Kümeler ve Mantık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 7

$A$ ve $B$ kümeleri aynı $E$ evrensel kümesinin alt kümeleridir.

\begin{aligned} s(A \setminus B) &= 9 \\ s(B \setminus A) &= 5 \\ s(A' \cap B') &= 6 \\ s(E) &= 25 \end{aligned}

olduğuna göre, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5

Evrensel küme,

A \setminus B

(yalnızca A'da olanlar),

B \setminus A

(yalnızca B'de olanlar),

A \cap B

(her ikisinde de olanlar) ve

A' \cap B'

(ikisinde de olmayanlar) olmak üzere dört ayrık bölgeden oluşur. Bu bölgelerin eleman sayıları toplamı evrensel kümenin eleman sayısını vermelidir:

9 + 5 + s(A \cap B) + 6 = 25

denkleminden

20 + s(A \cap B) = 25

ve buradan

s(A \cap B) = 5

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Evrensel kümenin ayrık bölgelerinin eleman sayıları toplamı formülünü yazmak.

s(E) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) + s(A' \cap B')

Evrensel kümedeki her bir eleman bu dört ayrık bölgeden yalnızca birine aittir.

2

Verilen sayısal değerleri yerleştirerek bilinmeyen kesişim kümesi eleman sayısını hesaplamak.

25 = 9 + 5 + s(A \cap B) + 6 \Rightarrow 25 = 20 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 5

Elde edilen birinci dereceden denklem çözülerek kesişim kümesinin eleman sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Evrensel kümede iki kümenin birleşimi, farkı ve tümleyeninin eleman sayıları arasındaki ilişki.

Soru 122Soru →

$(p \Rightarrow q) \wedge (q' \Rightarrow p)$ bileşik önermesi, her $p$ ve $q$ önermesi için her zaman $q$ önermesine denktir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Bileşik önerme mantıksal sadeleştirme adımları uygulandığında her zaman

q

önermesine denk çıkmaktadır.

Mantıksal sadeleştirme adımları izlendiğinde,

(p \Rightarrow q) \wedge (q' \Rightarrow p)

ifadesinin her iki koşullu önerme bileşeninin veya bağlacına çevrilip dağılma özelliğinin tersten işletilmesiyle

q

önermesine ulaşıldığı görülür. Bu durum tüm doğruluk durumları için geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu önermelerin veya (

\vee

) bağlacı cinsinden eşdeğerlerini bulun.

p \Rightarrow q \equiv p' \vee q

ve

q' \Rightarrow p \equiv (q')' \vee p \equiv q \vee p

(yani

p \vee q

)

Koşullu önermeyi sadeleştirebilmek için veya bağlacı formuna dönüştürmek temel bir kuraldır.

2

Bulunan eşdeğerleri ana bileşik önermede yerlerine yerleştirin.

(p' \vee q) \wedge (p \vee q)

İfadeyi tek bir bağlaç grubu altında birleştirip ortak çarpan parantezine almaya hazır hale getirmek için.

3

Veya bağlacının ve bağlacı üzerine dağılma özelliğini tersten uygulayarak ortak paranteze alın.

(p' \wedge p) \vee q

Her iki parantezde de ortak olan

\vee q

ifadesi dağılma özelliğinin sonucudur.

4

Çelişki kuralını ve etkisiz eleman özelliğini uygulayarak sonucu belirleyin.

p' \wedge p \equiv 0

olduğundan

0 \vee q \equiv q

elde edilir.

Bir önerme ile değilinin 've' bağlacı ile birleşimi her zaman yanlış (0) değerini verir ve 0 veya bağlacında etkisiz elemandır.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin veya bağlacı cinsinden eşdeğeri ve dağılma özelliği

Soru 123Soru →

Bir teknoloji mağazasında bir ay boyunca bilgisayar, telefon ve tablet ürünlerinden en az birini satın alan müşterilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Mağazadan bu ürünlerden en az birini satın alan toplam müşteri sayısı $80$ 'dir.
* Yalnızca bilgisayar satın alan müşterilerin sayısı, yalnızca telefon satın alan müşterilerin sayısının $2$ katıdır.
* Telefon ve tablet satın alıp bilgisayar satın almayan müşteri sayısı, bilgisayar ve tablet satın alıp telefon satın almayan müşteri sayısına eşittir.
* Bu üç ürünün üçünü de satın alan müşteri sayısı $6$ 'dır.
* En az iki çeşit ürün satın alan müşteri sayısı $44$ 'tür.
* Tablet satın alan toplam müşteri sayısı $34$ 'tür ve yalnızca tablet satın alan müşteri bulunmamaktadır.

Buna göre, bu teknoloji mağazasından bilgisayar satın alan toplam müşteri sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Bilgisayar satın alan toplam müşteri sayısı

54

'tür.

Soruda verilen küme ilişkileri denklem sistemine dönüştürüldüğünde tüm bilinmeyen bölgeler sırasıyla belirlenmiş ve bilgisayar alanların toplam küme mevcudu

54

olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Tablet kümesinin eleman sayısını kullanarak ikişerli kesişim bölgelerini belirleyin.

y = 14

ve

z = 14

Tablet kümesi

A

olsun. Yalnızca tablet alan müşteri bulunmadığından

a = 0

'dır. Her üç ürünü de alan müşteri sayısı

c = 6

olarak verilmiştir. Tablet alanların toplamı

a + y + z + c = 34 \Rightarrow 0 + y + z + 6 = 34 \Rightarrow y + z = 28

olur. Telefon ve tablet alıp bilgisayar almayanlar (

y

) ile bilgisayar ve tablet alıp telefon almayanların (

z

) sayısı eşit olduğundan

y = z = 14

bulunur.

2

En az iki çeşit ürün satın alan müşteri sayısını kullanarak bilgisayar ve telefon alıp tablet almayanları (

x

) bulun.

x = 10

En az iki çeşit ürün satın alanlar, iki veya üç kümenin kesişim bölgeleridir. Bu durumda

x + y + z + c = 44

olur. Bulunan değerler yerine yazılırsa

x + 14 + 14 + 6 = 44 \Rightarrow x + 34 = 44 \Rightarrow x = 10

elde edilir.

3

Toplam müşteri sayısını kullanarak yalnızca bilgisayar (

b

) ve yalnızca telefon (

t

) alanların sayılarını bulun.

b = 24

ve

t = 12

Toplam müşteri sayısı

b + t + a + x + y + z + c = 80

olarak verilmiştir. Bilinen değerleri yerine yazarsak

b + t + 0 + 10 + 14 + 14 + 6 = 80 \Rightarrow b + t + 44 = 80 \Rightarrow b + t = 36

olur. Yalnızca bilgisayar alanlar yalnızca telefon alanların

2

katı olduğundan (

b = 2t

),

2t + t = 36 \Rightarrow 3t = 36 \Rightarrow t = 12

ve

b = 24

bulunur.

4

Bilgisayar satın alan toplam müşteri sayısını hesaplayın.

54

Bilgisayar satın alan toplam müşteri sayısı

N(B) = b + x + z + c

formülü ile hesaplanır. Buradan

N(B) = 24 + 10 + 14 + 6 = 54

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerini modelleyerek sözel problemleri çözme.

Soru 124Soru →

A

kümesi,

A = \{ \beta, \{\alpha\}, \{\alpha, \beta\}, \gamma, \{\gamma\} \}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,
I. $\{\gamma\} \in A$ ve $\{\gamma\} \subset A$ dır.
II. $\{\alpha, \beta\} \subset A$ dır.
III. $\{\{\alpha\}\} \subset A$ dır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri doğrudur.

I ve III ifadeleri doğrudur. Birinci öncüldeki parantezli gama sembolü kümede doğrudan bir eleman olarak bulunur ve aynı zamanda parantezsiz gama sembolü de kümede yer aldığından bir alt kümedir. Üçüncü öncüldeki çift parantezli ifade, kümenin bir elemanı olan parantezli alfanın alt küme biçiminde yazılmasıyla elde edilmiştir ve doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.

A

kümesinin elemanları sırasıyla

\beta

,

\{\alpha\}

,

\{\alpha, \beta\}

,

\gamma

ve

\{\gamma\}

olmak üzere 5 tanedir.

Öncüllerdeki eleman ve alt küme ilişkilerini bu elemanlar üzerinden analiz etmek.

2

I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek.

\{\gamma\}

sembolü

A

kümesinin listelenen elemanlarından biri olduğu için

\{\gamma\} \in A

ifadesi doğrudur. Ayrıca bu kümenin tek elemanı olan

\gamma

,

A

kümesinin de bir elemanı olduğundan

\{\gamma\} \subset A

ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Bir kümenin hem elemanı hem de alt kümesi olma durumunu incelemek.

3

II. öncülün doğruluğunu kontrol etmek.

\{\alpha, \beta\}

ifadesinin

A

'nın bir alt kümesi olması için

\alpha \in A

ve

\beta \in A

olmalıdır.

\beta \in A

ifadesi doğruyken,

\alpha

sembolü tek başına

A

kümesinin bir elemanı değildir (sadece

\{\alpha\}

biçiminde bir eleman vardır). Bu nedenle

\{\alpha, \beta\} \subset A

ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.

Bir kümenin alt kümesi olma şartının eleman düzeyinde sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek.

4

III. öncülün doğruluğunu kontrol etmek.

\{\{\alpha\}\}

ifadesinin tek elemanı olan

\{\alpha\}

sembolü

A

kümesinin bir elemanıdır (

\{\alpha\} \in A

). Bu nedenle

\{\{\alpha\}\} \subset A

ifadesi doğrudur. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.

Eleman olan bir kümenin alt küme olarak gösterimini doğrulamak.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman (∈) ve alt küme (⊂) sembollerinin doğru kullanımı ve elemanların ayırt edilmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 125Soru →

U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

evrensel kümesinin alt kümeleri

A

ve

B

'dir.

\begin{aligned} A &= \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ B &= \{5, 6, 7, 8\} \end{aligned}

olduğuna göre,

A \setminus B'

kümesinin eleman sayısı kaçtır?

5

4

3

1

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İstenen kümenin eleman sayısı 1'dir.

B kümesinin tümleyeni, evrensel kümede bulunup B kümesinde bulunmayan elemanlardan oluşan

B' = \{1, 2, 3, 4\}

kümesidir.

A

kümesinin

B'

kümesinden farkı (

A \setminus B'

), A kümesinde olup

B'

kümesinde olmayan elemanları içerir.

A = \{1, 2, 3, 4, 5\}

kümesinde yer alan fakat

B'

kümesinde yer almayan tek eleman 5'tir. Dolayısıyla, bu fark kümesi

\{5\}

olup eleman sayısı 1'dir. Bu da doğru yanıtı verir.

Adım Adım Çözüm

1

B kümesinin evrensel kümedeki tümleyenini bulalım.

B' = \{1, 2, 3, 4\}

Tümleyen küme, evrensel kümede olup ilgili kümede olmayan elemanlardan oluşur.

2

A

kümesi ile

B'

kümesinin farkını alalım.

A \setminus B' = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \{5\}

İki kümenin farkı, ilk kümede olup ikinci kümede olmayan elemanların olu��turduğu kümedir.

3

Elde edilen kümenin eleman sayısını bulalım.

s(A \setminus B') = 1

Küme sadece tek bir elemandan ({5}) oluştuğu için eleman sayısı 1'dir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin birlikte uygulanması ve eleman sayısı hesabı.

Soru 126Soru →

$x$ , $y$ ve $z$ birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere,

$p: x < y$
$q: y < z$
$r: x < z$

önermeleri veriliyor.

(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow r)

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre; $x$ , $y$ ve $z$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

x < y < z

y < x < z

y < z < x

x < z < y

z < x < y

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y < z < x$

Cevap

Sayıların doğru sıralanışı

y < z < x

şeklindedir.

Bileşik önermenin yanlış (0) olabilmesi için

p \Rightarrow q

önermesinin doğru (1),

q \Leftrightarrow r

önermesinin ise yanlış (0) olması gerekir.

q \Leftrightarrow r \equiv 0

olduğundan

q

ile

r

önermelerinin doğruluk değerleri farklı olmalıdır. Eğer

q \equiv 1

(

y < z

) ve

r \equiv 0

(

x > z

) kabul edersek

y < z < x

sıralaması elde edilir. Bu sıralamada

p: x < y

önermesi yanlış (0) olur. Bu durumda

p \Rightarrow q \equiv 0 \Rightarrow 1 \equiv 1

koşulu da sağlanmış olur. Dolayısıyla

y < z < x

sıralaması tüm koşulları sağlayan tek sıralamadır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerinin 0 (yanlış) olmasını sağlayan koşulları belirlemek.

p \Rightarrow q \equiv 1

ve

q \Leftrightarrow r \equiv 0

olmalıdır.

Bir koşullu önermenin (

A \Rightarrow B

) yanlış (0) olabilmesi için ancak ve ancak ön bileşenin doğru (

A \equiv 1

), art bileşenin ise yanlış (

B \equiv 0

) olması gerekir.

2

q \Leftrightarrow r \equiv 0

koşulundan yola çıkarak olası durumları belirlemek.

Ya (

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

) ya da (

q \equiv 0

ve

r \equiv 1

) olmalıdır.

İki yönlü koşullu önerme (

q \Leftrightarrow r

), bileşenlerinin doğruluk değerleri farklı olduğunda yanlış (0) değerini alır.

3

Birinci olasılığı (

q \equiv 0

ve

r \equiv 1

) test ederek çelişki durumunu kontrol etmek.

q \equiv 0 \implies y \ge z

ve

r \equiv 1 \implies x < z

olur. Sayılar birbirinden farklı olduğundan

x < z < y

sıralaması oluşur. Bu sıralamaya göre

x < y

olacağından

p \equiv 1

bulunur. Bu durumda

p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0

olur ki bu durum birinci adımda bulduğumuz

p \Rightarrow q \equiv 1

koşuluyla çeli��ir.

Olası durumların tüm önermelerle tutarlılığını sınamak gerekir.

4

İkinci olasılığı (

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

) test etmek ve sayıları sıralamak.

q \equiv 1 \implies y < z

ve

r \equiv 0 \implies x \ge z

(sayılar farklı olduğu için

x > z

) olur. Bu iki bilgi birleştirildiğinde

y < z < x

sıralaması elde edilir. Bu sıralamada

x > y

olduğundan

p \equiv 0

olur. Dolayısıyla

p \Rightarrow q \equiv 0 \Rightarrow 1 \equiv 1

koşulu da başarıyla sağlanır.

Çelişki yaratmayan tek tutarlı durumu belirleyip sıralamayı netleştirmek gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin (

\Rightarrow

) ve iki yönlü koşullu önermenin (

\Leftrightarrow

) doğruluk değerleri kuralları.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 127Soru →

Bir çevrimiçi oyunda oyuncuların kazanabileceği "Savaşçı" ( $S$ ), "Okçu" ( $O$ ) ve "Büyücü" ( $B$ ) unvanları bulunmaktadır. Bu oyunu oynayan ve bu unvanlardan en az birine sahip olan 47 kişilik bir oyuncu grubu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her üç unvana birden sahip olan oyuncu say��sı, sadece iki unvana sahip olan oyuncu sayısının üçte birine eşittir.
* Herhangi iki unvana sahip olan oyuncu sayıları birbirine eşittir.
* Sadece Savaşçı, sadece Okçu ve sadece Büyücü unvanına sahip olan oyuncu sayıları birbirine eşit olup bu sayı 9'dur.

Buna göre, bu grupta Savaşçı unvanına sahip toplam oyuncu sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Savaşçı unvanına sahip toplam oyuncu sayısı 24'tür.

Savaşçı unvanına sahip oyuncuların sayısı, sadece Savaşçı olanlar ile sadece iki unvanı olanlar ve üç unvanı birden olanların toplamıdır. Denklem çözüldüğünde bu değer 24 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üç unvana birden sahip oyuncu sayısını değişkenle ifade etme

Üç unvana birden sahip olanların sayısı

x

ise, sadece iki unvana sahip olanların toplam sayısı

3x

olur.

Soruda verilen oran ilişkisini kullanabilmek için.

2

Kesişim bölgelerinin eleman sayılarını belirleme

Sadece Savaşçı ve Okçu, sadece Okçu ve Büyücü, sadece Savaşçı ve Büyücü olan bölgelerin her birinin eleman sayısı

x

olur.

İkişerli kesişimlerin eleman sayılarının eşit olması ve üçlü kesişimin çıkarılmasıyla kalan bölgelerin eşitliğini sağlamak için.

3

Toplam eleman sayısını veren denklemi kurma ve çözme

9 + 9 + 9 + 4x = 47 \implies 27 + 4x = 47 \implies 4x = 20 \implies x = 5

Tüm bölgelerin toplamının gruptaki toplam oyuncu sayısına eşit olmasından yararlanarak

x

değerini bulmak için.

4

Savaşçı kümesinin eleman sayısını hesaplama

s(S) = 9 + x + x + x = 9 + 15 = 24

Savaşçı kümesini oluşturan tüm alt bölgelerin eleman sayılarını toplamak için.

Anahtar Kavram

Üç kümenin birleşim ve kesişim işlemlerinin Venn şeması üzerinde modellenmesi ve alt bölgelerin eleman sayılarının bulunması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 128Soru →

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri aynı $E$ evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(E) = 45$
* $s(A' \cap B' \cap C') = 8$
* $s(A \setminus (B \cup C)) = 2 \cdot s(B \setminus (A \cup C)) = 3 \cdot s(C \setminus (A \cup B))$
* $s((A \cap B) \setminus C) = s((B \cap C) \setminus A) = s((A \cap C) \setminus B)$
* $s(A \cap B \cap C) = 3$

Buna göre, $s((A \setminus B)' \cap C)$ ifadesinin değeri kaçtır?

8

10

11

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İstenen kümenin eleman sayısı 11'dir.

Doğru cevap olan 11, verilen oranlar ve evrensel kümenin eleman sayısı kullanılarak her bir ayrık bölgenin eleman sayısı (

x=12, y=6, z=4, a=b=c=4, d=3, o=8

) bulunduktan sonra,

(A \setminus B)' \cap C

ifadesinin şemada karşılık geldiği bölgelerin eleman sayıları toplamı (

z+b+d = 4+4+3

) hesaplanarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Venn şeması çizilerek 3 kümenin ve evrensel kümenin oluşturduğu 8 ayrık bölge isimlendirilir.

Bölgeler şu şekilde tanımlanır:
- Yalnızca A kümesindeki bölge:

x

- Yalnızca B kümesindeki bölge:

y

- Yalnızca C kümesindeki bölge:

z

- A ve B'nin kesişip C'de olmayan bölgesi:

a

- B ve C'nin kesişip A'da olmayan bölgesi:

b

- A ve C'nin kesişip B'de olmayan bölgesi:

c

- Üç kümenin ortak kesişim bölgesi:

d

- Kümelerin dışındaki evrensel küme bölgesi:

o

Kümelerdeki eleman sayılarını matematiksel olarak ifade etmek ve denklemleri kurabilmek için şema üzerindeki her bir ayrık bölgeyi değişkenlerle göstermek gerekir.

2

Verilen bilgiler doğrultusunda değişkenler arasında denklemler kurulur.

-

o = s(A' \cap B' \cap C') = 8

-

d = s(A \cap B \cap C) = 3

-

x = 2y = 3z

olduğundan ortak kat olarak

x = 6k

,

y = 3k

ve

z = 2k

alınır.
-

a = b = c = m

alınır.

Soruda verilen oranları ve doğrudan eleman sayılarını tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak amaçlanır.

3

Evrensel kümenin eleman sayısı toplamı kullanılarak

k

ve

m

bilinmeyenleri bulunur.

s(E) = x + y + z + a + b + c + d + o = 45

6k + 3k + 2k + 3m + 3 + 8 = 45 \implies 11k + 3m + 11 = 45 \implies 11k + 3m = 34

k

ve

m

pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan, bu eşitliği sağlayan tek değer çifti

k = 2

ve

m = 4

olur.
Buna göre bölgelerin eleman sayıları:

x = 12

,

y = 6

,

z = 4

a = b = c = 4

d = 3

,

o = 8

Evrensel kümedeki tüm ayrık bölgelerin toplamı toplam eleman sayısını verir.

4

İstenen

s((A \setminus B)' \cap C)

ifadesinin Venn şemasındaki karşılığı bulunur ve hesaplanır.

(A \setminus B)' \cap C = (A \cap B')' \cap C = (A' \cup B) \cap C = (A' \cap C) \cup (B \cap C)

elde edilir.
Bu küme, Venn şemasında C kümesinin elemanlarından A fark B kümesine ait olanların çıkarılmasıyla kalan kısımdır (

C \setminus (A \setminus B)

).
Bu bölgenin eleman sayısı:

z + b + d

şeklindedir.

s((A \setminus B)' \cap C) = z + b + d = 4 + 4 + 3 = 11

bulunur.

Fark ve tümleme işlemlerinin kuralları kullanılarak hedef küme en sade biçimine getirilir ve şema üzerinde karşılık geldiği bölgelerin eleman sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Üç kümenin yer aldığı evrensel küme problemlerinde Venn şeması bölgelerinin değişkenler yardımıyla modellenmesi, fark ve tümleme işlemlerinin sadeleştirilerek şema üzerinde doğru bölgelerle eşleştirilmesi.

Soru 129Soru →

Bir sanat müzesini ziyaret eden 48 kişilik bir gruptaki ziyaretçilerin; Resim ( $R$ ), Fotoğraf ( $F$ ) ve Heykel ( $H$ ) sergilerini ziyaret etme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her bir ziyaretçi bu üç sergiden en az birini ziyaret etmiştir.
* Resim sergisini ziyaret edenlerin tamamı Fotoğraf sergisini de ziyaret etmiştir.
* Heykel sergisini ziyaret edenler, Resim sergisini ziyaret etmemiştir.
* Resim sergisini ziyaret edenlerin sayısı, Heykel sergisini ziyaret edenlerin sayısının yarısıdır.
* Sadece Fotoğraf sergisini ziyaret edenlerin sayısı, sadece Heykel sergisini ziyaret edenlerin sayısının 2 katıdır.
* Fotoğraf ve Heykel sergilerinin her ikisini de ziyaret edenlerin sayısı, Resim sergisini ziyaret edenlerin sayısından 4 eksiktir.

Buna göre, bu grupta Fotoğraf sergisini ziyaret eden toplam kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Fotoğraf sergisini ziyaret eden toplam 36 kişi vardır.

Gruptaki tüm ilişkiler Venn şeması üzerinde modellendiğinde

a + b + c + d = 48

denklemi elde edilir. Verilen oranlar (

a = (c+d)/2

,

b = 2d

,

c = a-4

) yerine yazıldığında

5a + 8 = 48

eşitliğinden

a=8

bulunur. Buradan Fotoğraf sergisini ziyaret edenlerin toplam sayısı

|F| = a + b + c = 8 + 24 + 4 = 36

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeler arasındaki alt küme ve kesişim ilişkilerini belirleyip Venn şeması bölgelerini harflendirin.

Bölgeler:

|R| = a

, sadece Fotoğraf =

b

, Fotoğraf ve Heykel =

c

, sadece Heykel =

d

. Toplam:

a + b + c + d = 48

.

Sözel verileri matematiksel olarak gruplandırmak için.

2

Verilen sözel koşulları bu harfli ifadelerle denklemlere dönüştürün.

2a = c + d

,

b = 2d

ve

c = a - 4

.

Bilinmeyenler arasındaki ilişkileri kurarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek için.

3

Denklem sistemini çözerek her bir bölgenin eleman sayısını hesaplayın.

a = 8

,

b = 24

,

c = 4

,

d = 12

.

İstenen kümenin eleman sayısını oluşturan bileşenleri netleştirmek için.

4

Fotoğraf sergisini ziyaret edenlerin toplam sayısını (

|F| = a + b + c

) bulun.

8 + 24 + 4 = 36

.

Soru kökünde Fotoğraf sergisini ziyaret eden toplam kişi sayısı istendiği için.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme, kesişim ve birleşim işlemlerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Soru 130Soru →

A, B ve C kümeleri,

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3\}

B = \{x \in \mathbb{N} : x < 6\}

C = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 4x < 0\}

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

(A \times C) \cap (B \times B)

kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

12

15

18

20

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Doğru cevap 18 elemanlı kümedir.

Doğru yanıt olan 18 sayısı,

(A \times C) \cap (B \times B) = (A \cap B) \times (C \cap B)

özelliğinden yararlanılarak,

s(A \cap B) = 6

ve

s(C \cap B) = 3

değerlerinin çarpılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin elemanlarını belirlemek için mutlak değerli eşitsizliği çözeriz.

-3 \leq x - 2 \leq 3 \implies -1 \leq x \leq 5

elde edilir. Buradan

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

olur.

A

kümesinin eleman sayısını ve hangi tam sayılardan oluştuğunu belirlemek.

2

B

kümesinin elemanlarını doğal sayılar kümesinde tanımlı olduğu koşula göre listeleriz.

x \in \mathbb{N}

ve

x < 6

olduğundan

B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}

olur.

Doğal sayılar kümesinin sıfırı da içerdiğini dikkate alarak

B

kümesini doğru oluşturmak.

3

C

kümesinin elemanlarını bulmak için ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.

x^2 - 4x < 0 \implies x(x-4) < 0 \implies 0 < x < 4

elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar

C = \{1, 2, 3\}

şeklindedir.

C

kümesinin elemanlarını doğru sınır değerleriyle belirlemek.

4

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini kullanarak

(A \times C) \cap (B \times B)

ifadesini basitleştiririz.

(A \times C) \cap (B \times B) = (A \cap B) \times (C \cap B)

eşitliği geçerlidir.

Kartezyen çarpım işlemlerini daha kolay ve hızlı yapabilmek.

5

A \cap B

ve

C \cap B

kesişim kümelerini ve eleman sayılarını buluruz.

A \cap B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \implies s(A \cap B) = 6

ve

C \cap B = \{1, 2, 3\} \implies s(C \cap B) = 3

olur.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak için bileşen kümelerin eleman sayılarına ihtiyaç duyarız.

6

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayarak sonucu hesaplarız.

s((A \cap B) \times (C \cap B)) = s(A \cap B) \times s(C \cap B) = 6 \times 3 = 18

bulunur.

İstenen kümenin eleman sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin kesişim özelliğini kullanarak eleman sayısı bulma.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 131Soru →

Bir okulda proje ödevi hazırlayan öğrencilerin tamamı $E$ evrensel kümesini oluşturmaktadır. Bu öğrencilerden fizik projesi hazırlayanların kümesi $F$ , kimya projesi hazırlayanların kümesi $K$ 'dir.

Bu öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Fizik projesi hazırlamayıp kimya projesi de hazırlamayan öğrenci sayısı 12'dir.
- Kimya projesi hazırlamayıp fizik projesi hazırlayanlar kümesinde yer almayan öğrenci sayısı 18'dir.
- Fizik veya kimya projelerinden en az birini hazırlamayan öğrenci sayısı 34'tür.

Okulda proje ödevi hazırlayan toplam 45 öğrenci olduğuna göre, fizik projesi hazırlamayıp kimya projesi hazırlayan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fizik projesi hazırlamayıp kimya projesi hazırlayan öğrenci sayısı 4'tür.

Soruda verilen sözel ifadeler küme işlemlerine dönüştürüldüğünde, evrensel kümenin eleman sayısı

s(E) = 45

, her iki projeyi de yapmayanların sayısı

s(F' \cap K') = 12

, sadece fizik projesi yapanların sayısı

s(K' \setminus F') = s(F \setminus K) = 18

ve en az bir projeyi yapmayanların sayısı

s(F' \cup K') = s((F \cap K)') = 34

olarak elde edilir. Buradan

s(F \cup K) = 45 - 12 = 33

ve

s(F \cap K) = 45 - 34 = 11

bulunur. Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünden sadece kimya projesi yapanların sayısı

s(K \setminus F) = 33 - (18 + 11) = 4

olarak hesaplanır. Bu değer, fizik hazırlamayıp kimya hazırlayanların sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

En az bir proje hazırlayan öğrenci sayısını bulmak

s(F \cup K) = 33

Evrensel kümedeki tüm öğrencilerin sayısından (45), her iki projeyi de hazırlamayanların sayısı (12) çıkarılır.

2

Sadece fizik projesi hazırlayan öğrenci sayısını belirlemek

s(F \setminus K) = 18

'Kimya projesi hazırlamayıp fizik projesi hazırlayanlar kümesinde yer almayan' ifadesi

K' \setminus F'

kümesini belirtir ve bu küme

F \setminus K

kümesine eşittir.

3

Her iki projeyi de hazırlayan öğrenci sayısını bulmak

s(F \cap K) = 11

'Fizik veya kimya projelerinden en az birini hazırlamayan' ifadesi De Morgan kuralları gereği

(F \cap K)'

kümesine karşılık gelir. Buradan

s(E) - s((F \cap K)') = 45 - 34 = 11

olur.

4

Sadece kimya projesi hazırlayan (fizik projesi hazırlamayıp kimya projesi hazırlayan) öğrenci sayısını hesaplamak

s(K \setminus F) = 4

Birleşim formülü olan

s(F \cup K) = s(F \setminus K) + s(F \cap K) + s(K \setminus F)

ifadesinde değerler yerine yazılır:

33 = 18 + 11 + s(K \setminus F) \implies s(K \setminus F) = 4

elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin sembolik ve sözel ifadelerle modellenerek çözülmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 132Soru →

Bir bilişim akademisindeki 42 kursiyerin tamamı Yapay Zeka ( $Y$ ), Siber Güvenlik ( $S$ ) ve Veri Analizi ( $V$ ) kurslarının en az birine kayıtlıdır.

Bu kursiyerlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Sadece Yapay Zeka, sadece Siber Güvenlik ve sadece Veri Analizi kursuna kayıtlı olan kursiyer sayıları birbirine eşittir.
* Hem Yapay Zeka hem Siber Güvenlik kursuna kayıtlı olup Veri Analizi kursuna kayıtlı olmayan kursiyer sayısı 4'tür.
* Hem Siber Güvenlik hem Veri Analizi kursuna kayıtlı olup Yapay Zeka kursuna kayıtlı olmayan kursiyer sayısı 5'tir.
* Hem Yapay Zeka hem Veri Analizi kursuna kayıtlı olup Siber Güvenlik kursuna kayıtlı olmayan kursiyer sayısı 6'dır.
* Her üç kursa da kayıtlı olan kursiyer sayısı 3'tür.

Buna göre, Yapay Zeka veya Siber Güvenlik kursuna kayıtlı olan toplam kursiyer sayısı kaçtır?

8

20

34

41

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Yapay Zeka veya Siber Güvenlik kursuna kayıtlı olan toplam kursiyer sayısı 34'tür.

Yapay Zeka (

Y

), Siber Güvenlik (

S

) ve Veri Analizi (

V

) kurslarına ait Venn şeması çizildiğinde sadece bir kursa kayıtlı olan bölgelerin eleman sayıları birbirine eşit olup her birine

x

denilebilir. Şemadaki tüm bölgelerin eleman sayıları toplandığında

3x + 4 + 5 + 6 + 3 = 42

denklemi elde edilir. Buradan

3x + 18 = 42 \implies 3x = 24 \implies x = 8

bulunur. Yapay Zeka veya Siber Güvenlik kursuna kayıtlı olanların sayısı, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısıdır. Bu sayı, tüm kursiyerlerin sayısından sadece Veri Analizi kursuna kayıtlı olanların (

x = 8

) çıkarılmasıyla kolayca

42 - 8 = 34

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen bilgileri kullanarak her bir bölgeyi isimlendirip denklem kurmak.

Sadece Yapay Zeka, sadece Siber Güvenlik ve sadece Veri Analizi kursuna kayıtlı olanların sayısı

x

olsun. Tüm bölgelerin toplamı:

x + x + x + 4 + 5 + 6 + 3 = 42 \implies 3x + 18 = 42

.

Kursiyerlerin tamamının en az bir kursa kayıtlı olduğu bilindiğinden, tüm bölgelerin eleman sayıları toplamı genel mevcuda (42) eşit olmalıdır.

2

Elde edilen denklemden

x

değerini bulmak.

3x = 24 \implies x = 8

.

Her bir kursun sadece kendisine ait olan bölgedeki eleman sayısını belirlemek için bu bilinmeyeni çözmemiz gerekir.

3

Yapay Zeka veya Siber Güvenlik kursuna kayıtlı olanların sayısını (

s(Y \cup S)

) hesaplamak.

s(Y \cup S) = 42 - \text{Sadece Veri Analizi} = 42 - x = 42 - 8 = 34

.

Yapay Zeka veya Siber Güvenlik kursuna kayıtlı olanlar kümesi (

Y \cup S

), evrensel kümeden (tüm gruptan) sadece Veri Analizi alanların (

V \setminus (Y \cup S)

) çıkarılmasıyla pratik şekilde hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Alternatif Yöntem

Yapay Zeka veya Siber Güvenlik alanların sayısını bulmak için ilgili tüm bölgeleri tek tek toplayabiliriz:

s(Y \cup S) = \text{Sadece Y} + \text{Sadece S} + (Y \cap S \setminus V) + (Y \cap V \setminus S) + (S \cap V \setminus Y) + (Y \cap S \cap V) = 8 + 8 + 4 + 6 + 5 + 3 = 34

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 133Soru →

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri aynı $E$ evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $C \subset (A \cap B)$
* $s(A \setminus (B \cup C)) = 8$
* $s(B \setminus (A \cup C)) = 6$
* $s(C) = 4$
* $s((A \cap B) \setminus C) = 5$
* $s((A \cup B)') = 10$

Buna göre, $s((A \setminus B)' \cap (B \setminus C))$ ifadesinin değeri kaçtır?

6

9

11

15

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İstenen ifadenin değeri 11'dir.

İstenen ifade sadeleştirildiğinde

B \setminus C

kümesine eşit olur.

B \setminus C

kümesinin eleman sayısı ise

s(B \setminus A) + s((A \cap B) \setminus C) = 6 + 5 = 11

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

C \subset (A \cap B)

alt küme ilişkisini kullanarak verilen fark kümelerini sadeleştirmek.

C \subset B \implies B \cup C = B

ve

C \subset A \implies A \cup C = A

olur. Buradan

s(A \setminus B) = 8

ve

s(B \setminus A) = 6

elde edilir.

C

kümesi

A

ve

B

kümelerinin kesişiminin alt kümesi olduğundan, hem

A

'nın hem de

B

'nin bir alt kümesidir.

2

İstenen

s((A \setminus B)' \cap (B \setminus C))

ifadesini küme özellikleri yardımıyla sadeleştirmek.

(A \setminus B)' = A' \cup B

olduğundan ifade

(A' \cup B) \cap (B \cap C') = B \cap C' = B \setminus C

şekline dönüşür.

B \subset (A' \cup B)

olduğundan, bu iki kümenin kesişimi

B

kümesini verir.

3

s(B \setminus C)

değerini hesaplamak.

B \setminus C = (B \setminus A) \cup ((A \cap B) \setminus C)

ayrışımı yazılır. Eleman sayısı ise

s(B \setminus C) = s(B \setminus A) + s((A \cap B) \setminus C) = 6 + 5 = 11

bulunur.

B \setminus A

ile

(A \cap B) \setminus C

kümeleri ayrık kümelerdir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme ve alt küme özellikleri

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek

A

,

B

ve

C

kümeleri yerleştirilir.

C

kümesi

A \cap B

bölgesinin içine çizilir. Soruda verilen eleman sayıları ilgili bölgelere yazıldıktan sonra, istenen

(A \setminus B)'

(yani

A \setminus B

bölgesi dışındaki tüm alan) ile

B \setminus C

(yani

B

'nin

C

dışında kalan kısmı) bölgelerinin kesişimi şema üzerinde taranarak doğrudan gözlemlenebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 134Soru →

Bir dijital içerik platformundaki filmler; yerli yapım olma ve dram türünde olma özelliklerine göre sınıflandırılmıştır. Bu platformdaki filmler ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yerli olup dram türünde olmayan filmlerin sayısı; yabancı dram filmlerinin sayısının $2$ katına, yabancı olup dram türünde olmayan filmlerin sayısının ise $3$ katına eşittir.
* Bu platformda yerli olmayan veya dram türünde olmayan filmlerin toplam sayısı $22$ 'dir.
* Platformdaki toplam yerli film sayısı $17$ 'dir.

Buna göre, bu platformda bulunan toplam film say��sı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Toplam film sayısı 27'dir.

Platformdaki yerli film sayısı ile yerli olmayan veya dram olmayan filmlerin (yani yerli dram filmlerinin tümleyeninin) toplamı doğrudan tüm platformdaki film sayısını (evrensel kümeyi) verir: s(E) = s(Y ∩ D) + s((Y ∩ D)') = 5 + 22 = 27.

Adım Adım Çözüm

1

Sözel ifadeleri küme sembolleriyle ifade etme ve değişken tanımlama

s(Y \setminus D) = 6k, s(D \setminus Y) = 3k, s(Y' \cap D') = 2k

Soruda verilen oranları matematiksel dile aktarmak için.

2

Tümleme ve birleşim özelliklerini kullanarak k değerini bulma

k = 2, s(Y \setminus D) = 12

Yerli olmayan veya dram olmayan filmlerin sayısı (Y' ∪ D' = (Y ∩ D)') verilmiştir. Bu küme, kesişim dışındaki üç bölgenin toplamıdır.

3

Yerli kümesinin eleman sayısından kesişim kümesini bulma

s(Y ∩ D) = 5

Yerli film sayısı s(Y) = s(Y \setminus D) + s(Y ∩ D) olarak yazılabilir.

4

Toplam film sayısını (evrensel kümenin eleman sayısını) hesaplama

s(E) = 27

Evrensel küme, kesişim kümesi ile onun tümleyeninin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme ve De Morgan kuralları ile eleman sayısı problemleri çözme.

Soru 135Soru →

Bir e-ticaret sitesinden alışveriş yapan $69$ müşterinin tamamı kozmetik ( $K$ ), giyim ( $G$ ) ve kırtasiye ( $Kı$ ) kategorilerinin en az birinden ürün satın almıştır.

Bu müşterilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Sadece kozmetik, sadece giyim veya sadece kırtasiye kategorisinden alışveriş yapan m��şterilerin sayıları birbirine eşittir.
* Bu kategorilerin yalnız ikisinden alışveriş yapan müşterilerin sayıları birbirine eşittir.
* Her üç kategoriden de alışveriş yapan müşteri sayısı $6$ 'dır.
* Kozmetik kategorisinden alışveriş yapan toplam müşteri sayısı $31$ 'dir.

Buna göre, bu müşterilerden sadece kırtasiye kategorisinden alışveriş yapanların sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Sadece kırtasiye kategorisinden alışveriş yapan müşteri sayısı 17'dir.

Sadece bir kategoriden alışveriş yapanların sayısı

a

, yalnız ikişerli kategorilerden alışveriş yapanların sayısı

b

ve her üç kategoriden de alışveriş yapanların sayısı

6

olarak tanımlandığında; toplam müşteri sayısı

3a + 3b + 6 = 69 \implies a + b = 21

olur. Kozmetik kategorisinden alışveriş yapanlar ise

a + 2b + 6 = 31 \implies a + 2b = 25

denklemine ulaştırır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

b = 4

ve sadece kırtasiye alışverişi yapanların sayısı olan

a = 17

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerdeki her bir ayrık bölge için değişkenler tanımlamak

Sadece bir kategoriden alışveriş yapan bölgeler (her biri) =

a

, Yalnız iki kategoriden alışveriş yapan bölgeler (her biri) =

b

, Üç kategoriden de alışveriş yapan bölge =

6

olarak belirlenir.

Soruda verilen eşitlikleri ve verileri cebirsel olarak ifade edebilmek için.

2

Kozmetik kümesinin eleman sayısını veren denklemi kurmak

s(K) = a + 2b + 6 = 31 \implies a + 2b = 25

denklemi elde edilir.

Kozmetik kategorisinden alışveriş yapan toplam kişi sayısı verildiği için bu kümenin bileşenlerini toplamak gerekir.

3

Tüm evrensel kümedeki (veya birleşim kümesindeki) eleman sayısını veren denklemi kurmak

s(K \cup G \cup Kı) = 3a + 3b + 6 = 69 \implies a + b = 21

denklemi elde edilir.

Gruptaki toplam müşteri sayısı, tüm ayrık bölgelerin toplamına eşit olduğu için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek

b = 4

ve buradan

a = 17

olarak hesaplanır.

Sadece kırtasiye kategorisinden alışveriş yapanların sayısı olan

a

değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkileri cebirsel olarak modelleme ve Venn şeması bölgelerini harflendirerek çözme yöntemi.

Soru 136Soru →

A

ve

B

tam sayı kümeleri olmak üzere,

A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 \leq x < 2\}

B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 - y - 6 \leq 0\}

kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre, $C = A \cap B$ ve $D = A \cup B$ olmak üzere, $(A \times B) \setminus (C \times D)$ kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

2

6

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 6'dır.

Bir

(x, y)

sıralı ikilisinin

(A \times B) \setminus (C \times D)

kümesinde bulunması için

(x, y) \in (A \times B)

ve

(x, y) \notin (C \times D)

olmalıdır.

y \in B

olduğu sürece

D = A \cup B

tanımı gereği

y \in D

ifadesi her zaman doğrudur. Bu durumda, elemanın

C \times D

kümesinde yer almaması ancak

x \notin C

olmasıyla mümkündür.

x \in A

ve

x \notin C

koşulu

x \in A \setminus C

anlamına gelir.

A \setminus C = A \setminus (A \cap B) = A \setminus B = \{-3\}

'tür.

x = -3

için

y

elemanı

B

kümesinin tüm elemanları (6 adet) olabileceğinden, kümenin eleman sayısı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1

A

k��mesinin elemanlarını belirleme

A = \{-3, -2, -1, 0, 1\}

ve

s(A) = 5

-3 \leq x < 2

aralığındaki tam sayılar listelenir.

2

B

kümesinin elemanlarını belirleme

y^2 - y - 6 \leq 0 \implies (y - 3)(y + 2) \leq 0 \implies -2 \leq y \leq 3

olduğundan

B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

ve

s(B) = 6

İkinci dereceden eşitsizliğin kökleri bulunarak çözüm aralığındaki tam sayılar belirlenir.

3

C = A \cap B

ve

D = A \cup B

kümelerini oluşturma

C = \{-2, -1, 0, 1\}

ve

D = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

A

ve

B

kümelerinin kesişim ve birleşim işlemleri uygulanır.

4

(A \times B) \setminus (C \times D)

kümesinin eleman sayısını hesaplama

(x, y) \in A \times B

elemanlarından

y \in B \subseteq D

olduğu için, bu elemanların

C \times D

kümesinde yer almaması için tek koşul

x \notin C

olmasıdır.

x \in A \setminus C \implies x \in \{-3\}

olur. Dolayısıyla

x = -3

için

y

değeri

B

kümesinin herhangi bir elemanı olabilir. Bu durumda

1 \times s(B) = 1 \times 6 = 6

eleman bulunur.

Kartezyen çarpımın fark kümesi tanımı ve eleman özellikleri uygulanır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme İşlemleri

Alternatif Yöntem

(A \times B) \setminus (C \times D)

ifadesinde

C = A \cap B

ve

D = A \cup B

tanımları yerine yazıldığında, fark kümesinin elemanlarının birinci bileşeni

A \setminus C = A \setminus (A \cap B) = A \setminus B = \{-3\}

kümesinden, ikinci bileşeni ise

B

kümesinden seçilmelidir. Bu durum doğrudan

\{-3\} \times B

kartezyen çarpım kümesine karşılık gelir. Buradan eleman sayısı

s(\{-3\}) \times s(B) = 1 \times 6 = 6

olarak kolayca bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 137Soru →

Bir spor kulübünde tenis ( $T$ ), yüzme ( $Y$ ) ve koşu ( $K$ ) branşlarından en az birini yapan sporcular bulunmaktadır. Bu sporcularla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Yüzme yapan her sporcu tenis de yapmaktadır.
* Koşu yapan sporcuların hiçbiri yüzme yapmamaktadır.
* Sadece tenis yapan sporcu sayısı, hem tenis hem koşu yapan sporcu sayısının $2$ katıdır.
* Bu kulüpte yüzme yapan $12$ , koşu yapan $15$ sporcu bulunmaktadır.

Kulüpteki toplam sporcu sayısı $35$ olduğuna göre, tenis yapan sporcu sayısı kaçtır?

20

24

26

28

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Tenis yapan sporcu sayısı 24'tür.

Verilen bilgilere göre yüzme kümesi tenisin alt kümesidir ve koşu kümesiyle kesişimi boştur. Kümeler ayrıştırıldığında sadece tenis yapanların sayısı 8, hem tenis hem koşu yapanların sayısı 4 ve yüzme yapanların sayısı 12 olarak bulunur. Bu üç grubun toplamı tenis yapanların sayısını verir: 12 + 8 + 4 = 24.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeler arasındaki ilişkileri belirlemek ve eleman sayılarını değişkenlerle ifade etmek.

Yüzme yapan her sporcu tenis de yaptığı için

Y \subseteq T

olur. Koşu yapanların hiçbiri yüzme yapmadığı için

Y \cap K = \emptyset

olur. Sadece tenis yapanların sayısını

z

, hem tenis hem koşu yapanların sayısını

x

, sadece koşu yapanların sayısını

y

ile gösterelim. Bu durumda

z = 2x

olur.

Soruda verilen küme ilişkilerini matematiksel olarak modellemek için.

2

Koşu yapan sporcu sayısı ve toplam sporcu sayısı denklemlerini yazarak bilinmeyenleri çözmek.

Koşu yapanların sayısı:

s(K) = x + y = 15

olur. Toplam sporcu sayısı tüm bölgelerin toplamıdır:

s(Y \cup T \cup K) = s(Y) + z + x + y = 35 \implies 12 + z + (x + y) = 35 \implies 12 + z + 15 = 35 \implies 27 + z = 35 \implies z = 8

bulunur.

Verilen toplam sporcu sayısı ve koşu yapan sporcu sayısı değerlerini kullanarak sadece tenis yapanların sayısını bulmak için.

3

Kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak ve tenis yapan toplam sporcu sayısını hesaplamak.

z = 2x \implies 8 = 2x \implies x = 4

olur. Tenis yapan sporcu sayısı:

s(T) = s(Y) + z + x = 12 + 8 + 4 = 24

olarak bulunur.

İstenen tenis yapan toplam sporcu sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim, birleşim ve alt küme özellikleri kullanılarak eleman sayısı problemlerinin çözümü.

Soru 138Soru →

a, b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

\begin{aligned} p&: a \cdot b \text{ çift sayıdır.} \\ q&: b + c \text{ tek sayıdır.} \\\ r&: a + c \text{ tek sayıdır.} \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

(p \Rightarrow q) \lor r

bileşik önermesinin doğruluk değeri

0

olduğuna göre;

I. $a + b$ çift sayıdır.
II. $a \cdot c$ tek sayıdır.
III. $b - c$ çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.

Verilen bileşik önerme ancak ve ancak bileşenlerinin her ikisi de yanlış olduğunda 0 değerini alan bir veya bağlacı içerir. Buradan

p \Rightarrow q

ifadesinin 0 ve

r

ifadesinin 0 olduğu görülür. İse bağlacının 0 olması için ise ilk önermenin doğru, ikincinin yanlış olması gerekir. Bu durumda

p

doğru (1),

q

yanlış (0) ve

r

yanlış (0) olur. Buna göre

b+c

ve

a+c

toplamları çift,

a \cdot b

çarpımı ise çifttir. Toplamlarının çift olması

a

,

b

ve

c

sayılarının aynı türden (hepsi tek ya da hepsi çift) olduğunu gösterir. Çarpımları çift olduğuna göre bu sayıların tamamı çift olmalıdır. Buradan hareketle çift sayıların toplamı ve farkı çift olduğundan birinci ve üçüncü ifadelerin doğru, çarpımları çift olacağından ikinci ifadenin yanlış olduğu belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerinden bileşenlerin doğruluk değerlerini belirlemek.

p \Rightarrow q \equiv 0

ve

r \equiv 0

bulunur. Buradan da

p \equiv 1

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

elde edilir.

Veya bağlacının sonucu 0 ise her iki bileşen de 0 olmalıdır. İse bağlacının sonucu 0 ise birinci bileşen 1, ikinci bileşen 0 olmalıdır.

2

p

,

q

ve

r

önermelerinin doğruluk değerlerine göre değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek.

q \equiv 0

olduğundan

b+c

çift,

r \equiv 0

olduğundan

a+c

çifttir. Bu durum

a

,

b

ve

c

sayılarının üçünün de aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olduğunu gösterir.

p \equiv 1

olduğundan

a \cdot b

çift olmalıdır. Dolayısıyla

a

,

b

ve

c

sayılarının tamamı çift sayıdır.

Üç sayı da tek olsaydı çarpımları tek olurdu ve bu durum

p \equiv 1

ile çelişirdi. Bu sebeple tüm değişkenler çift olmak zorundadır.

3

Elde edilen sonuçlara göre verilen ifadelerin doğruluk durumlarını denetlemek.

a

ve

b

çift olduğundan

a+b

çifttir (I doğru).

a

ve

c

çift olduğundan

a \cdot c

çifttir, tek değildir (II yanlış).

b

ve

c

çift olduğundan

b-c

çifttir (III doğru).

Çift sayıların toplamı ve farkı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin mantıksal bağlaçlar yardımıyla bulunması ve bu değerlerin temel matematiksel özelliklerle ilişkilendirilmesi.

Soru 139Soru →

Elemanları tam sayılardan oluşan

A

ve

B

kümeleri,

A = \{a \in \mathbb{Z} : 5 < a^2 \leq 50\}

B = \{b \in \mathbb{Z} : |b - 2| \leq 4\}

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

A \times B

kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan

(a, b)

sıralı ikililerinden kaç tanesinde

a \cdot b \geq 0

eşitsizliği sağlanır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Koşulu sağlayan

(a, b)

sıralı ikililerinin sayısı 50'dir.

Doğru yanıt 50'dir. A kümesinin eleman sayısı 10 (5 pozitif, 5 negatif) ve B kümesinin eleman sayısı 9 (6 pozitif, 2 negatif, 1 sıfır) olarak bulunur.

a \cdot b \geq 0

koşulunu sağlayan durumlar:

b=0

için 10 adet

(a, 0)

ikilisi;

a

ve

b

'nin her ikisinin de pozitif olduğu

5 \times 6 = 30

adet ikili; her ikisinin de negatif olduğu

5 \times 2 = 10

adet ikilidir. Toplamda

10 + 30 + 10 = 50

farklı sıralı ikili elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

5 < a^2 \leq 50

eşitsizliğini sağlayan

a

tam sayılarını bulma

A = \{-7, -6, -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7\}

ve

s(A) = 10

A kümesinin eleman sayısını ve pozitif/negatif elemanlarının dağılımını belirlemek için

2

|b - 2| \leq 4

eşitsizliğini sağlayan

b

tam sayılarını bulma

B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

ve

s(B) = 9

B kümesinin eleman sayısını, pozitif/negatif elemanlarını ve sıfır elemanını belirlemek için

3

a \cdot b \geq 0

koşulunu sağlayan ikilileri üç ayrı durumda (sıfır olma, pozitif olma ve negatif olma durumları) hesaplama

Sıfır olan 10 ikili, pozitif olan 30 ikili, negatif olan 10 ikili

Çarpımın sıfır veya sıfırdan büyük olması için bileşenlerin işaretlerinin aynı olması veya en az birinin sıfır olması gerektiğinden

4

Bulunan tüm durumlardaki ikili sayılarını toplama

50

Tüm olasılıkları birleştirerek toplam geçerli ikili sayısına ulaşmak için

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Sıralı İkililer

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 140Soru →

Bir kütüphanedeki kitaplar;
* Roman olanlar ( $A$ kümesi),
* Türkçe yazılmış olanlar ( $B$ kümesi),
* Sayfa sayısı 200'den fazla olanlar ( $C$ kümesi)
özelliklerine göre sınıflandırılmıştır.

Bu kütüphanedeki tüm kitapların kümesi $E$ evrensel kümesidir.

Buna göre, kütüphanedeki kitaplardan;
"Türkçe yazılmamış romanlar veya sayfa sayısı 200'den fazla olmayan Türkçe yazılmış kitaplar veya roman olmayan sayfa sayısı 200'den fazla kitaplar"
grubuna ait olan tüm kitapların kümesi aşağıdakilerden hangisine her zaman eşittir?

(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B \cap C)

(A \cap B \cap C) \setminus (A \cup B \cup C)

(A \cup B \cup C)' \cup (A \cap B \cap C)

(A \setminus B) \cap (B \setminus C) \cap (C \setminus A)

(A \cup B)' \cup (B \cup C)' \cup (C \cup A)'

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B \cap C)$

Cevap

Roman, Türkçe ve sayfa sayısı 200'den fazla olan kitapların birleşim kümesinden, her üç özelliğe de aynı anda sahip olan kitapların kesişim kümesinin çıkarılmasıyla elde edilen küme

Verilen sözel koşullara göre oluşturulan

(A \setminus B) \cup (B \setminus C) \cup (C \setminus A)

kümesi, Venn şeması üzerinde incelendiğinde her üç kümenin birleşim bölgesinden sadece üçünün ortak kesişim bölgesinin çıkarılmasıyla elde edilen bölgeyi temsil eder. Bu da

(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B \cap C)

ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Sözel ifadeleri küme işlemlerine dönüştürme

"Türkçe yazılmamış romanlar" ifadesi

A \cap B' = A \setminus B

olarak,
"sayfa sayısı 200'den fazla olmayan Türkçe yazılmış kitaplar" ifadesi

B \cap C' = B \setminus C

olarak,
"roman olmayan sayfa sayısı 200'den fazla kitaplar" ifadesi

C \cap A' = C \setminus A

olarak yazılır.

Soruda verilen sözel koşulların matematiksel küme işlemleriyle gösterilmesi gerekir.

2

Kümelerin birleşimini oluşturma

İfadeler "veya" bağlacı ile bağlandığı için aranan küme:

(A \setminus B) \cup (B \setminus C) \cup (C \setminus A)

şeklindedir.

Veya bağlacı kümelerde birleşim işlemine karşılık gelir.

3

Kümeyi Venn şeması üzerinde analiz etme

A \setminus B

bölgesi sadece

A

ve

A \cap C

(kesişim

B

hariç) bölgelerini kapsar.

B \setminus C

bölgesi sadece

B

ve

A \cap B

(kesişim

C

hariç) bölgelerini kapsar.

C \setminus A

bölgesi sadece

C

ve

B \cap C

(kesişim

A

hariç) bölgelerini kapsar.
Bu üç bölgenin birleşimi alındığında,

A \cup B \cup C

birleşim kümesinden sadece her üç kümenin kesiştiği

A \cap B \cap C

bölgesinin taranmadığı görülür.

Elde edilen karmaşık birleşim kümesini sadeleştirmek veya seçeneklerdeki karşılığını bulmak için Venn şeması bölgelerini analiz etmek en pratik yöntemdir.

4

Eşit olan küme ifadesini belirleme

Şemadan görüleceği üzere taranan bölge,

A \cup B \cup C

kümesinden

A \cap B \cap C

kümesinin çıkarılmasıyla elde edilen

(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B \cap C)

kümesidir.

Venn şemasında taranan alanın cebirsel ifadesini seçeneklerle eşleştirmek için fark işlemi kullanılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin Venn şeması ve cebirsel sembollerle ifadesi

Kümeler ve Mantık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar