Examkin

Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler

113 soru

Tüm türler113Çoktan seçmeli71Sayısal35Eşleştirme7
Soru 21Soru →
P(x)=(a−3)x4+(b−5)x3+5x15a−5x5+2xb−a+4P(x) = (a-3)x^4 + (b-5)x^3 + 5x^{\frac{15}{a}} - 5x^5 + 2x^{b-a} + 4 ifadesi ikinci dereceden bir polinom belirttiğine göre, P(b−a)P(b-a) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Polinomun ikinci dereceden olması koşulundan a = 3 ve b = 5 bulunur. Bu değerlerle elde edilen P(x) = 2x^2 + 4 polinomunda x = 2 yazılarak P(b-a) değeri 12 olarak hesaplanır.
Polinomun derecesinin 2 olması için 2'den büyük dereceli tüm terimlerin katsayıları sıfır olmalı veya sadeleşmelidir. −5x5-5x^5 terimini sadeleştiren terim 5x15a5x^{\frac{15}{a}} olup buradan a = 3 bulunur. Kalan ifadedeki (b−5)x3(b-5)x^3 teriminin sıfırlanması için b = 5 olmalıdır. Bu durumda elde edilen P(x) = 2x^2 + 4 polinomunda P(b-a) = P(2) = 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tanımını uygulayarak x^5 terimini sadeleştirecek a değerini belirlemek.
a=3a = 3 bulunur.
Polinomun derecesi 2 olduğundan 5. dereceden terimlerin birbirini yok etmesi gerekir.
2
a = 3 yazarak polinomu sadeleştirmek ve b değerini bulmak.
b=5b = 5 bulunur.
Polinomun derecesinin 2 olması için x^3 teriminin katsayısı sıfır olmalıdır.
3
P(x) polinomunu elde etmek ve istenen P(b-a) ifadesinde x yerine yazılacak değeri bulmak.
P(x)=2x2+4P(x) = 2x^2 + 4 ve b−a=2b-a = 2 bulunur.
P(b-a) = P(5-3) = P(2) değerini hesaplamak için polinom fonksiyonu oluşturulur.
4
Polinomda x = 2 yazarak sonucu hesaplamak.
1212 bulunur.
P(2)=2(2)2+4=8+4=12P(2) = 2(2)^2 + 4 = 8 + 4 = 12 işlemini gerçekleştirmek.

Anahtar Kavram

Polinom tanımı ve terimlerin üslerinin doğal sayı olması koşulu ile polinomun derecesi kavramı.
Soru 22Soru →
P(x)=(m2−9)xm+7m−1+2xm−2+(m−3)x5−mP(x) = (m^2 - 9)x^{\frac{m+7}{m-1}} + 2x^{m-2} + (m-3)x^{5-m}

ifadesi bir gerçek katsayılı polinom belirttiğine göre, mm parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

m parametresinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 10'dur.
İfadenin bir polinom belirtmesi için katsayısı sıfırdan farklı olan tüm terimlerin dereceleri doğal sayı olmalıdır. 2xm−22x^{m-2} terimi için m≥2m \ge 2 olmalıdır. (m−3)x5−m(m-3)x^{5-m} terimi için m≤5m \le 5 olmalıdır. Buradan mm tam sayısı 2,3,4,52, 3, 4, 5 değerlerini alabilir. Bu değerlerden m=3m=3 birinci terimin katsayısını sıfır yaparak polinom şartını sağlar. m=2m=2 ve m=5m=5 değerleri ise birinci terimin üssünü sırasıyla 99 ve 33 doğal sayıları yapar ve polinom şartını sağlar. Ancak m=4m=4 değeri birinci terimin üssünü 113\frac{11}{3} yaptığı için polinom belirtmez. Dolayısıyla mm parametresinin alabileceği değerlerin toplamı 2+3+5=102+3+5=10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom olma şartlarını belirleme
Bir ifadenin polinom belirtmesi için değişkenin tüm terimlerdeki üslerinin birer doğal sayı olması gerekir. Eğer bir terimin katsayısı sıfır ise, o terim yok olacağı için üssün doğal sayı olma zorunluluğu ortadan kalkar.
Polinom tanımının temel kuralını uygulamak için.
2
İkinci terimin üssünü inceleme
2xm−22x^{m-2} teriminin katsayısı 2≠02 \neq 0 olduğundan, üs olan m−2m-2 ifadesi bir doğal sayı olmalıdır. Buradan m−2≥0⇒m≥2m-2 \ge 0 \Rightarrow m \ge 2 ve mm bir tam sayı olmalıdır.
Katsayısı sıfırdan farklı olan terimin üssünün doğal sayı olması zorunluluğundan dolayı.
3
Üçüncü terimin üssünü ve katsayısını inceleme
(m−3)x5−m(m-3)x^{5-m} teriminin polinom belirtmesi için ya üssü doğal sayı olmalıdır (5−m≥0⇒m≤55-m \ge 0 \Rightarrow m \le 5) ya da katsayısı sıfır olmalıdır (m−3=0⇒m=3m-3 = 0 \Rightarrow m = 3). Her iki durumda da m≤5m \le 5 koşulu sağlanır. Adım 2 ile birleştirildiğinde mm tam sayısı 2≤m≤52 \le m \le 5 aralığında olmalıdır. Yani m∈{2,3,4,5}m \in \{2, 3, 4, 5\} olabilir.
Değişkenin üssünün negatif olmaması veya terimin katsayısının sıfır olup terimi yok etmesi durumunu incelemek için.
4
Birinci terimin polinom olma durumunu inceleme
(m2−9)xm+7m−1(m^2 - 9)x^{\frac{m+7}{m-1}} teriminin polinom belirtmesi için ya katsayısı sıfır olmalı (m2−9=0⇒m=±3m^2-9=0 \Rightarrow m=\pm 3) ya da üssü olan m+7m−1\frac{m+7}{m-1} bir doğal sayı olmalıdır. m≥2m \ge 2 olduğundan m=−3m=-3 olamaz. m=3m=3 ise katsayı sıfır olur ve terim polinom olma şartını sağlar. Diğer m∈{2,4,5}m \in \{2, 4, 5\} değerlerini üs ifadesinde yerine koyalım:
- m=2m=2 için 2+72−1=9\frac{2+7}{2-1} = 9 (doğal sayıdır, sağlar)
- m=4m=4 için 4+74−1=113\frac{4+7}{4-1} = \frac{11}{3} (doğal sayı değildir, sağlamaz)
- m=5m=5 için 5+75−1=3\frac{5+7}{5-1} = 3 (doğal sayıdır, sağlar)
Birinci terimin rasyonel üssünün tam sayı olma durumunu ve katsayının sıfır olma durumunu kontrol etmek için.
5
Bulunan değerleri toplama
mm değerleri 2,32, 3 ve 55 olup toplamları 2+3+5=102 + 3 + 5 = 10 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Polinom tanımı gereğince terimlerin derecelerinin doğal sayı olması ve katsayının sıfır olması durumunda üs sınırlandırmasının ortadan kalkması.
Soru 23Soru →
P(x)=(a2−9a+20)x12a−2+(a−4)xa−6+(a−5)x3a−6a−3+3x2−5P(x) = (a^2 - 9a + 20)x^{\frac{12}{a-2}} + (a-4)x^{a-6} + (a-5)x^{\frac{3a-6}{a-3}} + 3x^2 - 5

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Polinom tanımını sağlayan a tam sayılarının toplamı 10'dur.
Polinom tanımına göre, katsayısı sıfırdan farklı olan terimlerin üsleri doğal sayı olmak zorundadır. Katsayısı sıfır olan terimler ise sıfıra eşitleneceğinden üslerinin doğal sayı olması gerekmez. İfadeyi incelediğimizde katsayıları sıfır yapan kritik değerler 4 ve 5 olarak bulunur. 4 değeri yerine konulduğunda katsayısı sıfır olan terim yok olur ve kalan terimler polinom şartını sağlar. 5 değeri yerine konulduğunda ise katsayısı sıfır olmayan terimin üssü negatif (-1) olduğu için polinom oluşmaz. Katsayıların sıfırdan farklı olduğu durumda ise üslerin doğal sayı olma şartından yalnızca 6 değeri elde edilir. Böylece geçerli değerlerin toplamı 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayıları sıfır yapan kritik değerleri bulmak için birinci terimin katsayısı çarpanlarına ayrılır.
a2−9a+20=0  ⟹  (a−4)(a−5)=0  ⟹  a=4a^2 - 9a + 20 = 0 \implies (a-4)(a-5) = 0 \implies a = 4 veya a=5a = 5 katsayı kökleridir.
Katsayısı sıfır olan bir terim yutulacağı için o terimin üssünün doğal sayı olma şartı aranmaz. Bu nedenle katsayıyı sıfır yapan değerler özel olarak incelenmelidir.
2
Kritik değerlerden a=4a = 4 ifadesi polinomda yerine yazılarak kontrol edilir.
a=4a = 4 için: P(x)=0⋅x6+0⋅x−2−1⋅x6+3x2−5=−x6+3x2−5P(x) = 0 \cdot x^6 + 0 \cdot x^{-2} - 1 \cdot x^6 + 3x^2 - 5 = -x^6 + 3x^2 - 5 elde edilir.
Elde edilen ifade tüm üsleri doğal sayı olan geçerli bir polinomdur. Dolayısıyla a=4a = 4 geçerli bir değerdir.
3
Kritik değerlerden a=5a = 5 ifadesi polinomda yerine yazılarak kontrol edilir.
a=5a = 5 için: P(x)=0⋅x4+1⋅x−1+0⋅x0+3x2−5=x−1+3x2−5P(x) = 0 \cdot x^4 + 1 \cdot x^{-1} + 0 \cdot x^0 + 3x^2 - 5 = x^{-1} + 3x^2 - 5 elde edilir.
İkinci terimin üssü negatif (-1) olduğundan bu ifade bir polinom belirtmez. Dolayısıyla a=5a = 5 değeri elenir.
4
Katsayıların sıfırdan farklı olduğu durum (a≠4a \neq 4 ve a≠5a \neq 5) için üslerin doğal sayı olma koşulları incelenir.
12a−2∈N\frac{12}{a-2} \in \mathbb{N}, a−6≥0  ⟹  a≥6a-6 \ge 0 \implies a \ge 6 ve 3a−6a−3∈N\frac{3a-6}{a-3} \in \mathbb{N} olmalıdır.
Katsayılar sıfırdan farklı olduğunda tüm değişkenlerin üsleri doğal sayı olmak zorundadır.
5
Elde edilen eşitsizlik ve bölünebilme sınırları kesiştirilerek ortak çözüm aranır.
a≥6a \ge 6 olmalıdır. 12a−2\frac{12}{a-2}'nin doğal sayı olması için a−2a-2, 12'nin pozitif böleni olmalıdır. a≥6a \ge 6 için a−2≥4a-2 \ge 4 olur. 12'nin 4'e eşit veya büyük bölenleri: 4, 6, 12'dir. Buradan a∈{6,8,14}a \in \{6, 8, 14\} adayları bulunur. Bu adaylar arasından yalnızca a=6a = 6 değeri 3a−6a−3=123=4∈N\frac{3a-6}{a-3} = \frac{12}{3} = 4 \in \mathbb{N} şartını sağlar.
Üçüncü terimin üssünün de doğal sayı olmasını sağlayan tek ortak tam sayı değeri a=6a = 6 olarak belirlenir.
6
Geçerli tüm aa değerleri toplanır.
4+6=104 + 6 = 10
Polinom tanımını doğrulayan farklı a değerlerinin toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Polinom tanımında terim katsayılarının sıfır olması durumunda üslerin doğal sayı olma zorunluluğunun ortadan kalkması
Soru 24Soru →

mm ve nn pozitif tam sayılar olmak üzere,

P(x)=(m−2)x12m−n+(n−3)xm−5+4x8−mP(x) = (m-2)x^{\frac{12}{m-n}} + (n-3)x^{m-5} + 4x^{8-m}

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, m+nm + n toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

m + n toplamının alabileceği en büyük değer 15'tir.
En büyük toplam değeri, m'nin en büyük değeri olan 8 ve bu durumda derecenin doğal sayı olmasını sağlayan en büyük n değeri olan 7 kullanılarak 15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayısı kesinlikle sıfırdan farklı olan terimin derecesini incelemek.
8−m≥0⇒m≤88-m \ge 0 \Rightarrow m \le 8 elde edilir.
Polinom tanımı gereği, sıfırdan farklı katsayılı terimlerin dereceleri doğal sayı olmalıdır.
2
Değişken katsayılı ikinci terimi katsayının sıfır olma ve olmama durumlarına göre incelemek.
n=3n=3 ise m−5m-5 serbesttir; n≠3n \neq 3 ise m≥5m \ge 5 olmalıdır.
Katsayının sıfır olması durumunda derecenin doğal sayı olma zorunluluğu ortadan kalkar.
3
İlk terimin derecesinin doğal sayı olma koşulunu m=8m=8 değeri için incelemek.
8−n8-n ifadesi 12'nin pozitif bölenleri olan {1,2,3,4,6}\{1, 2, 3, 4, 6\} kümesinin elemanı olmalıdır. Buradan en büyük pozitif tam sayı değeri n=7n=7 olarak bulunur.
m + n toplamını en büyük yapmak için m'yi alabileceği en büyük değer olan 8 seçip, buna uygun en büyük n pozitif tam sayısını bulmak.
4
Bulunan m=8m=8 ve n=7n=7 değerlerinin tüm terimler için polinom tanımını sağladığını doğrulamak ve toplamı hesaplamak.
m+n=8+7=15m+n = 8+7 = 15 bulunur.
Koşulları sağlayan en büyük m ve n değerlerinin toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin polinom belirtmesi için değişkenlerin kuvvetleri birer doğal sayı olmalıdır. Katsayısı sıfır olan terimler bu kurala tabi değildir.
Soru 25Soru →
P(x)=3x30−n2+2xn2−16−x5+4P(x) = 3x^{30 - n^2} + 2x^{n^2 - 16} - x^5 + 4

ifadesi gerçek katsayılı bir polinom belirtmektedir.

Buna göre, nn tam sayısı için P(x)P(x) polinomunun derecesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

P(x) polinomunun derecesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 23'tür.
Polinom tanımına göre değişkenin üsleri doğal sayı olmalıdır. Bu koşuldan yola çıkarak n² değerinin 16 ve 25 olabileceği belirlenir. Bu değerler için elde edilen derecelerin (14 ve 9) toplamı 23'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun terimlerinin üslerini belirleme ve sınır koşullarını yazma.
Değişken olan xx ifadesinin üsleri olan 30−n230 - n^2 ve n2−16n^2 - 16 değerlerinin doğal sayı olması gerektiğinden, 30−n2≥030 - n^2 \geq 0 ve n2−16≥0n^2 - 16 \geq 0 olmalıdır.
Bir ifadenin polinom belirtmesi için tüm değişkenlerinin üsleri doğal sayı (N={0,1,2,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}) olmalıdır.
2
Elde edilen eşitsizlik sistemini çözme ve n2n^2 için olası tam sayı karelerini bulma.
16≤n2≤3016 \leq n^2 \leq 30 elde edilir. nn bir tam sayı olduğundan, n2n^2 bir tam kare sayı olmalıdır. Bu aralıktaki tam kare sayılar 16 ve 25'tir.
nn tam sayı olduğu için karesi bir tam kare sayı olmak zorundadır.
3
Bulunan n2n^2 değerleri için polinomun derecelerini hesaplama.
n2=16n^2 = 16 için P(x)=3x14−x5+6P(x) = 3x^{14} - x^5 + 6 olup derece 14'tür. n2=25n^2 = 25 için P(x)=2x9+2x5+4P(x) = 2x^9 + 2x^5 + 4 olup derece 9'dur.
Her bir n2n^2 durumu için polinomun en büyük üslü teriminin derecesini bulmak gerekir.
4
Elde edilen farklı derecelerin toplamını hesaplama.
Farklı derecelerin toplamı 14+9=2314 + 9 = 23 bulunur.
Soru bizden polinomun derecesinin alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin polinom belirtme şartı ve polinomun derecesi kavramı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 26Soru →
P(x)=x2−ax+5P(x) = x^2 - ax + 5
Q(x)=2x−3Q(x) = 2x - 3

polinomları veriliyor.

P(x)+Q(x)P(x) + Q(x) polinomunun katsayılar toplamı 88 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Bilinmeyen katsayı olan a değeri -3'tür.
Verilen iki polinomun toplamının katsayılar toplamı, bu polinomların x=1x=1 noktasındaki değerlerinin toplamına eşittir. P(1)=6−aP(1) = 6 - a ve Q(1)=−1Q(1) = -1 değerleri toplanıp 88'e eşitlendiğinde 5−a=85 - a = 8 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü a=−3a = -3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı kuralını uygulamak.
P(x)+Q(x)P(x) + Q(x) toplam polinomunun katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılarak P(1)+Q(1)P(1) + Q(1) elde edilir.
Bir polinomun katsayılar toplamı, o polinomda değişken yerine 1 yazılmasıyla bulunur.
2
P(1)P(1) ve Q(1)Q(1) değerlerini ayrı ayrı hesaplamak.
P(1)=6−aP(1) = 6 - a ve Q(1)=−1Q(1) = -1 olarak bulunur.
Toplama işleminin bileşenlerini elde ederek denklemde yerine koyabilmek.
3
Elde edilen değerleri toplayıp 8'e eşitlemek ve a değerini bulmak.
6−a+(−1)=8  ⟹  5−a=8  ⟹  a=−36 - a + (-1) = 8 \implies 5 - a = 8 \implies a = -3 elde edilir.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek a katsayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Polinomlarda toplama işlemi ve katsayılar toplamı kavramı
Soru 27Soru →
P(x)=3x36n−xn−5+5P(x) = 3x^{\frac{36}{n}} - x^{n-5} + 5 ifadesi bir polinomdur. Q(x)Q(x) bir polinom olmak üzere,
der[P(x)⋅Q(x)]=15\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = 15
der[P(x2)Q(x)]=24\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 24
olduğu biliniyor.

Buna göre, der[P(Q(x))]+der[Q(xn)]\text{der}[P(Q(x))] + \text{der}[Q(x^n)] ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 62

Cevap

62 değerini içeren seçenek doğrudur.
Doğru cevap 62'dir. P(x)P(x) polinomunun derecesi 13, Q(x)Q(x) polinomunun derecesi 2 ve nn değeri 18 olarak bulunur. Bu değerlere göre bileşke derece der[P(Q(x))]=13⋅2=26\text{der}[P(Q(x))] = 13 \cdot 2 = 26 ve değişkenin kuvveti derecesi der[Q(x18)]=18⋅2=36\text{der}[Q(x^{18})] = 18 \cdot 2 = 36 olup toplamları 62'yi vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tan��mından yararlanarak n parametresinin alabileceği değerler kümesini sınırlandırmak.
n∈{6,9,12,18,36}n \in \{6, 9, 12, 18, 36\}
P(x)P(x) ifadesinin polinom belirtebilmesi için xx değişkeninin tüm üslerinin doğal sayı olması gerekir. 36n∈N\frac{36}{n} \in \mathbb{N} ve n−5≥0n - 5 \ge 0 koşullarından n≥5n \ge 5 ve nn sayısı 36'nın pozitif bir böleni olmalıdır.
2
Verilen derece bağıntılarından P(x) ve Q(x) polinomlarının derecelerini hesaplamak.
der[P(x)]=13\text{der}[P(x)] = 13 ve der[Q(x)]=2\text{der}[Q(x)] = 2
der[P(x)]=p\text{der}[P(x)] = p ve der[Q(x)]=q\text{der}[Q(x)] = q olsun. der[P(x)⋅Q(x)]=p+q=15\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = p + q = 15 ve der[P(x2)/Q(x)]=2p−q=24\text{der}[P(x^2)/Q(x)] = 2p - q = 24 denklemleri taraf tarafa toplanırsa 3p=39  ⟹  p=133p = 39 \implies p = 13 ve q=2q = 2 bulunur.
3
P(x) polinomunun derecesinin 13 olmasını sağlayan n değerini belirlemek.
n=18n = 18
P(x)P(x) polinomunun derecesi terimlerin üslerinin en büyüğüdür. der[P(x)]=max⁡(36n,n−5)=13\text{der}[P(x)] = \max\left(\frac{36}{n}, n-5\right) = 13 eşitliğinden n−5=13  ⟹  n=18n - 5 = 13 \implies n = 18 elde edilir. Bu değer için 3618=2≤13\frac{36}{18} = 2 \le 13 şartı da sağlanır.
4
İstenen bileşke ve kuvvet polinomlarının derecelerinin toplamını hesaplamak.
der[P(Q(x))]+der[Q(x18)]=62\text{der}[P(Q(x))] + \text{der}[Q(x^{18})] = 62
der[P(Q(x))]=der[P(x)]⋅der[Q(x)]=13⋅2=26\text{der}[P(Q(x))] = \text{der}[P(x)] \cdot \text{der}[Q(x)] = 13 \cdot 2 = 26 ve der[Q(x18)]=18⋅der[Q(x)]=18⋅2=36\text{der}[Q(x^{18})] = 18 \cdot \text{der}[Q(x)] = 18 \cdot 2 = 36 değerleri toplanarak 26+36=6226 + 36 = 62 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Polinom Derece Kuralları ve Polinom Tanım Şartları

Alternatif Yöntem

Polinom dereceleri bulunduktan sonra, nn sayısının alabileceği {6,9,12,18,36}\{6, 9, 12, 18, 36\} değerleri derece tanımında yerine yazılarak kontrol edilebilir ve n=18n = 18 değeri direkt olarak elenebilir/seçilebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 28Soru →

Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki iki polinomu yazmıştır:

P(x)=2x2−3x+4P(x) = 2x^2 - 3x + 4
Q(x)=x2+5x−2Q(x) = x^2 + 5x - 2

Öğretmen, öğrencilerinden 2⋅P(x)−Q(x)2 \cdot P(x) - Q(x) işleminin sonucunu bulmalarını istemiştir.

Buna göre, bu işlemin doğru sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x2−11x+103x^2 - 11x + 10

Cevap

İşlemin doğru sonucu 3x2−11x+103x^2 - 11x + 10 polinomudur.
Doğru cevap olan polinom, P(x)P(x) polinomunun tüm terimlerinin 2 ile çarpılmasından sonra Q(x)Q(x) polinomunun çıkarılması ve benzer terimlerin birleştirilmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)P(x) polinomu 2 sayısı ile çarpılır.
2⋅P(x)=2⋅(2x2−3x+4)=4x2−6x+82 \cdot P(x) = 2 \cdot (2x^2 - 3x + 4) = 4x^2 - 6x + 8 elde edilir.
Polinomun bir sayı ile çarpılmasında tüm terimlerin katsayıları bu sayı ile çarpılır.
2
Elde edilen 2⋅P(x)2 \cdot P(x) polinomundan Q(x)Q(x) polinomu çıkarılır.
(4x2−6x+8)−(x2+5x−2)=4x2−6x+8−x2−5x+2(4x^2 - 6x + 8) - (x^2 + 5x - 2) = 4x^2 - 6x + 8 - x^2 - 5x + 2 olur.
Çıkarma işlemindeki eksi işareti, çıkarılan polinomun parantez içindeki tüm terimlerine dağıtılır.
3
Benzer dereceli terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanarak sadeleştirme yapılır.
(4−1)x2+(−6−5)x+(8+2)=3x2−11x+10(4-1)x^2 + (-6-5)x + (8+2) = 3x^2 - 11x + 10 olarak bulunur.
Aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda toplama, çıkarma ve bir gerçek sayı ile çarpma işlemleri.
Soru 29Soru →
P(x)=(n−3)xn2+7n−2+(n+2)x18n+3−n2x+5P(x) = (n-3)x^{\frac{n^2+7}{n-2}} + (n+2)x^{\frac{18}{n+3}} - n^2 x + 5

ifadesi bir gerçek katsayılı polinom belirtmektedir.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Polinomun katsayılar toplamı 1'dir.
Verilen ifadenin bir polinom belirtmesi için n=3n = 3 olmalıdır. Bu durumda polinom P(x)=5x3−9x+5P(x) = 5x^3 - 9x + 5 şeklini alır ve katsayılar toplamı P(1)=5−9+5=1P(1) = 5 - 9 + 5 = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tanımı gereği, değişkenin tüm kuvvetlerinin birer doğal sayı olması veya ilgili terimin katsayısının sıfır olması gerektiğini belirleme.
İlk terimin üssü olan n2+7n−2\frac{n^2+7}{n-2} ifadesi ile ikinci terimin üssü olan 18n+3\frac{18}{n+3} ifadesinin birer doğal sayı olması gerekir. Eğer bu şart sağlanmıyorsa, o terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
Polinom tanımında değişkenin üsleri doğal sayı olmak zorundadır.
2
İlk terimin üssü olan n2+7n−2\frac{n^2+7}{n-2} ifadesini polinom bölmesi veya cebirsel düzenleme ile inceleme.
n2+7n−2=(n2−4)+11n−2=n+2+11n−2\frac{n^2+7}{n-2} = \frac{(n^2-4) + 11}{n-2} = n + 2 + \frac{11}{n-2} elde edilir. nn tam sayısı için bu ifadenin bir tam sayı belirtmesi amacıyla n−2n-2 ifadesi 11'in böleni olmal��dır. 11'in bölenleri {±1,±11}\{\pm 1, \pm 11\} olduğundan n∈{3,1,13,−9}n \in \{3, 1, 13, -9\} değerleri bulunur.
Rasyonel ifadenin tam sayı değerler alabilmesi için paydanın payı tam bölmesi gerekir.
3
Bulunan nn adaylarının üslerinin doğal sayı olma ve katsayıların sıfır olma durumlarını kontrol etme.
- n=3n = 3 için: İlk terimin katsayısı n−3=0n-3 = 0 olur ve terim sıfırlanarak yok olur. İkinci terimin üssü 183+3=3\frac{18}{3+3} = 3 (doğal sayı) ve katsayısı 3+2=5≠03+2 = 5 \neq 0 olur. Bu durumda ifade bir polinomdur.
- n=1n = 1 için: İlk terimin üssü 1+2+11−1=−81 + 2 + \frac{11}{-1} = -8 (doğal sayı değil) ve katsayısı 1−3=−2≠01-3 = -2 \neq 0 olduğundan polinom belirtmez.
- n=13n = 13 için: İlk terimin üssü 13+2+1=1613 + 2 + 1 = 16 (doğal sayı) olur ancak ikinci terimin üssü 1816=98\frac{18}{16} = \frac{9}{8} (doğal sayı değil) ve katsayısı 13+2=15≠013+2 = 15 \neq 0 olduğundan polinom belirtmez.
- n=−9n = -9 için: İlk terimin üssü −9+2−1=−8-9 + 2 - 1 = -8 (doğal sayı değil) ve katsayısı −9−3=−12≠0-9-3 = -12 \neq 0 olduğundan polinom belirtmez.
- İkinci terimin katsayısını sıfır yapan n=−2n = -2 değeri için: İkinci terim sıfırlanır ancak ilk terimin üssü 11−4\frac{11}{-4} tam sayı olmadığından ve katsayısı −2−3=−5≠0-2-3 = -5 \neq 0 olduğundan polinom belirtmez.
Her bir adayın hem ilk hem de ikinci terim için polinom olma şartını sağlayıp sağlamadığı test edilir.
4
Sağlayan tek değer olan n=3n = 3 için polinomu yazıp katsayılar toplamını hesaplama.
P(x)=(3−3)x16+(3+2)x3−32x+5=5x3−9x+5P(x) = (3-3)x^{16} + (3+2)x^3 - 3^2 x + 5 = 5x^3 - 9x + 5 olur. Katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılır: P(1)=5(1)3−9(1)+5=1P(1) = 5(1)^3 - 9(1) + 5 = 1 bulunur.
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için değişkene 1 değeri verilir.

Anahtar Kavram

Polinom olma şartında üslerin doğal sayı olması ve katsayısı sıfır olan terimlerin üs sınırlamalarından muaf olması.
Soru 30Soru →

nn bir tam sayı olmak üzere,

P(x)=3x362n−1+xn−23−4x8−nP(x) = 3x^{\frac{36}{2n-1}} + x^{\frac{n-2}{3}} - 4x^{8-n}

ifadesi bir polinom belirtmektedir.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun derecesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Polinomun derecesinin alabileceği en büyük değer 12'dir.
Polinom tanımına göre tüm üslerin doğal sayı olması gerekir. Bu koşulları sağlayan n değerleri 2 ve 5 olup, n = 2 için polinomun üsleri 12, 0 ve 6 olur. Bu üsler arasında en büyüğü 12 olduğundan en büyük derece 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tanımına göre x'in kuvvetlerinin doğal sayı olması gerektiği belirlenir.
36/(2n-1) >= 0 (tam sayı), (n-2)/3 >= 0 (tam sayı) ve 8-n >= 0 (tam sayı) koşulları elde edilir.
Bir ifadenin polinom belirtebilmesi için tüm değişken terimlerinin derecelerinin doğal sayı olması şarttır.
2
Elde edilen eşitsizlik ve bölünebilme şartlarından n için olası değerler bulunur.
n >= 2 ve n <= 8 aralığında n-2 ifadesini 3'ün katı yapan n değerleri 2, 5 ve 8 olarak tespit edilir.
n-2 ifadesinin 3'e tam bölünebilmesi ve 8-n ifadesinin negatif olmaması sınırlarını belirlemek için.
3
Olası n değerleri 36/(2n-1) ifadesinde yerine yazılarak doğal sayı olma şartı denetlenir.
n=2 için 12, n=5 için 4 elde edilir ve bu değerler geçerlidir; n=8 için rasyonel sayı çıktığından elenir.
Tüm üslerin aynı anda doğal sayı olmasını sağlayan n değerlerini bulmak için.
4
Geçerli n değerleri için polinomların dereceleri hesaplanır ve en büyüğü seçilir.
n=2 için derece 12, n=5 için derece 4 olur. En büyük değer 12'dir.
Derece, polinomdaki en büyük üslü terimin üssü olduğundan her iki durum için de bu değer karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin polinom belirtme şartı ve polinomun derecesi
Soru 31Soru →
P(x)=2x18a−2−x10−a+a−1P(x) = 2x^{\frac{18}{a-2}} - x^{10-a} + a - 1

ifadesi bir polinom belirtmektedir.

Derecesi en küçük olan P(x)P(x) polinomu için,

der[P(x2)⋅Q(x)]=11\text{der}[P(x^2) \cdot Q(x)] = 11

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, Q(P(x))Q(P(x)) polinomunun derecesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Bileşke polinomunun derecesi 15 olarak bulunur.
Derecesi en küçük seçilen P(x) polinomunun derecesi 3, verilen derece denkleminden yararlanılarak hesaplanan Q(x) polinomunun derecesi ise 5'tir. Bu iki polinomun bileşkesinin derecesi, derecelerinin çarpımı olan 15 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x) ifadesinin bir polinom belirtmesi için x'in üslerinin doğal sayı olması koşulunu belirleme.
a−2>0a - 2 > 0 ve a−2a - 2 sayısı 18'in pozitif bir böleni olmalıdır. Ayrıca 10−a≥0  ⟹  a≤1010 - a \geq 0 \implies a \leq 10 olmalıdır.
Polinom tanımı gereği, değişkenlerin üsleri doğal sayılar kümesinin (N = {0, 1, 2, ...}) elemanı olmalıdır.
2
18'in pozitif bölenlerini yazıp a parametresinin alabileceği değerleri ve bunlara karşılık gelen P(x) polinomunun derecelerini hesaplama.
a−2∈{1,2,3,6,9,18}  ⟹  a∈{3,4,5,8,11,20}a - 2 \in \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \implies a \in \{3, 4, 5, 8, 11, 20\}. a≤10a \leq 10 koşulunu sağlayan a değerleri: 3, 4, 5 ve 8'dir. Bu değerler i��in dereceler sırasıyla 18, 9, 6 ve 3 olur.
Derecesi en küçük olan P(x) polinomunu seçebilmek için tüm alternatif dereceleri karşılaştırmamız gerekir.
3
Derecesi en küçük olan P(x) polinomunu belirleme ve Q(x) polinomunun derecesini bulma.
En küçük derece der[P(x)]=3\text{der}[P(x)] = 3'tür (a = 8 için). der[P(x2)⋅Q(x)]=2⋅der[P(x)]+der[Q(x)]=11  ⟹  2⋅3+der[Q(x)]=11  ⟹  der[Q(x)]=5\text{der}[P(x^2) \cdot Q(x)] = 2 \cdot \text{der}[P(x)] + \text{der}[Q(x)] = 11 \implies 2 \cdot 3 + \text{der}[Q(x)] = 11 \implies \text{der}[Q(x)] = 5 bulunur.
Çarpım polinomunun derecesi, çarpan polinomların derecelerinin toplamına; P(xk)P(x^k) ifadesinin derecesi ise derece ile k'nin çarpımına eşittir.
4
Q(P(x)) bileşke polinomunun derecesini hesaplama.
der[Q(P(x))]=der[Q(x)]⋅der[P(x)]=5⋅3=15\text{der}[Q(P(x))] = \text{der}[Q(x)] \cdot \text{der}[P(x)] = 5 \cdot 3 = 15 elde edilir.
Bileşke polinomunun derecesi, bileşkeyi oluşturan polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Polinom Tanım Kriterleri ve Polinomlarda Derece İşlemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →

P(x)=x3−2x2+ax−5P(x) = x^3 - 2x^2 + ax - 5 polinomunun x−3x - 3 ile bölümünden kalan 1010 olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2'dir.
Polinomlarda kalan teoremine göre, bir P(x)P(x) polinomunun x−3x - 3 ile bölümünden kalan P(3)P(3) değerine eşittir. Soruda kalan 1010 olarak belirtildiği için P(3)=10P(3) = 10 eşitliği sağlanmalıdır. Polinomda xx yerine 33 yazıldığında P(3)=33−2⋅32+3a−5=4+3aP(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3a - 5 = 4 + 3a elde edilir. Bu ifadeyi 1010'a eşitlediğimizde 4+3a=104 + 3a = 10 denklemi kurulur ve buradan a=2a = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan teoreminden faydalanarak polinomun x−3x - 3 ile bölümünden kalanı ifade eden eşitliği belirlemek.
P(3)=10P(3) = 10 eşitliği elde edilir.
Bir polinomun x−kx - k ile bölümünden kalan, polinomda xx yerine kk yazılmasıyla bulunur.
2
Polinomda xx yerine 33 yazarak P(3)P(3) ifadesinin değerini aa cinsinden bulmak.
P(3)=33−2⋅32+a⋅3−5=27−18+3a−5=4+3aP(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + a \cdot 3 - 5 = 27 - 18 + 3a - 5 = 4 + 3a
Değişkenin yerine 33 yazılmasıyla polinomun bu noktadaki değeri hesaplanmış olur.
3
4+3a=104 + 3a = 10 denklemini çözerek aa değerini hesaplamak.
3a=6⇒a=23a = 6 \Rightarrow a = 2
Elde edilen cebirsel ifade, soruda verilen kalan değerine eşitlenerek bilinmeyen katsayı bulunur.

Anahtar Kavram

Polinomlarda Kalan Teoremi
Soru 33Soru →
Katsayıları gerçel sayılardan oluşan P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının dereceleri sırasıyla pp ve qq'dur. Bu polinomlar arasında
der[P(x⋅Q(x))]=24\text{der}[P(x \cdot Q(x))] = 24
der[P(x2)Q3(x)]=10\text{der}\left[ \frac{P(x^2)}{Q^3(x)} \right] = 10
ilişkileri bulunmaktadır.
Buna göre, P(x)P(x) polinomunun terimlerinde yer alan x36m−3x^{\frac{36}{m - 3}} ve x14−mx^{14 - m} ifadelerindeki mm tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Ortak m tam sayı değerlerinin toplamı olan 21 sayısıdır.
Derece denklemlerinin çözümünden elde edilen p=8p = 8 derecesi sınırında, her iki terimin üssünün de [0,8][0, 8] aralığında birer doğal sayı olmasını sağlayan ortak mm değerleri 99 ve 1212 olup, bu değerlerin toplamı doğru seçenekteki gibi 2121'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların dereceleri olan pp ve qq değerlerini bulmak için derece denklemleri kurulur.
Birinci denklemden: der[P(x⋅Q(x))]=p⋅(q+1)=24\text{der}[P(x \cdot Q(x))] = p \cdot (q + 1) = 24
İkinci denklemden: der[P(x2)/Q3(x)]=2p−3q=10\text{der}[P(x^2) / Q^3(x)] = 2p - 3q = 10
elde edilir.
Bileşke, çarpım ve bölüm işlemlerinin derece üzerindeki kurallarını uygulamak için.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.
2p−3q=10  ⟹  p=3q+1022p - 3q = 10 \implies p = \frac{3q + 10}{2} ifadesi ilk denklemde yerine yazılır:
3q+102(q+1)=24  ⟹  (3q+10)(q+1)=48  ⟹  3q2+13q−38=0\frac{3q + 10}{2} (q + 1) = 24 \implies (3q + 10)(q + 1) = 48 \implies 3q^2 + 13q - 38 = 0
(3q+19)(q−2)=0(3q + 19)(q - 2) = 0 denkleminin pozitif tam sayı kökü q=2q = 2'dir.
Buradan p=3(2)+102=8p = \frac{3(2) + 10}{2} = 8 olarak bulunur.
Polinomların derecelerini tam olarak belirlemek için.
3
Birinci terim olan x36m−3x^{\frac{36}{m - 3}} ifadesinin üssünün polinom tanımına ve derece sınırına uygunluğu incelenir.
Polinom tanımına göre üs bir doğal sayı olmalı ve dereceyi (88) aşmamalıdır.
0≤36m−3≤80 \le \frac{36}{m - 3} \le 8
Buna göre 36m−3\frac{36}{m - 3} ifadesi 3636'nın 88 veya daha küçük pozitif bölenleri olmalıdır. Bu bölenler {1,2,3,4,6}\{1, 2, 3, 4, 6\}'dır.
m−3m - 3 değerleri sırasıyla {36,18,12,9,6}\{36, 18, 12, 9, 6\} olur.
Buradan m∈{39,21,15,12,9}m \in \{39, 21, 15, 12, 9\} elde edilir.
İlk terimin üssünün geçerli bir polinom terimi oluşturma şartlarını uygulamak için.
4
İkinci terim olan x14−mx^{14 - m} ifadesinin üssünün polinom tanımına ve derece sınırına uygunluğu incelenir.
Üs doğal sayı olmalı ve dereceyi (88) aşmamalıdır.
0≤14−m≤8  ⟹  6≤m≤140 \le 14 - m \le 8 \implies 6 \le m \le 14
elde edilir.
İkinci terimin üssünün geçerli bir polinom terimi oluşturma şartlarını uygulamak için.
5
Her iki terim için bulunan mm değerlerinin kesişimi alınarak toplam bulunur.
m∈{39,21,15,12,9}m \in \{39, 21, 15, 12, 9\} ve 6≤m≤146 \le m \le 14 koşullarını birlikte sağlayan mm değerleri {9,12}\{9, 12\}'dir.
Bu değerlerin toplamı 9+12=219 + 12 = 21 olarak hesaplanır.
Polinomun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olmasını sağlayan ortak mm değerlerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Polinom derecesi özellikleri ve polinom olabilme şartı (üslerin doğal sayı olması ve dereceyi aşmaması)
Soru 34Soru →
Dördüncü dereceden gerçel katsayılı bir P(x)P(x) polinomunun her xx gerçel sayısı için
P(x)≥2x+1P(x) \geq 2x + 1
eşitsizliğini sağladığı biliniyor.

P(1)=3P(1) = 3, P(2)=5P(2) = 5 ve P(3)=11P(3) = 11 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−4x+3x^2 - 4x + 3 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4x−14x - 1

Cevap

4x−14x - 1
Polinomun x2−4x+3x^2 - 4x + 3 ile bölümünden kalan, katsayıları m=4m = 4 ve n=−1n = -1 olan birinci dereceden bir polinomdur ve bu değerler denklem sisteminin doğru çözülmesiyle elde edilen doğrusal terime karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikten yeni bir yardımcı fonksiyon tanımlama
Q(x)=P(x)−(2x+1)Q(x) = P(x) - (2x + 1) tanımlanırsa, her xx gerçel sayısı için Q(x)≥0Q(x) \geq 0 olur.
Eşitsizlik sınır durumlarını ve polinomun katlı köklerini belirlemek için ifadeyi sıfıra eşit veya büyük bir forma getirmeliyiz.
2
Köklerin yerlerini ve özelliklerini belirleme
Q(1)=P(1)−3=0Q(1) = P(1) - 3 = 0 ve Q(2)=P(2)−5=0Q(2) = P(2) - 5 = 0 bulunur. Her xx için Q(x)≥0Q(x) \geq 0 olduğundan, bu kökler çift katlı kök olmalıdır.
Eğer kökler tek katlı olsaydı, fonksiyon kök noktasında işaret değiştirerek negatif değerler alırdı. Bu durum Q(x)≥0Q(x) \geq 0 şartıyla çelişirdi.
3
Polinomun genel denklemini yazma
Q(x)=a(x−1)2(x−2)2Q(x) = a(x-1)^2(x-2)^2 şeklindedir (a>0a > 0). Buradan P(x)=a(x−1)2(x−2)2+2x+1P(x) = a(x-1)^2(x-2)^2 + 2x + 1 elde edilir.
P(x)P(x) dördüncü dereceden bir polinom olduğundan, Q(x)Q(x) de dördüncü derecedendir ve çift katlı kökleri (x−1)2(x-1)^2 ile (x−2)2(x-2)^2 çarpanlarını içerir.
4
Bilinmeyen katsayıyı bulma
P(3)=a(3−1)2(3−2)2+2(3)+1=11⇒4a+7=11⇒a=1P(3) = a(3-1)^2(3-2)^2 + 2(3) + 1 = 11 \Rightarrow 4a + 7 = 11 \Rightarrow a = 1 bulunur. Buradan P(x)=(x−1)2(x−2)2+2x+1P(x) = (x-1)^2(x-2)^2 + 2x + 1 olur.
Verilen P(3)=11P(3) = 11 değerini kullanarak başkatsayı olan aa'yı belirleriz.
5
Bölme işleminde kalan polinomunun denklemini kurma
P(x)P(x) polinomunun x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) ile bölümünden kalan K(x)=mx+nK(x) = mx + n olsun. P(x)=(x−1)(x−3)B(x)+mx+nP(x) = (x-1)(x-3)B(x) + mx + n yazılır.
İkinci dereceden bir bölene ait kalan polinomunun derecesi en fazla 1 olabilir.
6
Katsayıları çözme
x=1⇒P(1)=m+n=3x = 1 \Rightarrow P(1) = m + n = 3
x=3⇒P(3)=3m+n=11x = 3 \Rightarrow P(3) = 3m + n = 11
Bu iki denklem taraf tarafa çıkarılırsa 2m=8⇒m=42m = 8 \Rightarrow m = 4 ve n=−1n = -1 bulunur.
Elde edilen katsayılar yerine yazılarak kalan polinomu K(x)=4x−1K(x) = 4x - 1 şeklinde belirlenir.

Anahtar Kavram

Bir polinomun alt sınır eşitsizliği yardımıyla teğetlik (çift katlı kök) mantığıyla denkleminin yazılması ve kalan teoreminde derece sınırlarına göre kalanın belirlenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 35Soru →

P(x)=x2−6x+12P(x) = x^2 - 6x + 12

polinomu veriliyor.

Buna göre, P(x+2)P(x+2) polinomunun x−1x - 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 değeridir.
Bölme ve kalan bulma kuralına göre, P(x+2)P(x+2) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalanını bulmak için bölen sıfıra eşitlenir: x−1=0⇒x=1x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1. Bulunan bu x=1x = 1 değeri bölünen polinomda yerine yazıldığında aranan kalan P(1+2)=P(3)P(1+2) = P(3) olur. P(x)=x2−6x+12P(x) = x^2 - 6x + 12 polinomunda x=3x = 3 yazıldığında P(3)=32−6⋅3+12=3P(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 12 = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölen polinomu sıfıra eşitleyerek x değerini bulunuz.
x−1=0⇒x=1x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 elde edilir.
Bir polinomun bir doğrusal ifade ile bölümünden kalanı bulmak için bölen ifade sıfıra eşitlenir.
2
Bulunan x değerini bölünen polinomda yerine yazarak aranan kalan ifadesini belirleyiniz.
P(x+2)P(x+2) ifadesinde x=1x = 1 yazıldığında kalan P(1+2)=P(3)P(1+2) = P(3) olur.
Kalanı veren terim, bölenin kökünün bölünen polinomda yerine yazılmasıyla elde edilir.
3
P(3)P(3) değerini hesaplamak için verilen polinomda x yerine 3 yazınız.
P(3)=32−6⋅3+12=9−18+12=3P(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 12 = 9 - 18 + 12 = 3 olarak bulunur.
P(x)P(x) polinomunun kuralında x yerine 3 konularak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulmak için bölen sıfıra eşitlenip elde edilen kök bölünen polinomda yerine yazılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 36Soru →
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) sıfırdan farklı birer polinomdur.
der[P(x2)⋅Q(x)]=12\text{der}[P(x^2) \cdot Q(x)] = 12
der[P(x)⋅Q(x3)]=11\text{der}[P(x) \cdot Q(x^3)] = 11
olduğuna göre, der[P(Q(x))+x7⋅Q(x)]\text{der}[P(Q(x)) + x^7 \cdot Q(x)] ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Derece kuralları uygulandığında P(x) polinomunun derecesi 5, Q(x) polinomunun derecesi 2 bulunur. Bileşke polinomun derecesi der[P(x)] * der[Q(x)] = 10 olurken, diğer terimin derecesi 7 + 2 = 9 olur. Toplamın derecesi bu iki değerin en büyüğü olan 10'a eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x) ve Q(x) polinomlarının derecelerini sırasıyla a ve b olarak tanımlayıp verilen derece işlemlerine göre denklem sistemini yazın.
2a + b = 12 ve a + 3b = 11
Polinomların çarpımında dereceler toplanır, üs alındığında veya değişkenin kuvveti alındığında dereceler çarpılır.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek a ve b değerlerini bulun.
a = 5 ve b = 2
Birinci denklemden b = 12 - 2a ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında a = 5 ve buradan b = 2 elde edilir.
3
İstenen P(Q(x)) + x^7 * Q(x) ifadesindeki terimlerin derecelerini ayrı ayrı hesaplayıp büyük olanı belirleyin.
der[P(Q(x))] = 5 * 2 = 10, der[x^7 * Q(x)] = 7 + 2 = 9. Buradan toplamın derecesi max(10, 9) = 10 olur.
Bileşke polinomun derecesi derecelerin çarpımına eşittir. Farklı dereceli iki polinomun toplamının derecesi ise derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda derece işlemlerinin kuralları ve iki bilinmeyenli denklem çözümü
Soru 37Soru →
x2−7x+11=0x^2 - 7x + 11 = 0

olduğuna göre,

(x−3)2+1(x−3)2(x-3)^2 + \frac{1}{(x-3)^2}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.
Soruda verilen ikinci dereceden denklem x−3x-3 cinsinden yazıldığında u2−u−1=0u^2 - u - 1 = 0 biçimine dönüşür. Buradan u−1/u=1u - 1/u = 1 elde edilir. İstenen u2+1/u2u^2 + 1/u^2 ifadesi, tam kare özdeşliği yardımıyla (u−1/u)2+2(u - 1/u)^2 + 2 şeklinde yazılıp yerine konduğunda sonuç 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x−3=ux - 3 = u değişken değiştirmesi yapılır.
x=u+3x = u + 3 olur.
Sorudaki (x−3)(x-3) terimlerini tek bir değişken altında toplayarak cebirsel işlemleri sadeleştirmek amacıyla değişken değiştirme uygulanır.
2
x=u+3x = u + 3 ifadesi x2−7x+11=0x^2 - 7x + 11 = 0 denkleminde yerine yazılır ve açılır.
u2−u−1=0u^2 - u - 1 = 0 elde edilir.
Yeni değişken cinsinden ikinci dereceden denklemi elde etmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.
3
u2−u−1=0u^2 - u - 1 = 0 denkleminin her iki tarafı uu ile bölünür.
u−1u=1u - \frac{1}{u} = 1 bulunur.
u−1uu - \frac{1}{u} ifadesini elde ederek hedef özdeşliğe ulaşmak kolaylaştırıl��r.
4
u2+1u2=(u−1u)2+2u^2 + \frac{1}{u^2} = (u - \frac{1}{u})^2 + 2 özdeşliği uygulanır.
3 elde edilir.
Elde edilen u−1u=1u - \frac{1}{u} = 1 değeri özdeşlikte yerine yazılarak nihai sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme ve İki Terimin Farkının Karesi Özdeşliği
Soru 38Soru →
P(x+3)=x2−2x+5P(x+3) = x^2 - 2x + 5

olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x−2x - 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

P(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan 8'dir.
Doğru cevap 8'dir. Kalan bulma teoremine göre P(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan P(2) değeridir. Bize verilen P(x+3) ifadesinde parantez içerisini 2 yapabilmek için x yerine -1 yazmalıyız. x = -1 için sağ taraftaki ifade hesaplandığında (-1)^2 - 2(-1) + 5 = 1 + 2 + 5 = 8 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan bulma kuralını uygulamak.
P(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan P(2) değeridir.
Bir polinomun x - a ile bölümünden kalan, polinomda x yerine a yazılarak bulunur.
2
Verilen P(x+3) ifadesinde P(2)'yi elde etmek için gerekli x değerini belirlemek.
x + 3 = 2 eşitliğinden x = -1 olarak bulunur.
Eşitliğin sol tarafındaki polinomun girdisini 2 yapmak için değişkenin alması gereken değer tespit edilmelidir.
3
Belirlenen x = -1 değerini eşitliğin sağ tarafındaki polinom ifadesinde yerine yazarak hesaplamak.
P(2) = (-1)^2 - 2(-1) + 5 = 1 + 2 + 5 = 8 sonucuna ulaşılır.
İşlem önceliği ve negatif sayıların kuvvetleri ile çarpım kuralları uygulanarak cebirsel ifade çözümlenir.

Anahtar Kavram

Bir polinomun doğrusal bir bölenle bölümünden kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir ve bulunan kök polinomda yerine yazılır. Eğer verilen polinom farklı bir girdiyle tanımlanmışsa, bu girdiyi istenen değere eşitleyecek değişken değeri hesaplanarak denklemde yerine konur.
Soru 39Soru →
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−(m+1)x+2m−5=0x^2 - (m+1)x + 2m - 5 = 0
denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2'dir.
x12+x22=14x_1^2 + x_2^2 = 14
olduğuna göre, mm'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Kökler toplamı ve çarpımı bağıntılar�� yardımıyla elde edilen m2−2m−3=0m^2 - 2m - 3 = 0 denkleminin kökler çarpımı olan −3-3 değeridir.
Doğru seçenekteki −3-3 değeri, mm parametresine bağlı olarak elde edilen m2−2m−3=0m^2 - 2m - 3 = 0 denkleminin kökler çarpımı bağıntısı olan ca\frac{c}{a} kuralının uygulanmasıyla veya denklemin kökleri olan 33 ve −1-1 değerlerinin doğrudan çarpılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemin kökleri x1x_1 ve x2x_2 için kökler toplamını ve çarpımını mm parametresine bağlı olarak yazın.
x1+x2=m+1x_1 + x_2 = m + 1 ve x1x2=2m−5x_1 x_2 = 2m - 5
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı −ba-\frac{b}{a}, kökler çarpımı ise ca\frac{c}{a} formülleriyle hesaplanır.
2
Köklerin karelerinin toplamını veren ifadeyi, toplam ve çarpım cinsinden yazmak için tam kare özdeşliğini kullanın.
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=14x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 14
x12+x22x_1^2 + x_2^2 ifadesini bilinen kök bağıntılarına indirgemek için bu özdeşlik gereklidir.
3
mm cinsinden ifadeleri özdeşlikte yerine yazarak denklemi sadeleştirin.
(m+1)2−2(2m−5)=14⇒m2+2m+1−4m+10=14⇒m2−2m−3=0(m + 1)^2 - 2(2m - 5) = 14 \Rightarrow m^2 + 2m + 1 - 4m + 10 = 14 \Rightarrow m^2 - 2m - 3 = 0
mm parametresine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edilerek alabileceği değerlerin belirlenmesi sağlanır.
4
Elde edilen m2−2m−3=0m^2 - 2m - 3 = 0 denkleminden mm değerlerinin çarpımını bulun.
Değerlerin çarpımı =ca=−31=−3= \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin çarpımı ca\frac{c}{a} formülü ile doğrudan hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler ve özdeşlik yardımıyla parametre hesabı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 40Soru →
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) birer polinomdur.
der[P(Q(x))]=12\text{der}[P(Q(x))] = 12
der[P(x2)Q(x)]=5\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 5
olduğuna göre, der[x2⋅P(x3)+Q(x4)]\text{der}[x^2 \cdot P(x^3) + Q(x^4)] ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İfadenin derecesi 14'tür.
Doğru cevap olan 14 değeri, derece kuralları doğru uygulanarak P(x)P(x) derecesinin 4 ve Q(x)Q(x) derecesinin 3 olarak bulunmasının ardından en yüksek dereceli terimin belirlenmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların derecelerini değişkenlerle tanımlama ve derece kurallarını uygulama
P(x)P(x) derecesi pp, Q(x)Q(x) derecesi qq olsun. Bu durumda der[P(Q(x))]=p⋅q=12\text{der}[P(Q(x))] = p \cdot q = 12 ve der[P(x2)Q(x)]=2p−q=5\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 2p - q = 5 olur.
Bileşke polinomunun derecesi derecelerin çarpımına, bölüm polinomunun derecesi ise derecelerin farkına eşittir.
2
Elde edilen denklem sistemini çözme
q=2p−5q = 2p - 5 ifadesi ilk denklemde yerine yazıldığında p(2p−5)=12  ⟹  2p2−5p−12=0p(2p-5) = 12 \implies 2p^2 - 5p - 12 = 0 olur. Çarpanlara ayırma ile (2p+3)(p−4)=0(2p+3)(p-4) = 0 bulunur. Derece doğal sayı olduğundan p=4p = 4 ve buradan q=3q = 3 elde edilir.
Polinom derecesi negatif ya da rasyonel olamaz, bu nedenle doğal sayı olan kök seçilir.
3
İstenen toplam polinomunun derecesini belirleme
der[x2⋅P(x3)]=2+3p=2+12=14\text{der}[x^2 \cdot P(x^3)] = 2 + 3p = 2 + 12 = 14 ve der[Q(x4)]=4q=12\text{der}[Q(x^4)] = 4q = 12 olur. Toplamın derecesi max⁡(14,12)=14\max(14, 12) = 14 olarak bulunur.
Toplama durumundaki iki ifadenin derecesi, derecesi büyük olan terimin derecesine eşittir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda derece işlemleri (çarpım, bölüm, bileşke ve kuvvet alma işlemleri altındaki derece kuralları)
ÖncekiSayfa 2 / 6Sonraki
Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin