Examkin

Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler

113 soru

Tüm türler113Çoktan seçmeli71Sayısal35Eşleştirme7
Soru 61Soru →
x2−(a−1)x+2a−5=0x^2 - (a - 1)x + 2a - 5 = 0

denkleminin birbirinden farklı gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir.

∣x12x2+x1x22∣=3|x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2| = 3

olduğuna göre, aa nın alabileceği gerçel sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

12\frac{1}{2}
Doğru cevap olan 12\frac{1}{2} değeri, mutlak değerli denklemi sağlayan değerlerden orijinal denklemin diskriminantını sıfırdan büyük yapan ve köklerin birbirinden farklı gerçel sayılar olmasını sağlayan tek gerçel değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök-katsayı ilişkilerini aa parametresi cinsinden yazın.
x1+x2=a−1x_1 + x_2 = a - 1 ve x1⋅x2=2a−5x_1 \cdot x_2 = 2a - 5
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −ba-\frac{b}{a} ve kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülleriyle hesaplanır.
2
Verilen köklü ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
∣x1⋅x2(x1+x2)∣=3|x_1 \cdot x_2 (x_1 + x_2)| = 3
x12x2+x1x22x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 ifadesi x1x2x_1 x_2 ortak parantezine alındığında kökler toplamı ve çarpımı elde edilir.
3
Elde edilen ifadeleri yerine yazıp mutlak değerli denklemi çözün.
∣(2a−5)(a−1)∣=3|(2a - 5)(a - 1)| = 3

Buradan iki durum incelenir:
1) (2a−5)(a−1)=3  ⟹  2a2−7a+2=0  ⟹  (2a−1)(a−3)=0(2a - 5)(a - 1) = 3 \implies 2a^2 - 7a + 2 = 0 \implies (2a - 1)(a - 3) = 0
Buradan a=3a = 3 veya a=12a = \frac{1}{2} elde edilir.

2) (2a−5)(a−1)=−3  ⟹  2a2−7a+8=0(2a - 5)(a - 1) = -3 \implies 2a^2 - 7a + 8 = 0
Bu denklemin diskriminantı Δa=49−64=−15<0\Delta_a = 49 - 64 = -15 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur.
Bir ifadenin mutlak değeri 3 ise, ifadenin kendisi ya 3 ya da -3 olmalıdır.
4
Bulunan aa değerleri için orijinal denklemin birbirinden farklı gerçel kökleri olma şartını (yani Δx>0\Delta_x > 0) kontrol edin.
Orijinal denklemin diskriminantı:
Δx=(−(a−1))2−4(1)(2a−5)=a2−10a+21=(a−3)(a−7)>0\Delta_x = (-(a - 1))^2 - 4(1)(2a - 5) = a^2 - 10a + 21 = (a - 3)(a - 7) > 0 olmalıdır.

- a=3a = 3 için: Δx=(3−3)(3−7)=0\Delta_x = (3 - 3)(3 - 7) = 0 olur. Bu durumda kökler çakışık (eşit) olur, yani birbirinden farklı gerçel kök şartı sağlanmaz. Dolayısıyla a=3a = 3 değeri elenir.
- a=12a = \frac{1}{2} için: Δx=(12−3)(12−7)=16.25>0\Delta_x = (\frac{1}{2} - 3)(\frac{1}{2} - 7) = 16.25 > 0 olur. Bu değer şartı sağlar.

Sonuç olarak, aa'nın alabileceği tek gerçel değer 12\frac{1}{2}'dir.
Denklemin birbirinden farklı gerçel köklerinin olması için diskriminantın sıfırdan büyük olması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı, kökler çarpımı ve gerçel köklerin varlık/farklılık şartı (diskriminant analizi)

Alternatif Yöntem

Bulunan a=3a = 3 ve a=12a = \frac{1}{2} değerlerini diskriminant formülü yerine doğrudan orijinal denklemde yerine yazarak kontrol edebiliriz. a=3a = 3 için denklem x2−2x+1=0  ⟹  (x−1)2=0x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 olur ve kökler çakışık (x1=x2=1x_1 = x_2 = 1) çıktığından elenir. a=12a = \frac{1}{2} için denklem x2+12x−4=0x^2 + \frac{1}{2}x - 4 = 0 olur ve diskriminantı pozitif olup birbirinden farklı iki gerçel kök verir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 62Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen cebirsel ifadeleri, sağ sütundaki çarpanlarına ayrılmış ya da açılmış en sade biçimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

a2−b2a^2 - b^2
(a−b)2(a - b)^2
a2−aba^2 - ab
a2+2a+1a^2 + 2a + 1

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki cebirsel ifadelerin sağ sütundaki doğru karşılıkları sırasıyla şu şekildedir: a^2 - b^2 ifadesi (a - b)(a + b) ile, (a - b)^2 ifadesi a^2 - 2ab + b^2 ile, a^2 - ab ifadesi a(a - b) ile, a^2 + 2a + 1 ifadesi ise (a + 1)^2 ile eşleşir.
Sol sütundaki tüm temel özdeşlikler ve çarpanlara ayırma kuralları sağ sütundaki matematiksel olarak denk ifadeleriyle doğru biçimde eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadenin çarpanlarına ayrılması
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
İki kare farkı özdeşliği (x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)) doğrudan uygulanır.
2
İkinci ifadenin açılımının yapılması
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Tam kare farkı açılım kuralı ((x−y)2=x2−2xy+y2(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2) doğrudan uygulanır.
3
Üçüncü ifadenin ortak çarpan parantezine alınması
a2−ab=a(a−b)a^2 - ab = a(a - b)
Her iki terimde bulunan ortak aa çarpanı parantez dışına alınarak ifade sadeleştirilir.
4
Dördüncü ifadenin tam kare biçiminde yazılması
a2+2a+1=(a+1)2a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2
İfade tam kare toplam açılımına (x2+2xy+y2=(x+y)2x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2) uygun olarak çarpanlarına ayrılır.

Anahtar Kavram

Temel çarpanlara ayırma yöntemleri ile iki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin kavranması ve uygulanması.
Soru 63Soru →

Eni (2x+5)(2x + 5) birim ve boyu (3x−1)(3x - 1) birim olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun dört köşesinden, bir kenar uzunluğu (x−1)(x - 1) birim olan kare şeklinde dört eş parça kesilip çıkarılıyor. Buna göre, geriye kalan kartonun alanını veren P(x)P(x) polinomunun xx'li teriminin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Geriye kalan kartonun alanını veren polinomun x'li teriminin katsayısı 21'dir.
Başlangıçtaki alan (6x2+13x−5)(6x^2 + 13x - 5) birimkaredir. Köşelerden çıkarılan 4 karenin toplam alanı ise 4(x2−2x+1)=4x2−8x+44(x^2 - 2x + 1) = 4x^2 - 8x + 4 birimkaredir. Kalan alan bu iki ifadenin farkı olan P(x)=2x2+21x−9P(x) = 2x^2 + 21x - 9 polinomudur. Bu polinomda xx'li terimin katsayısı 21 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki kartonun alanını veren polinom ifadesini bulalım.
(2x+5)(3x−1)=6x2−2x+15x−5=6x2+13x−5(2x + 5)(3x - 1) = 6x^2 - 2x + 15x - 5 = 6x^2 + 13x - 5
Dikdörtgen kartonun eni ile boyunun çarpımı başlangıçtaki toplam alanı verir.
2
Kesilip çıkarılan dört adet eş karenin toplam alanını hesaplayalım.
4⋅(x−1)2=4(x2−2x+1)=4x2−8x+44 \cdot (x - 1)^2 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4x^2 - 8x + 4
Her bir köşeden bir kenarı (x−1)(x - 1) olan kare çıkarıldığı için, bir karenin alanı (x−1)2(x-1)^2 ifadesinin 4 katı alınır.
3
Kalan kartonun alanını veren P(x)P(x) polinomunu elde etmek için çıkarma işlemini yapalım.
P(x)=(6x2+13x−5)−(4x2−8x+4)=2x2+21x−9P(x) = (6x^2 + 13x - 5) - (4x^2 - 8x + 4) = 2x^2 + 21x - 9
Başlangıçtaki toplam alandan çıkarılan parçaların toplam alanını eksilterek geriye kalan alanı buluruz.
4
Elde edilen P(x)P(x) polinomundaki xx'li terimin katsayısını belirleyelim.
Katsayı 21'dir.
P(x)=2x2+21x−9P(x) = 2x^2 + 21x - 9 polinomunda xx değişkeninin önündeki katsayı doğrudan okunur.

Anahtar Kavram

Polinomlarda çarpma ve çıkarma işlemleri ile tam kare özdeşliğinin doğru şekilde uygulanması.
Soru 64Soru →

x≠0x \neq 0 ve x≠2x \neq 2 olmak üzere,

x2−4x2−2x\frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+2x\frac{x+2}{x}

Cevap

İfadenin en sade biçimi \frac{x+2}{x} şeklindedir.
Verilen rasyonel ifadede pay kısmındaki x2−4x^2-4 terimi iki kare farkı özdeşliği kullanılarak (x−2)(x+2)(x-2)(x+2) olarak yazılır. Payda kısmındaki x2−2xx^2-2x terimi ise ortak çarpan parantezine alınarak x(x−2)x(x-2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. İfadeler oranlandığında pay ve paydada ortak olan (x−2)(x-2) terimleri sadeleşir ve geriye ifadenin en sade biçimi olan pay kısmında x+2x+2, payda kısmında ise xx kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.
x2−4x^2 - 4 ifadesi, 4=224 = 2^2 olduğundan iki kare farkı formülü olan a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) uyarınca (x−2)(x+2)(x-2)(x+2) şeklinde yazılır.
Rasyonel ifadenin payını sadeleştirmeye hazır hale getirmek için çarpanlarına ayırmak gerekir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.
x2−2xx^2 - 2x ifadesindeki terimler ortak xx çarpanına sahip olduğundan, ifade x(x−2)x(x-2) şeklinde yazılır.
Payda kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak pay kısmındaki ortak çarpanla sadeleşmesini sağlamak amaçlanır.
3
Pay ve paydadaki ortak olan terimleri sadeleştirin.
(x−2)(x+2)x(x−2)\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} ifadesinde hem payda hem de paydada bulunan (x−2)(x-2) çarpanları sadeleştiğinde geriye x+2x\frac{x+2}{x} kalır.
x≠2x \neq 2 koşulu verildiği için x−2x-2 terimi sıfırdan farklıdır ve sadeleştirilebilir.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği ve ortak çarpan parantezine alma yöntemleri yardımıyla rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 65Soru →

Üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomunun x2−xx^2 - x ile bölümünden kalan 3x+23x + 2, x2+xx^2 + x ile bölümünden kalan ise 5x+25x + 2'dir.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x−2x - 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Polinomun x−2x - 2 ile bölümünden kalan 18'dir.
Verilen bölme işlemlerinden elde edilen kalanlar ve bölenlerin kökleri kullanılarak polinomun katsayıları benzersiz şekilde belirlenir. P(x)=2x3−x2+2x+2P(x) = 2x^3 - x^2 + 2x + 2 polinomunda x=2x = 2 yazılarak kalan 18 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölme özdeşliklerini kurma
P(x)=(x2−x)(ax+b)+3x+2P(x) = (x^2 - x)(ax + b) + 3x + 2 ve P(x)=(x2+x)(cx+d)+5x+2P(x) = (x^2 + x)(cx + d) + 5x + 2
Üçüncü dereceden bir polinomun ikinci dereceden polinomlara bölümünden elde edilen bölümler birinci dereceden olmalıdır.
2
Baş katsayıları ilişkilendirme ve değerleri belirleme
a=ca = c ve P(0)=2P(0) = 2, P(1)=5P(1) = 5, P(−1)=−3P(-1) = -3
x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=−1x = -1 değerleri bölenlerin kökleri olduğu için bu noktalardaki kalan değerleri doğrudan polinomun değerlerini verir.
3
Katsayıları çözme
P(x)=2x3−x2+2x+2P(x) = 2x^3 - x^2 + 2x + 2
P(0)=2  ⟹  d=2P(0) = 2 \implies d = 2. P(1)=a+b+c+2=5  ⟹  a+b+c=3P(1) = a + b + c + 2 = 5 \implies a + b + c = 3 ve P(−1)=−a+b−c+2=−3  ⟹  −a+b−c=−5P(-1) = -a + b - c + 2 = -3 \implies -a + b - c = -5 denklemleri taraf tarafa toplanarak b=−1b = -1 ve a=c=2a = c = 2 bulunur.
4
P(2)P(2) değerini hesaplama
18
Polinomun x−2x - 2 ile bölümünden kalan, polinomda xx yerine 22 yazılmasıyla elde edilen P(2)P(2) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulma ve katsayı belirleme
Soru 66Soru →

i2=−1i^2 = -1 ve zz bir karmaşık sayı olmak üzere,

z⋅(1−i)+zˉ⋅(2+i)=5−iz \cdot (1 - i) + \bar{z} \cdot (2 + i) = 5 - i

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, zz karmaşık sayısının gerçel kısmı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

zz karmaşık sayısının gerçel kısmı 11 olarak bulunur.
Verilen denklemde z=x+yiz = x + yi ve zˉ=x−yi\bar{z} = x - yi yazılıp işlemler yapıldığında, eşitliğin sol tarafı (3x+2y)−yi(3x + 2y) - yi olarak sadeleşir. Bu ifade 5−i5 - i karmaşık sayısına eşit olduğundan, sanal kısımların eşitliğinden −y=−1  ⟹  y=1-y = -1 \implies y = 1 elde edilir. Bulunan yy değeri gerçel kısımların eşitliğinde yerine yazılarak 3x+2(1)=5  ⟹  3x=3  ⟹  x=13x + 2(1) = 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1 bulunur. zz sayısının gerçel kısmı xx olduğundan doğru yanıt 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Karmaşık sayı ve eşleniği cebirsel olarak tanımlanır.
z=x+yiz = x + yi ve zˉ=x−yi\bar{z} = x - yi (x,y∈Rx, y \in \mathbb{R})
Bilinmeyen karmaşık sayıyı ve eşleniğini standart formda ifade ederek denklemde yerine koyabilmek için.
2
Tanımlanan ifadeler denklemde yerine yazılarak cebirsel çarpma işlemleri yapılır.
(x+yi)(1−i)+(x−yi)(2+i)=(3x+2y)−yi(x+yi)(1-i) + (x-yi)(2+i) = (3x+2y) - yi
Denklemin sol tarafındaki karmaşık sayının gerçel ve sanal kısımlarını belirlemek için parantezler dağıtılır ve i2=−1i^2 = -1 tanımı uygulanır.
3
Eşitliğin her iki yanındaki karmaşık sayıların gerçel ve sanal kısımları birbirine eşitlenir.
3x+2y=53x + 2y = 5 ve −y=−1-y = -1
İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için gerçel kısımlarının birbirine, sanal kısımlarının da birbirine eşit olması gerekir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.
y=1y = 1 ve x=1x = 1
zz karmaşık sayısının gerçel kısmı olan xx değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Karmaşık sayıların eşitliği ve temel aritmetik işlemler
Soru 67Soru →
Gerçel katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için
P(x)+Q(x)=x2+2x−5P(x) + Q(x) = x^2 + 2x - 5
P(x)⋅Q(x)=x3+2x2−5x−6P(x) \cdot Q(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6
eşitlikleri sağlanmaktadır.

der⁡(P(x))>der⁡(Q(x))\operatorname{der}(P(x)) > \operatorname{der}(Q(x)) olduğuna göre, P(4)−Q(−2)P(4) - Q(-2) ifadesinin değeri ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Polinomların derece koşuluna göre belirlenmesiyle elde edilen P(4)=14P(4) = 14 ve Q(−2)=−1Q(-2) = -1 değerlerinin farkı olan 15'tir.
Verilen polinom çarpımı (x2+x−6)(x+1)(x^2 + x - 6)(x+1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bu iki çarpanın toplamı x2+2x−5x^2 + 2x - 5 toplam polinomunu verdiğinden polinomlarımız bu çarpanlardır. Derece koşuluna göre P(x)=x2+x−6P(x) = x^2 + x - 6 ve Q(x)=x+1Q(x) = x+1 olarak belirlenir. Bu polinomlarda sırasıyla x=4x=4 ve x=−2x=-2 yazıldığında P(4)=14P(4) = 14 ve Q(−2)=−1Q(-2) = -1 elde edilir. Bu değerlerin farkı ise 14−(−1)=1514 - (-1) = 15 olur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)⋅Q(x)=x3+2x2−5x−6P(x) \cdot Q(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 çarpım polinomunu çarpanlarına ayırmak.
x3+2x2−5x−6=(x2+x−6)(x+1)x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x^2 + x - 6)(x+1)
Polinom çarpımını oluşturan çarpan polinomları tespit etmek.
2
Elde edilen çarpanların toplamının P(x)+Q(x)=x2+2x−5P(x) + Q(x) = x^2 + 2x - 5 eşitliğini sağladığını doğrulamak.
(x2+x−6)+(x+1)=x2+2x−5(x^2 + x - 6) + (x+1) = x^2 + 2x - 5 eşitliği sağlanır.
Toplam polinomu bilgisini kullanarak hangi çarpanların P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) olduğunu belirlemek.
3
der⁡(P(x))>der⁡(Q(x))\operatorname{der}(P(x)) > \operatorname{der}(Q(x)) derece koşulunu uygulamak.
P(x)=x2+x−6P(x) = x^2 + x - 6 ve Q(x)=x+1Q(x) = x+1 olarak belirlenir.
Hangi polinomun P(x)P(x) hangisinin Q(x)Q(x) olduğunu derece büyüklüğüne göre ayırt etmek.
4
P(4)P(4) ve Q(−2)Q(-2) değerlerini bularak farklarını hesaplamak.
P(4)=14P(4) = 14, Q(−2)=−1Q(-2) = -1 ve P(4)−Q(−2)=15P(4) - Q(-2) = 15
Soruda sorulan P(4)−Q(−2)P(4) - Q(-2) ifadesinin sayısal değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Polinomlarda toplama ve çarpma işlemlerini kullanarak bilinmeyen polinomları çarpanlara ayırma ve derece ilişkisiyle belirleme.
Soru 68Soru →

Üçüncü dereceden gerçel katsayılı bir P(x)P(x) polinomu için,

* P(x)P(x) polinomunun x2+2x^2 + 2 ile bölümünden kalan 2x+32x + 3'tür.
* P(2x)P(2x) polinomunun 2x−12x - 1 ile bölümünden kalan 1717'dir.
* P(0)=5P(0) = 5'tir.

bilgileri veriliyor. Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x+1x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Polinomun katsayıları belirlendikten sonra P(x)P(x) polinomunun x+1x + 1 ile bölümünden kalan −5-5 olarak bulunur.
Polinom P(x)=(3x+1)(x2+2)+2x+3P(x) = (3x + 1)(x^2 + 2) + 2x + 3 şeklinde kurulur. Bu polinomda x=−1x = -1 yazıldığında kalan −5-5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun genel ifadesini yazma
P(x)=(ax+b)(x2+2)+2x+3P(x) = (ax + b)(x^2 + 2) + 2x + 3 (burada a≠0a \neq 0)
Üçüncü dereceden bir polinom ikinci dereceden bir polinoma bölündüğünde bölüm birinci dereceden bir polinom (ax+bax+b) olur.
2
P(0)=5P(0) = 5 verisini kullanarak bb katsayısını bulma
2b+3=5⇒b=12b + 3 = 5 \Rightarrow b = 1
Polinomun x=0x = 0 noktasındaki değeri verilmiştir.
3
P(2x)P(2x)'in 2x−12x - 1 ile bölümünden kalan yardımıyla aa katsayısını bulma
2x−1=0⇒x=1/22x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2 için P(1)=17P(1) = 17 olur. Buradan P(1)=3(a+1)+5=17⇒a=3P(1) = 3(a + 1) + 5 = 17 \Rightarrow a = 3 elde edilir.
Bölme ve kalan teoremine göre bölen sıfıra eşitlenerek elde edilen değer bölünene yazılır.
4
P(x)P(x) polinomunun x+1x + 1 ile bölümünden kalanını hesaplama
P(−1)=(3(−1)+1)((−1)2+2)+2(−1)+3=−5P(-1) = (3(-1) + 1)((-1)^2 + 2) + 2(-1) + 3 = -5
x+1=0⇒x=−1x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 değeri polinomda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Polinom bölme özdeşliğinin kurulması, katsayıların belirlenmesi ve kalan teoreminde değişken dönüşümünün doğru uygulanması.
Soru 69Soru →

a=1005a = 1005 ve b=995b = 995 olmak üzere,

a2−b2a^2 - b^2

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20.000

Cevap

İşlemin sonucu 20.000 olarak bulunur.
Verilen a2−b2a^2 - b^2 ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir ve (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) olarak çarpanlarına ayrılır. a=1005a = 1005 ve b=995b = 995 değerleri için a−b=10a-b = 10 ve a+b=2000a+b = 2000 olur. Bu iki değerin çarpımı 10×2000=20.00010 \times 2000 = 20.000 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliğini yazınız.
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
İki terimin karelerinin farkı, bu terimlerin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
2
Verilen a=1005a = 1005 ve b=995b = 995 değerlerini özdeşlikte yerine yazınız.
a−b=1005−995=10a - b = 1005 - 995 = 10 ve a+b=1005+995=2000a + b = 1005 + 995 = 2000 elde edilir.
Özdeşlikteki çarpanların sayısal değerlerini bulmak için.
3
Elde edilen değerleri birbiriyle çarpınız.
10×2000=20.00010 \times 2000 = 20.000
İki kare farkı değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı Özdeşliği
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 70Soru →
P(x)=(x2−x+1)3⋅(2x−1)4P(x) = (x^2 - x + 1)^3 \cdot (2x - 1)^4 polinomunun açılımında x2x^2 li terimin katsay��sı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Çarpım polinomunun açılımında x2x^2 li terimin katsayısı 54'tür.
Çarpım polinomunda x2x^2 li terimin katsayısı, çarpan polinomların dereceleri 0, 1 ve 2 olan terimlerinin karşılıklı çarpımlarının toplamıyla bulunur. Çarpanların açılımlarından sırasıyla 1−3x+6x21 - 3x + 6x^2 ve 1−8x+24x21 - 8x + 24x^2 terimleri elde edilir. Bunların çarpımından gelen x2x^2 li terimlerin katsayıları toplamı 1⋅24+(−3)⋅(−8)+6⋅1=541 \cdot 24 + (-3) \cdot (-8) + 6 \cdot 1 = 54 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)P(x) polinomunu oluşturan iki çarpanın her birinde, derecesi en fazla 2 olan terimleri bulmak için ifadeleri x3x^3 modunda (yani sadece x2x^2 ye kadar olan terimlerle) yazalım.
(x2−x+1)3(x^2 - x + 1)^3 ve (2x−1)4(2x - 1)^4 ifadelerinin x2x^2 ye kadar olan açılımları belirlenir.
Çarpımda x2x^2 li terimi elde etmek için sadece derecesi 2 ve daha küçük olan terimler yeterlidir.
2
Birinci çarpan olan (1−x+x2)3(1 - x + x^2)^3 ifadesinin açılımını yapalım: (1−y)3=1−3y+3y2−y3(1 - y)^3 = 1 - 3y + 3y^2 - y^3 özdeşliğinde y=x−x2y = x - x^2 yazarsak, derecesi 2'den büyük terimleri ihmal ettiğimizde: 1−3(x−x2)+3(x−x2)2≈1−3x+3x2+3x2=1−3x+6x21 - 3(x - x^2) + 3(x - x^2)^2 \approx 1 - 3x + 3x^2 + 3x^2 = 1 - 3x + 6x^2 elde edilir.
(x2−x+1)3≈1−3x+6x2(x^2 - x + 1)^3 \approx 1 - 3x + 6x^2
Birinci çarpanın x2x^2 ye kadar olan kısmını elde etmek.
3
İkinci çarpan olan (2x−1)4=(1−2x)4(2x - 1)^4 = (1 - 2x)^4 ifadesinin binom açılımını yapalım: (1−2x)4=(40)14+(41)13(−2x)1+(42)12(−2x)2+⋯≈1−8x+6(4x2)=1−8x+24x2(1 - 2x)^4 = \binom{4}{0}1^4 + \binom{4}{1}1^3(-2x)^1 + \binom{4}{2}1^2(-2x)^2 + \dots \approx 1 - 8x + 6(4x^2) = 1 - 8x + 24x^2 elde edilir.
(2x−1)4≈1−8x+24x2(2x - 1)^4 \approx 1 - 8x + 24x^2
İkinci çarpanın x2x^2 ye kadar olan kısmını elde etmek.
4
Bu iki ifadenin çarpımından x2x^2 li terimi oluşturacak e��leşmeleri bulalım: (1−3x+6x2)(1−8x+24x2)(1 - 3x + 6x^2)(1 - 8x + 24x^2) çarpımında x2x^2 terimi: 1⋅(24x2)+(−3x)⋅(−8x)+(6x2)⋅11 \cdot (24x^2) + (-3x) \cdot (-8x) + (6x^2) \cdot 1 işlemlerinden elde edilir.
24x2+24x2+6x2=54x224x^2 + 24x^2 + 6x^2 = 54x^2
İki ifadenin çarpımındaki x2x^2 li terimin katsayısını toplamak.

Anahtar Kavram

Polinomlarda çarpma işlemi ve belirli bir terimin katsayısını bulma

Alternatif Yöntem

Polinomun x2x^2 li teriminin katsayısı, Taylor serisi açılımı veya türev tanımı gereği P′′(0)2!\frac{P''(0)}{2!} değerine eşittir. Çarpımın türevi kuralı kullanılarak P′′(x)P''(x) hesaplanıp x=0x = 0 yazıldığında P′′(0)=108P''(0) = 108 elde edilir. Bu değer 2!=22! = 2 ye bölünerek 5454 katsayısına daha sistematik bir şekilde ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 71Soru →

Bir mobilya üreticisi, hacmi P(x)=x4−ax2+bx−5P(x) = x^4 - ax^2 + bx - 5 birimküp olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahta blokları, taban alanı x2−3x+2x^2 - 3x + 2 birimkare olan eş dik prizma şeklindeki parçalara ayırdığında geriye kalan tahta parçasının hacmi 8x−138x - 13 birimküp olmaktadır.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Bulunan a=3a = 3 ve b=2b = 2 değerlerinin toplamı olan 5 sayısıdır.
Verilen bölme ilişkisi polinom denklemine dökülüp bölenin kökleri yerine yazıldığında, katsayıları içeren denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde a=3a=3 ve b=2b=2 değerleri bulunur ve bu değerlerin toplamı olan 5 doğru cevaba götürür.

Adım Adım Çözüm

1
Bölme işlemini polinom denklemine dönüştürmek.
P(x)=Q(x)⋅(x2−3x+2)+8x−13P(x) = Q(x) \cdot (x^2 - 3x + 2) + 8x - 13
Polinomlarda bölme kuralına göre bölünen polinom; bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle elde edilir.
2
Bölen polinomunun köklerini bulmak ve kalan teoremine uygulamak.
x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) olduğundan kökler x=1x=1 ve x=2x=2 dir. Buradan P(1)=8(1)−13=−5P(1) = 8(1) - 13 = -5 ve P(2)=8(2)−13=3P(2) = 8(2) - 13 = 3 elde edilir.
Bölenin kökleri bölüm polinomunu sıfırlayarak doğrudan kalan değerine ulaşmamızı sağlar.
3
P(1)P(1) ve P(2)P(2) değerlerini kullanarak katsayılar için denklem sistemi kurmak.
P(1)=1−a+b−5=−5  ⟹  a−b=1P(1) = 1 - a + b - 5 = -5 \implies a - b = 1 ve P(2)=16−4a+2b−5=3  ⟹  2a−b=4P(2) = 16 - 4a + 2b - 5 = 3 \implies 2a - b = 4 elde edilir.
Bilinmeyen aa ve bb katsayılarını bulabilmek için iki değişkenli bir denklem sistemi oluşturmak gerekir.
4
Denklem sistemini çözmek ve a+ba+b değerini hesaplamak.
a=3a = 3, b=2b = 2 ve a+b=5a + b = 5 bulunur.
Kurulan denklemler taraf tarafa çıkarıldığında aa ve buna bağlı olarak bb değerleri tek tek hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma
Soru 72Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen cebirsel ifadeleri, sağ sütundaki özde��leri olan çarpanlarına ayrılmış biçimleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

x2−16x^2 - 16
x2−8x+16x^2 - 8x + 16
x2+4xx^2 + 4x

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütunda bulunan x2−16x^2 - 16 ifadesi (x−4)(x+4)(x - 4)(x + 4) ile, x2−8x+16x^2 - 8x + 16 ifadesi (x−4)2(x - 4)^2 ile ve x2+4xx^2 + 4x ifadesi x(x+4)x(x + 4) ile eşleşmektedir.
Verilen cebirsel ifadeler sırasıyla iki kare farkı, tam kare açılımı ve ortak çarpan parantezine alma yöntemleri kullanılarak çarpanlarına ayrıldığında sağ sütundaki uygun ifadelerle eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1
x2−16x^2 - 16 ifadesine iki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
x2−16=x2−42=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4) olur.
16 sayısı 4'ün karesi olduğundan iki kare farkı formülü (A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)) kullanılabilir.
2
x2−8x+16x^2 - 8x + 16 ifadesine tam kare farkı özdeşliğini uygulayın.
x2−2⋅x⋅4+42=(x−4)2x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2 olur.
İfadenin birinci terimi xx'in karesi, son terimi ise (−4)(-4)'ün karesidir. Ortadaki terim bu iki terimin çarpımının iki katı (2⋅x⋅(−4)=−8x2 \cdot x \cdot (-4) = -8x) olduğundan ifade tam karedir.
3
x2+4xx^2 + 4x ifadesini ortak çarpan parantezine alın.
x(x+4)x(x + 4) olur.
Her iki terimde de ortak olan xx çarpanı parantez dışına alınır.

Anahtar Kavram

İki kare farkı, tam kare açılımı ve ortak çarpan parantezine alma yöntemleri kullanılarak cebirsel ifadelerin çarpanlarına ayrılması.
Soru 73Soru →

Gerçel katsayılı bir P(x)P(x) polinomunun x2−7x+10x^2 - 7x + 10 ile bölümünden kalan 2x+112x + 11'dir.

Buna göre, P(x+2)P(x+2) polinomunun x2−3xx^2 - 3x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x+152x + 15

Cevap

2x + 15
Polinom bölme algoritmasına göre P(x)=(x−2)(x−5)B(x)+2x+11P(x) = (x-2)(x-5)B(x) + 2x + 11 yazılabilir. P(x+2)P(x+2) polinomunu elde etmek için xx yerine x+2x+2 yazarsak P(x+2)=x(x−3)B(x+2)+2(x+2)+11=(x2−3x)B(x+2)+2x+15P(x+2) = x(x-3)B(x+2) + 2(x+2) + 11 = (x^2-3x)B(x+2) + 2x + 15 elde edilir. Bölen x2−3xx^2-3x polinomunun derecesi 2 ve elde edilen 2x+152x+15 ifadesinin derecesi 1 olduğundan, kalan doğrudan 2x+152x+15 olur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)P(x) polinomunun bölme algoritmasını yazarak P(2)P(2) ve P(5)P(5) değerlerini bulmak.
P(2)=15P(2) = 15 ve P(5)=21P(5) = 21 olarak bulunur.
P(x)P(x)'in x2−7x+10=(x−2)(x−5)x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5) ile bölümünden kalan 2x+112x+11 olduğundan, x=2x = 2 ve x=5x = 5 değerleri için P(2)=2(2)+11=15P(2) = 2(2)+11=15 ve P(5)=2(5)+11=21P(5) = 2(5)+11=21 eşitlikleri elde edilir.
2
P(x+2)P(x+2) polinomunun x2−3xx^2 - 3x ile bölümünden kalanı tanımlamak.
Kalan R(x)=ax+bR(x) = ax + b formundadır ve P(x+2)=(x2−3x)Q(x)+ax+bP(x+2) = (x^2 - 3x)Q(x) + ax + b eşitliği yazılır.
Bölen polinomun derecesi 2 olduğundan, kalanın derecesi en fazla 1 olabilir.
3
Eşitlikte bölenin köklerini (x=0x = 0 ve x=3x = 3) yerine yazarak denklem sistemi kurmak.
x=0x = 0 için P(2)=b=15P(2) = b = 15 ve x=3x = 3 için P(5)=3a+b=21P(5) = 3a + b = 21 denklemleri elde edilir.
Bölen polinomu sıfırlayan değerler kullanılarak kalan polinomunun katsayıları bulunur.
4
Denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini bulmak.
b=15b = 15 değeri ikinci denklemde yerine yazıldığında 3a+15=213a + 15 = 21 denkleminden a=2a = 2 elde edilir. Böylece kalan R(x)=2x+15R(x) = 2x + 15 olarak bulunur.
Sistemden elde edilen katsayılar doğrudan kalan polinomunu oluşturur.

Anahtar Kavram

Polinomlarda bölme algoritması, kalan bulma ve öteleme (bileşke) uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Öteleme yöntemi doğrudan kullanılabilir. P(x)=(x−2)(x−5)B(x)+2x+11P(x) = (x-2)(x-5)B(x) + 2x + 11 olarak yazıldığında, xx yerine x+2x+2 yazarsak P(x+2)=x(x−3)B(x+2)+2(x+2)+11=(x2−3x)B(x+2)+2x+15P(x+2) = x(x-3)B(x+2) + 2(x+2) + 11 = (x^2-3x)B(x+2) + 2x + 15 elde edilir. Bölen x2−3xx^2-3x ve elde edilen 2x+152x+15 ifadesinin derecesi bölenin derecesinden küçük olduğundan kalan doğrudan 2x+152x+15 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 74Soru →
x2−6x+a−2=0x^2 - 6x + a - 2 = 0 denkleminin gerçel kökü olmadığına göre, aa parametresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
İkinci dereceden bir denklemin gerçel kökünün olmaması için diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır. Verilen denklemin diskriminantı Δ=(−6)2−4(a−2)=36−4a+8=44−4a\Delta = (-6)^2 - 4(a-2) = 36 - 4a + 8 = 44 - 4a olarak hesaplanır. Bu ifadenin negatif olması şartından 44−4a<0  ⟹  44<4a  ⟹  a>1144 - 4a < 0 \implies 44 < 4a \implies a > 11 elde edilir. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük aa tam sayısı 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök olmaması için gerekli diskriminant koşulunu belirleme.
Diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır: Δ<0\Delta < 0
İkinci dereceden bir denklemin gerçel sayılar kümesinde kökünün bulunmaması için diskriminantın negatif olması gerekir.
2
Verilen denklemin katsayılarını diskriminant formülünde yerine yazma.
Δ=(−6)2−4⋅1⋅(a−2)=36−4a+8=44−4a\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = 36 - 4a + 8 = 44 - 4a
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 genel formatında a=1a=1, b=−6b=-6, c=a−2c=a-2 olduğu için Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır.
3
Elde edilen diskriminant ifadesini sıfırdan küçük yapacak eşitsizliği çözme.
44 - 4a < 0 \implies 44 < 4a \implies a > 11
Diskriminantın sıfırdan küçük olması koşuluyla aa değişkeninin sınır aralığı belirlenir.
4
Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değerini tespit etme.
12
a>11a > 11 koşulunu sağlayan en küçük tam sayı değeri 12'dir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Kümesi ve Diskriminant İlişkisi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 75Soru →
Gerçel katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları
P(x)=3x2−2x+aP(x) = 3x^2 - 2x + a
Q(x)=x2+bx−4Q(x) = x^2 + bx - 4
biçiminde tanımlanıyor.

P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun sabit terimi −8-8 ve P(x)⋅Q(x)+2P(x)P(x) \cdot Q(x) + 2P(x) polinomunun katsayılar toplamı 1818 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

a + b toplamının değeri 9'dur.
Polinomlarda sabit terim bulunurken x = 0 yazılır. P(x) * Q(x) polinomunun sabit terimi P(0) * Q(0) = a * (-4) = -8 olduğundan a = 2 olarak bulunur. Katsayılar toplamı bulunurken x = 1 yazılır. P(x) * Q(x) + 2P(x) ifadesinde x = 1 yazıldığında P(1) * Q(1) + 2P(1) = 18 eşitliği kurulur. P(x) = 3x^2 - 2x + 2 polinomunda x = 1 için P(1) = 3'tür. Eşitlikte yerine yazıldığında 3 * Q(1) + 6 = 18 ve buradan Q(1) = 4 elde edilir. Q(1) = 1 + b - 4 = b - 3 = 4 eşitliğinden b = 7 bulunur. Buradan a + b = 2 + 7 = 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım polinomunun sabit terimini kullanarak a katsay��sını belirlemek.
a = 2
Bir polinomun sabit terimi değişken yerine 0 yazılarak bulunur. P(x) * Q(x) polinomunda x = 0 yazıldığında P(0) * Q(0) = -8 olmalıdır. P(0) = a ve Q(0) = -4 olduğundan a * (-4) = -8 eşitliğinden a = 2 elde edilir.
2
Katsayılar toplamı kuralını uygulayarak P(1) ve Q(1) cinsinden denklem oluşturmak.
P(1) * Q(1) + 2 * P(1) = 18
Bir polinomun katsayılar toplamı değişken yerine 1 yazılarak hesaplanır. P(x) * Q(x) + 2P(x) ifadesinde x = 1 yazıldığında katsayılar toplamı P(1) * Q(1) + 2 * P(1) olur.
3
Bulunan a = 2 değerini kullanarak P(1) değerini bulmak.
P(1) = 3
P(x) = 3x^2 - 2x + 2 polinomunda x = 1 yazıldığında P(1) = 3 - 2 + 2 = 3 olarak hesaplanır.
4
P(1) değerini denklemde yerine yazıp Q(1) değerini elde etmek.
Q(1) = 4
3 * Q(1) + 2 * 3 = 18 denkleminden 3 * Q(1) + 6 = 18, buradan da 3 * Q(1) = 12 ve Q(1) = 4 bulunur.
5
Q(1) = 4 eşitliğini kullanarak b katsayısını hesaplamak.
b = 7
Q(x) = x^2 + bx - 4 polinomunda x = 1 yazılırsa Q(1) = 1 + b - 4 = b - 3 olur. b - 3 = 4 eşitliğinden b = 7 elde edilir.
6
Bulunan a ve b değerlerini toplayarak istenen sonucu bulmak.
a + b = 9
a = 2 ve b = 7 değerlerinin toplamı 2 + 7 = 9 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda dört işlem yardımıyla sabit terim (x = 0) ve katsayılar toplamı (x = 1) değerlerinin hesaplanması.
Soru 76Soru →
x2−4x−12=0x^2 - 4x - 12 = 0 denkleminin pozitif gerçel kökü kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denkleminin pozitif gerçel kökü 6'dır.
Verilen ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrıldığında (x−6)(x+2)=0(x - 6)(x + 2) = 0 elde edilir. Bu ifadeden kökler x=6x = 6 ve x=−2x = -2 olarak bulunur. Soruda pozitif gerçel kök sorulduğu için doğru cevap 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden denklemi çarpanlara ayırma yöntemiyle çarpanlarına ayırın.
(x−6)(x+2)=0(x - 6)(x + 2) = 0
Denklemin köklerini bulabilmek için çarpanlarına ayırmak en kolay yöntemdir.
2
Bulunan her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek denklemin köklerini bulun.
x1=6x_1 = 6 ve x2=−2x_2 = -2
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Kökler arasından pozitif olanı belirleyin.
66
Soruda denklemin pozitif gerçel kökü sorulmuştur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü.
Soru 77Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2+xy+y2=6x^2 + xy + y^2 = 6
x4+x2y2+y4=24x^4 + x^2y^2 + y^4 = 24
olduğuna göre, x−yx - y farkının pozitif değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3\sqrt{3}

Cevap

3\sqrt{3}
İki kare farkı özdeşliği yardımıyla x2−xy+y2=4x^2 - xy + y^2 = 4 elde edilir. Bu eşitlik ile x2+xy+y2=6x^2 + xy + y^2 = 6 eşitliği taraf tarafa çıkarıldığında 2xy=2  ⟹  xy=12xy = 2 \implies xy = 1 bulunur. Taraf tarafa toplandığında ise 2(x2+y2)=10  ⟹  x2+y2=52(x^2 + y^2) = 10 \implies x^2 + y^2 = 5 bulunur. (x−y)2=x2+y2−2xy(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy formülünde bulunan değerler yerine yazıldığında (x−y)2=5−2=3(x-y)^2 = 5 - 2 = 3 elde edilir. Buradan pozitif değer olan karekök 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Biquadratic (Sophie Germain) özdeşliği kullanarak x4+x2y2+y4x^4 + x^2y^2 + y^4 ifadesini çarpanlarına ayırın.
x4+x2y2+y4=(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)
İki kare farkı yardımıyla ifadenin çarpanlarını belirlemek amacıyla.
2
Verilen değerleri yerine koyarak x2−xy+y2x^2 - xy + y^2 ifadesinin değerini hesaplayın.
24=6⋅(x2−xy+y2)  ⟹  x2−xy+y2=424 = 6 \cdot (x^2 - xy + y^2) \implies x^2 - xy + y^2 = 4
Bilinmeyen çarpanın değerini bulmak için.
3
Elde edilen denklemleri ortak çözerek xyxy ve x2+y2x^2 + y^2 değerlerini bulun.
x2+xy+y2=6x^2 + xy + y^2 = 6 ve x2−xy+y2=4x^2 - xy + y^2 = 4 denklemlerinden xy=1xy = 1 ve x2+y2=5x^2 + y^2 = 5 elde edilir.
x−yx-y farkının karesini hesaplayabilmek için gerekli terimleri bulmak.
4
Tam kare farkı açılımı olan (x−y)2=x2+y2−2xy(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy formülünde değerleri yerine yazarak pozitif farkı bulun.
(x−y)2=5−2(1)=3  ⟹  x−y=3(x - y)^2 = 5 - 2(1) = 3 \implies x - y = \sqrt{3}
Soruda istenen pozitif fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki kare farkı ve tam kare açılımlarının birlikte kullanımı
Soru 78Soru →

Bir kırtasiyede satılan iki farklı marka kalemin günlük satış miktarları ve birim satış fiyatları (TL cinsinden) sırasıyla aşağıda verilen polinomlarla modellenmiştir:

* A markasının günlük satış adedi: SA(x)=x2−x+3S_A(x) = x^2 - x + 3
* A markasının birim satış fiyatı: FA(x)=2x+1F_A(x) = 2x + 1
* B markasının günlük satış adedi: SB(x)=x2+2xS_B(x) = x^2 + 2x
* B markasının birim satış fiyatı: FB(x)=x+3F_B(x) = x + 3

Bu kırtasiyenin A ve B marka kalemlerin satışından elde ettiği toplam günlük geliri (TL cinsinden) gösteren polinom G(x)G(x) olduğuna göre, G(x)G(x) polinomunun x2x^2 li teriminin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Toplam gelir polinomundaki x2x^2 li terimin katsayısı 4'tür.
Toplam gelir polinomu, A ve B markalarından elde edilen gelirlerin toplamıdır. Her marka için gelir, adet ve birim fiyatın çarpımıdır. G(x)=(x2−x+3)(2x+1)+(x2+2x)(x+3)G(x) = (x^2 - x + 3)(2x + 1) + (x^2 + 2x)(x + 3) şeklinde yazılan bu toplamda, x2x^2 li terimlerin katsayıları sırasıyla −1-1 ve 55 olup toplandığında 44 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A markasının satışından elde edilen gelir polinomunun (GA(x)G_A(x)) belirlenmesi ve x2x^2 li teriminin katsayısının hesaplanması
-1
Günlük gelir, satış adedi ile birim fiyatın çarpımıdır. GA(x)=(x2−x+3)(2x+1)G_A(x) = (x^2 - x + 3)(2x + 1) çarpımında x2x^2 terimi (x2⋅1)+(−x⋅2x)=−x2(x^2 \cdot 1) + (-x \cdot 2x) = -x^2 olarak bulunur.
2
B markasının satışından elde edilen gelir polinomunun (GB(x)G_B(x)) belirlenmesi ve x2x^2 li teriminin katsayısının hesaplanması
5
GB(x)=(x2+2x)(x+3)G_B(x) = (x^2 + 2x)(x + 3) çarpımında x2x^2 terimi (x2⋅3)+(2x⋅x)=5x2(x^2 \cdot 3) + (2x \cdot x) = 5x^2 olarak bulunur.
3
Toplam gelir polinomundaki (G(x)G(x)) x2x^2 li terimin katsayısının hesaplanması
4
G(x)=GA(x)+GB(x)G(x) = G_A(x) + G_B(x) olduğundan katsayılar toplanır: −1+5=4-1 + 5 = 4.

Anahtar Kavram

Polinomlarda çarpma ve toplama işlemleri kullanılarak belirli dereceden bir terimin katsayısının bulunması.

Alternatif Yöntem

Polinomları tamamen çarpmak yerine, her bir çarpım işleminde sadece x2x^2 terimini üreten çarpanları eşleştirip toplayabiliriz:

1. (x2−x+3)(2x+1)(x^2 - x + 3)(2x + 1) çarpımında x2x^2 terimi:
(x2⋅1)+(−x⋅2x)=x2−2x2=−x2(x^2 \cdot 1) + (-x \cdot 2x) = x^2 - 2x^2 = -x^2

2. (x2+2x)(x+3)(x^2 + 2x)(x + 3) çarpımında x2x^2 terimi:
(x2⋅3)+(2x⋅x)=3x2+2x2=5x2(x^2 \cdot 3) + (2x \cdot x) = 3x^2 + 2x^2 = 5x^2

Bu terimleri topladığımızda: −x2+5x2=4x2-x^2 + 5x^2 = 4x^2 elde edilir, böylece katsayı 44 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 79Soru →

aa ve bb birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, aşağıda sol sütunda numaralandırılmış olarak verilen cebirsel ifadeleri sağ sütunda harflerle verilen en sade eş değer biçimleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

a3+b3a2−ab+b2−a2−b2a−b\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} - \frac{a^2 - b^2}{a - b}
a3−b3a2+ab+b2+a2−2ab+b2a−b\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b}
a4−b4a2+b2⋅1a+b\frac{a^4 - b^4}{a^2 + b^2} \cdot \frac{1}{a + b}
a2+ab+b2a3−b3⋅(a2−b2)\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3} \cdot (a^2 - b^2)

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eşleşmeler sırasıyla: I numaralı ifade sıfır ile, II numaralı ifade iki a eksi iki b ile, III numaralı ifade a eksi b ile, IV numaralı ifade ise a artı b ile eşleşmektedir.
Verilen cebirsel ifadelerin her biri; küp toplamı/farkı, iki kare farkı ve tam kare özdeşlikleri kullanılarak çarpanlarına ayrıldığında pay ve paydadaki ortak çarpanlar birbirini sadeleştirmekte ve sırasıyla 00, 2a−2b2a-2b, a−ba-b ve a+ba+b ifadelerine eşit olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadedeki rasyonel terimlerin pay kısımlarını çarpanlarına ayırınız.
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) ve a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşlikleri pay kısımlarına yerleştirilir. Sadeleştirmeler sonucunda birinci terim a+ba+b, ikinci terim ise a+ba+b olur. Buradan (a+b)−(a+b)=0(a+b) - (a+b) = 0 bulunur.
Küp toplamı ve iki kare farkı özdeşlikleri yardımıyla rasyonel ifadeleri en sade biçime getirmek.
2
İkinci ifadedeki pay kısımlarını çarpanlarına ayırarak sadeleştiriniz.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) ve a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 özdeşlikleri yazılır. Sadeleştirmelerin ardından birinci terim a−ba-b, ikinci terim de a−ba-b olur. Toplamları ise (a−b)+(a−b)=2a−2b(a-b) + (a-b) = 2a - 2b olarak elde edilir.
Küp farkı ve tam kare farkı özdeşliklerini kullanarak terimleri en sade biçime indirgemek.
3
Üçüncü ifadede iki kare farkı özdeşliğini iki kez uygulayarak sadeleştirme yapınız.
a4−b4=(a2−b2)(a2+b2)a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) yazıldığında paydadaki a2+b2a^2+b^2 sadeleşir ve geriye a2−b2a+b\frac{a^2 - b^2}{a+b} kalır. Bu ifadeyi de (a−b)(a+b)a+b\frac{(a-b)(a+b)}{a+b} şeklinde yazıp sadeleştirdiğimizde a−ba-b elde edilir.
Dördüncü dereceden fark ifadesini iki kare farkı yöntemiyle aşamalı olarak sadeleştirmek.
4
Dördüncü ifadede payda kısmındaki küp farkını ve çarpım halindeki iki kare farkını açarak sadeleştiriniz.
a2+ab+b2(a−b)(a2+ab+b2)⋅(a−b)(a+b)\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \cdot (a-b)(a+b) yazıldığında a2+ab+b2a^2+ab+b^2 ve a−ba-b terimleri sadeleşir ve sonuç olarak a+ba+b kalır.
Küp farkı açılımı ile iki kare farkı açılımındaki ortak çarpanları belirleyip sadeleştirmek.

Anahtar Kavram

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri ve Özdeşlikler
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 80Soru →
Gerçel katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için
P(x+1)+Q(x−1)=4x+6P(x + 1) + Q(x - 1) = 4x + 6
P(x−1)−Q(x+1)=2x−8P(x - 1) - Q(x + 1) = 2x - 8
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Çarpım polinomunun katsayılar toplamı 15'tir.
Doğru seçenekte, verilen polinom eşitliklerinden hareketle polinomların dereceleri tespit edilmiş, katsayılara ait denklem sistemi doğru çözülerek P(x)=3xP(x) = 3x ve Q(x)=x+4Q(x) = x+4 polinomları bulunmuştur. Ardından P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun katsayılar toplamını bulmak amacıyla x=1x=1 değeri yerine yazılarak P(1)⋅Q(1)=15P(1) \cdot Q(1) = 15 sonucuna doğru şekilde ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların derecelerini belirlemek.
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları en fazla birinci dereceden olmalıdır. Dolayısıyla P(x)=ax+bP(x) = ax + b ve Q(x)=cx+dQ(x) = cx + d olarak seçilir.
Verilen iki denklemin sağ tarafındaki ifadeler (4x+64x+6 ve 2x−82x-8) birinci dereceden olduğundan, P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının dereceleri 1'den büyük olamaz.
2
Birinci denklemde polinomları yerine yazarak katsayı ilişkilerini bulmak.
P(x+1)+Q(x−1)=a(x+1)+b+c(x−1)+d=(a+c)x+(a+b−c+d)=4x+6P(x+1) + Q(x-1) = a(x+1) + b + c(x-1) + d = (a+c)x + (a+b-c+d) = 4x+6 elde edilir. Buradan a+c=4a+c=4 ve a+b−c+d=6a+b-c+d=6 bulunur.
Polinomların eşitliği ilkesi gereği, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
3
İkinci denklemde polinomları yerine yazarak katsayı ilişkilerini bulmak.
P(x−1)−Q(x+1)=a(x−1)+b−[c(x+1)+d]=(a−c)x+(−a+b−c−d)=2x−8P(x-1) - Q(x+1) = a(x-1) + b - [c(x+1) + d] = (a-c)x + (-a+b-c-d) = 2x-8 elde edilir. Buradan a−c=2a-c=2 ve −a+b−c−d=−8-a+b-c-d=-8 bulunur.
Yine aynı şekilde polinomların eşitliği ilkesi kullanılarak x'li terimlerin ve sabit sayıların eşitliği kurulur.
4
Katsayılara ait denklem sistemini çözmek.
a+c=4a+c=4 ve a−c=2a-c=2 denklemleri taraf tarafa toplanırsa 2a=6  ⟹  a=32a=6 \implies a=3 ve c=1c=1 bulunur. Bu değerler diğer denklemlerde yerine yazılırsa b+d=4b+d=4 ve b−d=−4b-d=-4 elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa toplanırsa 2b=0  ⟹  b=02b=0 \implies b=0 ve d=4d=4 bulunur. Buradan P(x)=3xP(x) = 3x ve Q(x)=x+4Q(x) = x+4 olarak elde edilir.
Bilinmeyen katsayıların (a, b, c, d) değerlerini kesinleştirmek amacıyla kurulan lineer denklem sistemleri ortak çözülür.
5
Çarpım polinomunun katsayılar toplamını bulmak.
P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun katsayılar toplamı için x=1x=1 yazılır. P(1)⋅Q(1)=3(1)⋅(1+4)=3⋅5=15P(1) \cdot Q(1) = 3(1) \cdot (1+4) = 3 \cdot 5 = 15 bulunur.
Bir polinomun katsayılar toplamı, polinomdaki değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri ile polinom eşitliği kullanılarak katsayıların belirlenmesi ve katsayılar toplamının bulunması.
ÖncekiSayfa 4 / 6Sonraki