Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 18

Bir kırtasiyeci, tanesini $40$ TL'ye satın aldığı kalemleri $\%30$ kârla satmaktadır.

Buna göre, kırtasiyecinin bu kalemlerin satışından toplam $180$ TL kâr elde edebilmesi i��in kaç adet kalem satması gerekir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Toplam

180

TL kâr elde etmek için

15

adet kalem satılması gerekmektedir.

Bir adet kalemin kârı

40 \times 0{}30 = 12

TL'dir. Toplamda

180

TL kâr elde edilmesi istendiğinden, satılması gereken kalem sayısı

180 / 12 = 15

adet olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bir adet kalemin satışından elde edilen kâr miktarını hesaplayınız.

12

TL

Alış fiyatı

40

TL olan bir üründen

\%30

kâr elde edildiğinde her bir üründen elde edilen kârı belirlemek için.

2

Toplam kâr hedefini bir adet üründen elde edilen kâra bölerek gereken satış adedini bulunuz.

15

adet

Toplam

180

TL kâr hedefine ulaşmak için kaç adet ürünün satılması gerektiğini bulmak için.

Anahtar Kavram

Birim maliyet ve kâr yüzdesi kullanarak toplam kâr miktarından satış adedine ulaşma

Soru 342Soru →

Aşağıda, $900\text{ metrelik}$ doğrusal bir parkurda farklı koşullarda hareket eden üç koşucunun hareket durumları sol sütunda, bu koşucuların sırasıyla $v_K$ , $v_L$ ve $v_M$ hızlarının $\text{m/s}$ cinsinden değerleri ise sağ sütunda karışık olarak verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki hareket durumlarını sağ sütundaki hız değerleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Kaan'ın ilk hızı

5\text{ m/s}

, Leyla'nın ilk hızı

6\text{ m/s}

ve Murat'ın rüzgarsız havadaki hızı

8\text{ m/s}

olmalıdır.

Kaan'ın hız ve zaman denklemlerinden ilk hızı

5\text{ m/s}

, Leyla'nın süreye bağlı yol denkleminden ilk hızı

6\text{ m/s}

ve Murat'ın rüzgarlı havada gidiş-dönüş süreleri denkleminden rüzgarsız hızı

8\text{ m/s}

olarak hesaplanır. Bu durum, sol sütundaki koşucuların sağ sütundaki sırasıyla

5

,

6

ve

8

hız değerleriyle eşleşmesini gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1

Kaan'ın her bir etapta geçen sürelerini hız değişkeni

v_K

cinsinden yazıp toplam süreyi bulmak.

t_1 = \frac{300}{v_K}

saniye,

t_2 = \frac{300}{2v_K} = \frac{150}{v_K}

saniye,

t_3 = \frac{300}{3v_K} = \frac{100}{v_K}

saniye. Toplam süre:

t_{\text{toplam}} = \frac{550}{v_K}

saniye.

Alınan yolun hıza oranı, o yolda geçen süreyi verir.

2

Bulunan toplam süre ifadesini verilen toplam süreye eşitleyerek

v_K

değerini hesaplamak.

\frac{550}{v_K} = 110 \Rightarrow v_K = 5\text{ m/s}

.

Kaan'ın tüm parkuru tamamlama süresi

110

saniye olarak verilmiştir.

3

Leyla'nın toplam hareket süresini iki eşit parçaya bölüp her bir parçada aldığı yolları

v_L

cinsinden yazmak.

İlk

50

saniyede alınan yol:

x_1 = 50 \cdot v_L

metre. İkinci

50

saniyede alınan yol:

x_2 = 50 \cdot 2v_L = 100 \cdot v_L

metre. Toplam yol:

x_{\text{toplam}} = 150 \cdot v_L

metre.

Sabit hızla alınan yol, hız ile geçen sürenin çarpımına eşittir.

4

Bulunan toplam yol ifadesini parkurun uzunluğuna eşitleyerek

v_L

değerini bulmak.

150 \cdot v_L = 900 \Rightarrow v_L = 6\text{ m/s}

.

Koşu parkurunun toplam uzunluğu

900

metredir.

5

Murat'ın rüzgarlı havada gidiş ve dönüş hızlarını belirleyip toplam süre denklemini

v_M

cinsinden kurmak.

Gidiş hızı (rüzgara karşı):

v_M - 2

, Dönüş hızı (rüzgar yönünde):

v_M + 2

. Toplam süre:

\frac{900}{v_M - 2} + \frac{900}{v_M + 2} = 240

saniye.

Rüzgar karşıdan eserken hızı azaltır, arkadan eserken ise hızı artırır.

6

Oluşturulan rasyonel denklemi paydalarını eşitleyerek çözmek ve

v_M

değerini bulmak.

\frac{900(v_M + 2) + 900(v_M - 2)}{v_M^2 - 4} = 240 \Rightarrow \frac{1800 v_M}{v_M^2 - 4} = 240 \Rightarrow 15v_M = 2v_M^2 - 8 \Rightarrow 2v_M^2 - 15v_M - 8 = 0 \Rightarrow (2v_M + 1)(v_M - 8) = 0 \Rightarrow v_M = 8\text{ m/s}

.

Hız değeri negatif olamayacağından pozitif kök olan

8

alınır.

Anahtar Kavram

Hız ve Hareket Problemleri

Alternatif Yöntem

Kaan'ın hareketinde yol eşit bölündüğü için ortalama hız harmonik ortalama ile de bulunabilir:

V_{\text{ort}} = \frac{3}{\frac{1}{v_K} + \frac{1}{2v_K} + \frac{1}{3v_K}} = \frac{18v_K}{11}

. Yol

900\text{ m}

ve zaman

110\text{ s}

olduğundan

V_{\text{ort}} = \frac{900}{110} = \frac{90}{11}

olur. Buradan

\frac{18v_K}{11} = \frac{90}{11} \Rightarrow v_K = 5\text{ m/s}

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 343Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan A ve B marka cep telefonu kılıflarının maliyetleri sırasıyla $200$ TL ve $300$ TL'dir. Mağaza sahibi, A kılıfını $\%30$ kârla, B kılıfını ise $\%10$ zararla satmaktadır. Bu mağazadan A ve B kılıflarından toplam $60$ adet satın alan bir müşterinin ödediği toplam tutar, bu kılıfların mağazaya olan toplam maliyetine eşit olmuştur.

Buna göre, bu müşteri B marka kılıftan kaç adet satın almıştır?

20

30

40

45

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Müşteri B marka kılıftan 40 adet satın almıştır.

A marka kılıfın bir adedinden 60 TL kâr, B marka kılıfın bir adedinden ise 30 TL zarar edilmektedir. Toplam maliyet ile toplam satış fiyatının eşit olması için toplam kârın toplam zarara eşit olması gerekir. Buradan

60a = 30b \implies 2a = b

ilişkisi elde edilir. Toplam ürün adedi

a+b = 60

olduğundan,

3a = 60 \implies a = 20

ve

b = 40

bulunur. Dolayısıyla müşteri B marka kılıftan 40 adet satın almıştır.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B marka kılıfların birer adedinden elde edilen kâr ve zarar miktarlarını hesaplayalım.

A kılıfından elde edilen kâr:

200 \times 0{}30 = 60

TL; B kılıfından edilen zarar:

300 \times 0{}10 = 30

TL'dir.

Toplam ödenen tutarın toplam maliyete eşit olması, kâr ve zarar tutarlarının birbirini sıfırlaması anlamına gelir.

2

Müşterinin satın aldığı ürün adetlerini değişkenlerle ifade edip kâr-zarar dengesini kuralım.

A kılıfından

a

adet, B kılıfından

b

adet satın alınmış olsun. Toplam kâr toplam zarara eşit olmalıdır:

60a = 30b \implies 2a = b

elde edilir.

Toplam ödenen tutarın toplam maliyete eşit olabilmesi için net kâr-zarar toplamının sıfır olması, yani kâr ve zarar tutarlarının birbirine eşit olması gerekir.

3

Toplam ürün adedi bilgisini kullanarak denklem sistemini çözelim.

a + b = 60

denkleminde

b = 2a

yazarsak,

a + 2a = 60 \implies 3a = 60 \implies a = 20

ve

b = 40

bulunur.

B marka kılıfın adet sayısını bulmak için elde ettiğimiz ilişkileri toplam adet denkleminde yerine koyarız.

Anahtar Kavram

Kâr ve zarar miktarlarının yüzde hesabı ve iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla dengelenmesi.

Alternatif Yöntem

Müşterinin ödediği toplam tutarın toplam maliyete eşit olması, toplam kârın toplam zarara eşit olması demektir. A kılıfından elde edilen kâr 60 TL, B kılıfından elde edilen zarar 30 TL olduğundan, kâr ve zarar oranlarının sadeleşmiş şekli olan

2:1

oranı kullanılabilir. Bu durumda A'nın adedine

k

, B'nin adedine

2k

diyerek toplam

3k = 60 \implies k = 20

bulunur. Buradan B kılıfı adedi

2k = 40

olarak doğrudan elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 344Soru →

Rüzgarlı bir günde, A şehrinden B şehrine doğru saatte $10\text{ km}$ sabit hızla rüzgar esmektedir. Durgun havadaki saatteki sabit hızı $50\text{ km}$ olan bir elektrikli scooter kullanıcısı, A şehrinden B şehrine gidip hiç durmadan aynı yol üzerinden geri dönmüştür. Bu yolculuk boyunca scooterın kendi motor gücü sabit kaldığına göre, kullanıcının tüm yolculuktaki ortalama hızı saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

40

45

48

50

52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Ortalama hız 48 km/sa'dir.

Gidiş hızı saatte 60 km, dönüş hızı ise saatte 40 km'dir. Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Yol uzunluğu

x

alındığında gidiş süresi

\frac{x}{60}

saat, dönüş süresi ise

\frac{x}{40}

saat olur. Toplam süre

\frac{x}{60} + \frac{x}{40} = \frac{x}{24}

saattir. Toplam yol olan

2x

bu süreye bölündüğünde ortalama hız 48 km/sa olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş ve dönüş hızlarını belirlemek

Gidiş hızı

50 + 10 = 60\text{ km/sa}

, dönüş hızı

50 - 10 = 40\text{ km/sa}

'dir.

Rüzgar giderken hareket yönünde eserek hızı artırır, dönerken ise harekete karşı eserek hızı azaltır.

2

Ortalama hız formülünü uygulamak

V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Gidiş ve dönüş mesafeleri eşit olduğunda ortalama hız, gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalaması alınarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Soru 345Soru →

Aşağıda, sabit hızlarla hareket eden farklı araçların hızları ile gitmeleri gereken toplam yol mesafeleri verilmiştir. Bu araçların belirtilen yolları tamamlamaları için geçen süreleri (saat cinsinden) eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Bisikletlinin süresi 2 saat, otomobilin süresi 3 saat ve kamyonun süresi 5 saat ile eşleşir.

Hareket problemlerinde temel bağıntı

x = v \cdot t

(Yol = Hız x Zaman) şeklindedir. Süreyi bulmak için bağıntı

t = \frac{x}{v}

olarak düzenlenir. Bu doğrultuda bisikletli için

120/60 = 2

saat, otomobil için

240/80 = 3

saat ve kamyon için

250/50 = 5

saat süreleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bisikletlinin hareket süresini bulmak için zaman formülünü uygulayınız.

t = \frac{120}{60} = 2\text{ saat}

Hareket süresi (

t

), gidilen yolun (

x

) hıza (

v

) bölünmesiyle elde edilir.

2

Otomobilin hareket süresini bulmak için zaman formülünü uygulayınız.

t = \frac{240}{80} = 3\text{ saat}

Otomobilin hızı saatte

80\text{ km}

olup gitmesi gereken yol

240\text{ km}

'dir.

3

Kamyonun hareket süresini bulmak için zaman formülünü uygulayınız.

t = \frac{250}{50} = 5\text{ saat}

Kamyonun hızı saatte

50\text{ km}

olup gitmesi gereken yol

250\text{ km}

'dir.

Anahtar Kavram

Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişki (

x = v \cdot t

)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 346Soru →

Bir bilgisayar oyununda ekrandaki sayıya sırasıyla dört işlem uygulanarak yeni sayılar elde edilmektedir. Bu oyunda seçilebilecek işlemler şu şekildedir:

* Sayının $2$ fazlasını almak ( $A$ işlemi)
* Sayının $2$ katını almak ( $B$ işlemi)
* Sayının $1$ eksiğini almak ( $C$ işlemi)

Oyundaki kural gereği, arka arkaya yapılan iki hamlede aynı işlem türü seçilememektedir.

Buna göre, ekrandaki sayı başlangıçta $3$ olduğuna göre, dört hamle sonunda elde edilebilecek en büyük sayı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Dört hamle sonunda elde edilebilecek en büyük sayı 24'tür.

Ardışık adımlarda aynı işlemin uygulanamayacağı kuralına uyarak uygulanan A-B-A-B işlem sırası sırasıyla 5, 10, 12 ve 24 sayılarını üreterek olası en büyük sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk adımda uygulanabilecek olası işlemleri belirlemek

Başlangıç değeri olan 3 sayısına A uygulanırsa 5, B uygulanırsa 6 elde edilir.

En büyük sonuca ulaşmak amacıyla olası başlangıç adımlarını ve bunların sonuçlarını analiz etmek.

2

A işlemiyle başlayan ve kurala uyan işlem sıralarını test etmek

3 -> (A) 5 -> (B) 10 -> (A) 12 -> (B) 24 elde edilir.

Ardışık iki adımda aynı işlemin uygulanamayacağı kuralına uyarak A başlangıçlı en yüksek değeri bulmak.

3

B işlemiyle başlayan ve kurala uyan işlem sıralarını test etmek

3 -> (B) 6 -> (A) 8 -> (B) 16 -> (A) 18 elde edilir.

B başlangıçlı en yüksek değeri bulup diğer alternatiflerle karşılaştırmak.

4

Elde edilen sonuçları karşılaştırıp en büyük değeri belirlemek

Olası en büyük değer 24 olarak kesinleşir.

Bütün geçerli yollar arasından en büyük sayıyı seçmek.

Anahtar Kavram

Rutin olmayan problemlerde kısıtlayıcı kurallara bağlı kalarak adım adım durum analizi yapma ve optimizasyon.

Soru 347Soru →

Bir öğrenci, $300$ sayfalık bir kitabın birinci gün $\%20$ 'sini, ikinci g��n ise kalan sayfaların $\%25$ 'ini okumuştur.

Buna göre, bu öğrencinin kitabı bitirmek için okuması gereken kaç sayfası kalmıştır?

120

135

165

180

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Kitabı bitirmek için okuması gereken sayfa sayısı 180'dir.

Kitabın tamamı 300 sayfadır. Birinci gün bu sayfaların %20'si okunmuştur:

300 \times 0{}20 = 60

sayfa. Geriye kalan sayfa sayısı

300 - 60 = 240

sayfadır. İkinci gün ise bu kalan sayfaların %25'i okunmuştur:

240 \times 0{}25 = 60

sayfa. İki günde toplam

60 + 60 = 120

sayfa okunduğuna göre, geriye

300 - 120 = 180

sayfa kalmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci gün okunan sayfa sayısını bulmak için kitabın toplam sayfa sayısının %20'sini hesaplayın.

300 \times \frac{20}{100} = 60

sayfa okundu.

İlk gün okunan sayfa miktarını belirlemek için.

2

Birinci günün sonunda geriye kalan sayfa sayısını bulmak için toplam sayfa sayısından okunan sayfa sayısını çıkarın.

300 - 60 = 240

sayfa kaldı.

İkinci gün yapılacak okuma miktarı kalan sayfa sayısı üzerinden hesaplanacağı için.

3

İkinci gün okunan sayfa sayısını bulmak için kalan 240 sayfanın %25'ini hesaplayın.

240 \times \frac{25}{100} = 60

sayfa okundu.

İkinci gün okunan sayfa miktarını belirlemek için.

4

Son durumda geriye kalan sayfa sayısını bulmak için birinci günün sonunda kalan sayfa sayısından ikinci gün okunan sayfa sayısını çıkarın.

240 - 60 = 180

sayfa kaldı.

Öğrencinin kitabı bitirmek için okuması gereken son sayfa sayısını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bir miktarın ardışık olarak belirli yüzdelerini hesaplarken, sonraki adımlardaki yüzdelerin başlangıçtaki toplam miktar yerine en son kalan miktar üzerinden (yeni matrah) hesaplanması gerekir.

Alternatif Yöntem

Kitabın birinci gün %20'si okunduğunda geriye kalan sayfa oranı

1 - 0{}20 = 0{}80

'dir. İkinci gün bu kalanın %25'i okunduğunda geriye kalan sayfa oranı

1 - 0{}25 = 0{}75

'dir. Dolayısıyla son durumda kalan sayfa sayısı doğrudan

300 \times 0{}80 \times 0{}75 = 180

şeklinde hesaplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 348Soru →

Bir fabrikada üretilen unun $\%60$ 'ı A tipi çuvallara, kalan kısmı ise B tipi çuvallara doldurulmuştur. A tipi çuvalların un alma kapasitesi, B tipi çuvalların un alma kapasitesinden $\%25$ daha fazladır. Bu paketleme işleminde toplam $110$ adet çuval kullanıldığına göre, kullanılan B tipi çuvalların sayısı kaçtır?

44

48

50

55

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Kullanılan B tipi çuvalların sayısı 50'dir.

Doğru seçenekte belirtilen 50 değeri, çuvalların kapasiteleri arasındaki fark (

\%25

) ile un miktarlarının dağılımı (

\%60

ve

\%40

) hesaba katılarak kurulan denklem sisteminin doğru çözülmüş halidir. B tipi çuvalın kapasitesi

4x

ve A tipi çuvalın kapasitesi

5x

alındığında, çuval sayılarının toplamı olan

0,22(W/x) = 110

eşitliğinden

W/x = 500

bulunur. Buradan da B tipi çuval sayısı

0,10 \times 500 = 50

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B tipi çuvalların un alma kapasitelerini değişkenlerle ifade edelim.

B tipi çuvalın kapasitesi

4x

ise, A tipi çuvalın kapasitesi

\%25

fazlasıyla

4x + x = 5x

olur.

Kapasiteler arasındaki yüzde ilişkisini kolay işlem yapılabilen tam sayılarla kurmak için.

2

Toplam un miktarına

W

diyerek A ve B tipi çuvallara konulan un miktarlarını yazalım.

A çuvallarına konulan un miktarı

0,60W

, B çuvallarına konulan un miktarı

0,40W

olur.

Unun

\%60

'ının A'ya, kalan

\%40

'ının B'ye konulduğu belirtildiği için.

3

Kullanılan çuval sayılarını bulmak için ilgili bölümlerdeki un miktarlarını çuvalların kapasitelerine bölelim.

A tipi çuval sayısı

N_A = \frac{0,60W}{5x} = 0,12\frac{W}{x}

ve B tipi çuval sayısı

N_B = \frac{0,40W}{4x} = 0,10\frac{W}{x}

olarak bulunur.

Çuval sayısı = Toplam un / Çuval kapasitesi formülünü uygulamak için.

4

Toplam çuval sayısını veren denklemi kuralım ve çözelim.

N_A + N_B = 0,12\frac{W}{x} + 0,10\frac{W}{x} = 0,22\frac{W}{x} = 110 \implies \frac{W}{x} = 500

bulunur.

Toplam çuval sayısının 110 olduğu bilgisiyle değişken oranını bulmak için.

5

B tipi çuval sayısını hesaplayalım.

N_B = 0,10\frac{W}{x} = 0,10 \times 500 = 50

adet B tipi çuval kullanılmıştır.

Bizden istenen B tipi çuval sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Yüzde problemlerinde doğru temel matrah/taban belirleme ve kapasite-miktar ilişkisine göre denklem kurma.

Soru 349Soru →

Bir öğretmen tahtaya $3 \times 3$ boyutlarında bir tablo çizmiş ve başlangıçta tüm hücrelerine 0 yazmıştır. Daha sonra her adımda aşağıdaki iki işlemden birini uygulamıştır:

* Tablodaki $2 \times 2$ boyutundaki dört alt tablodan birini seçip bu alt tablonun tüm hücrelerindeki sayıları 1 artırmak.
* Tablonun iki köşegeninden birini seçip bu köşegen üzerindeki tüm hücrelerdeki sayıları 1 artırmak.

Öğretmen bu işlemlerden birkaç kez uyguladıktan sonra tablodaki bazı sayıları silmiş ve geriye aşağıdaki görünüm kalmıştır:

5	8	8
7	K	11
7	10	8

Buna göre, tablonun merkezindeki hücrede yazan $K$ sayısı kaçtır?

18

21

23

32

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Tablonun merkezindeki hücrede yazan sayı 23 olmalıdır.

Merkez hücrenin değeri

K = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + d_1 + d_2

ifadesine eşittir. Denklem sisteminden

x_1 + x_2 = 8

,

x_3 + x_4 = 10

ve

d_1 + d_2 = 5

değerleri elde edilir. Bu değerler toplandığında

K = 8 + 10 + 5 = 23

sonucu bulunur. Bu nedenle doğru cevap 23 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Tablodaki her bir hücreye yapılan işlemlerin katkısını temsil eden değişkenleri tanımlayalım.

2 \times 2

boyutundaki alt tablo işlemlerinin sayıları sırasıyla

x_1, x_2, x_3, x_4

olsun. Köşegen işlemlerinin sayıları ise

d_1

(sol üstten sağ alta) ve

d_2

(sağ üstten sol alta) olsun.

Hücrelerdeki sayıların hangi işlemlerden etkilendiğini cebirsel olarak ifade etmek için.

2

Verilen hücre değerlerini kullanarak bir denklem sistemi kuralım.

Tablodaki hücrelerin değerleri sırasıyla:
- (1,1):

x_1 + d_1 = 5

- (1,2):

x_1 + x_2 = 8

- (1,3):

x_2 + d_2 = 8

- (2,1):

x_1 + x_3 = 7

- (2,3):

x_2 + x_4 = 11

- (3,1):

x_3 + d_2 = 7

- (3,2):

x_3 + x_4 = 10

- (3,3):

x_4 + d_1 = 8

olarak kurulur.

Her hücredeki sayının, o hücreyi kapsayan tüm işlemlerin toplam sayısına eşit olmasından dolayı.

3

Merkezdeki

K

hücresinin değerini veren ifadeyi bulalım ve denklem sistemini çözerek bu değeri hesaplayalım.

Merkezdeki hücre dört alt tablonun ve her iki köşegenin kesişiminde yer aldığından değeri

K = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + d_1 + d_2

olur.

Sistemden:
-

x_1 + x_2 = 8

-

x_3 + x_4 = 10

-

d_2 = 8 - x_2 = 8 - (8 - x_1) = x_1

-

d_1 = 5 - x_1

Buradan

d_1 + d_2 = (5 - x_1) + x_1 = 5

bulunur.

Sonuç olarak:

K = (x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) + (d_1 + d_2) = 8 + 10 + 5 = 23

elde edilir.

Denklemleri gruplandırarak tek tek bilinmeyenleri bulmaya gerek kalmadan toplamı doğrudan elde etmek için.

Anahtar Kavram

Cebirsel Modelleme ve Denklem Sistemleri yardımıyla Rutin Olmayan Problemlerin Çözümü

Soru 350Soru →

Bir spor salonundaki üyelerin $\%35$ 'i kadındır. Bu spor salonunda $42$ kadın üye olduğuna göre, salondaki toplam üye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Spor salonundaki toplam üye sayısı 120'dir.

Toplam üye sayısının

\%35

'i 42 olduğuna göre, toplam üye sayısı

\frac{42}{0,35} = 120

olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru yanıt 120 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam üye sayısına bir bilinmeyen atayarak verilen yüzde oranına göre denklemi kurmak.

x \cdot \frac{35}{100} = 42

denklemi elde edilir.

Başlangıç miktarını bilmediğimiz durumlarda yüzde oranı ile verilen miktarı ilişkilendirmek için denklem kurarız.

2

Kurulan rasyonel denklemi sadeleştirme işlemleri yaparak ��özmek.

x = 120

değeri bulunur.

Bilinmeyen

x

değerini yalnız bırakarak toplam üye sayısına ulaşmak hedeflenir.

Anahtar Kavram

Bir çokluğun belirtilen bir yüzdesine göre tamamını bulma.

Soru 351Soru →

Bir süt üreticisi, yağ oranı $\%4$ olan bir miktar süt ile yağ oranı $\%1,5$ olan başka bir miktar sütün tamamını karıştırarak yağ oranı $\%3$ olan $50\text{ litre}$ süt elde etmeyi planlamaktadır.

Ancak üretici, yağ oranı $\%1,5$ olan sütten kullanması gereken miktarın yarısını yanlışlıkla dökmüş ve dökülen bu miktar yerine aynı miktarda su eklemiştir.

Buna göre, elde edilen son karışımın yağ oranı yüzde kaçtır?

1,8

2,05

2,7

2,25

3,375

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2,7$

Cevap

Son karışımın yağ oranı

\%2,7

olur.

Planlanan karışımda

30\text{ litre}

yağ oranı

\%4

olan süt and

20\text{ litre}

yağ oranı

\%1,5

olan süt bulunmalıdır. Yağ oranı

\%1,5

olan sütün yarısı (

10\text{ litre}

) dökülüp yerine su eklendiğinde toplam hacim yine

50\text{ litre}

kalırken, toplam yağ miktarı

1,35\text{ litre}

olur. Buradan yeni yağ oranı

\frac{1,35}{50} \times 100 = 2,7

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçta karıştırılması planlanan süt miktarlarını bulmak için denklem sistemini kuralım.

Yağ oranı

\%4

olan süt miktarı

x\text{ litre}

, yağ oranı

\%1,5

olan süt miktarı

y\text{ litre}

olsun. Toplam hacim

x + y = 50

ve toplam yağ miktarı

0,04x + 0,015y = 0,03 \times 50 = 1,5

olur.

Karışımdaki toplam hacim ve toplam yağ miktarını belirlemek amacıyla denklem sistemi oluşturulur.

2

Oluşturulan denklemleri çözerek

x

ve

y

değerlerini hesaplayalım.

x + y = 50 \implies y = 50 - x

yazıp ikinci denklemde yerine koyarsak:

0,04x + 0,015(50 - x) = 1,5 \implies 0,025x + 0,75 = 1,5 \implies 0,025x = 0,75 \implies x = 30\text{ litre}

ve

y = 20\text{ litre}

elde edilir.

Planlanan karışımda her bir süt türünden kaçar litre kullanılması gerektiğini bulmak için.

3

Hata sonrasındaki yeni karışımın bileşenlerini ve toplam yağ miktarını hesaplayalım.

Yağ oranı

\%1,5

olan

20\text{ litre}

sütün yarısı (

10\text{ litre}

) dökülüp yerine su eklenmiştir. Son durumda karışımda yağ oranı

\%4

olan

30\text{ litre}

süt, yağ oranı

\%1,5

olan

10\text{ litre}

süt ve

10\text{ litre}

su (

0\%

yağ) bulunur. Toplam yağ miktarı:

30 \times 0,04 + 10 \times 0,015 + 10 \times 0 = 1,2 + 0,15 = 1,35\text{ litre}

olur.

Karışımdaki son yağ miktarını belirlemek için.

4

Yeni karışımın toplam hacmini ve yağ oranını hesaplayalım.

Toplam hacim su eklenmesiyle yine

50\text{ litre}

olur. Yağ oranı:

\frac{1,35}{50} \times 100 = 2,7

yani

\%2,7

olarak bulunur.

İstenen son karışım yağ yüzdesine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde toplam madde miktarı ve saf madde miktarının korunumu ilkeleri kullanılarak karışımın son yüzdesi hesaplanır. Bir karışımdan sıvı dökülüp yerine su eklendiğinde, eklenen suyun içindeki saf madde (yağ vb.) oranı

\%0

olarak alınır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 352Soru →

Bir şirkette çalışan Arzu, Berk ve Canan'ın yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Berk'in doğum yılı, Arzu'nun doğum yılından $5$ eksiktir.
* Canan, Berk'in bugünkü yaşına geldiğinde; Arzu'nun yaşı Canan'ın bugünkü yaşının $2$ katı olacaktır.
* Bu üç kişinin bugünkü yaşları toplamı $84$ 'tür.

Buna göre, Arzu'nun bugünkü yaşı kaçtır?

21

29

34

37

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Arzu'nun bugünkü yaşı 29'dur.

Arzu'nun yaşı

A

, Berk'in yaşı

B

ve Canan'ın yaşı

C

olsun. Berk, Arzu'dan 5 yaş büyük olduğundan

B = A + 5

'tir. Canan'ın Berk'in yaşına gelmesi için

B - C

yıl geçmelidir. Bu süre sonunda Arzu'nun yaşı

A + B - C

olur. Soruda bu yaşın Canan'ın bugünkü yaşının (

C

) 2 katı olduğu belirtilmiştir:

A + B - C = 2C \implies A + B = 3C

. Üçünün bugünkü yaşları toplamı 84 olduğundan:

A + B + C = 84 \implies 3C + C = 84 \implies 4C = 84 \implies C = 21

bulunur. Buradan

A + B = 63

olur.

B = A + 5

yerine yazılırsa

2A + 5 = 63 \implies 2A = 58 \implies A = 29

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Berk ve Arzu'nun yaşları arasındaki ilişkiyi belirleme

B = A + 5

Berk'in doğum yılı Arzu'nunkinden 5 eksik olduğuna göre Berk, Arzu'dan 5 yaş büyüktür.

2

Geçen süreyi ve Arzu'nun gelecekteki yaşını ifade etme

Geçen süre

B - C

yıl, Arzu'nun yeni yaşı

A + B - C

olur.

Canan'ın Berk'in yaşına gelmesi için yaşları farkı kadar yıl geçmesi gerekir. Bu süreçte gruptaki herkes aynı miktarda yaşlanır.

3

Gelecekteki yaş ilişkisinden denklem kurma

A + B = 3C

Gelecekte Arzu'nun yaşı (

A + B - C

), Canan'ın bugünkü yaşının (

C

) 2 katı olacağı için

A + B - C = 2C

yazılır.

4

Yaşlar toplamını kullanarak Canan'ın yaşını bulma

C = 21

A + B + C = 84

denkleminde

A + B

yerine

3C

yazılırsa

4C = 84

elde edilir.

5

Arzu'nun yaşını hesaplama

A = 29

A + B = 63

denkleminde

B = A + 5

yazıldığında

2A + 5 = 63 \implies 2A = 58

bulunur.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde geçen sürenin gruptaki tüm kişilerin yaşını eşit miktarda artırdığı ve iki kişinin yaş farkının zamanla değişmediği gerçeği.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 353Soru →

Bir öğretmen ile öğrencisinin bugünkü yaşları sırasıyla $32$ ve $8$ 'dir. Öğretmenin yaşı, öğrencisinin yaşın��n $3$ katı olduğunda öğrencisi kaç yaşında olur?

10

12

14

16

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12$

Cevap

Öğretmenin yaşı öğrencinin yaşının 3 katı olduğunda öğrencisinin yaşı 12 olur.

Öğretmen ile öğrencinin yaşları farkı

32 - 8 = 24

'tür. İki kişinin yaşları farkı zamanla değişmeyeceğinden, öğretmenin yaşının öğrencinin yaşının

3

katı olduğu anda da aralarındaki yaş farkı yine

24

olmalıdır. Bu durum gerçekleştiğinde öğrencinin yaşı

S

ise öğretmenin yaşı

3S

olur. Yaşları farkı olan

3S - S = 2S

ifadesi

24

'e eşitlendiğinde, öğrencinin yaşının

12

olması gerektiği anlaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Öğretmen ile öğrencinin bugünkü yaşları farkını bulunuz.

Yaş farkı:

32 - 8 = 24

İki kişinin yaşları farkı yıllar geçse de hiçbir zaman değişmez.

2

Öğretmenin yaşının öğrencinin yaşının 3 katı olacağı durum için yaş farkı cinsinden bir denklem kurunuz.

Öğrencinin yaşı

S

ise öğretmenin yaşı

3S

olur. Yaş farkı:

3S - S = 2S

olur.

Öğretmenin yaşının öğrencinin yaşının 3 katı olması hedeflenmektedir.

3

Bulunan yaş farkı ifadesini sabit olan yaş farkına eşitleyerek öğrencinin yaşını hesaplayınız.

2S = 24 \Rightarrow S = 12

Yaş farkı her zaman sabit kalmalıdır.

Anahtar Kavram

İki kişi arasındaki yaş farkı yıllar geçse de değişmez. Geçen süre her iki kişi için de aynıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 354Soru →

Bir dijital yayın platformunda Standart ve Premium olmak üzere iki farklı üyelik tipi bulunmaktadır. Başlangıçta bu platformdaki Standart üye sayısı, Premium üye sayısının $2$ katıdır. Premium üyelik ücreti ise Standart üyelik ücretinin $2$ katıdır.

Platform yönetimi yeni dönemde üyelik ücretlerinde şu güncellemeleri yapmıştır:
- Standart üyelik ücreti $\%10$ artırılmıştır.
- Premium üyelik ücreti $\%20$ artırılmıştır.

Ücret güncellemelerinden sonra platformdaki üyelerin durumunda aşağıdaki değişiklikler yaşanmıştır:
- Standart üyelerin $\%20$ 'si üyeliğini sonlandırmıştır.
- Premium üyelerin $\%10$ 'u üyeliğini sonlandırmıştır.
- Sonrasında, kalan Standart üyelerin $\%25$ 'i üyeliklerini Premium üyeliğe yükseltmiştir.

Buna göre, son durumda platformun bu üyeliklerden elde ettiği toplam gelir başlangıca göre yüzde kaç artmı��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Platformun elde ettiği toplam gelir başlangıca göre %11 artmıştır.

Başlangıçtaki toplam gelir

4xy

iken son durumdaki üye sayıları ve güncel fiyatlar çarpılıp toplandığında yeni gelir

4,44xy

olarak elde edilir. Gelirdeki

0,44xy

artış miktarı, ilk gelirin

\%11

'ine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç durumundaki üye sayılarını ve üyelik ücretlerini belirleyip ilk toplam geliri hesaplama

Premium üye sayısı

x

ise Standart üye sayısı

2x

olur. Standart üyelik ücreti

y

ise Premium üyelik ücreti

2y

olur. Başlangıçtaki toplam gelir:

R_1 = 2x \cdot y + x \cdot 2y = 4xy

olarak bulunur.

Değişimlerin toplam gelire etkisini belirleyebilmek için başlangıçtaki gelir tabanını kurmak gerekir.

2

Fiyat artışları sonrası yeni üyelik ücretlerini hesaplama

Yeni Standart üyelik ücreti:

y \cdot (1 + 0,10) = 1,1y

. Yeni Premium üyelik ücreti:

2y \cdot (1 + 0,20) = 2,4y

olur.

Son durumdaki toplam geliri hesaplarken kullanılacak yeni birim fiyatları belirlemek için.

3

Ayrılma ve üyelik yükseltme işlemlerinden sonraki son üye sayılarını belirleme

Ayrılmalar sonrası kalan Standart üyeler:

2x \cdot 0,80 = 1,6x

. Kalan Premium üyeler:

x \cdot 0,90 = 0,9x

. Standart üyelerden Premium'a geçenler:

1,6x \cdot 0,25 = 0,4x

. Son durumdaki Standart üye sayısı:

1,6x - 0,4x = 1,2x

. Son durumdaki Premium üye sayısı:

0,9x + 0,4x = 1,3x

olur.

Yeni fiyatlarla çarpılacak güncel üye dağılımını elde etmek için.

4

Yeni toplam geliri hesaplama ve artış yüzdesini bulma

Yeni toplam gelir:

R_2 = 1,2x \cdot 1,1y + 1,3x \cdot 2,4y = 1,32xy + 3,12xy = 4,44xy

. Gelirdeki artış miktarı:

4,44xy - 4xy = 0,44xy

. Artış yüzdesi:

\frac{0,44xy}{4xy} \cdot 100 = 11

yani

\%11

olarak bulunur.

Yeni gelirin eski gelire kıyasla yüzde kaç değiştiğini hesaplayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yüzde Problemleri

Soru 355Soru →

Bir elektrikli bisiklet sürücüsü, iki şehir arasındaki yolun ilk yarısını saatte $30\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $60\text{ km}$ sabit hızla tamamlamıştır.

Buna göre, bisikletlinin tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı kaç kilometredir?

36

40

45

48

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Ortalama hız 40 km/sa'dir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle hesaplanır. Yolun yarısına

x\text{ km}

dersek, toplam yol

2x\text{ km}

olur. İlk yarıyı

30\text{ km/sa}

hızla alan bisikletlinin bu süresi

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci yarıyı

60\text{ km/sa}

hızla alan bisikletlinin bu süresi

t_2 = \frac{x}{60}

saat olur. Toplam süre

t_1 + t_2 = \frac{x}{20}

saat olacağından, ortalama hız

\frac{2x}{\frac{x}{20}} = 40\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamı için bir değişken belirleme.

Yolun yarısına

x\text{ km}

denirse, toplam yol

2x\text{ km}

olur.

Yolun bölümlerinde geçen süreleri yol ve hız cinsinden ifade edebilmek için.

2

Yolun ilk yarısı ve ikinci yarısı için geçen süreleri hesaplama.

İlk yarı için

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci yarı için

t_2 = \frac{x}{60}

saat bulunur.

Ortalama hız formülünde kullanılacak toplam süreyi elde etmek için.

3

Tüm yolculuk boyunca geçen toplam süreyi bulma.

Toplam süre:

t_{toplam} = \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

saat.

Farklı hızlarla gidilen yolların sürelerini toplamak için payda eşitlemesi yapılır.

4

Toplam yolu toplam zamana bölerek ortalama hızı hesaplama.

V_{ort} = \frac{2x}{\frac{x}{20}} = 2 \times 20 = 40\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranı olduğu için.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hızların aritmetik ortalaması değil; toplam yolun toplam zamana oranıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 356Soru →

Bir kahve dükkanı işletmecisi, kilogramını $200$ TL'ye satın aldığı yeşil kahve çekirdeklerini kavurarak satmaktadır. Yeşil kahve çekirdekleri kavrulduğunda ağırlığının $\%20$ 'sini kaybetmektedir. Kahvenin kavrulması ve işlenmesi için yapılan masraflar, satın alınan yeşil kahve çekirdeğinin kilogramı başına $40$ TL'dir.

Bu işletmeci, kavrulmuş kahvenin satışından elde edilen toplam maliyet üzerinden $\%40$ kâr elde etmeyi hedeflemektedir.

Kavrulmuş kahveler $250$ gramlık paketler halinde satılacağına göre, bir paket kavrulmuş kahvenin satış fiyatı kaç TL olmalıdır?

70

84

105

125

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $105$

Cevap

Bir paket kavrulmuş kahvenin satı�� fiyatı

105

TL olmalıdır.

Kavrulmuş kahvenin kilogram başına toplam maliyeti (

300

TL), ağırlık kaybı ve kavurma masrafı eklenerek hesaplanır. Bu maliyete

\%40

kâr eklendiğinde kilogram satış fiyatı

420

TL olur.

250

gramlık paket fiyatı ise bu değerin dörtte biri olan

105

TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Yeşil kahve çekirdeğinin kilogram başına toplam maliyetini hesaplamak.

240

TL

Satın alma fiyatı olan

200

TL ile kilogram başına düşen

40

TL'lik kavurma masrafı toplanarak

1

kg yeşil kahvenin toplam maliyeti

200 + 40 = 240

TL olarak bulunur.

2

Kavrulma sonrası ağırlık kaybını hesaba katarak kavrulmuş kahvenin kilogram maliyetini hesaplamak.

300

TL

Kavrulma sırasında

\%20

ağırlık kaybı yaşandığı için

1

kg yeşil kahveden

1 \times (1 - 0.20) = 0.8

kg kavrulmuş kahve elde edilir.

240

TL'lik toplam maliyet

0.8

kg ürün için geçerli olduğundan,

1

kg kavrulmuş kahvenin maliyeti

\frac{240}{0.8} = 300

TL olur.

3

1

kg kavrulmuş kahvenin satış fiyatını belirlemek.

420

TL

Maliyet üzerinden

\%40

kâr hedeflendiğinden, kilogram satış fiyatı

300 \times 1.40 = 420

TL olarak bulunur.

4

250

gramlık bir paketin satış fiyatını hesaplamak.

105

TL

250

gram,

1

kilogramın

\frac{1}{4}

'ü (yani

0.25

katı) olduğundan, bir paketin satış fiyatı

420 \times 0.25 = 105

TL olur.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar problemlerinde fire ve ek masrafların birim maliyete etkisini hesaplama ve maliyet üzerinden kâr oranı uygulama.

Soru 357Soru →

Aralarında $360\text{ km}$ mesafe bulunan iki şehirden, saatteki sabit hızları sırasıyla $50\text{ km}$ ve $70\text{ km}$ olan iki otomobil aynı anda birbirlerine doğru harekete başlamıştır. Buna göre, bu iki otomobil hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İki otomobil hareketlerinden 3 saat sonra karşılaşır.

Karşılıklı hareket eden araçların birbirlerine göre yaklaşma hızları, hızlarının toplamı olan

50 + 70 = 120\text{ km/sa}

'dir.

360\text{ km}

mesafeyi bu bağıl hızla kapatmaları için geçen süre

\frac{360}{120} = 3\text{ saat}

sürer.

Adım Adım Çözüm

1

Kar��ılıklı hareket eden otomobillerin bağıl hızını bulmak için hızlarını toplayın.

120\text{ km/sa}

Birbirine doğru hareket eden araçlar, aralarındaki mesafeyi hızlarının toplamı oranında hızlı kapatırlar.

2

Aralarındaki toplam mesafeyi bağıl hıza bölerek karşılaşma süresini hesaplayın.

3\text{ saat}

Süre formülü

t = \frac{x}{v}

olduğundan, toplam yol bağıl hıza bölünür.

Anahtar Kavram

Birbirine doğru hareket eden iki aracın karşılaşma süresi, aralarındaki mesafenin araçların hızları toplamına bölünmesiyle bulunur (

t = \frac{x}{v_1 + v_2}

).

Tahmini Süre:45s

Soru 358Soru →

Bir seramik atölyesinde üretilen kupaların her birinin maliyeti $x$ TL'dir. Bu atölyede kupaların etiket fiyatı, maliyet fiyatı üzerinden $\%60$ kâr elde edilecek şekilde belirlenmiştir.

Atölye sahibi, elinde kalan kupaları satmak için iki farklı kampanya seçeneği sunmaktadır:
* 1. Kampanya: "3 ürün alana 4. ürün hediye" (4 ürün alan bir müşteri sadece 3 ürünün etiket fiyatını öder.)
* 2. Kampanya: "Etiket fiyatı üzerinden $\%20$ indirim"

Bu atölyeden 4 adet kupa alan bir müşteri, 1. kampanyayı tercih etti��inde ödeyeceği toplam tutarın, 2. kampanyayı tercih ettiğinde ödeyeceği toplam tutardan $32$ TL daha az olduğunu hesaplıyor.

Buna göre, bir kupanın maliyeti olan $x$ değeri ka�� TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Kupaların her birinin maliyet fiyatı

100

TL'dir.

Kupaların maliyeti

100k

olarak kabul edildiğinde,

\%60

kârlı etiket fiyatı

160k

olur. 1. kampanyaya göre 4 kupa alan biri 3 kupa fiyatı (

480k

) öderken; 2. kampanyada

\%20

indirimli fiyattan (

128k

) 4 kupa için

512k

öder. İki kampanya arasındaki fark

32k

olup, bu değer

32

TL'ye eşitlendiğinde

k = 1

bulunur. Dolayısıyla maliyet fiyatı olan

x = 100k = 100

TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kupaların maliyet ve kârlı etiket fiyatlarını değişken cinsinden ifade etme

Maliyet

100k

ise etiket fiyatı

160k

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için maliyete

100k

dedik ve

\%60

kâr ekleyerek etiket fiyatını bulduk.

2

1. kampanya kapsamında ödenecek tutarı hesaplama

Toplam tutar =

480k

TL

"3 ürün alana 4. ürün hediye" kampanyasında müşteri 4 ürün alır ancak 3 ürünün parasını öder. Bu da

3 \times 160k = 480k

yapar.

3

2. kampanya kapsamında ödenecek tutarı hesaplama

Toplam tutar =

512k

TL

Etiket fiyatı üzerinden

\%20

indirim yapıldığında bir ürünün fiyatı

160k \times 0.8 = 128k

olur. 4 ürün için toplam tutar

4 \times 128k = 512k

olur.

4

İki kampanya arasındaki farkı eşitleyerek

x

değerini bulma

x = 100

TL

Kampanyalar arasındaki fark

512k - 480k = 32k

TL'dir. Bu fark

32

TL'ye eşit olduğundan

k=1

ve maliyet

x = 100k = 100

olur.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar problemlerinde etiket fiyatı, maliyet fiyatı ve indirimli satış fiyatı arasındaki ilişkileri kurarak denklem çözme.

Soru 359Soru →

Bir teknoloji şirketindeki çalışanların $\%40$ ’ı kadın, geri kalanı ise erkektir. Bu şirkete bir yıl içinde, mevcut erkek çalışanların $\%10$ ’u kadar yeni erkek çalışan ve mevcut kadın çalışanların $\%20$ ’si kadar yeni kadın çalışan katılmıştır.

Son durumda şirketteki kadın çalışanların sayısı, erkek çalışanların sayısından $36$ eksik olduğuna göre, başlangıçta bu şirkette çalışan toplam kişi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Başlangıçtaki toplam çalışan sayısı 200'dür.

Başlangıçta toplam çalışan sayısı

100x

olarak seçilirse, kadın çalışan sayısı

40x

ve erkek çalışan sayısı

60x

olur. Kadın çalışanların

\%20

'si kadar yeni kadın çalışan (

8x

) ve erkek çalışanların

\%10

'u kadar yeni erkek çalışan (

6x

) eklendiğinde son durumda

48x

kadın ve

66x

erkek çalışan elde edilir. İki grup arasındaki fark olan

18x = 36 \implies x = 2

bulunur. Dolayısıyla başlangıçtaki toplam çalışan sayısı

100 \times 2 = 200

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki kadın ve erkek çalışan sayılarını toplam çalışan sayısı cinsinden değişkenlerle ifade edin.

Toplam çalışan sayısı

100x

olsun. Kadın çalışan sayısı

40x

, erkek çalışan sayısı

60x

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için başlangıç değerini

100x

olarak belirlemek işlem kolaylığı sağlar.

2

Şirkete yeni katılan kadın ve erkek çalışan sayılarını hesaplay��n.

Yeni erkek çalışan sayısı:

60x \times 0,10 = 6x

. Yeni kadın çalışan sayısı:

40x \times 0,20 = 8x

.

Yıllık artış miktarları, mevcut kadın ve erkek çalışan sayılarının belirtilen yüzdeleri alınarak bulunur.

3

Son durumdaki toplam kadın ve erkek çalışan sayılarını belirleyin.

Son durumda erkek sayısı:

60x + 6x = 66x

. Son durumda kadın sayısı:

40x + 8x = 48x

.

Başlangıçtaki çalışan sayılarına yeni eklenen çalışan sayıları ilave edilerek son durumdaki kadrolar elde edilir.

4

Son durumdaki kadın ve erkek çalışan sayıları arasındaki farkı kullanarak değişkenin değerini bulun.

66x - 48x = 36 \implies 18x = 36 \implies x = 2

.

Kadın çalışanların sayısının erkek çalışanların sayısından 36 eksik olduğu bilgisiyle birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurulur.

5

Bulunan değişken değerini kullanarak başlangıçtaki toplam çalışan sayısını hesaplayın.

Başlangıçtaki toplam çalışan sayısı:

100x = 100 \times 2 = 200

.

Soru bizden başlangıçtaki toplam çalışan sayısını (

100x

) istediği için

x

değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yüzde Problemlerinde Değişken Belirleme ve Denklem Kurma

Soru 360Soru →

Bir dairesel pist üzerinde aynı noktadan, aynı anda ve aynı yöne doğru sabit hızlarla koşmaya başlayan Kerem ve Selim'in başlangıçtaki hızları sırasıyla $V_K$ ve $V_S$ dir. Kerem'in başlangıç hızı, Selim'in başlangıç hızının $\frac{8}{3}$ katıdır.

Koşucuların pist üzerindeki hareketleri boyunca hız değişimleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Kerem, pist etrafında 2 tam tur tamamladığı anda hızını yarıya düşürmüştür.
- Selim ise pist etrafında 1 tam tur tamamladığı anda hızın�� 2 katına çıkarmıştır.

Kerem hızını değiştirdikten sonra Selim de hızını değiştirmiş ve bu değişimden bir süre sonra iki koşucu ilk kez yan yana gelmiştir.

Koşucuların ilk kez yan yana geldikleri ana kadar geçen sürede Kerem toplam $720\text{ metre}$ koştuğuna göre, dairesel pistin uzunluğu kaç metredir?

180

200

240

288

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Dairesel pistin uzunluğu 240 metredir.

Koşucuların hız değişim zamanları ve konumları adım adım izlendiğinde, Selim'in Kerem'i yakaladığı ana kadar Kerem'in pist uzunluğunun tam olarak 3 katı (

3x

) kadar mesafe koştuğu görülür. Koşulan toplam mesafe 720 metre olduğundan pist uzunluğu 240 metredir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması

Pistin uzunluğuna

x

metre diyelim. Selim'in başlangıç hızını

3v

, Kerem'in başlangıç hızını ise

8v

olarak belirleyelim.

Hızlar arasındaki

\frac{8}{3}

oranını kolayca modellemek için ortak bir

v

değişkeni kullanılır.

2

Kerem'in hızını değiştirdiği ana kadar geçen sürenin ve Selim'in konumunun belirlenmesi

Kerem'in 2 tam turu tamamlaması için geçen süre

t_1 = \frac{2x}{8v} = \frac{x}{4v}

olur. Bu sürede Selim

d_S(t_1) = 3v \cdot \frac{x}{4v} = \frac{3}{4}x

kadar yol alır. Selim henüz 1. turunu tamamlamamıştır. Kerem'in yeni hızı ise

4v

olur.

Kerem'in hızını değiştirdiği ilk kırılma anında Selim'in nerede olduğunu bulmak için gereklidir.

3

Selim'in hızını değiştirdiği ana kadar geçen sürenin ve Kerem'in konumunun belirlenmesi

Selim'in 1 tam turunu tamamlaması için geçen toplam süre

t_2 = \frac{x}{3v}

olur.

t_1

ile

t_2

arasındaki zaman farkı

\Delta t = \frac{x}{3v} - \frac{x}{4v} = \frac{x}{12v}

kadardır. Bu sürede Kerem

4v \cdot \frac{x}{12v} = \frac{x}{3}

kadar daha yol alır.

t_2

anında Selim başlangıç noktasındadır (hızı

6v

olur) ve Kerem

\frac{x}{3}

konumundadır.

İkinci hız değişiminin gerçekleştiği anda koşucuların bağıl konumlarını belirlemek için gereklidir.

4

Karşılaşma anına kadar geçen sürenin ve Kerem'in aldığı yolun hesaplanması

Selim'in Kerem'i yakalaması için gereken süre

t_3 = \frac{x/3}{6v - 4v} = \frac{x}{6v}

olur. Bu sürede Kerem

4v \cdot \frac{x}{6v} = \frac{2}{3}x

kadar yol alır.

Bağıl hız kullanılarak karşılaşma anına kadar geçen sürede Kerem'in katettiği son mesafeyi bulmak için gereklidir.

5

Pistin uzunluğunun bulunması

Kerem'in toplam yolu

2x + \frac{x}{3} + \frac{2}{3}x = 3x

olur.

3x = 720 \implies x = 240

metre olarak bulunur.

Kerem'in toplam koştuğu mesafe bilindiğinden, elde edilen denklem çözülerek pist uzunluğuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde bağıl hız, karşılaşma ve yakalama sürelerinin dairesel pist üzerinde modellenmesi.

Problemler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar