Examkin

Sayı Problemleri

278 soru

Soru 81Soru →

Bir kütüphaneden ödünç alınan kitapların iade edilme süreleri ve bu sürelerin puan hesabına etkisi ile ilgili kurallar aşağıda verilmiştir:

* Bir kitap, belirlenen teslim tarihinden önce iade edilirse vaktinden önce iade edilen her gün için kullanıcının hesabına 22 okuma puanı eklenir.
* Bir kitap, belirlenen teslim tarihinden sonra iade edilirse gecikilen her gün için kullanıcının hesabından 55 okuma puanı düşülür.
* Kitaplar tam teslim tarihinde iade edilirse kullanıcının puanında bir değişiklik olmaz.

Bu kütüphaneden aynı anda 33 kitap ödünç alan bir üyenin kitapları iade etme süreciyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kitapların her biri, belirlenen teslim tarihinden farklı bir günde iade edilmiştir.
* Kitapların belirlenen toplam teslim süresi 2020 gündür.
* Üyenin bu kitapları kütüphaneden aldıktan sonra iade edene kadar elinde tuttuğu toplam süre 2828 gündür.
* Bu kitapların iade süreçleri sonunda üyenin puan hesabında net olarak 4646 puanlık bir azalma olmuştur.

Buna göre, bu üyenin teslim süresini geciktirerek iade ettiği kitaplar için toplam gecikme süresi kaç gündür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Kitapların teslim tarihinden sonra iade edildiği toplam gün sayısı YY ve teslim tarihinden önce iade edildiği toplam gün sayısı XX olsun. Sürelerin farkından Y−X=8Y - X = 8 denklemi, puan değişiminden ise 5Y−2X=465Y - 2X = 46 denklemi elde edilir. Birinci denklemden X=Y−8X = Y - 8 değeri ikincisinde yerine yazılarak çözüldüğünde Y=10Y = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlayıp teslim süreleri ile gerçek süreler arasındaki fark denklemini kuralım.
Y−X=8Y - X = 8
Kitapların teslim tarihinden sonra iade edildiği toplam gün sayısı YY, teslim tarihinden önce iade edildiği toplam gün sayısı XX olsun. Gerçek süre ile teslim süresi arasındaki fark 28−20=828 - 20 = 8 gündür. Bu fark, gecikilen günlerin erken iade edilen günlerden fazlalığına eşittir.
2
Net puan kaybına ilişkin denklemi kuralım.
5Y−2X=465Y - 2X = 46
Her erken gün için 2 puan kazanılırken (+2X), her geciken gün için 5 puan kaybedilir (-5Y). Net değişim 46 puan azalma olduğundan 2X−5Y=−462X - 5Y = -46, yani 5Y−2X=465Y - 2X = 46 olur.
3
Elde edilen denklem sistemini çözelim.
Y=10Y = 10, X=2X = 2
Birinci denklemden X=Y−8X = Y - 8 yazılarak ikinci denklemde yerine konulursa: 5Y−2(Y−8)=46  ⟹  3Y+16=46  ⟹  3Y=30  ⟹  Y=105Y - 2(Y - 8) = 46 \implies 3Y + 16 = 46 \implies 3Y = 30 \implies Y = 10 bulunur. Bu değer toplam gecikme süresidir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerini çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 82Soru →

Bir iş yerinde çalışanlara iki farklı maaş artış seçeneği sunulmaktadır:

* A seçeneği: Net 3000 TL3000\text{ TL} artış
* B seçeneği: Mevcut maaşın 15\frac{1}{5}'i kadar artış ve ek olarak net 1000 TL1000\text{ TL} artış

Bu iş yerinde aylık maaşı x TLx\text{ TL} olan bir çalışan A seçeneğini, aylık maaşı y TLy\text{ TL} olan başka bir çalışan ise B seçeneğini tercih etmiştir.

Her iki çalışan da kendileri için daha karlı olan seçeneği tercih ettiğine göre, y−xy - x farkının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Farkın alabileceği en küçük tam sayı değeri 1'dir.
Maaşı xx olan çalışan A seçeneğini seçtiği için 3000>x5+1000  ⟹  x<100003000 > \frac{x}{5} + 1000 \implies x < 10000 olur. Maaşı yy olan çalışan B seçeneğini seçtiği için y5+1000>3000  ⟹  y>10000\frac{y}{5} + 1000 > 3000 \implies y > 10000 olur. İki eşitsizlik taraf tarafa çıkarıldığında veya toplandığında y−x>0y - x > 0 elde edilir. Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı değeri 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
A seçeneğini tercih eden çalışan için eşitsizliği kurun ve çözün.
x<10000x < 10000
Çalışan kendisine daha karlı olan seçeneği tercih ettiğinden, A seçeneğinin getirdiği artış miktarı B seçeneğinin getirdiği artış miktarından fazla olmalıdır.
2
B seçeneğini tercih eden çalışan için eşitsizliği kurun ve çözün.
y>10000y > 10000
Çalışan kendisine daha karlı olan seçeneği tercih ettiğinden, B seçeneğinin getirdiği artış miktarı A seçeneğinin getirdiği artış miktarından fazla olmalıdır.
3
Elde edilen eşitsizlikleri birleştirerek y−xy - x farkının aralığını bulun.
y−x>0y - x > 0
y>10000y > 10000 ve −x>−10000-x > -10000 eşitsizlikleri taraf tarafa toplanarak en geniş değer aralığı elde edilir.
4
Elde edilen aralıktaki en küçük tam sayı değerini belirleyin.
1
y−xy - x farkı sıfırdan büyük bir gerçel sayı olduğundan, bu ifadenin alabileceği en küçük tam sayı değeri 1'dir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri birinci dereceden eşitsizliklere dönüştürme ve eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini gerçel sayılar kümesinde yorumlama.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 83Soru →

Bir laboratuvarda bulunan bir deney tüpünün sıcaklığı iki basamaklı abab santigrat derecedir. Bu sıcaklık değerinin onlar basamağındaki rakamın −20-20 katı ile birler basamağındaki rakamın −2-2 katının toplamının 1010 fazlası, −70-70 santigrat dereceden daha düşüktür.

Buna göre, bu deney tüpünün sıcaklığı (abab) en az kaç santigrat derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Deney tüpünün sıcaklığı en az 41 santigrat derecedir.
Verilen sözel ifadeler matematiksel forma dönüştürüldüğünde −2(ab)<−80-2(ab) < -80 eşitsizliği elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı −2-2 ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek ab>40ab > 40 olur. Bu koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı tam sayı 41'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel eşitsizlik olarak yazalım. İki basamaklı abab sayısı 10a+b10a + b şeklinde çözümlenir. Onlar basamağının −20-20 katı −20a-20a, birler basamağının −2-2 katı −2b-2b'dir. Bu değerlerin toplamının 1010 fazlası: −20a−2b+10-20a - 2b + 10 ifadesidir.
−20a−2b+10<−70-20a - 2b + 10 < -70 eşitsizliği elde edilir.
Soruda belirtilen koşulları cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Elde edilen eşitsizlikte basamak çözümlemesi ilişkisini kullanalım: −20a−2b=−2(10a+b)=−2(ab)-20a - 2b = -2(10a + b) = -2(ab) yazılabilir. abab iki basamaklı sayısına tek bir değişken olarak xx diyelim. Bu durumda eşitsizlik −2x+10<−70-2x + 10 < -70 halini alır.
−2x<−80-2x < -80 elde edilir.
Eşitsizliği tek bir bilinmeyen cinsinden sadeleştirip çözmek için.
3
−2x<−80-2x < -80 eşitsizliğinin her iki tarafını −2-2'ye bölelim. Eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünden eşitsizlik yön değiştirmelidir.
x>40x > 40 elde edilir.
Bilinmeyeni yalnız bırakıp alabileceği değer aralığını bulmak için.
4
x>40x > 40 koşulunu sağlayan en küçük iki basamaklı abab tam sayısı belirlenir.
ab=41ab = 41 olur.
Soruda istenen en küçük tam sayı değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi.
Tahmini Süre:50s
Soru 84Soru →

Bir okul kermesinde satılan ürünler ve fiyatları ile ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir:
* Köfte menüsünün satış fiyatı 120 TL120\text{ TL}'dir.
* Tavuk menüsünün satış fiyatı 90 TL90\text{ TL}'dir.

Kermeste satılan köfte menüsü sayısı, tavuk menüsü sayısının 2 katıdır. Elde edilen toplam gelir ile tanesi 150 TL150\text{ TL} olan kitaplardan en fazla 44 adet alınabilmektedir.

Buna göre, kermeste satılan toplam menü sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Satılan toplam menü sayısı en fazla 60 olmalıdır.
Satılan tavuk menüsü sayısına xx dersek, köfte menüsü sayısı 2x2x olur. Toplam gelir 120⋅2x+90⋅x=330x TL120 \cdot 2x + 90 \cdot x = 330x\text{ TL} olarak elde edilir. Bu gelir ile tanesi 150 TL150\text{ TL} olan kitaplardan en fazla 44 adet alınabildiğine göre, toplam gelir 45 kitap almaya yetmemelidir: 330x<45⋅150⇒330x<6750⇒x<2045330x < 45 \cdot 150 \Rightarrow 330x < 6750 \Rightarrow x < 20{}45 bulunur. Dolayısıyla xx tam sayısı en çok 20 olabilir. Buradan satılan toplam menü sayısı en fazla 3x=3⋅20=603x = 3 \cdot 20 = 60 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tavuk ve köfte menüsü satış sayılarını ortak bir değişken (xx) türünden yazalım.
Tavuk menüsü sayısı xx ise köfte menüsü sayısı 2x2x olur. Toplam menü sayısı da x+2x=3xx + 2x = 3x olur.
Köfte menüsü sayısının tavuk menüsünün 2 katı olduğu verilmiştir.
2
Kermesten elde edilen toplam geliri xx cinsinden ifade edelim.
Gelir = 120⋅(2x)+90⋅x=240x+90x=330x TL120 \cdot (2x) + 90 \cdot x = 240x + 90x = 330x\text{ TL} olur.
Menülerin birim fiyatları ile satış miktarları çarpılarak toplam gelir elde edilir.
3
Tanesi 150 TL150\text{ TL} olan kitaplardan en çok 44 adet alınabildiği koşuluyla xx değerinin üst sınırını belirleyelim.
Elde edilen gelir 45 kitap almaya yetmemelidir. Bu durumda 330x<45⋅150⇒330x<6750⇒x<2045330x < 45 \cdot 150 \Rightarrow 330x < 6750 \Rightarrow x < 20{}45 olur. xx tam sayı olacağından en fazla 20 değerini alabilir. (Ayrıca x=20x=20 için gelir 6600 TL6600\text{ TL} olup tam olarak 44 kitap alınmasını sağlar; x=21x=21 için gelir 6930 TL6930\text{ TL} olup 46 kitap alınmasına imkan tanır.)
Gelirin yetebileceği maksimum kitap sayısının 44 olması koşulunu sağlamak için eşitsizlik çözülür.
4
En büyük xx değeriyle satılan toplam menü sayısını hesaplayalım.
Toplam menü sayısı 3x=3⋅20=603x = 3 \cdot 20 = 60 olarak bulunur.
Toplam menü adedinin en büyük değeri sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde Değişken Modellemesi ve Eşitsizlik Uygulamaları
Soru 85Soru →

Bir kırtasiyede satılan bir defterin fiyatı, bir kalemin fiyatının 2 katından 5 TL eksiktir. Bu kırtasiyeden 3 defter ve 4 kalem alan bir müşteri toplam 115 TL ödemiştir.

Buna göre, bir adet defterin fiyatı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Bir adet defterin fiyatı 21 TL'dir.
Kalem fiyatı xx olarak belirlendiğinde defter fiyatı 2x−52x - 5 olur. Satın alınan adetlerle çarpılıp 115 TL'ye eşitlendiğinde kalem fiyatı 13 TL, defter fiyatı ise 21 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin belirlenmesi ve defter ile kalem fiyatları arasındaki ilişkinin denklem olarak yazılması.
Bir kalemin fiyatı xx TL ise, bir defterin fiyatı 2x−52x - 5 TL olur.
Defterin fiyatı kalemin 2 katından 5 eksik olarak belirtilmiştir.
2
Alınan ürün miktarlarına göre toplam tutar denkleminin kurulması.
3 defter ve 4 kalem için toplam tutar: 3(2x−5)+4x=1153(2x - 5) + 4x = 115 TL'dir.
Müşterinin toplamda 3 defter ve 4 kalem alıp 115 TL ödediği belirtilmiştir.
3
Kurulan denklemin çözülerek kalemin fiyatının (xx) bulunması.
6x−15+4x=115⇒10x−15=115⇒10x=130⇒x=136x - 15 + 4x = 115 \Rightarrow 10x - 15 = 115 \Rightarrow 10x = 130 \Rightarrow x = 13 TL.
Parantez dağıtılır ve benzer terimler bir araya getirilerek bilinmeyen yalnız bırakılır.
4
Bulunan kalem fiyatı yardımıyla defterin fiyatının hesaplanması.
Defter fiyatı: 2(13)−5=212(13) - 5 = 21 TL.
Defter fiyatı 2x−52x - 5 ifadesiyle tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme

Alternatif Yöntem

Seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. Örneğin defter fiyatı 21 TL ise, 2 katından 5 eksik olan kalem fiyatı (21 + 5)/2 = 13 TL olur. 3 defter (3 * 21 = 63 TL) ve 4 kalem (4 * 13 = 52 TL) toplamda 63 + 52 = 115 TL yapar ve eşitlik sağlanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 86Soru →

Bir kırtasiyeci, elindeki iki basamaklı ABAB tane kalemi paketleyerek satacaktır. Bu paketleme ve satış süreciyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kalemler, her bir pakette A+2A + 2 tane olacak şekilde paketlendiğinde BB tane paket tamamen dolmakta ve geriye hiç kalem kalmamaktadır.
* Paket sayısının 11 katından, toplam kalem sayısının 2 katı çıkarıldığında elde edilen sonuç negatif olmaktadır.
* Toplam kalem sayısının 2 katından, paket sayısının 15 katı çıkarıldığında elde edilen sonuç negatif olmaktadır.

Buna göre, kırtasiyecinin elindeki toplam kalem sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Kırtasiyecinin elindeki toplam kalem sayısı 48'dir.
Toplam kalem sayısı 48 olduğunda, A=4A=4 ve B=8B=8 olur. Kalemler 4+2=64+2=6'şar adet paketlendiğinde tam 8 paket elde edilir ve kalan kalmaz. Birinci eşitsizlik 9(8)<20(4)  ⟹  72<809(8) < 20(4) \implies 72 < 80 ve ikinci eşitsizlik 20(4)<13(8)  ⟹  80<10420(4) < 13(8) \implies 80 < 104 şeklinde sağlanır. Dolayısıyla bu değer tüm koşullara uyan tek çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam kalem sayısı olan iki basamaklı ABAB sayısını basamak çözümlemesi kullanarak yazıp paketleme bağıntısını kurmak.
Toplam kalem sayısı N=10A+BN = 10A + B olur. Paketleme koşuluna göre N=B(A+2)N = B(A + 2) olduğundan, 10A+B=B(A+2)  ⟹  10A+B=AB+2B  ⟹  10A=B(A+1)10A + B = B(A + 2) \implies 10A + B = AB + 2B \implies 10A = B(A + 1) elde edilir.
Kalemlerin tamamının paketlere tam bölünmesi, toplam kalem sayısını paket sayısı ile paket kapasitesinin çarpımına eşitler.
2
Elde edilen denklemde rakam olma koşuluna göre AA ve BB için olası tam sayı değerlerini bulmak.
B=10AA+1=10−10A+1B = \frac{10A}{A + 1} = 10 - \frac{10}{A + 1} yazılır. AA ve BB birer rakam olduğu için A+1A + 1 ifadesi 10'un böleni olmalıdır. A≥1A \ge 1 için olası durumlar:
- A+1=2  ⟹  A=1A + 1 = 2 \implies A = 1 ve B=5  ⟹  N=15B = 5 \implies N = 15
- A+1=5  ⟹  A=4A + 1 = 5 \implies A = 4 ve B=8  ⟹  N=48B = 8 \implies N = 48
- A+1=10  ⟹  A=9A + 1 = 10 \implies A = 9 ve B=9  ⟹  N=99B = 9 \implies N = 99
ABAB iki basamaklı bir sayı olduğundan AA ve BB birer rakamdır ve A≠0A \neq 0 olmalıdır.
3
Birinci eşitsizlik koşulunu yazıp olası durumları bu koşula göre test etmek.
Paket sayısının 11 kat��ndan, toplam kalem sayısının 2 katı çıkarıldığında sonuç negatif olmalıdır: 11B−2N<0  ⟹  9B<20A11B - 2N < 0 \implies 9B < 20A.
- N=15N = 15 için: 9(5)<20(1)  ⟹  45<209(5) < 20(1) \implies 45 < 20 (Yanlış, bu durum elenir).
- N=48N = 48 için: 9(8)<20(4)  ⟹  72<809(8) < 20(4) \implies 72 < 80 (Doğru).
- N=99N = 99 için: 9(9)<20(9)  ⟹  81<1809(9) < 20(9) \implies 81 < 180 (Doğru).
Soruda verilen birinci eşitsizlik sınırını sağlayamayan durumları elemek gerekir.
4
İkinci eşitsizlik koşulunu yazıp kalan durumları bu koşula göre test etmek.
Toplam kalem sayısının 2 katından, paket sayısının 15 katı çıkarıldığında sonuç negatif olmalıdır: 2N−15B<0  ⟹  20A<13B2N - 15B < 0 \implies 20A < 13B.
- N=48N = 48 için: 20(4)<13(8)  ⟹  80<10420(4) < 13(8) \implies 80 < 104 (Doğru).
- N=99N = 99 için: 20(9)<13(9)  ⟹  180<11720(9) < 13(9) \implies 180 < 117 (Yanlış, bu durum elenir).
Bu durumda tüm koşulları sağlayan tek sayı N=48N = 48'dir.
İkinci eşitsizlik sınırı yardımıyla geriye kalan aday sayılar arasından tek bir doğru çözüme ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde basamak analizi ve eşitsizlik sistemlerinin ortak çözümü
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 87Soru →

Bir şehirdeki toplu taşıma araçlarında kullanılan abonman kartlarına bakiye yükleme işlemleriyle ilgili aşağ��daki bilgiler verilmiştir:

* Karta sadece 20 TL20\text{ TL}, 50 TL50\text{ TL} ve 100 TL100\text{ TL} değerindeki banknotlar kullanılarak yükleme yapılabilmektedir.
* Bir gün içinde bu karta toplam 1212 adet banknot kullanılarak 790 TL790\text{ TL} yüklenmiştir.
* Karta yüklenen 50 TL50\text{ TL}'lik banknotların sayısı, 20 TL20\text{ TL}'lik banknotların sayısının 22 katından 11 fazladır.

Buna göre, karta yüklenen 100 TL100\text{ TL}'lik banknotların sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Karta yüklenen 100 TL'lik banknotların sayısı 5'tir.
20 TL'lik banknot sayısına xx dendiğinde, 50 TL'lik banknot sayısı 2x+12x+1 olur. Toplam banknot sayısı 12 olduğundan 100 TL'lik banknot sayısı 11−3x11-3x olur. Toplam tutar denklemi 20x+50(2x+1)+100(11−3x)=79020x + 50(2x+1) + 100(11-3x) = 790 olarak kurulup çözüldüğünde x=2x=2 ve buradan 100 TL'lik banknot sayısı 11−3(2)=511 - 3(2) = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
20 TL'lik banknotların sayısına xx diyelim. Bu durumda 50 TL'lik banknotların sayısı 2x+12x + 1 olur. 100 TL'lik banknotların sayısına ise yy diyelim.
Banknot sayıları: N20=xN_{20} = x, N50=2x+1N_{50} = 2x + 1, N100=yN_{100} = y şeklinde ifade edilir.
Problemde verilen ilişkileri matematiksel değişkenlere dökmek için.
2
Toplam banknot sayısı 12 olduğundan, bu üç deği��kenin toplamını 12'ye eşitleyip yy değişkenini xx cinsinden yazalım.
x+(2x+1)+y=12  ⟹  3x+y+1=12  ⟹  y=11−3xx + (2x + 1) + y = 12 \implies 3x + y + 1 = 12 \implies y = 11 - 3x olur.
Denklem sistemini tek bilinmeyene indirgemek için.
3
Banknotların toplam değerinin 790 TL olmasını sağlayan denklemi kuralım ve yy yerine 11−3x11 - 3x yazalım.
20x+50(2x+1)+100y=790  ⟹  20x+100x+50+100(11−3x)=790  ⟹  120x+50+1100−300x=79020x + 50(2x + 1) + 100y = 790 \implies 20x + 100x + 50 + 100(11 - 3x) = 790 \implies 120x + 50 + 1100 - 300x = 790 olur.
Toplam tutar ilişkisini kullanarak xx değerini bulmak için.
4
Elde edilen denklemi sadeleştirip xx değerini çözelim.
−180x+1150=790  ⟹  180x=360  ⟹  x=2-180x + 1150 = 790 \implies 180x = 360 \implies x = 2 bulunur.
20 TL'lik banknotların adetini belirlemek için.
5
x=2x = 2 değerini y=11−3xy = 11 - 3x denkleminde yerine yazarak 100 TL'lik banknotların sayısını bulalım.
y=11−3(2)=11−6=5y = 11 - 3(2) = 11 - 6 = 5 bulunur.
İstenen 100 TL'lik banknot adedine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklem kurma ve çözme becerisi gerektiren sayı problemleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 88Soru →

Bir GSM operatörü, aylık sabit ücreti iki basamaklı bir AB TLAB\text{ TL} doğal sayısı olan ve konuşulan her bir dakika için 2 TL2\text{ TL} alan bir konuşma tarifesi sunmaktadır. Bu tarifeyi kullanan bir abonenin bir ayda 20 dakika konuştuğunda ödeyeceği toplam tutar 100 TL100\text{ TL}'den az olduğuna göre, bu abonenin ödeyebileceği aylık sabit ücret (ABAB) en fazla kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59

Cevap

Abonenin ödeyebileceği aylık sabit ücret en fazla 59 TL'dir.
Abonenin 20 dakika konuştuğunda ödeyeceği toplam fatura tutarı AB+2×20=AB+40 TLAB + 2 \times 20 = AB + 40\text{ TL} olur. Bu tutar 100 TL100\text{ TL}'den az olduğuna göre AB+40<100  ⟹  AB<60AB + 40 < 100 \implies AB < 60 eşitsizliği elde edilir. ABAB iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan, bu eşitsizliği sağlayan en büyük ABAB değeri 59'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Abonenin 20 dakika konuşması durumunda ödeyeceği toplam tutarı veren cebirsel ifadeyi yazın.
Aylık sabit ücret ABAB ve dakika ücreti 2 TL2\text{ TL} olduğuna göre, 20 dakikalık konuşma için toplam tutar AB+2×20=AB+40 TLAB + 2 \times 20 = AB + 40\text{ TL} olur.
Sözel olarak verilen durumu matematiksel bir ifadeye dönüştürmek için.
2
Toplam tutarın 100 TL100\text{ TL}'den az olduğunu belirten eşitsizliği kurun ve çözün.
AB+40<100  ⟹  AB<60AB + 40 < 100 \implies AB < 60 elde edilir.
Aylık sabit ücretin alabileceği değer aralığını sınırlamak için.
3
Elde edilen eşitsizliği sağlayan en büyük iki basamaklı ABAB doğal sayısını belirleyin.
AB<60AB < 60 koşulunu sağlayan en büyük iki basamaklı doğal sayı 59'dur.
Soru bizden bu koşula uyan en büyük iki basamaklı ABAB değerini istediği için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren sayı problemleri ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi.

Alternatif Yöntem

Toplam fatura tutarının 100 TL100\text{ TL}'den az olması istendiğinden, seçenekler tek tek incelenebilir. En büyük değer istendiği için seçeneklerdeki en büyük sayılardan başlanarak deneme yapılabilir. Örneğin, sabit ücret 60 olduğunda fatura 60+40=100 TL60 + 40 = 100\text{ TL} olur ki bu sınır değeridir ve 100'den küçük değildir. Bir sonraki en büyük sayı olan 59 denendiğinde 59+40=99 TL59 + 40 = 99\text{ TL} elde edilir ve bu 100'den küçük olduğundan koşul sağlanır.
Tahmini Süre:45s
Soru 89Soru →

Bir şehirdeki akıllı bisiklet kiralama sisteminde uygulanan ücret tarifesi aşağıda verilmiştir:

* Bisikleti kiralamak için ilk açılış ücreti 4 TL4\text{ TL}'dir.
* Kiralama başladıktan sonra geçen her bir dakika için 0,5 TL0,5\text{ TL} ücret alınmaktadır.

Bu sistemden bir bisiklet kiralayan ve bisikleti teslim ettiğinde toplam 22 TL22\text{ TL} ödeyen bir kişi, bisikleti kaç dakika kiralamıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Bisikletin kiralama süresi 36 dakikadır.
Toplam ödenen 22 TL tutardan 4 TL sabit açılış ücreti çıkarıldığında geriye dakika başına ödenen 18 TL kalır. Dakika ücreti 0,5 TL olduğuna göre, 18 TL'lik tutar 18 / 0,5 = 36 dakikalık kullanım karşılığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam ödenen tutardan sabit açılış ücreti çıkarılır.
22−4=18 TL22 - 4 = 18\text{ TL}
Süreye bağlı olarak ödenen net tutarı bulmak için açılış ücreti düşülmelidir.
2
Elde edilen net tutar, dakika başına alınan ücrete bölünerek kiralama süresi hesaplanır.
18/0,5=36 dakika18 / 0,5 = 36\text{ dakika}
Dakika başına 0,5 TL ödendiğinden, toplam dakikayı bulmak için net tutar dakika ücretine bölünür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme (Sayı Problemleri)
Soru 90Soru →

Bir kargo firması, teslimat noktasına boyutları küçük, orta ve büyük olmak üzere üç farklı tipte toplam 120120 adet kargo dolabı yerleştirmiştir. Bu dolapların günlük kiralama ücretleri sırasıyla 20 TL20\text{ TL}, 30 TL30\text{ TL} ve 60 TL60\text{ TL}'dir.

Belirli bir günde;
* Küçük boy dolapların tamamı,
* Orta boy dolapların yarısı,
* Büyük boy dolapların üçte biri
kiralanmış ve bu kiralama işlemlerinden toplam 2200 TL2200\text{ TL} gelir elde edilmiştir.

Başka bir günde ise;
* Küçük boy dolapların beşte üçü,
* Orta boy dolapların tamamı,
* Büyük boy dolapların üçte ikisi
kiralanmış olsaydı, bu işlemlerden elde edilecek toplam gelir 3000 TL3000\text{ TL} olacaktı.

Buna göre, bu kargo firmasının teslimat noktasında toplam kaç adet küçük boy kargo dolabı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Küçük boy kargo dolabı sayısı 50'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, kurulan iki bilinmeyenli denklem sisteminin (S+L=80S+L=80 ve 3S+10L=4503S+10L=450) ortak çözülmesiyle elde edilen S=50S=50 değerini doğru bir şekilde ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kargo dolaplarının sayıları için değişkenler tanımlanır ve toplam dolap sayısı denklemi kurulur.
Küçük boy dolap sayısı SS, orta boy dolap sayısı MM ve büyük boy dolap sayısı LL olsun. Toplam 120 dolap olduğu için: S+M+L=120S + M + L = 120 elde edilir.
Problemde verilen toplam dolap sayısını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Birinci günkü kiralama durumuna göre gelir denklemi kurulur ve basitleştirilir.
Küçüklerin tamamı (SS), ortaların yarısı (M2\frac{M}{2}), büyüklerin üçte biri (L3\frac{L}{3}) kiralanmıştır. Gelir: 20S+30⋅M2+60⋅L3=2200⇒20S+15M+20L=220020S + 30 \cdot \frac{M}{2} + 60 \cdot \frac{L}{3} = 2200 \Rightarrow 20S + 15M + 20L = 2200 olur. Bu denklem 5 ile sadeleştirilirse: 4S+3M+4L=4404S + 3M + 4L = 440 elde edilir.
Birinci günün kiralama oranları ve dolap ücretlerini kullanarak ilk gelir denklemini elde etmek için.
3
Elde edilen iki denklem kullanılarak orta boy dolap sayısı (MM) bulunur.
İlk denklem 4 ile çarpılır: 4S+4M+4L=4804S + 4M + 4L = 480. İkinci denklem çıkarılır: (4S+4M+4L)−(4S+3M+4L)=480−440⇒M=40(4S + 4M + 4L) - (4S + 3M + 4L) = 480 - 440 \Rightarrow M = 40 bulunur.
SS ve LL değişkenlerini yok ederek doğrudan MM değerine ulaşmak için.
4
İkinci günkü olası kiralama durumuna göre denklem kurulur.
Küçüklerin beşte üçü (35S\frac{3}{5}S), ortaların tamamı (MM), büyüklerin üçte ikisi (23L\frac{2}{3}L) kiralanırsa gelir: 20⋅35S+30M+60⋅23L=3000⇒12S+30M+40L=300020 \cdot \frac{3}{5}S + 30M + 60 \cdot \frac{2}{3}L = 3000 \Rightarrow 12S + 30M + 40L = 3000 olur. M=40M = 40 yerine yazılırsa: 12S+1200+40L=3000⇒12S+40L=1800⇒3S+10L=45012S + 1200 + 40L = 3000 \Rightarrow 12S + 40L = 1800 \Rightarrow 3S + 10L = 450 elde edilir.
İkinci günün koşullarını ve MM'nin değerini kullanarak SS ve LL arasında yeni bir bağıntı kurmak için.
5
SS ve LL değişkenlerine bağlı iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek SS değeri bulunur.
S+M+L=120S + M + L = 120 ve M=40M = 40 olduğundan S+L=80S + L = 80'dir. Buradan L=80−SL = 80 - S yazılır ve 3S+10L=4503S + 10L = 450 denkleminde yerine konursa: 3S+10(80−S)=450⇒3S+800−10S=450⇒7S=350⇒S=503S + 10(80 - S) = 450 \Rightarrow 3S + 800 - 10S = 450 \Rightarrow 7S = 350 \Rightarrow S = 50 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek küçük boy dolap sayısını (SS) elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemleri yardımıyla çok bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri kurma ve çözme.
Soru 91Soru →

Bir fabrikada üretilen ürünler, iki basamaklı ABAB tane kolinin her birine eşit sayıda ürün konularak paketlenmektedir.

* Her koliye konulan ürün sayısı 4 azaltılıp koli sayısı 5 artırılsaydı, paketlenen toplam ürün sayısı 113 artacaktı.
* Her koliye konulan ürün sayısı 3 artırılıp koli sayısı 4 azaltılsaydı, paketlenen toplam ürün sayısı 128 azalacaktı.

Buna göre, koli sayısını gösteren iki basamaklı ABAB sayısının rakamları toplamı (A+BA+B) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Denklem sistemi çözüldüğünde koli sayısı 48 olarak bulunur ve rakamları toplamı 12'dir.
Denklem sistemi kurulup çözüldüğünde koli sayısı olan ABAB iki basamaklı sayısı 4848 olarak elde edilir. Bu sayının rakamları toplamı ise 4+8=124 + 8 = 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koli sayısı KK ve her koliye konulan ürün sayısı NN olarak belirlenir. Toplam ürün sayısı ise N⋅KN \cdot K olur.
İlk durumdaki toplam ürün sayısı P=N⋅KP = N \cdot K ifadesi ile gösterilir.
Soruda verilen değişimlerin matematiksel modelini kurmak için başlangıç değişkenleri tanımlanmalıdır.
2
Soruda verilen birinci durum için denklem kurulur ve düzenlenir: (N−4)⋅(K+5)=N⋅K+113(N - 4) \cdot (K + 5) = N \cdot K + 113.
N⋅K+5N−4K−20=N⋅K+113  ⟹  5N−4K=133N \cdot K + 5N - 4K - 20 = N \cdot K + 113 \implies 5N - 4K = 133 denklemi elde edilir.
Koli ve ürün sayısındaki değişimlerin toplam ürün sayısına etkisini gösteren birinci ilişkiyi belirlemek.
3
Soruda verilen ikinci durum için denklem kurulur ve düzenlenir: (N+3)⋅(K−4)=N⋅K−128(N + 3) \cdot (K - 4) = N \cdot K - 128.
N⋅K−4N+3K−12=N⋅K−128  ⟹  4N−3K=116N \cdot K - 4N + 3K - 12 = N \cdot K - 128 \implies 4N - 3K = 116 denklemi elde edilir.
İkinci durumdaki değişimleri ifade eden ikinci bağımsız denklemi bulmak.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemi kullanılarak çözülür.
Birinci denklem 3 ile, ikinci denklem 4 ile çarpılıp taraf tarafa çıkarıldığında N=65N = 65 ve buna bağlı olarak K=48K = 48 bulunur.
Değişkenlerin değerlerini bularak iki basamaklı koli sayısına (ABAB) ulaşmak.
5
Koli sayısı AB=48AB = 48 olduğundan, sayının rakamları toplamı hesaplanır.
A=4A = 4 ve B=8B = 8 için A+B=12A + B = 12 bulunur.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve yok etme yöntemi ile çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 92Soru →

Bir meyve suyu barında müşterilere bardak boyutları kü��ük, orta ve büyük olmak üzere üç farklı seçenekte portakal suyu sunulmaktadır. Bu bardakların hacimleri sırasıyla 200 ml200\text{ ml}, 300 ml300\text{ ml} ve 500 ml500\text{ ml}'dir.

Bir günün sonunda bu bar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Satılan toplam küçük ve orta boy bardak sayısı, satılan büyük boy bardak sayısının 33 katıdır.
* Bu üç boy bardakta satılan toplam portakal suyu miktarı 4444 litredir.

Buna göre, gün sonunda satılan orta boy bardak sayısı en çok kaç olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 88

Cevap

88
Doğru cevap olan seçenekteki değer (8888), kurulan 11x+14y=132011x + 14y = 1320 denkleminde yy'nin alabileceği, bardak sayılarının tam sayı ve sıfırdan büyük ya da eşit olma koşullarını sağlayan en büyük değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük, orta ve büyük boy bardak sayılarını sırasıyla xx, yy ve zz değişkenleri ile tanımlayarak verilen ilişkileri denkleme dökelim.
Satılan bardak sayıları arasında x+y=3zx + y = 3z ilişkisi vardır. Toplam hacim ise 200x+300y+500z=44000 ml200x + 300y + 500z = 44000\text{ ml} olarak yazılır. Bu denklem sadeleştirilirse 2x+3y+5z=4402x + 3y + 5z = 440 elde edilir.
Sözel ifadeleri matematiksel eşitlikler halinde ifade etmek çözümün ilk adımıdır.
2
İlk denklemdeki zz ifadesini çekip ikinci denklemde yerine yazarak iki bilinmeyenli bir denklem elde edelim.
z=x+y3z = \frac{x+y}{3} ifadesini hacim denkleminde yerine yazarsak: 2x+3y+5(x+y3)=4402x + 3y + 5\left(\frac{x+y}{3}\right) = 440 olur. Denklemin her iki tarafı 33 ile çarpıldığında 6x+9y+5x+5y=1320  ⟹  11x+14y=13206x + 9y + 5x + 5y = 1320 \implies 11x + 14y = 1320 elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak sınır koşullarını uygulayabileceğimiz iki bilinmeyenli bir Diofant denklemi oluşturmak amaçlanır.
3
11x+14y=132011x + 14y = 1320 denkleminde yy değerini en büyük yapacak ve x,y,zx, y, z değerlerinin pozitif tam sayı olmasını sağlayacak çözümü arayalım.
13201320 sayısı 1111'in katı olduğu için (11×12011 \times 120), 14y14y ifadesi de 1111'in bir katı olmalıdır. Buradan y=11ky = 11k yazılabilir. Denklemde yerine yazarsak 11x+14(11k)=1320  ⟹  x+14k=12011x + 14(11k) = 1320 \implies x + 14k = 120 olur. x≥0x \geq 0 olması gerektiğinden 14k≤12014k \leq 120 koşulunu sağlayan en büyük kk tam sayısı 88 olarak bulunur. Bu durumda y=11×8=88y = 11 \times 8 = 88 ve x=120−112=8x = 120 - 112 = 8 olur. Buradan z=8+883=32z = \frac{8+88}{3} = 32 tam sayısı elde edilir.
Bardak adetlerinin tam sayı olma zorunluluğu ve sıfırdan büyük veya eşit olması sınır koşulu kullanılarak en büyük yy değeri belirlenir.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Diofant Denklemleri

Alternatif Yöntem

Denklemler elde edildikten sonra seçeneklerdeki en büyük değerden başlanarak yy yerine yazılır. yy değeri yerine yazıldığında, hem 11x+14y=132011x + 14y = 1320 denklemini sağlayan xx değerinin hem de z=x+y3z = \frac{x+y}{3} denklemini sağlayan zz değerinin birer pozitif tam sayı olduğu kontrol edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 93Soru →

Bir kargo firması, taşıdığı paketleri 'küçük boy' ve 'büyük boy' olarak iki sınıfta ücretlendirmektedir. Bu kargo firmasının standart taşıma ücretleri aşağıda verilmiştir:

* Her bir küçük boy paket için 30 TL30\text{ TL}
* Her bir büyük boy paket için 45 TL45\text{ TL}

Bu firma ile tek seferde toplam 40 adet paket gönderen bir müşteri, paketlerin bir kısmı için geçerli olan bir kampanya kapsamında, kampanyalı her bir paket için standart ücret üzerinden 10 TL10\text{ TL} indirim kazanmıştır.

M��şterinin gönderdiği küçük boy paketlerin dörtte biri, büyük boy paketlerin ise 6 tanesi kampanyalıdır.

Bu müşteri, gönderdiği tüm paketler için kargo firmasına toplam 1460 TL1460\text{ TL} ödediğine göre, kampanyalı paketlerin toplam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Kampanyalı paketlerin toplam sayısı 10'dur.
Küçük boy paket sayısı xx ve büyük boy paket sayısı 40−x40 - x olarak belirlendikten sonra kurulan toplam maliyet denklemi çözüldüğünde x=16x = 16 bulunur. Buradan kampanyalı küçük paket sayısı 16/4=416/4 = 4 adet, kampanyalı büyük paket sayısı ise soruda verilen 6 adet olur. Toplam kampanyalı paket sayısı 4+6=104 + 6 = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük ve büyük boy paket sayıları için değişkenler tanımlanır.
Küçük boy paket sayısı xx, büyük boy paket sayısı yy olsun. Toplam paket sayısı 40 olduğundan x+y=40  ⟹  y=40−xx + y = 40 \implies y = 40 - x olur.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi tek bilinmeyen cinsinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
2
Küçük boy paketler için ödenecek toplam tutar hesaplanır.
Küçük boy paketlerin x4\frac{x}{4} tanesi için 10 TL10\text{ TL} indirim uygulanarak adet başına 20 TL20\text{ TL} ödenir. Kalan 3x4\frac{3x}{4} tanesi için standart ücret olan 30 TL30\text{ TL} ödenir. Toplam tutar: 20⋅x4+30⋅3x4=5x+22.5x=27.5x TL20 \cdot \frac{x}{4} + 30 \cdot \frac{3x}{4} = 5x + 22.5x = 27.5x\text{ TL} olur.
Her paket grubu için uygulanan tarifeye göre maliyet belirlenir.
3
Büyük boy paketler için ödenecek toplam tutar hesaplanır.
Büyük boy paketlerin 6 tanesi için 10 TL10\text{ TL} indirim uygulanarak adet başına 35 TL35\text{ TL} ödenir. Kalan y−6y - 6 tanesi için standart ücret olan 45 TL45\text{ TL} ödenir. Toplam tutar: 35⋅6+45(y−6)=210+45y−270=45y−60 TL35 \cdot 6 + 45(y - 6) = 210 + 45y - 270 = 45y - 60\text{ TL} olur.
Büyük boy paketlerin kampanya durumlarına göre maliyetleri ayrı ayrı hesaplanır.
4
Toplam ödenen tutar denklemine yerleştirilerek xx değeri çözülür.
27.5x+45(40−x)−60=1460  ⟹  27.5x+1800−45x−60=1460  ⟹  −17.5x+1740=1460  ⟹  17.5x=280  ⟹  x=1627.5x + 45(40 - x) - 60 = 1460 \implies 27.5x + 1800 - 45x - 60 = 1460 \implies -17.5x + 1740 = 1460 \implies 17.5x = 280 \implies x = 16 bulunur.
Müşterinin ödediği toplam tutar verilerek bilinmeyen paket sayısı bulunur.
5
Kampanyalı paketlerin toplam sayısı hesaplanır.
Küçük boy paketlerden kampanyalı olanlar: 164=4\frac{16}{4} = 4 adet. Büyük boy paketlerden kampanyalı olanlar: 66 adet. Toplam kampanyalı paket sayısı: 4+6=104 + 6 = 10 adettir.
Soruda istenen nihai değere ulaşmak için kampanyalı paket adetleri toplanır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 94Soru →

Bir kafede oturan 88 kişilik bir arkadaş grubu, gelen hesabı eşit olarak paylaşmaya karar veriyor. Ancak gruptaki 22 kişinin yanında yeterli para olmadığı için, diğer kişilerin her biri kendi payına düşen miktardan 15 TL15\text{ TL} fazla ödemek zorunda kalıyor.

Buna göre, bu gruba gelen toplam hesap kaç TL\text{TL}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360

Cevap

Toplam hesap 360 TL360\text{ TL}'dir.
Doğru yanıt, başlangıçtaki kişi başı düşen payın 45 TL45\text{ TL} olduğunu bulup buradan toplam hesabı 8×45=360 TL8 \times 45 = 360\text{ TL} olarak hesaplayan seçenektir. Parası olmayan 22 kişinin ödemesi gereken toplam tutar olan 2×45=90 TL2 \times 45 = 90\text{ TL}, parası olan 66 kişi tarafından kişi başı 15 TL15\text{ TL} fazla verilerek (6×15=90 TL6 \times 15 = 90\text{ TL}) karşılanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Ödeme yapacak kişi sayısını belirleme.
Gruptaki 88 kişiden 22'sinin parası olmadığı için hesabı 8−2=68 - 2 = 6 kişi ödeyecektir.
Ödeme yapacak kişi sayısı, kişi başına düşecek yeni pay miktarını belirlemek için gereklidir.
2
Kişi başı düşen ilk paya göre toplam hesabı veren denklemi kurma.
Kişi başı düşen ilk pay x TLx\text{ TL} ise toplam hesap 8x8x olur. Parası olan 66 kişinin her biri x+15 TLx + 15\text{ TL} ödediği için toplam hesap 6(x+15)6(x + 15) şeklinde de ifade edilir. Buradan 8x=6(x+15)8x = 6(x + 15) denklemi elde edilir.
Toplam hesap miktarının her iki durumdaki karşılığını eşitleyerek bilinmeyeni bulmak için.
3
Denklemi çözüp toplam hesabı hesaplama.
8x=6x+90⇒2x=90⇒x=45 TL8x = 6x + 90 \Rightarrow 2x = 90 \Rightarrow x = 45\text{ TL} bulunur. Toplam hesap ise 8×45=360 TL8 \times 45 = 360\text{ TL} olarak elde edilir.
Başlangıçtaki kişi başı payı bulup bunu toplam kişi sayısıyla çarparak toplam hesaba ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde doğrusal denklem kurma ve bilinmeyenleri doğru ilişkilendirme.

Alternatif Yöntem

Parası olmayan 22 kişinin ödemesi gereken toplam miktar, parası olan 66 kişinin fazladan ödediği toplam miktara eşittir. Buradan parası olan 66 kişi kişi başı 15 TL15\text{ TL} fazla ödediğine göre toplamda 6×15=90 TL6 \times 15 = 90\text{ TL} fazla ödenmiştir. Bu 90 TL90\text{ TL}, parası olmayan 22 kişinin ödemesi gereken tutardır. O halde kişi başı normal pay 90/2=45 TL90 / 2 = 45\text{ TL}'dir. Grup 88 kişi olduğuna göre toplam hesap 8×45=360 TL8 \times 45 = 360\text{ TL} bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 95Soru →

Bir peyzaj mimarı, tasarladığı bahçedeki A, B ve C tipi bitkileri sulamak için otomatik bir sistem kurmuştur. Bu sistemin çalışma prensibi ve bahçedeki bitkilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A tipi her bir bitki günde 22 kez, B tipi her bir bitki günde 33 kez, C tipi her bir bitki ise günde 44 kez sulanmaktadır.
* Bahçedeki A tipi bitki sayısı, B tipi bitki sayısının 22 katıdır.
* Bahçede bulunan toplam bitki sayısı 5050’dir.
* Bir günde tüm bitkiler için gerçekleştirilen toplam sulama sayısı 140140’tır.

Buna göre, bu bahçede C tipi bitkilerden kaç tane vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1414

Cevap

C tipi bitkilerin sayısı 1414'tür.
C tipi bitkilerin sayısı 1414 olarak bulunur. Bahçedeki bitki sayıları a=24a = 24, b=12b = 12 ve c=14c = 14 olduğunda, toplam bitki sayısı 24+12+14=5024 + 12 + 14 = 50 ve günlük sulama sayısı 2(24)+3(12)+4(14)=48+36+56=1402(24) + 3(12) + 4(14) = 48 + 36 + 56 = 140 koşulları tam olarak sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve bitki sayıları arasındaki ilişkilerin yazılması.
A, B ve C tipi bitki sayıları sırasıyla aa, bb ve cc olsun. Verilen bilgilere göre a=2ba = 2b ve a+b+c=50a + b + c = 50 denklemleri kurulur.
Problemdeki sözel verileri matematiksel ifadelere dönüştürmek için.
2
Toplam bitki sayısı denkleminde aa yerine 2b2b yazılarak cc değişkeninin bb cinsinden ifade edilmesi.
2b+b+c=50  ⟹  3b+c=50  ⟹  c=50−3b2b + b + c = 50 \implies 3b + c = 50 \implies c = 50 - 3b elde edilir.
Denklem sistemindeki bilinmeyen sayısını azaltarak tek değişkenli bir sulama denklemi elde etmek için.
3
Günlük toplam sulama sayısı denkleminin kurulması ve çözülmesi.
Günlük toplam sulama sayısı 2a+3b+4c=1402a + 3b + 4c = 140 olarak verilir. Bu denklemde a=2ba = 2b ve c=50−3bc = 50 - 3b yazılırsa:
2(2b)+3b+4(50−3b)=1402(2b) + 3b + 4(50 - 3b) = 140
4b+3b+200−12b=1404b + 3b + 200 - 12b = 140
200−5b=140  ⟹  5b=60  ⟹  b=12200 - 5b = 140 \implies 5b = 60 \implies b = 12 bulunur.
B tipi bitki sayısını bularak tüm bitki sayılarını belirlemek için.
4
C tipi bitki sayısının hesaplanması.
c=50−3bc = 50 - 3b denkleminde b=12b = 12 yazıldığında c=50−3(12)=50−36=14c = 50 - 3(12) = 50 - 36 = 14 olarak bulunur.
Soruda istenen C tipi bitki sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden denklem sistemine dönüştürme ve yerine koyma yöntemiyle çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 96Soru →

Özlem, her gün iki basamaklı ABAB sayfa okuyarak bir kitabı 5 günde bitirmeyi planlamaktadır. Eğer günde iki basamaklı BABA sayfa okusaydı, aynı kitabı 2 günde bitirecek ve geriye 6 sayfa kalacaktı.

Buna göre, Özlem'in günlük planladığı okuma sayfa sayısı için A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Doğru olan 8 değeri, kitabın toplam sayfa sayısı eşitliğinden elde edilen 16A=5B+216A = 5B + 2 denkleminde AA ve BB rakamlarının sırasıyla 2 ve 6 olarak bulunmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitabın toplam sayfa sayısını Özlem'in planına göre yazma
Toplam sayfa sayısı = 5×AB5 \times AB
Özlem günde ABAB sayfa okuyarak kitabı 5 günde bitirmektedir.
2
Kitabın toplam sayfa sayısını ikinci duruma göre yazma
Toplam sayfa sayısı = 2×BA+62 \times BA + 6
Günde BABA sayfa okuduğunda kitap 2 günde bitip geriye 6 sayfa kalmaktadır.
3
İki ifadeyi birbirine eşitleyip basamak çözümlemesi yapma
50A+5B=20B+2A+6  ⟹  48A−15B=6  ⟹  16A−5B=250A + 5B = 20B + 2A + 6 \implies 48A - 15B = 6 \implies 16A - 5B = 2
İki basamaklı ABAB sayısı 10A+B10A + B, BABA sayısı ise 10B+A10B + A şeklinde çözümlenir.
4
Elde edilen denklemde rakam değerlerini bulma
A=2A = 2 ve B=6B = 6 değerleri için A+B=8A + B = 8 olur.
16A=5B+216A = 5B + 2 eşitliğini sağlayan AA ve BB rakamları sırasıyla 2 ve 6'dır.

Anahtar Kavram

İki Basamaklı Sayıların Çözümlenmesi ve Denklem Kurma
Soru 97Soru →

Bir pastanede bir günde üretilen çikolatalı, çilekli ve muzlu pastaların her birinin yapımında sırasıyla 200 ml200\text{ ml}, 300 ml300\text{ ml} ve 400 ml400\text{ ml} süt kullanılmaktadır. Bu pastanede bir günde, her bir pasta çeşidinden en az birer tane olmak üzere toplam 4848 adet pasta üretilmiştir.

Bu üretimle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Pastaların yapımında toplam 14,614,6 litre süt kullanılmıştır.
- Üretilen çikolatalı pasta sayısı, çilekli pasta sayısının 33 katından fazladır.

Buna göre, bu günde üretilen muzlu pasta sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Muzlu pasta sayısı en az 22'dir.
Değişkenler xx (çikolatalı), yy (çilekli) ve zz (muzlu) olarak tanımlanıp denklemler kurulduğunda y=50−2zy = 50 - 2z ve x=z−2x = z - 2 bağıntıları elde edilir. Çikolatalı pasta sayısının çilekli pasta sayısının 3 katından fazla olma koşulu (x>3yx > 3y) uygulandığında z−2>3(50−2z)z - 2 > 3(50 - 2z) eşitsizliğine ve buradan da 7z>1527z > 152 sonucuna ulaşılır. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük zz tam sayısı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlayıp toplam pasta sayısı denklemini kuralım.
Çikolatalı, çilekli ve muzlu pasta sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olsun. Toplam pasta sayısı 4848 olduğundan: x+y+z=48x + y + z = 48 elde edilir.
Soruda verilen toplam adet bilgisini matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Kullanılan toplam süt miktarı denklemini kuralım ve sadeleştirelim.
Toplam süt 14,6 L=14600 ml14,6\text{ L} = 14600\text{ ml}'dir. Her bir pasta türü için kullanılan süt miktarları ile denklem yazılırsa: 200x+300y+400z=14600200x + 300y + 400z = 14600 olur. Denklemin her iki tarafı 100 ile sadeleştirildiğinde: 2x+3y+4z=1462x + 3y + 4z = 146 elde edilir.
Toplam kullanılan süt miktarını ml birimine çevirip sade bir denklem elde etmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek değişkenleri tek bir bilinmeyen (zz) cinsinden yazalım.
İlk denklem 2 ile çarpılıp (2x+2y+2z=962x + 2y + 2z = 96) ikinci denklemden çıkarılırsa: (2x+3y+4z)−(2x+2y+2z)=146−96  ⟹  y+2z=50  ⟹  y=50−2z(2x + 3y + 4z) - (2x + 2y + 2z) = 146 - 96 \implies y + 2z = 50 \implies y = 50 - 2z bulunur. Bu yy değeri toplam pasta denkleminde yerine yazılırsa: x=48−(50−2z)−z  ⟹  x=z−2x = 48 - (50 - 2z) - z \implies x = z - 2 elde edilir.
Eşitsizlik analizini tek bir değişken (zz) üzerinden kolayca yapabilmek için.
4
Çikolatalı pasta sayısı ile çilekli pasta sayısı arasındaki eşitsizliği uygulayalım.
x>3yx > 3y olduğu bilinmektedir. Bulduğumuz x=z−2x = z - 2 ve y=50−2zy = 50 - 2z ifadelerini yerine yazalım: z−2>3(50−2z)  ⟹  z−2>150−6z  ⟹  7z>152  ⟹  z>1527≈21,71z - 2 > 3(50 - 2z) \implies z - 2 > 150 - 6z \implies 7z > 152 \implies z > \frac{152}{7} \approx 21,71 elde edilir.
Soruda verilen kısıtlayıcı eşitsizlik koşulunu kullanarak zz değişkeninin alt sınırını belirlemek için.
5
Sınır koşullarını ve tam sayı olma şartını değerlendirelim.
zz pasta adedi olduğundan pozitif bir tam sayı olmalıdır. z>21,71z > 21,71 eşitsizliğini sağlayan en küçük zz tam sayısı 22'dir. Bu durumda y=50−2(22)=6y = 50 - 2(22) = 6 ve x=22−2=20x = 22 - 2 = 20 olur. Her iki değer de pozitif tam sayı şartını sağladığından muzlu pasta sayısı en az 22 olabilir.
En küçük tam sayı değerini bulup diğer pasta adetlerinin de pozitif tam sayı olma şartını (en az birer tane üretilme koşulunu) doğrulayarak çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde çok bilinmeyenli denklem sistemleri kurma, değişken sadeleştirme ve eşitsizlik analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 98Soru →

Bir kırtasiyeci, tanesi iki basamaklı abab TL olan defterlerden 6 tane aldığında ödediği toplam tutar 230 TL'den az olmaktadır. Bu defterlerden 8 tane aldığında ise ödediği toplam tutar 300 TL'den fazla olmaktadır.

Buna göre, 2a+b2a + b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14
Defterin birim fiyatı olan iki basamaklı abab TL için 6⋅ab<2306 \cdot ab < 230 eşitsizliğinden ab<38,33ab < 38,33 ve 8⋅ab>3008 \cdot ab > 300 eşitsizliğinden ab>37,5ab > 37,5 elde edilir. Bu iki koşulu aynı anda sağlayan tek iki basamaklı tam sayı 38'dir. Buradan a=3a = 3 ve b=8b = 8 bulunur. İstenen 2a+b2a + b ifadesinin değeri ise 2(3)+8=142(3) + 8 = 14 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Defterin birim fiyatı olan iki basamaklı abab sayısı için soruda verilen bilgileri eşitsizlik biçiminde ifade ederiz.
6⋅ab<2306 \cdot ab < 230 ve 8⋅ab>3008 \cdot ab > 300 eşitsizlikleri elde edilir.
Alışveriş tutarlarının alt ve üst sınırlarını belirlemek için.
2
Elde edilen eşitsizlikleri çözerek abab tam sayısının değer aralığını buluruz.
ab<2306≈38,33ab < \frac{230}{6} \approx 38,33 ve ab>3008=37,5ab > \frac{300}{8} = 37,5 elde edilir. Bu iki eşitsizlik birleştirildiğinde 37,5<ab<38,3337,5 < ab < 38,33 aralığı bulunur.
abab fiyat değerinin alabileceği tam sayı sınırlarını daraltmak için.
3
abab bir iki basamaklı doğal sayı (tam sayı) olduğuna göre bu aralıktaki tek uygun tam sayı değerini belirleriz.
ab=38ab = 38 olur. Buradan onlar basamağı a=3a = 3 ve birler basamağı b=8b = 8 olarak bulunur.
abab değerinin basamaklarındaki rakamları saptamak için.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini 2a+b2a + b ifadesinde yerine yazarız.
2(3)+8=6+8=142(3) + 8 = 6 + 8 = 14 sonucuna ulaşılır.
İstenen cebirsel ifadenin değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik yardımıyla sayı değerlerini sınırlama ve basamak analizi
Soru 99Soru →

Bir paylaşımlı scooter uygulamasında Merkez Bölge ve Çevre Bölge olmak üzere iki farklı sürüş bölgesi bulunmaktadır. Bu bölgelerdeki sürüş ücretleri ve kazanılan hediye dakikalarla ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir:

* Merkez Bölge'deki sürüşün dakikası 33 TL, Çevre Bölge'deki sürüşün dakikası ise 1,51,5 TL'dir.
* Merkez Bölge'de satın alınan her 1010 dakikalık sürüş için Çevre Bölge'de geçerli 22 dakika hediye sürüş süresi kazanılmaktadır.
* Çevre Bölge'de satın alınan her 1515 dakikalık sürüş için Merkez Bölge'de geçerli 11 dakika hediye sürüş süresi kazanılmaktadır.

Başlangıçta hediye dakikası bulunmayan bir kullanıcı, bu uygulamadan Merkez Bölge için 1010 dakikanın katı, Çevre Bölge i��in ise 1515 dakikanın katı olacak sürelerde sürüş satın almıştır. Kullanıcı, satın aldığı süreleri ve bu sürelerden kazandığı hediye dakikaları kesintisiz bir şekilde kullanarak toplam 7676 dakika sürüş gerçekleştirmiş ve bu sürüşler için toplam 120120 TL ödemiştir.

Buna göre, bu kullanıcının Merkez Bölge'de yaptığı toplam sürüş süresi kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Kullanıcının Merkez Bölge'de yaptığı toplam sürüş süresi 14 dakikadır.
Toplam sürüş süresinden elde edilen 3a+4b=193a + 4b = 19 denkleminin pozitif tam sayı çözümlerinden, toplam maliyeti 120120 TL yapan yegane durum a=1a=1 ve b=4b=4 değerleridir. Buna göre kullanıcının Merkez Bölge'de yaptığı sürüş süresi satın alınan 10 dakika ile hediye gelen 4 dakikanın toplamı olan 14 dakikadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölgelere göre satın alınan süreleri değişkenlerle ifade etme
Satın alınan Merkez Bölge süresi 10a10a dakika, satın alınan Çevre Bölge süresi 15b15b dakika olsun (aa ve bb pozitif tam sayılardır).
Soruda satın alınan sürelerin sırasıyla 10 ve 15'in katı olduğu belirtilmiştir.
2
Kazanılan hediye süreleri belirleme ve toplam süre denklemini kurma
Merkez Bölge'den kazanılan hediye Çevre Bölge süresi 2a2a dakika, Çevre Bölge'den kazanılan hediye Merkez Bölge süresi bb dakikadır. Toplam süre: 10a+15b+2a+b=12a+16b=7610a + 15b + 2a + b = 12a + 16b = 76 dakikadır.
Hediye dakikalar da toplam sürüş süresine dahil edilmelidir.
3
Toplam süre denklemini sadeleştirme ve olası tam sayı değerlerini bulma
12a+16b=76⇒3a+4b=1912a + 16b = 76 \Rightarrow 3a + 4b = 19. Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı (a,b)(a, b) ikilileri: b=1b=1 için a=5a=5, veya b=4b=4 için a=1a=1 şeklindedir.
Dakika çarpanları pozitif tam sayı olmak zorundadır.
4
Toplam ödeme tutarını kullanarak doğru değer ikilisini seçme
Toplam ödeme sadece satın alınan süreler için yapılır: 10a×3+15b×1,5=30a+22,5b=12010a \times 3 + 15b \times 1,5 = 30a + 22,5b = 120 TL olmalıdır. a=1,b=4a=1, b=4 değerleri için 30(1)+22,5(4)=30+90=12030(1) + 22,5(4) = 30 + 90 = 120 TL sağlanır. Diğer seçenek olan a=5,b=1a=5, b=1 için ödeme 172,5172,5 TL olacağından elenir.
Hediye dakikalardan ücret alınmadığı için sadece satın alınan sürelerin maliyeti hesaplanır.
5
Merkez Bölge'de yapılan toplam sürüş süresini hesaplama
Merkez Bölge toplam süresi = Satın alınan Merkez Bölge süresi (10a10a) + Hediye Merkez Bölge süresi (bb) = 10(1)+4=1410(1) + 4 = 14 dakikadır.
Kullanıcının Merkez Bölge'de geçirdiği toplam süre, hem satın aldığı hem de kazandığı hediye dakikaların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde doğrusal denklem kurma ve tam sayı sınır koşullarına göre çözüm kümesini belirleme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 100Soru →

Bir kahve dükkanında satılan filtre kahve ve latte içeceklerinin bardak fiyatları sırasıyla 6060 TL ve 8080 TL'dir. Bu dükkandan bir gün boyunca toplam 120120 bardak kahve sipariş edilmiş ve bu siparişlerden toplam 82008200 TL gelir elde edilmiştir.

Ancak gün sonunda yapılan incelemede, siparişlerin bir kısmının yanlış hazırlandığı; bazı müşterilere sipariş ettikleri filtre kahve yerine latte, bazılarına ise sipariş ettikleri latte yerine filtre kahve verildiği fark edilmiştir. Bu dükkanda gün boyunca hazırlanan toplam filtre kahve sayısı ile toplam latte sayısı, sipariş edilen miktarlarla aynıdır.

Siparişi doğru teslim edilen filtre kahve sayısı, siparişi doğru teslim edilen latte sayısının 22 katı olduğuna göre, siparişi yanlış teslim edilen toplam filtre kahve ve latte sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Siparişi yanlış teslim edilen toplam filtre kahve ve latte sayısı 60'tır.
Sipariş denklemleri çözüldüğünde 70 filtre kahve ve 50 latte sipariş edildiği görülür. Yanlış teslim edilen filtre kahve sayısı xx ise, hazırlanan toplam içecek miktarlarının korunması için yanlış teslim edilen latte sayısı da xx olmalıdır. Doğru teslim edilen filtre kahve sayısı (70−x70-x), doğru teslim edilen latte sayısının (50−x50-x) 2 katı olduğuna göre 70−x=2(50−x)70-x = 2(50-x) denkleminden x=30x=30 bulunur. Yanlış teslim edilen toplam kahve sayısı 30+30=6030+30=60'tır.

Adım Adım Çözüm

1
Sipariş edilen filtre kahve (FF) ve latte (LL) sayılarını bulmak için denklem sistemini kuralım.
F+L=120F + L = 120 ve 60F+80L=820060F + 80L = 8200 denklemleri elde edilir.
Toplam sipariş adedi ve elde edilen toplam gelir verilmiştir.
2
Elde edilen denklemleri sadeleştirerek çözelim.
6F+8L=820  ⟹  3F+4L=4106F + 8L = 820 \implies 3F + 4L = 410 olur. F=120−LF = 120 - L ifadesini yerine yazarsak: 3(120−L)+4L=410  ⟹  360+L=410  ⟹  L=503(120 - L) + 4L = 410 \implies 360 + L = 410 \implies L = 50 ve F=70F = 70 bulunur.
Her bir içecekten kaçar adet sipariş edildiğini belirlemek için.
3
Yanlış teslimat miktarlarını belirlemek için değişken tanımlayalım.
Filtre kahve sipariş edip latte alan müşteri sayısı xx olsun. Toplam hazırlanan filtre kahve sayısı sipariş edilenle aynı (70) olduğundan, latte sipariş edip filtre kahve alanların sayısı da xx olmak zorundadır. Doğru teslim edilen filtre kahve sayısı 70−x70 - x, doğru teslim edilen latte sayısı ise 50−x50 - x olur.
Yanlış teslimatların birbirini dengelemesi gerektiğinden, yanlış teslim edilen filtre kahve ve latte sayıları birbirine eşittir.
4
Siparişi doğru teslim edilenlerin oranını kullanalım.
70−x=2(50−x)  ⟹  70−x=100−2x  ⟹  x=3070 - x = 2(50 - x) \implies 70 - x = 100 - 2x \implies x = 30 bulunur.
Doğru filtre kahve sayısının, doğru latte sayısının 2 katı olduğu bilgisi verilmiştir.
5
Yanlış teslim edilen toplam filtre kahve ve latte sayısını hesaplayalım.
30+30=6030 + 30 = 60 olarak bulunur.
Soru bizden yanlış teslim edilen toplam içecek sayısını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklem sistemleri kurma ve sayısal ilişkileri modelleme
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 5 / 14Sonraki
Sayı Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin