Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 6

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 2x - 8}}{|x - 1| - 4}

fonksiyonunun tanım kümesinde yer almayan tam sayıların toplamı kaçtır?

5

9

7

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen tam sayıların toplamı 7'dir.

Doğru seçeneğe ulaşmak için hem kareköklü ifadenin tanımlı olma şartı hem de rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olma şartı birlikte değerlendirilmelidir. Kareköklü ifadenin tanımlı olması için

x^2 - 2x - 8 \ge 0

olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

x \le -2

veya

x \ge 4

bulunur. Dolayısıyla, payın tanımsız olduğu aralık

(-2, 4)

açık aralığıdır. Paydanın sıfır olmaması için ise

|x - 1| - 4 \neq 0

yani

|x - 1| \neq 4

olmalıdır. Buradan

x - 1 \neq 4 \Rightarrow x \neq 5

ve

x - 1 \neq -4 \Rightarrow x \neq -3

elde edilir. Bu durumda tanım kümesinde yer almayan tam sayılar; payı tanımsız yapan

(-2, 4)

aralığındaki tam sayılar ile paydayı sıfır yapan

-3

ve

5

değerleridir. Bu sayılar

\{-3, -1, 0, 1, 2, 3, 5\}

kümesini oluşturur. Bu değerlerin toplamı ise

(-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 = 7

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kareköklü ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği belirlenir.

x^2 - 2x - 8 \ge 0

Çift dereceden köklü ifadelerin gerçel sayılarda tanımlı olması için içlerinin negatif olmaması gerekir.

2

Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik çarpanlara ayrılarak çözülür.

(x - 4)(x + 2) \ge 0 \Rightarrow x \le -2

veya

x \ge 4

Eşitsizliğin işaret tablosu incelenerek çözüm aralığı belirlenir.

3

Kareköklü ifadenin tanımsız olduğu tam sayı değerleri bulunur.

-1, 0, 1, 2, 3

x \in (-2, 4)

açık aralığındaki tam sayılar fonksiyonun pay kısmını tanımsız yapar.

4

Rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerler belirlenir.

|x - 1| - 4 = 0 \Rightarrow |x - 1| = 4 \Rightarrow x - 1 = 4

veya

x - 1 = -4 \Rightarrow x = 5

veya

x = -3

Paydanın sıfır olması rasyonel ifadeyi tanımsız yapacağından bu değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır.

5

Fonksiyonun tanım kümesinde bulunmayan tüm tam sayı değerleri toplanır.

(-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 = 7

Hem payı tanımsız yapan hem de paydayı sıfır yapan tüm tam sayı değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonun Tanım Kümesi ve Tanımsızlık Koşulları

Soru 102Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x) = \sqrt{9 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}

fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamının

0

olduğu ifadesi doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 0'dır, dolayısıyla ifade doğrudur.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi

[-3, -1) \cup (1, 3]

olarak bulunur ve bu aralıktaki tam sayıların (

-3, -2, 2, 3

) toplamı gerçekten de

0

çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci terim olan

\sqrt{9 - x^2}

ifadesinin tanımlı olma şartını belirlemek.

9 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 9 \implies -3 \leq x \leq 3

Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.

2

İkinci terim olan

\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}

ifadesinin tanımlı olma şartını belirlemek.

x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1

veya

x < -1

Köklü ifadenin çift dereceli olması nedeniyle kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır; ancak ifade paydada yer aldığı için payda sıfır olamaz, bu yüzden kök içi kesinlikle sıfırdan büyük olmalıdır.

3

İki terimin tanımlı olduğu aralıkların kesişimini bularak fonksiyonun en geniş tanım kümesini elde etmek.

Tanım Kümesi =

[-3, -1) \cup (1, 3]

Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir.

4

Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.

Tam sayılar:

-3, -2, 2, 3

. Toplam:

(-3) + (-2) + 2 + 3 = 0

.

Bulunan tanım aralıklarındaki tam sayı değerleri toplanarak iddiadaki değer ile karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunurken rasyonel ifadelerin paydasını sıfır yapan değerler kapsam dışı bırakılır ve çift dereceden köklü ifadelerin içerisindeki değerlerin sıfırdan büyük veya eşit olması sağlanır.

Soru 103Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x) = \begin{cases} x^2 - a, & x < 3 \\ 3x - 5, & x \geq 3 \end{cases}

şeklinde tanımlanmıştır.

f(f(2)) = 4

olduğuna göre,

a

gerçel sayısı kaçtır?

-3

5

1

-1

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

a = 1

a = 1 gerçel sayısı için f(2) değeri hesaplandığında 2 < 3 olduğundan 2² - 1 = 3 elde edilir. Daha sonra f(f(2)) yani f(3) değeri aranır. 3 >= 3 olduğundan ikinci parça kullanılarak 3(3) - 5 = 4 bulunur. Bu değer soruda verilen eşitliği tam olarak sağladığından aranan değer 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1

İçteki f(2) değerini bulmak amacıyla x = 2 girdisi için geçerli olan aralık belirlenir.

2 < 3 olduğu için birinci parça olan x² - a kuralı seçilir. f(2) = 2² - a = 4 - a elde edilir.

Parçalı fonksiyonda işlem yaparken girdinin ait olduğu tanım aralığına göre kural seçilmelidir.

2

f(f(2)) = 4 e��itliğinde f(2) yerine 4 - a yazılarak f(4 - a) = 4 denklemi kurulur ve 4 - a girdisinin aralık durumları incelenir.

Durum 1: 4 - a >= 3 (yani a <= 1) ise f(4 - a) = 3(4 - a) - 5 olur.
Durum 2: 4 - a < 3 (yani a > 1) ise f(4 - a) = (4 - a)² - a olur.

Girdinin bilinmeyen a parametresine bağlı olması nedeniyle fonksiyonun her iki dalı için de olası çözümler test edilmelidir.

3

Birinci durum için elde edilen 3(4 - a) - 5 = 4 denklemi çözülür.

12 - 3a - 5 = 4
7 - 3a = 4
3a = 3
a = 1 bulunur. a = 1 değeri a <= 1 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.

Varsayılan aralık koşulunun bulunan parametre değeriyle çelişmediği doğrulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda bileşke işlemi gerçekleştirilirken, her bir fonksiyon adımında elde edilen çıktıların bir sonraki adım için girdi olduğu unutulmamalı ve bu girdilerin tanımlı olduğu uygun aralıktaki fonksiyon kuralları uygulanmalıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 104Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları

f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 4}

g(x) = \sqrt{x^2 - 10x + 25}

biçiminde veriliyor.
Buna göre,

h(x) = \frac{x + 5}{f(x) + g(x) - 9}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer almayan gerçel sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

En geniş tanım kümesinde yer almayan gerçel sayıların toplamı 7'dir.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesinde yer almayan değerler, rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerlerdir. Kareköklü terimler mutlak değer olarak dışarı çıkarıldığında elde edilen

|x-2| + |x-5| = 9

denkleminin gerçel kökleri

x = 8

ve

x = -1

olup toplamları 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Kareköklü ifadelerin içindeki tam kare ifadeleri belirleyip dışarı mutlak değerle çıkarma

f(x) = |x - 2|

ve

g(x) = |x - 5|

Çift dereceli kök dışına çıkan ifadelerin mutlak değer içinde yazılması gerektiğini uygulamak için

2

Rasyonel ifadenin paydasını sıfıra eşitleme

|x - 2| + |x - 5| = 9

Bir rasyonel fonksiyonun tanımsız olduğu yerlerin paydayı sıfır yapan noktalar olmasından dolayı

3

Mutlak değerli denklemi kritik noktalara göre aralıklara ayırarak çözme

x = 8

ve

x = -1

Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği

x = 2

ve

x = 5

noktalarına göre denklemin köklerini bulmak için

4

Elde edilen köklerin toplamını hesaplama

8 + (-1) = 7

Tanım kümesinde yer almayan değerlerin toplamı istendiği için

Anahtar Kavram

Rasyonel ve Köklü Fonksiyonlarda Tanım Kümesi

Soru 105Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için

f(x) + f(-x) = 6

eşitliğini sağlamaktadır.
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

g

fonksiyonu ise doğrusal bir fonksiyon olup grafiği orijinden geçmektedir.

(f \cdot g)(2) - (f \cdot g)(-2) = 24

olduğuna göre,

g(4)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

g(4) değeri 8'dir.

g(x) fonksiyonu orijinden geçen doğrusal bir fonksiyon olduğundan g(x) = kx şeklindedir. Fonksiyonlarda çarpma tanımından (f * g)(2) - (f * g)(-2) ifadesi 2k * (f(2) + f(-2)) olarak yazılır. f(2) + f(-2) = 6 olduğundan 12k = 24 denklemi elde edilir. Buradan k = 2 bulunur ve g(x) = 2x fonksiyonu için g(4) = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) fonksiyonunun kuralını belirleme

g(x) = kx (k bir gerçel sayı)

g fonksiyonunun doğrusal olduğu ve grafiğinin orijinden geçtiği belirtilmiştir.

2

g(2) ve g(-2) değerlerini k cinsinden yazma

g(2) = 2k ve g(-2) = -2k

g(x) = kx kuralında x yerine sırasıyla 2 ve -2 yazılır.

3

Verilen çarpım işlemini düzenleme

(f * g)(2) - (f * g)(-2) = 2k * (f(2) + f(-2))

Fonksiyonlarda çarpma işlemi (f * g)(x) = f(x) * g(x) kuralına göre açılır ve ortak paranteze alınır.

4

f(2) + f(-2) toplamını kullanıp k değerini bulma

k = 2 ve g(x) = 2x

Her x için f(x) + f(-x) = 6 olduğundan f(2) + f(-2) = 6'dır. Buradan 12k = 24 denklemi çözülür.

5

g(4) değerini hesaplama

g(4) = 8

g(x) = 2x fonksiyonunda x yerine 4 yazılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda dört işlem ve doğrusal fonksiyon özellikleri

Alternatif Yöntem

f(x) fonksiyonuna şartı sağlayan özel bir fonksiyon seçilerek de çözüme gidilebilir. Örneğin, her x için f(x) + f(-x) = 6 şartını sağlayan f(x) = 3 sabit fonksiyonu seçilirse, f(2) = 3 ve f(-2) = 3 olur. Bu durumda (f * g)(2) - (f * g)(-2) = 3 * g(2) - 3 * g(-2) = 3 * (2k) - 3 * (-2k) = 12k = 24 elde edilir. Buradan k = 2 ve g(4) = 8 bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 106Soru →

Bir otoparkın ücret tarifesi, aracın otoparkta kaldığı süre olan $t$ (saat) cinsinden aşağıdaki parçalı fonksiyon ile belirlenmektedir:

Ü(t) = \begin{cases} 20, & 0 < t \le 2 \\ 20 + 8(t-2), & 2 < t \le 6 \\ 52 + 5(t-6), & t > 6 \end{cases}

Bu otoparkta farklı sürelerde kalan iki aracın otoparkta kaldıkları süreler saat cinsinden birer pozitif tam sayıdır.

Bu iki aracın otoparka ödediği toplam ücret $102$ TL olduğuna göre, bu iki aracın otoparkta kaldığı sürelerin toplamı en fazla kaç saat olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İki aracın otoparkta kaldığı sürelerin toplamı en fazla 14 saattir.

Toplam ücreti 102 TL yapan otopark ücretleri parçalı fonksiyon değerlerinden sadece 20 TL ve 82 TL olduğunda sağlanır. Bu ücretlere karşılık gelen kalış süreleri sırasıyla en fazla 2 saat ve 12 saat olduğundan, otoparkta kalınan sürelerin toplamı en fazla 14 saattir.

Adım Adım Çözüm

1

Pozitif tam sayı olan

t

süreleri için otopark ücret fonksiyonunun alabileceği değerleri hesaplamak.

0 < t \le 2

için

Ü(1) = 20

TL ve

Ü(2) = 20

TL'dir.

2 < t \le 6

aralığındaki tam sayılar için ücretler sırasıyla

Ü(3) = 28

TL,

Ü(4) = 36

TL,

Ü(5) = 44

TL ve

Ü(6) = 52

TL olur.

t > 6

ise ücret

Ü(t) = 52 + 5(t-6)

biçimindedir.

Her bir kalış süresine karşılık gelen ücret seçeneklerini belirlemek için parçalı fonksiyon kurallarını uyguluyoruz.

2

Ü(a) + Ü(b) = 102

denklemini sağlayan

a

ve

b

pozitif tam sayı değerlerini bulmak.

Ücret listesindeki değerler incelendiğinde, toplamı 102 TL yapan tek tam sayı ücret ikilisi 20 TL ve 82 TL'dir.

Ü(a) = 20

TL ise

a = 1

veya

a = 2

olabilir. Diğer aracın ücreti

Ü(b) = 82

TL olmalıdır.

b > 6

bölgesinde

52 + 5(b-6) = 82 \implies 5(b-6) = 30 \implies b-6 = 6 \implies b = 12

bulunur.

Toplam ücretin sağlanması için parçalı fonksiyonun farklı dallarındaki olası değer kombinasyonlarını analiz ediyoruz.

3

Araçların otoparkta kaldığı sürelerin toplamını (

a + b

) en büyük yapacak seçimi yapmak.

Araçlar farklı sürelerde kaldığı için

a \ne b

koşulu sağlanmalıdır.

a

için otoparkta kalma süresi 2 saat,

b

için 12 saat seçildiğinde araçlar farklı sürelerde kalmış olur. Buradan maksimum toplam süre

a + b = 2 + 12 = 14

saat olarak elde edilir.

Kalış süreleri toplamını en büyük yapmak amacıyla

a

için olası en büyük tam sayı olan 2 değerini tercih ediyoruz.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer hesaplama, tanım kümelerine göre işlem yapma ve basit optimizasyon problemleri çözme.

Alternatif Yöntem

Toplamı 102 TL yapan ücret ikilisi aranırken, fonksiyonun artış miktarlarından yararlanılabilir. İlk aralıkta sabit olan 20 TL ücreti

t=2

sınır değerinde de geçerlidir. Dolayısıyla en düşük ücreti ödeyen aracın süresi doğrudan sınır değer olan 2 alınarak süre maksimize edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 107Soru →

$\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi, $\mathbb{Z}$ tam sayılar kümesi ve $\mathbb{R}^+$ pozitif gerçel sayılar kümesidir.

Buna göre,
I. $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , $f(x) = \frac{x^3 - x}{3}$
II. $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $g(x) = |2 - x|$
III. $h: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ , $h(x) = \frac{x + 2}{x^2 - x - 6}$

ifadelerinden hangileri birer fonksiyon belirtir?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II

Birinci öncülde verilen ifadenin payı ardışık üç tam sayının çarpımı olduğundan daima 3 ile bölünür ve sonuç tam sayıdır. İkinci öncülde mutlak değerin sonucu daima negatif dışı olduğundan her doğal sayı için sonuç yine bir doğal sayıdır. Bu nedenle bu iki ifade fonksiyon belirtir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci öncüldeki ifadenin tanım ve değer kümesi ilişkisini incelemek.

x^3 - x = (x-1)x(x+1)

ardışık üç tam sayının çarpımı olup daima 3 ile tam bölünür. Dolayısıyla her

x \in \mathbb{Z}

için

f(x) \in \mathbb{Z}

olur ve ifade fonksiyon belirtir.

Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir görüntüsü olduğunu doğrulamak.

2

İkinci öncüldeki ifadenin tanım ve değer kümesi ilişkisini incelemek.

Her

x \in \mathbb{N}

için

2-x

bir tam sayıdır. Mutlak değer işlemi negatif olmayan sonuç ürettiğinden

|2-x| \in \mathbb{N}

olur ve ifade fonksiyon belirtir.

Görüntü kümesinin değer kümesinin alt kümesi olduğunu teyit etmek.

3

Üçüncü öncüldeki rasyonel ifadenin tanımsızlık durumunu incelemek.

x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0

denkleminden paydayı sıfır yapan değerler

x = 3

ve

x = -2

olarak bulunur.

3 \in \mathbb{R}^+

olduğundan tanım kümesindeki 3 elemanının görüntüsü yoktur, bu nedenle ifade fonksiyon belirtmez.

Tanım kümesindeki tüm elemanların tanımlı bir görüntüye sahip olması kuralını test etmek.

Anahtar Kavram

Fonksiyon olma tanımı ve tanım kümesi kuralları

Soru 108Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan

f

ve

g

fonksiyonları

f(x) = 2x - a

g(x) = ax + 3

kuralları ile veriliyor.

(f + g)(2) = (f \cdot g)(1)

olduğuna göre,

(f - g)(a)

ifadesinin değeri kaçtır?

-7

-5

-3

1

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-5$

Cevap

-5

Verilen

(f+g)(2) = (f \cdot g)(1)

eşitliği açıldığında

f(2) + g(2) = f(1) \cdot g(1)

olur. Bu değerler fonksiyon tanımlarına göre

a

cinsinden yazılarak

a + 7 = -a^2 - a + 6

denklemine ulaşılır. Buradan

a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 = 0

ve

a = -1

bulunur. Fonksiyonlarda

a = -1

yazıldığında

f(x) = 2x + 1

ve

g(x) = -x + 3

elde edilir. İstenen

(f-g)(a)

yani

(f-g)(-1) = f(-1) - g(-1) = -1 - 4 = -5

olur.

Adım Adım Çözüm

1

(f+g)(2)

ve

(f \cdot g)(1)

ifadelerini fonksiyonlarda dört işlem tanımına göre açalım.

(f+g)(2) = f(2) + g(2)

ve

(f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1)

olur.

Fonksiyon işlemlerini bağımsız fonksiyon değerlerine dönüştürmek için.

2

f(x) = 2x - a

ve

g(x) = ax + 3

kurallarını kullanarak

f(2)

,

g(2)

,

f(1)

ve

g(1)

değerlerini

a

cinsinden hesaplayalım.

f(2) = 4 - a

,

g(2) = 2a + 3

,

f(1) = 2 - a

ve

g(1) = a + 3

elde edilir.

Denklemde bilinmeyenlerin değerlerini yerine yazabilmek için.

3

Elde edilen değerleri

f(2) + g(2) = f(1) \cdot g(1)

eşitliğinde yerine yazarak denklemi kuralım.

(4 - a) + (2a + 3) = (2 - a)(a + 3) \implies a + 7 = -a^2 - a + 6

olur.

a

değerini bulmamızı sağlayacak denklemi oluşturmak için.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemi tüm terimleri bir tarafa toplayarak düzenleyelim ve çözelim.

a^2 + 2a + 1 = 0 \implies (a+1)^2 = 0 \implies a = -1

bulunur.

a

parametresinin tek reel kökünü tespit etmek için.

5

a = -1

değerini fonksiyonlarda yerine yazıp

(f-g)(a)

yani

(f-g)(-1)

değerini hesaplayalım.

f(x) = 2x + 1

ve

g(x) = -x + 3

olur.

(f-g)(-1) = f(-1) - g(-1) = (-1) - 4 = -5

elde edilir.

Soru kökünde istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda dört işlem ve fonksiyon değerlerinin bulunması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 109Soru →

Doğal sayılar kümesi $\mathbb{N}$ , tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}$ , pozitif tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}^+$ ve gerçel sayılar kümesi $\mathbb{R}$ ile gösterilmektedir.

Buna göre, aşağıda tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir?

g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

h(x) = \sqrt{x - 3}

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

,

f(x) = |x - 2| + 1

s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}

,

s(x) = \frac{x}{2}

t: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{N}

,

t(x) = x - 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , $f(x) = |x - 2| + 1$

Cevap

f(x) = |x - 2| + 1

kuralıyla tanımlı ve tanım kümesi doğal sayılar, değer kümesi doğal sayılar olan bağıntı

Doğal sayılarda tanımlı ve değer kümesi doğal sayılar olan bağıntıda, her

x

doğal sayısı için

|x - 2| + 1

ifadesinin sonucu daima 1 veya daha büyük bir doğal sayı olmaktadır. Dolayısıyla tanım kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmaz ve her eleman değer kümesinde tek bir elemanla eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyon tanımının koşullarını hatırlamak

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde yalnız bir görüntüsü olmalıdır. Yani tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

Bağıntıların hangisinin fonksiyon belirttiğini analiz etmek için temel kriteri belirlemek.

2

Doğru bağıntının tanım ve değer kümesi koşullarını test etmek

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

,

f(x) = |x - 2| + 1

bağıntısında tanım kümesindeki her

x

doğal sayısı (

0, 1, 2, \dots

) için

|x - 2|

ifadesi tanımlıdır. Mutlak değerli bir ifade en az 0 değerini alabileceğinden,

f(x)

değerleri en az

0 + 1 = 1

olur. Sonuç her durumda bir doğal sayıdır. Dolayısıyla tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde tam olarak bir karşılığı vardır.

Seçilen bağıntının fonksiyon olma şartlarını eksiksiz sağladığını göstermek.

3

Diğer bağıntıların fonksiyon olmama nedenlerini belirlemek

Rasyonel bağıntıda

x = 1

için tanımsızlık oluşur. Köklü bağıntıda

x < 3

için gerçel sayı elde edilemez. Değer kümesi tam sayılar olan bağıntıda tek sayılar için tam sayı olmayan rasyonel sonuçlar çıkar. Son bağıntıda ise

x = 1

ve

x = 2

için sonuç negatif çıktığından doğal sayı kümesinde karşılık bulamaz.

Çeldirici seçeneklerin her birinin neden fonksiyon belirtmediğini açıklamak.

Anahtar Kavram

Fonksiyon olma kuralları ve sayı kümeleri arasındaki ilişkiler

Soru 110Soru →

$\mathbb{Z}$ tam sayılar kümesi olmak üzere, $f: \mathbb{Z} \setminus \{-2\} \rightarrow \mathbb{Z}$ tan��mlı $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x + 2}$ bağıntısı bir fonksiyondur.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen bağıntı bir fonksiyon değildir.

Tanım kümesindeki

x = 0

elemanının görüntüsü olan

\frac{5}{2}

sayısı değer kümesi olan tam sayılar kümesinde yer almadığı için bu eleman açıkta kalır ve fonksiyon olma şartını bozar.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım ve değer kümelerini belirleme

Tanım kümesi

A = \mathbb{Z} \setminus \{-2\}

, değer kümesi

B = \mathbb{Z}

olarak tanımlanmıştır.

Bağıntının fonksiyon olup olmadığını değerlendirmek için hangi kümeden hangi kümeye eşleme yapıldığını saptamak gerekir.

2

Fonksiyon tanımına göre koşulları kontrol etme

Tanım kümesindeki her

x

elemanı için

f(x)

değerinin değer kümesi olan

\mathbb{Z}

tam sayılar kümesine ait olması gerekir.

Fonksiyonlarda tanım kümesindeki hiçbir eleman açıkta kalmamalıdır.

3

Açıkta kalan eleman olup olmadığını test etme

x = 0

elemanı tanım kümesindedir. Bu değer için

f(0) = \frac{0^2 + 5}{0 + 2} = \frac{5}{2}

bulunur.

\frac{5}{2}

sayısı bir tam sayı değildir (

\frac{5}{2} \notin \mathbb{Z}

).

Tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü değer kümesinde yer almadığı için bu eleman eşleşemez ve açıkta kalır.

Anahtar Kavram

Fonksiyon tanımı, tanım ve değer kümesi uyumu

Soru 111Soru →

A

ve

B

kümeleri üzerinde sırasıyla

f: A \rightarrow \mathbb{R}

ve

g: B \rightarrow \mathbb{R}

fonksiyonları

f = \{(1, 5), (2, 4), (3, -2), (4, 6)\}

g = \{(2, 3), (3, 2), (4, -1), (5, 4)\}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $(f \cdot g - f)$ fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanların toplamı kaçtır?

-11

-6

-1

2

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların toplamı -6 değerine eşittir.

Fonksiyonlarda dört işlem tanımlanırken en temel kural, işlemin her iki fonksiyonun da tanımlı olduğu ortak elemanlar üzerinde yapılmasıdır. f fonksiyonunun tanım kümesi A = {1, 2, 3, 4} ve g fonksiyonunun tanım kümesi B = {2, 3, 4, 5} olduğundan, ortak tanım kümesi bu iki kümenin kesişimi olan {2, 3, 4} kümesidir. Bu elemanlar için (f * g - f)(x) değerleri sırasıyla 8, -2 ve -12 olarak hesaplanır. Bu değerlerin toplamı ise -6 olur.

Adım Adım Çözüm

1

f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerini belirlemek ve kesişimini bulmak.

A = \{1, 2, 3, 4\}

ve

B = \{2, 3, 4, 5\}

olup kesişim kümesi

A \cap B = \{2, 3, 4\}

olarak bulunur.

İki fonksiyon üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yalnızca bu fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesinde tanımlıdır.

2

Kesişim kümesindeki her bir eleman için (f * g - f)(x) değerini hesaplamak.

x = 2

için:

f(2) \cdot g(2) - f(2) = 4 \cdot 3 - 4 = 8

x = 3

için:

f(3) \cdot g(3) - f(3) = (-2) \cdot 2 - (-2) = -2

x = 4

için:

f(4) \cdot g(4) - f(4) = 6 \cdot (-1) - 6 = -12

(f \cdot g - f)(x) = f(x) \cdot g(x) - f(x)

kuralını tanım kümesindeki ortak elemanlara uygulamak gerekir.

3

Elde edilen görüntü değerlerini toplamak.

8 + (-2) + (-12) = -6

Bizden fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda dört işlem yapılırken işlem yapılacak fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesi esas alınır.

Soru 112Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = 2x + a

ve

g(x) = 3x - 1

fonksiyonları için

(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 5

eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,

(f \circ g)(a)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-28

-23

-10

12

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-23$

Cevap

Doğru cevap

-23

değeridir.

Bileşke fonksiyon tanımına göre

(f \circ g)(x) = f(g(x))

ve

(g \circ f)(x) = g(f(x))

ifadeleri sırasıyla

6x - 2 + a

ve

6x + 3a - 1

olarak elde edilir. Bu iki ifadenin farkı olan

-2a - 1

değeri

5

sayısına eşitlendiğinde

a = -3

bulunur. İstenen

(f \circ g)(-3)

değerini hesaplamak için önce içteki fonksiyon olan

g(-3) = -10

hesaplanır, ardından bu değer dıştaki fonksiyona yazılarak

f(-10) = 2(-10) - 3 = -23

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonların kurallarını elde etmek için

(f \circ g)(x)

ve

(g \circ f)(x)

ifadelerini yazalım.

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x - 1) + a = 6x - 2 + a

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x + a) - 1 = 6x + 3a - 1

Verilen fark denkleminde bu kuralları yerine koyarak

a

parametresini bulmak gerekir.

2

Bulunan ifadeleri

(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 5

eşitliğinde yerine yazarak denklemi çözelim.

(6x - 2 + a) - (6x + 3a - 1) = 5 \implies -2a - 1 = 5 \implies -2a = 6 \implies a = -3

Bileşke fonksiyonların kuralındaki bilinmeyen

a

değerini belirlemek için çıkarma işlemi uygulanır.

3

a = -3

değerini kullanarak

f

ve

g

fonksiyonlarını yazıp

(f \circ g)(-3)

değerini bulalım.

f(x) = 2x - 3

,

g(x) = 3x - 1

(f \circ g)(-3) = f(g(-3))

g(-3) = 3(-3) - 1 = -10

f(-10) = 2(-10) - 3 = -23

Bileşke fonksiyonun değerini bulmak için içten dışa doğru sırayla fonksiyon değerleri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırası ve kural oluşturma

Soru 113Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir

f

fonksiyonu için, her

x

gerçel sayısı için

f(2x + 1) = 3 \cdot f(x) - x + 2

eşitliği sağlanmaktadır.

f(1) = 4

olduğuna göre,

f(7)

değeri kaçtır?

32

34

36

38

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Otuz sekiz

Verilen fonksiyonda sırasıyla

x = 1

yazılarak

f(3) = 13

elde edilir, ardından

x = 3

yazılarak

f(7) = 3 \cdot 13 - 3 + 2 = 38

değerine ulaşılır. Bu nedenle doğru cevap otuz sekizdir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen fonksiyon denkleminde

f(3)

değerine ulaşmak için

x

yerine

1

yazılır.

f(2 \cdot 1 + 1) = 3 \cdot f(1) - 1 + 2 \implies f(3) = 3 \cdot 4 + 1 = 13

bulunur.

f(1)

değeri bilindiği için bu değerden yararlanarak bir sonraki adım olan

f(3)

elde edilir.

2

f(7)

değerine ulaşmak için denklemde

x

yerine

3

yazılır.

f(2 \cdot 3 + 1) = 3 \cdot f(3) - 3 + 2 \implies f(7) = 3 \cdot 13 - 1 = 38

bulunur.

Bir önceki adımda bulunan

f(3) = 13

değeri kullanılarak nihai hedef olan

f(7)

değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma işleminde, verilen bağımsız değişkenlerin yerine uygun değerlerin adım adım yazılarak istenen çıktıya ulaşılması.

Soru 114Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x + 1) = a \cdot x - 1

eşitliğini sağlamaktadır.

f(f(3)) = 11

olduğuna göre, pozitif

a

gerçel sayısı kaçtır?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Pozitif a gerçel sayısı 3 değerine eşittir.

Doğru cevaba ulaşmak için sırasıyla f(3) = 2a - 1 ve f(2a - 1) = 2a^2 - 2a - 1 = 11 adımları uygulanır. Buradan elde edilen ikinci dereceden denklemin pozitif kökü 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

f(3) değerini elde etmek amacıyla x + 1 = 3 denkleminden x = 2 değeri bulunur ve f(x + 1) ifadesinde yerine yazılır.

f(3) = 2a - 1 elde edilir.

İçteki f(3) ifadesinin değerini a cinsinden belirlemek.

2

Bulunan f(3) = 2a - 1 değeri f(f(3)) ifadesinde yerine yazılarak f(2a - 1) elde edilir.

f(f(3)) = f(2a - 1) olur.

Bileşke fonksiyon tanımı gereği içteki değer dıştaki fonksiyonun girdisi yapılır.

3

f(2a - 1) değerini bulmak için x + 1 = 2a - 1 denkleminden x = 2a - 2 değeri bulunur ve f(x + 1) ifadesinde yerine yazılır.

f(2a - 1) = a(2a - 2) - 1 = 2a^2 - 2a - 1 elde edilir.

Fonksiyonun kuralını yeni girdi için uygulamak.

4

f(f(3)) = 11 eşitliği kullanılarak 2a^2 - 2a - 1 = 11 denklemi oluşturulur ve düzenlenir.

2a^2 - 2a - 12 = 0, buradan da a^2 - a - 6 = 0 denklemi elde edilir.

a bilinmeyenini bulmak için ikinci dereceden denklem elde etmek.

5

a^2 - a - 6 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır ve pozitif kök belirlenir.

(a - 3)(a + 2) = 0 eşitliğinden a = 3 veya a = -2 bulunur. Pozitif gerçel sayı şartından dolayı a = 3 seçilir.

Denklemin köklerini bulup pozitif olanı belirlemek.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Bileşke İşlemi

Soru 115Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x) = \sqrt{12 - |x - 1|} + \frac{5}{\sqrt{x^2 - 4}}

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Fonksiyonun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 25'tir.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi

[-11, -2) \cup (2, 13]

aralığındaki tam sayılardan oluşur. Negatif ve pozitif değerlerin birbirini sıfırlamasıyla geriye kalan 12 ve 13 sayılarının toplamı olan 25 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci köklü ifadenin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme

-11 \leq x \leq 13

Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir (

12 - |x - 1| \geq 0 \Rightarrow |x - 1| \leq 12

).

2

İkinci ifadenin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme

x < -2

veya

x > 2

İkinci ifadenin paydasında yer alan kareköklü ifadenin tanımlı ve sıfırdan farklı olması için kök içinin kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekir (

x^2 - 4 > 0

).

3

İki koşulun kesişimini alarak tanım kümesini oluşturma

x \in [-11, -2) \cup (2, 13]

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki ifadenin de aynı anda tanımlı olması gerekir.

4

Tan��m kümesindeki tam sayıları belirleme ve toplama

Toplam = 25

Tanım kümesindeki tam sayılar

\{-11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3\}

ve

\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}

şeklindedir. Negatif tam sayılar pozitif eşleriyle sadeleştiğinde geriye yalnızca

12

ve

13

kalır. Bunların toplamı

12 + 13 = 25

olur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için köklü ve rasyonel ifadelerin tanımlılık şartlarını aynı anda uygulamak gerekir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 116Soru →

Pozitif bir $a$ gerçel sayısı için gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = 2x + a

g(x) = ax - 3

fonksiyonları veriliyor.

(f \circ g)(2) = 9

olduğuna göre, $(g \circ f)(1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İstenen bileşke fonksiyonun değeri 12'dir.

Bileşke fonksiyon tanımına göre

(f \circ g)(2) = f(g(2)) = 9

eşitliği kurulur.

g(2) = 2a - 3

değeri

f

fonksiyonuna yazıldığında

2(2a - 3) + a = 9

denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü

5a - 6 = 9 \implies a = 3

olarak bulunur.

a = 3

için fonksiyonlar

f(x) = 2x + 3

ve

g(x) = 3x - 3

haline gelir. Soruda istenen

(g \circ f)(1) = g(f(1))

ifadesi için

f(1) = 5

değeri bulunup

g(5)

hesaplanırsa

3 \cdot 5 - 3 = 12

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

(f \circ g)(2)

ifadesini

f(g(2))

biçiminde yazmak ve

g(2)

değerini hesaplamak.

g(2) = a \cdot 2 - 3 = 2a - 3

bulunur.

Bileşke fonksiyon tanımına göre

(f \circ g)(x) = f(g(x))

eşitliği geçerlidir.

2

Elde edilen

g(2)

ifadesini

f

fonksiyonunda

x

yerine yazarak denklemi kurmak ve

a

değerini bulmak.

f(2a - 3) = 2(2a - 3) + a = 5a - 6

olur.

5a - 6 = 9 \implies 5a = 15 \implies a = 3

olarak elde edilir.

Bileşke fonksiyonun sonucunun 9 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen

a

parametresi bulunur.

3

Bulunan

a = 3

değerini fonksiyonlarda yerine yazarak fonksiyon kurallarını netleştirmek.

f(x) = 2x + 3

ve

g(x) = 3x - 3

olur.

Sonraki bileşke işlemini gerçekleştirebilmek için fonksiyon kurallarını tamamen bilmemiz gerekir.

4

(g \circ f)(1) = g(f(1))

ifadesini hesaplamak amacıyla ilk olarak

f(1)

değerini bulmak.

f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5

bulunur.

Bileşke fonksiyon değerleri hesaplanırken işlem her zaman en içteki fonksiyondan başlar.

5

f(1) = 5

değerini

g

fonksiyonunda yerine yazarak nihai sonucu elde etmek.

g(5) = 3 \cdot 5 - 3 = 12

olarak hesaplanır.

Bileşke zincirindeki son adım

g

fonksiyonunun çıktısını hesaplamaktır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon

Soru 117Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları

f(2x + 1) = 4x - 3

g(x - 2) = x^2 - 3x + 1

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $(f \circ g)(3)$ ifadesinin değeri kaçtır?

1

-3

17

41

55

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

İşlemler sırasıyla uygulandığında

(f \circ g)(3)

ifadesinin değeri 17 olarak bulunur.

Bileşke fonksiyon tanımına göre

(f \circ g)(3) = f(g(3))

şeklindedir. İlk olarak

g(3)

değerini bulmak için

g(x-2)

kuralında

x-2=3 \implies x=5

seçilir. Buradan

g(3) = 5^2 - 3(5) + 1 = 11

elde edilir. İkinci adımda

f(11)

değerini bulmak için

f(2x+1)

kuralında

2x+1=11 \implies x=5

seçilir. Buradan

f(11) = 4(5) - 3 = 17

bulunur. Bu nedenle doğru cevap 17 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun tanımını uygulamak

(f \circ g)(3) = f(g(3))

olduğunu yazmak

Bileşke i��leminin öncelik sırasını belirlemek

2

g(3)

değerini hesaplamak için uygun

x

değerini bulmak

x - 2 = 3 \implies x = 5

olarak bulmak

g(x-2)

kuralında girdiyi 3 yapmak

3

x = 5

değerini

g(x-2)

kuralında yerine yazarak

g(3)

değerini bulmak

g(3) = 5^2 - 3(5) + 1 = 11

olarak bulmak

g

fonksiyonunun çıktısını elde etmek

4

f(g(3)) = f(11)

değerini hesaplamak için uygun

x

değerini bulmak

2x + 1 = 11 \implies x = 5

olarak bulmak

f(2x+1)

kuralında girdiyi 11 yapmak

5

x = 5

değerini

f(2x+1)

kuralında yerine yazarak sonucu elde etmek

f(11) = 4(5) - 3 = 17

olarak bulmak

Bileşke işleminin nihai sonucuna ulaşmak

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma işlemi en içteki fonksiyondan başlanarak dışa doğru sırayla yapılır. Fonksiyonun girdisi

x

dışında bir ifadeye bağlıysa, istenen girdi değerine ulaşmak için uygun değişken dönüşümü yapılmalıdır.

Soru 118Soru →

Tanımlı olduğu değerler için $g(x) = \frac{x+1}{x-1}$ ve $(f \circ g)(x) = \frac{3x^2 - 4}{x}$ fonksiyonları verilmektedir. Buna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

f(3) değeri 4'tür.

Bileşke fonksiyon tanımı gereği

(f \circ g)(x) = f(g(x))

şeklindedir. Bizden

f(3)

istendiği için

g(x) = 3

olmalıdır.

g(x) = \frac{x+1}{x-1} = 3

denkleminden

x = 2

bulunur. Bulunan bu

x

değeri bileşke fonksiyonda yerine yazıldığında

f(g(2)) = f(3) = \frac{3(2)^2 - 4}{2} = 4

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun tanımından yararlanarak

f(3)

değerini bulmak için

g(x) = 3

eşitliğini sağlayan

x

değerini belirlemek üzere denklem kurulur.

g(x) = 3

eşitliği elde edilir.

f(g(x)) = (f \circ g)(x)

ifadesinde

g(x) = 3

olduğunda

f(3)

değerine ulaşıldığı için bu adım gereklidir.

2

Kurulan

g(x) = 3

denklemi çözülür.

x = 2

olarak bulunur.

\frac{x+1}{x-1} = 3 \implies x + 1 = 3x - 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2

cebirsel adımları takip edilerek

g(x) = 3

yapan girdi değeri saptanır.

3

Bulunan

x = 2

değeri, verilen

(f \circ g)(x)

bileşke fonksiyonu ifadesinde yerine yazılarak hesaplama yapılır.

f(g(2)) = f(3) = 4

elde edilir.

x = 2

için

(f \circ g)(2) = \frac{3(2)^2 - 4}{2} = \frac{12-4}{2} = 4

olduğundan aranan

f(3)

değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonda değer bulma işlemi yapılırken dıştaki fonksiyonun argümanını elde etmek için içteki fonksiyonun değeri eşitlenmelidir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 119Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları her

x

gerçel sayısı için

(f \circ g)(x) = 4 \cdot g(x) - 3

(g \circ f)(x) = 3 \cdot f(x) + 2

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $(f \circ g)(2) - (g \circ f)(1)$ ifadesinin değeri kaçtır?

0

12

24

34

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İfadenin doğru değeri

24

'tür.

Bileşke fonksiyon kurallarından elde edilen

f(x) = 4x - 3

ve

g(x) = 3x + 2

fonksiyonları kullanılarak

(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(8) = 29

ve

(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 5

değerleri doğru sırayla hesaplanmış ve farkları alındığında

24

elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyon tanımlarını kullanarak

f(x)

ve

g(x)

fonksiyonlarının kurallarını belirleme.

f(x) = 4x - 3

ve

g(x) = 3x + 2

(f \circ g)(x) = 4 \cdot g(x) - 3

ifadesinde

g(x)

yerine

x

yazıldığında

f(x) = 4x - 3

elde edilir. Benzer şekilde,

(g \circ f)(x) = 3 \cdot f(x) + 2

ifadesinde

f(x)

yerine

x

yazıldığında

g(x) = 3x + 2

olur.

2

(f \circ g)(2)

ifadesinin değerini hesaplama.

(f \circ g)(2) = 29

(f \circ g)(2) = f(g(2))

olduğundan öncelikle

g(2) = 3(2) + 2 = 8

bulunur. Ardından bu değer

f

fonksiyonunda yerine yazılarak

f(8) = 4(8) - 3 = 29

elde edilir.

3

(g \circ f)(1)

ifadesinin değerini hesaplama.

(g \circ f)(1) = 5

(g \circ f)(1) = g(f(1))

olduğundan öncelikle

f(1) = 4(1) - 3 = 1

bulunur. Ardından bu değer

g

fonksiyonunda yerine yazılarak

g(1) = 3(1) + 2 = 5

elde edilir.

4

Bulunan değerlerin farkını alma.

24

(f \circ g)(2) - (g \circ f)(1) = 29 - 5 = 24

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların tanımı ve değer bulma işlemleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 120Soru →

Gerçel sayılar k��mesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x) + x \cdot f(-x) = x^2 + 3x + 4

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

-2

2

4

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen f(2) değeri 2'dir.

Verilen fonksiyonda x yerine sırasıyla 2 ve -2 yazıldığında f(2) + 2f(-2) = 14 ve f(-2) - 2f(2) = 2 denklemleri elde edilir. İkinci denklemden f(-2) = 2f(2) + 2 değeri birinci denklemde yerine yazıldığında 5f(2) + 4 = 14 bağıntısı elde edilir ve buradan f(2) = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde x yerine 2 yazılır.

f(2) + 2f(-2) = 2^2 + 3(2) + 4 = 14 elde edilir.

f(2) ve f(-2) değerleri arasında birinci bağıntıyı kurmak amacıyla bu adım uygulanır.

2

Verilen denklemde x yerine -2 yazılır.

f(-2) - 2f(2) = (-2)^2 + 3(-2) + 4 = 2 elde edilir.

f(2) ve f(-2) değerleri arasında ikinci bağıntıyı kurarak iki bilinmeyenli bir sistem elde etmek amacıyla bu adım uygulanır.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.

İkinci denklemden f(-2) = 2f(2) + 2 çekilir. Bu ifade birinci denklemde yerine yazıldığında: f(2) + 2(2f(2) + 2) = 14 => 5f(2) + 4 = 14 => 5f(2) = 10 => f(2) = 2 bulunur.

Sistemdeki bilinmeyenlerden f(2) değerini yalnız bırakıp çözüme ulaşmak amacıyla yerine koyma yöntemi uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulmak için x değişkeni yerine uygun sayılar yazılarak elde edilen denklem sistemleri çözülür.

Fonksiyonlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap