Examkin

Sayı Problemleri

278 soru

Soru 121Soru →

Bir grup öğrenci, ortaklaşa alacakları bir hediye için kişi başına 40 TL40\text{ TL} düşecek şekilde para toplamayı planlamıştır. Ancak bu gruptan 3 kişi hediyenin ücretine katılmaktan vazgeçince, gruptaki diğer öğrencilerin her biri planlanandan 15 TL15\text{ TL} daha fazla ödeme yapmıştır.

Buna göre, bu hediyenin toplam ücreti kaç TL\text{TL}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 440

Cevap

Hediyenin toplam ücreti 440 TL'dir.
Gruptan ayrılan 3 kişinin ödemediği toplam 3×40=120 TL3 \times 40 = 120\text{ TL}, geriye kalan öğrenciler tarafından eşit olarak paylaşılmıştır. Kalan her bir öğrenci fazladan 15 TL ödediğine göre, grupta kalan öğrenci sayısı 120÷15=8120 \div 15 = 8 olarak bulunur. Başlangıçtaki öğrenci sayısı ise 8+3=118 + 3 = 11'dir. Bu durumda hediyenin toplam ücreti 11×40=440 TL11 \times 40 = 440\text{ TL} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Gruptan ayrılan öğrencilerin ödemesi gereken toplam miktarın hesaplanması
Gruptan ayrılan 3 kişinin her birinin 40 TL ödemesi planlandığından, ödenmeyen toplam miktar 3×40=120 TL3 \times 40 = 120\text{ TL} olur.
Ayrılan kişilerin ödemediği bu miktar, kalan kişiler tarafından paylaşılacaktır.
2
Grupta kalan kişi sayısının bulunması
Kalan her bir kişi fazladan 15 TL ödediğine göre, grupta kalan kişi sayısı 120÷15=8120 \div 15 = 8 olarak bulunur.
Ödenmeyen toplam miktar, kişi başı artış miktarına bölünerek kalan kişi sayısı elde edilir.
3
Başlangıçtaki toplam kişi sayısının ve hediyenin toplam ücretinin hesaplanması
Başlangıçtaki kişi sayısı 8+3=118 + 3 = 11 kişidir. Hediyenin toplam ücreti ise 11×40=440 TL11 \times 40 = 440\text{ TL} veya kalan kişi sayısı üzerinden 8×(40+15)=440 TL8 \times (40 + 15) = 440\text{ TL} olarak hesaplanır.
Toplam ücreti bulmak için başlangıçtaki kişi sayısı ile başlangıçta planlanan kişi başı ücret çarpılır.

Anahtar Kavram

Bilinmeyenli denklem kurma ve gruptan ayrılma durumlarında kişi başı düşen miktardaki değişimi modelleme.

Alternatif Yöntem

Başlangıçtaki öğrenci sayısına xx diyelim. Toplam hediye fiyatı 40x40x olur. 3 öğrenci ayrıldığında kalan x−3x-3 öğrencinin her biri 40+15=55 TL40 + 15 = 55\text{ TL} ödeyeceğinden yeni toplam fiyat 55(x−3)55(x-3) olur. Buradan 40x=55(x−3)40x = 55(x-3) denklemi kurulur. Denklem çözüldüğünde 40x=55x−165  ⟹  15x=165  ⟹  x=1140x = 55x - 165 \implies 15x = 165 \implies x = 11 bulunur. Toplam fiyat ise 40×11=440 TL40 \times 11 = 440\text{ TL} olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 122Soru →

Bir restoranda sunulan menü seçenekleri ve bu menülerin fiyatları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Menü SeçeneğiFiyatı
Köfte Menü150 TL150\text{ TL}
Tavuk Menü100 TL100\text{ TL}

Bu restorana gelen 2828 kişilik bir turist grubuyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Gruptaki erkeklerin bir kısmı köfte menü, kalan kısmı tavuk menü sipariş etmiştir.
* Gruptaki kadınların tamamı tavuk menü sipariş etmiştir.
* Köfte menü sipariş eden erkeklerin sayısı, tavuk menü sipariş eden kadınların sayısının yarısı kadardır.
* Bu grubun ödediği toplam hesap, gruptaki herkesin tavuk menü sipariş etmesi durumunda ödeyeceği toplam hesaptan 400 TL400\text{ TL} daha fazladır.

Buna göre, bu gruptaki toplam erkek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Toplam erkek sayısı 12'dir.
Doğru cevap gruptaki toplam erkek sayısının 12 olduğunu belirten seçenektir. Köfte menünün fiyatı ile tavuk menünün fiyatı arasındaki fark 50 TL50\text{ TL}'dir. Toplam ödenen hesabın, herkesin tavuk menü sipariş etmesi durumuna göre 400 TL400\text{ TL} fazla olması, köfte menü sipariş eden kişi sayısının 400/50=8400 / 50 = 8 olduğunu gösterir. Köfte menüyü sadece erkeklerin bir kısmı sipariş ettiğinden, köfte menü sipariş eden erkek sayısı 8'dir. Bu sayı, tavuk menü sipariş eden kadınların sayısının yarısı olduğuna göre kadın sayısı 8×2=168 \times 2 = 16 olur. Toplam grup mevcudu 28 olduğundan, erkek sayısı 28−16=1228 - 16 = 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Köfte menü ve tavuk menü fiyatları arasındaki farkı kullanarak köfte menü sipariş eden erkek sayısını belirlemek.
Köfte menü sipariş eden erkek sayısı 8 olarak bulunur.
Her bir köfte menü, tavuk menüden 150−100=50 TL150 - 100 = 50\text{ TL} daha pahalıdır. Toplam hesapta oluşan 400 TL400\text{ TL} fark, sadece köfte menü sipariş edenlerin fazladan ödediği tutardan kaynaklanır. Buradan köfte menü sipariş edenlerin sayısı 400÷50=8400 \div 50 = 8 olur.
2
Köfte menü sipariş eden erkek sayısı ile kadın sayısı arasındaki oranı kullanarak gruptaki kadın sayısını bulmak.
Gruptaki kadın sayısı 16 olarak bulunur.
Soruda köfte menü sipariş eden erkek sayısının, kadın sayısının yarısı olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla kadın sayısı, köfte menü sipariş eden erkek sayısının 2 katıdır: 8×2=168 \times 2 = 16.
3
Gruptaki toplam kişi sayısından kadın sayısını çıkararak toplam erkek sayısını hesaplamak.
Gruptaki toplam erkek sayısı 12 olarak bulunur.
Grup 28 kişiden oluştuğuna göre, erkek sayısı 28−16=1228 - 16 = 12 olur.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 123Soru →

Bir kurye firması, zamanında teslim edilen her paket için kuryeye 20 TL20\text{ TL} ödemekte; zamanında teslim edilemeyen her paket için ise kuryenin toplam kazancından 10 TL10\text{ TL} kesinti yapmaktadır. Bir gün boyunca toplam 3030 paket teslim eden bir kurye, gün sonunda 480 TL480\text{ TL} kazandığına göre, bu kurye paketlerden kaç tanesini zamanında teslim etmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Zamanında teslim edilen paket sayısı 26'dır.
Zamanında teslim edilen paket sayısı xx ise geciken paket sayısı 30−x30 - x olur. Net kazanç denklemi 20x−10(30−x)=48020x - 10(30 - x) = 480 şeklindedir. Bu denklem çözüldüğünde 30x−300=480  ⟹  30x=780  ⟹  x=2630x - 300 = 480 \implies 30x = 780 \implies x = 26 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Zamanında teslim edilen paket sayısına xx diyelim. Bu durumda gecikmeli teslim edilen paket sayısı 30−x30 - x olur.
Değişkenler belirlendi.
Bilinmeyenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek denklemi kurmayı kolaylaştırır.
2
Zamanında teslim edilen her paket için kazanılan 20 TL20\text{ TL} ile geciken her paket için kesilen 10 TL10\text{ TL}'yi kullanarak kazanç denklemini kuralım: 20x−10(30−x)=48020x - 10(30 - x) = 480.
20x−300+10x=480  ⟹  30x−300=48020x - 300 + 10x = 480 \implies 30x - 300 = 480 denklemi elde edilir.
Kuryenin net kazancını veren matematiksel modeli oluşturmak gerekir.
3
Ende edilen 30x−300=48030x - 300 = 480 denklemini çözelim.
30x=780  ⟹  x=2630x = 780 \implies x = 26 bulunur.
Zamanında teslim edilen paket sayısını bulmak için denklemi xx için yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 124Soru →

Bir kargo firması, teslimat noktasına küçük, orta ve büyük boy olmak üzere üç farklı boyutta gözleri olan bir kargo dolabı kurmuştur.

Bu kargo dolabındaki gözlerin sayıları ve kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Orta boy gözlerin sayısı, küçük boy gözlerin sayısının 22 katıdır.
* Büyük boy gözlerin sayısı, orta boy gözlerin sayısının 33 eksiğidir.
* Dolaptaki tüm gözler doluyken küçük boy gözlerin her birine 11 paket, orta boy gözlerin her birine 22 paket ve büyük boy gözlerin her birine 33 paket yerleştirilebilmektedir.

Bu kargo dolabı tam kapasiteyle doldurulduğunda dolapta toplam 5757 paket bulunduğuna göre, dolaptaki orta boy gözlerin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Dolaptaki orta boy gözlerin sayısı 12'dir.
Küçük boy göz sayısına xx dediğimizde, orta boy göz sayısı 2x2x ve büyük boy göz sayısı 2x−32x-3 olur. Her bir gözün paket kapasitesiyle çarpılması sonucu toplam paket sayısı x(1)+2x(2)+(2x−3)(3)=11x−9x(1) + 2x(2) + (2x-3)(3) = 11x - 9 olarak bulunur. Bu ifadeyi 57'ye eşitlediğimizde 11x−9=57  ⟹  11x=66  ⟹  x=611x - 9 = 57 \implies 11x = 66 \implies x = 6 elde edilir. Bizden orta boy göz sayısı istendiğinden 2x=2×6=122x = 2 \times 6 = 12 doğru sonuca ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük boy gözlerin sayısını xx değişkeni ile tanımlayarak diğer göz boyutlarının sayılarını bu değişken cinsinden ifade edelim.
Küçük boy göz sayısı = xx
Orta boy göz sayısı = 2x2x
Büyük boy göz sayısı = 2x−32x - 3 olur.
Problemin çözümünü tek bir değişken üzerinden modellemek için.
2
Her göz boyutunun paket kapasitesini kullanarak dolabın tam doluyken alacağı toplam paket sayısını veren cebirsel ifadeyi yazalım.
Toplam Paket Sayısı = (x×1)+(2x×2)+((2x−3)×3)(x \times 1) + (2x \times 2) + ((2x - 3) \times 3)
= x+4x+6x−9x + 4x + 6x - 9
= 11x−911x - 9 olur.
Gözlerin boyutlarına göre kapasite katsayılarını toplam paket sayısına yansıtmak için.
3
Elde edilen cebirsel ifadeyi soruda verilen toplam paket sayısı olan 57'ye eşitleyip xx değerini bulalım ve ardından orta boy göz sayısını hesaplayalım.
11x−9=57  ⟹  11x=66  ⟹  x=611x - 9 = 57 \implies 11x = 66 \implies x = 6 bulunur.
Orta boy göz sayısı = 2x=2×6=122x = 2 \times 6 = 12 olarak elde edilir.
Bilinmeyen xx değişkenini çözüp soru kökünde bizden istenen orta boy göz sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri

Alternatif Yöntem

Orta boy gözlerin sayısına doğrudan yy diyerek denklem kurulabilir. Bu durumda küçük boy gözlerin sayısı y2\frac{y}{2}, büyük boy gözlerin sayısı ise y−3y - 3 olur. Toplam paket sayısı denklemine göre:
y2×1+y×2+(y−3)×3=57\frac{y}{2} \times 1 + y \times 2 + (y - 3) \times 3 = 57
y2+2y+3y−9=57\frac{y}{2} + 2y + 3y - 9 = 57
11y2=66  ⟹  11y=132  ⟹  y=12\frac{11y}{2} = 66 \implies 11y = 132 \implies y = 12
olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 125Soru →

Bir oyun parkında jetonlar iki farklı şekilde satılmaktadır:

* Tek bir jetonun fiyatı 15 TL15\text{ TL}'dir.
* 77'li jeton paketinin fiyatı 70 TL70\text{ TL}'dir.

Bu oyun parkında toplam 410 TL410\text{ TL} harcayarak jeton satın alan bir kişinin elde ettiği toplam jeton sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

Elde edilen toplam jeton sayısı en fazla 39'dur.
Toplam 410 TL harcama ile 5 adet 7'li jeton paketi (5×70=3505 \times 70 = 350 TL) ve 4 adet tekil jeton (4×15=604 \times 15 = 60 TL) alındığında toplam tutar tam olarak 410 TL olur. Bu durumda elde edilen toplam jeton sayısı 5×7+4=395 \times 7 + 4 = 39 olur ve bu ulaşılabilecek en büyük değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Satın alınan 7'li jeton paketi sayısını xx, tekil jeton sayısını yy olarak belirleyip harcanan toplam tutar için denklem kuralım.
70x+15y=41070x + 15y = 410 denklemi elde edilir.
Jeton paketlerinin ve tekil jetonların birim fiyatları ile harcanan toplam para arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirelim. Her iki tarafı da 5 ile bölelim.
14x+3y=8214x + 3y = 82 denklemi elde edilir.
Katsayıları küçülterek tam sayı çözümlerini daha kolay bulabilmek için.
3
Denklemin xx ve yy doğal sayıları için çözümlerini araştıralım. Denklemi 3y=82−14x3y = 82 - 14x şeklinde düzenleyelim.
82−14x82 - 14x ifadesinin 3'ün katı olmasını sağlayan xx değerleri belirlenir. x=2x = 2 için 3y=54  ⟹  y=183y = 54 \implies y = 18 ve x=5x = 5 için 3y=12  ⟹  y=43y = 12 \implies y = 4 bulunur. Diğer xx değerleri için yy tam sayı çıkmaz.
Alınan paket ve jeton sayılarının birer tam sayı olması gerektiği için uygun tüm (x,y)(x, y) ikililerini bulmak amacıyla.
4
Bulunan çözümler için toplam jeton sayısı olan T=7x+yT = 7x + y değerlerini hesaplayalım ve en büyüğünü seçelim.
(x,y)=(2,18)(x, y) = (2, 18) için 7(2)+18=327(2) + 18 = 32 jeton elde edilir. (x,y)=(5,4)(x, y) = (5, 4) için 7(5)+4=397(5) + 4 = 39 jeton elde edilir. En fazla jeton sayısı 39 olarak bulunur.
Bizden istenen en fazla toplam jeton sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve iki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin tam sayı çözümlerini bulma (Diofant denklemleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 126Soru →

Bir otoparka park eden araçlardan;
* İlk 11 saat için sabit 30 TL30\text{ TL},
* 11 saatten sonraki her bir saat için ise 10 TL10\text{ TL}
ücret alınmaktadır.

Bu otoparkta aracını belirli bir süre bırakan ve toplam 80 TL80\text{ TL} ödeme yapan bir müşteri, aracını kaç saat otoparkta bırakmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Aracın otoparkta kaldığı toplam süre 6 saattir.
Aracın otoparkta kaldığı toplam süreye xx saat diyelim. İlk saat için sabit 30 TL30\text{ TL} ödenir. Geriye kalan (x−1)(x-1) saat için saat başı 10 TL10\text{ TL} ödeneceğinden denklem 30+10(x−1)=8030 + 10(x-1) = 80 şeklinde kurulur. Buradan 10(x−1)=50  ⟹  x−1=5  ⟹  x=610(x-1) = 50 \implies x-1 = 5 \implies x = 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam ödenen ��cretten ilk 1 saatin sabit ücreti çıkarılır.
80−30=50 TL80 - 30 = 50\text{ TL}
İlk saatten sonraki ek süre boyunca ödenecek toplam ek ücret miktarını belirlemek için.
2
Elde edilen ek ücret miktarı, saatlik ek ücret tarifesine bölünür.
50/10=550 / 10 = 5 saat
İlk saatten sonra geçen ek süreyi saat cinsinden hesaplamak için.
3
Bulunan ek süreye ilk 1 saatlik sabit süre eklenir.
5+1=65 + 1 = 6 saat
Aracın otoparkta kaldığı toplam süreyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Denklem Kurma)
Soru 127Soru →

Bir film festivalinde gösterilecek bir belgesel film için A, B ve C salonları ayrılmıştır. Bu üç salonun koltuk kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Üç salonun toplam koltuk kapasitesi 180180'dir.
* Biletler satışa sunulduğunda, A salonundaki tüm koltuklar dolmuştur.
* B salonu için satılan bilet sayısı, A salonu için satılan bilet sayısının 22 katıdır. Ancak B salonunun kapasitesi yetersiz kaldığı için B salonuna bilet alan izleyicilerden 1010 tanesi C salonuna yönlendirilmiştir.
* C salonu için satılan bilet sayısı, B salonuna bilet alan toplam izleyici sayısından 1515 eksiktir.

Son durumda C salonunda 55 adet boş koltuk kaldığına göre, B salonunun koltuk kapasitesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

B salonunun koltuk kapasitesi 66'dır.
A salonunun kapasitesi CAC_A alındığında, satılan bilet sayıları ve salonlar arası geçiş yapan izleyiciler hesaba katılarak B salonunun kapasitesi 2CA−102C_A - 10 ve C salonunun kapasitesi 2CA2C_A şeklinde ifade edilir. Üç salonun toplam koltuk kapasitesi olan 180180'e eşitlendiğinde CA=38C_A = 38 değeri bulunur. Buradan hareketle B salonunun kapasitesi 2×38−10=662 \times 38 - 10 = 66 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A salonunun kapasitesine bağlı olarak A ve B salonları için satılan bilet sayılarını ifade etme
A salonunun kapasitesi CAC_A olsun. A salonu tamamen dolduğu için satılan bilet sayısı TA=CAT_A = C_A olur. B salonu için satılan bilet sayısı ise TB=2CAT_B = 2C_A olarak bulunur.
Soruda verilen bilet satış oranlarını matematiksel değişkene dökmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
B salonunun kapasitesini CAC_A türünden yazma
B salonu için satılan bilet sayısı 2CA2C_A olup 1010 kişi kapasite yetersizliğinden başka salona geçtiği için B salonunun kapasitesi CB=2CA−10C_B = 2C_A - 10 olur.
Kapasite yetersizliği ve yönlendirilen kişi sayısı arasındaki ilişki B salonunun sınır kapasitesini belirler.
3
C salonundaki izleyici sayısını ve C salonunun kapasitesini hesaplama
C salonu için satılan bilet sayısı TC=TB−15=2CA−15T_C = T_B - 15 = 2C_A - 15 olur. Yönlendirilen 1010 kişiyle birlikte C salonundaki toplam izleyici sayısı (2CA−15)+10=2CA−5(2C_A - 15) + 10 = 2C_A - 5 olur. 55 boş koltuk kaldığına göre C'nin kapasitesi CC=(2CA−5)+5=2CAC_C = (2C_A - 5) + 5 = 2C_A olarak bulunur.
C salonunun kapasitesini bulmak için hem satılan biletlerin hem de diğer salondan yönlendirilen kişilerin toplanması gerekir.
4
Toplam kapasite denklemini kurma ve B'nin kapasitesini bulma
CA+CB+CC=180  ⟹  CA+(2CA−10)+2CA=180  ⟹  5CA−10=180  ⟹  5CA=190  ⟹  CA=38C_A + C_B + C_C = 180 \implies C_A + (2C_A - 10) + 2C_A = 180 \implies 5C_A - 10 = 180 \implies 5C_A = 190 \implies C_A = 38 bulunur. Buradan B salonunun kapasitesi CB=2(38)−10=66C_B = 2(38) - 10 = 66 olarak elde edilir.
Tüm salonların kapasiteleri toplamı bilindiğinden denklem çözülerek istenen salonun kapasitesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Denklem Kurma ve Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 128Soru →

Bir kahve otomatında üç farklı boyutta bardak seçeneği bulunmaktadır: Küçük, orta ve büyük boy. Küçük boy bardak 100 ml100\text{ ml}, orta boy bardak 150 ml150\text{ ml} ve büyük boy bardak 250 ml250\text{ ml} kahve almaktadır.

Bu otomattan bir gün içinde toplam 8080 adet kahve alınmıştır. Alınan orta boy bardak sayısı, küçük boy bardak sayısının 33 katıdır.

Otomatın gün boyunca doldurduğu toplam kahve miktarı 13,713,7 litre olduğuna göre, otomattan kaç adet büyük boy bardak kahve alınmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Büyük boy bardak sayısı 24'tür.
Küçük boy bardak sayısına xx denilerek kurulan toplam hacim denkleminden x=14x = 14 elde edilir. Toplam bardak sayısından küçük ve orta boy bardakların toplamı çıkarıldığında büyük boy bardak sayısı 80−4(14)=2480 - 4(14) = 24 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama
Küçük boy bardak sayısı: xx, Orta boy bardak sayısı: 3x3x, Büyük boy bardak sayısı: 80−(x+3x)=80−4x80 - (x + 3x) = 80 - 4x
Soruda verilen oranları ve toplam bardak sayısını tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için.
2
Toplam kahve miktarı denklemini kurma ve birimleri eşitleme
Toplam kahve miktarı: 13,7 L=13700 ml13,7\text{ L} = 13700\text{ ml}. Denklem: 100⋅x+150⋅(3x)+250⋅(80−4x)=13700100 \cdot x + 150 \cdot (3x) + 250 \cdot (80 - 4x) = 13700
Farklı boyuttaki bardakların aldıkları hacimler ile bardak sayılarını çarparak toplam hacme eşitlemek için.
3
Denklemi çözerek xx değerini bulma
100x+450x+20000−1000x=13700⇒20000−450x=13700⇒450x=6300⇒x=14100x + 450x + 20000 - 1000x = 13700 \Rightarrow 20000 - 450x = 13700 \Rightarrow 450x = 6300 \Rightarrow x = 14
Bilinmeyen xx değerini (küçük boy bardak sayısı) elde etmek için.
4
Büyük boy bardak sayısını hesaplama
Büyük boy bardak sayısı = 80−4x=80−4(14)=80−56=2480 - 4x = 80 - 4(14) = 80 - 56 = 24
Soru kökünde istenen büyük boy bardak sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürme ve birim dönüşümü (litre-mililitre) yapma.
Soru 129Soru →

Bir kargo firması, gönderilen paketleri ağırlıklarına göre hafif, orta ve ağır olmak üzere üç gruba ayırmaktadır. Bu gruplardaki birer paketin gönderim ücretleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Hafif bir paketin gönderim ücreti, orta paketin gönderim ücretinin yarısıdır.
* Ağır bir paketin gönderim ücreti, hafif paketin gönderim ücretinin 3 katıdır.

Bu firmayla belirli sayıda paket gönderen bir müşterinin gönderdiği paketlerin sayıları ve ücretleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Gönderilen hafif, orta ve ağır paketlerin sayıları sırasıyla hh, oo ve aa'dır.
* Orta paketlerin tamamı için ödenen toplam ücret, hafif paketlerin tamamı için ödenen toplam ücretin 3 katıdır.
* Ağır paketlerin tamamı için ödenen toplam ücret, orta paketlerin tamamı için ödenen toplam ücretin 2 katıdır.
* Bu müşterinin tüm paketler için ödediği toplam ücret, tek bir hafif paketin gönderim ücretinin 120 katıdır.

Buna göre, bu müşterinin gönderdiği ağır paket sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Ağır paket sayısı 24'tür.
Kargo ücreti oranlarından ve paketlerin toplam maliyet ilişkisinden elde edilen h=2kh = 2k, o=3ko = 3k, a=4ka = 4k paket sayıları kullanılarak toplam ücret 20kH20kH olarak bulunur. Bu değer tek bir hafif paketin ücretinin 120 katına eşitlendiğinde k=6k = 6 ve dolayısıyla ağır paket sayısı 4×6=244 \times 6 = 24 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hafif paketin gönderim ücretini HH cinsinden tanımlayın.
Hafif paketin ücreti HH ise, orta paketin ücreti O=2HO = 2H ve ağır paketin ücreti A=3HA = 3H olur.
Diğer paket ücretlerini hafif paket ücreti cinsinden ifade etmek denklemi basitleştirir.
2
Hafif ve orta paketlerin toplam ücretleri arasındaki ilişkiyi kullanarak adetler arasındaki oranı bulun.
2oH=3hH⇒2o=3h2oH = 3hH \Rightarrow 2o = 3h bağıntısı elde edilir.
Orta paketlerin toplam ücretinin (o⋅O=2oHo \cdot O = 2oH), hafif paketlerin toplam ücretinin (h⋅H=hHh \cdot H = hH) 3 katı olduğu belirtilmiştir.
3
Orta ve ağır paketlerin toplam ücretleri arasındaki ilişkiyi kullanarak adetler arasındaki oranı bulun.
3aH=2⋅(2oH)=4oH⇒3a=4o3aH = 2 \cdot (2oH) = 4oH \Rightarrow 3a = 4o bağıntısı elde edilir.
Ağır paketlerin toplam ücretinin (a⋅A=3aHa \cdot A = 3aH), orta paketlerin toplam ücretinin 2 katı olduğu belirtilmiştir.
4
Tüm paket adetlerini tek bir değişken (kk) cinsinden yazın.
h=2kh = 2k, o=3ko = 3k ve a=4ka = 4k (burada kk bir pozitif tam sayıdır) bulunur.
2o=3h2o = 3h ve 3a=4o3a = 4o oranlarını ortak bir kk parametresine bağlamak çözümü kolaylaştırır.
5
Toplam ücreti hesaplayın ve verilen 120 kat bilgisiyle eşitleyerek kk değerini bulun.
Toplam ücret 2k⋅H+3k⋅2H+4k⋅3H=20kH2k \cdot H + 3k \cdot 2H + 4k \cdot 3H = 20kH olarak bulunur. 20kH=120H⇒k=620kH = 120H \Rightarrow k = 6 elde edilir.
Toplam ücretin tek bir hafif paketin ücretinin (HH) 120 katı olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen kk çarpanı belirlenir.
6
Müşterinin gönderdiği ağır paket sayısını (aa) hesaplayın.
a=4k=4⋅6=24a = 4k = 4 \cdot 6 = 24 bulunur.
Ağır paket sayısı a=4ka = 4k olarak tanımlandığı için kk yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Değişkenler arasında oran kurma ve doğrusal denklem sistemleri
Soru 130Soru →

Bir sınıftaki iki basamaklı abab sayıda öğrencinin her birine aa adet kalem verilmesi planlanmıştır. Planlanan bu dağıtım sonunda öğrencilere verilen toplam kalem sayısı 96 olmuştur. Buna göre, bu sınıftaki toplam öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Toplam öğrenci sayısı 32'dir.
Öğrenci sayısı iki basamaklı abab sayısı olduğunda, her bir öğrenciye aa adet kalem verilirse toplam kalem sayısı ab⋅a=(10a+b)⋅a=96ab \cdot a = (10a + b) \cdot a = 96 şeklinde gösterilir. aa ve bb değerlerinin birer rakam olması gerektiği göz önüne alındığında, bu denklemi sağlayan tek rakam çifti a=3a=3 ve b=2b=2 değerleridir. Buradan öğrenci sayısı 32 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi matematiksel olarak ifade etmek
Öğrenci sayısı iki basamaklı ab=10a+bab = 10a + b sayısıdır. Her öğrenciye aa adet kalem verildiğinde toplam kalem sayısı ab⋅a=(10a+b)⋅a=96ab \cdot a = (10a + b) \cdot a = 96 olur.
Verilen sözel ifadeleri çözülebilir bir denkleme dönüştürmek amacıyla.
2
Rakam olma şartını kullanarak değerleri belirlemek
aa ve bb birer rakam olmak üzere a∈{1,2,…,9}a \in \{1, 2, \dots, 9\} ve b∈{0,1,…,9}b \in \{0, 1, \dots, 9\} olmalıdır. a=3a = 3 için (30+2)⋅3=96(30 + 2) \cdot 3 = 96 eşitliği tam olarak sağlanır. aa için diğer rakam değerleri denendiğinde bb değeri bir rakam olmamaktadır (örneğin a=2a=2 için b=28b=28 olur).
Denklemi sağlayan uygun rakam çiftini tespit etmek amacıyla.
3
Öğrenci sayısını hesaplamak
Bulunan a=3a = 3 ve b=2b = 2 değerleri ile iki basamaklı abab öğrenci sayısı 3232 olarak elde edilir.
Soruda bizden istenen sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sözel ifadeleri doğru matematiksel denklemlere dönüştürmek, iki basamaklı sayıları çözümlemek ve bilinmeyenlerin dahil olduğu sayı kümelerinin (rakam olma şartı vb.) sınırlarını gözetmek.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 131Soru →

Bir metro hattında çalışan trenler, bu trenlerin vagon sayıları ve vagonların yolcu kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bu hatta sadece 4 vagonlu ve 6 vagonlu olmak üzere toplam 30 adet tren hizmet vermektedir.
* 4 vagonlu trenlerin her bir vagonunun yolcu kapasitesi eşit ve xx kişidir.
* 6 vagonlu trenlerin her bir vagonunun yolcu kapasitesi eşit ve yy kişidir.
* Bu hatta çalışan 4 vagonlu tren sayısı, 6 vagonlu tren sayısının 2 katıdır.

Tüm trenler tam kapasiteyle doluyken bu metro hattında aynı anda toplam 2200 yolcu taşınabilmektedir.

4 vagonlu trenlerin her birinden birer vagon sökülüp bu vagonlar 6 vagonlu trenlerin her birine ikişer vagon olacak şekilde eklendiğinde; 4 vagonlu trenler 3 vagonlu, 6 vagonlu trenler ise 8 vagonlu hâle gelmektedir.

Son durumda vagon kapasiteleri değişmeden tüm trenler yine tam kapasiteyle doldurulduğunda ta��ınabilen toplam yolcu sayısı 2000 olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta bu metro hattında hizmet veren trenlerin toplam vagon sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Başlangıçtaki trenlerin toplam vagon sayısı 140'tır.
Başlangıçtaki tren sayıları oranına göre 20 adet 4 vagonlu ve 10 adet 6 vagonlu tren olduğu belirlenir. Vagon transferi sonrası oluşan yeni vagon sayıları ile kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde vagon kapasiteleri sırasıyla 20 ve 10 olarak bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam vagon sayısı 140 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tren sayılarının belirlenmesi ve değişkenlerin tanımlanması
6 vagonlu tren sayısı nn ise 4 vagonlu tren sayısı 2n2n olur. Toplam tren sayısı 3n=303n = 30 olduğundan n=10n = 10 bulunur. Buradan hatta 20 adet 4 vagonlu tren ve 10 adet 6 vagonlu tren olduğu tespit edilir.
Soruda verilen oran ve toplam tren sayısından hareketle her iki tren türünün miktarını bulmak gerekir.
2
Yolcu kapasitesi denklemlerinin kurulması
İlk durum için toplam kapasite denklemi: 20⋅4x+10⋅6y=2200  ⟹  80x+60y=2200  ⟹  8x+6y=22020 \cdot 4x + 10 \cdot 6y = 2200 \implies 80x + 60y = 2200 \implies 8x + 6y = 220'dir.

İkinci durumda 4 vagonlu 20 trenin her birinden 1 vagon sökülür (trenler 3 vagonlu olur) ve toplam 20⋅1=2020 \cdot 1 = 20 vagon elde edilir. Bu vagonlar 10 adet 6 vagonlu trene ikişer adet eklenerek trenler 8 vagonlu hâle getirilir. İkinci durum kapasite denklemi: 20⋅3x+10⋅8y=2000  ⟹  60x+80y=2000  ⟹  6x+8y=20020 \cdot 3x + 10 \cdot 8y = 2000 \implies 60x + 80y = 2000 \implies 6x + 8y = 200 olur.
Wagon transferi öncesi ve sonrası durumları matematiksel denklemlere dökmek için bu adım uygulanır.
3
Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi
4x+3y=1104x + 3y = 110
3x+4y=1003x + 4y = 100

İlk denklem 4 ile, ikinci denklem 3 ile çarpılıp taraf tarafa çıkarılırsa:
16x+12y=44016x + 12y = 440
9x+12y=3009x + 12y = 300
7x=140  ⟹  x=207x = 140 \implies x = 20 bulunur.

x=20x = 20 değeri yerine yazıldığında:
3(20)+4y=100  ⟹  4y=40  ⟹  y=103(20) + 4y = 100 \implies 4y = 40 \implies y = 10 elde edilir.
Bilinmeyen vagon kapasitesi değerlerini bulmak için denklem sistemi çözülür.
4
Başlangıçtaki toplam vagon sayısının hesaplanması
Başlangıçta 20 adet 4 vagonlu tren (20⋅4=8020 \cdot 4 = 80 vagon) ve 10 adet 6 vagonlu tren (10⋅6=6010 \cdot 6 = 60 vagon) vardır. Toplam vagon sayısı: 80+60=14080 + 60 = 140 olarak hesaplanır.
Soruda istenen başlangıçtaki toplam vagon sayısını hesaplamak için tren sayıları ile başlangıçtaki vagon sayıları çarpılarak toplanır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 132Soru →

Bir okul kütüphanesindeki roman ve ansiklopediler, hacimleri farklı küçük ve büyük boy kolilerle taşınacaktır.

* Küçük boy koliye sadece roman konulursa 1212 adet, sadece ansiklopedi konulursa 88 adet sığmaktadır.
* Büyük boy koliye sadece roman konulursa 2020 adet, sadece ansiklopedi konulursa 1515 adet sığmaktadır.

Bu taşıma işleminde koliler tamamen doldurulmuş ve her iki koli tipi de hem roman hem de ansiklopedi taşımak için en az birer kez kullanılmıştır.

Taşıma işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Sadece ansiklopedi taşınan koli sayısı, sadece roman taşınan koli sayısının 22 katıdır.
* Taşınan toplam roman sayısı, taşınan toplam ansiklopedi sayısına eşittir.

Buna göre, bu taşıma işleminde kullanılan toplam koli sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Toplam koli sayısı en az 27 olmalıdır.
Denklemler doğru kurulup yerine koyma metodu uygulandığında 4(y−x)=7w4(y - x) = 7w elde edilir. Değişkenlerin pozitif tam sayı olması kısıtıyla w=4w = 4, x=1x = 1, y=8y = 8 ve z=14z = 14 bulunur. Bu değerlerin toplamı en az 27 koli yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Koli sayılarını değişkenlerle ifade edip kısıtları belirleme
Roman taşınan küçük koli sayısı xx, büyük koli sayısı yy; ansiklopedi taşınan küçük koli sayısı zz, büyük koli sayısı ww olsun. Soruda verilen kısıt gereği x,y,z,w≥1x, y, z, w \geq 1 tam sayılardır.
Soruda her iki koli tipinin de hem roman hem de ansiklopedi taşımak için en az bir kez kullanıldığı belirtilmiştir.
2
Verilen bilgilere göre denklemleri kurma
Ansiklopedi taşınan koli sayısı, roman taşınan koli sayısının 2 katı olduğundan: z+w=2(x+y)z + w = 2(x + y) olur. Toplam roman sayısı toplam ansiklopedi sayısına eşit olduğundan: 12x+20y=8z+15w12x + 20y = 8z + 15w olur.
Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dönüştürmek gerekir.
3
Denklem sistemini çözme ve değişkenler arasındaki ilişkiyi bulma
Birinci denklemden z=2x+2y−wz = 2x + 2y - w çekilip ikinci denklemde yerine yazılırsa: 12x+20y=8(2x+2y−w)+15w⇒12x+20y=16x+16y+7w12x + 20y = 8(2x + 2y - w) + 15w \Rightarrow 12x + 20y = 16x + 16y + 7w elde edilir. Buradan 20y−16y=16x−12x+7w⇒4(y−x)=7w20y - 16y = 16x - 12x + 7w \Rightarrow 4(y - x) = 7w bulunur.
Farklı koli sayıları arasındaki ilişkiyi tek bir eşitlikte birleştirmek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
En küçük tam sayı değerlerini belirleme
4(y−x)=7w4(y - x) = 7w eşitliğinde ww sayısı 4'ün katı olmalıdır. En az koli sayısı için w=4w = 4 seçilir. Buradan y−x=7⇒y=x+7y - x = 7 \Rightarrow y = x + 7 olur. x≥1x \geq 1 kısıtından dolayı en az koli için x=1x = 1 alınırsa y=8y = 8 olur. Bu değerler zz denkleminde yerine yazılırsa z=2(1)+2(8)−4=14z = 2(1) + 2(8) - 4 = 14 bulunur.
Koli sayılarının pozitif tam sayı olması gerektiğinden, minimum toplam koli sayısını verecek en küçük değerler seçilir.
5
Toplam koli sayısını hesaplama
T=x+y+z+w=1+8+14+4=27T = x + y + z + w = 1 + 8 + 14 + 4 = 27 bulunur.
Kullanılan tüm kolilerin toplam sayısı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen kısıtlar altında doğrusal denklem ve diofant denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi.
Soru 133Soru →

Bir çiftçi, bahçesindeki elma ve armut ağaçlarını sulamak için bir sistem kurmuştur. Bu sistemde elma ağaçları 3 günde bir, armut ağaçları ise 4 günde bir sulanmaktadır. Çiftçi, 30 günlük bir sürenin ilk günü her iki ağaç türünü de sulayarak sistemi başlatmıştır.

Buna göre, 30 günlük bu süre boyunca her iki ağaç türü aynı gün toplam kaç kez sulanmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Her iki ağaç türü aynı gün toplam 3 kez sulanmıştır.
İlk ortak sulama 1. günde gerçekleşir. Sonraki ortak sulamalar 12 günde bir olacağı için 13. ve 25. günlerde yapılır ve toplam 3 gün ortak sulama yapılmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ortak sulama gününü belirleme
İlk ortak sulama 1. günde yapılmıştır.
Soruda çift��inin ilk gün her iki ağaç türünü de sulayarak sistemi başlattığı belirtilmiştir.
2
Sonraki ortak sulama periyodunu bulma
Ortak sulama periyodu EKOK(3,4)=12\text{EKOK}(3, 4) = 12 gündür.
Elma ağaçları 3 günde bir, armut ağaçları 4 günde bir sulandığı için her ikisi birlikte 3 ve 4'ün en küçük ortak katı olan günlerde sulanır.
3
30 günlük süre içindeki ortak sulama günlerini listeleme ve sayma
Ortak sulama günleri 1., 13. ve 25. günlerdir. Toplam 3 kez sulanmışlardır.
İlk güne 12'şer gün ekleyerek 30 günlük sınır aşılmadan ortak sulama günleri bulunur (1+12=131 + 12 = 13 ve 13+12=2513 + 12 = 25).

Anahtar Kavram

En Küçük Ortak Kat (EKOK) yardımıyla periyodik sayı problemleri çözme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 134Soru →

Bir sinema salonunda A, B ve C olmak üzere üç farklı bilet kategorisi bulunmaktadır. Bu kategorilerdeki birer biletin satış fiyatları s��rasıyla 120 TL, 160 TL ve 200 TL'dir. Bu sinema salonunda belirli bir seans için satılan biletlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Toplam 180 adet bilet satılmıştır.
* A kategorisinde satılan bilet sayısı, C kategorisinde satılan bilet sayısının 2 katından 10 eksiktir.
* B kategorisindeki biletlerin satışından elde edilen toplam gelir, A ve C kategorilerindeki biletlerin satışından elde edilen toplam gelirin 43\frac{4}{3} katına eşittir.

Buna göre, bu seansta B kategorisinde kaç adet bilet satılmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

B kategorisinde satılan bilet sayısı 100'dür.
Bilet adetleri ve bilet fiyatları kullanılarak elde edilen gelir eşitliği çözüldüğünde, B kategorisinde satılan bilet sayısı 100 olarak bulunur. Doğru seçenek 100 değerini belirten seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Bilet sayılarını değişkenler cinsinden ifade etme
A, B ve C kategorilerinde satılan bilet sayıları sırasıyla aa, bb ve cc olsun. Toplam satılan bilet sayısı a+b+c=180a + b + c = 180 olur. Soruda verilen bilgilere göre A kategorisindeki biletlerin sayısı, C kategorisindekilerin 2 katından 10 eksiktir. Buradan a=2c−10a = 2c - 10 denklemi elde edilir. Bu ifade toplam bilet denkleminde yerine yazılırsa: (2c−10)+b+c=180  ⟹  3c+b=190  ⟹  b=190−3c(2c - 10) + b + c = 180 \implies 3c + b = 190 \implies b = 190 - 3c elde edilir.
Bilinmeyen sayısını tek değişkene indirgemek amacıyla bilet sayılarını cc değişkeni cinsinden tanımlamak için.
2
Gelir denklemini kurma
Biletlerin birim fiyatları sırasıyla 120 TL, 160 TL ve 200 TL'dir. Kategorilerden elde edilen toplam gelirler:
* RA=120×a=120(2c−10)=240c−1200R_A = 120 \times a = 120(2c - 10) = 240c - 1200 TL
* RC=200×c=200cR_C = 200 \times c = 200c TL
* RA+RC=440c−1200R_A + R_C = 440c - 1200 TL
* RB=160×b=160(190−3c)=30400−480cR_B = 160 \times b = 160(190 - 3c) = 30400 - 480c TL olur.
B kategorisinin geliri, A ve C'nin toplam gelirinin 43\frac{4}{3} katı olduğuna göre denklem şu şekilde kurulur:
160(190−3c)=43(440c−1200)160(190 - 3c) = \frac{4}{3}(440c - 1200)
Soruda verilen gelirler arasındaki oranı cebirsel denkleme dökmek için.
3
Denklemi çözerek C kategorisi bilet sayısını (cc) bulma
Kurulan denklemi çözelim:
160(190−3c)=43(440c−1200)160(190 - 3c) = \frac{4}{3}(440c - 1200)
Eşitliğin her iki tarafını 80'e bölelim:
2(190−3c)=43(5.5c−15)2(190 - 3c) = \frac{4}{3}(5.5c - 15)
Eşitliği 3 ile genişletelim:
6(190−3c)=4(5.5c−15)  ⟹  1140−18c=22c−606(190 - 3c) = 4(5.5c - 15) \implies 1140 - 18c = 22c - 60
1140+60=22c+18c  ⟹  1200=40c  ⟹  c=301140 + 60 = 22c + 18c \implies 1200 = 40c \implies c = 30 bulunur.
C kategorisinde satılan bilet adedine ulaşmak için.
4
B kategorisinde satılan bilet sayısını hesaplama
c=30c = 30 değeri b=190−3cb = 190 - 3c denkleminde yerine yazılırsa:
b=190−3(30)=190−90=100b = 190 - 3(30) = 190 - 90 = 100 bulunur.
Soru kökünde istenen B kategorisi bilet adedini bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklemler kurarak çok değişkenli sözel problemleri modelleme ve çözme
Soru 135Soru →

Bir metro istasyonundaki bilet yükleme otomatı yalnızca 1010 TL, 2020 TL ve 5050 TL değerindeki kağıt paraları kabul etmekte ve para üstü vermemektedir. Bir gün boyunca bu otomattan yapılan yükleme işlemleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Otomata toplam 140140 adet kağıt para atılmıştır.
* Otomata atılan 1010 TL'lik kağıt paraların toplam değeri, 2020 TL'lik kağıt paraların toplam değerine eşittir.
* Otomata atılan 5050 TL'lik kağıt paraların sayısı, 1010 TL'lik kağıt paraların sayısının 22 katıdır.

Buna göre, gün boyunca bu otomat kullanılarak kartlara yüklenen toplam tutar kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4800

Cevap

Kartlara yüklenen toplam tutar 4800 TL'dir.
Soruda verilen bilgilere göre, 1010 TL'lik banknot sayısı xx olarak seçilirse, toplam değerlerinin eşitliğinden 2020 TL'lik banknot sayısı 0,5x0,5x olur. 5050 TL'lik banknot sayısı ise 1010 TL'liklerin 22 katı olduğundan 2x2x olarak bulunur. Tüm banknotların toplam sayısı x+0,5x+2x=3,5x=140x + 0,5x + 2x = 3,5x = 140 eşitliğinden x=40x=40 olarak hesaplanır. Bu durumda 1010 TL'liklerden 4040 adet (400400 TL), 2020 TL'liklerden 2020 adet (400400 TL) ve 5050 TL'liklerden 8080 adet (40004000 TL) olduğu görülür. Toplam yüklenen tutar 400+400+4000=4800400 + 400 + 4000 = 4800 TL yapar ve bu değer doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Banknot adetlerini temsil edecek değişkenleri belirlemek.
Otomata atılan 1010 TL'lik banknot sayısı xx, 2020 TL'lik banknot sayısı yy ve 5050 TL'lik banknot sayısı zz olsun.
Değişkenler yardımıyla sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek gerekir.
2
Verilen oranlara göre değişkenler arasında ilişkiler kurmak.
1010 TL'lik banknotların toplam değeri 10x10x, 2020 TL'lik banknotların toplam değeri 20y20y'dir. Değerler eşit olduğuna göre 10x=20y⇒y=0,5x10x = 20y \Rightarrow y = 0,5x olur. 5050 TL'lik banknot sayısı 1010 TL'liklerin 22 katı olduğundan z=2xz = 2x olur.
Tüm değişkenleri tek bir bilinmeyen (xx) cinsinden yazarak denklem çözülebilir hale getirilir.
3
Toplam banknot sayısı eşitliğini kullanarak bilinmeyeni bulmak.
Toplam banknot sayısı x+y+z=140x + y + z = 140 olarak verilmiştir. Buradan x+0,5x+2x=140⇒3,5x=140x + 0,5x + 2x = 140 \Rightarrow 3,5x = 140 ve buradan x=40x = 40 bulunur.
Bilinmeyen xx değeri bulunduğunda her bir banknot türünün adedi tek tek hesaplanabilir.
4
Her banknot türünden kaçar adet olduğunu belirlemek ve toplam tutarı hesaplamak.
1010 TL'lik banknot sayısı: x=40x = 40 adet (Değeri: 40×10=40040 \times 10 = 400 TL)
2020 TL'lik banknot sayısı: 0,5x=200,5x = 20 adet (Değeri: 20×20=40020 \times 20 = 400 TL)
5050 TL'lik banknot sayısı: 2x=802x = 80 adet (Değeri: 80×50=400080 \times 50 = 4000 TL)
Toplam tutar: 400+400+4000=4800400 + 400 + 4000 = 4800 TL olur.
Soruda bizden istenen toplam kart yükleme tutarına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri tek bilinmeyenli birinci dereceden denklem sistemine dönüştürerek çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 136Soru →

Bir yazılım şirketi, geliştirdiği bir programın lisanslarını gruplar halinde satmaktadır. Satış tarifesi aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Satın Alınan Lisans Sayısı (kk)Lisans Başına Birim Ücret (TL)
k≤20k \le 20120120
k>20k > 20En az 6060 TL olmak üzere, 2020'yi aşan her bir lisans için birim fiyattan 11 TL indirim yapılır.

Bu yazılımı satın alan iki farklı şirketin her birinin aldığı lisans sayısı 2020'den fazladır. Bu şirketlerden daha az lisans satın alanın lisans sayısı 4040'tan azdır.

Şirketlerden birinin satın aldığı lisans sayısı, diğerinin satın aldığı lisans sayısının 22 katıdır.

Daha fazla lisans satın alan şirketin ödediği toplam tutar, diğer şirketin ödediği toplam tutardan 15001500 TL fazla olduğuna göre, bu iki şirketin satın aldığı toplam lisans sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Toplam lisans sayısı 90 adettir.
Doğru cevap, iki şirketin satın aldığı lisans sayılarının sırasıyla 30 ve 60 olduğu durumdur. Bu durumda birinci şirket 30 lisans için birim başına 110 TL ödeyerek toplam 3300 TL, ikinci şirket ise 60 lisans için birim başına 80 TL ödeyerek toplam 4800 TL öder. Ödenen tutarlar arasındaki fark 1500 TL olup tüm koşullar sağlanmaktadır. Toplam lisans sayısı 30 + 60 = 90 adet olur.

Adım Adım Çözüm

1
Şirketlerin satın aldığı lisans sayılarını değişkenlerle ifade etme.
Daha az lisans alan şirketin lisans sayısı xx ise diğer şirketin lisans sayısı 2x2x olur. Koşullar: x>20x > 20 ve x<40x < 40 olarak belirlenir.
Problemdeki oran ve sınır koşullarını matematiksel modele aktarmak.
2
Lisans sayılarına göre birim fiyat fonksiyonunu oluşturma.
k>20k > 20 için birim fiyat P(k)=120−(k−20)=140−kP(k) = 120 - (k - 20) = 140 - k TL olur. x<40x < 40 olduğundan 2x<802x < 80 olur ve birim fiyat 60 TL alt sınırına takılmaz.
Her iki şirketin ödeyeceği birim fiyatları lisans sayıları cinsinden bulmak.
3
Şirketlerin ödediği toplam tutarları ve aralarındaki farkı veren denklemi kurma.
Birinci şirketin ödediği tutar: C1=x(140−x)=140x−x2C_1 = x(140 - x) = 140x - x^2 TL. İkinci şirketin ödediği tutar: C2=2x(140−2x)=280x−4x2C_2 = 2x(140 - 2x) = 280x - 4x^2 TL. Fark denklemi: (280x−4x2)−(140x−x2)=1500  ⟹  3x2−140x+1500=0(280x - 4x^2) - (140x - x^2) = 1500 \implies 3x^2 - 140x + 1500 = 0 elde edilir.
Ödenen toplam tutarlar arasındaki fark ilişkisini kullanarak bilinmeyen xx değerini bulmak.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözme ve koşulları sağlayan kökü bulma.
Diskriminant Δ=(−140)2−4⋅3⋅1500=19600−18000=1600=402\Delta = (-140)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1500 = 19600 - 18000 = 1600 = 40^2. Kökler x=140±406x = \frac{140 \pm 40}{6} formülünden x=30x = 30 veya x=1006x = \frac{100}{6} bulunur. Lisans sayısı tam sayı olacağından x=30x = 30 seçilir.
Şirketlerin satın aldığı gerçek lisans sayılarını tespit etmek.
5
Şirketlerin satın aldığı toplam lisans sayısını hesaplama.
x+2x=30+60=90x + 2x = 30 + 60 = 90 bulunur.
Soruda istenen toplam lisans sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlere Dönüştürülebilen Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 137Soru →

Bir öğrenci, bir doğal sayıyı 1515 ile çarpmak istiyor. Ancak say��nın onlar basamağındaki rakamı 33 eksik görerek işlemi yapıyor.

Buna göre, öğrencinin bulduğu hatalı sonuç, doğru sonuçtan kaç eksiktir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 450450

Cevap

Hatalı sonuç, doğru sonuçtan 450 eksiktir.
Çarpılan sayının onlar basamağındaki rakamın 33 eksik görülmesi, sayının değerini 3×10=303 \times 10 = 30 eksiltir. Bu sayı 1515 ile çarpıldığında, elde edilen hatalı sonuç doğru sonuçtan 15×30=45015 \times 30 = 450 eksik olur.

Adım Adım Çözüm

1
Onlar basamağındaki rakamın 3 eksik görülmesinin sayı üzerindeki etkisini belirlemek.
Sayının değeri 3×10=303 \times 10 = 30 azalır.
Onlar basamağının basamak değeri 10 olduğundan, bu basamaktaki 3 birimlik azalış sayının kendi değerini 30 azaltacaktır.
2
Çarpma işleminin sonucundaki değişimi hesaplamak.
Çarpım sonucu 15×30=45015 \times 30 = 450 azalır.
Çarpanlardan biri 30 azaldığı için, elde edilen çarpım sonucu da diğer çarpanın 30 katı olan 15×3015 \times 30 kadar azalacaktır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde basamak değerindeki değişimin işlem sonucuna etkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 138Soru →

Bir serada yetiştirilen güller, her birinde e��it sayıda gül olacak şekilde demetler hâline getirilerek satılacaktır. Bu seradaki güllerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Güller onarlı demetler yapıldığında elde edilen demet sayısı, on ikişerli demetler yapıldığında elde edilen demet sayısından 88 fazladır.
* Bu güllerin yarısı sekizerli, diğer yarısı ise on beşerli demetler yapıldığında toplam NN adet demet elde edilmektedir.

Buna göre, NN kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Toplam demet sayısı 46'dır.
Toplam gül sayısı 480 olarak hesaplandıktan sonra, bu güllerin yarısı olan 240 gül sekizerli gruplandığında 30 demet, diğer yarısı olan 240 gül ise on beşerli gruplandığında 16 demet oluşturur. Bu iki grup birleştirildiğinde toplam demet sayısı 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam gül sayısına xx diyerek başlangıçtaki demet sayıları arasındaki farkı veren denklemi kurmak.
x10−x12=8\frac{x}{10} - \frac{x}{12} = 8 denklemi elde edilir.
Onarlı demet sayısının on ikişerli demet sayısından 8 fazla olduğu bilgisi kullanılmıştır.
2
Elde edilen denklemi çözerek toplam gül sayısı xx'i bulmak.
Paydalar 60'ta eşitlendiğinde 6x−5x60=8  ⟹  x60=8  ⟹  x=480\frac{6x - 5x}{60} = 8 \implies \frac{x}{60} = 8 \implies x = 480 olarak bulunur.
Rasyonel ifadelerde payda eşitleme ve içler dışlar çarpımı kuralları uygulanmıştır.
3
Güllerin yarısını (240 gül) sekizerli, diğer yarısını (240 gül) on beşerli demetlere ayırıp toplam demet sayısını bulmak.
2408+24015=30+16=46\frac{240}{8} + \frac{240}{15} = 30 + 16 = 46 demet elde edilir.
Soruda belirtilen yeni gruplandırma koşulu toplam gül sayısının yarısı üzerinden uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir bilinmeyenli rasyonel denklemler kurma ve çözme yoluyla sayı problemleri çözümü.
Soru 139Soru →

Bir kafede bulunan iki farklı boyuttaki masalardan küçük olanlara 44'er kişi, büyük olanlara ise 66'şar kişi oturabilmektedir. Bu kafede toplam 1515 masa bulunmakta ve tüm masalar tam kapasite dolduğunda kafede 7070 kişi oturabilmektedir. Buna göre, kafedeki büyük masa sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kafedeki büyük masa sayısı 5'tir.
Büyük masa sayısı xx olduğunda küçük masa sayısı 15−x15 - x olur. Masalara oturan toplam kişi sayısı 6x+4(15−x)=706x + 4(15 - x) = 70 eşitliği ile gösterilir. Bu denklem çözüldüğünde 2x+60=70⇒2x=10⇒x=52x + 60 = 70 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kafedeki büyük masa sayısı xx olarak belirlenir. Toplam masa sayısı 1515 olduğundan, küçük masa sayısı 15−x15 - x şeklinde ifade edilir.
Büyük masa sayısı: xx, Küçük masa sayısı: 15−x15 - x
Problemi tek bilinmeyenli denklem olarak modellemek için değişken tanımlanır.
2
Masaların kapasiteleri ile sayıları çarpılarak toplam kişi sayısı olan 7070'e eşitlenir: 6×x+4×(15−x)=706 \times x + 4 \times (15 - x) = 70.
6x+60−4x=706x + 60 - 4x = 70
Masaların toplam kapasitesini veren denklem kurulur.
3
Elde edilen birinci dereceden denklem çözülür: 2x+60=70⇒2x=10⇒x=52x + 60 = 70 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5 bulunur.
x=5x = 5
İstenen büyük masa sayısına ulaşmak için denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme

Alternatif Yöntem

Büyük masa sayısı seçeneklerden denenebilir. Örneğin büyük masa sayısı 55 ise, küçük masa sayısı 15−5=1015 - 5 = 10 olur. Toplam kişi sayısı 5×6+10×4=30+40=705 \times 6 + 10 \times 4 = 30 + 40 = 70 olarak elde edilir ve koşul sağlanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 140Soru →

Bir kırtasiyeci; A, B ve C marka defterlerden sırasıyla xyxy, yxyx ve xxxx iki basamaklı doğal sayıları adetlerince satın almıştır. Bu alışverişle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- A marka defterin birim satış fiyatı 1212 TL, B marka defterin birim satış fiyatı 1515 TL'dir.
- Kırtasiyeci, satın aldığı tüm A ve B marka defterler için toplam 14311431 TL ödemiştir.
- Satın alınan A marka defter sayısı, B marka defter sayısından fazladır.
- C marka defterin birim satış fiyatı, A ve B marka defterlerin birim satış fiyatlarının toplamına eşittir.

Buna göre, kırtasiyecinin satın aldığı C marka defterler için ödediği toplam tutar kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2079

Cevap

Doğru yanıt 2079 TL'dir.
Doğru yanıt olan 2079 TL, satın alınan defter adetlerinin doğru basamak çözümlemesiyle elde edilen 5x+6y=535x + 6y = 53 denkleminin, rakam olma ve x>yx > y olma koşullarını sağlayan tek çözüm kümesi (x=7,y=3x = 7, y = 3) üzerinden hesaplanmıştır. Bu doğrultuda C marka defter sayısı 7777, birim fiyatı ise 2727 TL olup toplam tutar 77×27=207977 \times 27 = 2079 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B marka defterlerin adetlerini çözümleyerek toplam ödenen tutar denklemini kurmak.
12⋅(10x+y)+15⋅(10y+x)=143112 \cdot (10x + y) + 15 \cdot (10y + x) = 1431 denklemi kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde 135x+162y=1431135x + 162y = 1431 elde edilir.
Defterlerin birim fiyatları ile iki basamaklı sayı adetlerinin çarpımının toplam tutara eşitliğini ifade etmek için.
2
Denklemi sadeleştirerek incelenebilir duruma getirmek.
Denklemin her iki tarafı 2727 ile bölündüğünde 5x+6y=535x + 6y = 53 bağıntısı elde edilir. Burada xx ve yy sıfırdan farklı birer rakam olmak zorundadır.
İşlem kolaylığı sağlamak ve rakam kıs��tlamalarını uygulamak için.
3
Rakam ve eşitsizlik koşullarına uygun olan çözümü belirlemek.
5x+6y=535x + 6y = 53 denklemini sağlayan rakam ikilileri (x=1,y=8)(x = 1, y = 8) ve (x=7,y=3)(x = 7, y = 3)'tür. Soruda A marka defter sayısının B marka defter sayısından fazla olduğu belirtildiğinden xy>yxxy > yx yani x>yx > y olmalıdır. Bu koşulu sağlayan tek çözüm x=7x = 7 ve y=3y = 3 ikilisidir.
Verilen koşullara uygun benzersiz xx ve yy değerlerini saptamak için.
4
C marka defterlerin adet ve fiyat bilgilerini kullanarak toplam tutarı hesaplamak.
C marka defterlerin sayısı xx=77xx = 77 adettir. C marka defterin birim fiyatı 12+15=2712 + 15 = 27 TL'dir. Toplam ödenen tutar 77×27=207977 \times 27 = 2079 TL olarak hesaplanır.
Soruda istenen C marka defterlerin toplam maliyetini belirlemek için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve sayı problemlerinde denklem kurma/çözme.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 7 / 14Sonraki
Sayı Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 7 | Examkin