Examkin

Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler

113 soru

Tüm türler113Çoktan seçmeli71Sayısal35Eşleştirme7
Soru 41Soru →

Başkatsayıları 11 olan ikinci dereceden tam sayı katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için,

P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x)

çarpım polinomunun x3x^3 lü teriminin katsayısı −4-4, xx li teriminin katsayısı 1010 ve sabit terimi −8-8 dir.

Buna göre, P(x)+Q(x)P(x) + Q(x) toplam polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Toplam polinomunun katsayılar toplamı -4'tür.
Verilen katsayı bağıntıları ve tam sayı katsayı sınırlaması kullanıldığında polinomlar P(x)=x2−3x+2P(x) = x^2 - 3x + 2 ve Q(x)=x2−x−4Q(x) = x^2 - x - 4 olarak belirlenir. Bu polinomların toplamı olan 2x2−4x−22x^2 - 4x - 2 polinomunun katsayılar toplamı −4-4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomları tanımlama ve çarpım polinomunu oluşturma
P(x)=x2+ax+bP(x) = x^2 + ax + b ve Q(x)=x2+cx+dQ(x) = x^2 + cx + d (a,b,c,d∈Za, b, c, d \in \mathbb{Z}) olsun. Bu iki polinomun çarpımı:
P(x)⋅Q(x)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bdP(x) \cdot Q(x) = x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd
olarak elde edilir.
Çarp��m polinomunun terim katsayıları ile polinomların kendi katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Katsayı eşitliklerini kurma
x3x^3 lü terimin katsayısı: a+c=−4a+c = -4
xx li terimin katsayısı: ad+bc=10ad+bc = 10
Sabit terim: bd=−8bd = -8
Soruda verilen sayısal katsayı değerlerini değişkenler cinsinden ifade etmek için.
3
Tam sayı katsayı koşulu ile denklem sistemini çözme
bd=−8bd = -8 eşitliğini sağlayan tam sayı bölen çiftlerini deneriz. b=2b = 2 ve d=−4d = -4 durumunu ele alalım:
ad+bc=10  ⟹  −4a+2c=10  ⟹  −2a+c=5ad + bc = 10 \implies -4a + 2c = 10 \implies -2a + c = 5 olur.
a+c=−4  ⟹  c=−4−aa + c = -4 \implies c = -4 - a eşitliğini yerine koyarsak:
−2a+(−4−a)=5  ⟹  −3a=9  ⟹  a=−3-2a + (-4 - a) = 5 \implies -3a = 9 \implies a = -3 bulunur.
Buradan c=−1c = -1 elde edilir. Hem aa hem de cc tam sayı çıktığından koşullar sağlanır. Diğer bölen çiftleri denendiğinde rasyonel katsayılar elde edilir.
Polinom katsayılarının tam sayı olması koşulu, bd=−8bd = -8 denkleminin çözüm kümesini sınırlar.
4
Toplam polinomunun katsayılar toplamını bulma
P(x)=x2−3x+2P(x) = x^2 - 3x + 2 ve Q(x)=x2−x−4Q(x) = x^2 - x - 4 polinomlarının toplamı P(x)+Q(x)=2x2−4x−2P(x) + Q(x) = 2x^2 - 4x - 2 olur.
Katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılır:
P(1)+Q(1)=2(1)2−4(1)−2=−4P(1) + Q(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 2 = -4 olarak hesaplanır.
Bir polinomun katsayılar toplamı, o polinomda değişken yerine 1 yazılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Polinomlarda çarpma ve toplama işlemleri ile katsayı ilişkileri
Soru 42Soru →

xx, yy ve zz gerçel sayıları için

x+y+z=3x + y + z = 3
x2+y2+z2=7x^2 + y^2 + z^2 = 7
x3+y3+z3=15x^3 + y^3 + z^3 = 15

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x4+y4+z4x^4 + y^4 + z^4 ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Doğru yanıt 35 olan seçenektir.
Verilen üç terimli ifadelerin kareleri ve küp toplamları ile ilgili temel özdeşlikler sırasıyla uygulanır. İlk olarak, x+y+z=3x+y+z = 3 ve x2+y2+z2=7x^2+y^2+z^2 = 7 eşitliklerinden yararlanarak (x+y+z)2(x+y+z)^2 açılımı yazılır ve buradan ikişerli çarpımların toplamı xy+yz+zx=1xy+yz+zx = 1 olarak elde edilir. İkinci adımda, x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) özdeşliği kullanılarak üçlü çarpım xyz=−1xyz = -1 olarak bulunur. Üçüncü adımda, ikişerli çarpımların karesi olan (xy+yz+zx)2(xy+yz+zx)^2 ifadesinin açılımından x2y2+y2z2+z2x2=7x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 7 sonucuna ulaşılır. Son adımda ise kareler toplamının karesi alınarak (x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2(x2y2+y2z2+z2x2)(x^2+y^2+z^2)^2 = x^4+y^4+z^4 + 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) eşitliği kurulur ve buradan x4+y4+z4=35x^4+y^4+z^4 = 35 olarak doğru yanıt elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
(x+y+z)2(x+y+z)^2 açılımı kullanılarak xy+yz+zxxy+yz+zx ifadesinin değerini bulmak.
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)
32=7+2(xy+yz+zx)3^2 = 7 + 2(xy+yz+zx)
9=7+2(xy+yz+zx)  ⟹  xy+yz+zx=19 = 7 + 2(xy+yz+zx) \implies xy+yz+zx = 1
Daha sonraki adımlarda kullanılacak olan ikişerli çarpımların toplamını elde etmek için tam kare özdeşliğinden yararlanılır.
2
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) özdeşliği kullanılarak xyzxyz çarpımını bulmak.
15−3xyz=3⋅(7−1)15 - 3xyz = 3 \cdot (7 - 1)
15−3xyz=3⋅6=1815 - 3xyz = 3 \cdot 6 = 18
−3xyz=3  ⟹  xyz=−1-3xyz = 3 \implies xyz = -1
Dördüncü kuvvetlerin toplamına ulaşmak için x2y2+y2z2+z2x2x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 ifadesine ihtiyaç vardır, bu ifadenin açılımında ise xyzxyz çarpımı yer alır.
3
(xy+yz+zx)2(xy+yz+zx)^2 açılımı kullanılarak x2y2+y2z2+z2x2x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 ifadesinin değerini bulmak.
(xy+yz+zx)2=x2y2+y2z2+z2x2+2xyz(x+y+z)(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)
12=x2y2+y2z2+z2x2+2⋅(−1)⋅31^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 3
1=x2y2+y2z2+z2x2−6  ⟹  x2y2+y2z2+z2x2=71 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 - 6 \implies x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 7
Dördüncü kuvvetlerin toplamını bulmak için gerekli olan kareler toplamının ikişerli çarpımlarını elde etmek amacıyla ikişerli çarpımların karesi alınır.
4
(x2+y2+z2)2(x^2+y^2+z^2)^2 açılımını kullanarak x4+y4+z4x^4+y^4+z^4 ifadesinin değerini hesaplamak.
(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2(x2y2+y2z2+z2x2)(x^2+y^2+z^2)^2 = x^4+y^4+z^4 + 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)
72=x4+y4+z4+2⋅77^2 = x^4+y^4+z^4 + 2 \cdot 7
49=x4+y4+z4+14  ⟹  x4+y4+z4=3549 = x^4+y^4+z^4 + 14 \implies x^4+y^4+z^4 = 35
İkinci dereceden terimlerin toplamının karesini alarak doğrudan istenen dördüncü kuvvetler toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üç terimli ifadelerin karelerinin açılımı ve küp toplamı özdeşliklerinin zincirleme olarak kullanılması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 43Soru →
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denkleminin sıfırdan farklı gerçel kökleri aa ve bb'dir. Buna göre, kökleri a+1ba + \frac{1}{b} ve b+1ab + \frac{1}{a} olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x2−20x+16=03x^2 - 20x + 16 = 0

Cevap

3x2−20x+16=03x^2 - 20x + 16 = 0
Doğru cevap olan denklem, köklerin toplamının 203\frac{20}{3} ve çarpımının 163\frac{16}{3} olarak hesaplanıp ikinci dereceden denklem şablonu olan x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülüne yerleştirilmesi ve paydaların eşitlenmesiyle elde edilen 3x2−20x+16=03x^2 - 20x + 16 = 0 ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal denklemin kökler toplamı ve kökler çarpımı değerlerini belirleyin.
a+b=5a+b = 5 ve ab=3ab = 3 olarak bulunur.
Yeni kurulacak denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını hesaplamak amacıyla, temel değişkenlerin toplam ve çarpım değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.
2
Yeni denklemin kökleri olan x1=a+1bx_1 = a + \frac{1}{b} ve x2=b+1ax_2 = b + \frac{1}{a} ifadelerinin toplamını (SS) hesaplayın.
S=x1+x2=(a+b)+a+bab=5+53=203S = x_1 + x_2 = (a+b) + \frac{a+b}{ab} = 5 + \frac{5}{3} = \frac{20}{3} elde edilir.
İkinci dereceden bir denklem oluşturulurken x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülündeki SS (kökler toplamı) katsayısını bulmak gerekir.
3
Yeni denklemin köklerinin çarpımını (PP) hesaplayın.
P=x1⋅x2=(a+1b)(b+1a)=ab+2+1ab=3+2+13=163P = x_1 \cdot x_2 = \left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{1}{a}\right) = ab + 2 + \frac{1}{ab} = 3 + 2 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} elde edilir.
Oluşturulacak denklemin sabit terimi olan PP (kökler çarpımı) katsayısını belirlemek gerekir.
4
Kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan denklemi x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülü yardımıyla yazıp tam katsayılı hale getirin.
x2−203x+163=0  ⟹  3x2−20x+16=0x^2 - \frac{20}{3}x + \frac{16}{3} = 0 \implies 3x^2 - 20x + 16 = 0 denklemi elde edilir.
Rasyonel katsayılı terimlerden kurtulmak amacıyla tüm denklem paydadaki değer olan 3 ile çarpılarak tam katsayılı standart forma dönüştürülür.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı, kökler çarpımı formülleri ve kökleri bilinen denklemin yazılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 44Soru →

P(x+1)=x2+3x+aP(x+1) = x^2 + 3x + a polinomu veriliyor. P(x)P(x) polinomunun x−3x - 3 ile bölümünden kalan 1515 olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a'nın değeri 5'tir.
Polinom kalan teoremine göre, P(x)P(x) polinomunun x−3x - 3 ile bölümünden kalan P(3)P(3)'tür ve bu değer 1515'e eşittir. Verilen P(x+1)P(x+1) eşitliğinde P(3)P(3)'ü elde etmek için x=2x = 2 değeri yazıldığında P(3)=10+aP(3) = 10 + a elde edilir. Bu ifade 1515'e eşitlendiğinde a=5a = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan teoremine göre P(x) polinomunun x - 3 ile bölümünden kalanı ifade edin.
P(3)=15P(3) = 15
Bir polinomun x−kx - k ile bölümünden kalan P(k)P(k) değerine eşittir.
2
P(x+1)P(x+1) tanımında P(3)P(3) değerini elde etmek için xx yerine yazılması gereken değeri belirleyin.
x=2x = 2 yazılmalıdır (x+1=3⇒x=2x+1 = 3 \Rightarrow x = 2).
P(x+1)P(x+1) polinomunda parantez içinin 33 olmasını sağlamak amacıyla.
3
x=2x = 2 değerini polinom eşitliğinde yerine yazarak aa'ya bağlı bir denklem kurun ve aa değerini çözün.
P(3)=22+3(2)+a=10+a⇒10+a=15⇒a=5P(3) = 2^2 + 3(2) + a = 10 + a \Rightarrow 10 + a = 15 \Rightarrow a = 5
Elde edilen P(3)P(3) ifadesini bilinen kalan değeri olan 1515'e eşitlemek için.

Anahtar Kavram

Bir P(x)P(x) polinomunun x−kx - k ile bölümünden kalan P(k)P(k) değeridir.
Soru 45Soru →
P(2x−1)=x3−x2+4P(2x - 1) = x^3 - x^2 + 4

polinomu veriliyor.

Buna göre, P(x+2)P(x+2) polinomunun x+1x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Kalan 4'tür.
Bölme kuralı gereğince P(x+2)P(x+2) polinomunun x+1x+1 ile bölümünden kalanı bulmak için x+1=0⇒x=−1x+1=0 \Rightarrow x=-1 değeri P(x+2)P(x+2) polinomunda yerine yazılır. Bu durumda aradığımız kalan P(−1+2)=P(1)P(-1+2) = P(1) değeridir. Bize verilen P(2x−1)=x3−x2+4P(2x-1) = x^3 - x^2 + 4 eşitliğinde parantez içini 11 yapmak için 2x−1=1⇒x=12x-1=1 \Rightarrow x=1 yazılmalıdır. Eşitlikte xx yerine 11 yazdığımızda P(1)=13−12+4=4P(1) = 1^3 - 1^2 + 4 = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Böleni sıfıra eşitleyerek x yerine yazılması gereken değeri bulma
x+1=0⇒x=−1x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
Bir polinomun x - a ile bölümünden kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir.
2
Kalanı veren P(x) ifadesini belirleme
P(−1+2)=P(1)P(-1+2) = P(1)
Bölünen P(x+2) polinomunda x yerine -1 yazıldığında elde edilen değer kalanı verir.
3
P(1) değerini bulmak için x yerine yazılması gereken değeri bulma
2x−1=1⇒2x=2⇒x=12x - 1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1
Verilen P(2x-1) ifadesinde parantez içini 1 yapmak gerekir.
4
Polinomda x = 1 yazarak kalanı hesaplama
P(1)=13−12+4=4P(1) = 1^3 - 1^2 + 4 = 4
Belirlenen x = 1 değeri polinom formülünde yerine yazılarak kalan değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir polinomun doğrusal bir bölen ile bölümünden kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenerek x değeri bulunur ve bu değer bölünen polinomda yerine yazılır. Bileşke veya dönüştürülmüş polinomlarda bu x değeri polinomun değişkeni yerine yazılarak hangi P(a) değerinin arandığı netleştirilmelidir.
Soru 46Soru →
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0

denkleminin gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2'dir.

Buna göre,

x12x2+1+x22x1+1\frac{x_1^2}{x_2 + 1} + \frac{x_2^2}{x_1 + 1}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
İfadenin paydaları eşitlenip ortak payda altında toplandığında pay kısmında iki kare toplamı (x12+x22x_1^2 + x_2^2) ve iki küp toplamı (x13+x23x_1^3 + x_2^3), payda kısmında ise kökler çarpımı (x1x2x_1 x_2) ile kökler toplamı (x1+x2x_1 + x_2) elde edilir. Kök-katsayı ilişkilerinden x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 ve x1x2=3x_1 x_2 = 3 değerleri yerine konulup cebirsel sadeleştirme yapıldığında doğru sonuç olan 11 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kökler toplamı ve kökler çarpımı değerlerini belirleme
x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 ve x1x2=3x_1 x_2 = 3
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı −ba-\frac{b}{a} ve kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülleriyle hesaplanır. Burada a=1a=1, b=−5b=-5 ve c=3c=3 olduğundan x1+x2=−(−5)/1=5x_1+x_2 = -(-5)/1 = 5 ve x1x2=3/1=3x_1 x_2 = 3/1 = 3 elde edilir.
2
İstenen ifadeyi ortak paydada birleştirme
x12(x1+1)+x22(x2+1)(x1+1)(x2+1)=x13+x12+x23+x22x1x2+x1+x2+1\frac{x_1^2(x_1 + 1) + x_2^2(x_2 + 1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} = \frac{x_1^3 + x_1^2 + x_2^3 + x_2^2}{x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1}
İki rasyonel ifadenin toplamını hesaplamak için paydaları eşitleyip ortak payda altında toplarız.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri kökler toplamı (x1+x2x_1+x_2) ve kökler çarpımı (x1x2x_1 x_2) cinsinden yazma
x12+x22=19x_1^2 + x_2^2 = 19, x13+x23=80x_1^3 + x_2^3 = 80 ve payda =9= 9
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=52−2(3)=19x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 5^2 - 2(3) = 19 olur. x13+x23=(x1+x2)(x12−x1x2+x22)=5(19−3)=80x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = 5(19 - 3) = 80 olur. Payda ise x1x2+(x1+x2)+1=3+5+1=9x_1 x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = 3 + 5 + 1 = 9 olur.
4
Değerleri yerine yazarak sonucu hesaplama
80+199=999=11\frac{80 + 19}{9} = \frac{99}{9} = 11
Bulunan değerler ifadede yerine yazıldığında pay 9999, payda ise 99 bulunur ve bölüm sonucu 1111 elde edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde köklerin toplamı ve çarpımı yardımıyla simetrik cebirsel ifadelerin değerini bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 47Soru →
Gerçel katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için,
P(x)−x⋅Q(x)=3x−2P(x) - x \cdot Q(x) = 3x - 2
P(x)+Q(x)=x2+5x−1P(x) + Q(x) = x^2 + 5x - 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) çarpım polinomunun x2x^2 li teriminin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Polinomların doğru katsayıları belirlendikten sonra yapılan çarpma işleminde x2x^2 li terimin katsayısı 5 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminden P(x)=x2+4x−2P(x) = x^2 + 4x - 2 ve Q(x)=x+1Q(x) = x + 1 polinomları elde edilir. Bu iki polinom çarpıldığında x2x^2 li terimin katsayısı 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların derecelerini belirlemek için verilen denklemleri analiz edin.
Q(x)Q(x) polinomunun derecesi 1, P(x)P(x) polinomunun derecesi ise 2 olmalıdır.
P(x)+Q(x)P(x) + Q(x) toplam polinomunun derecesinin 2 olması ve P(x)−x⋅Q(x)P(x) - x \cdot Q(x) polinomunun derecesinin 1 olması ancak bu derece dağılımıyla mümkündür.
2
P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c ve Q(x)=dx+eQ(x) = dx + e genel formlarını yazıp toplam ve fark denklemlerinde yerine koyun.
a=1a = 1, b+d=5b + d = 5, c+e=−1c + e = -1 ve a−d=0a - d = 0, b−e=3b - e = 3, c=−2c = -2 denklemleri elde edilir.
Polinomların eşitliği kuralına göre, eşit dereceli terimlerin katsayıları karşılıklı olarak eşit olmalıdır.
3
Elde edilen katsayı denklemlerini çözerek bilinmeyenleri bulun.
a=1a = 1, d=1d = 1, c=−2c = -2, e=1e = 1, b=4b = 4 bulunur. Buradan P(x)=x2+4x−2P(x) = x^2 + 4x - 2 ve Q(x)=x+1Q(x) = x + 1 elde edilir.
Bulunan katsayılar tüm denklem sistemini tutarlı bir şekilde sağlar.
4
P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) çarpımındaki x2x^2 li terimi bulun.
x2⋅1+4x⋅x=5x2x^2 \cdot 1 + 4x \cdot x = 5x^2 terimi elde edilir, katsayısı 5'tir.
P(x)⋅Q(x)=(x2+4x−2)(x+1)P(x) \cdot Q(x) = (x^2 + 4x - 2)(x + 1) çarpımında x2x^2 terimini veren terimler çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri ile polinom eşitliği kullanılarak katsayıların belirlenmesi.
Soru 48Soru →
P(x)=x24k+2xk−3+5P(x) = x^{\frac{24}{k}} + 2x^{k-3} + 5
Q(x)=3x10−k−xk2+1Q(x) = 3x^{10-k} - x^{\frac{k}{2}} + 1

ifadeleri birer polinomdur. Bu koşulları sağlayan en büyük kk tam sayısı için P(x)P(x) polinomunun derecesi aa, en küçük kk tam sayısı için Q(x)Q(x) polinomunun derecesi bb olarak belirleniyor.

Buna göre, derecesi aa olan bir R(x)R(x) polinomu ve derecesi bb olan bir S(x)S(x) polinomu için
der[R(x2⋅S(x))]\text{der}[R(x^2 \cdot S(x))]

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40 değeri doğru cevaptır.
Polinom tanımından yola çıkarak kk değişkeninin alabileceği değerler kümesi {4,6,8}\{4, 6, 8\} olarak bulunur. En büyük k=8k = 8 için P(x)P(x) derecesi a=5a = 5, en küçük k=4k = 4 için Q(x)Q(x) derecesi b=6b = 6 olur. Derece kuralları uygulandığında R(x2⋅S(x))R(x^2 \cdot S(x)) polinomunun derecesi 5⋅(2+6)=405 \cdot (2 + 6) = 40 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)P(x) ifadesinin polinom belirtmesi için gerekli kk koşullarını belirlemek.
kk sayısı 24'ün pozitif böleni olmalıdır ve k−3≥0  ⟹  k≥3k - 3 \geq 0 \implies k \geq 3 olmalıdır. Dolayısıyla k∈{3,4,6,8,12,24}k \in \{3, 4, 6, 8, 12, 24\} olur.
Polinomlarda terimlerin üsleri doğal sayı olmak zorundadır.
2
Q(x)Q(x) ifadesinin polinom belirtmesi için gerekli kk koşullarını belirlemek ve ortak küme oluşturmak.
10−k≥0  ⟹  k≤1010 - k \geq 0 \implies k \leq 10 ve k/2∈Nk/2 \in \mathbb{N} olmalıdır (yani kk çift olmalıdır). P(x)P(x)'ten gelen küme ile kesiştirildiğinde ortak kk değerleri {4,6,8}\{4, 6, 8\} bulunur.
Polinom olma şartı her iki ifade için de aynı anda sağlanmalıdır.
3
aa ve bb değerlerini hesaplamak.
En büyük k=8k = 8 için P(x)=x3+2x5+5  ⟹  der[P(x)]=a=5P(x) = x^3 + 2x^5 + 5 \implies \text{der}[P(x)] = a = 5 olur. En küçük k=4k = 4 için Q(x)=3x6−x2+1  ⟹  der[Q(x)]=b=6Q(x) = 3x^6 - x^2 + 1 \implies \text{der}[Q(x)] = b = 6 olur.
Polinom derecesi, en büyük üsse sahip terimin üssüdür.
4
der[R(x2⋅S(x))]\text{der}[R(x^2 \cdot S(x))] değerini bulmak.
der[S(x)]=6\text{der}[S(x)] = 6 olduğundan der[x2⋅S(x)]=2+6=8\text{der}[x^2 \cdot S(x)] = 2 + 6 = 8 olur. der[R(x)]=5\text{der}[R(x)] = 5 olduğundan der[R(x2⋅S(x))]=5⋅8=40\text{der}[R(x^2 \cdot S(x))] = 5 \cdot 8 = 40 elde edilir.
Bileşke polinomun derecesi, dıştaki polinomun derecesi ile içteki ifadenin derecesinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Polinom tanımı, polinom derecesi ve derece işlem özellikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 49Soru →
x2−6x+a=0x^2 - 6x + a = 0 denkleminin gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir.
(x1+1)(x2+1)=12(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 12

olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen (x1+1)(x2+1)=12(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 12 ifadesi açıldığında x1⋅x2+(x1+x2)+1=12x_1 \cdot x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = 12 bağıntısı elde edilir. x2−6x+a=0x^2 - 6x + a = 0 denkleminde kökler toplamı 66 ve kökler çarpımı aa olduğundan, bu değerler denklemde yerine yazılarak a+6+1=12⇒a=5a + 6 + 1 = 12 \Rightarrow a = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (x1+1)(x2+1)=12(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 12 ifadesini dağıtarak düzenleyelim.
x1⋅x2+x1+x2+1=12x_1 \cdot x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 12 elde edilir.
Kökler toplamı (x1+x2x_1 + x_2) ve kökler çarpımı (x1⋅x2x_1 \cdot x_2) ifadelerini ortaya çıkarmak için çarpma işlemini gerçekleştiririz.
2
x2−6x+a=0x^2 - 6x + a = 0 denkleminin kök-katsayı ilişkilerini belirleyelim.
x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 ve x1⋅x2=ax_1 \cdot x_2 = a olur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −ba-\frac{b}{a} ve kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülleriyle bulunur.
3
Bulduğumuz değerleri birinci adımdaki eşitlikte yerine yazarak aa değerini bulalım.
a+6+1=12⇒a+7=12⇒a=5a + 6 + 1 = 12 \Rightarrow a + 7 = 12 \Rightarrow a = 5 elde edilir.
Elde edilen kök toplamı ve çarpımı değerlerini denklemde yerine koyarak bilinmeyen katsayıyı hesaplarız.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı ve kökler çarpımı yardımıyla katsayı bulma.
Soru 50Soru →
xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
x−2x=5x - \frac{2}{x} = 5
olduğuna göre, x2+4x2x^2 + \frac{4}{x^2} toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

İfadenin değeri 29 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında elde edilen denklem x2−4+4x2=25x^2 - 4 + \frac{4}{x^2} = 25 şeklindedir. Burada yer alan −4-4 değeri eşitliğin sağ tarafına toplama işlemi olarak aktarıldığında istenen toplamın değeri 29 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alın.
(x−2x)2=52(x - \frac{2}{x})^2 = 5^2
İfadede x2x^2 ve 4x2\frac{4}{x^2} terimlerini elde etmek amacıyla her iki tarafın karesi alınır.
2
Sol tarafı (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 tam kare açılımı kuralına göre açın.
x2−2⋅x⋅2x+(2x)2=25x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 25
İki terimin farkının karesi özdeşliği uygulanır.
3
Orta terimdeki xx çarpanlarını sadeleştirin ve kare alma işlemini tamamlayın.
x2−4+4x2=25x^2 - 4 + \frac{4}{x^2} = 25
xx ile 2x\frac{2}{x} çarpıldığında xx değerleri sadeleşir ve çarpımın iki katından −4-4 sabit sayısı elde edilir.
4
Eşitliğin her iki tarafına 4 ekleyerek istenen ifadeyi yalnız bırakın.
x2+4x2=29x^2 + \frac{4}{x^2} = 29
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için −4-4 sayısı karşı tarafa +4+4 olarak geçirilir.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği (İki Terimin Farkının Karesi)
Soru 51Soru →

kk bir gerçel sayı olmak üzere,

x2−(k−1)x−k+1=0x^2 - (k-1)x - k + 1 = 0

denkleminin gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir.

x12⋅x2+x1⋅x22+2x1+2x2=−8x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2 + 2x_1 + 2x_2 = -8

olduğuna göre, kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

k sayısı 5 olmalıdır.
Verilen ifadeyi ortak paranteze aldığımızda (x1x2+2)(x1+x2)=−8(x_1 x_2 + 2)(x_1 + x_2) = -8 elde edilir. Kökler toplamı k−1k-1 ve kökler çarpımı −(k−1)-(k-1) olduğundan, k−1=tk-1 = t dönüşümüyle t2−2t−8=0t^2 - 2t - 8 = 0 denklemi bulunur. Bu denklemin çözümü olan t=4t=4 değeri için k=5k=5 elde edilir ve bu değer denklemin diskriminantını pozitif yaptığı için gerçel kök şartını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
x12⋅x2+x1⋅x22+2x1+2x2=x1x2(x1+x2)+2(x1+x2)=(x1x2+2)(x1+x2)=−8x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2 + 2x_1 + 2x_2 = x_1 x_2(x_1 + x_2) + 2(x_1 + x_2) = (x_1 x_2 + 2)(x_1 + x_2) = -8
Kökler toplamı (x1+x2x_1 + x_2) ve kökler çarpımı (x1x2x_1 x_2) ifadelerini doğrudan yerine yazabilmek için.
2
İkinci dereceden denklemin katsayılarını kullanarak kökler toplamı ve kökler çarpımını kk cinsinden ifade edin.
x1+x2=−−(k−1)1=k−1x_1 + x_2 = -\frac{-(k-1)}{1} = k-1 ve x1x2=−k+11=−(k−1)x_1 x_2 = \frac{-k+1}{1} = -(k-1)
Kök-katsayı ilişkisini kurarak değişken sayısını bire indirmek için.
3
k−1=tk-1 = t dönüşümü yaparak elde edilen ifadeleri birinci adımda bulduğumuz eşitlikte yerine yazın.
(−t+2)⋅t=−8  ⟹  −t2+2t+8=0  ⟹  t2−2t−8=0(-t + 2) \cdot t = -8 \implies -t^2 + 2t + 8 = 0 \implies t^2 - 2t - 8 = 0
tt değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde etmek için.
4
Ende edilen denklemi çarpanlarına ayırarak tt ve buna bağlı olarak kk değerlerini bulun.
(t−4)(t+2)=0  ⟹  t=4 veya t=−2(t-4)(t+2) = 0 \implies t = 4 \text{ veya } t = -2. k=t+1k = t + 1 olduğundan, k=5k = 5 veya k=−1k = -1 bulunur.
Cebirsel eşitliği sağlayan tüm olası aday değerleri belirlemek için.
5
Bulunan kk değerleri için denklemin diskriminantını (Δ\Delta) inceleyerek gerçel köklerin varlığını kontrol edin.
Δ=(k−1)2−4(−k+1)=(k−1)(k+3)\Delta = (k-1)^2 - 4(-k+1) = (k-1)(k+3). k=5k=5 için Δ=4⋅8=32>0\Delta = 4 \cdot 8 = 32 > 0 (gerçel kökler var). k=−1k=-1 için Δ=(−2)⋅2=−4<0\Delta = (-2) \cdot 2 = -4 < 0 (gerçel kökler yok, karmaşık kökler var).
Soruda köklerin gerçel olduğu belirtildiğinden, diskriminantın sıfırdan büyük veya eşit olması şartını sağlayan tek değeri seçmek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (−b/a-b/a) ve kökler çarpımı (c/ac/a) formüllerinin gerçel kök şartı (Δ≥0\Delta \ge 0) ile birlikte uygulanması.
Soru 52Soru →

Bir P(x)=x3−3x2+ax−5P(x) = x^3 - 3x^2 + ax - 5 polinomu veriliyor. P(x)P(x) polinomunun x−2x - 2 ile bölümünden kalan −7-7 olduğuna göre, aa katsayısının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Aranan aa katsayısının değeri 1'dir.
Kalan teoremi uyarınca, P(x)P(x) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan P(2)P(2) değeridir. P(2)=23−3⋅22+2a−5=2a−9P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2a - 5 = 2a - 9 olur. Kalan −7-7 olarak verildiğinden 2a−9=−72a - 9 = -7 eşitliği yazılır ve buradan a=1a = 1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bölen ifadeyi sıfıra eşitleyerek polinomda yerine yazılacak xx değerini bulunuz.
x−2=0  ⟹  x=2x - 2 = 0 \implies x = 2 olduğundan kalan P(2)P(2) değerine eşittir.
Kalan teoremine göre bir polinomun x−kx - k ile bölümünden kalan, polinomun x=kx = k noktasındaki değeridir.
2
P(x)P(x) polinomunda xx yerine 22 yazarak kalanı aa değişkeni türünden ifade ediniz.
P(2)=23−3(22)+a(2)−5=8−12+2a−5=2a−9P(2) = 2^3 - 3(2^2) + a(2) - 5 = 8 - 12 + 2a - 5 = 2a - 9
Polinomda verilen cebirsel ifadeyi basitleştirmek için xx yerine sayısal değeri yerleştirilir.
3
Elde edilen ifadeyi soruda verilen kalan değeri olan −7-7 sayısına eşitleyerek aa değerini bulunuz.
2a−9=−7  ⟹  2a=2  ⟹  a=12a - 9 = -7 \implies 2a = 2 \implies a = 1
Kalanın −7-7 olduğu soruda belirtilmiştir, bu durum bir bilinmeyenli birinci dereceden denklem çözümü gerektirir.

Anahtar Kavram

Bir P(x)P(x) polinomunun x−kx - k doğrusal ifadesi ile bölümünden kalan P(k)P(k) değerine eşittir.
Soru 53Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için
x−y=3x - y = 3
x⋅y=5x \cdot y = 5

olduğuna göre, x2+y2x^2 + y^2 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
İki terimin farkının karesi özdeşliği olan (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 ifadesinde verilen x−y=3x-y=3 ve x⋅y=5x \cdot y=5 değerleri yerine yazıldığında 9=x2+y2−109 = x^2 + y^2 - 10 eşitliği elde edilir. Buradan −10-10 terimi eşitliğin sol tarafına toplama olarak geçirilerek x2+y2=19x^2 + y^2 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İki terimin farkının karesi özdeşliği yazılır.
(x−y)2=x2−2xy+y2(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
İstenen x2+y2x^2 + y^2 ifadesini verilen x−yx - y ve x⋅yx \cdot y değerleriyle ilişkilendirmek amacıyla bu özdeşlik tercih edilir.
2
Verilen x−y=3x - y = 3 ve x⋅y=5x \cdot y = 5 değerleri özdeşlikte yerine yazılır.
32=x2−2(5)+y2Rightarrow9=x2−10+y23^2 = x^2 - 2(5) + y^2 Rightarrow 9 = x^2 - 10 + y^2
Bilinmeyen ifadenin sayısal değerini hesaplayabilmek için bilinen değerler denklemde yerine konur.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki sabit sayı karşıya atılarak x2+y2x^2 + y^2 yalnız bırakılır.
x2+y2=9+10=19x^2 + y^2 = 9 + 10 = 19
Denklemin sağ tarafındaki −10-10 terimi sol tarafa +10+10 olarak geçirilerek hedef ifadenin değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki terimin farkının karesi özdeşliği: (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
Soru 54Soru →
P(x)=2xm3+x6−m−5P(x) = 2x^{\frac{m}{3}} + x^{6-m} - 5 ve Q(x)=xn−3Q(x) = x^n - 3 ifadeleri birer polinomdur.
der[P(x)⋅Q(x)]=5\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = 5

olduğuna göre, m+nm + n toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

m + n toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 14'tür.
Doğru yanıt olan 14 değeri, polinom olma tanımından elde edilen geçerli m=3,n=2m=3, n=2 (m+n=5m+n=5) ve m=6,n=3m=6, n=3 (m+n=9m+n=9) durumlarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
P(x) ifadesinin bir polinom olması için değişkenlerin üslerinin alması gereken değer aralığını belirlemek.
mm sayısı 3'ün katı olan bir doğal sayı olmalı ve 6−m≥0⇒m≤66-m \ge 0 \Rightarrow m \le 6 koşulunu sağlamalıdır. Buradan m∈{0,3,6}m \in \{0, 3, 6\} elde edilir.
Bir ifadenin polinom belirtmesi için tüm değişkenlerin ��slerinin doğal sayı (yani 0 veya pozitif tam sayı) olması gerekir.
2
Bulunan her bir m değeri için P(x) polinomunun derecesini belirlemek.
m = 0 için P(x)=2x0+x6−5=x6−3P(x) = 2x^0 + x^6 - 5 = x^6 - 3 olup der[P(x)] = 6; m = 3 için P(x)=2x1+x3−5=x3+2x−5P(x) = 2x^1 + x^3 - 5 = x^3 + 2x - 5 olup der[P(x)] = 3; m = 6 için P(x)=2x2+x0−5=2x2−4P(x) = 2x^2 + x^0 - 5 = 2x^2 - 4 olup der[P(x)] = 2 olur.
Bir polinomun derecesi, polinomdaki en büyük üslü terimin üssüdür.
3
der[P(x) * Q(x)] = 5 eşitliğini kullanarak her durum için n derecesini test etmek.
m = 0 için 6+n=5⇒n=−16+n=5 \Rightarrow n=-1 (geçersiz); m = 3 için 3+n=5⇒n=23+n=5 \Rightarrow n=2 (geçerli); m = 6 için 2+n=5⇒n=32+n=5 \Rightarrow n=3 (geçerli) elde edilir.
İki polinomun çarpımının derecesi, bu polinomların derecelerinin toplamına eşittir. Ayrıca Q(x) bir polinom olduğundan n derecesi bir doğal sayı olmalıdır.
4
Geçerli durumlardan elde edilen m + n değerlerini bulup toplamak.
İlk geçerli durumdan m+n=3+2=5m+n = 3+2=5, ikinci geçerli durumdan m+n=6+3=9m+n = 6+3=9 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 5+9=145+9=14 bulunur.
Soruda bizden m + n toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Polinom tanımı ve çarpım polinomunun derecesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 55Soru →
Gerçel katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için,
der[P(x3)⋅Q(x)]=17\text{der}[P(x^3) \cdot Q(x)] = 17
der[P(x2)Q(x)]=8\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 8
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, P(Q(x))P(Q(x)) polinomunun derecesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bileşke polinomun derecesi 10'dur.
Verilen derece özelliklerine göre denklem sistemi kurulup çözüldüğünde P(x)P(x) polinomunun derecesi 5, Q(x)Q(x) polinomunun derecesi 2 olarak bulunur. Bileşke polinomun derecesi ise bu iki derecenin çarpımına eşit olduğundan 5×2=105 \times 2 = 10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların derecelerini sembolik olarak tanımlama.
P(x)P(x) polinomunun derecesi pp ve Q(x)Q(x) polinomunun derecesi qq olsun (p,q∈Np, q \in \mathbb{N}).
Derece kurallarını cebirsel olarak ifade edebilmek için değişken tanımlamamız gerekir.
2
Verilen derece işlemlerini denklemlere dönüştürme.
der[P(x3)⋅Q(x)]=3p+q=17\text{der}[P(x^3) \cdot Q(x)] = 3p + q = 17 ve der[P(x2)Q(x)]=2p−q=8\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 2p - q = 8 denklemleri elde edilir.
der[P(xk)]=k⋅der[P(x)]\text{der}[P(x^k)] = k \cdot \text{der}[P(x)], çarpımın derecesi derecelerin toplamı, bölümün derecesi ise derecelerin farkıdır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.
Denklemleri taraf tarafa topladığımızda: (3p+q)+(2p−q)=17+8⇒5p=25⇒p=5(3p + q) + (2p - q) = 17 + 8 \Rightarrow 5p = 25 \Rightarrow p = 5 bulunur. Birinci denklemde yerine yazarak: 3(5)+q=17⇒15+q=17⇒q=23(5) + q = 17 \Rightarrow 15 + q = 17 \Rightarrow q = 2 bulunur.
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının derecelerini ayrı ayrı bulmak için denklem sistemini çözmemiz gerekir.
4
Bileşke polinomun derecesini hesaplama.
der[P(Q(x))]=der[P(x)]⋅der[Q(x)]=p⋅q=5⋅2=10\text{der}[P(Q(x))] = \text{der}[P(x)] \cdot \text{der}[Q(x)] = p \cdot q = 5 \cdot 2 = 10 olarak bulunur.
Bileşke polinomun derecesi, bileşeni olan polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda derece işlemleri kuralları: Çarpım, bölüm, kuvvet ve bileşke işlemlerinin derecelere etkisi.
Soru 56Soru →
Gerçel katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için,
P(x)⋅Q(x)=2x2−x−3P(x) \cdot Q(x) = 2x^2 - x - 3
P(2x)−2Q(x)=2x−5P(2x) - 2Q(x) = 2x - 5
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, P(Q(3))P(Q(3)) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

P(Q(3)) değeri 5'tir.
Verilen iki polinom denkleminden yararlanılarak her iki polinomun da birinci dereceden olduğu saptanır. Polinomların katsayıları P(x)=ax+bP(x) = ax + b ve Q(x)=cx+dQ(x) = cx + d genel formları üzerinden eşitlikler kurularak çözülür. Elde edilen P(x)=2x−3P(x) = 2x - 3 ve Q(x)=x+1Q(x) = x + 1 polinomları kullanılarak P(Q(3))P(Q(3)) bileşke değeri 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların derecelerini belirlemek.
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının her ikisi de 1. derecedendir.
P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun derecesi 2'dir. Eğer polinomlardan biri 2. dereceden diğeri sabit polinom olsaydı, P(2x)−2Q(x)P(2x) - 2Q(x) ifadesinin derecesi de 2 olurdu. Ancak bu ifade 1. dereceden (2x−52x-5) olduğuna göre her iki polinom da 1. dereceden (doğrusal) olmalıdır.
2
Polinomları genel formda yazıp çarpım ve fark işlemlerini uygulamak.
P(x)=ax+bP(x) = ax + b ve Q(x)=cx+dQ(x) = cx + d olsun.
P(x)⋅Q(x)=acx2+(ad+bc)x+bd=2x2−x−3P(x) \cdot Q(x) = acx^2 + (ad + bc)x + bd = 2x^2 - x - 3
P(2x)−2Q(x)=a(2x)+b−2(cx+d)=(2a−2c)x+(b−2d)=2x−5P(2x) - 2Q(x) = a(2x) + b - 2(cx + d) = (2a - 2c)x + (b - 2d) = 2x - 5
Katsayıları karşılaştırarak denklem sistemleri elde etmek.
3
Katsayılar arasındaki denklem sistemini çözmek.
a=2a = 2, c=1c = 1, b=−3b = -3 ve d=1d = 1 bulunur.
2a−2c=2  ⟹  a−c=12a - 2c = 2 \implies a - c = 1 ve ac=2ac = 2 eşitliklerinden a=2,c=1a=2, c=1 veya a=−1,c=−2a=-1, c=-2 elde edilir. Benzer şekilde b−2d=−5b - 2d = -5 ve bd=−3bd = -3 eşitliklerinden d=1,b=−3d=1, b=-3 veya d=1.5,b=−2d=1.5, b=-2 elde edilir. Bu değerlerden ad+bc=−1ad + bc = -1 koşulunu sağlayan tek ikili a=2,c=1,b=−3,d=1a = 2, c = 1, b = -3, d = 1 durumudur.
4
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarını yazıp P(Q(3))P(Q(3)) değerini hesaplamak.
Q(3)=4Q(3) = 4 ve P(4)=5P(4) = 5 olup, P(Q(3))=5P(Q(3)) = 5 bulunur.
P(x)=2x−3P(x) = 2x - 3 ve Q(x)=x+1Q(x) = x + 1 olduğundan, bileşke işleminde önce içteki Q(3)Q(3) değeri bulunur, ardından bu değer P(x)P(x) polinomunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda çarpma, çıkarma ve derece özellikleri yardımıyla bilinmeyen polinomları belirleme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 57Soru →
x2−(m+1)x+m−2=0x^2 - (m+1)x + m - 2 = 0 denkleminin gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2'dir.
x12x2+x1x22−x1−x2=5x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 - x_1 - x_2 = 5

olduğuna göre, mm sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İki
Verilen ikinci dereceden denklemin kökler toplamı x1+x2=m+1x_1 + x_2 = m + 1 ve kökler çarpımı x1x2=m−2x_1 x_2 = m - 2 olarak bulunur. Sorudaki ifade ortak paranteze alındığında (x1x2−1)(x1+x2)=5(x_1 x_2 - 1)(x_1 + x_2) = 5 halini alır. Kök bağıntıları yerleştirildiğinde (m−3)(m+1)=5(m-3)(m+1) = 5 denklemi, bu da düzenlendiğinde m2−2m−8=0m^2 - 2m - 8 = 0 denklemini verir. Bu denklemi sağlayan gerçel mm değerlerinin toplamı ise kökler toplamı formülüyle iki olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kökler toplamı ve kökler çarpımı bağıntılarını denklem katsayılarına göre belirleyin.
x1+x2=m+1x_1 + x_2 = m + 1 ve x1x2=m−2x_1 x_2 = m - 2
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −b/a-b/a ve kökler çarpımı c/ac/a formülleriyle bulunur.
2
Soruda verilen cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
x12x2+x1x22−x1−x2=x1x2(x1+x2)−(x1+x2)=(x1x2−1)(x1+x2)=5x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 - x_1 - x_2 = x_1 x_2(x_1 + x_2) - (x_1 + x_2) = (x_1 x_2 - 1)(x_1 + x_2) = 5
İfadeyi kökler toplamı ve kökler çarpımı cinsinden yazarak bilinen değerleri yerine yerleştirebilmek için.
3
Belirlenen kök bağ��ntılarını düzenlenmiş ifadede yerine koyarak mm değişkenine bağlı denklemi çözün.
((m−2)−1)(m+1)=5  ⟹  (m−3)(m+1)=5  ⟹  m2−2m−3=5  ⟹  m2−2m−8=0((m - 2) - 1)(m + 1) = 5 \implies (m - 3)(m + 1) = 5 \implies m^2 - 2m - 3 = 5 \implies m^2 - 2m - 8 = 0. Buradan (m−4)(m+2)=0(m - 4)(m + 2) = 0 elde edilir ve mm değerleri 44 ile −2-2 olarak bulunur.
mm parametresinin alabileceği değerleri tek tek hesaplamak için.
4
Elde edilen mm değerlerinin toplamını hesaplayın.
4+(−2)=24 + (-2) = 2 veya doğrudan kökler toplamı formülüyle −−21=2-\frac{-2}{1} = 2
Soruda mm sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı sorulduğu için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 58Soru →
x2−7x+5=0x^2 - 7x + 5 = 0 denkleminin gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir. Buna göre, x13−x12x2−x1x22+44x2x_1^3 - x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 + 44x_2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 238

Cevap

İfadenin değeri 238 olarak bulunur.
Verilen ifade düzenlendiğinde −x12x2−x1x22=−x1x2(x1+x2)=−35-x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 = -x_1 x_2(x_1+x_2) = -35 olur. Kökün denklemi sağlama özelliğinden x12=7x1−5x_1^2 = 7x_1 - 5 ve buradan x13=44x1−35x_1^3 = 44x_1 - 35 elde edilir. İfadeler birleştirildiğinde 44(x1+x2)−70=44(7)−70=23844(x_1+x_2) - 70 = 44(7) - 70 = 238 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kökler toplamı ve kökler çarpımı değerlerini yazalım.
x1+x2=7x_1 + x_2 = 7 ve x1⋅x2=5x_1 \cdot x_2 = 5 elde edilir.
İfadeyi sadeleştirmek için kökler ile katsayılar arasındaki temel ilişkileri kullanacağız.
2
Sorulan ifadedeki −x12x2−x1x22-x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 terimlerini ortak çarpan parantezine alalım.
−x12x2−x1x22=−x1x2(x1+x2)-x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 = -x_1 x_2(x_1 + x_2) olur.
Bu kısmı kökler toplamı ve kökler çarpımı cinsinden ifade etmek işlemi kolaylaştıracaktır.
3
Elde ettiğimiz ortak parantezli kısımda kökler toplamı ve çarpımı değerlerini yerine yazalım.
−x1x2(x1+x2)=−5⋅7=−35-x_1 x_2(x_1 + x_2) = -5 \cdot 7 = -35 bulunur. Böylece sorulan ifade x13+44x2−35x_1^3 + 44x_2 - 35 şekline dönüşür.
İfadenin bir kısmını sabit bir sayıya indirgemiş olduk.
4
x1x_1 denklemin bir kökü olduğundan x12−7x1+5=0  ⟹  x12=7x1−5x_1^2 - 7x_1 + 5 = 0 \implies x_1^2 = 7x_1 - 5 eşitliğini kullanarak x13x_1^3 ifadesinin derecesini düşürelim.
x13=x1⋅x12=x1(7x1−5)=7x12−5x1=7(7x1−5)−5x1=44x1−35x_1^3 = x_1 \cdot x_1^2 = x_1(7x_1 - 5) = 7x_1^2 - 5x_1 = 7(7x_1 - 5) - 5x_1 = 44x_1 - 35 elde edilir.
Y��ksek dereceli terimi doğrusal bir ifadeye dönüştürmek kökler toplamını kullanabilmemizi sağlayacaktır.
5
Bulduğumuz x13=44x1−35x_1^3 = 44x_1 - 35 ifadesini Adım 3'teki ifademizde yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
(44x1−35)+44x2−35=44(x1+x2)−70=44(7)−70=308−70=238(44x_1 - 35) + 44x_2 - 35 = 44(x_1 + x_2) - 70 = 44(7) - 70 = 308 - 70 = 238 bulunur.
Tüm parçaları birleştirip kökler toplamını yerine yazarak nihai sonuca ulaştık.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkilerinin (x1+x2=−b/ax_1 + x_2 = -b/a, x1⋅x2=c/ax_1 \cdot x_2 = c/a) ve kökün denklemi sağlama özelliğinin (x12−7x1+5=0x_1^2 - 7x_1 + 5 = 0) birlikte kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 59Soru →
Kökleri sırasıyla x1x_1 ve x2x_2 olan
x2−(m+3)x+4=0x^2 - (m+3)x + 4 = 0
ikinci dereceden denklemi veriliyor.
x1+x2=3\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3
olduğuna göre, mm gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Köklerin karesi alınarak kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkisi doğru kurulduğunda elde edilen gerçel sayı değeri 2'dir.
Kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan x2−(m+3)x+4=0x^2 - (m+3)x + 4 = 0 denkleminde kökler toplamı x1+x2=m+3x_1 + x_2 = m + 3 ve kökler çarpımı x1⋅x2=4x_1 \cdot x_2 = 4 olur. Verilen x1+x2=3\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesi alındığında x1+x2+2x1⋅x2=9x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 \cdot x_2} = 9 elde edilir. Bu eşitlikte kök-katsayı bağıntıları yerine yazıldığında (m+3)+24=9  ⟹  m+3+4=9  ⟹  m=2(m+3) + 2\sqrt{4} = 9 \implies m + 3 + 4 = 9 \implies m = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ikinci dereceden denklemin kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini yazıp denklem katsayılarını yerleştirmek.
x1+x2=m+3x_1 + x_2 = m + 3 ve x1⋅x2=4x_1 \cdot x_2 = 4 olarak bulunur.
Kök-katsayı ilişkisini kullanarak verilen denklemdeki mm parametresi ile kökler arasındaki bağlantıyı kurmak.
2
Verilen x1+x2=3\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesini almak.
(x1+x2)2=32  ⟹  x1+x2+2x1⋅x2=9(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = 3^2 \implies x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 \cdot x_2} = 9 elde edilir.
Köklerin kareköklerinden kurtulup kökler toplamı ve kökler çarpımı ifadelerini elde etmek.
3
Bulunan x1+x2=m+3x_1 + x_2 = m + 3 ve x1⋅x2=4x_1 \cdot x_2 = 4 değerlerini karesi alınan eşitlikte yerine yazarak mm değerini çözmek.
(m+3)+24=9  ⟹  m+3+4=9  ⟹  m+7=9  ⟹  m=2(m+3) + 2\sqrt{4} = 9 \implies m + 3 + 4 = 9 \implies m + 7 = 9 \implies m = 2 olarak bulunur.
mm değerini yalnız bırakarak bilinmeyen parametrenin değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 60Soru →

Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu x2+1x^2 + 1 ile kalansız bölünebilmektedir. P(x)P(x) polinomunun x−1x - 1 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x2+x−2x^2 + x - 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x+13x + 1

Cevap

3x+13x + 1 ifadesidir.
Doğru cevap 3x+13x + 1 ifadesidir. Çünkü baş katsayısı 1 olan ve x2+1x^2 + 1 ile tam bölünen üçüncü dereceden polinom P(x)=(x+1)(x2+1)P(x) = (x + 1)(x^2 + 1) şeklinde kurulur. Bu polinomun x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) ile bölümünden kalan ax+bax + b formundadır. P(1)=4P(1) = 4 ve P(−2)=−5P(-2) = -5 değerleri kullanılarak kurulan denklem sistemi çözüldüğünde a=3a = 3 ve b=1b = 1 bulunarak kalan 3x+13x + 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun genel denklemini yazmak
P(x)=(x+c)(x2+1)P(x) = (x + c)(x^2 + 1)
Polinomun üçüncü dereceden, baş katsayısının 1 olması ve x2+1x^2 + 1 ile tam bölünebilmesi, bölüm polinomunun birinci dereceden ve baş katsayısının 1 olmasını gerektirir.
2
P(1)=4P(1) = 4 bilgisini kullanarak cc sabitini bulmak
c=1  ⟹  P(x)=(x+1)(x2+1)c = 1 \implies P(x) = (x + 1)(x^2 + 1)
Polinomun x−1x - 1 ile bölümünden kalan 4 olduğundan Kalan Teoremi gereği P(1)=4P(1) = 4 olmalıdır. Bu değer polinomda yerine yazıldığında c=1c = 1 elde edilir.
3
Bölenin köklerini ve bu noktalardaki polinom değerlerini belirlemek
x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) olup kökler x=1x = 1 ve x=−2x = -2'dir. Buradan P(1)=4P(1) = 4 ve P(−2)=−5P(-2) = -5 bulunur.
Kalanı bulabilmek için bölen polinomu sıfır yapan kök değerlerindeki polinom değerleri hesaplanır.
4
Kalan polinomunu ax+bax + b şeklinde yazıp katsayıları bulmak için denklem sistemini çözmek
a+b=4a + b = 4 ve −2a+b=−5-2a + b = -5 denklem sisteminden a=3,b=1a = 3, b = 1 bulunur. Böylece kalan 3x+13x + 1 olarak elde edilir.
Bölen polinom ikinci dereceden olduğu için kalan polinom en fazla birinci dereceden (ax+bax + b) olabilir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulma ve bölme bağıntısı
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 3 / 6Sonraki
Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin