Kümeler ve Mantık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir bilgisayar programı, sisteme girilen bir $A$ kümesinin elemanlarını ve alt kümelerini inceleyerek aşağıdaki kurallara göre yeni bir $B$ kümesi oluşturmaktadır:

* Bir $x$ nesnesi için, hem $x \in A$ hem de $\{x\} \in A$ koşulu sağlanıyorsa $x$ nesnesi $B$ kümesinin bir elemanı olur.
* Bir $y$ nesnesi için, hem $y \in A$ hem de $y \subset A$ koşulu sağlanıyorsa $y$ nesnesi $B$ kümesinin bir elemanı olur.

Sisteme

A = \{ 1, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{\{2\}\}, \emptyset \}

kümesi girildiğinde programın oluşturduğu

B

kümesinin özalt küme sayısı kaçtır?

15

31

63

127

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

31

Özalt küme sayısı 31 olan seçenek doğrudur. Çünkü A kümesinden kurallara uygun olarak seçilen elemanlarla oluşturulan B kümesi

\{1, \{1\}, \{2\}, \{\{2\}\}, \emptyset\}

şeklindedir. Bu kümenin eleman sayısı 5'tir ve özalt küme sayısı

2^5 - 1 = 31

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin tüm elemanlarını belirlemek.

A kümesinin elemanları:

1

,

\{1\}

,

\{2\}

,

\{1, 2\}

,

\{\{2\}\}

ve

\emptyset

'dir. Eleman sayısı

s(A) = 6

olur.

Kuralları uygulamak için öncelikle kümenin eleman yapısını tam olarak analiz etmemiz gerekir.

2

Birinci kuralı sağlayan x elemanlarını belirlemek.

x = 1

(çünkü

1 \in A

ve

\{1\} \in A

) ve

x = \{2\}

(çünkü

\{2\} \in A

ve

\{\{2\}\} \in A

) elemanları bulunur. B kümesine

1

ve

\{2\}

eklenir.

x \in A

ve

\{x\} \in A

koşulunu sağlayan elemanları tespit etmek.

3

İkinci kuralı sağlayan y elemanlarını belirlemek.

y = \{1\}

(çünkü

1 \in A

),

y = \{\{2\}\}

(çünkü

\{2\} \in A

) ve

y = \emptyset

(çünkü boş küme her kümenin alt kümesidir) elemanları bulunur. B kümesine

\{1\}

,

\{\{2\}\}

ve

\emptyset

eklenir.

y \in A

ve

y \subset A

koşulunu sağlayan, yani hem eleman hem de alt küme olan elemanları bulmak.

4

B kümesinin eleman sayısını ve özalt küme sayısını hesaplamak.

B = \{1, \{1\}, \{2\}, \{\{2\}\}, \emptyset\}

olup

s(B) = 5

'tir. Özalt küme sayısı

2^5 - 1 = 31

bulunur.

Elde edilen elemanları birleştirip özalt küme sayısı formülünü (

2^n-1

) uygulamak.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman ve alt küme sembol ilişkisi, eleman sayısı ve özalt küme sayısı hesabı.

Soru 82Soru →

$p$ : " $3 - 2 \cdot 5 = 5$ "
$q$ : " $-5$ sayısı bir tam sayıdır."
$r$ : "Her asal sayı bir tek sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre;

I. $p \lor q$
II. $q \Rightarrow r$
III. $p \Leftrightarrow r$

bileşik önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri 1'dir?

Yalnız I

I ve II

II ve III

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III

Doğruluk değeri 1 olan ifadeler I ve III'tür.

p

önermesi yanlış (

0

),

q

önermesi doğru (

1

) ve

r

önermesi yanlıştır (

0

). Bu değerler yerine yazıldığında, veya bağlacı içeren birinci ifade ile ancak ve ancak bağlacı içeren üçüncü ifade doğru çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen temel önermelerin doğruluk değerlerini belirleme

p \equiv 0

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

olarak bulunur.

p

önermesinde işlem önceliğine göre önce çarpma yapılır:

3 - 10 = -7 \neq 5

olduğundan yanlıştır.

-5

bir tam sayı olduğundan

q

önermesi doğrudur. En küçük asal sayı olan

2

çift olduğundan

r

önermesi yanlıştır.

2

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama

I. ifade 1, II. ifade 0, III. ifade 1 olarak bulunur.

I.

p \lor q \equiv 0 \lor 1 \equiv 1

olur. II.

q \Rightarrow r \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0

olur. III.

p \Leftrightarrow r \equiv 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1

olur.

3

Doğruluk değeri 1 olan ifadeleri seçme

I ve III numaralı ifadelerin doğruluk değerleri 1'dir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda sadece I. ve III. önermelerin doğru olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Temel önermelerin doğruluk değerlerini belirleme ve mantıksal bağlaçların kurallarını uygulama.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 83Soru →

$A = \{1, 2\}$ , $B = \{3, 4\}$ ve $C = \{2, 3\}$ kümeleri veriliyor. Buna göre, sol sütunda verilen kartezyen çarpım kümelerini sağ sütundaki eleman listeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

A \times B

kümesi

\{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}

listesiyle,

B \times C

kümesi

\{(3,2), (3,3), (4,2), (4,3)\}

listesiyle ve

C \times A

kümesi

\{(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)\}

listesiyle eşleşir.

Verilen her bir kartezyen çarpım kümesi için elemanlar, küme sırasına dikkat edilerek (birinci bileşen soldaki kümeden, ikinci bileşen sağdaki kümeden) doğru sıralı ikililerle eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

A \times B

kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını belirlemek

A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}

Kartezyen çarpım tanımı gereği, birinci bileşen

A

kümesinin elemanlarından (

1

veya

2

), ikinci bileşen ise

B

kümesinin elemanlarından (

3

veya

4

) seçilerek tüm olası sıralı ikililer yazılır.

2

B \times C

kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını belirlemek

B \times C = \{(3,2), (3,3), (4,2), (4,3)\}

Kartezyen çarpım tanımı gereği, birinci bileşen

B

kümesinin elemanlarından (

3

veya

4

), ikinci bileşen ise

C

kümesinin elemanlarından (

2

veya

3

) seçilerek sıralı ikililer oluşturulur.

3

C \times A

kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını belirlemek

C \times A = \{(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)\}

Kartezyen çarpım tanımı gereği, birinci bileşen

C

kümesinin elemanlarından (

2

veya

3

), ikinci bileşen ise

A

kümesinin elemanlarından (

1

veya

2

) seçilerek sıralı ikililer yazılır.

Anahtar Kavram

İki kümenin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni birinci kümeden ve ikinci bileşeni ikinci kümeden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesidir.

Soru 84Soru →

Bir yazılım şirketindeki $60$ yazılımcının her biri Front-end ( $F$ ), Back-end ( $B$ ) ve Mobil ( $M$ ) geliştirme alanlarının en az birinde çalışmaktadır. Bu şirketteki yazılımcıların çalışma alanlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Sadece Front-end alanında çalışanların sayısı, sadece Mobil alanında çalışanların sayısının $2$ katıdır.
* Mobil ve Front-end alanlarının her ikisinde de çalışıp Back-end alanında çalışmayan yazılımcı bulunmamaktadır.
* Hem Front-end hem Back-end alanında çalışıp Mobil alanında çalışmayanların sayısı, her üç alanda da çalışanların sayısına eşittir.
* Sadece Back-end alanında çalışanların sayısı, Mobil alanında çalışan toplam yazılımcı sayısına eşittir.
* Her üç alanda da çalışan $4$ yazılımcı vardır.
* Back-end alanında çalışan toplam yazılımcı sayısı $30$ 'dur.

Buna göre, bu yazılım şirketinde sadece Mobil alanında çalışan yazılımcı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Sadece Mobil alanında çalışan yazılımcı sayısı 10'dur.

Denklem sistemi kurulup çözüldüğünde sadece Mobil alanında çalışan yazılımcı sayısı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin bölgelerini harflendirerek modelleme yapılması.

Sadece Front-end

a

, sadece Back-end

b

, sadece Mobil

c

, sadece F ve B

d

, sadece B ve M

e

, sadece F ve M

f

, her üçü

g

olarak belirlendi.

Küme problemlerinde her bir ayrık bölgeyi bağımsız değişkenlerle ifade etmek denklemlerin çözümünü kolaylaştırır.

2

Soruda verilen sayısal ilişkilerin denklemlere dönüştürülmesi.

g = 4

,

d = 4

,

f = 0

,

a = 2c

,

b = c + e + 4

ve

b + e = 22

denklemleri elde edildi.

Verilen sözel ifadelerin matematiksel eşitliklere dönüştürülmesi gerekir.

3

Elde edilen denklem sisteminin çözülerek

c

değişkeninin bulunması.

b + e = 22

denkleminde

b

yerine

c + e + 4

yazılarak

c + 2e = 18

bulundu. Toplam yazılımcı sayısı olan

60

eşitliğinde tüm terimler yerine yazılarak

3c + 30 = 60

ve buradan

c = 10

elde edildi.

Değişkenler arasındaki ilişkiler yardımıyla bilinmeyenlerin değerini bulmak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde Venn şeması bölgelerini harflendirerek denklem sistemi kurma ve çözme.

Soru 85Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerden piyano çalanların kümesi $P$ , gitar çalanların kümesi $G$ ile gösterilmektedir. Bu sınıfta piyano veya gitar enstrümanlarından en az birini çalan $24$ öğrenci bulunmaktadır. Piyano çalan öğrencilerin sayısı, gitar çalan öğrencilerin sayısının $2$ katıdır. Sadece gitar çalan öğrencilerin sayısı $6$ olduğuna göre, bu sınıfta her iki enstrümanı da çalan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Her iki enstrümanı da çalan öğrenci sayısı 3'tür.

Birleşim kümesinin eleman sayısı

s(P \cup G) = s(P) + s(G \setminus P)

formülü ile bulunur. Değerler yerine yazıldığında

24 = s(P) + 6 \implies s(P) = 18

bulunur. Soruda

s(P) = 2 \cdot s(G)

verildiğinden

18 = 2 \cdot s(G) \implies s(G) = 9

olur. Kesişim kümesinin eleman sayısı ise

s(P \cap G) = s(G) - s(G \setminus P) = 9 - 6 = 3

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Birleşim ve fark kümeleri ilişkisini kullanarak piyano çalan öğrenci sayısını hesaplama

s(P) = 18

Piyano veya gitar çalanların kümesi (

P \cup G

), piyano çalanlar (

P

) ile sadece gitar çalanların (

G \setminus P

) ayrık birleşimidir.

2

Verilen oranı kullanarak gitar çalan toplam öğrenci sayısını bulma

s(G) = 9

Piyano çalanların sayısı, gitar çalanların sayısının 2 katı olarak verilmiştir.

3

Gitar çalanların kümesinden kesişim kümesini çekme

s(P \cap G) = 3

Gitar çalan toplam ��ğrenci sayısından sadece gitar çalanların sayısı çıkarıldığında her iki enstrümanı da çalanların sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim, Fark ve Kesişim İşlemlerinin Eleman Sayıları Arasındaki İlişkiler

Soru 86Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için,

$p: x \cdot y > 0$
$q: x + z < 0$
$r: y \cdot z > 0$

önermeleri veriliyor.

(p \lor q) \Rightarrow (q \lor r)

önermesi yanlış olduğuna göre;

I. $x \cdot z < 0$
II. $x \cdot y > 0$
III. $x + z > 0$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II

Bileşik önermenin yanlış olması için hipotezin doğru, hükmün yanlış olması gerekir. Buradan

p \lor q \equiv 1

ve

q \lor r \equiv 0

çıkar.

q \lor r \equiv 0

durumundan hem

q \equiv 0

hem de

r \equiv 0

bulunur. Bu değer

p \lor q \equiv 1

içinde yerine yazıldığında

p \equiv 1

elde edilir. Bu durumda

x \cdot y > 0

(yani

x

ve

y

aynı işaretli) ve

y \cdot z < 0

(yani

y

ve

z

zıt işaretli) olur. Dolayısıyla

x

ve

z

zıt işaretli olmalıdır, yani

x \cdot z < 0

her zaman doğrudur. Ayrıca

p \equiv 1

olduğundan

x \cdot y > 0

ifadesi her zaman doğrudur. Ancak

q \equiv 0

durumundan sadece

x + z \geq 0

sonucuna varılır;

x + z = 0

olabileceği için üçüncü ifade her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleyin.

(p \lor q) \Rightarrow (q \lor r) \equiv 0

olduğundan, ise bağlacının kuralı gereği

p \lor q \equiv 1

ve

q \lor r \equiv 0

olmalıdır.

Bir koşullu önermenin yanlış olması yalnızca ilk kısmın doğru ve ikinci kısmın yanlış olması durumunda mümkündür.

2

Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyin.

q \lor r \equiv 0

olduğundan hem

q \equiv 0

hem de

r \equiv 0

olmalıdır.

q \equiv 0

değeri

p \lor q \equiv 1

ifadesinde yerine yazılırsa,

p \lor 0 \equiv 1

ve buradan

p \equiv 1

elde edilir.

Veya bağlacının sonucunun 0 olması için tüm bileşenlerinin 0 olması gerekir.

3

Önermelerin doğruluk değerlerini gerçel sayılar üzerindeki ifadelere uygulayın.

p \equiv 1 \Rightarrow x \cdot y > 0

(yani

x

ve

y

aynı işaretlidir).

r \equiv 0 \Rightarrow y \cdot z > 0

ifadesi yanlıştır. Sayılar sıfırdan farklı olduğu için

y \cdot z < 0

olmalıdır (yani

y

ve

z

zıt işaretlidir).

q \equiv 0 \Rightarrow x + z < 0

ifadesi yanlıştır, dolayısıyla

x + z \geq 0

olmalıdır.

Doğru önermelerin kendileri, yanlış önermelerin ise olumsuzları (negasyonları) matematiksel olarak sağlanmalıdır.

4

Öncülleri tek tek değerlendirin.

I.

x

ve

y

aynı işaretli,

y

ve

z

zıt işaretli olduğundan,

x

ve

z

zıt işaretli olmak zorundadır. Dolayısıyla

x \cdot z < 0

her zaman doğrudur.
II.

p \equiv 1

olduğundan

x \cdot y > 0

ifadesi doğrudan doğrudur.
III.

q \equiv 0

olduğundan

x + z \geq 0

elde edilir. Ancak

x + z = 0

durumu da mümkündür (örneğin

x = 2, y = 2, z = -2

için tüm koşullar sağlanır ve

x+z=0

olur). Bu nedenle

x + z > 0

ifadesi her zaman doğru değildir.

Elde edilen işaret ve eşitsizlik ilişkilerini kullanarak her bir yargının kesinliğini kontrol etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu önermelerin ve veya bağlacının doğruluk değerlerinin analizi ile eşitsizliklerin olumsuzunun gerçel sayılarda yorumlanması.

Soru 87Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin katıldığı Matematik ( $M$ ), Fizik ( $F$ ) ve Kimya ( $K$ ) sınavları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her bir öğrenci bu üç sınavın en az birinden başarılı olmuştur.
* Fizik sınavından başarılı olan her öğrenci Matematik sınavından da başarılı olmuştur.
* Kimya sınavından başarılı olan öğrencilerin hiçbiri Fizik sınavından başarılı olamamıştır.
* Yalnız bir sınavdan başarılı olan öğrencilerin sayısı, en az iki sınavdan başarılı olan öğrencilerin sayısının $2$ katıdır.
* Matematik sınavından başarılı olan öğrencilerin sayısı, Fizik sınavından başarılı olan öğrencilerin sayısının $7$ katından $2$ fazladır.
* Sadece Kimya sınavından başarılı olan öğrencilerin sayısı, Fizik sınavından başarılı olan öğrencilerin sayısının $2$ katından $1$ fazladır.
* Sadece Matematik sınavından başarılı olan öğrenci sayısı $13$ 'tür.

Buna göre, bu sınıfta Matematik sınavından başarılı olup Kimya sınavından başarılı olamayan öğrenci sayısı kaçtır?

10

13

14

16

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Matematik sınavından başarılı olup Kimya sınavından başarılı olamayan öğrenci sayısı 16'dır.

Matematik sınavından başarılı olup Kimya sınavından başarılı olamayan öğrenciler, Matematik kümesinde olup Kimya kümesinde olmayan öğrencileri temsil eder. Bu bölge, sadece Matematik sınavından başarılı olanlar ile Fizik sınavından başarılı olanların toplamına eşittir (

a + b

). Denklemler çözüldüğünde sadece Matematik'ten başarılı olanların sayısı

13

ve Fizik'ten başarılı olanların sayısı

3

olarak bulunduğundan, doğru cevap

13 + 3 = 16

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Matematik (

M

), Fizik (

F

) ve Kimya (

K

) sınavlarının ilişkilerini küme sembolleriyle tanımlamak.

Fizik, Matematik'in alt kümesidir (

F \subseteq M

) ve Fizik ile Kimya ayrık kümelerdir (

F \cap K = \emptyset

). Bölge eleman sayılarını sırasıyla

a, b, c, d

olarak belirledik.

Problemi cebirsel olarak ifade edip denklem sistemine dönüştürebilmek için küme bölgelerini harflendirmeliyiz.

2

Verilen sözel ifadeleri

a, b, c, d

değişkenleri cinsinden denklemlere dökmek.

a + d = 2(b + c)

(Yalnız bir sınavdan başarılı olanlar),

a + b + c = 7b + 2

(Matematik başarısı),

d = 2b + 1

(Sadece Kimya başarısı) ve

a = 13

(Sadece Matematik başarısı) denklemleri elde edilir.

Elde edilen verileri matematiksel eşitliklere dökerek bilinmeyenleri bulmak.

3

Kurulan denklem sistemini çözerek

b, c, d

değerlerini bulmak.

a = 13

ve

d = 2b + 1

değerlerini kullanarak

c = 7

,

b = 3

ve

d = 7

olarak hesaplanır.

Her bir küme bölgesindeki öğrenci sayısını netleştirmek.

4

Matematik sınavından başarılı olup Kimya sınavından başarılı olamayan öğrencilerin kümesini belirleyip değerini bulmak.

M \setminus K = a + b = 13 + 3 = 16

bulunur.

Soruda bizden istenen küme farkı işlemini sonuca ulaştırmak.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde alt küme, ayrık küme ve kesişim ilişkilerini kullanarak denklem kurma ve çözme.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 88Soru →

Elemanları birer tam sayı veya tam sayılardan oluşan kümeler olan bir $A$ kümesi için;
* $\{1, 2\} \subset A$
* $\{2\} \in A$
* $\{1, 2\} \in A$
* $\emptyset \in A$

ifadeleri veriliyor.

$A$ kümesinin eleman sayısı 5 olduğuna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde $\{2\}$ elemanı bulunur fakat $2$ elemanı bulunmaz?

4

8

16

32

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8 tanesinde

\{2\}

elemanı bulunur fakat

2

elemanı bulunmaz.

Verilen bilgilere göre A kümesinin elemanları 1, 2,

\{2\}

,

\{1, 2\}

ve boş küme sembolleridir. Toplam 5 elemanı olan bu kümenin alt kümelerinde

\{2\}

elemanının bulunması ve

2

elemanının bulunmaması istendiğinden, bu iki elemanın durumu kesinleşir. Geriye kalan 3 eleman (

1

,

\{1, 2\}

ve boş küme sembolü) ile oluşturulabilecek alt küme sayısı

2^3 = 8

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını belirlemek için verilen koşulları inceleyin.

\{1, 2\} \subset A

ifadesinden

1

ve

2

elemanlarının

A

kümesine ait olduğu (

1 \in A

ve

2 \in A

) anlaşılır. Diğer ifadelerden ise

\{2\}

,

\{1, 2\}

ve boş küme sembolünün (

\emptyset

)

A

'nın elemanları olduğu görülür.

Kümelerde alt küme (

\subset

) ve elemanıdır (

\in

) sembollerinin anlamlarını doğru ayırt etmek gerekir.

2

Belirlenen elemanları listeleyerek kümenin eleman sayısını doğrulayın.

A =

\{1, 2, \{2\}, \{1, 2\}, \emptyset\}

olup, eleman sayısı

s(A) = 5

'tir. Bu değer soruda verilen bilgiyle uyuşmaktadır.

Kümenin eleman sayısının doğru tespit edilmesi, alt küme sayısı hesabı için temel adımdır.

3

İstenen koşullara göre alt küme sayısını hesaplayın.

Alt kümelerde

\{2\}

elemanı kesinlikle bulunacak (seçim hakkı yok) ve

2

elemanı kesinlikle bulunmayacaktır (seçim hakkı yok). Geriye kalan 3 eleman

\{1, \{1, 2\}, \emptyset\}

serbestçe seçilebilir. Bu durumda

2^3 = 8

farklı alt küme oluşturulabilir.

Belirli elemanların bulunup bulunmaması koşulu altında alt küme sayısı, serbest kalan elemanların oluşturacağı alt küme sayısına eşittir.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman ve alt küme kavramlarının farkı ile koşullu alt küme sayısı hesaplama.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 89Soru →

Bir spor salonundaki üyelerden fitness yapanların kümesi $F$ , yoga yapanların kümesi $Y$ ile gösterilmektedir.

Bu salonda;
* Fitness yapan 15 kişi,
* Yoga yapan 10 kişi,
* Hem fitness hem de yoga yapan 4 kişi

bulunmaktadır.

Buna göre, bu spor salonunda fitness veya yoga yapan toplam kaç kişi vardır?

11

17

21

25

29

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

21

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü olan

s(F \cup Y) = s(F) + s(Y) - s(F \cap Y)

bağıntısı kullanılarak,

15 + 10 - 4 = 21

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Fitness ve yoga yapanların oluşturduğu birleşim kümesinin eleman sayısı formülü kurulur:

s(F \cup Y) = s(F) + s(Y) - s(F \cap Y)

Değerler formülde yerine yazılır:

s(F \cup Y) = 15 + 10 - 4

Kesişim kümesindeki 4 eleman hem F hem de Y kümesinde yer aldığından, iki kümenin eleman sayıları doğrudan toplandığında bu elemanlar iki kez sayılmış olur.

2

Toplama ve çıkarma işlemleri gerçekleştirilir.

s(F \cup Y) = 21

olarak bulunur.

15 ile 10 sayılarının toplamından (25), kesişim eleman sayısı olan 4 çıkarıldığında fitness veya yoga yapan toplam üye sayısı 21 bulunur.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin kendi eleman sayılarının toplamından kesişimlerinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır.

Soru 90Soru →

$A$ ve $B$ sonlu kümeler olmak üzere, $C \subseteq A$ ve $D \subseteq B$ alt kümeleridir.

s(A \times B) = 360

s(C \times D) = 72

s((A \setminus C) \times (B \setminus D)) = 108

olduğuna göre, $s((A \setminus C) \times D) + s(C \times (B \setminus D))$ toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

İstenen toplamın değeri 180'dir.

İstenen ifade düzenlendiğinde

s(A)s(D) + s(C)s(B) - 2s(C)s(D)

elde edilir. Verilen

s((A \setminus C) \times (B \setminus D)) = 108

eşitliği açıldığında

s(A)s(D) + s(C)s(B) = 324

bulunur. Bu değer yerine yazıldığında doğru yanıt 180 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özelliğini kullanarak verilen eşitlikleri küme eleman sayıları cinsinden yazalım.

s(A) \cdot s(B) = 360

,

s(C) \cdot s(D) = 72

ve

(s(A) - s(C)) \cdot (s(B) - s(D)) = 108

elde edilir.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

2

Son eşitlikteki çarpım işlemini dağıtarak düzenleyelim.

s(A) \cdot s(B) - s(A) \cdot s(D) - s(C) \cdot s(B) + s(C) \cdot s(D) = 108

olur. Burada

s(A) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B)

ifadesine

T

diyelim. Bilinenleri yerine yazarsak:

360 - T + 72 = 108 \implies 432 - T = 108 \implies T = 324

bulunur.

Dağılma özelliğini kullanarak bilinen değerler yardımıyla bilinmeyen terimlerin toplamına ulaşmak.

3

Bizden istenen

s((A \setminus C) \times D) + s(C \times (B \setminus D))

toplamını düzenleyelim ve değerini hesaplayalım.

(s(A) - s(C)) \cdot s(D) + s(C) \cdot (s(B) - s(D)) = s(A) \cdot s(D) - s(C) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B) - s(C) \cdot s(D)

olur. Bu ifadeyi düzenlediğimizde

s(A) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B) - 2 \cdot s(C) \cdot s(D) = T - 2 \cdot s(C) \cdot s(D)

elde edilir. Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak:

324 - 2 \cdot 72 = 324 - 144 = 180

bulunur.

İstenen ifadeyi, önceki adımlarda değerini hesapladığımız terimler cinsinden ifade ederek sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve küme işlemleriyle ilişkisi

Soru 91Soru →

$a, b$ ve $c$ pozitif tam sayıları için

$p: a + b$ toplamı tektir.
$q: b \cdot c$ çarpımı çifttir.
$r: a \cdot c$ çarpımı tektir.

önermeleri veriliyor.

(p \land q) \Rightarrow r

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre;

I. $a + b + c$ toplamı tektir.
II. $a \cdot b$ çarpımı çifttir.
III. $b + c$ toplamı çifttir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yaln��z II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II

I ve II ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur. Çünkü her iki olası teklik-çiftlik durumunda da

a+b+c

toplamı tek ve

a \cdot b

çarpımı çift olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini ��özümlemek.

(p \land q) \Rightarrow r \equiv 0

olduğundan, ise (

\Rightarrow

) bağlacının özelliğine göre ön bileşen

p \land q \equiv 1

ve art bileşen

r \equiv 0

olmalıdır. Buradan

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

elde edilir.

Verilen bileşik önermenin yanlış olduğu bilgisi kullanılarak temel önermelerin (

p, q, r

) doğruluk de��erlerini belirlemek.

2

Doğruluk değerlerini sayısal özelliklere (teklik-çiftlik durumlarına) tercüme etmek.

-

p \equiv 1 \Rightarrow a + b

toplamı tektir. Bu durum

a

ve

b

sayılarından birinin tek, diğerinin çift olmasını gerektirir.
-

q \equiv 1 \Rightarrow b \cdot c

çarpımı çifttir. Bu durum

b

veya

c

sayılarından en az birinin çift olmasını gerektirir.
-

r \equiv 0 \Rightarrow a \cdot c

çarpımı çifttir (çünkü

a \cdot c

tektir önermesi yanlıştır). Bu durum

a

veya

c

sayılarından en az birinin çift olmasını gerektirir.

Mantıksal sonuçları matematiksel teklik ve çiftlik koşullarına dönüştürmek.

3

Elde edilen teklik-çiftlik koşullarını sağlayan durum analizini yapmak.

İki olası durum vardır:
1. Durum:

a

tek ve

b

çift olsun.

b

çift olduğundan

b \cdot c

çarpımı çifttir (

q \equiv 1

sağlanır).

a \cdot c

çarpımının çift olması (

r \equiv 0

) için

a

tek olduğundan

c

çift olmalıdır. Buradan

(a, b, c) = (\text{Tek}, \text{Çift}, \text{Çift})

bulunur.
2. Durum:

a

çift ve

b

tek olsun.

b \cdot c

çarpımının çift olması (

q \equiv 1

) için

b

tek olduğundan

c

çift olmalıdır.

a

çift olduğundan

a \cdot c

çarpımı otomatikman çift olur (

r \equiv 0

sağlanır). Buradan

(a, b, c) = (\text{Çift}, \text{Tek}, \text{Çift})

bulunur. Her iki durumda da

c

çift sayıdır ve

a

ile

b

sayılarından biri tek, diğeri çifttir.

Değişkenlerin alabileceği tüm teklik-çiftlik kombinasyonlarını belirlemek.

4

Öncülleri (I, II ve III) her iki durum için test etmek.

- I.

a + b + c

toplamı: Bir tek ve iki çift sayının toplamı her zaman tektir. (Her zaman doğru)
- II.

a \cdot b

çarpımı:

a

ve

b

sayılarından biri çift olduğundan çarpımları her zaman çifttir. (Her zaman doğru)
- III.

b + c

toplamı: 1. durumda

\text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift}

iken 2. durumda

\text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}

olur. (Her zaman doğru değil)

Hangi ifadelerin her iki durumda da her zaman doğru olduğunu saptamak.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ile tam sayıların teklik-çiftlik özelliklerinin birlikte analiz edilmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 92Soru →

Bir kütüphanedeki $80$ okuyucunun her biri roman, şiir ve tarih türündeki kitaplardan en az birini ödünç almıştır. Bu okuyucularla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Şiir kitabı alan herkes roman kitabı da almıştır.
* Tarih kitabı alan hiç kimse şiir kitabı almamıştır.
* Yalnız bir tür kitap alan okuyucu sayısı, iki tür kitap alan okuyucu sayısının $3$ katıdır.
* Sadece tarih kitabı alan okuyucu sayısı, şiir kitabı alan okuyucu sayısının $2$ katıdır.
* Şiir kitabı alan okuyucu sayısı $12$ ’dir.

Buna göre, kütüphaneden hem tarih hem de roman kitabı alan okuyucu sayısı kaçtır?

12

17

8

24

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Kümeler arasındaki alt küme ve kesişim ilişkileri kullanılarak kurulan denklem sistemi çözüldüğünde hem tarih hem de roman alan okuyucu sayısı 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Okuyucu kümelerini harflendirip alt küme ve kesişim koşullarını belirleme.

Roman alanlar

R

, şiir alanlar

Ş

, tarih alanlar

T

olsun. Şiir alan herkes roman da aldığı için Ş kümesi R k��mesinin alt kümesidir (

Ş \subseteq R

). Tarih alan hiç kimse şiir almadığı için Ş ile T kümelerinin kesişimi boştur (

Ş \cap T = \emptyset

). Bu durum aynı zamanda üç tür kitabı da alan hiç kimsenin olmadığını gösterir.

Soruda verilen küme ilişkilerini doğru matematiksel şemaya dökmek için.

2

Bölgelerdeki eleman sayılarını değişkenlerle ifade etme.

Ş kümesi R'nin içinde ve T ile kesişimi boş olduğundan bölgeler şöyledir: Hem şiir hem roman alanlar (Ş kümesi)

a

, sadece roman alanlar

b

, hem tarih hem roman alanlar

c

, sadece tarih alanlar

d

olsun. Şiir alanların sayısı 12 olarak verildiğinden

a = 12

olur. Toplam okuyucu sayısı:

a + b + c + d = 80 \implies 12 + b + c + d = 80 \implies b + c + d = 68

elde edilir.

Verilen sayısal ilişkileri denklemlere dönüştürebilmek için.

3

Yalnız bir tür kitap alanlar ile iki tür kitap alanlar arasındaki ilişkiyi kullanma.

Yalnız bir tür kitap alanlar sadece roman (

b

) veya sadece tarih (

d

) alanlardır:

b + d

. İki tür kitap alanlar ise şiir-roman (

a

) veya tarih-roman (

c

) alanlardır:

a + c

. Koşula göre

b + d = 3(a + c)

olur. Toplam denklemde yerine yazarsak:

(a+c) + (b+d) = 80 \implies (a+c) + 3(a+c) = 80 \implies 4(a+c) = 80 \implies a + c = 20

bulunur.

İki tür kitap alan okuyucuların toplam sayısını elde etmek için.

4

Şiir alan okuyucu sayısını kullanarak istenen değeri hesaplama.

a = 12

olduğundan,

12 + c = 20 \implies c = 8

olarak bulunur. Bu da hem tarih hem de roman alan okuyucu sayısıdır.

Soruda bizden istenen hedef değişkene ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde alt küme, kesişim ve ayrık küme ilişkilerini kullanarak denklem sistemleri kurma ve çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 93Soru →

Bir spor kulübünde okçuluk ( $O$ ), eskrim ( $E$ ) ve binicilik ( $B$ ) branşlarında eğitim verilmektedir. Bu kulüpteki her bir üye bu üç bran��tan en az birini yapmaktadır. Kulüp üyeleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Okçuluk branşını seçenlerin sayısı, sadece binicilik branşını seçenlerin sayısının 2 katıdır.
* Yalnız iki branşı seçenlerin toplam sayısı, üç branşı da seçenlerin sayısına eşittir.
* Sadece eskrim branşını seçenlerin sayısı, sadece binicilik branşını seçenlerin sayısından 3 fazladır.
* Binicilik branşını seçenlerin toplam sayısı 24'tür.
* Sadece okçuluk branşını seçenlerin sayısı, eskrim ve binicilik branşlarını seçip okçuluk seçmeyenlerin sayısına eşittir.
* Eskrim ve okçuluk branşlarını seçip binicilik seçmeyen en az bir üye bulunmaktadır.
* Eskrim branşını seçenlerin toplam sayısı 26'dır.

Buna göre, bu spor kulübündeki toplam üye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Spor kulübündeki toplam üye sayısı 41'dir.

Spor kulübündeki tüm branşların ve bunların kesişimlerinin eleman sayıları küme problemleri kuralları ve verilen denklemler yardımıyla tek tek belirlenir. Elde edilen değerlerin toplamı kulübün toplam üye sayısı olan 41 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Küme bölgelerini ve eleman sayılarını bilinmeyenlerle ifade edelim.

Yalnızca okçuluk yapanlar

o

, yalnızca eskrim yapanlar

e

, yalnızca binicilik yapanlar

b

; yalnız okçuluk ve eskrim yapanlar

oe

, yalnız okçuluk ve binicilik yapanlar

ob

, yalnız eskrim ve binicilik yapanlar

eb

; her üçünü de yapanlar

oeb

olsun.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için net tanımlamalar yapmalıyız.

2

Verilen bilgileri denklemlere dökelim.

1)

o + oe + ob + oeb = 2b

2)

oe + ob + eb = oeb

3)

e = b + 3

4)

b + ob + eb + oeb = 24

5)

o = eb

6)

oe \ge 1

7)

e + oe + eb + oeb = 26

Soruda verilen sözel koşulları cebirsel olarak ifade ederek çözüm kümesini daraltmak amaçlanır.

3

Denklemleri sadeleştirelim.

5. denklemden (

o = eb

) hareketle, 1. denklemde yerine yazalım:

eb + oe + ob + oeb = 2b

. 2. denklemden

oe + ob + eb = oeb

olduğu için,

oeb + oeb = 2b \implies 2oeb = 2b \implies oeb = b

elde edilir.

Bilinmeyen sayısını azaltmak için ortak terimleri birbirleri cinsinden yazmalıyız.

4

Binicilik kümesinin eleman sayısını kullanalım.

4. denklemde

oeb = b

yazarsak:

b + ob + eb + b = 24 \implies 2b + ob + eb = 24

. Buradan

ob + eb = 24 - 2b

elde edilir. 2. denklemde yerine koyarsak:

oe + (24 - 2b) = b \implies oe = 3b - 24

olur. Üye sayıları negatif olamayacağı için

oe \ge 1 \implies 3b - 24 \ge 1 \implies b \ge 9

olmalıdır. Ayrıca

ob + eb \ge 0 \implies 24 - 2b \ge 0 \implies b \le 12

olur.

Eleman sayılarının pozitif tam sayı olma koşullarını kullanarak

b

'nin değer aralığını buluruz.

5

Eskrim kümesinin eleman sayısını kullanalım.

7. denklemde

e = b + 3

,

oe = 3b - 24

,

oeb = b

yazalım:

(b+3) + (3b-24) + eb + b = 26 \implies 5b - 21 + eb = 26 \implies 5b + eb = 47

elde edilir.

b \ge 9

ve

b \le 12

aralığında

eb \ge 0

olmasını sağlayan tek tam sayı değeri

b = 9

olur. Bu durumda

eb = 2

bulunur.

Sınırlandırılmış değer aralığındaki tam sayı çözümlerini bulmak için son denklemi değerlendiririz.

6

Tüm bilinmeyenleri ve toplam üye sayısını hesaplayalım.

b = 9

,

oeb = 9

,

e = 12

,

oe = 3

,

eb = 2

,

o = 2

,

ob = 4

olur. Toplam üye sayısı

N = o + e + b + oe + ob + eb + oeb = 2 + 12 + 9 + 3 + 4 + 2 + 9 = 41

olarak bulunur.

Tüm bölge eleman sayılarını toplayarak evrensel kümenin eleman sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Denklem Kurma ve Tam Sayı Çözümleri

Soru 94Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerden macera romanı okuyanların kümesi $M$ , bilim kurgu romanı okuyanların kümesi $B$ ile gösterilmektedir. Bu sınıfta; macera romanı okuyan 15 öğrenci, bilim kurgu romanı okuyan 12 öğrenci ve hem macera hem de bilim kurgu romanı okuyan 4 öğrenci bulunmaktadır. Buna göre, bu sınıfta macera veya bilim kurgu romanı okuyan toplam kaç öğrenci vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Macera veya bilim kurgu romanı okuyan toplam öğrenci sayısı 23'tür.

Macera romanı okuyanlar ile bilim kurgu romanı okuyanların kümesinin birleşimi, her iki kümenin eleman sayılarının toplanıp kesişim kümesinin (hem macera hem bilim kurgu okuyanların) eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur. Bu durumda 15 + 12 - 4 = 23 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Macera romanı okuyanların kümesini M, bilim kurgu romanı okuyanların kümesini B olarak sembolize edip verilen eleman sayılarını belirlemek.

s(M) = 15

,

s(B) = 12

ve

s(M \cap B) = 4

Soruda verilen bilgileri küme gösterimlerine dönüştürmek için.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısını veren formülü uygulamak.

s(M \cup B) = s(M) + s(B) - s(M \cap B)

Macera veya bilim kurgu romanı okuyanların toplam sayısını bulmak için birleşim kümesi formülü gereklidir.

3

Verilen sayısal değerleri formülde yerine yazarak hesaplama yapmak.

s(M \cup B) = 15 + 12 - 4 = 23

Toplam öğrenci sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin kendi eleman sayılarının toplamından kesişimlerinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır.

Soru 95Soru →

Her $p$ ve $q$ önermesi için $p \Rightarrow q$ koşullu önermesinin karşıt tersi, $q' \Rightarrow p'$ önermesidir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Bir koşullu önermenin karşıt tersi, bileşen önermelerin hem yerlerinin değiştirilmesi hem de değillerinin alınmasıyla elde edilir; dolayısıyla verilen ifade doğrudur.

Mantıkta bir koşullu önermenin karşıt tersi alınırken hem hipotez ile hükmün yerleri değiştirilir hem de her ikisinin değili (olumsuzu) alınır. Bu tanım gereği

p \Rightarrow q

önermesinin karşıt tersi

q' \Rightarrow p'

olur ve bu ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu önermenin karşıt tersi tanımını inceleme

p \Rightarrow q

önermesinin karşıt tersi

q' \Rightarrow p'

önermesidir.

Karşıt tersi kavramının mantıktaki tanımını belirlemek için.

2

Tanım ile verilen ifadenin karşılaştırılması

Tanımdaki karşıt tersi ifadesi ile soruda verilen ifade birebir uyuşmaktadır.

İfadenin doğruluk değerini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin karşıt tersi

Soru 96Soru →

Analitik düzlemde,

A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| \leq 3\}

B = \{y \in \mathbb{R} : |y - 4| \leq 2\}

kümeleri tanımlanıyor. Ayrıca,

C = \{x \in \mathbb{Z} : -3 < x \leq 3\}

D = \{y \in \mathbb{Z} : 1 < y \leq 7\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, $(A \times B) \cap (C \times D)$ kümesinin eleman sayısı kaçt��r?

30

36

25

18

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kesişim kümesinin eleman sayısı 30'dur.

Kesişim kümesinin eleman sayısı,

(A \cap C) \times (B \cap D)

kartezyen çarpımının eleman sayısı olan 30'dur.

A \cap C

kümesi 6 elemanlı,

B \cap D

kümesi ise 5 elemanlıdır (çünkü

7 \notin B

). Dolayısıyla

6 \times 5 = 30

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B kümelerinin sınırlarını mutlak değerli eşitsizlikleri çözerek belirlemek.

A = [-2, 4]

ve

B = [2, 6]

olarak bulunur.

Kartezyen çarpımın bileşenlerinin hangi reel sayı aralıklarında olduğunu bulmak için.

2

C ve D kümelerinin tam sayı elemanlarını liste yöntemiyle yazmak.

C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

ve

D = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}

olarak bulunur.

Kesişim işlemlerinde kullanılacak elemanları açıkça görmek için.

3

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini uygulamak.

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

eşitliğini elde etmek.

İki kartezyen çarpımın kesişimini daha kolay hesaplanabilir iki kümenin kesişiminin kartezyen çarpımına dönüştürmek için.

4

A ile C'nin ve B ile D'nin kesişim kümelerini bulmak.

A \cap C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

(

s(A \cap C) = 6

) ve

B \cap D = \{2, 3, 4, 5, 6\}

(

s(B \cap D) = 5

) olarak bulunur.

Bileşen kümelerin eleman sayılarını bulmak için.

5

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak sonucu hesaplamak.

s((A \cap C) \times (B \cap D)) = 6 \times 5 = 30

olarak bulunur.

Kesişim kümesinin toplam eleman sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımların kesişim özelliği ve sayı kümeleriyle aralıkların kesişimi.

Soru 97Soru →

U

evrensel kümesinin alt kümeleri olan

A

ve

B

kümeleri için

\begin{aligned} U &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\ A &= \{1, 2, 3, 4\}\\ B &= \{3, 4, 5, 6\} \end{aligned}

olduğuna göre,

(A \setminus B)'

kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}

\{1, 2, 3, 4, 7, 8\}

\{1, 2\}

\{5, 6\}

\{7, 8\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

Cevap

\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}

kümesidir.

Doğru yanıt olan

\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}

kümesi, A fark B kümesinde bulunmayan evrensel küme elemanlarının tamamını içerir.

A \setminus B = \{1, 2\}

olduğundan, bu elemanların evrensel kümeden çıkarılmasıyla tümleyen küme elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A \setminus B

(A fark B) kümesini bulunuz.

A \setminus B = \{1, 2\}

A fark B kümesi, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. A kümesinin elemanlarından B kümesinde de bulunan 3 ve 4 çıkarılır.

2

(A \setminus B)'

(A fark B kümesinin tümleyeni) kümesini bulunuz.

(A \setminus B)' = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}

Bir kümenin tümleyeni, evrensel kümede yer alıp o kümede bulunmayan elemanların oluşturduğu kümedir. Dolayısıyla evrensel kümedeki elemanlardan 1 ve 2 elemanları hariç tutulur.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin birlikte uygulanması.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 98Soru →

Elemanları sayılardan ve kümelerden oluşan bir

K

kümesi

K = \{ 1, 2, 3, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 4\} \}

biçiminde tanımlanıyor. Bu kümenin alt kümelerinden biri olan

X

kümesi için aşağıdaki koşullar verilmiştir:
*

X

kümesinin her elemanı

K

kümesinin bir alt kümesidir.
*

X

kümesinin alt küme sayısı 8'dir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $X$ kümesi tanımlanabilir?

2

4

6

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 farklı X kümesi tanımlanabilir.

K kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan elemanlar

\{1\}

,

\{2\}

,

\{1, 2\}

ve

\{1, 3\}

olmak üzere 4 tanedir. Alt küme sayısı 8 olan bir X kümesinin eleman sayısı 3 olmalıdır. Bu 4 eleman arasından 3 elemanlı bir küme

\binom{4}{3} = 4

farklı şekilde seçilebilir. Dolayısıyla doğru yanıt 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

K kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirleme

K = \{ 1, 2, 3, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 4\} \}

kümesinin elemanları

1, 2, 3, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 4\}

olup eleman sayısı

s(K) = 8

'dir.

Soruda verilen koşulları uygulamak için öncelikle kümenin eleman yapısını tam olarak anlamak gerekir.

2

K kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan elemanları bulma

y \in K

iken

y \subset K

koşulunu sağlayan elemanlar aranır. Sayı olan

1, 2, 3

elemanları küme olmadığından alt küme olamazlar. Küme parantezli elemanlar incelendiğinde;

\{1\} \subset K

(çünkü

1 \in K

),

\{2\} \subset K

(çünkü

2 \in K

),

\{1, 2\} \subset K

(çünkü

1 \in K

ve

2 \in K

) ve

\{1, 3\} \subset K

(çünkü

1 \in K

ve

3 \in K

) koşulları sağlanır. Ancak

\{2, 4\}

elemanı için

4 \notin K

olduğundan

\{2, 4\} \subset K

ifadesi yanlıştır. Bu koşulu sağlayan elemanların kümesi

S = \{ \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\} \}

olup

s(S) = 4

'tür.

X kümesinin elemanlarının K'nin alt kümesi olması koşulunu sağlayan aday elemanları belirlemek gerekir.

3

X kümesinin eleman sayısını bulma

X

kümesinin alt küme sayısı 8 olarak verilmiştir. Alt küme sayısı

2^n

formülüyle hesaplandığından

2^{s(X)} = 8 \implies s(X) = 3

bulunur.

X kümesinin kaç elemanlı olması gerektiğini belirlemek için alt küme sayısı bilgisini kullanırız.

4

Koşulları sağlayan farklı X kümelerinin sayısını hesaplama

s(S) = 4

elemanlı

S

kümesinden

3

elemanlı

X

kümeleri seçilecektir. Bu seçimlerin sayısı kombinasyon formülü ile

\binom{4}{3} = 4

olarak hesaplanır.

4 elemanlı bir kümeden seçilebilecek 3 elemanlı farklı alt kümelerin sayısını bulmak için kombinasyon uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanı olma ile alt kümesi olma kavramlarının ayırt edilmesi ve alt küme sayısı hesabı

Soru 99Soru →

Bir teknoloji şirketinde çalışan $65$ personelin her biri Jira ( $J$ ), Trello ( $T$ ) ve Asana ( $A$ ) proje yönetim programlarından en az birini kullanmaktadır. Bu çalışanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece iki programı kullanan çalışanların sayısı, sadece bir programı kullanan çalışanların sayısının yarısıdır.
* Her üç programı da kullanan $5$ çalışan vardır.
* Trello kullanan çalışan say��sı $35$ 'tir.
* Jira kullanan çalışan sayısı, Asana kullanan çalışan sayısına eşittir.

Buna göre, bu şirkette Jira kullanan çalışan sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Jira kullanan çalışan sayısı 30'dur.

Jira kullanan çalışan sayısını bulmak için her bir çalışanın kaç kümede sayıldığını gösteren genel bağıntı kurulur. Sadece bir program kullananlar 1 kez (

S_1

), sadece iki program kullananlar 2 kez (

2S_2

) ve üç programı da kullananlar 3 kez (

3S_3

) sayıldığından

s(J) + s(A) + s(T) = S_1 + 2S_2 + 3S_3

eşitliği elde edilir. Toplam çalışan sayısı

S_1 + S_2 + S_3 = 65

ve

S_3 = 5

ise

S_1 + S_2 = 60

'tır.

S_1 = 2S_2

olduğundan

S_2 = 20

ve

S_1 = 40

bulunur. Buradan

s(J) + s(A) + s(T) = 40 + 2(20) + 3(5) = 95

bulunur.

s(J) = s(A)

ve

s(T) = 35

olduğundan

2s(J) + 35 = 95 \implies s(J) = 30

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme elemanları gruplandırılarak toplam çalışan sayısı denklemi kurulur.

S_1 + S_2 = 60

denklemi elde edilir.

Toplam ��alışan sayısından her üç programı da kullanan

5

kişi çıkarılarak sadece bir ve sadece iki program kullananların toplamı bulunur.

2

S_1 = 2S_2

ilişkisi kullanılarak

S_1

ve

S_2

değerleri hesaplanır.

S_2 = 20

ve

S_1 = 40

olarak bulunur.

Sadece iki program kullananların sayısı, sadece bir program kullananların yarısı olduğundan bu oran denklemde yerine yazılır.

3

Bireysel programları kullanan kişi sayılarının toplam formülü yazılır.

s(J) + s(A) + s(T) = 95

elde edilir.

Her bir elemanın kaç program kümesinde yer aldığına bağlı olarak toplam küme eleman sayıları toplamı

S_1 + 2S_2 + 3S_3

bağıntısıyla bulunur.

4

Verilen eşitlikler ve Trello kümesi eleman sayısı denklemde yerine yazılarak Jira kullanan sayısı bulunur.

s(J) = 30

olarak bulunur.

s(J) = s(A)

ve

s(T) = 35

bilgisiyle

2 \cdot s(J) + 35 = 95

denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde eleman sayıları ile kesişim bölgeleri arasındaki ilişkileri kurma ve denklem çözme.

Soru 100Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde

A

,

B

ve

C_k

kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

A = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 200, \text{ } x \text{ sayısı 3 ile tam bölünür}\}

B = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 200, \text{ } x \text{ sayısı 5 ile tam bölünür}\}

C_k = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 200, \text{ } x \text{ sayısı } k \text{ ile tam bölünür}\}

k

bir pozitif tam sayı olmak üzere,

s((A \cup B) \cap C_k) = 13

olduğuna g��re,

k

sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

15

20

22

23

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Farklı

k

değerlerinin toplamı 22'dir.

Doğru cevap olan 22 değeri,

k

sayısının alabileceği farklı değerler olan 7 ve 15 sayılarının toplamıdır. Dağılma özelliği ve birleşim kümesinin eleman sayısı formülü kullanılarak

s((A \cap C_k) \cup (B \cap C_k)) = s(A \cap C_k) + s(B \cap C_k) - s(A \cap B \cap C_k)

eşitliği kurulur.

k

sayısının 3 ve 5 ile aralarında asal olduğu durumda

k = 7

değeri;

k

sayısının 15'in katı olduğu durumda ise

C_k

kümesinin

A \cup B

kümesinin alt kümesi olması sayesinde

k = 15

değeri denklemi sağlar. Bu iki değerin toplamı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılma özelliğini kullanarak kesişim ve birleşim işlemlerini düzenleyin.

s((A \cup B) \cap C_k) = s((A \cap C_k) \cup (B \cap C_k))

eşitliği elde edilir.

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayabilmek için ifadeyi dağıtmak kolaylık sağlar.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.

s((A \cap C_k) \cup (B \cap C_k)) = s(A \cap C_k) + s(B \cap C_k) - s(A \cap B \cap C_k)

denklemi elde edilir.

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

3

k

sayısının 3 ve 5 ile aralarında asal olduğu (

EBOB(k, 15) = 1

) durumu inceleyin.

Bu durumda

\text{ekok}(3, k) = 3k

,

\text{ekok}(5, k) = 5k

ve

\text{ekok}(15, k) = 15k

olur. Denklemimiz:

\lfloor \frac{200}{3k} \rfloor + \lfloor \frac{200}{5k} \rfloor - \lfloor \frac{200}{15k} \rfloor = 13

halini alır.

k = 7

için:

\lfloor \frac{200}{21} \rfloor + \lfloor \frac{200}{35} \rfloor - \lfloor \frac{200}{105} \rfloor = 9 + 5 - 1 = 13

sağlanır. Bu gruptaki tek çözüm

k = 7

değeridir.

k

değerinin 15 ile ortak böleni olmadığında eleman sayıları doğrudan bölünme kurallarına göre hesaplanır.

4

k

sayısının 3 veya 5'in katı olduğu durumları inceleyin.

Eğer

k

, 15'in katı ise (

k = 15m

),

C_k

kümesi hem

A

'nın hem de

B

'nin alt kümesi olur. Bu durumda

(A \cup B) ∩ C_k = C_k

elde edilir. Buradan

s(C_k) = \lfloor 200/k \rfloor = 13 \implies k = 15

bulunur. (Diğer

k = 3m

veya

k = 5m

durumları incelendiğinde de tek tutarlı çözümün

k = 15

olduğu görülür).

k

sayısı ile 3 ve 5 arasındaki ortak bölen durumlarına göre kesişim kümelerinin kapsam ilişkilerini belirlemek gerekir.

5

Bulunan farklı

k

değerlerini toplayın.

7 + 15 = 22

elde edilir.

Soruda alabileceği farklı değerlerin toplamı istendiği için bulunan tüm geçerli

k

değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim, birleşim ve kapsam ilişkileri kullanılarak eleman sayısı hesaplama.

Tahmini Süre:2m 30s

Kümeler ve Mantık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram