Kümeler ve Mantık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir sinema festivalinde gösterilen Belgesel ( $B$ ), Bilim Kurgu ( $K$ ) ve Animasyon ( $A$ ) türündeki filmlerden en az birini izleyen $45$ kişilik bir seyirci grubu ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca bir türde film izleyenlerin sayısı birbirine eşittir.
* Üç türde de film izleyen seyirci sayısı $3$ 'tür.
* Belgesel ve Bilim Kurgu filmlerinin her ikisini de izleyen seyircilerin tamamı Animasyon filmini de izlemiştir.
* Belgesel izleyenlerin toplam sayısı $20$ , Bilim Kurgu izleyenlerin toplam sayısı $22$ 'dir.

Buna göre, bu grupta Animasyon izleyen seyirci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Bu grupta Animasyon izleyen seyirci sayısı 33'tür.

Verilen bilgiler doğrultusunda alt kümelerin eleman sayıları sırasıyla belirlenip

x = 6

,

b = 13

,

c = 11

ve kesişim

3

bulunarak Animasyon kümesinin toplam eleman sayısı

33

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Küme bölgelerini harflendirip değişkenleri tanımlama

Yalnızca bir tür izleyenlerin sayıları

x

, yalnızca Bilim Kurgu ve Animasyon izleyenler

b

, yaln��zca Belgesel ve Animasyon izleyenler

c

olsun.

Sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için.

2

Koşullu ifadeyi yorumlama

Yalnızca Belgesel ve Bilim Kurgu izleyenlerin sayısı

0

'dır.

'Belgesel ve Bilim Kurgu izleyenlerin tamamı Animasyon da izlemiştir' ifadesi, bu iki kümenin kesişiminden Animasyon kümesi çıkarıldığında boş küme kaldığını belirtir.

3

Toplam seyirci sayısı denklemini yazma

3x + b + c + 3 = 45 \implies 3x + b + c = 42

Gruptaki herkesin en az bir film izlediği bilgisini denklem haline getirmek için.

4

Belgesel ve Bilim Kurgu kümelerinin eleman sayılarını yazma

x + c + 3 = 20 \implies c = 17 - x

ve

x + b + 3 = 22 \implies b = 19 - x

Belgesel izleyenlerin (

20

) ve Bilim Kurgu izleyenlerin (

22

) toplam sayısını kullanarak

b

ve

c

değerlerini

x

cinsinden ifade etmek için.

5

Değişkenleri yerine koyarak

x

değerini bulma

3x + (19 - x) + (17 - x) = 42 \implies x = 6

Tek bilinmeyenli birinci dereceden denklem elde edip

x

değerine ulaşmak için.

6

Animasyon izleyen toplam seyirci sayısını hesaplama

b = 13

,

c = 11

ve

s(A) = 6 + 13 + 11 + 3 = 33

İstenen Animasyon kümesinin eleman sayısını bulmak için tüm alt bölgeleri toplamak.

Anahtar Kavram

Küme Problemleri

Soru 102Soru →

Her $p$ ve $q$ önermesi için $p \Leftrightarrow q$ iki yönlü koşullu önermesi, $(p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p)$ bileşik önermesine her zaman denktir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Doğru eşdeğerlik

(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)

şeklinde olmalıdır.

İki yönlü koşullu önerme (

p \Leftrightarrow q

), tanım gereği ancak ve ancak iki koşullu önermenin 've' bağlacı ile birleştirilmesiyle (

(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)

) kurulabilir. Sorudaki önermede 'veya' (

\vee

) bağlacı kullanıldığından ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

İki yönlü koşullu önermenin (ancak ve ancak bağlacının) tanımını hatırlayın.

p \Leftrightarrow q

önermesi, 'p ise q' ile 'q ise p' önermelerinin 've' bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilir.

İki yönlü koşullu önermenin tanımı gereği iki koşulun da aynı anda gerçekleşmesi gerekir.

2

Tanımı sembolik mantık diline dökün.

p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)

Tanımdaki 've' bağlacı sembolik mantıkta

\wedge

sembolü ile gösterilir.

3

Verilen önermedeki bağlaç ile tanımı karşılaştırın.

Sorudaki önermede

(p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p)

ifadesi verilmiştir. Burada veya (

\vee

) bağlacı kullanılmıştır.

Veya bağlacı iki koşuldan sadece birinin doğru olmasını yeterli kıldığı için iki yönlü koşulu tam olarak karşılamaz. Dolayısıyla bu iki önerme birbirine her zaman denk değildir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Koşullu Önermenin Koşullu Önermeler Cinsinden Tanımı

Soru 103Soru →

Boş kümeden farklı $A$ , $B$ ve $C$ kümeleri için aşağıdakiler bilinmektedir:
- $A \cap C = \emptyset$
- $A \cap B \neq \emptyset$
- $B \cap C \neq \emptyset$
- $s(A \cup B \cup C) = 35$
- $s(A) = 2 \cdot s(B) = 3 \cdot s(C)$

Buna göre, $s(B \cap (A \cup C))$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İstenen kesişim ve birleşim işleminin eleman sayısı olan 9'dur.

A

ve

C

kümelerinin ortak elemanı bulunmadığı için (

A \cap C = \emptyset

), bu kümelerin

B

ile kesişimleri olan

A \cap B

ve

B \cap C

kümeleri de tamamen ayrıktır. Bu iki ayrık kümenin eleman sayılarının toplamı, içinde bulundukları

B

kümesinin eleman sayısından büyük olamaz. Buradan elde edilen üst sınır eşitsizliği ile kesişimlerin boş kümeden farklı olmasından kaynaklanan alt sınır eşitsizliği birleştirildiğinde,

k

tam sayısı benzersiz bir şekilde

4

olarak belirlenir. Bu değer birleşim denkleminde yerine yazıldığında aranan eleman sayısı 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin eleman sayılarını ortak bir k parametresine bağlı olarak yazmak

s(A) = 6k

,

s(B) = 3k

ve

s(C) = 2k

(burada

k

bir tam sayıdır)

Verilen oranları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için

2

Üçlü küme birleşimi formülünü uygulamak ve sadeleştirmek

s(A \cap B) + s(B \cap C) = 11k - 35

A \cap C = \emptyset

koşulundan ötürü kesişim eleman sayısının sıfır olmasını kullanmak

3

Kesişim kümelerinin ayrık olması özelliğini kullanarak üst sınır belirlemek

11k - 35 \le 3k \implies k \le 4,375

A \cap B

ve

B \cap C

ayrık kümelerinin birleşiminin

B

kümesinin alt kümesi olmasından dolayı

4

Kesişimlerin boş kümeden farklı olması koşuluyla alt sınır belirlemek ve k değerini bulmak

11k - 35 \ge 2 \implies k \ge 3,36 \implies k = 4

Her iki kesişim kümesinin de en az 1 elemanı olması gerektiğinden ve

k

tam sayı olduğundan

5

Bulunan k değerini kullanarak nihai sonucu hesaplamak

s(B \cap (A \cup C)) = 9

Dağılma özelliğiyle elde edilen

(B \cap A) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısını hesaplamak için

Anahtar Kavram

Ayrık kümelerin kesişim özellikleri, birleşim formülü ve eleman sayılarının tam sayı olma zorunluluğunun sınır şartları ile birleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

Venn şeması üzerinde

A

,

B

ve

C

kümelerinin kesişim bölgeleri harflendirilerek (

s(A \cap B) = x

ve

s(B \cap C) = y

gibi) denklem ve eşitsizlik sistemi görselleştirilerek de çözüme gidilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 104Soru →

Elemanları tam sayılardan veya bu tam sayılardan oluşan kümelerden seçilen bir $A$ kümesi için aşağıdakiler bilinmektedir:

* $s(A) = 5$
* $\{1\} \in A$ ve $\{1, 2\} \subset A$
* $A$ kümesinin elemanlarından yalnızca biri bir kümedir.

Buna göre, $A$ kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde $\{1\}$ elemanı bulunur fakat $2$ elemanı bulunmaz?

1

2

3

4

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Koşulları sağlayan alt küme sayısı 3'tür.

Verilen koşullara göre

A

kümesinin elemanları

\{1, 2, \{1\}, x, y\}

şeklindedir.

\{1\}

elemanını içeren ve

2

elemanını içermeyen 2 elemanlı alt kümeler

\{ \{1\}, z \}

biçiminde olup

z

elemanı

\{1, x, y\}

kümesinden seçilmelidir. Bu kümede 3 eleman bulunduğundan,

\binom{3}{1} = 3

farklı alt küme oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin elemanlarını verilen bilgilere göre analiz etmek.

A = \{ 1, 2, \{1\}, x, y \}

şeklinde yazılabilir. Burada

x

ve

y

birbirinden ve

1

ile

2

'den farklı tam sayılardır.

s(A) = 5

olduğundan kümede 5 eleman vardır.

\{1\} \in A

ifadesinden kümenin elemanlarından birinin

\{1\}

kümesi olduğu anlaşılır. Elemanlardan yalnızca biri küme olduğundan diğer tüm elemanlar tam sayıdır.

\{1, 2\} \subset A

ifadesi,

1

ve

2

tam sayılarının

A

kümesinin elemanı olduğunu gösterir (yani

1 \in A

ve

2 \in A

). Geriye kalan iki eleman ise

x

ve

y

gibi tam sayılardır.

2

İstenen alt küme ko��ullarını belirlemek.

Oluşturulacak 2 elemanlı alt küme

B = \{ \{1\}, z \}

biçimindedir. Burada

z \in A - \{ \{1\}, 2 \}

olmalıdır.

Alt kümede

\{1\}

elemanının bulunması istendiği için kümenin elemanlarından biri

\{1\}

olmalıdır. Alt kümede

2

elemanının bulunmaması istendiği için diğer eleman

z

,

2

olamaz. Ayrıca alt küme 2 elemanlı olduğundan

z

,

\{1\}

'den farklı bir eleman olmalıdır.

3

Seçilebilecek

z

elemanlarının kümesini ve sayısını bulmak.

z

elemanı

\{1, x, y\}

kümesinden seçilmelidir. Bu kümenin eleman sayısı 3'tür. Seçim sayısı

\binom{3}{1} = 3

olarak bulunur.

A

kümesinden

\{1\}

ve

2

elemanlarını çıkardığımızda geriye kalan elemanlar

1

,

x

ve

y

'dir. Dolayısıyla

z

elemanı için 3 farklı seçenek vardır. Bu alt kümeler sırasıyla

\{ \{1\}, 1 \}

,

\{ \{1\}, x \}

ve

\{ \{1\}, y \}

'dir.

Anahtar Kavram

Alt küme ve eleman kavramları arasındaki farklar ile koşullu alt küme oluşturma

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 105Soru →

A

ve

B

, aynı

U

evrensel kümesinin iki alt kümesidir.

\begin{aligned} s(U) &= 20 \\ s(A \cup B) &= 15 \\ s(A \setminus B) &= 6 \\ s(B \setminus A) &= 5 \end{aligned}

olduğuna göre,

A

kümesinin tümleyeni olan

A'

kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

A kümesinin tümleyeni olan A' kümesinin eleman sayısı 10'dur.

A kümesinin tümleyeni olan A', A kümesinin sınırları dışında kalan tüm elemanları içerir. Bu elemanlar, sadece B kümesinde bulunan elemanlar (B \setminus A) ile A ve B kümelerinin dışında kalan elemanların ((A ∪ B)') toplamına eşittir. s(U) - s(A ∪ B) = 20 - 15 = 5 eleman kümelerin dışındadır. s(B \setminus A) = 5 eleman ise sadece B k��mesindedir. Bu iki bölgenin eleman sayıları toplandığında 5 + 5 = 10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin birleşiminin dışında, evrensel kümenin içinde kalan bölgenin eleman sayısını hesaplayın.

s((A ∪ B)') = 20 - 15 = 5

Evrensel kümenin eleman sayısından A ve B kümelerinin birleşiminin eleman sayısı çıkarılarak iki kümenin de dışındaki eleman sayısı bulunur.

2

A' kümesini oluşturan ayrık bölgeleri belirleyin.

s(A') = s(B \setminus A) + s((A ∪ B)')

A kümesinin dışında kalan elemanlar, ya sadece B kümesine aittir ya da A ve B kümelerinin her ikisinin de dı��ındadır.

3

Belirlenen bölgelerin eleman sayılarını toplayarak sonuca ulaşın.

s(A') = 5 + 5 = 10

Sadece B kümesinde olan eleman sayısı 5 ve kümelerin dışındaki eleman sayısı 5 olduğundan, bu iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde tümleme ve fark işlemlerinin evrensel küme üzerindeki bölge gösterimleri ile eleman sayılarının ilişkisi.

Soru 106Soru →

Elemanları harflerden ve bu harflerin oluşturduğu kümelerden seçilen bir

A

kümesi

A = \{ a, \{b\}, \{a, b\}, c, \{c\} \}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre;
I. $\{a, c\} \subset A$
II. $\{b\} \subset A$
III. $\{a, b\} \in A$
IV. $\{c\} \in A$ ve $\{c\} \subset A$
V. $\{\{b\}\} \subset A$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

I, III ve IV

I, II ve IV

I, III, IV ve V

II, III ve V

I, III ve V

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, III, IV ve V

Cevap

I, III, IV ve V öncüllerini içeren seçenek doğrudur.

Doğru olan 'I, III, IV ve V' seçeneğinde belirtilen ifadeler alt küme ve eleman tanımlarına tam olarak uymaktadır.

\{a, c\}

kümesinin elemanları olan

a

ve

c

kümenin elemanı olduğu için alt kümedir.

\{a, b\}

nesnesi doğrudan kümenin içinde bir elemandır.

\{c\}

ifadesi kümenin hem kendisi bir elemanıdır hem de içerisindeki

c

elemanı kümede bulunduğu için alt kümesidir.

\{\{b\}\}

kümesinin tek elemanı olan

\{b\}

nesnesi kümede yer aldığı için alt kümedir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını belirleme

A

kümesinin elemanları

a

,

\{b\}

,

\{a, b\}

,

c

ve

\{c\}

olmak üzere 5 tanedir. Yani,

s(A) = 5

'tir.

Eleman ve alt küme ilişkilerini test etmek için öncelikle kümenin eleman yapısını tam olarak ortaya koymak gerekir.

2

Öncülleri tek tek değerlendirme

I.

a \in A

ve

c \in A

olduğundan

\{a, c\} \subset A

doğrudur.
II.

\{b\} \subset A

olması için

b \in A

olmalıdır. Fakat

b

,

A

kümesinin bir elemanı değildir (yalnızca

\{b\}

bir elemandır). Dolay��sıyla bu ifade yanlıştır.
III.

\{a, b\}

kümesi

A

kümesinin listesinde bir eleman olarak yer aldığı için

\{a, b\} \in A

doğrudur.
IV.

\{c\}

ifadesi

A

'nın listesinde yer ald��ğından

\{c\} \in A

doğrudur. Ayrıca

c \in A

olduğundan

\{c\} \subset A

da doğrudur. İki kısım da doğru olduğundan bu ifade doğrudur.
V.

\{\{b\}\} \subset A

olması için

\{b\} \in A

olmalıdır.

\{b\}

ifadesi

A

kümesinin elemanı olduğundan bu ifade doğrudur.

Alt küme sembolü (

\subset

) alt kümenin elemanlarının ana kümede bulunmasını gerektirirken, eleman sembolü (

\in

) doğrudan nesnenin küme içinde bulunmasını gerektirir.

3

Doğru olan öncülleri birleştirerek sonuca ulaşma

I, III, IV ve V numaralı öncüllerin doğru olduğu görülür.

Soru kökünde bizden doğru olan öncüllerin listesi istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir kümede eleman (

\in

) ve alt küme (

\subset

) sembollerinin doğru kullanımı ile süslü parantezli elemanların analizi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 107Soru →

A = \{ 1, \{1\}, \{1, 2\}, 2 \}

kümesi veriliyor. Buna göre,

A

kümesinin alt kümelerinin ka�� tanesinde

\{1\}

eleman olarak bulunur fakat

\{1, 2\}

alt küme olarak bulunmaz?

3

4

6

8

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Koşulları sağlayan alt küme sayısı 6'dır.

Doğru cevap 6'dır.

A = \{ 1, \{1\}, \{1, 2\}, 2 \}

kümesinin alt kümelerinden birinin

S

olduğunu varsayalım.

\{1\} \in S

olması için

A

kümedeki

\{1\}

elemanı seçilmelidir.

\{1, 2\} \not\subset S

olması için ise

S

kümesi

1

ve

2

elemanlarının her ikisini birden içeremez; bu durum

1

ve

2

elemanlarının seçimi için 3 durum yaratır. Kalan

\{1, 2\}

elemanı ise serbest olup 2 farklı duruma sahiptir. Tüm durumların çarpımı

1 \times 3 \times 2 = 6

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.

A

kümesinin elemanları

1

,

\{1\}

,

\{1, 2\}

ve

2

olmak üzere 4 tanedir. Dolayısıyla

s(A) = 4

olur.

Kümedeki her bir elemanın yapısını netleştirmek ve doğru analiz edebilmek için.

2

Birinci koşul olan

\{1\}

elemanının bulunma durumunu incelemek.

Oluşturulacak

S

alt kümesinde

\{1\}

elemanının bulunması istendiğinden,

A

kümesinin

\{1\}

elemanı (yani ikinci eleman) kesinlikle seçilir (1 durum).

Soruda verilen eleman olma koşulunu sağlamak için.

3

İkinci koşul olan

\{1, 2\}

kümesinin alt küme olmama durumunu incelemek.

Bir

S

kümesinin

\{1, 2\}

kümesini alt küme olarak kabul etmemesi (

\{1, 2\} \not\subset S

) için, bu kümenin elemanları olan

1

ve

2

nesnelerinin her ikisi birden

S

kümesinde yer alamaz. Bu durumda

1

ve

2

elemanları için 3 farklı seçim yapılabilir: (hiçbiri seçilmez), (yalnız 1 seçilir), (yalnız 2 seçilir).

Alt küme tanımına göre tüm elemanların aynı anda bulunmasını engellemek için.

4

Kalan elemanın seçimini ve toplam alt küme sayısını hesaplamak.

Geriye kalan

\{1, 2\}

elemanı için herhangi bir sınırlama yoktur; bu eleman alt kümede yer alabilir veya almayabilir (2 durum). Çarpım kuralı ile toplam durum sayısı:

1 \times 3 \times 2 = 6

olarak bulunur.

Bağımsız seçimlerin olası kombinasyonlarını birleştirmek için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Sembollerinin Mantıksal Farkı

Soru 108Soru →

$x, y$ ve $z$ pozitif tam sayılar olmak üzere,

$p: x \cdot y + z$ sayısı tektir.

$q: x + y$ sayısı çifttir.

$r: y \cdot z$ sayısı çifttir.

önermeleri veriliyor.

(p \land q') \lor r

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre; I, II ve III ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

I. $x + y + z$ toplamı tektir.
II. $x \cdot y \cdot z$ çarpımı çifttir.
III. $x^y + z$ toplamı çifttir.

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.

Verilen bileşik önermenin yanlış olması için

r \equiv 0

ve

p \land q' \equiv 0

olmalıdır.

r \equiv 0

olmasından

y

ve

z

sayılarının tek olduğu bulunur.

p \land q' \equiv 0

durumunda

x

çift olsaydı çelişki oluşacağından

x

sayısının da tek olduğu belirlenir.

x

,

y

ve

z

tek sayılar olduğuna göre, üçünün toplamı tek (I. ifade doğru), çarpımları tek (II. ifade yanlış) ve

x^y + z

toplamı çift (III. ifade doğru) olur. Bu durumda doğru yanıt birinci ve üçüncü ifadeleri içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleme

r \equiv 0

ve

p \land q' \equiv 0

elde edilir.

Veya (

\lor

) bağlacı ile bağlanan iki ifadenin sonucu yanlış (

0

) ise, her iki bileşenin de yanlış olması gerekir. Dolayısıyla,

r \equiv 0

ve

p \land q' \equiv 0

olmalıdır.

2

y

ve

z

sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleme

y

ve

z

sayılarının her ikisi de tek sayıdır.

r: y \cdot z

çifttir önermesi yanlış olduğuna göre (

r \equiv 0

),

y \cdot z

çarpımı tek sayı olmalıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir.

3

x

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme

x

sayısı tek sayıdır.

p \land q' \equiv 0

olmalıdır. Eğer

x

çift olsaydı:

q: x + y

toplamı çift + tek = tek olacağından

q \equiv 0

ve

q' \equiv 1

olurdu. Bu durumda

p: x \cdot y + z

ifadesi çift

\cdot

tek + tek = çift + tek = tek olacağından

p \equiv 1

olurdu. Buradan

p \land q' \equiv 1 \land 1 \equiv 1

çelişkisi doğardı. Dolayısıyla

x

tek olmalıdır.

x

tek olduğunda,

q: tek + tek = çift \implies q \equiv 1 \implies q' \equiv 0

olur ve

p \land q' \equiv 0

koşulu sağlanır.

4

Öncülleri tek tek değerlendirme

I ve III. öncüller doğru, II. öncül yanlıştır.

x

,

y

ve

z

sayılarının tamamı tek sayıdır. Buna göre:
I.

x + y + z = tek + tek + tek = tek

(Doğru)
II.

x \cdot y \cdot z = tek \cdot tek \cdot tek = tek

(Çift değildir, Yanlış)
III.

x

tek ve

y

pozitif tam sayı olduğundan

x^y

tektir.

x^y + z = tek + tek = çift

(Doğru)

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ve sayıların teklik-çiftlik özellikleri arasındaki mantıksal ilişki

Soru 109Soru →

Bir okulda fizik ( $F$ ), kimya ( $K$ ) ve biyoloji ( $B$ ) olimpiyatlarına hazırlanan öğrencilerden oluşan bir grup öğrenci ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Gruptaki her bir öğrenci en az bir olimpiyata hazırlanmaktadır.
* Fizik veya kimya olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı $45$ 'tir.
* Kimya veya biyoloji olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı $48$ 'dir.
* Fizik veya biyoloji olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı $51$ 'dir.
* Fizik ve kimya olimpiyatlarına hazırlanan öğrenci sayısı, kimya ve biyoloji olimpiyatlarına hazırlanan öğrenci sayısından $3$ fazladır.
* Her üç olimpiyata da hazırlanan öğrenci sayısı $4$ 'tür.
* Gruptaki toplam öğrenci sayısı $60$ 'tır.

Buna göre, sadece fizik olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Sadece fizik olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı 12'dir.

Verilen birleşim ve kesişim bağıntıları ile gruptaki toplam öğrenci sayısı kullanılarak kurulan denklem sisteminde, sadece fizik olimpiyatına hazırlanan öğrencilerin sayısını veren cebirsel ifade sadeleştiğinde değişkenlerden bağımsız olarak 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin ve kesişimlerinin eleman sayıları için değişkenler tanımlamak.

s(F) = f

,

s(K) = k

,

s(B) = b

olsun. İkili kesişimler için

s(F \cap K) = x

,

s(K \cap B) = y

,

s(F \cap B) = z

olsun. Üçlü kesişim

s(F \cap K \cap B) = 4

olarak verilmiştir.

Sözel olarak verilen ilişkileri matematiksel denklemler halinde yazabilmek için değişkenler atanır.

2

İkili birleşim formüllerini yazıp taraf tarafa toplamak.

s(F \cup K) = f + k - x = 45

,

s(K \cup B) = k + b - y = 48

,

s(F \cup B) = f + b - z = 51

denklemleri elde edilir. Bunlar toplandığında

2(f + k + b) - (x + y + z) = 144

olur.

Bireysel küme eleman sayılarının toplamı ile kesişimlerin eleman sayılarının toplamı arasında bir bağıntı kurmak amaçlanır.

3

Üçlü birleşim formülünü kullanarak sistemin ortak çözümlerini bulmak.

s(F \cup K \cup B) = f + k + b - (x + y + z) + 4 = 60 \implies (f + k + b) - (x + y + z) = 56

bulunur.

S = f + k + b

ve

I = x + y + z

dersek;

2S - I = 144

ve

S - I = 56

sisteminden

S = 88

ve

I = 32

elde edilir.

Toplam öğrenci sayısı ve kesişimlerin toplam eleman sayısını belirlemek için üçlü birleşim formülü kullanılır.

4

Verilen bağıntıyı uygulayarak sadece fizik olimpiyatına katılan öğrenci sayısını bulmak.

x = y + 3

ve

x + y + z = 32 \implies z = 29 - 2y

olur. Sadece fizik olimpiyatına hazırlananların sayısı

f_{only} = f - (x + z - 4)

formülüyle bulunur.

f = 88 - (k + b) = 88 - (48 + y) = 40 - y

olduğundan;

f_{only} = (40 - y) - (y + 3 + 29 - 2y - 4) = 40 - y - (28 - y) = 12

bulunur.

İstenen spesifik bölgenin eleman sayısını diğer değişkenler cinsinden ifade edip sadeleştirerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları formülleri ve Venn şeması üzerindeki bölge analizleri.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek ayrık bölgelerin her birine harfler (a, b, c, d, e, f, g) verilip soruda sunulan tüm veriler bu harfler cinsinden yazıldığında, doğrudan aranan bölgenin sayısal değerine ulaşacak bir denklem kombinasyonu kurulabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 110Soru →

Bir spor salonuna kayıtlı $60$ üyenin her biri pilates ( $P$ ), yoga ( $Y$ ) ve kardiyo ( $K$ ) etkinliklerinden en az birine katılmaktadır.

Bu üyelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Pilates etkinliğine katılan her üye kardiyo etkinliğine de katılmaktadır.
- Yoga etkinliğine katılan üyelerin hiçbirisi kardiyo etkinliğine katılmamaktadır.
- En az iki etkinliğe katılan üyelerin sayısı, sadece bir etkinliğe katılan üyelerin sayısının yarısından $6$ eksiktir.

Buna göre, pilates etkinliğine katılan üye sayısı kaçtır?

12

14

16

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Pilates etkinliğine katılan üye sayısı 16'dır.

Pilates kümesi Kardiyo kümesinin alt kümesi, Yoga kümesi ise Kardiyo kümesi ile ayrık olduğundan üyeler sadece yoga yapanlar, sadece kardiyo yapanlar ve hem pilates hem kardiyo yapanlar olarak ayrılır. Sadece bir etkinlik yapanların sayısı

44

ve en az iki etkinlik yapanların (yani pilates yapanların) sayısı

16

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeler arasındaki ilişkileri belirleme.

P \subseteq K

ve

Y \cap K = \emptyset

olduğu belirlenir. Bu durumda otomatik olarak

Y \cap P = \emptyset

olur.

Soruda verilen 'Pilatese katılan her ��yenin kardiyoya da katıldığı' ifadesi alt küme ilişkisini (

P \subseteq K

), 'Yogaya katılanların hiçbirinin kardiyoya katılmadığı' ifadesi ise ayrık küme ilişkisini (

Y \cap K = \emptyset

) belirtir.

2

Etkinlik sayılarına göre üyeleri bölgelere ayırma.

Sadece bir etkinliğe katılan üyelerin sayısı

s(Y) + s(K \setminus P)

, en az iki etkinliğe katılan üyelerin sayısı ise

s(P)

olur.

Y

kümesi

K

ile ayrık olduğundan

Y

kümesindeki elemanlar sadece 1 etkinliğe katılmıştır.

P \subseteq K

olduğundan

P

kümesindeki her eleman hem

P

hem

K

etkinliklerine katılarak en az iki etkinliğe katılmış olur.

3

Denklem kurma ve bilinmeyenleri çözme.

Sadece bir etkinliğe katılanlara

x

, en az iki etkinliğe katılanlara

y

dersek;

x + y = 60

ve

y = \frac{x}{2} - 6

denklemlerinden

x = 44

ve

y = 16

bulunur.

Toplam üye sayısı 60'tır ve en az iki etkinliğe katılanların sayısı, sadece bir etkinliğe katılanların sayısının yarısından 6 eksiktir. Pilatese katılanların sayısı en az iki etkinliğe katılanlar olan

s(P) = y = 16

değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme ve ayrık küme ilişkilerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 111Soru →

Her biri sıfırdan farklı olan

x

ve

y

gerçel sayıları için

\begin{aligned} p&: x \cdot y < 0 \\ q&: x + y > 0 \\ r&: |x| > |y| \end{aligned}

önermeleri tanımlanıyor.

$(p \wedge r) \Rightarrow q$ önermesi yanlış olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman pozitiftir?

y - x

x - y

x + y

y^2 - x^2

x \cdot (y - x)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y - x$

Cevap

y - x ifadesi her zaman pozitiftir.

Doğru seçenek olan 'y - x' ifadesidir. Koşullu önermenin yanlış olmasından yola çıkılarak

x < 0

ve

y > 0

elde edilir. Pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sonuç daima pozitif olur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu önermenin doğruluk değerini analiz etme

p \wedge r \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır.

A \Rightarrow B

önermesinin yanlış (

0

) olması için tek durum hipotezin doğru (

1

) ve hükmün yanlış (

0

) olmasıdır.

2

p

ve

r

önermelerinin doğruluk değerlerinden çıkarım yapma

x \cdot y < 0

ve

|x| > |y|

'dir.

Ve (

\wedge

) bağlacıyla bağlı

p \wedge r

bileşik önermesi doğru ise bileşenlerin her ikisi de doğru olmak zorundadır.

3

q

önermesinin yanlış olmasını ve sayıların işaretlerini değerlendirme

x + y < 0

olmalıdır.

q

önermesi yanlış olduğundan

x + y \leq 0

olur. Sayıların mutlak değerleri farklı (

|x| > |y|

) olduğundan toplamları sıfır olamaz.

4

x

ve

y

'nin işaretlerini belirleyip seçenekleri test etme

x < 0

ve

y > 0

bulunur. Bu durumda

y - x

daima pozitiftir.

Zıt işaretli iki sayının toplamı negatif ise mutlak değerce büyük olan sayı negatiftir. Buradan

x < 0

ve

y > 0

bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin doğruluk değeri, bileşik önermeler ve bağlaçların özellikleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 112Soru →

Bir $U$ evrensel kümesine ait $A$ ve $B$ kümeleri için,

s(A \setminus B) = 7

s(A' \cap B') = 5

s(B) = 11

oldu��una göre, $U$ evrensel kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Evrensel kümenin eleman sayısı 23'tür.

Evrensel küme,

A \cup B

ve

(A \cup B)'

kümelerinin ayrık birleşimidir.

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B) = 7 + 11 = 18

ve De Morgan kuralından

s((A \cup B)') = s(A' \cap B') = 5

olduğuna göre,

s(U) = 18 + 5 = 23

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A' \cap B'

ifadesinin De Morgan kuralı uyarınca

(A \cup B)'

kümesine eşit olduğunu belirlemek.

s((A \cup B)') = 5

Kümelerin tümleyenleri ile kesişim işlemi, birleşim işleminin tümleyenine eşittir.

2

A \cup B

kümesinin eleman sayısını, ayrık iki küme olan

A \setminus B

ve

B

kümelerinin toplamı şeklinde yazmak.

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B) = 7 + 11 = 18

A \cup B

kümesi,

B

kümesi ile

A

'nın

B

'den farkının birleşimidir ve bu iki küme ayrıktır.

3

U

evrensel kümesinin eleman sayısını,

A \cup B

ile tümleyeninin eleman sayılarını toplayarak bulmak.

s(U) = 18 + 5 = 23

Bir küme ile tümleyeninin eleman sayılarının toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi verir; De Morgan kuralları fark ve tümleme işlemlerinde sadeleştirme sağlar.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek A \setminus B bölgesine 7 eleman, B kümesinin içine (kesişim ve yalnız B bölgesi dahil) 11 eleman ve küme dışındaki bölgeye (A' \cap B') 5 eleman yerleştirilir. Tüm bu bölgelerdeki eleman sayıları toplandığında evrensel kümenin eleman sayısı 23 olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 113Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

$p: a \cdot b > 0$
$q: b \cdot c < 0$
$r: a + c = 0$

önermeleri veriliyor.

Buna göre, $(p \Rightarrow q) \vee r$ önermesi yanlış olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?

+, +, -

-, +, -

+, -, +

-, -, -

+, -, -

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -, -, -

Cevap

a, b ve c sayılarının işaretleri sırasıyla -, -, - olmalıdır.

Verilen bileşik önermenin yanlış olabilmesi için veya bağlacı ile bağlanan her iki ifadenin de yanlış olması gerekir. Buradan

p \Rightarrow q

önermesinin yanlış ve

r

önermesinin yanlış olduğu görülür. Bir ise bağlacının yanlış olabilmesi için ilk önermenin doğru, ikinci önermenin ise yanlış olması gerekir. Bu durumda

p

doğru,

q

ise yanlış olur. Önermelerin tanımlarına göre

a \cdot b > 0

doğru olduğundan a ile b aynı işaretli,

b \cdot c < 0

yanlış olduğundan b ile c aynı işaretlidir. Dolayısıyla a, b ve c sayılarının üçünün de işareti aynı olmalıdır. Seçeneklerde üç sayının da aynı işaretli olduğu tek durum olan tüm sayıların negatif olduğu seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etme

(p \Rightarrow q) \vee r \equiv 0

olduğundan, veya bağlacının özelliğinden

p \Rightarrow q \equiv 0

ve

r \equiv 0

olmalıdır.

Veya bağlacı içeren bir bileşik önermenin yanlış olabilmesi için her iki bileşenin de yanlış olması gerekir.

2

Koşullu önermenin bileşenlerini belirleme

p \Rightarrow q \equiv 0

olduğundan, ise bağlacının özelliğinden

p \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır.

İse bağlacının sonucunun yanlış olduğu tek durum, ilk önermenin doğru ve ikinci önermenin yanlış olması durumudur.

3

Temel önermelerin doğruluk değerlerine göre işaret analizi yapma

p \equiv 1 \Rightarrow a \cdot b > 0

(a ve b aynı işaretli)

q \equiv 0 \Rightarrow b \cdot c \ge 0

, sayılar sıfırdan farklı olduğu için

b \cdot c > 0

(b ve c aynı işaretli)

r \equiv 0 \Rightarrow a + c \neq 0

Önermelerin doğruluk değerleri gerçel sayıların işaret kuralları ile eşleştirilir.

4

Bulunan işaret ilişkilerini birleştirme

a ile b aynı işaretli ve b ile c aynı işaretli olduğundan; a, b ve c sayılarının üçü de aynı işaretli olmalıdır. Yani işaretler ya (+, +, +) ya da (-, -, -) olmalıdır. Üç sayı da sıfırdan farklı ve aynı işaretli olduğundan, toplamları sıfıra eşit olamaz (

a + c \neq 0

koşulu sağlanır). Seçeneklerde bu duruma uygun olan tek üçlü (-, -, -) şeklindedir.

Tüm koşulları aynı anda sağlayan ortak işaret durumları belirlenir.

Anahtar Kavram

Koşullu ve veya bağlaçlarının doğruluk değerleri ile gerçel sayıların işaret özellikleri arasındaki ilişki

Soru 114Soru →

Bir spor okulundaki 54 öğrencinin tamamı basketbol, voleybol ve tenis branşlarından en az birine katılmaktadır.

Bu öğrencilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Yalnızca bir branşa katılan öğrenci sayısı, tam olarak iki branşa katılan öğrenci sayısının 2 katıdır.
* Her üç branşa da katılan öğrenci sayısı 6'dır.

Buna göre, bu spor okulunda en az iki branşa katılan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

En az iki branşa katılan öğrenci sayısı 22'dir.

Toplam öğrenci sayısından üç branşa katılan 6 öğrenci çıkarıldığında geriye kalan 48 öğrenci, yalnızca bir branşa katılanlar ile tam olarak iki branşa katılanlardan oluşur. Yalnızca bir branşa katılanların sayısı iki branşa katılanların 2 katı olduğundan, iki branşa katılanlar 16, bir branşa katılanlar ise 32 kişi olur. En az iki branşa katılanlar ise iki branşa katılan 16 kişi ile üç branşa katılan 6 kişinin toplamı olan 22 kişidir.

Adım Adım Çözüm

1

Branş sayılarına göre gruplama değişkenlerini tanımlama.

Yalnızca bir branşa katılanlar

S_1

, tam olarak iki branşa katılanlar

S_2

, üç branşa katılanlar

S_3

olsun.

Sorudaki ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmek için gruplandırma yapılması gerekir.

2

Genel toplam denklemini kurma.

S_1 + S_2 + S_3 = 54

denklemine ulaşılır.

Okuldaki tüm öğrencilerin bu branşlardan en az birine katıldığı belirtilmiştir.

3

Üç branşa katılanların sayısını yerine yazıp sadeleştirme.

S_3 = 6

olduğundan

S_1 + S_2 = 48

bulunur.

Bilinen sabit değeri kullanarak denklemdeki değişken sayısını azaltırız.

4

Gruplar arasındaki oran ilişkisini denklemde yerine koyup çözme.

S_1 = 2S_2

olduğundan

3S_2 = 48 \implies S_2 = 16

ve

S_1 = 32

bulunur.

Yalnızca bir branşa katılanların iki branşa katılanların 2 katı olduğu bilgisi kullanılarak değişkenler çözülür.

5

İstenen en az iki branşa katılan öğrenci sayısını hesaplama.

S_2 + S_3 = 16 + 6 = 22

bulunur.

En az iki branşa katılmak, tam olarak iki veya üç branşa katılmak anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Bölge Analizi ve Denklem Kurma

Soru 115Soru →

Bir matematik öğretmeni, mantık konusunu işlerken tahtaya şu ifadeleri yazmıştır:

I. Bir koşullu önermenin karşıtı ile tersi her zaman birbirine denktir.
II. $p \Leftrightarrow q$ önermesinin olumsuzu (değili), $(p \wedge q') \vee (q \wedge p')$ önermesine denktir.
III. $(p' \vee q) \Rightarrow r$ önermesinin karşıt tersi, $r' \Rightarrow (p \wedge q')$ önermesidir.

Buna göre, öğretmenin tahtaya yazdığı bu ifadelerden hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III ifadelerinin tamamı doğrudur.

I. öncülde belirtilen karşıt ve ters önermelerin birbirinin karşıt tersi olmasından dolayı her zaman denk oldukları görülür. II. öncülde iki yönlü koşullu önermenin olumsuzu doğru bir şekilde De Morgan ve koşullu önerme kurallarıyla açılmıştır. III. öncülde verilen bileşik önermenin karşıt tersi, kurallara uygun olarak alınmış ve doğru bir şekilde elde edilmiştir. Bu nedenle üç ifade de doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncüldeki karşıt ve ters kavramlarının tanımlarını yazarak aralarındaki ilişkiyi incelemek.

p \Rightarrow q

önermesinin karşıtı

q \Rightarrow p

önermesidir. Tersi ise

p' \Rightarrow q'

önermesidir. Bir koşullu önerme karşıt tersine her zaman denk olduğundan,

q \Rightarrow p \equiv (p')' \Rightarrow q' \equiv p' \Rightarrow q'

olur. Dolayısıyla karşıt ile ters her zaman birbirine denktir. I. öncül doğrudur.

Karşıt ve ters önermelerin doğruluk değerlerinin genel durumunu belirlemek.

2

II. öncüldeki iki yönlü koşullu önermenin olumsuzunu koşullu önerme ve bağlaç özellikleri yardımıyla açmak.

p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) \equiv (p' \vee q) \wedge (q' \vee p)

şeklindedir. Bu ifadenin değili alındığında De Morgan kuralı gereği:

(p \Leftrightarrow q)' \equiv (p \Rightarrow q)' \vee (q \Rightarrow p)'

elde edilir. Bir koşullu önermenin değilinin veya bağlacı altındaki eşdeğeri

(a \Rightarrow b)' \equiv a \wedge b'

olduğundan, ifade

(p \wedge q') \vee (q \wedge p')

haline gelir. II. öncül doğrudur.

İki yönlü koşullu önermenin olumsuzunun en sade halini bulmak.

3

III. öncüldeki bileşik önermenin karşıt tersini tanımlar ve De Morgan kuralları çerçevesinde oluşturmak.

A \Rightarrow B

önermesinin karşıt tersi

B' \Rightarrow A'

önermesidir. Bu durumda

(p' \vee q) \Rightarrow r

önermesinin karşıt tersi

r' \Rightarrow (p' \vee q)'

olur. De Morgan kuralı ile

(p' \vee q)' \equiv p \wedge q'

olduğundan, karşıt ters önerme

r' \Rightarrow (p \wedge q')

olarak bulunur. III. öncül doğrudur.

Koşullu önermenin karşıt tersinin doğruluğunu test etmek.

Anahtar Kavram

Koşullu ve İki Yönlü Koşullu Önermeler, Karşıt, Ters, Karşıt Ters ve Mantıksal Eşdeğerlikler

Soru 116Soru →

Bir turizm acentesi ile seyahat eden 45 kişilik bir turist grubunda; Efes ( $E$ ), Kapadokya ( $K$ ) ve Göbeklitepe ( $G$ ) ören yerlerinden en az birini ziyaret edenlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Efes'i ziyaret eden her turist Göbeklitepe'yi de ziyaret etmiştir.
* Sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısı, Göbeklitepe'yi ziyaret edenlerin sayısının yarısına eşittir.
* Göbeklitepe'yi ziyaret edip Efes'i ziyaret etmeyenlerin sayısı, Kapadokya ve Göbeklitepe'yi birlikte ziyaret edenlerin sayısının 3 katıdır.
* Kapadokya ve Göbeklitepe'yi ziyaret edenlerin sayısı, bu üç ören yerinden sadece ikisini ziyaret edenlerin sayısına eşittir.
* Efes'i ziyaret eden turist sayısı 6'dır.

Buna göre, bu grupta Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı kaçtır?

15

18

20

23

29

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı 23'tür.

Kümelerin kapsama ve kesişim kuralları uygulandığında Efes Göbeklitepe'nin alt kümesi olduğundan tüm Efes ziyaretçileri aynı zamanda Göbeklitepe ziyaretçisidir. Kümelerin ayrık bölgeleri denklem sistemiyle çözüldüğünde Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı 23 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Efes (

E

), Kapadokya (

K

) ve Göbeklitepe (

G

) kümelerini tanımlayıp, Efes kümesinin Göbeklitepe kümesinin bir alt kümesi olduğunu (

E \subseteq G

) belirlemek.

E \setminus G = \emptyset

olur. Evrensel küme (turist grubu) 5 ayrık bölgeye ayrılır: Sadece

K

(

a

), sadece

G

(

b

), sadece

E

ve

G

(

c

),

E, K, G

ortak kesişimi (

d

), sadece

K

ve

G

(

e

).

a+b+c+d+e=45

olur.

Verilen sözel ifadeleri küme diline aktarabilmek için.

2

Sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin Göbeklitepe'yi ziyaret edenlerin yarısı olması bilgisini kullanmak.

a = \frac{1}{2}(b+c+d+e) \implies b+c+d+e=2a

. Toplamda

a + 2a = 45 \implies 3a = 45 \implies a = 15

ve

b+c+d+e = 30

bulunur.

Sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısını ve diğer bölgelerin toplamını bulmak için.

3

Göbeklitepe'yi ziyaret edip Efes'i ziyaret etmeyenler ile Kapadokya ve Göbeklitepe'yi birlikte ziyaret edenlerin ilişkisini kurmak.

Göbeklitepe'yi ziyaret edip Efes'i ziyaret etmeyenler

b+e

, Kapadokya ve Göbeklitepe'yi birlikte ziyaret edenler ise

d+e

elemandır. Buradan

b+e = 3(d+e) \implies b = 3d + 2e

elde edilir.

Bölgeler arasındaki ilişkileri denklem sistemine dönüştürmek için.

4

Kapadokya ve Göbeklitepe'yi ziyaret edenlerin sayısı ile sadece iki yeri ziyaret edenlerin eşitliğini kullanmak.

d+e = c+e \implies c=d

bulunur. Efes'i ziyaret edenler

c+d=6

olduğundan,

2d=6 \implies d=3

ve

c=3

elde edilir.

c

ve

d

bilinmeyenlerinin değerlerini bulmak için.

5

Bilinmeyenleri denklem sisteminde yerine koyarak

e

ve

b

değerlerini bulmak ve Kapadokya'yı ziyaret edenlerin toplam sayısını hesaplamak.

b+e = 24

ve

b = 9+2e \implies 9+3e = 24 \implies e=5, b=19

bulunur. Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı

s(K) = a+d+e = 15+3+5=23

olarak hesaplanır.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme ilişkisi altında kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları ile modellenmesi.

Soru 117Soru →

Bir spor kulübündeki sporcuların tamamı voleybol oynayanlar ( $V$ ), basketbol oynayanlar ( $B$ ) veya bu sporlardan hiçbirini oynamayanlar olarak sınıflandırılmıştır. Kulüpteki tüm sporcuların kümesi $E$ evrensel kümesidir.

Bu sporcuların oluşturduğu kümelerin eleman sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* $s(V \setminus B) = 11$
* $s(B \setminus V) = 9$
* $s(V' \cap B') = 5$
* Kulüpteki toplam sporcu sayısı 32'dir.

Buna göre, bu kulüpte hem voleybol hem de basketbol oynayan sporcu sayısı kaçtır?

5

6

7

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Hem voleybol hem de basketbol oynayan sporcu sayısı 7'dir.

Hem voleybol hem de basketbol oynayan sporcuların sayısı, tüm sporcuların sayısından yalnız voleybol oynayanlar, yalnız basketbol oynayanlar ve hiçbirini oynamayanların toplamının çıkarılmasıyla bulunur:

32 - (11 + 9 + 5) = 7

.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen küme ifadelerinin Venn şemasındaki bölgelerini belirlemek.

Evrensel küme olan

E

, dört ayrık bölgeden oluşur: Yalnız voleybol oynayanlar (

V \setminus B

), yalnız basketbol oynayanlar (

B \setminus V

), her iki sporu da oynayanlar (

V \cap B

) ve hiçbir sporu oynamayanlar (

V' \cap B'

).

Soruda verilen sayısal değerleri doğru yerleştirebilmek için evrensel kümenin alt bölgelerini tanımlamamız gerekir.

2

Bölgelerin eleman sayıları ile evrensel kümenin eleman sayısı arasındaki ilişkiyi kurmak.

s(E) = s(V \setminus B) + s(B \setminus V) + s(V \cap B) + s(V' \cap B')

eşitliği elde edilir.

Evrensel kümedeki tüm elemanların toplamı, bu dört ayrık bölgedeki eleman sayılarının toplamına eşittir.

3

Verilen sayısal değerleri denklemde yerine yazarak bilinmeyeni bulmak.

32 = 11 + 9 + s(V \cap B) + 5

ise

32 = 25 + s(V \cap B)

ve buradan

s(V \cap B) = 7

bulunur.

Hem voleybol hem de basketbol oynayan sporcu sayısını elde etmek için toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Anahtar Kavram

Bir evrensel kümede iki kümenin birleşimi, farkı ve tümleyeninin eleman sayıları toplamı evrensel kümenin eleman sayısını verir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 118Soru →

Bir

A

kümesi,

A = \{ 3, 5, \{5\}, \{3, 7\} \}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,
I. $\{5\} \in A$ ve $\{5\} \subset A$
II. $\{3, 7\} \subset A$
III. $\{\{5\}\} \subset A$
IV. $\{3, 5\} \subset A$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

I ve II

I ve IV

II ve III

I, III ve IV

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, III ve IV

Cevap

I, III ve IV ifadeleri doğrudur.

Doğru cevap, I, III ve IV öncüllerini içeren seçenektir. Çünkü

\{5\}

ifadesi kümenin bir elemanıdır ve aynı zamanda

5

elemanı kümede bulunduğu için

\{5\}

alt kümedir.

\{5\}

bir eleman olduğundan

\{\{5\}\}

bir alt kümedir.

3

ve

5

birer eleman olduğundan

\{3, 5\}

bir alt kümedir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.

A

kümesinin elemanları

3

,

5

,

\{5\}

ve

\{3, 7\}

nesneleridir. Kümenin eleman sayısı

s(A) = 4

olarak bulunur.

Alt küme ve eleman ilişkilerini doğru analiz edebilmek için öncelikle kümenin elemanlarının net bir şekilde ayırt edilmesi gerekir.

2

Birinci öncülü incelemek.

\{5\}

kümenin kendisinde bir eleman olarak listelendiği için

\{5\} \in A

doğrudur. Diğer yandan

5

sayısı tek başına kümenin elemanı olduğu için (

5 \in A

), bu elemandan oluşan tek elemanlı

\{5\}

kümesi

A

k��mesinin bir alt kümesidir (

\hat{\{5\}} \subset A

). Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Kümenin bir elemanını küme parantezine alarak oluşturduğumuz yeni küme, ana kümenin alt kümesidir.

3

İkinci öncülü incelemek.

\{3, 7\} \subset A

ifadesinin doğru olabilmesi için hem

3

hem de

7

sayısının kümenin bağımsız birer elemanı olması gerekir. Ancak

3 \in A

olmasına rağmen

7 \notin A

'dir (

7

sayısı kümede tek başına değil,

\{3, 7\}

şeklinde blok halinde bir elemandır). Dolayısıyla

\{3, 7\} \in A

ifadesi doğruyken

\{3, 7\} \subset A

ifadesi yanlıştır. Bu yüzden II. öncül yanlıştır.

Bir kümenin alt küme olabilmesi için içerdiği tüm elemanların üst kümenin de elemanı olması gerekir.

4

Üçüncü ve dördüncü öncülleri incelemek.

\{5\} \in A

olduğu için bu elemanı kapsayan

\{\{5\}\}

kümesi

A

'nın alt kümesidir (

\{\{5\}\} \subset A

doğrudur). Ayrıca hem

3 \in A

hem de

5 \in A

olduğundan, bu elemanların oluşturduğu

\{3, 5\}

kümesi

A

'nın alt kümesidir (

\ {3, 5\} \subset A

doğrudur). Dolayısıyla III. ve IV. öncüller doğrudur.

Kümenin var olan elemanları kullanılarak yazılan her küme birer alt küme belirtir.

Anahtar Kavram

Eleman ve alt küme sembolik ilişkileri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 119Soru →

Bir yemek akademisinde düzenlenen İtalyan mutfağı ( $I$ ), Fransız mutfağı ( $F$ ) ve Uzak Doğu mutfağı ( $U$ ) atölyelerine katılan toplam $48$ aşçı adayı bulunmaktadır. Bu adaylarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Her bir aday bu üç atölyeden en az birine katılmıştır.
- İtalyan mutfağı atölyesine katılanların tamamı Fransız mutfağı atölyesine de katılmıştır.
- Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan adayların hiçbirisi İtalyan mutfağı atölyesine katılmamıştır.
- Yalnız bir atölyeye katılan aday sayısı, en az iki atölyeye katılan aday sayısının $2$ katıdır.
- Sadece Fransız mutfağı atölyesine katılan aday sayısı, Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aday sayısının yarısına eşittir.
- Sadece Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aday sayısı, İtalyan mutfağı atölyesine katılan aday sayısından $8$ fazladır.

Buna göre, Fransız ve Uzak Doğu mutfağı atölyelerinin her ikisine birden katılan aday sayısı kaçtır?

2

3

4

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4$

Cevap

Fransız ve Uzak Doğu mutfağı atölyelerinin her ikisine birden katılan aday sayısı

4

'tür.

Verilen bilgiler doğrultusunda aşçı adaylarının katıldığı atölyelere göre oluşturulan ayrık bölgelerin eleman sayıları denklemlerle ifade edildiğinde, hem Fransız hem de Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aşçı adayı sayısı

4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Atölyelere katılan aşçı adaylarını temsil eden kümeleri belirleyip ayrık bölgeleri tanımlayalım.

I

(İtalyan),

F

(Fransız) ve

U

(Uzak Doğu) kümeleri olsun.

I \subseteq F

ve

U \cap I = \emptyset

olduğundan adayları şu

4

ayrık bölgeye ayırabiliriz: Yalnız

F

’ye katılanlar (

y

), Yalnız

U

’ya katılanlar (

w

), Hem

I

hem

F

’ye katılanlar (

I

kümesi,

x

), Hem

F

hem

U

’ya katılanlar (

z

).

Kümelerin birbirine göre konumlarını belirleyerek denklem kurmayı kolaylaştırmak.

2

Verilen toplam aday sayısı ve atölye sayılarına göre ilk denklemleri kuralım.

x + y + z + w = 48

. Yalnız bir atölyeye katılanlar

y + w

, en az iki atölyeye katılanlar

x + z

olduğundan

y + w = 2(x + z)

olur. Bu iki denklemin birleşiminden

3(x + z) = 48 \implies x + z = 16

ve

y + w = 32

elde edilir.

Değişken gruplarının toplam değerlerini hesaplamak.

3

Diğer koşulları denklemlere dökerek değişkenler arası ilişkileri bulalım.

Sadece Fransız mutfağına katılanlar

y

, Uzak Doğu mutfağına katılanların (

z+w

) yarısı olduğuna göre

2y = z + w

olur. Sadece Uzak Doğu mutfağına katılanlar (

w

), İtalyan mutfağına katılanlardan (

x

)

8

fazla olduğuna göre

w = x + 8

olur.

Bilinmeyenleri tek bir değişkene indirgemek.

4

Elde edilen denklemleri birleştirerek kesişim kümesinin eleman sayısı olan

z

'yi bulalım.

x = 16 - z

olduğundan

w = (16 - z) + 8 = 24 - z

olur.

y + w = 32 \implies y + 24 - z = 32 \implies y = z + 8

olur. Bunları

2y = z + w

denkleminde yazarsak

2(z + 8) = z + 24 - z \implies 2z + 16 = 24 \implies 2z = 8 \implies z = 4

elde edilir.

Kesişim bölgesinin eleman sayısını doğrudan hesaplamak.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme, kesişim ve fark işlemleri ile küme problemleri çözümü

Alternatif Yöntem

Denklemleri çözmek yerine Venn şeması üzerinde bölgelere değerler verilerek deneme-yanılma yöntemiyle de doğru sonuca ulaşılabilir. Örneğin

x+z=16

olduğu bulunduktan sonra seçeneklerden yola çıkarak

z

için değerler denenebilir.

z=4

için

x=12

,

w=20

,

y=12

bulunur ve tüm koşulların sağlandığı görülür.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 120Soru →

Bir teknoloji firmasında çalışan tüm personel; Ar-Ge ( $A$ ), Üretim ( $Ü$ ) ve Pazarlama ( $P$ ) departmanlarının en az birinde görev almaktadır. Bu firmadaki departmanlarda çalışan personel sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ar-Ge departmanında 24, Üretim departmanında 22, Pazarlama departmanında ise 20 personel çalışmaktadır.
* Ar-Ge ve Üretim departmanlarının her ikisinde de çalışan personel sayısı, Üretim ve Pazarlama departmanlarının her ikisinde de çalışan personel sayısına eşittir.
* Her üç departmanda birden çalışan personel sayısı 3'tür.
* Sadece bir departmanda çalışan toplam personel sayısı, tam olarak iki departmanda çalışan toplam personel sayısına eşittir.

Buna göre, bu teknoloji firmasında çalışan toplam personel sayısı kaçtır?

38

41

44

45

47

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Toplam personel sayısı 41'dir.

Üç kümenin eleman sayılarından yola çıkılarak kurulan denklem sisteminde taraf tarafa toplama yapıldığında, sadece bir departmanda çalışanlar ile tam olarak iki departmanda çalışanların toplam sayısı 19 olarak elde edilir. Tüm firmadaki çalışanların sayısı bu iki grubun toplamı ile her üç departmanda da çalışan 3 kişinin toplamına eşit olduğundan doğru yanıt 19 + 19 + 3 = 41'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Departmanları temsil eden kümeleri Venn şeması bölgelerine göre harflendirelim.

Sadece Ar-Ge, Üretim ve Pazarlama departmanlarında çalışanlar sıras��yla

a, b, c

olsun. Sadece iki departmanda çalışanlar; Ar-Ge ve Üretim için

x

, Üretim ve Pazarlama için

y

, Ar-Ge ve Pazarlama için

z

olsun. Her üç departmanda çalışanların sayısı ise

w = 3

olarak verilmiştir.

Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için.

2

Departmanlardaki toplam personel sayılarını veren denklemleri kuralım.

Ar-Ge:

a + x + z + 3 = 24 \implies a + x + z = 21

Üretim:

b + x + y + 3 = 22 \implies b + x + y = 19

Pazarlama:

c + y + z + 3 = 20 \implies c + y + z = 17

Her departmanın kendi çalışan kümesinin eleman sayılarını cebirsel olarak ifade etmek için.

3

Soruda verilen diğer koşulları denkleştirip değişkenleri sadeleştirelim.

Ar-Ge ve Üretim'de çalışanlar (

x + 3

) ile Üretim ve Pazarlama'da çalışanlar (

y + 3

) eşit olduğundan

x = y

olur. Sadece bir departmanda çalışanlar ile tam iki departmanda çalışanlar eşit olduğundan

a + b + c = x + y + z = S

tanımlaması yapılır.

Bilinmeyen sayısını azaltarak ortak bir

S

toplamı elde etmek için.

4

Elde edilen üç temel denklemi taraf tarafa toplayarak

S

değerini bulalım.

(a + x + z) + (b + x + y) + (c + y + z) = 21 + 19 + 17 \implies (a + b + c) + 2(x + y + z) = 57

. Buradan

S + 2S = 57 \implies 3S = 57 \implies S = 19

bulunur.

Sadece bir departmanda çalışanlar (

a+b+c

) ile tam iki departmanda çalışanların (

x+y+z

) toplam sayılarını belirlemek için.

5

Tüm firmadaki toplam personel sayısını (birleşim kümesini) hesaplayalım.

s(A \cup Ü \cup P) = (a + b + c) + (x + y + z) + w = 19 + 19 + 3 = 41

bulunur.

Tüm bölgelerin toplamının birleşim kümesinin eleman sayısını vermesi kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri ile Denklem Sistemleri

Alternatif Yöntem

Kümelerin birleşim formülü kullanılarak da soru çözülebilir:

s(A \cup Ü \cup P) = s(A) + s(Ü) + s(P) - [s(A \cap Ü) + s(Ü \cap P) + s(A \cap P)] + s(A \cap Ü \cap P)

Bu formülde verilen değerler yerlerine yazıldığında:

s(A \cup Ü \cup P) = 24 + 22 + 20 - [(x + 3) + (y + 3) + (z + 3)] + 3

s(A \cup Ü \cup P) = 66 - (x + y + z + 9) + 3 = 60 - (x + y + z)

x + y + z = 19

bulduğumuz için, toplam personel sayısı

60 - 19 = 41

olarak elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Kümeler ve Mantık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar