Examkin

Sayı Problemleri

278 soru

Soru 101Soru →

Bir belediye, su faturalandırılmasında abonelerine iki farklı tarife seçeneği sunmaktadır.

* A Tarifesi: Aylık sabit ücret 8080 TL olup, tüketilen her metreküp su için 1212 TL alınmaktadır.
* B Tarifesi: Aylık sabit ücret alınmamakta; ancak tüketilen ilk 1010 metreküp suyun her metreküpü için 1515 TL, 1010 metreküpü aşan kısmın her metreküpü için ise 2020 TL alınmaktadır.

Bir ayda Ahmet A tarifesini, Barış ise B tarifesini kullanmış ve her ikisinin de su tüketim miktarları metreküp cinsinden birer tam sayı olmuştur.

Bu ayda Ahmet ve Barış'ın su tüketim miktarları toplamı 3232 metreküp olup Barış'ın ödediği fatura tutarı Ahmet'in ödediği fatura tutarından daha fazladır.

Buna göre, Ahmet'in bu ayki su tüketimi en fazla kaç metreküptür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1515

Cevap

Ahmet'in bu ayki su tüketimi en fazla 15 metreküptür.
Ahmet'in su tüketim miktarı aa ve Barış'ın su tüketim miktarı bb olarak seçildiğinde, toplam tüketim 3232 m³ olduğundan b=32−ab = 32 - a yazılır. Barış'ın tüketiminin 1010 m³'ten fazla olduğu belirlendikten sonra fatura tutarları arasındaki ilişki modellenerek 20(32−a)−50>80+12a20(32 - a) - 50 > 80 + 12a eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde a<15.9375a < 15.9375 bulunur. Tüketim miktarı tam sayı olduğundan Ahmet'in tüketimi en fazla 15 metreküp olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet'in su tüketim miktarını aa ve Barış'ın su tüketim miktarını bb olarak tanımlayalım.
a+b=32  ⟹  b=32−aa + b = 32 \implies b = 32 - a olur.
Toplam tüketim miktarının 32 metreküp olduğu belirtilmiştir.
2
Tarifelere göre fatura tutarlarını hesaplayan fonksiyonları yazalım.
Ahmet'in faturası: FA(a)=80+12aF_A(a) = 80 + 12a olur. Barış için, eğer tüketimi b≤10b \leq 10 olsaydı faturası en fazla 150150 TL olurdu; bu durumda Ahmet'in tüketimi a≥22a \geq 22 olup Ahmet'in faturası en az 344344 TL çıkardı ve Barış'ın faturası Ahmet'inkinden fazla olamazdı. Bu sebeple Barış'ın tüketimi b>10b > 10 olmalıdır. Buradan Barış'ın faturası: FB(b)=10×15+(b−10)×20=20b−50F_B(b) = 10 \times 15 + (b - 10) \times 20 = 20b - 50 olarak bulunur.
Fatura tarifelerindeki sabit ücret ve kademeli fiyatlandırma kuralları uygulanmıştır.
3
Barış'ın faturasının Ahmet'in faturasından fazla olması koşulunu (FB(b)>FA(a)F_B(b) > F_A(a)) eşitsizlik olarak kurup b=32−ab = 32 - a ifadesini yerine yazarak çözelim.
20(32−a)−50>80+12a  ⟹  640−20a−50>80+12a  ⟹  590−20a>80+12a  ⟹  510>32a  ⟹  a<51032≈15.937520(32 - a) - 50 > 80 + 12a \implies 640 - 20a - 50 > 80 + 12a \implies 590 - 20a > 80 + 12a \implies 510 > 32a \implies a < \frac{510}{32} \approx 15.9375 elde edilir.
Soruda verilen faturanın fazla olması koşulu eşitsizlik biçiminde modellenmiştir.
4
Elde edilen eşitsizliği sağlayan en büyük tüketim tam sayı değerini belirleyelim.
aa bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, a<15.9375a < 15.9375 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri 1515 olur.
Tüketim miktarları metreküp cinsinden birer tam sayı olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 102Soru →

Bir kumbarada sadece 5 TL ve 10 TL'lik madeni paralar bulunmaktadır. Bu kumbaradaki madeni paraların toplam sayısı 30'dur. Kumbaradaki 5 TL'lik paraların toplam değeri, 10 TL'lik paraların toplam değerine eşittir. Buna göre, kumbarada kaç tane 10 TL'lik madeni para vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Kumbarada 10 tane 10 TL'lik madeni para vardır.
10 adet 10 TL'lik para (10×10=10010 \times 10 = 100 TL) ve 20 adet 5 TL'lik para (20×5=10020 \times 5 = 100 TL) olduğunda hem toplam para sayısı 30 olmakta hem de toplam değerler eşitlenmektedir. Bu nedenle doğru cevap 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri tanımlama ve toplam para sayısı denklemini kurma
5 TL'lik paraların sayısına xx, 10 TL'lik paraların sayısına yy denilirse, toplam para sayısı x+y=30x + y = 30 olur.
Soruda toplam madeni para sayısının 30 olduğu belirtilmiştir.
2
Paraların toplam değerlerinin eşitliği bilgisini kullanarak değişkenler arası ilişkiyi bulma
5 TL'lik paraların toplam değeri 5x5x ve 10 TL'lik paraların toplam değeri 10y10y'dir. Değerler eşit olduğuna göre 5x=10y5x = 10y yani x=2yx = 2y elde edilir.
Soruda her iki para türünün toplam değerlerinin birbirine eşit olduğu verilmiştir.
3
Birinci denklemde xx yerine 2y2y yazarak yy değerini bulma
2y+y=30⇒3y=30⇒y=102y + y = 30 \Rightarrow 3y = 30 \Rightarrow y = 10 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözmek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve yerine koyma yöntemiyle denklem sistemlerini çözme.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. 10 TL'lik madeni paraların sayısı 10 ise, 5 TL'liklerin sayısı 30−10=2030 - 10 = 20 olur. Değer kontrolü yapıldığında 10×10=10010 \times 10 = 100 TL ve 20×5=10020 \times 5 = 100 TL olduğu görülür ve eşitlik doğrudan sağlanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 103Soru →

Bir kargo şirketi müşterilerine iki farklı gönderim seçeneği sunmaktadır. Bu seçeneklerin ücret tarifesi aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Gönderim SeçeneğiPaket Başı Sabit Ücret (TL)Desi Başı Ücret (TL)
Standart Gönderi304
Hızlı Gönderi106

Bir e-ticaret firması, bu kargo şirketiyle desi değerleri aynı ve pozitif birer tam sayı olan belirli sayıda paketi gönderecektir. Paketlerin bir kısmını Standart Gönderi ile kalanını ise Hızlı Gönderi ile gönderen bu firma, her iki gönderi türünü de en az bir kez kullanmıştır.

Gönderilen tüm paketlerin toplam desi miktarı 120120 desidir. Firma, Standart Gönderi ile gönderdiği paketler için toplamda 560560 TL ödeme yapmıştır.

Buna göre, Hızlı Gönderi ile gönderilen paketlerin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Hızlı Gönderi ile gönderilen paketlerin sayısı 4'tür.
Standart Gönderi için paket başına ücret 30+4d30 + 4d ve toplam ödenen tutar n1⋅(30+4d)=560n_1 \cdot (30 + 4d) = 560 TL'dir. Burada dd pozitif bir tam sayı olduğu için 30+4d30 + 4d ifadesi 560'ın 30'dan büyük bir böleni olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan tek değer d=10d = 10 olup, buradan Standart Gönderi paket sayısı n1=8n_1 = 8 bulunur. Toplam desi miktarı olan (n1+n2)⋅d=120(n_1 + n_2) \cdot d = 120 denkleminde değerler yerine yazıldığında (8+n2)⋅10=120(8 + n_2) \cdot 10 = 120 eşitliğinden Hızlı Gönderi paket sayısı olan n2=4n_2 = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Standart Gönderi için denklem kurma
n1⋅(30+4d)=560n_1 \cdot (30 + 4d) = 560 denklemi elde edilir.
Her bir paketin desisi dd, Standart Gönderi ile gönderilen paket sayısı n1n_1 olsun. Paket başına maliyet 30+4d30 + 4d TL'dir. Toplam maliyet bu iki değerin çarpımına eşittir.
2
Tam sayı çarpanlarını analiz etme
d=10d = 10 ve n1=8n_1 = 8 bulunur.
dd pozitif bir tam sayı olduğundan 30+4d30 + 4d ifadesi 560'ın bir tam böleni olmalıdır. 30+4d>3030 + 4d > 30 şartını sağlayan ve 560'ı tam bölen tek dd pozitif tam sayısı 10'dur.
3
Hızlı Gönderi paket sayısını bulma
n2=4n_2 = 4 bulunur.
Toplam desi miktarı (n1+n2)⋅d=120(n_1 + n_2) \cdot d = 120 olarak verilmiştir. d=10d = 10 ve n1=8n_1 = 8 değerleri yerine yazıldığında (8+n2)⋅10=120  ⟹  8+n2=12  ⟹  n2=4(8 + n_2) \cdot 10 = 120 \implies 8 + n_2 = 12 \implies n_2 = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 104Soru →

Bir mağazada satılan A ve B ürünlerinin birer adetlerinin fiyatları sırasıyla iki basamaklı abab ve baba TL'dir. Bu mağazadan 3 adet A ürünü ve 2 adet B ürünü satın alan bir müşterinin ödediği toplam tutar, 2 adet A ürünü ve 3 adet B ürünü satın alan bir müşterinin ödediği toplam tutardan daha azdır. Bu ürünlerin birer adetlerinin fiyatları toplamı 154 TL olduğuna göre, A ürününün fiyatının alabileceği en büyük değer kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 68

Cevap

A ürününün fiyatının alabileceği en büyük değer 68 TL'dir.
Verilen fiyat toplamı denkleminden a+b=14a + b = 14 ve satın alma karşılaştırmasından a<ba < b bağıntısı elde edilir. aa ve bb sıfırdan farklı birer rakam olmak zorunda olduğundan, a<ba < b koşulu altında aa en fazla 6 değerini alabilir. Bu durumda b=8b = 8 olur ve A ürününün fiyatı en fazla 68 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fiyatlar toplamı bilgisini kullanarak basamak çözümlemesi yapın.
ab+ba=154  ⟹  10a+b+10b+a=154  ⟹  11(a+b)=154  ⟹  a+b=14ab + ba = 154 \implies 10a + b + 10b + a = 154 \implies 11(a + b) = 154 \implies a + b = 14
İki basamaklı sayıların çözümlenerek rakamları arasındaki toplam ilişkisini belirlemek için.
2
Ürünlerin toplam fiyat karşılaştırmasını eşitsizlik biçiminde yazıp sadeleştirin.
3(ab)+2(ba)<2(ab)+3(ba)  ⟹  ab<ba  ⟹  10a+b<10b+a  ⟹  9a<9b  ⟹  a<b3(ab) + 2(ba) < 2(ab) + 3(ba) \implies ab < ba \implies 10a + b < 10b + a \implies 9a < 9b \implies a < b
A ve B ürünlerinin fiyatları arasındaki büyüklük ilişkisini (rakamlar arasındaki ilişkiyi) belirlemek için.
3
Bulunan koşulları sağlayan en büyük abab iki basamaklı sayısını belirleyin.
a+b=14a + b = 14 ve a<ba < b koşullarında aa ve bb birer rakam olmalıdır. aa en fazla 6 olabilir, bu durumda b=8b = 8 olur ve ab=68ab = 68 elde edilir.
Koşulları sağlayan en büyük fiyat değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve eşitsizlik sistemlerinin sayı problemlerine uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 105Soru →

Bir spor salonundaki üyelerin cinsiyetlerine göre dağılımı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki erkek üyelerin sayısı, kadın üyelerin sayısının 2 katından 3 eksiktir.
* Salonda toplam 27 üye bulunmaktadır.

Buna göre, bu spor salonundaki kadın üye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Kadın üye sayısı 10'dur.
Kadın üye sayısı xx olarak tanımlandığında, erkek üye sayısı 2x−32x-3 olur. Bu iki değerin toplamı salondaki toplam üye sayısı olan 27'ye eşitlenirse 3x−3=273x - 3 = 27 denklemi elde edilir. Buradan 3x=303x = 30 ve kadın üye sayısı x=10x = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kadın üye sayısını bilinmeyen bir değişken olarak belirleyin.
Kadın üye sayısı = xx
Sayı problemlerinde bilinmeyenleri harflendirerek denklem kurmak çözümü kolaylaştırır.
2
Erkek üye sayısını kadın üye sayısı cinsinden ifade edin.
Erkek üye sayısı = 2x−32x - 3
Erkek üyelerin sayısının kadın üyelerin 2 katından 3 eksik olduğu belirtilmiştir.
3
Kadın ve erkek üyelerin sayısını toplayıp toplam üye sayısı olan 27'ye eşitleyerek denklemi çözün.
x+(2x−3)=27⇒3x−3=27⇒3x=30⇒x=10x + (2x - 3) = 27 \Rightarrow 3x - 3 = 27 \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10
Salondaki toplam üye sayısı kadın ve erkek üyelerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bilinmeyen kullanarak denklem kurma ve çözme
Soru 106Soru →

Bir bilet kuyruğunda bekleyen Cenk, baştan (n+4)(n + 4). sırada, sondan ise (2n−1)(2n - 1). sıradadır. Kuyrukta toplam 3535 kişi olduğuna göre, Cenk baştan kaçıncı sıradadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Cenk baştan 15. sıradadır.
Cenk'in kuyruktaki baştan sırası (n+4)(n + 4) ve sondan sırası (2n−1)(2n - 1) olarak verilmiştir. Cenk her iki yönden de sayıldığı için, toplam kişi sayısı (n+4)+(2n−1)−1=35(n + 4) + (2n - 1) - 1 = 35 formülüyle bulunur. Buradan 3n+2=353n + 2 = 35 ve n=11n = 11 elde edilir. Cenk'in baştan sırası n+4=11+4=15n + 4 = 11 + 4 = 15 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Cenk'in kuyruktaki toplam kişi sayısı içindeki konumunu veren denklemi kurmak.
(n+4)+(2n−1)−1=35(n + 4) + (2n - 1) - 1 = 35 denklemi elde edilir.
Kuyruktaki toplam kişi sayısı, bir kişinin baştan ve sondan sıralarının toplamının 1 eksiğine eşittir.
2
Elde edilen denklemi çözerek nn değişkenini bulmak.
3n+2=35  ⟹  3n=33  ⟹  n=113n + 2 = 35 \implies 3n = 33 \implies n = 11 bulunur.
Cenk'in sırasını bulmak için öncelikle denklemdeki bilinmeyen değeri hesaplamalıyız.
3
Bulunan nn değerini Cenk'in baştan sıra ifadesinde yerine koymak.
11+4=1511 + 4 = 15 elde edilir.
Cenk'in baştan sırası (n+4)(n+4) olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir kuyrukta baştan ve sondan sıraları verilen bir kişinin toplam kişi sayısına bağlı olarak konumunun bulunması denklemi.

Alternatif Yöntem

Cenk'in sondan sırasını bulmak için toplam kişi sayısından baştan sırası çıkarılıp 1 eklenebilir: 35−(n+4)+1=2n−135 - (n + 4) + 1 = 2n - 1. Buradan da 32−n=2n−1  ⟹  3n=33  ⟹  n=1132 - n = 2n - 1 \implies 3n = 33 \implies n = 11 bulunur. Baştan sıra: 11+4=1511 + 4 = 15 olur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 107Soru →

Bir nakliye firması, taşıma kapasitesi en fazla 240 kg240\text{ kg} olan yük asansörleri ile özdeş kutuları üst katlara taşımaktadır. Bu kutuların asansörle taşınmasıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

- Asansöre bu kutulardan 1515 adet konulduğunda asansörün taşıma kapasitesi aşılmaktadır.
- Aynı asansöre bu kutulardan 99 adet konulup yanına 78 kg78\text{ kg} ağırlığında bir koli daha eklendiğinde asansörün taşıma kapasitesi aşılmamaktadır.

Kutulardan her birinin ağırlığı kilogram cinsinden bir tam sayı olduğuna göre, bir kutunun ağırlığının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaç kilogramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Bir kutunun ağırlığının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 35 kilogramdır.
Kutunun ağırlığına xx kg dediğimizde, 15x>24015x > 240 eşitsizliğinden x>16x > 16 bulunur. Kutu ağırlığı tam sayı olduğundan en küçük değer 17 olur. Diğer yandan 9x+78≤2409x + 78 \le 240 eşitsizliğinden 9x≤162  ⟹  x≤189x \le 162 \implies x \le 18 bulunur. Buradan en büyük değer 18 olur. Bu iki değerin toplamı 35 kilogramdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kutunun ağırlığına xx kg diyerek birinci durumu eşitsizlik olarak ifade etmek.
15x>240  ⟹  x>1615x > 240 \implies x > 16 elde edilir.
15 adet kutu konulduğunda taşıma kapasitesi olan 240 kg aşıldığı için toplam ağırlık 240'tan kesinlikle büyük olmalıdır.
2
İkinci durumu eşitsizlik olarak ifade etmek ve çözmek.
9x+78≤240  ⟹  9x≤162  ⟹  x≤189x + 78 \le 240 \implies 9x \le 162 \implies x \le 18 elde edilir.
9 kutu ve 78 kg ağırlığındaki koli eklendiğinde kapasite aşılmadığı için toplam ağırlık 240'a eşit veya daha küçük olmalıdır.
3
Bulunan eşitsizlik aralıklarını birleştirerek xx tam sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulup toplamak.
16<x≤1816 < x \le 18 aralığından en küçük x=17x = 17 ve en büyük x=18x = 18 bulunur. Toplamları ise 17+18=3517 + 18 = 35 olur.
Kutuların ağırlığı tam sayı olduğu için bu aralıktaki en büyük ve en küçük tam sayı değerleri seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden eşitsizlikler yardımıyla sayı problemlerini modelleme ve sınır değer analizi yapma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 108Soru →

Bir telekomünikasyon şirketi, müşterilerine iki farklı konuşma paketi sunmaktadır:

* A paketi: Aylık sabit ücret 6060 TL ve konuşulan her bir dakika için 0,20,2 TL.
* B paketi: Aylık sabit ücret olmayıp, konuşulan ilk 100100 dakikanın her bir dakikası için 0,50,5 TL, 100100 dakikayı aşan her bir dakika için ise 0,30,3 TL.

Buna göre, aylık konuşma süresi dakika cinsinden bir tam sayı olan bir müşterinin A paketini tercih etmesinin daha ekonomik olması için en az kaç dakika konuşması gerekir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 401

Cevap

A paketinin daha ekonomik olması için konuşulması gereken en az süre 401 dakikadır.
A paketinin ücret fonksiyonu ile B paketinin 100100 dakikadan fazla konuşma süresi için geçerli olan ücret fonksiyonu karşılaştırıldığında, A paketinin daha düşük maliyetli olmasını sağlayan eşitsizlik çözülür. Elde edilen m>400m > 400 ifadesine göre konuşma süresi tam sayı olarak en az 401 dakika olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B paketlerinin 100100 dakikadan fazla konuşma durumu için ücret fonksiyonlarını yazın.
A paketi için ücret: 60+0,2m60 + 0,2m TL. B paketi için ilk 100100 dakika 100×0,5=50100 \times 0,5 = 50 TL, kalan (m−100)(m-100) dakika için (m−100)×0,3(m-100) \times 0,3 TL olmak üzere toplam ücret: 20+0,3m20 + 0,3m TL.
Her iki paketin maliyetlerini konuşma süresine bağlı olarak karşılaştırabilmek için.
2
A paketinin daha ekonomik olması koşulunu belirten eşitsizliği kurun.
60+0,2m<20+0,3m60 + 0,2m < 20 + 0,3m
A paketinin ücretinin B paketinin ücretinden daha az olması istendiği için.
3
Eşitsizliği çözerek en küçük tam sayı değerini bulun.
40<0,1m  ⟹  400<m40 < 0,1m \implies 400 < m elde edilir. Buradan en küçük tam sayı değeri 401401 olarak bulunur.
Konuşma süresinin tam sayı olması gerektiğinden, sınır değerden büyük en küçük tam sayıyı belirlemek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem ve eşitsizlik kurma yoluyla en ekonomik seçeneği belirleme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 109Soru →

Bir tekstil atölyesinde A ve B tipi olmak üzere iki farklı maske üretim makinesi bulunmaktadır. A tipi bir makinenin günlük üretim kapasitesi 240 adet, B tipi bir makinenin günlük üretim kapasitesi ise 360 adettir.

Bu atölyedeki toplam makine sayısı 16'dır. Bir gün boyunca;
- A tipi makinelerin 13\frac{1}{3}'ü günün bir kısmında arızalanmış ve her biri o gün için günlük kapasitesinin 14\frac{1}{4}'ü kadar üretim yapabilmiştir. Geriye kalan A tipi makineler ise tam kapasiteyle çalışmıştır.
- B tipi makinelerin 14\frac{1}{4}'ü günün bir kısmında arızalanmış ve her biri o gün için günlük kapasitesinin 13\frac{1}{3}'ü kadar üretim yapabilmiştir. Geriye kalan B tipi makineler ise tam kapasiteyle çalışmıştır.

Gün sonunda bu atölyede üretilen toplam maske sayısı, tüm makineler arızasız ve tam kapasiteyle çalışsaydı üretilecek olan toplam maske sayısının 79\frac{7}{9}'una eşit olmuştur.

Buna göre, bu atölyedeki B tipi makine sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

B tipi makine sayısı 4'tür.
Denklemler doğru kurulup sadeleştirildiğinde, A tipi makine sayısının B tipi makine sayısının 3 katı olduğu (x=3yx = 3y) görülür. Toplam makine sayısı 16 olduğuna göre, 3y+y=163y + y = 16 eşitliğinden B tipi makine sayısı 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B tipi makine sayıları için değişken tanımlayıp toplam makine sayısı denklemini kurmak.
x+y=16x + y = 16 (Burada xx A tipi makine sayısını, yy ise B tipi makine sayısını temsil etmektedir.)
Makinelerin toplam sayısına bağlı olarak değişkenler arası ilk ilişkiyi belirlemek.
2
Tüm makinelerin tam kapasiteyle çalışması durumunda elde edilecek toplam maske üretim miktarını (TT) ifade etmek.
T=240x+360yT = 240x + 360y
Gerçekleşen üretimin kıyaslanacağı ideal toplam üretim miktarını cebirsel olarak tanımlamak.
3
Arızalı ve sağlam makinelerin ürettiği maske miktarlarını ayrı ayrı hesaplayarak gerçekleşen toplam üretimi (AA) bulmak.
A tipi için: 23x⋅240+13x⋅60=180x\frac{2}{3}x \cdot 240 + \frac{1}{3}x \cdot 60 = 180x. B tipi için: 34y⋅360+14y⋅120=300y\frac{3}{4}y \cdot 360 + \frac{1}{4}y \cdot 120 = 300y. Toplam: A=180x+300yA = 180x + 300y.
Arıza durumunda makinelerin kapasite kayıplarını dikkate alarak o günkü fiili üretimi elde etmek.
4
Fiili üretimin, tam kapasite üretimin 79\frac{7}{9}'una eşit olduğunu belirten denklemi kurmak ve çözmek.
180x+300y=79(240x+360y)  ⟹  x=3y180x + 300y = \frac{7}{9}(240x + 360y) \implies x = 3y. x+y=16x + y = 16 denkleminde yerine yazıldığında 4y=16  ⟹  y=44y = 16 \implies y = 4 bulunur.
Verilen oranı kullanarak iki bilinmeyenli denklem sisteminden B tipi makine sayısını çekmek.

Anahtar Kavram

Cebirsel denklem kurma ve oran-orantı problemlerinin modellenmesi.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine seçeneklerden giderek de çözüm kontrol edilebilir. Örneğin B tipi makine sayısı 4 seçildiğinde, A tipi 12 olur. Tam kapasite üretim 12⋅240+4⋅360=432012 \cdot 240 + 4 \cdot 360 = 4320 olur. Gerçekleşen üretim ise 8⋅240+4⋅60+3⋅360+1⋅120=2160+1200=33608 \cdot 240 + 4 \cdot 60 + 3 \cdot 360 + 1 \cdot 120 = 2160 + 1200 = 3360 olur. Bu iki değerin oranı 33604320=79\frac{3360}{4320} = \frac{7}{9} eşitliğini sağladığı için cevap doğrulanmış olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 110Soru →

Bir demir yolu şirketine ait yolcu treninde A, B ve C olmak üzere üç farklı vagon tipi bulunmaktadır. Bu vagon tiplerinin her birinin koltuk kapasitesi sırasıyla 40, 60 ve 80'dir.

Bu trendeki vagonlar ve koltuk sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Trendeki toplam vagon sayısı 18'dir.
* Trendeki toplam koltuk sayısı 1120'dir.
* A tipi vagonlardaki toplam koltuk sayısı; B ve C tipi vagonlardaki toplam koltuk sayılarının farkının mutlak değerine eşittir.

Buna göre, bu trendeki B tipi vagon sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

B tipi vagon sayısı 6'dır.
Verilen vagon sayıları ve koltuk kapasiteleriyle kurulan sistemde, vagon sayısının pozitif tam sayı olması şartını sağlayan tek çözüm kümesinde B tipi vagon sayısı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenler için değişkenler tanımlanarak ilk denklemler kurulur.
A, B ve C tipi vagon sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olsun. Vagon sayısı denklemi: x+y+z=18x + y + z = 18, koltuk sayısı denklemi: 40x+60y+80z=112040x + 60y + 80z = 1120 olur.
Problemde verilen bilgileri matematiksel eşitliklere dönüştürmek için.
2
Koltuk sayısı denklemi sadeleştirilir ve mutlak değerli koşul yazılır.
Koltuk sayısı denklemi 20 ile bölünerek 2x+3y+4z=562x + 3y + 4z = 56 elde edilir. Üçüncü koşula göre ∣60y−80z∣=40x  ⟹  ∣3y−4z∣=2x|60y - 80z| = 40x \implies |3y - 4z| = 2x olur.
İşlemleri kolaylaştırmak ve tüm koşulları denklem sistemine dahil etmek için.
3
Mutlak değerin durumları incelenerek tam sayı koşulu kontrol edilir.
1. Durum: 3y−4z=2x  ⟹  2x−3y+4z=03y - 4z = 2x \implies 2x - 3y + 4z = 0. Bu denklem ile 2x+3y+4z=562x + 3y + 4z = 56 ortak çözülürse 6y=56  ⟹  y=28/36y = 56 \implies y = 28/3 olur. Vagon sayısı tam sayı olması gerektiğinden bu durum geçerli değildir. 2. Durum: 4z−3y=2x  ⟹  2x+3y−4z=04z - 3y = 2x \implies 2x + 3y - 4z = 0 olmalıdır.
Mutlak değerin tanımı gereği iki olası durum vardır ve vagon sayısı tam sayı olmak zorundadır.
4
Geçerli durum için denklem sistemi çözülür.
2x+3y−4z=02x + 3y - 4z = 0 ve 2x+3y+4z=562x + 3y + 4z = 56 denklemleri toplanırsa 4x+6y=56  ⟹  2x+3y=284x + 6y = 56 \implies 2x + 3y = 28 olur. Buradan 4z=2x+3y=28  ⟹  z=74z = 2x + 3y = 28 \implies z = 7 bulunur. z=7z = 7 ise x+y=11x + y = 11 olur. 2x+3y=282x + 3y = 28 ve 2(x+y)=222(x+y) = 22 denklemleri ortak çözüldüğünde y=6y = 6 ve x=5x = 5 bulunur.
B tipi vagon sayısını (yy) belirlemek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden çok bilinmeyenli denklem sistemleri ve mutlak değerli denklemlerin sayı problemlerine uygulanması
Soru 111Soru →

Bir kargo firması, taşıdığı her bir paket için sabit 3535 TL ücret almakta ve paketin ağırlığının her bir kilogramı için ise 44 TL ek ücret uygulamaktadır.

Bir müşterinin bu kargo firmasıyla gönderdiği bir paket için ödediği toplam ücret 150150 TL'den az olduğuna göre, bu paketin ağırlığı tam sayı olarak en fazla kaç kilogram olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Paketin ağırlığı tam sayı olarak en fazla 28 kilogram olabilir.
Doğru cevap olan 28 değeri, kargo ücretini belirten 35+4x<15035 + 4x < 150 eşitsizliğinin çözülmesiyle elde edilir. Eşitsizlik çözüldüğünde 4x<1154x < 115 ve buradan x<28,75x < 28,75 bulunur. Bu aralıktaki en büyük tam sayı 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Paketin ağırlığına xx kilogram diyerek toplam ücreti veren matematiksel ifadeyi oluşturalım.
35+4x35 + 4x
Sabit ücret olan 3535 TL'ye, her bir kilogram için uygulanan 44 TL ek ücret eklenmelidir.
2
Toplam ücretin 150150 TL'den az olması durumunu belirten eşitsizliği kuralım ve çözelim.
35+4x<150⇒4x<115⇒x<28,7535 + 4x < 150 \Rightarrow 4x < 115 \Rightarrow x < 28,75
Toplam ödenen ücretin 150150 TL'den küçük olması gerektiği belirtilmiştir.
3
x<28,75x < 28,75 koşulunu sağlayan en büyük tam sayı değerini bulalım.
x=28x = 28
28,7528,75 sayısından küçük olan en büyük tam sayı 28'dir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren sayı problemleri ve tam sayı sınırlarının yorumlanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 112Soru →

Bir kahve dükkanında uygulanan sadakat programında müşteriler içecek alımlarından puan kazanmakta veya biriktirdikleri puanları harcayarak ücretsiz içecek alabilmektedir. Bu sadakat programın��n kuralları aşağıda verilmiştir:

* Satın alınan her bir sıcak içecek için 44 puan kazanılmaktadır.
* Satın alınan her bir soğuk içecek için 66 puan kazanılmaktadır.
* Biriktirilen her 1515 puan karşılığında 11 adet ücretsiz içecek (sıcak veya soğuk) alınabilmektedir. Ücretsiz alınan içeceklerden puan kazanılmamaktadır.

Başlangıçta hiç puanı olmayan Melis, bir ay boyunca bu dükkandan toplam 2020 adet içecek almıştır. Bu içeceklerin bir kısmını biriktirdiği puanlarla ücretsiz olarak, geri kalanını ise ücretini ödeyerek almıştır.

Melis'in ücretini ödeyerek aldığı soğuk içecek sayısı, ücretini ödeyerek aldığı sıcak içecek sayısının 22 katıdır.

Melis'in ay sonunda elinde kalan puanı 55 olduğuna göre, bu ay boyunca ücretsiz olarak aldığı içecek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Melis'in ücretsiz olarak aldığı içecek sayısı 5'tir.
Sorudaki veriler doğrultusunda Melis'in ücretini ödeyerek aldığı sıcak içecek sayısı xx olarak belirlenirse, soğuk içecek sayısı 2x2x olur. Toplam ücretli içecek sayısı 3x3x ve ücretsiz içecek sayısı yy olmak üzere, toplam içecek sayısı 3x+y=203x + y = 20 olur. Kazanılan toplam puan 4x+6(2x)=16x4x + 6(2x) = 16x ve harcanan puan 15y15y olduğundan, kalan puan 16x−15y=516x - 15y = 5 denklemini verir. Bu iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde x=5x = 5 ve ücretsiz içecek sayısı y=5y = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve toplam içecek sayısı denklemini kurma
Melis'in ücret ödeyerek aldığı sıcak içecek sayısı xx ise, soğuk içecek sayısı 2x2x olur. Toplam ücretli içecek sayısı x+2x=3xx + 2x = 3x olur. Ücretsiz aldığı içecek sayısı yy olsun. Toplam içecek sayısı: 3x+y=203x + y = 20 olur.
Soruda verilen toplam içecek sayısını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Kazanılan ve harcanan puanlara göre puan denklemini kurma
Her sıcak içecek için 4, soğuk içecek için 6 puan kazanıldığından kazanılan puan: 4x+6(2x)=16x4x + 6(2x) = 16x olur. Her ücretsiz içecek için 15 puan harcandığından harcanan puan 15y15y olur. Kalan puan 5 olduğuna göre: 16x−15y=516x - 15y = 5 denklemi elde edilir.
Sorudaki puan sistemini ve eldeki son puan durumunu modellemek için.
3
Denklem sistemini çözme
Birinci denklemden y=20−3xy = 20 - 3x ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım: 16x−15(20−3x)=5  ⟹  16x−300+45x=5  ⟹  61x=305  ⟹  x=516x - 15(20 - 3x) = 5 \implies 16x - 300 + 45x = 5 \implies 61x = 305 \implies x = 5 bulunur. Buradan ücretsiz alınan içecek sayısı y=20−3(5)=5y = 20 - 3(5) = 5 olarak elde edilir.
Sıcak içecek sayısını ve buna bağlı olarak ücretsiz alınan içecek sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürerek çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 113Soru →

Bir kırtasiyeci; birim fiyatı 55 TL olan kurşun kalemlerden iki basamaklı abab adet, birim fiyatı 44 TL olan tükenmez kalemlerden ise iki basamaklı baba adet satmıştır. Kırtasiyecinin bu satıştan elde ettiği toplam gelir 513513 TL'dir.

Tükenmez kalemlerin satışından elde edilen toplam gelir, kurşun kalemlerin satışından elde edilen toplam gelirden fazla olduğuna göre, satılan toplam kalem sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 121

Cevap

Toplam kalem sayısı 121'dir.
Kurşun kalem sayısı ab=10a+bab = 10a + b ve tükenmez kalem sayısı ba=10b+aba = 10b + a olup toplam gelir denklemi 5(10a+b)+4(10b+a)=5135(10a+b) + 4(10b+a) = 513 olarak kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde 6a+5b=576a + 5b = 57 olur. Rakam olma koşuluna göre olası durumlar (a=7,b=3)(a=7, b=3) ve (a=2,b=9)(a=2, b=9) şeklindedir. Tükenmez kalemlerin gelirinin fazla olması koşulunu (368>145368 > 145) sağlayan değerler a=2a=2 ve b=9b=9 olup toplam kalem sayısı 121'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kalem sayılarının basamak çözümlemesini yazma
Kurşun kalem sayısı ab=10a+bab = 10a + b, tükenmez kalem sayısı ba=10b+aba = 10b + a olarak ifade edilir.
Toplam geliri hesaplamak için kalem adetlerini basamak değerlerine g��re modellemek gerekir.
2
Gelir denklemini kurma ve sadeleştirme
5(10a+b)+4(10b+a)=513  ⟹  54a+45b=513  ⟹  6a+5b=575(10a+b) + 4(10b+a) = 513 \implies 54a + 45b = 513 \implies 6a + 5b = 57 denklemi elde edilir.
Verilen toplam geliri kullanarak rakamlar arasındaki bağıntıyı bulmak için.
3
Rakam koşullarına göre olası durumları belirleme
aa ve bb birer rakam olduğundan denklemi sağlayan durumlar (a=7,b=3)(a=7, b=3) veya (a=2,b=9)(a=2, b=9) şeklindedir.
abab ve baba iki basamaklı sayılar olduğundan aa ve bb sıfırdan farklı birer rakam olmak zorundadır.
4
Gelir karşılaştırması eşitsizliğini kontrol etme
Tükenmez kalem geliri (4×ba4 \times ba) > Kurşun kalem geliri (5×ab5 \times ab) koşulunu sadece (a=2,b=9)(a=2, b=9) ikilisi sağlar. Çünkü 4×92=3684 \times 92 = 368 TL, 5×29=1455 \times 29 = 145 TL'den büyüktür.
Soruda verilen gelir karşılaştırma şartına göre doğru durumu netleştirmek için.
5
Toplam kalem sayısını hesaplama
Toplam kalem sayısı ab+ba=29+92=121ab + ba = 29 + 92 = 121 olarak bulunur.
Soruda istenen toplam kalem adedine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıları çözümleme, sayı problemlerinde denklem kurma ve eşitsizlik şartını sağlayan uygun değerleri seçme.
Soru 114Soru →

Bir kargo firmasına ait akıllı kargo dolabı sisteminde küçük ve büyük olmak üzere iki farklı boyutta toplam 120 bölme bulunmaktadır. Başlangıçta bu bölmelerin bir kısmı boş, bir kısmı ise doludur.

Bu dolap sistemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Başlangıçta boş olan küçük bölme sayısı, dolu olan büyük bölme sayısının 2 katıdır.
* Daha sonra sisteme gelen kargolar için 15 küçük bölme doldurulmuş ve sistemdeki dolu olan 10 büyük bölme boşaltılmıştır.
* Son durumda dolu olan küçük bölme sayısı, boş olan büyük bölme sayısına eşit olmuş ve sistemdeki toplam boş bölme sayısı 65 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, başlangıçta dolap sisteminde bulunan toplam dolu bölme sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Başlangıçta dolap sisteminde bulunan toplam dolu bölme sayısı 50'dir.
Başlangıçtaki boş küçük bölme sayısı 30, dolu küçük bölme sayısı 35, boş büyük bölme sayısı 40 ve dolu büyük bölme sayısı 15 olarak bulunur. Başlangıçtaki toplam dolu bölme sayısı bu durumda 35 ve 15 değerlerinin toplamından 50 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve başlangıç durumunun belirlenmesi
Küçük bölmeler için boş sayısı SeS_e, dolu sayısı SfS_f; büyük bölmeler için boş sayısı LeL_e, dolu sayısı LfL_f olsun. Toplam bölme sayısı: Se+Sf+Le+Lf=120S_e + S_f + L_e + L_f = 120 olur. İlk verilen bilgiye göre: Se=2LfS_e = 2L_f denkliği kurulur.
Sorudaki sözel verileri matematiksel ifadelere dönüştürmek için değişkenler atanır.
2
Son durumdaki değişimlerin denkleme dökülmesi
15 küçük bölme doldurulduğunda boş küçük bölme sayısı Se−15S_e - 15, dolu küçük bölme sayısı Sf+15S_f + 15 olur. 10 büyük bölme boşaltıldığında boş büyük bölme sayısı Le+10L_e + 10, dolu büyük bölme sayısı Lf−10L_f - 10 olur. Son durumdaki eşitlikten: Sf+15=Le+10  ⟹  Sf=Le−5S_f + 15 = L_e + 10 \implies S_f = L_e - 5 elde edilir.
Bölmelerin doluluk durumlarındaki değişim sonrası oluşan yeni dengeler formüle edilir.
3
Toplam boş bölme sayısından yararlanarak denklem sisteminin çözülmesi
Son durumdaki toplam boş bölme sayısı: (Se−15)+(Le+10)=65  ⟹  Se+Le=70(S_e - 15) + (L_e + 10) = 65 \implies S_e + L_e = 70 olur. Burada Se=2LfS_e = 2L_f yazılırsa 2Lf+Le=70  ⟹  Le=70−2Lf2L_f + L_e = 70 \implies L_e = 70 - 2L_f bulunur. Toplam bölme denkleminde bilinenler yerine yazılırsa: 2Lf+(Le−5)+Le+Lf=120  ⟹  3Lf+2Le=1252L_f + (L_e - 5) + L_e + L_f = 120 \implies 3L_f + 2L_e = 125 elde edilir. Bu denklemde LeL_e yerine 70−2Lf70 - 2L_f yazılarak tek bilinmeyenli denklem çözülür: 3Lf+2(70−2Lf)=125  ⟹  3Lf+140−4Lf=125  ⟹  Lf=153L_f + 2(70 - 2L_f) = 125 \implies 3L_f + 140 - 4L_f = 125 \implies L_f = 15 bulunur.
Boş bölme toplamından elde edilen bağıntı, toplam bölme denklemine yerleştirilerek büyük dolu bölme sayısı hesaplanır.
4
Tüm değişkenlerin bulunması ve başlangıçtaki dolu bölme sayısının hesaplanması
Lf=15L_f = 15 ise Se=2×15=30S_e = 2 \times 15 = 30 olur. Le=70−2(15)=40L_e = 70 - 2(15) = 40 olur. Sf=Le−5=40−5=35S_f = L_e - 5 = 40 - 5 = 35 bulunur. Başlangıçtaki toplam dolu bölme sayısı: Sf+Lf=35+15=50S_f + L_f = 35 + 15 = 50 olarak hesaplanır.
Bilinmeyen tüm değerler yerine konularak sorunun bizden istediği başlangıçtaki toplam dolu bölme sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden çok bilinmeyenli denklem sistemleri kurma ve çözme
Soru 115Soru →

Bir kütüphanede öğrencilerin ödünç alacağı kitaplar için sunulan iki farklı seçeneğe ait kurallar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

SeçenekÜcretsiz Ödünç Süresi (Gün)Günlük Gecikme Cezası (TL)
1. Seçenek102
2. Seçenek153

Bir öğrenci bu kütüphaneden aynı gün biri 1. seçenekle, diğeri 2. seçenekle olmak üzere iki kitap ödünç almıştır. Öğrenci bu kitapların ikisini de aynı gün kütüphaneye iade etmiş ve toplam 25 TL25\text{ TL} gecikme cezası ödemiştir.

Buna göre, öğrenci bu kitapları ödünç aldıktan kaç gün sonra iade etmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Kitaplar ödünç alındıktan 18 gün sonra iade edilmiştir.
Kitapların kütüphanede kalma süresi xx gün olsun. x>15x > 15 olduğu durumda her iki kitap için de gecikme cezası uygulanır. Birinci kitap için gecikilen gün sayısı x−10x-10, ikinci kitap için gecikilen gün sayısı x−15x-15 olur. Toplam ceza denklemi 2(x−10)+3(x−15)=252(x-10) + 3(x-15) = 25 şeklinde kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 5x−65=25  ⟹  5x=90  ⟹  x=185x - 65 = 25 \implies 5x = 90 \implies x = 18 bulunur. Dolayısıyla kitapların 18 gün sonra iade edildiğini belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kitapların kütüphanede kalma süresini temsil eden bir xx değişkeni tanımlayarak hangi gün aralığında ceza ödeneceğini analiz edin.
x≤10x \le 10 için ceza ödenmez. 10<x≤1510 < x \le 15 için sadece 1. seçenekten ceza ödenir. x>15x > 15 için her iki seçenekten de ceza ödenir.
Ödenen toplam ceza miktarı 25 TL25\text{ TL} olduğundan ve x≤15x \le 15 aralığında ödenebilecek maksimum ceza 2×(15−10)=10 TL2 \times (15-10) = 10\text{ TL} ile sınırlı olduğundan, xx değerinin mutlaka 15'ten büyük olması gerekir.
2
x>15x > 15 kabulü altında her iki kitap için de gecikilen gün sayılarını ve bu gecikmelerden doğan ceza miktarlarını belirleyin.
1. seçenek için gecikilen gün sayısı x−10x - 10 ve ceza tutarı 2(x−10)2(x-10) TL; 2. seçenek için gecikilen gün sayısı x−15x - 15 ve ceza tutarı 3(x−15)3(x-15) TL olur.
Gecikilen gün sayısı, toplam gün sayısından ücretsiz ödünç alma süresinin çıkarılmasıyla bulunur.
3
Toplam ceza miktarını 25 TL25\text{ TL}'ye eşitleyen denklemi kurun ve çözün.
2(x−10)+3(x−15)=25  ⟹  2x−20+3x−45=25  ⟹  5x−65=25  ⟹  5x=90  ⟹  x=182(x-10) + 3(x-15) = 25 \implies 2x - 20 + 3x - 45 = 25 \implies 5x - 65 = 25 \implies 5x = 90 \implies x = 18 gün.
Toplam ceza, iki kitabın bireysel cezalarının toplamıdır. Bulunan x=18x = 18 değeri x>15x > 15 koşulunu sağladığından doğru çözümdür.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 116Soru →

Bir kırtasiyeci elindeki kurşun kalemlerin tamamını, her pakette eşit sayıda kalem olacak şekilde paketleyecektir. Kalemleri her pakete 6 adet koyduğunda elde ettiği paket sayısı, her pakete 8 adet koyduğunda elde ettiği paket sayısından 5 fazladır. Buna göre, kırtasiyecinin paketlediği toplam kalem sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Toplam kalem sayısı 120'dir.
Toplam kalem sayısına xx denilirse, paket sayıları sırasıyla x6\frac{x}{6} ve x8\frac{x}{8} olur. Paket sayıları arasındaki fark 5 olduğundan kurulan x6−x8=5\frac{x}{6} - \frac{x}{8} = 5 denkleminden x=120x = 120 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam kalem sayısına xx diyelim. Her pakete 6 kalem konulduğunda elde edilen paket sayısı x6\frac{x}{6}, her pakete 8 kalem konulduğunda elde edilen paket sayısı ise x8\frac{x}{8} olur.
İlk durumdaki paket sayısı x6\frac{x}{6}, ikinci durumdaki paket sayısı x8\frac{x}{8} şeklinde ifade edilir.
Soru metnindeki paket sayılarını toplam kalem sayısı cinsinden tanımlamak amacıyla.
2
İlk durumdaki paket sayısının, ikinci durumdaki paket sayısından 5 fazla olduğunu belirten denklemi kuralım: x6−x8=5\frac{x}{6} - \frac{x}{8} = 5.
x6−x8=5\frac{x}{6} - \frac{x}{8} = 5 denklemi elde edilir.
İki durum arasındaki paket sayısı farkının 5 olmasını matematiksel olarak ifade etmek amacıyla.
3
Elde edilen denklemde paydaları 24'te eşitleyerek xx değerini bulalım: 4x24−3x24=5  ⟹  x24=5  ⟹  x=120\frac{4x}{24} - \frac{3x}{24} = 5 \implies \frac{x}{24} = 5 \implies x = 120.
x=120x = 120 olarak bulunur.
Bilinmeyen olan toplam kalem sayısını hesaplamak amacıyla.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 117Soru →

Bir zeytinyağı üreticisi, elde ettiği 280280 litre zeytinyağının tamamını 22, 33 ve 55 litrelik toplam 8080 adet boş şişeye, her bir şişe tamamen dolacak şekilde doldurmuştur. Doldurma işlemi sonunda kullanılan 33 litrelik şişe sayısının, 55 litrelik şişe sayısından fazla olduğu bilinmektedir. Her üç şişe türünden de en az birer tane kullanıldığına göre, kullanılan 22 litrelik şişe sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En fazla 18 adet 2 litrelik şişe kullanılmış olabilir.
Doğru cevap olan 18 değeri, 2 litrelik şişe sayısını en büyük yapmak için 5 litrelik şişe sayısının en büyük tam sayı değeri olan 29 seçilmesiyle elde edilir. Bu durumda 3 litrelik şişe sayısı 33 olup, 5 litrelik şişe sayısından (29) fazladır ve toplam şişe sayısı 80'i, toplam hacim ise 280 litreyi tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Şişe sayılarını değişkenlerle ifade edip toplam şişe sayısı ve toplam hacim denklemlerini kuralım.
2 litrelik şişe sayısı xx, 3 litrelik şişe sayısı yy ve 5 litrelik şişe sayısı zz olsun. Bu durumda x+y+z=80x + y + z = 80 ve 2x+3y+5z=2802x + 3y + 5z = 280 denklemleri elde edilir.
Problemin verilerini matematiksel eşitliklere dönüştürmek amacıyla.
2
Kurulan denklemlerden xx değişkenini yok ederek yy ve zz arasındaki ilişkiyi bulalım.
İlk denklem 2 ile çarpılıp ikinci denklemden çıkarılırsa; (2x+3y+5z)−2(x+y+z)=280−2(80)  ⟹  y+3z=120(2x + 3y + 5z) - 2(x + y + z) = 280 - 2(80) \implies y + 3z = 120 eşitliği bulunur.
2 litrelik şişe sayısını en büyük yapmak için yy ve zz şişe sayılarının toplamını en küçük yapmamız gerektiğinden.
3
3 litrelik şişe sayısının 5 litrelik şişe sayısından fazla olması (y>zy > z) koşulunu ve şişe sayılarının pozitif tam sayı olması gerektiğini kullanarak zz'nin alabileceği en büyük değeri bulalım.
y+3z=120  ⟹  y=120−3zy + 3z = 120 \implies y = 120 - 3z olur. y>zy > z eşitsizliğinde yy yerine yazılırsa: 120−3z>z  ⟹  120>4z  ⟹  z<30120 - 3z > z \implies 120 > 4z \implies z < 30 elde edilir. Şişe sayıları pozitif tam sayı olduğundan zz en fazla 29 olabilir. Bu durumda y=120−3(29)=33y = 120 - 3(29) = 33 olur ve 33>2933 > 29 koşulu sağlanır.
xx'i maksimum yapmak için y+zy + z'yi minimum yapmalıyız. y+z=120−2zy + z = 120 - 2z olduğundan, bu toplamı en küçük yapmak zz'yi en büyük seçmekle mümkündür.
4
Bulunan yy ve zz değerlerini toplam şişe sayısı denkleminde yerine yazarak xx değerini hesaplayalım.
x=80−y−z  ⟹  x=80−33−29=18x = 80 - y - z \implies x = 80 - 33 - 29 = 18 bulunur.
En fazla kullanılacak 2 litrelik şişe sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bilinmeyenli denklemler ve eşitsizlik sistemleri yardımıyla sayı problemlerini çözme, tam sayı kısıtları altında optimizasyon yapma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 118Soru →

Bir kullanıcının bulut depolama hesabında 'İş' ve 'Kişisel' olmak üzere iki tür klasör bulunmaktadır.

* Her bir 'İş' klasöründe 12 belge ve 4 video dosyası yer almaktadır.
* Her bir 'Kişisel' klasörde 8 belge ve 6 video dosyası yer almaktadır.

Bu kullanıcının 'İş' klasörlerindeki toplam dosya (belge ve video) sayısı, 'Kişisel' klasörlerindeki toplam dosya sayısına eşittir.

Tüm klasörlerdeki toplam video dosyası sayısı 150'den fazla olduğuna göre, tüm klasörlerdeki toplam belge dosyası sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 296

Cevap

Tüm klasörlerdeki en az toplam belge sayısı 296'dır.
İş klasörlerinin sayısı xx, Kişisel klasörlerin sayısı yy alındığında; toplam dosya sayılarının eşitliğinden 16x=14y  ⟹  8x=7y16x = 14y \implies 8x = 7y elde edilir. Bu durumda x=7kx = 7k, y=8ky = 8k olur. Toplam video sayısı 4x+6y=76k4x + 6y = 76k olup 76k>15076k > 150 koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı k=2k = 2'dir. Buradan toplam belge sayısı 12x+8y=12(14)+8(16)=29612x + 8y = 12(14) + 8(16) = 296 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Klasörlerdeki toplam dosya sayılarını belirlemek için denklemi kurma
İş klasörlerindeki toplam dosya sayısı 12x+4x=16x12x + 4x = 16x ve Kişisel klasörlerindeki toplam dosya sayısı 8y+6y=14y8y + 6y = 14y olur. Dosya sayıları eşit olduğundan 16x=14y  ⟹  8x=7y16x = 14y \implies 8x = 7y bağınt��sı elde edilir.
Klasör sayılarının birbirine oranını bulmak ve ortak bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için.
2
Video sayıları toplamına göre eşitsizliği kurup bilinmeyenin en küçük değerini bulma
x=7kx = 7k ve y=8ky = 8k (kk pozitif tam sayı) olsun. Toplam video sayısı: 4x+6y=4(7k)+6(8k)=76k4x + 6y = 4(7k) + 6(8k) = 76k olur. 76k>150  ⟹  k>19776k > 150 \implies k > 1{}97 bulunur. kk tam sayı olduğundan en küçük değeri k=2k = 2 olur.
Toplam video sayısının 150'den fazla olması koşulunu sağlayan en küçük tam sayı çarpanını bulmak için.
3
En küçük kk değerini kullanarak toplam belge sayısını hesaplama
k=2k = 2 için İş klasörü sayısı x=14x = 14, Kişisel klasör sayısı y=16y = 16 olur. Toplam belge sayısı: 12x+8y=12(14)+8(16)=168+128=29612x + 8y = 12(14) + 8(16) = 168 + 128 = 296 bulunur.
Soru kökünde bizden istenen en az toplam belge sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri doğrusal denklem ve eşitsizlik sistemlerine dönüştürerek ortak katlar yardımıyla tam sayı çözümlerine ulaşma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 119Soru →

Bir tiyatro salonunda oynanacak bir oyun için bilet türleri ve ücretleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bilet TürüBilet Fiyatı (TL)
Tam120120
Öğrenci8080

Bu oyun için toplam 150150 adet bilet satılmış ve bu bilet satışından toplam 15 60015\,600 TL gelir elde edilmiştir. Ancak satılan öğrenci biletlerinden bazılarının sahipleri oyuna gelmemiş ve salon yönetimi, oyuna gelmeyen her bir öğrenci için bilet ücretinin yarısını iade etmiştir.

İadeler yapıldıktan sonra oyundan elde edilen net gelir 14 80014\,800 TL olduğuna göre, oyuna gelmeyen öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2020

Cevap

Oyuna gelmeyen öğrenci sayısı 20'dir.
Satılan toplam bilet sayısı ve elde edilen toplam gelirden yararlanarak öğrenci bileti sayısı 60 olarak hesaplanır. Net gelir ile başlangıçtaki gelir arasındaki fark olan 800 TL, tek bir öğrenci için yapılan iade tutarı olan 40 TL'ye bölündüğünde oyuna gelmeyen öğrenci sayısı 20 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Satılan tam ve öğrenci bilet sayılarını bulmak için iki bilinmeyenli denklem sistemi kurup çözmek.
Satılan öğrenci bileti sayısı 6060, tam bilet sayısı 9090 olarak bulunur.
Toplam bilet sayısından ve elde edilen toplam gelirden faydalanarak başlangıçtaki bilet dağılımını belirlemek gerekir.
2
Oyuna gelmeyen öğrencilerden dolayı yapılan toplam iade miktarını hesaplamak.
Toplam iade miktarı 15 600−14 800=80015\,600 - 14\,800 = 800 TL olarak bulunur.
Net gelirin başlangıçtaki gelirden az olmasının nedeni gelmeyen öğrencilere yapılan bilet iadeleridir.
3
İade edilen toplam tutarı, tek bir öğrenci için yapılan iade tutarına bölerek gelmeyen öğrenci sayısını bulmak.
Oyuna gelmeyen öğrenci sayısı 800/40=20800 / 40 = 20 olarak bulunur.
Her bir öğrenci bileti için ücretin yarısı (4040 TL) iade edildiğinden, toplam iadeyi tekil iade tutarına bölerek kişi sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümü.
Soru 120Soru →

Bir binadaki asansör, her bir katı sabit hızla 33 saniyede çıkmakta ve her bir katı sabit hızla 22 saniyede inmektedir. Bu asansörün zemin kattan en üst kata çıkıp hiç beklemeden tekrar zemin kata inmesi toplam 6060 saniye sürmüştür. Buna göre, bu bina kaç katlıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Binanın kat sayısı 12'dir.
Binanın kat sayısı xx olarak kabul edildiğinde, yukarı çıkış süresi 3x3x saniye, aşağı iniş süresi ise 2x2x saniyedir. Toplam seyahat süresi bu iki sürenin toplamı olan 5x5x saniyedir. 5x=605x = 60 denkleminden binanın kat sayısı 1212 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Binanın kat sayısını temsil etmek üzere bir değişken belirleyin ve çıkış ile iniş sürelerini bu değişken türünden yazın.
Binanın kat sayısı xx olsun. Çıkış süresi 3x3x saniye, iniş süresi ise 2x2x saniyedir.
Her bir kat için geçen süre sabit olduğundan toplam süre kat sayısı ile bir kattaki sürenin çarpımına eşittir.
2
Çıkış ve iniş sürelerinin toplamını soruda verilen toplam süreye eşitleyerek denklemi kurun ve çözün.
3x+2x=60  ⟹  5x=60  ⟹  x=123x + 2x = 60 \implies 5x = 60 \implies x = 12 bulunur.
Asansörün yukarı çıkıp tekrar zemin kata inmesi için geçen toplam süre, çıkış ve iniş sürelerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bir bilinmeyenli doğrusal denklemler yardımıyla sayı problemi çözme
Tahmini Süre:1m 0s
ÖncekiSayfa 6 / 14Sonraki
Sayı Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin