma
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 85Soru →
Bire bir ve örten ff fonksiyonu için,
f−1(2x+3)=x−1f^{-1}(2x + 3) = x - 1
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Ters fonksiyonların temel özelliği gereği f−1(A)=B  ⟺  f(B)=Af^{-1}(A) = B \iff f(B) = A bağıntısı vardır. Soruda verilen f−1(2x+3)=x−1f^{-1}(2x + 3) = x - 1 eşitliğine bu özellik uygulandığında f(x−1)=2x+3f(x - 1) = 2x + 3 elde edilir. f(3)f(3) değerini bulmak için fonksiyonun girdisi olan x−1x-1 ifadesi 3'e eşitlenir ve buradan x=4x = 4 bulunur. Son olarak, 2x+32x+3 ifadesinde xx yerine 4 yazıldığında f(3)=2(4)+3=11f(3) = 2(4)+3 = 11 sonucuna ulaşılır. Bu nedenle doğru cevap 11 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyonun temel özelliğini (f−1(a)=b  ⟺  f(b)=af^{-1}(a) = b \iff f(b) = a) uygulayarak eşitliği düzenleyin.
f(x−1)=2x+3f(x - 1) = 2x + 3 eşitliği elde edilir.
Ters fonksiyondan orijinal fonksiyona geçiş yaparak f(3)f(3) değerini hesaplamayı kolaylaştırmak için.
2
İstenen f(3)f(3) ifadesini elde etmek için fonksiyonun içindeki x−1x - 1 ifadesini 3'e eşitleyin.
x−1=3  ⟹  x=4x - 1 = 3 \implies x = 4 bulunur.
Fonksiyonun girdisinin 3 olması için gereken xx değerini belirlemek için.
3
Bulunan x=4x = 4 değerini fonksiyonun kuralındaki çıkış ifadesinde (2x+32x + 3) yerine yazın.
f(3)=2(4)+3=11f(3) = 2(4) + 3 = 11 elde edilir.
f(3)f(3) değerinin sayısal karşılığını bulmak için.

Anahtar Kavram

Ters fonksiyonun tanımı ve temel özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 86Soru →
İki basamaklı xyxy doğal sayısı için bir ff fonksiyonu
f(xy)={2x+y,x<y3x−y,x≥yf(xy) = \begin{cases} 2x + y, & x < y \\ 3x - y, & x \ge y \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f(ab)=14f(ab) = 14 eşitliğini sağlayan en büyük iki basamaklı abab doğal sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

En büyük iki basamaklı ab sayısı 77'dir.
Elde edilen tüm iki basamaklı abab adayları {38,46,51,64,77}\{38, 46, 51, 64, 77\} kümesidir. Bu değerler arasında en büyük olanı 77'dir ve bu sayı a≥ba \ge b (7≥77 \ge 7) koşulunu sağladığından ikinci dal üzerinden f(77)=3(7)−7=14f(77) = 3(7) - 7 = 14 eşitliğini doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun parçalı yapısına göre abab sayısının basamakları için a<ba < b ve a≥ba \ge b durumlarını belirlemek.
x=ax = a ve y=by = b alınarak iki farklı dal incelenir.
f(ab)f(ab) değerini hesaplamak için basamakların büyüklük ilişkisine göre hangi kuralın uygulanacağını saptamak gerekir.
2
Birinci durum olan a<ba < b koşulunu incelemek: 2a+b=14  ⟹  b=14−2a2a + b = 14 \implies b = 14 - 2a denklemini çözmek.
bb bir rakam olduğundan 14−2a≤9  ⟹  2a≥5  ⟹  a≥314 - 2a \le 9 \implies 2a \ge 5 \implies a \ge 3 olur. a<b  ⟹  a<14−2a  ⟹  3a<14  ⟹  a≤4a < b \implies a < 14 - 2a \implies 3a < 14 \implies a \le 4 elde edilir. Bu aralıkta a=3  ⟹  b=8a = 3 \implies b = 8 (3838 sayısı) ve a=4  ⟹  b=6a = 4 \implies b = 6 (4646 sayısı) bulunur.
Birinci kuralı ve onun koşulunu sağlayan tüm iki basamaklı sayıları belirlemek için.
3
İkinci durum olan a≥ba \ge b koşulunu incelemek: 3a−b=14  ⟹  b=3a−143a - b = 14 \implies b = 3a - 14 denklemini çözmek.
bb bir rakam olduğundan 0≤3a−14≤9  ⟹  14≤3a≤23  ⟹  a∈{5,6,7}0 \le 3a - 14 \le 9 \implies 14 \le 3a \le 23 \implies a \in \{5, 6, 7\} olur. a≥b  ⟹  a≥3a−14  ⟹  2a≤14  ⟹  a≤7a \ge b \implies a \ge 3a - 14 \implies 2a \le 14 \implies a \le 7 elde edilir. Buradan a=5  ⟹  b=1a = 5 \implies b = 1 (5151 sayısı), a=6  ⟹  b=4a = 6 \implies b = 4 (6464 sayısı) ve a=7  ⟹  b=7a = 7 \implies b = 7 (7777 sayısı) bulunur.
İkinci kuralı ve onun koşulunu sağlayan tüm iki basamaklı sayıları belirlemek için.
4
Bulunan tüm çözümler içinden en büyük olanı seçmek.
Çözüm kümesi {38,46,51,64,77}\{38, 46, 51, 64, 77\} olup en büyük eleman 77'dir.
Soruda istenen en büyük iki basamaklı abab doğal sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve basamak analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 87Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff birim, gg sabit ve hh doğrusal fonksiyondur.

Her xx gerçel sayısı için,
h(x)−f(3x)=g(x)⋅(x−2)h(x) - f(3x) = g(x) \cdot (x - 2)
eşitliği sağlanmaktadır.
−1<h(1)≤9-1 < h(1) \leq 9
olduğuna göre, g(100)g(100) değerinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Doğru cevap 3'tür. f(x)f(x) birim fonksiyon olduğundan f(3x)=3xf(3x) = 3x ve g(x)g(x) sabit fonksiyon olduğundan g(x)=cg(x) = c olur. Eşitlikte yerlerine yazıldığında h(x)=(3+c)x−2ch(x) = (3+c)x - 2c doğrusal fonksiyonu elde edilir. h(1)=3−ch(1) = 3-c ifadesi −1<3−c≤9-1 < 3-c \leq 9 eşitsizliğinde yerine konulup çözüldüğünde −6≤c<4-6 \leq c < 4 aralığı elde edilir. g(100)=cg(100) = c olduğundan, cc'nin bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birim ve sabit fonksiyonların tanımlarını uygulayarak f(3x) ve g(x) ifadelerini belirleme.
f(3x)=3xf(3x) = 3x ve g(x)=cg(x) = c (burada cc bir gerçel sayı sabitidir).
Birim fonksiyon girdiyi aynen dışarı çıkarırken, sabit fonksiyon her girdiyi aynı sabite eşler.
2
Elde edilen ifadeleri verilen ana eşitlikte yerine yazarak h(x) fonksiyonunu bulma.
h(x)−3x=c(x−2)  ⟹  h(x)=(3+c)x−2ch(x) - 3x = c(x - 2) \implies h(x) = (3+c)x - 2c doğrusal fonksiyonu elde edilir.
h(x) fonksiyonunu tek başına bırakarak c sabiti cinsinden kuralını belirlemek.
3
h(1) değerini hesaplama ve verilen eşitsizlikte yerine yazma.
h(1)=3−ch(1) = 3 - c olur. Buradan −1<3−c≤9-1 < 3 - c \leq 9 eşitsizliği elde edilir.
c sabitinin değer aralığını bulmak için verilen eşitsizlik sınırlarını kullanmak.
4
Eşitsizliği çözerek c sabitinin sınırlarını belirleme.
−4<−c≤6  ⟹  −6≤c<4-4 < -c \leq 6 \implies -6 \leq c < 4 elde edilir.
Negatif bir sayıya bölme/çarpma yapıldığından eşitsizliğin yönü değiştirilir.
5
g(100) değerini bulma ve bu değerin alabileceği en büyük tam sayı değerini belirleme.
g(100)=cg(100) = c olduğundan, [−6,4)[-6, 4) aralığındaki en büyük tam sayı değeri 3'tür.
Sabit fonksiyonun her noktadaki değeri c olduğundan, c'nin en büyük tam sayı değeri cevabı verir.

Anahtar Kavram

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonların Özellikleri ile Eşitsizlik Çözümü
Soru 88Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={4−2x,x<1x−4,x≥1f(x) = \begin{cases} 4 - 2x, & x < 1 \\ x - 4, & x \ge 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğini sağlayan aa gerçek sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçek sayıların toplamı 9'dur.
f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğini sağlayan aa gerçek sayıları −1-1 ve 1010 değerleridir. Bu değerlerin toplamı −1+10=9-1 + 10 = 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapılarak f(y)=2f(y) = 2 denklemi elde edilir.
f(y)=2f(y) = 2 denkleminin çözümü aranır.
Bileşke fonksiyonu dıştan içe doğru çözmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
f(y)=2f(y) = 2 eşitliği parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu iki aralık için ayrı ayrı çözülür:
- y<1y < 1 için: 4−2y=2  ⟹  −2y=−2  ⟹  y=14 - 2y = 2 \implies -2y = -2 \implies y = 1 elde edilir. Ancak bulduğumuz y=1y = 1 değeri y<1y < 1 koşulunu sağlamadığı için bu aralıktan bir çözüm gelmez.
- y≥1y \ge 1 için: y−4=2  ⟹  y=6y - 4 = 2 \implies y = 6 elde edilir. Bulduğumuz 66 değeri y≥1y \ge 1 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
Geçerli aralık koşullarına göre f(a)=6f(a) = 6 elde edilir.
Parçalı fonksiyonlarda her bir aralık için elde edilen sonuçların, o aralığın tanım kümesine uygunluğu denetlenmelidir.
3
f(a)=6f(a) = 6 denklemi parçalı fonksiyonun aralıklarına göre çözülür:
- a<1a < 1 için: 4−2a=6  ⟹  −2a=2  ⟹  a=−14 - 2a = 6 \implies -2a = 2 \implies a = -1 elde edilir. Bulduğumuz −1-1 değeri a<1a < 1 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
- a≥1a \ge 1 için: a−4=6  ⟹  a=10a - 4 = 6 \implies a = 10 elde edilir. Bulduğumuz 1010 değeri a≥1a \ge 1 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
aa gerçek sayısının alabileceği değerler −1-1 ve 1010 olarak bulunur.
İçteki fonksiyonun değerini sağlayan girdi parametreleri belirlenir.
4
Bulunan geçerli aa değerleri toplanır: −1+10=9-1 + 10 = 9.
Toplamın sonucu 9 olarak hesaplanır.
Soruda istenen değerlerin toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 89Soru →
f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2
g(x)=x2−3x+1g(x) = x^2 - 3x + 1

biçiminde tanımlanan ff ve gg fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, (g∘f)(x)=5(g \circ f)(x) = 5 eşitliğini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73\frac{7}{3}

Cevap

Eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı 73\frac{7}{3}'tür.
Eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamının 73\frac{7}{3} olduğunu gösteren seçenek doğrudur. Bileşke fonksiyon kuralı doğru uygulanıp g(f(x))=5g(f(x)) = 5 denklemi (f(x)−4)(f(x)+1)=0(f(x) - 4)(f(x) + 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında f(x)=4f(x) = 4 veya f(x)=−1f(x) = -1 değerlerine ulaşılır. Bu değerler sırasıyla 3x−2=43x - 2 = 4 ve 3x−2=−13x - 2 = -1 denklemlerine eşitlendiğinde xx değerleri 22 ve 13\frac{1}{3} olarak bulunur. Toplamları ise 73\frac{7}{3} eder.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulayarak (g∘f)(x)=5(g \circ f)(x) = 5 ifadesini açık biçimde yazmak.
g(f(x))=5  ⟹  (f(x))2−3f(x)+1=5g(f(x)) = 5 \implies (f(x))^2 - 3f(x) + 1 = 5 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyon işleminde içteki fonksiyon, dıştaki fonksiyonda değişken yerine yazılır.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenlemek ve çarpanlarına ayırmak.
(f(x))2−3f(x)−4=0  ⟹  (f(x)−4)(f(x)+1)=0(f(x))^2 - 3f(x) - 4 = 0 \implies (f(x) - 4)(f(x) + 1) = 0 elde edilir. Buradan f(x)=4f(x) = 4 veya f(x)=−1f(x) = -1 bulunur.
Denklemi sıfıra eşitleyerek çarpanlarına ayırmak, f(x)f(x) fonksiyonunun alabileceği değerleri belirlememizi sağlar.
3
Bulunan f(x)f(x) değerlerini f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 kuralına eşitleyerek xx değerlerini çözmek.
3x−2=4  ⟹  3x=6  ⟹  x=23x - 2 = 4 \implies 3x = 6 \implies x = 2 ve 3x−2=−1  ⟹  3x=1  ⟹  x=133x - 2 = -1 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} bulunur.
f(x)f(x)'in alabileceği her bir değere karşılık gelen gerçel xx sayılarını bulmak gerekir.
4
Elde edilen farklı xx gerçel sayılarının toplamını hesaplamak.
2+13=732 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} olarak bulunur.
Soruda eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı istendiği için bulunan kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon tanımı ve bileşke içeren denklemlerin çözümü.
Soru 90Soru →
aa bir pozitif tam sayı olmak üzere,
f(x)=a−∣x−3∣f(x) = \sqrt{a - |x - 3|}
fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıktaki tüm tam sayıların toplamı 3333'tür.

Buna g��re, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru yanıt 5 değeridir.
Doğru yanıt olan 5 değeri, çift dereceli kök fonksiyonunun tanımlı olması için gereken a−∣x−3∣≥0a - |x - 3| \geq 0 şartını sağlar. Bu eşitsizlikten elde edilen 3−a≤x≤3+a3-a \leq x \leq 3+a kapalı aralığında 33 merkezli simetrik tam sayılar yer alır. Terim sayısı ile ortanca terimin çarpımından elde edilen 3(2a+1)=333(2a+1) = 33 denklemi çözüldüğünde a=5a = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanım kümesi ��artını belirleme
a−∣x−3∣≥0  ⟹  ∣x−3∣≤aa - |x - 3| \geq 0 \implies |x - 3| \leq a
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
Mutlak değerli eşitsizliği çözerek xx'in tanım aralığını bulma
−a≤x−3≤a  ⟹  3−a≤x≤3+a-a \leq x - 3 \leq a \implies 3 - a \leq x \leq 3 + a
Mutlak değer eşitsizliği kuralı (∣u∣≤k  ⟹  −k≤u≤k|u| \leq k \implies -k \leq u \leq k) uygulanır ve eşitsizliğin her tarafına 3 eklenir.
3
Tanım aralığındaki tam sayıların adedini ve toplamını formüle etme
Terim sayısı: 2a+12a + 1, Terimler toplamı: 3×(2a+1)=6a+33 \times (2a + 1) = 6a + 3
3−a3-a ile 3+a3+a arasındaki tam sayılar 33 noktasına göre simetriktir. Terim sayısı (3+a)−(3−a)+1=2a+1(3+a) - (3-a) + 1 = 2a+1 olur. Ardışık ve simetrik dağılan sayıların toplamı, ortanca terim (33) ile terim sayısının çarpımıdır.
4
Toplamı verilen değere eşitleyerek aa'yı bulma
6a+3=33  ⟹  6a=30  ⟹  a=56a + 3 = 33 \implies 6a = 30 \implies a = 5
Soruda tam sayıların toplamı 33 olarak verildiğinden elde edilen denklem çözülerek aa pozitif tam sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Köklü ve mutlak değerli fonksiyonların en geniş tanım kümesini bulma ve ardışık sayıların toplamı prensibini uygulama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 91Soru →
Tanım kümesi A=(−∞,a]A = (-\infty, a] ve değer kümesi B=[b,∞)B = [b, \infty) olmak üzere,
f:A→Bf: A \rightarrow B
f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8
fonksiyonu bire bir ve örtendir.

aa sayısının alabileceği en büyük değer için, f−1(15)+a⋅bf^{-1}(15) + a \cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İfadenin değeri -4'tür.
Parabolün tepe noktası r=3r = 3 olup fonksiyonun bire bir olmasını sağlayan en büyük aa değeri 33'tür. Bu noktadaki minimum değer f(3)=−1f(3) = -1 olduğundan örtenlik şartı gereği b=−1b = -1 olur. f(x)=15f(x) = 15 denkleminin köklerinden (−∞,3](-\infty, 3] aralığında olanı x=−1x = -1 olduğundan f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1 elde edilir. Bu değerler yerine konulduğunda sonuç −4-4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin sınırı olan a değerini belirlemek için parabolün tepe noktasını bulma
a=3a = 3
f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun tanım kümesi (−∞,a](-\infty, a] olarak verilmiştir. İkinci dereceden bir fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi tepe noktasının apsisi olan r=−−62=3r = -\frac{-6}{2} = 3 değerini aşmamalıdır (a≤3a \le 3). Dolayısıyla aa'nın alabileceği en büyük değer 3'tür.
2
Değer kümesinin sınırı olan b değerini belirlemek için fonksiyonun görüntü kümesini bulma
b=−1b = -1
a=3a = 3 için fonksiyonun tanım kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olur. Bu aralıkta fonksiyon azalandır ve en küç��k değerini tepe noktasında alır. f(3)=32−6(3)+8=−1f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = -1 olduğundan görüntü kümesi [−1,∞)[-1, \infty) olur. Fonksiyon örten olduğu için değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalıdır, buradan b=−1b = -1 bulunur.
3
f−1(15)f^{-1}(15) değerini bulmak için uygun kökü seçerek denklem çözme
f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1
f(x)=15  ⟹  x2−6x+8=15  ⟹  x2−6x−7=0  ⟹  (x−7)(x+1)=0f(x) = 15 \implies x^2 - 6x + 8 = 15 \implies x^2 - 6x - 7 = 0 \implies (x-7)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=7x = 7 ve x=−1x = -1'dir. Tanım kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olduğundan sadece x=−1x = -1 bu kümeye aittir.
4
Bulunan değerleri ifadeye yerleştirip sonucu hesaplama
−4-4
f−1(15)+a⋅bf^{-1}(15) + a \cdot b ifadesinde a=3a = 3, b=−1b = -1 ve f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1 değerleri yerine yazılarak −1+3⋅(−1)=−4-1 + 3 \cdot (-1) = -4 elde edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tepe noktasına göre tanım ve değer kümelerinin sınırlandırılması ve ters fonksiyon değerinin bu sınırlar içinde bulunması.
Soru 92Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için
f(n)={n−3,n tek isef(n2)+1,n c¸ift isef(n) = \begin{cases} n - 3, & n \text{ tek ise} \\ f\left(\frac{n}{2}\right) + 1, & n \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(a)=5f(a) = 5 eşitliğini sağlayan iki basamaklı aa doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

İki basamaklı a doğal sayılarının toplamı 150'dir.
Fonksiyon tanımına göre pozitif bir a sayısı a = 2^k * m (m tek sayı) olarak yazıldığında, f(a) = m - 3 + k eşitliği sağlanır. f(a) = 5 olması için m + k = 8 olmalıdır. m tek sayı ve k >= 0 koşulunu sağlayan iki basamaklı a değerleri 14, 40 ve 96'dır. Bu sayıların toplamı 150 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun kuralını a=2k⋅ma = 2^k \cdot m (mm tek sayı ve k≥0k \ge 0 tam sayı) genel gösterimi için ifade etmek.
f(a)=(m−3)+kf(a) = (m - 3) + k genel formülü elde edilir.
Çift sayılar için her 2'ye bölme işleminde fonksiyona 1 eklendiğinden, kk adet bölme işlemi sonunda tek sayı olan mm değerine ulaşılır.
2
f(a)=5f(a) = 5 eşitliğini genel formüle uygulamak ve mm ile kk arasındaki ilişkiyi bulmak.
(m−3)+k=5  ⟹  m+k=8(m - 3) + k = 5 \implies m + k = 8 denklemi elde edilir.
İstenen fonksiyon değerine ulaşmak için mm ve kk değişkenlerinin alabileceği değerlerin sınırlarını belirlemek gerekir.
3
mm değerinin tek sayı ve k≥0k \ge 0 tam sayı olması koşullarını kullanarak olası (m,k)(m, k) ikililerini ve bunlara karşılık gelen aa değerlerini belirlemek.
m=1  ⟹  k=7  ⟹  a=128m=1 \implies k=7 \implies a=128, m=3  ⟹  k=5  ⟹  a=96m=3 \implies k=5 \implies a=96, m=5  ⟹  k=3  ⟹  a=40m=5 \implies k=3 \implies a=40 ve m=7  ⟹  k=1  ⟹  a=14m=7 \implies k=1 \implies a=14 değerleri bulunur.
mm pozitif tek tam sayı olmak zorundadır, bu yüzden mm değeri sadece 1, 3, 5 ve 7 değerlerini alabilir.
4
Bulunan aa değerlerinden iki basamaklı olanları seçip toplamak.
İki basamaklı sayılar 14, 40 ve 96 olup, toplamları 14+40+96=15014 + 40 + 96 = 150 olarak hesaplanır.
Soru kökündeki 'iki basamaklı' koşulu gereği 128 değeri elenir ve kalan uygun değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Parçalı/İndirgemeli Fonksiyonlar
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 93Soru →

A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 2| \le 3\} ve B = \{y \in \mathbb{R} : y \ge 0\} olmak üzere, f: A \rightarrow B bağıntısı f(x) = \sqrt{9 - x^2} kuralı ile tanımlanmıştır. Bu bağıntı bir fonksiyondur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Tanımlanan bağıntı bir fonksiyon belirtmez.
Bağıntı bir fonksiyon değildir çünkü tanım kümesindeki 3'ten büyük elemanlar için kök içi negatif olur ve bu elemanların değer kümesinde bir karşılığı bulunmaz.

Adım Adım Çözüm

1
A tanım kümesini belirlemek için mutlak değerli eşitsizliği çözün.
A = [-1, 5] aralığıdır.
|x - 2| \le 3 eşitsizliği -3 \le x - 2 \le 3 şeklinde yazılır. Eşitsizliğin her tarafına 2 eklendiğinde -1 \le x \le 5 elde edilir.
2
Fonksiyon kuralının tanımlı olabilmesi için gereken x değerlerini belirleyin.
x \in [-3, 3] olmalıdır.
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. 9 - x^2 \ge 0 eşitsizliğinden x^2 \le 9 elde edilir, bu da -3 \le x \le 3 demektir.
3
Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir karşılığı olup olmadığını değerlendirin.
(3, 5] aralığındaki elemanların görüntüsü yoktur.
Tanım kümesi A = [-1, 5] olduğundan, 3'ten büyük olan elemanlar (örneğin x = 4) için f(x) kuralı tanımsızdır. Değer kümesi olan B = [0, \infty) kümesinde bir görüntü elde edilemez.

Anahtar Kavram

Bir bağıntının fonksiyon belirtmesi için tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesinde tanımlı ve benzersiz bir görüntüsü bulunmalıdır.

Alternatif Yöntem

Bağıntının fonksiyon olmadığını göstermek için tek bir karşıt örnek (karşı örnek) yeterlidir. Tanım kümesi A = [-1, 5] olup x = 4 bu kümenin elemanıdır. Ancak f(4) = \sqrt{9 - 16} = \sqrt{-7} gerçek sayı değildir ve değer kümesi B'de bulunmaz. Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığından bağıntı fonksiyon değildir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 94Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı, gerçel sayılar kümesi üzerinde olan ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için,
3⋅f(x)+g(−x)=x2−4x+63 \cdot f(x) + g(-x) = x^2 - 4x + 6

eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=3f(2) = 3 olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7 değerini içeren seçenektir.
Doğru seçenekte yer alan 7 değeri, f fonksiyonunun çift ve g fonksiyonunun tek fonksiyon olduğu kurallarının eksiksiz ve doğru uygulanmasıyla elde edilir. x = 2 yazılarak elde edilen 3 * f(2) + g(-2) = 2 denkleminde, f(2) = 3 değeri yerine konulduğunda g(-2) = -7 bulunur. g tek fonksiyon olduğu için g(2) = -g(-2) = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiklerin simetri özelliklerinden yararlanarak fonksiyonların teklik ve çiftlik durumlarını belirleme.
f fonksiyonunun grafiği y-eksenine göre simetrik olduğundan f bir çift fonksiyondur. Dolayısıyla her x için f(-x) = f(x) olur. g fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan g bir tek fonksiyondur. Dolayısıyla her x için g(-x) = -g(x) olur.
Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri tanımlarını cebirsel ifadelere dönüştürmek için.
2
Verilen denklemde istenen g(2) değerine ulaşmak amacıyla x = 2 yazarak denklemi düzenleme.
x = 2 için denklem: 3 * f(2) + g(-2) = 2^2 - 4*(2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2 haline gelir.
g(2) ve g(-2) değerleri arasındaki ilişkiyi kurabileceğimiz bir eşitlik elde etmek için.
3
f(2) = 3 değerini denklemde yerine yazarak g(-2) değerini bulma.
3 * 3 + g(-2) = 2 ise 9 + g(-2) = 2 buradan g(-2) = -7 olarak bulunur.
Tek bilinmeyenli denklem çözümünü tamamlamak için.
4
g fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğini kullanarak g(2) değerini hesaplama.
g(-2) = -g(2) olduğundan, -7 = -g(2) ise g(2) = 7 elde edilir.
g(-2) değerinden g(2) değerine geçiş yapmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların grafiklerinin simetri özellikleri (y-eksenine göre simetri çift fonksiyon, orijine göre simetri tek fonksiyon belirtir) ve bu fonksiyonların cebirsel kuralları.
Soru 95Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, bire bir ve örten ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5
(g−1∘f)−1(x)=2x+1x−3(g^{-1} \circ f)^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}
eşitlikleri veriliyor.

Buna g��re, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

g(2) değeri -20'dir.
Bileşke fonksiyonun tersi kuralı ve ters fonksiyon tanımı adım adım uygulandığında g(2)=f(−5)g(2) = f(-5) eşitliğine ulaşılır. f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5 fonksiyonunda xx yerine −5-5 yazılarak doğru sonucun -20 olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun tersi kuralını uygulayarak verilen ifadeyi sadeleştirin.
f−1(g(x))=2x+1x−3f^{-1}(g(x)) = \frac{2x + 1}{x - 3}
İki fonksiyonun bileşkesinin tersi alınırken fonksiyonların tersleri alınır ve işlem sırası tersine döner: (g−1∘f)−1(x)=(f−1∘(g−1)−1)(x)=(f−1∘g)(x)(g^{-1} \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ (g^{-1})^{-1})(x) = (f^{-1} \circ g)(x) olur.
2
Elde edilen eşitlikte x=2x = 2 yazarak f−1(g(2))f^{-1}(g(2)) değerini bulun.
f−1(g(2))=−5f^{-1}(g(2)) = -5
Bizden g(2)g(2) değeri istendiği için eşitliğin sağ tarafında xx yerine 22 yazılır: 2(2)+12−3=5−1=−5\frac{2(2) + 1}{2 - 3} = \frac{5}{-1} = -5 elde edilir.
3
Ters fonksiyon özelliğini kullanarak ifadeyi ff cinsinden yazın.
g(2)=f(−5)g(2) = f(-5)
Ters fonksiyon tanımı gereği f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y) = x \iff f(x) = y kuralı uygulanır.
4
Tanımlı f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5 fonksiyonunda xx yerine −5-5 yazarak sonucu hesaplayın.
g(2)=−20g(2) = -20
f(−5)=3(−5)−5=−15−5=−20f(-5) = 3(-5) - 5 = -15 - 5 = -20 olur, bu da g(2)g(2) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Ters Fonksiyon Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 96Soru →

A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesi veriliyor.

f:A→Zf: A \rightarrow \mathbb{Z} olmak üzere,

f(x)=12x2−mf(x) = \frac{12}{x^2 - m}

kuralıyla verilen ff bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için mm tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 3'tür.
Doğru yanıt, sağlayan mm değerlerinin toplamının 3 olduğunu belirten seçenektir. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün değer kümesinde bulunması kuralından yola çıkılarak x=0x=0 için 12/m12/m ifadesinin tam sayı olması gerektiği ve tanımsızlık yapmayan mm değerlerinden yalnızca 22, 33 ve −2-2 tam sayılarının tanım kümesindeki tüm elemanlar için tam sayı görüntüler ürettiği gösterilmiştir. Bu değerlerin toplamı 2+3+(−2)=32 + 3 + (-2) = 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki elemanların değer kümesinde tanımlı olmasın�� inceleme
f(x)=12x2−mf(x) = \frac{12}{x^2 - m} bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için AA kümesindeki her elemanın görüntüsü Z\mathbb{Z} (tam sayılar) kümesinin bir elemanı olmalıdır. x=0∈Ax = 0 \in A için f(0)=−12m∈Zf(0) = -\frac{12}{m} \in \mathbb{Z} olmalıdır. Bu durum, mm tam sayısının 1212 sayısının bir tam sayı böleni olmasını gerektirir.
Fonksiyonun her tanım kümesi elemanı için değer kümesinde bir karşılığı olmalıdır.
2
1212 sayısının tam sayı bölenlerini listeleme ve tanımsızlık durumlarını filtreleme
m∈{−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}m \in \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\} olmalıdır. Ayrıca paydanın sıfır olmaması gerekir. x∈Ax \in A için x2∈{0,1,4}x^2 \in \{0, 1, 4\} değerlerini alabilir. Dolayısıyla x2−m=0x^2 - m = 0 olmaması için m∉{0,1,4}m \notin \{0, 1, 4\} olmalıdır. Buradan m=1m = 1 ve m=4m = 4 değerleri elenir.
Paydanın sıfır olması durumunda fonksiyon tanımsız olacağından bu değerler çözüm kümesinden çıkarılır.
3
Kalan mm değerlerini her x∈Ax \in A için kontrol etme
Geriye kalan mm değerleri tek tek denenir:
- m=2m = 2 için: f(0)=−6f(0) = -6, f(±1)=−12f(\pm 1) = -12, f(±2)=6f(\pm 2) = 6 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
- m=3m = 3 için: f(0)=−4f(0) = -4, f(±1)=−6f(\pm 1) = -6, f(±2)=12f(\pm 2) = 12 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
- m=−2m = -2 için: f(0)=6f(0) = 6, f(±1)=4f(\pm 1) = 4, f(±2)=2f(\pm 2) = 2 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
Diğer aday tam sayılar denendiğinde en az bir x∈Ax \in A için görüntünün tam sayı olmadığı görülür (Örneğin m=−1m = -1 için f(±2)=12/5∉Zf(\pm 2) = 12/5 \notin \mathbb{Z}).
Her elemanın görüntüsünün değer kümesinin sınırları içinde (tam sayı) kaldığından emin olunur.
4
Koşulları sağlayan mm değerlerinin toplamını hesaplama
Koşulu sağlayan mm değerleri {2,3,−2}\{2, 3, -2\} olarak bulunur. Toplamları ise 2+3+(−2)=32 + 3 + (-2) = 3 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyon olma şartı ve değer kümesi uyumluluğu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 97Soru →

Tüm gerçel sayılar için tanımlı ff fonksiyonu tek, gg fonksiyonu ise çift fonksiyondur.

Her xx gerçel sayısı için
f(x)+g(x)=2x3+(a−3)x2+(b+1)x+2a−bf(x) + g(x) = 2x^3 + (a-3)x^2 + (b+1)x + 2a - b

eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=5f(1) = 5 ve g(2)=10g(2) = 10 olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen fonksiyon toplamında, tek fonksiyon olan f(x)f(x) sadece tek dereceli terimleri (2x32x^3 ve (b+1)x(b+1)x), çift fonksiyon olan g(x)g(x) ise sadece çift dereceli terimleri ve sabit terimi ((a−3)x2(a-3)x^2 ve 2a−b2a-b) içermelidir. Bu ayrıştırma yapıldıktan sonra f(1)=5f(1)=5 eşitliğinden b=2b=2 ve g(2)=10g(2)=10 eşitliğinden a=4a=4 elde edilir. Bu değerlerin çarpımı 8 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların teklik ve çiftlik özelliklerini kullanarak polinomun terimlerini ayrıştırın.
f(x)=2x3+(b+1)xf(x) = 2x^3 + (b+1)x ve g(x)=(a−3)x2+2a−bg(x) = (a-3)x^2 + 2a - b elde edilir.
Tek fonksiyonlar sadece tek dereceli terimleri, çift fonksiyonlar ise sadece çift dereceli terimleri ve sabit terimi barındırır.
2
f(1)=5f(1) = 5 eşitliğini kullanarak bb değerini hesaplayın.
f(1)=2(1)3+(b+1)(1)=b+3=5  ⟹  b=2f(1) = 2(1)^3 + (b+1)(1) = b + 3 = 5 \implies b = 2 bulunur.
Tek fonksiyon bileşeninde verilen değeri yerine yazarak bilinmeyen bb katsayısını belirlemek için.
3
g(2)=10g(2) = 10 eşitliğini ve bulunan b=2b = 2 değerini kullanarak aa değerini hesaplayın.
g(2)=(a−3)(22)+2a−b=6a−14=10  ⟹  6a=24  ⟹  a=4g(2) = (a-3)(2^2) + 2a - b = 6a - 14 = 10 \implies 6a = 24 \implies a = 4 bulunur.
Çift fonksiyon bileşeninde verilen değeri yerine yazarak bilinmeyen aa katsayısını belirlemek için.
4
Bulunan aa ve bb değerlerinin çarpımını bulun.
a⋅b=4⋅2=8a \cdot b = 4 \cdot 2 = 8 olarak hesaplanır.
Soruda istenen çarpım değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Polinom tipindeki tek ve çift fonksiyonların derecelerine göre terim ayrıştırması
Soru 98Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x)=25−x2+∣x−1∣−2f(x) = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{|x - 1| - 2}

fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -3'tür.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi [−5,−1]∪[3,5][-5, -1] \cup [3, 5] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı ise -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kareköklü ifadenin tanımlı olduğu aralığı bulmak.
−5≤x≤5-5 \le x \le 5
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
İkinci kareköklü ifadenin tanımlı olduğu aralığı bulmak.
x≥3x \ge 3 veya x≤−1x \le -1
Mutlak değerli ifadenin kök dışına çıkabilmesi için ∣x−1∣≥2|x - 1| \ge 2 eşitsizliği çözülür.
3
İki aralığın kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirlemek.
[−5,−1]∪[3,5][-5, -1] \cup [3, 5]
Fonksiyonun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplamak.
Toplam = −3-3
Belirlenen aralıklardaki tam sayılar −5,−4,−3,−2,−1,3,4,5-5, -4, -3, -2, -1, 3, 4, 5 olup toplamları −3-3 yapar.

Anahtar Kavram

Köklü ve mutlak değerli ifadelerin reel sayılardaki tanım kümelerinin bulunması ve kesiştirilmesi.
Soru 99Soru →

Tanımlı oldukları en geniş kümeler sırasıyla KK ve MM olan ff ve gg fonksiyonları

f(x)=6−∣x−2∣f(x) = \sqrt{6 - |x - 2|}
g(x)=x+2x2−x−6g(x) = \frac{x + 2}{x^2 - x - 6}

kurallarıyla veriliyor.

Buna göre, K∖MK \setminus M kümesinin elemanı olan tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

K ve M kümelerinin farkı olan K∖MK \setminus M kümesindeki tam sayıların toplamı 11 değeridir.
Doğru sonuca ulaşmak için ff fonksiyonunun tanımlı olduğu [−4,8][-4, 8] aralığı ile gg fonksiyonunun tanımsız olduğu {−2,3}\{-2, 3\} noktaları bulunur. K∖MK \setminus M kümesi, KK kümesinde olup MM kümesinde olmayan elemanları yani tanımsızlık noktalarını içerdiğinden {−2,3}\{-2, 3\} kümesidir. Bu elemanların toplamı 11 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin koşulunu belirleme.
6−∣x−2∣≥0  ⟹  ∣x−2∣≤6  ⟹  −6≤x−2≤6  ⟹  −4≤x≤86 - |x - 2| \geq 0 \implies |x - 2| \leq 6 \implies -6 \leq x - 2 \leq 6 \implies -4 \leq x \leq 8, yani K=[−4,8]K = [-4, 8] kümesi elde edilir.
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için paydanın sıfır olmama koşulunu belirleme.
x2−x−6≠0  ⟹  (x−3)(x+2)≠0  ⟹  x≠3x^2 - x - 6 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 2) \neq 0 \implies x \neq 3 ve x≠−2x \neq -2, yani M=R∖{−2,3}M = \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\} kümesi elde edilir.
Rasyonel ifadelerin tanımlı olması için paydanın sıfırdan farklı olması gerekir.
3
K∖MK \setminus M kümesini bulma ve bu kümedeki tam sayıları belirleme.
K∖M=[−4,8]∖(R∖{−2,3})={−2,3}K \setminus M = [-4, 8] \setminus (\mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}) = \{-2, 3\} kümesi elde edilir.
K∖MK \setminus M kümesi, KK kümesinde olup MM kümesinde olmayan elemanlardan oluşur.
4
K∖MK \setminus M kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplama.
−2+3=1-2 + 3 = 1 bulunur.
Kümedeki tam sayılar −2-2 ve 33 olduğundan bu iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlerin en geniş tanım kümelerinin bulunması, rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerlerin hariç tutulması, çift dereceli köklü ifadelerin içerisinin negatif olamaması ve küme farkı işlemi.
Soru 100Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)={3x−2,x<22x+a,x≥2f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x < 2 \\ 2x + a, & x \geq 2 \end{cases} parçalı fonksiyonunun örten bir fonksiyon olması için aa gerçel sayısı en fazla 00 olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ifade doğrudur çünkü parçalı fonksiyonun dallarına ait görüntü kümelerinin birleşimi olan (−∞,4)∪[4+a,∞)(-\infty, 4) \cup [4 + a, \infty) kümesinin tüm gerçel sayılar kümesini (R\mathbb{R}) kaplaması için sınır değerlerin 4+a≤44 + a \leq 4 koşulunu sağlaması gerekir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde a≤0a \leq 0 bulunur ve aa gerçel sayısının en fazla 00 olabileceği doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parçalı fonksiyonun dallarının ayrı ayrı görüntü kümelerini bulalım.
x<2x < 2 için 3x−2<43x - 2 < 4 olduğundan ilk dalın görüntü kümesi A=(−∞,4)A = (-\infty, 4) aralığıdır. x≥2x \geq 2 için 2x+a≥4+a2x + a \geq 4 + a olduğundan ikinci dalın görüntü kümesi B=[4+a,∞)B = [4 + a, \infty) aralığıdır.
Parçalı fonksiyonun toplam görüntü kümesini elde etmek için her bir tanım aralığına karşılık gelen değer sınırlarını belirlememiz gerekir.
2
Fonksiyonun örten olması koşulunu uygulayalım.
Fonksiyonun örten olması için görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalıdır. Değer kümesi gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) olarak verildiğinden, A∪B=RA \cup B = \mathbb{R} yani (−∞,4)∪[4+a,∞)=R(-\infty, 4) \cup [4 + a, \infty) = \mathbb{R} olmalıdır.
Örten fonksiyon tanımı gereği, tanım kümesindeki elemanların eşlendiği değerlerin birleşimi tüm değer kümesini örtmelidir.
3
aa parametresi için elde edilen aralık sınır eşitsizliğini çözelim.
İki aralığın birleşiminin gerçel sayılar doğrusunda boşluk bırakmaması için ikinci aralığın başlangıç sınırı, ilk aralığın bitiş sınırından büyük olmamalıdır: 4+a≤4⇒a≤04 + a \leq 4 \Rightarrow a \leq 0 olur. Buradan aa gerçel sayısının alabileceği en büyük (en fazla) değer 00 olarak bulunur.
Eğer 4+a>44+a > 4 olsaydı, iki aralık arasında boşluk kalır ve fonksiyon örten olamazdı.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda görüntü kümesi bulma ve örtenlik şartı inceleme
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 5 / 8Sonraki
Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin