Examkin

Fonksiyonlar

141 soru

Tüm türler141Çoktan seçmeli95Doğru / Yanlış7Sayısal39
Soru 121Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu,

f(x)={2x+a,x<2x2−3,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 2 \\ x^2 - 3, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(1))=6f(f(1)) = 6

olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen f(f(1))=6f(f(1)) = 6 eşitliğinde ilk olarak içteki f(1)f(1) hesaplanır. 1<21 < 2 olduğundan üstteki kural kullanılır ve f(1)=a+2f(1) = a + 2 bulunur. Daha sonra f(a+2)=6f(a+2) = 6 denklemi çözülür. Girdinin büyüklüğüne göre iki durum incelenir: a+2<2a+2 < 2 durumundan elde edilen a=2/3a = 2/3 değeri kabul edilen aralığa uymaz. a+2≥2a+2 \ge 2 durumundan elde edilen (a+2)2=9(a+2)^2 = 9 denkleminin köklerinden olan 11 değeri aralık koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)f(1) değerini bulunuz.
f(1)=2(1)+a=a+2f(1) = 2(1) + a = a + 2
1<21 < 2 olduğu için fonksiyonun üstteki dalı olan 2x+a2x+a kuralı uygulanır.
2
f(f(1))=6f(f(1)) = 6 denklemini yazınız ve birinci dalı inceleyiniz.
a+2<2⇒a<0a+2 < 2 \Rightarrow a < 0 için f(a+2)=2(a+2)+a=3a+4=6⇒a=2/3f(a+2) = 2(a+2) + a = 3a+4 = 6 \Rightarrow a = 2/3
Eğer girdi a+2<2a+2 < 2 ise üstteki dal kullanıl��r. Ancak bulunan a=2/3a = 2/3 değeri a<0a < 0 koşulunu sağlamadığı için bu durumdan çözüm gelmez.
3
İkinci dalı inceleyiniz.
a+2≥2⇒a≥0a+2 \ge 2 \Rightarrow a \ge 0 için f(a+2)=(a+2)2−3=6⇒(a+2)2=9f(a+2) = (a+2)^2 - 3 = 6 \Rightarrow (a+2)^2 = 9
Eğer girdi a+2≥2a+2 \ge 2 ise alttaki dal kullanılır.
4
Elde edilen karesel denklemi çözüp koşulu kontrol ediniz.
a+2=3⇒a=1a+2 = 3 \Rightarrow a = 1 veya a+2=−3⇒a=−5a+2 = -3 \Rightarrow a = -5. a≥0a \ge 0 koşulunu sağlayan tek değer a=1a = 1'dir.
Karesi 9 olan sayılar 3 ve -3'tür. İkinci dalın geçerli olması için a≥0a \ge 0 olmalıdır, bu yüzden sadece 1 değeri kabul edilir.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Aralık Kontrolü
Soru 122Soru →

Tanım ve değer kümeleri A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi olan ff ve gg fonksiyonlarının bazı elemanlar için değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx12345
f(x)f(x)35124
g(x)g(x)41532
Buna göre,
(f∘g)(a)=5(f \circ g)(a) = 5
eşitliğini sağlayan aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İstenen a sayısı 5'tir.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği (fog)(a) = f(g(a)) = 5 eşitliği yazılır. Tablodan f(x) = 5 değerini veren x = 2 girdisi bulunarak g(a) = 2 elde edilir. Ardından g(x) = 2 değerini veren x = 5 girdisi bulunarak a = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
f(g(a)) = 5 denklemi elde edilir.
(fog)(a) ifadesinin tanımı f(g(a)) şeklindedir.
2
Tablodan f(x) = 5 eşitliğini sağlayan x değerini okumak.
g(a) = 2 elde edilir.
Tablodaki f(x) satırında 5 değerini veren sütunun x değeri 2'dir.
3
Tablodan g(a) = 2 eşitliğini sağlayan a değerini okumak.
a = 5 elde edilir.
Tablodaki g(x) satırında 2 değerini veren sütunun x değeri 5'tir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon
Soru 123Soru →
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a
fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(x)=0(f \circ g)(x) = 0
denkleminin köklerinin çarpımı 88 olduğuna göre, (g∘f)(a)(g \circ f)(a) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Doğru cevap olan 19 değeri, bileşke fonksiyon işlem sırası olan içten dışa doğru değerlendirme kuralına dayanır. İlk olarak, (f∘g)(x)=0(f \circ g)(x) = 0 denklemi 4x2−(4a+4)x+(a2+2a−3)=04x^2 - (4a + 4)x + (a^2 + 2a - 3) = 0 olarak düzenlenir. Bu denklemin kökler çarpımı a2+2a−34\frac{a^2 + 2a - 3}{4} ifadesinin 8'e eşitlenmesiyle pozitif aa değeri 5 olarak elde edilir. Son adımda, (g∘f)(5)(g \circ f)(5) ifadesini bulmak için önce f(5)=12f(5) = 12 hesaplanır, ardından g(12)=24−5=19g(12) = 24 - 5 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonunu elde etmek amacıyla f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine g(x)g(x) ifadesi yazılır.
(f∘g)(x)=(2x−a)2−2(2x−a)−3=0(f \circ g)(x) = (2x - a)^2 - 2(2x - a) - 3 = 0
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
Elde edilen ifade açılarak ikinci dereceden denklem standart formuna (Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0) getirilir.
4x2−4ax+a2−4x+2a−3=04x^2 - 4ax + a^2 - 4x + 2a - 3 = 0
4x2−(4a+4)x+(a2+2a−3)=04x^2 - (4a + 4)x + (a^2 + 2a - 3) = 0
İkinci dereceden denklemin katsayılarını belirleyerek kök-katsayı ilişkisini uygulayabilmek için ifade düzenlenmelidir.
3
Denklemin kökler çarpımı formülü olan CA\frac{C}{A} ifadesi kullanılır ve soruda verilen 88 değerine eşitlenir.
Ko¨kler C¸arpımı=a2+2a−34=8  ⟹  a2+2a−3=32  ⟹  a2+2a−35=0\text{Kökler Çarpımı} = \frac{a^2 + 2a - 3}{4} = 8 \implies a^2 + 2a - 3 = 32 \implies a^2 + 2a - 35 = 0
İkinci dereceden bir denklemin kökler çarpımı kuralı ile bilinmeyen aa parametresine bağlı yeni bir denklem elde edilir.
4
aa değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
(a+7)(a−5)=0  ⟹  a=5 veya a=−7(a + 7)(a - 5) = 0 \implies a = 5 \text{ veya } a = -7
aa sayısının alabileceği değerleri bulmak için denklem kökleri hesaplanır.
5
aa sayısının pozitif olma koşulu değerlendirilerek uygun değer seçilir.
a=5a = 5 olmalıdır.
Soruda aa sayısının pozitif bir gerçel sayı olduğu belirtilmiştir.
6
Bizden istenen (g∘f)(a)(g \circ f)(a) yani (g∘f)(5)(g \circ f)(5) değerini bulmak için öncelikle içteki fonksiyon olan f(5)f(5) değeri hesaplanır.
f(5)=52−2(5)−3=25−10−3=12f(5) = 5^2 - 2(5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12
Bileşke fonksiyon değerlendirilirken i��ten dışa doğru işlem sırası takip edilir.
7
Bulunan f(5)=12f(5) = 12 değeri dıştaki g(x)g(x) fonksiyonunda xx yerine yazılarak nihai sonuca ulaşılır.
g(12)=2(12)−a=24−5=19g(12) = 2(12) - a = 24 - 5 = 19
(g∘f)(5)=g(f(5))(g \circ f)(5) = g(f(5)) tanımı gereği sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon Tanımı ve İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta Formülleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 124Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu,

f(x)={3x−1,−2x≥−4x2+2,−2x<−4f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & -2x \ge -4 \\ x^2 + 2, & -2x < -4 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, f(3)+f(1)f(3) + f(1) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Parçalı fonksiyonun kurallarını belirleyen −2x≥−4-2x \ge -4 eşitsizliği çözüldüğünde x≤2x \le 2 elde edilir. Dolayısıyla x>2x > 2 için fonksiyonun ikinci kuralı (x2+2x^2 + 2), x≤2x \le 2 için ise birinci kuralı (3x−13x - 1) geçerlidir. Bu durumda f(3)=32+2=11f(3) = 3^2 + 2 = 11 ve f(1)=3(1)−1=2f(1) = 3(1) - 1 = 2 olarak bulunur. Toplamları ise 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralıklarını belirlemek için eşitsizlikleri çözün.
−2x≥−4-2x \ge -4 eşitsizliğinin her iki tarafı −2-2'ye bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve x≤2x \le 2 elde edilir. Bu durumda ikinci aralık olan −2x<−4-2x < -4 ise x>2x > 2 olur.
Fonksiyonun hangi değer için hangi dalı kullanacağını belirlemek amacıyla eşitsizliklerin çözülmesi gerekir.
2
f(3)f(3) değerini hesaplayın.
3>23 > 2 olduğu için ikinci dal (x2+2x^2 + 2) kullanılır: f(3)=32+2=9+2=11f(3) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11 bulunur.
Verilen girdi 3 sayısı 2'den büyük olduğu için fonksiyonun ikinci kuralına uyar.
3
f(1)f(1) değerini hesaplayın.
1≤21 \le 2 olduğu için birinci dal (3x−13x - 1) kullanılır: f(1)=3(1)−1=2f(1) = 3(1) - 1 = 2 bulunur.
Verilen girdi 1 sayısı 2'den küçük veya eşit olduğu için fonksiyonun birinci kuralına uyar.
4
Elde edilen değerleri toplayın.
f(3)+f(1)=11+2=13f(3) + f(1) = 11 + 2 = 13 elde edilir.
Soruda bizden bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve eşitsizlik çözümü
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 125Soru →
Bire bir ve örten f:R∖{a}→R∖{b}f: \mathbb{R} \setminus \{a\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{b\} fonksiyonu
f(x)=4x+5x−3f(x) = \frac{4x + 5}{x - 3}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7'dir.
Fonksiyonu tanımsız yapan x=3x = 3 değeri tanım kümesinden çıkarılan aa değeridir. Fonksiyonun tersi olan f−1(x)=3x+5x−4f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - 4} ifadesini tanımsız yapan x=4x = 4 değeri ise değer kümesinden çıkarılan bb değeridir. Buradan a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonu tanımsız yapan xx değerini bulmak için paydayı sıfıra eşitleriz.
x−3=0  ⟹  x=3x - 3 = 0 \implies x = 3 ve dolayısıyla a=3a = 3 bulunur.
Fonksiyonun tanım kümesinde yer alamayacak değer, paydayı sıfır yapan değerdir.
2
Verilen f(x)f(x) fonksiyonunun tersini buluruz.
f−1(x)=3x+5x−4f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - 4} elde edilir.
f(x)=px+qrx+sf(x) = \frac{px+q}{rx+s} tipindeki fonksiyonların tersi f−1(x)=−sx+qrx−pf^{-1}(x) = \frac{-sx+q}{rx-p} kuralı ile bulunur.
3
Ters fonksiyonu tanımsız yapan xx değerini bulmak için paydayı sıfıra eşitleriz.
x−4=0  ⟹  x=4x - 4 = 0 \implies x = 4 ve dolayısıyla b=4b = 4 bulunur.
Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir. Bu yüzden f−1(x)f^{-1}(x) fonksiyonunu tanımsız yapan değer değer kümesinden çıkarılmalıdır.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini toplarız.
a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 bulunur.
Bizden istenen a+ba + b toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun tersinin var olabilmesi için tanım ve değer kümelerinin sınırlandırılması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 126Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg doğrusal fonksiyonları
f(x)=3x+kf(x) = 3x + k
g(x)=2x−5g(x) = 2x - 5
biçiminde veriliyor.
Her xx gerçel sayısı için
(f∘g)(x)−(g∘f)(x)=2(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 2
olduğuna göre, kk kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

k değeri -12 olmalıdır.
Doğru cevaba ulaşmak için önce (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ve (g∘f)(x)(g \circ f)(x) fonksiyonlarının kuralları bulunur. f(g(x))=3(2x−5)+k=6x−15+kf(g(x)) = 3(2x - 5) + k = 6x - 15 + k ve g(f(x))=2(3x+k)−5=6x+2k−5g(f(x)) = 2(3x + k) - 5 = 6x + 2k - 5 elde edilir. Bu iki ifadenin farkı (6x−15+k)−(6x+2k−5)=−k−10(6x - 15 + k) - (6x + 2k - 5) = -k - 10 olur. Bu fark 2'ye eşitlendiğinde −k−10=2-k - 10 = 2 denklemi elde edilir ve buradan k=−12k = -12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonunun kuralını bulmak için f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine g(x)g(x) yazılır.
(f∘g)(x)=f(g(x))=3(2x−5)+k=6x−15+k(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3(2x - 5) + k = 6x - 15 + k
Bileşke fonksiyon tanımı gereği, dıştaki fonksiyona içteki fonksiyonun kuralı girdi olarak yazılmalıdır.
2
(g∘f)(x)(g \circ f)(x) bileşke fonksiyonunun kuralını bulmak için g(x)g(x) fonksiyonunda xx yerine f(x)f(x) yazılır.
(g∘f)(x)=g(f(x))=2(3x+k)−5=6x+2k−5(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2(3x + k) - 5 = 6x + 2k - 5
Bileşke fonksiyon işlem sırasına göre, dıştaki g fonksiyonuna içteki f fonksiyonunun kuralı girdi olarak yazılmalıdır.
3
Elde edilen iki bileşke fonksiyonun farkı alınarak verilen eşitliğe yazılır ve kk değeri çözülür.
(f∘g)(x)−(g∘f)(x)=(6x−15+k)−(6x+2k−5)=−k−10=2  ⟹  k=−12(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = (6x - 15 + k) - (6x + 2k - 5) = -k - 10 = 2 \implies k = -12
Verilen (f∘g)(x)−(g∘f)(x)=2(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 2 eşitliğini sağlamak için cebirsel sadeleştirme ve denklem çözümü yapılması gerekir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların kurallarını bulma ve bileşke işleminde sıranın önemini kavrama.
Soru 127Soru →

Bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır:

f(x)={2x+12,x<16−2x,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 12, & x < 1 \\ 6 - 2x, & x \ge 1 \end{cases}

Buna göre, f(f(x))=8f(f(x)) = 8 eşitliğini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Eşitliği sağlayan x gerçel sayılarının toplamı -3 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun dıştan içe çözülmesiyle f(y) = 8 denklemini sağlayan tek geçerli y değeri y = -2 olarak bulunur. y = f(x) olduğundan f(x) = -2 denklemi çözülür ve parçalı fonksiyonun dallarından x = -7 ve x = 4 kökleri elde edilir. Bu köklerin toplamı -3 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak f(f(x)) = 8 eşitliğinde f(x) = y dönüşümü yapılır ve f(y) = 8 denklemi kurulur.
f(y) = 8 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyonun dış katmanını çözerek içteki f(x) ifadesinin alabileceği değerleri bulmak.
2
f(y) = 8 denklemi parçalı fonksiyonun y < 1 ve y >= 1 olmak üzere iki dalı için ayrı ayrı çözülür. Birinci dal için 2y + 12 = 8 denklemi, ikinci dal için 6 - 2y = 8 denklemi kurulur.
Birinci daldan y = -2 elde edilir ve -2 < 1 koşulunu sağladığı için geçerlidir. İkinci daldan y = -1 elde edilir ancak -1 >= 1 koşulunu sağlamadığı için geçersizdir. Buradan f(x) = -2 bulunur.
Parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklara göre değişkenin alabileceği uygun değerleri belirlemek.
3
f(x) = -2 denklemi parçalı fonksiyonun iki dalı için çözülür. x < 1 için 2x + 12 = -2 denklemi, x >= 1 için 6 - 2x = -2 denklemi kurulur.
Birinci daldan x = -7 (koşulu sağlar) ve ikinci daldan x = 4 (koşulu sağlar) elde edilir.
İçteki fonksiyonun alabileceği değere karşılık gelen tüm x gerçel sayılarını bulmak.
4
Bulunan geçerli x değerleri toplanır: (-7) + 4.
-3
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon denklemlerinde değişken dönüşümü yapılması ve parçalı fonksiyonlarda elde edilen köklerin tanım aralıklarına uygunluğunun denetlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 128Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x+2)+f(x−1)=3xf(x + 2) + f(x - 1) = 3x
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(7)f(7) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Verilen fonksiyon kuralında sırasıyla x=2x = 2 ve x=5x = 5 değerleri yazılarak zincirleme biçimde f(4)f(4) ve f(7)f(7) değerlerine ulaşılır. Bu adımlar sırasıyla uygulandığında 13 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde f(1)=4f(1) = 4 bilgisini kullanmak amacıyla x−1=1x - 1 = 1 eşitliğinden yola çıkılarak x=2x = 2 değeri denklemde yerine yazılır.
f(4)+f(1)=3⋅2  ⟹  f(4)+4=6f(4) + f(1) = 3 \cdot 2 \implies f(4) + 4 = 6
f(1)f(1) değerini kullanarak bir sonraki adım için gerekli olan f(4)f(4) değerini bulmak.
2
Elde edilen denklem çözülerek f(4)f(4) değeri yalnız bırakılır.
f(4)=2f(4) = 2
f(7)f(7) değerini hesaplarken kullanılacak ara değeri elde etmek.
3
İstenen f(7)f(7) değerine ulaşmak amacıyla denklemde x+2=7x + 2 = 7 eşitliğinden yola çıkılarak x=5x = 5 değeri yerine yazılır.
f(7)+f(4)=3⋅5  ⟹  f(7)+f(4)=15f(7) + f(4) = 3 \cdot 5 \implies f(7) + f(4) = 15
Soruda sorulan f(7)f(7) değerini içeren denklemi oluşturmak.
4
İkinci adımda bulunan f(4)=2f(4) = 2 değeri denklemde yerine yazılır ve f(7)f(7) değeri hesaplanır.
f(7)+2=15  ⟹  f(7)=13f(7) + 2 = 15 \implies f(7) = 13
Denklemi çözerek nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda verilen kurallar yardımıyla zincirleme değer bulma işlemleri
Soru 129Soru →
Tanım kümesi A=[3,∞)A = [3, \infty) olan bire bir ve örten f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonu
f(x)=x2−6x+14f(x) = x^2 - 6x + 14
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun tersi olan f−1(x)f^{-1}(x) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3+x−53 + \sqrt{x - 5}

Cevap

Ters fonksiyon 3+x−53 + \sqrt{x - 5} ifadesidir.
Fonksiyon f(x)=(x−3)2+5f(x) = (x-3)^2 + 5 biçiminde düzenlendikten sonra y=(x−3)2+5  ⟹  y−5=(x−3)2y = (x-3)^2 + 5 \implies y - 5 = (x-3)^2 elde edilir. x≥3x \ge 3 kısıtlamasından dolayı her iki tarafın karekökü alındığında x−3=y−5x - 3 = \sqrt{y - 5} eşitliğinden x=3+y−5x = 3 + \sqrt{y - 5} bağıntısına ulaşılır. Değişkenler yer değiştirdiğinde ters fonksiyon formülü elde edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x)f(x) fonksiyonunun ifadesini tam kare biçimine dönüştürelim.
f(x)=x2−6x+9+5=(x−3)2+5f(x) = x^2 - 6x + 9 + 5 = (x - 3)^2 + 5 elde edilir.
İkinci dereceden fonksiyonların tersini alabilmek için değişkeni tam kare yardım��yla yalnız bırakmak gerekir.
2
f(x)f(x) yerine yy yazarak xx değişkenini yalnız bırakma işlemlerine başlayalım.
y=(x−3)2+5  ⟹  y−5=(x−3)2y = (x - 3)^2 + 5 \implies y - 5 = (x - 3)^2 olur.
Eşitliğin sağındaki sabit sayıyı karşıya geçirerek kareli terimi yalnız bırakırız.
3
Her iki tarafın karekökünü alalım ve tanım kümesi kısıtlamasına göre işareti belirleyelim.
y−5=∣x−3∣\sqrt{y - 5} = |x - 3| olur. Tanım kümesi A=[3,∞)A = [3, \infty) olduğundan x≥3  ⟹  x−3≥0x \ge 3 \implies x - 3 \ge 0'dır. Bu yüzden ∣x−3∣=x−3|x - 3| = x - 3 olarak çıkar. Buradan y−5=x−3  ⟹  x=3+y−5\sqrt{y - 5} = x - 3 \implies x = 3 + \sqrt{y - 5} elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işleminde, tanım kümesi kısıtlaması mutlak değerin işaretini belirlemek için kullanılır.
4
xx ile yy değişkenlerinin yerini değiştirerek ters fonksiyon formülünü yazalım.
f−1(x)=3+x−5f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x - 5} olarak bulunur.
Fonksiyonun tersini bağımsız değişken xx cinsinden ifade etmek için değişkenlerin isimlerini değiştiririz.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun tersini bulurken tanım kümesi sınırlarına dikkat edilerek tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 130Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,
f(x)={2x+14,x<−24−x,x≥−2f(x) = \begin{cases} 2x + 14, & x < -2 \\ 4 - x, & x \ge -2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(a))=6f(f(a)) = 6 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Eşitliği sağlayan aa değerlerinin toplamı −3-3'tür.
Doğru seçenekte verilen −3-3 değeri, f(f(a))=6f(f(a)) = 6 denklemini sağlayan tüm geçerli aa gerçel sayılarının (−9-9, −8-8, 66, 88) toplamıdır. Bu değerlerin her biri fonksiyonun ilgili tanım aralığı koşullarına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=6f(f(a)) = 6 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapılarak f(y)=6f(y) = 6 denklemi kurulur.
f(y)=6f(y) = 6 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyonu dıştan içe doğru çözebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
f(y)=6f(y) = 6 denklemi, parçalı fonksiyonun tanım aralıklarına göre incelenir:
1) y<−2y < -2 ise: 2y+14=6  ⟹  2y=−8  ⟹  y=−42y + 14 = 6 \implies 2y = -8 \implies y = -4. Bulunan −4-4 değeri −4<−2-4 < -2 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
2) y≥−2y \ge -2 ise: 4−y=6  ⟹  y=−24 - y = 6 \implies y = -2. Bulunan −2-2 değeri −2≥−2-2 \ge -2 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
yy değeri −4-4 veya −2-2 olabilir.
Parçalı fonksiyonun her iki dalından gelebilecek olası çözümler belirlenir ve aralık kısıtlarına uygunlukları test edilir.
3
f(a)=−4f(a) = -4 ve f(a)=−2f(a) = -2 denklemleri ayrı ayrı çözülür.

f(a)=−4f(a) = -4 durumu için:
- a<−2  ⟹  2a+14=−4  ⟹  a=−9a < -2 \implies 2a + 14 = -4 \implies a = -9 (geçerli).
- a≥−2  ⟹  4−a=−4  ⟹  a=8a \ge -2 \implies 4 - a = -4 \implies a = 8 (geçerli).

f(a)=−2f(a) = -2 durumu için:
- a<−2  ⟹  2a+14=−2  ⟹  a=−8a < -2 \implies 2a + 14 = -2 \implies a = -8 (geçerli).
- a≥−2  ⟹  4−a=−2  ⟹  a=6a \ge -2 \implies 4 - a = -2 \implies a = 6 (geçerli).
aa değerleri kümesi {−9,−8,6,8}\{-9, -8, 6, 8\} olarak bulunur.
Her bir yy değeri için fonksiyonun kuralları tekrar işletilerek asıl girdi olan aa değerlerine ulaşılır.
4
Elde edilen tüm geçerli aa değerleri toplanır: (−9)+(−8)+6+8(-9) + (-8) + 6 + 8.
−3-3
Bulunan çözümlerin toplamı hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü.
Soru 131Soru →

İki basamaklı abab doğal sayıları için tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(ab)={ab,−2a≥−8a2−b2,−2a<−8f(ab) = \begin{cases} \frac{a}{b}, & -2a \ge -8 \\ a^2 - b^2, & -2a < -8 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(34)+f(52)f(34) + f(52) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 874\frac{87}{4}

Cevap

Toplama işleminin doğru sonucu seksen yedi bölü dört değeridir.
Doğru cevabın değeri seksen yedi bölü dört ifadesidir. Fonksiyonun dallarını belirleyen −2a≥−8-2a \ge -8 eşitsizliği sadeleştirildiğinde a≤4a \le 4 elde edilir. 3434 sayısı için a=3≤4a=3 \le 4 olduğundan birinci dal kullanılarak 34\frac{3}{4} değerine ulaşılır. 5252 sayısı için a=5>4a=5 > 4 olduğundan ikinci dal kullanılarak 52−22=215^2 - 2^2 = 21 değerine ulaşılır. Bu iki değer toplandığında 34+21=874\frac{3}{4} + 21 = \frac{87}{4} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik koşullarını sadeleştirmek.
a≤4a \le 4 ise birinci dal, a>4a > 4 ise ikinci dal kullanılacaktır.
−2a≥−8-2a \ge -8 eşitsizliğinde her iki taraf −2-2'ye bölündüğünde eşitsizlik yön de��iştirir ve a≤4a \le 4 elde edilir.
2
f(34)f(34) değerini hesaplamak.
f(34)=34f(34) = \frac{3}{4}
3434 sayısında onlar basamağı a=3a = 3 olup 3≤43 \le 4 koşulunu sağladığından birinci dal (a/ba/b) kullanılır.
3
f(52)f(52) değerini hesaplamak.
f(52)=21f(52) = 21
5252 sayısında onlar basamağı a=5a = 5 olup 5>45 > 4 koşulunu sağladığından ikinci dal (a2−b2a^2 - b^2) kullanılır. Buradan 52−22=25−4=215^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 bulunur.
4
Bulunan değerleri toplamak.
34+21=874\frac{3}{4} + 21 = \frac{87}{4}
Elde edilen f(34)f(34) ve f(52)f(52) değerleri toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kuralları doğru analiz ederek değer bulma
Soru 132Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x2−2,−2x<43x+1,−2x≥4f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & -2x < 4 \\ 3x + 1, & -2x \ge 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna g��re, f(−2)+f(−1)f(-2) + f(-1) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

İşlemler doğru yapıldığında toplamın değeri −6-6 olarak bulunur.
Fonksiyon kurallarının geçerli olduğu aralıklar doğru tespit edildiğinde f(−2)f(-2) değeri ikinci daldan −5-5, f(−1)f(-1) değeri ise birinci daldan −1-1 olarak bulunur. Toplamları −6-6 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun dallarının geçerli olduğu aralıkları sadeleştirin.
−2x<4  ⟺  x>−2-2x < 4 \iff x > -2 aralığında f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 kullanılır. −2x≥4  ⟺  x≤−2-2x \ge 4 \iff x \le -2 aralığında f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 kullanılır.
Negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştireceğini göz önünde bulundurarak hangi girdinin hangi kurala tabi olduğunu belirlemek gerekir.
2
f(−2)f(-2) değerini hesaplayın.
x=−2x = -2 değeri x≤−2x \le -2 koşulunu sağladığı için ikinci dal kullanılır: f(−2)=3(−2)+1=−5f(-2) = 3(-2) + 1 = -5.
Tanım kümesindeki sınır noktasının dahil olduğu aralığa göre doğru fonksiyon kuralı seçilmelidir.
3
f(−1)f(-1) değerini hesaplayın.
x=−1x = -1 değeri x>−2x > -2 koşulunu sağladığı için birinci dal kullanılır: f(−1)=(−1)2−2=1−2=−1f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1.
−1-1 değeri −2-2'den büyük olduğu için üstteki fonksiyon kuralı uygulanmalıdır.
4
Bulunan değerleri toplayın.
f(−2)+f(−1)=−5+(−1)=−6f(-2) + f(-1) = -5 + (-1) = -6.
Soru bizden bu iki değerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulurken, girdinin ait olduğu aralığı eşitsizlik kurallarına göre doğru tespit etmek ve ilgili dalda yerine yazmaktır.
Soru 133Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={2x+5,x<311−3x,x≥3f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 3 \\ 11 - 3x, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(x))=1f(f(x)) = 1 eşitliğini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 00

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçel sayıların toplamı sıfırdır.
Denklem f(x)=uf(x) = u dönüşümüyle dıştan içe doğru çözüldüğünde uu için iki geçerli değer bulunur. Bu değerlerin her biri için f(x)=uf(x) = u eşitliğini sağlayan xx değerleri arandığında tanım aralığı koşullarına uyan üç farklı kök (−72-\frac{7}{2}, 133\frac{13}{3} ve −56-\frac{5}{6}) elde edilir. Bunların toplamı ise sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon denkleminde değişken dönüşümü yapılması
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yapıldığında f(f(x))=1f(f(x)) = 1 denklemi f(u)=1f(u) = 1 şekline dönüşür.
İç içe geçmiş fonksiyon ifadelerini adım adım ve sistemli bir şekilde çözebilmek için.
2
Parçalı fonksiyon kurallarına göre f(u)=1f(u) = 1 denkleminin çözülmesi
Birinci durum (u<3u < 3): 2u+5=1  ⟹  2u=−4  ⟹  u=−22u + 5 = 1 \implies 2u = -4 \implies u = -2 elde edilir. Bu değer u<3u < 3 koşulunu sağladığı için geçerlidir. İkinci durum (u≥3u \ge 3): 11−3u=1  ⟹  3u=10  ⟹  u=10311 - 3u = 1 \implies 3u = 10 \implies u = \frac{10}{3} elde edilir. Bu değer de u≥3u \ge 3 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
uu değerinin hangi aralıkta bulunduğuna göre fonksiyonun ilgili parçalarını eşitlemek için.
3
f(x)=−2f(x) = -2 denkleminin çözülmesi
x<3x < 3 için: 2x+5=−2  ⟹  x=−722x + 5 = -2 \implies x = -\frac{7}{2} (koşulu sağlar). x≥3x \ge 3 için: 11−3x=−2  ⟹  3x=13  ⟹  x=13311 - 3x = -2 \implies 3x = 13 \implies x = \frac{13}{3} (koşulu sağlar).
İlk uu değeri üzerinden olası xx gerçel sayılarını bulmak için.
4
f(x)=103f(x) = \frac{10}{3} denkleminin çözülmesi
x<3x < 3 için: 2x+5=103  ⟹  2x=−53  ⟹  x=−562x + 5 = \frac{10}{3} \implies 2x = -\frac{5}{3} \implies x = -\frac{5}{6} (koşulu sağlar). x≥3x \ge 3 için: 11−3x=103  ⟹  3x=233  ⟹  x=23911 - 3x = \frac{10}{3} \implies 3x = \frac{23}{3} \implies x = \frac{23}{9} elde edilir. Ancak x=239≈256x = \frac{23}{9} \approx 2{}56 olup x≥3x \ge 3 koşulunu sağlamaz. Bu yüzden bu değer çözüm kümesine alınmaz.
İkinci uu değeri üzerinden olası xx gerçel sayılarını bulmak ve tanım aralığı testini yapmak için.
5
Geçerli xx değerlerinin toplanması
Toplam =−72+133−56=−21+26−56=06=0= -\frac{7}{2} + \frac{13}{3} - \frac{5}{6} = \frac{-21 + 26 - 5}{6} = \frac{0}{6} = 0 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve tanım kümesi aralık kontrolü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 134Soru →
Bire bir ve örten ff ve gg fonksiyonları için
f(3x−12)=g(2x+1)f\left(\frac{3x - 1}{2}\right) = g(2x + 1)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, (g−1∘f)(4)(g^{-1} \circ f)(4) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İfadenin değeri 7'dir.
Verilen eşitlikte ff fonksiyonunun girdisini 4 yapmak için x=3x = 3 yazılması gerektiği belirlenir. Bu değer eşitliğin sağ tarafında yerine yazıldığında f(4)=g(7)f(4) = g(7) eşitliği elde edilir. Ters fonksiyon tanımı gereği, g(7)=f(4)g(7) = f(4) ise g−1(f(4))=7g^{-1}(f(4)) = 7 olur. Bu da bizden istenen (g−1∘f)(4)(g^{-1} \circ f)(4) ifadesinin değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke ve ters fonksiyon tanımını kullanarak istenen ifadeyi düzenleyin.
(g−1∘f)(4)=g−1(f(4))(g^{-1} \circ f)(4) = g^{-1}(f(4)) yazılır. Bu ifadenin değerini bulmak için f(4)f(4) değerinin hangi gg değerine eşit olduğunu bulmamız gerekir.
Bileşke fonksiyon işlemi d��ştan içe doğru çözümlenir ve ters fonksiyon özelliği kullanılır.
2
ff fonksiyonunun girdisini 4 yapan xx değerini bulun.
3x−12=4  ⟹  3x−1=8  ⟹  3x=9  ⟹  x=3\frac{3x - 1}{2} = 4 \implies 3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3 bulunur.
f(4)f(4) değerini elde edebilmek için verilen eşitlikte ff fonksiyonunun parantez içindeki ifadesini 4'e eşitlememiz gerekir.
3
Bulunan x=3x = 3 değerini ana eşitlikte yerine yazın.
f(3(3)−12)=g(2(3)+1)  ⟹  f(4)=g(7)f\left(\frac{3(3) - 1}{2}\right) = g(2(3) + 1) \implies f(4) = g(7) elde edilir.
Eşitliğin her iki tarafında aynı xx değerini yazarak f(4)f(4) ile gg fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kurarız.
4
Ters fonksiyon özelliğini uygulayarak sonucu bulun.
f(4)=g(7)  ⟹  g−1(f(4))=7f(4) = g(7) \implies g^{-1}(f(4)) = 7 olur. Dolayısıyla (g−1∘f)(4)=7(g^{-1} \circ f)(4) = 7'dir.
g(a)=b  ⟺  g−1(b)=ag(a) = b \iff g^{-1}(b) = a temel kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersi ile kendisi arasındaki ilişkiyi (g(a)=b  ⟺  g−1(b)=ag(a) = b \iff g^{-1}(b) = a) ve bileşke fonksiyonun özelliklerini kullanma.
Soru 135Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,
f(x)={2x+5,x<2x2−2x,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 2 \\ x^2 - 2x, & x \ge 2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(a))=3f(f(a)) = 3 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçel sayıların toplamı -1'dir.
Bileşke fonksiyonun tanımından yola çıkarak f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapıldığında f(y)=3f(y) = 3 elde edilir. Bu eşitliği sağlayan geçerli değerler parçalı fonksiyonun dalları kontrol edilerek y=−1y = -1 ve y=3y = 3 olarak bulunur. Daha sonra f(a)=−1f(a) = -1 ve f(a)=3f(a) = 3 denklemleri yine parçalı tanımların sınırları kontrol edilerek çözüldüğünde geçerli aa değerlerinin −3-3, −1-1 ve 33 olduğu görülür. Bu değerlerin toplamı −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=3f(f(a)) = 3 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y değişken değiştirmesi yapılır.
f(y)=3f(y) = 3 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyon sorularında dıştaki fonksiyondan başlayarak adım adım ilerlemek çözümü kolaylaştırır.
2
f(y)=3f(y) = 3 eşitliğini sağlayan yy değerleri parçalı fonksiyonun kurallarına göre bulunur. y<2y < 2 için 2y+5=32y + 5 = 3 ve y≥2y \ge 2 için y2−2y=3y^2 - 2y = 3 denklemleri çözülür.
y<2y < 2 için y=−1y = -1 (bu değer 22'den küç��k olduğu için geçerlidir). y≥2y \ge 2 için y2−2y−3=0  ⟹  (y−3)(y+1)=0y^2 - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0 denkleminin köklerinden y=3y = 3 geçerlidir (y=−1y = -1 bu aralıkta olmadığı için elenir). Böylece yy değeri −1-1 veya 33 olmalıdır.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bulunan her değerin, o kuralın geçerli olduğu tanım aralığında olup olmadığı denetlenmelidir.
3
f(a)=−1f(a) = -1 ve f(a)=3f(a) = 3 denklemleri ayrı ayrı çözülerek aa değerleri bulunur.
f(a)=−1f(a) = -1 için: a<2  ⟹  2a+5=−1  ⟹  a=−3a < 2 \implies 2a + 5 = -1 \implies a = -3 (geçerli); a≥2  ⟹  a2−2a=−1  ⟹  (a−1)2=0  ⟹  a=1a \ge 2 \implies a^2 - 2a = -1 \implies (a - 1)^2 = 0 \implies a = 1 (geçersiz, çünkü 1<21 < 2). f(a)=3f(a) = 3 için: a<2  ⟹  2a+5=3  ⟹  a=−1a < 2 \implies 2a + 5 = 3 \implies a = -1 (geçerli); a≥2  ⟹  a2−2a=3  ⟹  (a−3)(a+1)=0  ⟹  a=3a \ge 2 \implies a^2 - 2a = 3 \implies (a - 3)(a + 1) = 0 \implies a = 3 (geçerli) ve a=−1a = -1 (geçersiz, çünkü −1<2-1 < 2).
Elde edilen yy değerleri içteki f(a)f(a) fonksiyonuna eşitlenerek asıl bilinmeyen olan aa değerleri elde edilir.
4
Bulunan geçerli aa değerleri toplanır.
−3+(−1)+3=−1-3 + (-1) + 3 = -1 bulunur.
Soru bizden denklemi sağlayan tüm aa gerçel sayılarının toplamını talep etmektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bileşke işlemi ve değer bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 136Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+2f(2−x)=x2−3x+7f(x) + 2f(2-x) = x^2 - 3x + 7
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Verilen fonksiyonda sırasıyla sıfır ve iki yazıldığında elde edilen iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözüldüğünde aranan değer 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonda xx yerine 00 yazarak birinci denklemi elde edin.
f(0)+2f(2)=02−3(0)+7  ⟹  f(0)+2f(2)=7f(0) + 2f(2) = 0^2 - 3(0) + 7 \implies f(0) + 2f(2) = 7 olur.
Aranan değer ile diğer bilinmeyen arasında bir ilişki kurmak.
2
Verilen fonksiyonda xx yerine 22 yazarak ikinci denklemi elde edin.
f(2)+2f(0)=22−3(2)+7  ⟹  2f(0)+f(2)=5f(2) + 2f(0) = 2^2 - 3(2) + 7 \implies 2f(0) + f(2) = 5 olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tamamlamak için ikinci bir bağımsız eşitlik elde etmek.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek aranan değeri bulun.
İkinci denklem −2-2 ile çarpılıp birinci denklemle taraf tarafa toplanırsa:
(f(0)+2f(2))−2(2f(0)+f(2))=7−2(5)(f(0) + 2f(2)) - 2(2f(0) + f(2)) = 7 - 2(5)
−3f(0)=−3  ⟹  f(0)=1-3f(0) = -3 \implies f(0) = 1 bulunur.
Diğer değişkeni yok ederek doğrudan hedeflenen fonksiyona ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 137Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, bire bir ve örten f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu

f(x)={2x+6,x<1x2+7,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 6, & x < 1 \\ x^2 + 7, & x \geq 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f−1(11)+f−1(2)f^{-1}(11) + f^{-1}(2) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

0
Verilen parçalı fonksiyonun kısımları incelendiğinde, x<1x < 1 için görüntü kümesi (−∞,8)(-\infty, 8) ve x≥1x \geq 1 için görüntü kümesi [8,∞)[8, \infty) aralığıdır. f−1(11)f^{-1}(11) değeri için görüntü 1111 olup 11≥811 \geq 8 olduğundan ikinci parça kullanılır ve x2+7=11  ⟹  x=2x^2 + 7 = 11 \implies x = 2 elde edilir. f−1(2)f^{-1}(2) değeri için ise görüntü 22 olup 2<82 < 8 olduğundan birinci parça kullanılır ve 2x+6=2  ⟹  x=−22x + 6 = 2 \implies x = -2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2+(−2)=02 + (-2) = 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f−1(11)f^{-1}(11) değerini hesaplamak için f(x)=11f(x) = 11 denklemini çözelim.
f−1(11)=2f^{-1}(11) = 2
Fonksiyonun parçalarını incelediğimizde, x<1x < 1 için f(x)<8f(x) < 8 ve x≥1x \geq 1 için f(x)≥8f(x) \geq 8 değerleri elde edilir. 11≥811 \geq 8 olduğundan, x≥1x \geq 1 için tanımlı olan x2+7=11x^2 + 7 = 11 denklemi çözülmelidir. Buradan x2=4x^2 = 4 elde edilir. x≥1x \geq 1 şartını sağlayan kök x=2x = 2 olduğundan f−1(11)=2f^{-1}(11) = 2 bulunur.
2
f−1(2)f^{-1}(2) değerini hesaplamak için f(x)=2f(x) = 2 denklemini çözelim.
f−1(2)=−2f^{-1}(2) = -2
2<82 < 8 olduğundan, x<1x < 1 için tan��mlı olan 2x+6=22x + 6 = 2 denklemi çözülmelidir. Buradan 2x=−4  ⟹  x=−22x = -4 \implies x = -2 bulunur. Bu değer x<1x < 1 şartını sağladığı için f−1(2)=−2f^{-1}(2) = -2 olur.
3
Elde edilen ters fonksiyon değerlerini toplayalım.
0
f−1(11)+f−1(2)=2+(−2)=0f^{-1}(11) + f^{-1}(2) = 2 + (-2) = 0 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda ters fonksiyon değeri bulurken ilgili aralıkların ve tanım kümelerinin kontrol edilmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 138Soru →
Dik koordinat düzleminde, uygun aralıklarda tanımlı bire bir ve örten ff ve gg fonksiyonları için
f−1(2x−1)=g(x+2)f^{-1}(2x - 1) = g(x + 2)
eşitliği sağlanmaktadır.

g(3)=5g(3) = 5 olduğuna göre, f(5)f(5) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen f−1(2x−1)=g(x+2)f^{-1}(2x - 1) = g(x + 2) denkleminde her iki tarafın ff altındaki görüntüsü alındığında 2x−1=f(g(x+2))2x - 1 = f(g(x + 2)) elde edilir. g(3)=5g(3) = 5 olduğundan, f(5)f(5) değerine ulaşmak için g(x+2)=5g(x + 2) = 5 olmalıdır. Buradan x+2=3  ⟹  x=1x + 2 = 3 \implies x = 1 bulunur. Bulunan x=1x = 1 değeri denklemde yerine yazıldığında 2(1)−1=f(g(3))  ⟹  1=f(5)2(1) - 1 = f(g(3)) \implies 1 = f(5) sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyonu normal forma getirme.
f−1(2x−1)=g(x+2)  ⟹  2x−1=f(g(x+2))f^{-1}(2x - 1) = g(x + 2) \implies 2x - 1 = f(g(x + 2))
f−1(A)=B  ⟺  f(B)=Af^{-1}(A) = B \iff f(B) = A özelliğinden dolayı.
2
İstenen f(5)f(5) değerini bulmak için eşitlikteki iç fonksiyonun argümanını belirleme.
g(x+2)=5g(x + 2) = 5 olmalıdır.
f(g(x+2))f(g(x + 2)) ifadesini f(5)f(5) haline getirmek için.
3
Verilen g(3)=5g(3) = 5 eşitliğini kullanarak xx değişkeninin değerini bulma.
x+2=3  ⟹  x=1x + 2 = 3 \implies x = 1
g(x+2)=g(3)g(x + 2) = g(3) eşitliğini sağlamak için.
4
x=1x = 1 değerini ana denklemde yerine yazarak sonucu elde etme.
2(1)−1=f(g(1+2))  ⟹  1=f(g(3))  ⟹  f(5)=12(1) - 1 = f(g(1 + 2)) \implies 1 = f(g(3)) \implies f(5) = 1
g(3)=5g(3) = 5 olarak verildiği için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanımı ve ters fonksiyon ile düz fonksiyon arasındaki ilişki.
Soru 139Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için
f(n)={n+3,n tek isen2,n c¸ift isef(n) = \begin{cases} n + 3, & n \text{ tek ise} \\ \frac{n}{2}, & n \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(f(a)))=5f(f(f(a))) = 5 eşitliğini sağlayan iki basamaklı aa doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı a doğal sayılarının toplamı 71'dir.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı a değerleri sırasıyla 14, 17 ve 40 olup bu sayıların toplamı 71'dir. Bu değerler fonksiyonun tanımındaki tek ve çift olma koşullarını tam olarak sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(f(a)))=5f(f(f(a))) = 5 eşitliğinde en dıştaki fonksiyonu çözmek için f(x)=5f(x) = 5 denklemi kurulur.
x=10x = 10 bulunur.
xx tek ise x+3=5  ⟹  x=2x+3=5 \implies x=2 (çelişki, çünkü 2 çifttir). xx çift ise x/2=5  ⟹  x=10x/2=5 \implies x=10 (çiftlik koşuluna uygundur).
2
f(f(a))=10f(f(a)) = 10 eşitliğinden f(y)=10f(y) = 10 denklemi çözülür.
y=7y = 7 veya y=20y = 20 bulunur.
yy tek ise y+3=10  ⟹  y=7y+3=10 \implies y=7 (teklik koşuluna uygundur). yy çift ise y/2=10  ⟹  y=20y/2=10 \implies y=20 (çiftlik koşuluna uygundur).
3
f(a)=7f(a) = 7 ve f(a)=20f(a) = 20 durumları için a değerleri belirlenir.
aa değerleri 14, 17 ve 40 olarak elde edilir.
f(a)=7f(a)=7 için a çift olmalıdır ve a/2=7  ⟹  a=14a/2=7 \implies a=14. f(a)=20f(a)=20 için a tek ise a+3=20  ⟹  a=17a+3=20 \implies a=17, çift ise a/2=20  ⟹  a=40a/2=20 \implies a=40 olur.
4
Elde edilen iki basamaklı a değerlerinin toplamı hesaplanır.
14+17+40=7114 + 17 + 40 = 71 bulunur.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı tüm a doğal sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve fonksiyonel denklemleri tersten çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 140Soru →
Tanımlı olduğu uygun aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için
f(2x+3x−1)=3x−2f\left(\frac{2x+3}{x-1}\right) = 3x - 2
olduğuna göre, f−1(7)f^{-1}(7) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

Ters fonksiyon tanımı gereği, f−1(7)f^{-1}(7) değeri 4.54.5 (veya 92\frac{9}{2}) olarak bulunur.
Ters fonksiyon tanımı gereği f−1(7)=a  ⟺  f(a)=7f^{-1}(7) = a \iff f(a) = 7 olur. Fonksiyonun değerini 7 yapan xx sayısı 3'tür. x=3x = 3 için tanım kümesindeki eleman 2(3)+33−1=4.5\frac{2(3)+3}{3-1} = 4.5 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon tanımını uygulamak.
f−1(7)=a  ⟹  f(a)=7f^{-1}(7) = a \implies f(a) = 7 ilişkisi kurulur.
Fonksiyonun tersi ile kendisi arasındaki girdi-çıktı ilişkisini kullanarak çözüme başlamak işlemi kolaylaştırır.
2
Verilen fonksiyonda çıktıyı 7 yapan x değerini bulmak.
3x−2=7  ⟹  x=33x - 2 = 7 \implies x = 3 elde edilir.
Fonksiyonun çıktısının 7 olmasını sağlayan girdi değişkeninin değerini belirlemek için denklem çözülür.
3
Bulunan x değerini fonksiyonun tanım kümesindeki (içindeki) ifadede yerine yazmak.
a=2(3)+33−1=4.5a = \frac{2(3)+3}{3-1} = 4.5 elde edilir.
f(a)=7f(a) = 7 eşitliğini sağlayan aa değerini doğrudan hesaplamak için x değeri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanımı ve girdi-çıktı ilişkisi
ÖncekiSayfa 7 / 8Sonraki
Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 7 | Examkin